සංකීර්ණ සමීකරණ විසඳීම. සංකීර්ණ සංඛ්යා සමඟ ගැටළු විසඳීම

සමඟ ගැටළු විසඳීමට සංකීර්ණ සංඛ්යාමූලික නිර්වචන තේරුම් ගැනීම අවශ්ය වේ. මෙම සමාලෝචන ලිපියේ ප්‍රධාන අරමුණ වන්නේ සංකීර්ණ සංඛ්‍යා යනු කුමක්ද යන්න සහ සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සමඟ මූලික ගැටළු විසඳීම සඳහා ක්‍රම ඉදිරිපත් කිරීමයි. එබැවින්, සංකීර්ණ අංකයක් පෝරමයේ අංකයක් ලෙස හැඳින්වේ z = a + bi, කොහෙද a, b- තාත්වික සංඛ්‍යා, ඒවා පිළිවෙලින් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක තාත්වික සහ මනඃකල්පිත කොටස් ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර ඒවා දක්වයි a = Re(z), b=Im(z).
මමමනඃකල්පිත ඒකකය ලෙස හැඳින්වේ. i 2 = -1. විශේෂයෙන්, ඕනෑම තාත්වික සංඛ්යාවක් සංකීර්ණ ලෙස සැලකිය හැකිය: a = a + 0i, a ඇත්ත කොහෙද. නම් a = 0සහ b ≠ 0, එවිට අංකය සාමාන්යයෙන් හුදු පරිකල්පනීය ලෙස හැඳින්වේ.

දැන් අපි සංකීර්ණ සංඛ්යා මත මෙහෙයුම් හඳුන්වා දෙමු.
සංකීර්ණ සංඛ්යා දෙකක් සලකා බලන්න z 1 = a 1 + b 1 iසහ z 2 = a 2 + b 2 i.

අපි සලකා බලමු z = a + bi.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා කට්ටලය තාත්වික සංඛ්‍යා කුලකය දිගු කරයි, එය අනෙක් අතට තාර්කික සංඛ්‍යා කට්ටලය දිගු කරයි. මෙම ආයෝජන දාමය රූපයේ දැකිය හැකිය: N - ස්වභාවික සංඛ්යා, Z - පූර්ණ සංඛ්යා, Q - තාර්කික, R - සැබෑ, C - සංකීර්ණ.

සංකීර්ණ සංඛ්යා නියෝජනය කිරීම

වීජීය අංකනය.

සංකීර්ණ අංකයක් සලකන්න z = a + bi, සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ලිවීමේ මෙම ක්‍රමය හැඳින්වේ වීජීය. අපි කලින් කොටසේ මෙම පටිගත කිරීමේ ආකෘතිය විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කර ඇත. පහත දැක්වෙන දෘශ්‍ය ඇඳීම බොහෝ විට භාවිතා වේ

ත්රිකෝණමිතික ආකෘතිය.

රූපයෙන් පෙනෙන්නේ අංකය බවයි z = a + biවෙනස් ලෙස ලිවිය හැකිය. ඒක පැහැදිලියි a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, එහෙයින් z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක තර්කය ලෙස හැඳින්වේ. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක මෙම නිරූපණය හැඳින්වේ ත්රිකෝණමිතික ආකෘතිය. අංකනය කිරීමේ ත්රිකෝණමිතික ආකාරය සමහර විට ඉතා පහසු වේ. උදාහරණයක් ලෙස, සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් පූර්ණ සංඛ්‍යා බලයකට නැංවීමට එය භාවිතා කිරීම පහසුය, එනම් නම් z = rcos(φ) + rsin(φ)i, එම z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, මෙම සූත්රය ලෙස හැඳින්වේ Moivre ගේ සූත්රය.

නිරූපණ ආකෘතිය.

අපි සලකා බලමු z = rcos(φ) + rsin(φ)i- ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක්, එය වෙනත් ආකාරයකින් ලියන්න z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, අවසාන සමානාත්මතාවය ඉයුලර්ගේ සූත්‍රයෙන් පහත දැක්වේ, එබැවින් අපට ලැබේ නව නිල ඇඳුමසංකීර්ණ සංඛ්‍යා අංකනය: z = නැවත iφ, ලෙස හැඳින්වේ ඇඟවුම් කරයි. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් බලයකට නැංවීම සඳහා මෙම අංකනය ඉතා පහසු වේ: z n = r n e inφ, මෙතන nනිඛිලයක් අවශ්‍ය නොවේ, නමුත් අත්තනෝමතික තාත්වික සංඛ්‍යාවක් විය හැක. ගැටළු විසඳීම සඳහා මෙම අංකනය බොහෝ විට භාවිතා වේ.

ඉහළ වීජ ගණිතයේ මූලික ප්‍රමේයය

අපි හිතමු අපිට x 2 + x + 1 = 0 යන චතුරස්‍ර සමීකරණයක් තියෙනවා කියලා. පැහැදිලිවම, මෙම සමීකරණයේ වෙනස්කම් කිරීම සෘණාත්මක වන අතර එයට සැබෑ මූලයන් නොමැත, නමුත් මෙම සමීකරණයට විවිධ සංකීර්ණ මූලයන් දෙකක් ඇති බව පෙනේ. එබැවින්, ඉහළ වීජ ගණිතයේ මූලික ප්‍රමේයය පවසන්නේ n උපාධියේ ඕනෑම බහුපදයකට අවම වශයෙන් එක් සංකීර්ණ මූලයක් හෝ ඇති බවයි. n උපාධියේ ඕනෑම බහුපදයකට ඒවායේ ගුණත්වය සැලකිල්ලට ගනිමින් හරියටම n සංකීර්ණ මූලයන් ඇති බව මෙයින් අනුගමනය කෙරේ. මෙම ප්‍රමේයය ගණිතයේ ඉතා වැදගත් ප්‍රතිඵලයක් වන අතර එය බහුලව භාවිතා වේ. මෙම ප්‍රමේයේ සරල නිගමනය නම් එකමුතුවේ n අංශකයේ හරියටම වෙනස් මූලයන් n තිබීමයි.

ප්රධාන කාර්යයන් වර්ග

මෙම කොටස ප්රධාන වර්ග ආවරණය කරනු ඇත සරල කාර්යයන්සංකීර්ණ සංඛ්යා වෙත. සාම්ප්‍රදායිකව, සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සම්බන්ධ ගැටළු පහත කාණ්ඩවලට බෙදිය හැකිය.

