Функцийн хязгаарлалтын тооцоолуур. Гайхалтай хязгаарлалтууд. Шийдлийн жишээ
Функцийн хязгаар- тоо аХэрэв энэ хувьсах хэмжигдэхүүн өөрчлөгдөх явцад тодорхойгүй хугацаагаар ойртвол зарим нэг хувьсах хэмжигдэхүүний хязгаар болно. а.
Эсвэл өөрөөр хэлбэл тоо Ань функцийн хязгаар юм у = f(x)цэг дээр x 0, хэрэв функцийн тодорхойлолтын мужаас ямар нэгэн цэгийн дарааллын хувьд тэнцүү биш x 0, аль нь цэгт нийлдэг x 0 (lim x n = x0), харгалзах функцийн утгуудын дараалал нь тоонд нийлдэг А.
Хязгааргүй байх хандлагатай аргументыг өгвөл хязгаар нь тэнцүү байх функцийн график Л:
Утга Абайна функцийн хязгаар (хязгаарлалтын утга). f(x)цэг дээр x 0ямар ч дараалсан цэгийн хувьд 
, аль нь нийлдэг x 0, гэхдээ агуулаагүй x 0түүний элементүүдийн нэг болгон (жишээ нь цоорсон ойролцоо x 0), функцийн утгуудын дараалал 
-д нийлдэг А.
Кошигийн дагуу функцийн хязгаар.
Утга Абайх болно функцийн хязгаар f(x)цэг дээр x 0урьдчилан авсан сөрөг бус тооны хувьд ε харгалзах сөрөг бус тоог олох болно δ = δ(ε) аргумент бүрийн хувьд x, нөхцөлийг хангаж байна 0 < | x - x0 | < δ , тэгш бус байдал хангагдана | f(x)A |< ε .
Хэрэв та хязгаарын мөн чанар, түүнийг олох үндсэн дүрмийг ойлговол энэ нь маш энгийн байх болно. Функцийн хязгаар гэж юу вэ f (x)цагт xтэмүүлж байна атэнцүү байна А, ингэж бичсэн байна:
Түүнээс гадна хувьсагчийн хандлагатай утга x, зөвхөн тоо биш, мөн хязгааргүй (∞), заримдаа +∞ эсвэл -∞ байж болно, эсвэл огт хязгааргүй байж болно.
Яаж гэдгийг ойлгохын тулд функцийн хязгаарыг ол, шийдлүүдийн жишээг үзэх нь хамгийн сайн арга юм.
Функцийн хязгаарыг олох шаардлагатай f (x) = 1/xхаягаар:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
Эхний хязгаарын шийдлийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд та зүгээр л орлуулж болно xтүүний хандлагатай тоо, i.e. 2, бид авна:
Функцийн хоёр дахь хязгаарыг олъё. Энд орлуулна уу цэвэр хэлбэрОронд нь 0 xболомжгүй, учир нь Та 0-д хувааж болохгүй. Гэхдээ бид тэгтэй ойролцоо утгыг авч болно, жишээлбэл, 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 гэх мэт, мөн функцийн утга f (x)нэмэгдэх болно: 100; 1000; 10000; 100 мянга гэх мэт. Тиймээс хэзээ гэж ойлгож болно x→ 0 Хязгаарын тэмдгийн доор байгаа функцийн утга хязгааргүй өсөх болно, өөрөөр хэлбэл. хязгааргүй рүү тэмүүл. Юу гэсэн үг вэ гэхээр:
Гурав дахь хязгаарын тухайд. Өмнөх тохиолдолтой ижил нөхцөл байдал, үүнийг орлуулах боломжгүй юм ∞ хамгийн цэвэр хэлбэрээр. Хязгааргүй өсөлтийн асуудлыг авч үзэх хэрэгтэй x. Бид 1000-ыг нэг нэгээр нь орлуулдаг; 10000; 100000 гэх мэтчилэн бидэнд функцийн утга байна f (x) = 1/xбуурах болно: 0.001; 0.0001; 0.00001; гэх мэтээр тэг рүү тэмүүлдэг. Тийм учраас:
Функцийн хязгаарыг тооцоолох шаардлагатай 
Хоёр дахь жишээг шийдэж эхлэхэд бид тодорхойгүй байдлыг харж байна. Эндээс бид тоологч ба хуваагчийн хамгийн дээд зэрэглэлийг олдог - энэ бол x 3, бид үүнийг тоологч болон хуваагч дахь хаалтнаас гаргаж аваад дараа нь дараах байдлаар бууруулна.
Хариулах 
Эхний алхам энэ хязгаарыг олох, оронд нь 1 утгыг орлуулна уу x, үр дүнд нь тодорхойгүй байдал үүсдэг. Үүнийг шийдэхийн тулд тоологчийг үржвэрлэж, квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох аргыг ашиглан хийцгээе. x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1.2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
Тиймээс тоологч нь:
Хариулах 
Энэ нь түүний тодорхой утгын тодорхойлолт эсвэл функц унадаг тодорхой хэсэг бөгөөд энэ нь хязгаараар хязгаарлагддаг.
Хязгаарыг шийдэхийн тулд дараах дүрмийг баримтална уу.
Үүний мөн чанар, гол зүйлийг ойлгосон хязгаарыг шийдвэрлэх дүрэм, Та авах болно үндсэн ойлголттэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар.
Сэдэв 4.6 Хязгаарлалтын тооцоо
Функцийн хязгаар нь хязгаарын цэг дээр тодорхойлогдсон эсэхээс хамаардаггүй. Гэхдээ үндсэн функцүүдийн хязгаарыг тооцоолох практикт энэ нөхцөл байдал чухал ач холбогдолтой юм.
1. Хэрэв функц нь энгийн бөгөөд хэрэв аргументийн хязгаарын утга нь түүний тодорхойлолтын мужид хамаарах бол функцийн хязгаарыг тооцоолох нь аргументийн хязгаарын утгыг энгийн орлуулалт болгон бууруулна. хязгаар үндсэн функц f(x) цагт х тэмүүлж байнаА Тодорхойлолтын мужид орсон , x = дээрх функцийн хэсэгчилсэн утгатай тэнцүү байна А, өөрөөр хэлбэл lim f(x)=f( а) .
2. Хэрэв x нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай байдагэсвэл аргумент нь функцийн тодорхойлолтын мужид хамаарахгүй тоо руу чиглэдэг бол ийм тохиолдол бүрт функцийн хязгаарыг олох нь тусгай судалгаа шаарддаг.
Томъёо болгон ашиглаж болох хязгаарын шинж чанарт суурилсан хамгийн энгийн хязгааруудыг доор харуулав.
Илүү нарийн төвөгтэй тохиолдлуудФункцийн хязгаарыг олох:
тус бүрийг тусад нь авч үздэг.
Энэ хэсэгт тодорхой бус байдлыг илчлэх үндсэн аргуудыг тоймлон харуулах болно.
1. Тухайн тохиолдол хэзээ х тэмүүлж байнаА f(x) функц нь хоёр хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнүүдийн харьцааг илэрхийлнэ
a) Эхлээд та функцийн хязгаарыг шууд орлуулах замаар олох боломжгүй эсэхийг шалгах хэрэгтэй бөгөөд аргумент дахь заасан өөрчлөлтөөр энэ нь хоёр хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүний харьцааг илэрхийлнэ. Бутархайг 0 рүү чиглэсэн хүчин зүйлээр багасгахын тулд хувиргалтыг хийдэг. Функцийн хязгаарын тодорхойлолтын дагуу х аргумент нь хэзээ ч түүнтэй давхцдаггүй, түүний хязгаарын утга руу чиглэдэг.
Ерөнхийдөө, хэрэв бид функцийн хязгаарыг хайж байгаа бол х тэмүүлж байнаА , тэгвэл x нь утга авахгүй гэдгийг санах хэрэгтэй А, өөрөөр хэлбэл x нь a-тай тэнцүү биш.
b) Безоутын теоремыг хэрэглэсэн. Хэрэв та хуваагч болон хуваагч нь х = хязгаарын цэг дээр алга болох олон гишүүнт бутархайн хязгаарыг хайж байгаа бол. А, тэгвэл дээрх теоремын дагуу олон гишүүнт хоёулаа x-т хуваагдана. А.
в) Тоолуур буюу хуваагч дахь иррационалийг иррационал илэрхийлэлд нэгтгэгчээр үржүүлэх замаар устгаж, дараа нь хялбаршуулсаны дараа бутархайг багасгана.
d) 1-р гайхалтай хязгаарыг (4.1) ашигласан.
e) Хязгааргүй жижиг тоонуудын эквивалентийн тухай теорем ба дараах зарчмуудыг ашиглана.
2. Тухайн тохиолдол хэзээ х тэмүүлж байнаА f(x) функц нь хоёр хязгааргүй их хэмжээний харьцааг илэрхийлнэ
a) Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үл мэдэгдэх хамгийн дээд зэрэгт хуваах.
б) Б ерөнхий тохиолдолТа дүрмийг ашиглаж болно
3. Тухайн тохиолдол хэзээ х тэмүүлж байнаА f (x) функц нь хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүн ба хязгааргүй их хэмжээний үржвэрийг илэрхийлнэ.
Бутархай нь хуваагч болон хуваагч нь нэгэн зэрэг 0 эсвэл хязгааргүй рүү тэмүүлдэг хэлбэрт шилждэг. 3-р тохиолдол 1 эсвэл 2-р тохиолдол болж буурна.
4. Тухайн тохиолдол хэзээ х тэмүүлж байнаА f (x) функц нь хоёр эерэг хязгааргүй их хэмжигдэхүүний зөрүүг илэрхийлнэ
Энэ тохиолдлыг дараах аргуудын аль нэгээр 1 эсвэл 2 төрөл болгон бууруулна.
a) бутархайг нийтлэг хуваагч руу оруулах;
б) функцийг бутархай болгон хувиргах;
в) үндэслэлгүй байдлаас ангижрах.
5. Тухайн тохиолдол хэзээ х тэмүүлж байнаА f(x) функц нь суурь нь 1, илтгэгч нь хязгааргүйд чиглэсэн хүчийг илэрхийлнэ.
Функцийг 2-р гайхалтай хязгаарыг ашиглах байдлаар өөрчилсөн (4.2).
Жишээ.Хай 
.
Учир нь x 3 руу чиглэдэг, тэгвэл бутархайн хуваагч нь 3 2 +3 *3+4=22, хуваагч нь 3+8=11 гэсэн тоо руу чиглэнэ. Тиймээс,
Жишээ
Энд бутархайн хүртэгч ба хуваагч байна x 2 руу чиглэж байна 0 (төрлийн тодорхойгүй байдал) руу чиглэнэ, бид тоологч ба хуваагчийг үржвэрлэх, бид lim(x-2)(x+2)/(x-2)(x-5)-ыг авна.
Жишээ
Тоолуур ба хуваагчийг тоологчтой нийлүүлэгч илэрхийллээр үржүүлэхэд бид байна
Тоолуур дахь хаалтуудыг нээвэл бид олж авна
Жишээ
2-р түвшин. Жишээ. Функцийн хязгаарын тухай ойлголтыг эдийн засгийн тооцоонд хэрэглэх жишээг өгье. Ердийн санхүүгийн гүйлгээг авч үзье: хэмжээний зээл олгох С 0 гэсэн нөхцөлтэйгээр тодорхой хугацааны дараа Тдүнг буцаан олгоно С Т. Үнэ цэнийг тодорхойлъё r харьцангуй өсөлттомъёо
r=(S T -S 0)/S 0 (1)
Харьцангуй өсөлтийг үр дүнгийн утгыг үржүүлэх замаар хувиар илэрхийлж болно r 100-аар.
Томъёогоор (1) утгыг тодорхойлоход хялбар байдаг С Т:
С Т= С 0 (1 + r)
Хэд хэдэн хамарсан урт хугацааны зээлийг тооцохдоо бүтэн жил, нийлмэл хүүгийн схемийг ашиглана. Энэ нь 1-р жил бол энэ хэмжээнээс бүрддэг С 0 нь (1 +) хүртэл нэмэгддэг r) удаа, дараа нь хоёр дахь жилдээ (1 + r) дахин нэмэгдэнэ С 1 = С 0 (1 + r), тэр бол С 2 = С 0 (1 + r) 2 . Энэ нь ижил төстэй харагдаж байна С 3 = С 0 (1 + r) 3. Өгөгдсөн жишээнүүдээс үүнийг дүгнэж болно ерөнхий томъёо-ийн үнийн дүнгийн өсөлтийг тооцох nНийлмэл хүүгийн схемийг ашиглан тооцоолох жил:
S n= С 0 (1 + r) n.
Санхүүгийн тооцоонд нийлмэл хүүг жилд хэд хэдэн удаа тооцдог схемийг ашигладаг. Энэ тохиолдолд үүнийг зааж өгсөн болно жилийн ханш rТэгээд жилийн хуримтлалын тоо к. Дүрмээр бол хуримтлалыг тэнцүү интервалаар, өөрөөр хэлбэл интервал бүрийн уртаар хийдэг Tkжилийн нэг хэсгийг бүрдүүлдэг. Дараа нь тухайн хугацаанд Тжил (энд Тбүхэл тоо байх албагүй) дүн С Ттомъёогоор тооцоолно
(2)
Тухайн тоотой давхцаж буй тооны бүхэл хэсэг хаана байна, жишээ нь: Т? бүхэл тоо.
Жилийн ханш ийм байг rбөгөөд үйлдвэрлэдэг nтогтмол давтамжтайгаар жилд хуримтлал . Дараа нь тухайн жилийн дүн С 0-ийг томъёогоор тодорхойлсон утга хүртэл нэмэгдүүлнэ
(3)
IN онолын шинжилгээмөн санхүүгийн үйл ажиллагааны практикт "тасралтгүй хуримтлагдсан хүү" гэсэн ойлголт ихэвчлэн тулгардаг. Тасралтгүй хуримтлагдсан хүү рүү шилжихийн тулд та (2) ба (3) томъёонд тоонуудыг тодорхойгүй хугацаагаар нэмэгдүүлэх шаардлагатай. кТэгээд n(өөрөөр хэлбэл чиглүүлэх кТэгээд nхязгааргүй хүртэл) ба функцууд ямар хязгаарт чиглэхийг тооцоол С ТТэгээд С 1 . Энэ процедурыг (3) томъёонд хэрэглэцгээе:
Буржгар хаалт дахь хязгаар нь хоёр дахь гайхалтай хязгаартай давхцаж байгааг анхаарна уу. Үүнээс үүдэн жилийн ханшаар rтасралтгүй хуримтлагдсан хүүтэй, хэмжээ С 1 жилийн 0 нь үнэ цэнэ хүртэл нэмэгддэг С 1 *, томъёогоор тодорхойлогддог
С 1 * = С 0 e r (4)
Одоо нийлбэрээ гаргая С 0-ийг хүүгийн нэмэгдэлтэйгээр зээлээр олгож байна nжилд нэг удаа тогтмол давтамжтайгаар. гэж тэмдэглэе r eжилийн эцэст жилийн ханш С 0 нь утга хүртэл нэмэгддэг С 1 * томъёоноос (4). Энэ тохиолдолд бид үүнийг хэлэх болно r e- Энэ жилийн хүү nжилд нэг удаа, жилийн хүүтэй тэнцэх rтасралтгүй хуримтлалтай.(3) томъёоноос бид олж авна
S* 1 =S 0 (1+r e /n) n
Сүүлчийн томьёо ба томъёоны (4) баруун гар талыг тэнцүүлж, сүүлчийнх нь гэж үзвэл Т= 1, бид хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг гаргаж чадна rТэгээд r e:
Эдгээр томъёог санхүүгийн тооцоололд өргөн ашигладаг.
Дараалал ба функцийн хязгаарын тухай ойлголт. Дарааллын хязгаарыг олох шаардлагатай үед дараах байдлаар бичнэ: lim xn=a. Ийм дарааллаар xn нь a руу, n нь хязгааргүй рүү тэмүүлдэг. Дарааллыг ихэвчлэн цуврал хэлбэрээр илэрхийлдэг, жишээлбэл:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Дараалал нь өсөлт, бууралт гэж хуваагддаг. Жишээлбэл:
xn=n^2 - нэмэгдэж буй дараалал
yn=1/n - дараалал
Жишээлбэл, xn=1/n^ дарааллын хязгаар:
lim 1/n^2=0
x→∞
n→∞, 1/n^2 дараалал нь тэг рүү чиглэдэг тул энэ хязгаар нь тэгтэй тэнцүү байна.
Ер нь х хувьсах хэмжигдэхүүн нь хязгаарлагдмал хязгаарт хүрэх хандлагатай байдаг бөгөөд х нь а руу байнга ойртож байдаг ба a хэмжигдэхүүн нь тогтмол байдаг. Үүнийг дараах байдлаар бичнэ: limx =a, харин n нь тэг эсвэл хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Хязгааргүй функцүүд байдаг бөгөөд тэдгээрийн хувьд хязгаар нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Бусад тохиолдолд, жишээлбэл, функц нь галт тэрэгний хөдөлгөөнийг удаашруулж байх үед хязгаарыг тэглэх хандлагатай байдаг.
Хязгаарлалт нь хэд хэдэн шинж чанартай байдаг. Дүрмээр бол аливаа функц зөвхөн нэг хязгаартай байдаг. Энэ бол хязгаарын гол шинж чанар юм. Бусад нь доор жагсаагдсан байна:
* Хэмжээний хязгаар нийлбэртэй тэнцүү байнахязгаар:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Бүтээгдэхүүний хязгаар нь хязгаарын үржвэртэй тэнцүү байна:
lim(xy)=lim x*lim y
* Хэмжилтийн хязгаар нь хязгаарын хуваарьтай тэнцүү байна:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Тогтмол хүчин зүйлийг хязгаарын тэмдэгээс гадуур авна:
lim(Cx)=C lim x
x →∞ 1 /x функц өгөгдсөн бол түүний хязгаар нь тэг байна. Хэрэв x→0 бол ийм функцийн хязгаар нь ∞ байна.
Тригонометрийн функцүүдийн хувьд эдгээр дүрмийн зарим нь байдаг. sin x функц нь тэг рүү ойртох үед үргэлж нэгдмэл байх хандлагатай байдаг тул ижил төстэй байдал нь үүнд хамаарна:
lim sin x/x=1
Хэд хэдэн функцэд хязгаарыг тооцоолохдоо тодорхойгүй байдал үүсдэг функцүүд байдаг - хязгаарыг тооцоолох боломжгүй нөхцөл байдал. Ганц гарцийм нөхцөл байдлаас L'Hopital болдог. Хоёр төрлийн тодорхойгүй байдал байдаг:
* 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдал
* ∞/∞ хэлбэрийн тодорхойгүй байдал
Жишээлбэл, хязгаарыг өгсөн дараах төрөл: lim f(x)/l(x) ба f(x0)=l(x0)=0. Энэ тохиолдолд 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдал үүсдэг. Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд хоёр функцийг ялгаж, дараа нь үр дүнгийн хязгаарыг олно. 0/0 төрлийн тодорхойгүй байдлын хувьд хязгаар нь:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (x→0 үед)
Үүнтэй ижил дүрэм нь ∞/∞ төрлийн тодорхойгүй байдлын хувьд мөн адил байна. Гэхдээ энэ тохиолдолд дараах тэгш байдал үнэн болно: f(x)=l(x)=∞
L'Hopital-ийн дүрмийг ашигласнаар та тодорхой бус байдал гарч ирэх аливаа хязгаарын утгыг олох боломжтой. Шаардлагатай нөхцөлцагт
эзлэхүүн - дериватив олоход алдаа гарахгүй. Жишээлбэл, (x^2)" функцийн дериватив нь 2x-тэй тэнцүү байна. Эндээс бид дараах дүгнэлтийг хийж болно.
f"(x)=nx^(n-1)
Хязгааргүй функцийн хязгаар:
|f(x) - a|< ε
при |x| >Н
Коши хязгаарыг тодорхойлох
Ф функцийг үзье (x)нь хязгааргүй цэгийн тодорхой хөршид |x|-ээр тодорхойлогддог > a тоог функцийн хязгаар гэж нэрлэдэге (x)х нь хязгааргүйд хүрэх хандлагатай (), хэрэв байгаа бол бага ч гэсэн эерэг тоо ε > 0
, N ε тоо байна >К, ε-ээс хамааран бүх x, |x| > N ε, функцийн утга нь a цэгийн ε-хөршд хамаарна:
|f (x) - a|< ε
.
Хязгааргүй функцийн хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
.
Эсвэл цагт.
Дараах тэмдэглэгээг ихэвчлэн ашигладаг.
.
Оршихуй ба түгээмэл байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан энэхүү тодорхойлолтыг бичье.
.
Энэ нь утгууд нь функцийн домэйнд хамаарна гэж үздэг.
Нэг талын хязгаарлалт
Хязгааргүй функцийн зүүн хязгаар:
|f(x) - a|< ε
при x < -N
Функцийг зөвхөн эерэг эсвэл гэж тодорхойлсон тохиолдол ихэвчлэн байдаг сөрөг утгуудхувьсагч x (илүү нарийвчлалтай цэгийн ойролцоо эсвэл ). Мөн x-ийн эерэг ба сөрөг утгуудын хязгааргүй хязгаар байж болно өөр өөр утгатай. Дараа нь нэг талын хязгаарлалтыг ашигладаг.
Хязгааргүй зүүн хязгаарэсвэл x нь хасах хязгааргүй () хандлагатай байгаа хязгаарыг дараах байдлаар тодорхойлно.
.
Хязгааргүйд баруун хязгаарэсвэл x-ийн хязгаарыг нэмэх хязгааргүй ():
.
Хязгааргүйд нэг талын хязгаарыг ихэвчлэн дараах байдлаар тэмдэглэдэг.
;
.
Хязгааргүй функцийн хязгааргүй хязгаар
Хязгааргүй функцийн хязгааргүй хязгаар:
|f(x)| > M нь |x| >Н
Кошигийн дагуу хязгааргүй хязгаарын тодорхойлолт
Ф функцийг үзье (x)нь хязгааргүй цэгийн тодорхой хөршид |x|-ээр тодорхойлогддог > K, энд K нь эерэг тоо. Функцийн хязгаар f (x) x нь хязгааргүйд ханддаг тул (), хязгааргүйтэй тэнцүү байна, хэрэв хэн нэгний хувьд, дур мэдэн их тооМ > 0
, ийм тоо байдаг N M >К, M-ээс хамааран бүх x, |x| > N M, функцийн утгууд нь хязгааргүй цэгийн ойролцоох хэсэгт хамаарна:
|f (x) | > М.
Х нь хязгааргүй рүү тэмүүлдэг хязгааргүй хязгаарыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ.
.
Эсвэл цагт.
Оршихуй ба универсал байдлын логик тэмдгүүдийг ашиглан функцийн хязгааргүй хязгаарын тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно.
.
Үүний нэгэн адил тодорхой тэмдгүүдийн хязгааргүй хязгаарын тодорхойлолтыг дараахтай тэнцүү ба танилцуулсан болно.
.
.
Хязгааргүйд нэг талт хязгаарын тодорхойлолтууд.
Зүүн хязгаар.
.
.
.
Зөв хязгаар.
.
.
.
Гейнегийн дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлох
Ф функцийг үзье (x)Х цэгийн зарим хөрш дээр хязгааргүйд тодорхойлогддог 0
, хаана эсвэл эсвэл .
a тоог (хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй) f функцийн хязгаар гэнэ (x) x цэг дээр 0
:
,
ямар нэгэн дарааллын хувьд (xn), x руу нийлэх 0
:
,
элементүүд нь хөрш, дараалалд хамаарах (f(xn))нийлдэг:
.
Хэрэв бид хязгааргүй дэх тэмдэггүй цэгийн хөршийг хөрш гэж авбал: x нь хязгааргүй рүү тэмүүлдэг тул функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг олж авна. Хэрэв бид хязгааргүйд х цэгийн зүүн эсвэл баруун талт хөршийг авбал 0 : эсвэл , тэгвэл бид хязгаарын тодорхойлолтыг олж авна, учир нь х нь хасах хязгааргүй, нэмэх хязгааргүй байх хандлагатай байна.
Хязгаарын Heine болон Cauchy-ийн тодорхойлолтууд тэнцүү байна.
Жишээ
Жишээ 1
Үүнийг харуулахын тулд Кошигийн тодорхойлолтыг ашигла
.
Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя.
.
Функцийн тодорхойлолтын мужийг олъё. Бутархайн хуваагч ба хуваагч нь олон гишүүнт байдаг тул хуваагч алга болох цэгээс бусад бүх х-д функц тодорхойлогдоно. Эдгээр цэгүүдийг олцгооё. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. ;
.
Тэгшитгэлийн үндэс:
;
.
Түүнээс хойш, тэр цагаас хойш ба .
Тиймээс функц нь -д тодорхойлогддог. Бид үүнийг дараа ашиглах болно.
Кошигийн дагуу хязгааргүйд байгаа функцийн төгсгөлийн хязгаарын тодорхойлолтыг бичье.
.
Ялгааг өөрчилье:
.
Тоолуур ба хуваагчийг хувааж, үржүүлнэ -1
:
.
Let .
Дараа нь
;
;
;
.
Тиймээс бид үүнийг хэзээ олж мэдсэн,
.
.
Үүнийг дагадаг
дээр, болон .
Та үүнийг үргэлж нэмэгдүүлэх боломжтой тул авч үзье. Дараа нь хэний ч төлөө,
цагт.
гэсэн үг.
Жишээ 2
Let .
Хязгаарын Коши тодорхойлолтыг ашиглан дараахь зүйлийг харуул.
1)
;
2)
.
1) Х нь хасах хязгааргүй байх хандлагатай шийдэл
Учир нь функц нь бүх x-д тодорхойлогддог.
Хасах хязгаартай тэнцүү үед функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг бичье.
.
Let .
;
.
Тиймээс бид үүнийг хэзээ олж мэдсэн,
.
Дараа нь
.
Эерэг тоонуудыг оруулаад:
.
Үүнээс үзэхэд дурын эерэг M тооны хувьд тоо байдаг тул ,
гэсэн үг.
2) X нь нэмэх хязгааргүй байх хандлагатай шийдэл
.
Анхны функцийг өөрчилье. Бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг үржүүлж квадратын зөрүүг томъёог ашиглана:
.
Бидэнд байгаа:
.
Функцийн баруун хязгаарын тодорхойлолтыг дараах хэсэгт бичье.
Ялгааг өөрчилье:
.
Тэмдэглэгээг танилцуулъя: .
.
Тоолуур ба хуваагчийг дараах байдлаар үржүүлнэ.
.
Дараа нь
;
.
Тиймээс бид үүнийг хэзээ олж мэдсэн,
.
Дараа нь
.
Үүнийг дагадаг
Болъё
болон .
.
Энэ нь ямар ч эерэг тоонд хамааралтай тул
Лавлагаа:
