Eigenvector අර්ථ දැක්වීම. අනුකෘතියක Eigenvalues ​​සහ eigenvectors

ඇලවිය යුතු ආකාරය ගණිතමය සූත්රවෙබ් අඩවියට?

ඔබට කවදා හෝ වෙබ් පිටුවකට ගණිතමය සූත්‍ර එකක් හෝ දෙකක් එක් කිරීමට අවශ්‍ය නම්, ලිපියේ විස්තර කර ඇති පරිදි මෙය කිරීමට පහසුම ක්‍රමය වේ: වුල්ෆ්‍රම් ඇල්ෆා ස්වයංක්‍රීයව ජනනය කරන පින්තූර ආකාරයෙන් ගණිතමය සූත්‍ර පහසුවෙන් වෙබ් අඩවියට ඇතුළු කරනු ලැබේ. සරලත්වයට අමතරව, මෙම විශ්වීය ක්‍රමය වෙබ් අඩවියේ දෘශ්‍යතාව වැඩි දියුණු කිරීමට උපකාරී වේ සෙවුම් යන්ත්ර. එය දිගු කලක් තිස්සේ වැඩ කර ඇත (සහ එය සදහටම වැඩ කරනු ඇතැයි මම සිතමි), නමුත් එය සදාචාරාත්මකව යල්පැන ඇත.

ඔබ ඔබේ වෙබ් අඩවියේ නිරන්තරයෙන් ගණිත සූත්‍ර භාවිතා කරන්නේ නම්, MathML, LaTeX, හෝ ASCIIMathML මාර්ක්අප් භාවිතා කරමින් වෙබ් බ්‍රවුසරවල ගණිත අංක පෙන්වන විශේෂ JavaScript පුස්තකාලයක් වන MathJax භාවිතා කරන ලෙස මම ඔබට නිර්දේශ කරමි.

MathJax භාවිතා කිරීම ආරම්භ කිරීමට ක්‍රම දෙකක් තිබේ: (1) සරල කේතයක් භාවිතයෙන්, ඔබට ඉක්මනින් MathJax ස්ක්‍රිප්ට් එකක් ඔබේ වෙබ් අඩවියට සම්බන්ධ කළ හැක, එය නිවැරදි වේලාවට දුරස්ථ සේවාදායකයකින් ස්වයංක්‍රීයව පූරණය වේ (සේවාදායක ලැයිස්තුව); (2) MathJax ස්ක්‍රිප්ට් එක දුරස්ථ සේවාදායකයකින් ඔබගේ සේවාදායකයට උඩුගත කර එය ඔබගේ අඩවියේ සියලුම පිටු වෙත සම්බන්ධ කරන්න. දෙවන ක්‍රමය වඩාත් සංකීර්ණ සහ කාලය ගතවන අතර ඔබේ වෙබ් අඩවියේ පිටු පූරණය කිරීම වේගවත් කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි, යම් හේතුවක් නිසා මව් MathJax සේවාදායකය තාවකාලිකව ලබා ගත නොහැකි වුවහොත්, මෙය ඔබගේම වෙබ් අඩවියට කිසිදු ආකාරයකින් බලපාන්නේ නැත. මෙම වාසි තිබියදීත්, මම පළමු ක්රමය තෝරා ගත්තේ එය සරල, වේගවත් හා තාක්ෂණික කුසලතා අවශ්ය නොවන බැවිනි. මගේ ආදර්ශය අනුගමනය කරන්න, මිනිත්තු 5 ක් ඇතුළත ඔබට ඔබේ වෙබ් අඩවියේ MathJax හි සියලුම විශේෂාංග භාවිතා කිරීමට හැකි වනු ඇත.

ප්‍රධාන MathJax වෙබ් අඩවියෙන් හෝ ලේඛන පිටුවෙන් ලබාගත් කේත විකල්ප දෙකක් භාවිතයෙන් ඔබට දුරස්ථ සේවාදායකයකින් MathJax පුස්තකාල ස්ක්‍රිප්ට් සම්බන්ධ කළ හැක:

මෙම කේත විකල්පයන්ගෙන් එකක් ඔබේ වෙබ් පිටුවේ කේතයට පිටපත් කර ඇලවිය යුතුය, වඩාත් සුදුසු ටැග් අතර හානැතහොත් ටැගයට පසුව . පළමු විකල්පයට අනුව, MathJax වේගයෙන් පූරණය වන අතර පිටුව අඩුවෙන් මන්දගාමී වේ. නමුත් දෙවන විකල්පය ස්වයංක්‍රීයව MathJax හි නවතම අනුවාද ලුහුබැඳ පූරණය කරයි. ඔබ පළමු කේතය ඇතුල් කරන්නේ නම්, එය වරින් වර යාවත්කාලීන කිරීමට අවශ්ය වනු ඇත. ඔබ දෙවන කේතය අලවන්නේ නම්, පිටු වඩාත් සෙමින් පූරණය වනු ඇත, නමුත් ඔබට MathJax යාවත්කාලීන කිරීම් නිරන්තරයෙන් නිරීක්ෂණය කිරීමට අවශ්‍ය නොවනු ඇත.

MathJax සම්බන්ධ කිරීමට ඇති පහසුම ක්‍රමය වන්නේ Blogger හෝ WordPress: අඩවි පාලන පැනලය තුළ, තුන්වන පාර්ශ්ව ජාවාස්ක්‍රිප්ට් කේතය ඇතුළු කිරීමට නිර්මාණය කර ඇති විජට් එකක් එක් කරන්න, ඉහත ලෝඩ් කේතයේ පළමු හෝ දෙවන අනුවාදය එයට පිටපත් කර, විජට් එක ආසන්නයේ තබන්න. අච්චුවේ ආරම්භය (මාර්ගය වන විට, මෙය කිසිසේත්ම අවශ්‍ය නොවේ , MathJax ස්ක්‍රිප්ට් එක අසමමුහුර්තව පටවා ඇති බැවින්). එච්චරයි. දැන් MathML, LaTeX, සහ ASCIIMathML මාර්ක්අප් සින්ටැක්ස් ඉගෙන ගන්න, ඔබ ඔබේ වෙබ් පිටුවලට ගණිත සූත්‍ර කාවැද්දීමට සූදානම්.

ඕනෑම ෆ්රැක්ටල් ගොඩනගා ඇත නිශ්චිත රීතිය, අනුක්‍රමිකව අසීමිත වාර ගණනක් යොදනු ලැබේ. එවැනි සෑම වේලාවක්ම පුනරාවර්තනයක් ලෙස හැඳින්වේ.

මෙන්ගර් ස්පොන්ජියක් තැනීම සඳහා පුනරාවර්තන ඇල්ගොරිතම තරමක් සරල ය: 1 පැත්ත සහිත මුල් ඝනකයක් එහි මුහුණුවලට සමාන්තරව ගුවන් යානා මගින් සමාන ඝනක 27 කට බෙදා ඇත. එක් මධ්යම ඝනකයක් සහ මුහුණු දිගේ එයට යාබදව ඇති ඝනක 6 ක් එයින් ඉවත් කරනු ලැබේ. එය ඉතිරි කුඩා කැට 20 කින් සමන්විත කට්ටලයක් බවට පත්වේ. මෙම එක් එක් ඝනකයක් සමඟම එසේ කිරීමෙන්, අපට කුඩා කැට 400 කින් සමන්විත කට්ටලයක් ලැබේ. මෙම ක්රියාවලිය දින නියමයක් නොමැතිව දිගටම කරගෙන යාම, අපි මෙන්ගර් ස්පොන්ජිය ලබා ගනිමු.

