ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය සහ ගැටළු විසඳීම සඳහා එහි යෙදීම. උදාහරණ - ගණිතමය ප්රේරණය
කාර්යයේ පාඨය රූප සහ සූත්ර නොමැතිව තබා ඇත.
සම්පූර්ණ සංස්කරණයකාර්යය PDF ආකෘතියෙන් "වැඩ ගොනු" පටිත්තෙහි ඇත
හැදින්වීම
මෙම මාතෘකාව අදාළ වේ, මන්ද සෑම දිනකම මිනිසුන් ඔවුන් අදාළ වන විවිධ ගැටළු විසඳයි විවිධ ක්රමවිසඳුම්, නමුත් ක්රමයක් නොමැතිව ඔබට කළ නොහැකි කාර්යයන් තිබේ ගණිතමය ප්රේරණය, සහ එවැනි අවස්ථාවලදී, මෙම ප්රදේශයේ දැනුම ඉතා ප්රයෝජනවත් වනු ඇත.
මම තෝරනවා මේ මාතෘකාවපර්යේෂණ සඳහා නිසා පාසල් විෂය මාලාවගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්‍රමයට සුළු කාලයක් කැප කරයි, ශිෂ්‍යයා සාමාන්ය අදහසක් පමණක් ලබා ගැනීමට උපකාරී වන මතුපිට තොරතුරු ඉගෙන ගනී. මෙම ක්රමය, නමුත් මෙම න්යාය පිළිබඳ ගැඹුරු අධ්යයනය ස්වයං-සංවර්ධනය අවශ්ය වනු ඇත. මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ වැඩි විස්තර දැනගැනීම ඇත්තෙන්ම ප්රයෝජනවත් වනු ඇත, එය පුද්ගලයෙකුගේ ක්ෂිතිජය පුළුල් කරන අතර සංකීර්ණ ගැටළු විසඳීමට උපකාරී වේ.
අරමුණ:
ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය ගැන දැන හඳුනා ගන්න, මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ දැනුම ක්‍රමානුකූල කර විසඳන විට එය යොදන්න ගණිත ගැටළුසහ න්‍යායන් ඔප්පු කිරීම, සනාථ කිරීම සහ ප්‍රදර්ශනය කිරීම ප්රායෝගික වටිනාකමගැටළු විසඳීම සඳහා අවශ්ය සාධකයක් ලෙස ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය.
වැඩ කාර්යයන්:
සාහිත්යය විශ්ලේෂණය කිරීම සහ මාතෘකාව පිළිබඳ දැනුම සාරාංශ කිරීම.
ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්ම තේරුම් ගන්න.
ගැටළු විසඳීම සඳහා ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමයේ යෙදීම ගවේෂණය කරන්න.
සිදු කරන ලද කාර්යය පිළිබඳ නිගමන සහ නිගමන සකස් කරන්න.
ප්රධාන පර්යේෂණ ආයතනය
සම්භව ඉතිහාසය:
වෙත පමණි XIX අගශතවර්ෂයේ, තාර්කික දෘඩතාව සඳහා අවශ්‍යතා පිළිබඳ ප්‍රමිතියක් වර්ධනය වී ඇති අතර එය අද දක්වාම ආධිපත්‍යය දරයි ප්රායෝගික වැඩතනි ගණිත න්‍යායන් වර්ධනය කිරීම පිළිබඳ ගණිතඥයන්.
ප්රේරණය යනු ප්‍රජානන ක්‍රියා පටිපාටියක් වන අතර එමඟින් ඒවා සාමාන්‍යකරණය කරන ප්‍රකාශයක් පවතින කරුණු සංසන්දනය කිරීමෙන් අඩු කරනු ලැබේ.
ගණිතයේ දී, ප්රේරණයේ කාර්යභාරය බොහෝ දුරට එය තෝරාගත් අක්ෂි විද්‍යාවට යටින් පවතී. දිගු පුහුණුවකින් පසු සෘජු මාර්ගයක් සෑම විටම වක්‍ර හෝ කැඩුණු එකකට වඩා කෙටි බව පෙන්නුම් කළ පසු, ප්‍රත්‍යක්‍ෂයක් සැකසීම ස්වාභාවිකය: A, B සහ C යන ඕනෑම ලක්ෂ්‍ය තුනක් සඳහා අසමානතාවය තෘප්තිමත් වේ.
ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය වෙනම වැදගත් ක්රමයක් ලෙස දැන ගැනීම Blaise Pascal සහ Gersonides දක්වා දිව යයි, නමුත් සමහර යෙදුම් අවස්ථා පුරාණ කාලයේ Proclus සහ Euclid විසින් සොයාගෙන ඇත. ක්රමය සඳහා නවීන නම 1838 දී ඩි මෝගන් විසින් හඳුන්වා දෙන ලදී.
ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය ප්‍රගතිය සමඟ සැසඳිය හැකිය: අපි පහළම සිට ආරම්භ කරමු, තාර්කික චින්තනයේ ප්‍රති result ලයක් ලෙස අපි ඉහළම මට්ටමට පැමිණෙමු. මිනිසා සැමවිටම ප්‍රගතිය සඳහා උත්සාහ කර ඇත, ඔහුගේ චින්තනය තර්කානුකූලව වර්ධනය කිරීමේ හැකියාව සඳහා, එයින් අදහස් කරන්නේ ස්වභාවධර්මය විසින්ම ඔහුට ප්රේරක ලෙස සිතීමට නියම කර ඇති බවයි.
ප්රේරණය සහ අඩුකිරීම
විශේෂිත සහ සාමාන්ය ප්රකාශ දෙකම ඇති බව දන්නා අතර, ලබා දී ඇති පද දෙක එකකින් අනෙකට සංක්රමණය වීම මත පදනම් වේ.
අඩු කිරීම (lat. deductio - ව්යුත්පන්නයෙන්) - සංජානන ක්රියාවලියේ සංක්රමණය ජනරාල්වෙත දැනුම පුද්ගලිකහා තනි. අඩුකිරීමේදී සාමාන්ය දැනීමතර්කයේ ආරම්භක ලක්ෂ්‍යය ලෙස ක්‍රියා කරන අතර, මෙම සාමාන්ය දැනුම "සූදානම්", පවතින බව උපකල්පනය කෙරේ. අඩුකිරීමේ විශේෂත්වය නම් එහි පරිශ්රයේ සත්යය නිගමනයේ සත්යය සහතික කිරීමයි. එබැවින්, අඩු කිරීම ඒත්තු ගැන්වීමේ විශාල බලයක් ඇති අතර එය ගණිතයේ ප්‍රමේයයන් ඔප්පු කිරීමට පමණක් නොව, විශ්වාසදායක දැනුම අවශ්ය ඕනෑම තැනක බහුලව භාවිතා වේ.
ප්රේරණය (ලතින් ප්රේරණය - මගපෙන්වීම) යනු සංජානන ක්රියාවලියේ සංක්‍රාන්තියකි. පුද්ගලිකවෙත දැනුම ජනරාල්වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, එය නිරීක්ෂණ සහ අත්හදා බැලීම් වල ප්රතිඵල සාමාන්‍යකරණය හා සම්බන්ධ පර්යේෂණ, දැනුමේ ක්‍රමයකි. ප්රේරණයේ ලක්ෂණයක් වන්නේ එහි සම්භාවිතා ස්වභාවයයි, i.e. ආරම්භක පරිශ්රයේ සත්යය අනුව, ප්රේරණයේ නිගමනය බොහෝ විට සත්ය පමණක් වන අතර අවසාන ප්‍රතිඵලයේ දී එය සත්ය සහ අසත්‍ය යන දෙකම විය හැකිය.
සම්පූර්ණ සහ අසම්පූර්ණ ප්රේරණය
ප්රේරක තර්කනය යනු ආකාරයකි වියුක්ත චින්තනය, සාමාන්‍යත්වයේ අඩු උපාධියක් පිළිබඳ දැනුමේ සිට වැඩි සාමාන්‍යත්වයක් පිළිබඳ දැනුමක් දක්වා චින්තනය වර්ධනය වන අතර, පරිශ්‍රයෙන් පැන නගින නිගමනය ප්රධාන වශයෙන් සම්භාවිතාව වේ.
පර්යේෂණය අතරතුර, ප්රේරණය වර්ග දෙකකට බෙදා ඇති බව මට පෙනී ගියේය: සම්පූර්ණ සහ අසම්පූර්ණ.
සම්පූර්ණ ප්‍රේරණයක් මෙම පන්තියේ සියලුම වස්තූන් අධ්යයනය කිරීමේ පදනම මත වස්තු පන්තියක් පිළිබඳ සාමාන්ය නිගමනයකට එළඹෙන නිගමනයක් ලෙස හැඳින්වේ.
උදාහරණයක් ලෙස, 6≤ n≤ 18 තුළ ඇති සෑම ස්වභාවික ඉරට්ටේ සංඛ්‍යාවක්ම දෙකක එකතුවක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකි බව තහවුරු කිරීමට අවශ්ය යැයි සිතමු. ප්රථමක සංඛ්යා. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි එවැනි සියලුම අංක ගෙන අදාළ විස්තාරණ ලියන්නෙමු:
6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;14=7+7; 16=11+5; 18=13+5;
මෙම සමානාත්මතා පෙන්නුම් කරන්නේ අපට උනන්දුවක් දක්වන සෑම සංඛ්‍යාවක්ම සරල පද දෙකක එකතුවක් ලෙස නිරූපනය වන බවයි.
පහත උදාහරණය සලකා බලන්න: අනුපිළිවෙල yn= n 2 +n+17; අපි පළමු පද හතර ලියමු: y 1 =19; y2=23; y3=29; y4=37; එවිට සම්පූර්ණ අනුපිළිවෙලම ප්‍රාථමික වලින් සමන්විත වේ යැයි අපට උපකල්පනය කළ හැක. නමුත් මෙය එසේ නොවේ, අපි y 16 = 16 2 +16+17=16(16+1)+17=17*17 ගනිමු. මෙය සංයුක්ත අංකයකි, එයින් අදහස් වන්නේ අපගේ උපකල්පනය වැරදියි, මේ අනුව, අසම්පූර්ණ ප්රේරණය සම්පූර්ණයෙන්ම විශ්වාසදායක නිගමනවලට තුඩු නොදෙයි, නමුත් පසුව ගණිතමය සාක්ෂි හෝ ප්රතික්ෂේප කිරීම අවශ්ය වන කල්පිතයක් සැකසීමට අපට ඉඩ සලසයි.
ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය
සම්පූර්ණ ප්‍රේරණයට ඇත්තේ ගණිතයේ සීමිත යෙදුම් පමණි. බොහෝ රසවත් ගණිතමය ප්‍රකාශයන් අනන්තවත් විශේෂ අවස්ථා සංඛ්යාවක් ආවරණය කරන අතර අපට මේ සියලු තත්වයන් සඳහා පරීක්ෂා කළ නොහැක.නමුත් අනන්ත අවස්ථා සංඛ්යාවක් සඳහා පරීක්ෂා කරන්නේ කෙසේද? මෙම ක්රමය B. Pascal සහ J. Bernoulli විසින් යෝජනා කරන ලදී, මෙය ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමයක් වන අතර එය පදනම් වේ. ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය.
ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් n මත රඳා පවතින A(n) වාක්‍යය n=1 සඳහා සත්ය නම් සහ එය n=k (k යනු ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් වන තැන) සඳහා සත්ය වේ නම්, එය ද පහත දැක්වේ. ඊළඟ අංකය සඳහා සත්ය n=k +1, එවිට උපකල්පනය A(n) ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් සඳහා සත්ය වේ.
සමහර අවස්ථාවලදී, සියල්ල සඳහා නොවන සමහර ප්‍රකාශයක වලංගුභාවය ඔප්පු කිරීමට අවශ්ය විය හැකිය ස්වභාවික සංඛ්යා, නමුත් n>p සඳහා පමණි, එහිදී p-ස්ථාවර ස්වභාවික අංකය. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය පහත පරිදි සකස් කර ඇත:
A(n) වාක්‍යය n=p සඳහා සත්ය නම් සහ A(k) නම් ඕනෑම k>p සඳහා A(k+1), එවිට A(n) වාක්‍යය ඕනෑම n>p සඳහා සත්ය වේ.
ඇල්ගොරිතම (එය අදියර හතරකින් සමන්විත වේ):
1.පදනම(සමහර සරල විශේෂ අවස්ථා සඳහා ඔප්පු කර ඇති ප්රකාශය සත්ය බව අපි පෙන්වමු ( පී = 1));
2. අනුමාන කරන්න(පළමුවැන්න සඳහා ප්රකාශය ඔප්පු වී ඇතැයි අපි උපකල්පනය කරමු වෙත නඩු); 3 .පියවර(මෙම උපකල්පනය යටතේ අපි නඩුව සඳහා ප්රකාශය ඔප්පු කරමු පී = වෙත + 1); 4.ප්‍රතිදානය (yප්රකාශය සෑම අවස්ථාවකදීම, එනම් සියල්ලටම සත්ය වේ P) .
ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය මඟින් සියලුම ගැටලු විසඳිය නොහැකි නමුත්, යම් විචල්‍යයක් මඟින් පරාමිතිකරණය කරන ලද ගැටලු පමණක් බව සලකන්න. මෙම විචල්‍යය induction variable ලෙස හැඳින්වේ.
ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමයේ යෙදීම
මෙම සියලු න්යාය ප්රායෝගිකව අදාළ කර මෙම ක්රමය භාවිතා කරන්නේ කුමන ගැටළු වලදීදැයි සොයා බලමු.
අසමානතාවයන් සනාථ කිරීම සඳහා ගැටළු.
උදාහරණ 1බර්නූලි අසමානතාවය ඔප්පු කරන්න (1+x)n≥1+n x, x>-1, n ∈ N.
1) n=1 සඳහා, 1+х≥1+х සිට අසමානතාවය සත්ය වේ
2) සමහර n=k සඳහා අසමානතාවය සත්ය යැයි උපකල්පනය කරන්න, i.e.
(1+x) k ≥1+k x.
අසමානතාවයේ දෙපැත්තම 1 + x ධනාත්මක අංකයකින් ගුණ කිරීමෙන් අපට ලැබේ
(1+x) k+1 ≥(1+kx)(1+ x) =1+(k+1) x + kx 2
kx 2 ≥0 සලකන විට, අපි අසමානතාවයට පැමිණෙමු
(1+x) k+1 ≥1+(k+1) x.
මේ අනුව, බර්නූලිගේ අසමානතාවය n=k සඳහා සත්ය යැයි උපකල්පනය කිරීමෙන් එය n=k+1 සඳහා සත්ය බව ගම්‍ය වේ. ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය මත පදනම්ව, බර්නූලිගේ අසමානතාවය ඕනෑම n ∈ N සඳහා වලංගු බව තර්ක කළ හැක.
උදාහරණ 2ඕනෑම ස්වභාවික අංකයක් සඳහා බව ඔප්පු කරන්න n>1, .
අපි ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය භාවිතා කර ඔප්පු කරමු.
දක්වන්න වම් පැත්තහරහා අසමානතා.
1), එබැවින්, n=2 සඳහා අසමානතාවය සත්ය වේ.
2) සමහර k සඳහා ඉඩ දෙන්න. අපි ඒක ඔප්පු කරමු එහෙනම් සහ අපිට තියනවා .
සංසන්දනය කිරීම සහ, අපට තිබේ, i.e. .
ඕනෑම ස්වභාවික k සඳහා දකුණු කොටසඅවසාන සමානාත්මතාවය ධනාත්මක වේ. ඒක තමයි. නමුත්, එබැවින්, සහ.අපි n=k+1 සඳහා අසමානතාවයේ වලංගුභාවය ඔප්පු කළෙමු, එබැවින්, ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය මගින්, ඕනෑම ස්වාභාවික n>1 සඳහා අසමානතාවය සත්ය වේ.
අනන්‍යතා සනාථ කිරීමේ ගැටළු.
උදාහරණ 1ඕනෑම ස්වාභාවික හා සමානාත්මතාවය සත්ය බව ඔප්පු කරන්න:
1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2/4.
n=1, පසුව X 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.
n=1 සඳහා ප්රකාශය සත්ය බව අපට පෙනේ.
2) සමානාත්මතාවය n=kX k =k 2 (k+1) 2/4 සඳහා සත්ය යැයි සිතමු.
3) අපි n=k+1, එනම් X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2/4 සඳහා මෙම ප්රකාශයේ සත්ය බව ඔප්පු කරමු. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k+1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2/4.
ඉහත සාධනයෙන් පැහැදිලි වන්නේ එම ප්රකාශය n=k+1 සඳහා සත්ය වන අතර, එබැවින් ඕනෑම ස්වභාවික n සඳහා සමානාත්මතාවය සත්ය වේ.
උදාහරණ 2ඕනෑම ස්වභාවික සහ සමානාත්මතාවය සඳහා බව ඔප්පු කරන්න
1) මෙම අනන්‍යතාවය n = 1 සඳහා සත්ය දැයි පරීක්ෂා කරන්න. - හරි.
2) n = k සඳහාද අනන්‍යතාවය සත්ය වේවා, i.e.
3) මෙම අනන්‍යතාවය n = k + 1 සඳහාද සත්ය බව ඔප්පු කරමු, එනම්;
නිසා සමානාත්මතාවය n=k සහ n=k+1 සඳහා සත්ය වේ, එවිට ඕනෑම ස්වභාවික n සඳහා එය සත්ය වේ.
සමාකරණ කාර්යයන්.
උදාහරණ 1 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 බව ඔප්පු කරන්න.
විසඳුම: 1) අපට n=1=1 2 ඇත. එබැවින්, ප්රකාශය n=1 සඳහා සත්ය වේ, i.e. A(1) ඇත්ත.
2) අපි ඔප්පු කරමු А(k) A(k+1).
k ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් වීමට ඉඩ හරින්න සහ ප්රකාශය n=k, එනම් 1+3+5+…+(2k-1)=k 2 සඳහා සත්ය වීමට ඉඩ දෙන්න.
ඊළඟ ස්වභාවික අංකය n=k+1 සඳහා ද ප්රකාශය සත්ය බව අපි ඔප්පු කරමු, i.e. කුමක්
1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .
ඇත්ත වශයෙන්ම, 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .
ඉතින්, A(k) A(k+1). ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය මත පදනම්ව, ඕනෑම n N සඳහා A(n) උපකල්පනය සත්ය බව අපි නිගමනය කරමු.
උදාහරණ 2සූත්රය ඔප්පු කරන්න, n යනු ස්වභාවික අංකයකි.
විසඳුම: n=1 විට, සමානාත්මතාවයේ කොටස් දෙකම එකකට හැරෙන අතර, එබැවින්, ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මයේ පළමු කොන්දේසිය තෘප්තිමත් වේ.
n=k සඳහා සූත්රය සත්ය යැයි උපකල්පනය කරන්න, i.e. .
මෙම සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තටම එකතු කර දකුණු පැත්ත පරිවර්තනය කරමු. එතකොට අපිට ලැබෙනවා
මේ අනුව, n=k සඳහා සූත්රය සත්ය වන බැවින්, එය n=k+1 සඳහා සත්ය බව අනුගමනය කරයි, එවිට මෙම ප්රකාශය ඕනෑම ස්වාභාවික n සඳහා සත්ය වේ.
බෙදීමේ කාර්යයන්.
උදාහරණ 1(11 n+2 +12 2n+1) ඉතිරියකින් තොරව 133 න් බෙදිය හැකි බව ඔප්පු කරන්න.
විසඳුමක්: 1) n=1, එසේනම්
11 3 +12 3 \u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \u003d 23 × 133.
(23 × 133) ඉතිරියක් නොමැතිව 133 න් බෙදිය හැකිය, එබැවින් n=1 සඳහා ප්රකාශය සත්ය වේ;
2) (11 k+2 +12 2k+1) ඉතිරියක් නොමැතිව 133 න් බෙදිය හැකි යැයි සිතමු.
3) මෙම නඩුවේදී අපි එය ඔප්පු කරමු
(11 k+3 +12 2k+3) ශේෂයක් නොමැතිව 133 න් බෙදිය හැකිය. ඇත්ත වශයෙන්ම, 11 k+3 +12 2n+3 =11×11 k+2 +
12 2 × 12 2k+1 =11× 11 k+2 +(11+133)× 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133× 12 2k+1 .
ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන එකතුව ශේෂයක් නොමැතිව 133 න් බෙදිය හැකිය, මන්ද එහි පළමු වාරය උපකල්පනයෙන් ඉතිරියක් නොමැතිව 133 න් බෙදිය හැකි අතර දෙවන සාධකය 133 වේ.
එබැවින්, A(k) → A(k+1), පසුව ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය මත පදනම්ව, ප්රකාශය ඕනෑම ස්වාභාවික n සඳහා සත්ය වේ.
උදාහරණ 2අත්තනෝමතික ධන නිඛිලයක් සඳහා 3 3n-1 +2 4n-3 11 න් බෙදිය හැකි බව ඔප්පු කරන්න.
විසඳුම: 1) n=1, එවිට X 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 ඉතිරියක් නොමැතිව 11 න් බෙදිය හැකිය. එබැවින්, n=1 සඳහා ප්රකාශය සත්ය වේ.
2) n=k සඳහා යැයි උපකල්පනය කරන්න
X k \u003d 3 3k-1 +2 4k-3 ඉතිරියකින් තොරව 11 න් බෙදිය හැකිය.
3) එම ප්රකාශය n=k+1 සඳහා සත්ය බව ඔප්පු කරමු.
X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 *3 3k-1 +2 4 *2 4k-3 =
27 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =(16+11)* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16* 3 3k-1 +
11* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3)+11* 3 3k-1 .
පළමු පදය ශේෂයක් නොමැතිව 11 න් බෙදිය හැකි බැවින්, 3 3k-1 +2 4k-3 උපකල්පනය අනුව 11 න් බෙදිය හැකි බැවින්, දෙවැන්න 11 න් බෙදිය හැකිය, මන්ද එහි එක් සාධකයක් වන අංක 11 වේ. එබැවින් එකතුව වේ ඕනෑම ස්වභාවික n සඳහා ඉතිරියක් නොමැතිව 11 න් බෙදිය හැකිය.
සැබෑ ජීවිතයෙන් කාර්යයන්.
උදාහරණ 1 Sn එකතුව බව ඔප්පු කරන්න අභ්යන්තර කොන්ඕනෑම උත්තල බහුඅස්‍රයක ( පී- 2) π, කොහෙද පීමෙම බහුඅස්‍රයේ පැති ගණන: Sn = ( පී- 2)π (1).
මෙම ප්රකාශය සියලු ස්වභාවික සඳහා අර්ථවත් නොවේ පී, නමුත් සඳහා පමණි පී > 3, ත්රිකෝණයක අවම කෝණ ගණන 3 වන බැවින්.
1) කවදාද පී= 3 අපගේ ප්රකාශය ආකෘතිය ගනී: S 3 = π. නමුත් ඕනෑම ත්රිකෝණයක අභ්යන්තර කෝණවල එකතුව ඇත්ත වශයෙන්ම π වේ. එබැවින්, කවදාද පී= 3 සූත්රය (1) සත්ය වේ.
2) මෙම සූත්රය n සඳහා සත්ය වේ =k, එනම් එස් කේ = (කේ- 2) π, කොහෙද කේ > 3. මෙම අවස්ථාවේ දී සූත්රය ද පවතින බව අපි ඔප්පු කරමු: එස් k+ 1 = (කේ- 1) π.
A 1 A 2 ... A ඉඩ දෙන්න කේ ඒ k+ 1 - හිතුවක්කාර උත්තල ( කේ+ 1) -gon (රූපය 338).
A 1 සහ A ලකුණු සම්බන්ධ කිරීමෙන් කේ , අපි උත්තල ලබා ගනිමු කේ-gon A 1 A 2 ... A කේ - 1A කේ . පැහැදිලිවම, කෝණවල එකතුව ( කේ+ 1) -gon A 1 A 2 ... A කේ ඒ k+ 1 කෝණවල එකතුවට සමාන වේ කේ-gon A 1 A 2 ... A කේ එකතුව A 1 A ත්‍රිකෝණයේ කෝණවල එකතුව කේ ඒ k+ එක . නමුත් කෝණවල එකතුව කේ-gon A 1 A 2 ... A කේ යැයි උපකල්පනය කෙරේ ( කේ- 2)π, සහ A 1 A ත්‍රිකෝණයේ කෝණවල එකතුව කේ ඒ k+ 1 pi ට සමාන වේ. ඒක තමයි
එස් k+ 1=එස් කේ + π = ( කේ- 2)π + π = ( කේ- 1) π.
එබැවින්, ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මයේ කොන්දේසි දෙකම තෘප්තිමත් වන අතර, එබැවින් (1) සූත්රය ඕනෑම ස්වාභාවික සඳහා සත්ය වේ. පී > 3.
උදාහරණ 2පඩිපෙළක් ඇත, එහි සියලුම පියවර සමාන වේ. අංකයෙන් ඕනෑම පියවරක් "තරණය" කිරීමේ හැකියාව සහතික කරන අවම තනතුරු ගණන සඳහන් කිරීම අවශ්ය වේ.
කොන්දේසියක් තිබිය යුතු බව කවුරුත් පිළිගන්නවා. පළමු පියවර තරණය කිරීමට අපට හැකි විය යුතුය. ඊළඟට, ඔවුන්ට පළමු පියවරේ සිට දෙවන පියවරට නැඟීමට හැකි විය යුතුය. ඉන්පසු දෙවන - තුන්වන, ආදිය. n වන පියවරට. ඇත්ත වශයෙන්ම, සමස්තයක් ලෙස, "n" ප්‍රකාශයන් nm සහතික කරයි, අපට n-th පියවරට යාමට හැකි වනු ඇත.
දැන් අපි 2, 3,...., n ස්ථාන දෙස බලා ඒවා එකිනෙක සංසන්දනය කරමු. ඒවා සියල්ලම එකම ව්‍යුහයක් ඇති බව දැකීම පහසුය: අපි k පියවරට ගියහොත්, අපට (k + 1) පියවරට නැඟිය හැකිය. මෙතැන් සිට, "n" මත රඳා පවතින ප්‍රකාශවල වලංගු භාවය සඳහා එවැනි ප්‍රත්‍යක්‍ෂයක් ස්වභාවික වේ: n ස්වභාවික සංඛ්යාවක් වන A (n) වාක්‍යය n=1 න් සෑහීමකට පත්වන්නේ නම් සහ එය සෑහීමකට පත්වේ නම් n=k සමඟ (k යනු ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් වන), එය n=k+1 සඳහා ද පවතින බව අනුගමනය කරයි, එවිට උපකල්පනය A(n) ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් සඳහා රඳවා ගනී.
අයදුම්පත
විශ්ව විද්‍යාලවලට ඇතුළු වන විට ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කරන කාර්යයන්.
ඉහළට ඇතුළත් වූ පසු බව සලකන්න අධ්යාපනික ආයතනමෙම ක්රමය මගින් විසඳන ගැටළු ද ඇත. සංයුක්ත උදාහරණ මත ඒවා සලකා බලමු.
උදාහරණ 1ඕනෑම ස්වභාවික බව ඔප්පු කරන්න පීසාධාරණ සමානාත්මතාවය
1) කවදාද n=1අපි නිවැරදි සමානාත්මතාවය ලබා ගනිමු.
2) n= සඳහා වන ප්රේරක උපකල්පනය කර තිබීම කේසමානාත්මතාවය සත්ය වේ, n සඳහා සමානාත්මතාවයේ වම් පැත්තේ එකතුව සලකා බලන්න =k+1;
3) අඩු කිරීමේ සූත්ර භාවිතා කරමින්, අපි ප්‍රකාශනය පරිවර්තනය කරන්නෙමු:
එවිට, ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය අනුව, ඕනෑම ස්වාභාවික n සඳහා සමානාත්මතාවය සත්ය වේ.
උදාහරණ 2ඕනෑම ස්වභාවික n සඳහා 4n +15n-1 ප්‍රකාශනයේ අගය 9 හි ගුණාකාරයක් බව ඔප්පු කරන්න.
1) n=1: 2 2 +15-1=18 සමඟ - 9 න් ගුණාකාර (18:9=2 නිසා)
2) සමානාත්මතාවය සඳහා ඉඩ දෙන්න n=k: 4k +15k-1 යනු 9 හි ගුණාකාරයකි.
3) ඊළඟ අංකය සඳහා සමානාත්මතාවය පවතින බව අපි ඔප්පු කරමු n=k+1
4k+1 +15(k+1)-1=4k+1 +15k+15-1=4.4k +60k-4-45k+18=4(4k +15k-1)-9(5k- 2)
4(4k +15k-1) - 9 න් ගුණාකාර;
9(5k-2) - 9 න් ගුණාකාර;
එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, සම්පූර්ණ ප්‍රකාශනය 4(4 k +15k-1)-9(5k-2) 9 හි ගුණාකාරයක් වන අතර, එය ඔප්පු කළ යුතු විය.
උදාහරණය 3ඕනෑම ස්වාභාවික අංකයක් සඳහා එය ඔප්පු කරන්න පීකොන්දේසිය සපුරා ඇත: 1∙2∙3+2∙3∙4+…+ n(n+1)(n+2)=.
1) එය පරීක්ෂා කරන්න ලබා දුන් සූත්රයදී ඇත්ත n=1:වම් පැත්ත = 1∙2∙3=6.
දකුණු කොටස = . 6 = 6; දී ඇත්ත n=1.
2) මෙම සූත්රය n සඳහා සත්ය යැයි උපකල්පනය කරන්න =k:
1∙2∙3+2∙3∙4+…+k(k+1)(k+2)=.එස් කේ =.
3) මෙම සූත්රය n සඳහා සත්ය බව ඔප්පු කරමු =k+1:
1∙2∙3+2∙3∙4+…+(k+1)(k+2)(k+3)=.
එස් k+1 =.
සාක්ෂි:
ඒ නිසා, මෙම කොන්දේසියඅවස්ථා දෙකකදී සත්ය වන අතර n සඳහා සත්ය බව ඔප්පු විය =k+1,එබැවින් ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් සඳහා එය සත්ය වේ පී.
නිගමනය
සාරාංශගත කිරීම සඳහා, පර්යේෂණ ක්‍රියාවලියේදී, ප්රේරණය යනු කුමක්දැයි මම සොයා ගත්තෙමි, එය සම්පූර්ණ හෝ අසම්පූර්ණයි, ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය මත පදනම්ව ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය පිළිබඳව දැන හඳුනා ගත් අතර, මෙම ක්රමය භාවිතා කිරීමේදී බොහෝ ගැටලු සලකා බලයි.
පාසල් විෂය මාලාවට ඇතුළත් කර ඇති දේට වඩා වෙනස් නව තොරතුරු රාශියක් ද මම ඉගෙන ගතිමි.ගණිත ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය අධ්යයනය කරන අතරතුර මම විවිධ සාහිත්‍ය, අන්තර්ජාල සම්පත් භාවිතා කළ අතර ගුරුවරයෙකුගෙන් ද උපදෙස් ගත්තෙමි.
නිගමනය: ගණිතමය ප්රේරණය පිළිබඳ සාමාන්‍යකරණය සහ ක්‍රමානුකූල දැනුමක් තිබීම, යථාර්ථයේ දී මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ දැනුමේ අවශ්යතාවය පිළිබඳව මට ඒත්තු ගියේය. ධනාත්මක ගුණාත්මකභාවයගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය එහි වේ පුළුල් යෙදුමගැටළු විසඳීමේදී: වීජ ගණිතය, ජ්යාමිතිය සහ සැබෑ ගණිතය ක්ෂේත්රයේ. එසේම, මෙම දැනුම විද්‍යාවක් ලෙස ගණිතය කෙරෙහි ඇති උනන්දුව වැඩි කරයි.
කාර්යයේදී ලබාගත් කුසලතා අනාගතයේදී මට උපකාර වනු ඇතැයි මට විශ්වාසයි.
ග්රන්ථ නාමාවලිය
සොමින්ස්කි අයි.එස්. ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය. ගණිතය පිළිබඳ ජනප්රිය දේශන, නිකුතුව 3-M.: Nauka, 1974.
L. I. Golovina, I. M. Yaglom. ජ්යාමිතිය තුළ ප්රේරණය. - Fizmatgiz, 1961. - T. 21. - 100 p. - (ගණිතය පිළිබඳ ජනප්රිය දේශන).
Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. විශ්ව විද්‍යාල සඳහා අයදුම්කරුවන් සඳහා ගණිත අත්පොත (ප්‍රාථමික ගණිතය පිළිබඳ තෝරාගත් ප්‍රශ්න) - Ed.5th, සංශෝධිත, 1976 - 638s.
A. ෂෙන්. ගණිතමය ප්රේරණය. - MTsNMO, 2004. - 36 පි.
M.L. Galitsky, A.M. Goldman, L.I. Zvavich වීජ ගණිතයේ ගැටළු එකතුව: සෛල 8-9 සඳහා පෙළ පොත. ගැඹුරක් සමඟ ගණිතය අධ්යයනය 7 වන සංස්කරණය - එම්.: අධ්‍යාපනය, 2001. - 271 පි.
යූ.එන්. - එම් .: Pro-sve-shche-nie, 2002.
විකිපීඩියාව යනු නිදහස් විශ්වකෝෂයයි.
ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය
රුසියානු භාෂාවෙන් ප්රේරණය යන වචනයේ තේරුම මඟ පෙන්වීම වන අතර ප්රේරක යනු නිරීක්ෂණ, අත්හදා බැලීම් මත පදනම් වූ නිගමන ලෙස හැඳින්වේ, i.e. විශේෂිතයාගේ සිට සාමාන්ය දක්වා අනුමානයෙන් ලබා ගන්නා ලදී.
නිදසුනක් වශයෙන්, සූර්යයා නැගෙනහිරින් නැඟී එන බව අපි සෑම දිනකම නිරීක්ෂණය කරමු. එමනිසා, හෙට එය බටහිරින් නොව නැගෙනහිරින් දිස්වන බවට ඔබට සහතික විය හැකිය. සූර්යයා අහස හරහා ගමන් කිරීමට හේතුව පිළිබඳ කිසිදු උපකල්පනයකට නොගොස් අපි මෙම නිගමනයට එළඹෙමු (එපමනක් නොව, එය සැබවින්ම චලනය වන බැවින් මෙම චලනයම පැහැදිලිව පෙනේ. පොළොවේ) එසේ වුවද, මෙම ප්රේරක ව්‍යුත්පන්නය අප හෙට සිදු කරන නිරීක්ෂණ නිවැරදිව විස්තර කරයි.
පර්යේෂණාත්මක විද්‍යාවන්හි ප්රේරක නිගමනවල කාර්යභාරය ඉතා විශාල ය. ඔවුන් එම විධිවිධාන ලබා දෙන අතර, ඉන් පසුව අඩු කිරීම මගින් වැඩිදුර නිගමන සිදු කරනු ලැබේ. සහ එසේ වුවද න්යායික යාන්ත්ර විද්යාවනිව්ටන්ගේ චලිත නීති තුන මත පදනම් වේ, මෙම නීතිම ඩෙන්මාර්ක් තාරකා විද්‍යාඥ Tycho Brahe විසින් වසර ගණනාවක නිරීක්ෂණ සැකසීමේදී ඔහු විසින් ව්‍යුත්පන්න කරන ලද පර්යේෂණාත්මක දත්ත, විශේෂයෙන් කෙප්ලර්ගේ ග්‍රහලෝක චලිත නීති පිළිබඳ ගැඹුරු පරාවර්තනයක ප්රතිඵලයක් විය. නිරීක්ෂණ සහ ප්රේරණය අනාගතයේ දී සිදු කරන ලද උපකල්පන ශෝධනය කිරීමට ප්රයෝජනවත් වේ. චලනය වන මාධ්‍යයක ආලෝකයේ වේගය මැනීම පිළිබඳ මයිකල්සන්ගේ අත්හදා බැලීම්වලින් පසුව, භෞතික විද්‍යාවේ නියමයන් පැහැදිලි කර සාපේක්ෂතාවාදයේ න්‍යායක් නිර්මාණය කිරීම අවශ්ය විය.
ගණිතයේ දී, ප්රේරණයේ කාර්යභාරය බොහෝ දුරට එය තෝරාගත් අක්ෂි විද්‍යාවට යටින් පවතී. දිගු පුහුණුවකින් පසු සෘජු මාර්ගයක් සෑම විටම වක්‍ර හෝ කැඩී ගිය එකකට වඩා කෙටි බව පෙන්නුම් කළ පසු, ප්‍රත්‍යක්‍ෂයක් සැකසීම ස්වාභාවිකය: A, B සහ C යන ඕනෑම ලක්ෂ්‍ය තුනක් සඳහා අසමානතාවය
සොල්දාදුවන්, නැව් සහ අනෙකුත් ඇණවුම් කට්ටල සෑදීම නිරීක්ෂණය කිරීමෙන් ද අනුගමනය කළ යුතු අංක ගණිතය පිළිබඳ යටි සංකල්පය මතු විය.
කෙසේ වෙතත්, මෙය ගණිතයේ ප්රේරණයේ භූමිකාවේ අවසානය යැයි කිසිවෙකු නොසිතිය යුතුය. ඇත්ත වශයෙන්ම, අප විසින් තාර්කිකව ප්‍රත්‍යාංගවලින් නිශ්චය කරන ලද ප්‍රමේයයන් පර්යේෂණාත්මකව සත්‍යාපනය නොකළ යුතුය: ව්‍යුත්පන්නයේ තාර්කික දෝෂ කිසිවක් සිදු නොකළේ නම්, අප විසින් පිළිගෙන ඇති ප්‍රත්‍යයන් සත්ය වන තාක් දුරට ඒවා සත්ය වේ. නමුත් මෙම axioms පද්ධතියෙන් බොහෝ ප්‍රකාශයන් නිගමනය කළ හැකිය. ඔප්පු කළ යුතු ප්රකාශ තෝරා ගැනීම නැවත ප්රේරණය මගින් යෝජනා කෙරේ. ප්රයෝජනවත් ප්‍රමේයයන් වැඩකට නැති ඒවායින් වෙන් කිරීමට අපට ඉඩ දෙන්නේ ඇයයි, කුමන ප්‍රමේයයන් සත්ය විය හැකිද යන්න පෙන්වා දෙයි, සහ සාධනයේ මාවත ගෙනහැර දැක්වීමට පවා උපකාරී වේ.
ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමයේ සාරය
ගණිතය, වීජ ගණිතය, ජ්යාමිතිය, විශ්ලේෂණ යන බොහෝ අංශවල ස්වභාවික විචල්‍යයක් මත යැපෙන A(n) වාක්‍යවල සත්යතාව ඔප්පු කිරීමට සිදුවේ. විචල්‍යයේ සියලුම අගයන් සඳහා A(n) ප්‍රස්තුතයේ සත්යතාව සනාථ කිරීම බොහෝ විට පහත සඳහන් මූලධර්මය මත පදනම් වූ ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය මගින් සිදු කළ හැක.
පහත සඳහන් කොන්දේසි දෙක සපුරා ඇත්නම් A(n) වාක්‍යය විචල්‍යයේ සියලුම ස්වාභාවික අගයන් සඳහා සත්ය ලෙස සලකනු ලැබේ:
A(n) යෝජනාව n=1 සඳහා සත්ය වේ.
n=k සඳහා A(n) සත්ය වේ යන උපකල්පනයෙන් (k යනු ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් වේ), එය ඊළඟ අගය n=k+1 සඳහා සත්ය බව අනුගමනය කරයි.
මෙම මූලධර්මය ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය ලෙස හැඳින්වේ. එය සාමාන්‍යයෙන් ස්වාභාවික සංඛ්යා ශ්‍රේණි නිර්වචනය කරන ප්‍රත්‍යක්‍ෂයක් ලෙස තෝරා ගනු ලබන අතර, එබැවින් සාක්ෂි නොමැතිව පිළිගනු ලැබේ.
ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය පහත දැක්වෙන සාධන ක්රමය ලෙස වටහාගෙන ඇත. සියලුම ස්වාභාවික n සඳහා A(n) ප්‍රස්තුතයේ සත්ය බව ඔප්පු කිරීමට අවශ්ය නම්, පළමුව, A(1) ප්‍රස්තුතයේ සත්යතාව පරීක්ෂා කළ යුතු අතර, දෙවනුව, A(k) ප්‍රස්තුතයේ සත්යය උපකල්පනය කළ යුතුය. , A(k +1) ප්‍රස්තුතය සත්ය බව ඔප්පු කිරීමට උත්සාහ කරන්න. මෙය ඔප්පු කළ හැකි නම් සහ k හි සෑම ස්වාභාවික අගයක් සඳහාම සාධනය වලංගු වේ නම්, ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මයට අනුව, A(n) ප්‍රස්තුතය n හි සියලුම අගයන් සඳහා සත්ය ලෙස පිළිගැනේ.
ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය ප්‍රමේය, අනන්‍යතා, අසමානතා, බෙදීමේ ගැටළු විසඳීම, සමහර ජ්‍යාමිතික සහ තවත් බොහෝ ගැටලු විසඳීම සඳහා බහුලව භාවිතා වේ.
ගැටළු විසඳීමේදී ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය
බෙදීම
ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය භාවිතා කරමින් කෙනෙකුට ස්වභාවික සංඛ්යා බෙදීමේ හැකියාව සම්බන්ධයෙන් විවිධ ප්රකාශ ඔප්පු කළ හැක.
පහත ප්‍රකාශයඔප්පු කිරීමට සාපේක්ෂව පහසු විය හැක. ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය භාවිතයෙන් එය ලබා ගන්නේ කෙසේදැයි අපි පෙන්වමු.
උදාහරණ 1. n යනු ස්වභාවික සංඛ්යාවක් නම්, එම සංඛ්යාව ඉරට්ටේ වේ.
n=1 සඳහා අපගේ ප්රකාශය සත්ය වේ: - ඉරට්ටේ අංකයකි. එය ඉරට්ටේ සංඛ්යාවක් යැයි සිතමු. 2k යනු ඉරට්ටේ සංඛ්යාවක් වන බැවින් 
පවා. එබැවින්, n=1 සඳහා සමානාත්මතාවය ඔප්පු වේ, සමානාත්මතාවයෙන් සමපාත වේ. 
.එබැවින්, n හි සියලුම ස්වාභාවික අගයන් සඳහා පවා.
උදාහරණ 2වාක්‍යයේ සත්යතාව ඔප්පු කරන්න
A(n)=(අංක 5 යනු 19 හි ගුණාකාරයකි), n යනු ස්වභාවික සංඛ්‍යාවකි.
විසඳුමක්.
A(1)=(සංඛ්යාව 19 හි ගුණාකාරයකි) ප්රකාශය සත්ය වේ.
එය යම් අගයක් සඳහා n=k යැයි සිතමු
A(k)=(සංඛ්යාව 19 හි ගුණාකාරයකි) සත්ය වේ. එවිට, සිට
පැහැදිලිවම, A(k+1) ද සත්ය වේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, A(k) සත්ය යැයි උපකල්පනය කිරීමෙන් පළමු පදය 19 න් බෙදිය හැකිය; දෙවන පදය ද 19 න් බෙදිය හැකිය, මන්ද එහි 19 සාධකයක් අඩංගු වේ. ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මයේ කොන්දේසි දෙකම තෘප්තිමත් වේ, එබැවින් A(n) ප්‍රස්තුතය n හි සියලුම අගයන් සඳහා සත්ය වේ.
වෙත ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය යෙදීම
මාලාවේ සාරාංශය
උදාහරණ 1සූත්රය ඔප්පු කරන්න
, n යනු ස්වභාවික අංකයකි.
විසඳුමක්.
n=1 සඳහා, සමානාත්මතාවයේ කොටස් දෙකම එකකට හැරෙන අතර, එබැවින්, ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මයේ පළමු කොන්දේසිය තෘප්තිමත් වේ.
n=k සඳහා සූත්රය සත්ය යැයි උපකල්පනය කරන්න, i.e.
.
මෙම සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තටම එකතු කර දකුණු පැත්ත පරිවර්තනය කරමු. එතකොට අපිට ලැබෙනවා
මේ අනුව, සූත්රය n=k සඳහා සත්ය වන බැවින්, එය n=k+1 සඳහාද සත්ය බව අනුගමනය කරයි. k හි ඕනෑම ස්වාභාවික අගයක් සඳහා මෙම ප්රකාශය සත්ය වේ. එබැවින්, ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මයේ දෙවන කොන්දේසිය ද තෘප්තිමත් වේ. සූත්රය ඔප්පු කර ඇත.
උදාහරණ 2ස්වාභාවික ශ්‍රේණිවල පළමු n සංඛ්‍යාවල එකතුව බව ඔප්පු කරන්න.
විසඳුමක්.
අපි අවශ්ය ප්රමාණය සඳහන් කරමු, i.e. 
.
n=1 සඳහා, උපකල්පනය සත්ය වේ.
ඉඩ 
. අපි ඒක පෙන්නමු 
.
ඇත්ත වශයෙන්ම,
ගැටලුව විසඳා ඇත.
උදාහරණය 3ස්වාභාවික ශ්‍රේණියේ පළමු n සංඛ්‍යාවල වර්ගවල එකතුව සමාන බව ඔප්පු කරන්න 
.
විසඳුමක්.
ඉඩ .
.
අපි එහෙම මවාපාමු 
. ඉන්පසු
සහ අවසාන වශයෙන්.
උදාහරණය 4ඔප්පු කරන්න .
විසඳුමක්.
නම්, එසේ නම්
උදාහරණ 5ඔප්පු කරන්න
විසඳුමක්.
n=1 සඳහා, උපකල්පනය පැහැදිලිවම සත්ය වේ.
ඉඩ .
අපි ඒක ඔප්පු කරමු.
ඇත්තටම,
ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය යෙදීමේ උදාහරණ
අසමානතා පිළිබඳ සාක්ෂි
උදාහරණ 1ඕනෑම ස්වභාවික අංකයක් සඳහා බව ඔප්පු කරන්න n>1
.
විසඳුමක්.
මගින් අසමානතාවයේ වම් පැත්ත දක්වන්න.
එබැවින් n=2 සඳහා අසමානතාවය සත්ය වේ.
සමහර k සඳහා ඉඩ දෙන්න. අපි ඒක ඔප්පු කරමු එහෙනම් සහ. අපිට තියනවා 
, .
සංසන්දනය කිරීම සහ , අපට තිබේ 
, i.e. 
.
ඕනෑම ධන නිඛිලයක් k සඳහා, අවසාන සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්ත ධන වේ. ඒක තමයි . නමුත්, එබැවින්, සහ .
උදාහරණ 2තර්ක කිරීමේදී දෝෂයක් සොයා ගන්න.
ප්රකාශය. ඕනෑම ස්වභාවික n සඳහා, අසමානතාවය සත්ය වේ.
සාක්ෂි.
. (1)
එවිට අසමානතාවය n=k+1 සඳහා ද වලංගු බව අපි ඔප්පු කරමු, i.e.
.
ඇත්ත වශයෙන්ම, ඕනෑම ස්වාභාවික k සඳහා අවම වශයෙන් 2. අපි අසමානතාවය (1) වම් පැත්තටත්, 2 දකුණු පැත්තටත් එකතු කරමු. අපට සාධාරණ අසමානතාවයක් ලැබේ, හෝ 
. ප්රකාශය ඔප්පු වී ඇත.
උදාහරණය 3ඔප්පු කරන්න 
, මෙහි >-1, , n යනු 1 ට වඩා වැඩි ස්වභාවික අංකයකි.
විසඳුමක්.
n=2 සඳහා, අසමානතාවය සත්ය වේ, සිට .
අසමානතාවය n=k සඳහා සත්ය වීමට ඉඩ හරින්න, එහිදී k යනු යම් ස්වාභාවික සංඛ්යාවක්, i.e.
. (1)
එවිට අසමානතාවය n=k+1 සඳහා ද වලංගු වන බව පෙන්වමු, i.e.
. (2)
ඇත්ත වශයෙන්ම, උපකල්පනය අනුව, , එබැවින්, අසමානතාවය
, (3)
අසමානතාවයෙන් ලබාගත් (1) එහි එක් එක් කොටස මගින් ගුණ කිරීමෙන්. අසමානතාවය (3) පහත පරිදි නැවත ලියමු: . අවසාන අසමානතාවයේ දකුණු පැත්තේ ධනාත්මක පදය ඉවත දැමීම, අපි වලංගු අසමානතාවය (2) ලබා ගනිමු.
උදාහරණය 4ඔප්පු කරන්න
(1)
එහිදී , n යනු 1 ට වඩා වැඩි ස්වභාවික අංකයකි.
විසඳුමක්.
n=2 සඳහා, අසමානතාවය (1) ස්වරූපය ගනී
. (2)
එතැන් සිට, අසමානතාවය
. (3)
අසමානතාවයේ එක් එක් කොටස (3) විසින් එකතු කිරීම, අපි අසමානතාවය (2) ලබා ගනිමු.
අසමානතාවය (1) n=2 සඳහා පවතින බව මෙයින් සනාථ වේ.
අසමානතාවය (1) n=k සඳහා වලංගු වීමට ඉඩ හරින්න, මෙහි k යනු යම් ස්වභාවික සංඛ්යාවක්, i.e.
. (4)
එවිට අසමානතාවය (1) n=k+1 සඳහා ද වලංගු විය යුතු බව ඔප්පු කරමු, i.e.
(5)
අසමානතාවයේ (4) කොටස් දෙකම a+b මගින් ගුණ කරමු. කොන්දේසිය අනුව, අපි පහත සාධාරණ අසමානතාවය ලබා ගනිමු:
. (6)
අසමානතාවය ඔප්පු කිරීමට (5), එය පෙන්වීමට ප්රමාණවත් වේ
, (7)
හෝ, එයම වන,
. (8)
අසමානතාවය (8) අසමානතාවයට සමාන වේ
. (9)
නම් , එසේ නම් , සහ අසමානතාවයේ වම් පැත්තේ (9) අපට දෙකේ ගුණිතය ඇත ධනාත්මක සංඛ්යා. නම් , එසේ නම් , සහ අසමානතාවයේ වම් පැත්තේ (9) අපට සෘණ සංඛ්යා දෙකක ගුණිතය ඇත. අවස්ථා දෙකේදීම අසමානතාවය (9) වලංගු වේ.
n=k සඳහා අසමානතාවයේ (1) වලංගු භාවය n=k+1 සඳහා එහි වලංගු භාවය ඇඟවුම් කරන බව මෙයින් සනාථ වේ.
අනෙක් අයට අදාළ වන පරිදි ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය
කාර්යයන්
සංඛ්යා න්‍යායේ සහ වීජ ගණිතයේ මෙම ක්රමයේ භාවිතයට ආසන්නව ජ්‍යාමිතියෙහි ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමයේ වඩාත්ම ස්වාභාවික යෙදුම වන්නේ ජ්‍යාමිතික ගණනය කිරීමේ ගැටළු විසඳීම සඳහා යෙදීමයි. අපි උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.
උදාහරණ 1නිවැරදි පැත්ත ගණනය කරන්න - R අරය කවයක කොටා ඇති චතුරස්රයක්.
විසඳුමක්.
n=2 සඳහා නිවැරදි 2 n - චතුරස්රයක් යනු චතුරස්රයකි; ඔහුගේ පැත්ත. තවද, දෙගුණ කිරීමේ සූත්රය අනුව
සාමාන්ය අෂ්ටකයක පැත්ත බව සොයා ගන්න 
, නිත්‍ය ෂඩාස්‍රයක පැත්ත 
, නිත්‍ය තිස් දෙකේ කෝණයක පැත්ත 
. එබැවින් සාමාන්ය සෙල්ලිපියක පැත්ත 2 යැයි අපට උපකල්පනය කළ හැකිය n - ඕනෑම එකක් සඳහා චතුරස්රයක් සමාන වේ
. (1)
අපි උපකල්පනය කරමු නිත්‍ය ශිලා ලේඛනගත -ගොන් පැත්තක (1) සූත්‍රයෙන් ප්රකාශ වේ යැයි සිතමු. මෙම අවස්ථාවේදී, දෙගුණ කිරීමේ සූත්රය මගින්
,
(1) සූත්රය සියලු n සඳහා වලංගු වන්නේ කොතැනින්ද යන්නයි.
උදාහරණ 2n-gon (අවශ්‍යයෙන්ම උත්තල නොවේ) ත්රිකෝණ කීයකට එහි ඡේදනය නොවන විකර්ණ මගින් බෙදිය හැකිද?
විසඳුමක්.
ත්රිකෝණයක් සඳහා, මෙම සංඛ්යාව එකකට සමාන වේ (ත්රිකෝණයක විකර්ණ ඇද ගත නොහැක); චතුරස්රයක් සඳහා මෙම සංඛ්යාව පැහැදිලිවම දෙකකට සමාන වේ.
අපි දැනටමත් දන්නවා සෑම k-gon, එහිදී k
ඒ එන්
A 1 A 2
А 1 А k මෙම කොටසෙහි විකර්ණ වලින් එකක් වේ; එය n-gon А 1 А 2 …A n k-gon A 1 A 2 …A k සහ (n-k+2)-gon А 1 А k A k+1 …A n ලෙස බෙදයි. කරන ලද උපකල්පනය අනුව, කොටස් ත්‍රිකෝණවල මුළු සංඛ්යාව සමාන වේ
(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;
මේ අනුව අපගේ ප්රකාශය සියලු n සඳහා ඔප්පු වේ.
උදාහරණය 3ඡේදනය නොවන විකර්ණ මගින් උත්තල n-gon ත්‍රිකෝණවලට බෙදිය හැකි ආකාරවල P(n) අංකය ගණනය කිරීම සඳහා රීතියක් සඳහන් කරන්න.
විසඳුමක්.
ත්රිකෝණයක් සඳහා, මෙම සංඛ්යාව පැහැදිලිවම එකකට සමාන වේ: P(3)=1.
අපි දැනටමත් සියලුම k සඳහා P(k) ඉලක්කම් තීරණය කර ඇතැයි සිතමු
Р(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n -එක).
මෙම සූත්රය භාවිතා කරමින්, අපි අනුපිළිවෙලින් ලබා ගනිමු:
P(4)=P(3)+P(3)=2,
P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5,
P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14
ආදිය
එසේම, ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කිරීමෙන් ඔබට ප්‍රස්ථාර සමඟ ගැටලු විසඳා ගත හැකිය.
සමහර ලක්ෂ්‍ය එකිනෙක සම්බන්ධ කරමින් සහ වෙනත් ලක්ෂ්‍ය නොමැති රේඛා ජාලයක් ගුවන් යානයේ ලබා දෙන්න. අපි එවැනි රේඛා ජාලයක් සිතියමක් ලෙස හඳුන්වමු, ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍ය එහි සිරස්, යාබද සිරස් දෙකක් අතර වක්‍ර කොටස් - සිතියමේ මායිම්, තලයේ කොටස් මායිම් වලින් බෙදා ඇති රටවල් - සිතියම.
ගුවන් යානයේ සිතියමක් දෙන්න. එහි සෑම රටක්ම යම් වර්ණයකින් වර්ණාලේප කර ඇත්නම් එය නිවැරදිව වර්ණ ගැන්වූ බවත්, පොදු මායිමක් බෙදා ගන්නා ඕනෑම රටවල් දෙකක් විවිධ වර්ණවලින් වර්ණාලේප කර ඇති බවත් අපි කියමු.
උදාහරණය 4ගුවන් යානයේ කව n ඇත. මෙම කව වල ඕනෑම සැකැස්මක් සඳහා, ඔවුන් විසින් සාදන ලද සිතියම වර්ණ දෙකකින් නිවැරදිව වර්ණ ගැන්විය හැකි බව ඔප්පු කරන්න.
විසඳුමක්.
n=1 සඳහා අපගේ ප්රකාශය පැහැදිලිය.
n කව වලින් සාදන ඕනෑම සිතියමක් සඳහා අපගේ ප්රකාශය සත්ය යැයි සිතමු, සහ තලය මත n + 1 කව ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න. මෙම කව වලින් එකක් ඉවත් කිරීමෙන්, උපකල්පනය අනුව, වර්ණ දෙකකින් නිවැරදිව වර්ණ ගැන්විය හැකි සිතියමක් අපට ලැබේ, උදාහරණයක් ලෙස, කළු සහ සුදු.
දේශනය 6. ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය.
විද්‍යාව සහ ජීවිතය පිළිබඳ නව දැනුම විවිධ ආකාරවලින් ලබා ගනී, නමුත් ඒවා සියල්ලම (ඔබ විස්තර වෙත නොයන්නේ නම්) වර්ග දෙකකට බෙදා ඇත - සාමාන්‍යයෙන් විශේෂයට සහ විශේෂයේ සිට සාමාන්‍යයට සංක්රමණය වීම. පළමුවැන්න අඩු කිරීම, දෙවැන්න ප්රේරණය. අඩු කිරීමේ තර්කනය සාමාන්‍යයෙන් ගණිතයේ දී හඳුන්වනු ලැබේ තාර්කික තර්කනය, සහ ගණිත විද්‍යාවේ අඩු කිරීම යනු විමර්ශනයේ එකම නීත්‍යානුකූල ක්‍රමයයි. පුරාණ ග්‍රීක විද්‍යාඥ ඇරිස්ටෝටල් විසින් වසර සහස්‍ර දෙකහමාරකට පෙර තාර්කික තර්කනය පිළිබඳ නීති සකස් කරන ලදී. ඔහු සරලම නිවැරදි තර්කයේ සම්පූර්ණ ලැයිස්තුවක් නිර්මාණය කළේය, syllogisms- තාර්කික "ගඩොල්", ඒ අතරම සාමාන්ය තර්ක පෙන්වා දෙමින්, නිවැරදි ඒවාට බෙහෙවින් සමාන, නමුත් වැරදි (අපි බොහෝ විට මාධ්‍ය තුළ එවැනි "ව්‍යාජ" තර්කයන් හමුවෙමු).
Induction (induction - ලතින් භාෂාවෙන් මග පෙන්වීම) අයිසැක් නිව්ටන් නීතිය සකස් කළ ආකාරය පිළිබඳ සුප්‍රසිද්ධ පුරාවෘත්තයෙන් නිදර්ශනය කෙරේ ගුරුත්වාකර්ෂණයඔහුගේ හිස මත ඇපල් ගෙඩියක් වැටුණු පසු. භෞතික විද්යාවෙන් තවත් උදාහරණයක්: විද්යුත් චුම්භක ප්රේරණය වැනි එවැනි ප්රපංචයක් තුළ, විද්යුත් ක්ෂේත්රයක් නිර්මාණය කරයි, චුම්බක ක්ෂේත්රයක් "ප්රේරණය කරයි". "Newton's apple" යනු විශේෂ අවස්ථා එකක් හෝ කිහිපයක් ඇති අවස්ථාවක සාමාන්ය උදාහරණයකි, i.e. නිරීක්ෂණ, සාමාන්ය ප්‍රකාශයකට "ඊයම්", සාමාන්ය නිගමනය විශේෂිත සිද්ධීන් පදනම් කරගෙන සිදු කෙරේ. ස්වාභාවික හා මානව විද්‍යාවන්හි සාමාන්ය රටා ලබා ගැනීම සඳහා ප්රේරක ක්රමය ප්රධාන වේ. නමුත් එය ඉතා වැදගත් අඩුපාඩුවක් ඇත: විශේෂිත උදාහරණ මත පදනම්ව, වැරදි නිගමනයකට එළඹිය හැකිය. පුද්ගලික නිරීක්ෂණ වලින් පැන නගින උපකල්පන සෑම විටම නිවැරදි නොවේ. Euler නිසා උදාහරණයක් සලකා බලන්න.
අපි පළමු අගයන් කිහිපයක් සඳහා ත්‍රිපදයේ අගය ගණනය කරමු n:
|
|
ගණනය කිරීම්වල ප්රතිඵලයක් ලෙස ලබාගත් සංඛ්යා ප්රධාන බව සලකන්න. සහ එක් එක් සඳහා එය සෘජුවම සත්‍යාපනය කළ හැකිය n 1 සිට 39 දක්වා බහුපද අගය 
ප්රථමක සංඛ්‍යාවකි. කෙසේ වෙතත්, කවදාද n=40 අපට 1681=41 2 අංකය ලැබේ, එය ප්‍රාථමික නොවේ. මේ අනුව, මෙහි ඇති විය හැකි කල්පිතය, එනම්, එක් එක් සඳහා යන කල්පිතය nඅංකය 
සරලයි, වැරදියි.
සෑම ධන නිඛිලයක් සඳහාම බව 17 වැනි සියවසේදී ලයිබ්නිස් ඔප්පු කළේය nඅංකය 
3 න් බෙදිය හැකිය 
5 න් බෙදිය හැකි ය, යනාදිය. මේ මත පදනම්ව, ඔහු සෑම ඔත්තකටම යෝජනා කළේය කේසහ ඕනෑම ස්වභාවික nඅංකය 
විසින් බෙදනු ලැබේ කේ, නමුත් ඉක්මනින්ම එය දුටුවේය 
9 න් බෙදිය නොහැක.
සලකා බැලූ උදාහරණ අපට වැදගත් නිගමනයකට එළඹීමට ඉඩ සලසයි: ප්‍රකාශයක් විශේෂ අවස්ථා ගණනාවක සත්ය විය හැකි අතර ඒ සමඟම පොදුවේ අසාධාරණ විය හැකිය. සාමාන්ය නඩුවේ ප්රකාශයේ වලංගුභාවය පිළිබඳ ප්‍රශ්නය විශේෂ තර්කන ක්රමයක් යෙදීමෙන් විසඳිය හැකිය ගණිතමය ප්රේරණය මගින්(සම්පූර්ණ ප්රේරණය, පරිපූර්ණ ප්රේරණය).
6.1 ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය.
♦ ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය පදනම් වේ ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය , පහත සඳහන් දෑ වලින් සමන්විත වේ:
1) මෙම ප්රකාශයේ වලංගුභාවය තහවුරු කර ඇතn=1 (induction පදනම) ,
2) මෙම ප්රකාශය සත්ය යැයි උපකල්පනය කෙරේn= කේ, කොහෙදකේඅත්තනෝමතික ස්වභාවික අංක 1 වේ(induction උපකල්පනය) , සහ මෙම උපකල්පනය සැලකිල්ලට ගනිමින්, එහි වලංගුභාවය ස්ථාපිත කර ඇතn= කේ+1.
සාක්ෂි. ප්රතිවිරුද්ධ දෙය උපකල්පනය කරන්න, එනම් ප්රකාශය සෑම ස්වාභාවික සඳහාම සත්ය නොවේ යැයි සිතමු n. එතකොට එහෙම ස්වභාවික එකක් තියෙනවා එම්, කුමක්:
1) අනුමැතිය n=එම්සාධාරණ නැහැ,
2) සෑම කෙනෙකුටම n, කුඩා එම්, ප්රකාශය සත්ය වේ (වෙනත් වචන වලින්, එම්ප්‍රකාශය අසාර්ථක වන පළමු ස්වාභාවික සංඛ්යාව වේ).
ඒක පැහැදිලියි එම්>1, නිසා සදහා n=1 ප්රකාශය සත්ය වේ (කොන්දේසි 1). ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, 
- ස්වභාවික අංකය. එය ස්වභාවික අංකයක් සඳහා බව හැරෙනවා 
ප්රකාශය සත්ය වන අතර ඊළඟ ස්වාභාවික සංඛ්යාව සඳහා එම්එය අසාධාරණයි. මෙය කොන්දේසි 2 ට පටහැනියි. ■
ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යා එකතුවක කුඩාම සංඛ්යාව අඩංගු බවට සාධනය භාවිතා කර ඇති බව සලකන්න.
ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය මත පදනම් වූ සාක්ෂියක් ලෙස හැඳින්වේ සම්පූර්ණ ගණිතමය ප්රේරණය මගින් .
උදාහරණයක්6.1.
ඕනෑම ස්වභාවික සඳහා එය ඔප්පු කරන්න nඅංකය 
3 න් බෙදිය හැකිය.
විසඳුමක්.
1) කවදාද n=1, එසේ ඒ 1 3 න් බෙදිය හැකි අතර ප්රකාශය සත්ය වේ n=1.
2) ප්රකාශය සත්ය යැයි උපකල්පනය කරන්න n=කේ,
, එනම්, එම අංකය 
3 න් බෙදිය හැකි අතර එය සොයා ගන්න n=කේ+1 අංකය 3න් බෙදිය හැකිය.
ඇත්ත වශයෙන්ම,
නිසා සෑම පදයක්ම 3 න් බෙදිය හැකි අතර, ඒවායේ එකතුව 3 න් ද බෙදිය හැකිය. ■
උදාහරණයක්6.2. පළමු එකතුව බව ඔප්පු කරන්න nස්වාභාවික ඔත්තේ සංඛ්යා ඒවායේ සංඛ්‍යාවේ වර්ග වලට සමාන වේ, එනම්, .
විසඳුමක්.අපි සම්පූර්ණ ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය භාවිතා කරමු.
1) අපි මෙම ප්රකාශයේ වලංගු භාවය පරීක්ෂා කරන්නෙමු n=1: 1=1 2 නිවැරදියි.
2) පළමු එකතුව යැයි සිතමු කේ
(
) ඔත්තේ සංඛ්යා මෙම සංඛ්‍යාවේ වර්ග වලට සමාන වේ, එනම්, . මෙම සමානාත්මතාවය මත පදනම්ව, පළමු එකතුව බව අපි තහවුරු කරමු කේ+1 ඔත්තේ සංඛ්යා සමාන වේ 
, එනම් .
අපි අපේ උපකල්පනය භාවිතා කර ලබා ගනිමු
. ■
සම්පූර්ණ ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය සමහර අසමානතා ඔප්පු කිරීමට භාවිතා කරයි. අපි බර්නූලිගේ අසමානතාවය ඔප්පු කරමු.
උදාහරණයක්6.3.
එය කවදාදැයි ඔප්පු කරන්න 
සහ ඕනෑම ස්වභාවික nඅසමානතාවය 
(බර්නූලිගේ අසමානතාවය).
විසඳුමක්. 1) කවදාද n=1 අපට ලැබේ 
, නිවැරදියි.
2) අපි එය උපකල්පනය කරමු n=කේඅසමානතාවයක් ඇත 
(*). මෙම උපකල්පනය භාවිතා කරමින්, අපි එය ඔප්පු කරමු 
. කවදාද යන්න සටහන් කරන්න 
මෙම අසමානතාවය පවතින අතර, එබැවින් නඩුව සලකා බැලීම ප්රමාණවත්ය 
.
අසමානතාවයේ කොටස් දෙකම (*) අංකයෙන් ගුණ කරන්න 
සහ ලබා ගන්න:
එනම් (1+ 
.■
ක්රමය අනුව සාධනය අසම්පූර්ණ ගණිතමය ප්රේරණය
මත පදනම්ව යම් ප්‍රකාශයක් n, කොහෙද 
ඒ හා සමාන ආකාරයකින් සිදු කරන නමුත්, ආරම්භයේ දී, කුඩාම වටිනාකම සඳහා යුක්තිය ස්ථාපිත වේ n.
සමහර ගැටළු ගණිතමය ප්රේරණය මගින් ඔප්පු කළ හැකි ප්‍රකාශයක් පැහැදිලිව සකස් නොකරයි. එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, නිතිපතා ස්ථාපිත කිරීම සහ මෙම නිත්‍යභාවයේ වලංගුභාවය පිළිබඳ උපකල්පනයක් ප්රකාශ කිරීම අවශ්ය වන අතර, පසුව ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්රමය මගින් යෝජිත කල්පිතය පරීක්ෂා කරන්න.
උදාහරණයක්6.4.
මුදල සොයා ගන්න 
.
විසඳුමක්.අපි එකතුව සොයා ගනිමු එස් 1 ,
එස් 2 ,
එස් 3. අපිට තියනවා 
,
,
. ඕනෑම ස්වභාවික සඳහා අපි එය උපකල්පනය කරමු nසූත්රය වලංගු වේ 
. මෙම උපකල්පනය පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, අපි සම්පූර්ණ ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කරමු.
1) කවදාද n=1 කල්පිතය සත්ය, මන්ද 
.
2) උපකල්පනය සත්ය යැයි උපකල්පනය කරන්න n=කේ,
, එනම් 
. මෙම සූත්රය භාවිතා කරමින්, කල්පිතය සත්ය සහ සඳහා බව අපි තහවුරු කරමු n=කේ+1, එනම්
ඇත්ත වශයෙන්ම,
එබැවින්, උපකල්පනය සත්ය යැයි උපකල්පනය කරයි n=කේ,
, සඳහා එය සත්ය බව ඔප්පු වී ඇත n=කේ+1, සහ ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය මත පදනම්ව, ඕනෑම ස්වාභාවික සඳහා සූත්රය වලංගු බව අපි නිගමනය කරමු n.
■
උදාහරණයක්6.5.
ගණිතයේ දී, ඒකාකාර අඛණ්ඩ ශ්‍රිත දෙකක එකතුව ඒකාකාර අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයක් බව ඔප්පු වේ. මෙම ප්රකාශය මත පදනම්ව, අපි ඕනෑම සංඛ්‍යාවක එකතුව බව ඔප්පු කළ යුතුය 
ඒකාකාර අඛණ්ඩ ශ්‍රිතවල ඒකාකාර අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයකි. නමුත් අපි තවමත් "ඒකාකාර අඛණ්ඩ ශ්‍රිතය" යන සංකල්පය හඳුන්වා දී නොමැති බැවින්, අපි ගැටලුව වඩාත් වියුක්ත ලෙස සකසන්නෙමු: යම් දේපලක් ඇති ශ්‍රිත දෙකක එකතුව බව දැන ගනිමු. එස්, තමාටම දේපල ඇත එස්. ඕනෑම ශ්‍රිත සංඛ්‍යාවක එකතුවට දේපල ඇති බව ඔප්පු කරමු එස්.
විසඳුමක්.මෙහි ඇති ප්රේරණයේ පදනම ගැටලුව සූත්‍රගත කිරීම තුළම අන්තර්ගත වේ. ප්රේරක උපකල්පනය කරමින්, සලකා බලන්න 
කාර්යයන් f 1 ,
f 2 ,
…, f n ,
f nදේපල ඇති +1 එස්. ඉන්පසු . දකුණු පැත්තේ, පළමු පදය දේපල ඇත එස්ප්‍රේරක උපකල්පනය අනුව, දෙවන පදයට දේපල ඇත එස්කොන්දේසිය අනුව. එබැවින් ඔවුන්ගේ එකතුවට දේපල ඇත එස්- පද දෙකක් සඳහා, induction "වැඩ" පදනම.
මෙය ප්රකාශය සනාථ කරන අතර එය තවදුරටත් භාවිතා කරනු ඇත. ■
උදාහරණයක්6.6. සියලු ස්වභාවික සොයා ගන්න n, අසමානතාවය සඳහා
.
විසඳුමක්.සලකා බලන්න n=1, 2, 3, 4, 5, 6. අපට ඇත්තේ: 2 1 >1 2 , 2 2 =2 2 , 2 3<3 2 ,
2 4 =4 2 ,
2 5 >5 2, 2 6 >6 2 . මේ අනුව, අපට උපකල්පනයක් කළ හැකිය: අසමානතාවය 
සෑම කෙනෙකුටම ස්ථානයක් ඇත 
. මෙම උපකල්පනයේ සත්යය සනාථ කිරීම සඳහා, අපි අසම්පූර්ණ ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය භාවිතා කරමු.
1) ඉහත සඳහන් කළ පරිදි, මෙම උපකල්පනය සත්ය වේ n=5.
2) එය සත්ය යැයි සිතමු n=කේ,
, එනම් අසමානතාවය 
. මෙම උපකල්පනය භාවිතා කරමින්, අසමානතාවය බව අපි ඔප්පු කරමු 
.
ටී.ට. 
සහ දී 
අසමානතාවයක් ඇත 
හිදී 
,
එවිට අපට එය ලැබේ 
. ඉතින්, උපකල්පනයේ ඇත්ත n=කේ+1 එය සත්ය වේ යන උපකල්පනයෙන් අනුගමනය කරයි n=කේ,
.
pp වෙතින්. 1 සහ 2, අසම්පූර්ණ ගණිතමය ප්රේරණයේ මූලධර්මය මත පදනම්ව, අසමානතාවය අනුගමනය කරයි 
සෑම ස්වභාවික සඳහාම සත්ය 
.
■
උදාහරණයක්6.7.
ඕනෑම ස්වාභාවික අංකයක් සඳහා එය ඔප්පු කරන්න nඅවකලනය සූත්රය වලංගු වේ 
.
විසඳුමක්.හිදී n=1 මෙම සූත්‍රයට පෝරමය ඇත 
, හෝ 1=1, එනම් එය සත්යයකි. ප්රේරක උපකල්පනය කරමින්, අපට ඇත්තේ:
Q.E.D. ■
උදාහරණයක්6.8.
කට්ටලය සමන්විත බව ඔප්පු කරන්න nමූලද්රව්ය, ඇත 
උප කුලක.
විසඳුමක්.එක් මූලද්රව්යයක් සහිත කට්ටලයක් ඒ, උප කුලක දෙකක් ඇත. මෙය සත්ය වන්නේ එහි සියලුම උප කුලක හිස් කට්ටලය සහ කට්ටලයම වන අතර 2 1 =2 වන බැවිනි.
ඕනෑම කට්ටලයක් යැයි අපි උපකල්පනය කරමු nමූලද්රව්ය ඇත 
උප කුලක. A කට්ටලය සමන්විත වන්නේ නම් n+1 මූලද්රව්ය, එවිට අපි එහි එක් අංගයක් සවි කරමු - එය දක්වන්න ඈ, සහ සියලුම උප කුලක පන්ති දෙකකට බෙදන්න - අඩංගු නොවේ ඈසහ අඩංගු ඈ. පළමු පන්තියේ සියලුම උප කුලක, මූලද්රව්ය ඉවත් කිරීමෙන් A වෙතින් ලබාගත් B කාණ්ඩයේ උප කුලක වේ ඈ.
B කට්ටලය සමන්විත වේ nමූලද්රව්ය, සහ එම නිසා, induction කල්පිතය මගින්, එය ඇත 
උප කුලක, එසේ පළමු පන්තියේ 
උප කුලක.
නමුත් දෙවන පන්තියේ එකම උප කුලක සංඛ්යාවක් ඇත: ඒ සෑම එකක්ම හරියටම පළමු පන්තියේ එක් උප කුලකයකින් මූලද්‍රව්‍යය එකතු කිරීමෙන් ලබා ගනී. ඈ. එබැවින්, සමස්තයක් වශයෙන්, කට්ටලය A 
උප කුලක.
මේ අනුව ප්රකාශය සනාථ වේ. එය මූලද්රව්ය 0 කින් සමන්විත - හිස් කට්ටලයක් සඳහා ද වලංගු බව සලකන්න: එයට තනි උප කුලකයක් ඇත - එයම, සහ 2 0 =1. ■
සෑම විටම සැබෑ දැනුම පදනම් වූයේ රටාවක් ස්ථාපිත කිරීම සහ යම් යම් තත්වයන් තුළ එහි සත්යතාව ඔප්පු කිරීම මත ය. තාර්කික තර්කයේ පැවැත්මේ මෙතරම් දිගු කාලයක් සඳහා, නීති සම්පාදනය කරන ලද අතර, ඇරිස්ටෝටල් "නිවැරදි තර්ක" ලැයිස්තුවක් පවා සම්පාදනය කළේය. ඓතිහාසික වශයෙන්, සියලු නිගමන වර්ග දෙකකට බෙදීම සිරිතකි - කොන්ක්රීට් සිට බහු වචන (ප්රේරණය) සහ අනෙක් අතට (අඩු කිරීම). විශේෂයෙන් සාමාන්‍යයට සහ සාමාන්‍යයෙන් විශේෂයට සාක්ෂි වර්ග පවතින්නේ අන්තර් සම්බන්ධතාව තුළ පමණක් වන අතර ඒවා එකිනෙකට හුවමාරු කළ නොහැකි බව සටහන් කළ යුතුය.
ගණිතයේ ප්රේරණය
"induction" (induction) යන පදයට ලතින් මූලයන් ඇති අතර වචනාර්ථයෙන් "මාර්ගෝපදේශය" ලෙස පරිවර්තනය වේ. සමීපව විමසා බැලීමේදී, කෙනෙකුට වචනයේ ව්‍යුහය වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය, එනම් ලතින් උපසර්ගය - in- (ඇතුළතට යොමු කරන ලද ක්‍රියාවක් හෝ ඇතුළත වීම දක්වයි) සහ -duction - හැඳින්වීම. වර්ග දෙකක් ඇති බව සඳහන් කිරීම වටී - සම්පූර්ණ සහ අසම්පූර්ණ ප්රේරණය. සම්පූර්ණ ආකෘතියකිසියම් පන්තියක සියලුම විෂයයන් අධ්යයනය කිරීමේ පදනම මත කරන ලද නිගමන සංලක්ෂිත කරන්න.
අසම්පූර්ණ - නිගමන පන්තියේ සියලුම විෂයයන් සඳහා අදාළ වන නමුත් සමහර ඒකක පමණක් අධ්යයනය කිරීමේ පදනම මත සාදන ලදී.
සම්පූර්ණ ගණිතමය ප්රේරණය යනු මෙම ක්‍රියාකාරී සම්බන්ධතාවය පිළිබඳ දැනුම මත පදනම්ව ස්වාභාවික සංඛ්යා ශ්‍රේණියේ සම්බන්ධතා මගින් ක්‍රියාකාරීව සම්බන්ධ වන ඕනෑම වස්තුවක සමස්ත පන්තිය පිළිබඳ සාමාන්ය නිගමනයක් මත පදනම් වූ නිගමනයකි. මෙම අවස්ථාවේදී, සාධනය කිරීමේ ක්රියාවලිය අදියර තුනකින් සිදු වේ:
- පළමු අදියරේදී, ගණිතමය ප්රේරණය පිළිබඳ ප්රකාශයේ නිවැරදි බව ඔප්පු වේ. උදාහරණය: f = 1, induction;
- මීළඟ අදියර පදනම් වන්නේ සියලුම ස්වාභාවික සංඛ්යා සඳහා පිහිටීම වලංගු වේ යන උපකල්පනය මතය. එනම්, f=h, මෙය ප්රේරක උපකල්පනයයි;
- තුන්වන අදියරේදී, පෙර ඡේදයේ පිහිටුමේ නිවැරදි බව මත පදනම්ව f=h+1 අංකය සඳහා පිහිටුමේ වලංගුභාවය ඔප්පු වේ - මෙය ප්රේරක සංක්‍රාන්තියක් හෝ ගණිතමය ප්රේරණයේ පියවරකි. උදාහරණයක් ලෙස පේළියේ පළමු අස්ථිය වැටේ නම් (පදනම) නම්, පේළියේ ඇති සියලුම අස්ථි වැටේ (සංක්‍රාන්තිය).
විහිළුවට වගේම බරපතළ විදියට
සංජානනයේ පහසුව සඳහා, ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය මගින් විසඳුම් සඳහා උදාහරණ විහිළු ගැටළු ස්වරූපයෙන් හෙළා දකී. ආචාරශීලී පෝලිම් කාර්යය මෙයයි:
- හැසිරීමේ නීති රීති මගින් පිරිමියෙකුට කාන්තාවක් ඉදිරිපිට හැරීමක් තහනම් කරයි (එවැනි තත්වයක් තුළ, ඇය ඉදිරියෙන් ඉඩ දෙනු ලැබේ). මෙම ප්රකාශය මත පදනම්ව, පේළියේ අවසාන පුද්ගලයා පිරිමියෙකු නම්, ඉතිරි සියල්ල පිරිමි වේ.
ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමයේ කැපී පෙනෙන උදාහරණයක් වන්නේ "මාන රහිත පියාසැරිය" ගැටළුවයි:
- කුඩා බස් රථයට ඕනෑම පිරිසක් ගැළපෙන බව ඔප්පු කිරීමට අවශ්ය වේ. එක් පුද්ගලයෙකුට අපහසුවකින් තොරව (පදනම) ප්රවාහනය ඇතුළත සවි කළ හැකි බව සත්යයකි. නමුත් කුඩා බස් රථය කෙතරම් පිරී තිබුණත්, මගීන් 1 දෙනෙකු සෑම විටම එයට ගැලපේ (induction step).
හුරුපුරුදු කව
ගණිතමය ප්රේරණය මගින් ගැටළු සහ සමීකරණ විසඳීමේ උදාහරණ ඉතා සුලභ වේ. මෙම ප්‍රවේශයේ නිදර්ශනයක් ලෙස අපට පහත ගැටලුව සලකා බැලිය හැක.
තත්ත්වය: h කවයන් ගුවන් යානය මත තබා ඇත. රූපවල ඕනෑම සැකැස්මක් සඳහා, ඔවුන් විසින් සාදන ලද සිතියම වර්ණ දෙකකින් නිවැරදිව වර්ණ ගැන්විය හැකි බව ඔප්පු කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්: h=1 සඳහා ප්රකාශයේ සත්යය පැහැදිලිය, එබැවින් සාධනය h+1 කව ගණන සඳහා ගොඩනගනු ඇත.
ඕනෑම සිතියමක් සඳහා ප්රකාශය සත්ය යැයි අපි උපකල්පනය කරමු, සහ ගුවන් යානයේ h + 1 කව ලබා දී ඇත. වෙතින් ඉවත් කිරීම සමස්තකව වලින් එකක්, ඔබට වර්ණ දෙකකින් (කළු සහ සුදු) නිවැරදිව වර්ණ ගැන්වූ සිතියමක් ලබා ගත හැකිය.
මකා දැමූ කවයක් ප්රතිෂ්ඨාපනය කරන විට, එක් එක් ප්රදේශයෙහි වර්ණය ප්රතිවිරුද්ධ ලෙස වෙනස් වේ (මෙම අවස්ථාවේදී, රවුම ඇතුළත). එය ඔප්පු කිරීමට අවශ්ය වූ වර්ණ දෙකකින් නිවැරදිව වර්ණ ගැන්වූ සිතියමක් බවට පත් කරයි.
ස්වාභාවික සංඛ්යා සමඟ උදාහරණ
ගණිතමය ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමයේ යෙදුම පැහැදිලිව පහත දැක්වේ.
විසඳුම් උදාහරණ:
ඕනෑම h සඳහා සමානාත්මතාවය නිවැරදි බව ඔප්පු කරන්න:
1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.
1. h=1 කරමු, පසුව:
R 1 \u003d 1 2 \u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \u003d 1
h=1 සඳහා ප්රකාශය නිවැරදි බව මෙයින් කියවේ.
2. h=d යැයි උපකල්පනය කළහොත් පහත සමීකරණය ලැබේ.
R 1 \u003d d 2 \u003d d (d + 1) (2d + 1) / 6 \u003d 1
3. h=d+1 යැයි උපකල්පනය කළහොත්, එය සිදු වන්නේ:
R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6
R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=
(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.
මේ අනුව, h=d+1 සඳහා සමානාත්මතාවයේ වලංගු භාවය ඔප්පු වී ඇත, එබැවින් ගණිතමය ප්රේරණය මගින් විසඳුම් උදාහරණයේ දැක්වෙන ඕනෑම ස්වාභාවික සංඛ්යාවක් සඳහා ප්රකාශය සත්ය වේ.
කාර්යයක්
තත්ත්වය: h හි ඕනෑම අගයක් සඳහා, 7 h -1 ප්‍රකාශනය ඉතිරියකින් තොරව 6 න් බෙදිය හැකි බවට සාක්ෂි අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්:
1. අපි h=1 කියමු, මෙම අවස්ථාවේදී:
R 1 \u003d 7 1 -1 \u003d 6 (එනම් ඉතිරියක් නොමැතිව 6 න් බෙදීම)
එබැවින්, h=1 සඳහා ප්රකාශය සත්ය වේ;
2. h=d සහ 7 d -1 ඉතිරියක් නොමැතිව 6 න් බෙදිය හැකිය;
3. h=d+1 සඳහා වන ප්රකාශයේ වලංගුභාවය පිළිබඳ සාක්ෂිය සූත්‍රයයි:
R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6
හිදී මෙම නඩුවපළමු පදය පළමු ඡේදයේ උපකල්පනය අනුව 6 න් බෙදිය හැකි අතර දෙවන පදය 6 ට සමාන වේ. ඕනෑම ස්වභාවික h සඳහා ඉතිරියක් නොමැතිව h 7 -1 6 න් බෙදිය හැකි බව ප්රකාශය සත්ය වේ.
විනිශ්චයේ වැරදි
බොහෝ විට, භාවිතා කරන තාර්කික ඉදිකිරීම් වල සාවද්‍ය භාවය හේතුවෙන්, සාක්ෂි වලදී වැරදි තර්ක භාවිතා වේ. මූලික වශයෙන්, මෙය සිදු වන්නේ සාක්ෂියේ ව්‍යුහය සහ තර්කනය උල්ලංඝනය වන විටය. වැරදි තර්කනය සඳහා උදාහරණයක් පහත නිදර්ශනයයි.
කාර්යයක්
තත්ත්වය: ඕනෑම ගල් ගොඩක් ගොඩක් නොවන බවට සාක්ෂියක් අවශ්ය වේ.
විසඳුමක්:
1. අපි කියමු h=1, මෙහි දී ගොඩේ ගල් 1 ක් ඇති අතර ප්රකාශය සත්ය (පදනම්);
2. h=d සඳහා ගල් ගොඩක් නොවන බව සත්ය වේවා (උපකල්පනය);
3. h=d+1 ට ඉඩ දෙන්න, එයින් කියවෙන්නේ තවත් එක ගලක් එකතු කළ විට එම කට්ටලය ගොඩක් නොවන බවයි. නිගමනය සියලු ස්වභාවික h සඳහා උපකල්පනය වලංගු බව යෝජනා කරයි.
දෝෂය පවතින්නේ ගල් ගොඩවල් කීයක් සෑදී ඇත්ද යන්න පිළිබඳ අර්ථ දැක්වීමක් නොමැති වීමයි. එවැනි අතපසුවීමක් ගණිතමය ප්රේරණයේ ක්‍රමයේදී ඉක්මන් සාමාන්‍යකරණය ලෙස හැඳින්වේ. උදාහරණයක් මෙය පැහැදිලිව පෙන්නුම් කරයි.
ප්රේරණය සහ තර්කයේ නීති
ඓතිහාසික වශයෙන්, ඔවුන් සෑම විටම "අත්වැල් බැඳගෙන ගමන් කරයි." එබඳු විද්යාත්මක විෂයයන්තර්කය මෙන්, දර්ශනය ඒවා ප්රතිවිරුද්ධ ලෙස විස්තර කරයි.
තාර්කික නීතියේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, කරුණු මත රඳා පැවැත්ම ප්රේරක නිර්වචනවල දක්නට ලැබෙන අතර, පරිශ්රයේ සත්යතාව ප්රතිඵල ප්රකාශයේ නිවැරදි බව තීරණය නොවේ. බොහෝ විට නිගමන ලබා ගන්නේ යම් සම්භාවිතාවක් සහ විශ්වසනීයත්වයක් සමඟ වන අතර, එය අතිරේක පර්යේෂණ මගින් සත්‍යාපනය කර තහවුරු කළ යුතුය. තර්කනයේ ප්රේරණය පිළිබඳ උදාහරණයක් ප්රකාශය වනු ඇත:
එස්තෝනියාවේ නියඟය, ලැට්වියාවේ නියඟය, ලිතුවේනියාවේ නියඟය.
එස්තෝනියාව, ලැට්වියාව සහ ලිතුවේනියාව බෝල්ටික් රාජ්‍යයන් වේ. සියලුම බෝල්ටික් ප්රාන්තවල නියඟය.
උදාහරණයෙන්, ප්රේරක ක්රමය භාවිතයෙන් නව තොරතුරු හෝ සත්යය ලබා ගත නොහැකි බව අපට නිගමනය කළ හැකිය. ගණන් කළ හැක්කේ නිගමනවල යම් යම් සත්‍යතාවක් පමණි. එපමණක් නොව, පරිශ්රයේ සත්යය එකම නිගමන සහතික නොවේ. කෙසේ වෙතත්, මෙම කරුණෙන් අදහස් කරන්නේ අඩුකිරීමේ ගෙවත්තේ induction vegetates බව නොවේ: ප්රතිපාදන සහ විද්යාත්මක නීති විශාල සංඛ්යාවක් ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කර තහවුරු කර ඇත. ගණිතය, ජීව විද්‍යාව සහ වෙනත් විද්‍යාවන් උදාහරණයක් ලෙස ගත හැකිය. මෙය ප්රධාන වශයෙන් සම්පූර්ණ ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය නිසා වේ, නමුත් සමහර අවස්ථාවල අර්ධ වශයෙන් ද අදාළ වේ.
ප්රේරණයේ ගෞරවනීය යුගය එය මානව ක්‍රියාකාරකම්වල සෑම අංශයකටම පාහේ විනිවිද යාමට ඉඩ දුන්නේය - මෙය විද්‍යාව, ආර්ථික විද්‍යාව සහ එදිනෙදා නිගමන වේ.
විද්යාත්මක පරිසරය තුළ ප්රේරණය
ප්රේරණය කිරීමේ ක්‍රමයට සූක්ෂම ආකල්පයක් අවශ්ය වේ, මන්ද බොහෝ දේ සමස්තයේ අධ්යයනය කරන ලද තොරතුරු ගණන මත රඳා පවතී: අධ්යයනය කරන ලද සංඛ්යාව විශාල වන තරමට ප්‍රති result ලය වඩාත් විශ්වාසදායකය. මෙම ලක්ෂණය මත පදනම්ව, ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය මගින් ලබාගත් විද්යාත්මක නීති, හැකි සියලුම ව්‍යුහාත්මක මූලද්රව්ය, සම්බන්ධතා සහ බලපෑම් හුදකලා කිරීම සහ අධ්යයනය කිරීම සඳහා සම්භාවිතා උපකල්පන මට්ටමින් ප්රමාණවත් තරම් දිගු කාලයක් පරීක්ෂා කරනු ලැබේ.
විද්‍යාවේදී induction නිගමනයසැලකිය යුතු ලක්ෂණ මත පදනම්ව, අහඹු ප්රතිපාදන හැර. විද්යාත්මක දැනුමේ විශේෂතා සම්බන්ධයෙන් මෙම කරුණ වැදගත් වේ. විද්‍යාවේ ප්රේරණය පිළිබඳ උදාහරණවලින් මෙය පැහැදිලිව දැකගත හැකිය.
induction වර්ග දෙකක් ඇත විද්යාත්මක ලෝකය(අධ්‍යයන ක්රමය සම්බන්ධයෙන්):
- induction-select (හෝ තෝරා ගැනීම);
- induction - බැහැර කිරීම (ඉවත් කිරීම).
පළමු වර්ගය එහි විවිධ ප්‍රදේශවලින් පන්තියක (උපපංති) ක්‍රමානුකූල (සුක්ෂම) නියැදීම මගින් වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය.
මෙම ආකාරයේ ප්රේරණය සඳහා උදාහරණයක් පහත පරිදි වේ: රිදී (හෝ රිදී ලවණ) ජලය පිරිසිදු කරයි. නිගමනය දිගුකාලීන නිරීක්ෂණ මත පදනම් වේ (තහවුරු කිරීම් සහ ප්රතික්ෂේප කිරීම් තෝරාගැනීම - තේරීම).
දෙවන වර්ගයේ ප්රේරණය පදනම් වන්නේ නිගමන ස්ථාපිත කිරීම මත ය හේතුවසහ එහි ගුණාංගවලට නොගැලපෙන තත්වයන් හැර, එනම්, විශ්වීයත්වය, තාවකාලික අනුපිළිවෙල පිළිපැදීම, අවශ්යතාවය සහ නොපැහැදිලි බව.
දර්ශනයේ ආස්ථානයෙන් ප්රේරණය සහ අඩු කිරීම
ඔබ ඓතිහාසික අතීතාවර්ජනය දෙස බැලුවහොත්, "ප්රේරණය" යන යෙදුම මුලින්ම සඳහන් කළේ සොක්රටීස් විසිනි. ඇරිස්ටෝටල් වඩාත් ආසන්න පාරිභාෂික ශබ්දකෝෂයක දර්ශනයේ ප්රේරණය පිළිබඳ උදාහරණ විස්තර කළ නමුත් අසම්පූර්ණ ප්රේරණය පිළිබඳ ප්‍රශ්නය විවෘතව පවතී. ඇරිස්ටෝටලීය සිල්පදයේ පීඩාවෙන් පසුව, ප්රේරක ක්රමය ඵලදායි සහ ස්වාභාවික විද්‍යාවේ ඇති එකම ක්රමය ලෙස පිළිගැනීමට පටන් ගත්තේය. බේකන් ස්වාධීන විශේෂ ක්රමයක් ලෙස ප්රේරණයේ පියා ලෙස සැලකේ, නමුත් ඔහුගේ සමකාලීනයන් ඉල්ලා සිටි පරිදි අඩු කිරීමේ ක්‍රමයෙන් ප්රේරණය වෙන් කිරීමට ඔහු අසමත් විය.
ප්රේරණය තවදුරටත් වර්ධනය කිරීම J. Mill විසින් සිදු කරන ලද අතර, ඔහු ප්රේරක න්යාය ප්රධාන ක්‍රම හතරේ ආස්ථානයෙන් සලකා බලන ලදී: ගිවිසුම, වෙනස, අවශේෂ සහ අනුරූප වෙනස්කම්. අද ලැයිස්තුගත ක්‍රම විස්තරාත්මකව සලකා බැලූ විට අඩු කිරීම පුදුමයක් නොවේ.
බේකන් සහ මිල්ගේ න්‍යායන්වල අසාර්ථකත්වය පිළිබඳ අවබෝධය විද්යාඥයින් ප්රේරණයේ සම්භාවිතා පදනම විමර්ශනය කිරීමට හේතු විය. කෙසේ වෙතත්, මෙහි පවා සමහර අන්තයන් තිබුණි: සම්භාවිතාව පිළිබඳ න්‍යායට ප්රේරණය අඩු කිරීමට උත්සාහ කරන ලදී, පසුව ඇති වූ සියලු ප්‍රතිවිපාක සමඟ.
ප්‍රේරණයට විශ්වාසභංගයක් ලැබෙන විට ප්රායෝගික යෙදුමසමහර විෂය ක්ෂේත්‍රවල සහ ප්රේරක පදනමේ මෙට්‍රික් නිරවද්‍යතාවයට ස්තුතිවන්ත වන්න. දර්ශනයේ induction සහ deduction පිළිබඳ උදාහරණයක් විශ්ව ගුරුත්වාකර්ෂණ නියමය ලෙස සැලකිය හැකිය. නීතිය සොයාගත් දිනයේදී නිව්ටන්ට එය සියයට 4ක නිරවද්‍යතාවයකින් සත්‍යාපනය කිරීමට හැකි විය. වසර දෙසීයකට වැඩි කාලයකට පසු පරීක්ෂා කිරීමේදී, එම ප්රේරක සාමාන්‍යකරණයන් මගින් චෙක්පත සිදු කළද, නිරවද්‍යතාවය සියයට 0.0001 ක නිරවද්‍යතාවයකින් තහවුරු විය.
නූතන දර්ශනය වැඩි අවධානයක්අඩු කිරීම් ගෙවයි, එය දැනටමත් දන්නා දේවලින් නව දැනුම (හෝ සත්යය) ලබා ගැනීමට තාර්කික ආශාවක් මගින් නියම කරනු ලැබේ, අත්දැකීම්, බුද්ධිය භාවිතා නොකර, නමුත් “පිරිසිදු” තර්කනය භාවිතා කරයි. අඩු කිරීමේ ක්රමයේ සත්ය පරිශ්‍රයන් වෙත යොමු කරන විට, සෑම අවස්ථාවකදීම, ප්‍රතිදානය සත්ය ප්‍රකාශයකි.
මෙය ඉතා වැදගත් ලක්ෂණයවටිනාකම යටපත් නොකළ යුතුය ප්රේරක ක්රමය. ප්රේරණය, අත්දැකීම්වල ජයග්‍රහණ මත පදනම්ව, එය සැකසීමේ මාධ්‍යයක් බවට පත්වන බැවින් (සාමාන්‍යකරණය සහ ක්‍රමවත් කිරීම ඇතුළුව).
ආර්ථික විද්‍යාවේ ප්රේරණය යෙදීම
ප්රේරණය සහ අඩු කිරීම ආර්ථිකය අධ්යයනය කිරීමේ සහ එහි සංවර්ධනය පුරෝකථනය කිරීමේ ක්‍රම ලෙස දිගු කලක් තිස්සේ භාවිතා කර ඇත.
ප්රේරක ක්රමය භාවිතා කිරීමේ පරාසය තරමක් පුළුල් ය: පුරෝකථන දර්ශක (ලාභය, ක්ෂයවීම් ආදිය) ඉටු කිරීම පිළිබඳ අධ්යයනය සහ සමස්ත ලකුණුව්යවසායයේ තත්වය; කරුණු සහ ඒවායේ සම්බන්ධතා මත ඵලදායී ව්‍යවසාය ප්‍රවර්ධන ප්‍රතිපත්තියක් සැකසීම.
ප්රේරණය කිරීමේ ක්‍රමයම Shewhart හි ප්‍රස්ථාරවල භාවිතා වේ, එහිදී, ක්‍රියාවලි පාලනය කළ සහ කළමනාකරණය නොකළ ලෙස බෙදා ඇත යන උපකල්පනය යටතේ, පාලිත ක්රියාවලියේ රාමුව අක්‍රිය බව සඳහන් වේ.
විද්යාත්මක නීති ප්රේරණය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කරමින් යුක්ති සහගත සහ තහවුරු කර ඇති අතර ආර්ථික විද්‍යාව බොහෝ විට භාවිතා කරන විද්‍යාවක් බැවින් එය සටහන් කළ යුතුය. ගණිතමය විශ්ලේෂණය, අවදානම් න්යාය සහ සංඛ්‍යාන දත්ත, එවිට ප්රේරණය මූලික ක්‍රම ලැයිස්තුවට ඇතුළත් වීම පුදුමයක් නොවේ.
පහත දැක්වෙන තත්ත්වය ආර්ථික විද්‍යාවේ ප්රේරණය සහ අඩු කිරීම පිළිබඳ උදාහරණයක් ලෙස දැක්විය හැක. ආහාර (පාරිභෝගික කූඩයෙන්) සහ අත්‍යවශ්‍ය භාණ්ඩවල මිල ඉහළ යාම, ප්‍රාන්තයේ (induction) නැගී එන අධික පිරිවැය ගැන සිතන්නට පාරිභෝගිකයා තල්ලු කරයි. ඒ සමගම, උපකාරයෙන් අධික පිරිවැය යන කාරණයෙන් ගණිතමය ක්රමතනි භාණ්ඩ හෝ භාණ්ඩ වර්ග (අඩු කිරීම) සඳහා මිල වර්ධනය පිළිබඳ දර්ශක ලබා ගත හැකිය.
බොහෝ විට, කළමනාකරණ පුද්ගලයින්, කළමනාකරුවන් සහ ආර්ථික විද්යාඥයින් ප්රේරක ක්රමය වෙත හැරේ. ව්‍යවසායක සංවර්ධනය, වෙළඳපල හැසිරීම සහ තරඟකාරීත්වයේ ප්‍රතිවිපාක ප්රමාණවත් සත්‍යතාවයකින් පුරෝකථනය කිරීමට හැකි වීම සඳහා, තොරතුරු විශ්ලේෂණය සහ සැකසීම සඳහා ප්රේරක-අඩු කිරීමේ ප්‍රවේශයක් අවශ්ය වේ.
ව්‍යාජ විනිශ්චයන් වෙත යොමු කරමින් ආර්ථික විද්‍යාවේ ප්රේරණය පිළිබඳ නිදර්ශන උදාහරණයක්:
- සමාගමේ ලාභය 30% කින් අඩු විය;
තරඟකරුවෙකු තම නිෂ්පාදන පෙළ පුළුල් කර ඇත;
වෙන කිසිවක් වෙනස් වී නැත; - තරඟකාරී සමාගමක නිෂ්පාදන ප්‍රතිපත්තිය 30% ක ලාභ කප්පාදුවක් ඇති කළේය;
- එබැවින් එම නිෂ්පාදන ප්‍රතිපත්තියම ක්‍රියාත්මක කළ යුතුය.
ප්රේරක ක්රමය අකාර්යක්ෂම ලෙස භාවිතා කිරීම ව්‍යවසායක විනාශයට දායක වන ආකාරය පිළිබඳ වර්ණවත් නිදර්ශනයක් උදාහරණයකි.
මනෝවිද්යාව තුළ අඩු කිරීම සහ ප්රේරණය
ක්රමයක් ඇති බැවින්, තර්කානුකූලව, නිසි ලෙස සංවිධානය වූ චින්තනයක් (ක්රමවේදය භාවිතා කිරීම සඳහා) ද ඇත. අධ්යයනය කරන විද්‍යාවක් ලෙස මනෝවිද්යාව මානසික ක්රියාවලීන්, ඔවුන්ගේ ගොඩනැගීම, සංවර්ධනය, සබඳතා, අන්තර්ක්‍රියා, අඩුකිරීම් සහ ප්රේරණය ප්රකාශ කිරීමේ එක් ආකාරයක් ලෙස "අඩු කිරීමේ" චින්තනය කෙරෙහි අවධානය යොමු කරයි. අවාසනාවකට මෙන්, අන්තර්ජාලයේ මනෝවිද්යාව පිටු මත, අඩු කිරීමේ-ප්රේරක ක්රමයේ අඛණ්ඩතාව සඳහා ප්රායෝගිකව කිසිදු සාධාරණීකරණයක් නොමැත. වෘත්තීය මනෝවිද්යාඥයින් ප්රේරණයේ ප්‍රකාශනයන් හෝ ඒ වෙනුවට වැරදි නිගමනවලට මුහුණ දීමට වැඩි ඉඩක් තිබුණද.
වැරදි විනිශ්චයන් පිළිබඳ නිදර්ශනයක් ලෙස මනෝවිද්‍යාවේ ප්රේරණය පිළිබඳ උදාහරණයක් වන්නේ ප්‍රකාශයයි: මගේ මව රැවටිලිකාරයෙකි, එබැවින් සියලුම කාන්තාවන් රැවටිලිකාරයන් වේ. ජීවිතයෙන් පෙළඹවීම පිළිබඳ ඊටත් වඩා “වැරදි” උදාහරණ තිබේ:
- ශිෂ්‍යයෙකුට ගණිතය පිළිබඳ ඩියුස් ලැබුනේ නම් කිසිවක් කිරීමට හැකියාවක් නැත;
- ඔහු මෝඩයෙකි;
- ඔහු බුද්ධිමත් ය;
- මට හැම දෙයක්ම කරන්න පුළුවන්;
සහ පරම අහඹු සහ සමහර විට නොවැදගත් පණිවිඩ මත පදනම් වූ තවත් බොහෝ වටිනාකම් විනිශ්චයන්.
එය සටහන් කළ යුතු ය: පුද්ගලයෙකුගේ විනිශ්චයන්හි වරදවා වටහාගැනීම් විකාරයක් කරා ළඟා වූ විට, මනෝචිකිත්සකයා සඳහා වැඩ පෙරමුණක් දිස්වේ. විශේෂඥ හමුවීමකදී ප්රේරණය පිළිබඳ එක් උදාහරණයක්:
“රතු පැහැය ඕනෑම ප්‍රකාශනයකදී ඔහුට අනතුරක් පමණක් ගෙන එන බව රෝගියාට නියත වශයෙන්ම විශ්වාසයි. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, පුද්ගලයෙකු මෙම වර්ණ පටිපාටිය ඔහුගේ ජීවිතයෙන් බැහැර කර ඇත - හැකිතාක් දුරට. නිවසේ පරිසරය තුළ සැපපහසු ජීවිතයක් සඳහා බොහෝ අවස්ථාවන් තිබේ. ඔබට සියලුම රතු අයිතම ප්රතික්ෂේප කළ හැකිය, නැතහොත් ඒවා වෙනත් ආකාරයකින් සාදන ලද ප්‍රතිසම සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැකිය වර්ණ පරාසය. නමුත් තුළ පොදු ස්ථානවල, රැකියාවේදී, ගබඩාවේ - එය කළ නොහැකි ය. ආතතියේ තත්වයකට පත්වීම, රෝගියා සෑම අවස්ථාවකදීම සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් "වඩදිය" අත්විඳියි චිත්තවේගීය තත්වයන්එය අන් අයට අනතුරක් විය හැකිය."
ප්රේරණය පිළිබඳ මෙම උදාහරණය සහ නොදැනුවත්වම "ස්ථාවර අදහස්" ලෙස හැඳින්වේ. මානසික සෞඛ්ය සම්පන්න පුද්ගලයෙකුට මෙය සිදු වුවහොත්, මානසික ක්රියාකාරිත්වයේ සංවිධානයේ ඌනතාවයක් ගැන කතා කළ හැකිය. මූලික සංවර්ධනය උමතු තත්වයන්ගෙන් මිදීමට මාර්ගයක් බවට පත්විය හැකිය deductive චින්තනය. වෙනත් අවස්ථාවල දී, මනෝචිකිත්සකයින් එවැනි රෝගීන් සමඟ කටයුතු කරයි.
ප්රේරණය පිළිබඳ ඉහත උදාහරණවලින් පෙන්නුම් කරන්නේ "නීතිය නොදැනුවත්කම ප්‍රතිවිපාකවලින් (වැරදි විනිශ්චයන්) නිදහස් නොවේ."
මනෝවිද්යාඥයින්, අඩු කිරීමේ චින්තනයේ මාතෘකාව මත වැඩ කරමින්, මෙම ක්රමය ප්රගුණ කිරීමට මිනිසුන්ට උපකාර කිරීම සඳහා නිර්මාණය කර ඇති නිර්දේශ ලැයිස්තුවක් සම්පාදනය කර ඇත.
පළමු පියවර වන්නේ ගැටළු විසඳීමයි. දැකිය හැකි පරිදි, ගණිතයේ භාවිතා වන ප්රේරණයේ ස්වරූපය "සම්භාව්‍ය" ලෙස සැලකිය හැකි අතර, මෙම ක්රමය භාවිතා කිරීම මනසේ "විනය" සඳහා දායක වේ.
අඩු කිරීමේ චින්තනය වර්ධනය කිරීම සඳහා ඊළඟ කොන්දේසිය වන්නේ ක්ෂිතිජය පුළුල් කිරීමයි (පැහැදිලිව සිතන අය, පැහැදිලිව ප්රකාශ කරති). මෙම නිර්දේශය"දුක් විඳීම" විද්‍යාව සහ තොරතුරු (පුස්තකාල, වෙබ් අඩවි, අධ්යාපනික මුලපිරීම්, සංචාර ආදිය) භාණ්ඩාගාර වෙත යොමු කරයි.
වෙනමම, ඊනියා "මනෝවිද්යාත්මක ප්රේරණය" ගැන සඳහන් කළ යුතුය. මෙම පදය, කලාතුරකින් වුවද, අන්තර්ජාලයේ සොයාගත හැකිය. සියලුම මූලාශ්‍ර මෙම යෙදුමට අවම වශයෙන් කෙටි අර්ථ දැක්වීමක් ලබා නොදේ, නමුත් "ජීවිතයේ උදාහරණ" වෙත යොමු වන්න නව වර්ගය induction, පසුව යෝජනාව, පසුව සමහර ආකාර මානසික රෝග, මානව මනෝභාවයේ ආන්තික තත්වයන්. ඉහත සියල්ලෙන්, නිගමනය කිරීමට උත්සාහයක් බව පැහැදිලිය " නව පදය”, අසත්‍ය (බොහෝ විට අසත්‍ය) පරිශ්‍රයන් මත විශ්වාසය තැබීමෙන්, පරීක්ෂණ කරන්නාට වැරදි (හෝ ඉක්මන්) ප්‍රකාශයක් ලැබීමට සිදුවේ.
1960 අත්හදා බැලීම් පිළිබඳ සඳහන (ස්ථානය, අත්හදා බැලීම් කරන්නන්ගේ නම්, විෂයයන් නියැදිය සහ වඩාත්ම වැදගත් ලෙස, අත්හදා බැලීමේ අරමුණ සඳහන් නොකර) එය මෘදු ලෙස, ඒත්තු ගැන්වීමට නොහැකි සහ ප්රකාශය පෙනෙන බව සටහන් කළ යුතුය. සංජානනයේ සියලුම ඉන්ද්‍රියයන් මඟහරිමින් මොළය තොරතුරු වටහා ගන්නා බව (මෙම අවස්ථාවෙහි "අත්දැකීම්" යන වාක්‍ය ඛණ්ඩය වඩාත් ඓන්ද්‍රීයව ගැලපේ), ප්රකාශයේ කතුවරයාගේ මෝඩකම සහ විවේචනාත්මකභාවය ගැන යමෙකු සිතීමට සලස්වයි.
නිගමනය වෙනුවට
විද්‍යාවේ රැජින - ගණිතය, ප්රේරණය සහ අඩු කිරීමේ ක්රමයේ හැකි සියලුම සංචිත භාවිතා කරන්නේ නිෂ්ඵල නොවේ. සලකා බැලූ උදාහරණ අපට නිගමනය කිරීමට ඉඩ දෙන්නේ වඩාත් නිවැරදි හා විශ්වාසදායක ක්‍රම පවා මතුපිටින් හා අකාර්යක්ෂම (නොසැලකිලිමත් ලෙස, ඔවුන් පවසන පරිදි) යෙදීම සෑම විටම වැරදි ප්‍රතිඵලවලට තුඩු දෙන බවයි.
හිදී ස්කන්ධ විඥානයඅඩු කිරීමේ ක්රමය සුප්‍රසිද්ධ ෂර්ලොක් හෝම්ස් සමඟ සම්බන්ධ වේ, ඔහු ඔහුගේ තාර්කික ඉදිකිරීම් වලදී බොහෝ විට ප්රේරණය පිළිබඳ උදාහරණ භාවිතා කරයි, අවශ්ය අවස්ථාවන්හිදී අඩු කිරීම් භාවිතා කරයි.
මෙම ක්‍රම භාවිතා කිරීමේ උදාහරණ ලිපිය සලකා බලයි විවිධ විද්යාවන්සහ මිනිස් ජීවිතයේ අංශ.
