Математик индукцийн арга ба түүнийг асуудал шийдвэрлэхэд ашиглах. Жишээ нь - математикийн индукц

Ажлын текстийг зураг, томьёогүйгээр байрлуулсан.
Бүрэн хувилбаражлыг "Ажлын файлууд" таб дээрээс PDF форматаар авах боломжтой

Оршил

Энэ сэдэв нь хамааралтай, учир нь хүмүүс өдөр бүр өргөдөл гаргаж буй янз бүрийн асуудлыг шийддэг өөр өөр аргуудшийдлүүд, гэхдээ аргагүйгээр хийх боломжгүй ажлууд байдаг математикийн индукц, ийм тохиолдолд энэ талын мэдлэг маш их хэрэг болно.

би сонгосон энэ сэдэвсудалгаанд зориулж, учир нь сургуулийн сургалтын хөтөлбөрМатематик индукцийн аргад бага цаг зарцуулдаг тул оюутан зөвхөн ерөнхий ойлголттой болоход туслах өнгөц мэдээллийг олж авдаг. энэ арга, гэхдээ энэ онолыг гүнзгийрүүлэн судлахын тулд өөрийгөө хөгжүүлэх шаардлагатай болно. Энэ сэдвийн талаар илүү ихийг мэдэх нь үнэхээр ашигтай байх болно, учир нь энэ нь хүний ​​алсын харааг өргөжүүлж, нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг.

Зорилго:

Математик индукцийн аргатай танилцаж, энэ сэдвийн талаархи мэдлэгийг системчилж, шийдвэрлэхдээ хэрэглээрэй. математикийн асуудлуудмөн теоремуудыг батлах, нотлох, харуулах практик үнэ цэнэМатематикийн индукцийн аргыг асуудлыг шийдвэрлэхэд зайлшгүй шаардлагатай хүчин зүйл болгон ашиглах.

Ажлын даалгавар:

Уран зохиолд дүн шинжилгээ хийж, сэдвийн талаархи мэдлэгийг нэгтгэн дүгнэх.

Математик индукцийн зарчмуудыг ойлгох.

Математик индукцийн аргыг асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглах талаар судлах.

Хийсэн ажлын талаар дүгнэлт, дүгнэлт гаргах.

Судалгааны үндсэн хэсэг

Гарал үүслийн түүх:

Зөвхөн XIX сүүлзуунд логик хатуу байдлын шаардлагын стандарт бий болсон бөгөөд энэ нь өнөөг хүртэл давамгайлсан хэвээр байна практик ажилбие даасан математикийн онолыг хөгжүүлэх талаар математикчид.

Индукц бол танин мэдэхүйн үйл явц бөгөөд үүний тусламжтайгаар тэдгээрийг нэгтгэсэн мэдэгдлийг байгаа баримтуудын харьцуулалтаас гаргаж авдаг.

Математикийн хувьд индукцийн үүрэг нь сонгосон аксиоматикийн үндэс суурь болдог. Шулуун зам нь муруй эсвэл эвдэрсэн замаас үргэлж богино байдгийг удаан хугацааны турш туршсаны дараа аксиом томъёолох нь зүйн хэрэг байв: A, B, C гурван цэгийн хувьд тэгш бус байдал хангагдана.

Математик индукцийн аргыг тусдаа чухал арга гэж мэддэг байсан нь Блез Паскаль, Герсонидс нараас үүдэлтэй боловч зарим тохиолдлыг Проклус, Евклид нар эрт дээр үед ч олжээ. Аргын орчин үеийн нэрийг де Морган 1838 онд нэвтрүүлсэн.

Математик индукцийн аргыг ахиц дэвшилтэй харьцуулж болно: бид хамгийн доод хэсгээс эхэлдэг, логик сэтгэлгээний үр дүнд бид хамгийн дээд цэгт хүрдэг. Хүн үргэлж хөгжил дэвшлийг эрэлхийлж, сэтгэлгээгээ логикоор хөгжүүлэх чадварыг эрэлхийлсээр ирсэн бөгөөд энэ нь байгаль өөрөө түүнийг индуктив байдлаар сэтгэхийг заяасан гэсэн үг юм.

Индукц ба хасалт

Тусгай болон ерөнхий мэдэгдлүүд байдаг нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд өгөгдсөн хоёр нэр томъёо нь нэгээс нөгөөд шилжихэд суурилдаг.

Дедукц (лат. deductio - гарал үүсэлтэй) - танин мэдэхүйн үйл явц дахь шилжилт ерөнхиймэдлэг хувийнболон ганц бие. хасалтад Ерөнхий мэдлэгэргэцүүлэн бодох эхлэлийн цэг болдог бөгөөд энэхүү ерөнхий мэдлэг нь "бэлэн", байгаа гэж үздэг. Дедукцийн онцлог нь түүний байр суурийн үнэн нь дүгнэлтийн үнэнийг баталгаажуулдаг явдал юм. Иймд дедукц нь ятгах асар их хүч чадалтай бөгөөд зөвхөн математикийн теоремуудыг батлахад төдийгүй найдвартай мэдлэг шаардлагатай бүх газарт өргөн хэрэглэгддэг.

Индукц (Латин inductio - удирдамж) нь танин мэдэхүйн үйл явц дахь шилжилт юм. хувийнмэдлэг ерөнхийӨөрөөр хэлбэл энэ нь ажиглалт, туршилтын үр дүнг нэгтгэхтэй холбоотой судалгаа, мэдлэгийн арга юм.Индукцийн нэг онцлог нь түүний магадлалын шинж чанар юм. Эхний байруудын үнэнийг харгалзан үзвэл индукцийн дүгнэлт нь зөвхөн үнэн байж магадгүй бөгөөд эцсийн үр дүнд энэ нь үнэн, худал аль аль нь болж хувирч магадгүй юм.

Бүрэн ба бүрэн бус индукц

Индуктив үндэслэл нь хэлбэр юм хийсвэр сэтгэлгээ, үүнд сэтгэлгээ нь бага зэргийн ерөнхий байдлын мэдлэгээс илүү ерөнхий байдлын мэдлэг рүү хөгждөг ба уг байр сууринаас гарах дүгнэлт нь голчлон магадлалын шинж чанартай байдаг.

Судалгааны явцад би индукцийг бүрэн, бүрэн бус гэсэн хоёр төрөлд хуваадаг болохыг олж мэдсэн.

Бүрэн индукцийг энэ ангийн бүх объектыг судалсны үндсэн дээр объектын ангиллын талаархи ерөнхий дүгнэлтийг хийсэн дүгнэлт гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, 6≤ n≤ 18 доторх натурал тэгш тоо n бүрийг хоёрын нийлбэрээр илэрхийлж болохыг тогтоох шаардлагатай гэж бодъё. анхны тоонууд. Үүнийг хийхийн тулд бид бүх тоонуудыг авч, холбогдох өргөтгөлүүдийг бичнэ.

6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;14=7+7; 16=11+5; 18=13+5;

Эдгээр тэгш байдал нь бидний сонирхож буй тоо бүр нь хоёр энгийн нөхцлийн нийлбэрээр илэрхийлэгддэг болохыг харуулж байна.

Дараах жишээг авч үзье: yn= n 2 +n+17 дараалал; Эхний дөрвөн гишүүнийг бичье: y 1 =19; y2=23; y3=29; y4=37; Дараа нь бүх дараалал нь анхны тоонуудаас бүрдэнэ гэж бид үзэж болно. Гэхдээ энэ нь тийм биш, y 16 = 16 2 +16+17=16(16+1)+17=17*17 гэж авъя. Энэ бол нийлмэл тоо бөгөөд энэ нь бидний таамаглал буруу гэсэн үг бөгөөд ингэснээр бүрэн бус индукц нь бүрэн найдвартай дүгнэлтэд хүргэдэггүй боловч хожим нь математикийн нотолгоо эсвэл няцаалт шаарддаг таамаглалыг боловсруулах боломжийг бидэнд олгодог.

Математик индукцийн арга

Бүрэн индукц нь зөвхөн математикт хязгаарлагдмал хэрэглээтэй байдаг. Маш олон сонирхолтой математик хэллэгүүд нь хязгааргүй тооны онцгой тохиолдлуудыг хамардаг бөгөөд бид эдгээр бүх нөхцөл байдлыг шалгах боломжгүй.Гэхдээ хязгааргүй тооны тохиолдлыг хэрхэн шалгах вэ? Энэ аргыг Б.Паскаль, Ж.Бернулли нар санал болгосон бөгөөд энэ нь математикийн индукцийн арга бөгөөд үүнд үндэслэсэн. Математик индукцийн зарчим.

Хэрэв n натурал тооноос хамаарах A(n) өгүүлбэр n=1-д үнэн бөгөөд n=k-д үнэн байхаас (энд k нь дурын натурал тоо) мөн адил байна гэсэн үг. дараагийн n=k +1 тооны хувьд үнэн бол ямар ч натурал n тооны хувьд A(n) таамаглал үнэн болно.

Зарим тохиолдолд зарим мэдэгдлийн үнэн зөвийг бүхэлд нь биш батлах шаардлагатай байж болно натурал тоонууд, гэхдээ зөвхөн n>p-ийн хувьд, энд p-тогтмол натурал тоо. Энэ тохиолдолд математик индукцийн зарчмыг дараах байдлаар томъёолно.

Хэрэв n=p-ийн хувьд A(n) өгүүлбэр үнэн бол A(k) бол  Аливаа k>p-ийн хувьд A(k+1) байвал ямар ч n>p-ийн хувьд A(n) өгүүлбэр үнэн болно.

Алгоритм (энэ нь дөрвөн үе шатаас бүрдэнэ):

1.суурь(Бид хамгийн энгийн онцгой тохиолдлуудад нотлогдож буй батламж үнэн болохыг харуулж байна) П = 1));

2. таамаглах(Бид энэ мэдэгдлийг эхнийх нь нотолсон гэж үзэж байна руу тохиолдол); 3 .алхам(энэ таамаглалын дагуу бид хэргийн талаархи мэдэгдлийг нотолж байна П = руу + 1); 4. гаралт (yмэдэгдэл бүх тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл бүх тохиолдолд үнэн юм P) .

Математикийн индукцийн аргаар бүх асуудлыг шийдэж болохгүй, гэхдээ зөвхөн зарим нэг хувьсагчаар параметрчилсэн асуудлуудыг шийдэж болно гэдгийг анхаарна уу. Энэ хувьсагчийг индукцийн хувьсагч гэж нэрлэдэг.

Математик индукцийн аргын хэрэглээ

Энэ бүх онолыг практикт хэрэгжүүлж, энэ аргыг ямар бодлогод ашигладаг болохыг олж мэдье.

Тэгш бус байдлыг нотлох асуудал.

Жишээ 1Бернулли тэгш бус байдлыг батал (1+x)n≥1+n x, x>-1, n ∈ N.

1) n=1-ийн хувьд 1+х≥1+х учир тэгш бус байдал үнэн байна

2) Зарим n=k-ийн хувьд тэгш бус байдал үнэн гэж үзье, өөрөөр хэлбэл.

