රේඛීය ප්රතිගාමී සමීකරණ උදාහරණ සාදන්න. ප්රතිගාමී සමීකරණය. බහු ප්රතිගාමී සමීකරණය
යුගල කරන ලද රේඛීය ප්‍රතිගාමීත්වය
වැඩමුළුව
යුගල කරන ලද රේඛීය ප්‍රතිගාමීත්වය: වැඩමුළුව. -
ආර්ථිකමිතික අධ්‍යයනයට සිසුන් ආර්ථිකමිතික ආකෘති ගොඩනැගීම, ආකෘතියේ පිරිවිතර සහ හඳුනාගැනීම පිළිබඳ තීරණ ගැනීම, ආදර්ශ පරාමිතීන් තක්සේරු කිරීම සඳහා ක්‍රමයක් තෝරා ගැනීම, එහි ගුණාත්මකභාවය තක්සේරු කිරීම, ප්රතිඵල අර්ථ නිරූපණය කිරීම, අනාවැකි ඇස්තමේන්තු ලබා ගැනීම යනාදිය පිළිබඳ අත්දැකීම් ලබා ගැනීම ඇතුළත් වේ. මෙම කාරණා සම්බන්ධයෙන් ප්රායෝගික කුසලතා ලබා ගන්න.
කතුවැකි සහ ප්‍රකාශන සභාව විසින් අනුමත කරන ලදී
සම්පාදනය කළේ: එම්.බී. පෙරෝවා, ආර්ථික විද්‍යාව පිළිබඳ ආචාර්ය, මහාචාර්ය
සාමාන්ය විධිවිධාන
ආර්ථිකමිතික පර්යේෂණ ආරම්භ වන්නේ සංසිද්ධි අතර සම්බන්ධතා ඇති කරන න්‍යායකින් ය. ඵලදායී ලක්ෂණයට බලපාන සමස්ත සාධක පරාසයෙන්, වඩාත්ම වැදගත් සාධක වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය. අධ්යයනය කරන ලද ලක්ෂණ අතර සම්බන්ධතාවයක් ඇති බව හඳුනා ගැනීමෙන් පසුව, මෙම සම්බන්ධතාවයේ නිශ්චිත ස්වරූපය ප්රතිගාමී විශ්ලේෂණය භාවිතයෙන් තීරණය වේ.
විශ්ලේෂණයවිශ්ලේෂණාත්මක ප්‍රකාශනයක් තීරණය කිරීම (ශ්රිතයක නිර්වචනය තුළ), එහි එක් අගයක වෙනසක් (ඵලදායී ලක්ෂණයක්) බලපෑම හේතුවෙන් සිදු වේ. ස්වාධීන අගය(සාධක ලකුණ). මෙම සම්බන්ධතාවය ප්රතිගාමී සමීකරණයක් හෝ ප්රතිගාමී ශ්‍රිතයක් ගොඩනැගීමෙන් ප්‍රමාණ කළ හැක.
මූලික ප්රතිගාමී ආකෘතිය යුගල (එක්-සාධක) ප්රතිගාමී ආකෘතියකි. යුගල පසුබෑම- විචල්ය දෙකක සම්බන්ධතාවයේ සමීකරණය හිදීහා x:
කොහෙද 
- යැපෙන විචල්යය (ප්රතිඵල ලකුණ);
- ස්වාධීන, පැහැදිලි කිරීමේ විචල්ය (සාධක ලකුණ).
වෙනස් වීමේ ස්වභාවය අනුව හිදීවෙනසක් සමඟ xරේඛීය සහ රේඛීය නොවන ප්‍රතිගාමීත්වයන් අතර වෙනස හඳුනා ගන්න.
රේඛීය පසුබෑම 
මෙම ප්රතිගාමී ශ්‍රිතය පළමු උපාධියේ බහුපදයක් ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර කාලය තුළ ඒකාකාරව වර්ධනය වන ක්‍රියාවලි විස්තර කිරීමට භාවිතා කරයි.
අහඹු සාමාජිකයෙකු සිටීම 
(ප්රතිගාමී දෝෂ) සමීකරණයේ දී සැලකිල්ලට නොගත් වෙනත් සාධකවල යැපෙන විචල්‍යයේ බලපෑම සමඟ සම්බන්ධ වේ, ආකෘතියේ රේඛීය නොවන බව, මිනුම් දෝෂ, එබැවින් පෙනුම අහඹු දෝෂ සමීකරණයපසුබෑම පහත අරමුණ නිසා විය හැක හේතු:
1) නියැදිය නියෝජනය නොකිරීම. යුගල ප්රතිගාමී ආකෘතියට ප්රතිඵල විචල්‍යයේ විචලනය සම්පූර්ණයෙන් පැහැදිලි කිරීමට නොහැකි සාධකයක් ඇතුළත් වන අතර, එය බොහෝ දුරට වෙනත් බොහෝ සාධක (අතුරුදහන් විචල්ය) මගින් බලපෑ හැකිය. රැකියාව, වැටුප්, සුදුසුකම් වලට අමතරව, අධ්යාපන මට්ටම, සේවා පළපුරුද්ද, ස්ත්‍රී පුරුෂ භාවය යනාදිය මත රඳා පවතී.
2) ආකෘතියට සම්බන්ධ විචල්යයන් දෝෂයකින් මැනිය හැකි සම්භාවිතාවක් ඇත. නිදසුනක් වශයෙන්, පවුලේ ආහාර වියදම් පිළිබඳ දත්ත සම්පාදනය කරනු ලබන්නේ සමීක්ෂණ සහභාගිවන්නන්ගේ වාර්තා වලින් වන අතර, ඔවුන් සිය දෛනික වියදම් ප්‍රවේශමෙන් වාර්තා කිරීමට අපේක්ෂා කෙරේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය දෝෂ වලට තුඩු දිය හැකිය.
නියැදි නිරීක්ෂණය මත පදනම්ව, නියැදි ප්රතිගාමී සමීකරණය ඇස්තමේන්තු කර ඇත ( ප්රතිගාමී රේඛාව):
,
කොහෙද 
- ප්රතිගාමී සමීකරණයේ පරාමිතීන්ගේ ඇස්තමේන්තු ( 
).
රඳා පැවැත්මේ විශ්ලේෂණාත්මක ස්වරූපයඅධ්‍යයනය කරන ලද ලක්ෂණ යුගල අතර (ප්රතිගාමී ශ්‍රිතය) පහත සඳහන් දෑ භාවිතයෙන් තීරණය වේ ක්රම:
න්යායික හා තාර්කික විශ්ලේෂණය මත පදනම්වඅධ්යයනය කරන ලද සංසිද්ධිවල ස්වභාවය, ඔවුන්ගේ සමාජ-ආර්ථික සාරය. උදාහරණයක් ලෙස, ජනගහනයේ ආදායම සහ ජනගහනයේ බැංකුවල තැන්පතු ප්රමාණය අතර සම්බන්ධය අධ්යයනය කරන්නේ නම්, එම සම්බන්ධතාවය සෘජු බව පැහැදිලිය.
ග්රැෆික් ක්රමයසම්බන්ධතාවයේ ස්වභාවය දෘශ්යමය වශයෙන් තක්සේරු කරන විට.
x-අක්ෂයේ ගුණාංගයේ අගය සටහන් කිරීමෙන් ඔබ ප්‍රස්ථාරයක් ගොඩනඟන්නේ නම් මෙම යැපීම පැහැදිලිව දැකගත හැකිය. x, සහ y අක්ෂය මත - විශේෂාංගයේ අගයන් හිදී. අගයන්ට අනුරූප වන ලකුණු ප්‍රස්ථාරය මත තැබීම xහා හිදී, අපිට ලැබෙනවා සහසම්බන්ධතා ක්ෂේත්රය:
a) ලකුණු අහඹු ලෙස ක්ෂේත්රය පුරා විසිරී තිබේ නම්, මෙම ලක්ෂණ අතර සම්බන්ධතාවයක් නොමැති බව මෙයින් පෙන්නුම් කරයි;
b) පහළ වම් කෙළවරේ සිට ඉහළ දකුණට විහිදෙන අක්ෂයක් වටා ලක්ෂ්ය සංකේන්ද්‍රණය වී ඇත්නම්, එම ලක්ෂණ අතර ඍජු සම්බන්ධයක් පවතී;
ඇ) ඉහළ වම් කෙළවරේ සිට පහළ දකුණට දිවෙන අක්ෂයක් වටා ලක්ෂ්ය සංකේන්ද්‍රණය වී ඇත්නම්, ලක්ෂණ අතර සම්බන්ධතාවය ප්රතිලෝම වේ.
සහසම්බන්ධතා ක්ෂේත්රයේ අපි ලකුණු රේඛා කොටස් සමඟ සම්බන්ධ කරන්නේ නම්, අපට ලැබේ කැඩුණු රේඛාවයම් ඉහළ ප්‍රවණතාවක් සමඟ. මෙය ආනුභවික සබැඳියක් හෝ වනු ඇත ආනුභවික ප්රතිගාමී රේඛාව. එහි පෙනුමෙන් කෙනෙකුට පැවැත්ම පමණක් නොව, අධ්යයනය කරන ලද ලක්ෂණ අතර සම්බන්ධතාවයේ ස්වරූපය ද විනිශ්චය කළ හැකිය.
යුගල ප්රතිගාමී සමීකරණයක් ගොඩනැගීම
ප්රතිගාමී සමීකරණය ගොඩනැගීම එහි පරාමිතීන් ඇස්තමේන්තු කිරීමට අඩු වේ. මෙම පරාමිති ඇස්තමේන්තු විවිධ ආකාරවලින් සොයාගත හැකිය. ඉන් එකක් තමයි ක්රමය අවම වශයෙන් වර්ග(MNK). ක්රමයේ සාරය පහත පරිදි වේ. එක් එක් අගය 
ආනුභවික (නිරීක්ෂණය කරන ලද) අගයට අනුරූප වේ 
. ප්රතිගාමී සමීකරණයක් ගොඩනැගීමෙන්, උදාහරණයක් ලෙස, සරල රේඛා සමීකරණයක්, එක් එක් අගය 
න්යායික (ගණනය කරන ලද) අගයට අනුරූප වනු ඇත 
. නිරීක්ෂණය කළ අගයන් 
ප්රතිගාමී රේඛාව මත හරියටම බොරු නොකියන්න, i.e. සමග නොගැලපේ 
. රඳා පවතින විචල්‍යයේ සත්‍ය සහ ගණනය කළ අගයන් අතර වෙනස හැඳින්වේ ඉතිරිය:
LSM මඟින් ඔබට එවැනි පරාමිති ඇස්තමේන්තු ලබා ගැනීමට ඉඩ සලසයි, එහි ඵලදායි ලක්ෂණයේ සත්‍ය අගයන්හි වර්ග අපගමනයන්හි එකතුව හිදීන්යායික සිට 
, i.e. අවශේෂ වර්ගවල එකතුව, අවම:
රේඛීය ලෙස අඩු කළ හැකි රේඛීය සමීකරණ සහ රේඛීය නොවන සමීකරණ සඳහා, පහත සඳහන් පද්ධතිය විසඳනු ලැබේ ඒහා බී:
කොහෙද n- නියැදි ප්රමාණය.
සමීකරණ පද්ධතිය විසඳීම, අපි අගයන් ලබා ගනිමු ඒහා බී, අපට ලිවීමට ඉඩ සලසයි ප්රතිගාමී සමීකරණය (ප්රතිගාමී සමීකරණය):
කොහෙද 
පැහැදිලි කිරීමේ (ස්වාධීන) විචල්යය වේ;
- පැහැදිලි කළ (යැපෙන) විචල්යය;
ප්රතිගාමී රේඛාව ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරයි ( 
,
) සහ සමානතා සපුරා ඇත:
ඔබට මෙම සමීකරණ පද්ධතියෙන් අනුගමනය කරන සූදානම් කළ සූත්‍ර භාවිතා කළ හැකිය:
කොහෙද 
- යැපෙන ලක්ෂණයේ සාමාන්ය අගය;
ස්වාධීන ලක්ෂණයක සාමාන්ය අගය වේ;
යැපෙන සහ ස්වාධීන ලක්ෂණවල නිෂ්පාදිතයේ අංක ගණිත මධ්යන්යය වේ;
ස්වාධීන ලක්ෂණයක විචලනය වේ;
රඳා පවතින සහ ස්වාධීන ලක්ෂණ අතර සහජීවනය වේ.
සාම්පල සහජීවනයවිචල්ය දෙකක් x, හිදීකියලා සාමාන්ය අගයමෙම විචල්යයන් ඒවායේ මාධ්‍යයන්ගෙන් අපගමනය වීමේ ප්රතිඵලය
පරාමිතිය බීහිදී xවිශිෂ්ට එකක් ඇත ප්රායෝගික වටිනාකමසහ ප්රතිගාමී සංගුණකය ලෙස හැඳින්වේ. ප්රතිගාමී සංගුණකයඅගය සාමාන්යයෙන් වෙනස් වන ඒකක කීයක් පෙන්වයි හිදී xඑහි මිනුම් ඒකක 1 කි.
පරාමිති ලකුණ බීයුගල ප්රතිගාමී සමීකරණයේ සම්බන්ධතාවයේ දිශාව පෙන්නුම් කරයි:
නම් 
, එවිට අධ්යයනය කරන ලද දර්ශක අතර සම්බන්ධතාවය සෘජු වේ, i.e. සාධක ලකුණෙහි වැඩි වීමක් සමඟ xප්රතිඵල ලකුණ වැඩි වේ හිදී, සහ අනෙක් අතට;
නම් 
, එවිට අධ්යයනය කරන ලද දර්ශක අතර සම්බන්ධතාවය ප්රතිලෝම වේ, i.e. සාධක ලකුණෙහි වැඩි වීමක් සමඟ xඵලදායී ලකුණක් හිදීඅඩු වන අතර අනෙක් අතට.
