Обчислення комплексних чисел онлайн із рішенням. Рівняння онлайн
ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО З ОСВІТИ
ДЕРЖАВНИЙ ОСВІТНИЙ УСТАНОВА
ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ
«ВОРОНІЗЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА АГЛЕБРИ ТА ГЕОМЕТРІЇ
Комплексні числа
(Вибрані завдання)
ВИПУСКНА КВАЛІФІКАЦІЙНА РОБОТА
за фахом 050201.65 математика
(З додатковою спеціальністю 050202.65 інформатика)
Виконала: студентка 5 курсу
фізико-математичного
факультету
Науковий керівник:
Вороніж - 2008
1. Введення……………………………………………………...…………..…
2. Комплексні числа (вибрані завдання)
2.1. Комплексні числа в формі алгебри….……...……….….
2.2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел…………..…
2.3. Тригонометрична форма комплексних чисел
2.4. Додаток теорії комплексних чисел до вирішення рівнянь 3-го та 4-го ступеня……………..………………………………………………………
2.5. Комплексні числа та параметри………...……………………...….
3. Висновок…………………………………………………….................
4. Список літератури………………………….…………………...............
1. Введення
У програмі математики шкільного курсу теорія чисел вводиться на прикладах множин натуральних чисел, цілих, раціональних, ірраціональних, тобто. на безлічі дійсних чисел, зображення яких заповнюють всю числову вісь. Але вже у 8 класі запасу дійсних чисел не вистачає, вирішуючи квадратні рівняння за негативного дискримінанта. Тому було необхідно поповнити запас дійсних чисел за допомогою комплексних чисел, для яких квадратний корінь негативного числамає сенс.
Вибір теми «Комплексні числа», як теми моєї випускної кваліфікаційної роботи, у тому, що поняття комплексного числа розширює знання учнів про числових системах, про рішення широкого класу завдань як алгебраїчного, так і геометричного змісту, про рішення алгебраїчних рівняньбудь-якого ступеня і вирішення завдань з параметрами.
У цій дипломній роботі розглянуто рішення 82-х завдань.
У першій частині основного розділу «Комплексні числа» наведено рішення задач з комплексними числами в формі алгебри, визначаються операції додавання, віднімання, множення, поділу, операція сполучення для комплексних чисел в формі алгебри, ступінь уявної одиниці, модуль комплексного числа, а також викладається правило вилучення квадратного кореняіз комплексного числа.
У другій частині вирішуються задачі на геометричну інтерпретацію комплексних чисел у вигляді точок або векторів комплексної площини.
У третій частині розглянуто дії над комплексними числами у тригонометричній формі. Використовуються формули: Муавра та витяг кореня з комплексного числа.
Четверта частина присвячена вирішенню рівнянь 3-го та 4-го ступенів.
При вирішенні завдань останньої частини «Комплексні числа та параметри» використовуються та закріплюються відомості, наведені у попередніх частинах. Серія завдань розділу присвячена визначенню родин ліній у комплексній площині, заданих рівняннями (нерівностями) з параметром. У частині вправ необхідно розв'язати рівняння з параметром (над полем З). Є завдання, де комплексна змінна задовольняє водночас низку умов. Особливістю розв'язання завдань цього розділу є зведення багатьох із них до розв'язання рівнянь (нерівностей, систем) другого ступеня, ірраціональних, тригонометричних із параметром.
Особливістю викладу матеріалу кожної частини є початкове введення теоретичних засад, а згодом практичне їх застосування під час вирішення завдань.
В кінці дипломної роботипредставлений список використаної літератури. У більшості з них досить докладно та доступно викладено теоретичний матеріал, розглянуто рішення деяких завдань та дано практичні завдання для самостійного рішення. Особливу увагухочеться звернути на такі джерела, як:
1. Гордієнко Н.А., Бєляєва Е.С., Фірстов В.Є., Серебрякова І.В. Комплексні числа та їх застосування: Навчальний посібник. . Матеріал навчального посібникавикладено у вигляді лекційних та практичних занять.
2. Шклярський Д.О., Ченцов Н.М., Яглом І.М. Вибрані завдання та теореми елементарної математики. Арифметика та алгебра. Книга містить 320 завдань, що стосуються алгебри, арифметики та теорії чисел. За своїм характером ці завдання істотно відрізняються від стандартних шкільних завдань.
2. Комплексні числа (вибрані завдання)
2.1. Комплексні числа в формі алгебри
Рішення багатьох завдань математики, фізики зводиться до розв'язання рівнянь алгебри, тобто. рівнянь виду
,де a0, a1, …, an дійсні числа. Тому дослідження алгебраїчних рівнянь є одним із найважливіших питаньу математиці. Наприклад, дійсних коренів не має квадратне рівнянняз негативним дискримінантом. Найпростішим таким рівнянням є рівняння
.Щоб це рівняння мало рішення, необхідно розширити безліч дійсних чисел шляхом приєднання до нього кореня рівняння
.Позначимо цей корінь через
. Таким чином, за визначенням , або ,отже,
. називається уявною одиницею. З його допомогою та за допомогою пари дійсних чисел і складається вираз виду.Отримане вираз назвали комплексними числами, оскільки вони містили як дійсну, так і уявну частини.
Отже, комплексними числами називаються вирази виду
, І – дійсні числа, а – деякий символ, що задовольняє умові . Число називається дійсною частиною комплексного числа, а число - його уявною частиною. Для позначення використовуються символи , .Комплексні числа виду
є дійсними числами і, отже, безліч комплексних чисел містить безліч дійсних чисел. Комплексні числа виду
називаються чисто уявними. Два комплексних числа виду і називаються рівними, якщо рівні їх дійсні та уявні частини, тобто. якщо виконуються рівності, .Алгебраїчна запис комплексних чисел дозволяє виконувати операції над ними по звичайним правиламалгебри.
Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Для наочності вирішимо таке завдання:
Обчислити \[(z_1\cdot z_2)^(10),\] якщо \
Насамперед звернемо увагу на те, що одне число представлене в алгебраїчній, інше - у тригонометричній формі. Його необхідно спростити та привести до наступного виду
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).
Вираз говорить про те, що в першу чергу робимо множення і зведення в 10-у ступінь за формулою Муавра. Ця формула сформульована для тригонометричної форми комплексного числа. Отримаємо:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Дотримуючись правил множення комплексних чисел у тригонометричній формі, зробимо таке:
У нашому випадку:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\) pi) (3).
Роблячи дріб [[frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] правильним, приходимо до висновку, що можна "скрутити" 4 обороти [[8\pi рад.):\]
\[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]
Відповідь: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Дане рівняння можна вирішити ще одним способом, який зводиться до того, щоб привести 2-е число в форму алгебри, після чого виконати множення в формі алгебри, перевести результат в тригонометричну форму і застосувати формулу Муавра:
Де можна вирішити систему рівнянь із комплексними числами онлайн?
Вирішити систему рівнянь можна на нашому сайті https://сайт. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте до нашої групи, ми завжди раді допомогти вам.
Сервіс для вирішення рівнянь онлайн допоможе вам вирішити будь-яке рівняння. Використовуючи наш сайт, ви отримаєте не просто відповідь рівняння, а й побачите докладне рішеннятобто покрокове відображення процесу отримання результату. Наш сервіс буде корисним старшокласникам загальноосвітніх шкілта їхнім батькам. Учні зможуть підготуватися до контрольних, іспитів, перевірити знання, а батьки – проконтролювати рішення математичних рівнянь своїми дітьми. Вміння розв'язувати рівняння – обов'язкова вимогадо школярів. Сервіс допоможе вам самонавчати і підвищувати рівень знань у галузі математичних рівнянь. З його допомогою ви зможете вирішити будь-яке рівняння: квадратне, кубічне, ірраціональне, тригонометричне та ін. онлайн сервіса безцінна, адже крім правильної відповіді ви отримуєте докладне рішення кожного рівняння. Переваги розв'язання рівнянь онлайн. Вирішити будь-яке рівняння онлайн на нашому сайті ви можете абсолютно безкоштовно. Сервіс повністю автоматичний, вам нічого не доведеться встановлювати на свій комп'ютер, достатньо буде лише ввести дані та програма видасть рішення. Будь-які помилки у розрахунках або