විකර්ණ ආකාරයේ න්‍යාස ඉතා සරලව සකස් කර ඇත. රේඛීය ක්‍රියාකරුගේ න්‍යාසයට විකර්ණ ස්වරූපයක් ඇති පදනමක් සොයාගත හැකිද යන ප්‍රශ්නය පැන නගී. එවැනි පදනමක් පවතී.
රේඛීය අවකාශයක් R n සහ එහි ක්‍රියා කරන රේඛීය ක්‍රියාකරු A ලබා දෙමු; මෙම අවස්ථාවෙහිදී, A ක්රියාකරු R n තමා තුළට ගනී, එනම් A:R n → R n .

අර්ථ දැක්වීම. ශුන්‍ය නොවන දෛශිකයක් A ක්‍රියාකරුගේ දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ නම් A ක්‍රියාකරු එයට දෛශික collinear බවට පරිවර්තනය කරයි නම්, එනම්, . λ අංකය eigenvactor ට අනුරූප වන A ක්‍රියාකරුගේ eigenvalue හෝ eigenvalue ලෙස හැඳින්වේ.
Eigenvalues ​​සහ eigenvectors හි සමහර ගුණාංග අපි සටහන් කරමු.
1. අයිගන් දෛශිකවල ඕනෑම රේඛීය සංයෝජනයක් ක්‍රියාකරුගේ A එකම අයිගන් අගයට අනුරූප වන λ යනු එකම අයිගන් අගයක් සහිත අයිගන් දෛශිකයකි.
2. Eigenvectors යුගල වශයෙන් වෙනස් අයිගන් අගයන් සහිත λ 1, λ 2, ..., λ m රේඛීයව ස්වාධීන වේ.
3. eigenvalues ​​λ 1 =λ 2 = λ m = λ නම්, eigenvalue λ රේඛීය ස්වාධීන අයිගන් දෛශික m ට වඩා අනුරූප නොවේ.

එබැවින්, n රේඛීය ස්වාධීන අයිගන් දෛශික තිබේ නම් විවිධ eigenvalues ​​λ 1, λ 2, ..., λ n වලට අනුරූප වේ, එවිට ඒවා රේඛීයව ස්වාධීන වේ, එබැවින් ඒවා R n අවකාශයේ පදනම ලෙස ගත හැකිය. රේඛීය ක්‍රියාකරු A හි න්‍යාසයේ ස්වරූපය එහි අයිගන් දෛශිකවල පදනමින් සොයා ගනිමු, ඒ සඳහා අපි A පාදක දෛශික මත ක්‍රියා කරන A සමඟ ක්‍රියා කරමු: එවිට .
මේ අනුව, එහි අයිගන් දෛශිකවල පදනම මත රේඛීය ක්‍රියාකරු A හි න්‍යාසයට විකර්ණ ස්වරූපයක් ඇති අතර A ක්‍රියාකරුගේ අයිගන් අගයන් විකර්ණය මත වේ.
අනුකෘතියට විකර්ණ ස්වරූපයක් ඇති තවත් පදනමක් තිබේද? මෙම ප්‍රශ්නයට පිළිතුර පහත ප්‍රමේය මගින් ලබා දේ.

ප්රමේයය. A පදනමේ (i = 1..n) රේඛීය ක්‍රියාකරුගේ න්‍යාසයට විකර්ණ ආකාරයක් ඇත, පදනමේ සියලුම දෛශික A ක්‍රියාකරුගේ අයිගන් දෛශික නම් සහ පමණි.

eigenvalues ​​සහ eigenvectors සොයා ගැනීමේ රීතිය

දෛශිකයට ඉඩ දෙන්න , x 1 , x 2 , ..., x n - පදනමට සාපේක්ෂව දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සහ eigenvalue λ ට අනුරූප වන රේඛීය ක්‍රියාකරු A හි අයිගන් දෛශිකය වේ, i.e. මෙම සම්බන්ධතාවය matrix ආකාරයෙන් ලිවිය හැක

. (*)

සමීකරණය (*) සොයා ගැනීම සඳහා සමීකරණයක් ලෙස සැලකිය හැකි අතර, එනම්, අයිගන් දෛශිකය ශුන්‍ය විය නොහැකි බැවින් අපි සුළු නොවන විසඳුම් ගැන උනන්දු වෙමු. සමජාතීය පද්ධතියක සුළු නොවන විසඳුම් බව දන්නා කරුණකි රේඛීය සමීකරණපවතිනුයේ det(A - λE) = 0 නම් සහ පමණි. මේ අනුව, λ ක්‍රියාකරු A හි eigenvalue එකක් වීමට det(A - λE) = 0 අවශ්‍ය වේ.
සමීකරණය (*) ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන් විස්තරාත්මකව ලියා ඇත්නම්, අපට රේඛීය පද්ධතියක් ලැබේ. සමජාතීය සමීකරණ:

(1)
කොහෙද රේඛීය ක්රියාකරුගේ න්යාසය වේ.

පද්ධතිය (1) එහි නිර්ණායකය D ශුන්‍යයට සමාන නම් ශුන්‍ය නොවන ද්‍රාවණයක් ඇත

අයිජන් අගයන් සෙවීම සඳහා අපට සමීකරණයක් ලැබුණි.
මෙම සමීකරණය ලාක්ෂණික සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ, සහ එහි වම් පැත්ත- න්‍යාසයේ ලාක්ෂණික බහුපද (ක්‍රියාකරු) A. ලාක්ෂණික බහුපදයට සැබෑ මූලයන් නොමැති නම්, A න්‍යාසයට අයිගන් දෛශික නොමැති අතර විකර්ණ ස්වරූපයකට අඩු කළ නොහැක.
λ 1 , λ 2 , ..., λ n ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සැබෑ මූලයන් වන අතර, ඒවා අතර ගුණාකාර තිබිය හැක. මෙම අගයන් පද්ධතියට (1) ආදේශ කිරීමෙන්, අපි අයිගන් දෛශික සොයා ගනිමු.

උදාහරණ 12. රේඛීය ක්‍රියාකරු A R 3 හි නීතියට අනුව ක්‍රියා කරයි, එහිදී x 1, x 2, .., x n යනු දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක වේ. , , . මෙම ක්‍රියාකරුගේ eigenvalues ​​සහ eigenvectors සොයන්න.
විසඳුමක්. අපි මෙම ක්‍රියාකරුගේ අනුකෘතිය ගොඩනඟමු:
.
අයිගන් දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක තීරණය කිරීම සඳහා අපි පද්ධතියක් සම්පාදනය කරමු:

සම්පාදනය කිරීම ලක්ෂණ සමීකරණයසහ එය විසඳන්න:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
පද්ධතියට λ = -1 ආදේශ කිරීම, අපට ඇත්තේ:
හෝ
නිසා , එවිට පරායත්ත විචල්‍ය දෙකක් සහ එක් නිදහස් විචල්‍යයක් ඇත.
x 1 නිදහස් නොදන්නා එකක් වීමට ඉඩ දෙන්න අපි මෙම පද්ධතිය ඕනෑම ආකාරයකින් විසඳා සොයා ගනිමු පොදු තීරණයමෙම පද්ධතිය: මූලික පද්ධතිය n - r = 3 - 2 = 1 නිසා විසඳුම් එක් විසඳුමකින් සමන්විත වේ.
eigenvalue λ = -1 ට අනුරූප අයිගන් දෛශික කුලකයට පෝරමය ඇත: , x 1 යනු ශුන්‍ය නොවන ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් වේ. අපි මෙම කට්ටලයෙන් එක් දෛශිකයක් තෝරා ගනිමු, උදාහරණයක් ලෙස, x 1 = 1 සැකසීමෙන්: .
ඒ හා සමානව තර්ක කරමින්, අපි eigenvalue λ = 3 ට අනුරූප වන අයිගන් දෛශිකය සොයා ගනිමු: .
R 3 අවකාශයේ පදනම රේඛීයව ස්වාධීන දෛශික තුනකින් සමන්විත වේ, නමුත් අපි ලබාගෙන ඇත්තේ රේඛීය ස්වාධීන අයිගන් දෛශික දෙකක් පමණි, එයින් R 3 හි පදනම සෑදිය නොහැක. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, රේඛීය ක්‍රියාකරුගේ න්‍යාස A විකර්ණ ආකාරයකට අඩු කළ නොහැක.

