සාමාන්‍ය සංඛ්‍යා සමඟ ක්‍රියාකාරීත්වයේ සාමාන්‍ය කොටස්. භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම

පාඩම් අන්තර්ගතය

සමාන හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීම

භාග එකතු කිරීමේ වර්ග දෙකක් තිබේ:

1. සමාන හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීම
2. විවිධ හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීම

පළමුව, සමාන හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීම ඉගෙන ගනිමු. මෙහි සෑම දෙයක්ම සරලයි. එකම හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීමට, ඔබ ඒවායේ සංඛ්‍යා එකතු කර හරය නොවෙනස්ව තැබිය යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, අපි භාග එකතු කරමු සහ . ඉලක්කම් එකතු කර හරය නොවෙනස්ව තබන්න:

කොටස් හතරකට බෙදා ඇති පීසා මතක තබා ගතහොත් මෙම උදාහරණය පහසුවෙන් තේරුම් ගත හැකිය. ඔබ පීසා වලට පීසා එකතු කළහොත්, ඔබට පීසා ලැබේ:

උදාහරණය 2.භාග එකතු කරන්න සහ .

පිළිතුර නුසුදුසු කොටසක් බවට පත් විය. කාර්යයේ අවසානය පැමිණි විට, නුසුදුසු කොටස් ඉවත් කිරීම සිරිතකි. නුසුදුසු භාගයක් ඉවත් කිරීම සඳහා, ඔබ එහි සම්පූර්ණ කොටස තෝරා ගත යුතුය. අපගේ නඩුවේදී, සම්පූර්ණ කොටස පහසුවෙන් හුදකලා වේ - දෙකක් දෙකකින් බෙදීම එක සමාන වේ:

කොටස් දෙකකට බෙදන පීසා එකක් ගැන මතක් කළොත් මේ උදාහරණය පහසුවෙන් තේරුම් ගන්න පුළුවන්. ඔබ පීසා සඳහා තවත් පීසා එකතු කළහොත්, ඔබට සම්පූර්ණ පීසා එකක් ලැබේ:

උදාහරණය 3. භාග එකතු කරන්න සහ .

නැවතත්, අපි ඉලක්කම් එකතු කර හරය නොවෙනස්ව තබමු:

කොටස් තුනකට බෙදා ඇති පීසා මතක තබා ගතහොත් මෙම උදාහරණය පහසුවෙන් තේරුම් ගත හැකිය. ඔබ පීසා සඳහා තවත් පීසා එකතු කළහොත්, ඔබට පීසා ලැබේ:

උදාහරණය 4.ප්‍රකාශනයක අගය සොයන්න

මෙම උදාහරණය පෙර ඒවාට සමාන ආකාරයකින් විසඳනු ලැබේ. සංඛ්‍යා එකතු කළ යුතු අතර හරය නොවෙනස්ව තැබිය යුතුය:

චිත්රයක් භාවිතයෙන් අපගේ විසඳුම නිරූපණය කිරීමට උත්සාහ කරමු. ඔබ පීසා එකකට පීසා එකතු කර තවත් පීසා එකතු කළහොත් ඔබට සම්පූර්ණ පීසා 1ක් සහ තවත් පීසා ලැබේ.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, එකම හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීමේදී සංකීර්ණ කිසිවක් නොමැත. පහත සඳහන් නීති තේරුම් ගැනීම ප්රමාණවත්ය:

1. එකම හරය සමඟ භාග එකතු කිරීමට, ඔබ ඒවායේ සංඛ්‍යා එකතු කර හරය නොවෙනස්ව තැබිය යුතුය;

විවිධ හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීම

දැන් අපි විවිධ හරයන් සමඟ භාග එකතු කරන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගනිමු. භාග එකතු කරන විට, භාගවල හරයන් සමාන විය යුතුය. නමුත් ඔවුන් සෑම විටම සමාන නොවේ.

උදාහරණයක් ලෙස, භාග එකතු කළ හැක්කේ ඒවාට සමාන හරයන් ඇති බැවිනි.

නමුත් මෙම භාග නිසා වහාම කොටස් එකතු කළ නොහැක විවිධ හරයන්. එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, භාග එකම (පොදු) හරයට අඩු කළ යුතුය.

එකම හරයට භාග අඩු කිරීමට ක්‍රම කිහිපයක් තිබේ. අද අපි ඒවායින් එකක් පමණක් බලමු, මන්ද වෙනත් ක්‍රම ආරම්භකයකුට සංකීර්ණ විය හැකි බැවිනි.

මෙම ක්‍රමයේ සාරය නම් ප්‍රථමයෙන් භාග දෙකෙහිම හරයේ LCM සෙවීමයි. LCM පළමු අතිරේක සාධකය ලබා ගැනීම සඳහා පළමු භාගයේ හරයෙන් බෙදනු ලැබේ. ඔවුන් දෙවන කොටස සමඟද එසේ කරයි - LCM දෙවන භාගයේ හරයෙන් බෙදනු ලබන අතර දෙවන අතිරේක සාධකයක් ලබා ගනී.

භාගවල සංඛ්‍යා සහ හරයන් ඒවායේ අතිරේක සාධක මගින් ගුණ කරනු ලැබේ. මෙම ක්‍රියාවල ප්‍රතිඵලයක් ලෙස විවිධ හරයන් තිබූ භාග එකම හරයන් ඇති භාග බවට පත් වේ. එවැනි භාග එකතු කරන්නේ කෙසේදැයි අපි දැනටමත් දනිමු.

උදාහරණ 1. අපි භාග එකතු කරමු සහ

පළමුවෙන්ම, භාග දෙකෙහිම හරයේ අවම පොදු ගුණාකාරය අපට හමු වේ. පළමු භාගයේ හරය අංක 3 වන අතර දෙවන භාගයේ හරය අංක 2 වේ. මෙම සංඛ්‍යාවල අවම පොදු ගුණාකාරය 6 වේ.

LCM (2 සහ 3) = 6

දැන් අපි නැවත භාග වෙත යමු සහ . පළමුව, පළමු භාගයේ හරයෙන් LCM බෙදන්න සහ පළමු අතිරේක සාධකය ලබා ගන්න. LCM යනු අංක 6 වන අතර, පළමු කොටසෙහි හරය අංක 3 වේ. 6 න් 3 න් බෙදන්න, අපට 2 ලැබේ.

එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන් අංක 2 පළමු අතිරේක ගුණකය වේ. අපි එය පළමු කොටසට ලියන්නෙමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, කොටස මත කුඩා ආනත රේඛාවක් සාදා එයට ඉහළින් ඇති අතිරේක සාධකය ලියන්න:

දෙවන කොටස සමඟ අපි එයම කරන්නෙමු. අපි LCM දෙවන කොටසෙහි හරයෙන් බෙදන අතර දෙවන අතිරේක සාධකය ලබා ගනිමු. LCM යනු අංක 6 වන අතර, දෙවන කොටසෙහි හරය අංක 2 වේ. 6 න් 2 න් බෙදන්න, අපට 3 ලැබේ.

ප්රතිඵලයක් වශයෙන් අංක 3 දෙවන අතිරේක ගුණකය වේ. අපි එය දෙවන කොටසට ලියන්නෙමු. නැවතත්, අපි දෙවන කොටසට වඩා කුඩා ආනත රේඛාවක් සාදා එයට ඉහළින් ඇති අතිරේක සාධකය ලියන්නෙමු:

දැන් අපි එකතු කිරීම සඳහා සියල්ල සූදානම් කර ඇත. භාගවල සංඛ්‍යා සහ හරයන් ඒවායේ අතිරේක සාධක මගින් ගුණ කිරීමට ඉතිරිව ඇත:

අප පැමිණ ඇති දේ දෙස හොඳින් බලන්න. විවිධ හරයන් ඇති භාග එකම හරයන් ඇති භාග බවට පත් වූ බව අපි නිගමනය කළෙමු. එවැනි භාග එකතු කරන්නේ කෙසේදැයි අපි දැනටමත් දනිමු. අපි මෙම උදාහරණය අවසානය දක්වා ගනිමු:

මෙය උදාහරණය සම්පූර්ණ කරයි. එය එකතු කිරීමට හැරෙනවා.

චිත්රයක් භාවිතයෙන් අපගේ විසඳුම නිරූපණය කිරීමට උත්සාහ කරමු. ඔබ පීසා එකකට පීසා එකතු කළහොත්, ඔබට එක් සම්පූර්ණ පීසා එකක් සහ පීසාවලින් හයෙන් පංගුවක් ලැබේ.

භාග එකම (පොදු) හරයට අඩු කිරීම ද පින්තූරයක් භාවිතයෙන් නිරූපණය කළ හැක. භාග අඩු කිරීම පොදු හරය, අපට භාග සහ . මෙම කොටස් දෙක එකම පීසා කෑලි වලින් නියෝජනය වේ. එකම වෙනස වන්නේ මෙවර ඒවා සමාන කොටස් වලට බෙදීම (එකම හරයට අඩු කිරීම) පමණි.

පළමු චිත්‍රයෙන් කොටසක් නියෝජනය කරයි (හයෙන් කෑලි හතරක්), දෙවන චිත්‍රය නියෝජනය කරන්නේ භාග (හයෙන් කෑලි තුනක්) ය. මෙම කෑලි එකතු කිරීම අපි ලබා ගනිමු (හයෙන් කෑලි හතක්). මෙම කොටස නුසුදුසුය, එබැවින් අපි එහි සම්පූර්ණ කොටස උද්දීපනය කළෙමු. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි (එක් සම්පූර්ණ පීසා සහ තවත් හයවන පීසා) ලබා ගත්තා.

අපි විස්තර කර ඇති බව කරුණාවෙන් සලකන්න මෙම උදාහරණයවිස්තර වැඩියි. තුල අධ්යාපන ආයතනඑතරම් විස්තරාත්මකව ලිවීම සිරිතක් නොවේ. ඔබට හරස් දෙකෙහිම LCM සහ ඒවාට අමතර සාධක ඉක්මනින් සොයා ගැනීමට හැකි විය යුතුය, එසේම සොයාගත් අමතර සාධක ඔබේ සංඛ්‍යා සහ හරයන් මගින් ඉක්මනින් ගුණ කළ යුතුය. අපි ඉස්කෝලේ හිටියා නම් මේ උදාහරණය මෙහෙම ලියන්න වෙනවා.

ඒත් එහෙමත් තියෙනවා පිටුපස පැත්තපදක්කම්. ඔබ ගණිතය හැදෑරීමේ පළමු අදියරේදී සවිස්තරාත්මක සටහන් නොගන්නේ නම්, එම ආකාරයේ ප්රශ්න මතු වීමට පටන් ගනී. “එම අංකය පැමිණෙන්නේ කොහෙන්ද?”, “භාග හදිසියේම සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් භාග බවට පත්වන්නේ ඇයි? «.

විවිධ හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීම පහසු කිරීම සඳහා, ඔබට පහත පියවරෙන් පියවර උපදෙස් භාවිතා කළ හැකිය:

1. භාගවල හරවල LCM සොයා ගන්න;
2. එක් එක් කොටසෙහි හරයෙන් LCM බෙදීම සහ එක් එක් කොටස සඳහා අතිරේක සාධකයක් ලබා ගැනීම;
3. භාගවල සංඛ්‍යා සහ හරයන් ඒවායේ අතිරේක සාධක මගින් ගුණ කරන්න;
4. එකම හරයන් ඇති භාග එකතු කරන්න;
5. පිළිතුර නුසුදුසු කොටසක් බවට පත් වුවහොත්, එහි සම්පූර්ණ කොටස තෝරන්න;

උදාහරණය 2.ප්‍රකාශනයක අගය සොයන්න .

ඉහත දක්වා ඇති උපදෙස් භාවිතා කරමු.

පියවර 1. භාගවල හරවල LCM සොයා ගන්න

භාග දෙකෙහිම හරවල LCM සොයන්න. භාගවල හරයන් වන්නේ අංක 2, 3 සහ 4 ය

පියවර 2. එක් එක් කොටසෙහි හරයෙන් LCM බෙදන්න සහ එක් එක් කොටස සඳහා අමතර සාධකයක් ලබා ගන්න

පළමු භාගයේ හරයෙන් LCM බෙදන්න. LCM යනු අංක 12 වන අතර, පළමු භාගයේ හරය අංක 2 වේ. 12 න් 2 න් බෙදන්න, අපට 6 ලැබේ. අපට පළමු අතිරේක සාධකය 6 ලැබේ. අපි එය පළමු භාගයට ඉහළින් ලියන්නෙමු:

දැන් අපි LCM දෙවන භාගයේ හරයෙන් බෙදන්නෙමු. LCM යනු අංක 12 වන අතර, දෙවන කොටසෙහි හරය අංක 3 වේ. 12 න් 3 න් බෙදන්න, අපට 4 ලැබේ. අපට දෙවන අතිරේක සාධකය 4 ලැබේ. අපි එය දෙවන කොටසට ඉහළින් ලියන්නෙමු:

දැන් අපි LCM එක තුන්වෙනි කොටසේ හරයෙන් බෙදනවා. LCM යනු අංක 12 වන අතර, තුන්වන කොටසෙහි හරය අංක 4 වේ. 12 න් 4 න් බෙදන්න, අපට 3 ලැබේ. අපට තුන්වන අතිරේක සාධකය 3 ලැබේ. අපි එය තුන්වන කොටසට ඉහළින් ලියන්නෙමු:

පියවර 3. භාගවල සංඛ්‍යා සහ හරයන් ඒවායේ අතිරේක සාධක මගින් ගුණ කරන්න

අපි සංඛ්‍යා සහ හරයන් ඒවායේ අතිරේක සාධක මගින් ගුණ කරමු:

පියවර 4. එකම හරයන් සමඟ භාග එකතු කරන්න

විවිධ හරයන් ඇති භාග එකම (පොදු) හරයන් ඇති භාග බවට පත් වූ බව අපි නිගමනය කළෙමු. ඉතිරිව ඇත්තේ මෙම කොටස් එකතු කිරීම පමණි. එය එකතු කරන්න:

එකතු කිරීම එක් පේළියකට නොගැලපෙන නිසා අපි ඉතිරි ප්‍රකාශනය ඊළඟ පේළියට ගෙන ගියෙමු. මෙය ගණිතයේ අවසර ඇත. ප්‍රකාශනයක් එක් පේළියකට නොගැලපෙන විට, එය ඊළඟ පේළියට ගෙන යන අතර, පළමු පේළියේ අවසානයේ සහ නව පේළියේ ආරම්භයේ සමාන ලකුණක් (=) දැමීම අවශ්‍ය වේ. දෙවන පේළියේ සමාන ලකුණ පෙන්නුම් කරන්නේ මෙය පළමු පේළියේ තිබූ ප්‍රකාශනයේ අඛණ්ඩ පැවැත්මක් බවයි.