• සංකීර්ණ සංඛ්යා මත සරල ගණිතමය මෙහෙයුම් සිදු කිරීම.
• සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවල බහුපදවල මූලයන් සෙවීම.
• සංකීර්ණ සංඛ්‍යා බලවලට නැංවීම.
• සංකීර්ණ සංඛ්‍යා වලින් මූලයන් උපුටා ගැනීම.
• වෙනත් ගැටළු විසඳීම සඳහා සංකීර්ණ සංඛ්යා භාවිතා කිරීම.

දැන් අපි මෙම ගැටළු විසඳීම සඳහා පොදු තාක්ෂණික ක්රම දෙස බලමු.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සහිත සරලම අංක ගණිත මෙහෙයුම් පළමු කොටසේ විස්තර කර ඇති නීතිවලට අනුව සිදු කරනු ලැබේ, නමුත් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ත්‍රිකෝණමිතික හෝ ඝාතීය ආකාරවලින් ඉදිරිපත් කරන්නේ නම්, මෙම අවස්ථාවේදී ඔබට ඒවා වීජීය ස්වරූපයට පරිවර්තනය කර දන්නා නීතිවලට අනුව මෙහෙයුම් සිදු කළ හැකිය.

බහුපදවල මූලයන් සෙවීම සාමාන්‍යයෙන් මූලයන් සෙවීම දක්වා පැමිණේ චතුරස්රාකාර සමීකරණය. අප සතුව චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ඇතැයි සිතමු, එහි වෙනස්කම් කිරීම සෘණාත්මක නොවේ නම්, එහි මූලයන් සැබෑ වන අතර ප්‍රසිද්ධ සූත්‍රයකට අනුව සොයාගත හැකිය. වෙනස්කම් කරන්නා සෘණාත්මක නම්, එනම්, D = -1∙a 2, කොහෙද ඒයනු නිශ්චිත සංඛ්‍යාවකි, එවිට වෙනස්කම් කරන්නා ලෙස නිරූපණය කළ හැක D = (ia) 2, එහෙයින් √D = i|a|, පසුව ඔබට භාවිතා කළ හැකිය සුප්රසිද්ධ සූත්රයචතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා.

උදාහරණයක්. ඉහත x 2 + x + 1 = 0 දක්වා ඇති චතුරස්‍ර සමීකරණය වෙත ආපසු යමු.
වෙනස් කොට සැලකීම - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
දැන් අපට පහසුවෙන් මූලයන් සොයාගත හැකිය:

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා බලයට නැංවීම ක්‍රම කිහිපයකින් කළ හැක. ඔබට වීජීය ස්වරූපයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් කුඩා බලයකට (2 හෝ 3) ඉහළ නැංවීමට අවශ්‍ය නම්, ඔබට මෙය සෘජු ගුණ කිරීමෙන් කළ හැකිය, නමුත් බලය විශාල නම් (ගැටළු වලදී එය බොහෝ විට විශාල වේ), එවිට ඔබට අවශ්‍ය වේ මෙම අංකය ත්‍රිකෝණමිතික හෝ ඝාතීය ආකාරවලින් ලියන්න සහ දැනටමත් දන්නා ක්‍රම භාවිතා කරන්න.

උදාහරණයක්. z = 1 + i සලකා එය දහවන බලයට ඔසවන්න.
අපි ඝාතීය ආකාරයෙන් z ලියමු: z = √2 e iπ/4.
ඉන්පසු z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
අපි වීජීය ආකාරය වෙත ආපසු යමු: z 10 = -32i.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා වලින් මූලයන් උකහා ගැනීම ඝාතනයේ ප්‍රතිලෝම ක්‍රියාකාරිත්වය වන අතර එබැවින් එය සමාන ආකාරයකින් සිදු කෙරේ. මූලයන් උපුටා ගැනීම සඳහා, අංකයක් ලිවීමේ ඝාතීය ස්වරූපය බොහෝ විට භාවිතා වේ.

උදාහරණයක්. එකමුතුකමේ 3 උපාධියේ සියලුම මූලයන් සොයා ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි z 3 = 1 සමීකරණයේ සියලුම මූලයන් සොයා ගනිමු, අපි ඝාතීය ස්වරූපයෙන් මූලයන් සොයමු.
අපි සමීකරණයට ආදේශ කරමු: r 3 e 3iφ = 1 හෝ r 3 e 3iφ = e 0 .
එබැවින්: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, එබැවින් φ = 2πk/3.
φ = 0, 2π/3, 4π/3 හිදී විවිධ මූලයන් ලබා ගනී.
එබැවින් 1, e i2π/3, e i4π/3 මූලයන් වේ.
හෝ වීජීය ආකාරයෙන්:

අවසාන වර්ගයේ ගැටළු වලට විශාල ගැටළු රාශියක් ඇතුළත් වන අතර ඒවා විසඳීම සඳහා සාමාන්‍ය ක්‍රම නොමැත. එවැනි කාර්යයක් සඳහා සරල උදාහරණයක් දෙන්න:

මුදල සොයා ගන්න sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + ... + sin(nx).

මෙම ගැටලුව සැකසීම සංකීර්ණ සංඛ්යා ඇතුළත් නොවේ වුවද, එය ඔවුන්ගේ උපකාරයෙන් පහසුවෙන් විසඳා ගත හැකිය. එය විසඳීම සඳහා, පහත දැක්වෙන නිරූපණ භාවිතා කරනු ලැබේ:


අපි දැන් මෙම නිරූපණය එකතුවට ආදේශ කළහොත්, ගැටලුව සාමාන්‍ය ජ්‍යාමිතික ප්‍රගතිය සාරාංශ කිරීමට අඩු වේ.

නිගමනය

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ගණිතයේ බහුලව භාවිතා වන අතර, මෙම සමාලෝචන ලිපිය සංකීර්ණ සංඛ්‍යා පිළිබඳ මූලික ක්‍රියාකාරකම් පරීක්ෂා කර, සංකීර්ණ සංඛ්‍යා පිළිබඳ වඩාත් සවිස්තරාත්මක අධ්‍යයනයක් සඳහා සම්මත ගැටළු කිහිපයක් විස්තර කර ඇති අතර ඒවා විසඳීම සඳහා සාමාන්‍ය ක්‍රම කෙටියෙන් විස්තර කර ඇත විශේෂිත සාහිත්යය භාවිතා කරන්න.

