Логарифмын үржвэрээр тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ. Энгийн логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Оршил

Тооцооллыг хурдасгах, хялбаршуулах зорилгоор логарифмуудыг зохион бүтээсэн. Логарифмын санаа, өөрөөр хэлбэл тоог ижил суурийн хүч болгон илэрхийлэх санаа нь Михаил Штифелийнх юм. Гэвч Стифелийн үед математик тийм ч хөгжөөгүй байсан бөгөөд логарифмын санаа нь түүний хөгжлийг олж чадаагүй юм. Логарифмыг хожим Шотландын эрдэмтэн Жон Напиер (1550-1617), Швейцарийн Жобст Бурги (1552-1632) нар нэгэн зэрэг, бие даан зохион бүтээсэн бөгөөд Напиер уг бүтээлийг 1614 онд анх хэвлүүлсэн юм. "Логарифмын гайхалтай хүснэгтийн тайлбар" нэртэй Напиерийн логарифмын онолыг хангалттай өгсөн. бүрэн, логарифмыг тооцоолох арга нь хамгийн энгийн тул логарифмыг зохион бүтээхэд Непиерийн гавьяа Бургигийнхаас их байна. Бурги Напиертэй нэгэн зэрэг ширээн дээр ажиллаж байсан боловч тэдгээрийг удаан хугацаанд нууцалж, зөвхөн 1620 онд нийтлэв. Напиер 1594 онд логарифмын санааг эзэмшсэн. хэдийгээр хүснэгтүүдийг 20 жилийн дараа нийтэлсэн. Эхлээд тэрээр логарифмуудаа "хиймэл тоо" гэж нэрлэсэн бөгөөд зөвхөн дараа нь эдгээр "хиймэл тоо"-ыг Грек хэлээр "харилцан хамааралтай тоо" гэсэн нэг үгээр "логарифм" гэж нэрлэхийг санал болгов. түүнд тусгайлан сонгосон геометр прогресс. прогресс. Орос хэл дээрх анхны хүснэгтүүд 1703 онд хэвлэгджээ. 18-р зууны нэгэн гайхалтай багшийн оролцоотойгоор. Л.Ф.Магнитский. Логарифмын онолыг хөгжүүлэхэд их ач холбогдолСанкт-Петербургийн академич Леонард Эйлерийн бүтээл байсан. Тэрээр логарифмыг экспонентийн урвуу гэж үзсэн анхны хүн бөгөөд тэрээр "логарифмын суурь", "мантисса" гэсэн нэр томъёог нэвтрүүлсэн Бриггс 10 суурьтай логарифмын хүснэгтүүдийг эмхэтгэсэн. Аравтын тоот хүснэгтүүд нь практикт ашиглахад илүү тохиромжтой, тэдгээрийн онол нь илүү хялбар байдаг. Напиерийн логарифмынх. Тиймээс аравтын логарифмыг заримдаа бригад гэж нэрлэдэг. Бриггс "шинж чанар" гэсэн нэр томъёог нэвтрүүлсэн.

Мэргэдүүд үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн агуулсан тэгш байдлын талаар анх бодож эхэлсэн тэр алс холын үед зоос, хэтэвч хараахан байгаагүй байх. Гэхдээ нөгөө талаас овоолго, түүнчлэн сав, сагс байсан бөгөөд тэдгээр нь үл мэдэгдэх тооны эд зүйлсийг агуулсан кэшийн дэлгүүрийн үүрэг гүйцэтгэхэд тохиромжтой байв. Эрт дээр үед математикийн асуудлуудМесопотами, Энэтхэг, Хятад, Грек, үл мэдэгдэх тоо хэмжээ нь цэцэрлэгт тогос тоо, сүрэг дэх бухын тоо, эд хөрөнгийг хуваахдаа харгалзан үзсэн бүх зүйлийг илэрхийлсэн. Нууц мэдлэгт авшигч, тоолох шинжлэх ухаанд сайн бэлтгэгдсэн бичээч, түшмэд, санваартнууд ийм ажлыг амжилттай даван туулж байв.

Эртний эрдэмтэд заримыг нь эзэмшдэг байсныг бидэнд ирсэн эх сурвалжууд харуулж байна нийтлэг заль мэхүл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнтэй асуудлыг шийдвэрлэх. Гэсэн хэдий ч нэг ч папирус, нэг ч шавар таблет эдгээр аргуудын тайлбарыг өгдөггүй. Зохиогчид тоон тооцоололдоо "Хараач!", "Үүнийг хий!", "Чи үүнийг зөв олсон" гэх мэт дундаж тайлбаруудыг зөвхөн хааяа өгдөг. Энэ утгаараа үл хамаарах зүйл бол Грекийн математикч Александрийн Диофант (III зуун) -ийн "Арифметик" - тэдгээрийн шийдлүүдийг системтэй танилцуулсан тэгшитгэлийг бүрдүүлэх асуудлын цуглуулга юм.