පරාමිති අගය ඒයුගල ප්රතිගාමී සමීකරණයේ සමහර අවස්ථා වල ඵලදායි ලක්ෂණයේ ආරම්භක අගය ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක හිදී. පරාමිතිය පිළිබඳ මෙම අර්ථ නිරූපණය ඒඅගය කළ හැක්කේ පමණි 
අර්ථය ඇත.
ප්රතිගාමී සමීකරණය ගොඩනැගීමෙන් පසු, නිරීක්ෂිත අගයන් yමෙසේ සිතිය හැක.
ඉතිරි වේ 
, මෙන්ම දෝෂ 
, අහඹු විචල්යයන් වේ, නමුත් ඒවා, දෝෂ වලට ප්රතිවිරුද්ධව 
, නිරීක්ෂණය කළ හැකි. ඉතිරිය පරායත්ත විචල්‍යයේ එම කොටසයි y, ප්රතිගාමී සමීකරණය මගින් පැහැදිලි කළ නොහැක.
ප්රතිගාමී සමීකරණය මත පදනම්ව, කෙනෙකුට ගණනය කළ හැකිය න්යායික අගයන් xඕනෑම අගයක් සඳහා x.
ආර්ථික විශ්ලේෂණයේ දී, ශ්රිතයක ප්රත්යාස්ථතාව පිළිබඳ සංකල්පය බොහෝ විට භාවිතා වේ. ක්රියාකාරී ප්රත්යාස්ථතාව
සාපේක්ෂ වෙනසක් ලෙස ගණනය කෙරේ yසාපේක්ෂ වෙනසකට x. ප්රත්යාස්ථතාව මඟින් ශ්‍රිතය වෙනස් වන ආකාරය පෙන්වයි 
ස්වාධීන විචල්යය 1% කින් වෙනස් වන විට.
රේඛීය ශ්රිතයක ප්රත්යාස්ථතාව නිසා 
නියත නොවේ, නමුත් මත රඳා පවතී x, එවිට ප්රත්යාස්ථතා සංගුණකය සාමාන්යයෙන් සාමාන්ය ප්රත්යාස්ථතා දර්ශකය ලෙස ගණනය කරනු ලැබේ.
ප්රත්යාස්ථතා සංගුණකයඵලදායි ගුණාංගයේ අගය සමස්තයක් ලෙස සාමාන්යයෙන් වෙනස් වන්නේ කොපමණ ප්‍රතිශතයකින්ද යන්න පෙන්වයි හිදීසාධක ලකුණ වෙනස් කරන විට xඑහි සාමාන්ය අගයෙන් 1%:
කොහෙද 
- විචල්‍යවල සාමාන්ය අගයන් xහා හිදීසාම්පලයේ.
ඉදිකරන ලද ප්රතිගාමී ආකෘතියේ ගුණාත්මකභාවය ඇගයීම
ප්රතිගාමී ආකෘතියේ ගුණාත්මකභාවය- ආරම්භක (නිරීක්ෂණය කරන ලද) දත්ත සඳහා ඉදිකරන ලද ආකෘතියේ ප්රමාණවත් බව.
සම්බන්ධතාවයේ තද බව මැනීමට, i.e. එය ක්‍රියාකාරීත්වයට කෙතරම් සමීපද යන්න මැනීමට, ඔබ අපගමනය මනින විචලනය තීරණය කළ යුතුය හිදීසිට හිදී xසහ අනෙකුත් සාධක හේතුවෙන් අවශේෂ විචලනය ගුනාංගීකරනය කිරීම. ඒවා ප්රතිගාමී ආකෘතියේ ගුණාත්මක භාවය සංලක්ෂිත දර්ශකවලට යටින් පවතී.
සංගුණක ගුනාංගීකරනය භාවිතයෙන් යුගල වශයෙන් ප්රතිගාමී වීමේ ගුණය තීරණය වේ
1) සම්බන්ධතාවයේ තද බව - සහසම්බන්ධතා දර්ශකය, යුගල කරන ලද රේඛීය සහසම්බන්ධතා සංගුණකය;
2) ආසන්න දෝෂ;
3) ප්රතිගාමී සමීකරණයේ ගුණාත්මකභාවය සහ එහි තනි පරාමිතීන් - සමස්තයක් ලෙස ප්රතිගාමී සමීකරණයේ මධ්‍යන්‍ය වර්ග දෝෂ සහ එහි තනි පරාමිතීන්.
ඕනෑම ආකාරයක ප්රතිගාමී සමීකරණ සඳහා අර්ථ දක්වා ඇත සහසම්බන්ධතා දර්ශකයසහසම්බන්ධ රඳා පැවැත්මේ තද බව පමණක් සංලක්ෂිත වන, i.e. ක්රියාකාරී සම්බන්ධතාවයකට එහි ආසන්නයේ තරම:
,
කොහෙද 
- සාධක (න්යායික) විචලනය;
සම්පූර්ණ විචලනය වේ.
සහසම්බන්ධතා දර්ශකය අගයන් ගනී 
, එහිදී,
නම් 
නම් 
ලක්ෂණ අතර සම්බන්ධය වේ xහා හිදීක්රියාකාරී වේ, සමීප වේ 
1 දක්වා, අධ්යයනය කරන ලද ගති ලක්ෂණ අතර සමීප සම්බන්ධතාවය සලකනු ලැබේ. අ 
, එවිට සම්බන්ධතාවය සමීප ලෙස සැලකිය හැකිය
සම්බන්ධතාවයේ තද බව පිළිබඳ දර්ශක ගණනය කිරීම සඳහා අවශ්ය වෙනස්කම් ගණනය කරනු ලැබේ:
සම්පූර්ණ විචලනය, සියලු සාධකවල ක්රියාකාරිත්වය හේතුවෙන් සම්පූර්ණ විචලනය මනිනු ලැබේ:
සාධක (න්යායික) විචලනය,ප්රතිඵලය වන ලක්ෂණයේ විචලනය මැනීම හිදීසාධක ලකුණක ක්රියාකාරිත්වය හේතුවෙන් x:
අවශේෂ විසුරුම, එය ලක්ෂණයේ විචලනය සංලක්ෂිත වේ හිදීහැර අනෙකුත් සියලුම සාධක හේතුවෙන් x(එනම් බැහැර කළ අය සමඟ x):
ඉන්පසුව, විචලනයන් එකතු කිරීමේ රීතියට අනුව: 
වාෂ්ප කාමරයේ ගුණාත්මකභාවය රේඛීයප්‍රතිගමනය භාවිතා කිරීම ද අර්ථ දැක්විය හැක ද්විත්ව රේඛීය සංගුණකයසහසම්බන්ධතා:
,
කොහෙද 
- විචල්‍යවල සහජීවනය xහා හිදී;
- ස්වාධීන ලක්ෂණයක සම්මත අපගමනය;
රඳා පවතින ලක්ෂණයේ සම්මත අපගමනය වේ.
රේඛීය සහසම්බන්ධතා සංගුණකය අධ්යයනය කරන ලද ලක්ෂණ අතර සම්බන්ධතාවයේ තද බව සහ දිශාව සංලක්ෂිත කරයි. එය මනිනු ලබන්නේ [-1; +1]:
නම් 
- එවිට සංඥා අතර සම්බන්ධතාවය සෘජු ය;
නම් 
- එවිට සංඥා අතර සම්බන්ධය ප්රතිලෝම වේ;
නම් 
- එවිට සංඥා අතර සම්බන්ධයක් නොමැත;
නම් 
හෝ 
- එවිට ලක්ෂණ අතර සම්බන්ධතාවය ක්රියාකාරී වේ, i.e. අතර පරිපූර්ණ ගැලපීමක් මගින් සංලක්ෂිත වේ xහා හිදී. වඩාත් සමීප 
1 දක්වා, අධ්යයනය කරන ලද ගති ලක්ෂණ අතර සමීප සම්බන්ධතාවය සලකනු ලැබේ.
සහසම්බන්ධතා දර්ශකය (යුගලිත රේඛීය සහසම්බන්ධතා සංගුණකය) වර්ග කර ඇත්නම්, අපට නිර්ණය කිරීමේ සංගුණකය ලැබේ.
නිර්ණය කිරීමේ සංගුණකය- සමස්තයේ සාධක විචල්‍යයේ කොටස නියෝජනය කරන අතර ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන ගුණාංගයේ විචලනය සියයට කීයක් පෙන්වයි හිදීසාධක ලක්ෂණයේ විචලනය මගින් පැහැදිලි කර ඇත x:
එය සියලු වෙනස්කම් ආවරණය නොකරයි. හිදීසාධක ලක්ෂණයකින් x, නමුත් රේඛීය ප්රතිගාමී සමීකරණයට අනුරූප වන එහි කොටස පමණි, i.e. පෙන්වයි විශිෂ්ඨ ගුරුත්වයසාධක ලක්ෂණයේ විචලනයට රේඛීයව සම්බන්ධ වන ප්රතිඵලය වන ගති ලක්ෂණයේ විචලනය.
වටිනාකම 
- ප්රතිගාමී ආදර්ශය සැලකිල්ලට ගත නොහැකි වූ ප්රතිඵලය වන ගුණාංගයේ විචලනයේ අනුපාතය.
සහසම්බන්ධතා ක්ෂේත්රයේ ලක්ෂ්ය විසිරීම ඉතා විශාල විය හැකි අතර, ගණනය කරන ලද ප්රතිගාමී සමීකරණය විශ්ලේෂණය කරන ලද දර්ශකය ඇස්තමේන්තු කිරීමේදී විශාල දෝෂයක් ලබා දිය හැකිය.
සාමාන්ය ආසන්න දෝෂයසත්‍ය අගයන්ගෙන් ගණනය කළ අගයන්හි සාමාන්ය අපගමනය පෙන්වයි:
උපරිම අවසර ලත් අගය 12-15% කි.
සම්මත දෝෂය ප්රතිගාමී රේඛාව වටා යැපෙන විචල්‍යයේ ව්‍යාප්තියේ මිනුමක් ලෙස භාවිතා කරයි.සම්පූර්ණ නිරීක්ෂිත අගයන් සඳහා, සම්මත (rms) ප්රතිගාමී සමීකරණ දෝෂය, එය සැබෑ අගයන්හි සම්මත අපගමනය වේ හිදීප්‍රතිගාමී සමීකරණය මගින් ගණනය කරන ලද න්යායික අගයන්ට සාපේක්ෂව හිදී x .
,
කොහෙද 
නිදහසේ අංශක ගණන;
එම්යනු ප්රතිගාමී සමීකරණයේ පරාමිති ගණනයි (සරල රේඛා සමීකරණය සඳහා එම්=2).
මධ්‍යන්‍ය වර්ග දෝෂයේ අගය එය සංසන්දනය කිරීමෙන් තක්සේරු කළ හැක
a) ඵලදායී ලක්ෂණයේ සාමාන්ය අගය සමඟ හිදී;
b) ලක්ෂණයේ සම්මත අපගමනය සමඟ හිදී:
නම් 
, එවිට මෙම ප්රතිගාමී සමීකරණය භාවිතා කිරීම සුදුසු වේ.
වෙන වෙනම ඇගයීමට ලක් කෙරේ සම්මත (rms) සමීකරණ පරාමිතීන් සහ සහසම්බන්ධතා දර්ශකයේ දෝෂ:
; 
;
.
x- සම්මත අපගමනය x.
ප්රතිගාමී සමීකරණයේ වැදගත්කම සහ සම්බන්ධතාවයේ තද බව පිළිබඳ දර්ශක පරීක්ෂා කිරීම
ඉදිකළ ආකෘතිය තවදුරටත් ආර්ථික ගණනය කිරීම් සඳහා භාවිතා කිරීම සඳහා, ඉදිකළ ආකෘතියේ ගුණාත්මකභාවය පරීක්ෂා කිරීම ප්රමාණවත් නොවේ. ප්රතිගාමී සමීකරණයේ ඇස්තමේන්තු වල වැදගත්කම (වැදගත්කම) සහ අවම වර්ග ක්රමය භාවිතයෙන් ලබාගත් සම්බන්ධතාවයේ සමීපත්වය පිළිබඳ දර්ශකය පරීක්ෂා කිරීම ද අවශ්ය වේ, i.e. සම්බන්ධතාවයේ සැබෑ පරාමිතීන් සමඟ අනුකූල වීම සඳහා ඒවා පරීක්ෂා කිරීම අවශ්ය වේ.
මෙයට හේතුව සීමිත ජනගහනයක් සඳහා ගණනය කරන ලද දර්ශක ගුණාංගයේ තනි අගයන්ට ආවේණික වූ අහඹු බවේ මූලද්‍රව්‍යය රඳවා තබා ගැනීමයි. එබැවින්, ඒවා යම් සංඛ්යාලේඛන විධිමත්භාවයක ඇස්තමේන්තු පමණි. ප්රතිගාමී පරාමිතීන්හි නිරවද්‍යතාවය සහ වැදගත්කම (විශ්වසනීයත්වය, ද්රව්යමය බව) මට්ටම තක්සේරු කිරීම අවශ්ය වේ. යටතේ වැදගත්කමපරීක්ෂා කරන ලද පරාමිතියේ අගය ශුන්‍යයට සමාන නොවන බවට ඇති සම්භාවිතාව ප්‍රතිවිරුද්ධ සලකුණු වල අගයන් ඇතුළත් නොවේ.
වැදගත්කම පරීක්ෂණය- පරාමිති බිංදුවෙන් වෙනස් වේ යන උපකල්පනය පරීක්ෂා කිරීම.
යුගල ප්රතිගාමී සමීකරණයේ වැදගත්කම තක්සේරු කිරීමසමස්තයක් ලෙස ප්රතිගාමී සමීකරණයේ වැදගත්කම සහ එහි තනි පරාමිතීන් පිළිබඳ උපකල්පන පරීක්ෂා කිරීමට පැමිණේ ( ඒ, බී), යුගල නිර්ණය කිරීමේ සංගුණකය හෝ සහසම්බන්ධතා දර්ශකය.
මෙම අවස්ථාවේදී, පහත සඳහන් දෑ ඉදිරිපත් කළ හැකිය ප්රධාන උපකල්පනඑච් 0 :
1) 
- ප්රතිගාමී සංගුණකය නොවැදගත් වන අතර ප්රතිගාමී සමීකරණය ද නොවැදගත් ය;
2) 
- නිර්ණය කිරීමේ යුගල සංගුණකය නොවැදගත් වන අතර ප්රතිගාමී සමීකරණය ද නොවැදගත් වේ.
විකල්ප (හෝ ප්රතිලෝම) පහත උපකල්පන වේ:
1) 
- ප්රතිගාමී සංගුණක ශුන්‍යයට වඩා සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් වන අතර ඉදිකරන ලද ප්රතිගාමී සමීකරණය සැලකිය යුතු ය;
2) 
- නිර්ණය කිරීමේ යුගල සංගුණකය ශුන්‍යයට වඩා සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් වන අතර ඉදිකරන ලද ප්රතිගාමී සමීකරණය සැලකිය යුතු වේ.
යුගල ප්රතිගාමී සමීකරණයේ වැදගත්කම පිළිබඳ උපකල්පනය පරීක්ෂා කිරීම
සමස්තයක් ලෙස ප්රතිගාමී සමීකරණයේ සංඛ්යානමය නොවැදගත්කම සහ නිර්ණය කිරීමේ සංගුණකය පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, අපි භාවිතා කරමු එෆ්- නිර්ණායකය(ධීවරයාගේ නිර්ණායකය):
හෝ 
කොහෙද කේ 1 = එම්–1 ; කේ 2 = n– එම් නිදහසේ අංශක ගණන;
nජනගහන ඒකක ගණන වේ;
එම්ප්‍රතිගාමී සමීකරණයේ පරාමිති ගණන වේ;
- සාධක විසරණය;
අවශේෂ විචලනය වේ.
උපකල්පනය පහත පරිදි පරීක්ෂා කරනු ලැබේ:
1) සැබෑ (නිරීක්ෂණය කරන ලද) අගය නම් එෆ්- නිර්ණායකය මෙම නිර්ණායකයේ තීරණාත්මක (වගුව) අගයට වඩා වැඩිය 
, පසුව සම්භාවිතාව සමඟ 
ප්රතිගාමී සමීකරණයේ නොවැදගත්කම හෝ නිර්ණය කිරීමේ යුගල සංගුණකය පිළිබඳ ප්රධාන කල්පිතය ප්රතික්ෂේප කරන අතර ප්රතිගාමී සමීකරණය සැලකිය යුතු ලෙස පිළිගැනේ;
2) F-නිර්නායකයේ සත්‍ය (නිරීක්ෂිත) අගය මෙම නිර්ණායකයේ තීරණාත්මක අගයට වඩා අඩු නම් 
, පසුව සම්භාවිතාව සමඟ ( 
) ප්රතිගාමී සමීකරණයේ නොවැදගත්කම හෝ නිර්ණය කිරීමේ යුගල සංගුණකය පිළිබඳ ප්රධාන කල්පිතය පිළිගනු ලබන අතර, ගොඩනඟන ලද ප්රතිගාමී සමීකරණය නොවැදගත් ලෙස පිළිගැනේ.
විවේචනාත්මක අගය එෆ්- වැදගත්කමේ මට්ටම අනුව අදාළ වගු අනුව නිර්ණායකය සොයාගත හැකිය 
සහ නිදහසේ අංශක ගණන 
.
නිදහසේ අංශක ගණන- දර්ශකය, නියැදි ප්රමාණය අතර වෙනස ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත ( n) සහ මෙම නියැදිය සඳහා ඇස්තමේන්තුගත පරාමිති ගණන ( එම්) යුගල කළ ප්රතිගාමී ආකෘතියක් සඳහා, නිදහසේ අංශක ගණන ගණනය කරනු ලැබේ 
, පරාමිති දෙකක් නියැදියෙන් ඇස්තමේන්තු කර ඇති බැවින් ( 
).
වැදගත්කම මට්ටම
- තීරණය කළ අගය 
,
කොහෙද 
ඇස්තමේන්තුගත පරාමිතිය වැටෙන විශ්වාසනීය සම්භාවිතාව වේ විශ්වාස අන්තරය. සාමාන්යයෙන් 0.95 ක් ගනු ලැබේ. මේ ක්රමයෙන් 
ඇස්තමේන්තුගත පරාමිතිය 0.05 (5%) ට සමාන විශ්වාස පරතරයට නොවැටීමේ සම්භාවිතාව වේ.
ඉන්පසුව, යුගල කළ ප්රතිගාමී සමීකරණයේ වැදගත්කම තක්සේරු කිරීමේදී, F-නිර්ණායකයේ තීරණාත්මක අගය ගණනය කරනු ලබන්නේ 
:
.
යුගල ප්රතිගාමී සමීකරණයේ සහ සහසම්බන්ධතා දර්ශකයේ පරාමිතීන්හි වැදගත්කම පිළිබඳ උපකල්පනය පරීක්ෂා කිරීම
සමීකරණයේ පරාමිතීන්ගේ වැදගත්කම පරීක්ෂා කිරීමේදී (පරාමිතීන් බිංදුවෙන් වෙනස් වේ යන උපකල්පනය), ලබාගත් ඇස්තමේන්තු වල නොවැදගත්කම පිළිබඳව ප්රධාන කල්පිතය ඉදිරිපත් කරයි ( 
. විකල්පයක් ලෙස (ප්රතිලෝම) කල්පිතය සමීකරණයේ පරාමිතීන්හි වැදගත්කම පිළිබඳව ඉදිරිපත් කෙරේ ( 
).
යෝජිත උපකල්පන පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, අපි භාවිතා කරමු ටී
- නිර්ණායකය
(ටී-සංඛ්යාලේඛන) ශිෂ්යයා. නිරීක්ෂණය කළ අගය ටී- නිර්ණායක අගය සමඟ සැසඳේ ටී- නිර්ණායකය ශිෂ්‍යයාගේ බෙදා හැරීමේ වගුව මගින් තීරණය වේ (විවේචනාත්මක අගය). විවේචනාත්මක අගය ටී- නිර්ණායක 
පරාමිති දෙකක් මත රඳා පවතී: වැදගත්කම මට්ටම 
සහ නිදහසේ අංශක ගණන 
.
යෝජිත උපකල්පන පහත පරිදි පරීක්ෂා කරනු ලැබේ:
1) නිරීක්ෂිත අගයේ මාපාංකය නම් ටී- නිර්ණායක විවේචනාත්මක අගයට වඩා වැඩි ය ටී- නිර්ණායක, i.e. 
, පසුව සම්භාවිතාව සමඟ 
ප්රතිගාමී පරාමිතිවල නොවැදගත්කම පිළිබඳ ප්රධාන උපකල්පනය ප්රතික්ෂේප කරනු ලැබේ, i.e. ප්රතිගාමී පරාමිති 0 ට සමාන නොවේ;
2) නිරීක්ෂිත අගයෙහි මාපාංකය නම් ටී- නිර්ණායකය විවේචනාත්මක අගයට වඩා අඩු හෝ සමාන වේ ටී- නිර්ණායක, i.e. 
, පසුව සම්භාවිතාව සමඟ 
ප්රතිගාමී පරාමිතිවල නොවැදගත්කම පිළිබඳ ප්රධාන උපකල්පනය පිළිගනු ලැබේ, i.e. ප්රතිගාමී පරාමිති බොහෝ දුරට 0 ට වෙනස් නොවේ හෝ 0 ට සමාන වේ.
ශිෂ්ය පරීක්ෂණය භාවිතා කරමින් ප්රතිගාමී සංගුණකවල වැදගත්කම තක්සේරු කිරීම ඔවුන්ගේ ඇස්තමේන්තු සම්මත දෝෂයේ අගය සමඟ සංසන්දනය කිරීමෙන් සිදු කෙරේ:
; 
සහසම්බන්ධතාවයේ දර්ශකයේ (රේඛීය සංගුණකය) සංඛ්යානමය වැදගත්කම තක්සේරු කිරීම සඳහා, එය ද භාවිතා වේ. ටී- සිසුන්ගේ නිර්ණායකය.
සහසම්බන්ධ පරායත්තතා අධ්යයනය පදනම් වී ඇත්තේ විචල්යයන් අතර එවැනි සම්බන්ධතා අධ්යයනය කිරීම මත වන අතර, එක් විචල්‍යයක අගයන්, එය පරායත්ත විචල්යයක් ලෙස ගත හැකිය, වෙනත් විචල්යයක් ගන්නා අගයන් මත පදනම්ව "සාමාන්යයෙන්" වෙනස් වේ. යැපෙන විචල්‍යයට අදාළව හේතුවක් ලෙස සැලකේ. මෙම හේතුවේ ක්රියාකාරිත්වය සංකීර්ණ අන්තර්ක්රියා තත්වයන් තුළ සිදු කරනු ලැබේ විවිධ සාධක, එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස රිය අනතුරු වල බලපෑමෙන් නිත්‍යභාවයේ ප්රකාශනය වැසී යයි. ගුණාංග-සාධකයේ දී ඇති අගයන් සමූහයක් සඳහා ලැබෙන ගුණාංගයේ සාමාන්ය අගයන් ගණනය කිරීම, අවස්ථා වල බලපෑම අර්ධ වශයෙන් ඉවත් කරනු ලැබේ. න්යායික සන්නිවේදන රේඛාවේ පරාමිතීන් ගණනය කිරීම, ඒවා තවදුරටත් ඉවත් කරනු ලබන අතර, "x" සාධකයේ වෙනසක් සමඟ නොපැහැදිලි (ආකෘතියෙන්) "y" වෙනස් කිරීමක් ලබා ගනී.
ස්ටෝචස්ටික් සබඳතා අධ්යයනය කිරීම සඳහා, සමාන්තර ශ්රේණි දෙකක් සංසන්දනය කිරීමේ ක්රමය, විශ්ලේෂණාත්මක කාණ්ඩගත කිරීමේ ක්රමය බහුලව භාවිතා වේ. සහසම්බන්ධතා විශ්ලේෂණය, විශ්ලේෂණයසහ සමහර පරාමිතික නොවන ක්රම. හිදී සාමාන්ය දැක්මසම්බන්ධතා අධ්යයනය කිරීමේ ක්ෂේත්රයේ සංඛ්‍යාලේඛනවල කර්තව්‍යය වන්නේ ඒවායේ පැවැත්ම, දිශානතිය සහ සම්බන්ධතාවයේ ශක්තිය ප්‍රමාණ කිරීම පමණක් නොව, ප්රතිඵලය මත සාධක ලක්ෂණවල බලපෑමේ ස්වරූපය (විශ්ලේෂණාත්මක ප්රකාශනය) තීරණය කිරීමයි. එය විසඳීම සඳහා සහසම්බන්ධතා සහ ප්රතිගාමී විශ්ලේෂණයේ ක්රම භාවිතා කරනු ලැබේ.
පරිච්ඡේදය 1. පසුබෑම සමීකරණය: න්‍යායාත්මක පදනම්
1.1 ප්රතිගාමී සමීකරණය: සාරය සහ ශ්‍රිත වර්ග
පසුබෑම (lat. regressio- ආපසු චලනය, තවත් සිට ගමන් කිරීම සංකීර්ණ හැඩතලඅඩු සංකීර්ණ ඒවාට සංවර්ධනය කිරීම) සම්භාවිතාව පිළිබඳ න්‍යායේ මූලික සංකල්පවලින් එකකි ගණිතමය සංඛ්යා ලේඛනසාමාන්ය අගය මත යැපීම ප්රකාශ කිරීම අහඹු විචල්යයවෙනත් සසම්භාවී විචල්‍යයක හෝ අහඹු විචල්ය කිහිපයක අගයන්ගෙන්. මෙම සංකල්පය 1886 දී Francis Galton විසින් හඳුන්වා දෙන ලදී.
න්යායික ප්රතිගාමී රේඛාව යනු සහසම්බන්ධ ක්ෂේත්රයේ ලක්ෂ්ය කාණ්ඩගත කර ඇති රේඛාව වන අතර එය සම්බන්ධතාවයේ ප්රධාන දිශාව, ප්රධාන ප්‍රවණතාවය පෙන්නුම් කරයි.
