අන්තර්ජාලය හරහා සංකීර්ණ සංගුණක සහිත සමීකරණ පද්ධතිය. සබැඳි සමීකරණ
අධ්‍යාපනය සඳහා වන ෆෙඩරල් නියෝජිතායතනය
රාජ්ය අධ්යාපන ආයතනය
උසස් වෘත්තීය අධ්‍යාපනය
"VORONEZH රාජ්ය අධ්‍යාපනික විශ්ව විද්‍යාලය"
අග්ලේබ්‍රා සහ ජ්‍යාමිතිය පුටුව
සංකීර්ණ සංඛ්යා
(තෝරාගත් කාර්යයන්)
අවසාන සුදුසුකම් වැඩ
විශේෂත්වය 050201.65 ගණිතය
(අමතර විශේෂත්වය 050202.65 තොරතුරු සමග)
සම්පූර්ණ කළේ: 5 වසර ශිෂ්‍යයා
භෞතික හා ගණිතමය
පීඨය
විද්‍යාත්මක උපදේශක:
VORONEZH - 2008
1. හැඳින්වීම……………………………………………………………………
2. සංකීර්ණ අංක (තෝරාගත් ගැටළු)
2.1 වීජීය ආකාරයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්යා ………………………..
2.2 සංකීර්ණ සංඛ්යා වල ජ්යාමිතික විග්‍රහය.............
2.3 සංකීර්ණ සංඛ්යා වල ත්රිකෝණමිතික ආකාරය
2.4 3 වන සහ 4 වන උපාධිවල සමීකරණ විසඳුම සඳහා සංකීර්ණ සංඛ්යා පිළිබඳ න්‍යාය යෙදීම ……………………………………………………………………
2.5 සංකීර්ණ අංක සහ පරාමිති …………………………………………….
3. නිගමනය…………………………………………………….
4. යොමු ලැයිස්තුව ……………………………………………………………….
1. හැඳින්වීම
පාසල් පාඨමාලාවේ ගණිත වැඩසටහනේදී, ස්වාභාවික සංඛ්යා, පූර්ණ සංඛ්යා, තාර්කික, අතාර්කික, i.e. යන කට්ටලවල උදාහරණ භාවිතා කරමින් සංඛ්යා න්‍යාය හඳුන්වා දෙනු ලැබේ. රූප සම්පූර්ණ සංඛ්යා රේඛාව පුරවන තාත්වික සංඛ්යා කට්ටලය මත. නමුත් දැනටමත් 8 වන ශ්‍රේණියේ ප්‍රමාණවත් තරම් තාත්වික සංඛ්යා තොගයක් නොමැත, සෘණ වෙනස් කොට සැලකීමක් සහිත චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳයි. එබැවින්, තාත්වික සංඛ්යා තොගය වර්ගමූලයේ සංකීර්ණ සංඛ්යා සමඟ නැවත පිරවීම අවශ්ය විය සෘණ අංකයඅර්ථය ඇත.
මගේ උපාධි තේමාව ලෙස "සංකීර්ණ අංක" මාතෘකාව තෝරා ගැනීම සුදුසුකම් වැඩ, සංකීර්ණ සංඛ්යාවක් පිළිබඳ සංකල්පය සිසුන්ගේ දැනුම පුළුල් කරයි සංඛ්යා පද්ධති, වීජීය සහ ජ්යාමිතික යන දෙඅංශයේම පුළුල් පන්තියේ ගැටලු විසඳීම ගැන, විසඳීම ගැන වීජීය සමීකරණඕනෑම උපාධියක් සහ පරාමිතීන් සමඟ ගැටළු විසඳීම ගැන.
මෙම නිබන්ධනයේදී ගැටළු 82 ක විසඳුම සලකා බලනු ලැබේ.
"සංකීර්ණ අංක" යන ප්රධාන කොටසේ පළමු කොටසෙහි ගැටළු වලට විසඳුම් අඩංගු වේ සංකීර්ණ සංඛ්යාවීජීය ආකාරයෙන්, එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම, බෙදීම, වීජීය ස්වරූපයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්යා සඳහා සංයෝජන මෙහෙයුම, මනඃකල්පිත ඒකකයේ උපාධිය, සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක මාපාංකය අර්ථ දක්වා ඇති අතර, නිස්සාරණ රීතිය ද දක්වා ඇත. වර්ගමුලයසංකීර්ණ අංකයකින්.
දෙවන කොටසෙහි, සංකීර්ණ තලයේ ලක්ෂ්ය හෝ දෛශික ආකාරයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්යා ජ්යාමිතික අර්ථ නිරූපණය සඳහා ගැටළු විසඳා ඇත.
තුන්වන කොටස ත්රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්යා මත ක්රියා කරයි. සූත්‍ර භාවිතා වේ: De Moivre සහ සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකින් මූලයක් නිස්සාරණය කිරීම.
සිව්වන කොටස 3 වන සහ 4 වන අංශකවල සමීකරණ විසඳීම සඳහා කැප කර ඇත.
"සංකීර්ණ අංක සහ පරාමිතීන්" යන අවසාන කොටසෙහි ගැටළු විසඳීමේදී, පෙර කොටස්වල දක්වා ඇති තොරතුරු භාවිතා කර ඒකාබද්ධ කරනු ලැබේ. මෙම පරිච්ඡේදයේ ගැටළු මාලාවක් පරාමිතියක් සහිත සමීකරණ (අසමානතා) මගින් ලබා දී ඇති සංකීර්ණ තලයේ රේඛා පවුල් නිර්ණය කිරීම සඳහා කැප කර ඇත. අභ්යාසවල කොටසක දී, ඔබ පරාමිතියක් සමඟ සමීකරණ විසඳිය යුතුය (C ක්ෂේත්රයේ). සංකීර්ණ විචල්‍යයක් එකවර කොන්දේසි ගණනාවක් තෘප්තිමත් කරන කාර්යයන් තිබේ. මෙම කොටසේ ගැටළු විසඳීමේ ලක්ෂණයක් වන්නේ පරාමිතියක් සහිත අතාර්කික, ත්රිකෝණමිතික දෙවන උපාධියේ සමීකරණ (අසමානතා, පද්ධති) විසඳීමට ඒවායින් බොහොමයක් අඩු කිරීමයි.
එක් එක් කොටසෙහි ද්රව්ය ඉදිරිපත් කිරීමේ ලක්ෂණයක් වන්නේ ආරම්භක ආදානයයි න්යායික පදනම්, සහ පසුව ගැටළු විසඳීමේදී ඔවුන්ගේ ප්රායෝගික යෙදුම.
අවසානයේ දී නිබන්ධනයභාවිතා කරන ලද සාහිත්‍ය ලැයිස්තුවක් ඉදිරිපත් කෙරේ. ඒවායින් බොහොමයක් තරමක් සවිස්තරාත්මක සහ ප්රවේශ විය හැකිය. න්යායික ද්රව්ය, සමහර ගැටළු සඳහා විසඳුම් සලකා බලනු ලබන අතර ප්රායෝගික කාර්යයන් ලබා දෙනු ලැබේ ස්වාධීන විසඳුම. විශේෂ අවධානයමම වැනි මූලාශ්‍ර වෙත යොමු වීමට කැමැත්තෙමි:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. සංකීර්ණ අංක සහ ඒවායේ යෙදුම්: පෙළපොත්. . ද්රව්ය අධ්යයන මාර්ගෝපදේශයදේශන සහ ප්රායෝගික අභ්‍යාස ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කෙරේ.
2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. ප්‍රාථමික ගණිතයේ තෝරාගත් ගැටළු සහ ප්‍රමේය. අංක ගණිතය සහ වීජ ගණිතය. වීජ ගණිතය, ගණිතය සහ සංඛ්යා න්‍යාය සම්බන්ධ ගැටලු 320ක් පොතේ අඩංගුයි. ඔවුන්ගේ ස්වභාවය අනුව, මෙම කාර්යයන් සම්මත පාසල් කාර්යයන්ගෙන් සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් වේ.
2. සංකීර්ණ අංක (තෝරාගත් ගැටළු)
2.1 වීජීය ආකාරයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්යා
ගණිතයේ සහ භෞතික විද්‍යාවේ බොහෝ ගැටලු විසඳීම වීජීය සමීකරණ විසඳීමට අඩු වේ, i.e. පෝරමයේ සමීකරණ
,මෙහි a0 , a1 , ..., an යනු තාත්වික සංඛ්යා වේ. එබැවින් වීජීය සමීකරණ අධ්‍යයනය ඉන් එකකි විවේචනාත්මක ගැටළුගණිතය තුළ. උදාහරණයක් ලෙස, සෘණ වෙනස් කොට සැලකීමක් සහිත චතුරස්‍ර සමීකරණයකට සැබෑ මූලයන් නොමැත. එවැනි සරලම සමීකරණය වන්නේ සමීකරණයයි
.මෙම සමීකරණයට විසඳුමක් ලබා ගැනීමට නම්, තාත්වික සංඛ්යා සමූහයට සමීකරණයේ මුල එකතු කිරීමෙන් එය පුළුල් කිරීම අවශ්ය වේ.
.මෙම මූලය ලෙස දක්වමු
. මේ අනුව, නිර්වචනය අනුව, හෝ,ප්රතිඵලයක් වශයෙන්,
. මනඃකල්පිත ඒකකය ලෙස හැඳින්වේ. එහි ආධාරයෙන් සහ තාත්වික සංඛ්යා යුගලයක ආධාරයෙන්, ආකෘතියේ ප්රකාශනයක් සෑදී ඇත.එහි ප්රතිඵලය වූ ප්රකාශනය සංකීර්ණ සංඛ්යා ලෙස හඳුන්වනු ලැබුවේ ඒවායේ සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් දෙකම අන්තර්ගත වූ බැවිනි.
එබැවින්, සංකීර්ණ සංඛ්යා පෝරමයේ ප්රකාශන ලෙස හැඳින්වේ
, සහ තාත්වික සංඛ්යා වන අතර, කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරන යම් සංකේතයකි. සංඛ්‍යාව සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ සැබෑ කොටස ලෙස හඳුන්වන අතර එම සංඛ්‍යාව එහි මනඃකල්පිත කොටස ලෙස හැඳින්වේ. සංකේත, ඒවා නම් කිරීමට භාවිතා වේ.පෝරමයේ සංකීර්ණ අංක
තාත්වික සංඛ්යා වන අතර, එබැවින් සංකීර්ණ සංඛ්යා කුලකයේ තාත්වික සංඛ්යා කට්ටලය අඩංගු වේ. පෝරමයේ සංකීර්ණ අංක
සම්පූර්ණයෙන්ම මනඃකල්පිත ලෙස හැඳින්වේ. පෝරමයේ සංකීර්ණ සංඛ්යා දෙකක් සහ ඒවායේ සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් සමාන නම් සමාන ලෙස හැඳින්වේ, i.e. සමානාත්මතා නම්, .සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවල වීජීය අංකනය ඔබට අනුව ඒවා මත මෙහෙයුම් සිදු කිරීමට ඉඩ සලසයි සාමාන්ය නීතිවීජ ගණිතය.
සබැඳිව සමීකරණ විසඳීම සඳහා වන සේවාව ඔබට ඕනෑම සමීකරණයක් විසඳීමට උපකාරී වේ. අපගේ වෙබ් අඩවිය භාවිතා කිරීමෙන්, ඔබ සමීකරණයට පිළිතුර පමණක් නොව, බලන්න සවිස්තරාත්මක විසඳුම, එනම්, ප්රතිඵලය ලබා ගැනීමේ ක්රියාවලියේ පියවරෙන් පියවර සංදර්ශකය. උසස් පාසල් සිසුන් සඳහා අපගේ සේවාව ප්රයෝජනවත් වනු ඇත සාමාන්ය අධ්යාපන පාසල්සහ ඔවුන්ගේ දෙමාපියන්. සිසුන්ට පරීක්ෂණ, විභාග සඳහා සූදානම් වීමට, ඔවුන්ගේ දැනුම පරීක්ෂා කිරීමට සහ දෙමාපියන්ට තම දරුවන් විසින් ගණිතමය සමීකරණවල විසඳුම පාලනය කිරීමට හැකි වනු ඇත. සමීකරණ විසඳීමේ හැකියාව අනිවාර්ය අවශ්යතාවපාසල් සිසුන්ට. මෙම සේවාව ඔබට ස්වයං ඉගෙනීමට සහ ගණිතමය සමීකරණ ක්ෂේත්රයේ ඔබේ දැනුම වැඩි දියුණු කිරීමට උපකාරී වේ. එය සමඟ, ඔබට ඕනෑම සමීකරණයක් විසඳා ගත හැකිය: චතුරස්රාකාර, ඝන, අතාර්කික, ත්රිකෝණමිතික, ආදිය. මාර්ගගත සේවාවනමුත් මිල කළ නොහැකි ය, මන්ද නිවැරදි පිළිතුරට අමතරව, ඔබට එක් එක් සමීකරණයට සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් ලැබෙනු ඇත. අන්තර්ජාලය හරහා සමීකරණ විසඳීමේ ප්‍රතිලාභ. ඔබට අපගේ වෙබ් අඩවියේ ඕනෑම සමීකරණයක් නොමිලේ විසඳා ගත හැකිය. සේවාව සම්පූර්ණයෙන්ම ස්වයංක්‍රීයයි, ඔබට ඔබේ පරිගණකයේ කිසිවක් ස්ථාපනය කිරීමට අවශ්ය නැත, ඔබට දත්ත ඇතුළත් කිරීමට අවශ්ය වන අතර වැඩසටහන මඟින් විසඳුමක් නිකුත් කරනු ඇත. ඕනෑම ගණනය කිරීමේ දෝෂ හෝ මුද්‍රණ දෝෂ බැහැර කර ඇත. අප සමඟ සබැඳිව ඕනෑම සමීකරණයක් විසඳීම ඉතා පහසු වේ, එබැවින් ඕනෑම ආකාරයක සමීකරණ විසඳීමට අපගේ වෙබ් අඩවිය භාවිතා කිරීමට වග බලා ගන්න. ඔබට අවශ්ය වන්නේ දත්ත ඇතුළත් කිරීම පමණක් වන අතර ගණනය කිරීම තත්පර කිහිපයකින් අවසන් වේ. මෙම වැඩසටහන මානව මැදිහත්වීමකින් තොරව ස්වාධීනව ක්රියා කරන අතර, ඔබට නිවැරදි හා සවිස්තරාත්මක පිළිතුරක් ලැබෙනු ඇත. තුළ සමීකරණය විසඳීම සාමාන්ය දැක්ම. එවැනි සමීකරණයකදී, විචල්ය සංගුණක සහ අපේක්ෂිත මූලයන් එකිනෙකට සම්බන්ධ වේ. විචල්‍යයක ඉහළම බලය එවැනි සමීකරණයක අනුපිළිවෙල තීරණය කරයි. මේ මත පදනම්ව, සමීකරණ භාවිතය සඳහා විවිධ ක්රමසහ විසඳුම් සෙවීම සඳහා ප්‍රමේය. සමීකරණ විසඳීම මෙම වර්ගයේසාමාන්‍ය වශයෙන් අපේක්ෂිත මූලයන් සොයා ගැනීමයි. අපගේ සේවාව ඔබට අන්තර්ජාලය හරහා වඩාත් සංකීර්ණ වීජීය සමීකරණය පවා විසඳීමට ඉඩ සලසයි. ඔබ සඳහන් කළ සංගුණකවල සංඛ්‍යාත්මක අගයන් සඳහා ඔබට සමීකරණයේ සාමාන්ය විසඳුම සහ පුද්ගලික යන දෙකම ලබා ගත හැකිය. වෙබ් අඩවියේ වීජීය සමීකරණයක් විසඳීම සඳහා, ක්ෂේත්ර දෙකක් පමණක් නිවැරදිව පිරවීම ප්රමාණවත්ය: වම් සහ දකුණු කොටස් ලබා දී ඇති සමීකරණය. විචල්ය සංගුණක සහිත වීජීය සමීකරණවලට අසීමිත විසඳුම් සංඛ්යාවක් ඇති අතර, ඇතැම් කොන්දේසි සැකසීමෙන්, විසඳුම් සමූහයෙන් විශේෂිත ඒවා තෝරා ගනු ලැබේ. චතුරස්රාකාර සමීකරණය. චතුරස්‍ර සමීකරණයේ a>0 සඳහා ax^2+bx+c=0 ආකාරය ඇත. හතරැස් ආකෘතියක සමීකරණ විසඳුමෙන් අදහස් වන්නේ x හි අගයන් සොයා ගැනීමයි, එහිදී සමානාත්මතා අක්ෂය ^ 2 + bx + c \u003d 0 තෘප්තිමත් වේ. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, වෙනස්කම් කරන්නාගේ අගය D=b^2-4ac සූත්රය මගින් සොයා ගැනේ. වෙනස් කොට සැලකීම ශුන්‍යයට වඩා අඩු නම්, සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් නොමැත (මූලයන් සංකීර්ණ සංඛ්යා ක්ෂේත්‍රයෙන්), එය ශුන්‍ය නම්, සමීකරණයට එක් තාත්වික මූලයක් ඇත, සහ වෙනස් කොට සැලකීම ශුන්‍යයට වඩා වැඩි නම්, එවිට සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් දෙකක් ඇත, ඒවා සූත්රය මගින් සොයාගත හැකිය: D \u003d -b + -sqrt / 2a. මාර්ගගත චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳීම සඳහා, ඔබ එවැනි සමීකරණයක සංගුණක ඇතුළත් කළ යුතුය (සම්පූර්ණ සංඛ්යා, භාග හෝ දශම අගයන්). සමීකරණයේ අඩු කිරීමේ සලකුණු තිබේ නම්, ඔබ සමීකරණයේ අනුරූප නියමයන් ඉදිරියෙහි අඩුවක් තැබිය යුතුය. පරාමිතිය අනුව, එනම් සමීකරණයේ සංගුණකවල විචල්‍යයන් මත පදනම්ව ඔබට චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් මාර්ගගතව විසඳිය හැකිය. සොයා ගැනීම සඳහා අපගේ මාර්ගගත සේවාව පොදු විසඳුම්. රේඛීය සමීකරණ. විසඳුම් සඳහා රේඛීය සමීකරණ(හෝ සමීකරණ පද්ධති) ප්රායෝගිකව ප්රධාන ක්රම හතරක් භාවිතා වේ. එක් එක් ක්රමය විස්තරාත්මකව විස්තර කරමු. ආදේශන ක්රමය. ආදේශන ක්රමය භාවිතයෙන් සමීකරණ විසඳීම සඳහා එක් විචල්‍යයක් අනෙක් ඒවා අනුව ප්‍රකාශ කිරීම අවශ්ය වේ. ඊට පසු, ප්රකාශනය පද්ධතියේ අනෙකුත් සමීකරණවලට ආදේශ කරනු ලැබේ. එබැවින් විසඳුම් ක්‍රමයේ නම, එනම්, විචල්‍යයක් වෙනුවට, ඉතිරි විචල්‍යයන් හරහා එහි ප්රකාශනය ආදේශ කරනු ලැබේ. ප්රායෝගිකව, ක්‍රමයට සංකීර්ණ ගණනය කිරීම් අවශ්ය වේ, එය තේරුම් ගැනීමට පහසු වුවද, අන්තර්ජාලය හරහා එවැනි සමීකරණයක් විසඳීම කාලය ඉතිරි කර ගණනය කිරීම් පහසු කරයි. ඔබට අවශ්ය වන්නේ සමීකරණයේ නොදන්නා සංඛ්‍යාව සඳහන් කර රේඛීය සමීකරණ වලින් දත්ත පුරවන්න, එවිට සේවාව ගණනය කිරීම සිදු කරයි. Gauss ක්රමය. මෙම ක්රමය සමාන ත්‍රිකෝණාකාර පද්ධතියකට පැමිණීම සඳහා පද්ධතියේ සරලම පරිවර්තනයන් මත පදනම් වේ. නොදන්න දේ ඒකෙන් එක එක තීරණය වෙනවා. ප්රායෝගිකව, එවැනි සමීකරණයක් සමඟ අමුත්තන් විසඳීමට අවශ්ය වේ විස්තරාත්මක සටහන, රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා ඔබ Gauss ක්රමය හොඳින් ප්‍රගුණ කරන ස්තුතිය. රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය නිවැරදි ආකෘතියෙන් ලියා පද්ධතිය නිවැරදිව විසඳීම සඳහා නොදන්නා සංඛ්‍යාව සැලකිල්ලට ගන්න. ක්රේමර්ගේ ක්රමය. මෙම ක්රමය මඟින් පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇති අවස්ථාවන්හිදී සමීකරණ පද්ධති විසඳයි. ප්රධාන දෙය ගණිතමය ක්රියාවමෙන්න matrix determinants ගණනය කිරීම. ක්‍රේමර් ක්රමය මගින් සමීකරණ විසඳුම මාර්ගගතව සිදු කරනු ලැබේ, ඔබට සම්පූර්ණ හා සවිස්තරාත්මක විස්තරයක් සමඟ ප්‍රති result ලය ක්ෂණිකව ලැබේ. පද්ධතිය සංගුණක සමඟ පිරවීම සහ නොදන්නා විචල්ය ගණන තෝරා ගැනීම පමණක් ප්‍රමාණවත් වේ. matrix ක්රමය. මෙම ක්රමය සමන්විත වන්නේ A න්‍යාසයේ ඇති නොදන්නා සංගුණක, X තීරුවේ නොදන්නා සංගුණක සහ B තීරුවේ නිදහස් පද එකතු කිරීමෙනි. මේ අනුව, රේඛීය සමීකරණ පද්ධතිය අඩු වේ. matrix සමීකරණය AxX=B ආකෘතියෙන්. මෙම සමීකරණයට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත්තේ A න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්‍ය නොවන නම් පමණි, එසේ නොමැති නම් පද්ධතියට විසඳුම් නොමැති නම් හෝ අනන්ත විසඳුම් සංඛ්යාවක් තිබේ නම් පමණි. න්‍යාස ක්රමය මගින් සමීකරණ විසඳුම සොයා ගැනීමයි ප්රතිලෝම න්යාසයනමුත්.
සංකීර්ණ සංඛ්යා සමඟ ගැටළු විසඳීම සඳහා, ඔබ මූලික නිර්වචන තේරුම් ගත යුතුය. මෙම සමාලෝචන ලිපියේ ප්රධාන පරමාර්ථය වන්නේ සංකීර්ණ සංඛ්යා යනු කුමක්ද යන්න සහ සංකීර්ණ සංඛ්යා සමඟ මූලික ගැටළු විසඳීම සඳහා ක්රම ඉදිරිපත් කිරීමයි. මේ අනුව, සංකීර්ණ සංඛ්යාවක් යනු පෝරමයේ සංඛ්‍යාවකි z = a + bi, කොහෙද a, b- තථ්‍ය සංඛ්යා, පිළිවෙලින් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ තාත්වික සහ මනඃකල්පිත කොටස් ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර ඒවා දක්වයි a = Re(z), b=Im(z).
මමමනඃකල්පිත ඒකකය ලෙස හැඳින්වේ. i 2 \u003d -1. විශේෂයෙන්, ඕනෑම තාත්වික සංඛ්යාවක් සංකීර්ණ ලෙස සැලකිය හැකිය: a = a + 0i, a ඇත්ත කොහෙද. නම් a = 0හා b ≠ 0, එවිට අංකය සම්පූර්ණයෙන්ම මනඃකල්පිත ලෙස හැඳින්වේ.
අපි දැන් සංකීර්ණ සංඛ්යා මත මෙහෙයුම් හඳුන්වා දෙන්නෙමු.
සංකීර්ණ සංඛ්යා දෙකක් සලකා බලන්න z 1 = a 1 + b 1 iහා z 2 = a 2 + b 2 i.
සලකා බලන්න z = a + bi.
සංකීර්ණ සංඛ්යා කට්ටලය තාත්වික සංඛ්යා කුලකය දිගු කරයි, එය අනෙක් අතට තාර්කික සංඛ්යා කට්ටලය දිගු කරයි, යනාදිය. මෙම ආයෝජන දාමය රූපයේ දැකිය හැකිය: N - පූර්ණ සංඛ්යා, Z යනු පූර්ණ සංඛ්යා, Q තාර්කික, R සැබෑ, C සංකීර්ණ වේ. 
සංකීර්ණ සංඛ්යා නියෝජනය කිරීම
වීජීය අංකනය.
සංකීර්ණ අංකයක් සලකන්න z = a + bi, සංකීර්ණ සංඛ්යාවක් ලිවීමේ මෙම ක්රමය හැඳින්වේ වීජීය. අපි කලින් කොටසේ මෙම ලිවීමේ ආකාරය විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කර ඇත. බොහෝ විට පහත දැක්වෙන නිදර්ශන ඇඳීම භාවිතා කරන්න 
ත්රිකෝණමිතික ආකෘතිය.
අංකය බව රූපයෙන් පෙනේ z = a + biවෙනස් ලෙස ලිවිය හැකිය. ඒක පැහැදිලියි a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, ප්රතිඵලයක් වශයෙන් z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක තර්කය ලෙස හැඳින්වේ. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක මෙම නිරූපණය හැඳින්වේ ත්රිකෝණමිතික ආකෘතිය. අංකනය කිරීමේ ත්රිකෝණමිතික ආකාරය සමහර විට ඉතා පහසු වේ. උදාහරණයක් ලෙස, සංකීර්ණ සංඛ්යාවක් පූර්ණ සංඛ්යා බලයකට නැංවීම සඳහා එය භාවිතා කිරීම පහසුය, එනම් නම් z = rcos(φ) + rsin(φ)i, එවිට z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, මෙම සූත්රය ලෙස හැඳින්වේ De Moivre ගේ සූත්රය.
නිරූපණ ආකෘතිය.
සලකා බලන්න z = rcos(φ) + rsin(φ)iත්රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්යාවක්, අපි එය වෙනත් ආකාරයකින් ලියන්නෙමු z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, අවසාන සමානාත්මතාවය ඉයුලර් සූත්‍රයෙන් පහත දැක්වේ, එබැවින් අපට ලැබේ නව ආකෘතියසංකීර්ණ සංඛ්යා ඇතුළත් කිරීම්: z = නැවත iφ, ලෙස හැඳින්වේ නිරූපණ. සංකීර්ණ සංඛ්යාවක් බලයකට නැංවීම සඳහා මෙම අංකනය ඉතා පහසු වේ: z n = r n e inφ, මෙතන nනිඛිලයක් අවශ්ය නොවේ, නමුත් අත්තනෝමතික තාත්වික සංඛ්යාවක් විය හැක. මෙම ලිවීමේ ආකාරය බොහෝ විට ගැටළු විසඳීම සඳහා භාවිතා වේ.
ඉහළ වීජ ගණිතයේ මූලික ප්‍රමේයය
අපට x 2 + x + 1 = 0 යන චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ඇතැයි සිතන්න. පැහැදිලිවම, මෙම සමීකරණයේ වෙනස්කම් කිරීම සෘණාත්මක වන අතර එයට සැබෑ මූලයන් නොමැත, නමුත් මෙම සමීකරණයට විවිධ සංකීර්ණ මූලයන් දෙකක් ඇති බව පෙනේ. එබැවින්, ඉහළ වීජ ගණිතයේ ප්රධාන ප්‍රමේයය පවසන්නේ n උපාධියේ ඕනෑම බහුපදයකට අවම වශයෙන් එක් සංකීර්ණ මූලයක් ඇති බවයි. n උපාධියේ ඕනෑම බහුපදයකට ඒවායේ ගුණත්වය සැලකිල්ලට ගනිමින් හරියටම n සංකීර්ණ මූලයන් ඇති බව මෙයින් අනුගමනය කෙරේ. මෙම ප්‍රමේයය ගණිතයේ ඉතා වැදගත් ප්රතිඵලයක් වන අතර එය බහුලව භාවිතා වේ. මෙම ප්‍රමේයේ සරල නිගමනය නම් එකමුතුකමේ හරියටම n වෙනස් n-අංශක මූලයන් තිබීමයි.
ප්රධාන කාර්යයන් වර්ග
මෙම කොටස ප්රධාන වර්ග ආවරණය කරනු ඇත සරල කාර්යයන්සංකීර්ණ සංඛ්යා වෙත. සාම්ප්‍රදායිකව, සංකීර්ණ සංඛ්යා පිළිබඳ ගැටළු පහත කාණ්ඩවලට බෙදිය හැකිය.
- සංකීර්ණ සංඛ්යා මත සරල ගණිතමය මෙහෙයුම් සිදු කිරීම.
- සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවලින් බහුපදවල මූලයන් සොයා ගැනීම.
- සංකීර්ණ සංඛ්යා බලයකට නැංවීම.
- සංකීර්ණ සංඛ්යා වලින් මූලයන් උපුටා ගැනීම.
- වෙනත් ගැටළු විසඳීම සඳහා සංකීර්ණ සංඛ්යා යෙදීම.
දැන් මෙම ගැටළු විසඳීම සඳහා පොදු ක්රම සලකා බලන්න.
සංකීර්ණ සංඛ්යා සමඟ සරලම ගණිත ක්‍රියාකාරකම් සිදු කිරීම පළමු කොටසේ විස්තර කර ඇති නීතිවලට අනුව සිදු වේ, නමුත් සංකීර්ණ සංඛ්යා ත්රිකෝණමිතික හෝ ඝාතීය ආකාරවලින් ඉදිරිපත් කරන්නේ නම්, මෙම අවස්ථාවේ දී ඒවා වීජීය ස්වරූපයට පරිවර්තනය කර දන්නා නීතිවලට අනුව මෙහෙයුම් සිදු කළ හැකිය.
බහුපදවල මූලයන් සෙවීම සාමාන්‍යයෙන් චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් සොයා ගැනීම දක්වා පැමිණේ. අප සතුව චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ඇතැයි සිතමු, එහි වෙනස්කම් කිරීම සෘණාත්මක නොවේ නම්, එහි මූලයන් සැබෑ වන අතර ඒවා ප්රසිද්ධ සූත්‍රයකට අනුව සොයාගත හැකිය. වෙනස්කම් කරන්නා සෘණාත්මක නම්, එසේ නම් D = -1∙a 2, කොහෙද ඒයනු නිශ්චිත සංඛ්‍යාවකි, එවිට අපට වෙනස්කම් කරන්නා ආකෘතියෙන් නියෝජනය කළ හැක D = (ia) 2, ප්රතිඵලයක් වශයෙන් √D = i|a|, පසුව ඔබට භාවිතා කළ හැකිය ප්රසිද්ධ සූත්රයචතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා.
උදාහරණයක්. ඉහත වෙත නැවත යන්න චතුරස්රාකාර සමීකරණය x 2 + x + 1 = 0 .
වෙනස් කොට සැලකීම - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
දැන් අපට පහසුවෙන් මූලයන් සොයාගත හැකිය: 
සංකීර්ණ සංඛ්යා බලයකට නැංවීම ආකාර කිහිපයකින් කළ හැක. ඔබට වීජීය ස්වරූපයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්යාවක් කුඩා බලයකට (2 හෝ 3) ඉහළ නැංවීමට අවශ්ය නම්, ඔබට මෙය සෘජු ගුණ කිරීමකින් කළ හැකිය, නමුත් උපාධිය විශාල නම් (ගැටළු වලදී එය බොහෝ විට විශාල වේ), එවිට ඔබට අවශ්ය වේ මෙම අංකය ත්රිකෝණමිතික හෝ ඝාතීය ආකාරවලින් ලියන්න සහ දැනටමත් දන්නා ක්රම භාවිතා කරන්න.
උදාහරණයක්. z = 1 + i සලකා දහවන බලයට ඔසවන්න.
අපි ඝාතීය ආකාරයෙන් z ලියන්නෙමු: z = √2 e iπ/4 .
ඉන්පසු z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
අපි වීජීය ආකෘතිය වෙත ආපසු යමු: z 10 = -32i.
සංකීර්ණ සංඛ්යා වලින් මූලයන් උකහා ගැනීම ඝාතනයේ ප්රතිලෝම ක්‍රියාකාරිත්වය වේ, එබැවින් එය සමාන ආකාරයකින් සිදු කෙරේ. මූලයන් උපුටා ගැනීම සඳහා, අංකයක් ලිවීමේ ඝාතීය ස්වරූපය බොහෝ විට භාවිතා වේ.
උදාහරණයක්. එකමුතුකමේ 3 උපාධියේ සියලුම මූලයන් සොයන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි z 3 = 1 සමීකරණයේ සියලුම මූලයන් සොයා ගනිමු, අපි ඝාතීය ස්වරූපයෙන් මූලයන් සොයමු.
සමීකරණයේ ආදේශ කරන්න: r 3 e 3iφ = 1 හෝ r 3 e 3iφ = e 0 .
එබැවින්: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, එබැවින් φ = 2πk/3.
විවිධ මූලයන් φ = 0, 2π/3, 4π/3 ලබා ගනී.
එබැවින් 1 , e i2π/3 , e i4π/3 මූලයන් වේ.
හෝ වීජීය ආකාරයෙන්: 
අවසාන වර්ගයේ ගැටළු වලට විශාල ගැටළු රාශියක් ඇතුළත් වන අතර ඒවා විසඳීම සඳහා සාමාන්ය ක්රම නොමැත. එවැනි කාර්යයක් සඳහා සරල උදාහරණයක් මෙන්න:
මුදල සොයා ගන්න sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + ... + sin(nx).
මෙම ගැටලුව සැකසීම සංකීර්ණ සංඛ්යා වෙත යොමු නොවුනත්, ඔවුන්ගේ උපකාරයෙන් එය පහසුවෙන් විසඳා ගත හැකිය. එය විසඳීම සඳහා, පහත දැක්වෙන නිරූපණ භාවිතා කරනු ලැබේ: 
අපි දැන් මෙම නිරූපණය එකතුවට ආදේශ කළහොත්, ගැටළුව සාමාන්ය ජ්යාමිතික ප්‍රගතියේ සමාකලනය දක්වා අඩු වේ.
නිගමනය
සංකීර්ණ සංඛ්යා ගණිතයේ බහුලව භාවිතා වේ, මෙම සමාලෝචන ලිපියේ සංකීර්ණ සංඛ්යා පිළිබඳ මූලික මෙහෙයුම් සලකා බලන ලදී, සම්මත ගැටළු වර්ග කිහිපයක් විස්තර කර කෙටියෙන් විස්තර කරන ලදී. පොදු ක්රමඔවුන්ගේ විසඳුම්, සංකීර්ණ සංඛ්යා වල හැකියාවන් පිළිබඳ වඩාත් සවිස්තරාත්මක අධ්යයනයක් සඳහා, විශේෂිත සාහිත්යය භාවිතා කිරීම රෙකමදාරු කරනු ලැබේ.
සාහිත්යය
සමීකරණ භාවිතය අපගේ ජීවිතයේ බහුලව දක්නට ලැබේ. ඒවා බොහෝ ගණනය කිරීම්, ව්යුහයන් තැනීම සහ ක්රීඩා වල පවා භාවිතා වේ. අතීතයේ සිටම මිනිසා විසින් සමීකරණ භාවිතා කර ඇති අතර එතැන් සිට ඒවායේ භාවිතය වැඩි වී ඇත. පැහැදිලිකම සඳහා, අපි පහත ගැටළුව විසඳා ගනිමු:
\[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] නම් \ ගණනය කරන්න
පළමුවෙන්ම, එක් අංකයක් වීජීය ආකාරයෙන්, අනෙක - ත්රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් නිරූපණය වන කාරනය කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමු. එය සරල කළ යුතු අතර ඊළඟ වර්ගයේ
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
\ ප්රකාශනය පවසන්නේ, පළමුවෙන්ම, අපි Moivre සූත්‍රයට අනුව ගුණ කිරීම සහ 10 වන බලයට නැංවීම සිදු කරන බවයි. මෙම සූත්රය සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ත්රිකෝණමිතික ස්වරූපය සඳහා සකස් කරන ලදී. අපට ලැබෙන්නේ:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
ත්රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්යා ගුණ කිරීම සඳහා වන නීතිවලට අනුකූලව, අපි පහත දේ කරන්නෙමු:
අපගේ නඩුවේදී:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
\[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] කොටස නිවැරදි කරමින්, හැරීම් 4ක් "ඇඹරීමට" හැකි බව අපි නිගමනය කරමු \[(8\pi rad.):\ ]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]
පිළිතුර: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
මෙම සමීකරණය වෙනත් ආකාරයකින් විසඳිය හැකි අතර, එය 2 වන අංකය වීජීය ස්වරූපයට ගෙන ඒම දක්වා උනු, පසුව වීජීය ආකාරයෙන් ගුණ කිරීම, ප්රතිඵලය ත්රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් පරිවර්තනය කිරීම සහ Moivre සූත්රය යෙදීම:
අන්තර්ජාලය හරහා සංකීර්ණ සංඛ්යා සහිත සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳිය හැක්කේ කොතැනින්ද?
ඔබට අපගේ වෙබ් අඩවිය https: // අඩවියේ සමීකරණ පද්ධතිය විසඳා ගත හැකිය. නොමිලේ මාර්ගගත විසදුම්කරු තත්පර කිහිපයකින් ඕනෑම සංකීර්ණතාවයක සබැඳි සමීකරණයක් විසඳීමට ඔබට ඉඩ සලසයි. ඔබ කළ යුතුව ඇත්තේ ඔබේ දත්ත විසඳුමට ඇතුළු කිරීම පමණි. ඔබට වීඩියෝ උපදෙස් නැරඹිය හැකි අතර අපගේ වෙබ් අඩවියේ සමීකරණය විසඳන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගත හැකිය. ඔබට කිසියම් ප්‍රශ්නයක් ඇත්නම්, ඔබට ඒවා අපගේ Vkontakte කණ්ඩායම http://vk.com/pocketteacher වෙතින් ඇසිය හැකිය. අපගේ කණ්ඩායමට සම්බන්ධ වන්න, ඔබට උදව් කිරීමට අපි සැමවිටම සතුටු වන්නෙමු.