Гэсэн хэдий ч 9-р зууны Багдадын эрдэмтний бүтээл нь олон нийтэд танигдсан асуудлыг шийдвэрлэх анхны гарын авлага болжээ. Мухаммед бин Муса аль-Хорезми. Энэхүү зохиолын араб гарчиг болох "Kitab al-jaber wal-muqabala" ("Сэргээн босголт ба ялгаатай байдлын ном") "аль-жабр" гэдэг үг нь цаг хугацааны явцад хүн бүрийн сайн мэддэг "алгебр" гэсэн үг болж хувирсан бөгөөд Аль-Хорезмигийн ажил өөрөө тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шинжлэх ухааныг хөгжүүлэх эхлэл болсон.

Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

1. Логарифм тэгшитгэл

Логарифмын тэмдгийн дор эсвэл суурь дээр үл мэдэгдэхийг агуулсан тэгшитгэлийг логарифмын тэгшитгэл гэнэ.

Хамгийн энгийн логарифм тэгшитгэл бол хэлбэрийн тэгшитгэл юм

бүртгэл а x = б . (1)

Мэдэгдэл 1. Хэрэв а > 0, а≠ 1, ямар ч бодит тэгшитгэл (1). бцорын ганц шийдэлтэй x = a b .

Жишээ 1. Тэгшитгэлийг шийд:

а) бүртгэл 2 x= 3, б) бүртгэл 3 x= -1, в)

Шийдэл. 1-р мэдэгдлийг ашиглан бид a) олж авна. x= 2 3 эсвэл x= 8; б) x= 3 -1 эсвэл x= 1/3; в)

эсвэл x = 1.

Бид логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг танилцуулж байна.

P1. Үндсэн логарифмын таних тэмдэг:

хаана а > 0, а≠ 1 ба б > 0.

P2. Эерэг хүчин зүйлийн үржвэрийн логарифм нийлбэртэй тэнцүү байнаЭдгээр хүчин зүйлсийн логарифмууд:

бүртгэл а Ннэг · Н 2 = бүртгэл а Н 1 + бүртгэл а Н 2 (а > 0, а ≠ 1, Н 1 > 0, Н 2 > 0).

Сэтгэгдэл. Хэрвээ Ннэг · Н 2 > 0, дараа нь P2 шинж чанар хэлбэрийг авна

бүртгэл а Ннэг · Н 2 = бүртгэл а |Н 1 | +лог а |Н 2 | (а > 0, а ≠ 1, Ннэг · Н 2 > 0).

P3. Хоёр эерэг тооны хэсгийн логарифм нь ногдол ашиг ба хуваагчийн логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна.

(а > 0, а ≠ 1, Н 1 > 0, Н 2 > 0).

Сэтгэгдэл. Хэрвээ

, (энэ нь тэнцүү байна Н 1 Н 2 > 0) дараа нь P3 шинж чанар хэлбэрийг авна (а > 0, а ≠ 1, Н 1 Н 2 > 0).

P4. Эерэг тооны чадлын логарифм нь экспонент ба энэ тооны логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна.

бүртгэл а Н к = кбүртгэл а Н (а > 0, а ≠ 1, Н > 0).

Сэтгэгдэл. Хэрвээ к- тэгш тоо ( к = 2с), дараа нь

бүртгэл а Н 2с = 2сбүртгэл а |Н | (а > 0, а ≠ 1, Н ≠ 0).

P5. Өөр суурь руу шилжих томъёо нь:

(а > 0, а ≠ 1, б > 0, б ≠ 1, Н > 0),

ялангуяа хэрэв Н = б, бид авдаг

(а > 0, а ≠ 1, б > 0, б ≠ 1). (2)

P4 ба P5-ийн шинж чанарыг ашиглан олж авахад хялбар байдаг дараах шинж чанарууд

(а > 0, а ≠ 1, б > 0, в ≠ 0), (3) (а > 0, а ≠ 1, б > 0, в ≠ 0), (4) (а > 0, а ≠ 1, б > 0, в ≠ 0), (5)

мөн (5)-д байгаа бол в- тэгш тоо ( в = 2n), тохиолддог

(б > 0, а ≠ 0, |а | ≠ 1). (6)

Бид логарифмын функцийн үндсэн шинж чанаруудыг жагсаав е (x) = бүртгэл а x :

1. Логарифмын функцийн муж нь эерэг тооны олонлог юм.

2. Логарифм функцийн утгын муж нь бодит тооны олонлог юм.