සාහිත්යය

සමීකරණ භාවිතය අපගේ ජීවිතයේ බහුලව දක්නට ලැබේ. ඒවා බොහෝ ගණනය කිරීම්, ව්යුහයන් තැනීම සහ ක්රීඩා වල පවා භාවිතා වේ. මිනිසා පුරාණ කාලයේ සමීකරණ භාවිතා කළ අතර එතැන් සිට ඒවායේ භාවිතය වැඩි වී තිබේ. පැහැදිලිකම සඳහා, පහත ගැටළුව විසඳා ගනිමු:

\[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] නම් \ ගණනය කරන්න

පළමුවෙන්ම, එක් අංකයක් වීජීය ආකාරයෙන් ද අනෙක ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් ද ඉදිරිපත් කර ඇති බව අවධානය යොමු කරමු. එය සරල කර ගෙන ඒමට අවශ්ය වේ ඊළඟ දර්ශනය

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

\ ප්‍රකාශනය පවසන්නේ අපි මුලින්ම ගුණ කිරීම සහ 10 වන බලයට නැංවීම Moivre සූත්‍රය භාවිතා කරන බවයි. මෙම සූත්‍රය සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ත්‍රිකෝණමිතික ස්වරූපය සඳහා සකස් කර ඇත. අපට ලැබෙන්නේ:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ගුණ කිරීමේ නීති අනුගමනය කරමින්, අපි පහත දේ කරන්නෙමු:

අපගේ නඩුවේදී:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

\[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] කොටස නිවැරදි කිරීමෙන්, අපට හැරීම් 4ක් "ඇඹරීමට" හැකි බව නිගමනයට පැමිණේ \[(8\pi rad.): \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

පිළිතුර: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

මෙම සමීකරණය වෙනත් ආකාරයකින් විසඳිය හැකි අතර, එය 2 වන අංකය වීජීය ස්වරූපයට ගෙන ඒම දක්වා පහළට බැස, පසුව වීජීය ආකාරයෙන් ගුණ කිරීම සිදු කරයි, ප්රතිඵලය ත්රිකෝණමිතික ස්වරූපයට පරිවර්තනය කිරීම සහ Moivre සූත්රය යෙදීම:

අන්තර්ජාලය හරහා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සහිත සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳිය හැක්කේ කොතැනින්ද?

අපගේ වෙබ් අඩවියේ https://site හි සමීකරණ පද්ධතිය ඔබට විසඳා ගත හැකිය. නොමිලේ මාර්ගගත විසදුම්කරු ඔබට ඕනෑම සංකීර්ණතාවයක සබැඳි සමීකරණ තත්පර කිහිපයකින් විසඳා ගැනීමට ඉඩ සලසයි. ඔබට අවශ්‍ය වන්නේ ඔබේ දත්ත විසඳන්නාට ඇතුළත් කිරීමයි. ඔබට වීඩියෝ උපදෙස් නැරඹිය හැකි අතර අපගේ වෙබ් අඩවියේ සමීකරණය විසඳන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගත හැකිය. ඔබට තවමත් ප්‍රශ්න ඇත්නම්, ඔබට ඒවා අපගේ VKontakte කණ්ඩායම http://vk.com/pocketteacher වෙතින් ඇසිය හැකිය. අපගේ කණ්ඩායමට සම්බන්ධ වන්න, ඔබට උදව් කිරීමට අපි සැමවිටම සතුටු වන්නෙමු.

අධ්‍යාපනය සඳහා වන ෆෙඩරල් නියෝජිතායතනය

රාජ්ය අධ්යාපන ආයතනය

උසස් වෘත්තීය අධ්‍යාපනය

"VORONEZH රාජ්‍ය අධ්‍යාපනික විශ්ව විද්‍යාලය"

AGLEBRA සහ ජ්යාමිතිය දෙපාර්තමේන්තුව

සංකීර්ණ සංඛ්යා

(තෝරාගත් කාර්යයන්)

උපාධි සුදුසුකම් වැඩ

විශේෂත්වය 050201.65 ගණිතය

(අමතර විශේෂත්වය 050202.65 පරිගණක විද්‍යාව සමඟ)

සම්පූර්ණ කළේ: 5 වසර ශිෂ්‍යයා

භෞතික හා ගණිතමය

පීඨය

විද්යාත්මක උපදේශක:

VORONEZH - 2008

1. හැඳින්වීම……………………………………………………………………

2. සංකීර්ණ අංක (තෝරාගත් ගැටළු)

2.1 වීජීය ආකාරයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ………………………..

2.2 සංකීර්ණ සංඛ්‍යා වල ජ්‍යාමිතික විග්‍රහය.............

2.3 සංකීර්ණ සංඛ්‍යා වල ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරය

2.4 3 වන සහ 4 වන උපාධිවල සමීකරණ විසඳුම සඳහා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා පිළිබඳ න්‍යාය යෙදීම …………………………………………………………………………

2.5 සංකීර්ණ අංක සහ පරාමිති …………………………………………….

3. නිගමනය ……………………………………………………………….

4. යොමු ලැයිස්තුව …………………………………………………….

1. හැඳින්වීම

පාසල් ගණිත විෂය මාලාවේ අංක න්‍යාය හඳුන්වා දෙනු ලබන්නේ කට්ටල උදාහරණ භාවිතා කරමිනි ස්වභාවික සංඛ්යා, සම්පූර්ණ, තාර්කික, අතාර්කික, i.e. තාත්වික සංඛ්‍යා කට්ටලය මත, සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා රේඛාව පුරවන රූප. නමුත් දැනටමත් 8 වන ශ්‍රේණියේ තාත්වික සංඛ්‍යා ප්‍රමාණවත් සැපයුමක් නොමැති අතර, සෘණ වෙනස් කොට සැලකීමක් සහිත චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳීම. එබැවින්, සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ආධාරයෙන් තාත්වික සංඛ්‍යා තොගය නැවත පිරවීම අවශ්‍ය විය වර්ගමුලයසිට සෘණ අංකයඅර්ථය ඇත.

