Лопитал дүрмийг ашиглахгүйгээр заасан хязгаарыг тооцоол. Функцийн хязгаарыг онлайнаар тооцоолох

Шийдэл онлайн функцийн хязгаарлалт. Нэг цэг дэх функц эсвэл функциональ дарааллын хязгаарын утгыг олох, тооцоол хязгаарлаххязгааргүй дэх функцийн утга. тооны цувралын нийлэлтийг тодорхойлох ба бидний ачаар илүү их зүйлийг хийж болно онлайн үйлчилгээ- . Бид танд функцийн хязгаарыг онлайнаар хурдан бөгөөд үнэн зөв олох боломжийг олгодог. Та өөрөө орно функцийн хувьсагчХүсч буй хязгаарын хувьд манай үйлчилгээ таны төлөө бүх тооцоог хийж, үнэн зөв бөгөөд энгийн хариултыг өгдөг. Мөн төлөө хязгаарыг онлайнаар олохта тоон цуврал болон хоёуланг нь оруулж болно аналитик функцууд, шууд илэрхийлэлд тогтмолуудыг агуулсан. Энэ тохиолдолд олсон функцийн хязгаар нь эдгээр тогтмолуудыг илэрхийлэлд тогтмол аргумент болгон агуулна. Манай үйлчилгээ аливаа асуудлыг шийддэг сорилттой даалгаваруудбайршлаар онлайн хязгаарлалт, энэ нь функц болон тооцоолох шаардлагатай цэгийг зааж өгөхөд хангалттай функцийн хязгаар. Тооцоолох онлайн хязгаарлалт, та ашиглаж болно янз бүрийн аргаүр дүнг харьцуулахдаа тэдгээрийг шийдвэрлэх дүрмүүд шийдлийг онлайнаар хязгаарлах www.site дээр, энэ нь даалгаврыг амжилттай дуусгахад хүргэнэ - та өөрийн алдаа, үсгийн алдаанаас зайлсхийх болно. Эсвэл та функцийн хязгаарын бие даасан тооцоололд нэмэлт хүчин чармайлт, цаг зарцуулахгүйгээр бидэнд бүрэн итгэж, бидний үр дүнг ажилдаа ашиглах боломжтой. Бид хязгааргүй гэх мэт хязгаарын утгыг оруулахыг зөвшөөрдөг. Та нийтлэг нэр томъёог оруулах ёстой тооны дараалалболон www.siteутгыг тооцох болно онлайнаар хязгаарлахнэмэх эсвэл хасах хязгааргүй.

Математик анализын үндсэн ойлголтуудын нэг нь функцийн хязгаарболон дарааллын хязгаарнэг цэгт болон хязгааргүй үед зөв шийдэж чаддаг байх нь чухал хязгаар. Манай үйлчилгээгээр энэ нь тийм ч хэцүү биш байх болно. Шийдвэр гарч байна онлайн хязгаарлалтсекундын дотор хариулт үнэн зөв, бүрэн гүйцэд байна. Тооцооллын судалгаа нь үүнээс эхэлдэг хязгаарт хүрэх, хязгаарДээд математикийн бараг бүх хэсэгт ашиглагддаг тул сервертэй байх нь ашигтай байдаг шийдлийг онлайнаар хязгаарлахаль сайт вэ.

Энэ математик тооцоолуурШаардлагатай бол онлайн танд туслах болно функцийн хязгаарыг тооцоолох. Програм хязгаарлах шийдлүүдасуудлын хариултыг өгөөд зогсохгүй удирддаг тайлбар бүхий нарийвчилсан шийдэл, өөрөөр хэлбэл хязгаарын тооцооны явцыг харуулна.

Энэ хөтөлбөр нь ахлах ангийн сурагчдад хэрэг болох юм ерөнхий боловсролын сургуулиудшалгалт, шалгалтанд бэлтгэх, улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгийг шалгахдаа эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан дуусгахыг хүсч байна уу? гэрийн даалгаварматематик эсвэл алгебр? Энэ тохиолдолд та манай програмуудыг нарийвчилсан шийдэлтэй ашиглаж болно.

Ингэснээр та өөрөө болон/эсвэл дүү нарынхаа сургалтыг явуулах боломжтой болохын зэрэгцээ шийдвэрлэх ёстой ажлын талбарт боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Функцийн илэрхийлэл оруулна уу

Хязгаарыг тооцоолох

Энэ даалгаврыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй, програм ажиллахгүй байж магадгүй нь тогтоогдсон.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.

Таны хөтөч дээр JavaScript идэвхгүй байна.
Шийдэл гарч ирэхийн тулд JavaScript идэвхжсэн байх ёстой.
Хөтөч дээрээ JavaScript-г хэрхэн идэвхжүүлэх тухай заавар энд байна.

Учир нь Асуудлыг шийдэх гэсэн хүмүүс их байна, таны хүсэлт дараалалд орчихлоо.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээж байгаарай сек...

Хэрэв чи шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Битгий мартаарай ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Жаахан онол.

Функцийн хязгаар нь x-> x 0

Зарим X олонлог дээр f(x) функц тодорхойлогдох ба \(x_0 \ in X \) эсвэл \(x_0 \ not in X \) цэг байг.

X-ээс x 0-ээс өөр цэгүүдийн дарааллыг авна.
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
x* руу нийлэх. Энэ дарааллын цэгүүд дэх функцын утгууд нь тоон дарааллыг бүрдүүлдэг
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
мөн түүний хязгаар байгаа эсэх талаар асуулт тавьж болно.

Тодорхойлолт. X аргументийн утгуудын аль нэг дараалал (1) бол A тоог x \u003d x 0 (эсвэл x -> x 0) цэг дэх f (x) функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг. x 0-д нийлдэг, x 0-ээс ялгаатай, утгын функцийн харгалзах дараалал (2) нь А тоонд нийлдэг.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

f(x) функц нь x 0 цэг дээр зөвхөн нэг хязгаартай байж болно. Энэ нь дэс дарааллаас үүдэлтэй
(f(x n)) нь зөвхөн нэг хязгаартай.

Функцийн хязгаарын өөр нэг тодорхойлолт байдаг.

ТодорхойлолтХэрэв ямар нэгэн \(\varepsilon > 0 \) тоонд \(\delta > 0 \) байгаа бол бүх \ (x \in X, \; x \neq x_0 \) тэгш бус байдлыг хангах \(|x-x_0| Логик тэмдэг ашиглан энэ тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно.
\((\forall \varepsilon > 0) (\оршдог \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Тэгш бус байдал \(x \neq x_0) болохыг анхаарна уу. , \; |x-x_0| Эхний тодорхойлолт нь тоон дарааллын хязгаарын тухай ойлголт дээр суурилдаг тул үүнийг ихэвчлэн "дарааллын хэл" гэж нэрлэдэг. Хоёр дахь тодорхойлолтыг "\(\varepsilon - \delta) гэж нэрлэдэг. \)" тодорхойлолт.
Функцийн хязгаарын эдгээр хоёр тодорхойлолт нь тэнцүү бөгөөд та тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд аль нь илүү тохиромжтой болохыг нь ашиглаж болно.

"Дарааллын хэлээр" функцийн хязгаарын тодорхойлолтыг Гейнегийн дагуу функцийн хязгаарын тодорхойлолт, "хэлний \(\varepsilon -) функцийн хязгаарын тодорхойлолт гэж нэрлэдэг болохыг анхаарна уу. \delta \)"-ийг Кошигийн дагуу функцийн хязгаарын тодорхойлолт гэж бас нэрлэдэг.

X->x 0 - болон x->x 0 + үед функцийн хязгаар

Дараах зүйлд бид функцийн нэг талт хязгаарын тухай ойлголтуудыг ашиглах бөгөөд эдгээр нь дараах байдлаар тодорхойлогддог.

Тодорхойлолт X 0-д нийлэх аливаа дарааллын (1) х n элементүүд нь x 0-ээс их (бага) байвал харгалзах дараалал бол х 0 цэг дэх f (x) функцийн баруун (зүүн) хязгаар гэж А тоог гэнэ. (2) А-д нийлдэг.

Бэлгэдлийн хувьд дараах байдлаар бичигдсэн байна.
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

"\(\varepsilon - \delta \) хэлээр" функцын нэг талын хязгаарын ижил төстэй тодорхойлолтыг өгч болно:

ТодорхойлолтХэрэв ямар нэгэн \(\varepsilon > 0 \) нь \(\delta > 0 \) байгаа бол x 0 цэг дэх f(x) функцийн баруун (зүүн) хязгаар гэж нэрлэгддэг бөгөөд энэ нь бүх x-ийн хувьд хангагддаг. тэгш бус байдал \(x_0 тэмдэгт оруулгууд:

\((\forall \varepsilon > 0) (\оршдог \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Бөмбөлөг нүдтэй бор шувууны сүргийг төсөөлөөд үз дээ. Үгүй ээ, энэ бол аянга биш, хар салхи биш, бүр гартаа чавх барьсан бяцхан хүү ч биш. Зүгээр л дэгдээхэйнүүдийн зузаан руу асар том их бууны сум нисдэг. Яг орон нутгийн дүрэмтодорхойгүй байгаа хязгаарыг шийдвэрлэх эсвэл .

L'Hopital-ийн дүрэм бол эдгээр эргэлзээг хурдан бөгөөд үр дүнтэй арилгах боломжийг олгодог маш хүчирхэг арга бөгөөд асуудлын цуглуулгад, хяналтын ажил, офсет, тогтвортой тамга ихэвчлэн олддог: "хязгаарыг тооцоолох, L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглахгүйгээр". Зоригтой шаардлага байж болно цэвэр ухамсароноож, ямар ч хичээлийн хязгаарт Хязгаарлалт. Шийдлийн жишээ, Сонирхолтой хязгаарууд. Шийдвэрлэх аргуудыг хязгаарлах, Гайхалтай тэнцэл, "тэгээс тэг" эсвэл "хязгааргүйгээс хязгааргүй" тодорхойгүй байдал үүсдэг. Даалгаврыг товчхон томъёолсон ч гэсэн - "хязгаарыг тооцоолох" бол та L'Hospital-ийн дүрмийг биш харин дуртай зүйлээ ашиглах болно гэдгийг далдаар ойлгодог.

Нийтдээ хоёр дүрэм байдаг бөгөөд тэдгээр нь мөн чанараараа ч, хэрэглэх арга барилаараа ч хоорондоо маш төстэй юм. Сэдвийн талаархи шууд жишээнүүдээс гадна бид судлах болно нэмэлт материал, энэ нь математик анализыг цаашид судлах явцад хэрэг болно.

Дүрмүүдийг товч "практик" хэлбэрээр өгөх болно гэдгийг би даруй анхааруулах бөгөөд хэрэв та онолыг давах шаардлагатай бол илүү нарийвчлалтай тооцоолол хийхийн тулд сурах бичигт хандахыг зөвлөж байна.

L'Hospital-ийн анхны дүрэм

Үүний функцуудыг авч үзье хязгааргүй жижигхэзээ нэгэн цагт. Хэрэв тэдний харилцаанд хязгаарлалт байгаа бол тодорхойгүй байдлыг арилгахын тулд бид үүнийг авч болно хоёр деривативууд- тоологч болон хуваагчаас. Үүнд: , тэр бол .

Анхаарна уу : хязгаар нь бас байх ёстой, эс тэгвээс дүрэм үйлчлэхгүй.

Дээрхээс юу гарах вэ?

Эхлээд та олох чадвартай байх хэрэгтэй функцүүдийн деривативуудМөн сайн байх тусмаа сайн =)

Хоёрдугаарт, деривативуудыг тоологчоос ТУСДАА, хуваагчаас тусад нь авна. Хэмжилтийг ялгах дүрэмтэй андуурч болохгүй !!!

Гуравдугаарт, "х" нь хаана ч, тэр дундаа хязгааргүй байдалд чиглэж болно - хэрэв зөвхөн тодорхойгүй байдал байсан бол.

Эхний өгүүллийн 5-р жишээ рүү буцъя хязгаарлалтын тухай, энэ нь дараах үр дүнд хүргэсэн:

Тодорхойгүй байдал 0:0 бол бид L'Hospital-ийн эхний дүрмийг хэрэгжүүлдэг:

Таны харж байгаагаар тоологч ба хуваагчийг ялгах нь биднийг хагас эргэлтээр хариулт руу хөтөлсөн: бид "хоёр" гэж орлуулсан хоёр энгийн деривативыг олсон бөгөөд тодорхойгүй байдал ул мөргүй алга болсон юм!

L'Hopital-ийн дүрмийг хоёр ба түүнээс дээш удаа дараалан хэрэглэх нь ердийн зүйл биш юм (энэ нь хоёр дахь дүрэмд мөн хамаарна). Үүнийг чимэг үдшийн жишээ 2 хичээлээр гаргая гайхалтай хязгааруудын тухай:

Дээр давхар орхоёр уут дахин хөргөнө. L'Hospital-ийн дүрмийг хэрэгжүүлье:

Эхний алхамд хуваагчийг авдаг болохыг анхаарна уу нийлмэл функцийн дериватив. Үүний дараа бид хэд хэдэн завсрын хялбаршуулалтыг хийж, ялангуяа косинусаас салж, энэ нь нэгдмэл байх хандлагатай байгааг харуулж байна. Тодорхой бус байдлыг арилгаагүй тул бид L'Hopital дүрмийг дахин хэрэглэнэ (хоёр дахь мөр).

Би танд зориулж бага зэрэг өөрийгөө шалгах жишээг сонгоогүй. Тэд хэрхэн олдсон нь бүрэн тодорхойгүй бол деривативууд, та ялгах техникээ бэхжүүлэх хэрэгтэй, хэрэв та косинусын заль мэхийг ойлгохгүй байвал буцаж очно уу гайхалтай хязгаарууд. би олж харахгүй байна онцгой утгаБи дериватив болон хязгаарлалтын талаар хангалттай дэлгэрэнгүй ярьсан тул алхам алхмаар тайлбар дээр. Өгүүллийн шинэлэг зүйл нь дүрмүүд болон зарим техникийн шийдлүүдэд оршдог.

Өмнө дурьдсанчлан, ихэнх тохиолдолд L'Hopital дүрмийг ашиглах шаардлагагүй боловч шийдлийг бүдүүлэг шалгахын тулд тэдгээрийг ашиглахыг зөвлөж байна. Ихэнхдээ, гэхдээ үргэлж биш. Тиймээс, жишээлбэл, ашигласан жишээг шалгах нь илүү ашигтай байдаг гайхалтай тэнцэл.

L'Hospital-ийн хоёр дахь дүрэм

Ах-2 унтаж байгаа хоёр наймтай тулалддаг. Үүнтэй адилаар:

Хэрэв харилцааны хязгаар байгаа бол хязгааргүй томфункцийн цэг дээр: , дараа нь тодорхойгүй байдлыг арилгахын тулд бид авч болно хоёр дериватив– Тоологчоос ТУС, хуваагчаас ТУСЛА. Үүнд: , тэр бол тоологч ба хуваагчийг ялгах үед хязгаарын утга өөрчлөгдөхгүй.

Анхаарна уу : хязгаар байх ёстой

Дахин хэлэхэд янз бүрийн хэлбэрээр практик жишээнүүд үнэ цэнэ өөр байж болно, үүнд хязгааргүй. Тодорхой бус байдал байх нь чухал.

Эхний хичээлийн №3 жишээг шалгацгаая: . Бид L'Hospital-ийн хоёр дахь дүрмийг ашигладаг:

Бид аваргуудын тухай ярьж байгаа тул хоёр каноник хязгаарыг шинжлэх болно.

Жишээ 1

Хязгаарыг тооцоолох

"Ердийн" аргаар хариулт авах нь тийм ч хялбар биш тул "хязгааргүйгээс хязгааргүй" тодорхойгүй байдлыг илрүүлэхийн тулд бид L'Hopital дүрмийг ашигладаг.

Энэ замаар, шугаман функцнэгээс их суурьтай логарифмаас илүү өсөлтийн дараалал(гэх мэт). Мэдээжийн хэрэг, дээд зэрэглэлийн "x" нь ийм логарифмуудыг "татах" болно. Үнэн хэрэгтээ, функц нь нэлээд удаан ургадаг бөгөөд түүний хуваарьижил "x" -тэй харьцуулахад илүү зөөлөн байдаг.

Жишээ 2

Хязгаарыг тооцоолох

Өөр нэг бүдгэрсэн хүрээ. Тодорхой бус байдлыг арилгахын тулд бид L'Hopital дүрмийг дараалан хоёр удаа ашигладаг.

Нэгээс их суурьтай экспоненциал функц(гэх мэт) -ээс өндөр өсөлтийн дараалал эрчим хүчний функцэерэг зэрэгтэй.

Энэ үед ижил төстэй хязгаарлалтууд тулгардаг бүрэн функциональ судалгаа, тухайлбал, олох үед графикийн асимптот. Тэд мөн дээрх зарим даалгавар дээр харагдаж байна магадлалын онол. Үзүүлсэн хоёр жишээг анхаарч үзэхийг би танд зөвлөж байна, энэ нь тоологч ба хуваагчийг ялгахаас илүү сайн зүйл байхгүй цөөхөн тохиолдлын нэг юм.

Цаашид бичвэрт би L'Hopital-ийн эхний болон хоёр дахь дүрмийг ялгахгүй, энэ нь зөвхөн нийтлэлийг зохион байгуулах зорилгоор хийгдсэн болно. Ер нь миний бодлоор математикийн аксиом, теорем, дүрэм, шинж чанарыг хэтрүүлэн тоолох нь бага зэрэг хор хөнөөлтэй, учир нь "Теорем 19-ийн дагуу 3-р дүгнэлтийн дагуу ..." гэх мэт хэллэгүүд зөвхөн нэг зүйлийн хүрээнд мэдээлэлтэй байдаг. эсвэл өөр сурах бичиг. Мэдээллийн өөр эх сурвалжид мөн адил "үр дүн 2 ба теорем 3" байх болно. Ийм мэдэгдэл нь зөвхөн зохиогчдын хувьд албан ёсны бөгөөд тохиромжтой байдаг. Математикийн баримтын мөн чанарыг дурдах нь дээр. Үл хамаарах зүйл бол түүхэн тогтсон нэр томъёо юм, жишээлбэл, анхны гайхалтай хязгаарэсвэл хоёр дахь гайхалтай хязгаар.

Парисын Шинжлэх Ухааны Академийн гишүүн Маркиз Гийом Франсуа де Лопиталын тавьсан сэдвийг бид үргэлжлүүлэн хөгжүүлсээр байна. Нийтлэл нь тодорхой практик будгийг олж авдаг бөгөөд нэлээд нийтлэг ажилд дараахь зүйлийг шаарддаг.

Дулаацахын тулд хэд хэдэн жижиг бор шувуутай харьцъя:

Жишээ 3

Косинусыг арилгах замаар хязгаарыг урьдчилан хялбаршуулж болох боловч бид нөхцөлийг хүндэтгэж, тоологч ба хуваагчийг нэн даруй ялгах болно.

Деривативыг олох явцад стандарт бус зүйл байдаггүй, жишээлбэл, ердийн хуваагчийг ашигладаг. ялгах дүрэмажилладаг .

Үзсэн жишээ нь устгагдаж, дамждаг гайхалтай хязгаарууд, ижил төстэй тохиолдлыг өгүүллийн төгсгөлд авч үзсэн болно Цогцолбор хязгаар.

Жишээ 4

L'Hopital-ийн дүрмийн дагуу хязгаарыг тооцоол

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдэл. Сайхан онигоо =)

Ердийн нөхцөл байдал бол ялгасны дараа гурван эсвэл дөрвөн давхар бутархайг олж авах явдал юм.

Жишээ 5

L'Hospital-ийн дүрмийг ашиглан хязгаарыг тооцоол

Өргөдөл гаргахыг гуйж байна гайхалтай тэнцэл, гэхдээ зам нь нөхцөлөөр хатуу кодлогдсон байна:

Ялгаварсны дараа би олон давхар фракцаас салж, хамгийн их хялбаршуулахыг зөвлөж байна.. Мэдээжийн хэрэг, ахисан түвшний оюутнууд алгасаж болно сүүлчийн алхамТэгээд тэр даруй бичнэ үү: , гэхдээ зарим хязгаарт онц сайн оюутнууд ч төөрөлдөх болно.

Жишээ 6

L'Hospital-ийн дүрмийг ашиглан хязгаарыг тооцоол

Жишээ 7

L'Hospital-ийн дүрмийг ашиглан хязгаарыг тооцоол

Эдгээр нь өөртөө туслах жишээ юм. Жишээ 7-д та юуг ч хялбарчилж чадахгүй, бутархайг ялгасны дараа хэтэрхий энгийн болж хувирна. Гэхдээ жишээ 8-д L'Hopital дүрмийг хэрэглэсний дараа тооцоолол нь хамгийн тохиромжтой биш тул гурван давхар байгууламжаас салах нь зүйтэй юм. Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт. Хэрэв танд ямар нэгэн асуудал байгаа бол - тригонометрийн хүснэгттуслах.

Мөн ялгавартай байдлын дараа тодорхойгүй байдал үүссэн тохиолдолд хялбаршуулах нь зайлшгүй шаардлагатай арилгаагүй.

Жишээ 8

L'Hospital-ийн дүрмийг ашиглан хязгаарыг тооцоол

Явах:

Сонирхолтой нь, анхны ялгааны дараа анхны тодорхойгүй байдал тодорхойгүй байдал болж хувирсан бөгөөд L'Hôpital-ийн дүрмийг цаашид ч үл тоомсорлодог. Мөн "ойлт" болгоны дараа дөрвөн давхар бутархайг хэрхэн арилгаж, тогтмолуудыг хязгаарын тэмдэгээс гаргаж байгааг анхаарна уу. Илүү их энгийн жишээнүүдТогтмол тоонуудыг гаргахгүй байх нь илүү тохиромжтой, гэхдээ хязгаар нь нарийн төвөгтэй үед бид бүх зүйлийг-бүх зүйлийг-бүх зүйлийг хялбаршуулдаг. Шийдвэрлэсэн жишээний заль мэх нь бас хэзээд байдагт оршино , гэхдээ иймээс синусыг арилгах явцад шинж тэмдгүүдэд эргэлзэх нь гайхмаар зүйл биш юм. Эцсийн шатанд синусыг устгах боломжгүй байсан ч жишээ нь нэлээд хүнд, уучлагдах боломжтой юм.

Нөгөө өдөр би нэгэн сонирхолтой даалгавартай таарав:

Жишээ 9

Үнэнийг хэлэхэд, энэ хязгаар нь юутай тэнцэх вэ гэдэгт би бага зэрэг эргэлзэж байсан. Дээр дурдсанчлан "x" нь илүү байна өндөр захиалгаөсөлт нь логарифмаас илүү, гэхдээ энэ нь куб логарифмаас илүү байх уу? Хэн ялахыг өөрөө олж мэдэхийг хичээгээрэй.

Тийм ээ, L'Hopital-ийн дүрэм бол бор шувуу руу их буугаар буудах төдийгүй шаргуу хөдөлмөр юм ....

L'Hôpital-ийн дүрмийг уут эсвэл ядарсан наймуудад хэрэглэхийн тулд маягтын тодорхой бус байдлыг багасгадаг.

Тодорхой бус байдлыг шийдвэрлэх талаар хичээлийн 9-13 дугаар жишээнд дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно. Шийдвэрлэх аргуудыг хязгаарлах. Үүний тулд өөр нэгийг авъя:

Жишээ 10

L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан функцийн хязгаарыг тооцоол

Эхний алхамд бид илэрхийлэлийг өгдөг Ерөнхий хуваарь, ингэснээр тодорхойгүй байдлыг тодорхойгүй байдал болгон хувиргадаг. Дараа нь бид L'Hopital дүрмийг дагаж мөрддөг:

Энд дашрамд хэлэхэд дөрвөн давхар илэрхийлэлд хүрэх нь утгагүй тохиолдол юм.

Тодорхойгүй байдал нь дараах болон хувирахыг эсэргүүцдэггүй.

Жишээ 11

L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан функцийн хязгаарыг тооцоол

Энд байгаа хязгаар нь нэг талыг барьсан бөгөөд ийм хязгаарлалтыг гарын авлагад аль хэдийн авч үзсэн болно Функцийн график ба шинж чанарууд. Таны санаж байгаагаар "сонгодог" логарифмын график тэнхлэгийн зүүн талд байхгүй тул бид зөвхөн баруун талаас тэг рүү ойртож чадна.

L'Hôpital-ийн нэг талын хязгаарлалтын дүрмүүд ажилладаг боловч тодорхой бус байдлыг эхлээд шийдвэрлэх хэрэгтэй. Эхний алхамд бид тодорхойгүй байдлыг олж авсан бутархайг гурван давхар болгож, дараа нь загвар схемийн дагуу шийдэл гарна.

Тоолуур ба хуваагчийг ялгаж авсны дараа бид хялбарчлахын тулд дөрвөн давхар бутархайгаас ангижрах болно. Үүний үр дүнд тодорхойгүй байдал үүссэн. Бид заль мэхийг давтан хэлье: бид дахин бутархайг гурван давхар болгож, үүссэн тодорхойгүй байдалд L'Hopital дүрмийг дахин хэрэглэнэ.

Бэлэн.

Анхны хязгаарҮүнийг хоёр гурилан бүтээгдэхүүн болгон багасгахыг оролдож болно:

Гэхдээ нэгдүгээрт, хуваагч дахь дериватив нь илүү хэцүү, хоёрдугаарт, үүнээс сайн зүйл гарахгүй.

Энэ замаар, ижил төстэй жишээг шийдэхийн өмнө та дүн шинжилгээ хийх хэрэгтэй(амаар эсвэл ноорог дээр) ЯМАР тодорхойгүй байдлыг бууруулах нь илүү ашигтай вэ - "тэгээс тэг" эсвэл "хязгааргүйгээс хязгааргүй" хүртэл.

Хариуд нь архи уудаг хамтрагчид болон илүү чамин нөхдүүд гэрэл рүү татагддаг. Өөрчлөлтийн арга нь энгийн бөгөөд стандарт юм.

Бид аль хэдийн хязгаарлалт, тэдгээрийн шийдлийг шийдэж эхэлсэн. Халуун эрэл хайгуулаа үргэлжлүүлж, хязгаарлалтын шийдлийг шийдье L'Hopital-ийн дүрмийн дагуу. Энэ энгийн дүрэмБагш нарын дээд математик, математикийн шинжилгээний тестийн жишээн дээр ашиглах дуртай далд, төвөгтэй урхинаас гарахад тань туслах чадвартай. L'Hopital-ийн дүрмийн шийдэл нь энгийн бөгөөд хурдан юм. Гол нь ялгаж чаддаг байх хэрэгтэй.

L'Hopital-ийн дүрэм: Түүх ба тодорхойлолт

Үнэндээ энэ бол яг L'Hopital-ийн дүрэм биш, харин дүрэм юм L'Hospital-Бернулли. Швейцарийн математикч боловсруулсан Иоганн Бернулли, мөн францчууд Гийом Лопиталанх өөрийн сурах бичигт infinitesials in glorious нийтлэгдсэн 1696 жил. Ийм зүйл болохоос өмнө хүмүүс тодорхойгүй байдлыг ил болгосноор хязгаарыг хэрхэн шийдвэрлэх ёстой байсныг та төсөөлж байна уу? Бид биш юм.

L'Hopital дүрмийн дүн шинжилгээ хийхээс өмнө бид тэдгээрийг шийдвэрлэх аргуудын талаархи танилцуулга нийтлэлийг уншихыг зөвлөж байна. Ихэнхдээ даалгавруудад L'Hopital дүрмийг ашиглахгүйгээр хязгаарыг олох гэсэн үг байдаг. Та мөн энэ талаар танд туслах техникүүдийн талаар манай нийтлэлээс уншиж болно.

Хэрэв та хоёр функцийн бутархайн хязгаартай харьцаж байгаа бол бэлтгэлтэй байгаарай: удахгүй та 0/0 эсвэл хязгааргүй/хязгааргүй байдлын тодорхойгүй байдалтай тулгарах болно. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Тоолуур ба хуваагч дахь илэрхийлэл нь тэг эсвэл хязгааргүй байх хандлагатай байдаг. Ийм хязгаарлалттай юу хийх вэ гэдэг нь эхлээд харахад бүрэн ойлгомжгүй юм. Гэсэн хэдий ч та L'Hopital-ийн дүрмийг хэрэгжүүлж, бага зэрэг бодвол бүх зүйл байрандаа орно.

Гэхдээ L'Hospital-Bernoulli дүрмийг томъёолъё. Төгс нарийвчлалтай байхын тулд үүнийг теоремоор илэрхийлдэг. L'Hopital-ийн дүрэм, тодорхойлолт:

Хэрэв цэгийн ойролцоо хоёр функц ялгах боломжтой бол x=a Энэ үед алга болох ба эдгээр функцүүдийн деривативуудын харьцаанд хязгаар бий. X тэмүүлж байна а функцүүдийн өөрсдийнх нь харьцааны хязгаар байдаг бөгөөд энэ нь деривативуудын харьцааны хязгаартай тэнцүү байна.

Томьёог бичье, тэгвэл бүх зүйл тэр даруй хялбар болно. L'Hopital-ийн дүрэм, томъёо:

Бид асуудлын практик талыг сонирхож байгаа тул бид энэ теоремын баталгааг энд оруулахгүй. Та нэг бол бидний үгийг хүлээж авах, эсвэл ямар ч тооцооллын сурах бичгээс олж, теорем зөв эсэхийг шалгах хэрэгтэй болно.

Дашрамд хэлэхэд! Уншигчиддаа зориулж 10% хямдралтай байгаа

L'Hopital-ийн дүрмийн дагуу тодорхой бус байдлыг тодруулах

L'Hospital-ийн дүрэм ямар тодорхой бус байдлыг илрүүлэхэд тусалж чадах вэ? Өмнө нь бид тодорхойгүй байдлын талаар голчлон ярьж байсан 0/0 . Гэсэн хэдий ч энэ нь тулгарч болох цорын ганц тодорхойгүй байдлаас хол байна. Энд тодорхойгүй байдлын бусад төрлүүд байна:

Эдгээр тодорхой бус байдлыг 0/0 буюу хязгааргүй/хязгааргүй хэлбэрт хүргэхэд ашиглаж болох хувиргалтыг авч үзье. Өөрчлөлтийн дараа L'Hospital-Bernoulli дүрмийг хэрэглэж, самар гэх мэт жишээнүүдийг дарах боломжтой болно.

Төрөл зүйлийн тодорхойгүй байдал хязгааргүй/хязгааргүй хэлбэрийн тодорхой бус байдал хүртэл бууруулна 0/0 энгийн хувиргалт:

Хоёр функцийн үржвэр байг, тэдгээрийн нэг нь тэг рүү, хоёр дахь нь хязгааргүйд хүрнэ. Бид хувиргалтыг хэрэглэж, тэг ба хязгааргүй байдлын үржвэр нь тодорхойгүй байдал болж хувирдаг 0/0 :

Төрөл бүрийн тодорхойгүй байдлын хязгаарыг олох хязгааргүй хасах хязгааргүй Бид тодорхойгүй байдалд хүргэдэг дараах хувиргалтыг ашигладаг 0/0 :

L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглахын тулд та дериватив авч чаддаг байх хэрэгтэй. Доорх нь деривативуудын хүснэгт юм үндсэн функцууд, та жишээг шийдвэрлэхдээ ашиглаж болох, мөн нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативыг тооцоолох дүрмийг ашиглаж болно.

Одоо жишээнүүд рүү шилжье.

Жишээ 1

L'Hospital-ийн дүрмээр хязгаарыг ол:

Жишээ 2

L'Hopital-ийн дүрмийг ашиглан тооцоолно уу:

Чухал цэг! Хэрэв функцийн хоёр дахь болон дараагийн деривативуудын хязгаар нь байгаа бол X тэмүүлж байна а , дараа нь L'Hopital-ийн дүрмийг хэд хэдэн удаа хэрэглэж болно.

Хязгаарыг олъё ( n – натурал тоо). Үүнийг хийхийн тулд L'Hospital-ийн дүрмийг хэрэгжүүл n нэг удаа:

Математик анализыг эзэмшихэд тань амжилт хүсье. Хэрэв та L'Hopital дүрмийг ашиглан хязгаарыг олох шаардлагатай бол L'Hopital дүрмийн дагуу хийсвэр бичиж, үндсийг нь тооцоол. дифференциал тэгшитгэлэсвэл бүр биеийн инерцийн тензорыг тооцоолохын тулд манай зохиогчидтой холбоо барина уу. Тэд шийдлийн нарийн ширийнийг олоход тань туслахдаа баяртай байх болно.

Заавар

Хязгаарын шууд тооцоо нь юуны түрүүнд оновчтой Qm(x)/Rn(x) хязгаартай холбогдож, Q ба R нь олон гишүүнт юм. Хэрэв хязгаарыг x → a (a нь тоо) дээр тооцоолвол тодорхойгүй байдал үүсч болно, жишээлбэл. Үүнийг арилгахын тулд тоологч ба хуваагчийг (x-a) гэж хуваана. Тодорхойгүй байдал арилах хүртэл үйлдлийг давтана. Олон гишүүнтийг хуваах нь тооны хуваагдалтай бараг ижил аргаар явагддаг. Энэ нь хуваах, үржүүлэх нь урвуу үйлдлүүд гэдгийг үндэслэдэг. Жишээг зурагт үзүүлэв. нэг.

Анхны гайхалтай хязгаарыг хэрэглэх. Эхний гайхалтай хязгаарын томъёог Зураг дээр үзүүлэв. 2а. Үүнийг ашиглахын тулд жишээ илэрхийллээ тохирох хэлбэрт оруулаарай. Үүнийг зөвхөн алгебрийн аргаар эсвэл хувьсагчийг өөрчлөх замаар үргэлж хийж болно. Хамгийн гол нь хэрэв синус нь kx-ээс байвал хуваагч нь бас kx гэдгийг мартаж болохгүй. Жишээг Зураг дээр үзүүлэв. 2e.Үүнээс гадна хэрэв бид tgx=sinx/cosx, cos0=1 гэдгийг харгалзан үзвэл үр дүнд нь энэ нь гарч ирнэ (2б-р зургийг үз). arcsin(sinx)=x ба arctg(tgx)=x. Тиймээс өөр хоёр үр дагавар бий (Зураг 2c ба 2d). Мөн нэлээд өргөн хүрээний аргууд гарч ирэв.

Хоёр дахь гайхалтай хязгаарыг хэрэглэх (Зураг 3а-г үзнэ үү) Энэ төрлийн хязгаарыг төрлийг арилгахад ашигладаг. Холбогдох асуудлыг шийдэхийн тулд нөхцөлийг хязгаарын төрөлд тохирох бүтэц болгон хувиргахад л хангалттай. Хүчин чадалд аль хэдийн орсон илэрхийлэлийг өсгөхөд тэдгээр нь үрждэг гэдгийг санаарай. Харгалзах зүйлийг Зураг дээр үзүүлэв. 2e. α=1/x орлуулалтыг хэрэглэж, хоёр дахь гайхалтай хязгаарын үр дүнг гарга (Зураг 2б). Энэ үр дүнгийн хоёр хэсгийг а үндсэн дээр логарифмыг авсны дараа та \u003d e гэсэн хоёр дахь үр дүнд хүрэх болно (Зураг 2c-г үз). Орлуулалтыг a^x-1=y болго. Дараа нь x=log(a)(1+y). x тэг рүү чиглэдэг тул у нь тэг рүү чиглэдэг. Тиймээс гурав дахь үр дагавар нь бас үүсдэг (2d-р зургийг үз).

Эквивалент хязгааргүй тоонуудын хэрэглээ.Хязгааргүй жижиг функцүүдийн α(x)/γ(x) харьцааны хязгаар нь нэгтэй тэнцүү бол x → a гэж тэнцүү байна. Ийм хязгааргүй жижиг тоонуудыг ашиглан хязгаарыг тооцоолохдоо γ(x)=α(x)+o(α(x)) гэж бичнэ. o(α(x)) нь α(x)-ээс бага зэрэглэлийн дээд эрэмбийн хязгааргүй жижиг тоо юм. Түүний хувьд lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Тэнцвэртэй байдлыг олж мэдэхийн тулд ижил гайхамшигтай зүйлийг ашиглана уу хязгаар. Энэ арга нь үйл явцыг ихээхэн хялбарчилж, илүү ил тод болгох боломжийг олгодог.

Эх сурвалжууд:

• Шипачев В.С. Дээд математик. Прок. их дээд сургуулиудад зориулсан. - 3-р хэвлэл, устгасан. - М .: Илүү өндөр. сургууль, 1996. - 496 х.: өвчтэй.

Функц нь математикийн үндсэн ойлголтуудын нэг юм. Тэр хязгаарнь аргументийн хандлагатай байх утга юм хязгаарүнэ цэнэ. Үүнийг зарим заль мэх, жишээлбэл, Бернулли-Л'Хопитал дүрмийг ашиглан тооцоолж болно.

Заавар

Тооцоолохын тулд хязгаар in өгсөн оноо x0, энэ аргументын утгыг lim тэмдгийн доорх функцийн илэрхийлэлд орлуулна. Энэ нь тухайн бүсэд хамаарах нь огт шаардлагагүй юм хязгаарфункц. Хэрвээ хязгаартухай хязгаарнь нэг оронтой тэнцүү бол функц нийлнэ гэж хэлнэ. Хэрэв тэр байж чадахгүй бол хязгаар en, эсвэл тодорхой цэг дээр хязгааргүй, дараа нь зөрүү.

Шийдэл.Илэрхийлэлд x = -2:lim (x² - 6 x - 14) / (2 x² + 3 x - 6) = -1/2 утгыг орлуулна.

Шийдэл нь үргэлж тийм ч ойлгомжтой бөгөөд энгийн байдаггүй, ялангуяа илэрхийлэл нь хэтэрхий төвөгтэй байвал. Энэ тохиолдолд та эхлээд түүнийг багасгах, бүлэглэх эсвэл хувьсах орлуулалтыг хялбарчлах хэрэгтэй: lim_(x→-8) (10 x - 1)/(2 x + ∛x) = [y= ∛x] = lim_(y→-) 2) (10 y³ - 1) / (2 y³ + y) \u003d 9/2.

Ихэнхдээ боломжгүй нөхцөл байдал үүсдэг хязгаарэния хязгаар a, ялангуяа аргумент нь хязгааргүй эсвэл тэг рүү чиглэдэг бол. Орлуулах нь хүлээгдэж буй үр дүнг авчрахгүй бөгөөд хүргэдэг хязгаармаягтын утгууд эсвэл [∞/∞]. Дараа нь L'Hospital-Bernoulli-г ашиглах боломжтой бөгөөд энэ нь эхний деривативыг олох явдал юм. Жишээлбэл, тооцоол хязгаар lim (x² - 5 x -14) / (2 x² + x - 6) x → -2-тэй.

Шийдэл.lim (x² - 5 x -14) / (2 x² + x - 6) =.

Деривативыг ол: lim (2 x - 5) / (4 x + 1) = 9/7.

lim (sinx/x) = 1 гэж x → 0, эсрэгээр нь бас үнэн: lim (x/sinx) = 1; x → 0. Аргумент нь ямар ч бүтэц байж болно, гол зүйл нь түүний утга тэг рүү чиглэдэг: lim (x³ - 5 x² + x) / sin(x³ - 5 x² + x) = 1; x → 0.

Холбоотой видеонууд

Онол хязгаарматематик шинжилгээний нэлээд өргөн хүрээтэй талбар юм. Энэ ойлголт нь функцэд хамаарах бөгөөд lim тэмдэглэгээ, хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэл, аргументийн хязгаарын утга гэсэн гурван элементийн бүтэц юм.

Заавар

Хязгаарыг тооцоолохын тулд аргументийн хязгаарын утгатай тохирох цэг дээр функц ямар тэнцүү байх шаардлагатай. Зарим тохиолдолд энэ нь эцсийн шийдэлгүй байдаг бөгөөд хувьсагчийн хандлагатай утгыг орлуулснаар "тэг тэг" эсвэл "хязгааргүй хязгааргүй" хэлбэрийг өгдөг. Энэ тохиолдолд Бернулли, Л'Хопитал нараас гаргаж авсан, анхны деривативыг авах гэсэн үг юм.

Аливаа математикийн нэгэн адил хязгаар нь түүний тэмдгийн дор функцийн илэрхийлэл агуулж болох бөгөөд энэ нь энгийн орлуулахад хэтэрхий төвөгтэй эсвэл тохиромжгүй юм. Дараа нь эхлээд энгийн аргуудыг ашиглан үүнийг хялбарчлах, бүлэглэх, нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж авах, аргументийн хязгаарын утга нь өөрчлөгддөг хувьсагчийг өөрчлөх шаардлагатай.

Та азтай байна, аргументийн хязгаарын утгыг харгалзан функцийн илэрхийлэл утга учиртай болно. тэр хамгийн энгийн тохиолдолхязгаарын тооцоо. lim_(x→∞) (5 - x) гэсэн тодорхой бус ойлголтыг агуулсан дараах бодлогыг одоо шийд.

Бернулли-Л'Хопитал дүрэм: lim_(x→-2) (x^5 - 4 x³)/(x³ + 2 x²) = (-32 + 32)/(-8 + 8) =. Функцийн илэрхийллийг ялгана уу: lim (5 x^4 - 12 x²) / (3 x² + 4 x) = (5 16 - 12 4) / (3 4 - 8) = 8.

Хувьсагчийн өөрчлөлт: lim_(x→125) (x + 2 ∛x)/(x + 5) = = lim_(y→5) (y³ + 2 y)/(y³ + 3) = (125 + 10)/ ( 125 + 5) = 27/26.

Грекийн π (pi, pi) үсгийг тойргийн тойргийн диаметртэй харьцуулсан харьцааг илэрхийлэхэд ашигладаг. тэр тоо, анх эртний геометрийн бичээсүүдэд гарч ирсэн бөгөөд хожим нь математикийн маш олон салбарт маш чухал ач холбогдолтой болсон. Тэгэхээр тооцоо хийх чадвартай байх ёстой.

Заавар

π - үндэслэлгүй тоо. Энэ нь бүхэл тоо болон хуваагчтай бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй юм. Түүнээс гадна π нь трансцендент юм тоо, өөрөөр хэлбэл, энэ нь ямар ч үйлчилж чадахгүй алгебрийн тэгшитгэл. Энэ замаар, яг үнэ цэнэπ тоог бичих боломжгүй. Гэсэн хэдий ч үүнийг шаардлагатай нарийвчлалтайгаар тооцоолох аргууд байдаг.

Грек, Египетийн геометрийн хэрэглэж байсан эртний хүмүүс π нь ойролцоогоор тэнцүү гэж хэлдэг квадрат язгуур 10-аас буюу 256/81 бутархай. Гэхдээ эдгээр томьёо нь 3.16-тай тэнцүү π утгыг өгдөг бөгөөд энэ нь хангалттай биш юм.

Хөгжилтэй хамт дифференциал тооцооэрдэмтдийн мэдэлд байгаа бусад математикийн шинэ салбарууд гарч ирэв шинэ хэрэгсэл- эрчим хүчний цуврал. Готфрид Вильгельм Лейбниц 1674 онд энэ цувралыг нээсэн
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
π/4-тэй тэнцүү хязгаарт нийлдэг. Энэ нийлбэрийг тооцоолох нь энгийн боловч цувралууд маш удаан нийлдэг тул хангалттай нарийвчлалд хүрэхийн тулд олон алхам шаардлагатай.

Дараа нь Лейбницийн цувралыг ашиглахаас илүү хурдан π-ийг тооцоолох боломжтой болсон бусад хүчирхэг цувралууд нээгдэв. Жишээлбэл, tg(π/6) = 1/√3 гэдгийг мэддэг тул arctg(1/√3) = π/6.
Арктангенс функц нь тэлдэг эрчим хүчний цуврал, мөн өгөгдсөн утгын хувьд бид дараахь зүйлийг авна.
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3… + 1/((2n + 1)*(-3)^n)…)
Энэ болон бусад ижил төстэй томъёогоор тооπ-ийг хэдэн сая аравтын орон дотор аль хэдийн тооцоолсон.

тэмдэглэл

Пи-г тооцоолох олон арга бий. Хамгийн энгийн бөгөөд ойлгомжтой нь тоон аргаМонте Карло, мөн чанар нь талбай дээрх цэгүүдийн хамгийн энгийн тооллого хүртэл буурдаг. давхар у=радиус*радиус-х*х; буцах y; ) Програм нь радиус болон цэгийн тооноос хамаарч Pi-ийн утгыг харуулдаг. Уншигчдад үлдсэн зүйл бол өөрөө эмхэтгэж, хүссэн параметрүүдээрээ ажиллуулах явдал юм.

Хэрэгтэй зөвлөгөө

Гэвч уйгагүй эрдэмтэд pi-ийн аравтын оронг үргэлжлүүлэн, үргэлжлүүлэн тооцоолсон бөгөөд энэ нь үнэхээр энгийн зүйл биш юм, учир нь та үүнийг зүгээр нэг баганаар тооцоолж болохгүй: тоо нь зөвхөн үндэслэлгүй төдийгүй трансцендентал юм (эдгээр нь зүгээр л тооцоогүй ийм тоо энгийн тэгшитгэлүүд). Токиогийн их сургуулийн эрдэмтэд pi тоог 12411 их наяд тэмдэгт хүртэл тооцоолж дэлхийн дээд амжилт тогтоож чаджээ.

Эх сурвалжууд:

• Пигийн түүх

Математикийн аргуудшинжлэх ухааны олон салбарт ашигладаг. Энэ мэдэгдэл нь ялангуяа дифференциал тооцоонд хамаарна. Жишээлбэл, хэрэв бид хоёр дахь тооцоог хийвэл деривативцаг хугацааны хувьсагчаас зайны функцээр материаллаг цэгийн хурдатгалыг олох боломжтой.

Заавар

Дээд эрэмбийн деривативын хувьд ялгах дүрэм, аргууд хадгалагдана. Энэ нь зарим энгийн функц, нэмэх, хуваах үйлдлүүд, түүнчлэн u(g(x)) хэлбэрийн нийлмэл функцүүдэд хамаарна: u’ = C’ = 0 нь тогтмолын дериватив; u’ = x’ = 1 нь нэг аргументаас хамгийн энгийн нь; u' = (x^a)' = a x^(a-1); u' = (a^x)' = a^x ln a - экспоненциал функц;

u(x) ба g(x) хос функцийн арифметик үйлдлүүд: (u + g)’ = u’ + g’; (u g)' = u' g + g' u; (u/g)’ = (u’ g – g’ u)/g².

Хоёрдугаарт нэлээд хэцүү дериватив нарийн төвөгтэй функц. Үүний тулд тоон ялгах аргууд хэдийгээр үр дүн нь ойролцоо боловч α ойртуулах алдаа гэж нэрлэгддэг: u''(x) = (u(x + h) - 2 u(x) + u(x - h) ) / h² + α (h²) - Ньютоны интерполяцийн олон гишүүнт; – 2 ц))/(12 h²) + α(h²) – Стрилинг.

Эдгээр томъёонд h тодорхой утгатай байна. Үүнийг тооцооллын алдааг багасгахын тулд сонголт нь оновчтой байх ёстой ойролцоо тооцоолол гэж нэрлэдэг. Сонголт зөв үнэ цэнэ h-г алхам алхмаар зохицуулалт гэнэ: |u(х + h) – u(х)| > ε, энд ε нь хязгааргүй жижиг.

Хоёр дахь деривативыг тооцоолох аргыг хоёр дахь эрэмбийн нийт дифференциалд ашигладаг. Үүний зэрэгцээ үүнийг аргумент тус бүрээр хувийн байдлаар тооцож, эцсийн илэрхийлэлд харгалзах dx, dy гэх мэт дифференциалын хүчин зүйл болгон оролцдог: /∂zd²z.

Жишээ нь: хоёр дахь хэсгийг ол деривативфункцууд u \u003d 2 x sin x - 7 x³ + x ^ 5 / tg x.

Шийдэл u' = 2 sin x + 2 x cos x - 21 x² + 5 x^4/tg x - x² / sin² x; u'' = 4 cos x - 2 x sin x - 42 x + 20 x³ / tg x - 5 x ^ 4 / sin² x - 2 x / sin² x + 2 x² cos x / sin³ x.

Зан үйлийн мөн чанарыг судлахдаа дифференциал тооцооллын аргыг ашигладаг функцууд in математик шинжилгээ. Гэсэн хэдий ч энэ нь тэдний хэрэглээний цорын ганц талбар биш бөгөөд үүнийг ихэвчлэн олох шаардлагатай байдаг деривативтооцоолох хязгаарын утгуудэдийн засгийн хувьд, физикийн хувьд хурд эсвэл хурдатгалыг тооцоолох.