උදාහරණ 13 අනුකෘතියක් ලබා දී ඇත .
1. දෛශිකය බව ඔප්පු කරන්න න්‍යාසය A හි අයිගන් දෛශිකයකි. මෙම අයිගන් දෛශිකයට අනුරූප අයිගන් අගය සොයන්න.
2. න්‍යාස A හි විකර්ණ ආකාරයක් ඇති පදනමක් සොයන්න.
විසඳුමක්.
1. නම්, එය අයිගන් දෛශිකයකි

.
දෛශිකය (1, 8, -1) යනු අයිගන් දෛශිකයකි. Eigenvalue λ = -1.
න්‍යාසයට අයිගන් දෛශික වලින් සමන්විත පදනමේ විකර්ණ ස්වරූපයක් ඇත. ඔවුන්ගෙන් එක් කෙනෙක් ප්රසිද්ධයි. ඉතුරු ටික හොයාගමු.
අපි පද්ධතියෙන් eigenvectors සොයන්නෙමු:

ලාක්ෂණික සමීකරණය: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Eigenvalue λ = -3 ට අනුරූප අයිගන් දෛශිකය සොයන්න:

මෙම පද්ධතියේ න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය දෙකට සමාන වන අතර එය නොදන්නා සංඛ්‍යාවට සමාන වේ, එබැවින් මෙම පද්ධතියට ඇත්තේ ශුන්‍ය ද්‍රාවණයක් පමණි x 2 = 1. මේ අනුව, දෛශිකය (0 ,1,0) යනු λ = -3 ට අනුරූප වන අයිගන් දෛශිකයකි. අපි පරීක්ෂා කරමු:
.
λ = 1 නම්, අපි පද්ධතිය ලබා ගනිමු
අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය දෙකකි. අවසාන සමීකරණය හරස් කරන්න.
x 3 නොමිලේ නොදන්නා දේ වීමට ඉඩ දෙන්න. ඉන්පසු x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3.
x 3 = 1 යැයි උපකල්පනය කළහොත්, අප සතුව (-3,-9,1) - eigenvalue λ = 1 ට අනුරූප වන අයිගන් දෛශිකයක් ඇත. පරීක්ෂා කරන්න:

.
අයිගන් අගයන් සැබෑ සහ වෙනස් බැවින් ඒවාට අනුරූප දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වන බැවින් ඒවා R 3 හි පදනම ලෙස ගත හැකිය. මේ අනුව, පදනම තුළ , , matrix A ආකෘතිය ඇත:
.
රේඛීය ක්‍රියාකරුගේ සෑම අනුකෘතියක්ම A:R n → R n විකර්ණ ආකාරයක් දක්වා අඩු කළ නොහැක, මන්ද සමහර රේඛීය ක්‍රියාකරුවන් සඳහා රේඛීය ස්වාධීන අයිගන් දෛශික n ට වඩා අඩු විය හැක. කෙසේ වෙතත්, න්‍යාසය සමමිතික නම්, හරියටම m රේඛීය ස්වාධීන දෛශික m ගුණිත සමීකරණයේ මූලයට අනුරූප වේ.

අර්ථ දැක්වීම. සමමිතික අනුකෘතිය ලෙස හැඳින්වේ හතරැස් අනුකෘතිය, එහි ප්‍රධාන විකර්ණය පිළිබඳ සමමිතික මූලද්‍රව්‍ය සමාන වේ, එනම් .
අදහස්. 1. සමමිතික න්‍යාසයක සියලුම eigenvalues ​​සැබෑ වේ.
2. යුගල වශයෙන් වෙනස් අයිගන් අගයන්ට අනුරූප වන සමමිතික න්‍යාසයක Eigenvectors විකලාංග වේ.
අධ්‍යයනය කරන ලද උපකරණයේ බොහෝ යෙදුම් වලින් එකක් ලෙස, දෙවන පෙළ වක්‍රයක ස්වරූපය තීරණය කිරීමේ ගැටලුව අපි සලකා බලමු.

අර්ථ දැක්වීම 9.3.දෛශිකය x කියලා තමන්ගේම දෛශිකය matrices නමුත්එවැනි අංකයක් තිබේ නම් λ, සමානාත්මතාවය පවතින බව: නමුත් x= λ x, එනම්, අයදුම් කිරීමේ ප්රතිඵලය x අනුකෘතිය මගින් ලබා දෙන රේඛීය පරිවර්තනය නමුත්, මෙම දෛශිකය අංකයෙන් ගුණ කිරීම වේ λ . අංකයම λ කියලා තමන්ගේම අංකය matrices නමුත්.

සූත්‍රවලට ආදේශ කිරීම (9.3) x` j = λx j ,අයිගන් දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක තීරණය කිරීම සඳහා අපි සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු:

. (9.5)

මෙම රේඛීය සමජාතීය පද්ධතියඇති වනු ඇත සුළු නොවන විසඳුමක්එහි ප්‍රධාන නිර්ණායකය 0 (Cramer's rule) නම් පමණි. මෙම කොන්දේසිය පෝරමයේ ලිවීමෙන්:

අයිගන් අගයන් නිර්ණය කිරීම සඳහා අපට සමීකරණයක් ලැබේ λ කියලා ලක්ෂණ සමීකරණය. කෙටියෙන්, එය පහත පරිදි නිරූපණය කළ හැකිය:

| A-λE | = 0, (9.6)

මන්ද එහි වම් පැත්ත න්‍යාසයේ නිර්ණායකය වේ A-λE. සම්බන්ධයෙන් බහුපද λ | A-λE| කියලා ලක්ෂණ බහුපද matrices A.

ලාක්ෂණික බහුපදයේ ගුණ:

1) රේඛීය පරිවර්තනයක ලාක්ෂණික බහුපද පදනමේ තේරීම මත රඳා නොපවතී. සාක්ෂි. (බලන්න (9.4)), නමුත් ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, . මේ අනුව, පදනම තෝරා ගැනීම මත රඳා නොපවතී. එබැවින්, සහ | A-λE| නව පදනමකට මාරුවීම මත වෙනස් නොවේ.

2) matrix නම් නමුත්රේඛීය පරිවර්තනය වේ සමමිතික(එම. a ij = a ji), එවිට ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සියලු මූලයන් (9.6) තාත්වික සංඛ්යා වේ.

Eigenvalues ​​සහ eigenvectors හි ගුණ:

1) අපි අයිගන් දෛශික වලින් පදනමක් තෝරා ගන්නේ නම් x 1, x 2, x 3 eigenvalues ​​වලට අනුරූප වේ λ 1, λ 2, λ 3 matrices නමුත්, පසුව මෙම පදනමේ රේඛීය පරිවර්තනය A හි විකර්ණ න්‍යාසයක් ඇත:

(9.7) මෙම දේපල පිළිබඳ සාක්ෂිය අයිගන් දෛශිකයන්ගේ නිර්වචනයෙන් පහත දැක්වේ.

2) පරිවර්තනය eigenvalues ​​නම් නමුත්වෙනස් වේ, එවිට ඒවාට අනුරූප වන අයිගන් දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වේ.

3) අනුකෘතියේ ලාක්ෂණික බහුපද නම් නමුත්වෙනස් මූල තුනක් ඇත, පසුව යම් පදනමකින් matrix නමුත්විකර්ණ හැඩයක් ඇත.

