Пояснення складних рівнянь. Урок математики на тему "вирішення складних рівнянь нового виду"

Цілі і завдання:

Освітні:

1. Розглянути спосіб розв'язання “складних” рівнянь виду: (х + 3):8 = 5 і вивести алгоритм дії їхнього решения.
2. Удосконалювати обчислювальні навички.

Розвиваючі:

1. Розвивати вміння аналізувати, розмірковувати, пояснювати спосіб дії рівнянь виду: (х + 3): 8 = 5.

Виховні:

1. Формувати вміння працювати у парі (вислуховувати думку товариша, обговорювати проблему, дійти єдиної думки).

Здоров'язберігаючі:

1. Вчити дбати про своє здоров'я.

Обладнання:

1. Мультимедійний проектор та екран;
2. Комп'ютер;
3. презентація;
4. Пам'ятка-опора;
5. Завдання на картках.

Хід уроку:

I. Організаційний момент.

- Продзвенів дзвоник. Перевірте готовність до уроку математики. Всі готові.

А давайте переконаємось у цьому!

- БЛІЦ: Як знайти невідомий доданок? (віднімається, зменшуване, ділене, дільник, множник).

– Молодці! Сідайте. Ми сміливо можемо розпочати роботу. Відкрийте зошити. Запишіть число, класна робота.

ІІ. Актуалізація опорних знань.

1) - Я пропоную вам виконати розминку. Увага!

(Додаток 1. Презентація –Слайд 1).

100 ∙ 29 32 ∙ 20 4800: 2

а ∙ 15 9000 - в з: 317

х ∙ 80 = 640 до: 50 = 500 з + 90 = 34+56

– Розділіть дані запису на групи. Хто поділив на 2? На 3 групи?

Обговорення!!! За яким принципом ділив …. , А …..?

- Назви числові вирази. Назви літерні. Решта? (Рівняння.)

(Слайд 2)

– Знайдіть значення числових виразів.
– Знайдіть значення буквених виразів, якщо

а = 0, в = 1, с = 317

– Серед рівнянь знайдіть “зайве”. Доведи!
– Знайдіть корінь 1 рівняння, 2 рівняння. (Прості.)
- Що потрібно зробити спочатку, щоб вирішити складне рівняння такого виду? (Спростити). – Як? (Виконати дію.) Яке?
– Спростіть рівняння. Знайдіть корінь.

ІІІ. Тема, завдання.

– Хто хоче навчитися розв'язувати складні рівняння нового виду? Підніміть руку! Молодці! Це означає, що ви не боїтеся труднощів і готові до нових відкриттів!
- Тема нашого уроку "Рішення "складних" рівнянь нового виду".

(Оскільки поняття “складне” рівняння умовне, я поклала його в лапки.)

- Визначимо навчальні завдання:

1. Навчитися розв'язувати складні рівняння нового виду.
2. Скласти алгоритм розв'язання. (Алгоритм – порядок, послідовність процесів.)
3. Вчитися коментувати рішення рівнянь.
4. Удосконалювати обчислювальні навички.

Фізкультхвилинка 1.

IV. Робота на тему. Постановка проблеми. Відкриття нового.

1) З № 488. Підручник.

– Я хочу запропонувати вам знову побувати дослідниками.

□ + 30 = 50 Цей запис на дошці!

– Прочитайте вираз. 1 склад. 2 слаг. значення суми.

– Це рівняння? Чому?

- Вставте в "віконце" вираз

□ + 30 = 50 – Як назвемо запис? (Склад. ур.) – Схоже на те, яке вже вміємо вирішувати? – Чому?

– Спробуйте знайти спосіб розв'язання цього рівняння. ЗВЕРНІТЬ УВАГУ, я не випадково підписала компоненти дії! Оформіть без перевірки!

2) Пояснення: – Чим (яким компонентом) є в даній сумі літерний вираз 4 ∙ х (це 1 доданок).

Значить, 1 доданок - це буквене вираз 4 х і воно невідоме!

Правило не змінюється! Як знайти невідоме 1 слаг.?

4 ∙ х

= 50 - 30 - Вмієте вирішувати?

3) – Відкрийте підручник с. 149 № 488. Прочитайте, як міркував Мишко.

V. Виведення алгоритму. Закріплення нового.

1) Розв'яжіть рівняння: (х + 3): 8 = 5 1 до дошки.

Завдання! - Спробуйте визначити послідовність!

2) Виведення алгоритму.

- Як ти зрозумів, що компоненти будуть називатися: ділене, дільник, значення частки.

- Розподіл який за рахунком перший або останній? = З чого почати?

3). Алгоритм(Слайд 3).

1. Визначу останню дію та назву компоненти.
2. Визначу невідомий компонент та згадаю правило його знаходження.
3. Запишу нове рівняння та спрощу.
4. Вирішу просте рівняння.

4) Читання пам'ятки коментування.

5). № 489. Підручник. Коментування.

Фізкультхвилинка 2 (для очей).

6). Колективна робота. Робота у парах.

1) (у-5) ∙ 4 = 28
2) 3 ∙ а – 7 = 14
3) (24 + d): 8 = 7
4) 63: (14 - х) = 7

Заповни таблицю самоконтролю!

Рівняння.	1	2	3	4
Рішення.

У цьому відео ми розберемо цілий комплект лінійних рівнянь, які вирішуються по тому самому алгоритму — тому й вони і називаються найпростішими.

Спочатку визначимося: що таке лінійне рівняння і яке з них називати найпростішим?

Лінійне рівняння - таке, в якому є лише одна змінна, причому виключно в першому ступені.

Під найпростішим рівнянням мається на увазі конструкція:

Всі інші лінійні рівняння зводяться до найпростіших за допомогою алгоритму:

1. Розкрити дужки, якщо вони є;
2. Перенести доданки, що містять змінну, в один бік від знаку рівності, а доданки без змінної - в іншу;
3. Навести подібні доданки ліворуч і праворуч від знаку рівності;
4. Розділити отримане рівняння на коефіцієнт при змінній $x$.

Зрозуміло, цей алгоритм допомагає який завжди. Справа в тому, що іноді після всіх цих махінацій коефіцієнт при змінній $x$ виявляється нульовим. У цьому випадку можливі два варіанти:

1. Рівняння взагалі немає рішень. Наприклад, коли виходить щось на кшталт $0\cdot x=8$, тобто. ліворуч стоїть нуль, а праворуч — число, відмінне від нуля. У відео нижче ми розглянемо відразу кілька причин, через які можлива така ситуація.
2. Рішення – усі числа. Єдиний випадок, коли таке можливе – рівняння звелося до конструкції $0\cdot x=0$. Цілком логічно, що який би $x$ ми підставили, однаково вийде «нуль дорівнює нулю», тобто. правильне числове рівність.

А тепер подивимося, як все це працює на прикладі реальних завдань.

Приклади розв'язування рівнянь

Сьогодні ми займаємось лінійними рівняннями, причому лише найпростішими. Взагалі, під лінійним рівнянням мається на увазі всяка рівність, що містить у собі рівно одну змінну, і вона йде лише в першому ступені.

Вирішуються такі конструкції приблизно однаково:

1. Насамперед необхідно розкрити дужки, якщо вони є (як у нашому останньому прикладі);
2. Потім звести такі
3. Нарешті, усамітнити змінну, тобто. все, що пов'язано зі змінною - доданки, в яких вона міститься - перенести в один бік, а все, що залишиться без неї, перенести в інший бік.

Потім, як правило, потрібно навести подібні з кожної сторони отриманої рівності, а після цього залишиться лише розділити на коефіцієнт при «ікс», і ми отримаємо остаточну відповідь.

Теоретично це виглядає красиво і просто, проте на практиці навіть досвідчені учні старших класів можуть припускатися образливих помилок у досить простих. лінійних рівняннях. Зазвичай помилки допускаються або під час розкриття дужок, або за підрахунком «плюсів» і «мінусів».

Крім того, буває так, що лінійне рівняння взагалі не має рішень, або так, що рішенням є вся числова пряма, тобто. будь-яке число. Ці тонкощі ми й розберемо на сьогоднішньому уроці. Але почнемо ми, як ви вже зрозуміли, із самих простих завдань.

Схема вирішення найпростіших лінійних рівнянь

Для початку давайте ще раз напишу всю схему вирішення найпростіших лінійних рівнянь:

1. Розкриваємо дужки, якщо вони є.
2. Усамітнюємо змінні, тобто. все, що містить «ікси», переносимо в один бік, а без «іксів» — в інший.
3. Наводимо подібні доданки.
4. Поділяємо все на коефіцієнт при «ікс».

Зрозуміло, ця схема працює не завжди, у ній є певні тонкощі та хитрощі, і зараз ми з ними й познайомимося.

Вирішуємо реальні приклади простих лінійних рівнянь

Завдання №1

На першому кроці від нас потрібно розкрити дужки. Але їх у цьому прикладі немає, тому пропускаємо цей етап. На другому кроці нам потрібно усамітнити змінні. Зверніть увагу: йдеться лише про окремі доданки. Давайте запишемо:

Наводимо подібні доданки ліворуч і праворуч, але тут це вже зроблено. Тому переходимо до четвертого кроку: розділити на коефіцієнт:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Ось ми й отримали відповідь.

Завдання №2

У цьому завдання ми можемо спостерігати дужки, тому давайте розкриємо їх:

І ліворуч і праворуч ми бачимо приблизно ту саму конструкцію, але давайте діяти за алгоритмом, тобто. усамітнюємо змінні:

Наведемо такі:

При якому корінні це виконується. Відповідь: за будь-яких. Отже, можна записати, що $x$ - будь-яке число.

