ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක එකතුව සොයා ගන්නේ කෙසේද? ජ්යාමිතික ප්රගතිය
පළමු මට්ටම
ජ්යාමිතික ප්රගතිය. විස්තීරණ මාර්ගෝපදේශයඋදාහරණ සමඟ (2019)
සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙල
එහෙනම් අපි වාඩිවෙලා ඉලක්කම් ටිකක් ලියන්න පටන් ගමු. උදාහරණ වශයෙන්:
ඔබට ඕනෑම අංකයක් ලිවිය හැකි අතර, ඔබ කැමති තරම් ගණනක් තිබිය හැකිය (අපගේ නඩුවේදී, ඒවා). අපි කොපමණ සංඛ්යා ලිව්වත්, ඒවායින් පළමුවැන්න කුමක්ද, දෙවැන්න කුමක්ද යන්න අපට සැමවිටම පැවසිය හැකිය, සහ අන්තිම දක්වා, එනම් අපට ඒවා අංකනය කළ හැකිය. මෙය සංඛ්යා අනුපිළිවෙලකට උදාහරණයකි:
සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙලයනු සංඛ්යා සමූහයකි, ඒ සෑම එකක්ම අනන්‍ය අංකයක් ලබා දිය හැක.
උදාහරණයක් ලෙස, අපගේ අනුපිළිවෙල සඳහා:
පවරා ඇති අංකය එක් අනුක්රමික අංකයකට පමණක් විශේෂිත වේ. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අනුපිළිවෙලෙහි තත්පර තුනක් නොමැත. දෙවන අංකය (-වැනි අංකය වැනි) සෑම විටම සමාන වේ.
අංකය සහිත අංකය අනුපිළිවෙලෙහි -th සාමාජිකයා ලෙස හැඳින්වේ.
අපි සාමාන්‍යයෙන් මුළු අනුක්‍රමයම යම් අකුරක් ලෙස හඳුන්වමු (උදාහරණයක් ලෙස,), සහ මෙම අනුපිළිවෙලෙහි එක් එක් සාමාජිකයා - මෙම සාමාජිකයාගේ සංඛ්‍යාවට සමාන දර්ශකයක් සහිත එකම ලිපිය: .
අපගේ නඩුවේදී:
ප්රගතියේ වඩාත් පොදු වර්ග වන්නේ අංක ගණිතය සහ ජ්යාමිතික වේ. මෙම මාතෘකාව තුළ, අපි දෙවන වර්ගය ගැන කතා කරමු - ජ්යාමිතික ප්රගතිය.
අපට ජ්යාමිතික ප්රගතියක් සහ එහි ඉතිහාසය අවශ්ය වන්නේ ඇයි?
පුරාණ කාලයේ පවා, ඉතාලි ගණිතඥයා, පීසාහි ලෙනාඩෝ භික්ෂුව (වඩා හොඳින් ෆිබොනාච්චි ලෙස හැඳින්වේ) වෙළඳාමේ ප්‍රායෝගික අවශ්‍යතා සමඟ කටයුතු කළේය. බඩු කිරන්නට යොදා ගත හැකි කුඩාම බර ප්රමාණය කුමක්ද යන්න තීරණය කිරීමේ කාර්යයට භික්‍ෂුවට මුහුණ දීමට සිදු විය. ෆිබොනාච්චි ඔහුගේ ලේඛනවල එවැනි බර ක්රමයක් ප්රශස්ත බව ඔප්පු කරයි: මෙය මිනිසුන්ට ජ්යාමිතික ප්රගතියක් සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදු වූ පළමු අවස්ථාවන්ගෙන් එකකි, එය ඔබ බොහෝ විට අසා ඇති සහ අවම වශයෙන් ඇති. පොදු සංකල්පය. ඔබ මාතෘකාව සම්පූර්ණයෙන්ම තේරුම් ගත් පසු, එවැනි පද්ධතියක් ප්රශස්ත වන්නේ මන්දැයි සිතා බලන්න?
වර්තමානයේ, ජීවිත පරිචය තුළ, බැංකුවක අරමුදල් ආයෝජනය කිරීමේදී ජ්යාමිතික ප්රගතියක් පෙන්නුම් කරයි, පෙර කාල සීමාව සඳහා ගිණුමේ රැස් කරගත් මුදල මත පොලී ප්රමාණය අය කරන විට. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඔබ ඉතුරුම් බැංකුවක කාලීන තැන්පතුවක් මත මුදල් තැබුවහොත්, වසරක් තුළ තැන්පතුව මුල් මුදලට වඩා වැඩි වනු ඇත, i.e. නව මුදල ගුණ කළ දායකත්වයට සමාන වේ. තවත් වසරකින්, මෙම මුදල වැඩි වනු ඇත, i.е. එම අවස්ථාවේ දී ලබාගත් මුදල නැවත ගුණ කිරීම සහ එසේ ය. ඊනියා ගණනය කිරීමේ ගැටළු වලදී සමාන තත්වයක් විස්තර කෙරේ සංයුක්ත පොලී- පෙර පොළිය සැලකිල්ලට ගනිමින් ගිණුමේ ඇති මුදලින් ප්‍රතිශතය සෑම අවස්ථාවකම ගනු ලැබේ. අපි මෙම කාර්යයන් ගැන ටිකක් පසුව කතා කරමු.
ජ්යාමිතික ප්රගතියක් යෙදෙන තවත් බොහෝ සරල අවස්ථා තිබේ. උදාහරණයක් ලෙස, ඉන්ෆ්ලුවෙන්සා පැතිරීම: එක් පුද්ගලයෙකු පුද්ගලයෙකුට ආසාදනය කරයි, ඔවුන් අනෙක් පුද්ගලයාට ආසාදනය කරයි, ඒ අනුව දෙවන ආසාදන රැල්ල - පුද්ගලයෙකු, සහ ඔවුන් අනෙක් අතට, තවත් කෙනෙකුට ආසාදනය විය ... සහ එසේ ය. .
මාර්ගය වන විට, මූල්ය පිරමීඩයක්, එම MMM, ජ්යාමිතික ප්රගතියක ගුණාංග අනුව සරල හා වියලි ගණනය කිරීමකි. රසවත්ද? අපි එය තේරුම් ගනිමු.
ජ්යාමිතික ප්රගතිය.
අපට සංඛ්යා අනුපිළිවෙලක් ඇතැයි කියමු:
එය පහසු බවත් එවැනි අනුපිළිවෙලක නම එහි සාමාජිකයින්ගේ වෙනස සමඟ අංක ගණිතමය ප්රගතියක් බවත් ඔබ වහාම පිළිතුරු දෙනු ඇත. මේ වගේ දෙයක් කොහොමද:
ඔබ පෙර අංකය ඊළඟ අංකයෙන් අඩු කළහොත්, ඔබ නව වෙනසක් (ආදිය) ලබා ගන්නා සෑම අවස්ථාවකම ඔබට පෙනෙනු ඇත, නමුත් අනුපිළිවෙල අනිවාර්යයෙන්ම පවතින අතර එය දැකීමට පහසුය - සෑම ඊළඟ අංකයක්ම පෙර එකට වඩා ගුණයකින් වැඩි වේ!
මෙම වර්ගයේ අනුපිළිවෙල ලෙස හැඳින්වේ ජ්යාමිතික ප්රගතියසහ සලකුණු කර ඇත.
ජ්යාමිතික ප්රගතියක් () යනු සංඛ්යාත්මක අනුක්‍රමයක් වන අතර, එහි පළමු පදය ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වන අතර, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වන සෑම පදයක්ම පෙර එකට සමාන වන අතර, එම සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කරනු ලැබේ. මෙම සංඛ්යාව ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක හරය ලෙස හැඳින්වේ.
පළමු පදය ( ) සමාන නොවන සහ අහඹු නොවන සීමා කිරීම්. කිසිවක් නොමැති බව කියමු, සහ පළමු පදය තවමත් සමාන වන අතර, q යනු, හ්ම් .. ඉඩ දෙන්න, එවිට එය සිදු වේ:
මෙය ප්රගතියක් නොවන බවට එකඟ වන්න.
ඔබට වැටහෙන පරිදි, ශුන්ය හැර වෙනත් සංඛ්‍යාවක් නම් අපට එම ප්රතිඵල ලැබෙනු ඇත, නමුත්. මෙම අවස්ථා වලදී, සම්පූර්ණ සංඛ්යා ශ්‍රේණියම සියලුම ශුන්ය හෝ එක් සංඛ්‍යාවක් සහ ඉතිරි සියලුම ශුන්ය වන බැවින් සරලව ප්රගතියක් සිදු නොවනු ඇත.
දැන් අපි ජ්යාමිතික ප්රගතියක හරය ගැන වඩාත් විස්තරාත්මකව කතා කරමු, එනම්, ගැන.
අපි නැවත කියමු: - මෙය අංකයකි, එක් එක් ඊළඟ වාරය කොපමණ වාර ගණනක් වෙනස් වේදජ්යාමිතික ප්රගතිය.
ඔබ සිතන්නේ එය කුමක් විය හැකිද? ඒක හරි, ධනාත්මක සහ සෘණ, නමුත් ශුන්ය නොවේ (අපි මේ ගැන ටිකක් ඉහළින් කතා කළා).
අපි හිතමු අපිට පොසිටිව් එකක් තියෙනවා කියලා. අපේ නඩුවට ඉඩ දෙන්න, a. කුමක් ද දෙවනුව සමාන වේසාමාජික සහ? ඔබට පහසුවෙන් පිළිතුරු දිය හැකිය:
කමක් නැහැ. ඒ අනුව, ප්රගතියේ සියලුම පසුකාලීන සාමාජිකයින්ට එකම ලකුණක් තිබේ නම් - ඔවුන් ධනාත්මක.
එය සෘණ නම්? උදාහරණයක් ලෙස, a. දෙවන වාරය කුමක්ද සහ?
එය සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් කතාවකි
මෙම ප්රගතියේ වාරය ගණන් කිරීමට උත්සාහ කරන්න. කීයක් ගත්තද? මට තියෙනවා. මේ අනුව, එසේ නම්, ජ්යාමිතික ප්රගතියේ නියමයන් විකල්ප වේ. එනම්, ඔබ එහි සාමාජිකයින්ගේ ප්රත්යාවර්ත සංඥා සහිත ප්රගතියක් දකින්නේ නම්, එහි හරය සෘණ වේ. මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ ගැටළු විසඳීමේදී ඔබම පරීක්ෂා කර බැලීමට මෙම දැනුම ඔබට උපකාර කරයි.
දැන් අපි ටිකක් පුහුණු වෙමු: ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක් වන්නේ කුමන සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙලද සහ අංක ගණිතය කුමක්ද යන්න තීරණය කිරීමට උත්සාහ කරන්න:
තේරුම් ගත්තා ද? අපගේ පිළිතුරු සසඳන්න:
- ජ්යාමිතික ප්රගතිය - 3, 6.
- අංක ගණිත ප්රගතිය - 2, 4.
- එය අංක ගණිතයක් හෝ ජ්යාමිතික ප්රගතියක් නොවේ - 1, 5, 7.
අපි අපගේ අවසාන ප්රගතිය වෙත ආපසු යමු, සහ එහි පදය අංක ගණිතයේ ආකාරයටම සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරමු. ඔබ අනුමාන කළ පරිදි, එය සොයා ගැනීමට ක්රම දෙකක් තිබේ.
අපි එක් එක් පදය අනුපිළිවෙලින් ගුණ කරමු.
එබැවින්, විස්තර කරන ලද ජ්යාමිතික ප්රගතියේ -th සාමාජිකයා සමාන වේ.
ඔබ දැනටමත් අනුමාන කරන පරිදි, දැන් ඔබ විසින්ම ජ්යාමිතික ප්රගතියක ඕනෑම සාමාජිකයෙකු සොයා ගැනීමට උපකාර වන සූත්‍රයක් ව්‍යුත්පන්න කරනු ඇත. එසේත් නැතිනම් ඔබ දැනටමත් එය ඔබ වෙනුවෙන්ම ගෙනවිත් තිබේද, අදියර වශයෙන් th සාමාජිකයා සොයා ගන්නේ කෙසේද? එසේ නම්, ඔබේ තර්කයේ නිවැරදි භාවය පරීක්ෂා කරන්න.
මෙම ප්රගතියේ -th සාමාජිකයා සොයා ගැනීමේ උදාහරණයෙන් මෙය නිදර්ශනය කරමු:
වෙනත් විදිහකින්:
ලබා දී ඇති ජ්යාමිතික ප්රගතියක සාමාජිකයෙකුගේ වටිනාකම ඔබම සොයා ගන්න.
සිදුවීද? අපගේ පිළිතුරු සසඳන්න:
ජ්යාමිතික ප්‍රගතියෙහි එක් එක් පෙර සාමාජිකයා විසින් අනුක්‍රමිකව ගුණ කළ විට, ඔබට පෙර ක්‍රමයට සමාන සංඛ්‍යාවක් ලැබුණු බව අවධානය යොමු කරන්න.
අපි "පුද්ගලීකරණය" කිරීමට උත්සාහ කරමු මෙම සූත්රය- අපි එය සාමාන්ය ආකෘතියකට ගෙන ඒම සහ ලබා ගනිමු:
ව්‍යුත්පන්න සූත්රය සියලු අගයන් සඳහා සත්‍ය වේ - ධන සහ සෘණ යන දෙකම. පහත සඳහන් කොන්දේසි සහිත ජ්යාමිතික ප්රගතියක නියමයන් ගණනය කිරීමෙන් එය ඔබම පරීක්ෂා කරන්න: , a.