න්යායික ප්රතිගාමී රේඛාව මගින් "x" යන සාධකයට සාපේක්ෂව අහඹු ලෙස - "x" යන සාධක ගුණාංගයේ අගයන් වෙනස් වන විට "y" යන ඵලදායි ගුණාංගයේ සාමාන්ය අගයන්හි වෙනස පිළිබිඹු විය යුතුය. හේතු අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් අවලංගු වේ. එබැවින්, න්‍යායාත්මක ප්රතිගාමී රේඛාවේ අනුරූප ලක්ෂ්‍යවලින් සහසම්බන්ධ ක්ෂේත්රයේ ලක්ෂ්‍යවල අපගමනවල එකතුව ශුන්‍යයට සමාන වන පරිදි මෙම රේඛාව ඇඳිය යුතු අතර, මෙම අපගමනවල වර්ගවල එකතුව අවම වේ. අගය.
y=f(x) - ප්රතිගාමී සමීකරණය යනු විචල්ය අතර සංඛ්‍යාන සම්බන්ධතාවක් සඳහා වන සූත්‍රයකි.
තලයක (මාන දෙකක අවකාශයක) සරල රේඛාවක් ලබා දෙන්නේ y=a+b*x සමීකරණයෙනි. වඩාත් විස්තරාත්මකව: y විචල්යය නියත (a) සහ බෑවුමක් (b) x විචල්‍යයෙන් ගුණ කිරීමෙන් ප්රකාශ කළ හැකිය. නියතය සමහර විට අන්තරාලය ලෙසද හැඳින්වේ, බෑවුම ප්රතිගාමී හෝ B-සාධකය ලෙසද හැඳින්වේ.
ප්රතිගාමී විශ්ලේෂණයේ වැදගත් පියවරක් වන්නේ විශේෂාංග අතර සම්බන්ධතාවය සංලක්ෂිත ශ්‍රිතයේ වර්ගය තීරණය කිරීමයි. ප්රධාන පදනම අධ්යයනය යටතේ යැපීම ස්වභාවය, එහි යාන්ත්රණය අර්ථවත් විශ්ලේෂණයක් විය යුතුය. ඒ අතරම, අධ්යයනය කරන ලද සමාජ-ආර්ථික සංසිද්ධි ඉතා සංකීර්ණ වන අතර ඒවායේ මට්ටම් ඇති කරන සාධක සමීපව බැඳී ඇති අතර අන්තර්ක්රියා කරන බැවින් කාර්ය සාධන දර්ශකය සමඟ එක් එක් සාධකවල සම්බන්ධතාවයේ ස්වරූපය න්‍යායාත්මකව සනාථ කිරීම සැමවිටම කළ නොහැක්කකි. එකිනෙකා සමග. එබැවින්, මත පදනම්ව න්යායික විශ්ලේෂණයබොහෝ විට සම්බන්ධතාවයේ දිශාව, අධ්යයනය කරන ලද ජනගහනයේ එහි වෙනස් වීමේ හැකියාව, රේඛීය සම්බන්ධතාවයක් භාවිතා කිරීමේ නීත්‍යානුකූලභාවය, ආන්තික අගයන් තිබීම යනාදිය සම්බන්ධයෙන් වඩාත් සාමාන්ය නිගමනවලට එළඹිය හැකිය. එවැනි උපකල්පනවලට අවශ්ය එකතු කිරීමක් විය යුත්තේ නිශ්චිත සත්‍ය දත්ත විශ්ලේෂණය කිරීමයි.
ආනුභවික ප්රතිගාමී රේඛාව මත පදනම්ව සම්බන්ධක රේඛාව පිළිබඳ ආසන්න අදහසක් ලබා ගත හැකිය. ආනුභවික ප්රතිගාමී රේඛාව සාමාන්යයෙන් කැඩුණු රේඛාවකි, අඩු හෝ වැඩි සැලකිය යුතු බිඳීමක් ඇත. ඵලදායි ගුණාංගයේ විචලනයට බලපාන වෙනත් ගණන් නොගත් සාධකවල බලපෑම ප්රමාණවත් නොවීම හේතුවෙන් සාමාන්යයෙන් අර්ධ වශයෙන් අවලංගු වන බව මෙය පැහැදිලි කරයි. විශාල සංඛ්යාවක්නිරීක්ෂණ, එබැවින් න්යායික වක්‍ර වර්ගය තෝරා ගැනීම සහ සාධාරණීකරණය කිරීම සඳහා ආනුභවික සබැඳිය භාවිතා කළ හැකි අතර, නිරීක්ෂණ ගණන ප්රමාණවත් තරම් විශාල නම්.
විශේෂිත අධ්‍යයනයන්හි එක් අංගයක් වන්නේ තරඟකාරී මාදිලිවල අනුවාද මගින් අනුභූතික දත්ත ආසන්න කිරීම සඳහා තත්ත්ව නිර්ණායක භාවිතා කිරීම මත පදනම් වූ විවිධ යැපීම් සමීකරණ සංසන්දනය කිරීමයි.බොහෝ විට, සබඳතා ගුනාංගීකරනය කිරීම සඳහා ආර්ථික දර්ශකපහත ආකාරයේ කාර්යයන් භාවිතා කරන්න:
1. රේඛීය:
2. හයිපර්බෝලික්:
3. නිරූපණ:
4. පරාවලයික:
5. බලය:
6. ලඝුගණක:
7. ලොජිස්ටික්:
එක් පැහැදිලි කිරීමේ සහ එක් පැහැදිලි කිරීමේ විචල්යයක් සහිත ආකෘතියක් යුගල කළ ප්රතිගාමී ආකෘතියකි. පැහැදිලි කිරීමේ (සාධක) විචල්ය දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් භාවිතා කරන්නේ නම්, ඔවුන් පවසන්නේ ආකෘතිය භාවිතා කරන බවයි. බහු පසුබෑම. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, මෙම විචල්යයන් සම්බන්ධ කරන රේඛීය, ඝාතීය, අධිබල, ඝාතීය සහ වෙනත් ආකාරයේ ශ්‍රිත විකල්ප ලෙස තෝරා ගත හැකිය.
a සහ b පරාමිති සොයා ගැනීමට, ප්රතිගාමී සමීකරණ අවම කොටු ක්රමය භාවිතා කරයි. ශ්‍රිතයක් සෙවීමට අවම කොටු ක්රමය යොදන විට හොඳම මාර්ගයආනුභවික දත්ත වලට අනුරූප වේ, න්‍යායාත්මක ප්රතිගාමී රේඛාවේ සිට ආනුභවික ලක්ෂ්‍යවල වර්ග අපගමන මල්ල අවම අගය විය යුතු බව විශ්වාස කෙරේ.
අවම වර්ග ක්රමයේ නිර්ණායකය පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
එබැවින්, අනුභූතික දත්තවලට වඩාත් ගැලපෙන සරල රේඛාවේ a සහ b පරාමිති නිර්ණය කිරීම සඳහා අවම කොටු ක්රමය යෙදීම අන්ත ගැටලුවක් දක්වා අඩු වේ.
ශ්‍රේණිගත කිරීම් සම්බන්ධයෙන්, පහත නිගමන උකහා ගත හැකිය:
1. අඩු කොටු ඇස්තමේන්තු යනු නියැදි කාර්යයන් වන අතර, ඒවා ගණනය කිරීම පහසු කරයි.
2. අඩුම වර්ග ක්රමයේ ඇස්තමේන්තු වේ ලක්ෂ්ය ඇස්තමේන්තුන්යායික ප්රතිගාමී සංගුණක.
3. ප්‍රතිගාමීත්වයේ ආනුභවික රේඛාව අවශ්‍යයෙන්ම x, y ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරයි.
4. ආනුභවික ප්රතිගාමී සමීකරණය ගොඩනගා ඇත්තේ අපගමනයන්හි එකතුව වන ආකාරයට ය
.ආනුභවික සහ න්යායික සන්නිවේදන රේඛාවේ චිත්රක නිරූපණයක් රූප සටහන 1 හි දැක්වේ.
සමීකරණයේ b පරාමිතිය ප්රතිගාමී සංගුණකය වේ. සෘජු සහසම්බන්ධතා යැපීම හමුවේ, ප්රතිගාමී සංගුණකය ඇත ධනාත්මක අගය, සහ ප්රතිලෝම සම්බන්ධතාවයකදී, ප්රතිගාමී සංගුණකය ඍණ වේ. ප්රතිගාමී සංගුණකය පෙන්නුම් කරන්නේ "x" යන සාධකය එකකින් වෙනස් වන විට "y" ඵලදායි ගුණාංගයේ අගය සාමාන්යයෙන් කොපමණ වෙනස් වේද යන්නයි. ජ්‍යාමිතික වශයෙන්, ප්රතිගාමී සංගුණකය යනු x-අක්ෂයට සාපේක්ෂව සහසම්බන්ධතා සමීකරණය නිරූපණය කරන සරල රේඛාවේ බෑවුමයි (සමීකරණය සඳහා
).බහුමාන අංශය සංඛ්යානමය විශ්ලේෂණයපරායත්තතා ප්‍රතිසාධනය සඳහා කැප වූ ප්රතිගාමී විශ්ලේෂණය ලෙස හැඳින්වේ. සලකා බලන ශ්‍රිතය ඇස්තමේන්තුගත පරාමිති මත රේඛීයව රඳා පවතින විට "රේඛීය ප්රතිගාමී විශ්ලේෂණය" යන යෙදුම භාවිතා වේ (ස්වාධීන විචල්යයන් මත යැපීම අත්තනෝමතික විය හැක). ඇගයීමේ න්යාය
රේඛීය ප්රතිගාමී විශ්ලේෂණයේ දී නොදන්නා පරාමිති හොඳින් වර්ධනය වේ. රේඛීයතාවයක් නොමැති නම් සහ එය සම්මත කළ නොහැකි නම් රේඛීය ගැටලුව, එසේ නම්, රීතියක් ලෙස, හොඳ ගුණාංගශ්රේණිගත කිරීම් අපේක්ෂා කළ යුතු නොවේ. පරායත්තතා සම්බන්ධයෙන් ප්‍රවේශයන් නිරූපණය කරමු විවිධ ආකාරයේ. යැපීම බහුපද (බහුපද) ස්වරූපයක් තිබේ නම්. සහසම්බන්ධතා ගණනය කිරීම විචල්ය දෙකක් අතර සම්බන්ධතාවයේ ශක්තිය සංලක්ෂිත කරන්නේ නම්, ප්රතිගාමී විශ්ලේෂණය මෙම සම්බන්ධතාවයේ වර්ගය තීරණය කිරීමට සේවය කරන අතර තවත් (ස්වාධීන) විචල්‍යයක අගය මත පදනම්ව එක් (යැපෙන) විචල්‍යයක අගය පුරෝකථනය කිරීමට හැකි වේ. රේඛීය ප්රතිගාමී විශ්ලේෂණයක් සිදු කිරීම සඳහා, පරායත්ත විචල්‍යයට අන්තර (හෝ සාමාන්ය) පරිමාණයක් තිබිය යුතුය. ඒ අතරම, ද්විමය ලොජිස්ටික් ප්‍රතිගමනය මගින් ඕනෑම පරිමාණයකට සම්බන්ධ වෙනත් විචල්යයක් මත ද්විකෝටික විචල්‍යයක යැපීම හෙළි කරයි. probit විශ්ලේෂණය සඳහා එකම යෙදුම් කොන්දේසි වලංගු වේ. පරායත්ත විචල්යය වර්ගීකරණය වන නමුත් කාණ්ඩ දෙකකට වඩා වැඩි නම්, බහුපද ලොජිස්ටික් ප්‍රතිගමනය මෙහිදී සුදුසු ක්‍රමයක් වනු ඇති අතර, විරාම පරිමාණයට අයත් විචල්යයන් අතර රේඛීය නොවන සම්බන්ධතා විශ්ලේෂණය කළ හැක. මේ සඳහා, ක්රමය වේ රේඛීය පසුබෑම.
කාර්යයක්.
ව්යවසායන් විසිනි සැහැල්ලු කර්මාන්තයකලාපය, ප්රාග්ධන ආයෝජන පරිමාව (Y, රූබල් මිලියන) මත නිමැවුම් පරිමාව (Y, රූබල් මිලියන) රඳා පැවතීම සංලක්ෂිත තොරතුරු ලබා ගන්නා ලදී.
වගුව 1.
ප්රාග්ධන ආයෝජන පරිමාව මත නිමැවුම් පරිමාව මත යැපීම.
| x | ||||||||||
| වයි |
අවශ්යයි:
1. රේඛීය ප්රතිගාමී සමීකරණයේ පරාමිතීන් සොයන්න, ප්රතිගාමී සංගුණකයේ ආර්ථික අර්ථකථනයක් දෙන්න.
2. අවශේෂ ගණනය කරන්න; වර්ගවල ඉතිරි එකතුව සොයා ගන්න; අවශේෂවල විචලනය තක්සේරු කරන්න; ඉතිරි කොටස් කුමන්ත්‍රණය කරන්න.
3. LSM පූර්වාවශ්‍යතා සපුරාලීම පරීක්ෂා කරන්න.
4. ශිෂ්‍යයාගේ t-test (α = 0.05) භාවිතයෙන් ප්රතිගාමී සමීකරණයේ පරාමිතිවල වැදගත්කම පරීක්ෂා කරන්න.
5. නිර්ණය කිරීමේ සංගුණකය ගණනය කරන්න, Fisher's F - නිර්ණායකය (α = 0.05) භාවිතා කරමින් ප්රතිගාමී සමීකරණයේ වැදගත්කම පරීක්ෂා කරන්න, සාමාන්ය සාපේක්ෂ ආසන්න දෝෂය සොයා ගන්න. ආකෘතියේ ගුණාත්මකභාවය පිළිබඳ විනිශ්චයක් කරන්න.
6. X සාධකයේ පුරෝකථනය කළ අගය එහි උපරිම අගයෙන් 80%ක් නම්, α = 0.1 වැදගත්තා මට්ටමකින් Y දර්ශකයේ සාමාන්ය අගය පුරෝකථනය කිරීමට.
7. පුරෝකථන ලක්ෂ්‍යයේ සැබෑ සහ ආදර්ශ Y අගයන් චිත්රක ලෙස ඉදිරිපත් කරන්න.
8. සමීකරණ ලියන්න රේඛීය නොවන ප්‍රතිගාමීත්වයසහ ඔවුන්ගේ ප්‍රස්ථාර සැලසුම් කරන්න:
අධිබලැති;
බලය;
ප්‍රදර්ශනාත්මකයි.
9. මෙම ආකෘති සඳහා, නිර්ණය කිරීමේ සංගුණක සහ සාමාන්යය සොයා ගන්න සාපේක්ෂ දෝෂආසන්න කිරීම්. මෙම ලක්ෂණ අනුව ආකෘති සංසන්දනය කර නිගමනයකට එළඹෙන්න.
අපි රේඛීය ප්රතිගාමී සමීකරණයේ පරාමිතීන් සොයාගෙන ප්රතිගාමී සංගුණකය පිළිබඳ ආර්ථික අර්ථකථනයක් ලබා දෙමු.
රේඛීය ප්රතිගාමී සමීකරණය වන්නේ: 
,
a සහ b පරාමිතීන් සොයා ගැනීම සඳහා ගණනය කිරීම් වගුව 2 හි දක්වා ඇත.
වගුව 2.
රේඛීය ප්රතිගාමී සමීකරණයේ පරාමිතීන් සොයා ගැනීම සඳහා අගයන් ගණනය කිරීම.
ප්රතිගාමී සමීකරණය: y = 13.8951 + 2.4016*x.
ප්රාග්ධන ආයෝජන (X) පරිමාව රුබල් මිලියන 1 කින් වැඩි වීමත් සමඟ. නිමැවුම් පරිමාව (Y) සාමාන්යයෙන් රුපියල් මිලියන 2.4016 කින් වැඩි වනු ඇත. මේ අනුව, සං signs ා වල ධනාත්මක සහසම්බන්ධයක් ඇති අතර එය ව්‍යවසායවල කාර්යක්ෂමතාව සහ ඔවුන්ගේ ක්‍රියාකාරකම්වල ආයෝජනවල ලාභදායීතාවය පෙන්නුම් කරයි.
2. ඉතිරි ගණනය කරන්න; වර්ගවල ඉතිරි එකතුව සොයා ගන්න; අවශේෂවල විචලනය තක්සේරු කරන්න සහ අවශේෂ කොටස් සැලසුම් කරන්න.
ඉතිරිය සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ: e i = y i - y අනාවැකි
වර්ග අපගමනයන්හි අවශේෂ එකතුව: = 207.74.
අවශේෂ විසුරුම: 
25.97.
ගණනය කිරීම් වගුව 3 හි දක්වා ඇත.
වගුව 3
| № | වයි | x | Y=a+b*x i | e i = y i - y අනාවැකි. | e i 2 |
| 100,35 | 3,65 | 13,306 | |||
| 81,14 | -4,14 | 17,131 | |||
| 117,16 | -0,16 | 0,0269 | |||
| 138,78 | -1,78 | 3,1649 | |||
| 136,38 | 6,62 | 43,859 | |||
| 143,58 | 0,42 | 0,1744 | |||
| 73,93 | 8,07 | 65,061 | |||
| 102,75 | -1,75 | 3,0765 | |||
| 136,38 | -4,38 | 19,161 | |||
| 83,54 | -6,54 | 42,78 | |||
| එකතුව | 0,00 | 207,74 | |||
| සාමාන්යය | 111,4 | 40,6 |
ශේෂ සටහන මේ වගේ ය:
Fig.1. අවශේෂ සටහන
3. මුලද්‍රව්‍ය ඇතුළත් LSM හි පූර්ව අවශ්‍යතා සපුරාලීම පරීක්ෂා කරමු:
- අහඹු සංරචකයේ ගණිතමය අපේක්ෂාව ශුන්‍යයට සමානාත්මතාවය පරීක්ෂා කිරීම;
- අවශේෂවල අහඹු ස්වභාවය;
- ස්වාධීනත්වය පරීක්ෂා කිරීම;
- සාමාන්ය බෙදාහැරීමේ නීතියට අපද්‍රව්‍ය ගණනාවක ලිපි හුවමාරුව.
ශුන්‍යයට අවශේෂ මාලාවක මට්ටම්වල ගණිතමය අපේක්ෂාවේ සමානාත්මතාවය පරීක්ෂා කිරීම.
අනුරූප ශුන්ය කල්පිතය H 0: සත්‍යාපනය කිරීමේදී එය සිදු කෙරේ. මෙම කාර්යය සඳහා, t-සංඛ්‍යාලේඛනයක් ඉදිකරනු ලැබේ, එහිදී 
.
එබැවින් උපකල්පනය පිළිගනු ලැබේ.
අවශේෂවල අහඹු ස්වභාවය.
හැරවුම් ලක්ෂ්ය නිර්ණායකය භාවිතා කරමින් අවශේෂ මාලාවක මට්ටම්වල අහඹු බව පරීක්ෂා කරමු:
හැරවුම් ලක්ෂ්ය ගණන තීරණය වන්නේ අවශේෂ වගුවෙනි:
| № | e i = y i - y අනාවැකි. | හැරවුම් ලක්ෂ්ය | e i 2 | (e i - e i -1) 2 |
| 3,65 | 13,31 | |||
| -4,14 | * | 17,13 | 60,63 | |
| -0,16 | * | 0,03 | 15,80 | |
| -1,78 | * | 3,16 | 2,61 | |
| 6,62 | * | 43,86 | 70,59 | |
| 0,42 | * | 0,17 | 38,50 | |
| 8,07 | * | 65,06 | 58,50 | |
| -1,75 | * | 3,08 | 96,43 | |
| -4,38 | 19,16 | 6,88 | ||
| -6,54 | 42,78 | 4,68 | ||
| එකතුව | 0,00 | 207,74 | 354,62 | |
| සාමාන්යය |
= 6 > , එබැවින්, අපද්‍රව්‍යවල අහඹු බවේ ගුණය තෘප්තිමත් වේ.
අවශේෂ ස්වාධීනත්වය Durbin-Watson පරීක්ෂණය භාවිතයෙන් තහවුරු කර ඇත:
=4 -
1,707 = 2,293.
එය d 2 සිට 2 දක්වා පරතරයට වැටී ඇති බැවින්, මෙම නිර්ණායකයට අනුව, ස්වාධීන දේපල තෘප්තිමත් බව අපට නිගමනය කළ හැකිය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ගතික ශ්‍රේණියේ ස්වයං සහසම්බන්ධතාවයක් නොමැති බවයි, එබැවින් මෙම නිර්ණායකයට අනුව ආකෘතිය ප්රමාණවත් වේ.
සාමාන්ය බෙදාහැරීමේ නීතියට අවශේෂ ගණනාවක ලිපි හුවමාරුවවිවේචනාත්මක මට්ටම් (2.7-3.7) සමඟ R / S-නිර්ණායකය භාවිතයෙන් තීරණය කරනු ලැබේ;
RS අගය ගණනය කරන්න:
RS = (e max - e min) / S,
කොහෙද ඉමැක්ස් - උපරිම අගයඅපද්‍රව්‍ය ගණනක මට්ටම් E (t) = 8.07;
e min - අවශේෂ මාලාවක මට්ටම්වල අවම අගය E(t) = -6.54.
S - සම්මත අපගමනය, 
= 4,8044.
RS \u003d (e max - e min) / S \u003d (8.07 + 6.54) / 4.8044 \u003d 3.04.
2.7 සිට< 3,04 < 3,7, и полученное значение RS попало в за-данный интервал, значит, выполняется свойство нормальности распределения.
මේ අනුව, සලකා බලයි විවිධ නිර්ණායක LSM හි පූර්ව අවශ්‍යතා සපුරාලීම, LSM හි පූර්ව අවශ්‍යතා සපුරා ඇති බව අපි නිගමනය කරමු.
4. ශිෂ්‍යයාගේ t-test α = 0.05 භාවිතයෙන් ප්රතිගාමී සමීකරණයේ පරාමිතිවල වැදගත්කම පරීක්ෂා කරමු.
තනි ප්රතිගාමී සංගුණකවල වැදගත්කම පරීක්ෂා කිරීම ගණනය කළ අගයන් නිර්ණය කිරීම හා සම්බන්ධ වේ t-test (t-සංඛ්යාලේඛන)අනුරූප ප්රතිගාමී සංගුණක සඳහා:
එවිට ගණනය කළ අගයන් වගුව සමඟ සංසන්දනය කරනු ලැබේ t වගුව= 2.3060. නිර්ණායකයේ වගු අගය තීරණය වන්නේ ( n- 2) නිදහසේ අංශක ( n-නිරීක්ෂණ ගණන) සහ ඊට අනුරූප වැදගත්කම මට්ටම a (0.05)
සමඟ t-test හි ගණනය කළ අගය නම් (n- 2) දී ඇති වැදගත්කමේ මට්ටමකදී නිදහසේ අංශක එහි වගු අගය ඉක්මවා යයි, ප්රතිගාමී සංගුණකය සැලකිය යුතු ලෙස සැලකේ.
අපගේ නඩුවේදී, ප්රතිගාමී සංගුණකය 0 - නොවැදගත්, සහ 1 - සැලකිය යුතු සංගුණක වේ.
රුසියානු සමූහාණ්ඩුවේ අධ්යාපන හා විද්යා අමාත්යාංශය
අධ්යාපනය සඳහා ෆෙඩරල් නියෝජිතායතනය
රජයේ අධ්යාපන ආයතනයඋසස් වෘත්තීය අධ්යාපනය
මූල්‍ය හා ආර්ථික විද්‍යාව පිළිබඳ සමස්ත රුසියානු ලිපි හුවමාරු ආයතනය
Tula හි ශාඛාව
පරීක්ෂණය
"ආර්ථිකමිතික" විෂයයෙහි
Tula - 2010
කාර්යය 2 (අ, ආ)
සැහැල්ලු කර්මාන්ත ව්යවසායන් සඳහා, ප්රාග්ධන ආයෝජන පරිමාව (X, මිලියන රූබල්) වගුව මත නිමැවුම් පරිමාව (Y, මිලියන රූබල්) යැපීම සංලක්ෂිත තොරතුරු ලබා ගන්නා ලදී. එක.
| x | 33 | 17 | 23 | 17 | 36 | 25 | 39 | 20 | 13 | 12 |
| වයි | 43 | 27 | 32 | 29 | 45 | 35 | 47 | 32 | 22 | 24 |
අවශ්ය:
1. රේඛීය ප්රතිගාමී සමීකරණයේ පරාමිතීන් සොයන්න, ප්රතිගාමී සංගුණකයේ ආර්ථික අර්ථකථනයක් දෙන්න.
2. අවශේෂ ගණනය කරන්න; වර්ගවල ඉතිරි එකතුව සොයා ගන්න; අවශේෂවල විචලනය තක්සේරු කරන්න
; ඉතිරි කොටස් කුමන්ත්‍රණය කරන්න.3. LSM පූර්වාවශ්‍යතා සපුරාලීම පරීක්ෂා කරන්න.
4. ශිෂ්‍යයාගේ t-test (α=0.05) භාවිතයෙන් ප්රතිගාමී සමීකරණයේ පරාමිතිවල වැදගත්කම පරීක්ෂා කරන්න.
5. නිර්ණය කිරීමේ සංගුණකය ගණනය කරන්න, Fisher F-test (α=0.05) භාවිතයෙන් ප්රතිගාමී සමීකරණයේ වැදගත්කම පරීක්ෂා කරන්න, සාමාන්ය සාපේක්ෂ ආසන්න දෝෂය සොයා ගන්න. ආකෘතියේ ගුණාත්මකභාවය පිළිබඳ විනිශ්චයක් කරන්න.
6. X සාධකයේ පුරෝකථනය කළ අගය එහි උපරිම අගයෙන් 80%ක් නම්, Y දර්ශකයේ සාමාන්ය අගය α=0.1 වැදගත්කමකින් පුරෝකථනය කරන්න.
7. චිත්රක ලෙස ඉදිරිපත් කරන්න: සැබෑ සහ ආදර්ශ Y අගයන්, අනාවැකි ලක්ෂ්ය.
8. රේඛීය නොවන ප්රතිගාමී සමීකරණ සම්පාදනය කරන්න:
අධිබලැති;
බලය;
ඇඟවුම් කරයි.
සාදන ලද ප්රතිගාමී සමීකරණවල ප්‍රස්තාර දෙන්න.
9. මෙම ආකෘති සඳහා, නිර්ණය කිරීමේ සංගුණක සහ සාමාන්ය සාපේක්ෂ ආසන්න දෝෂ සොයා ගන්න. මෙම ලක්ෂණ අනුව ආකෘති සංසන්දනය කර නිගමනයකට එළඹෙන්න.
1. රේඛීය ආකෘතියට පෝරමය ඇත:
රේඛීය ප්රතිගාමී සමීකරණයේ පරාමිතීන් සූත්‍ර භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය
පරාමිති අගයන් ගණනය කිරීම වගුවේ දක්වා ඇත. 2.
| ටී | y | x | yx | |||||||
| 1 | 43 | 33 | 1419 | 1089 | 42,236 | 0,764 | 0,584 | 90,25 | 88,36 | 0,018 |
| 2 | 27 | 17 | 459 | 289 | 27,692 | -0,692 | 0,479 | 42,25 | 43,56 | 0,026 |
| 3 | 32 | 23 | 736 | 529 | 33,146 | -1,146 | 1,313 | 0,25 | 2,56 | 0,036 |
| 4 | 29 | 17 | 493 | 289 | 27,692 | 1,308 | 1,711 | 42,25 | 21,16 | 0,045 |
| 5 | 45 | 36 | 1620 | 1296 | 44,963 | 0,037 | 0,001 | 156,25 | 129,96 | 0,001 |
| 6 | 35 | 25 | 875 | 625 | 34,964 | 0,036 | 0,001 | 2,25 | 1,96 | 0,001 |
| 7 | 47 | 39 | 1833 | 1521 | 47,69 | -0,69 | 0,476 | 240,25 | 179,56 | 0,015 |
| 8 | 32 | 20 | 640 | 400 | 30,419 | 1,581 | 2,500 | 12,25 | 2,56 | 0,049 |
| 9 | 22 | 13 | 286 | 169 | 24,056 | -2,056 | 4,227 | 110,25 | 134,56 | 0,093 |
| 10 | 24 | 12 | 288 | 144 | 23,147 | 0,853 | 0,728 | 132,25 | 92,16 | 0,036 |
| ∑ | 336 | 235 | 8649 | 6351 | 12,020 | 828,5 | 696,4 | 0,32 | ||
| සාමාන්ය | 33,6 | 23,5 | 864,9 | 635,1 |
රේඛීය ආකෘතියේ පරාමිතීන් අපි තීරණය කරමු
රේඛීය ආකෘතියේ ආකෘතිය ඇත
ප්රතිගාමී සංගුණකය
Y හි ප්රතිදානය සාමාන්යයෙන් රුපියල් මිලියන 0.909 කින් වැඩි වන බව පෙන්නුම් කරයි. ප්රාග්ධන ආයෝජන X හි පරිමාව රුපියල් මිලියන 1 කින් වැඩි වීමත් සමඟ.2. ඉතිරිය ගණනය කරන්න
, වර්ගවල අවශේෂ එකතුව , අපි සූත්රය භාවිතයෙන් අවශේෂ විචලනය සොයා ගනිමු:
ගණනය කිරීම් වගුවේ දක්වා ඇත. 2.
සහල්. 1. අවශේෂවල ප්‍රස්තාරය ε.
3. Durbin-Watson නිර්ණායකය මත පදනම්ව LSM පූර්වාවශ්‍යතා සපුරාලීම පරීක්ෂා කරමු.
| 0,584 | |
| 2,120 | 0,479 |
| 0,206 | 1,313 |
| 6,022 | 1,711 |
| 1,615 | 0,001 |
| 0,000 | 0,001 |
| 0,527 | 0,476 |
| 5,157 | 2,500 |
| 13,228 | 4,227 |
| 2,462 | 0,728 |
| 31,337 | 12,020 |
d1=0.88; α=0.05 සඳහා d2=1.32, n=10, k=1.
,
මෙයින් අදහස් වන්නේ අවශේෂ ගණනාවක් සහසම්බන්ධ නොවන බවයි.
4. ශිෂ්‍යයාගේ t-test මත පදනම්ව සමීකරණයේ පරාමිතිවල වැදගත්කම පරීක්ෂා කරමු. (α=0.05).
v=8 සඳහා; α=0.05. අගය ගණනය කිරීම
වගුවේ නිෂ්පාදනය කර ඇත. 2. අපට ලැබෙන්නේ:
, එවිට අපට ප්රතිගාමී සංගුණක a සහ b 0.95 සම්භාවිතාවක් සමඟ සැලකිය යුතු බව නිගමනය කළ හැකිය. 5. සූත්රය භාවිතයෙන් සහසම්බන්ධතා සංගුණකය සොයන්න
ගණනය කිරීම් වගුවේ සිදු කෙරේ. 2.
. බව. ආයෝජනයේ පරිමාව X සහ ප්රතිදානය Y අතර සම්බන්ධය සමීප ලෙස සැලකිය හැකිය, මන්ද . නිර්ණය කිරීමේ සංගුණකය සූත්රය මගින් සොයාගත හැකිය
සහල්. 2.1 ප්රතිගාමී රේඛා සටහන
පළමු ප්රකාශනය සාධකයේ දී ඇති අගයන් සඳහා ඉඩ ලබා දේ xඵලදායි ලක්ෂණයේ න්යායික අගයන් ගණනය කිරීම, සාධකයේ සත්‍ය අගයන් එයට ආදේශ කිරීම x. ප්‍රස්ථාරයේ, න්‍යායාත්මක අගයන් ප්රතිගාමී රේඛාවක් වන සරල රේඛාවක් මත පිහිටා ඇත (රූපය 2.1).
රේඛීය පසුබෑමක් ඉදිකිරීම එහි පරාමිතීන් තක්සේරු කිරීමට අඩු වේ ඒහා බී. රේඛීය ප්රතිගාමී පරාමිති ඇස්තමේන්තු කිරීමේ සම්භාව්‍ය ප්‍රවේශය පදනම් වේ අවම වර්ග ක්රමය (LSM).
න්‍යායාත්මක අගයන්ගෙන් සත්‍ය අගයන්හි වර්ග අපගමනයන්හි එකතුව අවම වන a සහ b පරාමිතිවල එවැනි ඇස්තමේන්තු ලබා ගැනීමට LSM මඟින් හැකි වේ:
අවමය සොයා ගැනීම සඳහා, එක් එක් පරාමිතීන් සඳහා එකතුව (4) හි අර්ධ ව්‍යුත්පන්න ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ - ඒහා බීසහ ඒවා බිංදුවට සමාන කරන්න.
(5)
පරිවර්තනය, අපට ලැබෙනවා පද්ධතියක් සාමාන්ය සමීකරණ:
(6)
මෙම පද්ධතිය තුළ n-නියැදි ප්රමාණය, එකතු කිරීම් මුල් දත්ත වලින් පහසුවෙන් ගණනය කළ හැක. සම්බන්ධයෙන් අපි පද්ධතිය විසඳන්නෙමු ඒහා බී, අපට ලැබෙන්නේ:
(7)
. (8)
ප්රකාශනය (7) වෙනත් ආකාරයකින් ලිවිය හැකිය:
(9)
මෙහි ලක්ෂණ covariance, factor variance x.
පරාමිතිය බීකියලා ප්රතිගාමී සංගුණකය.එහි අගය එක් ඒකකයකින් සාධකයේ වෙනසක් සමඟ ප්රතිඵලයේ සාමාන්ය වෙනස පෙන්නුම් කරයි. සිදු කරන ලද ප්රතිගාමී සංගුණකය පිළිබඳ පැහැදිලි ආර්ථික අර්ථකථනයක හැකියාව රේඛීය සමීකරණයයුගල වශයෙන් ප්රතිගාමී වීම ආර්ථිකමිතික අධ්‍යයනයන්හි බහුලව දක්නට ලැබේ.
විධිමත් ලෙස ඒ -අර්ථය yහිදී x= 0. අ xශුන්ය අගයක් නොමැති සහ තිබිය නොහැක, එවිට නිදහස් පදයේ එවැනි අර්ථකථනයක් ඒතේරුමක් නෑ. පරාමිතිය ඒආර්ථික අන්තර්ගතයක් නොතිබිය හැකිය. එය ආර්ථික වශයෙන් අර්ථකථනය කිරීමට උත්සාහ කිරීම විකාරයක් විය හැකිය, විශේෂයෙන් විට ඒ< 0. Интерпретировать можно лишь знак при параметре ඒ.අ ඒ> 0, එවිට ප්රතිඵලයේ සාපේක්ෂ වෙනස සාධකයේ වෙනසට වඩා මන්දගාමී වේ. මෙම සාපේක්ෂ වෙනස්කම් සංසන්දනය කරමු:
< при > 0, > 0 
<
සමහර විට මධ්‍යන්‍යයෙන් අපගමනය සඳහා රේඛීය යුගල ප්රතිගාමී සමීකරණයක් ලියා ඇත:
කොහෙද ,. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, නිදහස් පදය ශුන්‍යයට සමාන වේ, එය ප්‍රකාශනයේ (10) පිළිබිඹු වේ. මෙම කරුණ ජ්‍යාමිතික සලකා බැලීම් වලින් පහත දැක්වේ: එකම සරල රේඛාව (3) ප්රතිගාමී සමීකරණයට අනුරූප වේ, නමුත් අපගමනයන්හි ප්‍රතිගාමීත්වය ඇගයීමේදී, ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය ඛණ්ඩාංක සමඟ ලක්ෂ්‍යයට ගමන් කරයි. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ප්‍රකාශනයේ (8), ඓක්‍ය දෙකම ශුන්‍යයට සමාන වනු ඇත, එමඟින් නිදහස් පදයේ සමානාත්මතාවය ශුන්ය වේ.
උදාහරණයක් ලෙස, එක් වර්ගයක නිෂ්පාදනයක් නිෂ්පාදනය කරන ව්යවසායන් සමූහයක් සඳහා, නිමැවුම මත පිරිවැය ප්රතිගාමී වීම සලකා බලන්න. 
.
වගුව 2.1
| ඒකක දහසක් () | නිෂ්පාදන පිරිවැය, රූබල් මිලියන () | ||||
| 31,1 | |||||
| 67,9 |
වගුව 2.1 අඛණ්ඩව
| 141,6 | |||||
| 104,7 | |||||
| 178,4 | |||||
| 104,7 | |||||
| 141,6 | |||||
| එකතුව: 22 | 770,0 |
සාමාන්ය සමීකරණ පද්ධතිය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:
එය විසඳීම, අපට ලැබේ a =-5,79, b = 36,84.
ප්රතිගාමී සමීකරණය පෙනෙන්නේ:
අගයන් සමීකරණයට ආදේශ කිරීම x, න්යායික අගයන් සොයා ගන්න y(මේසයේ අවසාන තීරුව).
වටිනාකම ඒආර්ථික අර්ථයක් නැත. විචල්ය නම් xහා yසාමාන්ය මට්ටම් වලින් බැහැරවීම් අනුව ප්රකාශ කරනු ලැබේ, එවිට ප්‍රස්ථාරයේ ප්රතිගාමී රේඛාව මූලාරම්භය හරහා ගමන් කරයි. ප්රතිගාමී සංගුණකයේ ඇස්තමේන්තුව වෙනස් නොවේ:
, කොහෙද, .
රේඛීය ප්‍රතිගාමීත්වය සමඟ, රේඛීය සහසම්බන්ධතා සංගුණකය සම්බන්ධතාවයේ තද බව පිළිබඳ දර්ශකයක් ලෙස ක්රියා කරයි. r:
අගය විසරණයේ අනුපාතය සංලක්ෂිත කරයි yආකෘතියේ සැලකිල්ලට නොගත් වෙනත් සාධකවල බලපෑම නිසා ඇති විය.
2.3 LSM පූර්වාවශ්‍යතා (Gauss-Markov කොන්දේසි)
අතර සම්බන්ධතාවය yහා xයුගල ප්‍රතිගාමීත්වය තුළ ක්රියාකාරී නොවේ, නමුත් සහසම්බන්ධ වේ. එබැවින්, පරාමිති ඇස්තමේන්තු ඒහා බීසසම්භාවී විචල්යයන් වන අතර ඒවායේ ගුණයන් සසම්භාවී සංරචක ε හි ගුණ මත රඳා පවතී. LSM වෙතින් හොඳම ප්රතිඵල ලබා ගැනීම සඳහා, අහඹු අපගමනය (Gauss-Markov කොන්දේසි) සම්බන්ධයෙන් පහත සඳහන් පූර්වාවශ්යතාවයන් සපුරාලීම අවශ්ය වේ:
1. අපේක්ෂිත අගයසියලු නිරීක්ෂණ සඳහා අහඹු අපගමනය ශුන්ය වේ: 
.
2. අහඹු අපගමනවල විසරණය නියත ය: 
.
මෙම පරිශ්‍රය සම්පූර්ණ කිරීම ලෙස හැඳින්වේ සමලිංගිකත්වය -අපගමනය විසුරුවා හැරීමේ ස්ථාවරත්වය. මෙම පූර්වාවශ්යතාවයේ නොහැකියාව ලෙස හැඳින්වේ විෂමතාවය -අපගමනය විසුරුවා හැරීමේ විචලනය.
3. අහඹු අපගමනය ε iහා εjඑකිනෙකාගෙන් ස්වාධීන වේ:
මෙම කොන්දේසිය ඉටු කිරීම ලෙස හැඳින්වේ ස්වයං සහසම්බන්ධතාව නොමැතිකම.
4. අහඹු අපගමනය පැහැදිලි කිරීමේ විචල්‍යයන්ගෙන් ස්වාධීන විය යුතුය. ආකෘතියේ පැහැදිලි කිරීමේ විචල්යයන් අහඹු නොවේ නම් මෙම කොන්දේසිය සාමාන්යයෙන් ස්වයංක්‍රීයව සපුරාලයි. මීට අමතරව, ආර්ථිකමිතික ආකෘති සඳහා මෙම පරිශ්රයේ ශක්යතාව පළමු තුනට සාපේක්ෂව විවේචනාත්මක නොවේ.
ඉහත කොන්දේසි සපුරා ඇත්නම්, එසේ නම් ගවුස්-මාර්කොව් ප්රමේයය: LSM මගින් ලබාගත් ඇස්තමේන්තු (7) සහ (8) සියලුම රේඛීය අපක්ෂපාතී ඇස්තමේන්තු වල පන්තියේ කුඩාම විචලනය ඇත. .
මේ අනුව, Gauss කොන්දේසි යටතේ - මාර්කොව් ඇස්තමේන්තු (7) සහ (8) ප්රතිගාමී සංගුණකවල අපක්ෂපාතී ඇස්තමේන්තු පමණක් නොව, වඩාත්ම කාර්යක්ෂම වේ, එනම්, අගයන් සම්බන්ධයෙන් රේඛීය වන මෙම පරාමිතිවල වෙනත් ඇස්තමේන්තු වලට සාපේක්ෂව කුඩාම විචලනය ඒවාට ඇත. y i.
එය ගෝස් තත්වයන්හි වැදගත්කම පිළිබඳ අවබෝධයයි - මාර්කොව් ප්රතිගාමී විශ්ලේෂණය භාවිතා කරමින් දක්ෂ පර්යේෂකයෙකු අදක්ෂයෙකුගෙන් වෙන්කර හඳුනා ගනී. මෙම කොන්දේසි සපුරා නොමැති නම්, පර්යේෂකයා එය දැන සිටිය යුතුය. නිවැරදි ක්‍රියාමාර්ග ගත හැකි නම්, විශ්ලේෂකයාට ඒවා ගත හැකි විය යුතුය. තත්ත්වය නිවැරදි කළ නොහැකි නම්, පර්යේෂකයාට මෙය ප්‍රතිඵලවලට කෙතරම් බරපතල ලෙස බලපෑ හැකිද යන්න තක්සේරු කළ යුතුය.
2.4 රේඛීය පරාමිතීන්හි වැදගත්කම තක්සේරු කිරීම
පසුබෑම් සහ සහසම්බන්ධතා
රේඛීය ප්රතිගාමී සමීකරණය (3) සොයාගත් පසු, සමස්ථයක් ලෙස සමීකරණයේ සහ එහි තනි පරාමිතීන් දෙකෙහිම වැදගත්කම තක්සේරු කෙරේ.
සමස්තයක් ලෙස ප්රතිගාමී සමීකරණයේ වැදගත්කම තක්සේරු කිරීම භාවිතා කර ඇත එෆ්- ධීවර නිර්ණායකය. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ප්රතිගාමී සංගුණකය ශුන්‍යයට සමාන වන බවට ශුන්ය උපකල්පනයක් ඉදිරිපත් කරනු ලැබේ, එබැවින් සාධකය xප්රතිඵලය බලපාන්නේ නැත වයි.
නිර්ණායකය ගණනය කිරීමට පෙර, විචලනය පිළිබඳ විශ්ලේෂණය සිදු කරනු ලැබේ. වර්ග අපගමනයන්හි මුළු එකතුව (RMS) බව පෙන්විය හැක. yසාමාන්ය අගයෙන් කොටස් දෙකකට දිරාපත් වේ - පැහැදිලි කළ සහ නොපැහැදිලි:
(මුළු RMS) =
මෙහි ආන්තික අවස්ථා දෙකක් තිබේ: සම්පූර්ණ සම්මත අපගමනය අවශේෂයට හරියටම සමාන වන විට සහ සම්පූර්ණ සම්මත අපගමනය සාධකවලට සමාන වන විට.
පළමු අවස්ථාවේ දී, සාධකය xප්රතිඵලය බලපාන්නේ නැත, සමස්ත විචලනය yඅනෙකුත් සාධකවල බලපෑම හේතුවෙන්, ප්රතිගාමී රේඛාව අක්ෂයට සමාන්තර වේ ඔහ්හා .
දෙවන අවස්ථාවේ දී, වෙනත් සාධක ප්රතිඵලයට බලපාන්නේ නැත. yහා සම්බන්ධයි xක්රියාකාරීව, සහ අවශේෂ සම්මත අපගමනය ශුන්ය වේ.
නමුත් ප්‍රායෝගිකව, (13) හි දකුණු පැත්තේ පද දෙකම පවතී. පුරෝකථනය සඳහා ප්රතිගාමී රේඛාවේ යෝග්‍යතාවය රඳා පවතින්නේ සම්පූර්ණ විචලනය කොපමණද යන්න මතය yපැහැදිලි කරන ලද විචලනය යටතේ වැටේ. පැහැදිලි කරන ලද SD අවශේෂ SD ට වඩා වැඩි නම්, ප්රතිගාමී සමීකරණය සංඛ්යානමය වශයෙන් වැදගත් වන අතර සාධකය xප්රතිඵලය මත සැලකිය යුතු බලපෑමක් ඇත. y. මෙය නිර්ණය කිරීමේ සංගුණකය එකමුතුවට ළඟා වනු ඇති බවට සමාන වේ.
නිදහසේ අංශක ගණන.(df-නිදහසේ උපාධි) යනු ස්වාධීනව විචල්ය විශේෂාංග අගයන් ගණනයි.
සමස්ත සම්මත අපගමනය සඳහා, ස්වාධීන අපගමනය අවශ්ය වේ, සිට 
ඔබට නිදහසේ අගයන් වෙනස් කිරීමට ඉඩ සලසයි, සහ අවසාන n th අපගමනය ශුන්‍යයට සමාන මුළු මුදලින් තීරණය වේ. ඒක තමයි 
.
සාධක SE පහත පරිදි ප්රකාශ කළ හැක:
මෙම RMS එක පරාමිතියක් මත පමණක් රඳා පවතී බී,ඓක්‍ය ලකුණ යටතේ ඇති ප්රකාශනය ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන ගුණාංගයේ අගයන්ට අදාළ නොවන බැවිනි. එබැවින්, සාධක සම්මත අපගමනයට නිදහසේ එක් උපාධියක් ඇත, සහ
තීරණය කිරීම සඳහා, අපි සමතුලිත සමීකරණය (11) සමඟ ප්‍රතිසමය භාවිතා කරමු. සමානාත්මතාවයේ (11), අපට නිදහසේ අංශක ගණන අතර සමානාත්මතාවය ලිවිය හැකිය:
මේ අනුව, අපට ලිවිය හැකිය 
. මෙම සමතුලිතතාවයෙන් අපි එය තීරණය කරමු 
එක් එක් සම්මත අපගමනය එහි නිදහසේ අංශක ගණනින් බෙදීම, අපට ලැබේ සාමාන්ය වර්ග අපගමනය,හෝ නිදහසේ මට්ටම අනුව විසරණය:
. (15)
. (16)
. (17)
නිදහසේ එක් අංශකයකට සාධක සහ අවශේෂ විචලනයන් සංසන්දනය කිරීම, අපි ලබා ගනිමු එෆ්- ශුන්ය කල්පිතය පරීක්ෂා කිරීමේ නිර්ණායකය, එනම් මෙම නඩුවලෙස ලියා ඇත 
සත්‍ය නම්, විචල්යයන් එකිනෙකට වෙනස් නොවේ. මෙයට ප්රතික්ෂේප කිරීමක් අවශ්ය වන අතර එමඟින් සාධක විචලනය අවශේෂය කිහිප ගුණයකින් ඉක්මවයි.
ඉංග්‍රීසි සංඛ්‍යාලේඛනඥ Snedecor විසින් විවේචනාත්මක අගයන් පිළිබඳ වගු සකස් කරන ලදී එෆ් Snedekor විසින් ද්රව්යමය මට්ටම්වල විවිධ මට්ටම්වල සහ විවිධ සංඛ්යානිදහසේ උපාධි. වගු අගය එෆ්නිර්ණායකය යනු ශුන්ය කල්පිතයක් පැවතීමේ දී ඇති සම්භාවිතාවේ දී ඇති මට්ටමක් සඳහා අහඹු ලෙස අපසරනය වුවහොත් සිදුවිය හැකි විචල්‍යතා අනුපාතයේ උපරිම අගයයි.
වගු අගයක් සොයා ගැනීමේදී එෆ්නිර්ණායකය, වැදගත්කමේ මට්ටමක් නියම කර ඇත (සාමාන්යයෙන් 0.05 හෝ 0.01) සහ නිදහසේ අංශක දෙකක් - අංකනය (එය එකකට සමාන වේ) සහ හරය, සමාන වේ
ගණනය කළ අගය එෆ්වගු අගයට වඩා වැඩි නම්, විශ්වාසදායක (එකකට වඩා) ලෙස හඳුනාගෙන ඇත, i.e. 
(α; 1; ). මෙම අවස්ථාවෙහිදී, එය ප්රතික්ෂේප කරනු ලබන අතර අතිරික්තයේ ද්රව්යමය බව පිළිබඳ නිගමනයකට එළඹේ D කරුණඉහත ඩී විවේකය., එනම් භෞතිකත්වය ගැන සංඛ්යානමය සම්බන්ධතාවයඅතර yහා x.
අ 
, එවිට සම්භාවිතාව ලබා දී ඇති මට්ටමට වඩා වැඩි ය (උදාහරණයක් ලෙස: 0.05), සහ අතර සම්බන්ධතාවයක පැවැත්ම පිළිබඳ වැරදි නිගමනයකට එළඹීමේ බරපතල අවදානමකින් තොරව මෙම උපකල්පනය ප්රතික්ෂේප කළ නොහැක. yහා x.ප්රතිගාමී සමීකරණය සංඛ්යානමය වශයෙන් නොවැදගත් ලෙස සලකනු ලබන අතර එය ප්රතික්ෂේප නොකෙරේ.
වටිනාකම එෆ්- නිර්ණායක නිර්ණය කිරීමේ සංගුණකය හා සම්බන්ධ වේ.
, (19)
රේඛීය ප්‍රතිගාමීත්වයේ දී, සමස්තයක් ලෙස සමීකරණයේ පමණක් නොව, එහි තනි පරාමිතීන්ගේ වැදගත්කම සාමාන්යයෙන් ඇගයීමට ලක් කෙරේ.
සම්මත දෝෂයක්ප්‍රතිගාමී සංගුණකය සූත්රය මගින් තීරණය වේ:
, (20)
නිදහසේ එක් අංශකයකට අවශේෂ විසරණය (සමාන ලෙස).
සම්මත දෝෂයේ අගය, එකට ටී-ප්රතිගාමී සංගුණකයේ වැදගත්කම පරීක්ෂා කිරීමට සහ එහි විශ්වාස කාල සීමාවන් ගණනය කිරීමට ශිෂ්‍යයාගේ නිදහසේ උපාධි බෙදා හැරීම භාවිතා කරයි.
ප්රතිගාමී සංගුණකයේ අගය එහි සම්මත දෝෂය සමඟ සැසඳේ; සැබෑ අගය තීරණය වේ ටී-ශිෂ්ය නිර්ණායකය
පසුව සංසන්දනය කරන වගු අගයයම් වැදගත් මට්ටමකින් α සහ නිදහසේ අංශක ගණන. මෙහිදී, ශුන්ය කල්පිතය පරීක්ෂා කරනු ලබන්නේ ද අතර සංඛ්යානමය සම්බන්ධතාවයේ නොවැදගත් බව යෝජනා කරන ආකෘතියෙනි. yහා x, නමුත් වටිනාකම පමණක් සැලකිල්ලට ගනිමින් බී, සහ ප්රතිඵලය වන ලක්ෂණයේ විචලනයේ සමස්ත ශේෂයේ සාධකය සහ අවශේෂ විචලනයන් අතර අනුපාතය නොවේ. නමුත් උපකල්පනවල සාමාන්ය අර්ථය සමාන වේ: අතර සංඛ්යානමය සම්බන්ධතාවයක පැවැත්ම පරීක්ෂා කිරීම yහා xහෝ එහි නොමැති වීම.
(α;) නම්, කල්පිතය ප්රතික්ෂේප කළ යුතු අතර සංඛ්යානමය සම්බන්ධතාවය yසමඟ xස්ථාපිත ලෙස සැලකේ. නඩුවේ (α;), ශුන්ය කල්පිතය ප්රතික්ෂේප කළ නොහැක, සහ බලපෑම xමත yනොවැදගත් ලෙස සැලකේ.
සහ අතර සම්බන්ධයක් ඇත එෆ්:
එබැවින් එය අනුගමනය කරයි
සඳහා විශ්වාස පරතරය බීලෙස අර්ථ දක්වා ඇත
අඩුම වර්ග ක්රමය මගින් ගණනය කරන ලද (ඇස්තමේන්තුගත) ප්රතිගාමී සංගුණකයේ අගය කොහිද?
පරාමිතියේ සම්මත දෝෂය සූත්රය මගින් තීරණය වේ:
ද්රව්යමය තක්සේරු ක්රියා පටිපාටිය ඒපරාමිතිය සඳහා එය වෙනස් නොවේ බී. මෙම අවස්ථාවේදී, සැබෑ වටිනාකම ටී- නිර්ණායක ගණනය කරනු ලබන්නේ සූත්‍රයෙනි:
රේඛීය සහසම්බන්ධතා සංගුණකයේ වැදගත්කම පරීක්ෂා කිරීමේ ක්රියා පටිපාටිය ඉහත දක්වා ඇති ක්රියා පටිපාටිවලට වඩා වෙනස් වේ. මගින් මෙය පැහැදිලි කෙරේ ආර්සඳහා පමණක් සාමාන්ය නීතියට අනුව බෙදා හරින ලද අහඹු විචල්යයක් ලෙස විශාල සංඛ්යානිරීක්ෂණ සහ කුඩා අගයන් | ආර්|. මෙම අවස්ථාවේ දී, අතර සහසම්බන්ධයක් නොමැතිකම පිළිබඳ උපකල්පනය yහා xසංඛ්යා ලේඛන මත පදනම්ව පරීක්ෂා කර ඇත
, (26)
සාධාරණ නම්, ආසන්න වශයෙන් ශිෂ්ය නීතියට අනුව () නිදහසේ උපාධි සමඟ බෙදා හරිනු ලැබේ. අ 
, එවිට උපකල්පනය වැරදි වීමේ සම්භාවිතාවකින් ප්රතික්ෂේප කරනු ලැබේ, නොඉක්මවයි α
. (19) සිට යුගලනය වූ රේඛීය ප්‍රතිග්‍රහනය තුළ බව පෙනේ. ඊට අමතරව, එබැවින් . මේ අනුව, ප්රතිගාමී සහ සහසම්බන්ධතා සංගුණකවල වැදගත්කම පිළිබඳ උපකල්පන පරීක්ෂා කිරීම රේඛීය ප්රතිගාමී සමීකරණයේ වැදගත්කම පිළිබඳ කල්පිතය පරීක්ෂා කිරීමට සමාන වේ.
නමුත් කුඩා සාම්පල සහ අගයන් සඳහා ආර්ට ආසන්නව, එය බෙදා හැරීම සැලකිල්ලට ගත යුතුය ආර්අහඹු විචල්යයක් සාමාන්ය විචල්‍යයකට වඩා වෙනස් වන ආකාරය සහ විශ්වාස කාල පරතරයන් ගොඩනැගීම ආර්සම්මත ආකාරයෙන් කළ නොහැක. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, විශ්වාසනීය පරතරය එකකට වඩා වැඩි අගයන් අඩංගු වන බවට ප්රතිවිරෝධතාවක් ඇති කිරීම සාමාන්යයෙන් පහසුය.
මෙම දුෂ්කරතා මඟහරවා ගැනීම සඳහා, ඊනියා
z- ෆිෂර් පරිවර්තනය:
, (27)
සාමාන්ය ලබා දෙන බෙදා හරින ලද අගය z, වෙනස් වන විට එහි අගයන් ආර්-1 සිට +1 දක්වා -∞ සිට +∞ දක්වා වෙනස් වේ. මෙම ප්‍රමාණයේ සම්මත දෝෂය වන්නේ:
. (28)
ප්රමාණය සඳහා zඅනුරූප අගයන් සඳහා එහි අගයන් පෙන්වන වගු ඇත ආර්.
සදහා zශුන්ය කල්පිතය ඉදිරිපත් කර ඇත, එනම් සහසම්බන්ධයක් නොමැති බවයි. මෙම අවස්ථාවේදී, සංඛ්යාලේඛන අගයන්
ශිෂ්ය නීතියට අනුව () නිදහසේ උපාධි සමඟ බෙදා හරින ලද, අදාළ වැදගත් මට්ටමේ දී වගු එක ඉක්මවා නොයයි.
සෑම වටිනාකමක් සඳහාම zවිවේචනාත්මක අගයන් ගණනය කළ හැකිය ආර්. විවේචනාත්මක අගය වගු ආර් 0.05 සහ 0.01 යන වැදගත් මට්ටම් සහ ඊට අනුරූප නිදහස් අංශක ගණන සඳහා සංවර්ධනය කරන ලදී. ගණනය කළ අගය නම් ආර්ඉක්මවා යයි නිරපේක්ෂ වටිනාකමවගුව, පසුව ලබා දී ඇති අගය ආර්සැලකිය යුතු ලෙස සැලකේ. එසේ නොමැති නම්, සැබෑ වටිනාකම අදාළ නොවේ.
2.5 රේඛීය නොවන ප්රතිගාමී ආකෘති
සහ ඒවායේ රේඛීයකරණය
මෙතෙක් අපි සලකා බැලුවේ පමණි රේඛීයප්රතිගාමී ආකෘතිය yසිට x(3) ඒ අතරම, ආර්ථිකයේ වැදගත් සම්බන්ධතා රාශියක් ඇත රේඛීය නොවන. එවැනි ප්රතිගාමී ආකෘතීන් සඳහා උදාහරණ වන්නේ නිෂ්පාදන ශ්‍රිත (නිෂ්පාදන පරිමාව සහ නිෂ්පාදනයේ ප්රධාන සාධක අතර යැපීම් - ශ්‍රමය, ප්‍රාග්ධනය, ආදිය) සහ ඉල්ලුම ශ්‍රිත (ඕනෑම වර්ගයක භාණ්ඩ හෝ සේවා සඳහා ඇති ඉල්ලුම අතර යැපීම, එක් අතකින්, සහ ආදායම සහ මෙම සහ අනෙකුත් භාණ්ඩවල මිල, අනෙක් අතට).
රේඛීය නොවන විශ්ලේෂණය කරන විට ප්රතිගාමී පරායත්තතාබොහෝ වැදගත් ප්රශ්නයක්සම්භාව්‍ය අවම කොටු යෙදීම ඒවා රේඛීයකරණය කිරීමේ ක්‍රමයකි. රේඛීය නොවන යැපීමක රේඛීයකරණයේ දී, අපි (3) වර්ගයේ රේඛීය ප්රතිගාමී සමීකරණයක් ලබා ගනිමු, එහි පරාමිතීන් සාමාන්ය අවම කොටු වලින් ඇස්තමේන්තු කරනු ලැබේ, ඉන්පසු මුල් රේඛීය නොවන සම්බන්ධතාවය ලිවිය හැකිය.
මෙම අර්ථයෙන් තරමක් දුරට වෙනස් වන්නේ අත්තනෝමතික උපාධියේ බහුපද ආකෘතියයි:
කිසිදු පූර්ව රේඛීයකරණයකින් තොරව සාම්ප්‍රදායික අවම කොටු යෙදිය හැකි ඒවාට.
සලකා බලන්න නිශ්චිත ක්රියා පටිපාටියදෙවන උපාධියේ පැරබෝලා සම්බන්ධව:
. (31)
යම් පරාසයක සාධක අගයන් සඳහා, වැඩිවන යැපීම අඩුවන එකකට හෝ අනෙක් අතට වෙනස් වුවහොත් එවැනි යැපීම සුදුසු වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ඵලදායී ලක්ෂණයේ උපරිම හෝ අවම අගය ලබා ගන්නා සාධකයේ අගය තීරණය කළ හැකිය. ආරම්භක දත්ත සම්බන්ධතාවයේ දිශාවෙහි වෙනසක් නොපෙන්වයි නම්, පරාවලයේ පරාමිතීන් අර්ථ නිරූපණය කිරීමට අපහසු වන අතර, අනෙකුත් රේඛීය නොවන ආකෘති සමඟ සම්බන්ධතාවයේ ස්වරූපය ප්රතිස්ථාපනය කිරීම වඩා හොඳය.
දෙවන අංශකයේ පරාවලයක පරාමිති ඇස්තමේන්තු කිරීම සඳහා අවම කොටු භාවිතය එක් එක් ඇස්තමේන්තුගත පරාමිති සඳහා ප්රතිගාමී අවශේෂවල වර්ගවල එකතුව වෙනස් කිරීමට සහ එහි ප්රතිඵල ප්‍රකාශන ශුන්‍යයට සමාන කිරීමට අඩු කෙරේ. එය සාමාන්ය සමීකරණ පද්ධතියක් බවට පත් කරයි, ඒවායේ සංඛ්‍යාව ඇස්තමේන්තුගත පරාමිති ගණනට සමාන වේ, එනම් තුනක්:
(32)
මෙම පද්ධතිය ඕනෑම ආකාරයකින් විසඳා ගත හැකිය, විශේෂයෙන්, නිර්ණායක ක්රමය මගින්.
ශ්‍රිතයේ ආන්තික අගය සමාන සාධකයේ අගයෙන් නිරීක්ෂණය කෙරේ:
, එවිට උපරිමයක් තිබේ නම්, එනම්, යැපීම පළමුව වැඩි වන අතර පසුව අඩු වේ. අධ්යයනය කරන විට ශ්‍රම ආර්ථික විද්‍යාවේ මෙවැනි යැපීම නිරීක්ෂණය වේ වැටුප්අතින් කම්කරුවන්, වයස සාධකයක් වන විට. දී, පරාවලයට අවම අගයක් ඇත, එය සාමාන්යයෙන් නිමැවුම් පරිමාව අනුව ඒකක නිෂ්පාදන පිරිවැය තුළ ප්රකාශ වේ.
සම්භාව්‍ය බහුපද නොවන රේඛීය නොවන පරායත්තතා වලදී, මූලික රේඛීයකරණයක් අවශ්‍යයෙන්ම සිදු කරනු ලබන අතර, එය විචල්යයන් හෝ ආකෘති පරාමිතීන් පරිවර්තනය කිරීම හෝ මෙම පරිවර්තනවල එකතුවකින් සමන්විත වේ. එවැනි පරායත්තතා පන්ති කිහිපයක් සලකා බලමු.
හයිපර්බෝලික් වර්ගයේ යැපීම් වලට පෝරමය ඇත:
. (33)
එවැනි යැපීමකට උදාහරණයක් පිලිප්ස් වක්රයවැටුප් වර්ධනයේ ප්‍රතිශතය සහ විරැකියා අනුපාතය අතර ප්රතිලෝම සම්බන්ධය ප්රකාශ කිරීම. මෙම අවස්ථාවේදී, පරාමිති අගය බීශුන්යයට වඩා වැඩි වනු ඇත.
යැපීම පිළිබඳ තවත් උදාහරණයක් (33) වේ එංගල් වක්‍ර, පහත සඳහන් විධිමත්භාවය සකස් කිරීම: ආදායම වැඩිවීමත් සමඟ ආහාර සඳහා වියදම් කරන ආදායමේ කොටස අඩු වන අතර වියදම් කළ ආදායමේ කොටස සිල්ලර නොවන භාණ්ඩ, වැඩි වනු ඇත. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, (33) හි ප්රතිඵල දර්ශකය පෙන්නුම් කරන්නේ ආහාර නොවන නිෂ්පාදන සඳහා වන වියදම්වල කොටසයි.
සමීකරණයේ රේඛීයකරණය (33) සාධකය ප්රතිස්ථාපනය දක්වා අඩු කරනු ලබන අතර ප්රතිගාමී සමීකරණයට සාධකය වෙනුවට (3) ස්වරූපය ඇත. xසාධකය භාවිතා කරන්න z:
අර්ධ ලඝුගණක වක්‍රය එකම රේඛීය සමීකරණයට අඩු කරයි:
, (35)
Engel වක්‍ර විස්තර කිරීමට භාවිතා කළ හැක. මෙන්න ln( x) මගින් ප්රතිස්ථාපනය වේ zසහ සමීකරණය (34) ලබා ගනී.
තරමක් පුළුල් ආර්ථික දර්ශක පන්තියක් කාලයත් සමඟ සාපේක්ෂ වර්ධනයේ ආසන්න වශයෙන් නියත අනුපාතයකින් සංලක්ෂිත වේ. මෙය ඝාතීය (ඝාතීය) වර්ගයේ යැපීම් වලට අනුරූප වේ, ඒවා මෙසේ ලියා ඇත:
හෝ ස්වරූපයෙන්
. (37)
පහත පරායත්තතාවය ද හැකි ය:
. (38)
(36) - (38) වර්ගයේ ප්රතිගාමී වලදී, එම රේඛීයකරණ ක්‍රමයම භාවිතා වේ - ලඝුගණකය. සමීකරණය (36) පෝරමයට අඩු කර ඇත:
. (39)
විචල්ය ආදේශනය එය අඩු කරයි රේඛීය ස්වරූපය:
, (40)
කොහෙද . අ ඊ Gauss-Markov කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරයි, සමීකරණයේ පරාමිතීන් (36) සමීකරණයෙන් (40) අඩුම වර්ග වලින් ඇස්තමේන්තු කර ඇත. සමීකරණය (37) පෝරමයට අඩු කර ඇත:
(39) සිට වෙනස් වන්නේ නිදහස් පදයේ ස්වරූපයෙන් පමණක් වන අතර රේඛීය සමීකරණය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:
, (42)
කොහෙද . විකල්ප නමුත්හා බීසාමාන්යයෙන් අවම කොටු වලින් ලබා ගනී, පසුව පරාමිතිය ඒයැපීමේදී (37) ප්‍රතිලෝගිතමයක් ලෙස ලැබේ නමුත්. ලඝුගණකය (38) ගැනීමෙන්, අපි ලබා ගනිමු රේඛීය යැපීම:
, (43)
එහිදී , සහ ඉතිරි අංකනය ඉහත ආකාරයටම වේ. මෙහිදී, පරිවර්තනය කරන ලද දත්ත සහ පරාමිතිය සඳහා LSM ද යොදනු ලැබේ බීසඳහා (38) සංගුණකයේ ප්රතිලෝගරිදම් ලෙස ලබා ගනී හිදී.
සමාජ-ආර්ථික පර්යේෂණ භාවිතයේ දී බලය රඳා පැවතීම පුලුල්ව පැතිර පවතී. නිෂ්පාදන කාර්යයන් ගොඩනැගීමට සහ විශ්ලේෂණය කිරීමට ඒවා භාවිතා වේ. දර්ශන කාර්යයන් තුළ:
විශේෂයෙන් වටිනා වන්නේ පරාමිතියයි බීසාධකය මගින් ප්රතිඵලය වන ගුණාංගයේ ප්රත්යාස්ථතා සංගුණකය සමාන වේ x. ලඝුගණකයක් ගැනීමෙන් (44) පරිවර්තනය කිරීමෙන්, අපි රේඛීය ප්‍රතිගාමීත්වයක් ලබා ගනිමු:
, (45)
රේඛීය ස්වරූපයකට අඩු කරන ලද තවත් රේඛීය නොවන වර්ගයක් වන්නේ ප්රතිලෝම සම්බන්ධතාවයයි:
. (46)
ආදේශ කිරීම, අපට ලැබේ.
