Стародавні системи числення. Системи числення (нумерація) – символічний метод запису чисел, подання їх за допомогою письмових знаків. Різні системи числення та натуральні числа

З найдавніших часів перед людьми стояла проблема позначення (кодування) числової інформації.

Маленькі діти показують свій вік на пальцях. Льотчик збив літак, йому за це малюють зірку, Робінзон Крузо вважав дні зарубками.

Числом позначали деякі реальні об'єкти, властивості яких були однакові. Коли щось вважаємо чи перераховуємо, ми хіба що знеособлюємо предмети, тобто. маємо на увазі, що їхні властивості однакові. Але головною властивістю числа є наявність об'єкта, тобто. одиниця та її відсутність, тобто. нуль.

Що таке цифра?

Цифри та цифри – це різні речі! Розглянемо два числа 5 2 і 2 5. Цифри одні й самі – 5 і 2.

А чим ці цифри відрізняються?

Порядком цифр? – Так! Але краще сказати – позицією цифри у числі.

Давайте подумаємо, що це таке системи числення?

Це запис чисел? Так! Але ми не можемо писати так, як нам заманеться – нас мають розуміти інші люди. Тому необхідно ще використовувати і певні правилаїх записи.

Поняття системи числення

Для запису інформації про кількість об'єктів використовуюються числа. Числа записуються з використанням спеціальних знакових систем, які називаються системами числення. Алфавіт систем числення складається із символів, які називаються цифрами. Наприклад, у десятковій системі числення числа записуються за допомогою десяти всім добре відомих цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Усі системи числення діляться на великі групи: позиційні і непозиційні системи числення. У позиційних системах числення значення цифри залежить від її становища в числі, а непозиційних — не залежить.

Непозиційні системи числення виникли раніше за позиційні, тому розглянемо спочатку різні непозиційні системи числення .

Непозиційні системи числення

До непозиційних систем належать: римська система числення, алфавітні системи числення та інші.

Спочатку люди просто розрізняли ОДИН предмет перед ними чи ні. Якщо предмет був не один, то говорили «Багато».

Першими поняттями математики були"менше", "більше", "стільки ж".

Якщо одне плем'я змінювало пійманих риб на зроблені людьми іншого племені кам'яні ножі, не треба було рахувати скільки принесли риб і скільки ножів. Достатньо було покласти поруч із кожною рибою по ножу, щоб обмін між племенами відбувся.

Рахунок виник тоді, коли людині знадобилося повідомляти своїм одноплемінникам про кількість знайдених їм предметів.

І, т оскільки багато народів у давнину не спілкувалися один одним, то у різних народів виникли різні системичислення та подання чисел та цифр.

Пальці виявилися чудовою обчислювальною машиною. З їхньою допомогою можна було рахувати до 5, а якщо взяти дві руки, то і до 10. У давнину люди ходили босоніж. Тому вони могли користуватися для рахунку пальцями як рук, так і ніг. До цих пір існують у Полінезії племена, використовующі з 20-ою системою числення. Однак відомі народи, у яких одиницями рахунку були пальці, які суглоби. Досить широке розповсюдженнямала дванадцяткова система числення. Походження її пов'язане з рахунком на пальцях. Вважали великим пальцем руки фаланги решти чотирьох пальців: їх 12. Елементи дванадцятирічної системи числення збереглися в Англії у системі заходів (1 фут = 12 дюймів) та у грошовій системі (1 шилінг = 12 пенсів). Нерідко і ми стикаємося у побуті з дванадцятковою системою числення: чайні та столові сервізи на 12 персон, комплект носовичків — 12 штук. Числа в англійській мовівід одного до дванадцяти мають свою назву, наступні числа є складовими: Для чисел від 13 до 19 - закінчення слів - teen. Наприклад, 15 - п'ятнадцять.

Пальцевий рахунок зберігся подекуди й досі.Н наприклад, на найбільшій світовій хлібній біржі в Чикаго пропозиції та запити, як і ціни оголошуються маклерами на пальцях без жодного слова.

Запам'ятовувати великі числа було важко, тому до «лічильної машини» рук та ніг стали додавати різні пристрої. З'явилася потреба у записі чисел.

Кількість предметів зображувалася нанесенням рисок або засічок на будь-якій твердій поверхні: камені, глині.

Поодинока («палична») система числення

Чим більше зерна збирали люди зі своїх полів, чим численнішими ставали їхні стада, тим більші числа ставали їм потрібні.

Одиничний запис для таких чисел був громіздким і незручним, тому люди почали шукати компактніші способи позначати великі числа.