Завдання №3

Третє лінійне рівняння вже цікавіше:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут є кілька дужок, проте вони ні на що не множаться, просто перед ними стоять різні знаки. Давайте розкриємо їх:

Виконуємо другий уже відомий нам крок:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Порахуємо:

Виконуємо останній крок- ділимо все на коефіцієнт при "ікс":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Що необхідно пам'ятати при вирішенні лінійних рівнянь

Якщо відволіктися від надто простих завдань, то я хотів би сказати таке:

• Як я говорив вище, далеко не кожне лінійне рівняння має рішення - іноді коріння просто немає;
• Навіть якщо коріння є, серед них може затесатися нуль — нічого страшного в цьому немає.

Нуль - таке ж число, як і інші, не варто його дискримінувати або вважати, що якщо у вас вийшов нуль, то ви щось зробили неправильно.

Ще одна особливість пов'язана з розкриттям дужок. Зверніть увагу: коли перед ними стоїть мінус, то ми його прибираємо, однак у дужках знаки міняємо на протилежні. А далі ми можемо розкривати її за стандартними алгоритмами: ми отримаємо те, що бачили у викладках вище.

Розуміння цього простого факту дозволить вам не допускати дурних і образливих помилок у старших класах, коли виконання подібних дій вважається самим собою зрозумілим.

Розв'язання складних лінійних рівнянь

Перейдемо до складніших рівнянь. Тепер конструкції стануть складнішими і при виконанні різних перетворень виникне квадратична функція. Однак не варто цього боятися, тому що якщо за задумом автора ми вирішуємо лінійне рівняння, то в процесі перетворення всі одночлени, які містять квадратичну функцію, обов'язково скоротяться.

Приклад №1

Очевидно, що насамперед потрібно розкрити дужки. Давайте це зробимо дуже обережно:

Тепер займемося самотою:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Наводимо такі:

Очевидно, що дане рівняння рішень немає, тому у відповіді так і запишемо:

\[\varnothing\]

або коріння немає.

Приклад №2

Виконуємо самі дії. Перший крок:

Перенесемо все, що зі змінною, вліво, а без неї вправо:

Наводимо такі:

Очевидно, що дане лінійне рівняння не має рішення, тому так і запишемо:

\[\varnothing\],

або коріння немає.

Нюанси рішення

Обидва рівняння повністю розв'язані. На прикладі цих двох виразів ми ще раз переконалися, що навіть у найпростіших лінійних рівняннях все може бути не так просто: коріння може бути або одне, або жодне, або нескінченно багато. У нашому випадку ми розглянули два рівняння, в обох коренів просто немає.

Але я хотів би звернути вашу увагу на інший факт: як працювати з дужками і як їх розкривати, якщо перед ними стоїть знак мінус. Розглянемо цей вираз:

Перш ніж розкривати, потрібно перемножити все на ікс. Зверніть увагу: множиться кожне окреме доданок. Усередині стоїть два доданки - відповідно, два доданки і множиться.

І тільки після того, коли ці, начебто, елементарні, але дуже важливі та небезпечні перетворення виконані, можна розкривати дужку з погляду того, що після неї стоїть знак «мінус». Так, так: тільки зараз, коли перетворення виконані, ми згадуємо, що перед дужками стоїть знак мінус, а це означає, що все, що вниз, просто змінює знаки. При цьому самі дужки зникають і, що найголовніше, передній мінус теж зникає.

Так само ми чинимо і з другим рівнянням:

Я не випадково звертаю увагу на ці дрібні, начебто, незначні факти. Тому що рішення рівнянь — це завжди послідовність елементарних перетворень, де невміння чітко та грамотно виконувати прості діїпризводить до того, що учні старших класів приходять до мене і знову вчаться вирішувати такі прості рівняння.

Зрозуміло, настане день, і ви відточите ці навички до автоматизму. Вам вже не доведеться щоразу виконувати стільки перетворень, ви все писатимете в один рядок. Але поки ви тільки вчитеся, потрібно писати кожну дію окремо.

Вирішення ще більш складних лінійних рівнянь

Те, що ми зараз вирішуватимемо, вже складно назвати найпростішими завдання, проте сенс залишається тим самим.

Завдання №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Давайте перемножимо всі елементи у першій частині:

Давайте виконаємо усамітнення:

Наводимо такі:

Виконуємо останній крок:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Ось наша остаточна відповідь. І, незважаючи на те, що у нас у процесі вирішення виникали коефіцієнти з квадратичною функцією, проте вони взаємно знищилися, що робить рівняння саме лінійним, а не квадратним.

Завдання №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте акуратно виконаємо перший крок: множимо кожен елемент із першої дужки на кожен елемент із другої. Усього має вийти чотири нових доданків після перетворень:

А тепер акуратно виконаємо множення в кожному доданку:

Перенесемо доданки з «іксом» вліво, а без вправо:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Наводимо такі складові:

Ми знову отримали остаточну відповідь.

Нюанси рішення

Найважливіше зауваження щодо цих двох рівнянь полягає в наступному: як тільки ми починаємо множити дужки, в яких знаходиться більш ніж воно доданок, то виконується це наступному правилу: ми беремо перший доданок з першої і перемножуємо з кожним елементом з другого; потім беремо другий елемент з першої та аналогічно перемножуємо з кожним елементом з другої. У результаті в нас вийде чотири доданки.

Про алгебраїчну суму

На останньому прикладі я хотів би нагадати учням, що таке сума алгебри. У класичній математиці під $1-7$ ми маємо на увазі просту конструкцію: з одиниці віднімаємо сім. В алгебрі ж ми маємо на увазі під цим наступне: до «одиниця» ми додаємо інше число, а саме «мінус сім». Цим сума алгебри відрізняється від звичайної арифметичної.

Як тільки при виконанні всіх перетворень, кожного додавання та множення ви почнете бачити конструкції, аналогічні вищеописаним, ніяких проблем в алгебрі при роботі з багаточленами та рівняннями у вас просто не буде.

Насамкінець давайте розглянемо ще пару прикладів, які будуть ще складнішими, ніж ті, які ми щойно розглянули, і для їх вирішення нам доведеться дещо розширити наш стандартний алгоритм.

Розв'язання рівнянь із дробом

Для вирішення подібних завдань до нашого алгоритму доведеться додати ще один крок. Але для початку я нагадаю наш алгоритм:

1. Розкрити дужки.
2. Усамітнити змінні.
3. Навести такі.
4. Розділити на коефіцієнт.

На жаль, цей прекрасний алгоритм при всій його ефективності виявляється не цілком доречним, коли маємо дроби. А в тому, що ми побачимо нижче, у нас і ліворуч, і праворуч в обох рівняннях є дріб.

Як працювати у цьому випадку? Та все дуже просто! Для цього в алгоритм потрібно додати ще один крок, який можна зробити як перед першою дією, так і після нього, а саме позбутися дробів. Таким чином, алгоритм буде наступним:

1. Позбутися дробів.
2. Розкрити дужки.
3. Усамітнити змінні.
4. Навести такі.
5. Розділити на коефіцієнт.

Що означає «позбутися дробів»? І чому це можна виконувати як після, так і перед першим стандартним кроком? Насправді у разі всі дроби є числовими за знаменником, тобто. скрізь у знаменнику стоїть просто число. Отже, якщо ми обидві частини рівняння домножимо на це число, ми позбудемося дробів.

Приклад №1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Давайте позбудемося дробів у цьому рівнянні:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Зверніть увагу: на «чотири» множиться один раз, тобто. якщо у вас дві дужки, це не означає, що кожну з них потрібно множити на чотири. Запишемо:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Тепер розкриємо:

Виконуємо усамітнення змінної:

Виконуємо приведення подібних доданків:

\ -4x = -1 \ left | :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Ми одержали остаточне рішення, переходимо до другого рівняння.

Приклад №2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Тут виконуємо ті самі дії:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Завдання вирішено.

Ось, власне, і все, що я сьогодні хотів розповісти.

Ключові моменти

Ключові висновки такі:

• Знати алгоритм розв'язання лінійних рівнянь.
• Вміння розкривати дужки.
• Не варто переживати, якщо десь у вас з'являються квадратичні функціїшвидше за все, у процесі подальших перетворень вони скоротяться.
• Коріння в лінійних рівняннях, навіть найпростіших, буває трьох типів: один єдиний корінь, вся числова пряма є коренем, коріння немає взагалі.

Сподіваюся, цей урок допоможе вам освоїти нескладну, але дуже важливу для подальшого розуміння математики тему. Якщо щось незрозуміло, заходьте на сайт, вирішуйте приклади, представлені там. Залишайтеся з нами, на вас чекає ще багато цікавого!

Ви сидите у ресторані та гортаєте меню. Всі страви виглядають такими смачними, що ви не знаєте, що вибрати. Може, замовити їх усі?

Напевно, ви стикалися з такими проблемами. Якщо не в їжі, то в чомусь ще. Ми витрачаємо величезну кількість часу та енергії на те, щоб зробити вибір між однаково привабливими варіантами. Але, з іншого боку, варіанти не можуть бути однаковими, адже кожен із них привабливий по-своєму.

Зробивши вибір, ви постає перед новим вибором. Це нескінченна низка важливих рішень, які й страх невірного вибору. Ці три методи допоможуть вам ефективно приймати рішення на всіх рівнях життя.

Заводьте звички, щоб уникнути побутових рішень

Сенс у тому, що якщо ви заведете звичку їсти на обід салат, то вам не доведеться вирішувати, що замовити у кафе.

Виробляючи навички, які стосуються таких простих побутових справ, ви зберігаєте енергію для прийняття складніших і важливіших рішень. Крім того, якщо ви звикнете снідати салатом, вам не доведеться витрачати силу волі на те, щоб замість салату не з'їсти щось жирне і смажене.

Але це стосується передбачуваних справ. А що щодо несподіваних рішень?

"Якщо - то": метод для непередбачуваних рішень

Наприклад, хтось постійно перериває вашу мову і ви не впевнені, як відреагувати на це і чи взагалі варто реагувати. Згідно з методом «якщо - то», ви вирішуєте: якщо він перерве вас ще двічі, то ви зробите йому ввічливе зауваження, а якщо це не подіє, то в грубішій формі.

Ці два методи допомагають прийняти більшу частину рішень, які постають перед нами щодня. Але коли справа доходить до питань стратегічного плануванняНаприклад, як відповісти на загрозу конкурентів, в які продукти вкласти більше коштів, де можна скоротити бюджет, вони безсилі.

Це рішення, які можуть затримуватись на тиждень, місяць або навіть рік, гальмуючи розвиток компанії. З ними не впоратися за допомогою звички, і метод «якщо» тут теж не підійде. Як правило, на такі питання немає чіткої та правильної відповіді.

Часто керівний склад затягує ухвалення таких рішень. Він збирає інформацію, зважує все за і проти, продовжує вичікувати та спостерігати за обстановкою, сподіваючись, що з'явиться щось, що вкаже на правильне рішення.

А якщо припустити, що правильної відповіді не існує, чи допоможе це ухвалити рішення швидко?

Уявіть, що вам потрібно ухвалити рішення в наступні 15 хвилин. Не завтра, не наступного тижня, коли ви зберете достатньо інформації, і не через місяць, коли переговорите з усіма, хто стосується проблеми.

Ви маєте чверть години на те, щоб прийняти рішення. Дійте.

Це і є третій спосіб, який допомагає приймати складні рішеннящодо довгострокового планування.

Використовуйте час

Якщо ви дослідили проблему та зрозуміли, що варіанти її вирішення однаково привабливі, припустіть, що правильної відповіді не існує, встановіть собі тимчасовий ліміт і просто виберіть будь-який варіант. Якщо перевірка одного із рішень вимагає мінімальних вкладень, вибирайте його та перевіряйте. Але якщо такої можливості немає, то вибирайте будь-який і якнайшвидше: час, який ви витратите на марні роздуми, можна використовувати найкращим чином.

Звичайно, ви можете не погодитись: «Якщо я зачекаю, може з'явитися вірна відповідь». Може, але, по-перше, ви витрачаєте дорогоцінний час, очікуючи на прояснення ситуації. По-друге, очікування змушує вас зволікати та відкладати інші рішення, пов'язані з цим, знижує продуктивність та уповільнює розвиток компанії.

Спробуйте зараз. Якщо у вас є питання, рішення якого довго відкладали, дайте собі три хвилини і зробіть це. Якщо у вас занадто багато, напишіть список і встановіть час на кожне рішення.

Ось побачите, з кожним прийнятим рішеннямви почуватиметеся трохи краще, знизиться занепокоєння, ви відчуєте, що рухаєтеся вперед.

Отже, ви обираєте легкий салат. Це був правильний вибір? Хто знає… Принаймні ви поїли, а не голодуйте над меню зі стравами.

Як навчитися вирішувати прості та складні рівняння

Шановні батьки!

Без базової математичної підготовки неможлива постановка освіти сучасної людини. У школі математика є опорним предметом для багатьох суміжних дисциплін. У післяшкільному житті реальною необхідністю стає безперервна освіта, що потребує базової загальношкільної підготовки, у тому числі й математичної.

У початковій школізакладаються не лише знання з основних тем, а й розвивається логічне мислення, уяву та просторові уявлення, а також формується інтерес до даного предмета.

Дотримуючись принципу наступності, ми наголосимо на найважливішу тему, а саме «Взаємозв'язок компонентів дій при вирішенні складових рівнянь».

За допомогою даного уроку можна легко навчитися вирішувати ускладнені рівняння. На уроці ви докладно познайомитеся з покроковою інструкцієюрозв'язання ускладнених рівнянь.

Багатьох батьків ставить у глухий кут питання - як же змусити дітей навчитися вирішувати прості та складні рівняння. Якщо рівняння прості - це ще пів біди, але бувають і складні - наприклад, інтегральні. До речі, для відома, є й такі рівняння, над розв'язанням яких б'ються найкращі уми нашої планети і за вирішення яких видаються дуже вагомі грошові премії. Наприклад, якщо згадатиПерельманата незатребувану ним грошову премію у розмірі кількох мільйонів.

Однак повернемося для початку до простих математичних рівнянь та повторимо види рівнянь та назви компонентів. Невелика розминка:

_________________________________________________________________________

РОЗМІНКА

Знайди зайву кількість у кожному стовпчику:

2) Якого слова не вистачає у кожному стовпчику?

3) З'єднайте слова з першого стовпчика зі словами із 2 стовпчика.

«Рівняння» «Рівність»

4) Як поясните, що таке «рівність»?

5) А «рівняння»? Це рівність? Що у ньому особливого?

доданок сума

різницю, що зменшується

віднімається твір

множникрівність

ділене

рівняння

Висновок: Рівняння – це рівність із змінною, значення якої треба знайти.

_______________________________________________________________________

Пропоную кожній групі написати на листку фломастером рівняння: (на дошку)

1 групі - з невідомим доданком; 2 групі - з невідомим зменшуваним; 3 групі - з невідомим віднімається; 4 групі – з невідомим дільником; 5 групі – з невідомим ділимим; 6 групі – з невідомим множником.

1 група х + 8 = 15 2 група х – 8 = 7 3 група 48 - х = 36 4 група 540: х = 9 5 група х: 15 = 9 6 група х * 10 = 360

Один з групи повинен математично прочитати своє рівняння і прокоментувати їх рішення, тобто проговорити виконувану операцію з відомими компонентами дій (алгоритм).

Висновок: Вміємо вирішувати прості рівняння всіх видів за алгоритмом, читати та записувати буквені вирази.

Пропоную вирішити задачу, в якій з'являється новий типрівнянь.

Висновок: Познайомилися з розв'язанням рівнянь, в одній із частин яких міститься числове вираз, значення якого треба знайти та отримати просте рівняння.

________________________________________________________________________

Розглянемо ще один варіант рівняння, рішення якого зводиться до розв'язання ланцюжка простих рівнянь. Ось один із запровадження складових рівнянь.

а + в * с (х - у): 3 2 * d + (m - n) Чи є рівняннями запису? Чому? Як називають такі дії? Прочитайте їх, називаючи останню дію:

Ні. Це не рівняння, тому що в рівнянні має бути знак «=». Вирази а + в * с - сума числа а та добутку чисел в і с; (х - у): 3 - приватна різниця чисел х і у; 2 * d + (m - n) - сума подвоєного числа d та різниці чисел m і n.

Пропоную кожному записати математичною мовою пропозицію:

Добуток різниці чисел х і 4 і числа 3 дорівнює 15.

ВИСНОВОК: Проблемна ситуація, що виникла, мотивує постановку мети уроку: навчитися вирішувати рівняння в яких невідомий компонент є виразом. Такі рівняння є складовими рівняннями.

__________________________________________________________________________

А може, нам допоможуть вже вивчені види рівнянь? (алгоритми)

На яке з відомих рівнянь схоже наше рівняння? Х * а = в

ДУЖЕ ВАЖЛИВЕ ПИТАННЯ: Чим є вираз у лівій частині - сумою, різницею, твором чи приватним?

(х - 4) * 3 = 15 (Твором)

Чому? (т.к. остання дія - множення)

Висновок:Такі рівняння ще розглядалися. Але можна вирішити, якщо на виразх - 4накласти картку (у - ігрок), і вийде рівняння, яке можна вирішити, використовуючи простий алгоритм знаходження невідомого компонента.

При вирішенні складових рівнянь необхідно на кожному кроці здійснювати вибір на автоматизованому рівні, коментуючи, називаючи компоненти дії.

Спростити частину

Ні ↓ Так

(у - 5) * 4 = 28
у - 5 = 28: 4
у - 5 = 7
у = 5 +7
у = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (і)

Висновок:У класах з різною підготовкоюця робота може бути організована по-різному. У більш підготовлених класах навіть для первинного закріплення можуть бути використані вирази, в яких не два, а три і більше дій, але їхнє рішення вимагає більшої кількості кроків з кожним кроком спрощуючи рівняння, доки не вийде просте рівняння. І щоразу можна спостерігати, як змінюється невідомий компонент дій.

_____________________________________________________________________________

ВИСНОВОК:

Коли йдеться про щось дуже просте, зрозуміле, ми часто говоримо: «Справа зрозуміла, як двічі дві — чотири!».

Адже перш ніж додуматися до того, що двічі по два-чотири, людям довелося вчитися багато, багато тисяч років.

Багато правил зі шкільних підручників арифметики та геометрії були відомі давнім грекам дві з лишком тисячі років тому.

Усюди, де треба щось рахувати, вимірювати, порівнювати, без математики не обійтися.

Важко уявити, як жили люди, якби не вміли рахувати, вимірювати, порівнювати. Цьому вчить математика.

Сьогодні Ви поринули у шкільне життя, побували у ролі учнів і я пропоную Вам, шановні батьки, оцінити свої вміння за шкалою.

Мої вміння	Дата та оцінка
Компоненти процесів.
Упорядкування рівняння з невідомим компонентом.
Читання та запис виразів.
Знаходити корінь рівняння у простому рівнянні.
Знаходити корінь рівняння, у одній із частин яких міститься числове вираз.
Знаходити корінь рівняння, у яких невідомий компонент дії є виразом.

Лінійні рівняння. Рішення, приклади.

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Лінійні рівняння.

Лінійні рівняння – не найскладніша тема шкільної математики. Але є там свої фішки, які можуть спантеличити навіть підготовленого учня. Розберемося?)

Зазвичай лінійне рівняння визначається як рівняння виду:

ax + b = 0 де а та b- Будь-які числа.

2х + 7 = 0. Тут а=2, b=7

0,1 х - 2,3 = 0 Тут а=0,1, b=-2,3

12х + 1/2 = 0 Тут а=12, b=1/2

Нічого складного, правда? Особливо, якщо не помічати слова: "де а і b – будь-які числа"... А якщо помітити, та необережно замислитись?) Адже, якщо а=0, b=0(будь-які числа можна?), то виходить кумедний вираз:

Але це ще не все! Якщо, скажімо, а=0,а b=5,виходить зовсім щось несусвітне:

Що напружує та підриває довіру до математики, так...) Особливо на іспитах. Але ж із цих дивних виразів ще й ікс знайти треба! Якого немає взагалі. І що дивно, цей ікс дуже просто знаходиться. Ми навчимося це робити. У цьому уроці.

Як дізнатися лінійне рівняння на вигляд? Це, дивлячись який зовнішній вигляд.) Фішка в тому, що лінійними рівняннями називаються не тільки рівняння виду ax + b = 0 , але й будь-які рівняння, які перетвореннями та спрощеннями зводяться до цього виду. А хто ж його знає, зводиться воно чи ні?)

Чітко розпізнати лінійне рівняння можна у деяких випадках. Скажімо, якщо перед нами рівняння, в яких є лише невідомі в першому ступені та числа. Причому в рівнянні немає дробів з розподілом на невідоме , це важливо! А розподіл на число,або дріб числовий – це будь ласка! Наприклад:

Це лінійне рівняння. Тут є дроби, але немає іксів у квадраті, кубі і т.д., і немає іксів у знаменниках, тобто. ні поділу на ікс. А ось рівняння

не можна назвати лінійним. Тут ікси все в першому ступені, але є розподіл на вираз з іксом. Після спрощень та перетворень може вийти і лінійне рівняння, і квадратне, і все, що завгодно.

Виходить, що дізнатися лінійне рівняння в якомусь мудрому прикладі не можна, поки його майже не вирішиш. Це засмучує. Але у завданнях, як правило, не питають про вид рівняння, правда? У завданнях велять рівняння вирішувати.Це радує.)

Розв'язання лінійних рівнянь. приклади.

Все рішення лінійних рівнянь складається з тотожних перетворень рівнянь. До речі, ці перетворення (цілі два!) лежать в основі рішень всіх рівнянь математики.Іншими словами, рішення будь-якогорівняння починається з цих самих перетворень. Що стосується лінійних рівнянь, воно (рішення) цих перетвореннях і закінчується повноцінним відповіддю. Має сенс за посиланням сходити, правда?) Тим більше, там теж приклади розв'язання лінійних рівнянь є.

Для початку розглянемо найпростіший приклад. Без будь-яких підводних каменів. Нехай нам потрібно вирішити таке рівняння.

х - 3 = 2 - 4х

Це лінійне рівняння. Ікси все в першому ступені, поділу на ікс немає. Але, власне, нам все одно, яке це рівняння. Нам його вирішувати треба. Схема тут проста. Зібрати все, що з іксами в лівій частині рівності, все, що без іксів (числа) – у правій.

Для цього потрібно перенести - 4х ліву частину, Зі зміною знака, зрозуміло, а - 3 - У праву. До речі, це і є перше тотожне перетворення рівнянь.Здивовані? Значить, за посиланням не ходили, а дарма...) Отримаємо:

х + 4х = 2 + 3

Наводимо подібні, вважаємо:

Що нам не вистачає на повне щастя? Та щоб ліворуч чистий ікс був! П'ятірка заважає. Позбавляємося п'ятірки за допомогою другого тотожного перетворення рівнянь.А саме - ділимо обидві частини рівняння на 5. Отримуємо готову відповідь:

Приклад елементарний, ясна річ. Це для розминки.) Не дуже зрозуміло, чого я тут тотожні перетворення згадував? Ну добре. Беремо бика за роги.) Вирішимо щось солідніше.

Наприклад, ось це рівняння:

З чого почнемо? З іксами – вліво, без іксів – вправо? Можна і так. Маленькими кроками довгою дорогою. А можна відразу, універсальним та потужним способом. Якщо, звичайно, у вашому арсеналі є тотожні перетворення рівнянь.

Задаю вам ключове питання: що вам найбільше не подобається у цьому рівнянні?

95 осіб зі 100 дадуть відповідь: дроби ! Відповідь правильна. От і давайте їх позбудемося. Тому починаємо відразу зі другого тотожного перетворення. На що потрібно помножити дріб зліва, щоб знаменник скоротився геть? Правильно, на 3. А справа? 4. Але математика дозволяє нам множити обидві частини на те саме число. Як викрутимося? А помножимо обидві частини на 12! Тобто. на спільний знаменник. Тоді і трійка скоротиться і четвірка. Не забуваймо, що множити треба кожну частину повністю. Ось як виглядає перший крок:

Розкриваємо дужки:

Зверніть увагу! Чисельник (х+2)я взяв у дужки! Це тому, що при множенні дробів, чисельник множиться весь, цілком! А тепер дроби і скоротити можна:

Розкриваємо дужки, що залишилися:

Не приклад, а суцільне задоволення!) Ось тепер згадуємо заклинання з молодших класів: з іксом – ліворуч, без ікса – праворуч!І застосовуємо це перетворення:

Наводимо такі:

І ділимо обидві частини 25, тобто. знову застосовуємо друге перетворення:

От і все. Відповідь: х=0,16

Беремо на замітку: щоб привести вихідне замороченого рівняння до приємного вигляду, ми використовували два (всього два!) тотожні перетворення- Перенесення вліво-вправо зі зміною знака і множення-розподіл рівняння на те саме число. Це універсальний спосіб! Працювати таким чином ми будемо з будь-якими рівняннями! Цілком будь-якими. Саме тому я про ці тотожні перетворення постійно занудно повторюю.)

Як бачимо, принцип розв'язання лінійних рівнянь простий. Беремо рівняння та спрощуємо його за допомогою тотожних перетворень до отримання відповіді. Основні проблеми тут у обчисленнях, а не в принципі вирішення.

Але... Зустрічаються в процесі розв'язання найелементарніших лінійних рівнянь такі сюрпризи, що можуть і у сильний ступор увігнати...) На щастя, таких сюрпризів може бути лише два. Назвемо їх особливими випадками.

Особливі випадки під час вирішення лінійних рівнянь.

Сюрприз перший.

Припустимо, трапилося вам найелементарніше рівняння, що-небудь, типу:

2х +3 = 5х +5 - 3х - 2

Злегка нудна, переносимо з іксом вліво, без ікса - вправо... Зі зміною знака, все чин-чинарем... Отримуємо:

2х-5х +3х = 5-2-3

Вважаємо, і... опаньки! Отримуємо:

Сама собою ця рівність не викликає заперечень. Нуль справді дорівнює нулю. Але ж ікс пропав! А ми зобов'язані записати у відповіді, чому дорівнює ікс.Інакше, рішення не вважається, так ...) Тупик?

Спокій! У таких сумнівних випадках рятують найзагальніші правила. Як розв'язувати рівняння? Що означає розв'язати рівняння? Це означає, знайти всі значення ікса, які, при підстановці у вихідне рівняння, дадуть нам правильну рівність.

Але вірна рівність у нас вжевийшло! 0=0, куди вже вірніше? Залишається збагнути, за яких іксів це виходить. Які значення ікса можна підставляти в вихіднерівняння, якщо ці ікси все одно скорочуються на повний нуль?Нумо?)

Так! Ікси можна підставляти будь-які!Які бажаєте. Хоч 5, хоч 0,05, хоч -220. Вони все одно скоротяться. Якщо не вірите - можете перевірити.) Підставляйте будь-які значення ікса в вихіднерівняння та порахуйте. Весь час виходитиме чиста правда: 0 = 0, 2 = 2, -7,1 = -7,1 і так далі.

Ось вам і відповідь: х – будь-яке число.

Відповідь можна записати різними математичними значками, суть не змінюється. Це абсолютно правильна і повноцінна відповідь.

Сюрприз другий.

Візьмемо те саме елементарне лінійне рівняння і змінимо в ньому лише одне число. Ось таке вирішуватимемо:

2х +1 = 5х +5 - 3х - 2

Після тих самих тотожних перетворень ми отримаємо щось інтригуюче:

Ось так. Вирішували лінійне рівняння, здобули дивну рівність. Говорячи математичною мовою, ми отримали неправильна рівність.А кажучи простою мовою, Неправда це. Маячня. Але тим не менш, це марення - цілком вагома основа для правильного рішеннярівняння.)

Знову міркуємо, виходячи з загальних правил. Які ікси при підстановці у вихідне рівняння дадуть нам вірнерівність? Та ніякі! Немає таких іксів. Чого не підставляй, все скоротиться, залишиться марення.)

Ось вам і відповідь: рішень немає.

Це також цілком повноцінна відповідь. У математиці такі відповіді часто зустрічаються.

Ось так. Зараз, сподіваюся, зникнення іксів у процесі вирішення будь-якого (не тільки лінійного) рівняння вас анітрохи не збентежить. Справа вже знайома.)

Тепер, коли ми розібралися з усіма підводними каменями в лінійних рівняннях, має сенс їх вирішувати.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.