Медіанний розподіл. Структурні характеристики варіаційного ряду розподілу

Медіана (Me)- Значення ознаки, що припадає на середину ранжованого ряду, тобто. ділить ряд розподілу на дві рівні частини.

а) для ряду одиночних значень:

Якщо непарнеу варіант, то серединне значення ранжированном ряду

Якщо парне, то сред.арифмет. з 2х суміжних серединних значень у ранжирів. ряду

б) В дискретному рядурозподілувизначається номер медіани за формулою:

Номер медіани показує значення показника, яке і є медіаною.

в) В інтервальному ряді розподілумедіана розраховується за такою формулою:

x – нижня межа медіанного інтервалу;

i – величина інтервалу;

f – чисельність медіанного інтервалу;

S – сума накопичених частот інтервалів, що передують медіанному.

31. Мода та її практичне значення

Мода (Mo)– величина ознаки, найчастіше що у сукупності, тобто. має найбільшу чисельність у ряді розподілу.

а) У дискретному ряді розподілумода визначається візуально.

б) В інтервальному ряду розподілувізуально можна визначити лише інтервал, в якому укладена мода, який називається модальним інтервалом (той, що має найбільшу частоту).

Мода дорівнюватиме:

x – нижня межа модального інтервалу;

i – величина інтервалу;

f – чисельність модального інтервалу;

Якщо всі значення варіаційного рядумають однакову частоту, то кажуть, що цей варіаційний ряд немає моди. Якщо дві не сусідні варіанти мають однакову домінуючу частоту, то такий варіаційний ряд називають бімодальним; якщо таких варіантів більше двох, то ряд – полімодальний.

32. Показники варіації та способи їх розрахунку

Варіації- коливання, різноманіття, змінність величини ознаки в одиниць сукупності.

Показники варіації поділяються на абсолютні та відносні.

До абсолютним показникамналежать розмах варіації, середнє лінійне відхилення, дисперсія, середнє квадратичне відхилення. До відносним- Коефіцієнти осциляції, коефіцієнти варіації та відносне лінійне відхилення.

Розмах варіації – найпростіший показник, Різниця між максимальним та мінімальним значеннями ознаки.

Недоліком є те, що він оцінює лише межі варіювання ознаки і не відображає його коливання усередині цих кордонів.

Середнє лінійне відхиленнявідбиває всі коливання варіюючого ознаки і є середню арифметичну з абсолютних значень відхилень варіант від середньої величини, т.к. сума відхилень значень ознаки від середньої дорівнює 0, всі відхилення беруться по модулю.

Проста
Зважена

Дисперсія- Середній квадрат відхилень значень ознаки від їх середньої величини.

Проста:
Зважена:

З реднє квадратичне відхилення. Воно визначається як квадратний корінь з дисперсії і має ту ж розмірність, що і ознака, що вивчається.

Проста:
Зважена:
.

Відносні показники

Мода та медіана– особливого роду середні, що використовуються вивчення структури варіаційного ряду. Їх іноді називають структурними середніми, на відміну від розглянутих раніше статечних середніх.

Мода– це величина ознаки (варіанту), яка найчастіше зустрічається у цій сукупності, тобто. має найбільшу частоту.

Мода має велике практичне застосування і часом лише мода може дати характеристику громадських явищ.

Медіана- Це варіанта, яка знаходиться в середині впорядкованого варіаційного ряду.

Медіана показує кількісну межу значення ознаки, що варіює, якої досягла половина одиниць сукупності. Застосування медіани поряд із середньою чи замість неї доцільно за наявності у варіаційному ряду відкритих інтервалів, т.к. для обчислення медіани не потрібно умовне встановлення меж відритих інтервалів, тому відсутність відомостей про них не впливає на точність обчислення медіани.

Медіану застосовують також тоді, коли показники, які потрібно використовувати як ваги, невідомі. Медіану застосовують замість середньої арифметичної за статистичних методів контролю якості продукції. Сума абсолютних відхилень варіанти від медіани менша, ніж від будь-якого іншого числа.

Розглянемо розрахунок моди та медіани у дискретному варіаційному ряду :

Визначити моду та медіану.

Мода Мо = 4 роки, оскільки цього значення відповідає найбільша частота f = 5.

Тобто. Найбільше робочих мають стаж 4 року.

Щоб обчислити медіану, знайдемо попередньо половину суми частот. Якщо сума частот є числом непарним, ми спочатку додаємо до цієї суми одиницю, а потім ділимо навпіл:

Медіаною буде восьма за рахунком варіанта.

Для того, щоб знайти, який варіант буде восьмий за номером, накопичуватимемо частоти до тих пір, поки не отримаємо суму частот, що дорівнює або перевищує половину суми всіх частот. Відповідний варіант і буде медіаною.

Ме = 4 роки.

Тобто. половина робітників має стаж менше чотирьох років, половина більше.

Якщо сума накопичених частот проти одного варіанта дорівнює половині суми частот, то медіана визначається як середня арифметична цієї варіанти та наступної.

Обчислення моди та медіани в інтервальному варіаційному ряду

Мода в інтервальному варіаційному ряду обчислюється за формулою

де Х М0- Початкова межа модального інтервалу,

hм 0 - Величина модального інтервалу,

fм 0 , fм 0-1 , fм 0+1 – частота відповідно модального інтервалу, що передує модальному та наступного.

