Модульчлагдсан тэгш бус байдлыг шийд. Онлайн тооцоолуур.Тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг модулаар шийдвэрлэх

Найзууд аа, өнөөдөр ямар ч хонхорхой, мэдрэмж байхгүй болно. Үүний оронд би чамайг 8-9-р ангийн алгебрийн хичээлийн хамгийн хүчтэй өрсөлдөгчдийн нэгтэй тулалдаанд нэмэлт асуултгүйгээр илгээх болно.

Тийм ээ, та бүх зүйлийг зөв ойлгосон: бид модультай тэгш бус байдлын тухай ярьж байна. Эдгээр асуудлын 90 орчим хувийг шийдэж сурах дөрвөн үндсэн аргыг бид авч үзэх болно. Нөгөө 10% нь яах вэ? За, бид тэдний талаар тусдаа хичээл дээр ярих болно. :)

Гэсэн хэдий ч тэнд ямар нэгэн заль мэхийг шинжлэхээсээ өмнө та аль хэдийн мэдэх шаардлагатай хоёр баримтыг эргэн санамаар байна. Үгүй бол та өнөөдрийн хичээлийн материалыг огт ойлгохгүй байх эрсдэлтэй.

Та аль хэдийн мэдэх ёстой зүйл

Капитан нотлох баримт нь тэгш бус байдлыг модулаар шийдэхийн тулд хоёр зүйлийг мэдэж байх ёстойг сануулж байна.

1. Тэгш бус байдал хэрхэн шийдэгддэг вэ?
2. Модуль гэж юу вэ.

Хоёр дахь цэгээс эхэлье.

Модулийн тодорхойлолт

Энд бүх зүйл энгийн. Алгебрийн болон график гэсэн хоёр тодорхойлолт байдаг. Алгебраас эхэлье:

Тодорхойлолт. $x$ тооны модуль нь сөрөг биш бол тухайн тоо, эсвэл анхны $x$ сөрөг хэвээр байвал эсрэг талын тоо юм.

Үүнийг ингэж бичсэн байна.

\[\зүүн| x \right|=\left\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

ярьж байна энгийн хэллэг, модуль нь "хасах тэмдэггүй тоо" юм. Энэ нь хоёрдмол байдалд байдаг (хаа нэгтээ та анхны дугаараар юу ч хийх шаардлагагүй, гэхдээ хаа нэгтээ хасах хэрэгтэй) бөгөөд шинэхэн оюутнуудын хувьд бүх бэрхшээлүүд оршдог.

Мөн геометрийн тодорхойлолт байдаг. Үүнийг мэдэх нь бас ашигтай, гэхдээ бид зөвхөн геометрийн арга нь алгебрийн аргаас илүү тохиромжтой байдаг нарийн төвөгтэй, онцгой тохиолдлуудад л ярих болно (спойлер: өнөөдөр биш).

Тодорхойлолт. Бодит шулуун дээр $a$ цэгийг тэмдэглэе. Дараа нь модуль $\left| x-a \right|$ нь энэ шулуун дээрх $x$ цэгээс $a$ цэг хүртэлх зай юм.

Хэрэв та зураг зурвал ийм зүйл гарч ирнэ.

График модулийн тодорхойлолт

Ямар нэг байдлаар түүний гол шинж чанар нь модулийн тодорхойлолтоос шууд гардаг. тооны модуль нь үргэлж сөрөг бус утгатай байдаг. Энэ баримт нь өнөөдрийн бидний түүхийг бүхэлд нь хамарсан улаан утас байх болно.

Тэгш бус байдлын шийдэл. Зайны арга

Одоо тэгш бус байдлын асуудлыг авч үзье. Тэдгээрийн олон нь байдаг, гэхдээ бидний одоо хийх даалгавар бол ядаж хамгийн энгийнийг нь шийдэх явдал юм. Доош ирдэг хүмүүс шугаман тэгш бус байдал, түүнчлэн интервалын аргад.

Надад энэ сэдвээр хоёр том заавар байна (дашрамд хэлэхэд, маш их хэрэгтэй - би суралцахыг зөвлөж байна):

1. Тэгш бус байдлын интервалын арга (ялангуяа видеог үзэх);
2. Бутархай-рациональ тэгш бус байдал бол маш том хичээл боловч үүний дараа танд асуулт үлдэхгүй.

Хэрэв та энэ бүгдийг мэдэж байгаа бол "тэгш бус байдлаас тэгшитгэл рүү шилжье" гэсэн хэллэг нь таныг хананд наалдаж амиа хорлохыг тодорхойгүй хүсээгүй бол та бэлэн байна: хичээлийн гол сэдэвт тавтай морил. :)

1. "Модуль функцээс бага" хэлбэрийн тэгш бус байдал

Энэ бол модулиудад хамгийн их тохиолддог ажлуудын нэг юм. Маягтын тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай:

\[\зүүн| f\right| \ltg\]

Ямар ч зүйл $f$ ба $g$ функцийн үүргийг гүйцэтгэж болох боловч ихэвчлэн олон гишүүнт байдаг. Ийм тэгш бус байдлын жишээ:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left| 2x+3\баруун| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \баруун|+3\зүүн(x+1 \баруун) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\зүүн| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх)\]

Эдгээрийг бүгдийг нь схемийн дагуу нэг мөрөнд шууд утгаараа шийддэг.

\[\зүүн| f\right| \lt g\Баруун сум -g \lt f \lt g\quad \зүүн(\Баруун сум \зүүн\( \эхлэх(эгцлэх) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\баруун)\]

Бид модулийг устгаж байгааг харахад хялбар байдаг, гэхдээ үүний оронд давхар тэгш бус байдал (эсвэл энэ нь ижил зүйл юм, хоёр тэгш бус байдлын систем) авах болно. Гэхдээ энэ шилжилт нь бүх зүйлийг харгалзан үздэг болзошгүй асуудлууд: модулийн дор байгаа тоо эерэг байвал арга ажиллана; сөрөг байвал энэ нь ажилласаар байна; $f$ эсвэл $g$-ийн оронд хамгийн хангалтгүй функцтэй байсан ч энэ арга ажиллах болно.

Мэдээжийн хэрэг асуулт гарч ирнэ: энэ нь илүү хялбар биш гэж үү? Харамсалтай нь та чадахгүй. Энэ бол модулийн бүх санаа юм.

Гэхдээ философидоо хангалттай. Хэд хэдэн асуудлыг шийдье:

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| 2x+3\баруун| \ltx+7\]

Шийдэл. Тиймээс бид "модуль нь түүнээс бага" хэлбэрийн сонгодог тэгш бус байдалтай байдаг - өөрчлөх зүйл ч байхгүй. Бид алгоритмын дагуу ажилладаг:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left| f\right| \lt g\Баруун сум -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\баруун| \lt x+7\Баруун сум -\зүүн(x+7 \баруун) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх)\]

Өмнөх "хасах" тэмдэгтэй хаалтуудыг нээх гэж бүү яар: яаравчлуулсаны улмаас та доромжилсон алдаа гаргах магадлалтай.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Асуудлыг хоёр үндсэн тэгш бус байдал болгон бууруулсан. Бид тэдгээрийн шийдлүүдийг параллель бодит шугамууд дээр тэмдэглэнэ.

Олон хүний ​​уулзвар

Эдгээр олонлогуудын огтлолцол нь хариулт болно.

Хариулт: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| ((x)^(2))+2x-3 \баруун|+3\зүүн(x+1 \баруун) \lt 0\]

Шийдэл. Энэ даалгавар нь арай илүү төвөгтэй юм. Эхлэхийн тулд бид хоёр дахь нэр томъёог баруун тийш шилжүүлэх замаар модулийг тусгаарлана.

\[\зүүн| ((x)^(2))+2x-3 \баруун| \lt -3\зүүн(x+1 \баруун)\]

Мэдээжийн хэрэг, бид "модуль бага байна" гэсэн хэлбэрийн тэгш бус байдал үүссэн тул аль хэдийн мэдэгдэж байсан алгоритмын дагуу модулиас ангижрах болно.

