Знайти межі зазначених функцій із рішенням. Межі. Приклади рішень

Теорія меж – це один із розділів математичного аналізу. Питання вирішення меж є досить широким, оскільки існують десятки прийомів рішень меж різних видів. Існують десятки нюансів і хитрощів, що дозволяють вирішити ту чи іншу межу. Тим не менш, ми все-таки спробуємо розібратися в основних типах меж, які найчастіше зустрічаються практично.

Почнемо з поняття межі. Але спочатку коротка історична довідка. Жив-був у 19 столітті француз Огюстен Луї Коші, який дав суворі визначення багатьом поняттям матану та заклав його основи. Треба сказати, цей шановний математик снився, сниться і буде снитися в кошмарних снах всім студентам фізико-математичних факультетів, тому що довів величезну кількість теорем математичного аналізу, причому одна теорема більш вбивча за іншу. У цьому зв'язку ми поки не розглядатимемо визначення межі по Коші, а спробуємо зробити дві речі:

1. Зрозуміти, що таке межа.
2. Навчитися вирішувати основні типи меж.

Перепрошую за деяку ненауковість пояснень, важливо щоб матеріал був зрозумілий навіть чайнику, що, власне, і є завданням проекту.

Отже, що таке межа?

А одразу приклад, чого бабусю кудлатити….

Будь-яка межа складається з трьох частин:

1) Всім відомого значка межі.
2) Записи під значком межі, в даному випадку. Запис читається «ікс прагне одиниці». Найчастіше саме , хоча замість «ікса» на практиці зустрічаються й інші змінні. У практичних завданнях дома одиниці може бути абсолютно будь-яке число, і навіть нескінченність ().
3) Функції під знаком межі, у разі .

Сам запис читається так: «межа функції при ікс, що прагне до одиниці».

Розберемо наступний важливе питання– а що означає вираз «ікс прагнедо одиниці»? І що взагалі таке «прагне»?
Поняття межі - це поняття, якщо так можна сказати, динамічний. Побудуємо послідовність: спочатку , потім , , …, , ….
Тобто вираз «ікс прагнедо одиниці» слід розуміти так – «ікс» послідовно набуває значень, які нескінченно близько наближаються до одиниці та практично з нею збігаються.

Як вирішити вищезазначений приклад? Виходячи з вищесказаного, потрібно просто підставити одиницю у функцію, що стоїть під знаком межі:

Отже, перше правило: Коли дана будь-яка межа, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

Ми розглянули найпростішу межу, але й такі зустрічаються на практиці, причому, не так вже й рідко!

Приклад із нескінченністю:

Розбираємось, що таке? Це той випадок, коли необмежено зростає, тобто: спочатку, потім, потім, потім і так далі до безкінечності.

А що в цей час відбувається з функцією?
, , , …

Отже: якщо , то функція прагне мінус нескінченності:

Грубо кажучи, згідно з нашим першим правилом, ми замість «ікса» підставляємо в функцію нескінченність і отримуємо відповідь.

Ще один приклад із нескінченністю:

Знову починаємо збільшувати до нескінченності і дивимося на поведінку функції:

Висновок: при функція необмежено зростає:

І ще серія прикладів:

Будь ласка, спробуйте самостійно проаналізувати нижченаведене і запам'ятайте найпростіші види меж:

, , , , , , , , ,
Якщо де-небудь є сумніви, можете взяти в руки калькулятор і трохи потренуватися.
У разі, якщо , спробуйте побудувати послідовність , , . Якщо то , , .

! Примітка: Строго кажучи, такий підхід з побудовою послідовностей з кількох чисел некоректний, але для розуміння найпростіших прикладів цілком підійде.

Також зверніть увагу на таку річ. Навіть якщо дана межа з великим числом вгорі, та хоч з мільйоном: , то все одно , оскільки рано чи пізно «ікс» почне приймати такі гігантські значення, що мільйон в порівнянні з ними буде справжнісіньким мікробом.

Що потрібно запам'ятати та зрозуміти з вищесказаного?

1) Коли дано будь-яку межу, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

2) Ви повинні розуміти і відразу вирішувати найпростіші межі, такі як , , і т.д.

Більше того, межа має дуже хороший геометричний зміст. Для кращого розуміння теми рекомендую ознайомитись з методичним матеріалом Графіки та властивості елементарних функцій. Після прочитання цієї статті ви не тільки остаточно зрозумієте, що таке межа, а й познайомитеся з цікавими випадками, коли межі функції взагалі не існує!

На практиці, на жаль, подарунків небагато. А тому переходимо до розгляду складніших меж. До речі, на цю тему є інтенсивний курсу pdf-форматі, який особливо корисний, якщо у вас дуже мало часу на підготовку. Але матеріали сайту, зрозуміло, не гірші:

Зараз ми розглянемо групу меж, коли , а функція є дріб, в чисельнику і знаменнику якого знаходяться багаточлени

Приклад:

Обчислити межу

Згідно з нашим правилом, спробуємо підставити нескінченність у функцію. Що в нас виходить вгорі? Нескінченність. А що виходить унизу? Теж нескінченність. Таким чином, у нас є так звана невизначеність виду. Можна було б подумати, що і відповідь готова, але в загальному випадкуце зовсім не так, і потрібно застосувати певний прийом рішення, яке ми зараз і розглянемо.

Як вирішувати межі даного типу?

Спочатку ми дивимося на чисельник і знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь у чисельнику дорівнює двом.

Тепер дивимося на знаменник і теж знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь знаменника дорівнює двом.

Потім ми вибираємо найстарший ступінь чисельника та знаменника: в даному прикладівони збігаються і дорівнюють двійці.

Отже, метод вирішення наступний: для того, щоб розкрити невизначеність необхідно розділити чисельник і знаменник на старшому ступені.

Ось воно як відповідь, а зовсім не нескінченність.

Що важливо в оформленні рішення?

По-перше, вказуємо невизначеність, якщо вона є.

По-друге, бажано перервати рішення для проміжних пояснень. Я зазвичай використовую знак , він не несе ніякого математичного сенсу, а означає, що рішення перервано для проміжного пояснення.