Модальнимназивається такий інтервал, якому відповідає максимальна частота.

Приклад 1

Групи за стажем	Число робітників, чол	Накопичені частоти

Визначити моду та медіану.

Модальний інтервал, т.к. йому відповідає найбільша частота f = 35.

Хм 0 =6, fм 0 =35

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

На тему: "Мода. Медіана. Способи їхнього розрахунку"

Вступ

Середні величини та пов'язані з ними показники варіації грають у статистиці дуже велику роль, що з предметом її вивчення. Тому дана темає одним із центральних в курсі.

Середня є дуже поширеним узагальнюючим показникам у статистиці. Це пояснюється тим, що тільки за допомогою середньої можна охарактеризувати сукупність за кількісно варіюючим ознакою. Середньою величиноюу статистиці називається узагальнююча характеристика сукупності однотипних явищ за якою-небудь кількісно варіює ознакою. Середня вказує рівень цієї ознаки, віднесений до одиниці сукупності.

Вивчаючи суспільні явища та прагнучи виявити їх характерні, типові риси в конкретних умовах місця та часу, статистики широко використовують середні величини. За допомогою середніх можна порівнювати між собою різні сукупності за ознаками, що варіюють.

Середні, які застосовуються у статистиці, відносяться до класу статечних середніх. Зі статечних середніх найчастіше застосовується середня арифметична, рідше – середня гармонійна; середня гармонічна застосовується лише за обчисленні середніх темпів динаміки, а середня квадратична – лише за обчисленні показників варіації.

Середня арифметична є окреме від поділу суми варіант на їх число. Вона застосовується в тих випадках, коли обсяг ознаки, що варіює, для всієї сукупності утворюється як сума значень ознаки в окремих її одиниць. Середня арифметична – найпоширеніший вид середніх, оскільки він відповідає природі суспільних явищ, де обсяг варіюючих ознак у сукупності найчастіше утворюється як сума значень ознаки в окремих одиниць сукупності.

За своєю визначальною властивістю середня гармонічна повинна застосовуватися тоді, коли загальний обсяг ознаки утворюється як сума обернених значеньваріант. Її застосовують тоді, коли в залежності від матеріалу, що має ваги, доводиться не множити, а ділити на варіанти або, що те ж саме, множити на зворотне їх значення. Середня гармонійна у випадках – це величина зворотна середньої арифметичної зі зворотних значень ознаки.

До середньої гармонійної слід вдаватися у випадках, як у терезах застосовуються не одиниці сукупності – носії ознаки, а твори цих одиниць значення ознаки.

1. Визначення моди та медіани у статистиці

Середні арифметична і гармонійна є узагальнюючими характеристиками сукупності за тією чи іншою ознакою, що варіює. Допоміжними описовими характеристиками розподілу ознаки, що варіює, є мода і медіана.

Модою в статистиці називається величина ознаки (варіанту), яка найчастіше зустрічається у цій сукупності. У варіаційному ряду це буде варіант, що має найбільшу частоту.

Медіанною у статистиці називається варіанта, що знаходиться в середині варіаційного ряду. Медіана ділить ряд навпіл, з обох боків від неї (вгору і вниз) знаходиться однакова кількість одиниць сукупності.

Мода та медіана на відміну від статечних середніх є конкретними характеристиками, їх значення має якась конкретний варіанту варіаційному ряду.

Мода застосовується в тих випадках, коли потрібно охарактеризувати найбільш часто зустрічається величину ознаки. Якщо треба, наприклад, дізнатися найпоширеніший розмір заробітної платина підприємстві, ціну на ринку, за якою було продано найбільша кількістьтоварів, розмір черевиків, що користується найбільшим попитом у споживачів і т.д., у цих випадках вдаються до моди.

Медіана цікава тим, що показує кількісну межу значення ознаки, що варіює, яку досягла половина членів сукупності. Нехай середня вести працівників банку становила 650000 крб. в місяць. Ця характеристика може бути доповнена, якщо ми скажемо, що половина працівників отримала заробітну плату 700 000 руб. і вище, тобто. наведемо медіану. Мода і медіана є типовими характеристиками у випадках, коли взяті сукупності однорідні і великої чисельності.

2. Знаходження моди та медіани у дискретному варіаційному ряду

Знайти моду і медіану в варіаційному ряду, де значення ознаки задані певними числами, не становить великої складності. Розглянемо таблицю 1. з розподілу сімей за кількістю дітей.

Таблиця 1. Розподіл сімей за кількістю дітей

Очевидно, у цьому прикладі модою буде сім'я, яка має двох дітей, тому що цьому значенню варіанти відповідає найбільше сімей. Можуть бути розподіли, де всі варіанти зустрічаються однаково часто, у разі моди немає чи, інакше, можна сказати, що це варіанти однаково модальні. В інших випадках не одна, а два варіанти можуть бути найбільшою частотою. Тоді буде дві моди, розподіл буде бімодальним. Бімодальні розподіли можуть вказувати на якісну неоднорідність сукупності за ознакою, що досліджується.