මගේ උපාධි මාතෘකාව ලෙස "සංකීර්ණ අංක" මාතෘකාව තෝරා ගැනීම සුදුසුකම් වැඩ, සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් පිළිබඳ සංකල්පය සිසුන්ගේ දැනුම පුළුල් කරයි සංඛ්යා පද්ධති, වීජීය සහ ජ්‍යාමිතික යන දෙඅංශයේම පුළුල් පන්තියේ ගැටලු විසඳීම ගැන, විසඳීම ගැන වීජීය සමීකරණඕනෑම උපාධියක් සහ පරාමිතීන් සමඟ ගැටළු විසඳීම ගැන.

මෙම නිබන්ධනය ගැටළු 82 කට විසඳුම විමර්ශනය කරයි.

“සංකීර්ණ සංඛ්‍යා” ප්‍රධාන කොටසේ පළමු කොටස වීජීය ස්වරූපයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සමඟ ගැටලුවලට විසඳුම් සපයයි, එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම, බෙදීම, වීජීය ස්වරූපයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සඳහා සංයෝජන ක්‍රියාකාරිත්වය, මනඃකල්පිත ඒකකයක බලය නිර්වචනය කරයි. , සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක මාපාංකය, සහ සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක වර්ගමූලය නිස්සාරණය කිරීමේ රීතිය ද දක්වයි.

දෙවන කොටසේදී, සංකීර්ණ තලයේ ලක්ෂ්‍ය හෝ දෛශික ආකාරයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ජ්‍යාමිතික අර්ථ නිරූපණය පිළිබඳ ගැටළු විසඳනු ලැබේ.

තුන්වන කොටස ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා මත මෙහෙයුම් පරීක්ෂා කරයි. භාවිතා කරන සූත්‍ර නම්: Moivre සහ සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක මුල නිස්සාරණය කිරීම.

සිව්වන කොටස 3 වන සහ 4 වන අංශකවල සමීකරණ විසඳීම සඳහා කැප කර ඇත.

අවසාන කොටසෙහි ගැටළු විසඳීමේදී, "සංකීර්ණ අංක සහ පරාමිති", පෙර කොටස්වල ලබා දී ඇති තොරතුරු භාවිතා කර ඒකාබද්ධ කරනු ලැබේ. පරිච්ඡේදයේ ගැටළු මාලාවක් සංකීර්ණ තලයේ රේඛා පවුල් නිර්වචනය කිරීමට කැප කර ඇත. සමීකරණ මගින් ලබා දී ඇත(අසමානතා) පරාමිතියක් සමඟ. අභ්යාසවල කොටසක දී ඔබට පරාමිතියක් සමඟ සමීකරණ විසඳා ගත යුතුය (C ක්ෂේත්රයේ). සංකීර්ණ විචල්‍යයක් එකවර කොන්දේසි ගණනාවක් තෘප්තිමත් කරන කාර්යයන් තිබේ. මෙම කොටසෙහි ගැටළු විසඳීමේ විශේෂ ලක්ෂණය වන්නේ පරාමිතියක් සහිත අතාර්කික, ත්රිකෝණමිතික දෙවන උපාධියේ සමීකරණ (අසමානතා, පද්ධති) විසඳුම සඳහා ඔවුන්ගෙන් බොහෝ දෙනෙක් අඩු කිරීමයි.

එක් එක් කොටසෙහි ද්රව්ය ඉදිරිපත් කිරීමේ ලක්ෂණයක් වන්නේ ආරම්භක ආදානයයි න්යායික පදනම්, සහ පසුව ගැටළු විසඳීමේදී ඔවුන්ගේ ප්රායෝගික යෙදුම.

අවසානයේ දී නිබන්ධනයභාවිතා කළ සාහිත්‍ය ලැයිස්තුවක් ඉදිරිපත් කෙරේ. ඔවුන්ගෙන් බොහෝ දෙනෙක් ඉදිරිපත් කරන්නේ න්යායික ද්රව්ය, සමහර ගැටළු සඳහා විසඳුම් සලකා බලනු ලබන අතර ප්රායෝගික කාර්යයන් ලබා දෙනු ලැබේ ස්වාධීන තීරණය. විශේෂ අවධානයමම එවැනි මූලාශ්‍ර වෙත යොමු කිරීමට කැමැත්තෙමි:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. සංකීර්ණ අංක සහ ඒවායේ යෙදුම්: පෙළපොත්. . ද්රව්ය ඉගැන්වීමේ ආධාරයදේශන සහ ප්‍රායෝගික අභ්‍යාස ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කෙරේ.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. ප්‍රාථමික ගණිතයේ තෝරාගත් ගැටළු සහ ප්‍රමේය. අංක ගණිතය සහ වීජ ගණිතය. වීජ ගණිතය, ගණිතය සහ සංඛ්‍යා න්‍යාය සම්බන්ධ ගැටලු 320ක් පොතේ අඩංගුයි. මෙම කර්තව්යයන් සම්මත පාසල් කාර්යයන්ගෙන් ස්වභාවයෙන්ම සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් වේ.

2. සංකීර්ණ අංක (තෝරාගත් ගැටළු)

2.1 වීජීය ස්වරූපයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්යා

ගණිතයේ සහ භෞතික විද්‍යාවේ බොහෝ ගැටලු විසඳීම වීජීය සමීකරණ විසඳීම දක්වා පැමිණේ, i.e. පෝරමයේ සමීකරණ

,

මෙහි a0, a1, ..., an යනු තාත්වික සංඛ්‍යා වේ. එබැවින් වීජීය සමීකරණ අධ්‍යයනය ඉන් එකකි විවේචනාත්මක ගැටළුගණිතය තුළ. උදාහරණයක් ලෙස, සෘණ වෙනස් කොට සැලකීමක් සහිත චතුරස්‍ර සමීකරණයකට සැබෑ මූලයන් නොමැත. එවැනි සරලම සමීකරණය වන්නේ සමීකරණයයි

.

මෙම සමීකරණයට විසඳුමක් ලබා ගැනීමට නම්, තාත්වික සංඛ්‍යා සමූහයට සමීකරණයේ මුල එකතු කිරීමෙන් එය පුළුල් කිරීම අවශ්‍ය වේ.

.

අපි මෙම මූලය මගින් දක්වමු

. මේ අනුව, නිර්වචනය අනුව, හෝ,

එබැවින්,

. මනඃකල්පිත ඒකකය ලෙස හැඳින්වේ. එහි ආධාරයෙන් සහ තාත්වික සංඛ්යා යුගලයක ආධාරයෙන්, පෝරමයේ ප්රකාශනයක් සම්පාදනය කරනු ලැබේ.

එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන ප්‍රකාශනය සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ලෙස හැඳින්වූයේ ඒවායේ සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් දෙකම අඩංගු වූ බැවිනි.

එබැවින්, සංකීර්ණ සංඛ්යා යනු ආකෘතියේ ප්රකාශනයන් වේ

, සහ තාත්වික සංඛ්‍යා වන අතර, කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරන නිශ්චිත සංකේතයකි. සංඛ්‍යාව සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක සැබෑ කොටස ලෙස හඳුන්වන අතර එම සංඛ්‍යාව එහි මනඃකල්පිත කොටසයි. සංකේත, ඒවා දැක්වීමට භාවිතා කරයි.

පෝරමයේ සංකීර්ණ අංක

තාත්වික සංඛ්‍යා වන අතර, එබැවින් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා කුලකයේ තාත්වික සංඛ්‍යා කට්ටලය අඩංගු වේ.

පෝරමයේ සංකීර්ණ අංක

සම්පූර්ණයෙන්ම මනඃකල්පිත ලෙස හැඳින්වේ. ආකෘති පත්‍රයේ සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකක් සහ ඒවායේ සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් සමාන නම් සමාන යැයි කියනු ලැබේ, i.e. සමානාත්මතා නම්, .

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවල වීජීය අංකනය ඔබට අනුව ඒවා මත මෙහෙයුම් සිදු කිරීමට ඉඩ සලසයි සාමාන්ය නීතිවීජ ගණිතය.

ප්‍රකාශන, සමීකරණ සහ සමීකරණ පද්ධති
සංකීර්ණ සංඛ්යා සමඟ

අද පන්තියේදී අපි වැඩ කරන්නෙමු සාමාන්ය ක්රියාවන්සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සමඟින්, මෙම සංඛ්‍යාවල අඩංගු ප්‍රකාශන, සමීකරණ සහ සමීකරණ පද්ධති විසඳීමේ තාක්ෂණය ද ප්‍රගුණ කරන්න. මෙම වැඩමුළුව පාඩමේ අඛණ්ඩ පැවැත්මක් වන අතර, එබැවින් ඔබ මාතෘකාව පිළිබඳ මනා දැනුමක් නොමැති නම්, කරුණාකර ඉහත සබැඳිය අනුගමනය කරන්න. හොඳයි, වඩාත් සූදානම් පාඨකයන් සඳහා මම ඔබ වහාම උණුසුම් කිරීමට යෝජනා කරමි:

උදාහරණ 1

ප්‍රකාශනයක් සරල කරන්න , නම් . ප්රතිඵලය ත්රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් නිරූපණය කර සංකීර්ණ තලය මත එය කුමන්ත්රණය කරන්න.

විසඳුමක්: එබැවින්, ඔබට "භයානක" කොටස ආදේශ කිරීම, සරල කිරීම් සිදු කිරීම සහ ප්රතිඵලය පරිවර්තනය කිරීම අවශ්ය වේ. සංකීර්ණ අංකයවී ත්රිකෝණමිතික ආකෘතිය. ඊට අමතරව චිත්‍රයක්.

තීරණය විධිමත් කිරීමට හොඳම ක්රමය කුමක්ද? පියවරෙන් පියවර "සංකීර්ණ" වීජීය ප්රකාශනය සමඟ කටයුතු කිරීම වඩා ලාභදායී වේ. පළමුව, අවධානය අඩු වන අතර, දෙවනුව, කාර්යය භාර නොගන්නේ නම්, දෝෂය සොයා ගැනීම වඩාත් පහසු වනු ඇත.

1) පළමුව, අපි අංකනය සරල කරමු. අපි එයට අගය ආදේශ කරමු, වරහන් විවෘත කර කොණ්ඩා මෝස්තරය සවි කරමු:

...ඔව්, එහෙම Quasimodo එකක් ආවේ සංකීර්ණ සංඛ්‍යා වලින්...

පරිවර්තනයන් අතරතුර, සම්පූර්ණයෙන්ම සරල දේවල් භාවිතා කරන බව මම ඔබට මතක් කරමි - බහුපද ගුණ කිරීමේ රීතිය සහ දැනටමත් අශෝභන වී ඇති සමානාත්මතාවය. ප්රධාන දෙය නම් පරෙස්සම් විය යුතු අතර සංඥා මගින් ව්යාකූල නොවිය යුතුය.

2) දැන් එනවා denominator එක. නම්, එසේ නම්:

එය භාවිතා කරන අසාමාන්‍ය අර්ථකථනය කුමක් දැයි බලන්න වර්ග එකතුව සූත්‍රය. විකල්පයක් ලෙස, ඔබට මෙහි නැවත සකස් කිරීමක් සිදු කළ හැකිය උපසූත්රය ප්රතිඵල ස්වභාවිකවම සමාන වනු ඇත.

3) අවසාන වශයෙන්, සම්පූර්ණ ප්රකාශනය. නම්, එසේ නම්:

භාගයක් ඉවත් කිරීම සඳහා, හරයේ සංයුජ ප්‍රකාශනයෙන් සංඛ්‍යා සහ හරය ගුණ කරන්න. ඒ සමගම, අයදුම් කිරීමේ අරමුණු සඳහා වර්ග වෙනස සූත්‍රමුලින්ම කළ යුතුයි (සහ දැනටමත් අනිවාර්යයි!)සෘණ සැබෑ කොටස 2 වන ස්ථානයට දමන්න:

දැන් ප්රධාන රීතිය:

අපි හදිසියේ නැහැ! එය ආරක්ෂිතව වාදනය කර අමතර පියවරක් ගැනීම වඩා හොඳය.
සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සහිත ප්‍රකාශන, සමීකරණ සහ පද්ධති, උඩඟු වාචික ගණනය කිරීම් වෙන කවරදාටත් වඩා පිරී ඇත!

අවසාන පියවරේ හොඳ අඩුවීමක් සිදු වූ අතර එය විශිෂ්ට ලකුණක් පමණි.

සටහන : දැඩි ලෙස කථා කිරීම, මෙහිදී සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව 50 න් බෙදීම සිදු විය (එය මතක තබා ගන්න). මම මේ දක්වා මෙම සූක්ෂ්මතාවය ගැන නිහඬව සිටි අතර, අපි ඒ ගැන ටිකක් පසුව කතා කරමු.