න්‍යාසයේ eigenvalues ​​සහ eigenvectors සොයා ගනිමු ලාක්ෂණික සමීකරණය කරමු: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

එක් එක් සොයාගත් අගයට අනුරූප වන අයිගන් දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක සොයන්න λ. (9.5) සිට එය අනුගමනය කරන්නේ නම් x (1) ={x 1, x 2, x 3) යනු අයිගන් දෛශිකයට අනුරූප වේ λ 1 = -2, එවිට

සහයෝගී නමුත් අවිනිශ්චිත පද්ධතියකි. එහි විසඳුම ලෙස ලිවිය හැකිය x (1) ={ඒ,0,-ඒ), a යනු ඕනෑම අංකයකි. විශේෂයෙන්, ඔබට එය අවශ්ය නම් | x (1) |=1, x (1) =

පද්ධතියට ආදේශ කිරීම (9.5) λ 2 =3, අපට දෙවන අයිගන් දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක තීරණය කිරීම සඳහා පද්ධතියක් ලැබේ - x (2) ={y1,y2,y3}:

, කොහෙද x (2) ={b,-b,b) හෝ, සපයා ඇති | x (2) |=1, x (2) =

සදහා λ 3 = 6 අයිගන් දෛශිකය සොයා ගන්න x (3) ={z1, z2, z3}:

, x (3) ={c,2c,c) හෝ සාමාන්‍යකරණය කළ අනුවාදයේ

x (3) = එය දැක ගත හැකිය x (1) x (2) = ab-ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = ක්‍රි.පූ- 2bc + bc= 0. මේ අනුව, මෙම අනුකෘතියේ අයිගන් දෛශික යුගල වශයෙන් විකලාංග වේ.

දේශනය 10

චතුරස්රාකාර ආකෘති සහ සමමිතික න්යාස සමඟ ඔවුන්ගේ සම්බන්ධතාවය. සමමිතික න්‍යාසයක අයිගන් දෛශිකවල ගුණ සහ අයිගන් අගයන්. චතුරස්රාකාර ස්වරූපයක් කැනොනිකල් ආකෘතියකට අඩු කිරීම.

අර්ථ දැක්වීම 10.1.චතුරස්රාකාර ස්වරූපයසැබෑ විචල්යයන් x 1, x 2,..., x nමෙම විචල්‍යයන් සම්බන්ධයෙන් දෙවන උපාධියේ බහුපදයක් ලෙස හැඳින්වේ, එහි නිදහස් පදයක් සහ පළමු උපාධියේ නියමයන් අඩංගු නොවේ.

චතුරස්රාකාර ආකෘති සඳහා උදාහරණ:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

පසුගිය දේශනයේ දී ඇති සමමිතික අනුකෘතියක නිර්වචනය සිහිපත් කරන්න:

අර්ථ දැක්වීම 10.2.වර්ග අනුකෘතිය ලෙස හැඳින්වේ සමමිතික, නම්, එනම්, ප්‍රධාන විකර්ණයට අදාළව න්‍යාස මූලද්‍රව්‍ය සමමිතික නම්.

සමමිතික න්‍යාසයක eigenvalues ​​සහ eigenvectors වල ගුණ:

1) සමමිතික න්‍යාසයක සියලුම අයිගන් අගයන් සැබෑ වේ.

සාක්ෂි (සඳහා n = 2).

අනුකෘතියට ඉඩ දෙන්න නමුත්පෙනෙන්නේ: . අපි ලාක්ෂණික සමීකරණය කරමු:

(10.2) වෙනස්කම් කරන්නා සොයන්න:

එබැවින් සමීකරණයට ඇත්තේ සැබෑ මූලයන් පමණි.

2) සමමිතික අනුකෘතියක අයිගන් දෛශික විකලාංග වේ.

සාක්ෂි (සඳහා n= 2).

අයිගන් දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක සහ සමීකරණ තෘප්තිමත් කළ යුතුය.

". පළමු කොටසෙහි රසායන විද්‍යාව අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා අවම වශයෙන් අවශ්‍ය ප්‍රතිපාදන දක්වා ඇති අතර, දෙවන කොටසෙහි බහුවිචල්‍ය විශ්ලේෂණ ක්‍රම පිළිබඳ ගැඹුරු අවබෝධයක් සඳහා ඔබ දැනගත යුතු කරුණු අඩංගු වේ. ඉදිරිපත් කිරීම Excel වැඩපොතක ඇති උදාහරණ මගින් නිරූපණය කෙරේ. Matrix.xlsමෙම ලේඛනය සමඟ ඇති බව.

උදාහරණ සඳහා සබැඳි එක්සෙල් වස්තූන් ලෙස පෙළෙහි තබා ඇත. මෙම උදාහරණ වියුක්ත ස්වභාවයකි; ඒවා කිසිදු ආකාරයකින් විශ්ලේෂණාත්මක රසායන විද්‍යාවේ ගැටළු සමඟ බැඳී නොමැත. සැබෑ උදාහරණරසායන විද්‍යාවේදී න්‍යාස වීජ ගණිතය භාවිතා කිරීම විවිධ රසායන විද්‍යාත්මක යෙදුම් සඳහා වෙන් කර ඇති අනෙකුත් පාඨවල සාකච්ඡා කෙරේ.

විශ්ලේෂණ රසායන විද්‍යාවේ සිදු කරනු ලබන බොහෝ මිනුම් සෘජු නොවන නමුත් ඒවා වේ වක්ර. මෙයින් අදහස් කරන්නේ අත්හදා බැලීමේදී අපේක්ෂිත විශ්ලේෂණ C (සාන්ද්‍රණය) අගය වෙනුවට වෙනත් අගයක් ලැබෙන බවයි. x(සංඥා) C ට සම්බන්ධ නමුත් සමාන නොවේ, i.e. x(C) ≠ C. රීතියක් ලෙස, යැපීම් වර්ගය x(C) නොදන්නා නමුත් වාසනාවකට මෙන් විශ්ලේෂණ රසායන විද්‍යාවේ බොහෝ මිනුම් සමානුපාතික වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ C හි සාන්ද්‍රණය ලෙස ය ඒවාර, සංඥා X එකම ප්‍රමාණයකින් වැඩි වනු ඇත., i.e. x(ඒ C) = x(C) ඊට අමතරව, සංඥා ද ආකලන වේ, එබැවින් C 1 සහ C 2 සාන්ද්‍රණය සහිත ද්‍රව්‍ය දෙකක් අඩංගු නියැදියක සංඥාව වනු ඇත. එකතුවට සමාන වේඑක් එක් සංරචක වලින් සංඥා, i.e. x(C1 + C2) = x(C1)+ x(C2). සමානුපාතිකත්වය සහ ආකලන එක්ව ලබා දෙයි රේඛීයත්වය. රේඛීයත්වයේ මූලධර්මය නිදර්ශනය කිරීම සඳහා බොහෝ උදාහරණ ලබා දිය හැකි නමුත්, ඒ දෙක සඳහන් කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ. පැහැදිලි උදාහරණ- වර්ණදේහ සහ වර්ණාවලීක්ෂය. විශ්ලේෂණ රසායන විද්‍යාවේ අත්හදාබැලීමේදී ආවේනික වූ දෙවන ලක්ෂණය වේ බහු නාලිකා. නවීන විශ්ලේෂණ උපකරණ එකවර බොහෝ නාලිකා සඳහා සංඥා මනිනු ලබයි. නිදසුනක් ලෙස, ආලෝක සම්ප්රේෂණයේ තීව්රතාවය එකවර තරංග ආයාම කිහිපයක් සඳහා මනිනු ලැබේ, i.e. වර්ණාවලිය. එමනිසා, අත්හදා බැලීමේදී අපි විවිධාකාර සංඥා සමඟ කටයුතු කරමු x 1 , x 2 ,...., x n අධ්‍යයනය යටතේ පවතින පද්ධතියේ පවතින ද්‍රව්‍යවල C 1 ,C 2 , ..., C m සාන්ද්‍රණ කට්ටලය ගුනාංගීකරනය කරයි.