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \баруун)\]

Одоо анхаарлаа хандуулаарай: хэн нэгэн намайг энэ бүх хаалттай жаахан гажуудсан гэж хэлэх болно. Гэхдээ бидний гол зорилго гэдгийг дахин сануулж байна тэгш бус байдлыг зөв шийдэж хариултыг авна. Дараа нь та энэ хичээлд дурдсан бүх зүйлийг төгс эзэмшсэн бол та хүссэнээрээ гажуудуулж болно: хаалт нээх, хасах гэх мэт.

Эхлэхийн тулд бид зүгээр л салах болно давхар хасахзүүн:

\[-\left(-3\left(x+1 \баруун) \баруун)=\left(-1 \баруун)\cdot \left(-3 \баруун)\cdot \left(x+1 \баруун) =3\зүүн(x+1\баруун)\]

Одоо давхар тэгш бус байдлын бүх хаалтыг нээцгээе.

Давхар тэгш бус байдал руу шилжье. Энэ удаад тооцоо илүү ноцтой байх болно:

\[\left\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун\]

\[\left\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \төгсгөл( зэрэгцүүлэх)\баруун.\]

Хоёр тэгш бус байдал хоёулаа дөрвөлжин хэлбэртэй бөгөөд интервалын аргаар шийдэгддэг (тийм учраас би хэлж байна: хэрэв та энэ нь юу болохыг мэдэхгүй бол модуль авахгүй байх нь дээр). Бид эхний тэгш бус байдлын тэгшитгэл рүү шилждэг.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \баруун)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар гаралт нь бүрэн бус болсон. квадрат тэгшитгэл, үүнийг анхан шатны байдлаар шийддэг. Одоо системийн хоёр дахь тэгш бус байдлыг авч үзье. Тэнд та Виетийн теоремыг ашиглах хэрэгтэй.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \баруун)\left(x+2 \баруун)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид олж авсан тоонуудыг хоёр зэрэгцээ шугам дээр тэмдэглэв (эхний тэгш бус байдлын хувьд тусад нь, хоёр дахь нь тусдаа):

Дахин хэлэхэд, бид тэгш бус байдлын системийг шийдэж байгаа тул бид сүүдэрлэсэн олонлогуудын огтлолцлыг сонирхож байна: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Энэ бол хариулт юм.

Хариулт: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Эдгээр жишээнүүдийн дараа шийдлийн схем маш тодорхой байна гэж би бодож байна.

1. Бусад бүх нэр томъёог тэгш бус байдлын эсрэг тал руу шилжүүлэх замаар модулийг тусгаарла. Ингээд $\left| хэлбэрийн тэгш бус байдлыг олж авна f\right| \ltg$.
2. Дээр дурдсанчлан модулийг арилгах замаар энэ тэгш бус байдлыг шийд. Хэзээ нэгэн цагт давхар тэгш бус байдлаас хоёр бие даасан илэрхийллийн систем рүү шилжих шаардлагатай бөгөөд тус бүрийг тусад нь шийдэж болно.
3. Эцэст нь хэлэхэд, эдгээр хоёр бие даасан илэрхийллийн шийдлүүдийг давахад л үлддэг - тэгээд л бид эцсийн хариултыг авах болно.

Үүнтэй төстэй алгоритм нь модуль байх үед дараах төрлийн тэгш бус байдлын хувьд бас байдаг илүү функц. Гэсэн хэдий ч хэд хэдэн ноцтой "гэхдээ" байдаг. Одоо бид эдгээр "гэхдээ" талаар ярих болно.

2. "Модуль функцээс их" хэлбэрийн тэгш бус байдал

Тэд дараах байдлаар харагдаж байна.

\[\зүүн| f\right| \gt g\]

Өмнөхтэй төстэй юу? бололтой. Гэсэн хэдий ч ийм ажлуудыг огт өөр аргаар шийддэг. Албан ёсоор схем нь дараах байдалтай байна.

\[\зүүн| f\right| \gt g\Баруун сум \left[ \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\төгсгөл(зөв) \баруун.\]

Өөрөөр хэлбэл, бид хоёр тохиолдлыг авч үздэг.

1. Нэгдүгээрт, бид зүгээр л модулийг үл тоомсорлодог - бид ердийн тэгш бус байдлыг шийддэг;
2. Дараа нь үнэндээ бид хасах тэмдгээр модулийг нээж, дараа нь тэгш бус байдлын хоёр хэсгийг хоёуланг нь тэмдгээр −1-ээр үржүүлнэ.

Энэ тохиолдолд сонголтуудыг дөрвөлжин хаалтаар хослуулсан, i.e. Бид хоёр шаардлагыг хослуулсан.

Дахин анхаарлаа хандуулаарай: бидний өмнө систем биш, харин нэгдэл байна Хариултанд олонлогууд огтлолцоогүй, нийлсэн байна. тэр үндсэн ялгааөмнөх цэгээс!

Ерөнхийдөө олон оюутнууд холбоо, уулзвартай маш их будлиантай байдаг тул энэ асуудлыг нэг удаа, бүрмөсөн авч үзье.

• "∪" нь холбох тэмдэг юм. Үнэн хэрэгтээ энэ бол бидэнд ирсэн загварлаг "U" үсэг юм англи хэлнийбөгөөд энэ нь "Union" гэсэн үгийн товчлол, i.e. "Холбоонууд".
• "∩" нь уулзварын тэмдэг юм. Энэ новш хаанаас ч гараагүй, зүгээр л "∪"-ийг эсэргүүцэгч байдлаар гарч ирсэн.

Үүнийг санахад илүү хялбар болгохын тулд нүдний шил хийхдээ эдгээр тэмдгүүдэд хөл нэмж оруулаарай (зүгээр л намайг хар тамхи, архидалтыг сурталчилж байна гэж битгий буруутгаарай: хэрэв та энэ хичээлийг нухацтай судалж байгаа бол та аль хэдийн хар тамхичин болсон гэсэн үг юм):

Олонлогуудын уулзвар ба нэгдлийн хоорондох ялгаа

Орос хэл рүү орчуулбал дараахь зүйлийг хэлнэ: нэгдэл (цуглуулга) нь хоёр багцын элементүүдийг агуулдаг тул тэдгээрийн тус бүрээс багагүй байх; Харин огтлолцол (систем) нь зөвхөн эхний болон хоёр дахь багцад байгаа элементүүдийг агуулдаг. Тиймээс олонлогуудын огтлолцол нь эх олонлогоос хэзээ ч их байдаггүй.

Тэгэхээр илүү тодорхой болсон уу? Гайхалтай. Дасгал руугаа явцгаая.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| 3x+1 \баруун| \gt 5-4x\]

Шийдэл. Бид схемийн дагуу ажилладаг:

\[\зүүн| 3x+1 \баруун| \gt 5-4x\Баруун сум \зүүн[ \эхлэх(эгцлэх) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \баруун) \\\төгсгөх(эгцлэх) \ зөв.\]

Бид хүн амын тэгш бус байдал бүрийг шийддэг:

\[\left[ \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \төгсгөх(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \төгсгөл (зөвшүүлэх) \баруун.\]

Бид үүссэн багц бүрийг тоон мөрөнд тэмдэглээд дараа нь нэгтгэнэ.

Багцуудын нэгдэл

Хариулт нь $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ байх нь ойлгомжтой.

Хариулт: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| ((x)^(2))+2x-3 \баруун| \gtx\]

Шийдэл. За? Үгүй ээ, бүгд адилхан. Бид модультай тэгш бус байдлаас хоёр тэгш бус байдлын багц руу шилждэг.

\[\зүүн| ((x)^(2))+2x-3 \баруун| \gt x\Баруун сум \left[ \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Бид тэгш бус байдал бүрийг шийддэг. Харамсалтай нь тэнд үндэс нь тийм ч сайн биш байх болно:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Хоёр дахь тэгш бус байдалд бас бага зэрэг тоглоом байна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бид эдгээр тоог хоёр тэнхлэг дээр тэмдэглэх хэрэгтэй - тэгш бус байдал бүрт нэг тэнхлэг. Гэсэн хэдий ч цэгүүдийг тэмдэглэсэн байх ёстой зөв дараалал: Тоо том байх тусам баруун тийш шилжих цэгийг холдуулна.