අපගේ ජයග්‍රහණය ලිපියෙන් දක්වමු

ත්රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් ලබාගත් ප්රතිඵලය අපි ඉදිරිපත් කරමු. පොදුවේ ගත් කල, මෙහිදී ඔබට චිත්‍රයක් නොමැතිව කළ හැකිය, නමුත් එය අවශ්‍ය බැවින්, දැන් එය කිරීම තරමක් තාර්කික ය:

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක මාපාංකය ගණනය කරමු:

ඔබ ඒකක 1 ක පරිමාණයකින් අඳින්නේ නම්. = 1 cm (නෝට්බුක් සෛල 2), එවිට ලබාගත් අගය නිත්ය පාලකයෙකු භාවිතයෙන් පහසුවෙන් පරීක්ෂා කළ හැකිය.

අපි තර්කයක් සොයා ගනිමු. අංකය 2 වන ඛණ්ඩාංක කාර්තුවේ පිහිටා ඇති බැවින්, එසේ නම්:

කෝණය පහසුවෙන් ප්රෝටරයක් ​​සමඟ පරීක්ෂා කළ හැකිය. චිත්‍ර ඇඳීමේ නිසැක වාසිය මෙයයි.

මේ අනුව: - ත්රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් අවශ්ය සංඛ්යාව.

අපි පරීක්ෂා කරමු:
, එය සත්‍යාපනය කළ යුතු විය.

සයින් සහ කොසයින් භාවිතා කරමින් නුහුරු නුපුරුදු අගයන් සොයා ගැනීම පහසුය ත්රිකෝණමිතික වගුව.

පිළිතුර:

ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා සමාන උදාහරණයක්:

උදාහරණය 2

ප්‍රකාශනයක් සරල කරන්න , කොහෙද . සංකීර්ණ තලය මත ප්රතිඵල සංඛ්යාව අඳින්න සහ ඝාතීය ආකාරයෙන් එය ලියන්න.

නිබන්ධන මඟ නොහැරීමට උත්සාහ කරන්න. ඔවුන් සරල බවක් පෙනෙන්නට ඇත, නමුත් පුහුණුවකින් තොරව, "පුඩිමකට ඇතුල් වීම" පහසු නැත, නමුත් ඉතා පහසු ය. එමනිසා, අපි "එයට අත තබමු."

බොහෝ විට කාර්යය ඉඩ දෙන්නේ නැත එකම මාර්ගයවිසඳුම්:

උදාහරණය 3

ගණනය කරන්න නම්,

විසඳුමක්: පළමුවෙන්ම, මුල් තත්ත්වය කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමු - එක් අංකයක් වීජීය ආකාරයෙන් ද, අනෙක ත්රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් ද, අංශක වලින් පවා ඉදිරිපත් කෙරේ. අපි එය වහාම වඩාත් හුරුපුරුදු ආකාරයකින් නැවත ලියමු: .

ගණනය කිරීම් සිදු කළ යුත්තේ කුමන ආකාරයෙන්ද? ප්‍රකාශනය පැහැදිලිවම පළමු ගුණ කිරීම සහ 10 වැනි බලයට වැඩි කිරීම ඇතුළත් වේ Moivre ගේ සූත්රය, සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ත්‍රිකෝණමිතික ස්වරූපය සඳහා සකස් කර ඇත. එබැවින් පළමු අංකය පරිවර්තනය කිරීම වඩාත් තර්කානුකූල බව පෙනේ. අපි එහි මොඩියුලය සහ තර්කය සොයා ගනිමු:

ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ගුණ කිරීම සඳහා අපි රීතිය භාවිතා කරමු:
නම්, එසේ නම්

භාගය නිවැරදි කිරීමෙන්, අපට හැරීම් 4 ක් "ඇඹරීමට" හැකි බව නිගමනය කරමු (සතුටුයි.):

දෙවන විසඳුම 2 වන අංකය වීජීය ස්වරූපයට පරිවර්තනය කිරීමයි , වීජීය ආකාරයෙන් ගුණ කිරීම සිදු කරන්න, ප්රතිඵලය ත්රිකෝණමිතික ආකෘතියට පරිවර්තනය කර Moivre සූත්රය භාවිතා කරන්න.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, එක් "අතිරේක" ක්රියාවක් ඇත. කැමති අයට තීරණය අනුගමනය කළ හැකි අතර ප්රතිඵල සමාන බව සහතික කර ගත හැකිය.

අවසාන සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ ස්වරූපය ගැන කොන්දේසිය කිසිවක් නොකියයි, එබැවින්:

පිළිතුර:

නමුත් "අලංකාරය සඳහා" හෝ ඉල්ලුම මත, ප්රතිඵලය වීජීය ආකාරයෙන් සිතීම අපහසු නැත:

තමන්ගේම මත:

උදාහරණය 4

ප්‍රකාශනයක් සරල කරන්න

මෙන්න අපි මතක තබා ගත යුතුයි උපාධි සමඟ ක්රියා, එකක් වුවද ප්රයෝජනවත් රීතියඑය අත්පොතෙහි නැත, මෙන්න එය: .

සහ තවත් වැදගත් සටහනක්: උදාහරණය මෝස්තර දෙකකින් විසඳිය හැකිය. පළමු විකල්පය වන්නේ වැඩ කිරීමයි දෙකසංඛ්‍යා සහ භාග සමඟ හොඳින් සිටීම. දෙවන විකල්පය වන්නේ එක් එක් අංකයක් ලෙස නිරූපණය කිරීමයි සංඛ්‍යා දෙකක ප්‍රමාණය: සහ සිව්මහල් ව්‍යුහයෙන් මිදෙන්න. විධිමත් දෘෂ්ටි කෝණයකින්, ඔබ තීරණය කරන්නේ කෙසේද යන්න ප්රශ්නයක් නොවේ, නමුත් සැලකිය යුතු වෙනසක් ඇත! කරුණාකර හොඳින් සිතා බලන්න:
සංකීර්ණ අංකයකි;
සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකක ( සහ ) සංක්‍රාන්තිය වේ, නමුත් සන්දර්භය අනුව, ඔබට මෙයද පැවසිය හැක: සංඛ්‍යාවක් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකක සංඛ්‍යාංකය ලෙස නිරූපණය කෙරේ.

පාඩම අවසානයේ කෙටි විසඳුමක් සහ පිළිතුර.

ප්‍රකාශන හොඳයි, නමුත් සමීකරණ වඩා හොඳයි:

සංකීර්ණ සංගුණක සහිත සමීකරණ

ඔවුන් "සාමාන්ය" සමීකරණ වලින් වෙනස් වන්නේ කෙසේද? අසමතුලිතතාවය =)

ඉහත අදහස් දැක්වීම අනුව, අපි මෙම උදාහරණයෙන් පටන් ගනිමු:

උදාහරණ 5

සමීකරණය විසඳන්න

සහ ක්ෂණික පූර්විකාවක් "විලුඹ මත උණුසුම්": මුලදී දකුණු කොටසසමීකරණය සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකක (සහ 13) ප්‍රමාණය ලෙස ස්ථානගත කර ඇති අතර, එම නිසා එම අංකය සමඟ කොන්දේසිය නැවත ලිවීම නරක ආකාරයකි (මෙය දෝෂයක් ඇති නොකරනු ඇතත්). වඩාත් පැහැදිලිව මෙම වෙනස, මාර්ගය වන විට, භාගයේ දෘශ්‍යමාන වේ - සාපේක්ෂ වශයෙන් කථා කරන්නේ නම්, , මෙම අගය මූලික වශයෙන් වටහා ගනු ලැබේ සමීකරණයේ "සම්පූර්ණ" සංකීර්ණ මූලය, සහ සංඛ්‍යාවක බෙදුම්කරුවෙකු ලෙස නොව, විශේෂයෙන් සංඛ්‍යාවක කොටසක් ලෙස නොවේ!

විසඳුමක්, ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, පියවරෙන් පියවර ද සකස් කළ හැකිය, නමුත් තුළ මේ අවස්ථාවේ දීක්රීඩාව ඉටිපන්දම වටින්නේ නැත. ආරම්භක කාර්යය වන්නේ නොදන්නා "z" අඩංගු නොවන සියල්ල සරල කිරීමයි, එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස සමීකරණය පෝරමයට අඩු වේ:

අපි විශ්වාසයෙන් මැද භාගය සරල කරමු:

අපි ප්‍රති result ලය දකුණු පැත්තට මාරු කර වෙනස සොයා ගනිමු:

සටහන : නැවතත් මම අර්ථවත් කරුණ වෙත ඔබේ අවධානය යොමු කරමි - මෙහිදී අපි අංකයෙන් අංකය අඩු නොකළෙමු, නමුත් භාග ගෙන ආවේ පොදු හරය! දැනටමත් විසඳීමේ ප්‍රගතියෙහි අංක සමඟ වැඩ කිරීම තහනම් කර නොමැති බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය: , කෙසේ වෙතත්, සලකා බලනු ලබන උදාහරණයේ දී මෙම ශෛලිය ප්රයෝජනවත් වඩා හානිකර වේ =)

සමානුපාතික රීතියට අනුව, අපි "zet" ප්රකාශ කරමු:

දැන් ඔබට සංයුජ ප්‍රකාශනයෙන් බෙදීමට සහ ගුණ කිරීමට හැකිය, නමුත් සංඛ්‍යාංකයේ සහ හරයේ ඇති සැක සහිත සමාන සංඛ්‍යා යෝජනා කරයි ඊළඟ පියවර:

පිළිතුර:

පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, ලැබෙන අගය ආදේශ කරමු වම් පැත්තමුල් සමීකරණය සහ සරල කිරීම් සිදු කරන්න:

- මුල් සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත ලබා ගනී, එබැවින් මූලය නිවැරදිව සොයාගත හැකිය.

...දැන්, දැන්... මම ඔබට වඩාත් රසවත් දෙයක් සොයා ගන්නම්... මෙන්න ඔබ යන්න:

උදාහරණ 6

සමීකරණය විසඳන්න

මෙම සමීකරණය ආකෘතියට අඩු කරයි, එනම් එය රේඛීය වේ. මම හිතන්නේ ඉඟිය පැහැදිලියි - ඒ සඳහා යන්න!

ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබ ඔහු නොමැතිව ජීවත් වන්නේ කෙසේද:

සංකීර්ණ සංගුණක සහිත චතුරස්රාකාර සමීකරණය

පාඩමේදී ඩමි සඳහා සංකීර්ණ අංකසැබෑ සංගුණක සහිත චතුරස්‍ර සමීකරණයකට සංයුජ සංකීර්ණ මූලයන් තිබිය හැකි බව අපි ඉගෙන ගත්තෙමු, ඉන් පසුව තාර්කික ප්‍රශ්නයක් පැන නගී: ඇත්ත වශයෙන්ම, සංගුණක සංකීර්ණ විය නොහැක්කේ ඇයි? මට සූත්‍රගත කරන්න දෙන්න සාමාන්ය නඩුව:

අත්තනෝමතික සමග චතුරස්රාකාර සමීකරණය සංකීර්ණ සංගුණක (එයින් 1 හෝ 2 හෝ තුනම, විශේෂයෙන් වලංගු විය හැක)එයට තිබෙනවා දෙකක් සහ දෙකක් පමණිසංකීර්ණ මූල (සමහරවිට එකක් හෝ දෙකම වලංගු වේ). ඒ සමගම, මුල් (සැබෑ සහ ශුන්‍ය නොවන මනඃකල්පිත කොටස සමඟ)සමපාත විය හැක (ගුණාකාර විය හැක).

සංකීර්ණ සංගුණක සහිත චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් එකම යෝජනා ක්රමය භාවිතයෙන් විසඳනු ලැබේ "පාසල්" සමීකරණය, ගණනය කිරීමේ තාක්ෂණයේ යම් වෙනස්කම් සහිතව:

උදාහරණ 7

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සොයන්න

විසඳුමක්: මනඃකල්පිත ඒකකය මුලින්ම පැමිණෙන අතර, ප්රතිපත්තිමය වශයෙන්, ඔබට එය ඉවත් කළ හැකිය (දෙපස ගුණ කිරීම), කෙසේ වෙතත්, මේ සඳහා විශේෂ අවශ්යතාවක් නොමැත.