друкарські помилки виключені. З нами вирішити будь-яке рівняння онлайн дуже просто, тому обов'язково використовуйте наш сайт для вирішення будь-яких видів рівнянь. Вам необхідно лише ввести дані та розрахунок буде виконано за лічені секунди. Програма працює самостійно, без людської участі, а ви отримуєте точну та докладну відповідь. Рішення рівняння в загальному вигляді. У такому рівнянні змінні коефіцієнти та коріння, що шукаються, пов'язані між собою. Старший ступінь змінної визначає порядок такого рівняння. Виходячи з цього, для рівнянь використовують різні методита теореми для знаходження рішень. Розв'язання рівнянь даного типуозначає знаходження шуканих коренів у загальному вигляді. Наш сервіс дозволяє вирішити навіть найскладніше алгебраїчне рівняння онлайн. Ви можете отримати як загальне рішення рівняння, так і часткове для вказаних вами числових значень коефіцієнтів. Для вирішення рівняння алгебри на сайті достатньо коректно заповнити всього два поля: ліву і праву частини заданого рівняння. У алгебраїчних рівнянь зі змінними коефіцієнтами нескінченна кількість рішень, і поставивши певні умови, з множини рішень вибираються приватні. Квадратне рівняння. Квадратне рівняння має вигляд ax2+bx+с=0 при а>0. Рішення рівнянь квадратного виду передбачає знаходження значень x, у яких виконується рівність ax^2+bx+с=0. Для цього є значення дискримінанта за формулою D=b^2-4ac. Якщо дискримінант менший за нуль, то рівняння не має дійсних коренів (коріння знаходиться з поля комплексних чисел), якщо дорівнює нулю, то у рівняння один дійсний корінь, і якщо дискримінант більший за нуль, то рівняння має два дійсних кореня, які знаходяться за формулою: D = -b+-sqrt/2а. Для вирішення квадратного рівняння онлайн вам достатньо запровадити коефіцієнти такого рівняння (цілі числа, дроби чи десяткові значення). За наявності знаків віднімання рівняння необхідно поставити мінус перед відповідними членами рівняння. Вирішити квадратне рівняння онлайн можна і залежно від параметра, тобто змінних коефіцієнтів рівняння. З цим завданням чудово справляється наш онлайн сервіс знаходження загальних рішень. Лінійні рівняння. Для вирішення лінійних рівнянь(або системи рівнянь) на практиці використовуються чотири основні методи. Опишемо кожен метод докладно. Метод підстановки. Розв'язання рівнянь методом підстановки вимагає виразити одну змінну через інші. Після цього вираз підставляється на інші рівняння системи. Звідси і назва методу рішення, тобто замість змінної підставляється її вираз через інші змінні. На практиці метод вимагає складних обчислень, хоч і простий у розумінні, тому рішення такого рівняння онлайн допоможе заощадити час та полегшити обчислення. Вам достатньо вказати кількість невідомих у рівнянні та заповнити дані від лінійних рівнянь, далі сервіс зробить розрахунок. Метод Гауса. В основі методу найпростіші перетворення системи з метою дійти до рівносильної системи трикутного вигляду. Із неї по черзі визначаються невідомі. На практиці потрібно вирішити таке рівняння онлайн з докладним описомзавдяки чому ви добре засвоїте метод Гауса для вирішення систем лінійних рівнянь. Запишіть у правильному форматі систему лінійних рівнянь та врахуйте кількість невідомих, щоб безпомилково виконати рішення системи. Метод Крамер. Цим методом вирішуються системи рівнянь у випадках, коли система єдине рішення. Головне математична діятут – це обчислення матричних визначників. Рішення рівнянь методом Крамера проводиться в режимі онлайн, результат ви отримуєте миттєво з повним та детальним описом. Достатньо лише заповнити систему коефіцієнтами та вибрати кількість невідомих змінних. Матричний метод. Цей метод полягає у зібранні коефіцієнтів при невідомих у матрицю А, невідомих – у стовпець Х, а вільних членів у стовпець В. Таким чином система лінійних рівнянь зводиться до матричного рівняння виду АхХ=В. У цього рівняння єдине рішення тільки якщо визначник матриці А відмінний від нуля, інакше система не має рішень, або нескінченну кількість рішень. Розв'язання рівнянь матричним методомполягає у знаходженні зворотної матриціА.