සහල්. 1 වර්ණාවලි

එබැවින්, විශ්ලේෂණාත්මක අත්හදා බැලීම රේඛීයත්වය සහ බහුමානත්වය මගින් සංලක්ෂිත වේ. එබැවින්, පර්යේෂණාත්මක දත්ත දෛශික සහ න්‍යාස ලෙස සලකා ඒවා න්‍යාස වීජ ගණිතයේ උපකරණය භාවිතයෙන් හැසිරවීම පහසු වේ. 4000 සිට 4796 cm–1 දක්වා තරංග ආයාම 200ක් සඳහා ගන්නා ලද වර්ණාවලි තුනක් පෙන්වන උදාහරණයෙන් මෙම ප්‍රවේශයේ ඵලදායිත්වය නිදර්ශනය කෙරේ. පළමුව ( x 1) සහ දෙවන ( x 2) A සහ ​​B ද්‍රව්‍ය දෙකක සාන්ද්‍රණය දන්නා සම්මත සාම්පල සඳහා වර්ණාවලිය ලබා ගන්නා ලදී: පළමු නියැදියේ [A] = 0.5, [B] = 0.1, සහ දෙවන නියැදියේ [A] = 0.2, [ B] = 0.6. නව, නොදන්නා නියැදියක් ගැන කුමක් කිව හැකිද, එහි වර්ණාවලිය දක්වා ඇත x 3 ?

පර්යේෂණාත්මක වර්ණාවලි තුනක් සලකා බලන්න x 1 , x 2 සහ x 200 මානයේ දෛශික තුනක් ලෙස 3. රේඛීය වීජ ගණිතය භාවිතයෙන් කෙනෙකුට පහසුවෙන් එය පෙන්විය හැක. x 3 = 0.1 x 1 +0.3 x 2 , එබැවින් තුන්වන නියැදියේ පැහැදිලිවම අඩංගු වන්නේ A සහ ​​B සාන්ද්‍රණයන් [A] = 0.5×0.1 + 0.2×0.3 = 0.11 සහ [B] = 0.1×0.1 + 0.6×0.3 = 0.19.

1. මූලික තොරතුරු

1.1 න්‍යාස

Matrixඋදාහරණයක් ලෙස, සෘජුකෝණාස්රාකාර සංඛ්යා වගුවක් ලෙස හැඳින්වේ

සහල්. 2 Matrix

න්‍යාස විශාල තද අකුරු වලින් දැක්වේ ( ඒ), සහ ඒවායේ මූලද්රව්ය - අනුරූප වේ කුඩා නඩුවදර්ශක සමඟ, i.e. ඒ ij පළමු දර්ශකය පේළි සහ දෙවන අංකය තීරු අංක කරයි. රසායන විද්‍යාවේදී, දැක්වීම සිරිතකි උපරිම අගයදර්ශකයට සමාන අකුරක් සහිත, නමුත් විශාල කර ඇත. එබැවින්, අනුකෘතිය ඒලෙසද ලිවිය හැක ( ඒ ij , මම = 1,..., මම; j = 1,..., ජේ) උදාහරණයක් matrix සඳහා මම = 4, ජේ= 3 සහ ඒ 23 = −7.5.

අංක යුගලය මමහා ජේන්‍යාසයේ මානය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර එය ලෙස දැක්වේ මම× ජේ. රසායන විද්‍යාවේ න්‍යාසයකට උදාහරණයක් ලෙස ලබාගත් වර්ණාවලි කට්ටලයකි මමසාම්පල මත ජේතරංග ආයාමයන්.

1.2 matrices සමඟ සරලම මෙහෙයුම්

Matrices පුළුවන් සංඛ්යා මගින් ගුණ කරන්න. මෙම අවස්ථාවේදී, එක් එක් මූලද්රව්යය මෙම සංඛ්යාවෙන් ගුණ කරනු ලැබේ. උදාහරණ වශයෙන් -

සහල්. 3 න්‍යාසයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම

එකම මානයක න්‍යාස දෙකක් මූලද්‍රව්‍ය අනුව විය හැක ගුණ කරන්නහා අඩු කරන්න. උදාහරණ වශයෙන්,

සහල්. 4 Matrix එකතු කිරීම

සංඛ්‍යාවකින් සහ එකතු කිරීමෙන් ගුණ කිරීමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස එකම මානයක න්‍යාසයක් ලැබේ.

ශුන්‍ය න්‍යාසයක් යනු ශුන්‍ය වලින් සමන්විත න්‍යාසයකි. එය නම් කර ඇත ඕ. ඒක පැහැදිලියි ඒ+ඕ = ඒ, ඒ−ඒ = ඕසහ 0 ඒ = ඕ.

matrix එකට පුළුවන් මාරු කරන්න. මෙම මෙහෙයුම අතරතුර, අනුකෘතිය පෙරළනු ලැබේ, i.e. පේළි සහ තීරු මාරු කර ඇත. සංක්‍රාන්තිය ඉරක් මගින් දැක්වේ, ඒ"හෝ දර්ශකය ඒටී . මේ අනුව, නම් ඒ = {ඒ ij , මම = 1,..., මම; j = 1,...,ජේ), එවිට ඒ t = ( ඒ ji , j = 1,...,ජේ; i = 1,..., මම) උදාහරණ වශයෙන්

සහල්. 5 න්‍යාස මාරු කිරීම

එය පැහැදිලිය ( ඒ t) t = ඒ, (ඒ+බී) ටී = ඒ t+ බීටී .

1.3 Matrix ගුණ කිරීම

Matrices පුළුවන් ගුණ කරන්න, නමුත් ඒවාට සුදුසු මානයන් තිබේ නම් පමණි. මෙය එසේ වන්නේ මන්දැයි අර්ථ දැක්වීමෙන් පැහැදිලි වනු ඇත. Matrix නිෂ්පාදනය ඒ, මානය මම× කේ, සහ matrices බී, මානය කේ× ජේ, matrix ලෙස හැඳින්වේ සී, මානය මම× ජේ, එහි මූලද්‍රව්‍ය සංඛ්‍යා වේ

එබැවින් නිෂ්පාදනය සඳහා ABවම් න්‍යාසයේ ඇති තීරු ගණන අවශ්‍ය වේ ඒදකුණු න්‍යාසයේ පේළි ගණනට සමාන විය බී. Matrix නිෂ්පාදන උදාහරණය -

Fig.6 න්‍යාසවල නිෂ්පාදිතය

අනුකෘති ගුණ කිරීමේ රීතිය පහත පරිදි සකස් කළ හැක. අනුකෘතියක මූලද්‍රව්‍යයක් සොයා ගැනීමට සීමංසන්ධියේ සිටගෙන මම-වන පේළිය සහ j-වන තීරුව ( c ij) මූලද්‍රව්‍යයෙන් මූලද්‍රව්‍ය ගුණ කළ යුතුය මම- පළමු අනුකෘතියේ පේළිය ඒමත j-දෙවන අනුකෘතියේ තීරුව බීසහ සියලු ප්රතිඵල එකතු කරන්න. එබැවින් පෙන්වා ඇති උදාහරණයේ, තුන්වන පේළියේ සහ දෙවන තීරුවේ ඇති මූලද්‍රව්‍යය තුන්වන පේළියේ මූලද්‍රව්‍ය අනුව නිෂ්පාදනවල එකතුව ලෙස ලබා ගනී. ඒසහ දෙවන තීරුව බී

Fig.7 න්‍යාසවල ගුණිතයේ මූලද්‍රව්‍යය

න්‍යාසවල නිෂ්පාදිතය අනුපිළිවෙල මත රඳා පවතී, i.e. AB ≠ BA, අවම වශයෙන් මාන හේතු සඳහා. සංක්‍රමණ නොවන බව කියනු ලැබේ. කෙසේ වෙතත්, න්‍යාසවල නිෂ්පාදිතය ආශ්‍රිත වේ. එහි තේරුම එයයි ABC = (AB)සී = ඒ(ක්රි.පූ) එපමනක් නොව, එය ද බෙදා හැරීම, i.e. ඒ(බී+සී) = AB+AC. ඒක පැහැදිලියි AO = ඕ.