(1+x) k ≥1+k x.

Тэгш бус байдлын хоёр талыг эерэг тоо 1+x-ээр үржүүлбэл бид гарна

(1+x) k+1 ≥(1+kx)(1+ x) =1+(k+1) x + kx 2

kx 2 ≥0 гэж үзвэл тэгш бус байдалд хүрнэ

(1+x) k+1 ≥1+(k+1) x.

Иймд Бернуллигийн тэгш бус байдал n=k-ийн хувьд үнэн гэсэн таамаглал нь n=k+1-ийн хувьд үнэн гэсэн үг юм. Математик индукцийн аргад үндэслэн Бернуллигийн тэгш бус байдал нь дурын n ∈ N-д хүчинтэй гэж үзэж болно.

Жишээ 2Дурын натурал тоо n>1, .

Математик индукцийн аргыг ашиглан баталцгаая.

Тэмдэглэх зүүн талдамжуулан тэгш бус байдал.

1), тиймээс n=2-ын хувьд тэгш бус байдал үнэн болно.

2) Хэд хэдэн к-г авч үзье. Үүнийг баталцгаая Бидэнд байгаа .

Харьцуулж, бид байна, i.e. .

Аливаа байгалийн к баруун хэсэгСүүлийн тэгш байдал эерэг байна. Тийм ч учраас. Гэхдээ, тиймээс, мөн.. Бид n=k+1-ийн хувьд тэгш бус байдлын үнэн зөвийг нотолсон тул математик индукцийн аргын тусламжтайгаар тэгш бус байдал нь ямар ч натурал n>1-д үнэн болно.

Иргэний үнэмлэхийг баталгаажуулах асуудал.

Жишээ 1Аливаа натурал n-ийн хувьд тэгш байдал үнэн болохыг батал.

1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.

n=1, тэгвэл X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.

n=1-ийн хувьд мэдэгдэл үнэн болохыг бид харж байна.

2) n=kX k =k 2 (k+1) 2 /4-ийн хувьд тэгш байдал үнэн гэж бодъё.

3) n=k+1, өөрөөр хэлбэл X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4-ийн хувьд энэ мэдэгдлийн үнэнийг баталъя. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k+1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

Дээрх нотолгооноос харахад n=k+1-ийн хувьд уг мэдэгдэл үнэн байх тул аливаа натурал n-ийн хувьд тэгш байдал үнэн байна.

Жишээ 2Аливаа байгалийн n тэгш байдлын хувьд үүнийг батал

1) Энэ таних тэмдэг нь n = 1-ийн хувьд үнэн эсэхийг шалгах; - зөв.

2) n = k-д мөн адил таних тэмдэг үнэн байг, өөрөөр хэлбэл.

3) Энэ ижилсэл нь n = k + 1-ийн хувьд ч үнэн болохыг баталцгаая, өөрөөр хэлбэл;

Учир нь n=k ба n=k+1-ийн хувьд тэгш байдал үнэн бол аль ч натурал n-д үнэн болно.

Дүгнэлт хийх даалгавар.

Жишээ 1 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 гэдгийг батал.

Шийдэл: 1) Бидэнд n=1=1 2 байна. Тиймээс n=1-ийн хувьд мэдэгдэл үнэн, өөрөөр хэлбэл. A(1) үнэн.

2) А(k) A(k+1) гэдгийг баталъя.

k нь дурын натурал тоо байх ба n=k, өөрөөр хэлбэл 1+3+5+…+(2k-1)=k 2-ын хувьд уг мэдэгдлийг үнэн гэж үзье.

Дараах натурал тоо n=k+1, i. юу

1+3+5+…+(2к+1)=(k+1) 2 .

Үнэхээр 1+3+5+…+(2к-1)+(2к+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

Тэгэхээр A(k) A(k+1). Математикийн индукцийн зарчимд үндэслэн бид ямар ч n N-ийн хувьд A(n) таамаглал үнэн гэж дүгнэж байна.

Жишээ 2Томьёог батал, n нь натурал тоо.

Шийдэл: n=1 үед тэгш байдлын хоёр хэсэг нь нэг болж хувирах тул математик индукцийн зарчмын эхний нөхцөл хангагдана.

Томьёог n=k хувьд үнэн гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. .

Энэ тэгш байдлын хоёр тал дээр нэмээд баруун талыг нь өөрчилье. Дараа нь бид авна

Иймд n=k-ийн хувьд томьёо үнэн байхаас n=k+1-ийн хувьд үнэн гэсэн дүгнэлт гарна, тэгвэл аливаа натурал n-д энэ мэдэгдэл үнэн болно.

хуваагдах асуудлууд.

Жишээ 1(11 n+2 +12 2n+1) нь 133-т үлдэгдэлгүй хуваагддаг болохыг батал.

Шийдэл: 1) n=1 гэж үзье

11 3 +12 3 \u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \u003d 23 × 133.

(23 × 133) нь 133-т үлдэгдэлгүй хуваагддаг тул n=1-ийн хувьд мэдэгдэл үнэн;

2) (11k+2 +12 2k+1) нь 133-т үлдэгдэлгүй хуваагдана гэж бодъё.

3) Энэ тохиолдолд үүнийг нотолж үзье

(11 к+3 +12 2к+3) нь 133-т үлдэгдэлгүй хуваагдана. Үнэхээр 11 к+3 +12 2n+3 =11×11 к+2 +

12 2 ×12 2к+1 =11× 11 к+2 +(11+133)× 12 2к+1 =11(11к+2 +12 2к+1)+133× 12 2к+1 .

Үүссэн нийлбэр нь 133-т үлдэгдэлгүй хуваагддаг, учир нь түүний эхний гишүүн нь таамаглалаар үлдэгдэлгүйгээр 133-д хуваагддаг ба хоёр дахь хүчин зүйлийн нэг нь 133 байна.

Тэгэхээр, A(k) → A(k+1), дараа нь математикийн индукцийн аргад үндэслэн аливаа байгалийн n-ийн хувьд мэдэгдэл үнэн болно.

Жишээ 2Дурын эерэг бүхэл тоо n-ийн хувьд 3 3n-1 +2 4n-3 нь 11-д хуваагддаг болохыг батал.

Шийдэл: 1) n=1 гэж үзвэл X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 нь 11-д үлдэгдэлгүй хуваагдана. Тиймээс n=1-ийн хувьд мэдэгдэл үнэн болно.

2) n=k-ийн хувьд гэж үзье

X k \u003d 3 3k-1 +2 4k-3 нь 11-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагдана.

3) n=k+1-ийн хувьд уг мэдэгдэл үнэн болохыг баталъя.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3к+2 +2 4к+1 =3 3 *3 3к-1 +2 4 *2 4к-3 =

27 3 3к-1 +16* 2 4к-3 =(16+11)* 3 3к-1 +16* 2 4к-3 =16* 3 3к-1 +

11* 3 3к-1 +16* 2 4к-3 =16(3 3к-1 +2 4к-3)+11* 3 3к-1 .

Эхний гишүүн 11-д үлдэгдэлгүй хуваагдана, учир нь 3 3k-1 +2 4k-3 нь таамаглалаар 11-д хуваагддаг, хоёр дахь нь 11-д хуваагддаг, учир нь түүний нэг хүчин зүйл нь 11. Тиймээс нийлбэр нь мөн ямар ч натурал n-д үлдэгдэлгүй 11-д хуваагдана.

Бодит амьдралаас авсан даалгаварууд.

Жишээ 1 Sn нийлбэр болохыг нотол дотоод булангуудаливаа гүдгэр олон өнцөгт нь ( П- 2)π, хаана ПЭнэ олон өнцөгтийн талуудын тоо: Sn = ( П- 2)π (1).

Энэ мэдэгдэл нь бүх байгалийн хувьд утгагүй юм П, гэхдээ зөвхөн П > Гурвалжны хамгийн бага өнцөг нь 3 тул 3.

1) Хэзээ П= 3 бидний мэдэгдэл дараах хэлбэртэй байна: S 3 = π. Гэхдээ аливаа гурвалжны дотоод өнцгийн нийлбэр нь үнэхээр π юм. Тиймээс, хэзээ П= 3 томъёо (1) үнэн.

2) Энэ томьёог n-д үнэн гэж үзье =к, өөрөөр хэлбэл С к = (к- 2)π, хаана к > 3. Энэ тохиолдолд томьёо нь бас биелдэг болохыг нотолцгооё: С k+ 1 = (к- 1) π.

A 1 A 2 ... A байг к А k+ 1 - дурын гүдгэр ( к+ 1) -гон (Зураг 338).

А 1 ба А цэгүүдийг холбосноор к , бид гүдгэр болно к-гон A 1 A 2 ... A к - 1А к . Мэдээжийн хэрэг, өнцгийн нийлбэр ( к+ 1) -gon A 1 A 2 ... A к А k+ 1 нь өнцгүүдийн нийлбэртэй тэнцүү к-гон A 1 A 2 ... A к А гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр 1 А к А k+ нэг . Гэхдээ өнцгүүдийн нийлбэр к-гон A 1 A 2 ... A к гэж таамаглаж байна ( к- 2)π ба гурвалжны A 1 А өнцгийн нийлбэр к А k+ 1 нь pi-тэй тэнцүү. Тийм ч учраас

С k+ 1=С к + π = ( к- 2)π + π = ( к- 1) π.

Тиймээс математик индукцийн зарчмын хоёр нөхцөл хангагдсан тул (1) томъёо нь аливаа байгалийн хувьд үнэн юм. П > 3.

Жишээ 2Бүх шат нь адилхан шат байдаг. Аливаа алхамыг "авирах" боломжийг баталгаажуулах хамгийн бага тооны байрлалыг зааж өгөх шаардлагатай.

Нөхцөл байх ёстой гэдэгтэй бүгд санал нийлдэг. Бид эхний шат руу авирч чаддаг байх ёстой. Дараа нь тэд эхний шатнаас хоёр дахь шат хүртэл авирч чаддаг байх ёстой. Дараа нь хоёр дахь нь - гурав дахь гэх мэт. n-р алхам руу. Мэдээжийн хэрэг, нийлбэр дүнгээр "n" мэдэгдлүүд нь бид n-р алхам руу орох боломжтой гэдгийг баталгаажуулдаг.

Одоо 2, 3,…., n байрлалуудыг харж, бие биетэйгээ харьцуулж үзье. Тэд бүгд ижил бүтэцтэй гэдгийг харахад хялбар байдаг: хэрэв бид k шат руу очвол (k + 1) шат руу авирч чадна. Эндээс "n" -ээс хамаарах мэдэгдлүүдийн үнэн зөв болох аксиом нь байгалийн болж хувирна: хэрэв n нь натурал тоо болох A (n) өгүүлбэр нь n=1-д хангагдаж, хангагдахаас n=k-тэй (үүнд k нь дурын натурал тоо) n=k+1-д мөн тохирно, тэгвэл дурын натурал n тооны хувьд A(n) таамаглал биелнэ.