3. Хэзээ а> 1 бол логарифм функц хатуу нэмэгдэж байна (0< x 1 < x 2 бүртгэл а x 1 < logа x 2) ба 0-д< а < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 бүртгэл а x 1 > бүртгэл а x 2).

4 бүртгэл а 1 = 0 ба бүртгэл а а = 1 (а > 0, а ≠ 1).

5. Хэрэв а> 1 бол логарифм функц нь сөрөг байна x(0;1) ба эерэг байна x(1;+∞), хэрэв 0 бол< а < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) ба сөрөг байна x (1;+∞).

6. Хэрэв а> 1 бол логарифм функц нь дээшээ гүдгэр, хэрэв а(0;1) - гүдгэр доош.

Логарифмын тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд дараах мэдэгдлүүдийг (жишээ нь, ) ашигладаг.

Математикийн шалгалт өгөхөд бага, бага хугацаа үлдлээ. Нөхцөл байдал халуу оргиж, сургуулийн сурагчид, эцэг эхчүүд, багш нар, багш нарын мэдрэл улам л сунжирч байна. Нисэх мэдрэлийн хурцадмал байдалМатематикийн өдөр тутмын гүнзгийрүүлсэн хичээл танд туслах болно. Эцсийн эцэст, таны мэдэж байгаагаар юу ч эерэгээр цэнэглэгддэг бөгөөд шалгалт өгөхөд хувь хүний ​​чадвар, мэдлэгт итгэх итгэл биш юм. Өнөөдөр математикийн багш логарифм ба экспоненциал тэгш бус байдлын систем, орчин үеийн ахлах сургуулийн олон сурагчдад уламжлалт байдлаар бэрхшээл учруулдаг даалгаврын талаар танд хэлэх болно.

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтаас C3 бодлогуудыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахын тулд математикийн багшийн хувьд дараахь чухал зүйлд анхаарлаа хандуулахыг зөвлөж байна.

1. Логарифм ба экспоненциал тэгш бус байдлын системийг шийдэхийн өмнө эдгээр төрлийн тэгш бус байдал бүрийг тусад нь хэрхэн шийдвэрлэх талаар суралцах шаардлагатай. Ялангуяа тухайн газар нутаг хэрхэн байрлаж байгааг ойлгох зөвшөөрөгдсөн утгууд, логарифм ба экспоненциал илэрхийлэлийн эквивалент хувиргалтыг хийдэг. Та "" ба "" өгүүллүүдийг судалснаар үүнтэй холбоотой зарим нууцыг ойлгож чадна.

2. Үүний зэрэгцээ тэгш бус байдлын системийн шийдэл нь тэгш бус байдал бүрийг тусад нь шийдэж, үүссэн цоорхойг даван туулахад үргэлж ирдэггүй гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. Заримдаа системийн нэг тэгш бус байдлын шийдлийг мэдсэнээр хоёр дахь тэгш бус байдлын шийдлийг маш хялбаршуулдаг. USE форматаар төгсөлтийн шалгалтанд бэлтгэдэг математикийн багшийн хувьд би энэ нийтлэлд үүнтэй холбоотой хэд хэдэн нууцыг дэлгэх болно.

3. Олонлогуудын огтлолцол ба нэгдэл хоорондын ялгааг өөрөө тодорхой ойлгох шаардлагатай. Энэ бол туршлагатай мэргэжлийн багшийн эхний хичээлээс л шавьдаа өгөхийг хичээдэг математикийн хамгийн чухал мэдлэгүүдийн нэг юм. Олонлогуудын огтлолцол ба нэгдлийн дүрслэлийг "Эйлерийн тойрог" гэж нэрлэдэг.

Уулзвар тогтоох Зөвхөн эдгээр олонлог бүрд байгаа элементүүдийг агуулсан олонлогийг олонлог гэнэ.

уулзвар

"Эйлерийн тойрог" ашиглан олонлогуудын огтлолцлын зураг

Хурууны тайлбар.Дианагийн цүнхэнд дараахь зүйлсээс бүрдсэн "иж бүрдэл" бий үзэг, харандаа, захирагчид, дэвтэр, самнууд). Алис цүнхэндээ ( дэвтэр, харандаа, толь, дэвтэр, Киевийн котлетууд). Эдгээр хоёр "багц"-ын огтлолцол нь ( харандаа, дэвтэр), Диана, Алис хоёр хоёуланд нь эдгээр "элементүүд" байдаг.

Санах нь чухал! Хэрэв тэгш бус байдлын шийдэл нь интервал, тэгш бус байдлын шийдэл нь интервал байвал системүүдийн шийдэл:

интервал юм уулзвар анхны интервалууд. Энд ба доордүрүүдийн аль нэг нь title="(!LANG: QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">!} ба доор эсрэг тэмдэг юм.