1.4 හතරැස් matrices

න්‍යාසයක තීරු ගණන එහි පේළි ගණනට සමාන නම් ( මම = J=N), එවිට එවැනි අනුකෘතියක් වර්ග ලෙස හැඳින්වේ. මෙම කොටසේදී, අපි සලකා බලන්නේ එවැනි matrices පමණි. මෙම න්‍යාස අතර, කෙනෙකුට විශේෂ ගුණ ඇති න්‍යාස වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය.

හුදකලාන්‍යාසය (නිරූපිත මමසහ සමහර විට ඊ) යනු 1 ට සමාන වන විකර්ණ ඒවා හැර, සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍යයට සමාන වන න්‍යාසයකි, i.e.

පැහැදිලිවම AI = IA = ඒ.

අනුකෘතිය ලෙස හැඳින්වේ විකර්ණ, විකර්ණ ඒවා හැර එහි සියලුම මූලද්‍රව්‍ය නම් ( ඒ ii) ශුන්‍යයට සමාන වේ. උදාහරණ වශයෙන්

සහල්. 8 විකර්ණ අනුකෘතිය

Matrix ඒඉහළ ලෙස හැඳින්වේ ත්රිකෝණාකාර, විකර්ණයට පහළින් පිහිටා ඇති එහි සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍යයට සමාන නම්, i.e. ඒ ij= 0, at මම>j. උදාහරණ වශයෙන්

සහල්. 9 ඉහළ ත්රිකෝණාකාර අනුකෘතිය

පහළ ත්රිකෝණාකාර අනුකෘතිය සමාන ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත.

Matrix ඒකියලා සමමිතික, නම් ඒ t = ඒ. වෙනත් විදිහකින් ඒ ij = ඒ ji. උදාහරණ වශයෙන්

සහල්. 10 සමමිතික අනුකෘතිය

Matrix ඒකියලා විකලාංග, නම්

ඒටී ඒ = AA t = මම.

අනුකෘතිය ලෙස හැඳින්වේ සාමාන්යනම්

1.5 ලුහුබැඳීම සහ නිර්ණය කිරීම

අනුගමනයහතරැස් අනුකෘතිය ඒ(නිරූපිත Tr( ඒ) හෝ Sp( ඒ)) යනු එහි විකර්ණ මූලද්‍රව්‍යවල එකතුවයි,

උදාහරණ වශයෙන්,

සහල්. 11 Matrix හෝඩුවාවක්

ඒක පැහැදිලියි

Sp(α ඒ) = α Sp( ඒ) හා

Sp( ඒ+බී) = Sp( ඒ)+ Sp( බී).

ඒක පෙන්නන්න පුළුවන්

Sp( ඒ) = Sp( ඒ t), Sp( මම) = එන්,

ඒ වගේම

Sp( AB) = Sp( BA).

වෙනත් වැදගත් ලක්ෂණයහතරැස් අනුකෘතිය එහි වේ නිර්ණායකය(det මගින් දක්වනු ලැබේ) ඒ)) තුළ නිර්ණායකයේ නිර්වචනය සාමාන්ය නඩුවතරමක් සංකීර්ණයි, එබැවින් අපි සරලම විකල්පය සමඟ ආරම්භ කරමු - matrix ඒමානය (2×2). ඉන්පසු

(3×3) න්‍යාසයක් සඳහා, නිර්ණායකය සමාන වේ

අනුකෘතියක් සම්බන්ධයෙන් ( එන්× එන්) නිර්ණායකය 1 2 3 එකතුව ලෙස ගණනය කෙරේ ... එන්= එන්! නියමයන්, ඒ සෑම එකක්ම සමාන වේ

දර්ශක කේ 1 , කේ 2 ,..., kNහැකි සියලුම ඇණවුම් ප්‍රතිවර්තන ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත ආර්කට්ටලයේ අංක (1, 2, ... , එන්) න්‍යාස නිර්ණායකය ගණනය කිරීම සංකීර්ණ ක්‍රියා පටිපාටියක් වන අතර එය ප්‍රායෝගිකව විශේෂ වැඩසටහන් භාවිතයෙන් සිදු කෙරේ. උදාහරණ වශයෙන්,

සහල්. 12 අනුකෘති නිර්ණය

අපි පැහැදිලි ගුණාංග පමණක් සටහන් කරමු:

det( මම) = 1, det( ඒ) = det( ඒටී),

det( AB) = det( ඒ)det( බී).

1.6 දෛශික

න්‍යාසයට ඇත්තේ එක් තීරුවක් පමණක් නම් ( ජේ= 1), එවිට එවැනි වස්තුවක් ලෙස හැඳින්වේ දෛශිකය. වඩාත් නිවැරදිව, තීරු දෛශිකයකි. උදාහරණ වශයෙන්

උදාහරණයක් ලෙස එක් පේළියකින් සමන්විත න්‍යාස ද සලකා බැලිය හැකිය

මෙම වස්තුව ද දෛශිකයකි, නමුත් පේළි දෛශිකය. දත්ත විශ්ලේෂණය කිරීමේදී, අප ගනුදෙනු කරන්නේ කුමන දෛශිකද යන්න තේරුම් ගැනීම වැදගත්ය - තීරු හෝ පේළි. එබැවින් එක් සාම්පලයක් සඳහා ගන්නා වර්ණාවලිය පේළි දෛශිකයක් ලෙස සැලකිය හැකිය. එවිට සියලුම සාම්පල සඳහා යම් තරංග ආයාමයක වර්ණාවලි තීව්‍රතා කට්ටලය තීරු දෛශිකයක් ලෙස සැලකිය යුතුය.

දෛශිකයක මානය යනු එහි මූලද්‍රව්‍ය ගණනයි.

ඕනෑම තීරු දෛශිකයක් මාරුවෙන් මාරුවට පේළි දෛශිකයක් බවට පරිවර්තනය කළ හැකි බව පැහැදිලිය, i.e.

දෛශිකයක ස්වරූපය නිශ්චිතව දක්වා නොමැති නමුත් සරලව දෛශිකයක් කියනු ලබන අවස්ථා වලදී, ඒවා තීරු දෛශිකයක් අදහස් කරයි. අපි ද මෙම රීතිය පිළිපදින්නෙමු. දෛශිකයක් කුඩා අකුරු සෘජු තද අකුරකින් දැක්වේ. ශුන්‍ය දෛශිකයක් යනු ශුන්‍යයට සමාන වන සියලුම මූලද්‍රව්‍ය දෛශිකයකි. එය දක්වා ඇත 0 .

1.7 දෛශික සමඟ සරලම මෙහෙයුම්

දෛශික න්‍යාස වලට සමාන ලෙස සංඛ්‍යා වලින් එකතු කර ගුණ කල හැක. උදාහරණ වශයෙන්,

සහල්. 13 දෛශික සමඟ මෙහෙයුම්

දෛශික දෙකක් xහා yකියලා collinear, එවැනි α අංකයක් තිබේ නම්

1.8 දෛශික නිෂ්පාදන

එකම මානයක දෛශික දෙකක් එන්ගුණ කළ හැක. දෛශික දෙකක් තිබිය යුතුය x = (x 1 , x 2 ,...,x N) t සහ y = (y 1 , y 2 ,...,y N) ටී. "පේළියෙන් තීරුව" ගුණ කිරීමේ රීතියෙන් මඟ පෙන්වනු ලබන අතර, අපට ඒවායින් නිෂ්පාදන දෙකක් සෑදිය හැකිය: xටී yහා xyටී . පළමු කාර්යය

කියලා පරිමාණහෝ අභ්යන්තර. එහි ප්රතිඵලය සංඛ්යාවකි. එය අංකනය ද භාවිතා කරයි ( x,y)= xටී y. උදාහරණ වශයෙන්,

සහල්. 14 අභ්‍යන්තර (පරිමාණ) නිෂ්පාදනය

දෙවන කාර්යය

කියලා බාහිර. එහි ප්‍රතිඵලය මාන න්‍යාසයකි ( එන්× එන්) උදාහරණ වශයෙන්,

සහල්. 15 බාහිර නිෂ්පාදන

දෛශික, පරිමාණ නිෂ්පාදනයක්ශුන්‍යයට සමාන වන ඒවා හැඳින්වේ විකලාංග.