Энд бид тохиргоог хүлээж байна. Хэрэв бүх зүйл тодорхой байвал $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (эхний тоологч дахь нөхцөлүүд) бутархай нь секундын тоологч дахь нөхцлөөс бага тул нийлбэр нь мөн бага байна) $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) (21))(2)$ ямар ч бэрхшээл гарахгүй (эерэг тоо нь илүү сөрөг байх нь ойлгомжтой), гэхдээ сүүлийн хосын хувьд бүх зүйл тийм ч хялбар биш юм. $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ эсвэл $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$ аль нь том вэ? Тоон шугам дээрх цэгүүдийн зохион байгуулалт, үнэн хэрэгтээ хариулт нь энэ асуултын хариултаас хамаарна.

Тиймээс харьцуулж үзье:

\[\begin(матриц) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\төгсгөл(матриц)\]

Бид үндсийг тусгаарлаж, тэгш бус байдлын хоёр талд сөрөг бус тоонуудыг авсан тул бид хоёр талыг квадрат болгох эрхтэй.

\[\begin(матриц) ((\left(2+\sqrt(13) \баруун))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \баруун))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(матриц)\]

Миний бодлоор $4\sqrt(13) \gt 3$, тиймээс $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, эцэст нь тэнхлэг дээрх цэгүүдийг дараах байдлаар байрлуулна.

Муухай үндэстэй тохиолдол

Бид олонлогийг шийдэж байгаа тул хариулт нь сүүдэртэй олонлогуудын огтлолцол биш харин нэгдэл байх болно гэдгийг сануулъя.

Хариулт: $x\in \left(-\infty;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2) );+\infty\right)$

Таны харж байгаагаар манай схем хоёуланд нь маш сайн ажилладаг энгийн даалгаварууд, мөн маш хатуу хүмүүсийн хувьд. Цорын ганц зүйл" сул тал"Энэ хандлагад та иррационал тоонуудыг чадварлаг харьцуулах хэрэгтэй (мөн надад итгээрэй: эдгээр нь зөвхөн үндэс биш юм). Гэхдээ харьцуулах асуултуудад тусдаа (мөн маш ноцтой хичээл) зориулах болно. Тэгээд бид цаашаа явна.

3. Сөрөг бус "сүүл"-тэй тэгш бус байдал

Тиймээс бид хамгийн сонирхолтой зүйл рүү орлоо. Эдгээр нь хэлбэрийн тэгш бус байдал юм:

\[\зүүн| f\right| \gt\left| g\right|\]

Ерөнхийдөө бидний одоо ярих гэж буй алгоритм нь зөвхөн модулийн хувьд үнэн юм. Энэ нь баруун ба зүүн талд сөрөг бус илэрхийлэл байгаа бүх тэгш бус байдалд ажилладаг.

Эдгээр даалгавруудыг юу хийх вэ? Зүгээр л сана:

Сөрөг бус сүүлтэй тэгш бус байдлын хувьд хоёр талыг аль алинд нь өсгөж болно байгалийн зэрэг. Нэмэлт хязгаарлалт байхгүй болно.

Юуны өмнө бид квадрат болгох сонирхолтой байх болно - энэ нь модулиуд болон үндсийг шатаадаг:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \баруун))^(2))=f. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Үүнийг квадратын үндсийг авахтай андуурч болохгүй:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Оюутан модуль суулгахаа мартсан үед тоо томшгүй олон алдаа гарсан! Гэхдээ энэ бол огт өөр түүх (эдгээр нь үндэслэлгүй тэгшитгэлүүд юм) тул бид одоо үүнийг үзэхгүй. Хоёр асуудлыг илүү сайн шийдье:

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \баруун|\]

Шийдэл. Бид хоёр зүйлийг нэн даруй анзаардаг:

1. Энэ бол хатуу бус тэгш бус байдал юм. Тооны шугам дээрх цэгүүдийг цоолно.
2. Тэгш бус байдлын хоёр тал нь мэдээж сөрөг биш (энэ нь модулийн шинж чанар юм: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Тиймээс бид модулийг арилгахын тулд тэгш бус байдлын хоёр талыг квадрат болгож, ердийн интервалын аргыг ашиглан асуудлыг шийдэж болно.

\[\эхлэх(зүүн) & ((\left(\left| x+2 \right| \баруун))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \баруун| \баруун)) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \баруун))^(2))\ge ((\left(2x-1 \баруун))^(2)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Дээр сүүлчийн алхамБи бага зэрэг хуурсан: модулийн паритетыг ашиглан нэр томъёоны дарааллыг өөрчилсөн (үнэндээ би $1-2x$ илэрхийллийг −1-ээр үржүүлсэн).

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\зүүн(2х-1 \баруун))^(2))-((\зүүн(x+2 \баруун))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ баруун)\right)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(зохицуулах)\]

Бид интервалын аргаар шийддэг. Тэгш бус байдлаас тэгшитгэл рүү шилжье:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left(x-3 \баруун)\left(3x+1 \баруун)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид олсон үндсийг тоон мөрөнд тэмдэглэнэ. Дахин нэг удаа: анхны тэгш бус байдал нь хатуу биш учраас бүх цэгүүд сүүдэртэй байна!

Модулийн тэмдэгээс салах

Ялангуяа зөрүүд хүмүүст сануулъя: бид тэгшитгэл рүү шилжихээсээ өмнө бичсэн сүүлчийн тэгш бус байдлын тэмдгүүдийг авдаг. Мөн бид ижил тэгш бус байдалд шаардлагатай газруудыг будна. Манай тохиолдолд энэ нь $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ байна.

За одоо бүх зүйл дууслаа. Асуудал шийдэгдэж.

Хариулт: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \баруун|\]

Шийдэл. Бид бүгдийг адилхан хийдэг. Би тайлбар өгөхгүй - зүгээр л үйлдлүүдийн дарааллыг хараарай.

Үүнийг квадрат болгоё:

\[\эхлэх(зүүн) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \баруун| \баруун))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \баруун| \баруун))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \баруун))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right)))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \баруун))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ баруун))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \баруун)\times \\ & \times \left(((x)) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \баруун)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \баруун)\le 0. \\\төгсгөл(эгц)\]

Зайны арга:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left(-2x-3 \баруун)\left(2((x)^(2))+4x+5 \баруун)=0 \\ & -2x-3=0\ Баруун сум x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Баруун сум D=16-40 \lt 0\Баруун сум \varnothing . \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тооны мөрөнд зөвхөн нэг үндэс байна:

Хариулт нь бүхэл бүтэн хүрээ юм

Хариулт: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Сүүлийн даалгаврын тухай жижиг тэмдэглэл. Миний оюутнуудын нэг нь үнэн зөв тэмдэглэснээр, энэ тэгш бус байдлын дэд модулийн илэрхийлэл хоёулаа эерэг байгаа тул эрүүл мэндэд хор хөнөөл учруулахгүйгээр модулийн тэмдгийг орхиж болно.

Гэхдээ энэ бол аль хэдийн огт өөр сэтгэлгээний түвшин, өөр хандлага юм - үүнийг үр дагаврын арга гэж нэрлэж болно. Түүний тухай - тусдаа хичээл дээр. Одоо өнөөдрийн хичээлийн эцсийн хэсэг рүү шилжиж, үргэлж ажилладаг бүх нийтийн алгоритмыг авч үзье. Өмнөх бүх аргууд хүчгүй байсан ч гэсэн. :)

4. Сонголтуудыг тоолох арга

Энэ бүх заль мэх бүтэхгүй бол яах вэ? Хэрэв тэгш бус байдал нь сөрөг бус сүүл хүртэл буурахгүй бол модулийг тусгаарлах боломжгүй бол, хэрэв өвдөлт гунигтай хүсэл тэмүүлэлтэй бол?

Дараа нь бүх математикийн "хүнд их буу" үзэгдэлд ордог - тоолох арга. Модулийн тэгш бус байдлын хувьд дараах байдалтай байна.

1. Бүх дэд модулийн илэрхийллүүдийг бичиж, тэдгээрийг тэгтэй тэнцүүлэх;
2. Үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж, олсон үндсийг нэг тооны мөрөнд тэмдэглэ;
3. Шулуун шугамыг хэд хэдэн хэсэгт хуваах бөгөөд тэдгээрийн дотор модуль бүр байдаг тогтмол тэмдэгтиймээс хоёрдмол утгагүй илчлэгдсэн;
4. Ийм хэсэг бүр дээрх тэгш бус байдлыг шийд (найдвартай байдлын үүднээс та 2-р зүйлд олж авсан хилийн үндэсийг тусад нь авч үзэж болно). Үр дүнг нэгтгэх - энэ нь хариулт байх болно. :)

За, яаж? Сул уу? Амархан! Зөвхөн удаан хугацаанд. Практик дээр харцгаая:

Даалгавар. Тэгш бус байдлыг шийд:

\[\зүүн| x+2 \баруун| \lt\left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Шийдэл. Энэ новш нь $\left| шиг тэгш бус байдал руу буцдаггүй f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ эсвэл $\left| f\right| \lt\left| g \right|$, тэгээд цаашаа явцгаая.

Бид дэд модулийн илэрхийлэлүүдийг бичиж, тэдгээрийг тэгтэй тэнцүүлж, үндсийг нь олно.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x+2=0\Баруун сум x=-2; \\ & x-1=0\Баруун сум x=1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Нийтдээ бид тооны шугамыг гурван хэсэгт хуваадаг хоёр үндэстэй бөгөөд тэдгээрийн дотор модуль бүр өвөрмөц байдлаар илэрдэг.

Дэд модуль функцүүдийн тоон мөрийг тэгээр хуваах

Хэсэг бүрийг тусад нь авч үзье.

1. $x \lt -2$ гэж үзье. Дараа нь дэд модулийн илэрхийлэл хоёулаа сөрөг байх ба анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичнэ.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & -\зүүн(x+2 \баруун) \lt -\зүүн(x-1 \баруун)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид маш энгийн хязгаарлалттай болсон. Үүнийг $x \lt -2$ гэсэн анхны таамаглалаар огтолцгооё.

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\Баруун сум x\ \varnothing \]

Мэдээжийн хэрэг, $x$ хувьсагч нь нэгэн зэрэг -2-оос бага боловч 1.5-аас их байж болохгүй. Энэ чиглэлээр ямар ч шийдэл байхгүй.

1.1. Хилийн тохиолдлыг тусад нь авч үзье: $x=-2$. Энэ тоог анхны тэгш бус байдалд орлуулаад шалгая: энэ нь тохирох уу?

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\зүүн. \зүүн| x+2 \баруун| \lt \зүүн| x-1 \баруун|+x-1,5 \баруун|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \right|-2-1.5; \\ & 0 \лт 3-3.5; \\ & 0 \lt -0,5\Баруун сум \varnothing . \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тооцооллын гинжин хэлхээ биднийг буруу тэгш бус байдалд хүргэсэн нь ойлгомжтой. Тиймээс анхны тэгш бус байдал нь мөн худал бөгөөд $x=-2$ хариултанд ороогүй болно.

2. Одоо $-2 \lt x \lt 1$ байя. Зүүн модуль аль хэдийн "нэмэх" тэмдэгтэй нээгдэх боловч баруун тал нь "хасах" тэмдэгтэй хэвээр байна. Бидэнд байгаа:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x+2 \lt -\зүүн(x-1 \баруун)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин бид анхны шаардлагатай огтлолцож байна:

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\Баруун сум x\\varnothing \]

Дахин хэлэхэд −2.5-аас бага ба −2-оос их тоо байхгүй тул шийдлийн хоосон багц.

2.1. Бас дахин онцгой тохиолдол: $x=1$. Бид анхны тэгш бус байдлыг орлуулна:

\[\эхлэх(эгцлэх) & ((\зүүн. \зүүн| x+2 \баруун| \lt \зүүн| x-1 \баруун|+x-1,5 \баруун|)_(x=1)) \\ & \left| 3\баруун| \lt\left| 0 \right|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0,5\Баруун сум \varnothing . \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Өмнөх "онцгой тохиолдол"-ын нэгэн адил $x=1$ тоог хариултанд оруулаагүй нь тодорхой.

3. Мөрийн сүүлчийн хэсэг: $x \gt 1$. Энд бүх модулиудыг нэмэх тэмдгээр өргөтгөсөн:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \төгсгөл(зохицуулах)\ ]

Мөн бид дахин олсон олонлогийг анхны хязгаарлалттай огтолж байна:

\[\зүүн\( \эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\Баруун сум x\зүүн(4,5;+\infty) \баруун)\]

Эцэст нь! Бид хариулт болох интервалыг олсон.

Хариулт: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Эцэст нь хэлэхэд, бодит асуудлыг шийдэхдээ таныг тэнэг алдаанаас аварч болох нэг тэмдэглэл:

Модулиудтай тэгш бус байдлын шийдлүүд нь ихэвчлэн тооны шугам дээрх тасралтгүй олонлогууд - интервал ба сегментүүд юм. Тусгаарлагдсан цэгүүд илүү ховор байдаг. Илүү ховор тохиолдолд шийдлийн хил хязгаар (сегментийн төгсгөл) нь авч үзэж буй хүрээний хилтэй давхцдаг.

Тиймээс, хэрэв хил хязгаарыг (тэдгээр "онцгой тохиолдлууд") хариултанд оруулаагүй бол эдгээр хилийн баруун зүүн талд байгаа хэсгүүд нь хариултанд бараг л орохгүй. Мөн эсрэгээр: хил хязгаар нь хариуд орсон бөгөөд энэ нь түүний эргэн тойронд зарим газар хариу үйлдэл үзүүлэх болно гэсэн үг юм.

Шийдэлээ шалгахдаа үүнийг санаарай.

Модулиудын тэгш бус байдлыг илрүүлэх арга (дүрэм) нь дэд модулийн функцүүдийн тогтмол тэмдгийн интервалыг ашиглан модулиудыг дараалан задлахаас бүрдэнэ. Эцсийн хувилбарт хэд хэдэн тэгш бус байдлыг олж авдаг бөгөөд тэдгээрээс асуудлын нөхцөлийг хангасан интервал эсвэл цоорхойг олдог.

Практикт түгээмэл байдаг жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд шилжье.

Модулиудтай шугаман тэгш бус байдал

Шугаман гэж бид хувьсагч нь тэгшитгэлд шугаман байдлаар ордог тэгшитгэлийг хэлнэ.

Жишээ 1. Тэгш бус байдлын шийдийг ол

Шийдэл:
Бодлогын нөхцөлөөс харахад модулиуд x=-1 ба x=-2 үед тэг болж хувирна. Эдгээр цэгүүд нь тоон тэнхлэгийг интервалд хуваадаг

Эдгээр интервал бүрд бид өгөгдсөн тэгш бус байдлыг шийддэг. Үүнийг хийхийн тулд бид юуны түрүүнд дэд модуль функцүүдийн тогтмол тэмдэг бүхий хэсгүүдийн график зургийг зурдаг. Тэдгээрийг функц тус бүрийн шинж тэмдэг бүхий хэсгүүдээр дүрсэлсэн байдаг.

эсвэл бүх функцийн тэмдэг бүхий интервалууд.

Эхний интервал дээр модулиудыг нээнэ үү

Бид хоёр хэсгийг хасах нэгээр үржүүлдэг бол тэгш бус байдлын тэмдэг нь эсрэгээрээ өөрчлөгдөнө. Хэрэв та энэ дүрэмд дасахад хэцүү байвал хасах тэмдэгээс салахын тулд хэсэг бүрийг тэмдгээс цааш шилжүүлж болно. Эцсийн эцэст та хүлээн авах болно

Тэгшитгэлийг шийдсэн талбайтай x>-3 олонлогийн огтлолцол нь (-3;-2) интервал болно. Графикаар шийдлийг хайхад хялбар байдаг хүмүүст та эдгээр хэсгүүдийн огтлолцлыг зурж болно

Талбайн ерөнхий уулзвар нь шийдэл байх болно. Хатуу тэгш бус байдал нь ирмэгийг оруулаагүй болно. Хэрэв nonstrict-ийг орлуулах замаар шалгана.

Хоёр дахь интервал дээр бид авдаг

Хэсэг нь интервал байх болно (-2; -5/3). Графикийн хувьд шийдэл нь иймэрхүү харагдах болно

Гурав дахь интервал дээр бид авна

Энэ нөхцөлшаардлагатай домэйн дээр шийдлийг өгдөггүй.

Олдсон (-3;-2) ба (-2;-5/3) хоёр шийдэл нь x=-2 цэгтэй хиллэдэг тул бид бас шалгана.

Иймд x=-2 цэг нь шийдэл болно. Нийтлэг шийдвэрҮүнийг харгалзан үзвэл (-3; 5/3) харагдах болно.

Жишээ 2. Тэгш бус байдлын шийдийг ол
|x-2|-|x-3|>=|x-4|

Шийдэл:
Дэд модулийн функцүүдийн тэг нь x=2, x=3, x=4 цэгүүд байх болно. Аргументуудын утга эдгээр цэгээс бага байвал дэд модулийн функцууд сөрөг, утга их байвал эерэг байна.

Цэгүүд нь бодит тэнхлэгийг дөрвөн интервалд хуваана. Бид модулиудыг тэмдгийн тогтмол байдлын интервалын дагуу нээж, тэгш бус байдлыг шийддэг.

1) Эхний интервал дээр бүх дэд модуль функцүүд сөрөг байдаг тул модулиудыг өргөжүүлэхдээ бид тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчилдөг.

Олдсон x утгуудын авч үзсэн интервалтай огтлолцол нь цэгүүдийн багц болно

2) x=2 ба x=3 цэгүүдийн хоорондох завсарт эхний дэд модулийн функц эерэг, хоёр, гурав дахь нь сөрөг байна. Модулиудыг өргөжүүлснээр бид олж авна

Бидний шийдэж буй интервалтай огтлолцохдоо нэг шийдийг өгдөг тэгш бус байдал - x=3.

3) x=3 ба x=4 цэгүүдийн хоорондох завсарт эхний болон хоёр дахь дэд модулийн функцууд эерэг, гурав дахь нь сөрөг байна. Үүний үндсэн дээр бид авдаг

Энэ нөхцөл нь бүхэл интервал нь модулиудын тэгш бус байдлыг хангах болно гэдгийг харуулж байна.

4) x>4 утгуудын хувьд бүх функц эерэг тэмдэгтэй байна. Модулиудыг өргөжүүлэхдээ бид тэдгээрийн тэмдгийг өөрчлөхгүй.

Интервалтай огтлолцсон олсон нөхцөл нь дараах шийдлүүдийн багцыг өгнө

Тэгш бус байдал нь бүх интервал дээр шийдэгддэг тул бүх олдсон х утгуудын нийтлэг утгыг олоход л үлддэг. Шийдэл нь хоёр интервал юм

Энэ жишээ шийдэгдсэн.

Жишээ 3. Тэгш бус байдлын шийдийг ол
||x-1|-5|>3-2x

Шийдэл:
Бид модулийн модультай тэгш бус байдалтай байна. Ийм тэгш бус байдал нь модулиудыг илүү гүнзгий байрлуулсан модулиудаас эхлээд үүрлэх үед илэрдэг.

x-1 дэд модулийн функц x=1 цэг дээр тэг болж хувирна. 1-ээс дээш жижиг утгуудын хувьд сөрөг ба x>1 бол эерэг байна. Үүний үндсэн дээр бид дотоод модулийг нээж, интервал тус бүрийн тэгш бус байдлыг харгалзан үзнэ.

Эхлээд хасах хязгаараас нэг хүртэлх интервалыг авч үзье

Дэд модулийн функц x=-4 цэг дээр тэг байна. Жижиг утгын хувьд эерэг, том утгын хувьд сөрөг байна. X-ийн модулийг өргөжүүлнэ үү<-4:

Бидний авч үзэж буй талбайтай огтлолцох үед бид шийдлийн багцыг олж авдаг

Дараагийн алхам бол модулийг интервал дээр өргөжүүлэх явдал юм (-4; 1)

Модулийн өргөтгөлийн талбайг харгалзан бид шийдлийн интервалыг олж авдаг

Санаж байгаарай: хэрэв та нийтлэг цэгтэй хиллэдэг модулиудтай ийм зөрчилд хоёр интервалтай бол дүрмээр бол энэ нь бас шийдэл юм.

Үүнийг хийхийн тулд та зүгээр л шалгах хэрэгтэй.

Энэ тохиолдолд бид x=-4 цэгийг орлуулна.

Тэгэхээр x=-4 нь шийдэл юм.
Х>1-ийн дотоод модулийг өргөжүүлнэ

Дэд модулийн функц нь x-ийн хувьд сөрөг байна<6.
Модулийг өргөжүүлснээр бид олж авна

(1;6) интервалтай хэсгийн энэ нөхцөл нь шийдлийн хоосон багцыг өгнө.

x>6-ийн хувьд бид тэгш бус байдлыг олж авна

Мөн шийдэж, бид хоосон багц авсан.
Дээр дурдсан бүх зүйлийг харгалзан модультай тэгш бус байдлын цорын ганц шийдэл нь дараах интервал байх болно.

Квадрат тэгшитгэл агуулсан модультай тэгш бус байдал

Жишээ 4. Тэгш бус байдлын шийдийг ол
|x^2+3x|>=2-x^2

Шийдэл:
Дэд модулийн функц x=0, x=-3 цэгүүдэд алга болно. Энгийн орлуулалтаар нэг хасах

(-3; 0) интервал дээр тэгээс бага, түүнээс цааш эерэг байна гэж бид тогтоосон.
Дэд модулийн функц эерэг байгаа хэсэгт модулийг өргөжүүлнэ

Квадрат функц эерэг байх хэсгүүдийг тодорхойлоход л үлддэг. Үүнийг хийхийн тулд квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг тодорхойлно

Тохиромжтой болгох үүднээс (-2;1/2) интервалд хамаарах x=0 цэгийг орлуулна. Энэ интервалд функц сөрөг байх тул шийдэл нь дараах x олонлогууд болно

Энд хаалтанд шийдэл бүхий талбайн ирмэгийг зааж өгсөн бөгөөд үүнийг дараах дүрмийг харгалзан зориуд хийсэн болно.

Санаж байгаарай: Хэрэв модультай тэгш бус байдал, эсвэл энгийн тэгш бус байдал нь хатуу байвал олсон талбайн ирмэгүүд нь шийдэл биш, харин тэгш бус байдал нь хатуу биш бол () ирмэгүүд нь шийдэл (дөрвөлжин хаалтанд тэмдэглэгдсэн) болно.

Энэ дүрмийг олон багш ашигладаг: хэрэв та хатуу тэгш бус байдал өгвөл тооцооллын явцад шийдэлд дөрвөлжин хаалт ([,]) бичвэл тэд автоматаар үүнийг буруу хариулт гэж үзэх болно. Түүнчлэн, тест хийхдээ модулиудтай хатуу бус тэгш бус байдлыг зааж өгсөн бол шийдлүүдийн дунд дөрвөлжин хаалт бүхий хэсгүүдийг хайж олох хэрэгтэй.

(-3; 0) интервал дээр модулийг өргөтгөхөд бид функцийн тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчилдөг.

Тэгш бус байдлын ил тод байдлын хамрах хүрээг харгалзан шийдэл нь хэлбэртэй байна

Өмнөх талбайтай хамт энэ нь хоёр хагасын интервалыг өгнө

Жишээ 5. Тэгш бус байдлын шийдийг ол
9x^2-|x-3|>=9x-2

Шийдэл:
Хатуу бус тэгш бус байдал өгөгдсөн бөгөөд дэд модулийн функц нь x=3 цэг дээр тэгтэй тэнцүү байна. Жижиг утгын хувьд энэ нь сөрөг, том утгын хувьд эерэг байна. Бид модулийг x интервал дээр өргөжүүлнэ<3.

