Рішення слау шляхом зворотної матриці. Розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри за допомогою зворотної матриці

(іноді цей метод називають ще матричним методомабо методом зворотної матриці) вимагає попереднього ознайомлення з таким поняттям, як матрична форма запису СЛАУ. Метод зворотної матриці призначений для вирішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь, У яких визначник матриці системи відмінний від нуля Звичайно, при цьому мається на увазі, що матриця системи квадратна (поняття визначника існує тільки для квадратних матриць). Суть методу зворотної матриці можна виразити у трьох пунктах:

1. Записати три матриці: матрицю системи $A$, матрицю невідомих $X$, матрицю вільних членів $B$.
2. Знайти обернену матрицю $A^(-1)$.
3. Використовуючи рівність $X=A^(-1)\cdot B$ отримати рішення заданої СЛАУ.

Будь-яку СЛАУ можна записати в матричній формі як $A\cdot X=B$, де $A$ - матриця системи, $B$ - матриця вільних членів, $X$ - матриця невідомих. Нехай матриця $A^(-1)$ існує. Помножимо обидві частини рівності $A\cdot X=B$ на матрицю $A^(-1)$ зліва:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Оскільки $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ - одинична матриця), то записана вище рівність стане такою:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Оскільки $E\cdot X=X$, то:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Приклад №1

Вирішити СЛАУ $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ за допомогою зворотної матриці.

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\-11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\x_2 \end(array)\right). $$

Знайдемо зворотний матрицю до матриці системи, тобто. обчислимо $A^(-1)$. У прикладі №2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$

Тепер підставимо всі три матриці ($X$, $A^(-1)$, $B$) у рівність $X=A^(-1)\cdot B$. Потім виконаємо множення матриць

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\ 2\end(array)\right). $$

Отже, ми здобули рівність $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end(array ) \ right) $. З цієї рівності маємо: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Відповідь: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Приклад №2

Вирішити СЛАУ $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right . $ методом зворотної матриці.

Запишемо матрицю системи $A$, матрицю вільних членів $B$ та матрицю невідомих $X$.

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\x_2 \x_3 \end(array)\right). $$

Тепер настала черга знайти зворотну матрицю до матриці системи, тобто. знайти $A^(-1)$. У прикладі №3 на сторінці, присвяченій знаходження зворотних матриць, зворотну матрицю було вже знайдено. Скористайтеся готовим результатом і запишемо $A^(-1)$:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right). $$

Тепер підставимо всі три матриці ($X$, $A^(-1)$, $B$) у рівність $X=A^(-1)\cdot B$, після чого виконаємо множення матриць у правій частині даної рівності.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1cdot 6 8cdot (-1)+2cdot 0+(-16)cdot 6 -12cdot (-1)+(-3)cdot 0+37cdot 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\-4\\9\end(array)\right) $$

Отже, ми здобули рівність $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4\ \ 9 \ end (array) \ right) $. З цієї рівності маємо: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.

Рівняння взагалі, лінійні рівняння алгебри та їх системи, а також методи їх вирішення займають в математиці, як теоретичної, так і прикладної, особливе місце.

Це з тим обставиною, що переважна більшість фізичних, економічних, технічних і навіть педагогічних завданьможуть бути описані та вирішені за допомогою різноманітних рівнянь та їх систем. У останнім часомособливу популярність серед дослідників, науковців та практиків набуло математичне моделюванняпрактично у всіх предметних областях, що пояснюється очевидними його перевагами над іншими відомими та апробованими методами дослідження об'єктів різної природи, зокрема, так званих, складних систем. Існує велика різноманітність різних визначеньматематичної моделі, даних вченими в різні часи, але на наш погляд, найвдаліше, це наступне твердження. Математична модель – це ідея, виражена рівнянням. Таким чином, уміння складати та вирішувати рівняння та їх системи – невід'ємна характеристика сучасного фахівця.

Для вирішення систем лінійних рівнянь алгебри найчастіше використовуються методи: Крамера, Жордана-Гаусса і матричний метод.

Матричний метод рішення - метод рішення за допомогою зворотної матриці систем лінійних рівнянь алгебри з ненульовим визначником.

Якщо виписати коефіцієнти при невідомих величинах xi в матрицю A, невідомі величини зібрати у вектор стовпець X, а вільні члени у вектор стовпець B, то систему лінійних рівнянь алгебри можна записати у вигляді наступного матричного рівняння A · X = B, яке має єдине рішення тільки тоді, коли визначник матриці A не дорівнюватиме нулю. При цьому розв'язання системи рівнянь можна знайти наступним способом X = A-1 · B, де A-1 – зворотна матриця.

Матричний метод рішення полягає в наступному.

Нехай дана система лінійних рівняньз nневідомими:

Її можна переписати в матричній формі: AX = B, де A- основна матриця системи, Bі X- стовпці вільних членів та рішень системи відповідно:

Помножимо це матричне рівняння зліва на A-1 - матрицю, зворотну до матриці A: A -1 (AX) = A -1 B

Бо A -1 A = E, отримуємо X= A -1 B. Права частинацього рівняння дасть стовпець рішень вихідної системи. Умовою застосування даного методу(як і взагалі існування рішення не однорідної системилінійних рівнянь з числом рівнянь, що дорівнює кількості невідомих) є невиродженість матриці A. Необхідним та достатньою умовоюцього є нерівність нулю визначника матриці A: det A≠ 0.

Для однорідної системи лінійних рівнянь, тобто коли вектор B = 0 , дійсно зворотне правило: система AX = 0 має нетривіальне (тобто не нульове) рішення тільки якщо det A= 0. Така зв'язок між рішеннями однорідних і неоднорідних систем лінійних рівнянь зветься альтернативи Фредгольма.

приклад розв'язання неоднорідної системи лінійних рівнянь алгебри.

Переконаємося в тому, що визначник матриці, складений з коефіцієнтів при невідомих системах лінійних рівнянь алгебри не дорівнює нулю.

Наступним кроком буде обчислення алгебраїчних доповненьдля елементів матриці, що складається з коефіцієнтів при невідомих. Вони знадобляться для знаходження зворотної матриці.

Це поняття, що узагальнює всі можливі операції, які виробляються з матрицями. Математична матриця – таблиця елементів. Про таку таблицю, де mрядків та nстовпців, кажуть, що це матриця має розмірність mна n.

Загальний вигляд матриці:

Для рішення матрицьнеобхідно розуміти, що таке матриця та знати основні її параметри. Основні елементи матриці:

• Головна діагональ, що складається з елементів а 11, а 22 …..а mn.
• Побічна діагональ, що складається з елементів а 1n, а 2n-1 …..а m1.

Основні види матриць:

• Квадратна - така матриця, де число рядків = числу стовпців ( m=n).
• Нульова – де всі елементи матриці = 0.
• Транспонована матриця - матриця У, яка була отримана з вихідної матриці Aшляхом заміни рядків на стовпці.
• Поодинока - всі елементи головної діагоналі = 1, решта = 0.
• Зворотна матриця - матриця, при множенні на яку вихідна матриця дає в результаті поодиноку матрицю.

Матриця може бути симетричною щодо головної та побічної діагоналі. Тобто, якщо а 12 = а 21, а 13 = а 31, .... а 23 = а 32 …. а m-1n = а mn-1то матриця симетрична щодо головної діагоналі. Симетричними можуть лише квадратні матриці.

Методи розв'язання матриць.

Майже всі методи вирішення матриціполягають у знаходженні її визначника n-го порядку і більшість їх досить громіздкі. Щоб знайти визначник 2-го та 3-го порядку є інші, більш раціональні способи.

Знаходження визначників 2-го порядку.

Для обчислення визначника матриці А 2го порядку, необхідно від твору елементів головної діагоналі відняти добуток елементів побічної діагоналі:

Методи знаходження визначників 3-го порядку.

Нижче наведено правила знаходження визначника 3го порядку.

Спрощено правило трикутника, як одного з методів вирішення матриць, можна зобразити таким чином:

Іншими словами, добуток елементів у першому визначнику, які з'єднані прямими, береться зі знаком "+"; так само, для 2-го визначника - відповідні твори беруться зі знаком "-", тобто за такою схемою:

При рішенні матриць правилом Саррюса, праворуч від визначника дописують перші 2 стовпці та твори відповідних елементів на головній діагоналі та на діагоналях, які їй паралельні, беруть зі знаком "+"; а твори відповідних елементів побічної діагоналі та діагоналей, які їй паралельні, зі знаком "-":

Розкладання визначника по рядку чи стовпцю під час вирішення матриць.

Визначник дорівнює сумітворів елементів рядка визначника з їхньої алгебраїчні доповнення. Зазвичай вибирають той рядок / стовпець, в якому є нулі. Рядок або стовпець, по якому ведеться розкладання, будуть позначати стрілкою.

Приведення визначника до трикутного вигляду під час вирішення матриць.

При рішенні матрицьЗ допомогою приведення визначника до трикутному виду, працюють так: з допомогою найпростіших перетворень над рядками чи стовпцями, визначник стає трикутного вигляду і тоді його значення, відповідно до властивостями визначника, дорівнюватиме добутку елементів, які стоять на головній діагоналі.

Теорема Лапласа під час вирішення матриць.

Вирішуючи матриці за теоремою Лапласа, необхідно знати безпосередньо саму теорему. Теорема Лапласа: Нехай Δ - це визначник n-го порядку. Вибираємо в ньому будь-які kрядків (або стовпців), за умови k≤ n - 1. У такому разі сума творів усіх мінорів k-го порядку, що містяться у вибраних kрядках (стовпцях), на їх алгебраїчні доповнення дорівнюватиме визначнику.

Вирішення зворотної матриці.

Послідовність дій для рішення зворотної матриці:

1. Зрозуміти, чи квадратна дана матриця. У разі негативної відповіді стає ясно, що зворотної матриці не може бути.
2. Обчислюємо додатки алгебри.
3. Складаємо союзну (взаємну, приєднану) матрицю C.
4. Складаємо зворотну матрицю з додатків алгебри: всі елементи приєднаної матриці Cділимо на визначник початкової матриці. Підсумкова матриця буде шуканою зворотною матрицеющодо заданої.
5. Перевіряємо виконану роботу: множимо матрицю початкову та отриману матриці, результатом має стати одинична матриця.

Вирішення систем матриць.

Для рішення систем матрицьнайчастіше використовують метод Гауса.

Метод Гаусса — це стандартний спосіб розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ) і він полягає в тому, що послідовно виключаються змінні, тобто, за допомогою елементарних змін систему рівнянь доводять до еквівалентної системи трикутного вигляду і з неї, послідовно, починаючи з останніх (за номером) знаходять кожен елемент системи.

Метод Гаусає найбільш універсальним і найкращим інструментомдля знаходження рішення матриць. Якщо у системи безліч рішень або система є несумісною, то її не можна вирішувати за правилом Крамера і матричним методом.

Метод Гауса передбачає також прямий (приведення розширеної матриці до ступінчастого вигляду, тобто отримання нулів під головною діагоналлю) і зворотний (отримання нулів над головною діагоналлю розширеної матриці) ходи. Прямий хід є метод Гаусса, зворотний - метод Гаусса-Жордана. Метод Гауса-Жордана відрізняється від методу Гауса лише послідовністю виключення змінних.

Розглянемо систему лінійних рівнянь із багатьма змінними:

де aij-коефіцієнти при невідомих хi; bi-вільні члени;

індекси: i = 1,2,3 ... m-визначають номер рівняння і j = 1,2,3 ... n- номер невідомого.

Визначення: Рішенням системи рівнянь (5) називається сукупність n чисел (х10, х20,….хn0), при підстановці яких у систему всі рівняння звертаються у вірні числові тотожності.

Визначення: Система рівнянь називається спільною, якщо вона має хоча одне рішення. Спільна система називається певною, якщо має єдине рішення (х10, х20,….хn0), і невизначеної, якщо таких рішень кілька.

Визначення: Система називається несумісною, якщо вона не має рішення.

Визначення: Таблиці, складені з числових коефіцієнтів (aij) та вільних членів (bi) системи рівнянь (5), називаються матрицею системи (А) та розширеною матрицею (А1), які позначаються у вигляді:

Визначення: Матриця системи А, що має нерівне число рядків та стовпців (n?m), називається прямокутною. Якщо число рядків і шпальт збігається (n=m), то матриця називається квадратною.

Якщо в системі число невідомих дорівнює кількості рівнянь (n=m), то система має квадратну матрицю n-го порядку.

Виділимо в матриці А k-довільних рядків та k-довільних стовпців (km, kn).

Визначення: Визначник k-порядку, що складається з елементів матриці А, розташованих на перетині виділених рядків і стовпців, називається мінором k-порядку матриці А.

Розглянемо всілякі мінори матриці А. Якщо всі мінори (k+1)-порядку дорівнюють нулю, а хоча б один з мінорів k-порядку не дорівнює нулю, то кажуть, що матриця має ранг рівний k.

Визначення: Ранг матриці А називається найбільший порядок мінору цієї матриці, відмінного від нуля. Ранг матриці позначається через r(A).

Визначення: Будь-який відмінний від нуля мінор матриці, порядок якого дорівнює рангу матриці, називається базисним.

Визначення: Якщо для двох матриць А і їх ранги збігаються r(A)= r(В), то ці матриці називаються еквівалентними і позначаються АВ.

Ранг матриці не зміниться від елементарних, еквівалентних перетворень, які включають:

• 1. Заміну рядків стовпцями, а стовпців – відповідними рядками;
• 2. Перестановку рядків чи стовпців місцями;
• 3. Викреслення рядків чи стовпців, всі елементи яких дорівнюють нулю;
• 4. Множення або розподіл рядка або стовпця на число, відмінне від нуля;
• 5. Додавання або віднімання елементів одного рядка або стовпця з іншого, помноженого на будь-яке число.

При визначенні рангу матриці використовують еквівалентні перетворення, за допомогою яких вихідну матрицю призводять до ступінчастої (трикутної) матриці.

У ступінчастій матриці під головною діагоналлю розташовуються нульові елементи, причому перший ненульовий елемент кожного її рядка, починаючи з другого, розташований правіше за перший нерівний нуль елемента попереднього рядка.

Зазначимо, що ранг матриці дорівнює числу ненульових рядків ступінчастої матриці.

Наприклад, матриця А= - ступінчастого виду та її ранг дорівнює числу ненульових рядків матриці r(A)=3. Дійсно, всі мінори 4-го порядку з нульовими елементами 4-го рядка дорівнюють нулю, а мінори 3-го порядку відмінні від нуля. Для перевірки обчислимо визначник мінору перших 3-х рядків і 3-х стовпців:

Будь-яку матрицю можна призвести до ступінчастої шляхом обнулення елементів матриці під головною діагоналлю за допомогою елементарних дій.

Повернемося до дослідження та вирішення системи лінійних рівнянь (5).

Важливу роль дослідження систем лінійних рівнянь грає Теорема Кронекера-Капели. Сформулюємо цю теорему.

Теорема Кронекера-Капели: Система лінійних рівнянь спільна і тоді, коли ранг матриці системи А дорівнює рангу розширеної матриці А1, тобто. r(A)=r(A1). Що стосується спільності система є певної, якщо ранг матриці системи дорівнює числу невідомих, тобто. r(A)=r(A1)=n і невизначеною, якщо цей ранг менше числаневідомих, тобто. r(A)= r(A1)

приклад. Дослідити систему лінійних рівнянь:

Визначимо ранги матриці системи А та розширеної матриці А1. Для цього складемо розширену матрицю А1 і наведемо її до ступінчастого вигляду.

При наведенні матриці виконаємо такі дії:

• 2) віднімемо з 3 і 4 рядків 1-й рядок, помножений на 4;
• 3) помножимо 4-й рядок на (-1) і поміняємо місцями з 2-м рядком;
• 4) складемо 3 та 4 рядки з 2-м рядком, помноженим відповідно на 5 та 4;
• 5) віднімаємо з 4-го рядка 3-й і викреслюємо 4-й рядок з нульовими елементами.

В результаті виконаних дій отримали ступінчасту матрицю з трьома ненульовими рядками як у матриці системи (до межі), так і в розширеній матриці. Звідки видно, що ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці і дорівнює 3 але менше числа невідомих (n=4).

Відповідь: т.к. r(A)=r(A1)=3

У зв'язку з тим, що ранг матриць зручно визначати шляхом приведення їх до ступінчастого вигляду, розглянемо спосіб розв'язання системи лінійних рівнянь методом Гаусса.