ඔබ ගණන් කළාද? ප්රතිඵල සංසන්දනය කරමු:
සාමාජිකයෙකු ලෙසම ප්රගතියේ සාමාජිකයෙකු සොයා ගත හැකි බවට එකඟ වන්න, කෙසේ වෙතත්, වැරදි ගණනය කිරීමේ හැකියාවක් ඇත. තවද අප දැනටමත් ජ්යාමිතික ප්රගතියක වෙනි පදය සොයාගෙන තිබේ නම්, a, එවිට සූත්‍රයේ "කප්පාදු" කොටස භාවිතා කිරීමට වඩා පහසු විය හැක්කේ කුමක්ද?
අසීමිත ලෙස අඩුවන ජ්යාමිතික ප්රගතියක්.
වඩාත් මෑතකදී, අපි ශුන්‍යයට වඩා විශාල හා අඩු විය හැකි දේ ගැන කතා කළෙමු, කෙසේ වෙතත්, තිබේ විශේෂ අර්ථයන්යටතේ ජ්යාමිතික ප්රගතිය ලෙස හැඳින්වේ අසීමිත ලෙස අඩු වේ.
එයට එවැනි නමක් ඇතැයි ඔබ සිතන්නේ ඇයි?
ආරම්භ කිරීම සඳහා, සාමාජිකයින්ගෙන් සමන්විත ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ලියා තබමු.
එසේනම් මෙසේ කියමු.
අපි දකිනවා සෑම පසු වාරයක්ම කලින් එකට වඩා අඩුයි, නමුත් කිසියම් සංඛ්‍යාවක් තිබේද? ඔබ වහාම පිළිතුරු දෙයි - "නැහැ". අසීමිතව අඩුවෙන - අඩුවෙන, අඩුවෙන, ඒත් කවදාවත් ශුන්ය වෙන්නේ නැත්තේ ඒකයි.
මෙය දෘශ්‍යමය වශයෙන් පෙනෙන්නේ කෙසේද යන්න පැහැදිලිව තේරුම් ගැනීමට, අපගේ ප්රගතිය පිළිබඳ ප්‍රස්ථාරයක් ඇඳීමට උත්සාහ කරමු. එබැවින්, අපගේ නඩුව සඳහා, සූත්රය පහත දැක්වෙන ආකාරය ගනී:
ප්‍රස්ථාරවල, අපි යැපීම ගොඩනඟා ගැනීමට පුරුදු වී සිටිමු, එබැවින්:
ප්‍රකාශනයේ සාරය වෙනස් වී නැත: පළමු ප්‍රවේශයේදී, ජ්යාමිතික ප්‍රගති සාමාජිකයෙකුගේ අගය එහි සාමාන්ය අංකය මත රඳා පවතින බව අපි පෙන්වූ අතර, දෙවන ප්‍රවේශයේදී, අපි සරලව ජ්යාමිතික ප්‍රගති සාමාජිකයෙකුගේ අගය ගත්තෙමු, සහ සාමාන්ය අංකය ලෙස නොව, ලෙස නම් කරන ලදී. කිරීමට ඉතිරිව ඇත්තේ ප්රස්ථාරය සැලසුම් කිරීම පමණි.
බලමු ඔයාට මොනවද ලැබුනේ කියලා. මෙන්න මට ලැබුණු ප්රස්ථාරය:
බලන්න? කාර්යය අඩු වේ, ශුන්‍යයට නැඹුරු වේ, නමුත් කිසි විටෙකත් එය හරස් නොකරයි, එබැවින් එය අසීමිත ලෙස අඩු වේ. ප්‍රස්ථාරයේ අපගේ ලකුණු සලකුණු කරමු, ඒ සමඟම ඛණ්ඩාංකය සහ එයින් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද:
ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක ප්‍රස්ථාරයක් එහි පළමු පදය ද සමාන නම් ක්‍රමානුකූලව නිරූපණය කිරීමට උත්සාහ කරන්න. අපගේ පෙර ප්‍රස්ථාරයේ වෙනස කුමක්දැයි විශ්ලේෂණය කරන්න?
ඔබ කළමනාකරණය කළාද? මෙන්න මට ලැබුණු ප්රස්ථාරය:
දැන් ඔබ ජ්යාමිතික ප්‍රගති මාතෘකාවේ මූලික කරුණු සම්පූර්ණයෙන් තේරුම් ගෙන ඇති බැවින්: එය කුමක්දැයි ඔබ දන්නවා, එහි පදය සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඔබ දනී, සහ අසීමිත ලෙස අඩුවන ජ්යාමිතික ප්රගතිය යනු කුමක්දැයි ඔබ දනී, අපි එහි ප්රධාන දේපල වෙත යමු.
ජ්යාමිතික ප්රගතියක දේපල.
සාමාජිකයින්ගේ දේපල මතක තබා ගන්න අංක ගණිතමය ප්රගතිය? ඔව්, ඔව්, මෙම ප්‍රගතියෙහි සාමාජිකයින්ගේ පෙර සහ පසු අගයන් ඇති විට යම් ප්රගතියක අගයක් සොයා ගන්නේ කෙසේද. මතකද? මේ:
දැන් අපි ජ්යාමිතික ප්රගතියක නියමයන් සඳහා හරියටම එකම ප්‍රශ්නයකට මුහුණ දී සිටිමු. එවැනි සූත්‍රයක් ව්‍යුත්පන්න කිරීම සඳහා, අපි ඇඳීම සහ තර්ක කිරීම ආරම්භ කරමු. ඔබට පෙනෙනු ඇත, එය ඉතා පහසු වන අතර, ඔබට අමතක වුවහොත්, ඔබටම එය පිටතට ගෙන යා හැකිය.
අපි දන්නා සහ තවත් සරල ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ගනිමු. සොයා ගන්නේ කෙසේද? අංක ගණිතමය ප්රගතියක් සමඟ, මෙය පහසු සහ සරල ය, නමුත් එය මෙහි කෙසේද? ඇත්ත වශයෙන්ම, ජ්‍යාමිතියෙහි සංකීර්ණ කිසිවක් නොමැත - ඔබට සූත්‍රයට අනුව අපට ලබා දී ඇති එක් එක් අගය තීන්ත ආලේප කළ යුතුය.
ඔබ අසයි, දැන් අපි එයට කුමක් කරමුද? ඔව්, ඉතා සරලයි. ආරම්භ කිරීම සඳහා, අපි මෙම සූත්‍ර රූපයේ නිරූපණය කර අගයකට පැමිණීම සඳහා ඒවා සමඟ විවිධ උපාමාරු කිරීමට උත්සාහ කරමු.
අපට ලබා දී ඇති සංඛ්යා වලින් අපි වියුක්ත කරමු, අපි සූත්‍රයක් හරහා ඒවායේ ප්රකාශනය කෙරෙහි පමණක් අවධානය යොමු කරමු. අපි උද්දීපනය කළ අගය සොයා ගත යුතුයි තැඹිලි, ඊට යාබද නියමයන් දැන සිටීම. අපි ඔවුන් සමඟ නිෂ්පාදනය කිරීමට උත්සාහ කරමු විවිධ ක්රියාකාරකම්, එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස අපට ලබා ගත හැකිය.
ඊට අමතරව.
අපි ප්‍රකාශන දෙකක් එකතු කිරීමට උත්සාහ කරමු, එවිට අපට ලැබෙන්නේ:
මෙම ප්‍රකාශයෙන්, ඔබට පෙනෙන පරිදි, අපට කිසිදු ආකාරයකින් ප්‍රකාශ කිරීමට නොහැකි වනු ඇත, එබැවින්, අපි වෙනත් විකල්පයක් උත්සාහ කරමු - අඩු කිරීම.
අඩු කිරීම.
ඔබට පෙනෙන පරිදි, අපට මෙයින් ප්‍රකාශ කළ නොහැක, එබැවින්, අපි මෙම ප්‍රකාශන එකිනෙකාගෙන් ගුණ කිරීමට උත්සාහ කරමු.
ගුණ කිරීම.
දැන් අප සතුව ඇති දේ දෙස හොඳින් බලන්න, සොයාගත යුතු දේ සමඟ සැසඳීමේදී අපට ලබා දී ඇති ජ්යාමිතික ප්රගතියක නියමයන් ගුණ කිරීම:
මම කතා කරන්නේ කුමක් ගැනදැයි අනුමාන කරන්න? හරි, සොයා ගැනීමට අපි ගත යුතුයි වර්ගමුලයඅපේක්ෂිත සංඛ්‍යාවට යාබද ජ්යාමිතික ප්‍රගති සංඛ්යා වලින් එකිනෙකින් ගුණ කිරීම:
හියර් යූ ගෝ. ඔබ විසින්ම ජ්යාමිතික ප්රගතියක ගුණය අඩු කර ඇත. මෙම සූත්රය ලිවීමට උත්සාහ කරන්න සාමාන්ය දැක්ම. සිදුවීද?
කොන්දේසිය අමතක වූයේ කවදාද? එය වැදගත් වන්නේ මන්දැයි සිතා බලන්න, උදාහරණයක් ලෙස, එය ඔබම ගණනය කිරීමට උත්සාහ කරන්න. මෙම නඩුවේ කුමක් සිදුවේද? ඒක හරි, සම්පූර්ණ විකාරයක්, සූත්රය මේ වගේ පෙනෙන නිසා:
ඒ අනුව, මෙම සීමාව අමතක නොකරන්න.
දැන් අපි ගණනය කරමු කුමක්ද යන්න
නිවැරදි පිළිතුර - ! ගණනය කිරීමේදී හැකි දෙවන අගය ඔබට අමතක නොවන්නේ නම්, ඔබ විශිෂ්ට මිතුරෙකු වන අතර ඔබට වහාම පුහුණුවට යා හැකිය, ඔබට අමතක වූවා නම්, පහත විශ්ලේෂණය කර ඇති දේ කියවා පිළිතුරේ මූලයන් දෙකම ලිවිය යුත්තේ මන්දැයි අවධානය යොමු කරන්න. .
අපි අපගේ ජ්යාමිතික ප්රගතිය දෙකම අඳිමු - එකක් අගයක් සහ අනෙක අගයක් සහිතව, ඒ දෙකටම පැවැත්මට අයිතිය තිබේදැයි පරීක්ෂා කරන්න:
එවැනි ජ්යාමිතික ප්රගතියක් තිබේද නැද්ද යන්න පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, එහි දී ඇති සියලුම සාමාජිකයන් අතර එය සමාන දැයි බැලිය යුතුද? පළමු සහ දෙවන අවස්ථා සඳහා q ගණනය කරන්න.
බලන්න උත්තර දෙකක් ලියන්න වෙන්නේ ඇයි කියලා? අවශ්ය පදයේ ලකුණ රඳා පවතින්නේ එය ධනාත්මක හෝ negative ණාත්මකද යන්න මතය! තවද එය කුමක්දැයි අප නොදන්නා නිසා, අපි පිළිතුරු දෙකම එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සමඟ ලිවිය යුතුය.
දැන් ඔබ ප්රධාන කරුණු ප්‍රගුණ කර ඇති අතර ජ්යාමිතික ප්රගතියක දේපල සඳහා සූත්රය අඩු කර ඇත, සොයා ගැනීම, දැන ගැනීම සහ
ඔබේ පිළිතුරු නිවැරදි ඒවා සමඟ සසඳන්න:
ඔබ සිතන්නේ කුමක්ද, අපට අවශ්ය සංඛ්‍යාවට යාබද ජ්යාමිතික ප්රගතියේ සාමාජිකයින්ගේ අගයන් නොව එයට සමාන දුරින් අපට ලබා දුන්නේ නම් කුමක් සිදුවේද? උදාහරණයක් ලෙස, අපි සොයා ගැනීමට අවශ්ය, සහ ලබා දී සහ. මෙම නඩුවේදී අප ලබාගත් සූත්රය භාවිතා කළ හැකිද? සූත්රය මුලින් ව්‍යුත්පන්න කිරීමේදී ඔබ කළාක් මෙන්, එක් එක් අගය සමන්විත වන්නේ කුමක් දැයි විස්තර කරමින්, මෙම හැකියාව එකම ආකාරයකින් තහවුරු කිරීමට හෝ ප්‍රතික්ෂේප කිරීමට උත්සාහ කරන්න.
ඔබට ලැබුණේ කුමක්ද?
දැන් නැවතත් හොඳින් බලන්න.
සහ ඒ අනුව:
මෙයින් අපට සූත්රය ක්‍රියාත්මක වන බව නිගමනය කළ හැකිය අසල්වැසියන් සමඟ පමණක් නොවේජ්‍යාමිතික ප්රගතියක අපේක්ෂිත නියමයන් සමඟ, නමුත් සමඟ සමාන දුරින්සාමාජිකයන් සොයන දෙයින්.
මේ අනුව, අපගේ මුල් සූත්රය වන්නේ:
එනම්, පළමු අවස්ථාවේ දී අපි එසේ කීවා නම්, එය අඩු ඕනෑම ස්වභාවික සංඛ්යාවකට සමාන විය හැකි බව අපි දැන් කියමු. ප්රධාන දෙය නම් ලබා දී ඇති අංක දෙකටම සමාන වීමයි.
සඳහා පුහුණු වන්න සංයුක්ත උදාහරණඅතිශයින්ම පරෙස්සම් වන්න!
- , . සොයන්න.
- , . සොයන්න.
- , . සොයන්න.
මම තීරණය කළා? ඔබ අතිශයින් අවධානයෙන් සිටි අතර කුඩා අල්ලා ගැනීමක් දුටු බව මම විශ්වාස කරමි.
අපි ප්රතිඵල සංසන්දනය කරමු.
පළමු අවස්ථා දෙකේදී, අපි ඉහත සූත්රය සන්සුන්ව යොදවා පහත අගයන් ලබා ගනිමු:
තෙවන නඩුවේදී, සමීප පරීක්ෂණයකදී අනුක්රමික අංකඅපට ලබා දී ඇති සංඛ්යා, ඒවා අප සොයන අංකයට සමාන නොවන බව අපට වැටහේ: එය පෙර අංකය, නමුත් ස්ථානයෙන් ඉවත් කර ඇත, එබැවින් සූත්රය යෙදිය නොහැක.
එය විසඳන්නේ කෙසේද? ඇත්ත වශයෙන්ම එය පෙනෙන තරම් අපහසු නැත! අපට ලබා දී ඇති එක් එක් අංකය සහ අපේක්ෂිත අංකය සමන්විත වන්නේ කුමක් දැයි අපි ඔබ සමඟ ලියා තබමු.
ඉතින් අපිට තියෙනවා සහ. අපි බලමු ඔවුන් සමඟ අපට කළ හැකි දේ. මම බෙදීමට යෝජනා කරමි. අපට ලැබෙන්නේ:
අපි අපගේ දත්ත සූත්‍රයට ආදේශ කරමු:
අපට සොයා ගත හැකි ඊළඟ පියවර - මේ සඳහා අප ගත යුතුය ඝන මූලයලැබුණු අංකයෙන්.
දැන් අපි නැවත බලමු අප සතුව ඇති දේ. අප සතුව ඇත, නමුත් අප සොයා ගත යුතු අතර, එය අනෙක් අතට, සමාන වේ:
ගණනය කිරීම සඳහා අවශ්ය සියලු දත්ත අපි සොයාගත්තා. සූත්‍රයේ ආදේශ කරන්න:
අපගේ පිළිතුර: .
එකම ගැටළුව ඔබම විසඳා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න:
ලබා දී ඇත:,
සොයන්න:
කීයක් ගත්තද? මට තියෙනවා - .
ඔබට පෙනෙන පරිදි, ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට අවශ්යයි එක් සූත්‍රයක් පමණක් මතක තබා ගන්න- . ඉතිරි සියල්ල ඔබට ඕනෑම වේලාවක අපහසුවකින් තොරව ආපසු ලබාගත හැක. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, සරලම ජ්යාමිතික ප්රගතිය කඩදාසි කැබැල්ලක ලියන්න සහ ඉහත සූත්රය අනුව, එහි එක් එක් සංඛ්යා සමාන වන්නේ කුමක් දැයි ලියන්න.
ජ්යාමිතික ප්රගතියක නියමවල එකතුව.
දී ඇති කාල පරාසයක ජ්යාමිතික ප්රගතියක නියමවල එකතුව ඉක්මනින් ගණනය කිරීමට අපට ඉඩ සලසන සූත්‍ර දැන් සලකා බලන්න:
සීමිත ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක නියම එකතුව සඳහා සූත්රය ව්‍යුත්පන්න කිරීමට, අපි ඉහත සමීකරණයේ සියලුම කොටස් ගුණ කරමු. අපට ලැබෙන්නේ:
සමීපව බලන්න: අවසාන සූත්‍ර දෙකෙහි පොදුවේ ඇත්තේ කුමක්ද? ඒක හරි, පොදු සාමාජිකයින්, උදාහරණයක් ලෙස සහ යනාදිය, පළමු සහ අවසාන සාමාජිකයා හැර. 2 වන සමීකරණයෙන් 1 වන සමීකරණය අඩු කිරීමට උත්සාහ කරමු. ඔබට ලැබුණේ කුමක්ද?
දැන් ජ්යාමිතික ප්රගතියක සාමාජිකයෙකුගේ සූත්රය හරහා ප්‍රකාශ කර අපගේ අවසාන සූත්‍රයේ ප්රතිඵලයක් ලෙස ප්රකාශනය ආදේශ කරන්න:
ප්රකාශනය කණ්ඩායම් කරන්න. ඔබට ලැබිය යුතුය:
කිරීමට ඉතිරිව ඇත්තේ ප්‍රකාශ කිරීම පමණි:
ඒ අනුව, මෙම නඩුවේ.
එහෙම වුණොත් මොකක්ද? එවිට ක්‍රියාත්මක වන සූත්රය කුමක්ද? ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ගැන සිතන්න. ඇය මොන වගේද? පිළිවෙලින් සමාන සංඛ්යා මාලාවක් නිවැරදිව, සූත්රය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:
ගණිතමය සහ ජ්යාමිතික ප්රගතිය මෙන්ම, බොහෝ ජනප්රවාද තිබේ. ඉන් එකක් වන්නේ චෙස් ක්‍රීඩාවේ නිර්මාතෘ වන සෙත්ගේ පුරාවෘත්තයයි.
බොහෝ අය දන්නවා චෙස් ක්‍රීඩාව සොයාගත්තේ ඉන්දියාවේ කියලා. හින්දු රජු ඇයව මුණගැසුණු විට, ඇයගේ බුද්ධිය සහ ඇය තුළ විය හැකි විවිධ තනතුරු ගැන ඔහු සතුටු විය. එය ඔහුගේ යටත්වැසියෙකු විසින් නිර්මාණය කරන ලද්දක් බව දැනගත් රජු ඔහුට පෞද්ගලිකව විපාක දීමට තීරණය කළේය. ඔහු නව නිපැයුම්කරු ඔහු වෙත කැඳවා ඔහුට අවශ්ය ඕනෑම දෙයක් ඔහුගෙන් ඉල්ලා සිටින ලෙස නියෝග කළේය, වඩාත්ම දක්ෂ ආශාව පවා ඉටු කරන බවට පොරොන්දු විය.
සෙට සිතන්නට කාලය ඉල්ලා සිටි අතර, පසුදා සෙට රජු ඉදිරියේ පෙනී සිටි විට, ඔහු තම ඉල්ලීමේ අසමසම නිහතමානී බව ගැන රජු පුදුමයට පත් කළේය. ඔහු චෙස් පුවරුවේ පළමු කොටුව සඳහා තිරිඟු ඇටයක් ද, දෙවැන්න සඳහා තිරිඟු ද, තුන්වැන්න සඳහා, සිව්වැන්න සඳහා යනාදිය ඉල්ලා සිටියේය.
රජු කෝපයට පත් වී සේත් එළවා දැමුවේ සේවකයාගේ ඉල්ලීම රාජකීය ත්‍යාගශීලීත්වයට නුසුදුසු බව පවසමිනි, නමුත් සේවකයාට මණ්ඩලයේ සියලුම කුටි සඳහා ඔහුගේ ධාන්ය ලබා දෙන බවට පොරොන්දු විය.
දැන් ප්‍රශ්නය වන්නේ: ජ්යාමිතික ප්රගතියක සාමාජිකයින්ගේ එකතුව සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමින්, සෙත්ට කොපමණ ධාන්ය ප්‍රමාණයක් ලැබිය යුතුද යන්න ගණනය කරන්නද?
අපි සාකච්ඡා ආරම්භ කරමු. කොන්දේසිය අනුව, චෙස් පුවරුවේ පළමු කොටුව සඳහා සෙත් තිරිඟු ඇටයක් ඉල්ලා සිටි නිසා, දෙවන, තුන්වන, හතරවන, යනාදිය සඳහා, ගැටළුව ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ගැන බව අපට පෙනේ. මෙම නඩුවේ සමාන වන්නේ කුමක්ද?
නිවැරදිව.
චෙස් පුවරුවේ මුළු සෛල. පිළිවෙලින්, . අප සතුව සියලුම දත්ත තිබේ, එය ඉතිරිව ඇත්තේ සූත්‍රයට ආදේශ කර ගණනය කිරීමට පමණි.
දී ඇති සංඛ්‍යාවක අවම වශයෙන් ආසන්න වශයෙන් "පරිමාණ" නියෝජනය කිරීම සඳහා, අපි උපාධියේ ගුණාංග භාවිතයෙන් පරිවර්තනය කරමු:
ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට අවශ්ය නම්, ඔබට කැල්කියුලේටරයක් ගෙන ඔබ අවසන් වන්නේ කුමන ආකාරයේ අංකයක්දැයි ගණනය කළ හැකිය, එසේ නොමැති නම්, ඔබට ඒ සඳහා මගේ වචනය ගැනීමට සිදුවනු ඇත: ප්‍රකාශනයේ අවසාන අගය වනු ඇත.
එනම්:
quintillion quadrillion ට්‍රිලියන බිලියන මිලියන දහසක්.
Fuh) ඔබට මෙම සංඛ්‍යාවේ විශාලත්වය සිතා ගැනීමට අවශ්ය නම්, සම්පූර්ණ ධාන්ය ප්‍රමාණයට ඉඩ සැලසීමට අවශ්ය අාර් ඒන් ප්රමාණය තක්සේරු කරන්න.
අාර් ඒන් උස මීටර් සහ පළල මීටර් සමග, එහි දිග කි.මී., i.e. පෘථිවියේ සිට සූර්යයා දක්වා මෙන් දෙගුණයක් දුරින්.
රජතුමා ගණිතයට ප්‍රබල නම්, ධාන්ය ගණන් කිරීමට විද්‍යාඥයාටම ඉදිරිපත් විය හැකිය, මන්ද ධාන්ය මිලියනයක් ගණන් කිරීමට නම්, ඔහුට අවම වශයෙන් දිනකට වෙහෙස නොබලා ගණන් කිරීම අවශ්ය වන අතර, ක්වින්ටිලියන ගණන් කිරීම අවශ්ය බැවින්, ඔහුගේ මුළු ජීවිත කාලය පුරාම ධාන්ය ගණන් කළ යුතුය.
දැන් අපි ජ්යාමිතික ප්රගතියක නියම එකතුව පිළිබඳ සරල ගැටළුවක් විසඳන්නෙමු.
5 වන ශ්‍රේණියේ ඉගෙනුම ලබන වාස්යා උණ රෝගයෙන් පෙළුණු නමුත් ඔහු දිගටම පාසල් යයි. සෑම දිනකම, Vasya පුද්ගලයන් දෙදෙනෙකු ආසාදනය කරයි, අනෙක් අතට, තවත් පුද්ගලයින් දෙදෙනෙකු ආසාදනය කරයි, සහ යනාදිය. පන්තියේ එක පුද්ගලයෙක් විතරයි. දින කීයකින් මුළු පන්තියටම උණ හැදෙයිද?
ඉතින්, ජ්යාමිතික ප්රගතියක පළමු සාමාජිකයා Vasya, එනම්, පුද්ගලයෙකි. ජ්යාමිතික ප්රගතියේ සාමාජිකයා, ඔහු පැමිණි පළමු දිනයේදීම ඔහු ආසාදනය වූ පුද්ගලයන් දෙදෙනායි. ප්රගතියේ සාමාජිකයින්ගේ මුළු එකතුව 5A සිසුන් සංඛ්‍යාවට සමාන වේ. ඒ අනුව, අපි කතා කරන්නේ ප්රගතියක් ගැන ය:
ජ්යාමිතික ප්රගතියක නියමවල එකතුව සඳහා අපගේ දත්ත සූත්‍රයට ආදේශ කරමු:
දින කිහිපයකින් මුළු පන්තියම අසනීප වනු ඇත. සූත්‍ර සහ සංඛ්යා විශ්වාස කරන්නේ නැද්ද? සිසුන්ගේ "ආසාදනය" ඔබම නිරූපණය කිරීමට උත්සාහ කරන්න. සිදුවීද? එය මට පෙනෙන්නේ කෙසේදැයි බලන්න:
සෑම කෙනෙකුටම පුද්ගලයෙකුට උණ වැළඳී ඇත්නම් සහ පන්තියේ පුද්ගලයෙකු සිටියේ නම් සිසුන්ට කොපමණ දිනක් උණ වැළඳේදැයි ඔබම ගණනය කරන්න.
ඔබට ලැබුණු වටිනාකම කුමක්ද? දිනකට පසු සෑම කෙනෙකුම අසනීප වීමට පටන් ගත් බව පෙනී ගියේය.
ඔබට පෙනෙන පරිදි, එවැනි කාර්යයක් සහ ඒ සඳහා ඇඳීම පිරමීඩයකට සමාන වන අතර, එක් එක් පසුකාලීනව නව පුද්ගලයින් "ගෙන එයි". කෙසේ වෙතත්, ඉක්මනින් හෝ පසුව කිසිවෙකු ආකර්ෂණය කර ගත නොහැකි මොහොතක් පැමිණේ. අපගේ නඩුවේදී, පන්තිය හුදකලා වී ඇතැයි අපි සිතන්නේ නම්, පුද්ගලයා දාමය වසා දමයි (). මේ අනුව, ඔබ වෙනත් සහභාගිවන්නන් දෙදෙනෙකු ගෙන එන්නේ නම් මුදල් ලබා දුන් මූල්ය පිරමීඩයකට පුද්ගලයෙකු සම්බන්ධ වූයේ නම්, එම පුද්ගලයා (හෝ සාමාන්ය නඩුව) පිළිවෙලින් කිසිවෙකු ගෙන නොඑනු ඇත, මෙම මූල්ය වංචාව සඳහා ඔවුන් ආයෝජනය කළ සියල්ල අහිමි වනු ඇත.
ඉහත සඳහන් කළ සෑම දෙයක්ම ජ්යාමිතික ප්රගතිය අඩු වීම හෝ වැඩි වීම ගැන සඳහන් කරයි, නමුත්, ඔබට මතක ඇති පරිදි, අපට විශේෂ වර්ගයක් ඇත - අසීමිත ලෙස අඩු වන ජ්යාමිතික ප්රගතියක්. එහි සාමාජිකයින්ගේ එකතුව ගණනය කරන්නේ කෙසේද? සහ මෙම වර්ගයේ ප්‍රගතියට යම් යම් ලක්ෂණ ඇත්තේ ඇයි? අපි එය එකට තේරුම් ගනිමු.
එබැවින්, ආරම්භකයින් සඳහා, අපගේ උදාහරණයෙන් අසීමිත ලෙස අඩු වන ජ්යාමිතික ප්රගතියක මෙම පින්තූරය දෙස නැවත බලමු:
දැන් අපි ටිකක් කලින් ව්‍යුත්පන්න වූ ජ්යාමිතික ප්රගතියක එකතුව සඳහා වූ සූත්රය දෙස බලමු:
හෝ
අප උත්සාහ කරන්නේ කුමක් සඳහාද? ඒක හරි, ප්‍රස්ථාරයෙන් පෙන්වන්නේ එය බිංදුවට නැඹුරු වන බවයි. එනම්, ප්රකාශනය ගණනය කිරීමේදී, පිළිවෙලින්, එය පාහේ සමාන වන විට, අපට පාහේ ලැබෙනු ඇත. මේ සම්බන්ධයෙන්, අසීමිත ලෙස අඩු වන ජ්යාමිතික ප්රගතියක එකතුව ගණනය කිරීමේදී, මෙම වරහන සමාන වන බැවින් එය නොසලකා හැරිය හැකි බව අපි විශ්වාස කරමු.
- සූත්රය යනු අසීමිත ලෙස අඩුවන ජ්යාමිතික ප්රගතියක නියමවල එකතුවයි.
වැදගත්!අපි සූත්රය අසීමිත ලෙස අඩුවන ජ්යාමිතික ප්රගතියක නියම එකතුව සඳහා භාවිත කරන්නේ අපට එකතුව සොයා ගැනීමට අවශ්ය බව කොන්දේසිය පැහැදිලිව සඳහන් කරන්නේ නම් පමණි. නිමක් නැතිසාමාජිකයන් සංඛ්යාව.
නිශ්චිත සංඛ්‍යාවක් n දක්වා තිබේ නම්, අපි n පදවල එකතුව සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමු, හෝ.
හා දැන් අපි පුරුදු කරමු.
- සහ සමඟ ජ්යාමිතික ප්රගතියක පළමු නියමවල එකතුව සොයන්න.
- සහ සමඟ අසීමිත ලෙස අඩුවන ජ්යාමිතික ප්රගතියක නියමවල එකතුව සොයන්න.
මම හිතනවා ඔයා ගොඩක් පරිස්සම් උනා කියලා. අපගේ පිළිතුරු සසඳන්න:
දැන් ඔබ ජ්යාමිතික ප්රගතිය පිළිබඳ සෑම දෙයක්ම දන්නා අතර, න්‍යායෙන් ප්‍රායෝගිකව ගමන් කිරීමට කාලයයි. විභාගයේ දක්නට ලැබෙන වඩාත් පොදු ඝාතීය ගැටළු වන්නේ සංයුක්ත පොලී ගැටළු වේ. ඔවුන් ගැන තමයි අපි කතා කරන්නේ.
සංයුක්ත පොලී ගණනය කිරීමේ ගැටළු.
ඔබ ඊනියා සංයුක්ත පොලී සූත්රය ගැන අසා ඇති. ඇය අදහස් කරන දේ ඔබට තේරෙනවාද? එසේ නොවේ නම්, අපි එය හඳුනා ගනිමු, මන්ද ක්‍රියාවලියම අවබෝධ කරගත් පසු, ජ්යාමිතික ප්රගතිය එයට සම්බන්ධ වන්නේ කුමක්දැයි ඔබට වහාම වැටහෙනු ඇත.
අපි හැමෝම බැංකුවට ගිහින් දන්නවා ඇති කියලා විවිධ කොන්දේසිතැන්පතු මත: මෙය වාරයක් සහ අමතර නඩත්තුවක් වන අතර දෙකක් සහිත ප්‍රතිශතයකි විවිධ ක්රමඑහි ගණනය - සරල හා සංකීර්ණ.
සිට සරල උනන්දුවසෑම දෙයක්ම අඩු වැඩි වශයෙන් පැහැදිලිය: තැන්පතු කාලය අවසානයේ පොලී එක් වරක් අය කෙරේ. එනම්, අපි වසරකට රූබල් 100 ක් යට තැබීම ගැන කතා කරන්නේ නම්, ඒවා බැර කරනු ලබන්නේ වසර අවසානයේදී පමණි. ඒ අනුව, තැන්පතුව අවසන් වන විට, අපට රුබල් ලැබෙනු ඇත.
සංයුක්ත පොලීයනු විකල්පයකි පොලී ප්රාග්ධනීකරණය, i.e. තැන්පතු ප්‍රමාණයට ඒවා එකතු කිරීම සහ පසුව ආදායම ගණනය කිරීම මුලිකයෙන් නොව, තැන්පතු සමුච්චිත ප්‍රමාණයෙන්. ප්රාග්ධනීකරණය නිරන්තරයෙන් සිදු නොවේ, නමුත් යම් ආවර්තිතා සමග. රීතියක් ලෙස, එවැනි කාල පරිච්ඡේද සමාන වන අතර බොහෝ විට බැංකු මාසයක්, කාර්තුවක් හෝ අවුරුද්දක් භාවිතා කරයි.
අපි කියමු අපි වසරකට එකම රූබල් සියල්ලම තැබූ නමුත් තැන්පතුවේ මාසික ප්රාග්ධනීකරණය සමඟ. අපට ලැබෙන්නේ කුමක්ද?
ඔබට මෙහි සියල්ල තේරෙනවාද? එසේ නොවේ නම්, අපි එය පියවරෙන් පියවර ගනිමු.
අපි රූබල් බැංකුවට ගෙනාවා. මාසය අවසන් වන විට, අපගේ රුබල් සහ ඒවාට පොලිය ඇතුළත් මුදලක් අපගේ ගිණුමේ තිබිය යුතුය, එනම්:
මම එකඟයි?
අපට එය වරහනෙන් ඉවත් කළ හැකි අතර පසුව අපට ලැබෙන්නේ:
එකඟ වන්න, මෙම සූත්රය දැනටමත් අප ආරම්භයේ දී ලියා ඇති සූත්‍රයට වඩා සමාන ය. එය ප්‍රතිශත සමඟ කටයුතු කිරීමට ඉතිරිව ඇත
ගැටලුවේ තත්වය තුළ, අපට වාර්ෂිකව ගැන කියනු ලැබේ. ඔබ දන්නා පරිදි, අපි ගුණ නොකරමු - අපි ප්‍රතිශත බවට පරිවර්තනය කරමු දශම, එනම්:
හරිද? දැන් අහනවා නම්බර් එක ආවේ කොහෙන්ද කියලා. හරිම සරලයි!
මම නැවත කියනවා: ගැටලුවේ තත්වය ගැන කියයි වාර්ෂිකපොලී උපචිත මාසිකව. ඔබ දන්නා පරිදි, පිළිවෙලින් මාස කිහිපයකින්, බැංකුව විසින් මසකට වාර්ෂික පොලියෙන් කොටසක් අපෙන් අය කරනු ලැබේ:
අවබෝධ වුනාද? දැන් මම පොළිය දිනපතා ගණනය කරන බව පැවසුවහොත් මෙම සූත්‍රයේ කොටස කෙබඳු වනු ඇත්දැයි ලිවීමට උත්සාහ කරන්න.
ඔබ කළමනාකරණය කළාද? ප්රතිඵල සංසන්දනය කරමු:
හොඳින් කළා! අපි අපගේ කාර්යය වෙත ආපසු යමු: සමුච්චිත තැන්පතු මුදල මත පොලී අය කරන බව සැලකිල්ලට ගනිමින් දෙවන මාසය සඳහා අපගේ ගිණුමට කොපමණ මුදලක් බැර කරනු ඇත්දැයි ලියන්න.
මෙන්න මට සිදු වූ දේ:
හෝ, වෙනත් වචන වලින්:
ඔබ දැනටමත් රටාවක් දැක ඇති අතර මේ සියල්ලෙහි ජ්යාමිතික ප්රගතියක් දැක ඇතැයි මම සිතමි. එහි සාමාජිකයා සමාන වන්නේ කුමක් දැයි ලියන්න, නැතහොත්, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, මාසය අවසානයේ අපට කොපමණ මුදලක් ලැබේද යන්න ලියන්න.
කළාද? පරීක්ෂා කරමින්!
ඔබට පෙනෙන පරිදි, ඔබ සරල පොලියකට අවුරුද්දක් බැංකුවක මුදල් තැබුවහොත් ඔබට රුබල් ලැබෙනු ඇත, ඔබ එය සංයුක්ත අනුපාතයකට තැබුවහොත් ඔබට රුබල් ලැබෙනු ඇත. ප්‍රතිලාභය කුඩා ය, නමුත් මෙය සිදුවන්නේ වසර තුළ පමණි, නමුත් දිගු කාලයක් සඳහා ප්රාග්ධනීකරණය වඩා ලාභදායී වේ:
තවත් ආකාරයක සංකීර්ණ පොලී ගැටළු සලකා බලන්න. ඔබ තේරුම් ගත් දෙයට පසුව, එය ඔබට මූලික වනු ඇත. එබැවින් කාර්යය වන්නේ:
Zvezda 2000 දී ඩොලර් ප්රාග්ධනය සමඟ කර්මාන්තයේ ආයෝජනය කිරීමට පටන් ගත්තේය. 2001 සිට සෑම වසරකම එය පෙර වසරේ ප්‍රාග්ධනයට සමාන ලාභයක් ලබා ඇත. ලාභය සංසරණයෙන් ඉවත් නොකළේ නම්, 2003 අවසානයේ Zvezda සමාගමට කොපමණ ලාභයක් ලැබේද?
2000 දී Zvezda සමාගමේ අගනුවර.
- 2001 දී Zvezda සමාගමේ අගනුවර.
- 2002 දී Zvezda සමාගමේ අගනුවර.
- 2003 දී Zvezda සමාගමේ අගනුවර.
නැතහොත් අපට කෙටියෙන් ලිවිය හැකිය:
අපගේ නඩුව සඳහා:
2000, 2001, 2002 සහ 2003.
පිළිවෙලින්:
රූබල්
ප්‍රතිශතය වාර්ෂිකව ලබා දී එය වාර්ෂිකව ගණනය කරන බැවින් මෙම ගැටලුවේදී අපට බෙදීමක් හෝ බෙදීමක් නොමැති බව සලකන්න. එනම්, සංකීර්ණ පොලී සඳහා ගැටළුව කියවන විට, කුමන ප්රතිශතයක් ලබා දෙන්නේද, කුමන කාල පරිච්ඡේදයකදී එය අය කරනු ලබන්නේද යන්න පිළිබඳව අවධානය යොමු කරන්න, පසුව පමණක් ගණනය කිරීම් වෙත යන්න.
දැන් ඔබ ජ්යාමිතික ප්රගතිය ගැන සියල්ල දන්නවා.
ව්යායාමය.
- ජ්යාමිතික ප්රගතියක පදයක් එය දන්නේ නම් සොයන්න, සහ
- ජ්යාමිතික ප්රගතියක පළමු පදවල එකතුව සොයන්න, එය දන්නේ නම්, සහ
- MDM Capital 2003 දී ඩොලර් ප්‍රාග්ධනයකින් කර්මාන්තයේ ආයෝජනය කිරීම ආරම්භ කළේය. 2004 සිට සෑම වසරකම ඇය පසුගිය වසරේ ප්‍රාග්ධනයට සමාන ලාභයක් ලබා ඇත. සමාගම "MSK" මුදල් ප්රවාහ 2005 දී ඩොලර් 10,000 ක මුදලකින් කර්මාන්තයේ ආයෝජනය කිරීමට පටන් ගත් අතර, 2006 සිට ලාභ ලැබීමට පටන් ගත්තේය. 2007 අවසානයේ ලාභය සංසරණයෙන් ඉවත් නොකළේ නම්, එක් සමාගමක ප්රාග්ධනය තවත් සමාගමක ප්රාග්ධනය ඩොලර් කීයකින් ඉක්මවන්නේද?
පිළිතුරු:
- ගැටලුවේ තත්වය ප්රගතිය අසීමිත බව නොකියන අතර එහි සාමාජිකයින්ගේ නිශ්චිත සංඛ්‍යාවක එකතුව සොයා ගැනීමට අවශ්ය බැවින්, ගණනය කිරීම සූත්රය අනුව සිදු කෙරේ:
සමාගම "MDM කැපිටල්":2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
- 100% කින් වැඩි වේ, එනම් 2 ගුණයක්.
පිළිවෙලින්:
රූබල්
MSK මුදල් ප්රවාහ:2005, 2006, 2007.
- වාර ගණනින් වැඩි වේ.
පිළිවෙලින්:
රූබල්
රූබල්
අපි සාරාංශ කරමු.
1) ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ( ) යනු සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙලක් වන අතර, එහි පළමු පදය ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වන අතර, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වන සෑම පදයක්ම පෙර එකට සමාන වේ, එම සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කරනු ලැබේ. මෙම සංඛ්යාව ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක හරය ලෙස හැඳින්වේ.
2) ජ්යාමිතික ප්රගතියක සාමාජිකයන්ගේ සමීකරණය -.
3) හැර ඕනෑම අගයක් ගත හැක.
- එසේ නම්, ප්රගතියේ සියලුම පසුකාලීන සාමාජිකයින්ට එකම ලකුණක් තිබේ - ඔවුන් ධනාත්මක;
- එසේ නම්, ප්රගතියේ සියලුම පසුකාලීන සාමාජිකයින් විකල්ප සංඥා;
- විට - ප්රගතිය අසීමිත ලෙස අඩු වීම ලෙස හැඳින්වේ.
4) ජ්යාමිතික ප්රගතියක දේපල (අසල්වැසි සාමාජිකයින්)
හෝ
, දී (සමාන දුර කොන්දේසි)
ඔබ එය සොයාගත් විට, එය අමතක නොකරන්න පිළිතුරු දෙකක් තිබිය යුතුය..
උදාහරණ වශයෙන්,
5) ජ්යාමිතික ප්රගතියක සාමාජිකයින්ගේ එකතුව සූත්රය මගින් ගණනය කෙරේ:
හෝ
ප්රගතිය අසීමිත ලෙස අඩු වන්නේ නම්, එසේ නම්:
හෝ
වැදගත්!අසීමිත ලෙස අඩුවන ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක නියම එකතුව සඳහා අපි සූත්රය භාවිතා කරන්නේ අනන්ත පද සංඛ්‍යාවක එකතුව සොයාගත යුතු බව කොන්දේසිය පැහැදිලිව සඳහන් කරන්නේ නම් පමණි.
6) සංයුක්ත පොලී සඳහා වන කාර්යයන් ද ජ්යාමිතික ප්රගතියක සාමාජිකයාගේ සූත්රය මගින් ගණනය කෙරේ. මුදල්සංසරණයෙන් ඉවත් නොවේ:
ජ්යාමිතික ප්රගතිය. ප්රධාන දේ ගැන කෙටියෙන්
ජ්යාමිතික ප්රගතිය( ) යනු සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙලක් වන අතර, එහි පළමු පදය ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වන අතර, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වන සෑම පදයක්ම පෙර එකට සමාන වන අතර, එම සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කරනු ලැබේ. මෙම අංකය හැඳින්වේ ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක හරය.
ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක හරයසහ හැර ඕනෑම අගයක් ගත හැක.
- ප්රගතියේ සියලුම පසුකාලීන සාමාජිකයින්ට එකම ලකුණක් තිබේ නම් - ඒවා ධනාත්මක ය;
- ප්රගතියේ සියලුම පසුකාලීන සාමාජිකයන් විකල්ප සලකුණු නම්;
- විට - ප්රගතිය අසීමිත ලෙස අඩු වීම ලෙස හැඳින්වේ.
ජ්යාමිතික ප්රගතියක සාමාජිකයින්ගේ සමීකරණය - .
ජ්යාමිතික ප්රගතියක නියමවල එකතුවසූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:
හෝ
>> ගණිතය: ජ්යාමිතික ප්රගතිය
පාඨකයාගේ පහසුව සඳහා, මෙම කොටස අප පෙර කොටසේ අනුගමනය කළ සැලැස්මම හරියටම අනුගමනය කරයි.
1. මූලික සංකල්ප.
අර්ථ දැක්වීම.සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙලක්, එහි සියලුම සාමාජිකයින් 0 ට වෙනස් වන අතර එහි එක් එක් සාමාජිකයා, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වන අතර, එම සංඛ්‍යාවෙන් එය ගුණ කිරීමෙන් පෙර සාමාජිකයාගෙන් ලබා ගන්නා ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ලෙස හැඳින්වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අංක 5 ජ්යාමිතික ප්රගතියක හරය ලෙස හැඳින්වේ.
මේ අනුව, ජ්යාමිතික ප්රගතියක් යනු සම්බන්ධතා මගින් ප්‍රත්‍යාවර්තීව ලබා දෙන සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙලකි (b n)
සංඛ්යා අනුපිළිවෙලක් බැලීමෙන් එය ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක් දැයි තීරණය කළ හැකිද? පුළුවන්. අනුපිළිවෙලෙහි ඕනෑම සාමාජිකයෙකුගේ පෙර සාමාජිකයාට අනුපාතය නියත බව ඔබට ඒත්තු ගියහොත්, ඔබට ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ඇත.
උදාහරණ 1
1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.
උදාහරණ 2
මෙය ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයකි
උදාහරණය 3
මෙය ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයකි
උදාහරණය 4
8, 8, 8, 8, 8, 8,....
මෙය b 1 - 8, q = 1 වන ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයකි.
මෙම අනුක්‍රමය ද අංක ගණිතමය ප්රගතියක් බව සලකන්න (§ 15 සිට උදාහරණ 3 බලන්න).
උදාහරණ 5
2,-2,2,-2,2,-2.....
මෙය ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයකි, එහි b 1 \u003d 2, q \u003d -1.
නිසැකව ම, ජ්යාමිතික ප්රගතියක් යනු b 1 > 0, q > 1 නම් (උදාහරණ 1 බලන්න), b 1 > 0, 0 නම් අඩු වන අනුපිළිවෙලකි.< q < 1 (см. пример 2).
අනුක්‍රමය (b n) ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක් බව දැක්වීමට, පහත සඳහන් අංකනය සමහර විට පහසු වේ:
නිරූපකය "ජ්යාමිතික ප්රගතිය" යන වාක්‍ය ඛණ්ඩය ප්‍රතිස්ථාපනය කරයි.
ජ්යාමිතික ප්රගතියක එක් කුතුහලයක් සහ ඒ සමඟම තරමක් පැහැදිලි දේපලක් අපි සටහන් කරමු:
අනුපිළිවෙල නම් 
යනු ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයකි, එවිට වර්ගවල අනුපිළිවෙල, i.e. 
ජ්යාමිතික ප්රගතියක් වේ.
දෙවන ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයේ දී, පළමු පදය q 2 ට සමාන වේ.
අපි b n ට පහත සඳහන් සියලුම නියමයන් ඝාතීය ලෙස ඉවතලන්නේ නම්, එවිට අපට සීමිත ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ලැබේ 
මෙම කොටසෙහි පහත දැක්වෙන ඡේදවල, ජ්යාමිතික ප්රගතියක වඩාත් වැදගත් ගුණාංග අපි සලකා බලමු.
2. ජ්යාමිතික ප්රගතියක n-th පදයේ සූත්රය.
ජ්යාමිතික ප්රගතියක් සලකා බලන්න 
හරය q. අපිට තියනවා:
ඕනෑම අංකයක් සඳහා සමානාත්මතාවය අනුමාන කිරීම අපහසු නැත
මෙය ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක n වැනි වාරය සඳහා වන සූත්‍රයයි.
අදහස් දක්වන්න.
ඔබ පෙර ඡේදයේ වැදගත් ප්‍රකාශය කියවා එය තේරුම් ගෙන තිබේ නම්, ක්‍රමය මගින් සූත්රය (1) ඔප්පු කිරීමට උත්සාහ කරන්න ගණිතමය ප්රේරණයඑය අංක ගණිතමය ප්‍රගමනයක n වැනි පදයේ සූත්රය සඳහා කරන ලද ආකාරයටම.
ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයේ n වැනි පදයේ සූත්රය නැවත ලියමු
සහ අංකනය හඳුන්වා දෙන්න: අපට y \u003d mq 2 ලැබේ, හෝ, වඩාත් විස්තරාත්මකව, 
තර්කය x ඝාතකයේ අඩංගු වේ, එබැවින් එවැනි ශ්‍රිතයක් ඝාතීය ශ්‍රිතයක් ලෙස හැඳින්වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ස්වභාවික සංඛ්යා N කට්ටලය මත ලබා දී ඇති ඝාතීය ශ්‍රිතයක් ලෙස සැලකිය හැකි බවයි. අත්තික්කා මත. 96a රූපයේ ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයක් පෙන්වයි. 966 - ශ්රිත ප්රස්ථාරය 
අවස්ථා දෙකේදීම අපට තිබේ හුදකලා තිත්(abscissas x = 1, x = 2, x = 3, ආදිය සමඟ) සමහර වක්‍රය මත වැතිර ඇත (රූප දෙකම එකම වක්‍රය පෙන්වයි, වෙනස් ලෙස පිහිටා ඇති අතර විවිධ පරිමාණයෙන් නිරූපණය කෙරේ). මෙම වක්‍රය ඝාතකය ලෙස හැඳින්වේ. ගැන වැඩි විස්තර ඝාතීය ශ්රිතයසහ ඇයගේ ග්‍රැෆික්ස් 11 ශ්‍රේණියේ වීජ ගණිත පාඨමාලාවේදී සාකච්ඡා කෙරේ.
පෙර ඡේදයේ 1-5 උදාහරණ වෙත ආපසු යමු.
1) 1, 3, 9, 27, 81,... . මෙය ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක් වන අතර, b 1 \u003d 1, q \u003d 3. අපි n වැනි වාරය සඳහා සූත්‍රයක් සකස් කරමු 
2) 
මෙය ජ්යාමිතික ප්රගතියක් වන අතර, අපි n-th පදය සකස් කරමු 
මෙය ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයකි 
N වැනි වාරය සඳහා සූත්රය සම්පාදනය කරන්න 
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . මෙය ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක් වන අතර, b 1 \u003d 8, q \u003d 1. අපි n වැනි වාරය සඳහා සූත්‍රයක් සකස් කරමු 
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... මෙය ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයකි, එහි b 1 = 2, q = -1. N වැනි වාරය සඳහා සූත්රය සම්පාදනය කරන්න 
උදාහරණය 6
ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ලබා දී ඇත
සෑම අවස්ථාවකදීම, විසඳුම පදනම් වන්නේ ජ්යාමිතික ප්රගතියක n වන සාමාජිකයාගේ සූත්රය මතය
a) ජ්යාමිතික ප්රගතියේ n වැනි පදයේ සූත්‍රයට n = 6 යෙදීමෙන් අපට ලැබේ
ආ) අපට තිබේ
512 \u003d 2 9 සිට, අපට n - 1 \u003d 9, n \u003d 10 ලැබේ.
ඈ) අප සතුව ඇත
උදාහරණ 7
ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයේ හත්වන සහ පස්වන සාමාජිකයින් අතර වෙනස 48 වේ, ප්රගතියේ පස්වන සහ හයවන සාමාජිකයින්ගේ එකතුව ද 48 වේ. මෙම ප්රගතියේ දොළොස්වන සාමාජිකයා සොයන්න.
පළමු අදියර.ගණිතමය ආකෘතියක් ඇඳීම.
කාර්යයේ කොන්දේසි කෙටියෙන් පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
ජ්යාමිතික ප්රගතියක n-th සාමාජිකයාගේ සූත්රය භාවිතා කරමින්, අපට ලැබෙන්නේ:
එවිට ගැටලුවේ දෙවන කොන්දේසිය (b 7 - b 5 = 48) ලෙස ලිවිය හැක
ගැටලුවේ තුන්වන කොන්දේසිය (b 5 +b 6 = 48) ලෙස ලිවිය හැක
ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි b 1 සහ q විචල්ය දෙකක් සහිත සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් ලබා ගනිමු:
ඉහත ලියා ඇති කොන්දේසි 1) සමඟ ඒකාබද්ධව, වේ ගණිතමය ආකෘතියකාර්යයන්.
දෙවන අදියර.
සම්පාදනය කරන ලද ආකෘතිය සමඟ වැඩ කිරීම. පද්ධතියේ සමීකරණ දෙකේම වම් කොටස් සමාන කරමින්, අපි ලබා ගන්නේ:
(අපි සමීකරණයේ දෙපැත්තම b 1 q 4 ප්‍රකාශනයට බෙදා ඇත, එය ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වේ).
q 2 - q - 2 = 0 සමීකරණයෙන් අපි q 1 = 2, q 2 = -1 සොයා ගනිමු. පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණයට q = 2 අගය ආදේශ කිරීම, අපි ලබා ගනිමු 
පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණයට q = -1 අගය ආදේශ කිරීම, අපි b 1 1 0 = 48 ලබා ගනිමු; මෙම සමීකරණයට විසඳුම් නොමැත.
ඉතින්, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - මෙම යුගලය සම්පාදනය කරන ලද සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුමයි.
දැන් අපට ප්‍රශ්නගත ජ්යාමිතික ප්රගතිය ලිවිය හැක: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .
තුන්වන අදියර.
ගැටලුවේ ප්රශ්නයට පිළිතුර. එය b 12 ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ. අපිට තියනවා
පිළිතුර: b 12 = 2048.
3. සීමිත ජ්යාමිතික ප්රගතියක සාමාජිකයන්ගේ එකතුව සඳහා සූත්රය.
සීමිත ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ඇති වේවා
එහි නියමවල එකතුව S n මගින් දක්වන්න, i.e.
මෙම එකතුව සොයා ගැනීම සඳහා සූත්‍රයක් ව්‍යුත්පන්න කරමු.
අපි මුල සිටම පටන් ගනිමු සරල නඩුව, විට q = 1. එවිට ජ්යාමිතික ප්රගතිය b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn සමන්විත වන්නේ b 1 ට සමාන n සංඛ්යා වලින්, i.e. ප්රගතිය b 1, b 2, b 3, ..., b 4 වේ. මෙම සංඛ්යා වල එකතුව nb 1 වේ.
දැන් බලමු q = 1 S n සොයා ගැනීම සඳහා අපි කෘතිම ක්රමයක් භාවිතා කරමු: S n q ප්‍රකාශනයේ පරිවර්තනයන් කිහිපයක් සිදු කරමු. අපිට තියනවා:
පරිවර්තනයන් සිදු කිරීම, අපි පළමුව, ජ්යාමිතික ප්රගතියක නිර්වචනය භාවිතා කළෙමු, ඒ අනුව (තර්කයේ තුන්වන පේළිය බලන්න); දෙවනුව, ඔවුන් ප්‍රකාශනයේ අර්ථය ඇත්ත වශයෙන්ම වෙනස් නොවූයේ මන්දැයි එකතු කර අඩු කළහ (සිවුවන තර්ක පේළිය බලන්න); තෙවනුව, අපි ජ්යාමිතික ප්රගතියක n-th සාමාජිකයාගේ සූත්රය භාවිතා කළෙමු:
(1) සූත්‍රයෙන් අපට හමුවන්නේ:
මෙය ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක n සාමාජිකයින්ගේ එකතුව සඳහා වන සූත්‍රයයි (q = 1 වන අවස්ථාව සඳහා).
උදාහරණ 8
සීමිත ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ලබා දී ඇත
අ) ප්රගතියේ සාමාජිකයින්ගේ එකතුව; ආ) එහි නියමවල වර්ගවල එකතුව.
b) ඉහත (පිටුව 132 බලන්න) ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක සියලුම සාමාජිකයින් වර්ග කර ඇත්නම්, පළමු සාමාජිකයා b 2 සහ හරය q 2 සමඟ ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ලබා ගන්නා බව අපි දැනටමත් සටහන් කර ඇත්තෙමු. එවිට නව ප්රගතියේ පද හයක එකතුව ගණනය කරනු ලැබේ
උදාහරණ 9
ජ්යාමිතික ප්රගතියක 8 වැනි පදය සොයන්න
ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි පහත සඳහන් ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.
සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙලක් යනු ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයකි, පළමු එක හැර (සහ අවසාන එක, පරිමිත අනුක්‍රමයක නම්) හැර එහි එක් එක් පදවල වර්ගය පෙර සහ පසු පදවල ගුණිතයට සමාන වේ නම් පමණි. (ජ්යාමිතික ප්රගතියක ලාක්ෂණික ගුණයක්).
මාතෘකාව පිළිබඳ පාඩම සහ ඉදිරිපත් කිරීම: "සංඛ්යා අනුපිළිවෙල. ජ්යාමිතික ප්රගතිය"
අතිරේක ද්රව්ය
හිතවත් පරිශීලකයින්, ඔබේ අදහස්, ප්‍රතිපෝෂණ, යෝජනා තැබීමට අමතක නොකරන්න! සියලුම ද්රව්ය ප්‍රති-වයිරස වැඩසටහනක් මගින් පරීක්ෂා කරනු ලැබේ.
9 ශ්‍රේණිය සඳහා "Integral" අන්තර්ජාල වෙළඳසැලේ ඉගැන්වීම් ආධාරක සහ සිමියුලේටර්
බල සහ මූල කාර්යයන් සහ ප්‍රස්තාර
යාලුවනේ, අද අපි තවත් ආකාරයක ප්රගතියක් ගැන දැන හඳුනා ගනිමු.
අද පාඩමේ මාතෘකාව ජ්යාමිතික ප්රගතියයි.
ජ්යාමිතික ප්රගතිය
අර්ථ දැක්වීම. සෑම පදයක්ම, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වන සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙලක්, පෙර එකෙහි ගුණිතයට සමාන වන අතර යම් ස්ථාවර සංඛ්‍යාවක්, ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ලෙස හැඳින්වේ.අපි අපගේ අනුපිළිවෙල පුනරාවර්තන ලෙස නිර්වචනය කරමු: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
මෙහි b සහ q නිශ්චිත ලබා දී ඇති සංඛ්යා වේ. q අංකය ප්රගතියේ හරය ලෙස හැඳින්වේ.
උදාහරණයක්. 1,2,4,8,16… ජ්යාමිතික ප්රගතිය, එහි පළමු සාමාජිකයා එකකට සමාන වන අතර $q=2$.
උදාහරණයක්. 8,8,8,8... පළමු වාරය අට වන ජ්යාමිතික ප්රගතියක්,
සහ $q=1$.
උදාහරණයක්. 3,-3,3,-3,3... පළමු වාර තුන වන ජ්යාමිතික ප්රගතියක්,
සහ $q=-1$.
ජ්යාමිතික ප්රගතිය ඒකාකාරීත්වයේ ගුණ ඇත.
$b_(1)>0$, $q>1$ නම්,
එවිට අනුපිළිවෙල වැඩි වේ.
$b_(1)>0$ නම්, $0 අනුක්‍රමය සාමාන්‍යයෙන් දැක්වෙන්නේ: $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.
ගණිතමය ප්‍රගමනයකදී මෙන්, ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක ඇති මූලද්‍රව්‍ය සංඛ්යාව පරිමිත නම්, එම ප්රගතිය පරිමිත ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ලෙස හැඳින්වේ.
$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
අනුක්‍රමය ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක් නම්, වර්ග පදවල අනුක්‍රමය ද ජ්යාමිතික ප්රගතියක් බව සලකන්න. දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි පළමු පදය $b_(1)^2$ සහ හරය $q^2$ ඇත.
ජ්යාමිතික ප්රගතියක n වැනි සාමාජිකයාගේ සූත්රය
ජ්යාමිතික ප්රගතිය විශ්ලේෂණාත්මක ආකාරයෙන් ද දැක්විය හැක. එය කරන්නේ කෙසේදැයි බලමු:$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
$b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$ යන රටාව අපට පහසුවෙන් දැකිය හැක.
අපගේ සූත්රය "ජ්යාමිතික ප්රගතියක n-th සාමාජිකයාගේ සූත්රය" ලෙස හැඳින්වේ.
අපි අපේ උදාහරණ වෙත ආපසු යමු.
උදාහරණයක්. 1,2,4,8,16... පළමු පදය එකකට සමාන ජ්යාමිතික ප්රගතියක්,
සහ $q=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.
උදාහරණයක්. 16,8,4,2,1,1/2... පළමු වාරය දහසය සහ $q=\frac(1)(2)$ වන ජ්යාමිතික ප්රගතියක්.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.
උදාහරණයක්. 8,8,8,8... පළමු වාරය අට සහ $q=1$ වන ජ්යාමිතික ප්රගතියක්.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.
උදාහරණයක්. 3,-3,3,-3,3... පළමු වාර තුන සහ $q=-1$ වන ජ්යාමිතික ප්රගතියක්.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.
උදාහරණයක්. $b_(1), b_(2), …, b_(n), ... $ ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ලබා දී ඇත.
a) $b_(1)=6, q=3$ බව දන්නා කරුණකි. $b_(5)$ සොයන්න.
b) $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$ බව දන්නා කරුණකි. n සොයන්න.
c) $q=-2, b_(6)=96$ බව දන්නා කරුණකි. $b_(1)$ සොයන්න.
ඈ) $b_(1)=-2, b_(12)=4096$ බව දන්නා කරුණකි. q සොයන්න.
විසඳුමක්.
අ) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
b) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$ සිට $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
c) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
ඈ) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.
උදාහරණයක්. ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයේ හත්වන සහ පස්වන සාමාජිකයින් අතර වෙනස 192 වේ, ප්රගතියේ පස්වන සහ හයවන සාමාජිකයින්ගේ එකතුව 192 වේ. මෙම ප්රගතියේ දසවන සාමාජිකයා සොයන්න.
විසඳුමක්.
අපි එය දනිමු: $b_(7)-b_(5)=192$ සහ $b_(5)+b_(6)=192$.
අපි ද දනිමු: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
ඉන්පසු:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
අපට සමීකරණ පද්ධතියක් තිබේ:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
සමීකරණය, අපගේ සමීකරණ ලබා ගන්නේ:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
අපට විසඳුම් දෙකක් ලැබුණා: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
දෙවන සමීකරණයට අනුපිළිවෙලින් ආදේශ කරන්න:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ විසඳුම් නැත.
අපට එය ලැබුණි: $b_(1)=4, q=2$.
අපි දහවන පදය සොයා ගනිමු: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.
සීමිත ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක එකතුව
අපට සීමිත ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ඇතැයි සිතමු. ගණිතමය ප්රගතියක් සඳහා මෙන්ම එහි සාමාජිකයින්ගේ එකතුව ගණනය කරමු.සීමිත ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ලබා දෙන්න: $b_(1),b_(2),...,b_(n-1),b_(n)$.
එහි නියමවල එකතුව සඳහා අංකනය හඳුන්වා දෙමු: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
$q=1$ විට. ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයේ සියලුම සාමාජිකයින් පළමු සාමාජිකයාට සමාන වේ, එවිට $S_(n)=n*b_(1)$ බව පැහැදිලිය.
දැන් $q≠1$ නඩුව සලකා බලන්න.
ඉහත ප්රමාණය q වලින් ගුණ කරන්න.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
සටහන:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.
$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.
$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.
අපි පරිමිත ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක එකතුව සඳහා සූත්රය ලබාගෙන ඇත.
උදාහරණයක්.
පළමු පදය 4 සහ හරය 3 වන ජ්යාමිතික ප්රගතියක පළමු පද හතේ එකතුව සොයන්න.
විසඳුමක්.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.
උදාහරණයක්.
දන්නා ජ්යාමිතික ප්රගතියේ පස්වන සාමාජිකයා සොයන්න: $b_(1)=-3$; $b_(n)=-3072$; $S_(n)=-4095$.
විසඳුමක්.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$q^(n-1)=1024$.
$q^(n)=1024q$.
$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.
ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක ලාක්ෂණික ගුණය
යාලුවනේ, ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ලබා දී ඇත. අපි එහි අඛණ්ඩ සාමාජිකයන් තිදෙනා සලකා බලමු: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.බව අපි දන්නා:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
ඉන්පසු:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
ප්රගතිය සීමිත නම්, මෙම සමානාත්මතාවය පළමු සහ අවසාන කොන්දේසි හැර අනෙකුත් සියලුම කොන්දේසි සඳහා පවතී.
අනුපිළිවෙලෙහි කුමන ආකාරයේ අනුපිළිවෙලක් ඇත්දැයි කල්තියා නොදන්නේ නම්, නමුත් එය දන්නා පරිදි: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
එවිට මෙය ජ්යාමිතික ප්රගතියක් බව අපට ආරක්ෂිතව පැවසිය හැකිය.
සංඛ්යා අනුපිළිවෙලක් ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක් වන්නේ එහි එක් එක් පදවල වර්ග ප්‍රගමනයේ අසල්වැසි පද දෙකේ ගුණිතයට සමාන වූ විට පමණි. සීමිත ප්රගතියක් සඳහා මෙම කොන්දේසිය පළමු සහ අවසාන වාරය සඳහා තෘප්තිමත් නොවන බව අමතක නොකරන්න.
අපි මෙම අනන්‍යතාවය දෙස බලමු: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ යනු a සහ b හි ජ්යාමිතික මධ්‍යන්‍යය ලෙස හැඳින්වේ.
ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක ඕනෑම සාමාජිකයෙකුගේ මාපාංකය එයට යාබද සාමාජිකයන් දෙදෙනාගේ ජ්යාමිතික මධ්‍යන්‍යයට සමාන වේ.
උදාහරණයක්.
$x+2 වැනි x සොයන්න; 2x+2; 3x+3$ යනු ජ්යාමිතික ප්රගතියක අඛණ්ඩ සාමාජිකයන් තිදෙනෙකි.
විසඳුමක්.
අපි ලාක්ෂණික දේපල භාවිතා කරමු:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ සහ $x_(2)=-1$.
මුල් ප්‍රකාශනයේ අනුක්‍රමිකව ආදේශ කරන්න, අපගේ විසඳුම්:
$x=2$ සමඟින්, අපට අනුපිළිවෙල ලැබුණි: 4;6;9 යනු $q=1.5$ සහිත ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයකි.
$x=-1$ සමඟ, අපට අනුපිළිවෙල ලැබුණි: 1;0;0.
පිළිතුර: $x=2.$
ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා කාර්යයන්
1. ජ්යාමිතික ප්රගතියේ අටවැනි පළමු සාමාජිකයා සොයන්න 16; -8; 4; -2 ....2. ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයේ දසවන සාමාජිකයා සොයන්න 11,22,44....
3. $b_(1)=5, q=3$ බව දන්නා කරුණකි. $b_(7)$ සොයන්න.
4. $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$ බව දන්නා කරුණකි. n සොයන්න.
5. ජ්යාමිතික ප්රගතියේ පළමු සාමාජිකයන් 11 දෙනාගේ එකතුව සොයන්න 3;12;48....
6. $3x+4 වැනි x සොයන්න; 2x+4; x+5$ යනු ජ්යාමිතික ප්රගතියක අඛණ්ඩ සාමාජිකයන් තිදෙනෙකි.
ගණිතය යනු කුමක්දමිනිසුන් ස්වභාවධර්මය සහ තමන් පාලනය කරයි.
සෝවියට් ගණිතඥ, ශාස්ත්රාලික A.N. කොල්මොගොරොව්
ජ්යාමිතික ප්රගතිය.
ගණිතයේ ප්රවේශ පරීක්ෂණ වලදී අංක ගණිතමය ප්රගතිය සඳහා වන කාර්යයන් සමඟින්, ජ්යාමිතික ප්රගතියක් පිළිබඳ සංකල්පයට අදාළ කාර්යයන් ද පොදු වේ. එවැනි ගැටළු සාර්ථකව විසඳීම සඳහා, ඔබ ජ්යාමිතික ප්රගතියක ගුණාංග දැන සිටිය යුතු අතර ඒවා භාවිතා කිරීමේදී හොඳ කුසලතා තිබිය යුතුය.
මෙම ලිපිය ජ්යාමිතික ප්රගතියක ප්රධාන ගුණාංග ඉදිරිපත් කිරීම සඳහා කැප කර ඇත. එය සාමාන්ය ගැටළු විසඳීමේ උදාහරණ ද සපයයි, ගණිතයේ ප්රවේශ පරීක්ෂණවල කාර්යයන්ගෙන් ණයට ගත්තා.
ජ්යාමිතික ප්රගතියක ප්රධාන ගුණාංග අපි මූලික වශයෙන් සටහන් කර වඩාත් වැදගත් සූත්‍ර සහ ප්‍රකාශ සිහිපත් කරමු., මෙම සංකල්පය සමඟ සම්බන්ධ වේ.
අර්ථ දැක්වීම.සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙලක් එහි එක් එක් සංඛ්යා, දෙවැන්නෙන් ආරම්භ වී, පෙර එකට සමාන නම්, එම සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කළහොත් එය ජ්යාමිතික ප්රගතියක් ලෙස හැඳින්වේ. සංඛ්යාව ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක හරය ලෙස හැඳින්වේ.
ජ්යාමිතික ප්රගතියක් සඳහාසූත්‍ර වලංගු වේ
, (1)
කොහෙද . සූත්රය (1) ජ්යාමිතික ප්රගතියක සාමාන්ය පදයේ සූත්රය ලෙස හැඳින්වෙන අතර (2) ජ්යාමිතික ප්රගතියක ප්රධාන ගුණය වන්නේ සූත්‍රයයි: ප්රගතියේ සෑම සාමාජිකයෙක්ම එහි අසල්වැසි සාමාජිකයන්ගේ ජ්යාමිතික මධ්‍යන්‍යය සමඟ සමපාත වේ.
සටහන, ප්‍රශ්නගත ප්රගතිය "ජ්යාමිතික" ලෙස හඳුන්වන්නේ මෙම ගුණාංගය නිසා බව.
ඉහත (1) සහ (2) සූත්‍ර පහත පරිදි සාරාංශ කර ඇත.
, (3)
එකතුව ගණනය කිරීමටපළමුවන ජ්යාමිතික ප්රගතියක සාමාජිකයන්සූත්රය අදාළ වේ
අපි නම් කරනවා නම්
කොහෙද . සූත්රය (6) යනු සූත්‍රයේ (5) සාමාන්‍යකරණයකි.
නඩුවේ කවදාද සහ ජ්යාමිතික ප්රගතියඅසීමිත ලෙස අඩුවෙමින් පවතී. එකතුව ගණනය කිරීමටඅසීමිත ලෙස අඩුවන ජ්යාමිතික ප්රගතියක සියලුම සාමාජිකයන්ගෙන්, සූත්රය භාවිතා වේ
. (7)
උදාහරණ වශයෙන් , සූත්රය (7) භාවිතයෙන් කෙනෙකුට පෙන්විය හැක, කුමක්
කොහෙද . , (පළමු සමානාත්මතාවය) සහ , (දෙවන සමානාත්මතාවය) සූත්‍රයෙන් (7) මෙම සමානතා ලබා ගනී.
ප්රමේයය.නම්, එසේ නම්
සාක්ෂි. එසේ නම්,
ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.
"ජ්යාමිතික ප්රගතිය" යන මාතෘකාව පිළිබඳ ගැටළු විසඳීමේ උදාහරණ සලකා බලමු.
උදාහරණ 1ලබා දී ඇත: , සහ . සොයන්න .
විසඳුමක්.සූත්රය (5) යොදන්නේ නම්, එසේ නම්
පිළිතුර: .
උදාහරණ 2ඉඩ දෙන්න සහ . සොයන්න .
විසඳුමක්.සිට සහ , අපි (5), (6) සූත්‍ර භාවිතා කර සමීකරණ පද්ධතිය ලබා ගනිමු
පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණය (9) පළමු එකෙන් බෙදුවහොත්, පසුව හෝ . මෙයින් එය පහත දැක්වේ . අපි අවස්ථා දෙකක් සලකා බලමු.
1. නම්, එවිට පද්ධතියේ පළමු සමීකරණයෙන් (9) අපට ඇත.
2. නම් , එසේ නම් .
උදාහරණය 3ඉඩ දෙන්න, සහ . සොයන්න .
විසඳුමක්.එය සූත්‍රයෙන් (2) එම හෝ . එතැන් සිට හෝ .
කොන්දේසිය අනුව. කෙසේ වෙතත් . මන්ද සහ, එවිට අපට සමීකරණ පද්ධතියක් ඇත
පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණය පළමුවෙන් බෙදනු ලැබුවහොත් හෝ .
සමීකරණයට තනි සුදුසු මූලයක් ඇති බැවින් . මෙම අවස්ථාවෙහිදී, පද්ධතියේ පළමු සමීකරණයෙන් ඇඟවෙන්නේ .
සූත්රය (7) සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි ලබා ගනිමු.
පිළිතුර: .
උදාහරණය 4ලබා දී ඇත: සහ . සොයන්න .
විසඳුමක්.එදින සිට .
මන්ද , එවිට හෝ
සූත්රය (2) අනුව, අපට ඇත. මේ සම්බන්ධයෙන්, සමානාත්මතාවයෙන් (10) අපි ලබා ගනිමු හෝ .
කෙසේ වෙතත්, කොන්දේසිය අනුව, එබැවින් .
උදාහරණ 5එය දන්නා කරුණකි . සොයන්න .
විසඳුමක්. ප්‍රමේයයට අනුව අපට සමානතා දෙකක් ඇත
එතැන් සිට හෝ . මොකද, එතකොට.
පිළිතුර: .
උදාහරණය 6ලබා දී ඇත: සහ . සොයන්න .
විසඳුමක්.සූත්රය (5) සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි ලබා ගනිමු
එදින සිට . සිට , සහ , පසුව .
උදාහරණ 7ඉඩ දෙන්න සහ . සොයන්න .
විසඳුමක්.සූත්රය (1) අනුව අපට ලිවිය හැකිය
එබැවින්, අප සතුව හෝ . එය දන්නා අතර, එබැවින් සහ .
පිළිතුර: .
උදාහරණ 8නම් අනන්ත අඩුවන ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක හරය සොයන්න
හා .
විසඳුමක්. (7) සූත්‍රයෙන් එය පහත දැක්වේහා . මෙතැන් සිට සහ ගැටලුවේ තත්වය අනුව, අපි සමීකරණ පද්ධතිය ලබා ගනිමු
පද්ධතියේ පළමු සමීකරණය වර්ග කර ඇත්නම්, ඉන්පසු ලැබෙන සමීකරණය දෙවන සමීකරණයෙන් බෙදන්න, එතකොට අපිට ලැබෙනවා
හෝ .
පිළිතුර: .
උදාහරණ 9අනුක්‍රමය , ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක් වන සියලුම අගයන් සොයන්න.
විසඳුමක්.ඉඩ දෙන්න, සහ. ජ්යාමිතික ප්රගතියක ප්රධාන ගුණාංගය නිර්වචනය කරන සූත්රය (2) අනුව, අපට ලිවිය හැකිය හෝ .
මෙතැන් සිට අපට චතුරස්රාකාර සමීකරණය ලැබේ, කාගේ මුල්දහා .
අපි පරීක්ෂා කරමු: නම්, පසුව, සහ; නම් , එසේ නම් , සහ .
පළමු අවස්ථාවේ දී අපට තිබේසහ , සහ දෙවන - සහ .
පිළිතුර: , .
උදාහරණ 10සමීකරණය විසඳන්න
, (11)
කොහෙද සහ .
විසඳුමක්. වම් පැත්තසමීකරණය (11) යනු අසීමිත අඩුවන ජ්යාමිතික ප්රගතියක එකතුවකි, එහි සහ , සපයා ඇත: සහ .
(7) සූත්‍රයෙන් එය පහත දැක්වේ, කුමක් . මේ සම්බන්ධයෙන්, සමීකරණය (11) ස්වරූපය ගනීහෝ . සුදුසු මූල චතුරස්රාකාර සමීකරණයවේ
පිළිතුර: .
උදාහරණ 11.පී අනුපිළිවෙල ධනාත්මක සංඛ්යා අංක ගණිතමය ප්රගතියක් සාදයි, ඒ - ජ්යාමිතික ප්රගතිය, එය සමඟ ඇති සම්බන්ධය කුමක්ද? සොයන්න .
විසඳුමක්.නිසා අංක ගණිතමය අනුපිළිවෙල, එවිට (අංක ගණිතමය ප්රගතියක ප්රධාන ගුණාංගය). මන්දයත්, පසුව හෝ . මෙයින් ඇඟවෙන්නේ, ජ්යාමිතික ප්රගතිය බව. සූත්රය (2) අනුව, ඊට පස්සේ අපි ඒක ලියනවා.
සිට සහ, පසුව . එම අවස්ථාවේ දී, ප්රකාශනයපෝරමය ගනී හෝ . කොන්දේසිය අනුව, එසේ සමීකරණයෙන්සලකා බලනු ලබන ගැටලුවේ අද්විතීය විසඳුම අපි ලබා ගනිමු, i.e. .
පිළිතුර: .
උදාහරණ 12.එකතුව ගණනය කරන්න
. (12)
විසඳුමක්. සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම (12) 5 න් ගුණ කර ලබා ගන්න
ලැබෙන ප්‍රකාශයෙන් අපි (12) අඩු කළහොත්, එවිට
හෝ .
ගණනය කිරීම සඳහා, අපි අගයන් (7) සූත්‍රයට ආදේශ කර ලබා ගනිමු. එදින සිට .
පිළිතුර: .
මෙහි දක්වා ඇති ගැටළු විසඳීමේ උදාහරණ ප්රවේශ විභාග සඳහා සූදානම් වීමේදී අයදුම්කරුවන්ට ප්‍රයෝජනවත් වනු ඇත. ගැටළු විසඳීමේ ක්රම පිළිබඳ ගැඹුරු අධ්යයනයක් සඳහා, ජ්යාමිතික ප්රගතියක් සමඟ සම්බන්ධ වේ, භාවිතා කළ හැක අධ්යයන මාර්ගෝපදේශනිර්දේශිත සාහිත්‍ය ලැයිස්තුවෙන්.
1. තාක්ෂණික විශ්ව විද්‍යාල සඳහා අයදුම්කරුවන් සඳහා ගණිතයේ කාර්යයන් එකතු කිරීම / එඩ්. එම්.අයි. ස්කැනවි. - එම්.: Mir i Obrazovanie, 2013. - 608 පි.
2. Suprun V.P. උසස් පාසල් සිසුන් සඳහා ගණිතය: අමතර කොටස් පාසල් විෂය මාලාව. - එම්.: ලෙනන්ඩ් / යූආර්එස්එස්, 2014. - 216 පි.
3. මෙඩින්ස්කි එම්.එම්. සම්පූර්ණ පාඨමාලාවකාර්යයන් සහ අභ්යාසවල මූලික ගණිතය. පොත 2: අංක අනුපිළිවෙලසහ ප්රගතිය. - එම්.: එඩිටස්, 2015. - 208 පි.
ඔබට ප්‍රශ්න තිබේද?
උපදේශකයෙකුගේ උපකාරය ලබා ගැනීමට - ලියාපදිංචි වන්න.
වෙබ් අඩවිය, ද්රව්යයේ සම්පූර්ණ හෝ අර්ධ වශයෙන් පිටපත් කිරීම සමඟ, මූලාශ්රය වෙත සබැඳියක් අවශ්ය වේ.
මෙම සංඛ්යාව ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක හරය ලෙස හැඳින්වේ, එනම් සෑම පදයක්ම පෙර එකට වඩා q ගුණයකින් වෙනස් වේ. (අපි උපකල්පනය කරමු q ≠ 1, එසේ නොමැතිනම් සියල්ල ඉතා සුළුයි). එය දැකීම පහසුය සාමාන්ය සූත්රයජ්යාමිතික ප්රගතියේ n -th සාමාජිකයා b n = b 1 q n - 1 ; අංක b n සහ b m සමඟ නියමයන් q n - m වාර ගණනින් වෙනස් වේ.දැනටමත් ඇත පුරාණ ඊජිප්තුවඅංක ගණිතය පමණක් නොව, ජ්යාමිතික ප්රගතිය ද දැන සිටියේය. මෙන්න, උදාහරණයක් ලෙස, Rhind papyrus වෙතින් කාර්යයක්: “මුහුණු හතකට බළලුන් හතක් ඇත; සෑම බළලෙක්ම මීයන් හතක් කනවා, සෑම මීයෙක්ම බඩ ඉරිඟු කරල් හතක් කනවා, සෑම කනකටම බාර්ලි මිනුම් හතක් වගා කළ හැකිය. මෙම ශ්‍රේණියේ සංඛ්යා සහ ඒවායේ එකතුව කොපමණ විශාලද?
 |
|
සහල්. 1. පුරාණ ඊජිප්තු ජ්යාමිතික ප්‍රගති ගැටලුව |
මෙම කර්තව්යය වෙනත් අවස්ථාවල දී වෙනත් ජනයා අතර විවිධ වෙනස්කම් සහිතව බොහෝ වාරයක් පුනරාවර්තනය විය. උදාහරණයක් ලෙස, XIII සියවසේ ලිඛිතව. පීසා හි ලෙනාඩෝ (ෆිබොනාච්චි) විසින් රචිත "ඇබකස් පොත" හි රෝමයට යන අතරතුර මහලු කාන්තාවන් 7 දෙනෙකු පෙනී සිටීමේ ගැටලුවක් ඇත (පැහැදිලිවම වන්දනාකරුවන්), ඒ සෑම කෙනෙකුටම කොටළුවෝ 7 ක් ඇත, ඒ සෑම එකක්ම බෑග් 7 ක් ඇත. රොටි 7 ක් ඇති අතර, ඒ සෑම එකක්ම පිහි 7 ක් ඇත, ඒ සෑම එකක්ම කොපු 7 කින් යුක්ත වේ. ගැටලුව වන්නේ අයිතම කීයක් තිබේද යන්නයි.
ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයේ පළමු n සාමාජිකයින්ගේ එකතුව S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . මෙම සූත්රය පහත පරිදි ඔප්පු කළ හැක: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.
අපි S n ට b 1 q n අංකය එකතු කර ලබා ගනිමු:
|
එබැවින් S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), අපට අවශ්ය සූත්රය ලැබේ.
දැනටමත් VI වන සියවස දක්වා දිවෙන පුරාණ බබිලෝනියේ එක් මැටි පුවරුවක. ක්රි.පූ e., 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1 එකතුව අඩංගු වේ. වෙනත් අවස්ථා ගණනාවක දී මෙන්, මෙම කරුණ බැබිලෝනිවරුන් දැන සිටියේ කොහේදැයි අපි නොදනිමු. .
සංස්කෘතීන් ගණනාවක ජ්යාමිතික ප්රගතියක වේගවත් වර්ධනය, විශේෂයෙන්ම ඉන්දියාවේ, විශ්වයේ අපරිමිත බවේ පැහැදිලි සංකේතයක් ලෙස නැවත නැවතත් භාවිතා වේ. චෙස් ක්‍රීඩාවේ පෙනුම පිළිබඳ සුප්‍රසිද්ධ පුරාවෘත්තයේ, පාලකයා ඔවුන්ගේ නව නිපැයුම්කරුට තමාටම ත්‍යාගයක් තෝරා ගැනීමට අවස්ථාව ලබා දෙන අතර, ඔහු තිරිඟු ධාන්ය ප්‍රමාණයක් ඉල්ලා සිටින්නේ එය පළමු කොටුවේ තැබුවහොත් ලබා ගත හැකි ප්‍රමාණයකි. චෙස්බෝඩ්, දෙවෙනි එකේ දෙකක්, තුන්වෙනි එකෙන් හතරක්, හතරවෙනි එකෙන් අටක්, සහ යනාදිය, සෑම අවස්ථාවකදීම අංකය දෙගුණ වේ. එය උපරිම වශයෙන් ගෝනි කිහිපයක් යැයි ව්ලැඩිකා සිතුවේය, නමුත් ඔහු වැරදි ලෙස ගණනය කළේය. චෙස් පුවරුවේ සියලුම වර්ග 64 සඳහා නව නිපැයුම්කරුට (2 64 - 1) ධාන්ය ලැබිය යුතු බව දැකීම පහසුය, එය ඉලක්කම් 20 අංකයක් ලෙස ප්‍රකාශ වේ; යමෙක් පෘථිවියේ මුළු මතුපිටම වැපිරීමට වුවද, අස්වැන්න නෙළීමට අවම වශයෙන් වසර 8 ක් ගතවනු ඇත අවශ්ය ප්රමාණයධාන්ය වර්ග. මෙම පුරාවෘත්තය සමහර විට චෙස් ක්‍රීඩාවේ සැඟවී ඇති අසීමිත හැකියාවන් පිළිබඳ සඳහනක් ලෙස අර්ථ දැක්වේ.
මෙම අංකය සැබවින්ම ඉලක්කම් 20 කින් යුක්ත වීම දැකීම පහසුය:
2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (වඩාත් නිවැරදි ගණනය කිරීම 1.84 10 19 ලබා දෙයි). නමුත් මෙම අංකය අවසන් වන්නේ කුමන ඉලක්කමෙන්දැයි ඔබට සොයා ගත හැකිදැයි මම කල්පනා කරමි.
හරය නිරපේක්ෂ අගයෙන් 1 ට වඩා වැඩි නම් ජ්යාමිතික ප්රගතියක් වැඩි වේ, නැතහොත් එය එකකට වඩා අඩු නම් අඩු වේ. අවසාන අවස්ථාවෙහිදී, ප්‍රමාණවත් තරම් විශාල n සඳහා q n අංකය හිතුවක්කාර ලෙස කුඩා විය හැක. වැඩිවන ඝාතීය අගයක් අනපේක්ෂිත ලෙස වේගයෙන් වැඩි වන අතර, අඩු වන ඝාතීය අගයක් ඉක්මනින් අඩු වේ.
n විශාල වන තරමට q n අංකය ශුන්‍යයෙන් වෙනස් වන අතර ජ්යාමිතික ප්රගතියේ n සාමාජිකයින්ගේ එකතුව S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) S \u003d b 1 අංකයට සමීප වේ. / (1 - q) . (ඉතින් තර්කානුකූලව, උදාහරණයක් ලෙස, F. Viet). S අංකය අසීමිත ලෙස අඩුවන ජ්යාමිතික ප්රගතියක එකතුව ලෙස හැඳින්වේ. කෙසේ වෙතත්, ශතවර්ෂ ගණනාවක් පුරා, එහි අනන්ත පද සංඛ්‍යාවක් සහිත, සියලුම ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයේ සාරාංශයේ තේරුම කුමක්ද යන ප්‍රශ්නය ගණිතඥයින්ට ප්‍රමාණවත් තරම් පැහැදිලි නොවීය.
ජ්යාමිතික ප්‍රගමනය අඩුවීමක් දැකිය හැකිය, නිදසුනක් ලෙස, Zeno ගේ aporias "Biting" සහ "Achilles and the tortoise" වල. පළමු අවස්ථාවේ දී, සම්පූර්ණ මාර්ගය (දිග 1 උපකල්පනය කරන්න) 1/2, 1/4, 1/8, ආදී අනන්ත ඛණ්ඩ ගණනක එකතුව බව පැහැදිලිව පෙන්වා ඇත. මෙය ඇත්ත වශයෙන්ම සිදු වන්නේ පරිමිත එකතුවක් අසීමිත ජ්යාමිතික ප්රගතිය පිළිබඳ අදහස්වල දෘෂ්ටිකෝණය. සහ තවමත් - මෙය විය හැක්කේ කෙසේද?
|
සහල්. 2. 1/2 සාධකයක් සහිත ප්රගතිය |
Achilles පිළිබඳ aporia හි, තත්වය ටිකක් සංකීර්ණ වේ, මන්ද මෙහි ප්රගතියේ හරය 1/2 ට සමාන නොවේ, නමුත් වෙනත් අංකයකට. උදාහරණයක් ලෙස, Achilles v වේගයෙන් ධාවනය කරමු, කැස්බෑවා u වේගයෙන් ගමන් කරයි, සහ ඔවුන් අතර ආරම්භක දුර l වේ. අචිලස් මෙම දුර ධාවනය කරන්නේ l / v කාලය තුළ, ඉබ්බා මෙම කාලය තුළ lu / v දුරක් ගමන් කරයි. Achilles මෙම කොටස හරහා දිව යන විට, ඔහු සහ කැස්බෑවා අතර ඇති දුර l (u / v) 2 ට සමාන වේ. l පදය සහ හරය u / v. මෙම එකතුව - අචිලස් අවසානයේ කැස්බෑවා සමඟ හමුවීමේ ස්ථානයට දිව යන කොටස - l / (1 - u / v) = lv / (v - u) ට සමාන වේ. එහෙත්, නැවතත්, මෙම ප්රතිඵලය අර්ථ දැක්විය යුතු ආකාරය සහ එය කිසිසේත්ම අර්ථවත් වන්නේ මන්දැයි දිගු කලක් තිස්සේ ඉතා පැහැදිලි නැත.
|
සහල්. 3. සංගුණකය 2/3 සමඟ ජ්යාමිතික ප්රගතිය |
ජ්යාමිතික ප්‍රගමනයක එකතුව ආකිමිඩීස් විසින් පැරබෝලා කොටසක ප්රදේශය නිර්ණය කිරීමේදී භාවිතා කරන ලදී. පරාවලයේ දී ඇති කොටස AB ස්වරයෙන් සීමා කිරීමට ඉඩ හරින්න සහ පරාවලයේ D ලක්ෂ්‍යයේ ස්පර්ශකය AB ට සමාන්තර වීමට ඉඩ හරින්න. C යනු AB හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය, E AC හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය, F යනු CB හි මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යය වේවා. ලකුණු A , E , F , B හරහා DC ට සමාන්තරව රේඛා අඳින්න ; D ලක්ෂ්‍යයේ දී අඳින ලද ස්පර්ශකය, මෙම රේඛා K, L, M, N යන ලක්ෂ්‍යවලින් ඡේදනය වීමට ඉඩ හරින්න. AD සහ DB කොටස් ද අඳිමු. EL රේඛාව AD රේඛාව G ලක්ෂ්‍යයෙන් ද, පැරබෝලා H ලක්ෂ්‍යයේ ද ඡේදනය වීමට ඉඩ හරින්න; FM රේඛාව Q ලක්ෂ්‍යයේ DB රේඛාව සහ R ලක්ෂ්‍යයේ දී පරාවලය ඡේදනය කරයි. අනුව සාමාන්ය න්යායකේතුකාකාර කොටස්, DC යනු පරාවලයේ විෂ්කම්භය (එනම්, එහි අක්ෂයට සමාන්තර කොටසකි); එය සහ D ලක්ෂ්‍යයේ ඇති ස්පර්ශකය ඛණ්ඩාංක අක්ෂ x සහ y ලෙස ක්‍රියා කළ හැකි අතර, පරාවල සමීකරණය y 2 \u003d 2px ලෙස ලියා ඇත (x යනු D සිට දී ඇති විෂ්කම්භයක ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයකට ඇති දුරයි, y යනු a දිග වේ. මෙම විෂ්කම්භය ලක්ෂ්‍යයේ සිට පැරබෝලාවේ යම් ස්ථානයක් දක්වා දී ඇති ස්පර්ශකයකට සමාන්තරව කොටස).
පැරබෝලා සමීකරණය අනුව, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , සහ DK = 2DL නිසා KA = 4LH . KA = 2LG නිසා , LH = HG . පැරබෝලාවේ ADB කොටසේ ප්රදේශය ත්රිකෝණයේ ප්රදේශයට සමාන වේ ΔADB සහ AHD සහ DRB යන අංශවල ප්‍රදේශ ඒකාබද්ධ වේ. අනෙක් අතට, AHD කොටසේ ප්රදේශය AHD ත්රිකෝණයේ ප්රදේශයට සමාන වන අතර ඉතිරි කොටස් AH සහ HD වලට සමාන වේ, ඒ සෑම එකක් සමඟම එකම මෙහෙයුම සිදු කළ හැකිය - ත්‍රිකෝණයකට බෙදීම (Δ) සහ ඉතිරි කොටස් දෙක (), ආදිය:
ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය ΔAHD ත්රිකෝණයේ ප්රදේශයෙන් අඩකට සමාන වේ ΔALD (ඒවාට පොදු පාදක AD ඇති අතර උස 2 ගුණයකින් වෙනස් වේ), එය අනෙක් අතට, ප්‍රදේශයේ අඩකට සමාන වේ. ත්‍රිකෝණය ΔAKD, සහ එම නිසා ත්රිකෝණයේ ප්රදේශයෙන් අඩක් ΔACD. මේ අනුව, ත්රිකෝණ ΔAHD ප්රදේශය ත්රිකෝණ ΔACD ප්රදේශයෙන් හතරෙන් එකකට සමාන වේ. එලෙසම, ත්රිකෝණයේ ΔDRB වර්ගඵලය ත්රිකෝණයේ ΔDFB වර්ගඵලයෙන් හතරෙන් එකකට සමාන වේ. එබැවින්, ත්රිකෝණ ∆AHD සහ ∆DRB ප්‍රදේශ, එකට ගත් විට, ත්‍රිකෝණය ∆ADB වර්ගඵලයෙන් හතරෙන් එකකට සමාන වේ. AH , HD , DR සහ RB යන කොටස් වලට අදාළ වන පරිදි මෙම මෙහෙයුම පුනරුච්චාරණය කිරීමෙන් ඒවායින් ත්රිකෝණ ද තෝරා ගනු ඇත, එම ප්රදේශය, එකට ගත් විට, ΔAHD සහ ΔDRB යන ත්‍රිකෝණවල ප්රදේශයට වඩා 4 ගුණයකින් අඩු වේ. එකට, සහ එබැවින් ත්රිකෝණයේ ප්රදේශයට වඩා 16 ගුණයකින් අඩුය ΔADB . සහ යනාදි:
මේ අනුව, ආකිමිඩීස් ඔප්පු කළේ "සරල රේඛාවක් සහ පරාබෝලාවක් අතර ඇති සෑම කොටසක්ම එකම පාදයක් සහ සමාන උසකින් යුත් ත්‍රිකෝණයක තුනෙන් හතරක්" බවයි.