Щоб знайти медіану в дискретному варіаційному ряді, потрібно суму частот розділити навпіл і до отриманого результату додати ½. Так було в розподілі 185 сім'ї за кількістю дітей медіаною буде: 185/2 + ½ = 93, тобто. 93-я варіанта, яка поділяє впорядкований ряд навпіл. Яке ж значення 93 варіанти? Для того щоб це з'ясувати, потрібно накопичувати частоти, починаючи від найменшої варіанти. Сума частот 1-й та 2-й варіант дорівнює 40. Зрозуміло, що тут 93 варіанти немає. Якщо додати до 40 частоту 3-ї варіанти, то отримаємо суму, рівну 40 + 75 = 115. Отже, 93-я варіанта відповідає третьому значенню ознаки, що варіює, і медіаною буде сім'я, що має двох дітей.

Мода та медіана в даному прикладізбіглися. Якби ми мали парну суму частот (наприклад, 184), то, застосовуючи вказану вище формулу, отримаємо номер медіанної варіанти, 184/2 + ½ =92,5. Оскільки варіанти з дробовим номером немає, отриманий результат вказує, що медіана знаходиться посередині між 92 і 93 варіантами.

3. Розрахунок моди та медіани в інтервальному варіаційному ряду

Описовий характер моди і медіани пов'язані з тим, що у них погашаються індивідуальні відхилення. Вони завжди відповідають певному варіанту. Тому мода і медіана не вимагають свого знаходження розрахунків, якщо відомі всі значення ознаки. Однак в інтервальному варіаційному ряду для знаходження наближеного значення моди та медіани в межах певного інтервалу вдаються до розрахунків.

Для розрахунку певного значення модальної величини ознаки, укладеної в інтервалі, застосовують формулу:

М о = Х Мо + i Мо * (f Мо - f Мо-1) / ((f Мо - f Мо-1) + (f Мо - f Мо +1)),

Де Х Мо – мінімальна межа модального інтервалу;

i Мо – величина модального інтервалу;

f Мо – частота модального інтервалу;

f Мо-1 – частота інтервалу, що передує модальному;

f Мо+1 – частота інтервалу, наступного за модальним.

Покажемо розрахунок моди з прикладу, наведеному у таблиці 2.

Таблиця 2. Розподіл робітників підприємства щодо виконання норм виробітку

Щоб знайти моду, спочатку визначимо модальний інтервал даного ряду. З прикладу видно, що найбільша частота відповідає інтервалу, де варіант лежить в межах від 100 до 105. Це і є модальний інтервал. Розмір модального інтервалу дорівнює 5.

Підставляючи числові значення таблиці 2. у зазначену вище формулу, отримаємо:

М о = 100 + 5 * (104 -12) / ((104 - 12) + (104 - 98)) = 108,8

Сенс цієї формули полягає в наступному: величину частини модального інтервалу, яку потрібно додати до його мінімальної межі, визначають залежно від величини частот попереднього і наступного інтервалів. У даному випадкудо 100 додаємо 8,8, тобто. більше половини інтервалу, тому що частота попереднього інтервалу менша за частоту наступного інтервалу.

Обчислимо тепер медіану. Для знаходження медіани в інтервальному варіаційному ряду визначаємо спочатку інтервал, у якому вона знаходиться (медіанний інтервал). Таким інтервалом буде такий, комулятивна частота якого дорівнює чи перевищує половину суми частот. Комулятивні частоти утворюються шляхом поступового підсумовування частот, починаючи з інтервалу з найменшим значенням ознаки. Половина суми частот у нас дорівнює 250 (500:2). Отже, згідно з таблицею 3. медіанним інтервалом буде інтервал зі значенням заробітної плати від 350000 руб. до 400 000 руб.

Таблиця 3. Розрахунок медіани в інтервальному варіаційному ряді

До цього інтервалу сума накопичених частот становила 160. Отже, щоб отримати значення медіани, необхідно додати ще 90 одиниць (250 – 160).

Середнє арифметичне значення(Далі за текстом - середнє), мабуть, найбільш популярний статистичний параметр. Цим поняттям користуються повсюдно - починаючи від приказки "середня температура по лікарні" і кінчаючи серйозними науковими працями. Однак, як не дивно, середнє значення — підступне поняття, яке часто вводить в оману, замість того, щоб надавати чіткості викладу та вносити ясність.

Якщо говорити про науковій роботі, то статистичний аналізданих застосовується майже у всіх прикладних науках, навіть у гуманітарних (наприклад, психології). Середнє значення обчислюється для ознак, що вимірюються у так званих безперервних шкалах. Такими ознаками є, наприклад, концентрації речовин у сироватці крові, зростання, вага, вік. Середнє арифметичне можна легко вирахувати, і цьому вчать ще в середній школі. Однак (відповідно до положень математичної статистики) середнє значення є адекватним заходом центральної тенденції у вибірці тільки у разі нормального (гауссового) розподілу ознаки (рис. 1). Мал. 1. Нормальний (гаусовий) розподіл ознаки у вибірці. Середнє (М) та медіана (Ме) збігаються

У разі відхилення розподілу від нормального закону середнє значення використовувати некоректно, оскільки воно є надто чутливим параметром до так званих «викидів» — нехарактерним для вибірки, що вивчається, занадто великим або занадто малим значенням (рис. 2). У цьому випадку для характеристики центральної тенденції у вибірці має застосовуватися інший параметр – медіана. Медіана - це значення ознаки, праворуч і ліворуч від якої знаходиться рівна кількість спостережень (по 50%). Цей параметр (на відміну від середнього значення) стійкий до викидів. Зауважимо також, що медіана може використовуватись і у разі нормального розподілу— у цьому випадку медіана збігається із середнім значенням.

Мал. 2. Розподіл ознаки у вибірці, відмінне від нормального. Середнє (м) та медіана (МЕ) не збігаються

Щоб дізнатися, чи є розподіл ознаки у вибірці нормальним (гаусовим) чи ні, т. е. у тому, щоб дізнатися, який із параметрів слід застосовувати (середнє значення чи медіану), існують спеціальні статистичні тести.

Наведемо приклад. Швидкість осідання еритроцитів у групі пацієнтів, які недавно перенесли пневмонію, - 3, 5, 5, 7, 11, 12, 16, 16, 21, 42, 58. Середнє значення для цієї вибірки дорівнює 17,8, медіана - 12. за тестом Шапіро-Вилка) нормальним не є (рис. 3), тому використовувати треба медіану. Мал. 3. Приклад

Як не дивно, але в деяких сферах економіки сторонній спостерігач не може помітити хоч якогось сліду коректного застосування математичної статистики. Так, нам постійно говорять про середню зарплату (наприклад, у НДІ), і ці числа зазвичай дивують не лише рядових співробітників, а й керівників підрозділів (нині званих менеджерами середньої ланки). Ми дивуємось, що середня зарплата в Москві — 40 тис. руб., але, звичайно, розуміємо, що нас «усереднили» з олігархами. Ось приклад із життя науковців: зарплати співробітників лабораторії (тис. руб.) - 3, 5, 5, 7, 11, 12, 16, 16, 21, 42, 58. Середнє значення - 17,8, медіана - 12. Погодьтеся, що це різні числа!

Звичайно, не можна виключити, що замовчування властивостей середнього — лукавство, оскільки керівництву завжди вигідніше уявити ситуацію із зарплатою співробітників краще, ніж вона є насправді.

Чи не час науковій спільноті закликати наших керівників припинити некоректне використання математичної статистики?

Ольга Реброва,
докт. мед. наук, віце-президент
МГО «Товариство фахівців доказової медицини»

У силу того, що дослідник не має даних про обсяг продажу в кожному обмінному пункті, розрахунок середньої арифметичної з метою визначення середньої ціниза долар недоцільний.

Медіана ряду чисел

Однак можна визначити значення ознаки, яке носить назву медіана (Ме). Медіана

у нашому прикладі

Номер медіани: №Ме =;

Мода

Таблиця 3.6.

f- Сума частот ряду;

S накопичувальні частоти

12_

S – накопичені частоти.

На рис. 3.2. Зображено гістограму низки розподілу банків за розміром прибутку (за даними табл. 3.6.).

х - розмір прибутку, млн. руб.,

f - Число банків.

"МЕДІАНА ПОРЯДОЧНОГО РЯДУ"

Текстова HTML-версія публікації

Конспект уроку алгебри у 7 класі

Тема уроку: «МЕДІАНА ПОРЯДОЧНОГО РЯДУ».

вчитель Озерної школи філія МКОУ Бурківська ЗОШ Єрьоменко Тетяна Олексіївна
Цілі:
поняття медіани як статистичної характеристики упорядкованого ряду; формувати вміння знаходити медіану для впорядкованих рядів з парним та непарним числом членів; формувати вміння інтерпретувати значення медіани залежно від практичної ситуації; закріплення поняття середнього арифметичного набору чисел. Розвивати навички самостійної роботи. Формувати інтерес до математики.
Хід уроку

Усна робота.
Дано ряди: 1) 4; 1; 8; 5; 1; 2); 9; 3; 0,5; ; 3) 6; 0,2; ; 4; 6; 7,3; 6. Знайдіть: а) найбільше та найменше значеннякожного ряду; б) розмах кожного ряду; в) моду кожного ряду.
ІІ. Пояснення нового матеріалу.
Робота з підручника. 1. Розглянемо завдання з п. 10 підручника. Що означає впорядкований ряд? Підкреслю, що перед знаходженням медіани потрібно завжди впорядкувати низку даних. 2.На дошці знайомимося з правилами знаходження медіани для рядів з парним та непарним числом членів:
Медіаною

упорядкованого

ряду
чисел
з

непарним

числом

членів
називається число, записане посередині, а
медіаною

впорядкованого ряду
чисел
з парною кількістю членів
називається середнє арифметичне двох чисел, записаних посередині.
Медіаною

довільного

ряду
називається медіана 1 3 1 7 5 4 відповідного впорядкованого ряду.
Зазначу, що показники-середнєарифметичне, мода та медіана по

різному

характеризують

дані,

отримані

результаті

спостережень.