Давньоєгипетська десяткова система числення

(2,5 тисячі років до н.е.)

Приклад1. Запишіть число 1 245 386 у давньоєгипетському записі

З операціями складання та віднімання люди мали справу задовго до того, як числа отримали імена.

Коли кілька груп збирачів коріння або рибалок складали в одне місце свій видобуток, вони виконували операцію додавання .

З операцією множення люди познайомилися, коли почали сіяти хліб і побачили, що зібраний урожай у кілька разів більший, ніж кількість посіяного насіння.

Коли видобуте м'ясо тварин чи зібрані горіхи ділили порівну між усіма " ротами " , виконувалася операціяподілу.

Як же єгиптяни рахували?

Множення та розподіл єгиптяни робили шляхом послідовного подвоєння чисел.

приклад. 19*31

Єгиптяни послідовно подвоювали число 31. У правому стовпці записували результати подвоєння, а лівому - відповідний ступінь двійки.

Римська десяткова система числення

(2 тисячі років до н.е. та до наших днів)

Найпоширенішою з непозиційних систем числення є римська система.

Головна проблемаз римськими цифрами у тому, що складно виробляти множення і розподіл. Іншим недоліком римської системи є: запис великих чисел вимагає введення нових символів. А дробові числаможна записувати лише як відношення двох чисел. Проте вони були основними до кінця середньовіччя. Але й у наш час їх використовують.

Згадайте де?

Значення цифри залежить від її становища в числе.

Наприклад, у числі XXX (30) цифра X зустрічається тричі і в кожному випадку позначає ту саму величину - число 10, три числа по 10 у сумі дають 30.

Величина числа в римській системі числення визначається як сума чи різниця цифр у числі. Якщо менша цифра стоїть ліворуч від більшої, вона віднімається, якщо справа - додається.

Запам'ятайте: 5, 50, 500 не повторюються!

А які можуть повторюватись?

Е якщо ліворуч від старшої цифри стоїть молодша, то вона забирається. Якщо молодша цифра стоїть праворуч від старшої, вона додається - I, X, C, M можуть повторюватися до 3-х раз.

Наприклад:

1) MMIV = 1000 +1000 +5-1 = 2004

2) 149 = (Сто - C, сорок - XL, а дев'ять - IX) = CXLIX

Наприклад, запис десяткового числа 1998 р. в римській системі числення буде виглядати наступним чином: МСМХСVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Алфавітні системи числення

Алфавітні непозиційні системи числення були поширені у давніх вірмен, грузинів, греків (альфа, бета, гамма), арабів, євреїв та інших народів Близького Сходу, і навіть у слов'ян (аз, буки, веди).

приклад. Запишемо число 444 у слов'янській системі.

Ми бачимо, що запис вийшов не довшим за наш десятковий. Це тим, що у алфавітних системах використовувалося, по крайнього заходу, 27 «цифр».

Чи потрібні алфавітні системи?

Недоліки непозиційних систем числення:

1. Існує постійна потреба запровадження нових знаків для запису великих чисел.

2. Неможливо представляти дробові та негативні числа.

3. Важко виконувати арифметичні операції, оскільки немає алгоритмів їх виконання. Зокрема, у всіх народів поряд із системами числення були способи пальцевого рахунку, а греки мали лічильну дошку абак – щось на зразок наших рахунків.

Аж до кінця середньовіччя не існувало жодної універсальної системи запису чисел. Тільки з розвитком математики, фізики, техніки, торгівлі, фінансової системи виникла потреба в єдиній універсальній системі числення, хоч і зараз багато племен, нації та народності використовують інші системи числення.

Але ми досі користуємося елементами непозиційної системи числення у повсякденному мовленні, зокрема, ми говоримо сто, а не десять десятків, тисяча, мільйон, мільярд, трильйон.

Будь-яка позиційна система числення характеризується своєю основою.

Заснування позиційної системи числення— кількість різних цифр, що використовуються для зображення чисел у системі обчислення.

За основу можна прийняти будь-яке натуральне число — два, три, чотири, ..., утворивши нову позиційну систему: двійкову, трійкову, четвіркову та .. .

Десяткова п озиційна система числення

Індійські вчені зробили одне з найважливіших у математиці відкриттів – винайшли позиційну систему числення, якою тепер користується весь світ. Ал-Хорезмі докладно описав індійську арифметику у своїй книзі.

Через триста років (1120 р.) цю книгу переклали на Латинська мова, і вона стала першим підручником "індійської" арифметики для всіх європейських міст.