метод Гауса

Сутність методу Гауса полягає в послідовному виключенні тних шляхом приведення до ступінчастого виду розширеної матриці А1, яка включає до риси матрицю системи А. При цьому одночасно визначаються ранги матриць А, А1 і проводиться дослідження системи з теореми Кронекера-Капелі. На останньому етапі вирішують систему рівнянь ступінчастого вигляду, роблячи підстановки знизу нагору знайдених значень невідомих.

Розглянемо застосування методу Гауса та теореми Кронекера-Капелі на прикладі.

приклад. Вирішити систему методом Гауса:

Визначимо ранги матриці системи А та розширеної матриці А1. Для цього складемо розширену матрицю А1 і наведемо її до ступінчастого вигляду. При наведенні виконаємо такі дії:

• 1) віднімемо з 2-го рядка 1-й рядок;
• 2) віднімемо з 3-го рядка 1-й рядок, помножений на 2;
• 3) розділимо 2-й рядок на (-2), а 3-й рядок помножимо на (-1) і поміняємо їх місцями.

Отримали ступінчасту матрицю, у якої число рядків дорівнює 3, причому матриця системи (до риси) також немає нульових стік. Отже, ранги матриці системи та розширеної матриці дорівнюють 3 і дорівнюють числу невідомих, тобто. r(A)=r(A1)=n=3.. Відповідно до теореми Кронекера-Капелі система спільна і визначена, має єдине рішення.

В результаті перетворення матриці А1, обнуляючи коефіцієнти при невідомих, послідовно виключили їх із рівнянь та отримали ступінчасту (трикутну) систему рівнянь:

Рухаючись послідовно знизу вгору, підставляючи рішення (х3=1) з третього рівняння у друге, а рішення (х2=1, х3=1) з другого та третього рівнянь у перше, отримаємо розв'язання системи рівнянь: х1=1,х2=1, х3=1.

Перевірка: - (!) Відповідь: (х1 = 1, х2 = 1, х3 = 1).

метод Жордано-Гаусса

Цю систему можна вирішити удосконаленим методом Жордано-Гаусса, який полягає в тому, що матрицю системи А в розширеній матриці (до межі) призводять до одиничної матриці: Е =з одиничними діагональними та нульовими недіагональними елементами та одержують відразу рішення системи без додаткових підстановок.

Вирішимо розглянуту вище систему методом Жордано-Гаусса. Для цього перетворимо отриману ступінчасту матрицю на одиничну, виконавши наступні дії:

• 1) віднімемо з 1-го рядка 2-й рядок;
• 2) складемо з 1-м рядком 3-й рядок, помножений на 3;
• 3) віднімемо з 2-го рядка 3-й рядок, помножений на 4.

Вихідна система рівнянь звелася до системи:, яка визначає рішення.

основні дії з матрицями

Нехай дані дві матриці: А= B=.

• 1. Матриці рівні А = В, якщо рівні їх однойменні елементи: aij = bij
• 2. Сумою (різністю) матриць (А ± В) називається матриця, яка визначається рівністю:

При підсумовуванні (відніманні) матриць складаються (віднімаються) їх однойменні елементи.

3. Добутком числа k на матрицю A називається матриця, що визначається рівністю:

При множенні матриці на число множаться на це всі елементи матриці.

4. Добутком матриць АВ називається матриця, яка визначається рівністю:

При множенні матриць елементи рядків першої матриці множаться на елементи стовпців другої матриці та підсумовуються, причому елемент матриці-твору, що стоїть у i-му рядку та j-му стовпці, дорівнює сумі творів відповідних елементів i-го рядка першої матриці та j-му стовпця другий матриці.

При множенні матриць у випадку переміщувальний закон діє, тобто. АВ?ВА.

5. Транспонування матриці А називається дія, що призводить до заміни рядків стовпцями, а стовпців - відповідними рядками.

Матриця АТ=називається транспонованою матрицею для матриці А=.

Якщо визначник матриці А дорівнює нулю (Д?0), то таку матрицю називають невиродженою. Для будь-якої невиродженої матриці А існує зворотна матриця А-1, на яку виконується рівність: А-1 А= А А-1=Е, де Е=- одинична матриця.

6. Зверненням матриці А називають такі дії, при яких виходить зворотна матриця А-1

При зверненні матриці виконуються такі дії.