Өргөдөл

Их дээд сургуульд орохдоо математикийн индукцийн аргыг ашигласан даалгавар.

Дээд сургуульд элсэх үед анхаарна уу боловсролын байгууллагуудЭнэ аргаар шийдэгддэг асуудлууд бас бий. Тэдгээрийг тодорхой жишээн дээр авч үзье.

Жишээ 1Ямар ч байгалиас заяасан гэдгийг батлах Пшударга тэгш байдал

1) Хэзээ n=1Бид зөв тэгш байдлыг олж авдаг.

2) n= гэсэн индуктив таамаглалыг гаргасны дараа ктэгш байдал үнэн, тэгш байдлын зүүн талд байгаа нийлбэрийг авч үзье, n =k+1;

3) Бууруулах томъёог ашиглан бид илэрхийллийг хувиргана.

Дараа нь математик индукцийн аргын ачаар тэгш байдал нь аливаа байгалийн n-д үнэн болно.

Жишээ 2Аливаа натурал n-ийн хувьд 4n +15n-1 илэрхийллийн утга 9-ийн үржвэр болохыг батал.

1) n=1-тэй: 2 2 +15-1=18 - 9-ийн үржвэр (учир нь 18:9=2)

2) Тэгш байдал хэвээр хадгалагдана n=k: 4к +15к-1 нь 9-ийн үржвэр юм.

3) Дараагийн тооны хувьд тэгш байдал биелнэ гэдгийг баталцгаая n=k+1

4к+1 +15(к+1)-1=4к+1 +15к+15-1=4.4к +60к-4-45к+18=4(4к +15к-1)-9(5к- 2)

4(4к +15к-1) - 9-ийн үржвэр;

9(5к-2) - 9-ийн үржвэр;

Иймээс 4(4 k +15к-1)-9(5к-2) илэрхийлэл бүхэлдээ 9-ийн үржвэр бөгөөд үүнийг батлах ёстой.

Жишээ 3Үүнийг дурын натурал тоогоор батал Пнөхцөл хангагдсан: 1∙2∙3+2∙3∙4+…+ n(n+1)(n+2)=.

1) Үүнийг шалгана уу өгөгдсөн томъёоүнэн цагт n=1:Зүүн тал = 1∙2∙3=6.

Баруун хэсэг = . 6 = 6; үнэн цагт n=1.

2) Энэ томьёог n-д үнэн гэж үзье =k:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+k(k+1)(k+2)=.С к =.

3) Энэ томьёо n-ийн хувьд үнэн болохыг баталъя =k+1:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+(k+1)(k+2)(k+3)=.

С k+1 =.

Нотолгоо:

Тэгэхээр, энэ нөхцөлхоёр тохиолдолд үнэн ба n-ийн хувьд үнэн болох нь батлагдсан =k+1,тиймээс энэ нь ямар ч натурал тооны хувьд үнэн юм П.

Дүгнэлт

Дүгнэж хэлэхэд, судалгааны явцад би индукц гэж юу болохыг олж мэдсэн, бүрэн, дутуу гэж юу болохыг олж мэдсэн, математик индукцийн зарчимд суурилсан математик индукцийн аргатай танилцаж, энэ аргыг ашиглан олон асуудлыг авч үзсэн.

Мөн сургуулийн хөтөлбөрт тусгагдсанаас өөр олон шинэ мэдээлэл олж авлаа.Математикийн индукцийн аргыг судалж байхдаа янз бүрийн ном зохиол, интернетийн эх сурвалжуудыг ашигласан, мөн багштай зөвлөлдсөн.

Дүгнэлт: Математикийн индукцийн талаархи мэдлэгийг нэгтгэж, системчилсэнээр би энэ сэдвээр мэдлэг хэрэгтэй гэдэгт бодит байдалд итгэлтэй болсон. эерэг чанарМатематик индукцийн арга нь түүний өргөн хэрэглээасуудал шийдвэрлэхэд: алгебр, геометр, бодит математикийн чиглэлээр. Мөн энэхүү мэдлэг нь математикийн шинжлэх ухааны сонирхлыг нэмэгдүүлдэг.

Ажлын явцад олж авсан ур чадвар нь ирээдүйд надад тусална гэдэгт итгэлтэй байна.

​ Ном зүй

Соминский I.S. Математик индукцийн арга. Математикийн алдартай лекцүүд, дугаар 3-М.: Наука, 1974.

Л.И.Головина, И.М.Яглом. Геометрийн индукц. - Физматгиз, 1961. - T. 21. - 100 х. - (Математикийн талаархи алдартай лекцүүд).

Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Их дээд сургуульд элсэгчдэд зориулсан математикийн гарын авлага (Анхан шатны математикийн сонгосон асуултууд) - 5-р хэвлэл, шинэчилсэн найруулга, 1976 - 638 он.

А.Шэн. Математик индукц. - MTsNMO, 2004. - 36 х.

М.Л.Галицкий, А.М.Голдман, Л.И.Звавич Алгебрийн асуудлын цуглуулга: 8-9 эсийн сурах бичиг. гүнтэй Математикийн судалгаа 7-р хэвлэл - М .: Боловсрол, 2001. - 271 х.

Ю.Н. - М .: Pro-sve-shche-nie, 2002.

Википедиа бол үнэгүй нэвтэрхий толь юм.

МАТЕМАТИК ИНДУКЦИЙН АРГА

Орос хэл дээрх индукц гэдэг үг нь удирдамж гэсэн утгатай бөгөөд индуктив гэдэг нь ажиглалт, туршилт, i.e. дээр үндэслэсэн дүгнэлт гэж нэрлэгддэг. тодорхой зүйлээс ерөнхий рүү хийсэн дүгнэлтээр олж авсан.

Жишээлбэл, нар зүүн зүгээс мандаж байгааг бид өдөр бүр ажигладаг. Тиймээс маргааш баруунд биш, зүүн талд гарч ирнэ гэдэгт итгэлтэй байж болно. Бид нар тэнгэрт хөдөлж буй шалтгааны талаар ямар ч таамаглал дэвшүүлэлгүйгээр ийм дүгнэлтийг гаргаж байна (түүнээс гадна энэ хөдөлгөөн нь өөрөө илт харагдаж байна, учир нь энэ нь үнэхээр хөдөлдөг. Дэлхий). Гэсэн хэдий ч энэхүү индуктив гарал үүсэл нь бидний маргааш хийх ажиглалтыг зөв тайлбарлаж байна.

Туршилтын шинжлэх ухаанд индуктив дүгнэлтийн үүрэг маш их байдаг. Тэд эдгээр заалтуудыг өгдөг бөгөөд үүнээс цаашдын дүгнэлтийг хасалтаар хийдэг. Тэгээд ч онолын механикНьютоны хөдөлгөөний гурван хуулинд үндэслэсэн бөгөөд эдгээр хуулиуд нь туршилтын өгөгдөл, ялангуяа Данийн одон орон судлаач Тихо Брахегийн олон жилийн ажиглалтыг боловсруулах явцад гаргасан Кеплерийн гаригуудын хөдөлгөөний тухай хуулиудыг гүн тусгасны үр дүн юм. Ажиглалт, индукц нь ирээдүйд хийсэн таамаглалыг сайжруулахад тустай байх болно. Мишельсон хөдөлж буй орчин дахь гэрлийн хурдыг хэмжих туршилт хийсний дараа физикийн хуулиудыг тодруулж, харьцангуйн онолыг бий болгох шаардлагатай болсон.

Математикийн хувьд индукцийн үүрэг нь сонгосон аксиоматикийн үндэс суурь болдог. Шулуун зам нь муруй эсвэл эвдэрсэн замаас үргэлж богино байдгийг удаан хугацааны турш туршсаны дараа аксиом томъёолох нь зүйн хэрэг байв: A, B, C гурван цэгийн хувьд тэгш бус байдал.

Дагах арифметикийн үндсэн ойлголт нь цэрэг, хөлөг онгоц болон бусад эмх цэгцтэй олонлогууд үүсэхийг ажигласны үр дүнд бий болсон.

Гэсэн хэдий ч математик дахь индукцийн үүрэг үүгээр дууссан гэж бодож болохгүй. Мэдээжийн хэрэг, бид аксиомуудаас логикоор гаргасан теоремуудыг туршилтаар баталгаажуулах ёсгүй: хэрэв гарган авах явцад логик алдаа гараагүй бол бидний хүлээн зөвшөөрсөн аксиомууд үнэн байхын хэрээр тэдгээр нь үнэн болно. Гэхдээ энэ аксиомын системээс маш олон мэдэгдлийг гаргаж болно. Мөн нотлох шаардлагатай мэдэгдлүүдийг сонгохыг индукцээр дахин санал болгож байна. Тэр бол бидэнд хэрэгтэй теоремуудыг хэрэггүй зүйлээс салгах боломжийг олгодог, аль теоремууд үнэн болж болохыг зааж өгдөг, тэр ч байтугай нотлох замыг тодорхойлоход тусалдаг.

Математик индукцийн аргын мөн чанар

Арифметик, алгебр, геометр, шинжилгээний олон хэсэгт байгалийн хувьсагчаас хамаарах A(n) өгүүлбэрийн үнэнийг батлах хэрэгтэй. Хувьсагчийн бүх утгын хувьд A(n) өгүүлбэрийн үнэнийг нотлох баримтыг ихэвчлэн дараахь зарчимд суурилсан математик индукцийн аргаар хийж болно.

Дараах хоёр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд A(n) өгүүлбэр нь хувьсагчийн бүх байгалийн утгын хувьд үнэн гэж тооцогддог.

n=1-ийн хувьд A(n) санал үнэн.

n=k-ийн хувьд A(n) нь үнэн гэсэн таамаглалаас (үүнд k нь дурын натурал тоо) дараагийн n=k+1 утгын хувьд үнэн болно.

Энэ зарчмыг математикийн индукцийн зарчим гэж нэрлэдэг. Энэ нь ихэвчлэн тоонуудын байгалийн цувааг тодорхойлох аксиомуудын нэг болгон сонгогддог тул нотлох баримтгүйгээр хүлээн зөвшөөрдөг.

Математикийн индукцийн аргыг дараах нотлох арга гэж ойлгодог. Хэрэв бүх натурал n-ийн хувьд A(n) саналын үнэнийг нотлох шаардлагатай бол нэгдүгээрт, A(1) саналын үнэнийг шалгах, хоёрдугаарт, A(k) саналын үнэн эсэхийг шалгах хэрэгтэй. , A(k +1) санал үнэн гэдгийг батлахыг хичээ. Хэрэв энэ нь нотлогдож болох бөгөөд нотолгоо нь k-ийн натурал утга бүрт хүчинтэй хэвээр байвал математик индукцийн зарчмын дагуу A(n) саналыг n-ийн бүх утгын хувьд үнэн гэж хүлээн зөвшөөрнө.

Математикийн индукцийн аргыг теорем, адилтгал, тэгш бус байдлыг батлах, хуваагдах бодлого, зарим геометрийн болон бусад олон асуудлыг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг.

Асуудлыг шийдвэрлэх математикийн индукцийн арга

хуваагдах чадвар

Математикийн индукцийн аргыг ашиглан натурал тоонуудын хуваагдлын талаархи янз бүрийн мэдэгдлийг баталж болно.

Дараах мэдэгдэлнотлоход харьцангуй хялбар байж болно. Математик индукцийн аргыг ашиглан үүнийг хэрхэн олж авахыг харуулъя.

Жишээ 1. Хэрэв n нь натурал тоо бол энэ тоо тэгш байна.

n=1-ийн хувьд бидний мэдэгдэл үнэн: - тэгш тоо. Үүнийг тэгш тоо гэж үзье. -ээс хойш 2к нь тэгш тоо юм бүр. Тэгэхээр n=1 хувьд паритет нотлогдож, паритетаас паритет гарна .Тиймээс, n-ийн бүх байгалийн утгын хувьд ч гэсэн.

Жишээ 2Өгүүлбэрийн үнэнийг нотлох

A(n)=(5 тоо нь 19-ийн үржвэр), n нь натурал тоо.

Шийдэл.

A(1)=(тоо нь 19-ийн үржвэр) гэсэн үг үнэн.

Зарим утгын хувьд n=k гэж бодъё

A(k)=(тоо нь 19-ийн үржвэр) үнэн. Дараа нь, түүнээс хойш

Мэдээжийн хэрэг, A(k+1) нь бас үнэн. Үнэн хэрэгтээ, эхний гишүүн нь A(k) үнэн гэсэн таамаглалын ачаар 19-д хуваагддаг; Хоёр дахь гишүүн нь мөн 19-д хуваагддаг, учир нь энэ нь 19-ийн хүчин зүйлийг агуулдаг. Математик индукцийн зарчмын хоёр нөхцөл хангагдсан тул A(n) санал нь n-ийн бүх утгын хувьд үнэн юм.

Математик индукцийн аргыг ашиглах

цувралын нийлбэр

Жишээ 1Томьёог нотлох

, n нь натурал тоо юм.

Шийдэл.

n=1-ийн хувьд тэгш байдлын хоёр хэсэг нь нэг болж хувирдаг тул математик индукцийн зарчмын эхний нөхцөл хангагдсан болно.

Томьёог n=k хувьд үнэн гэж үзье, өөрөөр хэлбэл.

.

Энэ тэгш байдлын хоёр тал дээр нэмээд баруун талыг нь өөрчилье. Дараа нь бид авна

Иймд n=k-ийн хувьд томьёо үнэн байхаас n=k+1-д ч гэсэн үнэн байна гэсэн үг. Энэ мэдэгдэл k-ийн аливаа байгалийн утгын хувьд үнэн юм. Тиймээс математикийн индукцийн зарчмын хоёр дахь нөхцөл бас хангагдана. Томъёо нь батлагдсан.

Жишээ 2Натурал цувааны эхний n тооны нийлбэр болохыг батал.

Шийдэл.

Шаардлагатай хэмжээг зааж өгье, өөрөөр хэлбэл. .

n=1-ийн хувьд таамаглал үнэн.

Болъё . Үүнийг харуулъя .

Үнэхээр,

Асуудал шийдэгдэж.

Жишээ 3Натурал цувралын эхний n тооны квадратуудын нийлбэр тэнцүү болохыг батал .

Шийдэл.

Let .

.

Ингэж жүжиглэе . Дараа нь

Мөн эцэст нь.

Жишээ 4Үүнийг нотол.

Шийдэл.

Хэрэв бол

Жишээ 5Үүнийг нотол

Шийдэл.

n=1-ийн хувьд таамаглал үнэн байх нь ойлгомжтой.

Let .

Үүнийг баталцгаая.

Үнэхээр,

Математик индукцийн аргыг ашиглах жишээ

тэгш бус байдлын нотолгоо

Жишээ 1Дурын натурал тоо n>1 гэдгийг батал

.

Шийдэл.

Тэгш бус байдлын зүүн талыг -ээр тэмдэглэ.

Иймд n=2-ын хувьд тэгш бус байдал үнэн болно.

Жаахан к. Үүнийг баталцгаая. Бидэнд байгаа , .

Харьцуулбал , бид байна , өөрөөр хэлбэл .

Аливаа эерэг бүхэл тооны k-ийн хувьд сүүлчийн тэгшитгэлийн баруун тал эерэг байна. Тийм ч учраас . Гэхдээ , тиймээс, ба .

Жишээ 2Үндэслэлд алдаа олно уу.

Мэдэгдэл. Аливаа байгалийн n-ийн хувьд тэгш бус байдал нь үнэн юм.

Баталгаа.

. (1)

Тэгтэл тэгш бус байдал нь n=k+1-д бас хүчинтэй гэдгийг баталцгаая, өөрөөр хэлбэл.

.

Үнэн хэрэгтээ аливаа байгалийн k-д дор хаяж 2 байна. Зүүн талд (1) тэгш бус байдлыг, баруун талд 2-ыг нэмье. Бид шударга тэгш бус байдлыг олж авна, эсвэл . Энэхүү мэдэгдэл нь батлагдсан.

Жишээ 3Үүнийг нотол , энд >-1, , n нь 1-ээс их натурал тоо юм.

Шийдэл.

n=2-ын хувьд тэгш бус байдал үнэн, учир нь .

n=k-ийн хувьд тэгш бус байдал үнэн байг, энд k нь зарим натурал тоо, өөрөөр хэлбэл.

. (1)

Тэгвэл тэгш бус байдал нь n=k+1-д мөн хүчинтэй болохыг харуулъя, өөрөөр хэлбэл.

. (2)

Үнэн хэрэгтээ, таамаглалаар, , тиймээс, тэгш бус байдал

, (3)

(1) тэгш бус байдлаас түүний хэсэг бүрийг үржүүлж гаргана. Тэгш бус байдлыг (3) дараах байдлаар дахин бичье: . Сүүлчийн тэгш бус байдлын баруун талд байгаа эерэг гишүүнийг хаяснаар хүчинтэй тэгш бус байдлыг олж авна (2).

Жишээ 4Үүнийг нотол

(1)

Энд , , n нь 1-ээс их натурал тоо юм.

Шийдэл.

n=2 хувьд тэгш бус байдал (1) хэлбэрийг авна

. (2)

-ээс хойш тэгш бус байдал

. (3)

Тэгш бус байдлын хэсэг бүр дээр (3) -аар нэмбэл (2) тэгш бус байдлыг олж авна.

Энэ нь n=2-т тэгш бус байдал (1) биелэхийг баталж байна.

n=k-д (1) тэгш бус байдал хүчинтэй байг, энд k нь зарим натурал тоо, өөрөөр хэлбэл.

. (4)

Тэгвэл n=k+1-д (1) тэгш бус байдал бас хүчинтэй байх ёстойг баталцгаая, өөрөөр хэлбэл.

(5)

(4) тэгш бус байдлын хоёр хэсгийг a+b-ээр үржүүлье. Нөхцөлөөр бид дараахь тэгш бус байдлыг олж авна.

. (6)

Тэгш бус байдлыг нотлохын тулд (5) үүнийг харуулахад хангалттай

, (7)

эсвэл ижилхэн,

. (8)

Тэгш бус байдал (8) нь тэгш бус байдалтай тэнцүү байна

. (9)

Хэрэв , тэгвэл , мөн тэгш бус байдлын зүүн талд (9) хоёрын үржвэр байна эерэг тоонууд. Хэрэв , тэгвэл , мөн тэгш бус байдлын зүүн талд (9) хоёр сөрөг тооны үржвэр байна. Хоёр тохиолдолд (9) тэгш бус байдал хүчинтэй байна.

Энэ нь n=k-ийн хувьд (1) тэгш бус байдлын хүчинтэй байх нь n=k+1-ийн хувьд түүний хүчин төгөлдөр болохыг харуулж байна.

Бусдад хэрэглэсэн математикийн индукцийн арга

даалгавар

Энэ аргыг тооны онол, алгебрт ашиглахтай ойролцоо геометрийн математикийн индукцийн аргын хамгийн байгалийн хэрэглээ бол геометрийн тооцооллын асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглах явдал юм. Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 1Зөв талын талыг тооцоол - R радиустай тойрогт бичсэн дөрвөлжин.

Шийдэл.

n=2 бол зөв 2 n - дөрвөлжин бол дөрвөлжин; түүний тал. Цаашилбал, хоёр дахин нэмэгдүүлэх томъёоны дагуу

энгийн найман өнцөгтийн тал гэдгийг ол , ердийн зургаан өнцөгтийн тал , жирийн гучин хоёр өнцгийн тал . Тиймээс бид ердийн бичээстэй тал нь 2 гэж үзэж болно n - аль ч квадрат нь тэнцүү байна

. (1)

Энгийн бичээстэй -gon-ийн талыг (1) томъёогоор илэрхийлнэ гэж үзье. Энэ тохиолдолд хоёр дахин нэмэгдүүлэх томъёогоор

,

Эндээс (1) томъёо нь бүх n-д хүчинтэй байна.

Жишээ 2n өнцөгт (заавал гүдгэр биш) огтлолцдоггүй диагональуудаар хэдэн гурвалжинд хуваагдах вэ?

Шийдэл.

Гурвалжны хувьд энэ тоо нэгтэй тэнцүү байна (гурвалжинд диагональ зурж болохгүй); Дөрвөн өнцөгтийн хувьд энэ тоо хоёртой тэнцүү байх нь ойлгомжтой.

Бид аль хэдийн k-gon бүр, хаана k гэдгийг мэддэг гэж бодъё 1 A 2 ... A n гурвалжин болгон.

А н

A 1 A 2

А 1 А k нь энэ хуваалтын диагональуудын нэг байх; энэ нь n-gon А 1 А 2 …А n-ийг k-gon A 1 A 2 …A k ба (n-k+2)-gon А 1 А k A k+1 …A n-д хуваана. Хийсэн таамаглалын дагуу хуваалтын гурвалжны нийт тоо тэнцүү байх болно

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

тийнхүү бидний нотолгоо бүгд n-д нотлогдож байна.

Жишээ 3Гүдгэр n өнцөгт гурвалжинд огтлолцдоггүй диагональаар хуваагдах аргын P(n) тоог тооцоолох дүрмийг тодорхойл.

Шийдэл.

Гурвалжны хувьд энэ тоо нэгтэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой: P(3)=1.

Бид бүх k-ийн P(k) тоог аль хэдийн тодорхойлсон гэж бодъё 1 A 2 ... A n . Үүнийг гурвалжин болгон хуваахын тулд тал нь А 1 A 2 нь хуваах гурвалжны аль нэгний тал байх ба энэ гурвалжны гурав дахь орой нь А цэг бүртэй давхцаж болно. 3 , А 4 , …,А n . Энэ орой нь А цэгтэй давхцаж байгаа n өнцөгт хуваах аргын тоо 3 , (n-1)-гон А-г гурвалжин болгох аргын тоотой тэнцүү байна 1 A 3 A 4 ... A n , өөрөөр хэлбэл тэнцүү P(n-1). Энэ орой нь А-тай давхцаж буй хуваах аргын тоо 4 , нь (n-2)-гон А-г хуваах аргын тоотой тэнцүү байна 1 A 4 A 5 ... A n , өөрөөр хэлбэл тэнцүү P(n-2)=P(n-2)P(3); А-тай давхцаж байгаа хуваах аргын тоо 5 , P(n-3)P(4)-тэй тэнцүү, учир нь (n-3)-гон А-ын хуваалт бүр нь. 1 A 5 ... A n дөрвөлжин А хуваалт бүртэй нэгтгэж болно 2 A 3 A 4 A 5 , гэх мэт. Тиймээс бид дараах харьцаанд хүрч байна.

Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n) -нэг).

Энэ томъёог ашиглан бид дараалан олж авна:

P(4)=P(3)+P(3)=2,

P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5,

P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14

гэх мэт.

Мөн математик индукцийн аргыг ашиглан графиктай холбоотой асуудлыг шийдэж болно.

Хавтгай дээр зарим цэгүүдийг хооронд нь холбосон, өөр цэггүй шугамын сүлжээг өгье. Ийм шугамын сүлжээг бид газрын зураг гэж нэрлэх болно, өгөгдсөн цэгүүд нь түүний оройнууд, хоёр зэргэлдээх оройн хоорондох муруйн сегментүүд - газрын зургийн хилүүд, хилээр хуваагдсан хавтгайн хэсгүүд - улсууд. газрын зураг.

Онгоцонд газрын зураг өгье. Улс орон бүрийг тодорхой өнгөөр ​​будаж, нэг хилтэй аль ч хоёр улс өөр өөр өнгөөр ​​будсан бол бид зөв өнгөтэй гэж хэлэх болно.

Жишээ 4Онгоцонд n тойрог байна. Эдгээр тойргийн аль ч зохицуулалтын хувьд тэдгээрийн үүсгэсэн газрын зургийг хоёр өнгөөр ​​зөв будаж болохыг батал.

Шийдэл.

n=1-ийн хувьд бидний баталгаа тодорхой байна.

Бидний хэлсэн үг n тойргоор үүсгэгдсэн газрын зургийн хувьд үнэн гэж бодъё, хавтгай дээр n + 1 тойрог өгье. Эдгээр тойргийн аль нэгийг арилгаснаар бид хийсэн таамаглалын дагуу хар, цагаан гэх мэт хоёр өнгөөр ​​зөв будаж болох газрын зургийг олж авна.

Лекц 6. Математикийн индукцийн арга.

Шинжлэх ухаан, амьдрал дахь шинэ мэдлэгийг янз бүрийн аргаар олж авдаг боловч бүгдийг нь (хэрэв та нарийвчилсан мэдээлэл өгөхгүй бол) ерөнхий зүйлээс тусгай, тодорхой зүйлээс ерөнхий рүү шилжих гэсэн хоёр төрөлд хуваадаг. Эхнийх нь дедукци, хоёр дахь нь индукц юм. Дедуктив үндэслэлийг математикт ихэвчлэн нэрлэдэг логик үндэслэл, мөн математикийн шинжлэх ухаанд хасалт нь мөрдөн байцаалтын цорын ганц хууль ёсны арга юм. Логик сэтгэхүйн дүрмийг хоёр мянга хагас жилийн өмнө эртний Грекийн эрдэмтэн Аристотель томъёолжээ. Тэрээр хамгийн энгийн зөв үндэслэлүүдийн бүрэн жагсаалтыг гаргасан. силлогизмууд– логикийн “тоосго”, нэгэн зэрэг ердийн үндэслэлийг зааж өгдөг, зөвтэй маш төстэй, гэхдээ буруу (бид ийм "псевдологийн" үндэслэлтэй хэвлэл мэдээллийн хэрэгслээр байнга тааралддаг).

Индукц (индукц - Латинаар удирдамж) нь Исаак Ньютон хуулийг хэрхэн боловсруулсан тухай алдартай домогт дүрслэгдсэн байдаг хүндийн хүчтолгой дээр нь алим унасны дараа. Физикийн өөр нэг жишээ: цахилгаан соронзон индукц гэх мэт үзэгдлийн үед цахилгаан орон нь соронзон орныг үүсгэдэг, "өдөрүүлдэг". "Ньютоны алим" нь нэг буюу хэд хэдэн онцгой тохиолдол, i.e. ажиглалт, ерөнхий мэдэгдэлд "хөтөлж", ерөнхий дүгнэлтийг тодорхой тохиолдлуудад үндэслэн хийдэг. Индуктив арга нь байгалийн болон хүний ​​​​шинжлэх ухаанд ерөнхий хэв маягийг олж авах гол арга юм. Гэхдээ энэ нь маш чухал сул талтай: тодорхой жишээн дээр үндэслэн буруу дүгнэлт хийж болно. Хувийн ажиглалтаас үүссэн таамаглал нь үргэлж зөв байдаггүй. Эйлерээс үүдэлтэй жишээг авч үзье.

Бид эхний утгуудын хувьд гурвалсан утгыг тооцоолох болно n:

Тооцооллын үр дүнд олж авсан тоонууд нь анхны тоо гэдгийг анхаарна уу. Үүнийг тус бүрээр нь шууд шалгаж болно n 1-ээс 39 хүртэлх олон гишүүнт утга
анхны тоо юм. Гэсэн хэдий ч хэзээ n=40 бид анхны тоо биш 1681=41 2 тоог авна. Тиймээс энд үүсч болох таамаглал, өөрөөр хэлбэл тус бүрийн хувьд гэсэн таамаглал nтоо
энгийн, худал болж хувирав.

Лейбниц 17-р зуунд эерэг бүхэл тоо бүрт үүнийг нотолсон nтоо
3-т хуваагддаг
5-д хуваагддаг гэх мэт. Үүний үндсэн дээр тэрээр сондгой бүх зүйлд үүнийг санал болгосон кмөн аливаа байгалийн nтоо
хуваасан к, гэхдээ удалгүй үүнийг анзаарсан
9-д хуваагддаггүй.

Үзсэн жишээнүүд нь чухал дүгнэлт гаргах боломжийг бидэнд олгодог: мэдэгдэл нь хэд хэдэн онцгой тохиолдлуудад үнэн байж болох ба нэгэн зэрэг ерөнхийдөө шударга бус байж болно. Ерөнхий тохиолдолд уг мэдэгдлийн хүчинтэй эсэх асуудлыг тусгай үндэслэлийн аргыг ашиглан шийдэж болно математикийн индукцээр(бүрэн индукц, төгс индукц).

6.1. Математик индукцийн зарчим.

♦ Математикийн индукцийн аргыг үндэслэнэ Математик индукцийн зарчим , дараахь зүйлсээс бүрдэнэ.

1) энэ мэдэгдлийн үнэн зөвийг баталгаажуулсанn=1 (индукцийн үндэс) ,

2) энэ мэдэгдлийг үнэн гэж үзнэn= к, хаанакнь дурын натурал 1 тоо юм(индукцийн таамаглал) , мөн энэхүү таамаглалыг харгалзан түүний хүчинтэй байдлыг тогтоосон болноn= к+1.

Баталгаа. Үүний эсрэгээр, өөрөөр хэлбэл, уг баталгаа нь байгалийн бүхний хувьд үнэн биш гэж бодъё n. Дараа нь ийм байгалиас заяасан зүйл байдаг м, юу:

1) зөвшөөрөл n=мшудрага бус,

2) хүн бүрт n, жижиг м, баталгаа үнэн (өөрөөр хэлбэл, мнь баталгаа бүтэлгүйтсэн анхны натурал тоо юм).

Энэ нь ойлгомжтой м>1, учир нь төлөө n=1 мэдэгдэл үнэн (нөхцөл 1). Үүний үр дүнд,
- натурал тоо. Натурал тооны хувьд энэ нь харагдаж байна
мэдэгдэл үнэн бөгөөд дараагийн натурал тооны хувьд мэнэ нь шударга бус юм. Энэ нь 2-р нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. ■

Аливаа натурал тооны цуглуулгад хамгийн бага тоог агуулна гэсэн аксиомыг нотлох баримтад ашигласан болохыг анхаарна уу.

Математикийн индукцийн зарчимд суурилсан нотолгоог нэрлэнэ бүрэн математикийн индукцээр .

 Жишээ6.1. Үүнийг ямар ч байгалийн хувьд нотлох nтоо
3-т хуваагддаг.

Шийдэл.

1) Хэзээ n=1, тэгэхээр а 1 нь 3-т хуваагддаг бөгөөд энэ нь үнэн юм n=1.

2) Энэ мэдэгдлийг үнэн гэж үзье n=к,
, тэр тоо
3-т хуваагддаг ба үүнийг ол n=к+1 тоо 3-т хуваагдана.

Үнэхээр,

Учир нь гишүүн бүр 3-т хуваагддаг бол тэдгээрийн нийлбэр нь мөн 3-т хуваагдана. ■ 

 Жишээ6.2. Эхнийх нь нийлбэр гэдгийг батал nнатурал сондгой тоо нь тэдгээрийн тооны квадраттай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, .

Шийдэл.Бид бүрэн математикийн индукцийн аргыг ашигладаг.

1) Бид энэ мэдэгдлийн үнэн зөвийг шалгаж байна n=1: 1=1 2 зөв.

2) Эхнийх нь нийлбэр гэж бодъё к (
) сондгой тоонууд нь эдгээр тоонуудын тооны квадраттай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл . Энэ тэгш байдал дээр үндэслэн бид эхний нийлбэрийг тогтооно к+1 сондгой тоо нь тэнцүү байна
, тэр бол .

Бид таамаглалаа ашиглаж, авдаг

. ■ 

Зарим тэгш бус байдлыг батлахын тулд бүрэн математикийн индукцийн аргыг ашигладаг. Бернуллигийн тэгш бус байдлыг баталъя.

 Жишээ6.3. Үүнийг хэзээ нотлох
мөн аливаа байгалийн nтэгш бус байдал
(Бернуллигийн тэгш бус байдал).

Шийдэл. 1) Хэзээ n=1 бид авна
, энэ нь зөв юм.

2) Бид үүнийг цагт гэж бодож байна n=ктэгш бус байдал бий
(*). Энэ таамаглалыг ашиглан бид үүнийг баталж байна
. Хэзээ гэдгийг анхаарна уу
энэ тэгш бус байдал хэвээр байгаа тул хэргийг авч үзэхэд хангалттай
.

Тэгш бус байдлын хоёр хэсгийг (*) тоогоор үржүүлнэ
болон авах:

Энэ нь (1+
.■ 

Арга замаар нотлох бүрэн бус математикийн индукц хамааран зарим нэг баталгаа n, хаана
ижил төстэй байдлаар хийгдсэн боловч эхэндээ шударга ёсыг хамгийн бага үнээр тогтоодог n.

Зарим бодлого нь математикийн индукцаар нотлогдож болох мэдэгдлийг тодорхой томъёолдоггүй. Ийм тохиолдолд зүй тогтлыг тогтоож, энэ зүй тогтлын хүчинтэй байдлын талаархи таамаглалыг илэрхийлэх шаардлагатай бөгөөд дараа нь санал болгож буй таамаглалыг математик индукцийн аргаар шалгах шаардлагатай.

 Жишээ6.4. Хэмжээг нь ол
.

Шийдэл.Нийлбэрүүдийг олцгооё С 1 , С 2 , С 3 . Бидэнд байгаа
,
,
. Бид ямар ч байгалийн хувьд үүнийг таамаглаж байна nтомъёо хүчинтэй байна
. Энэ таамаглалыг шалгахын тулд бид бүрэн математикийн индукцийн аргыг ашигладаг.

1) Хэзээ n=1 таамаглал үнэн, учир нь
.

2) Таамаглал үнэн гэж үзье n=к,
, тэр бол
. Энэ томьёог ашиглан бид таамаглал үнэн бөгөөд зөв болохыг тогтооно n=к+1, өөрөөр хэлбэл

Үнэхээр,

Тиймээс таамаглал үнэн гэж үзвэл n=к,
, энэ нь үнэн болох нь батлагдсан n=к+1, мөн математик индукцийн зарчимд үндэслэн бид томъёо нь аливаа байгалийн хувьд хүчинтэй гэж дүгнэж байна. n. ■ 

 Жишээ6.5. Математикийн хувьд жигд тасралтгүй хоёр функцийн нийлбэр нь жигд тасралтгүй функц болох нь батлагдсан. Энэ мэдэгдэлд үндэслэн бид дурын тооны нийлбэр гэдгийг батлах хэрэгтэй
жигд тасралтгүй функцүүдийн нэг жигд тасралтгүй функц юм. Гэхдээ бид "нэгдмэл тасралтгүй функц" гэсэн ойлголтыг хараахан нэвтрүүлээгүй байгаа тул асуудлыг илүү хийсвэр байдлаар тавья: ямар нэгэн өмчтэй хоёр функцийн нийлбэр гэдгийг мэдэгдье. С, өөрөө өмчтэй С. Дурын тооны функцийн нийлбэр нь өмчтэй болохыг баталцгаая С.

Шийдэл.Энд индукцийн үндэс нь асуудлын томъёололд агуулагддаг. Индуктив таамаглал дэвшүүлж, авч үзье
функцууд е 1 , е 2 , …, е n , е nөмчтэй +1 С. Дараа нь . Баруун талд эхний нэр томъёо нь өмчтэй Синдукцийн таамаглалаар хоёр дахь гишүүн нь өмчтэй Снөхцөлөөр. Тиймээс тэдний нийлбэр өмчтэй С– хоёр нэр томъёоны хувьд индукцийн үндэс нь "ажилладаг".

Энэ нь батламжийг баталж байгаа бөгөөд цаашид үүнийг ашиглах болно. ■ 

 Жишээ6.6. Байгалийн бүх зүйлийг олоорой n, үүний төлөө тэгш бус байдал

.

Шийдэл.Санаж үз n=1, 2, 3, 4, 5, 6. Бидэнд: 2 1 >1 2 , 2 2 =2 2 , 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2 , 2 6 >6 2 . Тиймээс бид таамаглал дэвшүүлж болно: тэгш бус байдал
хүн бүрт зориулсан газартай
. Энэхүү таамаглалын үнэнийг батлахын тулд бид бүрэн бус математик индукцийн зарчмыг ашигладаг.

1) Дээр дурдсанчлан энэ таамаглал нь үнэн юм n=5.

2) Энэ нь үнэн гэж бодъё n=к,
, өөрөөр хэлбэл тэгш бус байдал
. Энэ таамаглалыг ашиглан бид тэгш бус байдлыг баталж байна
.

T. to.
болон цагт
тэгш бус байдал бий

цагт
,

тэгвэл бид үүнийг ойлгоно
. Тэгэхээр таамаглалын үнэн n=к+1 нь үнэн гэсэн таамаглалаас үүдэлтэй n=к,
.

хуудаснаас. Бүрэн бус математик индукцийн зарчимд үндэслэн 1 ба 2-т тэгш бус байдал үүсдэг.
бүх байгалийн хувьд үнэн
. ■ 

 Жишээ6.7. Үүнийг дурын натурал тоогоор батал nялгах томъёо хүчинтэй байна
.

Шийдэл. At n=1 энэ томьёо нь хэлбэртэй байна
, эсвэл 1=1, өөрөөр хэлбэл энэ нь үнэн юм. Индуктив таамаглалыг хийснээр бид:

Q.E.D. ■ 

 Жишээ6.8. -аас бүрдэх олонлогийг батал nэлементүүд, байна дэд олонлогууд.

Шийдэл.Нэг элемент бүхий багц а, хоёр дэд олонлогтой. Энэ нь үнэн, учир нь түүний бүх дэд олонлогууд нь хоосон олонлог ба олонлог өөрөө бөгөөд 2 1 =2.

Бид ямар ч багц гэж үздэг nэлементүүд байна дэд олонлогууд. Хэрэв А олонлогоос бүрдэх бол n+1 элементүүд, дараа нь бид дотор нь нэг элементийг засна - үүнийг тэмдэглэнэ г, бүх дэд олонлогуудыг агуулаагүй гэсэн хоёр ангилалд хуваана гболон агуулсан г. Эхний ангийн бүх дэд олонлогууд нь элементийг хассанаар А-аас олж авсан В олонлогийн дэд олонлогууд юм г.

B багц нь дараахь зүйлсээс бүрдэнэ nэлементүүд, тиймээс индукцийн таамаглалаар энэ нь байна дэд олонлогууд, тиймээс нэгдүгээр ангид дэд олонлогууд.

Гэхдээ хоёрдугаар ангид ижил тооны дэд олонлогууд байдаг: тэдгээр нь тус бүрийг элементийг нэмж эхний ангийн яг нэг дэд олонлогоос олж авдаг. г. Тиймээс нийтдээ А багц
дэд олонлогууд.

Ийнхүү мэдэгдэл нотлогдож байна. Энэ нь 0 элементээс бүрдэх хоосон олонлогт бас хүчинтэй гэдгийг анхаарна уу: энэ нь нэг дэд олонлогтой - өөрөө, 2 0 =1 байна. ■ 

Бүх цаг үеийн жинхэнэ мэдлэг нь тодорхой нөхцөл байдалд хэв маягийг тогтоож, түүний үнэн зөвийг нотлоход суурилдаг байв. Логик үндэслэл оршин тогтносон ийм урт хугацааны туршид дүрмийн томъёоллыг өгсөн бөгөөд Аристотель "зөв үндэслэл" -ийн жагсаалтыг хүртэл эмхэтгэсэн. Түүхийн хувьд бүх дүгнэлтийг бетоноос олон тоо (индукц) ба эсрэгээр (дедукц) гэсэн хоёр төрөлд хуваадаг заншилтай байдаг. Нотлох баримтын төрлүүд тодорхойоос ерөнхий рүү, ерөнхийөөс тодорхой руу чиглэсэн зөвхөн харилцан уялдаа холбоотой байдаг бөгөөд тэдгээрийг сольж болохгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Математик дахь индукц

"Индукц" (индукц) гэсэн нэр томъёо нь латин үндэстэй бөгөөд шууд утгаараа "удирдамж" гэж орчуулагддаг. Нарийн судалсны дараа үгийн бүтцийг ялгаж болно, тухайлбал латин угтвар - in- (дотогшоо чиглэсэн үйлдэл эсвэл дотор байгааг илэрхийлдэг) ба -дукц - танилцуулга. Бүрэн ба бүрэн бус индукц гэсэн хоёр төрөл байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Бүрэн хэлбэртодорхой ангийн бүх сэдвийг судалсны үндсэн дээр хийсэн дүгнэлтийг тодорхойлох.

Бүрэн бус - дүгнэлт нь ангийн бүх хичээлд хамаарах боловч зөвхөн зарим нэгжийг судалсны үндсэн дээр хийсэн.

Математикийн бүрэн индукц гэдэг нь энэхүү функциональ холболтын талаархи мэдлэг дээр үндэслэн байгалийн тоон цувралын харьцаагаар функциональ хамааралтай аливаа объектын бүх ангийн талаархи ерөнхий дүгнэлтэд үндэслэсэн дүгнэлт юм. Энэ тохиолдолд нотлох үйл явц гурван үе шаттайгаар явагдана.

• эхний шатанд математикийн индукцийн мэдэгдлийн зөвийг нотолсон. Жишээ нь: f = 1, индукц;
• дараагийн шат нь бүх натурал тоонуудын хувьд байрлал хүчинтэй гэсэн таамаглал дээр суурилдаг. Өөрөөр хэлбэл, f=h, энэ нь индуктив таамаглал юм;
• Гурав дахь шатанд өмнөх догол мөрийн байрлалын зөв байдалд үндэслэн f=h+1 тооны байрлалын үнэн зөвийг нотолсон - энэ нь индукцийн шилжилт буюу математик индукцийн алхам юм. Үүний жишээ бол эгнээний эхний яс унасан (үндсэн), дараа нь эгнээний бүх яс унадаг (шилжилт) гэж нэрлэгддэг.

Хошигносон ч, нухацтай ч

Ойлголтыг хөнгөвчлөхийн тулд математикийн индукцийн аргаар шийдлийн жишээг хошигнол хэлбэрээр буруутгадаг. Энэ бол эелдэг дарааллын даалгавар юм:

• Ёс зүйн дүрэм нь эрэгтэй хүн эмэгтэй хүний ​​өмнө ээлжлэн явахыг хориглодог (ийм нөхцөлд түүнийг урд нь оруулдаг). Энэ мэдэгдлээс үзэхэд хамгийн сүүлд эрэгтэй хүн байвал бусад нь эрэгтэй байна.

Математик индукцийн аргын тод жишээ бол "Хэмжээгүй нислэг" гэсэн асуудал юм.

• Микроавтобусанд хэдэн ч хүн багтах ёстойг нотлох шаардлагатай. Тээвэрт нэг хүн ямар ч хүндрэлгүйгээр багтах нь үнэн (үндсэн). Гэхдээ микроавтобус хичнээн дүүрэн байсан ч 1 зорчигч үргэлж багтах болно (индукцийн алхам).

танил хүрээлэл

Бодлого, тэгшитгэлийг математик индукцийн аргаар шийдвэрлэх жишээнүүд нэлээд түгээмэл байдаг. Энэ аргын жишээ болгон бид дараах асуудлыг авч үзэж болно.

Нөхцөл байдал: h тойрог хавтгай дээр байрлуулсан байна. Дүрсүүдийн аль ч зохицуулалтын хувьд тэдгээрийн үүсгэсэн газрын зургийг хоёр өнгөөр ​​зөв будаж болохыг батлах шаардлагатай.

Шийдэл: h=1-ийн хувьд уг мэдэгдлийн үнэн нь тодорхой тул h+1 тойргийн тоогоор нотлох баримтыг байгуулна.

Энэ мэдэгдэл нь ямар ч газрын зургийн хувьд үнэн бөгөөд хавтгай дээр h + 1 тойрог өгөгдсөн гэж үзье. -аас хасаж байна нийттойргийн аль нэгийг хийснээр та хоёр өнгөөр ​​(хар, цагаан) зөв будсан газрын зургийг авах боломжтой.

Устгасан тойргийг сэргээх үед хэсэг бүрийн өнгө эсрэгээр өөрчлөгдөнө (энэ тохиолдолд тойрог дотор). Энэ нь нотлох шаардлагатай хоёр өнгөөр ​​зөв будагдсан газрын зураг болж хувирав.

Натурал тоо бүхий жишээнүүд

Математик индукцийн аргын хэрэглээг доор тодорхой харуулав.

Шийдлийн жишээ:

Аль ч h-ийн хувьд тэгш байдал зөв болохыг батал.

1 2 +2 2 +3 2 +…+ц 2 =ц(ц+1)(2ц+1)/6.

1. h=1 гэж үзвэл:

R 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1

Үүнээс үзэхэд h=1-ийн хувьд уг мэдэгдэл зөв байна.

2. h=d гэж үзвэл дараах тэгшитгэл гарна.

R 1 \u003d d 2 \u003d d (d + 1) (2d + 1) / 6 \u003d 1

3. h=d+1 гэж үзвэл:

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

Ийнхүү h=d+1 тэгшитгэлийн үнэн зөв нь батлагдсан тул аливаа натурал тооны хувьд уг мэдэгдэл үнэн байх ба үүнийг шийдлийн жишээнд математикийн индукцээр харуулав.

Даалгавар

Нөхцөл байдал: h-ийн дурын утгын хувьд 7 h -1 илэрхийлэл 6-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг болохыг батлах шаардлагатай.

Шийдэл:

1. Энэ тохиолдолд h=1 гэж үзье.

R 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (жишээ нь 6-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагдана)

Тиймээс h=1-ийн хувьд мэдэгдэл үнэн;

2. h=d ба 7 d -1 нь 6-д үлдэгдэлгүй хуваагдана;

3. h=d+1-ийн хувьд мэдэгдлийн хүчинтэй байдлын баталгаа нь дараах томьёо юм.

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

AT Энэ тохиолдолдэхний гишүүн нь эхний догол мөрийн таамаглалаар 6-д хуваагдах ба хоёр дахь гишүүн нь 6-тай тэнцүү. 7 h -1 нь аль ч натурал h-д үлдэгдэлгүйгээр 6-д хуваагдана гэсэн үг үнэн.

Шүүлтийн төөрөгдөл

Ашигласан логик бүтцүүдийн буруугаас болж нотолгоонд буруу үндэслэлийг ихэвчлэн ашигладаг. Үндсэндээ энэ нь нотлох баримтын бүтэц, логикийг зөрчсөн тохиолдолд тохиолддог. Буруу үндэслэлийн жишээ бол дараах зураг юм.

Даалгавар

Нөхцөл байдал: аливаа овоолгын чулуу нь овоолго биш гэдгийг нотлох баримт шаарддаг.

Шийдэл:

1. h=1 гэж үзье, энэ тохиолдолд овоолгод 1 чулуу байгаа бөгөөд мэдэгдэл үнэн (үндсэн);

2. Чулууны овоолго нь овоо биш гэдгийг h=d хувьд үнэн гэж үзье (таамаглал);

3. h=d+1 гэж бодъё, үүнээс нэг чулуу нэмбэл олонлог овоо биш болно. Дүгнэлт нь таамаглал нь бүх байгалийн h-д хүчинтэй гэдгийг харуулж байна.

Алдаа нь овоо хэдэн чулуу үүсгэдэг талаар ямар ч тодорхойлолт байдаггүйд оршино. Математикийн индукцийн аргад ийм орхигдлыг яаран ерөнхийлөлт гэж нэрлэдэг. Жишээ нь үүнийг тодорхой харуулж байна.

Индукц ба логикийн хуулиуд

Түүхийн хувьд тэд үргэлж "гар гараасаа хөтлөлцөн алхдаг". Ийм шинжлэх ухааны салбаруудлогикийн нэгэн адил философи нь тэдгээрийг эсрэг тэсрэг гэж тодорхойлдог.

Логикийн хуулийн үүднээс авч үзвэл индуктив тодорхойлолтууд нь баримт дээр тулгуурладаг бөгөөд байрны үнэн зөв байдал нь үр дүнгийн мэдэгдлийн үнэн зөвийг тодорхойлдоггүй. Ихэнхдээ дүгнэлтийг тодорхой магадлал, үнэмшилтэй байдлаар гаргаж авдаг бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг нэмэлт судалгаагаар баталгаажуулж, баталгаажуулах ёстой. Логик дахь индукцийн жишээ нь дараахь мэдэгдэл байж болно.

Эстонид ган гачиг, Латви ган, Литвад ган гачиг.

Эстони, Латви, Литва нь Балтийн орнууд юм. Балтийн бүх мужуудад ган гачиг.

Жишээлбэл, индукцийн аргыг ашиглан шинэ мэдээлэл эсвэл үнэнийг олж авах боломжгүй гэж бид дүгнэж болно. Тооцоож болох зүйл бол дүгнэлтийн үнэн зөв байх явдал юм. Түүнээс гадна байрны үнэн нь ижил дүгнэлтийг баталгаажуулдаггүй. Гэсэн хэдий ч энэ баримт нь индукцийн арын хашаанд ургамал ургадаг гэсэн үг биш юм: индукцийн аргыг ашиглан асар олон тооны заалт, шинжлэх ухааны хуулиудыг нотолсон болно. Математик, биологи болон бусад шинжлэх ухааныг жишээ болгож болно. Энэ нь үндсэндээ бүрэн индукцийн аргатай холбоотой боловч зарим тохиолдолд хэсэгчилсэн аргыг бас хэрэглэж болно.

Эрхэм хүндэт индукцийн нас нь хүний ​​​​үйл ажиллагааны бараг бүх салбарт нэвтрэх боломжийг олгосон - энэ бол шинжлэх ухаан, эдийн засаг, өдөр тутмын дүгнэлт юм.

Шинжлэх ухааны орчин дахь индукц

Индукцийн арга нь нягт нямбай хандлагыг шаарддаг, учир нь бүхэл бүтэн судлагдсан нарийн ширийн зүйлсийн тооноос хэт их зүйл хамаардаг: судлагдсан тоо их байх тусам үр дүн нь илүү найдвартай байх болно. Энэ шинж чанарт үндэслэн индукцийн аргаар олж авсан шинжлэх ухааны хуулиудыг бүх боломжит бүтцийн элементүүд, холбоо, нөлөөллийг тусгаарлах, судлахын тулд магадлалын таамаглалын түвшинд хангалттай урт хугацаанд туршина.

Шинжлэх ухаанд индукцийн дүгнэлтсанамсаргүй заалтыг эс тооцвол чухал ач холбогдолтой шинж чанарууд дээр үндэслэсэн. Энэ баримт нь шинжлэх ухааны мэдлэгийн онцлогтой холбоотой чухал ач холбогдолтой юм. Энэ нь шинжлэх ухаан дахь индукцийн жишээнүүдээс тодорхой харагдаж байна.

Хоёр төрлийн индукц байдаг шинжлэх ухааны ертөнц(судлах аргатай холбоотой):

1. индукц-сонгомол (эсвэл сонголт);
2. индукц - хасах (арилгах).

Эхний төрөл нь анги (дэд ангиуд) өөр өөр бүс нутгаас арга зүйн (шалгаж) түүвэрлэх замаар ялгагдана.

Энэ төрлийн индукцийн жишээ нь дараах байдалтай байна: мөнгө (эсвэл мөнгөний давс) нь усыг цэвэршүүлдэг. Дүгнэлт нь урт хугацааны ажиглалт (нэг төрлийн баталгаа, няцаалт - сонголт) дээр үндэслэсэн болно.

Хоёрдахь төрлийн индукц нь тогтоох дүгнэлт дээр суурилдаг учир шалтгааны холбоомөн түүний шинж чанарт тохирохгүй нөхцөл байдал, тухайлбал, түгээмэл байдал, цаг хугацааны дарааллыг дагаж мөрдөх, зайлшгүй шаардлагатай байдал, хоёрдмол утгагүй байдал зэргийг оруулаагүй болно.

Философийн үүднээс индукц ба дедукц

Хэрэв та түүхийн ретроспективийг харвал "индукц" гэсэн нэр томъёог Сократ анх дурдсан байдаг. Аристотель философи дахь индукцийн жишээг илүү ойролцоо нэр томъёоны толь бичигт дүрсэлсэн боловч бүрэн бус индукцийн тухай асуудал нээлттэй хэвээр байна. Аристотелийн силлогизмыг хавчуулсны дараа индуктив аргыг байгалийн шинжлэх ухаанд үр дүнтэй, цорын ганц боломжтой гэж хүлээн зөвшөөрч эхлэв. Бэконыг бие даасан тусгай аргын хувьд индукцийн эцэг гэж үздэг боловч түүний үеийнхний шаардсанаар индукцийг дедуктив аргаас салгаж чадаагүй юм.

Индукцийн цаашдын хөгжлийг Ж.Милл гүйцэтгэсэн бөгөөд индукцийн онолыг тохироо, зөрүү, үлдэгдэл, харгалзах өөрчлөлт гэсэн дөрвөн үндсэн аргын үүднээс авч үзсэн. Өнөөдөр жагсаасан аргуудыг нарийвчлан авч үзэхэд дедуктив байдаг нь гайхах зүйл биш юм.

Бэкон, Милл хоёрын онолын зөрүүтэй байдлын талаарх мэдлэг нь эрдэмтдийг индукцийн магадлалын үндэслэлийг судлахад хүргэсэн. Гэсэн хэдий ч энд ч гэсэн зарим нэг туйлширсан зүйлүүд байсан: магадлалын онолын индукцийг бүх үр дагавраар нь багасгах оролдлого хийсэн.

Индукц хэзээ итгэлийн санал авдаг практик хэрэглээтодорхой сэдвээр болон индуктив суурийн хэмжүүрийн нарийвчлалын ачаар. Философи дахь индукц ба дедукцийн жишээг бүх нийтийн таталцлын хууль гэж үзэж болно. Уг хуулийг нээсэн үед Ньютон үүнийг 4 хувийн нарийвчлалтайгаар шалгаж чадсан юм. Хоёр зуу гаруй жилийн дараа шалгах үед шалгалтыг ижил индуктив ерөнхий дүгнэлтээр хийсэн ч 0.0001 хувийн нарийвчлалтайгаар баталгаажуулсан.

Орчин үеийн философи илүү анхааралТуршлага, зөн совингоо ашиглахгүйгээр, харин "цэвэр" үндэслэлийг ашиглан аль хэдийн мэдэгдэж байсан зүйлээс шинэ мэдлэг (эсвэл үнэн) олж авах логик хүсэлд тулгуурласан суутгал төлдөг. Дедукцийн аргаар үнэн байрыг дурдахдаа бүх тохиолдолд гаралт нь үнэн мэдэгдэл юм.

Энэ их чухал шинж чанарүнэ цэнийг сүүдэрлэх ёсгүй индуктив арга. Туршлагын ололтод тулгуурласан индукц нь түүнийг боловсруулах хэрэгсэл (ерөнхийлөл, системчилэл орно) болдог.

Индукцийг эдийн засагт хэрэглэх

Индукц, дедукцийг эдийн засгийг судлах, түүний хөгжлийг урьдчилан таамаглах арга болгон эртнээс хэрэглэж ирсэн.

Индукцийн аргын хэрэглээний хүрээ нэлээд өргөн: урьдчилсан үзүүлэлтүүдийн биелэлтийг судлах (ашиг, элэгдэл гэх мэт). нийт онооаж ахуйн нэгжийн байдал; баримт, тэдгээрийн харилцаанд тулгуурлан аж ахуйн нэгжийг дэмжих үр дүнтэй бодлогыг бий болгох.

Индукцийн ижил аргыг Shewhart-ийн диаграммд ашигладаг бөгөөд процессыг хяналттай ба удирддаггүй гэж хуваадаг гэж үзвэл хяналттай процессын хүрээ идэвхгүй байна гэж заасан байдаг.

Шинжлэх ухааны хуулиудыг индукцийн аргыг ашиглан зөвтгөж, баталгаажуулдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй бөгөөд эдийн засаг нь ихэвчлэн ашигладаг шинжлэх ухаан юм. математик шинжилгээ, эрсдэлийн онол, статистикийн өгөгдөл, дараа нь индукцийг үндсэн аргуудын жагсаалтад оруулсан нь гайхах зүйл биш юм.

Дараах нөхцөл байдал нь эдийн засгийн индукц ба дедукцийн жишээ болж болно. Хүнсний үнэ (хэрэглээний сагснаас) болон зайлшгүй шаардлагатай бараа бүтээгдэхүүний үнийн өсөлт нь хэрэглэгчийг мужид шинээр гарч ирж буй өндөр зардлын талаар бодоход хүргэдэг (индукц). Үүний зэрэгцээ, тусламжтайгаар өндөр өртөгтэй байдаг математик аргуудтусдаа бараа эсвэл барааны ангиллын үнийн өсөлтийн үзүүлэлтүүдийг гаргаж авах боломжтой (хасах).

Ихэнхдээ удирдлагын ажилтнууд, менежерүүд, эдийн засагчид индукцийн аргад ханддаг. Аж ахуйн нэгжийн хөгжил, зах зээлийн зан байдал, өрсөлдөөний үр дагаврыг хангалттай үнэн зөвөөр урьдчилан таамаглахын тулд мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх, боловсруулахад индуктив-дедуктив хандлага шаардлагатай.

Худал дүгнэлтийг иш татсан эдийн засаг дахь индукцийн жишээг дурдвал:

• компанийн ашиг 30% -иар буурсан;
  өрсөлдөгч нь бүтээгдэхүүнийхээ хүрээг өргөжүүлсэн;
  өөр юу ч өөрчлөгдөөгүй;
• өрсөлдөгч компанийн үйлдвэрлэлийн бодлого нь ашгийг 30% бууруулахад хүргэсэн;
• тиймээс нэг үйлдвэрлэлийн бодлого явуулах хэрэгтэй.

Энэ жишээ нь индукцийн аргыг зохисгүй ашиглах нь аж ахуйн нэгжийг сүйрүүлэхэд хэрхэн нөлөөлж байгааг харуулсан өнгөлөг жишээ юм.

Сэтгэл судлалын дедукц ба индукц

Арга байдаг учраас логикийн хувьд зөв зохион байгуулалттай сэтгэлгээ (аргыг ашиглах) бас байдаг. Сэтгэл судлал судалдаг шинжлэх ухаан сэтгэцийн үйл явц, тэдгээрийн үүсэх, хөгжил, харилцаа холбоо, харилцан үйлчлэл нь дедукц, индукцийн илрэлийн нэг хэлбэр болох "дедуктив" сэтгэлгээнд анхаарлаа хандуулдаг. Харамсалтай нь интернет дэх сэтгэл судлалын хуудсууд дээр дедуктив-индуктив аргын бүрэн бүтэн байдлыг зөвтгөх үндэслэл бараг байдаггүй. Хэдийгээр мэргэжлийн сэтгэл судлаачид индукцийн илрэл, эс тэгвээс алдаатай дүгнэлттэй тулгарах магадлал өндөр байдаг.

Сэтгэл судлал дахь индукцийн жишээ бол алдаатай дүгнэлтийн жишээ болгон "Миний ээж бол хууран мэхлэгч, тиймээс бүх эмэгтэйчүүд хууран мэхлэгч" гэсэн үг юм. Амьдралаас индукцийн илүү "алдаатай" жишээнүүд байдаг:

• Математикийн хичээлд тэнцсэн оюутан юу ч хийх чадваргүй;
• тэр бол тэнэг;
• тэр ухаалаг;
• Би бүгдийг хийж чадна;

Санамсаргүй, заримдаа ач холбогдолгүй мессеж дээр үндэслэсэн бусад олон үнэлэмжийн дүгнэлтүүд.

Энд тэмдэглэх нь зүйтэй: хүний ​​дүгнэлтийн төөрөгдөл нь утгагүй байдалд хүрэх үед сэтгэл засалчдад ажлын урд гарч ирдэг. Мэргэжилтнээр томилох нэг жишээ:

"Өвчтөн улаан өнгө нь аливаа илрэлийн хувьд зөвхөн аюул дагуулдаг гэдэгт бүрэн итгэлтэй байна. Үүний үр дүнд хүн энэ өнгөний схемийг амьдралаас нь аль болох хассан. Гэрийн орчинд тав тухтай амьдрах олон боломж бий. Та улаан өнгийн бүх зүйлээс татгалзаж эсвэл өөр аналогоор сольж болно өнгөний схем. Гэхдээ дотор олон нийтийн газар, ажил дээрээ, дэлгүүрт - энэ нь боломжгүй юм. Стресстэй нөхцөл байдалд ороход өвчтөн бүр өөр "түрлэг"-ийг мэдэрдэг сэтгэл хөдлөлийн байдалЭнэ нь бусдад аюул учруулж болзошгүй юм."

Индукцийн энэхүү жишээг ухамсаргүйгээр "тогтмол санаа" гэж нэрлэдэг. Хэрэв энэ нь сэтгэцийн хувьд эрүүл хүнд тохиолдвол сэтгэцийн үйл ажиллагааны зохион байгуулалт хангалтгүй байгаа тухай ярьж болно. Анхан шатны хөгжил нь хийсвэр байдлаас ангижрах арга зам болж чадна дедуктив сэтгэлгээ. Бусад тохиолдолд сэтгэцийн эмч нар ийм өвчтөнүүдтэй ажилладаг.

Индукцийн дээрх жишээнүүд нь "хуулийг үл тоомсорлох нь үр дагавраас (алдаатай шүүлтээс) чөлөөлөгдөхгүй" гэдгийг харуулж байна.

Дедуктив сэтгэлгээний сэдвээр ажиллаж буй сэтгэл судлаачид хүмүүст энэ аргыг эзэмшихэд нь туслах зорилготой зөвлөмжийн жагсаалтыг гаргажээ.

Эхний алхам бол асуудлыг шийдэх явдал юм. Эндээс харахад математикт хэрэглэгддэг индукцийн хэлбэрийг "сонгодог" гэж үзэж болох бөгөөд энэ аргыг ашиглах нь оюун ухааны "сахилга бат"-д хувь нэмэр оруулдаг.

Дедуктив сэтгэлгээг хөгжүүлэх дараагийн нөхцөл бол алсын харааг тэлэх явдал юм (тодорхой сэтгэдэг, тодорхой хэлдэг хүмүүс). Энэхүү зөвлөмж"зовлон"-ыг шинжлэх ухаан, мэдээллийн сан хөмрөгт (номын сан, вэбсайт, боловсролын санаачлага, аялал гэх мэт) чиглүүлдэг.

"Сэтгэл зүйн индукц" гэж нэрлэгддэг зүйлийг тусад нь дурдах хэрэгтэй. Энэ нэр томъёог хааяа ч гэсэн интернетээс олж болно. Бүх эх сурвалжууд энэ нэр томъёоны товч тодорхойлолтыг өгдөггүй, харин "амьдралаас авсан жишээнүүд" -ийг иш татдаг. шинэ төрөлиндукц, дараа нь санал, дараа нь зарим хэлбэрүүд сэтгэцийн эмгэг, хүний ​​сэтгэцийн туйлын төлөв байдал. Дээр дурдсан бүхнээс үзэхэд дүгнэлт гаргах гэсэн оролдлого нь тодорхой байна. шинэ нэр томъёо”, худал (ихэвчлэн худал) байр сууринд тулгуурлан туршилт хийгчийг алдаатай (эсвэл яаран) мэдэгдэл хүлээн авахыг сүйрүүлдэг.

1960 оны туршилтуудын тухай лавлагаа (туршилт хийх газар, туршилтын оролцогчдын нэр, субъектуудын түүвэр, хамгийн чухал нь туршилтын зорилгыг заагаагүй) нь зөөлөн, үнэмшилгүй, мэдэгдэл харагдаж байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тархи нь бүх мэдрэхүйн эрхтнүүдийг тойрон мэдээллийг хүлээн авдаг (энэ тохиолдолд "туршлагатай" гэсэн хэллэг илүү органик байдлаар багтах болно) нь мэдэгдлийн зохиогчийн итгэл үнэмшил, шүүмжлэлтэй байдлын талаар бодоход хүргэдэг.

Дүгнэлтийн оронд

Шинжлэх ухааны хатан хаан - математик нь индукц ба дедукцийн аргын бүх боломжит нөөцийг дэмий хоосон ашигладаг. Үзэж буй жишээнүүд нь хамгийн үнэн зөв, найдвартай аргуудыг өнгөцхөн, чадваргүй (тэдний хэлснээр бодолгүй) хэрэглэх нь үргэлж алдаатай үр дүнд хүргэдэг гэж дүгнэх боломжийг бидэнд олгодог.

AT олон нийтийн ухамсарДедукцийн арга нь алдарт Шерлок Холмстой холбоотой бөгөөд тэрээр логик бүтэцдээ шаардлагатай нөхцөл байдалд дедукцийг ашиглан индукцийн жишээг ихэвчлэн ашигладаг.

Нийтлэлд эдгээр аргуудыг ашиглах жишээг авч үзсэн төрөл бүрийн шинжлэх ухаанболон хүний ​​амьдралын салбарууд.