Підстави, що використовуються в наші дні:

10 у звичної десяткової системи числення (десять пальців на руках). Алфавіт: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

60 придумано в Стародавньому Вавилоні: розподіл години на 60 хвилин, хвилини - на 60 секунд, кута - на 360 градусів.

12 поширили англосакси: у році 12 місяців, на добу два періоди по 12 годин, у футі 12 дюймів

7 використовується для рахунку днів тижня

Домашнє завдання: - вивчити визначення "система числення" та класифікацію СС

1. Які числа записані за допомогою римських цифр: МС I Х, L Х V?

2. Запишіть рік народження:

А) у давньоєгипетській системі числення;

б) у римській системі числення;

В) у давньослов'янській системі числення.

Система зчислення- це сукупність прийомів та правил для позначення та іменування чисел.

Сучасна людина в повсякденному життіпостійно стикається з числами: ми запам'ятовуємо номери автобусів та телефонів, у магазині підраховуємо вартість покупок, ведемо свій сімейний бюджету рублях та копійках (сотих частках рубля) і т.д. Числа, цифри... вони з нами скрізь. А що знала людина про числа кілька тисяч років тому? Питання непросте, але дуже цікаве. Історики довели, що й п'ять тисяч років тому люди могли записувати числа та робити над ними арифметичні дії. Звичайно, принципи запису були зовсім не такі, як зараз. Але в будь-якому випадку число зображувалася за допомогою одного або кількох символів.

Ці символи, що беруть участь у записі числа, в математиці та інформатиці прийняти називати цифрами

Але що люди розуміють тоді під словом " число " ?

Спочатку поняття абстрактного числа було відсутнє, число було "прив'язане" до тих конкретних предметів, які перераховували. Абстрактне поняття натурального числа з'являється разом з розвитком писемності. Дробні числа винайшли тоді, коли виникла необхідність проводити вимірювання. Вимірювання, як відомо, це порівняння з іншою величиною того ж роду, що вибирається як зразок.

Еталон називається ще одиницею виміру. Зрозуміло, що одиниця виміру який завжди вкладалася цілу кількість разів у величині. Звідси й виникла практична потреба запровадити дрібніші числа, ніж натуральні. Подальший розвитокпоняття числа зумовлювалося вже розвитком математики.

Поняття числа - фундаментальне поняття як математики, і інформатики. Надалі під час викладу матеріалу під числом ми розумітимемо його величину, а чи не його символьну запис.

Сьогодні, наприкінці XX століття, для запису чисел людство використовує переважно десяткову систему числення. А що таке система числення?

Система зчислення - це спосіб запису (зображення) чисел.

Різні системиобчислення, які існували раніше і які використовуються в даний час, поділяються на дві групи: позиційні та непозиційні.

Найбільш досконалими є позиційні системи числення, тобто. системи запису чисел, у яких вклад кожної цифри у величину числа залежить від її становища (позиції) у послідовності цифр, що зображує число. Наприклад, наша звична десяткова система є позиційною: у числі 34 цифра 3 позначає кількість десятків і "вносить" у величину числа 30, а в числі 304 та сама цифра 3 позначає кількість сотень і "вносить" у величину числа 300.

Системи числення, у яких кожній цифрі відповідає величина, яка залежить від її місця у записі числа, називаються непозиційними.

Позиційні системи числення – результат тривалого історичного розвиткунепозиційних систем числення.

Поодинока система

Потреба запису чисел з'явилася в дуже давні часи, як тільки люди почали рахувати. Кількість предметів, наприклад овець, зображувалася нанесенням рисок або засічок на будь-якій твердій поверхні: камені, глині, дереві (до винаходу паперу було ще дуже і дуже далеко). Кожній вівці у такому записі відповідала одна рисочка. Археологами знайдено такі " записи " при розкопках культурних верств, які стосуються періоду палеоліту (10 - 11 тисяч років до н.е.).

Вчені назвали цей спосіб запису чисел одиничною ("паличною") системою числення. У ньому для запису чисел застосовувався лише одне вид знаків - " паличка " . Кожне число в такій системі числення позначалося за допомогою рядка, складеного з паличок, кількість яких і дорівнювала числу, що позначається.

Незручності такої системи запису чисел і обмеженість її застосування очевидні: чим більше треба записати, тим довше рядок з паличок. Та й при записі великої кількості легко помилитися, завдавши зайвої кількості паличок або, навпаки, не дописавши їх.

Можна запропонувати, що з полегшення рахунку люди почали групувати предмети по 3, 5, 10 штук. І під час запису використовували знаки, відповідні групі із кількох предметів. Природно, що з підрахунку використовувалися пальці рук, тому першими з'явилися знаки позначення група предметів із 5 і десяти штук (одиниць). Таким чином, виникли вже більше зручні системизапису чисел.

Давньоєгипетська десяткова непозиційна система

У давньоєгипетській системі числення, яка виникла в другій половині третього тисячоліття до н. Числа в єгипетській системі числення записувалися як комбінації цих цифр, у яких кожна їх повторювалася трохи більше дев'яти раз.

приклад. Число 345 стародавні єгиптяни записували так:

Одиниці Десятки Сотні

В основі як паличної, так і давньоєгипетської системи числення лежав простий принцип додавання, згідно з яким значення числа дорівнює сумі значень цифр, що беруть участь у його записі. Вчені відносять давньоєгипетську систему числення до десяткової непозиційної.

Вавилонська шістдесяткова система

Також далеко від наших днів, за дві тисячі років до н.е., в іншій великій цивілізації – вавилонській – люди записували цифри по-іншому.

Числа у цій системі числення складалися із знаків двох видів: прямий клин служив для позначення одиниць, а лежачий клин – для позначення десятків.

Для визначення значення числа треба було зображення числа розбити праворуч наліво. Новий розряд починався з появи прямого клину після лежачого, якщо розглядати число праворуч наліво.

Наприклад: Число 32 записували так:

Знаки прямий клин та лежачий клин служили цифрами у цій системі. Число 60 знову позначалося тим же прямим клином, що і 1, цим же знаком позначалися і числа 3600 = 60 2 216000 = 60 3 і всі інші ступеня 60. Тому вавілонська система числення отримала назву шістдесятковій.

Значення числа визначали за значеннями складових його цифр, але з урахуванням того, що цифри в кожному наступному розряді означали в 60 разів більше за ті самі цифри в попередньому розряді.

приклад. Число 92=60+32 записували так:

а число 444 у цій системі запису чисел мало вигляд

т.к. 444 = 7 * 60 +24.

Винятково для наочності розділений пробілом (якого був у вавилонян) старший розряд (лівий) і молодший.

Усі числа від 1 до 59 вавилоняни записували в десятковій непозиційній системі, а число загалом - у позиційній системі з основою 60. число одиничний шістдесятковий

Запис числа у вавилонян був неоднозначним, т.к. немає цифри для позначення нуля. Запис числа 92, наведений вище, міг позначати як 92=60+32, а й, наприклад, 3632=3600+32. Для визначення абсолютного значення числа були потрібні додаткові відомості. Згодом вавилоняни ввели спеціальний символ для позначення пропущеного шестидесяткового розряду.

що відповідає появі цифри 0 запису десяткового числа.

приклад. Число 3632 тепер потрібно було записувати так:

Але наприкінці числа цей знак звичайно ставився, тобто. цей символ все ж таки не був цифрою "нуль" у нашому розумінні, і знову ж таки були потрібні додаткові відомості для того, щоб відрізнити 1 від 60, від 3600 і т.д.

Таблицю множення вавилоняни будь-коли запам'ятовували, т.к. це було майже неможливо. При обчислення використовувалися готові таблиці множення.

Шістдесяткова вавилонськасистема – перша відома нам система числення, частково заснована на позиційному принципі.

Система вавилонян зіграла велику рольу розвитку математики та астрономії, її сліди збереглися і донині. Так, ми й досі ділимо годину на 60 хвилин, а хвилину на 60 секунд. Наслідуючи приклад вавилонян, ми і коло ділимо на 360 частин (градусів).

Римська система

Знайома нам римськасистема не надто принципово відрізняється від єгипетської. У ній для позначення чисел 1, 5, 10, 50, 100, і 1000 використовуються великі латинські літери I, V, X, C, Dі Mвідповідно, є цифрами цієї системи числення.

Число в римській системі числення позначається набором цифр, що стоять поспіль. Значення числа дорівнює:

• 1. сумі значень кількох однакових цифр, що йдуть поспіль (назвемо їх групою першого виду);
• 2. різниці значень двох цифр, якщо ліворуч від більшої цифри стоїть менша. У цьому випадку значення більшої цифри забирає значення меншої цифри. Разом вони утворюють групу другого виду. Зауважимо, що ліва цифра може бути меншою за праву максимум на один порядок: так, перед L(50) і С(100) з "молодших" може стояти тільки X(10), перед D(500) і M(1000) - тільки C(100), перед V(5) - лише I(1);
• 3. сумі значень груп і цифр, що не увійшли до груп першого або другого виду.

Приклад 1. Число 32 у римській системі числення має вигляд XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (дві групи першого виду).

Приклад 2. Число 444, що має у своїй десяткового запису 3 однакові цифри, в римській системі числення буде записано у вигляді CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три групи другого виду).

Приклад 3. Число 1974 римської системі числення матиме вигляд MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (поряд із групами обох видів у формуванні числа беруть участь окремі "цифри").

У сучасному світівідомо безліч способів представлення чисел. Число можна уявити групою символів деякого алфавіту.
Система числення – сукупність правил для позначення та найменування чисел.
Сама найпростіша системачислення - унарна, в якій використовується всього 1 символ (паличка, вузлик, зарубка, камінчик і т.д.
Найбільш досконалим принципом подання чисел є позиційний (помісний) принцип, згідно з яким один і той самий числовий знак (цифра) має різні значенняв залежності від місця, де він розташований.
Незважаючи на природність такої системи, що здається, вона стала результатом тривалого історичного розвитку. Виникнення десяткової системи числення пов'язують із рахунком пальцями. Були системи числення і з іншою основою: 5, 12 (рахунок дюжинами), 20 (сліди такої системи збереглися у французькій мові, наприклад cuatro - vingts, тобто буквально чотири - двадцять, означає 80), 40, 60 та ін. При обчислення на ЕОМ часто застосовується система числення з основою 2.

У первісних народів немає розвиненої системи числення. Ще в 19 столітті у багатьох племен Австралії та Полінезії було лише два числівники: один і два; поєднання їх утворювали числа: 3 - два - один, 4 - два - два, 5 - два - два - один і 6 - два - два - два. Про всі числа, великі 6, говорили «багато», не індивідуалізуючи їх. З розвитком суспільно – господарського життявиникла потреба у створенні систем числення, які б і позначати все більші сукупності предметів. Однією з найдавніших систем числення є єгипетська ієрогліфічна нумерація, що виникла ще за 2500 – 3000 років до зв. е. Це була десяткова непозиційна система числення, в якій для запису чисел застосовувався лише принцип додавання (числа, виражені поряд цифрами, що стоять, складаються).
Аналогічними системами числення були грецька геродіанова, римська, сирійська та ін.

Римські цифри – традиційна назва знакової системи позначення чисел, заснованої на вживанні особливих символів для десяткових розрядів:
I V X L З D M
1 5 10 50 100 500 1000
Більше досконалими системамичислення є алфавітними: іонійська, слов'янська, єврейська, арабська, а також грузинська та вірменська.
В алфавітних системах числення запис чисел набагато коротше, ніж у попередніх; крім того, над числами, записаними в алфавітній нумерації, набагато легше робити арифметичні дії. Однак в алфавітних системах числення не можна записувати скільки завгодно великі числа.
У системі числення стародавніх вавилонян, що виникла приблизно за 2000 років до н. е. всі числа записувалися за допомогою двох знаків: (для одиниці) та (для десяти). Числа до 60 записувалися як комбінації цих двох знаків із застосуванням принципу складання. Число 60 знову позначалося знаком, будучи одиницею вищого розряду. Для запису чисел від 60 до 3600 знову застосовувався принцип додавання, а число 36 000 позначалася тим самим знаком, як і одиниця, тощо. д. Число 343=5*60+4*10+3 у цій системі записувалося так:
Однак через відсутність знака для нуля, яким можна було б відзначати відсутні розряди, запис чисел у цій системі числення не був однозначним. Особливістю вавілонської системи числення було те, що абсолютне значення чисел залишалося невизначеним.

Інша система числення заснована на позиційному принципі, виникла в індіанців майя, мешканців півострова Юкатан ( Центральна Америка) у середині 1 – го тис. н. е. У майя існували дві системи числення: одна, що нагадує єгипетську, вживалася в повсякденному житті, інша - позиційна, з основою 20 і особливим знаком для нуля, застосовувалася при календарних розрахунках. Запис у цій системі, як і в нашій сучасній, мав абсолютний характер.

Сучасна десяткова позиційна система числення виникла з урахуванням нумерації, що зародилася пізніше 5 в. в Індії. До цього Індії були системи числення, у яких застосовувався як принцип додавання, а й принцип множення (одиниця якого – небудь розряду множиться на ліворуч число). Аналогічно будувалися старокитайська система числення та деякі інші. Якщо, наприклад, умовно позначити число 3 символом III, а число 10 символом X, число 30 запишеться як IIIX (три десятки). Такі системи числення могли бути підходом до моделювання десяткової позиційної нумерації.

Десяткова позиційна система дає важливу можливість записувати скільки завгодно великі числа. Запис чисел у ній компактний і зручний для виробництва арифметичних операцій. Тому незабаром після виникнення десяткова позиційна система числення починає поширюватися з Індії на Захід та Схід. У 9 столітті з'являються рукописи на арабською мовою, в яких викладається ця система числення, в 10 столітті десяткова позиційна нумерація доходить до Іспанії, на початку 12 століття вона з'являється і в інших країнах Європи. Нова система числення отримала назву арабської, тому що в Європі з нею познайомилися вперше з латинських перекладів з арабської. Тільки в 16 столітті нова нумерація набула широкого поширення в науці та житейському побуті. У Росії вона починає поширюватися в 17 столітті і на самому початку 18 ст. витісняє алфавітну. Із введенням десяткових дробівдесяткова позиційна система числення стала універсальним засобомдля запису всіх дійсних чисел.

Вивчення древніх систем числення та розв'язання задачі з їх застосуванням.

Дослідницька робота:

«Системи числення стародавнього світу»

"Математика - цариця наук" - говорить відома приказка. Головною її частиною, природно, є цифри. Зараз у світі використовується більш менш загальна, добре сформована система. Але що було 3, 4, 5 тис. Років тому?

І тому нашою головною метою є дати відповіді на такі запитання:

• Які держави мали розвиненіші системи числення?
• Які системи вони використали?
• Як розвивалися системи числення?

Завдання: вивчення матеріалів для системи числення давнини, вирішення сучасної задачі з використанням всіх досліджуваних систем.

Предмет дослідження системи числення давнини.

Перед початком пошуку інформації ми визначили такі держави вивчення:

Стародавній Єгипет

ØВавілон

ØДревня Греція

1.Древній Єгипет

Розшифрування системи числення, створеної в Єгипті за часів першої династії (бл. 2850 до н.е.), було суттєво полегшено тим, що ієрогліфічні написи стародавніх єгиптян були акуратно вирізані на кам'яних пам'ятниках. З цих написів нам відомо, що стародавні єгиптяни використовували лише десяткову систему числення. Одиницю позначали однією вертикальною рисою, а позначення чисел, менших 10, потрібно було поставити відповідне число вертикальних штрихів. Для позначення числа 10, підстави системи, єгиптяни замість десяти вертикальних рис ввели новий колективний символ, що нагадує за своїми контурами підкову або крокетну дужку. Безліч із десяти підковоподібних символів, тобто. Число 100, вони замінили іншим новим символом, що нагадує сільця; десять силачів, тобто. Число 1000 єгиптяни позначили стилізованим зображенням лотоса. Продовжуючи так само, єгиптяни позначили десять лотосів зігнутим пальцем, десять зігнутих пальців – хвилястою лінією і десять хвилястих ліній– фігуркою здивованої людини. У результаті давні єгиптяни могли становити числа до мільйона. Найдавніші з математичних записів, що дійшли до нас, висічені на камені, але найбільш важливі свідчення давньоєгипетської математичної діяльності відображені на набагато більш тендітному і недовговічному матеріалі - папірусі. Два таких документи - папірус Ринда, або єгипетського переписувача Ахмеса (бл. 1650 до н.е.) і московський папірус, або папірус Голенищева (бл. 1850 до н.е.) - служать для нас основними джерелами відомостей про давньоєгипетську арифметику . У цих папірусах більш давній ієрогліфічний лист поступився місцем скорописному ієратичному листу, і ця зміна супроводжувалася використанням нового принципу позначення чисел. Ієрогліфічний запис чисел використовувався переважно в офіційних документівта тексти. Ще пізніше ієратична система позначення чисел поступилася місцем демотичним системам запису. Введення єгиптянами цифрових позначень ознаменувало одне із важливих етапіву розвитку систем числення, оскільки дозволило істотно скоротити записи. Однак їх операції з дробами продовжували залишатися на примітивному рівні, оскільки вони знали лише аліквотні дроби (тобто дроби з чисельником 1) і кожен дріб записували у вигляді суми аліквотних дробів, наприклад, дріб 2/43 вони записали б так: 1 /42 + 1/86 + 1/129 + 1/301. У цих системах числення над символом, що означає знаменник, ставився спеціальний знак. У мистецтві оперування дробами єгиптяни значно поступалися жителям Месопотамії.

2.Вавілон

Писемність шумерів є, мабуть, настільки ж давньою, як і писемність єгиптян. Розвиток способів представлення чисел у Месопотамській долині спочатку йшло так само, як і в долині Нілу, але потім мешканці Межиріччя ввели зовсім новий принцип. Вавилонці робили записи гострою паличкою на м'яких глиняних табличках, які потім обпалювалися на сонці або в печі. Ці записи виявилися виключно довговічними, а тому, на відміну від єгипетських папірусів, які дійшли до нас у вельми малій кількості екземплярів, у музеях світу зберігаються десятки тисяч клинописних табличок. Однак жорсткість матеріалу, на якому жителі Месопотамії робили записи, глибоко вплинула на розвиток числових позначень. Через деякий час після того, як Аккад завоював шумерів, система числення в Месопотамії стала шістдесятковою, хоча збереглося також і підстава 10. Припущення правдоподібного, що здавалося правдивим, щодо того, чому вибір впав на число 60 як на основу вавілонської системи числення, і стверджували, ніби це пов'язано з тим, що тривалість земного року вважалася рівною 360 дням, не отримало підтвердження. Нині прийнято вважати, що шістдесяткова система була обрана з метрологічних міркувань: число 60 має багато дільників.

3.Древня Греція

У Стародавню Греціюмали ходіння дві основні системи числення – аттична (або геродіанова) та іонічна (вона ж олександрійська чи алфавітна). Аттична система числення використовувалася греками, очевидно, вже 5 в. до н.е. Фактично це була десяткова система (хоча у ній було виділено і число п'ять), а аттичні позначення чисел використовували повтори колективних символів. Риса, що позначала одиницю, повторена необхідну кількість разів, означала числа до чотирьох. Після чотирьох чорт греки замість п'яти чорт запровадили новий символ Г, першу літеру слова «пента» (п'ять) (літера Г вживалася позначення звуку «п», а чи не «г»). Дійшовши до десяти, вони запровадили ще один новий символ D, першу букву слова "дека" (десять). Оскільки система була десятковою, грекам були потрібні нові символи для кожного нового ступеня числа 10: символ Hозначав 100 (гекатон), X- 1000 (хіліої), символ M– 10000 (міріої чи міріада).

Іонічна система спочатку не сильно потіснила вже усталену атичну або акрофонічну (за початковими буквами слів, що означали чисельні) системи обчислення. Очевидно, офіційно вона була прийнята в Олександрії за правління Птолемея Філадельфійського і в наступні роки поширилася звідти по всьому грецькому світу, включаючи Аттіку. Перехід до іонічної системи числення відбувся в золоте століття давньогрецької математики і, зокрема, за життя двох найбільших математиків античності. Є щось більше, ніж просто збіг, у тому, що саме тоді Архімед та Аполлоній працювали над удосконаленням системи позначення великих чисел. Архімед, який вигадав схему октад (еквівалентну сучасного використанняпоказників ступеня числа 10) гордо заявляв у своєму творі «Псаміт» («Обчислення піщин»), що може чисельно висловити кількість піщин, необхідних для того, щоб заповнити весь відомий тоді Всесвіт. Винайдена ним система позначення чисел включала число, яке нині можна було б записати у вигляді одиниці, за якою слід було б вісімдесят тисяч мільйонів цифр.

Римські позначення чисел відомі нині краще, ніж будь-яка інша давня система числення. Пояснюється це не стільки якимись особливими перевагами римської системи, скільки тим величезним впливом, яким мала римська імперія в порівняно недавньому минулому. Етруски, що завоювали Римську імперію в 7 ст. е., випробували у собі вплив східно-середземноморських культур. Цим частково пояснюється подібність основних принципів Римської та аттичної систем числення. Обидві системи були десятковими, хоча в обох системах числення особливу роль відігравало п'ять. Обидві системи використовували під час запису чисел символи, що повторюються. Старими римськими символами для позначення чисел 1, 5, 10, 100 та 1000 були, відповідно, символи I,V,X,Q(або Е, або Д) та f. Хоча про початкове значення цих символів було написано багато, їхнього задовільного пояснення ми досі не маємо. Дробів римляни уникали так само завзято, як і великих чисел.

Одна з найдавніших системчислення була створена в Китаї, а також у Японії. Ця система виникла як результат оперування з паличками, що викладаються для рахунку на стіл або дошку. Числа від одиниці до п'яти позначалися відповідно однією, двома і т.д. паличками, що викладаються вертикально, а одна, дві, три чи чотири вертикальні палички, над якими містилася одна поперечна паличка, означали числа шість, сім, вісім та дев'ять. Перші п'ять кратних числа 10 позначалися однією, двома, п'ятьма горизонтальними паличками, а одна, дві, три і чотири горизонтальні палички, яких зверху приставлялася вертикальна паличка, означали числа 60, 70, 80 і 90.

У другий китайській системіОбчислення для позначення перших дев'яти цілих чисел або символів використовують дев'ять різних знаків і одинадцять додаткових символів для позначення перших одинадцяти ступенів числа 10. У поєднанні з множенням та відніманням це дозволяло записувати будь-яке число менше трильйона. Якщо один із символів, що позначають перші дев'ять цілих чисел, стоїть перед (при читанні зліва направо) символом, що означає ступінь числа 10, то перше потрібно помножити на друге, якщо символ одного з дев'яти перших цілих чисел стоїть на останньому місці, то це число слід додати до позначеного попередніми символами.

Письмових пам'яток давньоіндійської цивілізації збереглося дуже небагато, але, зважаючи на все, індійські системи числення проходили у своєму розвитку ті самі етапи, що й у всіх інших цивілізаціях. На стародавніх написах із Мохенджо-Даро вертикальна рисочка в записі чисел повторюється до тринадцяти разів, а угруповання символів нагадує ту, яка знайома нам за єгипетськими ієрогліфічними написами. Протягом деякого часу мала ходіння система числення, що дуже нагадує атичну, в якій для позначення чисел 4, 10, 20 і 100 використовувалися повторення колективних символів. Ця система, яка називається кхарошті, поступово поступилася місцем іншої, відомої під назвою брахмі, де буквами алфавіту позначалися одиниці (починаючи з чотирьох), десятки, сотні і тисячі. Перехід від кхарошті до брахмі відбувався в ті роки, коли в Греції, невдовзі після вторгнення до Індії Олександра Македонського, іонічна система числення витіснення

Стародавні системи числення відрізняються великою різноманітністю, оскільки звичний спосіб запису чисел з допомогою десяти знаків з'явився далеко ще не відразу.
Насамперед слід зазначити, що існували дві основні системи числення - п'ятирічна і звична нам десятирічна. Крім них, існувала так само 12-річна, яка в Англії аж до 19 століття взагалі панувала. З Стародавнього Вавилону прийшла до нас і 60-річна система числення, яка застосовується досі при вимірі кутових величин- коло, що складається з 360 градусів ділиться без залишку на багато зручні цифри. Варто зазначити, що в стародавні системи численняряду народів простежуються залишки більш давньої п'ятирічної системи - у стародавніх римлян і майя, наприклад.

Різноманітність насправді невелика - в основному десяткова або п'ятирічно-десяткова. Але коли справа доходила до запису на папері чи камені, то тут, як кажуть, кожен був сам собі голова. Академій наук тоді не було, міністерств теж, про стандарти шкільної освітитим більше ніхто не чув, китайці знали про досягнення греків м'яко кажучи обмаль, і навпаки. Тому кожен винаходив свій спосіб запису.

Мабуть найдавнішим позначенням числа вважатимуться вертикальну паличку. Майже у всіх давніх народів вона природно зображувала одиницю. Далі йшли відповідно дві, три, рідше чотири палички. Далі в основному вводили нові знаки після досягнення якогось числа, при якому записувати велика кількістьпаличок було просто незручно.

Інки в Південній Америці вигадали взагалі унікальну систему числення - типу - числа позначалися вузликами на шнурках! Розрізнялася форма вузликів, колір шнурків, їхнє розташування на шнурку. Система була досить складною, вимагала спеціального навчання, але цілком задовольняла інків, дозволяючи вести навіть подвійний рахунок у бухгалтерії!

У Стародавньому Єгиптііснувала десяткова система числення та існувало кілька систем позначення чисел. Ієрогліфічна форма запису, коли для всіх ступенів десяти, включаючи одиницю, був свій знак. Подібно до інших систем числення, будь-яке число можна було позначити додаванням числових значень цих знаків. Це "парадна", досить громіздка форма запису, тому існувала жрецька (ієратична) система числення, в якій для одиниць, десятків тощо. були окремі знаки. Складати в такому записі теж доводилося, але напис був помітно коротший. Пізніше виник ще простіший демотичний лист. Поки єгипетські системи числення в моєму не зроблені, через труднощі з кодуванням і шрифтами для давньоєгипетських написів.

Справжнім переворотом стало відкриття повноцінного поняття нуля індійськими математиками. Завдяки цьому з'явилася звична нам десяткова ПОЗИЦІЙНА система числення, розповідати про яку немає особливого сенсу. У багатьох країнах існують свої позначення для чисел, але насправді - всі вони відрізняються один від одного тільки зовнішнім виглядомзнаків (цифр) і трохи більше.

Я постарався не тільки зібрати всі ці системи числення Стародавнього Світу і різних народіввоєдино, але і зробити зручним для використання. У результаті вийшла програма "Тітло" - перекладач чисел .

Ще на цю тему: