Обчислити зазначені межі, не використовуючи правило лопіталю. Обчислення меж функцій онлайн

Рішення меж функції онлайн. Знайти граничне значення функції чи функціональної послідовності у точці, обчислити граничнезначення функції на нескінченності. визначити збіжність числового ряду та багато іншого можна виконати завдяки нашому онлайн сервісу- . Ми дозволяємо знаходити ліміти функцій онлайн швидко та безпомилково. Ви самі вводите змінну функціїі межа, до якої вона прагне, анаш сервіс проводить усі обчислення за вас, надаючи точну та просту відповідь. Причому для знаходження межі онлайнви можете вводити як числові ряди, так і аналітичні функції, що містять константи в буквеному виразі. У цьому випадку знайдена межа функції міститиме ці константи як постійні аргументи у виразі. Нашим сервісом вирішуються будь-які складні завданняза знаходженням меж онлайн, достатньо вказати функцію та точку в якій необхідно обчислити граничне значення функції. Вираховуючи межі онлайн, можна користуватися різними методамита правилами їх вирішення, при цьому звіряючи отриманий результат з рішенням меж онлайнна www.сайт, що призведе до успішного виконання завдання - ви уникнете власних помилок і описок. Або ви повністю можете довіритися нам і використати наш результат у своїй роботі, не витрачаючи зайвих зусиль та часу на самостійні обчислення межі функції. Ми допускаємо введення таких граничних значень, як нескінченність. Необхідно запровадити спільний член числової послідовностіі www.сайтобчислить значення межі онлайнна плюс чи мінус нескінченності.

Одним із основних понять математичного аналізу є ліміт функціїі межа послідовностіу точці та на нескінченності, важливо вміти правильно вирішувати межі. З нашим сервісом це не складе жодних труднощів. Проводиться рішення меж онлайнпротягом кількох секунд, відповідь точна і повна. Вивчення математичного аналізу починається з граничного переходу, межівикористовуються практично у всіх розділах вищої математики, тому корисно мати під рукою сервер рішення лімітів онлайнЯким є сайт.

Цей математичний калькуляторонлайн допоможе вам якщо потрібно обчислити межу функції. Програма вирішення межне просто дає відповідь задачі, вона наводить докладне рішення з поясненнями, тобто. відображає процес обчислення межі.

Ця програма може бути корисною учням старших класів загальноосвітніх шкілпри підготовці до контрольних робіт та іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завданняз математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Введіть вираз функції

Обчислити межу

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

У браузері вимкнено виконання JavaScript.
Щоб рішення з'явилося, потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Межа функції при х->х 0

Нехай функція f(x) визначена на деякій множині X і нехай точка \(x_0 \in X \) або \(x_0 \notin X \)

Візьмемо з X послідовність точок, відмінних від х 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
що сходить до х *. Значення функції у точках цієї послідовності також утворюють числову послідовність
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
і можна порушувати питання про існування її межі.

Визначення. Число А називається межею функції f(х) у точці х = х 0 (або при х -> x 0), якщо для будь-якої послідовності, що сходить до x 0 (1), значень аргументу x, відмінних від x 0 відповідна послідовність (2) значень функції сходиться до A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Функція f(x) може мати у точці x 0 лише одну межу. Це випливає з того, що послідовність
(f(x n)) має лише одну межу.

Існує інше визначення межі функції.

ВизначенняЧисло А називається межею функції f(x) у точці х = x 0 якщо для будь-якого числа \(\varepsilon > 0 \) існує число \(\delta > 0 \) таке, що для всіх \(x \in X, \;x \neq x_0 \), що задовольняють нерівності \(|x-x_0| Використовуючи логічні символи, це визначення можна записати у вигляді
((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Зазначимо, що нерівності \(x \neq x_0 , \;|x-x_0| Перше визначення засноване на понятті межі числової послідовності, тому його часто називають визначенням «на мові послідовностей».
Ці два визначення межі функції еквівалентні і можна використовувати будь-яке з них залежно від того, яке зручніше при вирішенні того чи іншого завдання.

Зауважимо, що визначення межі функції «мовою послідовностей» називають також визначенням межі функції за Гейном, а визначення межі функції «мовою \(\varepsilon - \delta \)» - визначенням межі функції по Коші.

Межа функції при x-> x 0 - і при x-> x 0 +

Надалі будуть використані поняття односторонніх меж функції, які визначаються в такий спосіб.

ВизначенняЧисло А називається правою (лівою) межею функції f(x) у точці x 0 якщо для будь-якої послідовності (1), що сходить до x 0, елементи x n якої більше (менше) x 0 , відповідна послідовність (2) сходиться до А.

Символічно це записується так:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Можна дати рівносильне визначення односторонніх меж функції «мовою \(\varepsilon - \delta \)»:

Визначеннячисло А називається правою (лівою) межею функції f(х) у точці x 0 якщо для будь-якого \(\varepsilon > 0 \) існує \(\delta > 0 \) таке, що для всіх x, що задовольняють нерівностям \(x_0 Символічні записи:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

Уявіть зграю горобців з витріщеними очима. Ні, це не грім, не ураган і навіть не маленький хлопчик із рогаткою в руках. Просто в саму гущу пташенят летить величезне-величезне гарматне ядро. Саме так правила Лопіталярозправляються з межами, у яких має місце невизначеність або .

Правила Лопіталя – дуже потужний метод, що дозволяє швидко та ефективно усунути зазначені невизначеності, не випадково у збірниках завдань, контрольні роботи, Заліки часто зустрічається стійкий штамп: «обчислити межу, не користуючись правилом Лопіталя». Виділене жирним шрифтом вимога можна з чистою совістюприписати і до будь-якої межі уроків Межі. Приклади рішень, Чудові межі. Методи розв'язання меж, Чудові еквівалентності, де зустрічається невизначеність «нуль на нуль» чи «нескінченність на нескінченність». Навіть якщо завдання сформульовано коротко – «обчислити межі», то негласно мається на увазі, що ви користуватиметеся всім, що завгодно, але не правилами Лопіталя.

Усього правил два, і вони дуже схожі один на одного як по суті, так і за способом застосування. Крім безпосередніх прикладів на тему, ми вивчимо і додатковий матеріал, який буде корисним у ході подальшого вивчення математичного аналізу.

Відразу зазначу, що правила будуть наведені в лаконічному «практичному» вигляді, і якщо вам належить складати теорію, рекомендую звернутися до підручника за суворішими викладками.

Перше правило Лопіталя

Розглянемо функції, які нескінченно малив деякій точці. Якщо існує межа їхніх відносин, то з метою усунення невизначеності можна взяти дві похідні– від чисельника та від знаменника. При цьому: , тобто .

Примітка : межа теж має існувати, інакше правило не застосовується.

Що випливає з вищесказаного?

По-перше, необхідно вміти знаходити похідні функцій, і чим краще – тим краще =)

По-друге, похідні беруться окремо від чисельника і окремо від знаменника. Будь ласка, не плутайте із правилом диференціювання приватного !!!

І, по-третє, «ікс» може прагнути куди завгодно, зокрема, до нескінченності – аби була невизначеність.

Повернемося до Прикладу 5 першої статті про межі, В якому був отриманий наступний результат:

До невизначеності 0:0 застосуємо перше правило Лопіталя:

Як бачите, диференціювання чисельника і знаменника призвело нас до відповіді з півоберта: знайшли дві прості похідні, підставили в них «двійку», і виявилося, що невизначеність безвісти зникла!

Не рідкість, коли правила Лопіталя доводиться застосовувати послідовно два або більше разів (це відноситься і до другого правила). Витягнемо на ретро-вечір Приклад 2 уроку про чудові межі:

на двоярусного ліжказнову прохолоджуються два бублики. Застосуємо правило Лопіталя:

Зверніть увагу, що на першому кроці у знаменнику береться похідна складної функції. Після цього проводимо ряд проміжних спрощень, зокрема, позбавляємося косинуса, вказуючи, що він прагне одиниці. Невизначеність не усунена, тому застосовуємо правило Лопіталя ще раз (другий рядок).

Я спеціально підібрав не найпростіший приклад, щоб ви провели невелике самотестування. Якщо не зовсім зрозуміло, як знайдено похідні, слід посилити свою техніку диференціювання, якщо не зрозумілий фокус із косинусом, будь ласка, поверніться до чудовим межам. Не бачу особливого сенсуу покрокових коментарях, тому що про похідні та межі я вже розповів досить докладно. Новизна статті полягає у самих правилах та деяких технічних прийомах рішення.

Як уже зазначалося, в більшості випадків правила Лопіталя використовувати не потрібно, але часто доцільно застосовувати їх для чорнової перевірки рішення. Найчастіше, але далеко не завжди. Так, наприклад, щойно розглянутий приклад значно вигідніше перевірити через чудові еквівалентності.

Друге правило Лопіталя

Брат-2 бореться з двома сплячими вісімками. Аналогічно:

Якщо існує межа відношення нескінченно великиху точці функцій: , то з метою усунення невизначеності можна взяти дві похідні- окремо від чисельника і окремо від знаменника. При цьому: , тобто при диференціюванні чисельника та знаменника значення межі не змінюється.

Примітка : межа повинна існувати

Знову ж таки, в різних практичні приклади значення може бути різним, зокрема, нескінченним. Важливо, щоб була невизначеність.

Перевіримо Приклад №3 першого уроку: . Використовуємо друге правило Лопіталя:

Коли мова зайшла про велетнів, розберемо дві канонічні межі:

Приклад 1

Обчислити межу

Отримати відповідь "звичайними" методами непросто, тому для розкриття невизначеності "нескінченність на нескінченність" використовуємо правило Лопіталя:

Таким чином, лінійна функціявищого порядку зростання , ніж логарифм з основою більшою одиниці( і т.д.). Зрозуміло, «ікси» у старших ступенях теж «перетягуватимуть» такі логарифми. Справді, функція зростає досить повільно та її графікє пологішим щодо того ж «ікса».

Приклад 2

Обчислити межу

Ще один кадр, що примелькався. З метою усунення невизначеності використовуємо правило Лопіталя, причому, двічі поспіль:

Показова функція, з основою, більшою за одиницю( і т.д.) вищого порядку зростання, ніж статечна функціяз позитивним ступенем.

Подібні межі зустрічаються в ході повного дослідження функції, а саме, при знаходженні асимптот графіків. Також помічаються вони і в деяких завданнях теорії ймовірностей. Раджу взяти на замітку два розглянуті приклади, це один із небагатьох випадків, коли краще диференціювання чисельника та знаменника нічого немає.

Далі за текстом я не розмежуватиму перше і друге правило Лопіталя, це було зроблено лише з метою структурування статті. Взагалі, на мій погляд, дещо шкідливо зайве нумерувати математичні аксіоми, теореми, правила, властивості, оскільки фрази на кшталт «згідно з наслідком 3 за теоремою 19…» інформативні лише в рамках того чи іншого підручника. В іншому джерелі інформації те саме буде «наслідком 2 і теоремою 3». Такі висловлювання формальні та зручні хіба що самим авторам. В ідеалі краще посилатися на суть математичного факту. Виняток – історично усталені терміни, наприклад, перша чудова межаабо друга чудова межа.

Продовжуємо розробляти тему, яку підкинув нам член Паризької академії наук маркіз Гійом Франсуа де Лопіталь. Стаття набуває яскраво вираженого практичного забарвлення і в досить поширеному завданні потрібно:

Для розминки розберемося з парою невеликих горобців:

Приклад 3

Межу можна попередньо спростити, позбавившись косинуса, проте виявимо повагу до умови і відразу продиференціюємо чисельник і знаменник:

У самому процесі знаходження похідних немає чогось нестандартного, так, у знаменнику використано звичайне правило диференціюваннятвори .

Розглянутий приклад розрулюється і через чудові межі, схожий випадок розібрано наприкінці статті Складні межі .

Приклад 4

Обчислити межу за правилом Лопіталя

Це приклад для самостійного рішення. Нормально пожартував =)

Типова ситуація, коли після диференціювання виходять три- або чотириповерхові дроби:

Приклад 5

Обчислити межу, використовуючи правило Лопіталя

Напрошується застосування чудової еквівалентності, але шлях жорстко визначений за умовою:

Після диференціювання настійно рекомендую позбавлятися багатоповерхів дробу і проводити максимальні спрощення. Звісно, ​​більш підготовлені студенти можуть пропустити останній крокі відразу записати: але в деяких межах заплутаються навіть відмінники.

Приклад 6

Обчислити межу, використовуючи правило Лопіталя

Приклад 7

Обчислити межу, використовуючи правило Лопіталя

Це приклади самостійного рішення. У Прикладі 7 можна нічого не спрощувати, занадто простий виходить після диференціювання дріб. А ось у Прикладі 8 після застосування правила Лопіталя вкрай бажано позбавитися триповерховості, оскільки обчислення будуть не найзручнішими. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку. Якщо виникли труднощі – тригонометрична таблицяв допомогу.

І, спрощення абсолютно необхідні, коли після диференціювання невизначеність не усунута.

Приклад 8

Обчислити межу, використовуючи правило Лопіталя

Поїхали:

Цікаво, що початкова невизначеність після першого диференціювання перетворилася на невизначеність, і правило Лопіталя незворушно застосовується далі. Також зауважте, як після кожного підходу усувається чотириповерховий дріб, а константи виносяться за знак межі. У більш простих прикладахконстанти зручніше не виносити, але коли межа складна, спрощуємо все-все-все. Підступність вирішеного прикладу полягає ще й у тому, що за , А тому в ході ліквідації синусів не дивно заплутатися в знаках. У передостанньому рядку синуси можна було й не вбивати, але приклад досить важкий, можна пробачити.

Днями мені трапилося цікаве завдання:

Приклад 9

Якщо чесно, трохи засумнівався, чому дорівнюватиме ця межа. Як демонструвалося вище, «ікс» більше високого порядкузростання, ніж логарифм, але чи «перетягне» він логарифм у кубі? Намагайтеся з'ясувати самостійно, за ким буде перемога.

Так, правила Лопіталя - це не тільки пальба по горобцях з гармати, але ще й копітка робота.

З метою застосування правил Лопіталя до бубликів або втомлених вісімок зводяться невизначеності виду.

Розправу з невизначеністю докладно розібрано в Прикладах №№9-13 уроку Методи розв'язання меж. Давайте для проформи ще один:

Приклад 10

Обчислити межу функції, використовуючи правило Лопіталя

На першому кроці наводимо вираз до спільному знаменнику, трансформуючи цим невизначеність на невизначеність . А потім заряджаємо правило Лопіталя:

Тут, до речі, той випадок, коли чотириповерховий вираз чіпатиме безглуздо.

Невизначеність теж не пручається перетворенню на або :

Приклад 11

Обчислити межу функції за допомогою правила Лопіталю

Межа тут одностороння, і про такі межі вже йшлося в методичці Графіки та властивості функцій. Як ви пам'ятаєте, графіка «класичного» логарифму не існує ліворуч від осі, таким чином ми можемо наближатися до нуля тільки праворуч.

Правила Лопіталя для односторонніх меж працюють, але спочатку необхідно розібратися з невизначеністю. На першому кроці робимо дріб триповерховим, отримуючи невизначеність, далі рішення йде за шаблонною схемою:

Після диференціювання чисельника та знаменника позбавляємося чотириповерхового дробу, щоб провести спрощення. В результаті намалювалася невизначеність. Повторюємо трюк: знову робимо дріб триповерховим і до отриманої невизначеності застосовуємо правило Лопіталя ще раз:

Готово.

Вихідна межаможна було спробувати звести до двох бубликів:

Але, по-перше, похідна у знаменнику важче, а по-друге, нічого хорошого з цього не вийде.

Таким чином, перед рішенням подібних прикладів слід проаналізувати(Усно або на чернетці), До якої невизначеності вигідніше звести - до «нуля на нуль» або до «нескінченності на нескінченність».

У свою чергу на вогник підтягуються товариші по чарці і більш екзотичні товариші. Метод трансформації простий та стандартний.

Ми вже почали розбиратися з межами та їх вирішенням. Продовжимо по гарячих слідах і розберемося з розв'язанням меж за правилом Лопіталя. Цьому простому правилупід силу допомогти Вам вибратися з підступних та складних пасток, які викладачі так люблять використовувати у прикладах на контрольних з вищої математики та матаналізу. Рішення правилом Лопіталя – просте та швидке. Головне – вміти диференціювати.

Правило Лопіталя: історія та визначення

Насправді це не зовсім правило Лопіталя, а правило Лопіталя-Бернуллі. Сформулював його швейцарський математик Йоганн Бернуллі, а француз Гійом Лопітальвперше опублікував у своєму підручнику нескінченно малих у славетному 1696 року. Уявляєте, як людям доводилося вирішувати межі з розкриттям невизначеностей перед тим, як це сталося? Ми – ні.

Перш ніж приступати до розбору правила Лопіталя, рекомендуємо прочитати вступну статтю про методи їх рішень. Часто у завданнях зустрічається формулювання: знайти межу, не використовуючи правило Лопіталя. Про прийоми, які допоможуть Вам у цьому, також читайте у нашій статті.

Якщо маєш справу з межами дробу двох функцій, будь готовий: скоро зустрінешся з невизначеністю виду 0/0 або нескінченність/нескінченність. Як це розуміти? У чисельнику і знаменнику вирази прагнуть нуля чи нескінченності. Що робити з такою межею, на перший погляд, зовсім незрозуміло. Однак, якщо застосувати правило Лопіталя і трохи подумати, все стає на свої місця.

Але сформулюємо правило Лопіталя-Бернуллі. Якщо бути точними, воно виражається теоремою. Правило Лопіталя, визначення:

Якщо дві функції диференціюються на околиці точки x=a звертаються в нуль у цій точці, і існує межа відношення похідних цих функцій, то при х що прагне до а існує межа відношення самих функцій, що дорівнює межі відносини похідних.

Запишемо формулу, і все одразу стане простіше. Правило Лопіталя, формула:

Оскільки нас цікавить практична сторона питання, не наводитимемо тут доказ цієї теореми. Вам доведеться або повірити нам на слово, або знайти його в будь-якому підручнику з математичного аналізу та переконається, що теорема вірна.

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя

У розкритті яких невизначеностей може допомогти правило Лопіталя? Раніше ми говорили здебільшого про невизначеність 0/0 . Однак це далеко не єдина невизначеність, з якою можна зустрітись. Ось інші види невизначеностей:

Розглянемо перетворення, за допомогою яких можна привести ці невизначеності до виду 0/0 або нескінченність/нескінченність. Після перетворення можна буде застосовувати правило Лопіталя-Бернуллі та клацати приклади як горішки.

Невизначеність виду нескінченність/нескінченність зводиться до невизначеності виду 0/0 простим перетворенням:

Нехай є твір двох функцій, одна з яких перша прагнути нуля, а друга – нескінченності. Застосовуємо перетворення, і добуток нуля та нескінченності перетворюється на невизначеність 0/0 :

Для знаходження меж з невизначеністю типу нескінченність мінус нескінченність використовуємо наступне перетворення, що призводить до невизначеності 0/0 :

Для того, щоб користуватися правилом Лопіталя, потрібно вміти брати похідні. Наведемо нижче таблицю похідних елементарних функцій, якою Ви зможете користуватися під час вирішення прикладів, а також правила обчислення похідних складних функцій:

Тепер перейдемо до прикладів.

Приклад 1

Знайти межу за правилом Лопіталя:

Приклад 2

Обчислити з використанням правила Лопіталя:

Важливий момент! Якщо межа других та наступних похідних функцій існує при х що прагне до а , то правило Лопіталя можна застосовувати кілька разів.

Знайдемо межу ( n – натуральне число). Для цього застосуємо правило Лопіталя n разів:

Бажаємо успіхів у освоєнні математичного аналізу. А якщо Вам знадобиться знайти межу, використовуючи правило Лопіталя, написати реферат з правилу Лопіталя диференціального рівнянняабо навіть розрахувати тензор інерції тіла, звертайтесь до наших авторів. Вони радо допоможуть розібратися в тонкощах рішення.

Інструкція

Безпосереднє обчислення меж пов'язано, насамперед, з межами раціональних Qm(x)/Rn(x), де Q і R багаточлени. Якщо обчислюється межа при х →a (a – число), може виникнути невизначеність, наприклад . Для її усунення поділіть чисельник і знаменник (х-а). Операцію повторюйте доти, доки невизначеність не пропаде. Розподіл многочленів здійснюється майже як і, як і розподіл чисел. Воно засноване на тому, що розподіл та множення – зворотні операції. Приклад наведено на рис. 1.

Застосування першої чудової межі. Формула для першої чудової межі наведена на рис. 2а. Для його застосування наведіть вираз вашого прикладу до відповідного вигляду. Це завжди можна зробити чисто алгебраїчною або заміною змінною. Головне - не забувайте, що якщо синус від kx, то знаменник теж kx. Приклад розглянуто на рис. 2e. Крім того, якщо врахувати, що tgx = sinx / cosx, cos0 = 1, то, як наслідок, з'являється (див. рис. 2b). arcsin(sinx)=x та arctg(tgx)=x. Тому є ще два наслідки (рис 2с. та 2d). Виник ще досить широкий набір способів.

Застосування другої чудової межі (Мал. 3а) Межі такого типу використовуються для усунення типу. Для вирішення відповідних завдань просто перетворіть умову до структури, що відповідає виду межі. Пам'ятайте, що при зведенні в ступінь виразу, що вже перебуває якоюсь мірою, їх перемножуються. Відповідний наведено на рис. 2е. Застосуйте підстановку α=1/х і отримайте слідство з другої чудової межі (рис. 2b). Прологарифмувавши на підставі а обидві частини цього слідства, прийдете до другого слідства, і при а = е (див. рис. 2с). Зробите заміну а x-1 = y. Тоді x = log (a) (1 + y). При прагненні х до нуля, у прагне до нуля. Тому виникає третє слідство (див. рис. 2d).

Застосування еквівалентних нескінченно малих.Безкінечно малі функції еквівалентні при х →а, якщо межа їх відношення α(х)/γ(х) дорівнює одиниці. При обчисленні меж за допомогою таких нескінченно малих просто запишіть γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) – це нескінченно мала вищого порядку малості, ніж α(x). Для неї lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. Для з'ясування еквівалентності використовуйте самі чудові межі. Метод дозволяє суттєво спростити процес, зробивши його прозорішим.

Джерела:

• Шипачов В.С. Вища математика. Навч. для вузів. - 3-тє вид., Стер. - М: Вищ. школа, 1996. – 496 с.: іл.

Функція одна із фундаментальних математичних понять. Її межа- Це таке значення, при якому аргумент прагне до межаної величині. Обчислити його можна, використовуючи деякі прийоми, наприклад правило Бернуллі-Лопиталя.

Інструкція

Щоб обчислити межав заданій точці x0, слід підставити це значення аргументу вираз функції, що стоїть під знаком lim. Зовсім не обов'язково, щоб ця належала області про межаня функції. Якщо межао межавін і дорівнює однозначному числу, тобто функція сходиться. Якщо ж він не може бути про межавін, або нескінченний у конкретній точці, то розбіжність.

Рішення.Підставте у вираз значення х = -2:lim (х² – 6 х - 14)/(2 х² + 3 х - 6) = -1/2.

Не завжди рішення є настільки очевидним і простим, особливо якщо вираз занадто громіздкий. У цьому випадку спочатку слід спростити його скорочення, угруповання або заміни змінної: lim_(х→-8) (10 х - 1)/(2 х + ∛x) = [у= ∛x] = lim_(у→-2) (10 у³ - 1)/(2 у³ + у) = 9/2.

Часто ситуації неможливості про межаення межаа, особливо якщо аргумент прагне нескінченності чи нуля. Підстановка не приносить очікуваного результату, приводячи до нео межаенності виду або [∞/∞]. Тоді застосовується Лопіталь-Бернуллі, яке передбачає перебування першої похідної. Наприклад, обчисліть межа lim (х² – 5 х -14)/(2 х²+ х - 6) при х→-2.

Рішення.lim (х ² - 5 х -14) / (2 х ² + х - 6) = .

Знайдіть похідну:lim (2 х - 5)/(4 х + 1) = 9/7.

lim (sinx/x) = 1 при x → 0, вірно та зворотне: lim (x/sinx) = 1; x → 0. Аргумент може бути будь-якою конструкцією, головне, щоб її значення прагнуло до нуля: lim (x ³ – 5 x 2 + x) / sin (x 3 – 5 x 2 + x) = 1; x → 0.

Відео на тему

Теорія меж- Досить велика область математичного аналізу. Це поняття застосовне до функції і є конструкцією з трьох елементів: позначення lim, вираз під знаком межі і граничне значення аргументу.

Інструкція

Щоб обчислити межу, необхідно , чому дорівнює функція у точці, що відповідає граничному значенню аргументу. У деяких випадках немає кінцевого рішення, а підстановка значення, якого прагне змінна, дає виду «нуль на нуль» чи «нескінченність на нескінченність». І тут застосовно , виведене Бернуллі і Лопиталем, яке передбачає взяття першої похідної.

Як і будь-яке математичне, межа може містити під своїм знаком вираз функції, занадто громіздке або незручне для простої підстановки. Тоді необхідно спростити його, користуючись звичайними методами, угруповання, винесення загального множника та заміна змінної, при якій змінюється і граничне значення аргументу.

Вам пощастило, вираз функції має сенс за даного граничного значення аргументу. Це найпростіший випадокобчислення межі. Тепер розв'яжіть наступне завдання, в якому фігурує неоднозначне поняття нескінченності: lm_(x→∞) (5 - x).

Правило Бернуллі-Лопіталя:lim_(x→-2) (x^5 – 4 x³)/(x³ + 2 х²) = (-32 + 32)/(-8 + 8) = .Продиференціюйте вираз функції:lim (5 x^4 – 12 x²)/(3 x² + 4 x) = (5 16 – 12 4)/(3 4 - 8) = 8.

Заміна змінної:lim_(x→125) (x + 2 ∛x)/(x + 5) = = lim_(y→5) (y³ + 2 y)/(y³ + 3) = (125 + 10)/( 125 + 5) = 27/26.

Грецькою літерою π (пі, pi) прийнято позначати відношення довжини кола до її діаметру. Це число, Спочатку з'явившись у працях стародавніх геометрів, згодом виявилося дуже важливим у багатьох галузях математики. Отже, його треба вміти обчислювати.

Інструкція

π - ірраціональне число. Це те, що його неможливо уявити у вигляді дробу з цілим і знаменником. Більше того, π – трансцендентне числотобто воно не може служити ніякого алгебраїчного рівняння. Таким чином, точне значеннячисла π записати неможливо. Однак є методи, що дозволяють обчислити його з будь-яким ступенем точності.

Найдавніші , якими користувалися геометри Греції та Єгипту, кажуть, що π приблизно одно квадратного кореняіз 10 або дробу 256/81. Але ці формули дають значення π, що дорівнює 3,16, а цього явно недостатньо.

З розвитком диференціального обчисленнята інших нових математичних дисциплін у розпорядженні вчених з'явився новий інструмент- статечні ряди. Готфрід Вільгельм Лейбніц в 1674 році виявив, що ряд
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
у межі сходиться , що дорівнює π/4. Обчислювати цю суму просто, проте, щоб досягти достатньої точності, знадобиться багато кроків, оскільки низка сходиться дуже повільно.

Згодом були виявлені й інші статечні ряди, що дозволяють обчислювати π швидше, ніж за допомогою ряду Лейбніца. Наприклад, відомо, що tg(π/6) = 1/√3, отже, arctg(1/√3) = π/6.
Функція арктангенса розкладається в статечний ряд, І для заданого значення ми в результаті отримуємо:
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3… + 1/((2n + 1)*(-3)^n)…)
За допомогою цієї та інших аналогічних формул числоπ було обчислено вже з точністю до мільйонів знаків після коми.

Зверніть увагу

Існує багато способів обчислення числа Пі. Найпростішим і зрозумілішим є чисельний методМонте-Карло, суть якого зводиться до найпростішого перебору крапок на площі. double y=radius*radius-x*x; return y; ) Програма виводить значення числа Пі залежно від радіусу та кількості точок. Єдине, що залишається читачеві, це скомпілювати її самостійно і запустити з параметрами, які хоче він.

Корисна порада

Але невтомні вчені продовжували і продовжували обчислювати десяткові знаки числа пі, що є насправді дико нетривіальним завданням, тому що просто так у стовпчик його не обчислити: число це не тільки ірраціональне, а й трансцендентне (це ось якраз такі числа, які не обчислюються шляхом простих рівнянь). Вчені Токійського університету зуміли поставити світовий рекорд у обчисленнях числа Пі до 12411-трильйонного знака.

Джерела:

• Історія числа Пі

Математичні методизастосовуються у багатьох галузях науки. Це твердження стосується, зокрема, диференціального обчислення. Наприклад, якщо обчислити другу похіднуфункції відстані від змінної часу, можна знайти прискорення матеріальної точки.

Інструкція

Правила та методи диференціювання зберігаються для похідних вищих порядків. Це стосується деяких елементарних функцій, операцій складання та поділу, а також складних функцій виду u(g(х)): u' = С' = 0 – похідна константи; u' = х' = 1 – найпростіша одного аргументу; u' = (х ^ а) ' = а х ^ (а-1); u' = (а^х)' = а^х ln а – показова функція;

Арифметичні операції пари функцій u(х) та g(х): (u + g)' = u' + g'; (u g)' = u' g + g' u; (u/g)' = (u'g – g'u)/g².

Досить важко другу похідну складної функції. Для цього методи чисельного диференціювання, хоча результат виходить наближеним, є так звана похибка апроксимації α:u''(х) = (u(х + h) – 2 u(х) + u(х - h))/h² + α (h²) – інтерполяційний багаточлен Ньютона; – 2 h))/(12 h²) + α(h²) – Стрілінга.

У цих формулах є певна величина h. Вона називається апроксимація, вибір якого повинен бути оптимальним, щоб мінімізувати похибку обчислення. Підбір правильного значення h називається регуляцією кроку:|u(х + h) – u(х)| > ε, де ε нескінченно мало.

Метод обчислення другої похідної застосовується за повного диференціалу другого порядку. При цьому вона окремо розраховується для кожного аргументу і бере участь в кінцевому виразі у вигляді множника відповідного диференціала dх, dy і т.д. /∂z d²z.

приклад: знайдіть другу похіднуфункції u = 2 х sin х – 7 х³ + х^5/tg х.

Рішенняu' = 2 sin x + 2 х соs х – 21 х² + 5 х^4/tg х – х²/sin² х;u'' = 4 соs х – 2 х sin х – 42 х + 20 х³/tg х – 5 х^4/sin² х – 2 х/sin² х + 2 х² соs х/sin³ х.

Методи диференціального обчислення використовуються для дослідження характеру поведінки функціїв математичний аналіз. Однак це не єдина сфера їх застосування, часто потрібно знайти похідну, щоб розрахувати граничні величинив економіці, обчислити швидкість чи прискорення у фізиці.