Багцуудын нэгдэл эх олонлогийн бүх элементүүдээс бүрдэх олонлогийг гэнэ.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв хоёр багц өгвөл дараа нь тэдний Холбоо дараах хэлбэрийн багц байх болно.

"Эйлерийн тойрог" ашиглан олонлогуудын нэгдлийн зураг

Хурууны тайлбар.Өмнөх жишээнд авсан "иж бүрдэл"-ийн нэгдэл нь ( үзэг, харандаа, захирагчид, дэвтэр, самнууд, дэвтэр, толь, Киевийн котлетууд), анхны "багц" -ын бүх элементүүдээс бүрддэг тул. Илүүц байж болох нэг тодруулга. Маш их чадахгүйижил элементүүдийг агуулна.

Санах нь чухал! Хэрэв тэгш бус байдлын шийдэл нь интервал, тэгш бус байдлын шийдэл нь интервал байвал олонлогийн шийдэл нь:

интервал юм холбоо анхны интервалууд.

Шууд жишээнүүд рүү явцгаая.

Жишээ 1Тэгш бус байдлын системийг шийд:

C3 асуудлын шийдэл.

1. Бид эхлээд эхний тэгш бус байдлыг шийддэг. Орлуулалтыг ашиглан бид тэгш бус байдалд шилждэг:

2. Одоо бид хоёр дахь тэгш бус байдлыг шийдэж байна. Түүний зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг тэгш бус байдлаар тодорхойлно.

Гарчиг="(!LANG: QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн">!}

Логарифмын суурь нь гарчгийн = "(!LANG: QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн" гэж үзвэл зөвшөөрөгдөх хязгаар дотор." height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству:!}

Зөвшөөрөгдөх утгын хүрээнд ороогүй шийдлүүдийг эс тооцвол бид интервалыг авдаг

3. -д хариулах системтэгш бус байдал бий болно уулзвар

Үүний үр дүнд тоон шугам дээрх цоорхой. Шийдэл нь тэдний уулзвар юм

Жишээ 2Тэгш бус байдлын системийг шийд:

C3 асуудлын шийдэл.

1. Бид эхлээд эхний тэгш бус байдлыг шийддэг. Хоёр хэсгийг хоёуланг нь гарчигаар үржүүлнэ = "(!LANG: QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн" height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:!}

Урвуу орлуулалт руу шилжье:

2.

Гарчиг="(!LANG: QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн">!}

Үүссэн хүрээний график дүрслэл. Системийн шийдэл - тэдгээрийн огтлолцол

Жишээ 3Тэгш бус байдлын системийг шийд:

C3 асуудлын шийдэл.

1. Бид эхлээд эхний тэгш бус байдлыг шийддэг. Үүний хоёр хэсгийг гарчигаар үржүүлнэ="(!LANG:QuickLaTeX.com-оос гаргасан" height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство:!}

Орлуулах аргыг ашиглан бид дараах тэгш бус байдал руу шилждэг.

Урвуу орлуулалт руу шилжье:

2. Одоо бид хоёр дахь тэгш бус байдлыг шийдэж байна. Эхлээд энэ тэгш бус байдлын зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг тодорхойлъё.

ql-right-eqno">

Үүнийг анхаарна уу

Дараа нь зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.

3. Бид олдог ерөнхий шийдэлтэгш бус байдал. Зангилааны цэгүүдийн олж авсан иррационал утгыг харьцуулах нь даалгавар юм энэ жишээямар ч ач холбогдолгүй. Үүнийг дараах аргаар хийж болно. Учир нь

Гарчиг="(!LANG: QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн">!}

тэгээд системд өгөх эцсийн хариу нь:

Жишээ 4Тэгш бус байдлын системийг шийд:

С3 асуудлын шийдэл.

1. Эхлээд хоёр дахь тэгш бус байдлыг шийдье:

2. Анхны системийн эхний тэгш бус байдал нь логарифмын хувьсах суурь тэгш бус байдал юм. Тохиромжтой аргаИйм тэгш бус байдлын шийдлийг "Ногцолбор логарифмын тэгш бус байдал" гэсэн өгүүлэлд тайлбарласан бөгөөд энэ нь энгийн томъёонд үндэслэсэн болно.

Тэмдгийн оронд ямар ч тэгш бус байдлын тэмдгийг орлуулж болно, гол зүйл бол энэ нь хоёуланд нь ижил байх явдал юм. Энэ томъёог ашиглах нь тэгш бус байдлын шийдлийг ихээхэн хялбаршуулдаг.

Одоо энэ тэгш бус байдлын зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг тодорхойлъё. Үүнийг дараах системээр өгдөг.

