trapezoid ක්රමය භාවිතයෙන් නිශ්චිත අනුකලනයක් ගණනය කරන්නේ කෙසේද? trapezoid සූත්‍රය සහ සිම්ප්සන් ක්‍රමය භාවිතයෙන් නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කරන්නේ කෙසේද

යෙකටරින්බර්ග්

හැදින්වීම

ශ්‍රිතවල සංඛ්‍යාත්මක අනුකලනය කිරීමේ කාර්යය වන්නේ යම් අනුකලයක ආසන්න අගය ගණනය කිරීමයි.

, (1)

අනුකලනයේ අගයන් මාලාවක් මත පදනම්ව.( f(x) |x=x k = f(x k) = y k ).

තනි අනුකලයක සංඛ්‍යාත්මක ගණනය කිරීම සඳහා වන සූත්‍ර චතුරස්‍ර සූත්‍ර ලෙස හැඳින්වේ, ද්විත්ව සහ බහු - කියුබාචර්.

චතුරස්‍ර සූත්‍ර තැනීමේ සාමාන්‍ය තාක්‍ෂණය නම්, ඛණ්ඩයක අනුකලිත f(x) වෙනුවට අන්තර් ධ්‍රැවීය හෝ ආසන්න ශ්‍රිතයක් g(x) සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමයි. සරල ආකෘතිය, උදාහරණයක් ලෙස, බහුපදයක්, පසුව විශ්ලේෂණාත්මක අනුකලනය. මෙය ඉදිරිපත් කිරීමට හේතු වේ

ඉතිරි පදය R[f] නොසලකා හැරීම, අපි ආසන්න සූත්‍රය ලබා ගනිමු

y i = f(x i) මගින් විවිධ ලක්ෂ්‍යවල අනුකලනයේ අගය දක්වන්න

මත . චතුර්විධ සූත්‍ර යනු x 0 =a, x n =b නම් සංවෘත ආකාරයේ සූත්‍ර වේ.

ආසන්න ශ්‍රිතයක් ලෙස g(x), අපි අන්තර්පොලේෂන් බහුපදයක් මත සලකමු

Lagrange බහුපද ස්වරූපයෙන්:

, එහි

, ලග්‍රෙන්ජ් අන්තර් ක්‍රියා සූත්‍රයේ ඉතිරි පදය කොහෙද.

සූත්රය (1) ලබා දෙයි

, (2)

. (3)

සූත්‍රයේ (2), ප්‍රමාණ (

) නෝඩ් ලෙස හැඳින්වේ, () - බර, - චතුරස්රාකාර සූත්රයේ දෝෂය. චතුරස්රාකාර සූත්‍රයේ බර () සූත්‍රය (3) මගින් ගණනය කරන්නේ නම්, ඊට අනුරූප චතුරස්රාකාර සූත්‍රය අන්තර් ක්‍රියාකාරිත්වයේ චතුරස්රාකාර සූත්‍රය ලෙස හැඳින්වේ.

සාරාංශ කරන්න.

ලබා දී ඇති නෝඩ් සැකැස්මක් සඳහා චතුරස්රාකාර සූත්‍රයේ (2) අනුකලනයේ ස්වරූපය මත රඳා නොපවතී.

2. ඉන්ටර්පෝලේෂන් වර්ගයේ චතුරස්‍ර සූත්‍රවල, ඉතිරි පදය R n [f] f(x) ශ්‍රිතයේ විශේෂිත අවකල ක්‍රියාකරුගේ අගය ලෙස නිරූපණය කළ හැක. සදහා

3. n ඇතුළු අනුපිළිවෙල දක්වා බහුපද සඳහා, චතුරස්‍ර සූත්‍රය (2) නියම වේ, i.e.

. චතුර්විධ සූත්‍රය නිවැරැදි වන බහුපදයක ඉහළම උපාධිය චතුර්විධ සූත්‍රයේ උපාධිය ලෙස හැඳින්වේ.

සූත්‍රවල විශේෂ අවස්ථා සලකා බලන්න (2) සහ (3): සෘජුකෝණාස්‍රා ක්‍රමය, trapezoids, parabolas (Simpson's method). මෙම ක්රමවල නම් අනුරූප සූත්රවල ජ්යාමිතික අර්ථ නිරූපණය නිසාය.

සෘජුකෝණාස්රාකාර ක්රමය

f(x) ශ්‍රිතයේ ශ්‍රිතයේ නිශ්චිත අනුකලනය:

සංඛ්යාත්මකව ප්රදේශයට සමාන වේ curvilinear trapezoid, වක්‍ර y=0, x=a, x=b, y=f(x) මගින් සීමා කර ඇත (රූපය 1).

සහල්. 1 වක්‍රය යටතේ ඇති ප්‍රදේශය y=f(x) මෙම ප්‍රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා, සම්පූර්ණ ඒකාබද්ධතා පරතරය h=(b-a)/n දිග n සමාන උප අන්තරයන්ට බෙදා ඇත. අනුකලනය යටතේ ඇති ප්‍රදේශය රූප සටහන (2) හි පෙන්වා ඇති පරිදි සෘජුකෝණාස්‍රයේ ප්‍රදේශ වල එකතුවෙන් ආසන්න වශයෙන් ප්‍රතිස්ථාපනය වේ.

සහල්. 2 වක්‍රය යටතේ ඇති ප්‍රදේශය y=f(x) සෘජුකෝණාස්‍රයේ ප්‍රදේශ වල එකතුවෙන් ආසන්න වේ.
සියලුම සෘජුකෝණාස්‍රවල ප්‍රදේශ වල එකතුව සූත්‍රය (4) මගින් ගණනය කෙරේ.

සූත්‍රය (4) මගින් නිරූපණය වන ක්‍රමය වම් කොටු ක්‍රමය ලෙසද (5) සූත්‍රයෙන් නිරූපණය වන ක්‍රමය දකුණු කොටු ක්‍රමය ලෙසද හැඳින්වේ.

(5) අනුකලනය ගණනය කිරීමේ දෝෂය තීරණය වන්නේ අනුකලනය කිරීමේ පියවරේ අගය අනුවය. කෙසේද අඩු පියවරක්අනුකලනය, වඩාත් නිවැරදිව අනුකලිත එකතුව S අනුකල I හි අගය ආසන්න කරයි. මේ මත පදනම්ව, දී ඇති නිරවද්‍යතාවයකින් අනුකලනය ගණනය කිරීමට ඇල්ගොරිතමයක් ගොඩනගා ඇත. අනුකලිත එකතුව S eps හි නිරවද්‍යතාවයකින් අනුකල I හි අගය නියෝජනය කරන බව සලකනු ලැබේ, අනුකලිත එකතුව අතර නිරපේක්ෂ අගයෙහි වෙනස පිළිවෙලින් h සහ h/2 සමඟ ගණනය කළහොත්, eps නොඉක්මවන්නේ නම්.

මධ්යම සෘජුකෝණාස්රාකාර ක්රමය භාවිතයෙන් නිශ්චිත අනුකලනයක් සොයා ගැනීම සඳහා, a සහ b රේඛා වලින් මායිම් කර ඇති ප්රදේශය h සමාන පාද සහිත n සෘජුකෝණාස්රා වලට බෙදා ඇත, සෘජුකෝණාස්රයේ උස f(x) ශ්රිතයේ ඡේදනය වන ලක්ෂ්ය වේ. සෘජුකෝණාස්‍රයේ මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය (h/2). අනුකලනය සංඛ්‍යාත්මකව වනු ඇත එකතුවට සමාන වේ n සෘජුකෝණාස්රාකාර ප්රදේශ (රූපය 3).

සහල්. 3 වක්‍රය යටතේ ඇති ප්‍රදේශය y=f(x) සෘජුකෝණාස්‍රයේ ප්‍රදේශ වල එකතුවෙන් ආසන්න වේ.

n යනු කොටසේ කොටස් ගණනයි.

Trapezoidal ක්රමය

trapezoid ක්‍රමය මගින් නිශ්චිත අනුකලනයක් සොයා ගැනීමට, curvilinear trapezoid ප්‍රදේශය ද n ලෙස බෙදා ඇත. සෘජුකෝණාස්රාකාර trapezoidඋස h සහ පාද y 1 , y 2 , y 3 ,..y n , මෙහි n යනු සෘජුකෝණාස්‍රාකාර trapezoid අංකය වේ. අනුකලනය සංඛ්‍යාත්මකව සෘජුකෝණාස්‍රාකාර trapezoids ප්‍රදේශ වල එකතුවට සමාන වේ (රූපය 4).

සහල්. 4 වක්‍රය යටතේ ඇති ප්‍රදේශය y=f(x) සෘජුකෝණාස්‍රාකාර trapezoids ප්‍රදේශ වල එකතුවෙන් ආසන්න වේ.

n යනු කොටස් ගණනයි

(6)

trapezoid සූත්‍රයේ දෝෂය සංඛ්‍යාවෙන් ඇස්තමේන්තු කර ඇත

වර්ධනය සමග trapezoid සූත්රයේ දෝෂය

සෘජුකෝණාස්රාකාර සූත්රයේ දෝෂයට වඩා වේගයෙන් අඩු වේ. එමනිසා, trapezoid සූත්රය සෘජුකෝණාස්රාකාර ක්රමයට වඩා වැඩි නිරවද්යතාවක් ලබා ගැනීමට ඔබට ඉඩ සලසයි.

සිම්සන් සූත්‍රය

එක් එක් කොටස් යුගල සඳහා නම්

දෙවන උපාධියේ බහුපදයක් ගොඩනඟා, පසුව එය කොටසට අනුකලනය කර අනුකලයේ ආකලන ගුණය භාවිතා කරන්න, එවිට අපි සිම්ප්සන් සූත්‍රය ලබා ගනිමු. නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කිරීම සඳහා සිම්ප්සන්ගේ ක්‍රමයේදී, සම්පූර්ණ අනුකලනය උප අන්තරයන්ට බෙදා ඇත. සමාන දිග h=(b-a)/n. කොටස් කොටස් ගණන ඉරට්ටේ අංකයකි. ඉන්පසුව, යාබද උප අන්තරයන්හි එක් එක් යුගලය මත, f(x) යන උපඅංඛීය ශ්‍රිතය දෙවන උපාධියේ Lagrange බහුපදයක් මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය වේ (රූපය 5).

සහල්. 5 කොටසෙහි y=f(x) ශ්‍රිතය 2වන අනුපිළිවෙලෙහි බහුපදයකින් ප්‍රතිස්ථාපනය වේ ඛණ්ඩයේ අනුකලනය සලකා බලන්න. අපි මෙම අනුකලිතය ලක්ෂ්‍යවලදී y= සමඟ සමපාත වන දෙවන-අංශයේ Lagrange interpolation polynomial සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු:

අද අපි තවත් සංඛ්‍යාත්මක ඒකාබද්ධ කිරීමේ ක්‍රමයක් වන trapezoidal ක්‍රමය සමඟ දැන හඳුනා ගනිමු. එහි ආධාරයෙන්, අපි නිශ්චිත අනුකලනයක් ලබා දී ඇති නිරවද්‍යතාවයකින් ගණනය කරන්නෙමු. ලිපියෙහි, අපි trapezoid ක්රමයේ සාරය විස්තර කරමු, සූත්රය ව්යුත්පන්න කර ඇති ආකාරය විශ්ලේෂණය කරන්න, සෘජුකෝණාස්රාකාර ක්රමය සමඟ trapezoid ක්රමය සංසන්දනය කරන්න, සහ ක්රමයේ නිරපේක්ෂ දෝෂයේ ඇස්තමේන්තුව ලියන්න. ද්රව්යය පිළිබඳ ගැඹුරු අවබෝධයක් සඳහා අපි එක් එක් කොටස් උදාහරණ සමඟින් නිදර්ශනය කරන්නෙමු.

Yandex.RTB R-A-339285-1

අපි දළ වශයෙන් ∫ a b f (x) d x අනුකලනය ගණනය කිරීමට අවශ්‍ය යැයි සිතමු, එහි අනුකලනය y = f (x) කොටස [ a ; බී] . මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි කොටස බෙදන්නෙමු [ a ; b ] කිහිපයකට සමාන කාල පරතරයන්දිග h ලකුණු a = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

අපි කොටස් කිරීමේ පියවර සොයා ගනිමු: h = b - a n . අපි සමානාත්මතාවයෙන් නෝඩ් නිර්වචනය කරමු x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , එන් .

මූලික කාල පරතරයන්හිදී, අනුකලනය x i - 1 සලකා බලන්න; x i, i = 1, 2, . . , එන් .

n හි අසීමිත වැඩිවීමක් සමඟ, අපි සියලු අවස්ථා සරලම විකල්ප හතරට අඩු කරමු:

කොටස් තෝරන්න x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , එන් . එක් එක් ප්‍රස්ථාරවල y = f (x) ශ්‍රිතය ඛණ්ඩාංක x i - 1 සමඟ ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛා ඛණ්ඩයකින් ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු; f x i - 1 සහ x i ; f x i . අපි ඒවා නිල් පාටින් රූපවල සලකුණු කරමු.

අපි f (x i - 1) + f (x i) 2 h යන ප්‍රකාශය ∫ x i - 1 x if (x) d x හි ආසන්න අගයක් ලෙස ගනිමු. එම. ගන්න ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h .

අපි අධ්‍යයනය කරන සංඛ්‍යාත්මක අනුකලන ක්‍රමය trapezoidal ක්‍රමය ලෙස හඳුන්වන්නේ මන්දැයි බලමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ජ්යාමිතිය පිළිබඳ දෘෂ්ටි කෝණයෙන් ලිඛිත ආසන්න සමානාත්මතාවයෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්දැයි සොයා බැලිය යුතුය.

trapezoid ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා, එහි පාදවල අර්ධ එකතුව උසින් ගුණ කරන්න. පළමු අවස්ථාවේ දී, curvilinear trapezoid ප්රදේශය f (x i - 1) , f (x i) උස h පාද සහිත trapezoid එකකට ආසන්න වශයෙන් සමාන වේ. අප සලකා බලන අවස්ථා වලින් හතරවන අවස්ථාවෙහිදී, ලබා දී ඇති අනුකලිත ∫ x i - 1 x f (x) d x පාද සහිත trapezoid ප්‍රදේශයට ආසන්න වශයෙන් සමාන වේ - f (x i - 1) , - f (x i) සහ උස h, එය "-" ලකුණ සමඟ ගත යුතුය. සලකා බැලූ අවස්ථා වලින් දෙවන සහ තෙවන අවස්ථාවන්හි නිශ්චිත අනුකලිත ∫ x i - 1 x i f (x) d x හි ආසන්න අගය ගණනය කිරීම සඳහා, අප විසින් සලකුණු කරන ලද රතු සහ නිල් කලාපවල ප්‍රදේශ අතර වෙනස සොයාගත යුතුය. පහත රූපයේ පැටවුන් බිහි කිරීම.

අපි සාරාංශ කරමු. trapezoidal ක්‍රමයේ සාරය පහත පරිදි වේ: අපට නිශ්චිත අනුකලනය ∫ a b f (x) d x ∫ x i - 1 x i f (x) d x ආකෘති පත්‍රයේ අනුකලන එකතුවක් ලෙස එක් එක් ප්‍රාථමික ඛණ්ඩය මත සහ පසුව සිදුවන ආසන්න වෙනස්වීම් ∫ නිරූපණය කළ හැක. x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 h.

Trapezoidal සූත්රය

නිශ්චිත අනුකලනයේ පස්වන ගුණය සිහිපත් කරන්න: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . trapezoidal ක්‍රමයේ සූත්‍රය ලබා ගැනීම සඳහා, අනුකලිතයන් වෙනුවට ∫ x i - 1 x i f (x) d x, ඒවායේ ආසන්න අගයන් ආදේශ කරන්න: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 h = = h 2 (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . + f (x n)) = = h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

අර්ථ දැක්වීම 1

Trapezoidal සූත්‍රය:∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

trapezoidal ක්රමයේ නිරපේක්ෂ දෝෂය ඇස්තමේන්තු කිරීම

trapezoidal ක්‍රමයේ නිරපේක්ෂ දෝෂය පහත පරිදි තක්සේරු කරමු:

අර්ථ දැක්වීම 2

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2

trapezoidal ක්රමයේ ග්රැෆික් නිදර්ශනයක් රූපයේ දැක්වේ:

ගණනය කිරීමේ උදාහරණ

නිශ්චිත අනුකලනය ආසන්න වශයෙන් ගණනය කිරීම සඳහා trapezoid ක්රමය භාවිතා කිරීමේ උදාහරණ විශ්ලේෂණය කරමු. විශේෂ අවධානයකාර්යයන් වර්ග දෙකක් කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමු:

n කොටසේ දී ඇති කොටස් ගණන සඳහා trapezoid ක්රමය මගින් නිශ්චිත අනුකලනයක් ගණනය කිරීම;
නිශ්චිත නිරවද්‍යතාවයක් සහිත නිශ්චිත අනුකලයක ආසන්න අගයක් සොයා ගැනීම.

ලබා දී ඇති n සඳහා, සියලුම අතරමැදි ගණනය කිරීම් ප්‍රමාණවත් තරම් ඉහළ නිරවද්‍යතාවයකින් සිදු කළ යුතුය. ගණනය කිරීම් වල නිරවද්‍යතාවය වැඩි විය යුතුය, විශාල n .

නිශ්චිත අනුකලනයක් ගණනය කිරීමේ නිශ්චිත නිරවද්‍යතාවයක් අපට තිබේ නම්, සියලු අතරමැදි ගණනය කිරීම් විශාලත්වයේ ඇණවුම් දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් වඩාත් නිවැරදිව සිදු කළ යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, නිරවද්‍යතාවය 0. 01 ලෙස සකසා ඇත්නම්, අපි 0. 0001 හෝ 0. 00001 නිරවද්‍යතාවයකින් අතරමැදි ගණනය කිරීම් සිදු කරන්නෙමු. විශාල n සඳහා, අතරමැදි ගණනය කිරීම් ඊටත් වඩා ඉහළ නිරවද්‍යතාවයකින් සිදු කළ යුතුය.

ඉහත රීතිය උදාහරණයක් ලෙස ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය මගින් ගණනය කරන ලද සහ trapezoid ක්‍රමය මගින් ලබාගත් නිශ්චිත අනුකලයක අගයන් සංසන්දනය කරමු.

ඉතින්, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9 , 613805 .

උදාහරණ 1

trapezoidal ක්‍රමය භාවිතා කරමින්, අපි 10 ට සමාන n සඳහා නිශ්චිත අනුකලිත ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x ගණනය කරමු.

විසඳුමක්

trapezoidal ක්‍රමය සඳහා වන සූත්‍රය වන්නේ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

සූත්‍රය යෙදීම සඳහා, අපි h = b - a n සූත්‍රය භාවිතා කර h යන පියවර ගණනය කළ යුතුය, නෝඩ් තීරණය කරන්න x i = a + i h , i = 0 , 1 , . . . , n , අනුකලිත f (x) = 7 x 2 + 1 හි අගයන් ගණනය කරන්න.

කොටස් කිරීමේ පියවර පහත පරිදි ගණනය කෙරේ: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . x i = a + i · h , i = 0 , 1 , නෝඩ් වල අනුකලනය ගණනය කිරීමට. . . , n අපි දශම ස්ථාන හතරක් ගන්නෙමු:

i \u003d 0: x 0 \u003d 0 + 0 0. 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 7 0 . 5 2 + 1 = 5 . 6 . . . i = 10: x 10 = 0 + 10 0 . 5 = 5 ⇒ f(x 10) = f(5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692

වගුවේ ගණනය කිරීම් වල ප්රතිඵල ඇතුළත් කරමු:

මම	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
x i	0	0 . 5	1	1 , 5	2	2 , 5	3	3 , 5	4	4 , 5	5
f (x i)	7	5 , 6	3 , 5	2 , 1538	1 , 4	0 , 9655	0 , 7	0 , 5283	0 , 4117	0 , 3294	0 , 2692

ලබාගත් අගයන් trapezoidal ක්‍රමයේ සූත්‍රයට ආදේශ කරන්න: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 7 + 2 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0 , 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 0 6 , 19

Newton-Leibniz සූත්‍රය මගින් ගණනය කරන ලද ප්‍රතිඵල සමඟ අපගේ ප්‍රතිඵල සංසන්දනය කරමු. ලැබුණු අගයන් සියයෙන් එකක් දක්වා සමපාත වේ.

පිළිතුර:∫ 0 5 7 d x 2 + 1 = 9 , 6117

උදාහරණ 2

trapezoid ක්‍රමය භාවිතා කරමින්, අපි නිශ්චිත අනුකලිත ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x හි අගය 0 , 01 නිරවද්‍යතාවයකින් ගණනය කරමු.

විසඳුමක්

ගැටලුවේ තත්ත්වය අනුව a = 1 ; b = 2, f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δn ≤ 0, 01 .

නිරපේක්ෂ දෝෂය δ n ≤ m a x x ∈ [ a , ඇස්තමේන්තු කිරීම සඳහා අසමානතාවය භාවිතා කරමින්, ඒකාබද්ධ කිරීමේ කොටසෙහි බෙදීම් ලක්ෂ්‍ය ගණනට සමාන වන n සොයන්න ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 . අපි එය පහත ආකාරයට කරන්නෙමු: අසමානතාවය m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . n ලබා දී ඇති විට, trapezoid සූත්‍රය අපට දී ඇති නිරවද්‍යතාවයක් සහිත නිශ්චිත අනුකලයක ආසන්න අගයක් ලබා දෙනු ඇත.

පළමුව, අපි සොයා ගනිමු ඉහළම අගයඅන්තරය මත ශ්රිතයේ දෙවන ව්යුත්පන්නයේ මාපාංකය [1; 2].

f "(x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60" = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

දෙවන ව්යුත්පන්න ශ්රිතය වේ quadratic parabola f "" (x) = x 2 . එහි ගුණාංග වලින් අපි එය ධනාත්මක වන අතර කොටස මත වැඩි වන බව දනිමු [1; 2]. මේ සම්බන්ධයෙන්, m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .

ලබා දී ඇති උදාහරණයේ, m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) තරමක් සරල විය. හිදී දුෂ්කර අවස්ථාගණනය කිරීම් සඳහා, ඔබට ශ්‍රිතයේ විශාලතම හා කුඩාම අගයන් වෙත යොමු විය හැක. සලකා බැලීමෙන් පසුව මෙම උදාහරණයඅපි ගෙන එන්නෙමු විකල්ප ක්රමය m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .

ලබාගත් අගය අසමානතාවයට ආදේශ කරමු m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01

4 (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0 . 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 . 7735

n අනුකලනය ඛණ්ඩය බෙදී ඇති මූලික විරාම ගණන වේ ස්වභාවික අංකය. ගණනය කිරීමේ හැසිරීම සඳහා, අපි හයට සමාන n ගනිමු. n හි එවැනි අගයක් අවම ගණනය කිරීම් සමඟ trapezoid ක්රමයේ නිශ්චිත නිරවද්යතාව ලබා ගැනීමට අපට ඉඩ සලසයි.

අපි පියවර ගණනය කරමු: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

නෝඩ් සොයන්න x i = a + i h , i = 1 , 0 , . . . , n , අපි මෙම නෝඩ් වල අනුකලනයේ අගයන් තීරණය කරමු:

i = 0: x 0 = 1 + 0 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 1 4 + 1 3 1 - 1 60 = 0 , 4 i = 1: x 1 \u003d 1 + 1 1 6 \u003d 7 6 ⇒ f (x 1) \u003d f 7 6 \u003d 1 12 7 6 4 + 1 3 7 6 - 1 60 ≈ 0, 5266. . . i \u003d 6: x 10 \u003d 1 + 6 1 6 \u003d 2 ⇒ f (x 6) \u003d f (2) \u003d 1 12 2 4 + 1 3 2 - 1 60 ≈ 1, 983

අපි ගණනය කිරීමේ ප්රතිඵල වගුවක ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු:

මම	0	1	2	3	4	5	6
x i	1	7 6	4 3	3 2	5 3	11 6	2
f x i	0 , 4	0 , 5266	0 , 6911	0 , 9052	1 , 1819	1 , 5359	1 , 9833

අපි ලබාගත් ප්‍රතිඵල trapezoid සූත්‍රයට ආදේශ කරමු:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 0 , 4 + 2 0, 5266 + 0, 6911 + 0, 9052 + 1, 1819 + 1, 5359 + 1, 9833 ≈ 1, 0054

සංසන්දනය කිරීම සඳහා, අපි නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය භාවිතයෙන් මුල් අනුකලනය ගණනය කරමු:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

ඔබට පෙනෙන පරිදි, අපි ගණනය කිරීම් වල නිරවද්යතාව ලබා ගෙන ඇත.

පිළිතුර: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1, 0054

අනුකලනය සඳහා සංකීර්ණ වර්ගයනිරපේක්ෂ දෝෂය තක්සේරු කිරීම සඳහා අසමානතාවයෙන් n අංකය සොයා ගැනීම සැමවිටම පහසු නොවේ. මෙම අවස්ථාවේදී, පහත දැක්වෙන ක්රමය සුදුසු වනු ඇත.

n නෝඩ් සඳහා trapezoid ක්‍රමය මගින් I n ලෙස ලබාගත් නිශ්චිත අනුකලනයේ ආසන්න අගය අපි දක්වන්නෙමු. අපි අත්තනෝමතික අංකයක් තෝරා ගනිමු n . trapezoidal ක්‍රමයේ සූත්‍රය භාවිතා කරමින්, අපි තනි (n = 10) සහ ද්විත්ව (n = 20) නෝඩ් ගණනකින් ආරම්භක අනුකලනය ගණනය කර ලබාගත් ආසන්න අගයන් දෙක අතර වෙනසෙහි නිරපේක්ෂ අගය සොයා ගනිමු I 20 - මම 10.

අ නිරපේක්ෂ වටිනාකමලබාගත් ආසන්න අගයන් දෙක අතර වෙනස අවශ්‍ය නිරවද්‍යතාවයට වඩා අඩුය I 20 - I 10< δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

ලබාගත් ආසන්න අගයන් දෙක අතර වෙනසෙහි නිරපේක්ෂ අගය අවශ්‍ය නිරවද්‍යතාවයට වඩා වැඩි නම්, නෝඩ් ගණන මෙන් දෙගුණයක් (n = 40) සමඟ පියවර නැවත කිරීම අවශ්‍ය වේ.

මෙම ක්රමය ගණනය කිරීම් ගොඩක් අවශ්ය වේ, ඒ නිසා එය භාවිතා කිරීමට සාධාරණ වේ පරිගණක තාක්ෂණයකාලය ඉතිරි කර ගැනීමට.

ඉහත ඇල්ගොරිතම භාවිතා කර ගැටළුව විසඳා ගනිමු. කාලය ඉතිරි කර ගැනීම සඳහා, අපි trapezoid ක්රමය භාවිතයෙන් අතරමැදි ගණනය කිරීම් මඟහරිමු.

උදාහරණය 3

0 001 නිරවද්‍යතාවයකින් trapezoid ක්‍රමය භාවිතා කරමින් නිශ්චිත අනුකලනය ∫ 0 2 x e x d x ගණනය කිරීම අවශ්‍ය වේ.

විසඳුමක්

අපි 10 සහ 20 ට සමාන n ගනිමු. Trapezoid සූත්‍රයට අනුව, අපට I 10 \u003d 8, 4595380, I 20 \u003d 8, 4066906 ලැබේ.

I 20 - I 10 = 8, 4066906 - 8, 4595380 = 0, 0528474 > 0, 001, ඒ සඳහා වැඩිදුර ගණනය කිරීම් අවශ්‍ය වේ.

අපි 40 ට සමාන n ගනිමු: I 40 = 8, 3934656.

I 40 - I 20 = 8, 3934656 - 8, 4066906 = 0, 013225 > 0, 001, ඒ සඳහා වැඩිදුර ගණනය කිරීම් ද අවශ්‍ය වේ.

අපි 80 ට සමාන n ගනිමු: I 80 = 8 , 3901585 .

I 80 - I 40 = 8.3901585 - 8.3934656 = 0.0033071 > 0.001, ඒ සඳහා නෝඩ් ගණන තවත් දෙගුණ කිරීම අවශ්‍ය වේ.

අපි 160 ට සමාන n ගනිමු: I 160 = 8, 3893317.

I 160 - I 80 = 8, 3893317 - 8, 3901585 = 0, 0008268< 0 , 001

I 160 = 8 , 3893317 සිට දහස් ගණනින්: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 වට කිරීමෙන් ඔබට මුල් අනුකලයේ ආසන්න අගයක් ලබා ගත හැක.

සංසන්දනය කිරීම සඳහා, අපි නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්‍රය භාවිතයෙන් මුල් නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කරමු: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561 . අවශ්‍ය නිරවද්‍යතාවය සාක්ෂාත් කර ගෙන ඇත.

පිළිතුර: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8, 389

දෝෂ

නිශ්චිත අනුකලයක අගය තීරණය කිරීම සඳහා අතරමැදි ගණනය කිරීම් සිදු කරනු ලැබේ, බොහෝ දුරට, ආසන්න වශයෙන්. මෙයින් අදහස් කරන්නේ n වැඩි වන විට, ගණනය කිරීමේ දෝෂය එකතු වීමට පටන් ගන්නා බවයි.

ලකුණු සසඳන්න නිරපේක්ෂ වැරදි trapezoidal ක්රමය සහ මධ්යම සෘජුකෝණාස්රාකාර ක්රමය:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) b - a 3 24 n 2 .

ලබා දී ඇති n සඳහා වන සෘජුකෝණාස්‍ර ක්‍රමය සමාන ගණනය කිරීමේ කාර්යයක් සමඟ දෝෂයෙන් අඩක් ලබා දෙයි. ශ්‍රිතයේ අගයන් ප්‍රාථමික ඛණ්ඩවල මැද කොටස්වල දන්නා අවස්ථාවන්හිදී මෙම ක්‍රමය වඩාත් යෝග්‍ය වේ.

එම අවස්ථා වලදී, ඒකාබද්ධ කළ හැකි කාර්යයන් විශ්ලේෂණාත්මකව නොව, නෝඩ් වල අගයන් සමූහයක් ලෙස නියම කර ඇති විට, අපට trapezoidal ක්‍රමය භාවිතා කළ හැකිය.

අපි trapezoidal ක්රමයේ නිරවද්යතාව සහ දකුණු සහ වම් සෘජුකෝණාස්රයේ ක්රමය සංසන්දනය කරන්නේ නම්, පළමු ක්රමය ප්රතිඵලයේ නිරවද්යතාවයෙන් දෙවනුව ඉක්මවා යයි.

ඔබ පෙළෙහි වරදක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න

සංඛ්යාත්මක අනුකලනය.

සංඛ්‍යාත්මක ඒකාබද්ධ කිරීමේ සූත්‍ර.

ජ්‍යාමිතිය, තාක්‍ෂණය, ආර්ථික විද්‍යාව යන ක්ෂේත්‍රවල ඇති බොහෝ ගැටලු විසඳන විට යම් යම් අනුකලනයන් ගණනය කිරීමට සිදුවේ.

ඒකාබද්ධ සඳහා නම් f(x) ප්රතිව්යුත්පන්න සොයා ගන්නා ලදී එෆ්(x) , පසුව දන්නා පරිදි අනුකලනය Newton-Leibniz සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක:

(1)

කෙසේ වෙතත්, ප්‍රායෝගිකව බොහෝ විට සූත්‍රය (1) භාවිතා කළ නොහැක, උදාහරණයක් ලෙස, පහත සඳහන් අවස්ථා වලදී:

ප්රතිව්යුත්පන්න ශ්රිතය නම් එෆ්(x) අවසාන ස්වරූපයෙන් ප්රකාශ නොවේ මූලික කාර්යයන්. උදාහරණයක් ලෙස, අනුකලනය සඳහා මෙය අදාළ වේ:

ප්රතිව්යුත්පන්න ශ්රිතයේ විශ්ලේෂණාත්මක ප්රකාශනය නම් එෆ්(x) සූත්‍රය (1) යෙදීම දුෂ්කර වන තරමට සංකීර්ණ වේ;

අනුකලනයේ විශ්ලේෂණාත්මක ප්‍රකාශනය නම් f(x) නොදන්නා අතර එහි අගයන් වගුවක් හෝ ප්‍රස්ථාරයක් මගින් ලබා දී ඇත.

මෙම සියලු අවස්ථා වලදී, සූත්‍රය (1) භාවිතා නොකර අනුකලනයේ ආසන්න අගයන් ගණනය කිරීමට කෙනෙකුට ඉඩ සලසන ක්‍රම සංවර්ධනය කිරීම අවශ්‍ය වේ. දැනට, ආසන්න වශයෙන් ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා බොහෝ සූත්‍ර ඇත, ඒවා ද හැඳින්වේ චතුරස්රාකාර සූත්ර (ප්රදේශ ගණනය කිරීම සඳහා සූත්ර).

සෘජුකෝණාස්රාකාර සූත්රය.මෙම සූත්‍රයේ ව්‍යුත්පන්නය පදනම් වන්නේ නිශ්චිත අනුකලය අනුකලිත එකතුවෙන් ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම මතය. බව විශ්ලේෂණයෙන් දනියි

කොහෙද
- කාර්යය සඳහා අනුකලිත එකතුව f(x) කොටස මත [ ඒ, බී].

ξ - කොටසේ අභ්යන්තර ලක්ෂ්යය [ ඒ, බී].

කොටස නම් [ ඒ, බී] කඩා වැටෙයි n සමාන කොටස්:

a=x 0 , X 1 , …, X පී = බී,

∆x මම = = h.

අංකය hකියලා චතුර්විධ සූත්‍රයේ පියවර.මෙම කොන්දේසිය යටතේ, අපට ලැබෙන්නේ:

ලකුණු විදියට ගත්තොත් ξ මමඅර්ධ කොටස්වල වම් කෙළවර:

f(ξ මම ) = f(х මම ) (i = 0, 1, ..., n-1),

දක්වන්න f(X මම ) = හිදී මම. අනුකලය අනුකලිත එකතුවක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන්, අපි ආසන්න සමානතාවයක් ලබා ගනිමු:

, (2)

කියලා සෘජුකෝණාස්රාකාර සූත්රය (වම් ඕඩිනේට් සහිත).

ලකුණු විදියට ගත්තොත් ξ මමඅර්ධ කොටස්වල දකුණු කෙළවර:

f(ξ මම ) = f(X මම ) (මම = 1, 2,…, n),

එවිට අපට ආසන්න සමානතාවයක් ලැබේ:

, (3)

කියලා සෘජුකෝණාස්රාකාර සූත්රය (දකුණු විධාන සහිත).

සෘජුකෝණාස්‍රවල සූත්‍රයේ ජ්‍යාමිතික අර්ථය නම් වක්‍ර රේඛීය trapezoid සෘජුකෝණාස්‍රවලින් සෑදූ පියවරක් සහිත රූපයක් මඟින් ප්‍රතිස්ථාපනය වීමයි. අනුකලනයේ ආසන්න අගය පියවර රූපයේ ප්රදේශයට සමාන වේ.

උදාහරණයක්.අපි අනුකලනය ගණනය කරමු , ඒකාබද්ධ විරාමය සමාන කොටස් 10 කට බෙදීම ( n = 10 ) වගුවේ අනුකලිත අගයන් සොයාගෙන ලියන්න

y= බෙදීම් ස්ථානවල:

මම	x මම	හිදී මම =	මම	x මම	හිදී මම =

වම් ඕඩිනේට් සහිත සෘජුකෝණාස්‍ර සූත්‍රයට අනුව, අපට ලැබෙන්නේ:

නිවැරදි ඕඩිනේට් සහිත සෘජුකෝණාස්‍ර සූත්‍රයට අනුව, අපට ලැබෙන්නේ:

සූත්‍රය (1) මගින් ලබාගත් අගය:

සෘජුකෝණාස්‍ර සූත්‍ර දළ වශයෙන් දළ වශයෙන් ලබා දෙන බව අපට පෙනේ.

කාර්යයේ සිට y=කොටස මත අඩු වෙමින් පවතී , එවිට වම් ඕඩිනේට් සහිත සෘජුකෝණාස්‍ර සූත්‍රය මඟින් ඔබට අතිරික්තය සමඟ අනුකලයේ ආසන්න අගයක් ලබා ගැනීමට ඉඩ සලසයි, දකුණු ඕඩිනේට් සහිත සෘජුකෝණාස්‍ර සූත්‍රය - අවාසියක් සමඟ.

නිරපේක්ෂ දෝෂයකි ආර්සෘජුකෝණාස්රාකාර සූත්ර (2) සහ (3) සූත්රය මගින් ඇස්තමේන්තු කළ හැක:

(4)

trapezoids සහ Simpson සඳහා චතුරශ්‍ර සූත්‍ර ව්‍යුත්පන්න කිරීම පිටුපස ඇති අදහස:

ඒකාබද්ධ f ( x ) එයට ආසන්න ශ්‍රිතයක් පවරන්න g n ( x ) , ඒකාබද්ධ කළ හැකි, සහ ආසන්න වශයෙන් අවශ්ය අනුකලනය වෙනුවට මම මෙම කාර්යයේ අනුකලනය.

Trapezoidal සූත්රය.අනුකලනය ගණනය කිරීමට අවශ්‍ය වීමට ඉඩ දෙන්න

දක්වන්න ඒ = x 0 , බී = x 1 .

ආසන්න ශ්‍රිතයක් ලෙස g ( x ) තෝරා රේඛීය ශ්රිතයසහ අනුකලනය වෙනස් කරන්න f(x) රේඛීය අන්තරාල සූත්‍රය මගින්

f(x) ≈හිදී 0 +ටීහිදී 0 ,

හිදී 0 =f(x 0 ) ,හිදී 1 =f(x 1 ) , හිදී 0 =හිදී 1 - හිදී 0 .

මේ අවස්ථාවේ දී

, (5)

බව දන්නා කරුණකි ටී =

මෙතැන් සිට x=x 0 + thහා dx =hdt.

හිදී x = x 0 t = 0;

හිදී x =x 1 ටී = 1 .

නව විචල්‍යයකට ගමන් කිරීම ටී, අපට ලැබෙන්නේ:

(6)

 නිසා හිදී 0 =හිදී 1 –හිදී 0

සූත්රය (6) ලෙස හැඳින්වේ trapezoid සූත්රය.

ඊ එහි ජ්‍යාමිතික අර්ථය වන්නේ කොටසේ [ x 0 ;x 1 ] වක්රය හිදී=f(x)සරල රේඛා ඛණ්ඩයක් (chord) මගින් ප්රතිස්ථාපනය වේ, එනම්, curvilinear trapezoid සරල රේඛාවක් මගින් ප්රතිස්ථාපනය වේ.

සූත්‍රය (6) මගින් ගණනය කරන ලද අනුකලනයේ අගය trapezoid ප්‍රදේශයට සමාන වේ. මෙම ප්රදේශය රූපයේ සෙවන ඇත.

ගණනය කිරීමේ පරිචය පෙන්නුම් කරන පරිදි, ඒකාබද්ධ කිරීමේ කොටසෙහි ප්රමාණවත් තරම් කුඩා දිගක් සහිතව, සූත්රය (6) භාවිතයෙන් ලබාගත් ප්රතිඵලවල නිරවද්යතාව ප්රමාණවත් නොවේ.

වඩාත් නිවැරදි ප්රතිඵලය සඳහා, පහත පරිදි ඉදිරියට යන්න:

ඒකාබද්ධ කිරීමේ කොටස [ඒ;බී] කඩා වැටෙයි පීසමාන කොටස් තිත්: x 0 = a, x 1 , X 2 ,…,X n = බී. සහ දළ වශයෙන් කොටස් වශයෙන් රේඛීය ශ්‍රිතයකින් g පී (x) . සූත්‍රය (6) අනුකලනය කිරීමේ එක් එක් කොටසෙහි යෙදීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

(7)

සමානාත්මතා එකතු කිරීම, අපි නමින් සූත්රයක් ලබා ගනිමු සාමාන්‍ය trapezoid සූත්‍රය:

(8)

කොහෙද හිදී මම =f(x මම ) (i = 0, 1, ..., n).

මෙම සූත්‍රයේ ජ්‍යාමිතික අර්ථය නම් වක්‍රය ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයයි හිදී = f(X) -වක්‍රයේ සටහන් කර ඇති කැඩුණු රේඛාවකින් ප්‍රතිස්ථාපනය වේ AB. Curvilinear trapezoid හි ප්‍රදේශය සෘජුකෝණාශ්‍රය trapezoid වල ප්‍රදේශ වල එකතුවෙන් ප්‍රතිස්ථාපනය වේ. ප්රායෝගිකව පෙන්නුම් කරන පරිදි, බෙදීම් ලකුණු විශාල සංඛ්යාවක් සහිත සූත්රය (8) හොඳ ප්රතිඵල ලබා ගැනීමට හැකි වේ.

උදාහරණ 1අපි trapezoid සූත්රය (8) අනුකලනය මගින් ගණනය කරමු , ඒකාබද්ධ කිරීමේ පරතරය සමාන කොටස් දහයකට බෙදීම.

පෙර වගුවේ ඇතුළත් කළ දත්ත භාවිතා කරමින්, අපට ලැබෙන්නේ:

ln2  0.693147 අගය සමඟ ලබාගත් ප්‍රතිඵලය සංසන්දනය කිරීමෙන් පෙන්නුම් කරන්නේ සාමාන්‍යකරණය වූ trapezoid සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කරන ලද අනුකලයේ අගයෙහි දෝෂය සෘජුකෝණාස්‍ර සූත්‍රය භාවිතයෙන් එකම අනුකලනය ගණනය කිරීමේදී ඉඩ දෙන දෝෂයට වඩා බෙහෙවින් අඩු බවයි.

සාමාන්‍යකරණය වූ trapezoid සූත්‍රය මගින් ලබාගත් ප්‍රතිඵලවල දෝෂය සූත්‍රය මගින් ගණනය කරන බව පෙන්විය හැක.

(9)

කොහෙද ඒ<  < බී,

සහ සම්පූර්ණ දෝෂය පහත පරිදි ඇස්තමේන්තු කර ඇත:

(10)

(11)

සිම්ප්සන් සූත්‍රය (පරබෝල සූත්‍රය)

අනුකලනය ගණනය කිරීමට
අපි ඒකාබද්ධ කිරීමේ කොටස සමාන කොටස් දෙකකට බෙදා දෙමු:

[X 0 , X 1 ] හා [X 1 , X 2 ] (x 0 = a, x 2 =බී)

සහ අනුකලනය චතුරස්රාකාර අන්තර්පොලේෂන් සූත්‍රයෙන් ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්න

(12)

කොහෙද ටී = .

එය සැලකිල්ලට ගනිමින් අපි නව ඒකාබද්ධ විචල්‍යයකට යමු

x = x 0 + ht, dx= hdt,

හිදී x=x 0 ටී=0

හිදී x=x 2 ටී=2

(13)

සූත්රය (13) ලෙස හැඳින්වේ සිම්ප්සන් සූත්‍රය හෝ පරාවල සූත්‍රය.

එහි ජ්යාමිතික අර්ථය පහත පරිදි වේ: කොටස මත [X 0 , X 2 ] වක්රය හිදී= f(x) හතරැස් පැරබෝලයක් මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය වේ - අන්තර්විද්‍යා බහුපදයේ ප්‍රස්ථාරය. සූත්‍රය (13) මගින් ගණනය කරන විට, අනුකලයේ අගය සංඛ්‍යාත්මකව ලකුණු හරහා ගමන් කරන පරාවල චාපයකින් ඉහළින් මායිම් කර ඇති වක්‍ර රේඛීය trapezoid ප්‍රදේශයේ අගයට සමාන වේ: [ x 0 , f(X 0 )], [ x 1 , f(X 1 )], [ x 2 , f (x 2 )]

රූපයේ ඝන රේඛාව ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය පෙන්වයි f(x) තිත් සහිත - බහුපද ප්‍රස්ථාරය ආර් 2 (X).

වඩාත් නිවැරදි ප්රතිඵලය ලබා ගැනීම සඳහා, එය ඒකාබද්ධ කිරීමේ පරතරය බෙදීමට ප්රමාණවත් වේ [ඒ;බී] ඉරට්ටේ අංකයකට (2 n) කොටස් සහ යාබද කොටස් කොටස් එක් එක් යුගල සඳහා සූත්‍රය (13) යොදන්න:

(14)

සමානතා සාරාංශ කිරීම (14), අපි ලබා ගනිමු සාමාන්‍යකරණය කරන ලද සිම්ප්සන් සූත්‍රය (parabolas):

උදාහරණයක්. අපි අනුකලයේ ආසන්න අගය ගණනය කරමු සිම්ප්සන්ගේ සූත්‍රයට අනුව. ඒකාබද්ධ කිරීමේ කොටස සමාන කොටස් දහයකට බෙදා වගුවේ අඩංගු දත්ත භාවිතා කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:

ඒ නිසා,
.

ඒක උඩින් පෙන්නුවා
.

සොයාගත් අගයෙහි නිරපේක්ෂ දෝෂය 0.000005 නොඉක්මවයි.

අනුකලනයේ ආසන්න අගයන් සංසන්දනය කිරීම , විවිධ සූත්ර මගින් ගණනය කර ඇති අතර, වඩාත්ම පෙන්නුම් කරයි නියම අගයසාමාන්‍යකරණය කරන ලද සිම්ප්සන් සූත්‍රය සහ අවම නිවැරදි - සෘජුකෝණාස්‍ර සූත්‍රය මගින් ලබා ගන්නා ලදී.

දෝෂයකි ආර් සාමාන්‍යකරණය වූ සිම්ප්සන්ගේ සූත්‍රය සූත්‍රය මගින් ගණනය කළ හැක

(16)

කොහෙද ඒ< ξ< b.

සාමාන්‍යකරණය කරන ලද සිම්ප්සන් සූත්‍රයේ නිරපේක්ෂ දෝෂය සඳහා, කෙනෙකුට පහත ඇස්තමේන්තුව ලබා ගත හැක:

කොහෙද
(17)

චතුර්විධ සූත්‍රවල නිරවද්‍යතාවය සංසන්දනය කිරීම.

ඉහත දැක්වෙන්නේ චතුර්විධ සූත්‍රවල නිරපේක්ෂ දෝෂය පිළිබඳ ඇස්තමේන්තු ය:

සෘජුකෝණාස්‍ර සූත්‍ර සඳහා: |r|
;

සාමාන්‍යකරණය වූ trapezoid සූත්‍රය සඳහා: |r|
;

සාමාන්‍යකරණය කරන ලද සිම්ප්සන් සූත්‍රය සඳහා: |r|
,

එහිදී M i =
|f(i)(x)|.

මෙම ඇස්තමේන්තු සංසන්දනය කිරීමෙන් අපට පහත නිගමන උකහා ගත හැකිය:

නිසා n උපාධියේ බහුපදයේ n + 1 අනුපිළිවෙලෙහි ව්‍යුත්පන්නය ශුන්‍යයට සමාන වේ, එවිට අපි අනුකලයේ අගය හරියටම ලබා ගනිමු: සූත්‍රය මගින් trapezoid, අනුකලනය රේඛීය නම්,

සූත්රය අනුව පරාබෝලා, අනුකලනය බහුපදයක් නම් තුන්වන උපාධියට වඩා වැඩි නොවේ.

සෘජුකෝණාස්රාකාර සූත්ර මගින් ගණනය කිරීමේ දෝෂය n ට ප්රතිලෝමව සමානුපාතික වේ; trapezoid සූත්රය භාවිතා කරන විට - n 2; සිම්ප්සන් සූත්‍රය භාවිතා කරන විට - n 4.

උදාහරණයක් ලෙස, අර්ධ කොටස් සංඛ්‍යාව දෙගුණයකින් වැඩි වීමත් සමඟ, සෘජුකෝණාස්‍රාකාර සූත්‍රය භාවිතා කරන ගණනය කිරීමේ දෝෂය දෙගුණයකින්, ට්‍රැපෙසොයිඩ් සූත්‍රය මගින් 4 ගුණයකින්, සිම්ප්සන් සූත්‍රය මගින් 16 ගුණයකින් අඩු වේ.

ලබාගත් නිගමන නිදර්ශනය කිරීම සඳහා, අපි අනුකලනය ගණනය කිරීමේ ප්රතිඵල සංසන්දනය කරමු.

විවිධ චතුර්විධ සූත්ර අනුව. දෝෂ තක්සේරු කිරීම සඳහා, අපි ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්න ගණනය කරමු
.

විරාමයේදී, සියලුම ව්‍යුත්පන්නයන් ඒකාකාරී ශ්‍රිත වේ. එක් එක් ඒවායේ නිරපේක්ෂ අගය එහි උපරිම අගය x=0 වෙත ළඟා වේ, එබැවින් M 1 =1, M 2 =2, M 4 =24.

ගණනය කිරීමේදී අනුරූප දෝෂ ඇස්තමේන්තු ලබා ගැනීමට මෙය අපට ඉඩ සලසයි:

සෘජුකෝණාස්රාකාර සූත්රය මගින් r≤0.05;

trapezoid සූත්රය අනුව r≤ 0.0017;

සිම්ප්සන් සූත්‍රය අනුව r≤ 0.000033.

විවිධ චතුර්විධ සූත්‍ර මගින් ලබා ගන්නා ප්‍රතිඵල ln2 අගය සමඟ සසඳා බලමු 0,6931472:

සෘජුකෝණාස්රාකාර 0.71877 සූත්රය අනුව;

trapezoid සූත්රය 0.69377 අනුව;

සිම්ප්සන් සූත්‍රය 0.69315 අනුව

අපේක්ෂා කළ පරිදි දෝෂ ඇස්තමේන්තු තරමක් අධිතක්සේරු කර ඇති බව පෙනේ.

එබැවින්, සලකා බලන ලද චතුරස්රාකාර සූත්‍ර වලින්, සිම්ප්සන් සූත්‍රය විශාලතම නිරවද්‍යතාවය ලබා දෙයි, අවම වශයෙන් - සෘජුකෝණාස්‍ර සූත්‍රය.

චතුරස්රාකාර සූත්ර මගින් ගණනය කිරීම් වල දෝෂය තක්සේරු කිරීම සඳහා ප්රායෝගික ක්රම.

චතුර්විධ සූත්‍ර සඳහා ඉහත දෝෂ ඇස්තමේන්තුවල ප්‍රායෝගික යෙදුම දෙවන හෝ හතරවන අනුපිළිවෙලෙහි ව්‍යුත්පන්නයන් සෙවීම හා සම්බන්ධ වේ, එය අනුකලනය වූ අවස්ථා වලදී කාලය ගතවන ගණනය කිරීම් වලට තුඩු දෙයි. f(X)සංකීර්ණ විශ්ලේෂණ ප්රකාශනයකින් ලබා දී ඇත. කාර්යය නම් f(X)වගුවක් මඟින් ලබා දී ඇති අතර එහි විශ්ලේෂණාත්මක ප්‍රකාශනය නොදනී, එවිට මෙම ඇස්තමේන්තු සෘජුව භාවිතා කළ නොහැක. ප්‍රායෝගික ගණනය කිරීමේ ගැටළු විසඳීමේදී සාමාන්‍යයෙන් එවැනි අවස්ථාවන් සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදු වේ.

අනුකලනය ලබා දී ඇති වගුව නම් f(x),ප්රායෝගිකව අඩංගු වේ ස්ථිර පළමුවවෙනස්කම්, i.e. f(x)පළමු උපාධියේ බහුපදයක් මෙන් ආසන්න වශයෙන් හැසිරේ, එවිට ඔබට trapezoid සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය.

කාර්ය වගුව නම් f(X)ප්රායෝගිකව නියත දෙවන හෝ තෙවන වෙනස්කම් අඩංගු වේ, i.e f(x)ආසන්න වශයෙන් දෙවන හෝ තුන්වන උපාධියේ බහුපදයක් ලෙස හැසිරේ, එය Simpson සූත්රය භාවිතා කිරීම යෝග්ය වේ. මෙය දැනටමත් සඳහන් කර ඇති පරිදි, trapezoid සූත්‍රය භාවිතා කරමින් ගණනය කිරීම අනුකලනය රේඛීය වන කොන්දේසිය යටතේ අනුකලයේ නියම අගය ලබා ගැනීමට හැකි වන අතර අනුකලනය a නම් සිම්ප්සන් සූත්‍රය ලබා ගත හැකිය. තුන්වන උපාධියට වඩා වැඩි නොවන බහුපද.

වගු ශ්රිතයක් නිර්වචනය කරන විට f(X) ආසන්න දෝෂ අගය, එක් හෝ තවත් චතුරස්රාකාර සූත්‍රයකින් අනුකලනය ගණනය කිරීමෙන් ලබාගත්, පහත පරිදි සොයාගත හැකිය:

1. අනුකලනය ගණනය කිරීම
පියවර සමඟ දෙවරක් ක්රියාත්මක කර ඇත hසහ 2 h. අනුකලයේ ලබාගත් අගයන් ඒ අනුව දක්වනු ලැබේ එස් h සහ S 2 h.

2. අපි සලකා බලනු ලබන කොටස මත එය උපකල්පනය කරන්නේ නම් [a; b] දෙවන ව්‍යුත්පන්නය f"(x) සෙමින් වෙනස් වේ, පසුව සූත්රය මගින් අනුකලනය ගණනය කිරීමේදී trapezoidදෝෂය සඳහා ඔබට පහත දළ ප්‍රකාශනය භාවිතා කළ හැක:

(18)

3. පහත අගය අනුකලයේ නිවැරදි කළ (ආසන්න) අගය ලෙස ගත හැක:

(19)

අපි සලකා බලනු ලබන කොටස මත එය උපකල්පනය කරන්නේ නම් [a; බී] හතරවන ව්යුත්පන්නය f (4) (X)සෙමින් වෙනස් වේ, පසුව සූත්රය මගින් අනුකලනය ගණනය කිරීමේදී සිම්සන්දෝෂය ආසන්න වශයෙන් සමාන යැයි අපට උපකල්පනය කළ හැකිය

(20)

මෙම අවස්ථාවෙහි අනුකලනයේ නිවැරදි කරන ලද (ආසන්න) අගයක් ලෙස, අපට ගත හැක්කේ:

(21)

ගණනය කිරීමේ භාවිතයේදී, ප්‍රති result ලය තුළ නිවැරදි සලකුණු ගණනය කිරීම සඳහා පහත රීතිය ද බොහෝ විට භාවිතා වේ: S h සහ S 2 h අගයන්හි සියලුම සමපාත ඉලක්කම් ප්‍රායෝගිකව නිවැරදි යැයි සැලකේ.

ගුවන් යානා රූපවල ප්රදේශ ආසන්න වශයෙන් ගණනය කිරීම

පී අපි කියමු පැතලි රූපයක් P සංවෘත සමෝච්ඡයකින් සීමා වී ඇත C. අපි සලකා බලන රූපය පිහාටු හතරේ ඇති ආකාරයට ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් තෝරා ගනිමු. ඕනෑම සරල රේඛාවක් අක්ෂයට සමාන්තරව පවතින බව අපි උපකල්පනය කරමු OU,උපරිම වශයෙන් ලකුණු දෙකකින් C ඡේදනය කරයි. අපි P රූපය අක්ෂයට ප්‍රක්ෂේපණය කරමු ඔහ්; ප්රක්ෂේපණය තුළ ඔබට කොටසක් ලැබේ [ ඒ; බී] .

A abscissa සහිත රූපයක ලක්ෂ්‍යයක් වේවා x = a, V - abscissa සමග රූපයේ ලක්ෂ්යය x =බී. A සහ B ලක්ෂ්‍ය C සමෝච්ඡය වක්‍ර දෙකකට පිළිවෙළින් සමීකරණ සමඟින් ඉහළ සහ පහළට බෙදයි. වයි = f(x) හා වයි = g(x), කොහෙද f(x), g(x) – කොටස මත අඛණ්ඩව [ ඒ; බී] කාර්යයන්. මගින් දක්වන්න ආර්රූපයේ ප්රදේශය R. ප්රදේශය ආර් Curvilinear trapezoids දෙකක ප්‍රදේශ අතර වෙනසට සමාන වනු ඇත:

aATVබී හා aAhBb,

එම. සංඛ්‍යාත්මකව අනුකලන දෙකක වෙනසට සමාන වේ:

මෙම අනුකලනයන්හි ආසන්න අගයන් ඕනෑම චතුරස්‍ර සූත්‍රයක් භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක.

අපි කොටස බෙදමු [ඒ;බී] මත n සමාන කොටස්

[X 0 , X 1 ] , [X 1 , X 2 ], …,[ X n-1 ; x පී ]

(a=x 0 , X 1 , …, X පී = බී).

ඒකාබද්ධයේ අගයන් වයි= f(x) - g(x) සම්බන්ධතා අනුව චතුරස්රාකාර සූත්‍රයේ නෝඩ් වලින් ගණනය කරනු ලැබේ:

වයි මම = f(x මම ) - g(x මම ) (i = 0, 1, ...,පී) .

ඒක පැහැදිලියි

වයි 0 = f(x 0 ) - g(x 0 ) = 0 හා වයි n = f(x n ) - g(x n ) = 0

වටිනාකම් වයි මමР රූපයේ ඇතුළත කොටා ඇති නෝඩල් ලක්ෂ්‍යවල ඕඩිනේට් වල කොටස්වල දිග වේ. ශ්‍රිතවල විශ්ලේෂණාත්මක ප්‍රකාශන නම් f(x) හා g(x) නොදන්නා, එසේ නම් වයි මමචිත්රය භාවිතයෙන් මැනිය හැක.

නිව්ටන්-කෝට්ස් හි සාමාන්‍ය සූත්‍ර

නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කිරීමට අවශ්‍ය වීමට ඉඩ දෙන්න

I=
,

කොටස මත නම් [ඒ;බී] සමඟ වගුවක් මඟින් කාර්යය ලබා දී ඇත ස්ථිරපියවර h:

x මම	x 0	x 1	x 2		x n
වයි මම	වයි 0	වයි 1	වයි 2		වයි n

අපි අනුකලනය පළමු Newton interpolation polynomial සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කර ලබා ගනිමු:

f(x) = පී n (x) + ආර් n (x) (22)

කොහෙද ආර් n (x) අන්තර් ඡේදනයේ ඉතිරි පදය වේ. සමානාත්මතාවය (22) ඒකාබද්ධ කිරීම, අපි ලබා ගන්නේ:

දකුණු පැත්තේ දෙවන පදය ඉවත දැමීමෙන්, අපි ආසන්න සමානාත්මතාවය ලබා ගනිමු

, (23)

එහි දෝෂය සූත්‍රය මගින් තීරණය වේ:

. (24)

සමානාත්මතාවය (23) ලෙස හැඳින්වේ නිව්ටන්-කෝට්ස් චතුරස්‍ර සූත්‍ර.සඳහා සූත්රය (23) සිට n=1 trapezoid සූත්රය ලබා ගනී, සහ කවදාද පී=2 යනු සිම්ප්සන් සූත්‍රයයි.

සරලම Monte Carlo ක්‍රමය මගින් අනුකලනය ගණනය කිරීම

පොකුණක ප්‍රදේශය මැනීමට ගල් ගොඩක් භාවිතා කරන්නේ කෙසේද? A දන්නා ප්‍රදේශයක කෙතක මධ්‍යයේ පොකුණක් පිහිටා ඇතැයි සිතමු. පිට්ටනිය තුළ අහඹු ස්ථානවලට වැටෙන පරිදි අහඹු ලෙස පොකුණට ගල් විසි කරන්න, සහ ගල් පොකුණට වැදීමෙන් ඇති වූ ඉසින ගණන ගණන් කරන්න. මෙම සරල ක්රියා පටිපාටිය Monte Carlo ක්රමයේ උදාහරණයකි.

හිදී මෙම ක්රමයේ සාරය වඩාත් විස්තරාත්මකව පැහැදිලි කරමු. සෘජුකෝණාස්රයක් උස ලබා දෙන්න එච්සහ දිග බී- ඒඑවැනි කාර්යයක් f(x) එය තුළ පිහිටා ඇත. අපි උත්පාදනය කරනවා පීඅහඹු සංඛ්යා යුගල x මම හා වයි මම , කොන්දේසි තෘප්තිමත් කිරීම ඒ<= x මම <= බී හා 0 <= වයි මම <= එච්. ලකුණු බෙදාගැනීම (x මම , වයි මම ) , කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරන වයි මම <=f(x මම ) , යනු ශ්‍රිතයේ අනුකලනයේ අනුපාතයේ ඇස්තමේන්තුවකි f(x) සෘජුකෝණාස්රයේ ප්රදේශයට. එබැවින් ඇස්තමේන්තුව එෆ් n"අත්හදා බැලීම සහ දෝෂය" ක්රමයේ ප්රකාශනය මගින් තීරණය වේ

, (4)

කොහෙද n s – වක්‍රය යටතේ ඇති "පිපිරීම්" හෝ ලක්ෂ්‍ය ගණන, පීමුළු ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාව වන අතර A යනු සෘජුකෝණාස්‍රයේ ප්‍රදේශය වේ.

Monte Carlo ක්‍රමයේ තවත් අනුවාදයක් ගණිතමය විශ්ලේෂණ ප්‍රමේය මත පදනම් වී ඇති අතර, ඒ අනුව නිශ්චිත අනුකලනය

අනුකලනයේ මධ්යන්ය අගය මගින් තීරණය වේ f(x) කොටස මත [ ඒ; බී]. මෙම සාමාන්යය ගණනය කිරීම සඳහා, අපි ගන්නෙමු x මමනියත පියවරක් සමඟ නොව, අහඹු ලෙස සහ අපි නිෂ්පාදනය කරන්නෙමු නියැදීමඅගයන් f(x) . ශ්රේණියේ එෆ් n ඒකමාන අනුකලනය

trapezoidal ක්රමය සංඛ්යාත්මක ඒකාබද්ධ කිරීමේ ක්රම වලින් එකකි. කලින් තීරණය කළ නිරවද්‍යතාවයකින් නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කිරීමට එය ඔබට ඉඩ සලසයි.

අපි පහත ගැටලුව සකස් කර ගනිමු: අනුකලනය ඇති නිශ්චිත අනුකලනයක් දළ වශයෙන් ගණනය කිරීමට අවශ්‍ය වෙමු. y=f(x)අඛණ්ඩව

කොටස .

අපි කොටස බෙදමු මත nසමාන දිග පරතරයන් hතිත් . මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සමානාත්මතාවයෙන් තීරණය කරනු ලබන නෝඩ් වල කොටස් කිරීමේ පියවර සොයාගත හැකිය.

මූලික කාල පරතරයන් පිළිබඳ අනුකලනය සලකා බලන්න .

හැකි අවස්ථා හතරක් ඇත (රූපය ඒවායින් සරලම දේ පෙන්වයි, අසීමිත වැඩිවීමක් සමඟ සියල්ල අඩු වේ n):

සෑම අංශයකම කාර්යය ප්රතිස්ථාපනය කරන්න y=f(x)ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන රේඛා ඛණ්ඩයක් සහ. අපි ඒවා නිල් රේඛා සහිත රූපයේ නිරූපණය කරමු:

අනුකලයේ ආසන්න අගයක් ලෙස, අපි ප්‍රකාශනය ගනිමු , එනම්, අපි ගනිමු .

ලිඛිත ආසන්න සමානාත්මතාවය ජ්යාමිතික අර්ථයෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්දැයි සොයා බලමු. සංඛ්‍යාත්මක ඒකාබද්ධතාවයේ සලකා බැලූ ක්‍රමය trapezoidal ක්‍රමය ලෙස හඳුන්වන්නේ මන්දැයි මෙය තේරුම් ගැනීමට හැකි වනු ඇත.

trapezoid වල ප්‍රදේශය උසින් වැඩි පාදවල එකතුවෙන් අඩක ගුණිතයක් ලෙසින් සොයා ගන්නා බව අපි දනිමු. එබැවින්, පළමු අවස්ථාවේ දී, curvilinear trapezoid ප්රදේශයේ භෂ්ම සහිත trapezoid ප්රදේශයට ආසන්න වශයෙන් සමාන වේ. සහ උස h, අවසාන අවස්ථාවේ දී, නිශ්චිත අනුකලනය භෂ්ම සහිත trapezoid ප්රදේශයට ආසන්න වශයෙන් සමාන වේ සහ උස hඍණ ලකුණක් සමඟ ගෙන ඇත. දෙවන සහ තෙවන අවස්ථා වලදී, නිශ්චිත අනුකලනයේ ආසන්න අගය පහත රූපයේ දැක්වෙන රතු සහ නිල් කලාපවල ප්‍රදේශ අතර වෙනසට සමාන වේ.

මේ අනුව, අපි පැමිණ ඇත trapezoid ක්රමයේ සාරය, එය එක් එක් ප්‍රාථමික ඛණ්ඩයේ සහ පසුව ආසන්න ප්‍රතිස්ථාපනයෙහි දක්නට ලැබෙන අනුකලක එකතුවක් ලෙස නිශ්චිත අනුකලනය නියෝජනය කිරීම සමන්විත වේ. .

Trapezoidal සූත්රය.

නිශ්චිත අනුකලයේ පස්වන ගුණය මගින් .

අපි අනුකලනය වෙනුවට ඒවායේ ආසන්න අගයන් ආදේශ කළහොත්, අපට ලැබේ trapezoidal සූත්රය:

trapezoidal ක්රමයේ නිරපේක්ෂ දෝෂය ඇස්තමේන්තු කිරීම.

trapezoidal ක්රමයේ නිරපේක්ෂ දෝෂයලෙස ඇගයීමට ලක් කෙරේ.

trapezoidal ක්රමයේ ග්රැෆික් නිදර්ශනය.

3. සිම්සන් ක්‍රමය (පරාබෝලා)

මෙය වඩාත් පරිපූර්ණ ක්‍රමයකි - අනුකලනයේ ප්‍රස්ථාරය ළඟා වන්නේ කැඩුණු රේඛාවකින් නොව කුඩා පැරබෝලා මගිනි. අතරමැදි කොටස් කීයක් - කුඩා පැරබෝලා කීයක්. අපි එම කොටස් තුනම ගතහොත්, සිම්ප්සන් ක්‍රමය සෘජුකෝණාස්‍ර ක්‍රමයට හෝ ට්‍රැපෙසොයිඩ් ක්‍රමයට වඩා නිවැරදි ආසන්න අගයක් ලබා දෙනු ඇත.

කාර්යයට ඉඩ දෙන්න y = f(x)කොටස මත අඛණ්ඩව සහ අපි නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කළ යුතුය.

අපි කොටස බෙදමු මත nදිග තිත් වල මූලික කොටස්. ලකුණු පිළිවෙලින් කොටස්වල මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය වේවා. මෙම අවස්ථාවේදී, සියලු "නෝඩ්" සමානාත්මතාවයෙන් තීරණය වේ.

පැරබෝලා ක්රමයේ සාරය.

එක් එක් අන්තරය මත, අනුකලනය quadratic parabola මගින් ආසන්න වේ ලකුණු හරහා ගමන් කිරීම. එබැවින් ක්රමයේ නම - parabolas ක්රමය.

මෙය සිදු කරනු ලබන්නේ නිශ්චිත අනුකලයක ආසන්න අගයක් ලෙස ගැනීම සඳහා ය , අපට Newton-Leibniz සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක. මේ මොකක්ද පැරබෝලා ක්‍රමයේ සාරය.

ජ්යාමිතිකව එය මේ වගේ ය:

පැරබෝලා ක්‍රමයේ ග්‍රැෆික් නිදර්ශනය (සිම්සන්).

රතු රේඛාව ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය පෙන්වයි y=f(x), නිල් රේඛාව ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයේ ආසන්න අගය පෙන්වයි y=f(x)කොටසෙහි එක් එක් මූලික කොටසෙහි චතුරස්රාකාර පැරබෝලා.