පියවර 5. පිළිතුර නුසුදුසු කොටසක් බවට පත් වුවහොත්, එහි සම්පූර්ණ කොටස තෝරන්න

අපගේ පිළිතුර නුසුදුසු කොටසක් බවට පත් විය. අපි එහි සම්පූර්ණ කොටසක් ඉස්මතු කළ යුතුයි. අපි අවධාරණය කරන්නේ:

අපට පිළිතුරක් ලැබුණා

සමාන හරයන් සමඟ භාග අඩු කිරීම

භාග අඩු කිරීමේ වර්ග දෙකක් තිබේ:

1. සමාන හරයන් සමඟ භාග අඩු කිරීම
2. විවිධ හරයන් සහිත භාග අඩු කිරීම

පළමුව, සමාන හරයන් සමඟ භාග අඩු කරන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගනිමු. මෙහි සෑම දෙයක්ම සරලයි. එක් භාගයකින් තවත් කොටසක් අඩු කිරීම සඳහා, ඔබ පළමු භාගයේ සංඛ්‍යාංකයෙන් දෙවන භාගයේ සංඛ්‍යාංකය අඩු කළ යුතුය, නමුත් හරය එලෙසම තබන්න.

උදාහරණයක් ලෙස, ප්‍රකාශනයේ අගය සොයා ගනිමු. මෙම උදාහරණය විසඳීම සඳහා, ඔබ පළමු භාගයේ සංඛ්‍යාංකයෙන් දෙවන භාගයේ සංඛ්‍යාංකය අඩු කළ යුතු අතර, හරය නොවෙනස්ව තබන්න. අපි මෙහෙම කරමු.

කොටස් හතරකට බෙදා ඇති පීසා මතක තබා ගතහොත් මෙම උදාහරණය පහසුවෙන් තේරුම් ගත හැකිය. ඔබ පීසා එකකින් පීසා කපා ගන්නේ නම්, ඔබට පීසා ලැබේ:

උදාහරණය 2.ප්රකාශනයේ අගය සොයන්න.

නැවතත්, පළමු භාගයේ සංඛ්‍යාංකයෙන්, දෙවන භාගයේ සංඛ්‍යාංකය අඩු කර, හරය නොවෙනස්ව තබන්න:

කොටස් තුනකට බෙදා ඇති පීසා මතක තබා ගතහොත් මෙම උදාහරණය පහසුවෙන් තේරුම් ගත හැකිය. ඔබ පීසා එකකින් පීසා කපා ගන්නේ නම්, ඔබට පීසා ලැබේ:

උදාහරණය 3.ප්‍රකාශනයක අගය සොයන්න

මෙම උදාහරණය පෙර ඒවාට සමාන ආකාරයකින් විසඳනු ලැබේ. පළමු භාගයේ සංඛ්‍යාංකයෙන් ඔබට ඉතිරි භාගවල සංඛ්‍යා අඩු කළ යුතුය:

ඔබට පෙනෙන පරිදි, එකම හරයන් සමඟ භාග අඩු කිරීම පිළිබඳ සංකීර්ණ කිසිවක් නොමැත. පහත සඳහන් නීති තේරුම් ගැනීම ප්රමාණවත්ය:

1. එක් භාගයකින් තවත් කොටසක් අඩු කිරීමට, ඔබ පළමු භාගයේ සංඛ්‍යාංකයෙන් දෙවන භාගයේ සංඛ්‍යාංකය අඩු කළ යුතු අතර, හරය නොවෙනස්ව තබන්න;
2. පිළිතුර නුසුදුසු කොටසක් බවට පත් වුවහොත්, ඔබ එහි සම්පූර්ණ කොටස ඉස්මතු කළ යුතුය.

විවිධ හරයන් සහිත භාග අඩු කිරීම

උදාහරණයක් ලෙස, භාගවල එකම හරයන් ඇති බැවින් ඔබට භාගයකින් කොටසක් අඩු කළ හැකිය. නමුත් මෙම භාගවලට විවිධ හරයන් ඇති බැවින් ඔබට භාගයකින් කොටසක් අඩු කළ නොහැක. එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, භාග එකම (පොදු) හරයට අඩු කළ යුතුය.

විවිධ හරයන් සමඟ භාග එකතු කිරීමේදී අප භාවිතා කළ මූලධර්මයම භාවිතා කරමින් පොදු හරය සොයා ගනී. පළමුවෙන්ම, භාග දෙකෙහිම හරයේ LCM සොයා ගන්න. එවිට LCM පළමු භාගයේ හරයෙන් බෙදනු ලබන අතර පළමු අතිරේක සාධකය ලබා ගනී, එය පළමු භාගයට ඉහළින් ලියා ඇත. ඒ හා සමානව, LCM දෙවන භාගයේ හරයෙන් බෙදනු ලබන අතර දෙවන අතිරේක සාධකයක් ලබා ගනී, එය දෙවන කොටසට ඉහලින් ලියා ඇත.

එවිට භාග ඒවායේ අතිරේක සාධක මගින් ගුණ කරනු ලැබේ. මෙම මෙහෙයුම්වල ප්‍රතිඵලයක් ලෙස විවිධ හරයන් ඇති භාග එකම හරයන් ඇති භාග බවට පරිවර්තනය වේ. එවැනි භාග අඩු කරන්නේ කෙසේදැයි අපි දැනටමත් දනිමු.

උදාහරණ 1.ප්රකාශනයේ අර්ථය සොයන්න:

මෙම භාගවලට විවිධ හරයන් ඇත, එබැවින් ඔබ ඒවා එකම (පොදු) හරයට අඩු කළ යුතුය.

මුලින්ම අපි භාග දෙකේම හරවල LCM සොයා ගනිමු. පළමු භාගයේ හරය අංක 3 වන අතර දෙවන භාගයේ හරය අංක 4 වේ. මෙම සංඛ්‍යාවල අවම පොදු ගුණාකාරය 12 වේ.

LCM (3 සහ 4) = 12

දැන් අපි නැවත භාග වෙත යමු

පළමු කොටස සඳහා අතිරේක සාධකයක් සොයා ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පළමු භාගයේ හරයෙන් LCM බෙදන්න. LCM යනු අංක 12 වන අතර, පළමු භාගයේ හරය අංක 3 වේ. 12 න් 3 න් බෙදන්න, අපට 4 ලැබේ. පළමු කොටසට ඉහළින් හතරක් ලියන්න:

දෙවන කොටස සමඟ අපි එයම කරන්නෙමු. දෙවන භාගයේ හරයෙන් LCM බෙදන්න. LCM යනු අංක 12 වන අතර, දෙවන කොටසෙහි හරය අංක 4 වේ. 12 න් 4 න් බෙදන්න, අපට 3 ලැබේ. දෙවන කොටසට වඩා තුනක් ලියන්න:

දැන් අපි අඩු කිරීම සඳහා සූදානම්. භාග ඒවායේ අතිරේක සාධක මගින් ගුණ කිරීමට ඉතිරිව ඇත:

විවිධ හරයන් ඇති භාග එකම හරයන් ඇති භාග බවට පත් වූ බව අපි නිගමනය කළෙමු. එවැනි භාග අඩු කරන්නේ කෙසේදැයි අපි දැනටමත් දනිමු. අපි මෙම උදාහරණය අවසානය දක්වා ගනිමු:

අපට පිළිතුරක් ලැබුණා

චිත්රයක් භාවිතයෙන් අපගේ විසඳුම නිරූපණය කිරීමට උත්සාහ කරමු. පීසා එකකින් පීසා කැපුවොත් පීසා ලැබෙනවා

විසඳුමේ සවිස්තරාත්මක අනුවාදය මෙයයි. අපි ඉස්කෝලේ හිටියා නම් මේ උදාහරණය කෙටියෙන් විසඳන්න වෙනවා. එවැනි විසඳුමක් මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:

භාග පොදු හරයකට අඩු කිරීම ද පින්තූරයක් භාවිතයෙන් නිරූපණය කළ හැක. මෙම භාග පොදු හරයකට අඩු කිරීමෙන්, අපට භාග සහ . මෙම කොටස් එකම පීසා පෙති වලින් නියෝජනය කරනු ඇත, නමුත් මෙවර ඒවා සමාන කොටස් වලට බෙදනු ඇත (එකම හරයට අඩු කර ඇත):

පළමු පින්තූරයෙන් කොටසක් (කෑලි දොළහෙන් අටක්) පෙන්නුම් කරයි, සහ දෙවන පින්තූරයේ කොටසක් (දොළහෙන් කෑලි තුනක්) පෙන්වයි. කෑලි අටකින් කෑලි තුනක් කපා දැමීමෙන්, අපි දොළහෙන් කෑලි පහක් ලබා ගනිමු. කොටස මෙම කොටස් පහ විස්තර කරයි.

උදාහරණය 2.ප්‍රකාශනයක අගය සොයන්න

මෙම භාගවලට විවිධ හරයන් ඇත, එබැවින් පළමුව ඔබ ඒවා එකම (පොදු) හරයට අඩු කළ යුතුය.

අපි මෙම භාගවල හරවල LCM සොයා ගනිමු.

භාගවල හරයන් වන්නේ අංක 10, 3 සහ 5 ය. මෙම සංඛ්‍යාවල අවම පොදු ගුණාකාරය 30 වේ.

LCM(10, 3, 5) = 30

දැන් අපි එක් එක් කොටස සඳහා අමතර සාධක සොයා ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, එක් එක් කොටසෙහි හරයෙන් LCM බෙදන්න.

පළමු කොටස සඳහා අතිරේක සාධකයක් සොයා ගනිමු. LCM යනු අංක 30 වන අතර, පළමු කොටසෙහි හරය අංක 10 වේ. 30 න් 10 න් බෙදන්න, අපට පළමු අතිරේක සාධකය 3 ලැබේ. අපි එය පළමු කොටසට ඉහළින් ලියන්නෙමු:

දැන් අපි දෙවන කොටස සඳහා අතිරේක සාධකයක් සොයා ගනිමු. LCM දෙවන භාගයේ හරයෙන් බෙදන්න. LCM යනු අංක 30 වන අතර, දෙවන කොටසෙහි හරය අංක 3 වේ. 30 න් 3 න් බෙදන්න, අපට දෙවන අතිරේක සාධකය 10 ලැබේ. අපි එය දෙවන කොටසට ඉහළින් ලියන්නෙමු:

දැන් අපි තුන්වන කොටස සඳහා අතිරේක සාධකයක් සොයා ගනිමු. තුන්වන කොටසෙහි හරයෙන් LCM බෙදන්න. LCM යනු අංක 30 වන අතර, තුන්වන කොටසෙහි හරය අංක 5 වේ. 30 න් 5 න් බෙදන්න, අපට තුන්වන අතිරේක සාධකය 6 ලැබේ. අපි එය තුන්වන කොටසට ඉහළින් ලියන්නෙමු:

දැන් සියල්ල අඩු කිරීමට සූදානම්. භාග ඒවායේ අතිරේක සාධක මගින් ගුණ කිරීමට ඉතිරිව ඇත:

විවිධ හරයන් ඇති භාග එකම (පොදු) හරයන් ඇති භාග බවට පත් වූ බව අපි නිගමනය කළෙමු. එවැනි භාග අඩු කරන්නේ කෙසේදැයි අපි දැනටමත් දනිමු. අපි මේ උදාහරණය අවසන් කරමු.

උදාහරණයේ අඛණ්ඩ පැවැත්ම එක් පේළියකට නොගැලපේ, එබැවින් අපි ඊළඟ පේළියට ඉදිරියට යන්නෙමු. නව රේඛාවේ සමාන ලකුණ (=) ගැන අමතක නොකරන්න:

පිළිතුර නිත්‍ය කොටසක් බවට පත් වූ අතර සෑම දෙයක්ම අපට ගැලපෙන බව පෙනේ, නමුත් එය ඉතා අපහසු සහ කැතයි. අපි එය සරල කළ යුතුයි. කළ හැක්කේ කුමක්ද? ඔබට මෙම කොටස කෙටි කළ හැකිය.

කොටසක් අඩු කිරීම සඳහා, ඔබ එහි සංඛ්‍යාව සහ හරය 20 සහ 30 සංඛ්‍යාවලින් (GCD) බෙදිය යුතුය.

ඉතින්, අපි අංක 20 සහ 30 හි gcd සොයා ගනිමු:

දැන් අපි අපගේ උදාහරණයට ආපසු ගොස් භාගයේ සංඛ්‍යාව සහ හරය සොයාගත් gcd මගින් බෙදන්නෙමු, එනම් 10 න්

අපට පිළිතුරක් ලැබුණා

අංකයකින් භාගයක් ගුණ කිරීම

භාගයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමට, ඔබ එම සංඛ්‍යාවෙන් භාගයේ සංඛ්‍යාංකය ගුණ කර හරය එලෙසම තැබිය යුතුය.

උදාහරණ 1. භාගයක් අංක 1න් ගුණ කරන්න.

භාගයේ සංඛ්‍යාංකය අංක 1න් ගුණ කරන්න

පටිගත කිරීම අර්ධ 1 වතාවක් ගතවන බව තේරුම් ගත හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබ එක් වරක් පීසා ගත්තොත්, ඔබට පීසා ලැබේ

ගුණ කිරීමේ නීති වලින් අපි දන්නවා ගුණකය සහ සාධකය මාරු කළහොත් නිෂ්පාදනය වෙනස් නොවන බව. ප්රකාශනය ලෙස ලියා ඇත්නම්, නිෂ්පාදිතය තවමත් සමාන වනු ඇත. නැවතත්, සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් සහ භාගයක් ගුණ කිරීමේ රීතිය ක්‍රියා කරයි:

මෙම අංකනය එකකින් අඩක් ගැනීම ලෙස තේරුම් ගත හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, සම්පූර්ණ පීසා 1 ක් තිබේ නම් සහ අපි එයින් අඩක් ගන්නේ නම්, අපට පීසා ලැබෙනු ඇත:

උදාහරණ 2. ප්‍රකාශනයක අගය සොයන්න

භාගයේ සංඛ්‍යාංකය 4න් ගුණ කරන්න

පිළිතුර නුසුදුසු කොටසකි. අපි එහි සම්පූර්ණ කොටස ඉස්මතු කරමු:

ප්‍රකාශනය කාර්තු දෙකකින් 4 වතාවක් ගන්නා ලෙස තේරුම් ගත හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබ පීසා 4 ක් ගතහොත්, ඔබට සම්පූර්ණ පීසා දෙකක් ලැබෙනු ඇත

තවද අපි ගුණකය සහ ගුණකය මාරු කළහොත් අපට ප්‍රකාශනය ලැබේ. එය 2 ට සමාන වනු ඇත. මෙම ප්‍රකාශනය සම්පූර්ණ පීසා හතරකින් පීසා දෙකක් ගැනීම ලෙස තේරුම් ගත හැක:

භාග ගුණ කිරීම

භාග ගුණ කිරීම සඳහා, ඔබ ඒවායේ සංඛ්‍යා සහ හරයන් ගුණ කළ යුතුය. පිළිතුර නුසුදුසු කොටසක් බවට පත් වුවහොත්, ඔබ එහි සම්පූර්ණ කොටස ඉස්මතු කළ යුතුය.

උදාහරණ 1.ප්රකාශනයේ අගය සොයන්න.

අපට පිළිතුරක් ලැබුණා. මෙම කොටස අඩු කිරීම යෝග්ය වේ. භාගය 2 කින් අඩු කළ හැක. එවිට අවසන් තීරණයපහත පෝරමය ගනු ඇත:

ප්‍රකාශනය පීසා භාගයකින් පීසා ගැනීමක් ලෙස වටහා ගත හැකිය. අපි හිතමු අපිට පීසා භාගයක් තියෙනවා කියලා.

මේ භාගයෙන් තුනෙන් දෙක ගන්නේ කොහොමද? පළමුව ඔබ මෙම භාගය සමාන කොටස් තුනකට බෙදිය යුතුය:

මෙම කොටස් තුනෙන් දෙකක් ගන්න:

අපි පීසා හදමු. කොටස් තුනකට බෙදූ විට පීසා මොන වගේද කියා මතක තබා ගන්න:

මෙම පීසා එක කෑල්ලක් සහ අප ගත් කෑලි දෙක එකම මානයන් ඇත:

වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අපි එකම ප්රමාණයේ පීසා ගැන කතා කරමු. එබැවින් ප්රකාශනයේ වටිනාකම වේ

උදාහරණ 2. ප්‍රකාශනයක අගය සොයන්න

පළමු භාගයේ සංඛ්‍යාංකය දෙවන භාගයේ සංඛ්‍යාවෙන්ද, පළමු භාගයේ හරය දෙවන භාගයේ හරයෙන්ද ගුණ කරන්න:

පිළිතුර නුසුදුසු කොටසකි. අපි එහි සම්පූර්ණ කොටස ඉස්මතු කරමු:

උදාහරණය 3.ප්‍රකාශනයක අගය සොයන්න

පළමු භාගයේ සංඛ්‍යාංකය දෙවන භාගයේ සංඛ්‍යාවෙන්ද, පළමු භාගයේ හරය දෙවන භාගයේ හරයෙන්ද ගුණ කරන්න:

පිළිතුර නිත්‍ය කොටස බවට පත් වූ නමුත් එය කෙටි කළහොත් හොඳයි. මෙම කොටස අඩු කිරීම සඳහා, ඔබ මෙම භාගයේ සංඛ්‍යාව සහ හරය විශාලතම කොටසින් බෙදිය යුතුය. පොදු බෙදුම්කරු(GCD) අංක 105 සහ 450.

එබැවින්, අංක 105 සහ 450 හි gcd සොයා ගනිමු:

දැන් අපි අපේ පිළිතුරේ සංඛ්‍යාව සහ හරය අපි දැනට සොයාගෙන ඇති gcd එකෙන්, එනම් 15 න් බෙදන්නෙමු.

පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් කොටසක් ලෙස නියෝජනය කිරීම

ඕනෑම සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් භාග වශයෙන් නිරූපණය කළ හැක. උදාහරණයක් ලෙස, අංක 5 ලෙස දැක්විය හැක. මෙය පහේ තේරුම වෙනස් නොකරනු ඇත, ප්‍රකාශනයේ තේරුම “එකකින් බෙදූ සංඛ්‍යාව පහ” වන අතර මෙය අප දන්නා පරිදි පහට සමාන වේ:

අන්යෝන්ය සංඛ්යා

දැන් අපි ඉතා හොඳින් දැන හඳුනා ගන්නෙමු රසවත් මාතෘකාවක්ගණිතය තුළ. එය "ප්‍රතිලෝම සංඛ්‍යා" ලෙස හැඳින්වේ.

අර්ථ දැක්වීම. අංකයට ආපසු යන්නඒ ගුණ කළ විට අංකයකිඒ එකක් දෙනවා.

විචල්‍යය වෙනුවට මෙම අර්ථ දැක්වීම ආදේශ කරමු ඒඅංක 5 සහ අර්ථ දැක්වීම කියවීමට උත්සාහ කරන්න:

අංකයට ආපසු යන්න 5 ගුණ කළ විට අංකයකි 5 එකක් දෙනවා.

5න් ගුණ කළ විට එකක් ලැබෙන සංඛ්‍යාවක් සොයාගත හැකිද? එය හැකි බව හැරෙනවා. අපි පහක් කොටසක් ලෙස සිතමු:

ඉන්පසු මෙම භාගය තනිවම ගුණ කරන්න, ඉලක්කම් සහ හරය මාරු කරන්න. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අපි කොටස තනිවම ගුණ කරමු, උඩු යටිකුරු කරන්න:

මෙහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන් කුමක් සිදුවේද? අපි මෙම උදාහරණය දිගටම විසඳන්නේ නම්, අපට එකක් ලැබේ:

මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඔබ 5 න් ගුණ කළ විට ඔබට එකක් ලැබෙන බැවින් අංක 5 හි ප්‍රතිලෝමය අංකය වන බවයි.

වෙනත් ඕනෑම නිඛිලයක් සඳහා සංඛ්‍යාවක ප්‍රතිවර්තකය ද සොයාගත හැකිය.

ඔබට වෙනත් ඕනෑම කොටසක අන්‍යෝන්‍ය අගය ද සොයාගත හැකිය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, එය පෙරළන්න.

අංකයකින් කොටසක් බෙදීම

අපි හිතමු අපිට පීසා භාගයක් තියෙනවා කියලා.

අපි එය දෙකට සමානව බෙදා ගනිමු. එක් පුද්ගලයෙකුට කොපමණ පීසා ලැබේද?

පීසා භාගයක් බෙදීමෙන් පසු සමාන කෑලි දෙකක් ලබා ගත් බව පෙනේ, ඒ සෑම එකක්ම පීසා එකක් වේ. ඉතින් හැමෝටම පීසා ලැබෙනවා.

භාග බෙදීම ප්‍රත්‍යාවර්තක භාවිතයෙන් සිදු කෙරේ. අන්යෝන්ය සංඛ්යා ඔබට ගුණ කිරීම සමඟ බෙදීම ප්රතිස්ථාපනය කිරීමට ඉඩ සලසයි.

භාගයක් සංඛ්‍යාවකින් බෙදීමට, ඔබ බෙදුම්කරුගේ ප්‍රතිලෝමයෙන් භාගය ගුණ කළ යුතුය.

මෙම රීතිය භාවිතා කරමින්, අපි අපේ පීසා භාගය කොටස් දෙකකට බෙදන්නෙමු.

එබැවින්, ඔබ කොටස අංක 2 න් බෙදිය යුතුය. මෙහි ලාභාංශය යනු භාගය වන අතර භාජකය යනු අංක 2 වේ.

භාගයක් අංක 2 න් බෙදීමට, ඔබ මෙම භාගය බෙදුම්කරුගේ ප්‍රතිව්‍යුහයෙන් ගුණ කළ යුතුය 2. බෙදුම්කරු 2 හි ප්‍රතිවර්තකය යනු භාගයයි. එබැවින් ඔබ ගුණ කළ යුතුය

භාග පොදු සහ දශම වේ. ශිෂ්‍යයෙකු දෙවැන්නෙහි පැවැත්ම ගැන ඉගෙන ගත් විට, මෙය අවශ්‍ය නොවූවත්, සෑම අවස්ථාවකදීම හැකි සෑම දෙයක්ම දශම ආකාරයෙන් පරිවර්තනය කිරීමට පටන් ගනී.

පුදුමයට කරුණක් නම්, උසස් පාසල් සහ විද්‍යාල සිසුන් අතර මනාපයන් වෙනස් වේ, මන්ද සාමාන්‍ය භාග සමඟ බොහෝ ගණිතමය මෙහෙයුම් සිදු කිරීම පහසු බැවිනි. සමහර විට උපාධිධාරීන් ගනුදෙනු කරන අගයන් අලාභයකින් තොරව දශම ආකාරයෙන් පරිවර්තනය කිරීම සරලවම කළ නොහැක. එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, භාග වර්ග දෙකම එක් ආකාරයකින් හෝ වෙනත් ආකාරයකින් කාර්යයට අනුවර්තනය වන අතර ඒවායේ වාසි සහ අවාසි ඇත. ඔවුන් සමඟ වැඩ කරන්නේ කෙසේදැයි බලමු.

අර්ථ දැක්වීම

කොටස් කොටස් වලට සමාන වේ. තැඹිලි ගෙඩියක කොටස් දහයක් තිබේ නම්, ඔබට එකක් ලබා දුන්නේ නම්, ඔබේ අතේ පලතුරු වලින් 1/10 ක් ඇත. පෙර වාක්‍යයේ මෙන් ලියා ඇති විට, භාගය සාමාන්‍ය භාගයක් ලෙස හැඳින්වේ. ඔබ 0.1 ලෙස එකම දේ ලියන්නේ නම් - දශම. විකල්ප දෙකම සමාන වේ, නමුත් ඒවායේ වාසි ඇත. පළමු විකල්පය ගුණ කිරීම සහ බෙදීම සඳහා වඩාත් පහසු වේ, දෙවැන්න එකතු කිරීම, අඩු කිරීම සහ වෙනත් අවස්ථා ගණනාවකදී.

කොටසක් වෙනත් ආකාරයකට පරිවර්තනය කරන්නේ කෙසේද

ඔබ සතුව ඇතැයි උපකල්පනය කරමු පොදු කොටස, සහ ඔබට එය දශමයක් කිරීමට අවශ්‍යයි. මා කළ යුත්තේ කුමක්ද?

මාර්ගය වන විට, ගැටළු නොමැතිව සෑම අංකයක්ම දශම ආකාරයෙන් ලිවිය නොහැකි බව ඔබ කල්තියා තීරණය කළ යුතුය. සමහර විට ඔබට ප්‍රති result ලය වට කළ යුතු අතර, නිශ්චිත දශම ස්ථාන සංඛ්‍යාවක් අහිමි වන අතර, බොහෝ ක්ෂේත්‍රවල - උදාහරණයක් ලෙස, නිශ්චිත විද්‍යාවන්හි - මෙය සම්පූර්ණයෙන්ම දැරිය නොහැකි සුඛෝපභෝගීත්වයකි. ඒ අතරම, 5 වන ශ්‍රේණියේ දශම සහ සාමාන්‍ය භාග සහිත මෙහෙයුම් මගින් අවම වශයෙන් පුහුණුවක් ලෙස බාධාවකින් තොරව එවැනි මාරු කිරීමක් එක් වර්ගයකින් තවත් වර්ගයකට සිදු කිරීමට හැකි වේ.

නිඛිලයකින් ගුණ කිරීමෙන් හෝ බෙදීමෙන් හරයෙන් 10 ගුණාකාර අගයක් ලබා ගත හැකි නම්, පරිවර්තනය කිසිදු දුෂ්කරතාවයකින් තොරව සිදුවනු ඇත: ¾ 0.75, 13/20 0.65 බවට හැරේ.

ප්‍රතිලෝම ක්‍රියා පටිපාටිය ඊටත් වඩා සරල ය, මන්ද ඔබට සෑම විටම දශම භාගයකින් සාමාන්‍ය භාගයක් නිරවද්‍යතාවයෙන් තොරව ලබා ගත හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, 0.2 1/5 බවට පත් වන අතර 0.08 4/25 බවට පත් වේ.

අභ්යන්තර පරිවර්තනයන්

සාමාන්‍ය භාග සමඟ ඒකාබද්ධ මෙහෙයුම් සිදු කිරීමට පෙර, ඔබට හැකි ගණිතමය මෙහෙයුම් සඳහා අංක සකස් කළ යුතුය.

පළමුවෙන්ම, ඔබ උදාහරණයේ ඇති සියලුම කොටස් එක් පොදු ස්වරූපයකට ගෙන ආ යුතුය. ඒවා සාමාන්‍ය හෝ දශම විය යුතුය. පළමුවැන්න සමඟ ගුණ කිරීම සහ බෙදීම සිදු කිරීම වඩාත් පහසු බව වහාම වෙන්කරවා ගනිමු.

සඳහා අංක සකස් කිරීමේදී ඉදිරි ක්රියාවන්විෂයය හැදෑරීමේ මුල් වසරවල සහ විශ්ව විද්‍යාලවල ඉගෙන ගන්නා උසස් ගණිතය යන දෙකෙහිම දන්නා සහ භාවිතා කරන රීතියක් ඔබට උපකාරී වනු ඇත.

භාගවල ගුණ

ඔබට යම් වටිනාකමක් ඇතැයි කියමු. අපි 2/3 කියමු. ඔබ අංකනය සහ හරය 3න් ගුණ කළහොත් වෙනස් වන්නේ කුමක්ද? එය 6/9 බවට හැරෙනු ඇත. එය මිලියනයක් නම්? 2000000/3000000. නමුත් රැඳී සිටින්න, අංකය ගුණාත්මකව වෙනස් නොවේ - 2/3 2000000/3000000 ට සමාන වේ. පෝරමය පමණක් වෙනස් වේ, නමුත් අන්තර්ගතය වෙනස් නොවේ. දෙපැත්තම එකම අගයකින් බෙදූ විට එකම දේ සිදු වේ. භාගවල ප්‍රධාන දේපල මෙය වන අතර, පරීක්ෂණ සහ විභාගවලදී දශම සහ සාමාන්‍ය භාග සමඟ මෙහෙයුම් සිදු කිරීමට ඔබට නැවත නැවතත් උපකාර වනු ඇත.

එම සංඛ්‍යාව සහ හරය එකම සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම භාග ප්‍රසාරණය ලෙසද බෙදීම අඩු කිරීම ලෙසද හැඳින්වේ. භාග ගුණ කිරීමේදී සහ බෙදීමේදී ඉහළ සහ පහළින් සමාන සංඛ්‍යා හරස් කිරීම පුදුම සහගත ප්‍රසන්න ක්‍රියා පටිපාටියක් බව පැවසිය යුතුය (ඇත්ත වශයෙන්ම ගණිත පාඩමක් තුළ). පිළිතුර දැනටමත් සමීප වන අතර උදාහරණය ප්‍රායෝගිකව විසඳා ඇති බව පෙනේ.

නුසුදුසු කොටස්

අනිසි භාගයක් යනු සංඛ්‍යාව හරයට වඩා වැඩි හෝ සමාන වන එකකි. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සම්පූර්ණ කොටසක් එයින් හුදකලා කළ හැකි නම්, එය මෙම නිර්වචනය යටතට වැටේ.

එවැනි සංඛ්‍යාවක් (එකකට වඩා වැඩි හෝ සමාන) සාමාන්‍ය භාගයක් ලෙස ඉදිරිපත් කරන්නේ නම්, එය නුසුදුසු භාගයක් ලෙස හැඳින්වේ. සහ අංකනය නම් හරයට වඩා අඩුය- නිවැරදි. සාමාන්‍ය භාග සමඟ කළ හැකි මෙහෙයුම් සිදු කරන විට වර්ග දෙකම එකසේ පහසු වේ. ඒවා පහසුවෙන් ගුණ කිරීමට හා බෙදීමට, එකතු කිරීමට සහ අඩු කිරීමට හැකිය.

මුළු කොටසම එකවර තෝරාගෙන භාගික ආකාරයෙන් ඉතිරියක් තිබේ නම්, ලැබෙන අංකය මිශ්ර ලෙස හැඳින්වේ. අනාගතයේදී ඔබට හමුවනු ඇත විවිධ ක්රමවිචල්‍යයන් සමඟ එවැනි ව්‍යුහයන්ගේ සංයෝජන මෙන්ම මෙම දැනුම අවශ්‍ය වන සමීකරණ විසඳීම.

අංක ගණිත මෙහෙයුම්

භාගයක මූලික ගුණයෙන් සියල්ල පැහැදිලි නම්, භාග ගුණ කිරීමේදී හැසිරෙන්නේ කෙසේද? 5 ශ්‍රේණියේ සාමාන්‍ය භාග සහිත මෙහෙයුම් විවිධ ආකාර දෙකකින් සිදු කරන සියලු වර්ගවල අංක ගණිත මෙහෙයුම් ඇතුළත් වේ.

ගුණ කිරීම සහ බෙදීම ඉතා සරල ය. පළමු අවස්ථාවේ දී, භාග දෙකක සංඛ්යා සහ හරයන් සරලව ගුණ කරනු ලැබේ. දෙවැන්නෙහි - එකම දෙය, හරස් අතට පමණි. මේ අනුව, පළමු භාගයේ සංඛ්යාංකය දෙවන කොටසේ හරයෙන් ගුණ කරනු ලැබේ, සහ අනෙක් අතට.

එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ අතිරේක ක්රියාවක් සිදු කළ යුතුය - ප්රකාශනයේ සියලුම සංරචක පොදු හරයකට ගෙන එන්න. මෙයින් අදහස් කරන්නේ භාගවල පහළ කොටස් එකම අගයකට වෙනස් කළ යුතු බවයි - පවතින හර දෙකේම ගුණාකාර සංඛ්‍යාවක්. උදාහරණයක් ලෙස, 2 සහ 5 සඳහා එය 10 වනු ඇත. 3 සහ 6 සඳහා - 6. නමුත් පසුව ඉහළ කොටස සමඟ කුමක් කළ යුතුද? අපි පහළ එක වෙනස් කර ඇත්නම් අපට එය එලෙසම තැබිය නොහැක. භාගයක මූලික ගුණයට අනුව, අපි එම සංඛ්‍යාව හරයට සමාන සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කරමු. මෙම මෙහෙයුම අප එකතු කරන හෝ අඩු කරන එක් එක් ඉලක්කම් සමඟ සිදු කළ යුතුය. කෙසේ වෙතත්, 6 වන ශ්‍රේණියේ සාමාන්‍ය භාග සහිත එවැනි ක්‍රියා දැනටමත් “ස්වයංක්‍රීයව” සිදු කර ඇති අතර දුෂ්කරතා ඇති වන්නේ කවදාද? ආරම්භක අදියරමාතෘකාව අධ්යයනය කිරීම.

සංසන්දනය

භාග දෙකකට එකම හරයක් තිබේ නම්, විශාල සංඛ්‍යාවක් ඇති එක විශාල වේ. ඉහළ කොටස් සමාන නම්, කුඩා හරය ඇති එක විශාල වේ. සංසන්දනය කිරීම සඳහා එවැනි සාර්ථක තත්වයන් කලාතුරකින් පැන නගින බව මතක තබා ගැනීම වටී. බොහෝ දුරට ඉඩ, ප්රකාශනවල ඉහළ සහ පහළ කොටස් දෙකම නොගැලපේ. එවිට ඔබට සාමාන්‍ය භාග සමඟ කළ හැකි ක්‍රියා ගැන මතක තබා ගත යුතු අතර එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සඳහා භාවිතා කරන තාක්ෂණය භාවිතා කරන්න. ඒ වගේම මතක තියාගන්න අපි කතා කරන්නේ නම් සෘණ සංඛ්යා, එවිට විශාල මාපාංකයක් සහිත කොටසක් කුඩා වනු ඇත.

පොදු කොටස්වල වාසි

ගුරුවරුන් දරුවන්ට එක් වාක්‍ය ඛණ්ඩයක් පවසන අතර, එහි අන්තර්ගතය පහත පරිදි ප්‍රකාශ කළ හැකිය: කාර්යය සකස් කිරීමේදී වැඩි විස්තර ලබා දෙන තරමට විසඳුම පහසු වනු ඇත. එය අමුතු දෙයක් යැයි ඔබ සිතනවාද? නමුත් ඇත්ත වශයෙන්ම: දන්නා ප්‍රමාණ විශාල සංඛ්‍යාවක් සමඟ, ඔබට ඕනෑම සූත්‍රයක් පාහේ භාවිතා කළ හැකිය, නමුත් සංඛ්‍යා කිහිපයක් පමණක් සපයන්නේ නම්, අමතර සිතුවිලි අවශ්‍ය විය හැකිය, ඔබට ප්‍රමේය මතක තබා ගැනීමට සහ ඔප්පු කිරීමට, ඔබේ නිවැරදිභාවයට පක්ෂව තර්ක ඉදිරිපත් කිරීමට සිදුවේ. ...

ඇයි අපි මෙහෙම කරන්නේ? එපමණක් නොව, සාමාන්‍ය භාග, ඔවුන්ගේ සියලු අපහසුතා සඳහා, ශිෂ්‍යයෙකුගේ ජීවිතය බෙහෙවින් සරල කළ හැකි අතර, ගුණ කිරීමේදී සහ බෙදීමේදී සම්පූර්ණ අගයන් පේළි කෙටි කිරීමට ඉඩ සලසයි, සහ එකතු කිරීම් සහ වෙනස්කම් ගණනය කිරීමේදී සාමාන්‍ය තර්ක ඉදිරිපත් කර නැවත ඒවා කෙටි කරන්න.

සාමාන්‍ය සහ දශම භාග සමඟ ඒකාබද්ධ ක්‍රියා සිදු කිරීමට අවශ්‍ය වූ විට, පෙරට පක්ෂව පරිවර්තනයන් සිදු කරනු ලැබේ: ඔබ 3/17 දශම ස්වරූපයට පරිවර්තනය කරන්නේ කෙසේද? තොරතුරු නැතිවීමත් සමඟ පමණක්, වෙනත් ආකාරයකින් නොවේ. නමුත් 0.1 1/10 ලෙසත්, පසුව 17/170 ලෙසත් දැක්විය හැක. ඉන්පසු ලැබෙන සංඛ්‍යා දෙක එකතු කිරීමට හෝ අඩු කිරීමට හැකිය: 30/170 + 17/170 = 47/170.

දශමයන් ප්රයෝජනවත් වන්නේ ඇයි?

සාමාන්‍ය භාග සමඟ ක්‍රියා කිරීම වඩාත් පහසු වන අතර, ඒවා භාවිතයෙන් සෑම දෙයක්ම ලිවීම අතිශයින් අපහසු වේ දශමයන් මෙහි සැලකිය යුතු වාසියක් ඇත. සසඳන්න: 1748/10000 සහ 0.1748. මෙය දෙකකින් නිරූපණය වන එකම අගයයි විවිධ විකල්ප. ඇත්ත වශයෙන්ම, දෙවන ක්රමය වඩාත් පහසු වේ!

ඊට අමතරව, දශමසියලු දත්තවල විශාලත්වයේ අනුපිළිවෙලින් පමණක් වෙනස් වන පොදු පදනමක් ඇති බැවින්, සිතීම පහසුය. අපි කියමු, අපි 30% ක වට්ටමක් පහසුවෙන් තේරුම් ගෙන එය සැලකිය යුතු ලෙස තක්සේරු කරමු. වැඩි යමක් - 30% හෝ 137/379 ඔබ වහාම තේරුම් ගනීවිද? මේ අනුව, දශම භාගය ගණනය කිරීම් සඳහා ප්රමිතිකරණය සපයයි.

උසස් පාසලේදී සිසුන් තීරණය කරයි චතුරස්රාකාර සමීකරණ. විචල්‍යයක අගයන් ගණනය කිරීමේ සූත්‍රයේ අඩංගු වන බැවින් මෙහි සාමාන්‍ය භාග සමඟ මෙහෙයුම් සිදු කිරීම දැනටමත් අතිශයින් ගැටලු සහගතය. වර්ගමුලයමුදලින්. දශමයකට අඩු කළ නොහැකි භාගයක් තිබේ නම්, විසඳුම කෙතරම් සංකීර්ණ වී ඇත්ද යත්, කැල්කියුලේටරයක් ​​නොමැතිව නිශ්චිත පිළිතුර ගණනය කිරීම පාහේ කළ නොහැක්කකි.

එබැවින්, භාග නියෝජනය කරන සෑම ආකාරයකටම සුදුසු සන්දර්භය තුළ එහි වාසි ඇත.

පටිගත කිරීමේ ආකෘති

සාමාන්‍ය භාග සමඟ ක්‍රියා ලිවීමට ක්‍රම දෙකක් තිබේ: තිරස් රේඛාවක් හරහා, “ස්ථර දෙකකින්” සහ ස්ලෑෂ් හරහා (“slash”) - රේඛාවකට. ශිෂ්යයෙකු සටහන් පොතක ලියන විට, පළමු විකල්පය සාමාන්යයෙන් වඩාත් පහසු වන අතර එබැවින් වඩාත් පොදු වේ. පේළියක සෛල හරහා සංඛ්‍යා බෙදා හැරීම ගණනය කිරීම් සහ පරිවර්තනයන් සිදු කිරීමේදී අවධානය වර්ධනය කිරීමට උපකාරී වේ. තන්තුවකට ලියන විට, ඔබට නොදැනුවත්වම ක්‍රියා අනුපිළිවෙල ව්‍යාකූල කළ හැකිය, සමහර දත්ත නැති වී යයි - එනම් වැරැද්දක් කරන්න.

අද බොහෝ විට පරිගණකයක අංක මුද්‍රණය කිරීමට අවශ්‍ය වේ. මයික්‍රොසොෆ්ට් වර්ඩ් 2010 සහ ඊට පසු ශ්‍රිතය භාවිතයෙන් ඔබට සාම්ප්‍රදායික තිරස් රේඛාවක් භාවිතයෙන් භාග වෙන් කළ හැක. කාරණය නම් මෘදුකාංගයේ මෙම අනුවාද වල "සූත්‍රය" නම් විකල්පයක් ඇත. එය තිරය මත සෘජුකෝණාස්රාකාර පරිවර්තනය කළ හැකි ක්ෂේත්රයක් පෙන්වයි, එය තුළ ඔබට ඕනෑම ගණිතමය සංකේතයක් ඒකාබද්ධ කර දෙකක් සහ "මහල් හතරේ" කොටස් දෙකම නිර්මාණය කළ හැකිය. ඔබට හරය සහ අංකනය තුළ වරහන් සහ මෙහෙයුම් සලකුණු භාවිතා කළ හැක. එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, ඔබට ඕනෑම ඒකාබද්ධ ක්‍රියාවක් සාමාන්‍ය සහ දශම භාගයන් සමඟ ලිවීමට හැකි වනු ඇත සාම්ප්රදායික ස්වරූපය, එනම් පාසැලේදී එය කිරීමට ඔවුන් ඔබට උගන්වන ආකාරය.

ඔබ සම්මත පෙළ සංස්කාරක Notepad භාවිතා කරන්නේ නම්, එවිට සියලුම භාගික ප්‍රකාශන ස්ලැෂ් එකකින් ලිවිය යුතුය. අවාසනාවට, මෙහි වෙනත් මාර්ගයක් නොමැත.

නිගමනය

එබැවින් අපි සාමාන්‍ය භාග සමඟ සියලු මූලික ක්‍රියා දෙස බැලුවෙමු, එයින් පෙනී යන්නේ, එතරම් ප්‍රමාණයක් නොමැති බවයි.

මුලදී මෙය ගණිතයේ දුෂ්කර අංශයක් බව පෙනෙන්නට තිබේ නම්, මෙය තාවකාලික හැඟීමක් පමණි - මතක තබා ගන්න, ඔබ වරක් ගුණ කිරීමේ වගුව ගැනත්, ඊට පෙර පවා - සාමාන්‍ය පිටපත් පොත් සහ එක සිට දහය දක්වා ගණන් කිරීම ගැනත් මේ ආකාරයෙන් සිතුවා.

භාග භාවිතා කරන බව තේරුම් ගැනීම වැදගත්ය එදිනෙදා ජීවිතයසෑම තැනකම. ඔබ මුදල් සහ ඉංජිනේරු ගණනය කිරීම්, තොරතුරු තාක්ෂණය සහ සංගීත සාක්ෂරතාවය සහ සෑම තැනකම - සෑම තැනකම කටයුතු කරනු ඇත! - භාගික සංඛ්යා දිස්වනු ඇත. එමනිසා, කම්මැලි නොවන්න සහ මෙම මාතෘකාව හොඳින් අධ්‍යයනය කරන්න - විශේෂයෙන් එය එතරම් සංකීර්ණ නොවන බැවින්.

මෙම කොටස සාමාන්‍ය භාග සමඟ මෙහෙයුම් ආවරණය කරයි. මිශ්‍ර සංඛ්‍යා සමඟ ගණිතමය මෙහෙයුමක් සිදු කිරීමට අවශ්‍ය නම්, මිශ්‍ර භාගය අසාමාන්‍ය භාගයක් බවට පරිවර්තනය කිරීම, අවශ්‍ය මෙහෙයුම් සිදු කිරීම සහ අවශ්‍ය නම්, අවසාන ප්‍රති result ලය නැවත ආකෘතියෙන් ඉදිරිපත් කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ. මිශ්ර අංකය. මෙම මෙහෙයුම පහත විස්තර කෙරේ.

කොටසක් අඩු කිරීම

ගණිතමය මෙහෙයුම. කොටසක් අඩු කිරීම

\frac(m)(n) කොටස අඩු කිරීම සඳහා ඔබ එහි සංඛ්‍යාවේ සහ හරයේ ශ්‍රේෂ්ඨතම පොදු බෙදුම්කරු සොයා ගත යුතුය: gcd(m,n), ඉන්පසු මෙම සංඛ්‍යාවෙන් භාගයේ සංඛ්‍යාව සහ හරය බෙදන්න. GCD(m,n)=1 නම්, භාගය අඩු කළ නොහැක. උදාහරණය: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

සාමාන්යයෙන් ශ්රේෂ්ඨතම පොදු බෙදුම්කරු වහාම සොයා ගැනීම පහසුය අභියෝගාත්මක කාර්යයක්සහ ප්‍රායෝගිකව, කොටස් කිහිපයක් අදියර කිහිපයකින් අඩු කරනු ලැබේ, පියවරෙන් පියවර පැහැදිලි පොදු සාධක සංඛ්‍යාවෙන් සහ හරයෙන් හුදකලා වේ. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

භාග පොදු හරයකට අඩු කිරීම

ගණිතමය මෙහෙයුම. භාග පොදු හරයකට අඩු කිරීම

භාග දෙකක් \frac(a)(b) සහ \frac(c)(d) පොදු හරයකට ගෙන ඒමට ඔබට අවශ්‍ය වන්නේ:

• හරවල අවම පොදු ගුණාකාරය සොයා ගන්න: M=LMK(b,d);
• පළමු භාගයේ සංඛ්‍යාව සහ හරය M/b වලින් ගුණ කරන්න (ඉන්පසු භාගයේ හරය M අංකයට සමාන වේ);
• දෙවන භාගයේ සංඛ්‍යාව සහ හරය M/d වලින් ගුණ කරන්න (ඉන්පසු භාගයේ හරය M අංකයට සමාන වේ).

මේ අනුව, අපි මුල් භාගයන් එකම හරයන් සහිත භාග බවට පරිවර්තනය කරමු (එය M අංකයට සමාන වනු ඇත).

උදාහරණයක් ලෙස, \frac(5)(6) සහ \frac(4)(9) කොටස්වල LCM(6,9) = 18 ඇත. එවිට: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . මේ අනුව, ප්රතිඵලය වන භාගවලට පොදු හරයක් ඇත.

ප්‍රායෝගිකව, හරවල අවම පොදු ගුණාකාර (LCM) සොයා ගැනීම සැමවිටම සරල කාර්යයක් නොවේ. එබැවින්, මුල් භාගයේ හරවල ගුණිතයට සමාන අංකයක් පොදු හරය ලෙස තෝරා ගනු ලැබේ. උදාහරණයක් ලෙස, \frac(5)(6) සහ \frac(4)(9) යන භාග N=6\cdot9 පොදු හරයකට අඩු වේ:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

භාග සංසන්දනය

ගණිතමය මෙහෙයුම. භාග සංසන්දනය

සාමාන්‍ය කොටස් දෙකක් සංසන්දනය කිරීමට ඔබට අවශ්‍ය වන්නේ:

• ලැබෙන භාගවල සංඛ්‍යා සංසන්දනය කරන්න; විශාල සංඛ්‍යාවක් සහිත කොටසක් විශාල වනු ඇත.

උදාහරණයක් ලෙස, \frac(9)(14)

භාග සංසන්දනය කිරීමේදී, විශේෂ අවස්ථා කිහිපයක් තිබේ:

1. කොටස් දෙකකින් එකම හරයන් සමඟසංඛ්‍යාව වැඩි වන කොටස වැඩි වේ. උදාහරණයක් ලෙස, \frac(3)(15)
2. කොටස් දෙකකින් සමග සමාන සංඛ්යා විශාල වන අතර එහි හරය කුඩා වේ. උදාහරණයක් ලෙස, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. එම කොටස එකවරම විශාල සංඛ්‍යාව සහ කුඩා හරය, තව. උදාහරණයක් ලෙස, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

අවධානය!ඔවුන්ගේ පොදු හරය ධන අංකයක් නම් ඕනෑම භාග සඳහා රීති 1 අදාළ වේ. රීති 2 සහ 3 ධන භාග සඳහා අදාළ වේ (බිංදුවට වඩා වැඩි සංඛ්‍යාව සහ හරය යන දෙකම ඇති ඒවා).

භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම

ගණිතමය මෙහෙයුම. භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම

කොටස් දෙකක් එකතු කිරීමට ඔබට අවශ්‍ය වේ:

• ඒවා පොදු හරයකට ගෙනෙන්න;
• ඒවායේ සංඛ්‍යා එකතු කර හරය නොවෙනස්ව තබන්න.

උදාහරණය: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

එක් කොටසකින් තවත් කොටසක් අඩු කිරීමට, ඔබට අවශ්‍ය වන්නේ:

• භාග පොදු හරයකට අඩු කරන්න;
• පළමු භාගයේ සංඛ්‍යාංකයෙන් දෙවන භාගයේ සංඛ්‍යාංකය අඩු කර හරය නොවෙනස්ව තබන්න.

උදාහරණය: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

මුල් භාගයේ මුලදී පොදු හරයක් තිබේ නම්, පියවර 1 (පොදු හරයකට අඩු කිරීම) මඟ හරිනු ලැබේ.

මිශ්‍ර සංඛ්‍යාවක් නුසුදුසු කොටසකට පරිවර්තනය කිරීම සහ අනෙක් අතට

ගණිතමය මෙහෙයුම. මිශ්‍ර සංඛ්‍යාවක් නුසුදුසු කොටසකට පරිවර්තනය කිරීම සහ අනෙක් අතට

මිශ්‍ර භාගයක් නුසුදුසු භාගයක් බවට පරිවර්තනය කිරීම සඳහා, මිශ්‍ර භාගයේ සම්පූර්ණ කොටස භාග කොටස සමඟ සාරාංශ කරන්න. එවැනි එකතුවක ප්‍රති result ලය නුසුදුසු භාගයක් වනු ඇත, එහි සංඛ්‍යාව එකතුවට සමානයිමිශ්‍ර භාගයේ සංඛ්‍යාව සමඟ භාගයේ හරයෙන් සම්පූර්ණ කොටසෙහි ගුණිතය, සහ හරය එලෙසම පවතිනු ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

නුසුදුසු භාගයක් මිශ්‍ර සංඛ්‍යාවක් බවට පරිවර්තනය කිරීමට:

• කොටසක සංඛ්‍යාව එහි හරයෙන් බෙදන්න;
• බෙදීමේ ඉතිරි කොටස අංකනයට ලියා හරය එලෙසම තබන්න;
• බෙදීමේ ප්‍රතිඵලය පූර්ණ සංඛ්‍යා කොටසක් ලෙස ලියන්න.

උදාහරණයක් ලෙස, \frac(23)(4) කොටස . 23:4=5.75 බෙදූ විට, එනම් සම්පූර්ණ කොටස 5, බෙදීමේ ඉතිරිය 23-5*4=3 වේ. එවිට මිශ්‍ර අංකය ලියා ඇත: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

දශමයක් භාගයකට පරිවර්තනය කිරීම

ගණිතමය මෙහෙයුම. දශමයක් භාගයකට පරිවර්තනය කිරීම

දශම භාගයක් පොදු භාගයකට පරිවර්තනය කිරීම සඳහා, ඔබ කළ යුත්තේ:

1. දහයේ n වැනි බලය හරය ලෙස ගන්න (මෙහි n යනු දශම ස්ථාන ගණන);
2. සංඛ්‍යාංකය ලෙස, දශම ලක්ෂයට පසුව අංකය ගන්න (මුල් සංඛ්‍යාවේ පූර්ණ සංඛ්‍යා කොටස ශුන්‍යයට සමාන නොවේ නම්, සියලු ප්‍රමුඛ ශුන්‍ය ද ගන්න);
3. ශුන්‍ය නොවන පූර්ණ සංඛ්‍යා කොටස ආරම්භයේදීම සංඛ්‍යාංකයේ ලියා ඇත; ශුන්‍ය පූර්ණ සංඛ්‍යා කොටස ඉවත් කර ඇත.

උදාහරණ 1: 0.0089=\frac(89)(10000) (දශමස්ථාන 4ක් ඇත, එබැවින් හරයට 10 4 =10000 ඇත, නිඛිල කොටස 0 වන බැවින්, සංඛ්‍යාංකයේ ශුන්‍ය නොවී දශම ලක්ෂ්‍යයට පසුව ඇති සංඛ්‍යාව අඩංගු වේ)

උදාහරණ 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (සංඛ්‍යායේදී අපි දශම ලක්ෂ්‍යයට පසුව සියලුම ශුන්‍ය සමඟ අංකය ලියන්නෙමු: “0109”, ඉන්පසු ඊට පෙර අපි “31” මුල් අංකයේ සම්පූර්ණ කොටස එකතු කරමු)

දශම භාගයක සම්පූර්ණ කොටස ශුන්‍ය නොවන නම්, එය මිශ්‍ර භාගයක් බවට පරිවර්තනය කළ හැක. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි සම්පූර්ණ කොටස ශුන්‍යයට (ලකුණු 1 සහ 2) සමාන වන පරිදි සංඛ්‍යාව සාමාන්‍ය භාගයක් බවට පරිවර්තනය කර, එම කොටස ඉදිරිපිට සම්පූර්ණ කොටස නැවත ලියන්න - මෙය මිශ්‍ර අංකයේ සම්පූර්ණ කොටස වනු ඇත. . උදාහරණයක්:

3.014=3\frac(14)(100)

භාගයක් දශමයකට පරිවර්තනය කිරීම සඳහා, සංඛ්‍යාංකය හරයෙන් බෙදන්න. සමහර විට ඔබ අනන්ත දශමයකින් අවසන් වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, අවශ්ය දශම ස්ථානයට වට කිරීම අවශ්ය වේ. උදාහරණ:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\ආසන්න වශයෙන්0.6667

භාග ගුණ කිරීම සහ බෙදීම

ගණිතමය මෙහෙයුම. භාග ගුණ කිරීම සහ බෙදීම

සාමාන්‍ය භාග දෙකක් ගුණ කිරීමට, ඔබ භාගවල සංඛ්‍යා සහ හරයන් ගුණ කළ යුතුය.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

එක් පොදු භාගයක් තවත් කොටසකින් බෙදීමට, ඔබ පළමු භාගය දෙවැන්නෙහි ප්‍රතිවර්තයෙන් ගුණ කළ යුතුය ( අන්යෝන්ය භාගය- සංඛ්‍යා සහ හරය හුවමාරු වන කොටසකි.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

භාගවලින් එකක් ස්වභාවික අංකයක් නම්, ඉහත ගුණ කිරීමේ සහ බෙදීමේ නීති බලාත්මකව පවතී. නිඛිලයක් එකම භාගයක් බව ඔබ සැලකිල්ලට ගත යුතුය, එහි හරය එකකට සමාන වේ. උදාහරණයක් ලෙස: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

ගණිතය තුළ විවිධ වර්ගසංඛ්‍යා ආරම්භයේ සිටම අධ්‍යයනය කර ඇත. පවතී විශාල සංඛ්යාවක්සංඛ්යා කට්ටල සහ උප කුලක. ඒවා අතර පූර්ණ සංඛ්‍යා, තාර්කික, අතාර්කික, ස්වාභාවික, ඉරට්ටේ, ඔත්තේ, සංකීර්ණ සහ භාගික වේ. අද අපි අවසාන කට්ටලය - භාගික සංඛ්යා පිළිබඳ තොරතුරු විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු.

භාග අර්ථ දැක්වීම

භාග යනු ඒකකයක පූර්ණ සංඛ්‍යා කොටසකින් සහ භාග වලින් සමන්විත සංඛ්‍යා වේ. නිඛිල මෙන්ම නිඛිල දෙකක් අතර භාග අනන්ත සංඛ්‍යාවක් ඇත. ගණිතයේ දී, භාග සමඟ මෙහෙයුම් සිදු කරනු ලබන්නේ පූර්ණ සංඛ්‍යා සහ ස්වාභාවික සංඛ්‍යා සමඟ සිදු කරන ආකාරයට ය. එය තරමක් සරල වන අතර පාඩම් කිහිපයකින් ඉගෙන ගත හැකිය.

ලිපිය වර්ග දෙකක් ඉදිරිපත් කරයි

පොදු කොටස්

සාමාන්‍ය භාග යනු b/c භාග රේඛාව හරහා ලියා ඇති නිඛිල කොටස a සහ සංඛ්‍යා දෙකයි. භාගික කොටස තාර්කික දශම ආකාරයෙන් නිරූපණය කළ නොහැකි නම් පොදු භාග අතිශයින්ම පහසු විය හැක. මීට අමතරව, භාගික රේඛාව හරහා අංක ගණිතමය මෙහෙයුම් සිදු කිරීම වඩාත් පහසු වේ. ඉහළ කොටසඅංකනය ලෙස හැඳින්වේ, පහළ එක හරය වේ.

සාමාන්ය භාග සමග මෙහෙයුම්: උදාහරණ

කොටසක ප්‍රධාන දේපල. හිදී numerator සහ denominator ශුන්‍ය නොවන එම සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කිරීමෙන් ලැබෙන ප්‍රතිඵලය ලබා දී ඇති එකට සමාන සංඛ්‍යාවක් වේ. කොටසක මෙම ගුණාංගය එකතු කිරීම සඳහා හරය ගෙන ඒමට (මෙය පහත සාකච්ඡා කරනු ඇත) හෝ භාගය කෙටි කිරීමට උපකාරී වේ, එය ගණන් කිරීම සඳහා වඩාත් පහසු කරයි. a/b = a*c/b*c. උදාහරණයක් ලෙස, 36/24 = 6/4 හෝ 9/13 = 18/26

පොදු හරයකට අඩු කිරීම.භාගයක හරය ලබා ගැනීම සඳහා, ඔබ විසින් හරය සාධක ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කළ යුතු අතර, පසුව නැතිවූ සංඛ්‍යාවලින් ගුණ කළ යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, 7/15 සහ 12/30; 7/5*3 සහ 12/5*3*2. හරය දෙකකින් වෙනස් වන බව අපට පෙනේ, එබැවින් අපි පළමු භාගයේ සංඛ්‍යා සහ හරය 2 න් ගුණ කරමු. අපට ලැබෙන්නේ: 14/30 සහ 12/30.

සංයුක්ත කොටස්- සම්පූර්ණ කොටස උද්දීපනය කර ඇති සාමාන්ය කොටස්. (A b/c) සංයෝග භාගයක් පොදු භාගයක් ලෙස නිරූපණය කිරීම සඳහා, ඔබ භාගයට ඉදිරියෙන් ඇති සංඛ්‍යාව හරයෙන් ගුණ කළ යුතු අතර, පසුව එය සංඛ්‍යාව සමඟ එක් කරන්න: (A*c + b)/c.

භාග සමඟ අංක ගණිතමය මෙහෙයුම්

භාගික සංඛ්‍යා සමඟ වැඩ කිරීමේදී පමණක් සුප්‍රසිද්ධ අංක ගණිත මෙහෙයුම් සලකා බැලීම හොඳ අදහසකි.

එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම.භාග එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම තරම්ම පහසු ය, එක් දුෂ්කරතාවයක් හැර - භාග රේඛාවක් තිබීම. සමඟ භාග එකතු කිරීම එකම හරය, භාග දෙකෙහිම සංඛ්‍යා පමණක් එකතු කිරීම අවශ්‍ය වේ, හරයන් නොවෙනස්ව පවතී. උදාහරණයක් ලෙස: 5/7 + 1/7 = (5+1)/7 = 6/7

භාග දෙකක හරයන් නම් විවිධ සංඛ්යාපළමුව ඔබ ඒවා පොදු කරුණකට ගෙන ආ යුතුය (මෙය කරන්නේ කෙසේද යන්න ඉහත සාකච්ඡා කර ඇත). 1/8 + 3/2 = 1/2*2*2 + 3/2 = 1/8 + 3*4/2*4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. අඩු කිරීම හරියටම එකම මූලධර්මය අනුගමනය කරයි: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.

ගුණ කිරීම සහ බෙදීම. ක්රියාවන්භාග සමඟ, ගුණ කිරීම අනුව සිදු වේ පහත සඳහන් මූලධර්මය වෙත: ඉලක්කම් සහ හරයන් වෙන වෙනම ගුණ කරනු ලැබේ. තුල සාමාන්ය දැක්මගුණ කිරීමේ සූත්‍රය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ: a/b *c/d = a*c/b*d. ඊට අමතරව, ඔබ ගුණ කරන විට, ඔබට සංඛ්‍යාවෙන් සහ හරයෙන් සමාන සාධක ඉවත් කිරීමෙන් භාගය අඩු කළ හැකිය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අංකනය සහ හරය එකම අංකයකින් බෙදනු ලැබේ: 4/16 = 4/4*4 = 1/4.

එක් සාමාන්‍ය භාගයක් තවත් කොටසකින් බෙදීමට, ඔබ බෙදුම්කරුගේ සංඛ්‍යාව සහ හරය වෙනස් කර කලින් සාකච්ඡා කළ මූලධර්මය අනුව භාග දෙකක් ගුණ කළ යුතුය: 5/11: 25/11 = 5/11 * 11/25 = 5*11/ 11*25 = 1/5

දශමයන්

දශම යනු භාගවල වඩාත් ජනප්‍රිය සහ නිතර භාවිතා වන අනුවාදය වේ. ඒවා පේළියක ලිවීම හෝ පරිගණකයක ඉදිරිපත් කිරීම පහසුය. දශමයේ ව්‍යුහය පහත පරිදි වේ: පළමුව සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාව ලියා ඇති අතර පසුව දශම ලක්ෂ්‍යයට පසුව භාගික කොටස ලියා ඇත. ඒවායේ හරයේ, දශමයන් සංයුක්ත භාග වේ, නමුත් ඒවායේ භාගික කොටස 10 ගුණාකාරයකින් බෙදූ සංඛ්‍යාවකින් නිරූපණය කෙරේ. මෙය ඔවුන්ගේ නම පැමිණේ. දශම සංඛ්‍යා පද්ධතියේ ද ලියා ඇති බැවින් දශම භාග සහිත මෙහෙයුම් පූර්ණ සංඛ්‍යා සහිත මෙහෙයුම් වලට සමාන වේ. එසේම, සාමාන්‍ය භාග මෙන් නොව, දශමයන් අතාර්කික විය හැකිය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඒවා නිමක් නැති විය හැකි බවයි. ඒවා මෙසේ ලියා ඇත: 7, (3). පහත සඳහන් ප්‍රවේශය කියවෙන්නේ: කාලපරිච්ඡේදයක හත් ලක්ෂ්‍ය තුන, දශම තුන.

දශම සංඛ්යා සහිත මූලික මෙහෙයුම්

දශම එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම.භාග සමඟ වැඩ කිරීම සම්පූර්ණ ස්වාභාවික සංඛ්යා සමඟ වැඩ කිරීමට වඩා අපහසු නැත. රීති එකතු කිරීමේදී හෝ අඩු කිරීමේදී භාවිතා කරන නීතිවලට සම්පූර්ණයෙන්ම සමාන වේ ස්වභාවික සංඛ්යා. ඒවා එකම ආකාරයකින් තීරුවක් ලෙස ගණන් කළ හැකිය, නමුත් අවශ්ය නම්, නැතිවූ ස්ථාන ශුන්ය සමඟ ප්රතිස්ථාපනය කරන්න. උදාහරණයක් ලෙස: 5.5697 - 1.12. තීරු අඩු කිරීම සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ දශම ලක්ෂයට පසුව සංඛ්යා ගණන සමාන කළ යුතුය: (5.5697 - 1.1200). එබැවින්, සංඛ්යාත්මක අගය වෙනස් නොවන අතර තීරුවක ගණන් කළ හැකිය.

ඔවුන්ගෙන් එක් අතාර්කික ස්වරූපයක් තිබේ නම් දශම භාග සමඟ මෙහෙයුම් සිදු කළ නොහැක. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ සංඛ්යා දෙකම සාමාන්ය භාග බවට පරිවර්තනය කළ යුතුය, පසුව කලින් විස්තර කර ඇති තාක්ෂණික ක්රම භාවිතා කරන්න.

ගුණ කිරීම සහ බෙදීම.දශම ගුණ කිරීම ස්වභාවික භාග ගුණ කිරීම හා සමාන වේ. ඒවා කොමාව කෙරෙහි අවධානය යොමු නොකර සරලව තීරුවකින් ගුණ කළ හැකි අතර පසුව දශම ලක්ෂ්‍යයට පසු දශම භාග දෙකකින් වූ මුළු සංඛ්‍යාවට සමාන ඉලක්කම් සංඛ්‍යාවක් අවසාන අගයෙන් කොමාවකින් වෙන් කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, 1.5 * 2.23 = 3.345. සෑම දෙයක්ම ඉතා සරල වන අතර, ඔබ දැනටමත් ස්වභාවික සංඛ්යා ගුණ කිරීම ප්රගුණ කර ඇත්නම් දුෂ්කරතා ඇති නොකළ යුතුය.

බෙදීම ස්වාභාවික සංඛ්‍යා බෙදීම හා සමාන වේ, නමුත් සුළු අපගමනයකින්. බෙදීමට දශම අංකයතීරුවක, ඔබ භාජකයේ ඇති කොමාව ඉවත දැමිය යුතු අතර, බෙදුම්කරුගේ දශම ලක්ෂයට පසුව ඉලක්කම් ගණනින් ලාභාංශ ගුණ කළ යුතුය. ඉන්පසු ස්වභාවික සංඛ්යා සමඟ බෙදීම සිදු කරන්න. අසම්පූර්ණ ලෙස බෙදීමේදී, ඔබට දකුණු පස ඇති ලාභාංශයට බිංදු එකතු කළ හැකිය, දශම ලක්ෂයට පසුව පිළිතුරට බිංදුවක් එකතු කළ හැකිය.

දශමයන් සහිත මෙහෙයුම් සඳහා උදාහරණ.දශම ඉතා පහසු මෙවලමක්අංක ගණිතමය ගණනය සඳහා. ඒවා ස්වභාවික සංඛ්‍යා, පූර්ණ සංඛ්‍යා සහ භාගවල නිරවද්‍යතාවයේ පහසුව ඒකාබද්ධ කරයි. ඊට අමතරව, සමහර කොටස් අනෙක් ඒවාට පරිවර්තනය කිරීම තරමක් පහසුය. භාග සමග මෙහෙයුම් ස්වභාවික සංඛ්යා සමග මෙහෙයුම් වලින් වෙනස් නොවේ.

1. එකතු කිරීම: 1.5 + 2.7 = 4.2
2. අඩු කිරීම: 3.1 - 1.6 = 1.5
3. ගුණ කිරීම: 1.7 * 2.3 = 3.91
4. අංශය: 3.6: 0.6 = 6

එසේම, දශමයන් ප්‍රතිශත නිරූපණය සඳහා සුදුසු වේ. ඉතින්, 100% = 1; 60% = 0.6; සහ අනෙක් අතට: 0.659 = 65.9%.

භාග ගැන ඔබ දැනගත යුත්තේ එපමණයි. ලිපිය භාග වර්ග දෙකක් පරීක්ෂා කර ඇත - සාමාන්‍ය සහ දශම. දෙකම ගණනය කිරීම තරමක් සරල වන අතර, ඔබ ඒවා සමඟ ස්වාභාවික අංක සහ මෙහෙයුම් සම්පූර්ණයෙන්ම ප්‍රගුණ කර ඇත්නම්, ඔබට ආරක්ෂිතව භාග ඉගෙනීම ආරම්භ කළ හැකිය.

මේ ලිපිය ඒ ගැනයි පොදු කොටස්. මෙහිදී අපි සමස්ත කොටසක සංකල්පය හඳුන්වා දෙනු ඇත, එය පොදු භාගයක නිර්වචනය වෙත අපව යොමු කරනු ඇත. ඊළඟට අපි සාමාන්‍ය භාග සඳහා පිළිගත් අංකනය මත වාසය කර භාග සඳහා උදාහරණ දෙන්නෙමු, භාගයක සංඛ්‍යාව සහ හරය ගැන කියමු. මෙයින් පසු, අපි නිසි සහ නුසුදුසු, ධනාත්මක සහ සෘණ භාග අර්ථ දැක්වීම් ලබා දෙන අතර, ඛණ්ඩාංක කිරණ මත භාගික සංඛ්යා පිහිටීම ද සලකා බලමු. අවසාන වශයෙන්, අපි භාග සමඟ ප්රධාන මෙහෙයුම් ලැයිස්තුගත කරමු.

පිටු සංචලනය.

සමස්තයේ කොටස්

මුලින්ම අපි හඳුන්වා දෙන්නෙමු කොටස් සංකල්පය.

අපි හිතමු පරම සමාන (එනම් සමාන) කොටස් කිහිපයකින් සැදුම්ලත් යම් වස්තුවක් අප සතුව ඇතැයි. පැහැදිලිකම සඳහා, ඔබට සිතාගත හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, ඇපල් ගෙඩියක් සමාන කොටස් කිහිපයකට කපා, හෝ තැඹිලි ගෙඩියක් සමාන පෙති කිහිපයකින් සමන්විත වේ. සම්පූර්ණ වස්තුව සෑදෙන මෙම සමාන කොටස් එක් එක් ලෙස හැඳින්වේ සමස්තයේ කොටස්හෝ සරලව කොටස්.

කොටස් වෙනස් බව සලකන්න. අපි මෙය පැහැදිලි කරමු. අපි ඇපල් දෙකක් දෙමු. පළමු ඇපල් ගෙඩිය සමාන කොටස් දෙකකටත්, දෙවැන්න සමාන කොටස් 6 කටත් කපන්න. පළමු ඇපල් ගෙඩියේ කොටස දෙවන ඇපල් ගෙඩියේ කොටසට වඩා වෙනස් වනු ඇති බව පැහැදිලිය.

සම්පූර්ණ වස්තුව සෑදෙන කොටස් ගණන අනුව, මෙම කොටස් වලට ඔවුන්ගේම නම් ඇත. අපි එය නිරාකරණය කරමු බීට් වල නම්. වස්තුවක් කොටස් දෙකකින් සමන්විත නම්, ඒවායින් ඕනෑම එකක් සම්පූර්ණ වස්තුවේ දෙවන කොටස ලෙස හැඳින්වේ; වස්තුවක් කොටස් තුනකින් සමන්විත නම්, ඒවායින් ඕනෑම එකක් තුනෙන් එකක් ලෙස හැඳින්වේ, යනාදිය.

එක් තත්පර කොටසකට විශේෂ නමක් ඇත - අඩක්. තුනෙන් එකක් ලෙස හැඳින්වේ තුන්වන, සහ හතරෙන් එකක් - හතරෙන් එකක්.

කෙටිකතාව සඳහා, පහත සඳහන් දෑ හඳුන්වා දෙන ලදී: පරාජය සංකේත. දෙවන කොටස හෝ 1/2 ලෙස නම් කර ඇත, තුනෙන් එකක් හෝ 1/3 ලෙස නම් කර ඇත; හතරවන කොටස - කැමති හෝ 1/4, සහ යනාදිය. තිරස් තීරුවක් සහිත අංකනය බොහෝ විට භාවිතා වන බව සලකන්න. ද්රව්යය ශක්තිමත් කිරීම සඳහා, අපි තවත් එක් උදාහරණයක් දෙන්නෙමු: ප්රවේශය සමස්තයෙන් එකසිය හැට හත්වන කොටස දක්වයි.

කොටස් සංකල්පය ස්වභාවිකව වස්තු වලින් ප්‍රමාණ දක්වා විහිදේ. උදාහරණයක් ලෙස, දිග මැනීමේ එක් මිනුමක් වන්නේ මීටරයයි. මීටරයකට වඩා අඩු දිග මැනීම සඳහා මීටරයක භාග භාවිතා කළ හැක. එබැවින් ඔබට භාවිතා කළ හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, මීටර භාගයක් හෝ මීටරයකින් දසයෙන් හෝ දහසෙන් එකක්. අනෙකුත් ප්රමාණවල කොටස් ද ඒ හා සමානව යොදනු ලැබේ.

පොදු භාග, අර්ථ දැක්වීම සහ භාග සඳහා උදාහරණ

අපි භාවිතා කරන කොටස් ගණන විස්තර කිරීමට පොදු කොටස්. සාමාන්‍ය භාගවල නිර්වචනයට ප්‍රවේශ වීමට අපට ඉඩ සලසන උදාහරණයක් අපි දෙන්නෙමු.

තැඹිලි කොටස් 12 කින් සමන්විත වීමට ඉඩ දෙන්න. මෙම නඩුවේ සෑම කොටසක්ම මුළු තැඹිලි ගෙඩියකින් දොළොස් පංගුවක් නියෝජනය කරයි, එනම්, . අපි බීට් දෙකක් ලෙස ද, බීට් තුනක් ලෙස ද, එසේ ද, බීට් 12 ක් ලෙස ද දක්වන්නෙමු. ලබා දී ඇති සෑම ප්‍රවේශයක්ම සාමාන්‍ය භාගයක් ලෙස හැඳින්වේ.

දැන් ජෙනරල් එකක් දෙමු පොදු භාග අර්ථ දැක්වීම.

සාමාන්ය භාගවල හඬ නිර්වචනය අපට ලබා දීමට ඉඩ සලසයි පොදු කොටස් සඳහා උදාහරණ: 5/10, , 21/1, 9/4, . සහ මෙන්න වාර්තා සාමාන්‍ය භාගවල ප්‍රකාශිත නිර්වචනයට නොගැලපේ, එනම් ඒවා සාමාන්‍ය භාග නොවේ.

අංකනය සහ හරය

පහසුව සඳහා, සාමාන්ය භාග වෙන් කර ඇත numerator සහ denominator.

අර්ථ දැක්වීම.

සංඛ්යාංකයපොදු භාගය (m/n) යනු ස්වාභාවික අංකයකි.

අර්ථ දැක්වීම.

හරයපොදු භාගය (m/n) යනු ස්වභාවික අංකයකි n.

එබැවින්, සංඛ්‍යාංකය භාග රේඛාවට ඉහළින් (ස්ලෑෂ්හි වම් පසින්) පිහිටා ඇති අතර හරය භාග රේඛාවට පහළින් (ස්ලෑෂ්හි දකුණට) පිහිටා ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, අපි 17/29 පොදු භාගය ගනිමු, මෙම භාගයේ සංඛ්‍යාංකය අංක 17 වන අතර හරය අංක 29 වේ.

සාමාන්‍ය භාගයක සංඛ්‍යාවේ සහ හරයේ අඩංගු අර්ථය සාකච්ඡා කිරීමට ඉතිරිව ඇත. කොටසක හරය මඟින් එක් වස්තුවක් කොටස් කීයකින් සමන්විත දැයි පෙන්වන අතර, සංඛ්‍යාංකය, එම කොටස් ගණන දක්වයි. උදාහරණයක් ලෙස, 12/5 භාගයේ හරය 5 යන්නෙන් අදහස් වන්නේ එක් වස්තුවක් කොටස් පහකින් සමන්විත වන අතර, අංක 12 යනු එවැනි කොටස් 12 ක් ගන්නා බවයි.

ස්වාභාවික සංඛ්‍යාව 1 හරය සහිත භාගයක් ලෙස

පොදු භාගයක හරය එකකට සමාන විය හැක. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, වස්තුව බෙදිය නොහැකි බව අපට සැලකිය හැකිය, වෙනත් වචනවලින් කිවහොත්, එය සම්පූර්ණ දෙයක් නියෝජනය කරයි. එවැනි භාගයක සංඛ්‍යාංකයෙන් දැක්වෙන්නේ සම්පූර්ණ වස්තු කීයක් ගෙන තිබේද යන්නයි. මේ අනුව, m/1 ආකෘතියේ සාමාන්‍ය කොටසකට m ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවක අර්ථය ඇත. m/1=m සමානාත්මතාවයේ වලංගුභාවය අපි තහවුරු කළේ මේ ආකාරයටයි.

අවසාන සමානාත්මතාවය පහත පරිදි නැවත ලියමු: m=m/1. මෙම සමානාත්මතාවය අපට ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවක් m සාමාන්‍ය භාගයක් ලෙස නිරූපණය කිරීමට ඉඩ සලසයි. උදාහරණයක් ලෙස, අංක 4 යනු 4/1 කොටස වන අතර, අංක 103,498 භාග 103,498/1 ට සමාන වේ.

ඒ නිසා, ඕනෑම ස්වාභාවික අංකයක් m/1 ලෙස 1 හරයක් සහිත සාමාන්‍ය භාගයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකි අතර m/1 ආකෘතියේ ඕනෑම සාමාන්‍ය භාගයක් m ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවකින් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැක..

බෙදුම් ලකුණක් ලෙස භාග තීරුව

n කොටස් ආකාරයෙන් මුල් වස්තුව නියෝජනය කිරීම n සමාන කොටස් වලට බෙදීමට වඩා වැඩි දෙයක් නොවේ. අයිතමයක් n කොටස් වලට බෙදූ පසු, අපට එය n පුද්ගලයින් අතර සමානව බෙදිය හැකිය - එක් එක් කොටසකට එක බැගින් ලැබෙනු ඇත.

අපට මුලින් m සමාන වස්තු තිබේ නම්, ඒ සෑම එකක්ම n කොටස් වලට බෙදා ඇත, එවිට අපට මෙම m වස්තූන් n පුද්ගලයින් අතර සමානව බෙදිය හැකිය, එක් එක් පුද්ගලයාට m වස්තුවෙන් එක කොටසක් ලබා දිය හැකිය. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, එක් එක් පුද්ගලයාට 1/n හි m කොටස් ඇති අතර, 1/n හි m කොටස් m/n පොදු භාගය ලබා දෙයි. මේ අනුව, n පුද්ගලයන් අතර m අයිතම බෙදීම දැක්වීමට m/n පොදු භාගය භාවිතා කළ හැක.

සාමාන්‍ය භාග සහ බෙදීම අතර පැහැදිලි සම්බන්ධයක් අපට ලැබුණේ එලෙසිනි (ස්වාභාවික සංඛ්‍යා බෙදීමේ සාමාන්‍ය අදහස බලන්න). මෙම සම්බන්ධතාවය පහත පරිදි ප්‍රකාශ වේ: භාග රේඛාව බෙදීමේ ලකුණක් ලෙස තේරුම් ගත හැකිය, එනම් m/n=m:n.

සාමාන්‍ය භාගයක් භාවිතා කරමින්, සම්පූර්ණ බෙදීමක් සිදු කළ නොහැකි ස්වාභාවික සංඛ්‍යා දෙකක් බෙදීමේ ප්‍රතිඵලය ලිවිය හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, ඇපල් ගෙඩි 5ක් පුද්ගලයන් 8 දෙනෙකුට බෙදීමේ ප්‍රතිඵලය 5/8 ලෙස ලිවිය හැකිය, එනම් සෑම කෙනෙකුටම ඇපල් ගෙඩියකින් අටෙන් පහක් ලැබෙනු ඇත: 5:8 = 5/8.

සමාන හා අසමාන කොටස්, භාග සංසන්දනය කිරීම

තරමක් ස්වභාවික ක්‍රියාවකි භාග සංසන්දනය කිරීම, දොඩම් ගෙඩියකින් 1/12 5/12 ට වඩා වෙනස් බවත්, ඇපල් ගෙඩියක 1/6 මෙම ඇපල් ගෙඩියේ තවත් 1/6 ට සමාන බවත් පැහැදිලි නිසා.

සාමාන්‍ය භාග දෙකක් සංසන්දනය කිරීමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, එක් ප්‍රතිඵලයක් ලැබේ: භාග සමාන හෝ අසමාන වේ. පළමු අවස්ථාවේ දී අපට තිබේ සමාන පොදු කොටස්, සහ දෙවනුව - අසමාන සාමාන්ය කොටස්. සමාන හා අසමාන සාමාන්‍ය භාග අර්ථ දැක්වීමක් දෙමු.

අර්ථ දැක්වීම.

සමාන, a·d=b·c සමානාත්මතාවය සත්‍ය නම්.

අර්ථ දැක්වීම.

a/b සහ c/d යන පොදු කොටස් දෙකක් සමාන නොවේ, a·d=b·c සමානාත්මතාවය සෑහීමකට පත් නොවන්නේ නම්.

සමාන භාග සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් මෙන්න. උදාහරණයක් ලෙස, 1·4=2·2 (අවශ්‍ය නම්, ස්වභාවික සංඛ්‍යා ගුණ කිරීමේ නීති සහ උදාහරණ බලන්න) සිට පොදු 1/2 කොටස 2/4 ට සමාන වේ. පැහැදිලිකම සඳහා, ඔබට සමාන ඇපල් දෙකක් සිතාගත හැකිය, පළමුවැන්න අඩකින් කපා, දෙවන කොටස කොටස් 4 කට කපා ඇත. ඇපල් ගෙඩියක හතරෙන් දෙකක් කොටස් 1/2 කට සමාන බව පැහැදිලිය. සමාන පොදු භාග සඳහා වෙනත් උදාහරණ වන්නේ 4/7 සහ 36/63 භාග, සහ 81/50 සහ 1,620/1,000 භාග යුගලය.

නමුත් සාමාන්‍ය භාග 4/13 සහ 5/14 සමාන නොවේ, මන්ද 4·14=56, සහ 13·5=65, එනම් 4·14≠13·5. අසමාන පොදු භාග සඳහා වෙනත් උදාහරණ වන්නේ 17/7 සහ 6/4 භාග වේ.

පොදු භාග දෙකක් සංසන්දනය කිරීමේදී, ඒවා සමාන නොවන බව පෙනේ නම්, ඔබට මෙම පොදු භාග වලින් කුමක්දැයි සොයා ගැනීමට අවශ්‍ය විය හැකිය. අඩුවෙනස්, සහ කුමන එකක් - තව. සොයා ගැනීම සඳහා, සාමාන්‍ය භාග සංසන්දනය කිරීමේ රීතිය භාවිතා කරනු ලැබේ, එහි සාරය නම් සංසන්දනාත්මක භාග පොදු හරයකට ගෙන ඒම සහ පසුව සංඛ්‍යා සංසන්දනය කිරීමයි. මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක තොරතුරු භාග සංසන්දනය කිරීමේ ලිපියේ එකතු කර ඇත: නීති, උදාහරණ, විසඳුම්.

භාගික සංඛ්යා

සෑම කොටසක්ම අංකනයකි භාගික අංකය. එනම්, භාගයක් යනු භාගික අංකයක "ෂෙල්" පමණි, එහි පෙනුම, සහ සියලුම අර්ථකථන භාරය භාගික අංකයේ අඩංගු වේ. කෙසේ වෙතත්, සංක්ෂිප්තභාවය සහ පහසුව සඳහා, භාග සහ භාගික අංකය යන සංකල්ප ඒකාබද්ධ කර සරලව භාග ලෙස හැඳින්වේ. මෙහිදී ප්‍රසිද්ධ කියමනක් ව්‍යාකූල කිරීම යෝග්‍ය වේ: අපි භාගක් කියමු - අපි අදහස් කරමු භාගික අංකයක්, අපි කියන්නේ භාගික සංඛ්‍යාවක් - අපි අදහස් කරන්නේ භාගයක්.

ඛණ්ඩාංක කිරණ මත භාග

සාමාන්‍ය භාගවලට අනුරූප වන සියලුම භාගික සංඛ්‍යා වලට තමන්ගේම ඇත අද්විතීය ස්ථානය on , එනම් ඛණ්ඩාංක කිරණවල භාග සහ ලක්ෂ්‍ය අතර එකින් එක අනුරූප වේ.

m/n කොටසට අනුරූප වන ඛණ්ඩාංක කිරණ මත ලක්ෂ්‍යයට පැමිණීම සඳහා, ඔබ මූලාරම්භයේ සිට ධනාත්මක දිශාවට m කොටස් වෙන් කළ යුතුය, එහි දිග ඒකක කොටසක 1/n කොටසකි. ඒකක ඛණ්ඩයක් n සමාන කොටස් වලට බෙදීමෙන් එවැනි කොටස් ලබා ගත හැකි අතර එය සෑම විටම මාලිමා යන්ත්‍රයක් සහ පාලකයක් භාවිතයෙන් සිදු කළ හැක.

උදාහරණයක් ලෙස, ඛණ්ඩාංක කිරණ මත 14/10 කොටසට අනුරූප වන ලක්ෂ්‍යය M පෙන්වමු. O ලක්ෂ්‍යයෙන් අවසන් වන කොටසක දිග සහ කුඩා ඉරකින් සලකුණු කර ඇති එයට ආසන්නතම ලක්ෂ්‍යය ඒකක කොටසකින් 1/10 කි. ඛණ්ඩාංක 14/10 සහිත ලක්ෂ්‍යය එවැනි කොටස් 14 ක් දුරින් මූලාරම්භයෙන් ඉවත් කරනු ලැබේ.

සමාන භාග එකම භාගික සංඛ්‍යාවට අනුරූප වේ, එනම් සමාන භාග යනු ඛණ්ඩාංක කිරණ මත එකම ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක වේ. උදාහරණයක් ලෙස, ඛණ්ඩාංක 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 ඛණ්ඩාංක කිරණ මත එක් ලක්ෂ්‍යයකට අනුරූප වේ, මන්ද සියලුම ලිඛිත භාග සමාන වේ (එය ඒකක කොටසකින් අඩක් දුරින් පිහිටා ඇත. මූලාරම්භයේ සිට ධනාත්මක දිශාවට).

තිරස් සහ දකුණට යොමු කරන ලද ඛණ්ඩාංක කිරණ මත, ඛණ්ඩාංකය විශාල භාගය වන ලක්ෂ්‍යය ඛණ්ඩාංකය කුඩා භාගය වන ලක්ෂ්‍යයේ දකුණට පිහිටා ඇත. ඒ හා සමානව, කුඩා ඛණ්ඩාංකයක් සහිත ලක්ෂ්‍යයක් විශාල ඛණ්ඩාංකයක් සහිත ලක්ෂ්‍යයක වම් පසින් පිහිටා ඇත.

නිසි සහ නුසුදුසු භාග, අර්ථ දැක්වීම්, උදාහරණ

සාමාන්ය භාග අතර ඇත නිසි සහ නුසුදුසු කොටස්. මෙම බෙදීම පදනම් වී ඇත්තේ අංකනය සහ හරය සංසන්දනය කිරීම මත ය.

අපි නිසි සහ නුසුදුසු සාමාන්‍ය භාග නිර්වචනය කරමු.

අර්ථ දැක්වීම.

නිසි කොටස යනු හරයට වඩා අඩු අගයක් ඇති සාමාන්‍ය කොටසකි, එනම් m නම්

අර්ථ දැක්වීම.

නුසුදුසු කොටසයනු හරයට වඩා වැඩි හෝ සමාන වන සාමාන්‍ය භාගයකි, එනම් m≥n නම් සාමාන්‍ය භාගය නුසුදුසුය.

නිසි භාග සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් මෙන්න: 1/4, , 32,765/909,003. ඇත්ත වශයෙන්ම, සෑම ලිඛිත සාමාන්‍ය භාගයකම සංඛ්‍යාව හරයට වඩා අඩුය (අවශ්‍ය නම්, ස්වාභාවික සංඛ්‍යා සංසන්දනය කරන ලිපිය බලන්න), එබැවින් ඒවා අර්ථ දැක්වීම අනුව නිවැරදි වේ.

නුසුදුසු භාග සඳහා උදාහරණ මෙන්න: 9/9, 23/4, . ඇත්ත වශයෙන්ම, ලිඛිත සාමාන්‍ය භාගවල පළමු සංඛ්‍යාව හරයට සමාන වන අතර ඉතිරි භාගවල සංඛ්‍යාංකය හරයට වඩා විශාල වේ.

භාග එකක් සමඟ සංසන්දනය කිරීම මත පදනම්ව, නිසි සහ නුසුදුසු භාග අර්ථ දැක්වීම් ද ඇත.

අර්ථ දැක්වීම.

නිවැරදි, එය එකකට වඩා අඩු නම්.

අර්ථ දැක්වීම.

සාමාන්ය කොටසක් ලෙස හැඳින්වේ වැරදි, එය එකකට සමාන හෝ 1 ට වඩා වැඩි නම්.

එබැවින් 7/11 සිට පොදු භාග 7/11 නිවැරදි වේ<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1, සහ 27/27=1.

හරයට වඩා වැඩි හෝ සමාන සංඛ්‍යාවක් සහිත සාමාන්‍ය භාග එවැනි නමකට සුදුසු වන්නේ කෙසේදැයි සිතා බලමු - “නුසුදුසු”.

උදාහරණයක් ලෙස, නුසුදුසු භාගය 9/9 ගනිමු. මෙම භාගය යනු කොටස් නවයකින් සමන්විත වස්තුවක කොටස් නවයක් ගන්නා බවයි. එනම්, පවතින කොටස් නවයෙන් අපට සම්පූර්ණ වස්තුවක් සෑදිය හැකිය. එනම්, නුසුදුසු භාග 9/9 සම්පූර්ණ වස්තුව ලබා දෙයි, එනම් 9/9 = 1. සාමාන්‍යයෙන්, හරයට සමාන සංඛ්‍යාවක් සහිත නුසුදුසු භාග එක් සම්පූර්ණ වස්තුවක් දක්වන අතර එවැනි භාගයක් ස්වාභාවික අංක 1 මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැකිය.

දැන් නුසුදුසු භාග 7/3 සහ 12/4 සලකා බලන්න. මෙම තුන්වන කොටස් හතෙන් අපට සම්පූර්ණ වස්තු දෙකක් සෑදිය හැකි බව පැහැදිලිය (එක් සම්පූර්ණ වස්තුවක් කොටස් 3 කින් සමන්විත වේ, එවිට සම්පූර්ණ වස්තූන් දෙකක් සෑදීමට අපට 3 + 3 = කොටස් 6 ක් අවශ්‍ය වනු ඇත) සහ තවමත් තුනෙන් එකක් ඉතිරිව පවතිනු ඇත. . එනම්, නුසුදුසු භාගය 7/3 යනු වස්තු 2 ක් සහ එවැනි වස්තුවකින් 1/3 ක් ද වේ. කාර්තු කොටස් දොළහකින් අපට සම්පූර්ණ වස්තු තුනක් (කොටස් හතරක් සහිත වස්තු තුනක්) සෑදිය හැකිය. එනම්, 12/4 භාගය යනු සම්පූර්ණ වස්තූන් 3කි.

සලකා බැලූ උදාහරණ පහත නිගමනයට අපව ගෙන යයි: නුසුදුසු භාග ස්වාභාවික සංඛ්‍යා මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැක, සංඛ්‍යාංකය හරයෙන් ඒකාකාරව බෙදූ විට (උදාහරණයක් ලෙස, 9/9=1 සහ 12/4=3) හෝ එකතුවෙන් ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවක සහ නිසි භාගයක, සංඛ්‍යාව හරයෙන් ඒකාකාරව බෙදිය නොහැකි විට (උදාහරණයක් ලෙස, 7/3=2+1/3). සමහර විට මෙය හරියටම නුසුදුසු භාග "අක්‍රමවත්" යන නමට හේතු විය.

විශේෂ අවධානයක් යොමු කළ යුත්තේ ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවක එකතුවක් සහ නිසි භාගයක් (7/3=2+1/3) ලෙස නුසුදුසු භාගයක් නිරූපණය කිරීමයි. මෙම ක්‍රියාවලිය මුළු කොටසම නුසුදුසු කොටසකින් වෙන් කිරීම ලෙස හැඳින්වෙන අතර, වෙනම සහ වඩාත් ප්‍රවේශමෙන් සලකා බැලිය යුතුය.

අනිසි භාග සහ මිශ්‍ර සංඛ්‍යා අතර ඉතා සමීප සම්බන්ධයක් ඇති බව ද සඳහන් කිරීම වටී.

ධනාත්මක සහ සෘණ කොටස්

සෑම පොදු භාගයක්ම ධන භාගික සංඛ්‍යාවකට අනුරූප වේ (ධන හා සෘණ සංඛ්‍යා පිළිබඳ ලිපිය බලන්න). එනම්, සාමාන්ය භාග වේ ධනාත්මක කොටස්. උදාහරණයක් ලෙස, සාමාන්‍ය භාග 1/5, 56/18, 35/144 ධන භාග වේ. ඔබට කොටසක ධනාත්මක බව උද්දීපනය කිරීමට අවශ්‍ය වූ විට, එය ඉදිරියෙන් වැඩි ලකුණක් තබා ඇත, උදාහරණයක් ලෙස, +3/4, +72/34.

ඔබ පොදු භාගයක් ඉදිරිපිට us ණ ලකුණක් තැබුවහොත්, මෙම ප්‍රවේශය සෘණ භාගික සංඛ්‍යාවකට අනුරූප වේ. මෙම අවස්ථාවේ දී, අපට කතා කළ හැකිය සෘණ භාග. සෘණ භාග සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් මෙන්න: −6/10, -65/13, -1/18.

ධන සහ සෘණ භාග m/n සහ -m/n ප්‍රතිවිරුද්ධ සංඛ්‍යා වේ. උදාහරණයක් ලෙස, භාග 5/7 සහ -5/7 ප්‍රතිවිරුද්ධ භාග වේ.

සාමාන්‍යයෙන් ධන සංඛ්‍යා වැනි ධන භාග, එකතු කිරීමක්, ආදායමක්, ඕනෑම අගයක ඉහළ වෙනසක් ආදිය දක්වයි. සෘණ කොටස් වියදම්, ණය හෝ ඕනෑම ප්රමාණයක අඩු වීමකට අනුරූප වේ. උදාහරණයක් ලෙස, සෘණ භාගය -3/4 අගය 3/4 ට සමාන ණයක් ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක.

තිරස් සහ දකුණු දිශාවට, සෘණ භාග මූලාරම්භයේ වම් පසින් පිහිටා ඇත. ඛණ්ඩාංක රේඛාවේ ලක්ෂ්‍ය, ධන භාගය වන m/n සහ සෘණ භාගය -m/n යන ඛණ්ඩාංක, මූලාරම්භයේ සිට එකම දුරින්, නමුත් O ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රතිවිරුද්ධ පැතිවල පිහිටා ඇත.

මෙහිදී 0/n ආකෘතියේ භාග සඳහන් කිරීම වටී. මෙම භාග සංඛ්‍යාව ශුන්‍යයට සමාන වේ, එනම් 0/n=0.

ධන භාග, සෘණ භාග, සහ 0/n භාග එකතු වී තාර්කික සංඛ්‍යා සාදයි.

භාග සමග මෙහෙයුම්

අපි දැනටමත් සාමාන්‍ය භාග සමඟ එක් ක්‍රියාවක් ගැන සාකච්ඡා කර ඇත්තෙමු - භාග සංසන්දනය කිරීම - ඉහත. තවත් අංක ගණිතමය කාර්යයන් හතරක් අර්ථ දක්වා ඇත භාග සමග මෙහෙයුම්- භාග එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම සහ බෙදීම. අපි ඔවුන් එක් එක් දෙස බලමු.

භාග සහිත මෙහෙයුම් වල සාමාන්‍ය සාරය ස්වාභාවික සංඛ්‍යා සහිත අනුරූප මෙහෙයුම් වල සාරයට සමාන වේ. අපි සාදෘශ්‍යයක් කරමු.

භාග ගුණ කිරීමභාගයකින් කොටසක් සොයා ගැනීමේ ක්‍රියාව ලෙස සැලකිය හැකිය. පැහැදිලි කිරීම සඳහා, අපි උදාහරණයක් දෙන්නෙමු. අපි හිතමු අපිට ඇපල් ගෙඩියකින් 1/6ක් තියෙනවා, ඒකෙන් 2/3ක් ගන්න ඕන කියලා. අපට අවශ්ය කොටස 1/6 සහ 2/3 භාග ගුණ කිරීමේ ප්රතිඵලයයි. සාමාන්‍ය භාග දෙකක් ගුණ කිරීමේ ප්‍රතිඵලය සාමාන්‍ය භාගයකි (විශේෂ අවස්ථාවක එය ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවකට සමාන වේ). මීලඟට, භාග ගුණ කිරීම - රීති, උදාහරණ සහ විසඳුම් ලිපියේ තොරතුරු අධ්යයනය කරන ලෙස අපි නිර්දේශ කරමු.

ග්‍රන්ථ නාමාවලිය.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. ගණිතය: 5 ශ්‍රේණිය සඳහා පෙළ පොත. සාමාන්ය අධ්යාපන ආයතන.
• Vilenkin N.Ya සහ අනෙකුත් ගණිතය. 6 වන ශ්රේණිය: සාමාන්ය අධ්යාපන ආයතන සඳහා පෙළපොත.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. ගණිතය (තාක්ෂණික පාසල්වලට ඇතුල් වන අය සඳහා අත්පොතක්).