Тэгшитгэлийн дискриминантыг олох

болон үндэс

Тэг цэгийг орлуулснаар [-1/9; 1] интервал дээр квадрат функц сөрөг байх тул интервал нь шийдэл болохыг олж мэднэ. Дараа нь x>3 модулийг нээнэ үү

модулийн дугаарЭнэ тоо нь сөрөг биш бол өөрөө, эсвэл сөрөг байвал эсрэг тэмдэгтэй ижил тоо гэж нэрлэдэг.

Жишээлбэл, 6-ийн модуль нь 6, -6-ийн модуль нь мөн 6 байна.

Өөрөөр хэлбэл, тооны модулийг үнэмлэхүй утга, түүний тэмдгийг харгалзахгүйгээр энэ тооны үнэмлэхүй утга гэж ойлгодог.

Дараах байдлаар тэмдэглэнэ: |6|, | X|, |а| гэх мэт.

(Дэлгэрэнгүй мэдээллийг "Тооны модуль" хэсгээс үзнэ үү).

Модулийн тэгшитгэл.

Жишээ 1 . тэгшитгэлийг шийд|10 X - 5| = 15.

Шийдэл.

Дүрмийн дагуу тэгшитгэл нь хоёр тэгшитгэлийн хослолтой тэнцүү байна.

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Бид шийднэ:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Хариулт: X 1 = 2, X 2 = -1.

Жишээ 2 . тэгшитгэлийг шийд|2 X + 1| = X + 2.

Шийдэл.

Модуль нь сөрөг бус тоо учраас X+ 2 ≥ 0. Үүний дагуу:

X ≥ -2.

Бид хоёр тэгшитгэл хийдэг:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Бид шийднэ:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Хоёр тоо нь -2-оос их байна. Тэгэхээр хоёулаа тэгшитгэлийн үндэс юм.

Хариулт: X 1 = -1, X 2 = 1.

Жишээ 3 . тэгшитгэлийг шийд

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Шийдэл.

Хэрэв хуваарь тэгтэй тэнцүү биш бол тэгшитгэл нь утга учиртай болно X≠ 1. Энэ нөхцлийг харгалзан үзье. Бидний эхний үйлдэл нь энгийн бөгөөд бид зөвхөн бутархайг арилгадаггүй, гэхдээ бид модулийг хамгийн цэвэр хэлбэрээр авахын тулд үүнийг өөрчилдөг.

|X+ 3| - 1 = 4 ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Одоо бид тэгшитгэлийн зүүн талд зөвхөн модулийн доорх илэрхийлэл байна. Үргэлжлүүл.
Тооны модуль нь сөрөг бус тоо бөгөөд өөрөөр хэлбэл энэ нь тэгээс их буюу тэнцүү байх ёстой. Үүний дагуу бид тэгш бус байдлыг шийднэ:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Тиймээс бид хоёр дахь нөхцөлтэй байна: тэгшитгэлийн үндэс нь дор хаяж 3/4 байх ёстой.

Дүрмийн дагуу бид хоёр тэгшитгэлийн багцыг бүрдүүлж, тэдгээрийг шийднэ.

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Бид хоёр хариулт авсан. Тэдгээр нь анхны тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг шалгацгаая.

Бидэнд хоёр нөхцөл байсан: тэгшитгэлийн үндэс нь 1-тэй тэнцүү байж болохгүй, хамгийн багадаа 3/4 байх ёстой. Тэр бол X ≠ 1, X≥ 3/4. Эдгээр хоёр нөхцөл хоёулаа хүлээн авсан хоёр хариултын зөвхөн нэг нь - 2 тоотой тохирч байна. Тиймээс зөвхөн энэ нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм.

Хариулт: X = 2.

Модулийн тэгш бус байдал.

Жишээ 1 . Тэгш бус байдлыг шийд| X - 3| < 4

Шийдэл.

Модулийн дүрэмд:

|а| = а, хэрэв а ≥ 0.

|а| = -а, хэрэв а < 0.

Модуль нь сөрөг ба сөрөг тоо аль аль нь байж болно. Тиймээс бид хоёр тохиолдлыг авч үзэх хэрэгтэй: X- 3 ≥ 0 ба X - 3 < 0.

1) Хэзээ X- 3 ≥ 0 бол бидний анхны тэгш бус байдал зөвхөн модулийн тэмдэггүйгээр хэвээр үлдэнэ.
X - 3 < 4.

2) Хэзээ X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Хаалтуудыг нээснээр бид дараахь зүйлийг авна.

-X + 3 < 4.

Ийнхүү эдгээр хоёр нөхцлөөс бид хоёр тэгш бус байдлын системийн нэгдэлд хүрэв.

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Тэдгээрийг шийдье:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Тиймээс, бидний хариултанд бид хоёр багцын нэгдэл байна:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Бид хамгийн жижиг ба хамгийн том үнэ цэнэ. Эдгээр нь -1 ба 7. Үүний зэрэгцээ X-1-ээс их боловч 7-оос бага.
Түүнээс гадна, X≥ 3. Иймээс тэгш бус байдлын шийдэл нь эдгээр туйлын тоонуудыг хасаагүй -1-ээс 7 хүртэлх бүхэл тооны багц юм.

Хариулт: -1 < X < 7.

Эсвэл: X ∈ (-1; 7).

Нэмэлтүүд.

1) Бидний тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд богино арга байдаг - график. Үүнийг хийхийн тулд хэвтээ тэнхлэгийг зур (Зураг 1).

Илэрхийлэл | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки Xдөрвөн нэгжээс бага 3 цэг хүртэл. Бид тэнхлэг дээр 3-ын тоог тэмдэглэж, түүний зүүн ба баруун талд 4 хуваагдлыг тоолно. Зүүн талд бид цэг дээр ирэх болно -1, баруун талд - цэг 7. Тиймээс, оноо XБид тэдгээрийг тооцоолохгүйгээр зүгээр л харсан.

Түүгээр ч барахгүй тэгш бус байдлын нөхцлийн дагуу -1 ба 7 нь өөрөө шийдлийн багцад ороогүй болно. Тиймээс бид хариултыг авна:

1 < X < 7.

2) Гэхдээ графикаас ч хялбар өөр нэг шийдэл бий. Үүнийг хийхийн тулд бидний тэгш бус байдлыг дараах хэлбэрээр харуулах ёстой.

4 < X - 3 < 4.

Эцсийн эцэст, модулийн дүрмийн дагуу ийм байна. Сөрөг бус тоо 4 ба ижил төстэй сөрөг тоо -4 нь тэгш бус байдлын шийдийн хил хязгаар юм.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Жишээ 2 . Тэгш бус байдлыг шийд| X - 2| ≥ 5

Шийдэл.

Энэ жишээ өмнөхөөсөө эрс ялгаатай. Зүүн тал 5-аас их буюу 5-тай тэнцүү C геометрийн цэгТэгш бус байдлын шийдэл нь 2-р цэгээс 5 нэгж ба түүнээс дээш зайд байгаа бүх тоонууд юм (Зураг 2). Графикаас харахад эдгээр нь бүгд -3-аас бага буюу тэнцүү, 7-оос их буюу тэнцүү тоонууд юм. Тиймээс бид хариултыг аль хэдийн хүлээн авсан.

Хариулт: -3 ≥ X ≥ 7.

Замдаа бид чөлөөт нэр томьёог зүүн, баруун тийш эсрэг тэмдгээр дахин цэгцлэх замаар ижил тэгш бус байдлыг шийддэг.

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Хариулт нь адилхан: -3 ≥ X ≥ 7.

Эсвэл: X ∈ [-3; 7]

Жишээ нь шийдэгдсэн.

Жишээ 3 . Тэгш бус байдлыг шийд 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Шийдэл.

Тоо Xмагадгүй эерэг тоо, мөн сөрөг, мөн тэг. Тиймээс бид гурван нөхцөл байдлыг харгалзан үзэх хэрэгтэй. Таны мэдэж байгаагаар тэдгээрийг хоёр тэгш бус байдалд тооцдог. X≥ 0 ба X < 0. При X≥ 0 бол бид анхны тэгш бус байдлыг зөвхөн модулийн тэмдэггүйгээр дахин бичнэ.

6х 2 - X - 2 ≤ 0.

Одоо хоёр дахь тохиолдолд: хэрэв X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Хаалтуудыг өргөжүүлэх:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Тиймээс бид хоёр тэгшитгэлийн системийг хүлээн авлаа.

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Бид систем дэх тэгш бус байдлыг шийдэх хэрэгтэй - энэ нь бид хоёр квадрат тэгшитгэлийн үндсийг олох хэрэгтэй гэсэн үг юм. Үүнийг хийхийн тулд тэгш бус байдлын зүүн талыг тэгтэй тэнцүүлнэ.

Эхнийхээс эхэлье:

6X 2 - X - 2 = 0.

Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ - "Квадрат тэгшитгэл" хэсгийг үзнэ үү. Бид хариултыг нэн даруй нэрлэх болно:

X 1 \u003d -1/2, x 2 \u003d 2/3.

Тэгш бус байдлын эхний системээс бид анхны тэгш бус байдлын шийдэл нь -1/2-оос 2/3 хүртэлх бүх тооны багц юм. Бид шийдлүүдийн нэгдлийг бичдэг X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Одоо хоёр дахь квадрат тэгшитгэлийг шийдье:

6X 2 + X - 2 = 0.

Үүний үндэс:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Дүгнэлт: хэзээ X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Хоёр хариултыг нэгтгэж, эцсийн хариултыг авцгаая: шийдэл нь эдгээр туйлын тоонуудыг оруулаад -2/3-аас 2/3 хүртэлх бүхэл тоо юм.

Хариулт: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Эсвэл: X ∈ [-2/3; 2/3].

тэгш бус байдлын шийдэлгоримд байна онлайн шийдэлбараг бүх өгөгдсөн тэгш бус байдал онлайн. Математик онлайн тэгш бус байдалматематикийг шийдэх. Хурдан олоорой тэгш бус байдлын шийдэлгоримд байна онлайн. www.site сайт нь танд олох боломжийг олгодог шийдэлбараг ямар ч өгөгдсөн алгебрийн, тригонометрэсвэл онлайнаар давсан тэгш бус байдал. Математикийн бараг бүх салбарыг судалж байхдаа өөр өөр үе шатуудшийдэх хэрэгтэй онлайн тэгш бус байдал. Хариултыг нэн даруй, хамгийн чухал нь үнэн зөв хариулт авахын тулд танд үүнийг хийх боломжийг олгодог эх сурвалж хэрэгтэй. www.site-д баярлалаа тэгш бус байдлыг онлайнаар шийдвэрлэххэдэн минут болно. Математикийн асуудлыг шийдвэрлэхэд www.site-ийн гол давуу тал онлайн тэгш бус байдал- энэ нь өгсөн хариултын хурд, нарийвчлал юм. Сайт нь аливаа асуудлыг шийдэх боломжтой онлайн алгебрийн тэгш бус байдал, тригонометрийн тэгш бус байдал онлайн, трансцендент тэгш бус байдал онлайн, түүнчлэн тэгш бус байдалгоримд үл мэдэгдэх параметрүүдтэй онлайн. тэгш бус байдалхүчирхэг математикийн аппарат болж үйлчилдэг шийдлүүдпрактик даалгавар. Тусламжаар математикийн тэгш бус байдаланх харахад ойлгомжгүй, төвөгтэй мэт санагдаж болох баримт, харилцааг илэрхийлэх боломжтой. үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнүүд тэгш бус байдал-д асуудлыг томъёолсноор олж болно математикийнхэлбэрээр хэл тэгш бус байдалболон шийдэхгоримд хүлээн авсан даалгавар онлайн www.site вэбсайт дээр. Ямар ч алгебрийн тэгш бус байдал, тригонометрийн тэгш бус байдалэсвэл тэгш бус байдалагуулсан трансценденталтаныг хялбархан харуулах болно шийдэхонлайн, зөв ​​хариултыг аваарай. сурч байна байгалийн шинжлэх ухаанзайлшгүй шаардлагатай тулгардаг тэгш бус байдлын шийдэл. Энэ тохиолдолд хариулт нь үнэн зөв байх ёстой бөгөөд үүнийг горимд шууд хүлээн авах ёстой онлайн. Тиймээс, төлөө математикийн тэгш бус байдлыг онлайнаар шийдвэрлэхБид таны зайлшгүй тооцоолуур болох www.site сайтыг санал болгож байна алгебрийн тэгш бус байдлыг онлайнаар шийдвэрлэх, тригонометрийн тэгш бус байдал онлайн, түүнчлэн трансцендент тэгш бус байдал онлайнэсвэл тэгш бус байдалүл мэдэгдэх параметрүүдтэй. Төрөл бүрийн интравол шийдлийг олох практик асуудлуудын хувьд математикийн тэгш бус байдалнөөц www.. Шийдэж байна онлайн тэгш бус байдалашиглан хүлээн авсан хариултыг шалгах нь ашигтай байдаг онлайн шийдэлтэгш бус байдал www.site вэбсайт дээр. Тэгш бус байдлыг зөв бичиж, шууд авах шаардлагатай онлайн шийдэл, үүний дараа зөвхөн хариултыг тэгш бус байдлын шийдэлтэй харьцуулах л үлддэг. Хариултыг шалгахад нэг минутаас хэтрэхгүй, хангалттай тэгш бус байдлыг онлайнаар шийдвэрлэхмөн хариултуудыг харьцуул. Энэ нь танд алдаа гаргахаас зайлсхийхэд тусална шийдвэрмөн хариултыг цаг тухайд нь засаарай тэгш бус байдлыг онлайнаар шийдвэрлэхэсэх алгебрийн, тригонометр, трансцендентэсвэл тэгш бус байдалүл мэдэгдэх параметрүүдтэй.

Энэхүү онлайн математикийн тооцоолуур танд туслах болно тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлыг модулиар шийдвэрлэх. зориулсан програм тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг модулийн тусламжтайгаар шийдвэрлэхасуудлын хариултыг өгөөд зогсохгүй удирддаг тайлбар бүхий нарийвчилсан шийдэл, өөрөөр хэлбэл үр дүнг олж авах үйл явцыг харуулна.

Энэ хөтөлбөр нь ахлах ангийн сурагчдад хэрэг болох юм ерөнхий боловсролын сургуулиуд-д бэлтгэж байна хяналтын ажилболон шалгалт, шалгалтын өмнө мэдлэг шалгах үед эцэг эхчүүд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан дуусгахыг хүсч байна уу? гэрийн даалгаварматематик эсвэл алгебр? Энэ тохиолдолд та манай програмуудыг нарийвчилсан шийдэлтэй ашиглаж болно.

Ингэснээр та өөрөө болон/эсвэл дүү нарынхаа сургалтыг явуулах боломжтой болохын зэрэгцээ шийдвэрлэх шаардлагатай ажлын хүрээнд боловсролын түвшин нэмэгддэг.

|x| эсвэл abs(x) - модуль x

Модулиар тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлыг оруулна уу

Тэгшитгэл эсвэл тэгш бус байдлыг шийд

Энэ даалгаврыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй, програм ажиллахгүй байж магадгүй нь тогтоогдсон.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.

Таны хөтөч дээр JavaScript идэвхгүй байна.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд JavaScript идэвхжсэн байх ёстой.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.

Учир нь Асуудлыг шийдэх гэсэн хүмүүс их байна, таны хүсэлт дараалалд орчихлоо.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээж байгаарай сек...

Хэрэв чи шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Битгий мартаарай ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Жаахан онол.

Модультай тэгшитгэл ба тэгш бус байдал

Сургуулийн үндсэн алгебрийн хичээл дээр та модулиудтай хамгийн энгийн тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг хангаж чадна. Тэдгээрийг шийдэхийн тулд та \(|x-a| \) нь тоон шулуун дээрх х ба а цэгүүдийн хоорондох зай гэдгийг үндэслэн геометрийн аргыг хэрэглэж болно: \(|x-a| = \rho (x;\; a) ) \). Жишээлбэл, \(|x-3|=2 \) тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд 3 цэгээс 2-ын зайд байгаа тооны шулуун дээрх цэгүүдийг олох хэрэгтэй. Ийм хоёр цэг байдаг: \(x_1=1) \) ба \(x_2=5 \) .

Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх \(|2x+7|

Гэхдээ модулиар тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх гол арга нь "модулийн тодорхойлолтоор өргөтгөх" гэж нэрлэгддэг зүйлтэй холбоотой юм.
хэрэв \(a \geq 0 \), тэгвэл \(|a|=a \);
хэрэв \(a Дүрмээр бол модулиудтай тэгшитгэл (тэгш бус байдал) нь модулийн тэмдгийг агуулаагүй тэгшитгэлийн багц (тэгш бус байдал) болж буурдаг.

Дээрх тодорхойлолтоос гадна дараахь мэдэгдлийг ашигладаг.
1) Хэрэв \(c > 0 \) бол \(|f(x)|=c \) тэгшитгэл нь тэгшитгэлийн багцтай тэнцүү байна: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \төгсгөл(массив)\баруун.\)
2) Хэрэв \(c > 0 \) бол тэгш бус байдал нь \(|f(x)| 3) Хэрэв \(c \geq 0 \) бол \(|f(x)| > c \) тэгш бус байдал байна. тэгш бус байдлын олонлогтой тэнцүү : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(массив)\баруун. \)
4) Хэрэв тэгш бус байдлын хоёр хэсэг нь \(f(x) ЖИШЭЭ 1. \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \) тэгшитгэлийг шийд.

Хэрэв \(x-1 \geq 0 \), дараа нь \(|x-1| = x-1 \) ба өгөгдсөн тэгшитгэлхэлбэрийг авдаг
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Баруун сум x^2 +2x -8 = 0 \).
Хэрэв \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Баруун сум x^2 -2x -4 = 0 \).
Тиймээс өгөгдсөн тэгшитгэлийг заасан хоёр тохиолдол бүрт тусад нь авч үзэх хэрэгтэй.
1) \(x-1 \geq 0 \), i.e. \(x \geq 1 \). \(x^2 +2x -8 = 0 \) тэгшитгэлээс бид \(x_1=2, \; x_2=-4\) олно. \(x \geq 1 \) нөхцөл нь зөвхөн \(x_1=2\) утгаар хангагдана.
2) \(x-1 Хариулт: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

ЖИШЭЭ 2. \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \) тэгшитгэлийг шийд.

Эхний арга(тодорхойлолтын дагуу модулийг өргөтгөх).
Жишээ 1-ийн адилаар бид өгөгдсөн тэгшитгэлийг \(x^2-6x+7 \geq 0 \) эсвэл \(x^2-6x+7) гэсэн хоёр нөхцөлд тусад нь авч үзэх ёстой гэж бид дүгнэж байна.

1) Хэрэв \(x^2-6x+7 \geq 0 \) байвал \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) байх ба өгөгдсөн тэгшитгэл нь \(x^2) болно. -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Баруун сум 3x^2-23x+30=0 \). Энэ квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, бид дараахийг авна: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
\(x_1=6 \) утга нь \(x^2-6x+7 \geq 0 \) нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг олж мэдье. Үүний тулд бид орлуулдаг заасан утгаквадрат тэгш бус байдал руу. Бид дараахийг авна: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), i.e. \(7 \geq 0 \) нь зөв тэгш бус байдал юм. Эндээс \(x_1=6 \) нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс болно.
\(x_2=\frac(5)(3) \) утга нь \(x^2-6x+7 \geq 0 \) нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд бид заасан утгыг квадрат тэгш бус байдалд орлуулна. Бид дараахыг авна: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), i.e. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) нь хүчингүй тэгш бус байдал юм. Тэгэхээр \(x_2=\frac(5)(3) \) нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс биш юм.

2) Хэрэв \(x^2-6x+7 \(x_3=3\) утга нь \(x^2-6x+7) нөхцөлийг хангаж байвал \(x_4=\frac(4)(3) \) утга нь: нөхцөлийг хангахгүй байх \ (x^2-6x+7 Тэгэхээр өгөгдсөн тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна: \(x=6, \; x=3 \).

Хоёр дахь арга.Өгөгдсөн тэгшитгэл \(|f(x)| = h(x) \), дараа нь \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \төгсгөл(массив)\баруун. \)
Эдгээр тэгшитгэлийг хоёуланг нь дээр шийдсэн (өгөгдсөн тэгшитгэлийг шийдэх эхний аргын тусламжтайгаар), тэдгээрийн үндэс нь дараах байдалтай байна: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3) \). Эдгээрээс \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) нөхцөл дөрвөн утгаЗөвхөн хоёрыг хангана: 6 ба 3. Иймээс өгөгдсөн тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна: \(x=6, \; x=3 \).

Гурав дахь зам(график).
1) \(y = |x^2-6x+7| \) функцийн графикийг зуръя. Эхлээд бид параболыг \(y = x^2-6x+7\) байгуулна. Бидэнд \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). \(y = (x-3)^2-2 \) функцийн графикийг \(y = x^2 \) функцийн графикаас баруун тийш 3 масштабын нэгжээр (нэг талд) шилжүүлж авч болно. x тэнхлэг) болон 2 нэгжийн хуваарийн дагуу (y тэнхлэгийн дагуу). x=3 шулуун шугам нь бидний сонирхож буй параболын тэнхлэг юм. Илүү нарийвчлалтай зурахын тулд хяналтын цэг болгон (3; -2) - параболын дээд хэсэг, тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй цэг (0; 7) ба цэгийг (6; 7) авах нь тохиромжтой. параболын.
\(y = |x^2-6x+7| \) функцийн графикийг бүтээхийн тулд та x тэнхлэгээс доош ороогүй баригдсан параболын хэсгүүдийг өөрчлөхгүй орхиж, түүний хэсгийг толин тусгал болгох хэрэгтэй. х тэнхлэгийн доор байрлах парабол.
2) График байгуулъя шугаман функц\(y = \frac(5x-9)(3) \). (0; –3) ба (3; 2) цэгүүдийг хяналтын цэг болгон авах нь тохиромжтой.

Шулуун шугамын абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох х \u003d 1.8 цэг нь параболын абсцисса тэнхлэгтэй зүүн уулзварын цэгийн баруун талд байрлах нь чухал юм - энэ нь \(x=3-\ цэг юм. sqrt(2) \) (\(3-\sqrt(2 ) 3) Зургаас харахад графикууд A (3; 2) ба B (6; 7) гэсэн хоёр цэг дээр огтлолцож байгаа тул эдгээрийн абсциссуудыг орлуулах Өгөгдсөн тэгшитгэлийн x \u003d 3 ба x \u003d 6 цэгүүдийг бид өөр утга хоёулаа зөв тоон тэгшитгэлийг өгч байгаа эсэхийг шалгана. Тиймээс бидний таамаглал батлагдсан - тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: x \u003d 3 ба x \u003d 6 Хариулт: 3; 6.

Сэтгэгдэл. График аргаБүх дэгжин байдлаа үл харгалзан энэ нь тийм ч найдвартай биш юм. Үзсэн жишээн дээр тэгшитгэлийн үндэс нь бүхэл тоо учраас л ажилласан.

ЖИШЭЭ 3. \(|2x-4|+|x+3| = 8 \) тэгшитгэлийг шийд.

Эхний арга
2x–4 илэрхийлэл x = 2 цэг дээр 0, x = –3 цэгт x + 3 илэрхийлэл болно. Эдгээр хоёр цэг нь тооны шулууныг гурван интервалд хуваадаг: \(x

Эхний интервалыг авч үзье: \((-\infty; \; -3) \).
Хэрэв x бол хоёр дахь интервалыг авч үзье: \([-3; \; 2) \).
Хэрэв \(-3 \leq x Гурав дахь интервалыг авч үзье: \()