ІІІ. Формування умінь та навичок.
1-ша група. Вправи застосування формул знаходження медіани впорядкованого і невпорядкованого ряду. 1.
№ 186.
Рішення:а) Число членів ряду п= 9; медіана Ме= 41; б) п= 7, ряд упорядкований, Ме= 207; в) п= 6, ряд упорядкований, Ме= = 21; г) п= 8, ряд упорядкований, Ме= = 2,9. Відповідь: а) 41; б) 207; в) 21; г) 2,9. Учні коментують спосіб знаходження медіани. 2. Знайдіть середнє арифметичне та медіану ряду чисел: а) 27, 29, 23, 31, 21, 34; в); 1. б) 56, 58, 64, 66, 62, 74. Рішення:Для знаходження медіани необхідно кожен ряд упорядкувати: а) 21, 23, 27, 29, 31, 34. п = 6; X = = 27,5; Ме= = 28; 20 22 2 + 2, 6 3, 2 2 + 1125; ; ; 3636 21 23 27 29 31 34 165 66 +++++ = 27 29 2 + б) 56, 58, 62, 64, 66, 74.

Як знайти медіану у статистиці

п = 6; X = 63,3; Ме= = 63; в); 1. п = 5; X = : 5 = 3: 5 = 0,6; Ме = . 3.
№ 188
(Усно). Відповідь: так; б) ні; в) ні; г) так. 4. Знаючи, що в упорядкованому ряді міститься тчисел, де т– непарне число, вкажіть номер члена, який є медіаною, якщо тодно: а) 5; б) 17; в) 47; г) 201. Відповідь: а) 3; б) 9; в) 24; г) 101. 2-я група. Практичні завдання на знаходження медіани відповідного ряду та інтерпретацію отриманого результату. 1.
№ 189.
Рішення:Число членів ряду п= 12. Для знаходження медіани ряд потрібно впорядкувати: 136, 149, 156, 158, 168, 174, 178, 179, 185, 185, 185, 194. Ме= = 176. Виробіток за місяць був більшим за медіану у наступних членів артілі: 56 58 62 64 66 74 380 66 +++++ =≈ 62 64 2 + 1125 ; ; ; 3636 1125 12456 18 1:5:5 6336 6 6 ++++ ⎛⎞ ++++ = = ⎜⎟ ⎝⎠ 2 3 67 174 178 2 XX+ + = 1) Квітко; 4) Бобків; 2) Баранів; 5) Рилов; 3) Антонов; 6) Астаф'єв. Відповідь: 176. 2.
№ 192.
Рішення:Упорядкуємо ряд даних: 30, 31, 32, 32, 32, 32, 32, 32, 33, 35, 35, 36, 36, 36, 38, 38, 38, 40, 40, 42; кількість членів ряду п= 20. Розмах A = x max – x min = 42 - 30 = 12. Мода Мо= 32 (це значення зустрічається 6 разів – частіше за інші). Медіана Ме= = 35. У разі розмах показує найбільший розкид часу на обробку деталі; мода показує найбільш типове значення часу обробки; медіана – час обробки, який перевищили половина токарів. Відповідь: 12; 32; 35.
IV. Підсумок уроку.
– Що називається медіаною низки чисел? – Чи може медіана ряду чисел не співпадати з жодним із чисел ряду? – Яка кількість є медіаною впорядкованого ряду, що містить 2 пчисел? 2 п- 1 чисел? – Як знайти медіану невпорядкованого ряду?
Домашнє завдання:
№ 187, № 190, № 191, № 254. 10 11 35 35 22 XX + + =

У розділі основна загальна освіта

Мода та медіана

До середніх величин відносять також моду та медіану.

Медіану та моду часто використовують як середню характеристику в тих сукупностях, де розрахунок середньої (арифметичної, гармонійної та ін.) неможливий чи недоцільний.

Наприклад, вибіркове обстеження у м. Омську 12 комерційних пунктів обміну валюти дозволило зафіксувати різні ціниза долар за його продажу (дані на 10 жовтня 1995 р. при біржовому курсі долара -4493руб).

У силу того, що дослідник не має даних про обсяг продажу в кожному обмінному пункті, розрахунок середньої арифметичної з метою визначення середньої ціни за долар недоцільний. Однак можна визначити значення ознаки, яке носить назву медіана (Ме). Медіаналежить у середині ранжованого ряду і ділить його навпіл.

Розрахунок медіани за несгрупованими даними проводиться так:

а) розташуємо індивідуальні значення ознаки у порядку, що зростає:

4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570 4570

б) визначимо порядковий номермедіани за формулою:

у нашому прикладі це означає, що медіана в даному випадку розташована між шостим і сьомим значеннями ознаки ранжированному ряду, так як ряд має парне число індивідуальних значень. Таким чином, Ме дорівнює середній арифметичній із сусідніх значень: 4550, 4560.

в) розглянемо порядок обчислення медіани у разі непарного числа індивідуальних значень.

Припустимо, ми спостерігаємо не 12, а 11 пунктів обміну валюти, тоді ранжований ряд буде виглядати так (відкидаємо 12-й пункт):

4500 4500 4535 4540 4550 4560 4560 4560 4560 4570 4570

Номер медіани: №Ме =;

на шостому місці стоїть = 4560, який є медіаною: Ме=4560. По обидва боки від неї є однакове число пунктів.

Мода- Це найбільш часто зустрічається значення ознаки одиниць даної сукупності. Вона відповідає певному значенню ознаки.

У нашому випадку модальною ціною за долар можна назвати 4560 руб. Це значення повторюється 4 рази, частіше, ніж всі інші.

На практиці моду та медіану знаходять, як правило, за згрупованими даними. У результаті угруповання було отримано низку розподілу банків за величиною отриманого прибутку протягом року (табл. 3.6.).

Таблиця 3.6.

Угруповання банків за величиною отриманого прибутку за рік

Для визначення медіани слід підрахувати суму накопичувальних частот. Нарощування разом продовжується до отримання накопичувальної суми частот, що перевищує половину суми частот. У прикладі сума накопичених частот (12), перевищує половину всіх значень (20:2). Цього значення відповідає медіанний інтервал, який містить медіану (5,5 - 6,4). Визначимо її значення за такою формулою:

де початкове значення інтервалу, що містить медіану;

- Величина медіанного інтервалу;

f- Сума частот ряду;

- Сума накопичувальних частот, що передують медіанному інтервалу;

- Частота медіанного інтервалу.

Отже, 50% банків мають прибуток 6,1 млн. крб., а 50% банків — понад 6,1 млн. крб.

Найбільша частота відповідає інтервалу 5,5 - 6,4, тобто. мода повинна бути в цьому інтервалі. Її величину визначимо за такою формулою:

де - Початкове значення інтервалу, що містить моду;

- Величина модального інтервалу;

- Частота модального інтервалу;

- Частота інтервалу, що передує модальному;

- Частота інтервалу, наступного за модальним.

Наведена формула моди може бути використана у варіаційних рядах із рівними інтервалами.

Отже, у цій сукупності найчастіше зустрічається обсяг прибутку 6,10 млн. крб.

Медіану та моду можна визначити графічно. Медіана визначається за кумулятом (рис. 3.1.). Для її побудови треба розрахувати накопичувальні частоти та частоти. Накопичувальні частоти показують, скільки одиниць сукупності мають значення ознаки не більше, ніж значення, що розглядається, і визначається послідовним підсумовуванням частот інтервалів. При побудові кумуляти інтервального рядурозподілу нижній межі першого інтервалу відповідає частота, що дорівнює нулю, а верхній межі - вся частота даного інтервалу. Верхній межі другого інтервалу відповідає накопичувальна частота, рівна сумічастот перших двох інтервалів і т.д.

Побудуємо кумулятивну криву за даними табл. 6 про розподіл банків за розміром прибутку.

S накопичувальні частоти

12_

3,7-4,6 4,6-5,5 5,5-6,4 6,4-7,3 7,3-8,2 Х прибуток

Мал. 3.1. Кумулята низки розподілу банків за розміром прибутку:

х - розмір прибутку, млн. руб.,

S – накопичені частоти.

Для визначення медіани висоту найбільшої ординати, що відповідає загальній чисельності сукупності, поділяють навпіл. Через отриману точку проводять пряму, паралельну осі абсцис до перетину її з кумулятою. Абсцис точки перетину є медіаною.

Мода визначається за гістограмою розподілу. Гістограма будується так:

на осі абсцис відкладаються рівні відрізки, що у прийнятому масштабі відповідають величині інтервалів варіаційного ряду. На відрізках будуються прямокутники, площі яких пропорційні до частот (або частостей) інтервалу.

Медіана у статистиці

3.2. Зображено гістограму низки розподілу банків за розміром прибутку (за даними табл. 3.6.).

3,7-4,6 4,6-5,5 5,5-6,4 6,4-7,3 7,3-8,2 Х

Мал. 3.2. Розподіл комерційних банків за розміром прибутку:

х - розмір прибутку, млн. руб.,

f - Число банків.

Для визначення моди праву вершину модального прямокутника з'єднуємо з верхнім правим кутом попереднього прямокутника, а ліву вершину модального прямокутника - з лівим верхнім кутом наступного прямокутника. Абсцис точки перетину цих прямих і буде модою розподілу.

Медіана (статистика)

Медіана (статистика), в математичної статистики- Число, що характеризує вибірку (наприклад, набір чисел). Якщо всі елементи вибірки різні, то медіана - це таке число вибірки, що рівно половина з елементів вибірки більше за нього, а інша половина менше за нього. У більш загальному випадкумедіану можна знайти, упорядкувавши елементи вибірки за зростанням або спаданням і взявши середній елемент. Наприклад, вибірка (11, 9, 3, 5, 5) після впорядкування перетворюється на (3, 5, 5, 9, 11) та її медіаною є число 5. Якщо у вибірці парне число елементів, медіана може бути не визначена однозначно: для числових даних найчастіше використовують напівсуму двох сусідніх значень (тобто медіану набору (1, 3, 5, 7) приймають 4).

Завдання №1. Розрахунок середньої арифметичної, модального та медіанного значення

Через цю властивість цей показник має ще кілька назв: 50-й перцентиль або квантиль 0,5.

Середнє значення
Медіана
Мода

Медіана (статистика)

Медіана (статистика), у математичній статистиці - число, що характеризує вибірку (наприклад, набір чисел). Якщо всі елементи вибірки різні, то медіана - це таке число вибірки, що рівно половина з елементів вибірки більше за нього, а інша половина менше за нього. У загальному випадку медіану можна знайти, упорядкувавши елементи вибірки за зростанням або спаданням і взявши середній елемент. Наприклад, вибірка (11, 9, 3, 5, 5) після впорядкування перетворюється на (3, 5, 5, 9, 11) та її медіаною є число 5.

5.5 Мода та медіана. Їх обчислення в дискретних та інтервальних варіаційних рядах

Якщо у вибірці парне число елементів, медіана може бути не визначена однозначно: для числових даних найчастіше використовують напівсуму двох сусідніх значень (тобто медіану набору (1, 3, 5, 7) приймають 4).

Іншими словами, медіаною в статистиці називається значення, яке ділить ряд навпіл таким чином, що по обидва боки від неї (вниз або вгору) розташована однакова кількість одиниць цієї сукупності. Через цю властивість цей показник має ще кілька назв: 50-й перцентиль або квантиль 0,5.

Медіану використовують замість середньої арифметичної, коли крайні варіанти ранжованого ряду (найменша та найбільша) порівняно з іншими виявляються надмірно більшими або надмірно малими.

Функція МЕДІАНА вимірює центральну тенденцію, яка є центром множини чисел в статистичному розподілі. Існує три найбільш поширені способи визначення центральної тенденції:

Середнє значення- Середнє арифметичне, яке обчислюється додаванням безлічі чисел з наступним розподілом отриманої суми на їх кількість.
Наприклад, середнім значенням для чисел 2, 3, 3, 5, 7 і 10 буде 5, яке є результатом розподілу їх суми, що дорівнює 30, на їх кількість, що дорівнює 6.
Медіана- Число, яке є серединою безлічі чисел: половина чисел мають значення більші, ніж медіана, а половина чисел - менші.
Наприклад, медіаною для чисел 2, 3, 3, 5, 7 та 10 буде 4.
Мода- Число, що найчастіше зустрічається в даній множині чисел.
Наприклад, модою для чисел 2, 3, 3, 5, 7 та 10 буде 3.

Урок алгебри у 7 класі.

Тема "Медіана як статистична характеристика".

Вчитель Єгорова Н.І.

Мета уроку: сформувати в учнів уявлення про медіану набору чисел та вміння обчислювати її для нескладних числових наборів, закріплення поняття середнього арифметичного набору чисел.

Тип уроку: пояснення нового матеріалу.

Хід уроку

1. Організаційний момент.

Повідомити тему уроку та сформулювати його цілі.

2. Актуалізація колишніх знань.

Запитання учням:

Що називається середнім арифметичним набором чисел?

Де знаходиться середнє арифметичне всередині набору чисел?

Що характеризує середнє арифметичне набору чисел?

Де часто застосовується середнє арифметичне набір чисел?

Усні завдання:

Знайти середнє арифметичне набору чисел:

Перевірка домашнього завдання.

Підручник: №169, №172.

3. Вивчення нового матеріалу.

На попередньому уроці ми познайомилися з такою статистичною характеристикою, як середнє арифметичне набору чисел. Сьогодні ми присвятимо урок ще одній статистичній характеристиці– медіани.

Не тільки середнє арифметичне показує, де на числовій прямій розташовуються числа якогось набору та де їхній центр. Іншим показником є медіана.

Медіаною набору чисел називається таке число, яке поділяє набір дві рівні за чисельністю частини. Замість "медіана" можна було б сказати "середина".

Спочатку на прикладах розберемо, як знайти медіану, а потім дамо суворе визначення.

Розглянемо наступний усний прикладіз застосуванням проектора

В кінці навчального року 11 учнів 7-го класу здали норматив із бігу на 100 метрів. Були зафіксовані такі результати:

Після того, як хлопці пробігли дистанцію, до викладача підійшов Петя і запитав, який у нього результат.

"Найсередній результат: 16,9 секунди", - відповів вчитель

"Чому?" - Здивувався Петя. – Адже середнє арифметичне всіх результатів – приблизно 18,3 секунди, а я пробіг на секунду з лишком краще. І взагалі, результат Каті (18,4) набагато ближчий до середнього, ніж мій”.

“Твій результат середній, тому що п'ять людей пробігли краще, ніж ти, і п'ять – гірше. Тобто ти якраз посередині”, – сказав учитель.

Записати алгоритм знаходження медіани набору чисел:

Упорядкувати числовий набір (скласти ранжований ряд).

Одночасно закреслюємо "найбільше" і "найменше" числа даного набору чисел до тих пір, поки не залишиться одне чи два числа.

Якщо залишилося одне число, воно і є медіана.

Якщо залишилося два числа, то медіаною буде середнє арифметичне двох чисел, що залишилися.

Запропонувати учням самостійно сформулювати визначення медіани набору чисел, потім прочитати у підручнику визначення медіани (стор. 40), далі вирішити № 186(а,б), № 187(а) підручника (стор.41).

Примітка:

Звернути увагу учнів на важливу обставину: медіана практично не є чутливою до значних відхилень окремих крайніх значень наборів чисел. У статистиці це властивість називається стійкістю. Стійкість статистичного показника- дуже важлива властивість, вона страхує нас від випадкових помилок та окремих недостовірних даних.

4. Закріплення вивченого матеріалу.

Вирішення задач.

Позначимо х-середнє арифметичне, Ме-медіана.

Набір чисел: 1,3,5,7,9.

х = (1 +3 +5 +7 +9): 5 = 25:5 = 5,

Набір чисел: 1,3,5,7,14.

х = (1 +3 +5 +7 +14): 5 = 30:5 = 6.

а) Набір чисел: 3,4,11,17,21

б) Набір чисел: 17,18,19,25,28

в) Набір чисел: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50

Висновок: медіана набору чисел, що складається з непарного числа членів дорівнює числу, що стоїть посередині.

а) Набір чисел: 2, 4, 8, 9.

Ме = (4 +8): 2 = 12: 2 = 6

б) Набір чисел: 1,3,5,7,8,9.

Ме = (5 +7): 2 = 12: 2 = 6

Медіана набору чисел, що містить парне число членів дорівнює напівсумі двох чисел, що стоять посередині.

Учень отримав протягом чверті такі оцінки з алгебри:

5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.

Знайдіть середній балта медіану цього набору.

Знайдемо середній бал, тобто середнє арифметичне:

х = (5 +4 +2 +5 +5 +4 +4 +5 +5 +5): 10 = 44:10 = 4,4

Знайдемо медіану цього набору чисел:

Упорядкуємо набір чисел: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5

Усього 10 чисел, щоб знайти медіану треба взяти два середні числа і знайти їхню суму.

Ме = (5+5): 2 = 5

Питання до учнів: Якби ви були вчителем, яку ви поставили б оцінку за чверть цьому учневі? Відповідь обґрунтуйте.

Президент компанії отримує зарплату 300 000 руб. три його заступники одержують по 150000 руб., Сорок службовців - по 50000 руб. та зарплата прибиральниці становить 10000 руб. Знайдіть середнє арифметичне та медіану зарплат у компанії. Яку з цих характеристик вигідніше використати президенту з рекламною метою?

х = (300000 +3 · 150000 +40 · 50000 +10000): (1 +3 +40 +1) = 2760000: 45 = 61333,33 (руб.)

№ 6. Усно.

А) Скільки чисел у наборі, якщо його медіаною служить її дев'ятий член?

Б) Скільки чисел у наборі, якщо його медіаною служить середнє арифметичне 7-го та 8-го членів?

В) У наборі з семи чисел найбільше збільшили на 14. Чи зміниться при цьому і як середнє арифметичне і медіана?

Г) Кожне з чисел набору збільшили на 3. Що станеться із середнім арифметичним та медіаною?

Цукерки у магазині продають на вагу. Щоб дізнатися, скільки цукерок міститься в одному кілограмі, Маша вирішила знайти вагу однієї цукерки. Вона зважила кілька цукерок та отримала такі результати:

12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.

Для оцінки ваги однієї цукерки придатні обидві показники, т.к. вони не дуже відрізняються один від одного.

Отже, для характеристики статистичної інформації використовують середнє арифметичне та медіану. У багатьох випадках якась із характеристик може не мати жодного змістовного змісту (наприклад, маючи відомості про час дорожньо-транспортних пригод, навряд чи має сенс говорити про середнє арифметичне цих даних).

Домашнє завдання: пункт 10, № 186 (в, г), № 190.

5. Підсумки уроку. Рефлексія.

«Статистичні дослідження: збір та угруповання статистичних даних»

Урок

… теми, пропоновані для сьомого класу. ТЕМАТИЧНЕ ПЛАНУВАННЯ. § 1. СтатистичніХарактеристики. П 1. Середнє арифметичне, розмах та мода 1ч. П2. Медіанаякстатистичнахарактеристика …
Робоча програма навчального курсу «алгебра» у 7 класі (базовий рівень) пояснювальна записка

Робоча програма

… п.10 Медіанаякстатистичнахарактеристика 23 п.9 Середнє арифметичне, розмах та мода 24 Контрольна робота№ 2 за темі …
Робоча програма. Математика. 5 клас с. Канаші. 2011р

Робоча програма

… рівнянь. Середнє арифметичне, розмах та мода. Медіанаякстатистичнахарактеристика. Мета – систематизувати та узагальнити відомості про … та навички, отримані на урокахза даними темам(курс алгебри 10 класу). 11 клас(4 години на тиждень...
Наказ №51 від «30» серпень 2012 р. Робоча програма з алгебри 7 клас

Робоча програма

… навчальним матеріалом МедіанаякстатистичнахарактеристикаЗнати визначення середнього арифметичного, розмаху, моди та медіаниякстатистичноїХарактеристикиФронтальна та індивідуальна …
Робоча програма з математики 7 клас ii ступінь базовий рівень (1)

Робоча програма

Як знайти медіану ряду

ж, яко 6 класі. Вивчення темизавершується ознайомленням учнів із найпростішими статистичнимихарактеристиками: середнім … М.: Видавничий дім «Генжер», 2009. 3. Жохов, В. І. Урокиалгебрио 7 класі: кн. для вчителя / В. І. Жохов …