පහසුව සඳහා, අපි සංගුණක ලියන්නෙමු:

නිදහස් සාමාජිකයෙකුගේ "අඩුම" නැති කර නොගනිමු! එය සෑම කෙනෙකුටම පැහැදිලි නොවිය හැකිය - මම සමීකරණය නැවත ලියන්නෙමි සම්මත ආකෘතිය :

වෙනස්කම් කිරීම ගණනය කරමු:

සහ ප්රධාන බාධකය මෙන්න:

අයදුම්පත සාමාන්ය සූත්රයමූල නිස්සාරණය (ලිපියේ අවසාන ඡේදය බලන්න ඩමි සඳහා සංකීර්ණ අංක) රැඩිකල් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා තර්කය හා සම්බන්ධ බරපතල දුෂ්කරතා මගින් සංකීර්ණ වේ (ඔබම බලන්න). නමුත් තවත්, "වීජීය" ක්රමයක් තිබේ! අපි පෝරමයේ මූල සොයන්නෙමු:

අපි දෙපැත්තටම වර්ග කරමු:

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකක් ඒවායේ සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් සමාන නම් සමාන වේ. මේ අනුව, අපි පහත පද්ධතිය ලබා ගනිමු:

තෝරා ගැනීමෙන් පද්ධතිය විසඳීමට පහසුය (වඩාත් සවිස්තරාත්මක ක්‍රමයක් නම් 2 වන සමීකරණයෙන් ප්‍රකාශ කිරීමයි - 1 වන සමීකරණයට ආදේශ කිරීම, ද්වි චතුරශ්‍ර සමීකරණයක් ලබා ගැනීම සහ විසඳීම). ගැටලුවේ කතුවරයා රකුසෙක් නොවේ යැයි උපකල්පනය කරමින්, අපි සහ නිඛිල යන උපකල්පනය ඉදිරිපත් කරමු. 1 වන සමීකරණයෙන් එය අනුගමනය කරන්නේ "x" යන්නයි. මොඩියුලය"Y" ට වඩා. ඊට අමතරව, ධනාත්මක නිෂ්පාදිතය අපට පවසන්නේ නොදන්නා අය එකම ලකුණක් ඇති බවයි. ඉහත කරුණු මත පදනම්ව, සහ 2 වන සමීකරණය කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමින්, අපි එයට ගැලපෙන සියලුම යුගල ලියන්නෙමු:

පද්ධතියේ 1 වන සමීකරණය අවසාන යුගල දෙකෙන් තෘප්තිමත් වන බව පැහැදිලිය, මේ අනුව:

අතරමැදි චෙක්පතක් හානියක් නොවනු ඇත:

පරීක්ෂා කළ යුතු වූයේ කුමක්ද?

ඔබට "වැඩ කරන" මූලයක් ලෙස තෝරා ගත හැකිය ඕනෑමඅර්ථය. "අඩුපාඩු" නොමැතිව අනුවාදය ගැනීම වඩා හොඳ බව පැහැදිලිය:

අපි මූලයන් සොයා ගනිමු, අමතක නොකර, මාර්ගය වන විට, එය:

පිළිතුර:

සොයාගත් මූලයන් සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන්නේ දැයි පරීක්ෂා කර බලමු :

1) අපි ආදේශ කරමු:

සැබෑ සමානාත්මතාවය.

2) අපි ආදේශ කරමු:

සැබෑ සමානාත්මතාවය.

මේ අනුව, විසඳුම නිවැරදිව සොයා ගන්නා ලදී.

ගැටලුව මත පදනම්ව, අපි දැන් සාකච්ඡා කළේ:

උදාහරණ 8

සමීකරණයේ මූලයන් සොයන්න

හි වර්ගමූලය බව සඳහන් කළ යුතුය සම්පූර්ණයෙන්ම සංකීර්ණසාමාන්‍ය සූත්‍රය භාවිතයෙන් සංඛ්‍යා පහසුවෙන් උපුටා ගත හැක , කොහෙද , එබැවින් ක්රම දෙකම නියැදියෙහි පෙන්වා ඇත. දෙවන ප්‍රයෝජනවත් ප්‍රකාශය වන්නේ නියතයක මූලයේ මූලික නිස්සාරණය විසඳුම කිසිසේත් සරල නොකරන බවයි.

දැන් ඔබට විවේක ගත හැකිය - මෙම උදාහරණයේදී ඔබ සුළු බියකින් මිදෙනු ඇත :)

උදාහරණ 9

සමීකරණය විසඳා පරීක්ෂා කරන්න

පාඩම අවසානයේ විසඳුම් සහ පිළිතුරු.

ලිපියේ අවසාන ඡේදය කැප කර ඇත

සංකීර්ණ සංඛ්යා සහිත සමීකරණ පද්ධතිය

සැහැල්ලුවෙන් සහ ... කලබල නොවන්න =) අපි සලකා බලමු සරලම නඩුව- දෙකක පද්ධතියක් රේඛීය සමීකරණනොදන්නා දෙදෙනෙක් සමඟ:

උදාහරණ 10

සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න. පිළිතුර වීජීය සහ ඝාතීය ආකාරවලින් ඉදිරිපත් කරන්න, චිත්‍රයේ මුල් නිරූපණය කරන්න.

විසඳුමක්: කොන්දේසිය ම යෝජනා කරන්නේ පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇති බවයි, එනම්, අපි තෘප්තිමත් වන සංඛ්යා දෙකක් සොයා ගත යුතුය එක් එක් වෙතපද්ධතියේ සමීකරණය.

පද්ධතිය සැබවින්ම "ළමා" ආකාරයෙන් විසඳා ගත හැකිය (එක් විචල්‍යයක් තවත් විචල්‍යයක් අනුව ප්‍රකාශ කරන්න) , කෙසේ වෙතත් එය භාවිතා කිරීමට වඩාත් පහසු වේ ක්රේමර්ගේ සූත්ර. අපි ගණනය කරමු ප්රධාන නිර්ණායකයපද්ධති:

, එනම් පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත.

ඔබේ කාලය ගත කර පියවර හැකිතාක් විස්තරාත්මකව ලිවීම වඩා හොඳ බව මම නැවත කියමි:

අපි මනඃකල්පිත ඒකකයකින් ඉලක්කම් සහ හරය ගුණ කර 1 වන මූලය ලබා ගනිමු:

එලෙසම:

අනුරූප දකුණු පස ලබා ගනී, ආදිය.

අපි ඇඳීම සකස් කරමු:

ඝාතීය ස්වරූපයෙන් මූලයන් නිරූපණය කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ ඔවුන්ගේ මොඩියුල සහ තර්ක සොයා ගත යුතුය:

1) - "දෙකේ" ආක්ටේන්ජන්ට් "දුර්වල" ලෙස ගණනය කර ඇත, එබැවින් අපි එය මෙසේ තබමු: