Що таке в математичному числі. Математика, яка мені подобається

Число з'явилося порівняно недавно. Його іноді називають "неперовим числом" на честь винахідника логарифмів шотландського математика Джона Непера (1550-1617), проте необґрунтовано, тому що немає твердих підстав для твердження, що Непер мав про число ечітке уявлення" . Вперше позначення " еввів Леонард Ейлер (1707-1783). Він також обчислив точні 23 десяткові знаки цього числа, використавши уявлення числа еяк нескінченного числового ряду: отримане Данилом Бернули (1700-1782). "У 1873 році Ерміт довів трансцендентність числа е.Л. Ейлер отримав чудовий результат, який зв'язує числа е, p, і: . Йому належить і досягнення визначення функції для комплексних значень z, що започаткувало математичний аналіз в комплексній галузі - теорії функцій комплексного змінного ". Ейлером були отримані наступні формули: Розглядають логарифми з основи е, звані натуральними та позначаються Lnx.

Способи визначення

Число eможе бути визначено кількома способами.

Через межу:

(другий чудова межа) .

Як сума ряду:

Як однина a, для якого виконується

Як єдине додатне число a, для якого вірно

Властивості

Ця властивість грає важливу рольу рішенні диференціальних рівнянь. Так, наприклад, єдиним рішенням диференціального рівняння є функція, де c- Довільна константа.

Число eірраціонально і навіть трансцендентно. Це перше число, яке було виведено як трансцендентне спеціально, його трансцендентність було доведено лише 1873 року Шарлем Ермітом. Передбачається, що e- нормальне число, тобто ймовірність появи різних цифру його записі однакова.

Див. формула Ейлера, зокрема

Ще одна формула, яка зв'язує числа еі р, Т.зв. "інтеграл Пуассона" або "інтеграл Гауса"

Для будь-якого комплексного числа zвірні такі рівності:

Число eрозкладається в нескінченний ланцюговий дріб наступним чином:

Подання Каталана:

Історія

Це число іноді називають неперовимна честь шотландського вченого Непера, автора роботи "Опис дивовижної таблиці логарифмів" (1614). Однак ця назва не зовсім коректна, тому що у нього логарифм числа xдорівнював

Вперше константа негласно присутня у додатку до перекладу англійська мовавищезгаданої роботи Непера, опублікованому в 1618 році. Негласно, оскільки там міститься лише таблиця натуральних логарифмів, визначених з кінематичних міркувань, сама константа немає (див.: Непер).

Саму ж константу вперше обчислив швейцарський математик Бернуллі під час аналізу наступної межі:

Перше відоме використанняцієї константи, де вона позначалася літерою bзустрічається в листах Лейбніца Гюйгенсу, 1690-1691 роки.

Літера eпочав використовувати Ейлер в 1727, а першою публікацією з цією літерою була його робота "Механіка, або Наука про рух, викладена аналітично" 1736 рік. Відповідно, eзазвичай називають числом Ейлера. Хоча згодом деякі вчені використали букву c, літера eзастосовувалася найчастіше і в наші дні є стандартним позначенням.

Чому було обрано саме букву e, достеменно невідомо. Можливо, це пов'язано з тим, що з неї починається слово exponential("показовий", "експоненційний"). Інше припущення полягає в тому, що букви a, b, cі dвже досить широко використовувалися в інших цілях, та eбула першою "вільною" літерою. Неймовірно припущення, що Ейлер вибрав eяк першу букву у своєму прізвищі (нім. Euler) [джерело не вказано 334 дні] .

| Число Ейлера (Е)

e - основа натурального логарифму, математична константа, ірраціональне та трансцендентне число. Приблизно дорівнює 2,71828. Іноді число називають числом Ейлераабо числом Непера. Позначається малою латинською літерою. e».

Історія

Число e вперше з'явилося у математиці як щось незначне. Це сталося в 1618 р. У додатку до роботи Джона Непера (Napier) з логарифмів було дано таблицю натуральних логарифмів різних чисел. Однак ніхто не зрозумів, що це логарифми на підставі e , оскільки до поняття логарифму на той час така річ як основа не входила. Це зараз ми називаємо логарифмом ступінь, в який потрібно звести основу, щоб отримати потрібне число. Ми ще повернемося до цього пізніше. Таблиця в додатку швидше за все була зроблена Відред (Ougthred), хоча автор її не був вказаний. Через кілька років, у 1624 р., у математичній літературі знову з'являється e але знову-таки завуальовано. Цього року Бріггс (Briggs) дав чисельне наближення десяткового логарифму. e , але саме число e у його роботі не згадується.

Наступна поява числа e знову сумнівно. У 1647 р. Сен-Вінсент (Saint-Vincent) обчислив площу сектора гіперболи. Чи розумів він зв'язок з логарифмами, залишається тільки здогадуватися, але навіть якщо розумів, то навряд чи він міг дійти до числа. e . Лише до 1661 р. Гюйгенс (Huygens) зрозумів зв'язок між рівнобічною гіперболою та логарифмами. Він довів, що площа під графіком рівнобічної гіперболи xy = 1 рівнобічної гіперболи на проміжку від 1 до e дорівнює 1. Ця властивість робить e підставою натуральних логарифмів, але це розуміли математики на той час, проте вони повільно наближалися до цього розуміння.

Гюйгенс зробив наступний крок у 1661 р. Він визначив криву, яку назвав логарифмічною (у нашій термінології ми називатимемо її експоненційною). Це крива виду y = ka x . І знову з'являється десятковий логарифм e , що Гюйгенс знаходить з точністю до 17 десяткових цифр . Однак він виник у Гюйгенса як якась константа і не був пов'язаний з логарифмом числа (отже, знову підійшли впритул до e , але саме число e залишається невпізнаним).

У подальших роботах з логарифмів знову-таки число e не з'являється у явному вигляді. Проте вивчення логарифмів продовжується. У 1668 р. Нікола Меркатор (Nicolaus Mercator) опублікував роботу Logarithmotechniaяка містить розкладання в ряд log(1 + x) . У цій роботі Меркатор вперше використовує назву "натуральний логарифм" для логарифму на основі e . Число e явно знову не з'являється, а залишається невловимим десь осторонь.

Дивно, що число e у явному вигляді вперше виникає не у зв'язку з логарифмами, а у зв'язку з нескінченними творами. У 1683 р. Якоб Бернуллі намагається знайти

Він використовує біномну теорему для доказу того, що ця межа знаходиться між 2 і 3, і це ми можемо розглядати як перше наближення числа e . Хоча ми приймаємо це за визначення e Це перший випадок, коли число визначається як межа. Бернуллі, звичайно, не зрозумів зв'язку між своєю роботою та роботами з логарифмів.

Раніше згадувалося, що логарифми на початку вивчення ніяк не пов'язувалися з експонентами. Звичайно, з рівняння x = a t ми знаходимо, що t = log a x але це набагато пізніший спосіб сприйняття. Тут ми насправді маємо на увазі під логарифмом функцію, тоді як спочатку логарифм розглядався лише як число, що допомагало в обчисленнях. Можливо, Якоб Бернуллі першим зрозумів, що логарифмічна функція є зворотною показовою. З іншого боку, першим, хто пов'язав логарифми та ступеня, міг бути Джеймс Грегорі (Games Gregory). У 1684 р. він безперечно усвідомив зв'язок між логарифмами і ступенями, але, можливо, він був не першим.

Ми знаємо, що число e виникло у вигляді, як нині, в 1690 р. Лейбніц у листі до Гюйгенсу використовував йому позначення b . Нарешті у e з'явилося позначення (хоча воно не збігалося із сучасним), і це позначення було визнано.

У 1697 р. Йоганн Бернуллі починає вивчення показової функції та публікує Principia calculi exponentialum seu percurrentium. У цій роботі обчислюються суми різних експоненційних рядів і отримані деякі результати їх почленним інтегруванням.

Леонард Ейлер (Euler) ввів так багато математичних позначень, що не дивно, що позначення e також належить йому. Здається смішним твердження, що він використав букву e через те, що це перша буква його імені. Ймовірно, це навіть не тому, що e взято від слова “exponential”, а це наступна голосна за “a”, а Ейлер вже використовував позначення “a” у роботі. Незалежно від причини, позначення вперше з'являється у листі Ейлера Гольдбаху (Goldbach) у 1731 р. Він зробив багато відкриттів, вивчаючи e надалі, але лише 1748 р. в Introductio in Analysin infinitorumвін дав повне обґрунтування всім ідеям, пов'язаним з e . Він показав, що

Ейлер також знайшов перші 18 десяткових знаків числа e :

Щоправда, не пояснюючи, як він їх одержав. Схоже, що він вирахував це значення сам. Насправді якщо взяти близько 20 членів ряду (1), то вийде точність, яку отримав Ейлер. Серед інших цікавих результатів у його роботі наведено зв'язок між функціями синус та косинус та комплексною показовою функцією, яку Ейлер вивів із формули Муавра.

Цікаво, що Ейлер знайшов навіть розкладання числа e у безперервні дроби і навів зразки такого розкладання. Зокрема, він отримав

Ейлер не навів докази, що ці дроби так само продовжуються, проте він знав, що якби такий доказ був, то він доводив би ірраціональність. e . Справді, якби безперервний дріб для (e - 1) / 2 , Тривала так само, як у наведеному зразку, 6,10,14,18,22,26, (щоразу додаємо по 4), то вона ніколи б не перервалася, і (e-1) / 2 (а отже, і e ) не могло б бути раціональним. Очевидно, це перша спроба довести ірраціональність e .

Першим, хто вирахував досить велике числодесяткових знаків числа e , був Шенкс (Shanks) у 1854 р. Глейшер (Glaisher) показав, що перші 137 знаків, обчислені Шенксом, були вірними, проте далі знайшов помилку. Шенкс її виправив і було отримано 205 десяткових знаків числа e . Насправді потрібно близько 120 членів розкладання (1), щоб отримати 200 вірних знаків числа e .

У 1864 р. Бенджамен Пірс (Peirce) стояв біля дошки, де було написано

У своїх лекціях він міг би сказати своїм студентам: “Джентльмени, ми не маємо жодного уявлення, що б це означало, але ми можемо бути впевнені, що це означає щось дуже важливе”.

Більшість вважає, що Ейлер довів ірраціональність числа e . Однак це зробив Ерміт (Hermite) у 1873 р. Досі залишається відкритим питання, чи є число e e алгебраїчним. Останній результат у цьому напрямі - це те, що принаймні одне із чисел e e і e e 2 є трансцендентним.

Далі обчислювали наступні десяткові знаки числа e . У 1884 р. Бурман (Boorman) обчислив 346 символів числа e , У тому числі перші 187 збіглися зі знаками Шенкса, але наступні розрізнялися. У 1887 р. Адамс (Adams) вирахував 272 цифри десяткового логарифму e .

J.J.Connor, E.F.Robertson. The number e.

ЧИСЛО e
Число, приблизно дорівнює 2,718, яке часто зустрічається в математиці та природничих науках. Наприклад, при розпаді радіоактивної речовини після часу t від вихідної кількості речовини залишається частка, рівна e-kt, де k - число, що характеризує швидкість розпаду даної речовини. Зворотна величина 1/k називається середнім часом життя атома даної речовини, оскільки в середньому атом перш ніж розпастися існує протягом часу 1/k. Розмір 0,693/k називається періодом напіврозпаду радіоактивної речовини, тобто. часом, за який розпадається половина вихідної кількості речовини; число 0,693 приблизно одно loge 2, тобто. логарифму числа 2 на підставі e. Аналогічно, якщо бактерії в поживному середовищі розмножуються зі швидкістю, пропорційною їх числу зараз, то після закінчення часу t початкова кількість бактерій N перетворюється на Nekt. Згасання електричного струму I у простому контурі з послідовним з'єднанням, опором R та індуктивністю L відбувається за законом I = I0e-kt, де k = R/L, I0 - сила струму в момент часу t = 0. Аналогічні формули описують релаксацію напруг у в'язкій рідині та згасання магнітного поля. Число 1/k часто називають часом релаксації. У статистиці величина e-kt зустрічається як ймовірність того, що за час t не відбулося подій, що настають випадково із середньою частотою k подій в одиницю часу. Якщо S - сума грошей, вкладених під r відсотків із безперервним нарахуванням замість нарахування через дискретні проміжки часу, то на момент часу t початкова сума зросте до Setr/100. Причина "усюдисущості" числа e полягає в тому, що формули математичного аналізу, що містять експоненційні функції або логарифми, записуються простіше, якщо логарифми брати на підставі e, а не 10 або будь-якій іншій підставі. Наприклад, похідна від log10 x дорівнює (1/x)log10 e, тоді як похідна від loge x дорівнює просто 1/x. Аналогічно, похідна від 2x дорівнює 2xloge 2, тоді як похідна від них дорівнює просто ex. Це означає, що число e можна визначити як основу b, при якому графік функції y = logb x має в точці x = 1 дотичну з кутовим коефіцієнтом, рівним 1, або при якому крива y = bx має x = 0 дотичну з кутовим коефіцієнтом , рівним 1. Логарифми на основі e називаються "натуральними" і позначаються ln x. Іноді їх також називають "неперовими", що неправильно, тому що насправді Дж. Непер (1550-1617) винайшов логарифми з іншою основою: неперів логарифм числа x дорівнює 107 log1/e (x/107) (див. також ЛОГАРИФМ). Різні комбінації ступенів e зустрічаються в математиці настільки часто, що мають спеціальні назви. Такі, наприклад, гіперболічні функції

Графік функції y = ch x називається ланцюговою лінією; таку форму має підвішена за кінці важка нерозтяжна нитка або ланцюг. Формули Ейлера

Де i2 = -1 пов'язують число e з тригонометрією. Окремий випадок x = p призводить до знаменитого співвідношення eip + 1 = 0, що зв'язує 5 найбільш відомих у математиці чисел. При обчисленні значення e можуть бути використані деякі інші формули (найчастіше користуються першою з них):

Значення e з 15 десятковими знаками дорівнює 2,718281828459045. У 1953 було обчислено значення e з 3333 десятковими знаками. Символ e для позначення цього числа було введено в 1731 Л. Ейлер (1707-1783). Десятичне розкладання числа e неперіодично (e – ірраціональне число). Крім того, e, як і p - трансцендентне число (воно не є коренем ніякого алгебраїчного рівнянняіз раціональними коефіцієнтами). Це довів у 1873 р. Ш. Ерміт. Вперше було показано, що таке природне число, що виникає в математиці, є трансцендентним.
Див. також
МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ ;
НЕПРЕРИВНІ ДРОБИ;
ЧИСЕЛ ТЕОРІЯ;
ЧИСЛО p;
РЯДИ.

Енциклопедія Кольєра. - Відкрите суспільство. 2000 .

Дивитись що таке "ЧИСЛО e" в інших словниках:

число- Прийомкове Джерело: ГОСТ 111 90: Скло листове. Технічні умовиоригінал документа Дивись також споріднені терміни: 109. Число бетатронних коливань … Словник-довідник термінів нормативно-технічної документації

Сущ., с., упот. дуже часто Морфологія: (ні) чого? числа, чому? числу, (бачу) що? Число, чим? числом, про що? про кількість; мн. що? числа, (ні) чого? чисел, чому? числам, (бачу) що? числа, чим? числами, про що? про числа математика 1. Числом ... ... Тлумачний словник Дмитрієва

ЧИСЛО, числа, мн. числа, чисел, числам, порівн. 1. Поняття, що служить виразом кількості, те, з допомогою чого виробляється рахунок предметів і явищ (мат.). Ціле число. Дробове число. Іменоване число. Просте число. (див. простий1 в 1 знач.). Тлумачний словник Ушакова

Абстрактне, позбавлене особливого змісту позначення якогось члена деякого ряду, в якому цьому члену передує або слідує за ним якийсь ін. певний член; абстрактний індивідуальна ознака, Що відрізняє одне безліч від ... Філософська енциклопедія

Число- Число граматична категорія, що виражає кількісні характеристикипредметів думки. Граматичне число один із проявів більш загальної мовної категорії кількості (поряд з мовною мовою) поряд з лексичним проявом («лексичне… …»). Лінгвістичний енциклопедичний словник

А; мн. числа, сіл, слам; пор. 1. Одиниця рахунку, що виражає ту чи іншу кількість. Дробне, ціле, просте ч. Натуральне ч. (ціле позитивне … Енциклопедичний словник

Порівн. кількість, рахунком, питанням: скільки? і знак, що виражає кількість, цифра. Без числа; немає числа, без рахунку, багато. Постав прилади за кількістю гостей. Числа римські, арабські чи церковні. Ціле число, протип. дріб. Тлумачний словник Даля

ЧИСЛО, а, мн. числа, сіл, слам, порівн. 1. Основне поняття математики величина, за допомогою якої виробляється рахунок. Ціле ч. Дробне ч. Дійсно ч. Комплексне ч. Натуральне ч. (ціле позитивне число). Просте ч. ( натуральне число, не… … Тлумачний словник Ожегова

ЧИСЛО «Е» (ЄХР), ірраціональне число, що є основою натуральних ЛОГАРИФМІВ. Це дійсне десяткове число, нескінченний дріб, що дорівнює 2,7182818284590...., є межею виразу (1/) при п, що прагне нескінченності. По суті,… … Науково-технічний енциклопедичний словник

Кількість, готівка, склад, чисельність, контингент, сума, цифра; день. . день, кількість. невелика кількість, немає числа, зростати числом ... Словник російських синонімів і подібних за змістом висловів. під. ред. Н. Абрамова, М.: Росіяни… Словник синонімів

Книги

• Число імені. Таємниці нумерології. Вихід із тіла для лінивих. Підручник з екстрасенсорики (кількість томів: 3)
• Число імені. Новий погляд на цифри. Нумерологія - шлях пізнання (кількість томів: 3), Лоуренс Ширлі. Число імені. Таємниці нумерології. Книга Ширлі Б. Лоуренс є всебічним дослідженням давньої езотеричної системи – нумерології. Щоб навчитися використовувати вібрації чисел для…

e- математична константа, основа натурального логарифму, ірраціональне та трансцендентне число. e= 2,718281828459045… Іноді число eназивають числом Ейлераабо неперовим числом. Відіграє важливу роль у диференціальному та інтегральному обчисленні.

Способи визначення

Число e може бути визначено кількома способами.

Властивості

Історія

Це число іноді називають неперовимна честь шотландського вченого Джона Непера, автора роботи «Опис дивовижної таблиці логарифмів» (1614). Однак ця назва не зовсім коректна, тому що у нього логарифм числа xдорівнював.

Вперше константа негласно присутня в додатку до перекладу англійською мовою вищезгаданої роботи Непера, опублікованому в 1618 р. Негласно, тому що там міститься лише таблиця натуральних логарифмів, сама константа не визначена. Передбачається, що автором таблиці був англійський математик Вільям Відред. Саму ж константу вперше вивів швейцарський математик Якоб Бернуллі під час спроби обчислити значення такої межі:

Перше відоме використання цієї константи, де вона позначалася буквою b, зустрічається в листах Готфріда Лейбніца Крістіану Гюйгенсу, 1690 та 1691 рр. Літера eпочав використовувати Леонард Ейлер у 1727 р., а першою публікацією з цією літерою була його робота «Механіка, або Наука про рух, викладена аналітично» 1736 р. eіноді називають числом Ейлера. Хоча згодом деякі вчені використали букву c, літера eзастосовувалася найчастіше і в наші дні є стандартним позначенням.

Чому було обрано саме букву e, достеменно невідомо. Можливо, це пов'язано з тим, що з неї починається слово exponential(«показовий», «експоненційний»). Інше припущення полягає в тому, що букви a,b,cі dвже досить широко використовувалися в інших цілях, та eбула першою «вільною» літерою. Неймовірно припущення, що Ейлер вибрав eяк першу букву у своєму прізвищі (нім. Euler), оскільки він був дуже скромною людиною і завжди намагався наголосити на значущості праці інших людей.

Способи запам'ятовування

Число eможна запам'ятати за таким мнемонічним правилом: два і сім, далі два рази рік народження Льва Толстого (1828), потім кути рівнобедреного прямокутного трикутника ( 45 ,90 і 45 градусів).

В іншому варіанті правила eпов'язується з президентом США Ендрю Джексоном: 2 – стільки разів обирався, 7 – він був сьомим президентом США, 1828 – рік його обрання, повторюється двічі, оскільки Джексон двічі обирався. Потім - знову-таки рівнобедрений прямокутний трикутник.

У ще одному цікавому способі пропонується запам'ятати число eз точністю до трьох знаків після коми через «число диявола»: потрібно розділити 666 на число, складене з цифр 6 − 4, 6 − 2, 6 − 1 (три шістки, з яких у зворотному порядку видаляються три перші ступені двійки):.

У четвертому способі пропонується запам'ятати eяк.

Грубе (з точністю до 0,001), але гарне наближення вважає eрівним. Дуже грубе (з точністю 0,01) наближення дається виразом.

"Правило Боїнга": дає непогану точність 0,0005.

«Вірш»: Ми пурхали та блищали, але застрягли у перевалі; не визнали наші кралі авторалі.

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274 27466 39193 20030 59921 81741 35966 29043 57290 03342 95260 59563 07381 32328 62794 34907 63233 82988 07531 95251 01901 15738 34187 93070 21540 89149 93488 41675 09244 76146 06680 82264 80016 84774 11853 74234 54424 37107 53907 77449 ​​92069 55170 27618 38606 26133 13845 83000 75204 49338 26560 29760 67371 13200 70932 87091 27443 74704 72306 96977 20931 01416 92836 81902 55151 08657 46377 21112 52389 78442 50569 53696 77078 54499 69967 94686 44549 05987 93163 68892 30098 79312 77361 78215 42499 92295 76351 48220 82698 95193 66803 31825 28869 39849 64651 05820 93923 98294 88793 32036 25094 43117 30123 81970 68416 14039 70198 37679 32068 32823 76464 80429 53118 02328 78250 98194 55815 30175 67173 61332 06981 12509 96181 88159 30416 90351 59888 85193 45807 27386 67385 89422 87922 84998 92086 80582 57492 79610 48419 84443 63463 24496 84875 60233 62482 70419 0 21609 90235 30436 99418 49146 31409 34317 38143 64054 62531 52096 18369 08887 07016 76839 64243 78140 59271 45635 49061 30310 72085 10383 75051 01157 47704 17189 86106 87396 96552 12671 54688 95703 50354 02123 40784 98193 34321 06817 01210 05627 88023 51920

Лікар геолого-мінералогічних наук, кандидат фізико-математичних наук Б. ГОРОБЕЦЬ.

Графіки функцій у = arcsin x, зворотної функціїу = sin х

Графік функції у = arctg x, зворотної функції у = tg х.

Функція нормального розподілу(Розподіл Гауса). Максимум її графіка відповідає найбільш ймовірному значенню випадкової величини (наприклад, довжини предмета, виміряної лінійкою), а ступінь розпливання кривої залежить від параметрів а і "сигма".

Жерці Стародавнього Вавилону вважали, що сонячний диск укладається на небосхилі від світанку до заходу сонця 180 разів і ввели нову одиницю виміру - градус, рівний його кутовому розміру.

Розміри природних утворень – піщаних дюн, пагорбів та гір – збільшуються з кожним кроком у середньому у 3,14 раза.

Наука та життя // Ілюстрації

Наука та життя // Ілюстрації

Маятник, хитаючись без тертя та опору, зберігає постійну амплітуду коливань. Поява опору призводить до експоненційного згасання коливань.

У дуже в'язкому середовищі відхилений маятник рухається до рівноваги по експоненті.

Лусочки соснових шишок та завитки раковин багатьох молюсків розташовуються за логарифмічними спіралями.

Наука та життя // Ілюстрації

Наука та життя // Ілюстрації

Логарифмічна спіраль перетинає всі промені, що виходять із точки О, під однаковими кутами.

Напевно, будь-який абітурієнт чи студент на запитання, що таке числа та е, відповість: - це число, що дорівнює відношенню довжини кола до його діаметра, а е – основа натуральних логарифмів. Якщо попросити визначити ці числа суворіше і обчислити їх, студенти наведуть формули:

е = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... 2,7183…

(Нагадуємо, що факторіал n! = 1 x 2x 3x… x n);

3(1+ 1/3x 2 3 + 1x 3/4x 5x 2 5 + .....) 3,14159…

(Останнім дано ряд Ньютона, є й інші ряди).

Все це так, але, як відомо, числа і е входять до множини формул у математиці, фізиці, хімії, біології, також в економіці. Отже, вони відбивають якісь загальні закони природи. Які саме? Визначення цих чисел через ряди, незважаючи на їх правильність і строгість, все ж таки залишають почуття незадоволеності. Вони абстрактні і передають зв'язку аналізованих чисел з навколишнім світом у вигляді повсякденного досвіду. Не вдається знайти відповіді на поставлене запитання та у навчальній літературі.

Тим часом можна стверджувати, що константа безпосередньо пов'язана з однорідністю простору і часу, а - з ізотропністю простору. Тим самим вони відображають закони збереження: число е - енергії та імпульсу (кількості руху), а число - обертального моменту(Моменту імпульсу). Зазвичай такі несподівані твердження викликають здивування, хоча сутнісно, ​​з погляду теоретичної фізики, немає нічого нового. Глибинний зміст цих світових констант залишається terra incognita для школярів, студентів і, мабуть, навіть для більшості викладачів математики та загальної фізики, не кажучи вже про інші галузі природознавства та економіки.

На першому курсі вузу можна поставити в глухий кут студентів таким, наприклад, питанням: чому при інтегруванні функцій типу 1/(х 2 +1) з'являється арктангенс, а типу арксинус - кругові тригонометричні функції, що виражають величину дуги кола? Інакше кажучи, звідки при інтегруванні "беруться кола" і куди вони зникають при зворотній дії- диференціювання арктангенсу та арксинусу? Навряд чи поставлене питання відповість сам собою висновок відповідних формул диференціювання та інтегрування.

Далі, на другому курсі вузу щодо теорії ймовірностей число з'являється у формулі для закону нормального розподілу випадкових величин(див. "Наука життя і життя" № 2, 1995 р.); по ній можна, наприклад, обчислити, з якою ймовірністю монета впаде на герб будь-яке число разів при, скажімо, 100 підкиданнях. А де тут кола? Невже дається взнаки форма монети? Ні, формула для ймовірності така сама і для монети. квадратної форми. І справді – питання непрості.

А ось природу числа корисно знати глибше студентам-хімікам і матеріалознавцям, біологам і економістам. Це допоможе їм зрозуміти кінетику розпаду радіоактивних елементів, насичення розчинів, зносу та руйнування матеріалів, розмноження мікробів, впливу сигналів на органи почуттів, процесів накопичення капіталів і т.д. неживої природита діяльності людини.

Число та сферична симетрія простору

Спочатку сформулюємо першу основну тезу, а потім пояснимо її зміст та наслідки.

1. Число відображає ізотропність властивостей порожнього простору нашого Всесвіту, їхня однаковість за будь-яким напрямом. З ізотропністю простору пов'язаний закон збереження обертального моменту.

Звідси випливають загальновідомі наслідки, які вивчають у середній школі.

Наслідок 1. Довжина дуги кола, вздовж якого вміщується її радіус, становить природну дугову та кутову одиницю радіан.

Ця одиниця безрозмірна. Щоб знайти число радіанів у дузі кола, треба виміряти його довжину і розділити на довжину радіуса цього кола. Як ми знаємо, вздовж будь-якої повного колаїї радіус укладається приблизно 6,28 разів. Точніше, довжина повної дуги кола становить 2 радіан, причому у будь-яких системах числення та одиницях довжини. Коли винаходили колесо, воно виходило однаковим і в індіанців Америки, і в кочівників Азії, і негри Африки. Тільки одиниці виміру дуги були різними, умовними. Так, наш кутовий і дуговий градус був введений вавилонськими жерцями, які вважають, що диск Сонця, що знаходиться майже в зеніті, укладається 180 разів на небо від світанку до заходу сонця. 1 градус 0, 0175 рад або 1 рад 57,3 °. Можна стверджувати, як і гіпотетичні інопланетні цивілізації легко зрозуміли б одна одну, обмінявшись посланням, у якому коло розділена шість частин " з хвостиком " ; це означало б, що "партнер з переговорів" вже як мінімум пройшов стадію винаходу колеса і знає, що таке число.

Наслідок 2.Призначення тригонометричних функцій- виражати співвідношення між дуговими та лінійними розмірамиоб'єктів, а також між просторовими параметрами процесів, що відбуваються у сферично-симетричному просторі.

Зі сказаного ясно, що аргументи тригонометричних функцій у принципі безрозмірні, як та в інших типів функцій, тобто. це дійсні числа - точки числової осі, які не потребують градусного позначення.

Досвід показує, що школярі, студенти коледжів та вузів не без зусиль звикають до безрозмірних аргументів у синуса, тангенсу і т. д. 3. Останній прикладособливо збиває з пантелику. Часто кажуть, що це нісенітниця: "дуга, арктангенс якої дорівнює 60 о ". Якщо сказати саме так, то помилка буде у неправомірному застосуванні градусного заходу до аргументу функції. А правильна відповідь: arctg(3,14/3) arctg1/4 3/4. На жаль, часто абітурієнти та студенти кажуть, що = 180 0 , після чого доводиться їх поправляти: у десятковій системі числення = 3,14… . Але, звичайно, можна сказати, що радіан дорівнює 180 0 .

Розберемо ще одну нетривіальну ситуацію, що зустрічається теоретично ймовірностей. Вона стосується важливої ​​формули ймовірності появи випадкової помилки (чи нормального закону розподілу ймовірностей), куди входить число . За цією формулою можна, наприклад, обчислити можливість падіння монети на герб 50 разів при 100 підкиданнях. Отже, звідки взялося в ній число? Адже ніякі кола чи кола там начебто не проглядаються. А суть у тому, що монета падає випадковим чином у сферично-симетричному просторі, за всіма напрямками якого і мають рівноправно враховуватися випадкові коливання. Математики так і роблять, інтегруючи по колу та обчислюючи так званий інтеграл Пуассона, який дорівнює та входить у зазначену формулу ймовірності. Наочною ілюстрацієютаких коливань служить приклад зі стріляниною по мішені за незмінних умов. Дірочки на мішені розпорошені по колу (!) з найбільшою щільністюбіля центру мішені, а можливість попадання можна обчислити за тією ж формулою, що містить число .

Чи "замішане" чисельність у природних структурах?

Спробуємо розібратися в явищах, причини яких далеко не зрозумілі, але які також, можливо, не обійшлися без числа.

Вітчизняний географ В. В. Піотровський порівняв середні характеристичні розміри природних рельєфів у наступному ряду: піщаний рифель на мілинах, дюни, сопки, гірські системиКавказу, Гімалаїв та інших. Виявилося, що у середньому збільшення обсягу становить 3,14. Аналогічна закономірність, схоже, виявлена ​​нещодавно у рельєфі Місяця та Марса. Піотровський пише: "Тектонічні структурні форми, що утворюються в земної корита виражені на її поверхні у вигляді форм рельєфу, розвиваються в результаті якихось загальних процесів, що у тілі Землі, вони пропорційні розмірам Землі". Уточнимо - пропорційні співвідношенню лінійних і дугових її розмірів.

В основі вказаних явищ, можливо, лежить так званий закон розподілу максимумів випадкових рядів, або "закон трійок", сформульований ще 1927 Є. Є. Слуцьким.

Статистично згідно із законом трійок відбувається формування морських прибережних хвиль, що знали ще давні греки. Кожна третя хвиля в середньому трохи вища за сусідні. А серед цих третіх максимумів кожен третій, у свою чергу, вищий за своїх сусідів. Так утворюється знаменитий дев'ятий вал. Він - пік "періоду другого рангу". Деякі вчені припускають, що згідно із законом трійок відбуваються і коливання сонячної, кометної та метеоритної активностей. Інтервали між їхніми максимумами становлять дев'ять-дванадцять років або приблизно 3 2 . Як вважає доктор біологічних наук Р. Розенберг, можна продовжити побудову тимчасових послідовностей в такий спосіб. Період третього рангу 3 3 відповідає інтервалу між сильними посухами, що становить у середньому 27-36 років; період 3 4 - цикл вікової сонячної активності (81-108 років); період 3 5 - циклів зледеніння (243-324 роки). Збіги стануть ще кращими, якщо ми відступимо від закону "чистих" трійок і перейдемо до ступенів числа. До речі, їх дуже легко обчислювати, оскільки 2 майже 10 (колись в Індії число навіть визначалося як корінь з 10). Можна й надалі продовжувати припасування циклів геологічних епох, періодів та ер під цілі ступені трійки (що і робить, зокрема, Р. Розенберг у збірці "Еврика-88", 1988 р.) або числа 3,14. І завжди можна прийняти бажане за дійсне з тією чи іншою точністю. (У зв'язку з припасуванням згадується математичний анекдот. Доведемо, що непарні числа суть числа прості. Беремо: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 і т. д., а 9 тут - помилка досвіду.) І все ж Ідея про неочевидну роль числа p у багатьох геологічних і біологічних явищах, схоже, не зовсім порожня, і, можливо, у майбутньому вона себе ще проявить.

Число е і однорідність часу та простору

Тепер перейдемо до другої великої світової константи - числу е. природними явищами. Як підійти до цієї проблеми? Питання непросте. Почнемо, мабуть, зі стандартного явища поширення електромагнітних хвиль у вакуумі. (Причому вакуум ми розумітимемо як класичний порожній простір, не торкаючись найскладнішої природи фізичного вакууму.)

Всім відомо, що хвилю в часі можна описати синусоїдою або сумою синусоїд і косінусоїд. У математиці, фізиці, електротехніці таку хвилю (з амплітудою, що дорівнює 1) описує експоненційна функція e iβt =cos βt + isin βt , де β - частота гармонійних коливань. Тут записана одна з найзнаменитіших математичних формул – формула Ейлера. Саме на честь великого Леонарда Ейлера (1707-1783) за першою літерою його прізвища названо число е.

Вказана формула добре відома студентам, але її необхідно пояснити учням нематематичних шкіл, бо в наш час із звичайних шкільних програмвиключено комплексні числа. Комплексне число z = x+iy складається з двох доданків - чисел дійсного (x) і уявного, яке є дійсним числом у, помножене на уявну одиницю . Дійсні числа відраховують уздовж дійсної осі О х, а уявні - в тому ж масштабі вздовж уявної осі О у, одиницею якої служить i, причому довжина цього одиничного відрізка є модуль | i | =1. Тому комплексному числувідповідає точка на площині з координатами (х, у). Отже, незвичайний виглядчисла е з показником, що містить тільки уявні одиниці i, означає наявність лише незатухаючих коливань, що описуються косінусоїдою і синусоїдою.