1.9 දෛශික සම්මතය

දෛශිකයක අදිශ ගුණිතය අදිශ වර්ග ලෙස හැඳින්වේ. මෙම අගය

චතුරස්රයක් නිර්වචනය කරයි දිගදෛශිකය x. දිග දැක්වීමට (එසේම හැඳින්වේ සම්මතය vector) අංකනය භාවිතා වේ

උදාහරණ වශයෙන්,

සහල්. 16 දෛශික සම්මතය

ඒකක දිග දෛශිකය (|| x|| = 1) සාමාන්‍යකරණය ලෙස හැඳින්වේ. ශුන්‍ය නොවන දෛශිකය ( x ≠ 0 ) දිගට බෙදීමෙන් සාමාන්යකරණය කළ හැක, i.e. x = ||x|| (x/||x||) = ||x|| ඊ. මෙතන ඊ = x/||x|| සාමාන්‍යකරණය වූ දෛශිකයකි.

දෛශික සියල්ල සාමාන්‍යකරණය වී යුගල වශයෙන් විකලාංග නම් විකලාංග ලෙස හැඳින්වේ.

1.10 දෛශික අතර කෝණය

පරිමාණ නිෂ්පාදනය නිර්වචනය කරයි සහ කෙළවරේදෛශික දෙකක් අතර φ xහා y

දෛශික විකලාංග නම්, cosφ = 0 සහ φ = π/2, සහ ඒවා collinear නම්, cosφ = 1 සහ φ = 0.

1.11. අනුකෘතියක දෛශික නිරූපණය

එක් එක් අනුකෘතිය ඒප්රමාණය මම× ජේදෛශික කට්ටලයක් ලෙස දැක්විය හැක

මෙහි එක් එක් දෛශිකය ඒ jවේ j-වන තීරුව සහ පේළි දෛශිකය බී මමවේ මම- අනුකෘතියේ පේළිය ඒ

1.12 රේඛීයව යැපෙන දෛශික

එකම මානයක දෛශික ( එන්) න්‍යාස මෙන් සංඛ්‍යාවකින් එකතු කර ගුණ කළ හැක. ප්රතිඵලය එකම මානයක දෛශිකයකි. එකම මානයක දෛශික කිහිපයක් තිබිය යුතුය x 1 , x 2 ,...,x K සහ එම සංඛ්‍යා α α 1 , α 2 ,...,α කේ. දෛශිකය

y= α 1 x 1 + α 2 x 2 +...+α කේ x කේ

කියලා රේඛීය සංයෝජනයදෛශික x කේ .

එවැනි ශුන්‍ය නොවන සංඛ්‍යා තිබේ නම් α කේ ≠ 0, කේ = 1,..., කේ, කුමක් y = 0 , එවිට එවැනි දෛශික කට්ටලයක් x කේකියලා රේඛීයව රඳා පවතී. එසේ නොමැති නම්, දෛශික රේඛීය ස්වාධීන ලෙස හැඳින්වේ. උදාහරණයක් ලෙස, දෛශික x 1 = (2, 2) t සහ x 2 = (-1, -1) t රේඛීයව රඳා පවතී, සිට x 1 +2x 2 = 0

1.13 Matrix ශ්‍රේණිය

කට්ටලයක් සලකා බලන්න කේදෛශික x 1 , x 2 ,...,x කේමාන එන්. මෙම දෛශික පද්ධතියේ ශ්‍රේණිය රේඛීය ස්වාධීන දෛශික උපරිම සංඛ්‍යාවයි. උදාහරණයක් ලෙස කට්ටලය තුළ

ඇත්තේ රේඛීය දෙකක් පමණි ස්වාධීන දෛශිකය, උදාහරණ වශයෙන් x 1 සහ x 2, එබැවින් එහි ශ්‍රේණිය 2 වේ.

නිසැකවම, කට්ටලය තුළ ඒවායේ මානයට වඩා වැඩි දෛශික තිබේ නම් ( කේ>එන්), එවිට ඒවා අනිවාර්යයෙන්ම රේඛීයව රඳා පවතී.

Matrix ශ්‍රේණිය(නිලයෙන් දක්වා ඇත) ඒ)) යනු එය සමන්විත වන දෛශික පද්ධතියේ ශ්‍රේණියයි. ඕනෑම න්‍යාසයක් ආකාර දෙකකින් (තීරු දෛශික හෝ පේළි දෛශික) නිරූපණය කළ හැකි වුවද, මෙය ශ්‍රේණිගත අගයට බලපාන්නේ නැත.

1.14. ප්රතිලෝම න්යාසය

හතරැස් අනුකෘතිය ඒඅනන්‍ය වූවක් ඇත්නම් නො පිරිහුණු ලෙස හැඳින්වේ ආපසු හැරවීම matrix ඒ-1, කොන්දේසි අනුව තීරණය වේ

AA −1 = ඒ −1 ඒ = මම.

සියලු න්‍යාස සඳහා ප්‍රතිලෝම න්‍යාසය නොපවතී. පරිහානියට පත් නොවීම සඳහා අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් කොන්දේසියකි

det( ඒ) ≠ 0 හෝ නිලය( ඒ) = එන්.

Matrix inversion යනු විශේෂ වැඩසටහන් ඇති සංකීර්ණ ක්‍රියා පටිපාටියකි. උදාහරණ වශයෙන්,

සහල්. 17 Matrix ප්‍රතිලෝම

අපි සරලම අවස්ථාව සඳහා සූත්‍ර ලබා දෙමු - matrices 2 × 2

matrices නම් ඒහා බීනොපිරිහුණු වේ, එසේ නම්

(AB) −1 = බී −1 ඒ −1 .

1.15 ව්යාජ-ප්රතිලෝම න්යාසය

matrix නම් ඒපිරිහුණු සහ ප්රතිලෝම න්යාසයනොපවතී, සමහර අවස්ථාවලදී ඔබට භාවිතා කළ හැකිය ව්යාජ ප්රතිලෝම matrix, එවැනි matrix ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත ඒ+ බව

AA + ඒ = ඒ.

ව්‍යාජ ප්‍රතිලෝම අනුකෘතිය එකම එක නොවන අතර එහි ආකෘතිය ඉදිකිරීම් ක්‍රමය මත රඳා පවතී. උදාහරණයක් ලෙස, සෘජුකෝණාස්රාකාර අනුකෘතියක් සඳහා, ඔබට Moore-Penrose ක්රමය භාවිතා කළ හැකිය.

තීරු ගණන නම් සංඛ්යාවට වඩා අඩුයරේඛා, පසුව

ඒ + =(ඒටී ඒ) −1 ඒටී

උදාහරණ වශයෙන්,

සහල්. 17a ව්‍යාජ න්‍යාස ප්‍රතිලෝම

තීරු ගණන පේළි ගණනට වඩා වැඩි නම්, එසේ නම්

ඒ + =ඒටී( AAටී) −1

1.16. දෛශිකයක් අනුකෘතියකින් ගුණ කිරීම

දෛශිකය x matrix එකකින් ගුණ කළ හැක ඒසුදුසු මානය. මෙම අවස්ථාවේදී, තීරු දෛශිකය දකුණු පසෙහි ගුණ කරනු ලැබේ පොරව, සහ දෛශික තන්තුව වම් පසින් ඇත xටී ඒ. දෛශිකයේ මානය නම් ජේ, සහ අනුකෘතියේ මානය මම× ජේඑවිට ප්රතිඵලය මානය දෛශිකයකි මම. උදාහරණ වශයෙන්,

සහල්. 18 දෛශික-න්‍යාස ගුණ කිරීම

matrix නම් ඒ- හතරැස් ( මම× මම), පසුව දෛශිකය y = පොරවලෙස සමාන මානයන් ඇත x. ඒක පැහැදිලියි

ඒ(α 1 x 1 + α 2 x 2) = α 1 පොරව 1 + α 2 පොරව 2 .

එබැවින් matrices ලෙස බැලිය හැක රේඛීය පරිවර්තනයන්දෛශික. විශේෂයෙන්ම x = x, ගොනා = 0 .

2. අමතර තොරතුරු

2.1 රේඛීය සමීකරණ පද්ධති

ඉඩ ඒ- matrix ප්රමාණය මම× ජේ, ඒ බී- මාන දෛශිකය ජේ. සමීකරණය සලකා බලන්න

පොරව = බී

දෛශිකය සම්බන්ධයෙන් x, මාන මම. මූලික වශයෙන්, මෙය පද්ධතියකි මමසමඟ රේඛීය සමීකරණ ජේනොදන්නා x 1 ,...,x ජේ. විසඳුමක් පවතින්නේ නම් සහ නම් පමණි

තරාතිරම ( ඒ) = තරාතිරම ( බී) = ආර්,

කොහෙද බීවර්ධිත මාන න්‍යාසයයි මම×( J+1) අනුකෘතියෙන් සමන්විත වේ ඒ, තීරුවකින් පිරවූ බී, බී = (ඒ බී) එසේ නොමැති නම්, සමීකරණ නොගැලපේ.

අ ආර් = මම = ජේ, එවිට විසඳුම අද්විතීයයි

x = ඒ −1 බී.

අ ආර් < මම, එවිට බොහෝ ඇත විවිධ විසඳුම්, රේඛීය සංයෝජනයක් අනුව ප්රකාශ කළ හැක ජේ−ආර්දෛශික. සමජාතීය සමීකරණ පද්ධතිය පොරව = 0 හතරැස් අනුකෘතියක් සමඟ ඒ (එන්× එන්) සුළු නොවන විසඳුමක් ඇත ( x ≠ 0 ) නම් සහ එසේ නම් පමණි ( ඒ) = 0. නම් ආර්= තරාතිරම ( ඒ)<එන්, එහෙනම් තියෙනවා එන්−ආර්රේඛීය ස්වාධීන විසඳුම්.

2.2 ද්වි රේඛීය සහ හතරැස් ආකාර

අ ඒහතරැස් න්‍යාසයකි, සහ xහා y- අනුරූප මානයෙහි දෛශික, පසුව පෝරමයේ අදිශ නිෂ්පාදිතය xටී අයිකියලා ද්වි රේඛීයඅනුකෘතිය මගින් අර්ථ දක්වා ඇති හැඩය ඒ. හිදී x = yප්රකාශනය xටී පොරවකියලා චතුරස්රාකාරආකෘතිය.

2.3 ධනාත්මක නිශ්චිත න්‍යාස

හතරැස් අනුකෘතිය ඒකියලා ධනාත්මක නිශ්චිත, ශුන්‍ය නොවන දෛශිකයක් සඳහා නම් x ≠ 0 ,

xටී පොරව > 0.

එම සෘණ (xටී පොරව < 0), සෘණ නොවන (xටී පොරව≥ 0) සහ ධනාත්මක නොවන (xටී පොරව≤ 0) ඇතැම් න්‍යාස.

2.4 Cholesky වියෝජනය

සමමිතික අනුකෘතිය නම් ඒධනාත්මක නිශ්චිත වේ, එවිට අද්විතීය ත්රිකෝණාකාර අනුකෘතියක් ඇත යූධනාත්මක මූලද්රව්ය සමඟ, ඒ සඳහා

ඒ = යූටී යූ.

උදාහරණ වශයෙන්,

සහල්. 19 Cholesky වියෝජනය

2.5 ධ්රැවීය වියෝජනය

ඉඩ ඒමානයෙහි පරිහානීය නොවන වර්ග න්‍යාසයකි එන්× එන්. එවිට අද්විතීය එකක් ඇත ධ්රැවීයකාර්ය සාධනය

ඒ = SR,

කොහෙද එස්යනු සෘණ නොවන සමමිතික අනුකෘතියකි, සහ ආර්විකලාංග අනුකෘතියකි. matrices එස්හා ආර්පැහැදිලිව අර්ථ දැක්විය හැක:

එස් 2 = AA t හෝ එස් = (AA t) ½ සහ ආර් = එස් −1 ඒ = (AA t) -½ ඒ.

උදාහරණ වශයෙන්,

සහල්. 20 ධ්රැවීය වියෝජනය

matrix නම් ඒපරිහානියට පත් වේ, එවිට වියෝජනය අද්විතීය නොවේ - එනම්: එස්තවමත් තනියම, නමුත් ආර්බොහෝ විය හැක. ධ්‍රැවීය වියෝජනය අනුකෘතියක් නියෝජනය කරයි ඒසම්පීඩන / දිගු සංයෝජනයක් ලෙස එස්සහ හැරෙමින් ආර්.

2.6 Eigenvectors සහ Eigenvalues

ඉඩ ඒහතරැස් න්‍යාසයකි. දෛශිකය vකියලා තමන්ගේම දෛශිකය matrices ඒ, නම්

Av = λ v,

එහිදී λ අංකය හැඳින්වේ eigenvalue matrices ඒ. මේ අනුව, අනුකෘතිය සිදු කරන පරිවර්තනය ඒදෛශිකයට වඩා v, λ සාධකයක් සමඟ සරල දිගු කිරීමකට හෝ සම්පීඩනයකට අඩු වේ. eigenvector නියත α ≠ 0 මගින් ගුණ කිරීම දක්වා තීරණය වේ, i.e. නම් v eigenvector වේ, එවිට α v eigenvector ද වේ.

2.7 Eigenvalues

අනුකෘතියේ ඒ, මානය ( එන්× එන්) වඩා වැඩි විය නොහැක එන් eigenvalues. ඔවුන් සෑහීමකට පත්වේ ලක්ෂණ සමීකරණය

det( ඒ − λ මම) = 0,

වීම වීජීය සමීකරණය එන්-වන නියෝගය. විශේෂයෙන්ම, 2×2 න්‍යාසයක් සඳහා, ලාක්ෂණික සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත

උදාහරණ වශයෙන්,

සහල්. 21 Eigenvalues

eigenvalues ​​කට්ටලය λ 1 ,..., λ එන් matrices ඒකියලා වර්ණාවලිය ඒ.

වර්ණාවලියට විවිධ ගුණ ඇත. විශේෂයෙන්ම

det( ඒ) = λ 1×...×λ එන්, Sp( ඒ) = λ 1 +...+λ එන්.

අත්තනෝමතික න්‍යාසයක eigenvalues ​​සංකීර්ණ සංඛ්‍යා විය හැකි නමුත් න්‍යාසය සමමිතික නම් ( ඒ t = ඒ), එවිට එහි eigenvalues ​​සැබෑ වේ.

2.8 Eigenvectors

අනුකෘතියේ ඒ, මානය ( එන්× එන්) වඩා වැඩි විය නොහැක එන් eigenvectors, ඒ සෑම එකක්ම තමන්ගේම අගයට අනුරූප වේ. අයිගන් දෛශිකය තීරණය කිරීමට v nඔබ සමජාතීය සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳිය යුතුය

(ඒ − λ n මම)v n = 0 .

එය සුළු නොවන විසඳුමක් නිසා det( ඒ-λ n මම) = 0.

උදාහරණ වශයෙන්,

සහල්. 22 අයිගන් දෛශික

සමමිතික අනුකෘතියක අයිගන් දෛශික විකලාංග වේ.