Гарчиг="(!LANG: QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн">!}

Гарчиг="(!LANG: QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн">!}

Үүний зэрэгцээ энэ интервал нь бидний тэгш бус байдлын шийдэл байх болно гэдгийг харахад хялбар байдаг.

3. Эх хувилбарын эцсийн хариулт системүүдтэгш бус байдал бий болно уулзвар олж авсан интервалууд, өөрөөр хэлбэл

Жишээ 5Тэгш бус байдлын системийг шийд:

Асуудлын шийдэл C3.

1. Бид эхлээд эхний тэгш бус байдлыг шийддэг. Бид орлуулах аргыг ашигладаг Дараах квадрат тэгш бус байдалд шилждэг.

2. Одоо бид хоёр дахь тэгш бус байдлыг шийдэж байна. Түүний зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээг системээр тодорхойлно.

Гарчиг="(!LANG: QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн">!}

Энэ тэгш бус байдал нь дараах холимог системтэй тэнцүү байна.

Хүчинтэй утгуудын хүрээнд, өөрөөр хэлбэл гарчигтай = "(! LANG: QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн." height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:!}

Зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг харгалзан бид дараахь зүйлийг олж авна.

3. эцсийн шийдвэрэх системүүдбайна

C3 асуудлын шийдэл.

1. Бид эхлээд эхний тэгш бус байдлыг шийддэг. Тэнцүү хувиргалтаар бид үүнийг дараах хэлбэрт оруулдаг.

2. Одоо бид хоёр дахь тэгш бус байдлыг шийдэж байна. Түүний хүчинтэй утгуудын хүрээг span-аар тодорхойлно: title="(!LANG: QuickLaTeX.com-с үзүүлсэн)" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:!}

Энэ хариулт нь тэгш бус байдлын хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээнд бүхэлдээ хамаарна.

3. Өмнөх догол мөрөнд олж авсан интервалуудыг давснаар бид тэгш бус байдлын системийн эцсийн хариултыг авна.

Өнөөдөр бид логарифм ба экспоненциал тэгш бус байдлын системийг шийдсэн. Ийм төрлийн даалгавруудыг туршилтын явцад санал болгосон Сонголтуудыг ашиглаходоогийн бүх хугацаанд математикт хичээлийн жил. Гэсэн хэдий ч улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлдэж байсан туршлагатай математикийн багшийн хувьд энэ нь үүнтэй төстэй ажлуудыг хийх болно гэсэн үг биш гэдгийг би хэлж чадна. бодит сонголтууд 6-р сард Математикийн улсын нэгдсэн шалгалт.

Юуны өмнө багш нарт хандсан нэг анхааруулгыг хэлье сургуулийн багш нарахлах ангийн сурагчдыг математикийн шалгалтанд бэлтгэх ажилд оролцдог. Сургуулийн хүүхдүүдийг өгөгдсөн сэдвийн дагуу шалгалтанд бэлтгэх нь маш аюултай, учир нь энэ тохиолдолд өмнө нь заасан даалгаврын форматыг бага зэрэг өөрчилсөн ч бүрэн "бөглөх" эрсдэлтэй байдаг. Математикийн боловсрол бүрэн байх ёстой. Хүндэт мэргэжил нэгтэнгүүдээ, тодорхой төрлийн асуудлыг шийдэхийн тулд "сургалт" гэж нэрлэгддэг зүйлээр оюутнуудаа роботтой адилтгаж болохгүй. Эцсийн эцэст хүний ​​сэтгэлгээг албан ёсны болгохоос илүү муу зүйл байхгүй.

Бүгдэд нь амжилт, бүтээлч амжилт хүсье!

Сергей Валерьевич

Хэрэв та оролдвол энэ нь ажиллах эсвэл ажиллахгүй гэсэн хоёр сонголт байна. Хэрэв та оролдохгүй бол ганц л байна.
© Ардын мэргэн ухаан

Бүх төрлийн логарифмын тэгш бус байдлын дунд хувьсах суурьтай тэгш бус байдлыг тусад нь судалдаг. Тэдгээрийг тусгай томъёоны дагуу шийддэг бөгөөд зарим шалтгааны улмаас сургуульд ховор заадаг.

log k (x ) f (x ) ∨ log k (x ) g (x ) ⇒ (f (x ) − g (x )) (k (x ) − 1) ∨ 0

"∨"-ийн оронд та ямар ч тэгш бус байдлын тэмдгийг тавьж болно: их эсвэл бага. Хамгийн гол нь тэгш бус байдлын аль алинд нь шинж тэмдгүүд нь ижил байдаг.