Ясно, що незатухаюча хвиля демонструє дотримання закону збереження енергії для електромагнітної хвиліу вакуумі. Така ситуація має місце при "пружній" взаємодії хвилі з середовищем без втрат її енергії. Формально це можна висловити так: якщо перенести початок відліку по осі часу, енергія хвилі збережеться, тому що у гармонійної хвилі залишаться ті ж амплітуда і частота, тобто енергетичні одиниці, а зміниться лише її фаза, частина періоду, що віддаляється від нового початку відліку. Але фаза на енергію не впливає саме через однорідність часу при зміщенні початку відліку. Отже, паралельне перенесення системи координат (він називається трансляцією) законне в силу однорідності часу t. Тепер, напевно, зрозуміло, чому однорідність за часом призводить до закону збереження енергії.

Далі, уявімо хвилю не в часі, а в просторі. Наочним прикладомїї може служити стояча хвиля(Коливання струни, нерухомої в декількох точках-вузлах) або прибережна піщана бриж. Математично ця хвиля вздовж осі Ох запишеться як e iх = cos x + i sin x. Зрозуміло, що й у разі трансляція вздовж х не змінить ні косинусоїди, ні синусоїди, якщо простір однорідно вздовж цієї осі. Знов-таки зміниться лише їхня фаза. З теоретичної фізики відомо, що однорідність простору призводить до закону збереження кількості руху (імпульсу), тобто маси, помноженої на швидкість. Нехай тепер простір однорідний за часом (і закон збереження енергії виконується), але неоднорідний за координатою. Тоді в різних точках неоднорідного простору виявилася б неоднаковою і швидкість, тому що на одиницю однорідного часу припадали б різні значеннядовжини відрізків, що пробігаються за секунду часткою з даною масою (або хвилею з цим імпульсом).

Отже, можна сформулювати другу основну тезу:

2. Число е як основа функції комплексного змінного відображає два основних закони збереження: енергії - через однорідність часу, імпульсу - через однорідність простору.

І все-таки, чому саме число е, а не якесь інше увійшло до формули Ейлера і опинилося в основі хвильової функції? Залишаючись у рамках шкільних курсів математики та фізики, відповісти на це питання непросто. Цю проблему автор обговорював із теоретиком, доктором фізико-математичних наук В. Д. Ефросом, і ми спробували пояснити ситуацію в такий спосіб.

Найважливіший клас процесів - лінійні та лінеаризовані процеси - зберігає свою лінійність саме завдяки однорідності простору та часу. Математично лінійний процес описується функцією, яка є рішенням диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами(Цей тип рівнянь вивчається на першому-другому курсах вузів та коледжів). А її ядром є наведена вище формула Ейлера. Так що рішення містить комплексну функціюз основою е, таку ж, як рівняння хвилі. Причому саме е, а не інше число на підставі ступеня! Тому що тільки функція їх не змінюється при будь-якій кількості диференцій та інтегрувань. І отже, після підстановки у вихідне рівняння тільки рішення з підставою їсть тотожність, як і належить правильному рішенню.

А тепер запишемо рішення диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами, що описує поширення гармонійної хвилі в середовищі з урахуванням непружної взаємодії з нею, що призводить до розсіювання енергії або придбання енергії від зовнішніх джерел:

f(t) = e (α+ib)t = eαt (cos βt + isin βt).

Ми, що формула Ейлера множиться на дійсну змінну величину e αt , що є амплітуда хвилі, змінюється у часі. Вище ми вважали її для простоти постійної та рівної 1. Так можна робити у разі незагасаючих гармонійних коливань, при α = 0. У загальному випадку будь-якої хвилі поведінка амплітуди залежить від знака коефіцієнта a при змінній t (часу): якщо α > 0, амплітуда коливань зростає, якщо α< 0, затухает по экспоненте.

Можливо, останній абзац є важким для випускників багатьох звичайних шкіл. Він, однак, має бути зрозумілий студентам вузів та коледжів, які ґрунтовно студіюють диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами.

А тепер покладемо β = 0, тобто знищимо коливальний множник з числом i у рішенні, що містить формулу Ейлера. Від колишніх вагань залишиться тільки загасаюча (або наростаюча) за експонентом "амплітуда".

Для ілюстрації обох випадків уявімо маятник. У порожньому просторі він вагається без загасання. У просторі з опірним середовищем коливання відбуваються з експоненційним загасанням амплітуди. Якщо ж відхилити не надто масивний маятник у досить в'язкому середовищі, то він плавно рухатиметься до положення рівноваги, дедалі більше сповільнюючись.

Отже, з тези 2 можна вивести таке слідство:

Наслідок 1.За відсутності уявної, чисто коливальної частини функції f(t), при β = 0 (тобто за нульової частоти) дійсна частина експоненційної функції описує безліч природних процесів, які йдуть відповідно до фундаментального принципу: приріст величини пропорційний самій величині .

Сформульований принцип математично виглядає так: ∆I ~ I∆t, де, припустимо, I – сигнал, а ∆t – малий інтервал часу, за який відбувається приріст сигналу ∆I. Поділивши обидві частини рівності на I і проінтегрувавши, отримаємо lnI ~ kt. Або: I ~ e kt - закон експоненційного наростання чи зменшення сигналу (залежно від знака k). Таким чином, закон пропорційності приросту величини самої величини призводить до натурального логарифмуі тим самим до е. (Причому тут це показано у вигляді, доступному для школярів випускного класу, які знають елементи інтегрування.)

За експонентом з дійсним аргументом, без вагань, йде безліч процесів у фізиці, хімії, біології, екології, економіці і т.д. освітніх програмахшкіл та вузів). Він говорить: "Сила відчуття пропорційна логарифму сили роздратування".

Цьому закону підпорядковуються зір, слух, нюх, дотик, смак, емоції, пам'ять (природно, поки фізіологічні процеси не переходять стрибком у патологічні, коли рецептори зазнали видозміни або руйнування). Відповідно до закону: 1) малому приросту сигналу подразнення у будь-якому його інтервалі відповідає лінійний приріст (з плюсом чи мінусом) сили відчуття; 2) у сфері слабких сигналів подразнення приріст сили відчуття набагато крутіше, ніж у сфері сильних сигналів. Візьмемо для прикладу чай: склянка чаю з двома шматками цукру сприймається в два рази солодшим, ніж чай з одним шматком цукру; Але чай з 20 шматками цукру навряд чи здасться помітно солодшим, ніж з 10 шматками. Динамічний діапазонбіологічних рецепторів колосальний: прийняті оком сигнали можуть різнитися за силою ~ 10 10 , а вухом - ~ 10 12 разів. Жива природапристосувалася до таких діапазонів. Вона захищається, логарифмуючи (шляхом біологічного обмеження) дратівники, що надходять, інакше рецептори загинули б. На законі Вебера - Фехнера заснована логарифмічна (децибельна) шкала сили звуку, що широко застосовується, у згоді з якою працюють регулятори гучності аудіоапаратури: їх зсув пропорційно сприймається гучності, але не силі звуку! (Відчуття пропорційно lg/0. За поріг чутності прийнято р 0 = 10 -12 Дж/м 2 с. На порозі маємо lg1 = 0. Збільшення сили (тиску) звуку в 10 разів відповідає приблизно відчуттю шепоту, яке вище порога на 1 біл за шкалою логарифмів.Посилення звуку в мільйон разів від шепоту до крику (до 10 -5 Дж/м 2 с) за логарифмічною шкалою є збільшення на 6 порядків або на 6 Біл.

Напевно, подібний принцип оптимально економічний і розвитку багатьох організмів. Це можна наочно спостерігати за утворенням логарифмічних спіралей у раковинах молюсків, рядах насіння у кошику соняшника, лусочок у шишках. Відстань від центру приростає за законом r = ae kj. У кожний момент швидкість приросту лінійно пропорційна цій відстані (що легко бачити, якщо взяти похідну від записаної функції). По логарифмічній спіралі виконують профілі ножів, що обертаються, і фрез.

Наслідок 2.Наявність тільки уявної частини функції при ?

Це слідство повертає нас до вже розглянутої моделі.

Наслідок 3.При реалізації слідства 2 відбувається "змикання" в єдиній формулі чисел за допомогою історичної формули Ейлера в її первісному вигляді е i = -1.

У такому вигляді Ейлер вперше опублікував свою експоненту з уявним показником ступеня. Неважко виразити її через косинус та синус у лівій частині. Тоді геометричною моделлю цієї формули буде рух по колу з постійною за абсолютним значенням швидкістю, яке є сумою двох гармонійних коливань. за фізичної сутностіу формулі та її моделі відображаються всі три фундаментальні властивості простору-часу - їх однорідність та ізотропність, а тим самим усі три закони збереження.

Висновок

Положення про зв'язок законів збереження з однорідністю часу та простору, безперечно, правильно для евклідового простору в класичній фізиці та для псевдоевклідового простору Мінковського в Загальної теоріївідносності (ВТО, де четвертою координатою служить час). Але в рамках ОТО виникає природне питання: а як іде справа в областях величезних гравітаційних полів, поблизу сингулярностей, зокрема, у чорних дірок? Думки фізиків тут розходяться: більшість вважають, що зазначені фундаментальні становища зберігаються у цих екстремальних умовах. Проте є й інші погляди авторитетних дослідників. І ті, й інші працюють над створенням нової теоріїквантової гравітації.

Щоб у двох словах уявити собі, які тут виникають проблеми, процитуємо слова фізика-теоретика академіка О. О. Логунова: "Він (простір Мінковського. - Авт.) відбиває властивості, загальні всім форм матерії. Це забезпечує існування єдиних фізичних характеристик – енергії, імпульсу, моменту кількості руху, законів збереження енергії, імпульсу. Але Ейнштейн стверджував, що таке можливе лише за однієї умови – у разі відсутності гравітації<...>. З цього твердження Ейнштейна випливало, що простір-час стає не псевдоевклідовим, а набагато складнішим за своєю геометрією - римановим. Останнє вже аж ніяк не однорідне. Воно змінюється від точки до точки. З'являється властивість кривизни простору. У ньому зникає і точне формулювання законів збереження, як вони були прийняті у класичній фізиці.<...>Якщо говорити суворо, то у ВТО у принципі не можна запровадити закони збереження енергії-імпульсу, їх не можна сформулювати" (див. "Наука і життя" № 2, 3, 1987 р.).

Фундаментальні константи нашого світу, про природу яких ми говорили, відомі не лише фізикам, а й лірикам. Так, ірраціональне число, що дорівнює 3,14159265358979323846.., надихнуло видатного польського поета ХХ століття, лауреата Нобелівської премії 1996 року Віславу Шимборську на створення вірша "Число Пі", цитатою з якого ми закінчимо ці замітки:

Число, гідне захоплення:
Три кома один чотири один.
Кожна цифра дає почуття
початку - п'ять дев'ять два,
адже до кінця не дійти ніколи.
Поглядом усіх цифр не осягнути -
шість п'ять три п'ять.
Арифметичних дій -
вісім дев'ять -
вже не вистачає, і важко повірити -
сім дев'ять -
що не позбутися - три два три
вісім -
ні рівнянням, якого немає,
ні жартівливим порівнянням -
їх не порахувати.
Рушаємо далі: чотири шість...
(Переклад з польської – Б. Г.)