По-третє, межі бажано помічати, що й куди прагне. Коли робота оформляється від руки, зручніше це зробити так:

Для позначок краще використовувати простий олівець.

Звичайно, можна нічого цього не робити, але тоді, мабуть, викладач відзначить недоліки у вирішенні або почне ставити додаткові питання по завданню. А воно Вам потрібне?

Приклад 2

Знайти межу
Знову в чисельнику та знаменнику знаходимо у старшому ступені:

Максимальний ступінь у чисельнику: 3
Максимальний ступінь у знаменнику: 4
Вибираємо найбільшезначення, у разі четвірку.
Відповідно до нашого алгоритму, для розкриття невизначеності ділимо чисельник та знаменник на .
Повне оформленнязавдання може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Приклад 3

Знайти межу
Максимальний ступінь «ікса» у чисельнику: 2
Максимальний ступінь «ікса» у знаменнику: 1 (можна записати як)
Для розкриття невизначеності необхідно розділити чисельник та знаменник на . Чистовий варіант рішення може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Під записом мається на увазі не розподіл на нуль (ділити на нуль не можна), а розподіл на нескінченно мале число.

Таким чином, при розкритті невизначеності виду у нас може вийти кінцеве числонуль або нескінченність.

Межі з невизначеністю виду та метод їх вирішення

Наступна група меж чимось схожа на щойно розглянуті межі: у чисельнику та знаменнику знаходяться багаточлени, але «ікс» прагне вже не до нескінченності, а до кінцевого числа.

Приклад 4

Вирішити межу
Спочатку спробуємо підставити -1 в дріб:

В даному випадку отримана так звана невизначеність.

Загальне правило : якщо в чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, і є невизначеності виду, то для її розкриття потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники.

Для цього найчастіше потрібно вирішити квадратне рівняннята (або) використовувати формули скороченого множення. Якщо ці речі забулися, тоді відвідайте сторінку Математичні формули та таблиціта ознайомтеся з методичним матеріалом Гарячі формули шкільного курсу математики. До речі, його найкраще роздрукувати, потрібно дуже часто, та й інформація з паперу засвоюється краще.

Отже, вирішуємо нашу межу

Розкладемо чисельник і знаменник на множники

Для того, щоб розкласти чисельник на множники, потрібно розв'язати квадратне рівняння:

Спочатку знаходимо дискримінант:

І квадратний коріньз нього: .

Якщо дискримінант великий, наприклад 361, використовуємо калькулятор, функція вилучення квадратного кореня є на найпростішому калькуляторі.

! Якщо корінь не витягується націло (виходить дробове числоз комою), цілком імовірно, що дискримінант обчислений неправильно чи завдання друку.

Далі знаходимо коріння:

Таким чином:

Всі. Чисельник на множники розкладено.

Знаменник. Знаменник вже є найпростішим множником, і спростити його неможливо.

Очевидно, що можна скоротити на :

Тепер і підставляємо -1 у вираз, який залишився під знаком межі:

Звичайно, в контрольної роботи, на заліку, іспит так детально рішення ніколи не розписують. У чистовому варіанті оформлення має виглядати приблизно так:

Розкладемо чисельник на множники.

Приклад 5

Обчислити межу

Спочатку «чистовий» варіант рішення

Розкладемо чисельник і знаменник на множники.

Чисельник:
Знаменник:



,

Що важливого у цьому прикладі?
По-перше, Ви повинні добре розуміти, як розкритий чисельник, спочатку ми винесли за дужку 2, а потім використали формулу різниці квадратів. Вже цю формулу треба знати і бачити.

Рекомендація: Якщо в межі (майже будь-якого типу) можна винести число за дужку, то завжди це робимо.
Більше того, такі числа доцільно виносити за значок межі. Навіщо? Та просто щоб вони не заважали під ногами. Головне, потім ці числа не втратити під час рішення.

Зверніть увагу, що на заключному етапірішення я виніс за значок межі двійку, а потім мінус.

! Важливо
У результаті рішення фрагмент типу зустрічається дуже часто. Скорочувати такий дрібне можна . Спочатку потрібно поміняти знак у чисельника чи знаменника (винести -1 за дужки).
тобто з'являється знак «мінус», який при обчисленні межі враховується і втрачати його зовсім не потрібно.

Взагалі, я помітив, що найчастіше у знаходженні меж даного типу доводиться вирішувати два квадратні рівняння, тобто і в чисельнику і знаменнику знаходяться квадратні тричлени.

Метод множення чисельника та знаменника на сполучене вираз

Продовжуємо розглядати невизначеність виду

Наступний тип меж схожий на попередній тип. Єдине, крім багаточленів, у нас додадуться коріння.

Приклад 6

Знайти межу

Починаємо вирішувати.

Спочатку пробуємо підставити 3 у вираз під знаком межі
Ще раз повторюю – це перше, що потрібно виконувати для будь-якої межі. Ця діязазвичай проводиться подумки або на чернетці.

Отримано невизначеність виду, яку потрібно усувати.

Як Ви, напевно, помітили, у нас у чисельнику є різниця коренів. А коріння в математиці прийнято, по можливості, позбавлятися. Навіщо? А без них життя простіше.

Теорія меж – це з розділів математичного аналізу. Питання вирішення меж є досить широким, оскільки існують десятки прийомів рішень меж різних видів. Існують десятки нюансів і хитрощів, що дозволяють вирішити ту чи іншу межу. Тим не менш, ми все-таки спробуємо розібратися в основних типах меж, які найчастіше зустрічаються практично.

Почнемо з поняття межі. Але спершу коротка історична довідка. Жив-був у 19 столітті француз Огюстен Луї Коші, який заклав основи математичного аналізу та дав суворі визначення, визначення межі, зокрема. Треба сказати, цей самий Коші снився, сниться і буде снитися в кошмарних снах всім студентам фізико-математичних факультетів, оскільки довів величезну кількість теорем математичного аналізу, причому одна теорема огидніша за іншу. У цьому ми не розглядатимемо суворе визначення межі, а спробуємо зробити дві речі:

1. Зрозуміти, що таке межа.
2. Навчитися вирішувати основні типи меж.