Тиймээс бид логарифмуудаас салж, асуудлыг оновчтой тэгш бус байдал болгон бууруулна. Сүүлийнх нь шийдвэрлэхэд илүү хялбар боловч логарифмыг хаяхад нэмэлт үндэс гарч ирж магадгүй юм. Тэдгээрийг таслахын тулд зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг олоход хангалттай. Хэрэв та логарифмын ODZ-г мартсан бол би үүнийг давтахыг зөвлөж байна - "Логарифм гэж юу вэ" хэсгийг үзнэ үү.

Зөвшөөрөгдсөн утгын хүрээтэй холбоотой бүх зүйлийг тусад нь бичиж, шийдвэрлэх ёстой.

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Эдгээр дөрвөн тэгш бус байдал нь системийг бүрдүүлдэг бөгөөд нэгэн зэрэг биелэгдэх ёстой. Зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээ олдвол түүнийг оновчтой тэгш бус байдлын шийдлээр давах шаардлагатай бөгөөд хариулт бэлэн болно.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

Эхлээд логарифмын ODZ-г бичье.

Эхний хоёр тэгш бус байдлыг автоматаар гүйцэтгэх бөгөөд сүүлчийнх нь бичих шаардлагатай болно. Тооны квадрат нь тэг байх тул тухайн тоо өөрөө тэг байвал бид:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Логарифмын ODZ нь тэгээс бусад бүх тоонууд болох нь харагдаж байна: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Одоо бид үндсэн тэгш бус байдлыг шийдэж байна.

Бид логарифмын тэгш бус байдлаас оновчтой руу шилжих шилжилтийг гүйцэтгэдэг. Анхны тэгш бус байдалд "бага" тэмдэг байгаа тул үүссэн тэгш бус байдал нь "бага" тэмдгээр байх ёстой. Бидэнд байгаа:

(10 − (x 2 + 1)) (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x2) x2< 0;
(3 − x) (3 + x) x 2< 0.

Энэ илэрхийллийн тэг: x = 3; x = -3; x = 0. Тэгээд ч x = 0 нь хоёр дахь үржвэрийн үндэс бөгөөд түүгээр дамжин өнгөрөхөд функцийн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй гэсэн үг юм. Бидэнд байгаа:

Бид x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞) авна. Энэ багц нь логарифмын ODZ-д бүрэн агуулагдсан бөгөөд энэ нь хариулт гэсэн үг юм.

Логарифмын тэгш бус байдлын хувиргалт

Ихэнхдээ анхны тэгш бус байдал нь дээрхээс ялгаатай байдаг. Үүнийг засахад хялбар байдаг стандарт дүрэмлогарифмтай ажиллах - "Логарифмын үндсэн шинж чанарууд" -ыг үзнэ үү. Тухайлбал:

1. Аливаа тоог өгөгдсөн суурьтай логарифм хэлбэрээр илэрхийлж болно;
2. Ижил суурьтай логарифмын нийлбэр ба зөрүүг нэг логарифмээр сольж болно.

Би хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгуудын хүрээний талаар тусад нь сануулахыг хүсч байна. Анхны тэгш бус байдалд хэд хэдэн логарифм байж болох тул тэдгээрийн DPV-ийг олох шаардлагатай. Энэ замаар, ерөнхий схемЛогарифмын тэгш бус байдлын шийдэл нь дараах байдалтай байна.

1. Тэгш бус байдалд орсон логарифм бүрийн ODZ-ийг ол;
2. Логарифм нэмэх, хасах томъёог ашиглан тэгш бус байдлыг стандарт болгон бууруулах;
3. Дээрх схемийн дагуу үүссэн тэгш бус байдлыг шийд.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

Эхний логарифмын тодорхойлолтын мужийг (ODZ) ол:

Бид интервалын аргаар шийддэг. Тоолуурын тэгийг олох:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Дараа нь - хуваагчийн тэгүүд:

x − 1 = 0;
x = 1.

Бид координатын сум дээр тэг, тэмдгийг тэмдэглэнэ.

Бид x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞) авна. ODZ-ийн хоёр дахь логарифм нь ижил байх болно. Надад итгэхгүй бол шалгаж болно. Одоо бид хоёр дахь логарифмыг хувиргаж, суурь нь хоёр байна:

Таны харж байгаагаар суурь ба логарифмын өмнөх гурав дахин багассан байна. Ижил суурьтай хоёр логарифм ав. Тэднийг нэгтгэж үзье:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Бид стандарт логарифмын тэгш бус байдлыг олж авлаа. Бид томьёогоор логарифмуудаас салдаг. Анхны тэгш бус байдалд багаас бага тэмдэг байгаа тул үүссэн оновчтой илэрхийлэл нь мөн тэгээс бага байх ёстой. Бидэнд байгаа:

(f (x) - g (x)) (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 - 2x - 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Бид хоёр багц авсан:

1. ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Хариултын нэр дэвшигч: x ∈ (−1; 3).

Эдгээр багцыг давахад л үлдлээ - бид жинхэнэ хариултыг авна.

Бид олонлогуудын огтлолцлыг сонирхож байгаа тул хоёр сум дээр сүүдэрлэсэн интервалуудыг сонгоно. Бид x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3)-ийг авна - бүх цэгүүд цоорсон байна.

Таны хувийн нууц бидэнд чухал. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын бодлогыг уншаад асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг:

• Та сайт дээр өргөдөл гаргахад бид цуглуулж магадгүй янз бүрийн мэдээлэлтаны нэр, утасны дугаар, хаяг зэрэг орно Имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлтантай холбоо барьж, танд мэдэгдэх боломжийг бидэнд олгоно өвөрмөц саналууд, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээ.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан танд чухал мэдэгдэл, мессеж илгээж болно.
• Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааүзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй урамшуулалд оролцох юм бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээлэл өгөх

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар болон / эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Хэрэв бид аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтэд ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой. чухал тохиолдлууд.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх эсвэл худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох гуравдагч этгээдийн өв залгамжлагчид шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, буруугаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хадгалах

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын талаар ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Логарифмын тэгш бус байдал

Өмнөх хичээлүүд дээр бид логарифмын тэгшитгэлтэй танилцаж, одоо тэд юу болохыг, тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэхийг мэддэг болсон. Мөн өнөөдрийн хичээлийг логарифмын тэгш бус байдлын судалгаанд зориулах болно. Эдгээр тэгш бус байдал гэж юу вэ, логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх хоёрын ялгаа юу вэ?

Логарифмын тэгш бус байдал нь логарифмын тэмдгийн дор эсвэл суурь дээр хувьсагчтай тэгш бус байдлыг хэлнэ.

Эсвэл логарифмын тэгшитгэлийн нэгэн адил үл мэдэгдэх утга нь логарифмын тэмдгийн дор байх тэгш бус байдлыг логарифмын тэгш бус байдал гэж бас хэлж болно.

Эгэл биетэн логарифмын тэгш бус байдалэнэ маягттай байна:

f(x) ба g(x) нь x-ээс хамаарах зарим илэрхийлэл юм.

Үүнийг дараах жишээгээр харцгаая: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Логарифмын тэгш бус байдлыг шийдэхийн өмнө тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ дараахтай төстэй болохыг тэмдэглэх нь зүйтэй. экспоненциал тэгш бус байдал, тухайлбал:

Нэгдүгээрт, логарифмаас логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийлэл рүү шилжихдээ бид мөн логарифмын суурийг нэгтэй харьцуулах хэрэгтэй;

Хоёрдугаарт, хувьсагчийн өөрчлөлтийг ашиглан логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ хамгийн энгийн тэгш бус байдлыг олж авах хүртэл өөрчлөлттэй холбоотой тэгш бус байдлыг шийдэх хэрэгтэй.

Гэхдээ бид логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх ижил төстэй мөчүүдийг авч үзсэн. Одоо нэлээд чухал ялгааг харцгаая. Логарифмын функц нь хязгаарлагдмал тодорхойлолттой гэдгийг та бид мэднэ, тиймээс логарифмаас логарифмын тэмдгийн дор байгаа илэрхийлэл рүү шилжихдээ хүлээн зөвшөөрөгдөх утгын хүрээг (ODV) анхаарч үзэх хэрэгтэй.

Өөрөөр хэлбэл, логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ эхлээд тэгшитгэлийн язгуурыг олж, дараа нь энэ шийдлийг шалгаж болно гэдгийг санах нь зүйтэй. Гэхдээ логарифмын тэгш бус байдлыг шийдэх нь ийм байдлаар ажиллахгүй, учир нь логарифмээс логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийлэл рүү шилжихийн тулд тэгш бус байдлын ODZ-ийг бичих шаардлагатай болно.

Нэмж дурдахад тэгш бус байдлын онол нь эерэг ба бодит тооноос бүрддэг гэдгийг санах нь зүйтэй. сөрөг тоонууд, түүнчлэн 0 тоо.

Жишээлбэл, "a" тоо эерэг байвал дараах тэмдэглэгээг ашиглах ёстой: a > 0. Энэ тохиолдолд эдгээр тоонуудын нийлбэр ба үржвэр хоёулаа эерэг байх болно.

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үндсэн зарчим бол түүнийг илүү энгийн тэгш бусаар солих явдал боловч хамгийн гол нь өгөгдсөнтэй тэнцүү байх явдал юм. Цаашилбал, бид мөн адил тэгш бус байдлыг олж аваад дахин энгийн хэлбэрээр сольсон гэх мэт.

Хувьсагчтай тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд та түүний бүх шийдлийг олох хэрэгтэй. Хэрэв хоёр тэгш бус байдал нь ижил х хэмжигдэхүүнтэй бол тэдгээрийн шийдэл нь ижил байх тохиолдолд ийм тэгш бус байдал нь тэнцүү байна.

Логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх даалгавруудыг гүйцэтгэхдээ a > 1 үед логарифмын функц нэмэгдэж, 0 үед логарифмын функц нэмэгддэг гэдгийг санах хэрэгтэй.< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх арга замууд

Одоо логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд тохиолддог зарим аргуудыг авч үзье. Илүү сайн ойлгох, шингээхийн тулд бид тодорхой жишээнүүдийг ашиглан тэдгээрийг ойлгохыг хичээх болно.

Хамгийн энгийн логарифмын тэгш бус байдал дараах хэлбэртэй байдгийг бид мэднэ.

Энэ тэгш бус байдлын хувьд V нь тэгш бус байдлын шинж тэмдгүүдийн нэг юм.<,>, ≤ эсвэл ≥.

Хэрэв энэ логарифмын суурь нь нэгээс их (a>1) байвал логарифмаас логарифмын тэмдгийн доорх илэрхийлэл рүү шилжих тохиолдолд энэ хувилбарт тэгш бус байдлын тэмдэг хадгалагдах бөгөөд тэгш бус байдал нь дараах байдлаар харагдах болно.

Энэ нь дараах системтэй тэнцүү байна.

Логарифмын суурь нь тэгээс их, нэгээс бага (0

Энэ нь энэ системтэй тэнцүү байна:

Доорх зурагт үзүүлсэн хамгийн энгийн логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээнүүдийн шийдэл

Дасгал хийх.Энэ тэгш бус байдлыг шийдэхийг хичээцгээе:

Зөвшөөрөгдөх утгын бүсийн шийдвэр.

Одоо түүний баруун талыг дараах байдлаар үржүүлэхийг хичээцгээе.

Бид юу хийж чадахаа харцгаая:

Одоо дэд логарифмын илэрхийллийн хувиргалт руу шилжье. Логарифмын суурь нь 0 тул< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
x > 8.

Үүнээс үзэхэд бидний олж авсан интервал нь бүхэлдээ ODZ-д хамаарах бөгөөд ийм тэгш бус байдлын шийдэл юм.

Бидний авсан хариулт энд байна:

Логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд юу хэрэгтэй вэ?

Одоо логарифмын тэгш бус байдлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд юу хэрэгтэйг шинжлэхийг оролдъё?

Нэгдүгээрт, бүх анхаарлаа төвлөрүүлж, энэ тэгш бус байдалд өгөгдсөн өөрчлөлтийг хийхдээ алдаа гаргахгүй байхыг хичээ. Түүнчлэн, ийм тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ ODZ тэгш бус байдлын тэлэлт, нарийсалтаас урьдчилан сэргийлэх шаардлагатай бөгөөд энэ нь гадны шийдлүүдийг алдах эсвэл олж авахад хүргэдэг гэдгийг санах нь зүйтэй.

Хоёрдугаарт, логарифмын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ тэгш бус байдлын систем ба тэгш бус байдлын багц гэх мэт ойлголтуудын ялгааг ойлгож, логикоор сэтгэж сурах хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр тэгш бус байдлын шийдлийг DHS-ийг удирдан чиглүүлж болно.

Гуравдугаарт, ийм тэгш бус байдлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд хүн бүр бүх шинж чанарыг төгс мэддэг байх ёстой. үндсэн функцуудмөн тэдгээрийн утгыг тодорхой ойлгох болно. Ийм функцууд нь зөвхөн логарифм төдийгүй рациональ, хүч, тригонометр гэх мэт, нэг үгээр бол таны сургуулийн алгебрийн хичээлийн үеэр судалж байсан бүх функцийг агуулдаг.

Таны харж байгаагаар логарифмын тэгш бус байдлын сэдвийг судалсны дараа зорилгодоо хүрэхийн тулд анхааралтай, тууштай байх тохиолдолд эдгээр тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хэцүү зүйл байхгүй. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд ямар ч асуудал гарахгүйн тулд та янз бүрийн даалгавруудыг шийдэж, аль болох сургаж, ижил тэгш бус байдал, тэдгээрийн системийг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг цээжлэх хэрэгтэй. Логарифмын тэгш бус байдлын бүтэлгүй шийдлүүдийн хувьд та алдаагаа сайтар шинжлэх хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр та ирээдүйд дахин алдаа гаргахгүй байх болно.

Гэрийн даалгавар

Сэдвийг илүү сайн ойлгож, авч үзсэн материалыг нэгтгэхийн тулд дараахь тэгш бус байдлыг шийднэ үү.