Перепрошую за деяку ненауковість пояснень, важливо щоб матеріал був зрозумілий навіть чайнику, що, власне, і є завданням проекту.

Отже, що таке межа?

А одразу приклад, чого бабусю кудлатити….

Будь-яка межа складається з трьох частин:

1) Всім відомого значка межі.
2) Записи під значком межі, у разі . Запис читається «ікс прагне одиниці». Найчастіше саме , хоча замість «ікса» на практиці зустрічаються й інші змінні. У практичних завданнях дома одиниці може бути абсолютно будь-яке число, і навіть нескінченність ().
3) Функції під знаком межі, у разі .

Сам запис читається так: «межа функції при ікс, що прагне до одиниці».

Розберемо наступне важливе питання – а що означає вираз «ікс прагнедо одиниці»? І що взагалі таке «прагне»?
Поняття межі - це поняття, якщо так можна сказати, динамічний. Побудуємо послідовність: спочатку , потім , , …, , ….
Тобто вираз «ікс прагнедо одиниці» слід розуміти так – «ікс» послідовно набуває значень, які нескінченно близько наближаються до одиниці та практично з нею збігаються.

Як вирішити вищезазначений приклад? Виходячи з вищесказаного, потрібно просто підставити одиницю у функцію, що стоїть під знаком межі:

Отже, перше правило: Коли дана будь-яка межа, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

Ми розглянули найпростішу межу, але й такі зустрічаються на практиці, причому, не так вже й рідко!

Приклад із нескінченністю:

Розбираємось, що таке? Це той випадок, коли необмежено зростає, тобто: спочатку, потім, потім, потім і так далі до безкінечності.

А що в цей час відбувається з функцією?
, , , …

Отже: якщо , то функція прагне мінус нескінченності:

Грубо кажучи, згідно з нашим першим правилом, ми замість «ікса» підставляємо в функцію нескінченність і отримуємо відповідь.

Ще один приклад із нескінченністю:

Знову починаємо збільшувати до нескінченності, і дивимося на поведінку функції:

Висновок: при функція необмежено зростає:

І ще серія прикладів:

Будь ласка, спробуйте самостійно проаналізувати нижченаведене і запам'ятайте найпростіші види меж:

, , , , , , , , ,
Якщо де-небудь є сумніви, можете взяти в руки калькулятор і трохи потренуватися.
У разі, якщо , спробуйте побудувати послідовність , , . Якщо то , , .

Примітка: строго кажучи, такий підхід із побудовою послідовностей із кількох чисел некоректний, але для розуміння найпростіших прикладів цілком підійде.

Також зверніть увагу на таку річ. Навіть якщо дана межа з великим числом вгорі, та хоч з мільйоном: , то все одно , оскільки рано чи пізно «ікс» прийме такі гігантські значення, що мільйон в порівнянні з ними буде справжнісіньким мікробом.

Що потрібно запам'ятати та зрозуміти з вищесказаного?

1) Коли дано будь-яку межу, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

2) Ви повинні розуміти і відразу вирішувати найпростіші межі, такі як , , і т.д.

Зараз ми розглянемо групу меж, коли , а функція є дріб, в чисельнику і знаменнику якого знаходяться багаточлени

Приклад:

Обчислити межу

Згідно з нашим правилом, спробуємо підставити нескінченність у функцію. Що в нас виходить вгорі? Нескінченність. А що виходить унизу? Теж нескінченність. Таким чином, у нас є так звана невизначеність виду. Можна було б подумати, що , і відповідь готова, але в загальному випадку це зовсім не так, і потрібно застосувати певний прийом рішення, який ми зараз і розглянемо.

Як вирішувати межі цього типу?

Спочатку ми дивимося на чисельник і знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь у чисельнику дорівнює двом.

Тепер дивимося на знаменник і теж знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь знаменника дорівнює двом.

Потім ми вибираємо найстарший ступінь чисельника і знаменника: у цьому прикладі вони збігаються і дорівнюють двійці.

Отже, метод вирішення наступний: для того, щоб розкрити невизначеність необхідно розділити чисельник і знаменник на старшому ступені.

Ось воно як відповідь, а зовсім не нескінченність.

Що важливо в оформленні рішення?

По-перше, вказуємо невизначеність, якщо вона є.

По-друге, бажано перервати рішення для проміжних пояснень. Я зазвичай використовую знак , він не несе ніякого математичного сенсу, а означає, що рішення перервано для проміжного пояснення.

По-третє, межі бажано помічати, що й куди прагне. Коли робота оформляється від руки, зручніше це зробити так:

Для позначок краще використовувати простий олівець.

Звичайно, можна нічого цього не робити, але тоді, можливо, викладач відзначить недоліки у вирішенні або почне ставити додаткові запитання. А воно Вам потрібне?

Приклад 2

Знайти межу
Знову в чисельнику та знаменнику знаходимо у старшому ступені:

Максимальний ступінь у чисельнику: 3
Максимальний ступінь у знаменнику: 4
Вибираємо найбільшезначення, у разі четвірку.
Відповідно до нашого алгоритму, для розкриття невизначеності ділимо чисельник та знаменник на .
Повне оформлення завдання може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Приклад 3

Знайти межу
Максимальний ступінь «ікса» у чисельнику: 2
Максимальний ступінь «ікса» у знаменнику: 1 (можна записати як)
Для розкриття невизначеності необхідно розділити чисельник та знаменник на . Чистовий варіант рішення може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Під записом мається на увазі не розподіл на нуль (ділити на нуль не можна), а розподіл на нескінченно мале число.

Таким чином, при розкритті невизначеності виду у нас може вийти кінцеве числонуль або нескінченність.

Межі з невизначеністю виду та метод їх вирішення

Наступна група меж чимось схожа на щойно розглянуті межі: у чисельнику та знаменнику знаходяться багаточлени, але «ікс» прагне вже не до нескінченності, а до кінцевого числа.

Приклад 4

Вирішити межу
Спочатку спробуємо підставити -1 в дріб:

В даному випадку отримана так звана невизначеність.

Загальне правило: якщо в чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, і є невизначеності виду, то для її розкриття потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники.

Для цього найчастіше потрібно вирішити квадратне рівняння та (або) використовувати формули скороченого множення. Якщо ці речі забулися, тоді відвідайте сторінку Математичні формули та таблиціта ознайомтеся з методичним матеріалом Гарячі формули шкільного курсу математики. До речі, його найкраще роздрукувати, потрібно дуже часто, та й інформація з паперу засвоюється краще.

Отже, вирішуємо нашу межу

Розкладемо чисельник і знаменник на множники

Для того, щоб розкласти чисельник на множники, потрібно розв'язати квадратне рівняння:

Спочатку знаходимо дискримінант:

І квадратний корінь із нього: .

Якщо дискримінант великий, наприклад 361, використовуємо калькулятор, функція вилучення квадратного кореня є на найпростішому калькуляторі.

! Якщо корінь не витягується націло (виходить дробове число з комою), цілком імовірно, що дискримінант обчислений неправильно чи завдання помилки.

Далі знаходимо коріння:

Таким чином:

Всі. Чисельник на множники розкладено.

Знаменник. Знаменник вже є найпростішим множником, і спростити його неможливо.

Очевидно, що можна скоротити на :

Тепер і підставляємо -1 у вираз, який залишився під знаком межі:

Звичайно, в контрольній роботі, на заліку, іспиті так детально рішення ніколи не розписують. У чистовому варіанті оформлення має виглядати приблизно так:

Розкладемо чисельник на множники.

Приклад 5

Обчислити межу

Спочатку «чистовий» варіант рішення

Розкладемо чисельник і знаменник на множники.

Чисельник:
Знаменник:



,

Що важливого у цьому прикладі?
По-перше, Ви повинні добре розуміти, як розкритий чисельник, спочатку ми винесли за дужку 2, а потім використали формулу різниці квадратів. Вже цю формулу треба знати і бачити.

Постійне число аназивається межею послідовності(x n ), якщо для будь-якого скільки завгодно малого позитивного числаε > 0 існує номер N, що всі значення x n, у яких n>N, задовольняють нерівності

| x n - a |< ε. (6.1)

Записують це так: або x n → a.

Нерівність (6.1) рівносильна подвійній нерівності

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

яке означає, що точки x n, починаючи з деякого номера n>N, лежать усередині інтервалу (a-ε, a+ ε ), тобто. потрапляють у будь-яку малуε -околиця точки а.

Послідовність, що має межу, називається схожій, в іншому випадку - розбіжною.

Поняття межа функції є узагальненням поняття межа послідовності, оскільки межу послідовності можна розглядати як межу функції x n = f(n) цілого аргументу n.

Нехай дана функція f(x) та нехай a - гранична точкаобласті визначення цієї функції D(f), тобто. така точка, будь-яка околиця якої містить точки множини D(f), відмінні від a. Крапка aможе належати множині D(f), а може і не належати йому.

Визначення 1.Постійне число А називається межа функції f(x) при x→a, якщо для будь-якої послідовності (x n ) значень аргументу, що прагне а, відповідні їм послідовності (f(x n)) мають одну і ту ж межу А.

Це визначення називають визначенням межі функції за Гейном,або “ мовою послідовностей”.

Визначення 2. Постійне число А називається межа функції f(x) при x→a, якщо, задавши довільне як завгодно мале додатне число ε , можна знайти таке δ>0 (що залежить від ε), що для всіх xлежачи вε-околиці числа а, тобто. для x, що задовольняють нерівності
0 < x-a< ε значення функції f(x) будуть лежати вε-околиці числа А, тобто.|f(x)-A|< ε.

Це визначення називають визначенням межі функції по Коші,або “на мові ε - δ “.

Визначення 1 та 2 рівносильні. Якщо функція f(x) за x →a має межа, рівний А, записується у вигляді

. (6.3)

У тому випадку, якщо послідовність (f(x n)) необмежено зростає (або зменшується) за будь-якого способу наближення xдо своєї межі а, то говоритимемо, що функція f(x) має нескінченна межа,і записувати це у вигляді:

Змінна величина (тобто послідовність або функція), межа якої дорівнює нулю, називається нескінченно малою величиною.

Змінна величина, межа якої дорівнює нескінченності, називається нескінченно великою величиною.

Щоб знайти межу практично користуються наступними теоремами.

Теорема 1 . Якщо існує кожна межа

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Зауваження. Вирази виду 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - є невизначеними, наприклад, відношення двох нескінченно малих або нескінченно великих величин, і знайти межу такого виду зветься "розкриття невизначеностей".

Теорема 2. (6.7)

тобто. можна переходити до межі на підставі ступеня за постійного показника, зокрема, ;

(6.8)

(6.9)

Теорема 3.

(6.10)

(6.11)

де e » 2.7 - основа натурального логарифму. Формули (6.10) і (6.11) звуться перший чудової межіта другий чудова межа.

Використовуються на практиці та наслідки формули (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

зокрема межа,

Якщо x → a і при цьому x > a, пишуть x→a + 0. Якщо, зокрема, a = 0, замість символу 0+0 пишуть +0. Аналогічно якщо x →a і при цьому x a-0. Числа і називаються відповідно межа праворучі межа зліва функції f(x) у точці а. Щоб існувала межа функції f(x) при x→a необхідно і достатньо, щоб . Функція f(x) називається безперервний у точці x 0 якщо межа

. (6.15)

Умову (6.15) можна переписати у вигляді:

,

тобто можливий граничний перехід під знаком функції, якщо вона безперервна у цій точці.

Якщо рівність (6.15) порушена, то кажуть, що при x = x o функція f(x) має розрив.Розглянемо функцію y = 1/x. Областю визначення цієї функції є безліч R, крім x = 0. Точка x = 0 є граничною точкою множини D(f), оскільки у її околиці, тобто. у будь-якому відкритому інтервалі, що містить точку 0, є точки з D(f), але вона сама не належить цій множині. Значення f(x o)= f(0) не визначено, у точці x o = 0 функція має розрив.

Функція f(x) називається безперервної праворуч у точці x o , якщо межа

,

і безперервної зліва в точці x o, якщо межа

Безперервність функції у точці x oрівносильна її безперервності у цій точці одночасно праворуч і ліворуч.

Для того, щоб функція була безперервною у точці x o, наприклад, справа, необхідно, по-перше, щоб існувала кінцева межа , а по-друге, щоб ця межа дорівнювала f(x o). Отже, якщо хоча б одна з цих двох умов не виконується, то функція матиме розрив.

1. Якщо межа існує і не дорівнює f(x o), то кажуть, що функція f(x) у точці x o має розрив першого роду,або стрибок.

2. Якщо межа дорівнює+∞ або -∞ або не існує, то кажуть, що в точці x o функція має розрив другого роду.

Наприклад, функція y = ctg x за x→ +0 має межу, рівну +∞, Отже, у точці x = 0 вона має розрив другого роду. Функція y = E(x) (ціла частина від x) у точках з цілими абсцисами має розриви першого роду, або стрибки.

Функція, безперервна в кожній точці проміжку, називається безперервнийв. Безперервна функція зображується суцільною кривою.

До другої чудової межі приводять багато завдань, пов'язаних з безперервним зростанням будь-якої величини. До таких завдань, наприклад, належать: зростання вкладу згідно із законом складних відсотків, зростання населення країни, розпад радіоактивної речовини, розмноження бактерій тощо.

Розглянемо приклад Я. І. Перельмана, що дає інтерпретацію числа eу завданні про складні відсотки. Число eє межа . У ощадбанках відсоткові гроші приєднуються до основного капіталу щорічно. Якщо приєднання відбувається частіше, то капітал зростає швидше, оскільки у освіті відсотків бере участь велика сума. Візьмемо суто теоретичний, дуже спрощений приклад. Нехай у банк покладено 100 ден. од. з розрахунку 100% річних. Якщо відсоткові гроші будуть приєднані до основного капіталу лише через рік, то до цього терміну 100 ден. од. перетворяться на 200 ден.од. Подивимося тепер, на що перетворяться 100 ден. од., якщо відсоткові гроші приєднувати до основного капіталу кожні півроку. Після півріччя 100 ден. од. зростуть у 100× 1,5 = 150, а ще через півроку – у 150× 1,5 = 225 (ден. од.). Якщо приєднання робити кожні 1/3 року, то через рік 100 ден. од. перетворяться на 100× (1 +1/3) 3 » 237 (ден. од.). Частішатимемо терміни приєднання відсоткових грошей до 0,1 року, до 0,01 року, до 0,001 року і т.д. Тоді зі 100 ден. од. через рік вийде:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. од.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. од.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. од.).

При безмежному скороченні термінів приєднання відсотків нарощений капітал не зростає безмежно, а наближається до певної межі, що дорівнює приблизно 271. Більш ніж у 2,71 раз капітал, покладений під 100% річних, збільшитися не може, навіть якби нарослі відсотки приєднувалися до капіталу секунду, тому що межа

Приклад 3.1.Користуючись визначенням межі числової послідовності, довести, що послідовність x n =(n-1)/n має межу, що дорівнює 1.

Рішення.Нам треба довести, що яке бε > 0 ми взяли, йому знайдеться натуральне число N, таке, що всіх n N має місце нерівність| x n -1 |< ε.

Візьмемо будь-яке e > 0. Оскільки ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то відшукання N досить вирішити нерівність 1/n< e. Звідси n>1/e і, отже, за N можна прийняти цілу частину від 1/ e, N = E(1/ e ). Ми тим самим довели, що .

Приклад 3.2 . Знайти межу послідовності, заданої спільним членом .

Рішення.Застосуємо теорему межу суми і знайдемо межу кожного доданка. При n→ ∞ чисельник і знаменник кожного доданка прагне нескінченності, і ми можемо безпосередньо застосувати теорему межа приватного. Тому спочатку перетворимо x nрозділивши чисельник і знаменник першого доданку на n 2, а другого на n. Потім, застосовуючи теорему межу частки та межу суми, знайдемо:

.

Приклад 3.3. . Знайти.

Рішення. .

Тут ми скористалися теоремою про межу ступеня: межа ступеня дорівнює ступеня від межі основи.

Приклад 3.4 . Знайти ( ).

Рішення.Застосовувати теорему межу різниці не можна, оскільки маємо невизначеність виду ∞-∞ . Перетворимо формулу загального члена:

.

Приклад 3.5 . Дано функцію f(x)=2 1/x . Довести, що межі немає.

Рішення.Скористаємося визначенням 1 межі функції через послідовність. Візьмемо послідовність ( x n ), що сходить до 0, тобто. Покажемо, що величина f(x n)= для різних послідовностей поводиться по-різному. Нехай x n = 1/n. Очевидно, що тоді межа Виберемо тепер як x nпослідовність із загальним членом x n = -1/n, що також прагне до нуля. Тому межі немає.

Приклад 3.6 . Довести, що межі немає.

Рішення.Нехай x 1 , x 2 ,..., x n ,... - послідовність, для якої
. Як поводиться послідовність (f(x n)) = (sin x n ) при різних x n → ∞

Якщо x n = p n то sin x n = sin p n = 0 при всіх nі межа Якщо ж
x n =2 p n+ p /2, то sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 всім nі отже межа. Отже, немає.

Віджет для обчислення меж on-line

У верхньому вікні замість sin(x)/x введіть функцію, межу якої потрібно знайти. У нижнє віконце введіть число, до якого прагне х і натисніть кнопку Calcular, отримайте межу, що шукається. А якщо у вікні результату натиснете Show steps у правому верхньому кутку, то отримаєте докладне рішення.

Правила введення функцій: sqrt(x)- квадратний корінь, cbrt(x) - кубічний корінь, exp(x) - експонента, ln(x) - натуральний логарифм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan (x) - тангенс, cot(x) - котангенс, arcsin(x) - арксінус, arccos(x) - арккосинус, arctan(x) - арктангенс. Знаки: * множення, / поділу, зведення в ступінь, замість нескінченності Infinity. Приклад: функція вводиться так sqrt(tan(x/2)).

функцією y = f (x)називається закон (правило), згідно з яким, кожному елементу x множини X ставиться у відповідність один і тільки один елемент y множини Y .

Елемент x ∈ Xназивають аргументом функціїабо незалежної змінної.
Елемент y ∈ Yназивають значенням функціїабо залежною змінною.

Безліч X називається областю визначення функції.
Безліч елементів y ∈ Y, які мають прообрази у множині X , називається областю або безліччю значень функції.

Дійсна функція називається обмеженою зверху (знизу)якщо існує таке число M , що для всіх виконується нерівність:
.
Числова функція називається обмеженоюякщо існує таке число M , що для всіх :
.

Верхньою граннюабо точним верхнім кордономНасправді функції називають найменше з чисел, що обмежує область її значень зверху. Тобто це таке число s, для якого для всіх і для будь-якого, знайдеться такий аргумент, значення функції якого перевищує s′:.
Верхня грань функції може позначатися так:
.

Відповідно нижньою граннюабо точним нижнім кордономНасправді функції називають найбільше з чисел, що обмежує область її значень знизу. Тобто це таке число i , для якого для всіх і для будь - якого , знайдеться такий аргумент , значення функції якого менше ніж i : .
Нижня грань функції може позначатися так:
.

Визначення межі функції

Визначення межі функції по Коші

Кінцеві межі функції у кінцевих точках

Нехай функція визначена в околиці кінцевої точки за винятком, можливо, самої точки .
.
у точці, якщо для будь-кого існує таке, що залежить від того, що для всіх x, для яких виконується нерівність
.
Межа функції позначається так:

Або при .
.

За допомогою логічних символів існування та загальності визначення межі функції можна записати так:
Односторонні межі.
.
Ліва межа в точці (лівостороння межа):
.
Права межа в точці (правостороння межа):
; .

Межі ліворуч і праворуч часто позначають так:

Кінцеві межі функції у нескінченно віддалених точках
.
.
.
Аналогічно визначаються межі в нескінченно віддалених точках.
; ; .

Їх часто позначають так:

Використання поняття околиці точки
.
Якщо ввести поняття проколотого околиці точки , можна дати єдине визначення кінцевої межі функції в кінцевих і нескінченно віддалених точках:
; ;
.
Тут для кінцевих точок
; ; .

Будь-які околиці нескінченно віддалених точок є проколотими:

Нескінченні межі функції
Нехай функція визначена в деякому проколоті околиці точки (кінцевої або нескінченно віддаленої). Межа функції f (x)при x → x 0 дорівнює нескінченностіякщо для будь-якого, скільки завгодно великого числа M > 0 існує таке число δ M > 0 , що залежить від M , що для всіх x , що належать проколоті M - околиці точки : , виконується нерівність:
.
Нескінченну межу позначають так:
.
Межа функції позначається так:

За допомогою логічних символів існування та загальності визначення нескінченної межі функції можна записати так:
.

Також можна запровадити визначення нескінченних меж певних знаків, рівних і :
.
.

Універсальне визначення межі функції

Використовуючи поняття околиці точки, можна дати універсальне визначення кінцевої та нескінченної межі функції, що застосовується як для кінцевих (двосторонніх та односторонніх), так і для нескінченно віддалених точок:
.

Визначення межі функції за Гейном

Нехай функція визначена на деякій множині X: .
Число a називається межею функціїв точці:
,
якщо для будь-якої послідовності, що сходить до x 0 :
,
елементи якої належать множині X : ,
.

Запишемо це визначення за допомогою логічних символів існування та загальності:
.

Якщо як безліч X взяти лівосторонню околицю точки x 0 , Отримаємо визначення лівої межі. Якщо правосторонню – то отримаємо визначення правої межі. Якщо як безліч X взяти околицю нескінченно віддаленої точки, то отримаємо визначення межі функції на нескінченності.

Теорема
Визначення межі функції по Коші та Гейні еквівалентні.
Доведення

Властивості та теореми межі функції

Далі ми вважаємо, що ці функції визначені у відповідній околиці точки , яка є кінцевим числом або одним із символів: .

Також може бути точкою односторонньої межі, тобто мати вигляд або .

Околиця є двосторонньою для двосторонньої межі та односторонньою для односторонньої. (x)Основні властивості Якщо значення функції fзмінити (або зробити невизначеними) у кінцевому числі точок x 0 .

1, x 2, x 3, ... x n 0 , то ця зміна ніяк не вплине на існування та величину межі функції у довільній точці x (x)Якщо існує кінцева межа, то існує така проколота околиця точки x
.

, на якій функція f 0 обмежена:
.
Нехай функція має у точці x 0 кінцева межа, відмінна від нуля:
Тоді, для будь-якого числа c з інтервалу існує така проколота околиця точки x
, що для ,

Якщо, на деякому проколоті околиці точки, - постійна, то .

Якщо існують кінцеві межі та й на деякому проколотом околиці точки x 0
,
те.

Якщо , і на околиці точки
,
те.
Зокрема, якщо на деякій околиці точки
,
то якщо, то і;
якщо, то і.

Якщо на деякому проколотом околиці точки x 0 :
,
і існують кінцеві (або нескінченні певного знака) рівні межі:
, то
.

Докази основних властивостей наведено на сторінці
"Основні властивості меж функції".

Арифметичні властивості межі функції

Нехай функції і визначені в деякій проколоті околиці точки.
І нехай існують кінцеві межі:
та .
;
;
;
, що для ,

І нехай C – постійна, тобто задане число. Тоді

Якщо то .
Докази арифметичних властивостей наведено на сторінці

"Арифметичні властивості меж функції".

Теорема
Критерій Коші існування межі функції 0 Для того, щоб функція , визначена на деякій проколоті околиці кінцевої або нескінченно віддаленої точки x > 0 , мала в цій точці кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого ε 0 існувала така проколота околиця точки x
.

, Що для будь-яких точок і з цієї околиці, виконувалася нерівність:

Межа складної функції Теорема про межу
складної функції
Нехай функція має межу і відображає проколоту околицю точки на проколоту околицю точки.
Нехай функція визначена на околиці і має на ній межу.
.

Тут - кінцеві чи нескінченно віддалені точки: .
.

Околиці та відповідні їм межі може бути як двосторонні, і односторонні. Тоді існує межа складної функції і він дорівнює::
.
Теорема про межу складної функції застосовується у тому випадку, коли функція не визначена в точці або має значення, відмінне від граничного .

Для застосування цієї теореми, має існувати проколота околиця точки , де безліч значень функції не містить точку :
Якщо функція безперервна в точці, то знак межі можна застосовувати до аргументу безперервної функціїДалі наводиться теорема, що відповідає цьому випадку. 0 Теорема про межу безперервної функції від функції 0 :
.
Нехай існує межа функції g 0 (t)
при t → t (x), і він дорівнює x 0 .
Тут точка t може бути кінцевою чи нескінченно віддаленою: .І нехай функція f безперервна в точці x:
.

Тоді існує межа складної функції f
(g(t))

, і він дорівнює f

(x 0)

Нескінченні межі функції
Функція називається нескінченно малою при , якщо
.

Сума, різниця та твіркінцевого числа нескінченно малих функцій при є нескінченно малою функцією при .

Добуток функції, обмеженоїна деякому проколоті околиці точки , на нескінченно малу при є нескінченно малою функцією при .

Для того, щоб функція мала кінцеву межу, необхідно і достатньо, щоб
,
де - нескінченно мала функція при .

«Властивості нескінченно малих функцій».

Нескінченно великі функції

Нескінченні межі функції
Функція називається нескінченно великою при , якщо
.

Сума чи різниця обмеженої функції, на деякому проколоті околиці точки , і нескінченно великий функції при є нескінченно великий функцією при .

Якщо функція є нескінченно великою при , а функція - обмежена, на деякому проколоті околиці точки , то
.

Якщо функція , на деякому проколоті околиці точки , задовольняє нерівності:
,
а функція є нескінченно малою при:
, і (на деякому проколоті околиці точки ), то
.

Докази властивостей викладені у розділі
"Властивості нескінченно великих функцій".

Зв'язок між нескінченно великими та нескінченно малими функціями

З двох попередніх властивостей випливає зв'язок між нескінченно великими та нескінченно малими функціями.

Якщо функція є нескінченно великою при , то функція є нескінченно малою при .

Якщо функція є нескінченно малою при , і , то функція є нескінченно великою при .

Зв'язок між нескінченно малою та нескінченно великою функцією можна виразити символічним чином:
, .

Якщо нескінченно мала функція має певний знак при , тобто позитивна (або негативна) на деякому проколоті околиці точки , то цей факт можна виразити так:
.
Так само якщо нескінченно велика функція має певний знак при , то пишуть:
.

Тоді символічний зв'язок між нескінченно малими та нескінченно великими функціямиможна доповнити такими співвідношеннями:
, ,
, .

Додаткові формули, що зв'язують символи нескінченності, можна знайти на сторінці
«Нескінченно віддалені точки та їх властивості».

Межі монотонних функцій

Нескінченні межі функції
Функція , визначена на деякій множині дійсних чисел X називається строго зростаючоюякщо для всіх таких що виконується нерівність:
.
Відповідно, для суворо спадаючоюфункції виконується нерівність:
.
Для невпадаючою:
.
Для незростаючою:
.

Звідси випливає, що функція, що строго зростає, також є неубутньою. Строго спадна функція також є незростаючою.

Функція називається монотонної, якщо вона незнижена або незростаюча.

Теорема
Нехай функція не зменшується на інтервалі, де.
Якщо вона обмежена зверху числом M:, існує кінцева межа.
Якщо не обмежена зверху, то .

Якщо обмежена знизу числом m:, існує кінцева межа.
Якщо не обмежена знизу, то .

Якщо точки a і b є нескінченно віддаленими, то виразах під знаками меж мається на увазі, що .
;
.

Цю теорему можна сформулювати компактніше.

Нехай функція не зменшується на інтервалі, де.
;
.

Тоді існують односторонні межі в точках a і b:
Аналогічна теорема для функції, що не зростає.

Нехай функція не зростає на інтервалі, де.
Тоді існують односторонні межі:
Доказ теореми викладено на сторінці

"Межі монотонних функцій".

Використана література:

Л.Д. Кудрявці. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 2003. С.М. Микільський. Курс математичного аналізу. Том 1. Москва, 1983.Тема 4.6.Обчислення меж Межа функції не залежить від того, чи вона визначена в граничній точці чи ні. Але на практиці обчислення меж елементарних функцій ця обставина має важливе значення.а 1. Якщо функція є елементарною і якщо граничне значення аргументу належить її області визначення, обчислення межі функції зводиться до простої підстановці граничного значення аргументу, т.к. межа аелементарної функції a) .

f(x) при х прагне до, яке входить у область визначення, дорівнює частковому значенню функції при х=

, тобто. lim f(x)=f(

2. Якщо х прагне до нескінченностіабо аргумент прагне до, яке належить області визначення функції, то кожному такому разі перебування межі функції вимагає спеціального дослідження.

Нижче наведені найпростіші межі, що ґрунтуються на властивостях меж, які можна використовувати як формули:

Більше

складні випадки Межа функції не залежить від того, чи вона визначена в граничній точці чи ні. Але на практиці обчислення меж елементарних функцій ця обставина має важливе значення.а знаходження межі функції:

розглядаються кожен окремо.

У цьому розділі буде наведено основні способи розкриття невизначеностей. Межа функції не залежить від того, чи вона визначена в граничній точці чи ні. Але на практиці обчислення меж елементарних функцій ця обставина має важливе значення.а , то необхідно пам'ятати, що х не набуває значення а, тобто. х не дорівнює а.

б) Застосовується теорема Безу. Якщо шукається межа дробу, чисельник і знаменник якого багаточлени, що звертаються до 0 у граничній точці х= а, то відповідно до вищезгаданої теореми обидва багаточлени діляться без залишку на х- а.

в) Знищується ірраціональність у чисельнику чи знаменнику шляхом множення чисельника чи знаменника на пов'язане до ірраціонального вираз, потім після спрощення дріб скорочується.

г) Використовується 1-а чудова межа (4.1).

д) Використовується теорема про еквівалентність нескінченно малих та наступні б.м.:

2. Випадок, коли при Межа функції не залежить від того, чи вона визначена в граничній точці чи ні. Але на практиці обчислення меж елементарних функцій ця обставина має важливе значення.а функція f(x) представляє відношення двох нескінченно великих величин

а) Розподіл чисельника та знаменника дробу на найвищий ступінь невідомого.

б) У загальному випадку можна використовувати правило

3. Випадок, коли при Межа функції не залежить від того, чи вона визначена в граничній точці чи ні. Але на практиці обчислення меж елементарних функцій ця обставина має важливе значення.а функція f (x) представляє добуток нескінченно малої величини на нескінченно більшу

Дроб перетворюється на вигляд, чисельник і знаменник якої одночасно прагнуть до 0 чи нескінченності, тобто. випадок 3 зводиться до випадку 1 або випадку 2.

4. Випадок, коли при Межа функції не залежить від того, чи вона визначена в граничній точці чи ні. Але на практиці обчислення меж елементарних функцій ця обставина має важливе значення.а функція f (x) представляє різницю двох позитивних нескінченно великих величин

Цей випадок зводиться до вигляду 1 або 2 одним із таких способів:

а) приведення дробів до спільного знаменника;

б) перетворення функції до виду дробу;

в) звільнення від ірраціональності.

5. Випадок, коли при Межа функції не залежить від того, чи вона визначена в граничній точці чи ні. Але на практиці обчислення меж елементарних функцій ця обставина має важливе значення.а функція f (x) представляє ступінь, основа якої прагне 1, а показник до нескінченності.

Функція перетворюється таким чином, щоб використовувати 2-у чудову межу (4.2).

приклад.Знайти .

Так як х прагне до 3, то чисельник дробу прагне до 3 2 +3 *3+4=22, а знаменник-до 3+8=11. Отже,

приклад

Тут чисельник і знаменник дробу при х прагне до 2прагнуть 0 (невизначеність виду), розкладемо чисельник і знаменник на множники, отримаємо lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)

приклад

Помножимо чисельник і знаменник на вираз, пов'язаний до чисельника, маємо

Розкриваємо дужки в чисельнику, отримаємо

приклад

Рівень 2 приклад. Наведемо приклад застосування поняття межі функції економічних розрахунках. Розглянемо звичайну фінансову угоду: надання у борг суми S 0 з умовою, що через період часу Tбуде повернуто суму S T. Визначимо величину r відносного зростанняформулою

r=(ST-S 0)/S 0 (1)

Відносне зростання можна виразити у відсотках, помноживши отримане значення rна 100.

З формули (1) легко визначити величину S T:

S T= S 0 (1 + r)

При розрахунку за довгостроковими кредитами, що охоплюють кілька повних роківвикористовують схему складних відсотків. Вона полягає в тому, що якщо за 1-й рік сума S 0 зростає в (1 + r) раз, то за другий рік у (1 + r) разів зростає сума S 1 = S 0 (1 + r), тобто S 2 = S 0 (1 + r) 2 . Аналогічно виходить S 3 = S 0 (1 + r) 3 . З наведених прикладів можна вивести загальну формулудля обчислення зростання суми за nроків при розрахунку за схемою складних відсотків:

S n= S 0 (1 + r) n.

У фінансових розрахунках застосовуються схеми, де нарахування складних відсотків провадиться кілька разів на рік. При цьому обмовляються річна ставка rі кількість нарахувань за рік k. Як правило, нарахування проводяться через рівні проміжки часу, тобто довжина кожного проміжку T kскладає частину року. Тоді для терміну у Tроків (тут Tне обов'язково є цілим числом) сума S Tрозраховується за формулою

(2)

де - ціла частина числа, яка збігається із самим числом, якщо, наприклад, T? ціле число.

Нехай річна ставка дорівнює rта виробляється nнарахувань за рік через рівні проміжки часу. Тоді за рік сума S 0 нарощується до величини, що визначається формулою

(3)

У теоретичному аналізій у практиці фінансової складової діяльності часто зустрічається поняття “безперервно начисляемый відсоток”. Щоб перейти до відсотка, що безперервно нараховується, потрібно у формулах (2) і (3) необмежено збільшувати відповідно, числа kі n(тобто спрямувати kі nдо нескінченності) і обчислити, до якої межі прагнутимуть функції S Tі S 1 . Застосуємо цю процедуру до формули(3):

Зауважимо, що межа у фігурних дужках збігається з другою чудовою межею. Звідси випливає, що за річної ставки rпри відсотку, що безперервно нараховується, сума S 0 за 1 рік нарощується до величини S 1 * , яка визначається з формули

S 1 * = S 0 e r (4)

Нехай тепер сума S 0 надається у борг з нарахуванням відсотка nЩорічно через рівні проміжки часу. Позначимо r eрічну ставку, за якої наприкінці року сума S 0 нарощується до величини S 1* із формули (4). У цьому випадку говоритимемо, що r e- це річна ставка при нарахуванні відсотка nщорічно, еквівалентна річному відсотку rпри безперервному нарахуванні.З формули (3) отримуємо

S* 1 =S 0 (1+r e /n) n

Прирівнюючи праві частини останньої формули та формули (4), вважаючи в останній T= 1, можна вивести співвідношення між величинами rі r e:

Ці формули широко використовуються у фінансових розрахунках.