Розв'язати рівняння над полем комплексних чисел. Вирази, рівняння та системи рівнянь із комплексними числами
Для вирішення завдань з комплексними числаминеобхідно розібратися з основними визначеннями. Головне завдання цієї оглядової статті - пояснити, що таке комплексні числа, і пред'явити методи вирішення основних завдань з комплексними числами. Отже, комплексним числом називатимемо число виду z = a + bi, де a, b- Речові числа, які називають дійсною і уявною частиною комплексного числа відповідно і позначають a = Re (z), b = Im (z).
iназивається уявною одиницею. i 2 = -1. Зокрема, будь-яке речове число можна вважати комплексним: a = a + 0i, де a - речове. Якщо ж a = 0і b ≠ 0, то число прийнято називати чисто уявним.
Тепер запровадимо операції над комплексними числами.
Розглянемо два комплексні числа z 1 = a 1 + b 1 iі z 2 = a 2 + b 2 i.
Розглянемо z = a + bi.
Безліч комплексних чисел розширює безліч дійсних чисел, яке своєю чергою розширює безліч раціональних чисел тощо. Цей ланцюжок вкладень можна розглянути малюнку: N – натуральні числа, Z – цілі, Q – раціональні, R – речові, C – комплексні. 
Подання комплексних чисел
Алгебраїчна форма запису.
Розглянемо комплексне число z = a + bi, така форма запису комплексного числа називається алгебраїчної. Цю форму запису ми вже детально розібрали у попередньому розділі. Досить часто використовують наступний наочний малюнок 
Тригонометрична форма.
З малюнка видно, що число z = a + biможна записати інакше. Очевидно, що a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, отже z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
називається аргументом комплексного числа. Таке уявлення комплексного числа називається тригонометричною формою. Тригонометрична форма запису часом дуже зручна. Наприклад, її зручно використовувати для зведення комплексного числа в цілий ступінь, а саме, якщо z = rcos(φ) + rsin(φ)i, то z n = r cos (nφ) + r n sin(nφ)i, ця формула називається формулою Муавра.
Показова форма.
Розглянемо z = rcos(φ) + rsin(φ)i- Комплексне число в тригонометричній формі, запишемо в іншому вигляді z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, остання рівність випливає з формули Ейлера, таким чином ми отримали нову формузаписи комплексного числа: z = re iφяка називається показовою. Така форма запису також дуже зручна для зведення комплексного числа в ступінь: z n = r n e inφ, тут nне обов'язково ціле, а може бути довільним речовим числом. Така форма запису часто використовується на вирішення завдань.
Основна теорема вищої алгебри
Уявімо, що у нас є квадратне рівняння x 2 + x + 1 = 0. Очевидно, що дискримінант цього рівняння негативний і речових коренів воно не має, але виявляється, що це рівняння має два різні комплексні корені. Так от, основна теорема вищої алгебри стверджує, що будь-який багаточлен ступеня n має хоча б один комплексний корінь. З цього випливає, що будь-який багаточлен ступеня n має рівно n комплексного коріння з урахуванням їх кратності. Ця теорема є дуже важливим результатом математики і широко застосовується. Простим наслідком цієї теореми є такий результат: існує рівно n різних коренів ступеня n з одиниці.
Основні типи завдань
У цьому розділі будуть розглянуті основні типи простих завданьна комплексні числа. Умовно завдання на комплексні числа можна розбити на такі категорії.
- Виконує найпростіші арифметичні операції над комплексними числами.
- Знаходження коріння багаточленів у комплексних числах.
- Зведення комплексних чисел у ступінь.
- Вилучення коренів із комплексних чисел.
- Застосування комплексних чисел для вирішення інших завдань.
Тепер розглянемо загальні методики розв'язання цих завдань.
Виконання найпростіших арифметичних операцій з комплексними числами відбувається за правилами описаними в першому розділі, якщо комплексні числа представлені в тригонометричній або показовій формах, то в цьому випадку можна перевести їх в форму алгебри і проводити операції за відомими правилами.
Знаходження коренів багаточленів зазвичай зводиться до знаходження коренів квадратного рівняння. Припустимо, що у нас є квадратне рівняння, якщо його дискримінант невід'ємний, то його коріння буде речовим і знаходиться за відомою формулою. Якщо ж дискримінант негативний, тобто D = -1∙a 2, де a- Деяке число, то можна представити дискримінант у вигляді D = (ia) 2, отже √D = i|a|, а далі можна скористатися вже відомою формулоюдля коріння квадратного рівняння.
приклад. Повернемося до згаданого вище квадратного рівняння x2+x+1=0.
Дискримінант D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Тепер з легкістю знайдемо коріння: 
Зведення комплексних чисел у ступінь можна виконувати кількома способами. Якщо потрібно звести комплексне число в формі алгебри в невеликий ступінь (2 або 3), то можна зробити це безпосереднім перемноженням, але якщо ступінь більше (у завданнях вона часто буває набагато більше), то потрібно записати це число в тригонометричній або показовій формах і скористатися вже відомими методами.
приклад. Розглянемо z = 1 + i і зведемо до десятого ступеня.
Запишемо z у показовій формі: z = √2 e iπ/4 .
Тоді z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Повернемося до форми алгебри: z 10 = -32i .
Вилучення коренів із комплексних чисел є зворотною операцією по відношенню до операції зведення в ступінь, тому проводиться аналогічним чином. Для отримання коріння досить часто використовується показова форма запису числа.
приклад. Знайдемо все коріння ступеня 3 із одиниці. Для цього знайдемо всі корені рівняння z 3 = 1, коріння шукатимемо у показовій формі.
Підставимо в рівняння: r 3 e 3iφ = 1 або r 3 e 3iφ = e 0 .
Звідси: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, отже φ = 2πk/3.
Різне коріння виходить при φ = 0, 2π/3, 4π/3 .
Отже 1, e i2π/3, e i4π/3 - коріння.
Або в формі алгебри: 
Останній тип завдань включає в себе безліч завдань і немає загальних методів їх вирішення. Наведемо простий приклад такого завдання:
Знайти суму sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).
Хоч у формулюванні цього завдання й не йдеться про комплексні числа, але за допомогою їх можна легко вирішити. Для її вирішення використовуються такі уявлення: 
Якщо тепер підставити це уявлення у суму, то завдання зводиться до підсумовування звичайної геометричної прогресії.
Висновок
Комплексні числа широко застосовуються в математиці, у цій оглядовій статті було розглянуто основні операції над комплексними числами, описано кілька типів стандартних завдань та коротко описано загальні методи їх вирішення, для більш детального вивчення можливостей комплексних чисел рекомендується використовувати спеціалізовану літературу.
Література
Вирази, рівняння та системи рівнянь
з комплексними числами
Сьогодні на занятті ми відпрацюємо типові діїз комплексними числами, а також освоїмо техніку розв'язання виразів, рівнянь та систем рівнянь, які ці числа містять. Даний практикум є продовженням уроку, і тому якщо ви неважливо орієнтуєтеся в темі, будь ласка, пройдіть за вказаним вище посиланням. Ну а більш підготовленим читачам пропоную відразу розігрітися:
Приклад 1
Спростити вираз 
якщо . Подати результат у тригонометричній формі та зобразити його на комплексній площині.
Рішення: Отже, потрібно підставити в «страшний» дріб, провести спрощення, і перекласти отримане комплексне числов тригонометричну форму. Плюс креслення.
Як краще оформити рішення? З «навороченим» виразом алгебри вигідніше розбиратися поетапно. По-перше, менше розсіюється увага, і, по-друге, якщо завдання не зарахують, то буде набагато простіше відшукати помилку.
1) Спочатку спростимо чисельник. Підставимо в нього значення, розкриємо дужки і поправимо зачіску:
…Так, такий ось Квазімодо від комплексних чисел вийшов…
Нагадую, що в ході перетворень використовуються абсолютно нехитрі речі – правило множення багаточленів і рівність, що вже стала банальною. Головне, бути уважним і не заплутатися у знаках.
2) Тепер на черзі знаменник. Якщо , то:
Зауважте, в якій незвичній інтерпретації використано формула квадрата суми. Як варіант, тут можна виконати перестановку 
підформулу. Результати, звісно, збігатимуться.
3) І, нарешті, весь вираз. Якщо , то:
Щоб позбутися дробу, помножимо чисельник і знаменник на поєднане знаменнику вираз. При цьому з метою застосування формули різниці квадратівслід попередньо (і вже обов'язково!)поставити негативну дійсну частину на 2 місце:
А зараз ключове правило:
НІ В ЯКОМУ РАЗІ НЕ квапимося! Краще перестрахуватися та прописати зайвий крок.
У виразах, рівняннях та системах з комплексними числами самовпевнені усні обчислення загрожує, як ніколи!
На завершальному кроці відбулося гарне скорочення і це просто чудова ознака.
Примітка : Строго кажучи, тут відбувся розподіл комплексного числа на комплексне число 50 (згадуємо, що). Про цей нюанс я замовчував досі і про нього ми ще поговоримо трохи згодом.
Позначимо наше досягнення буквою
Представимо отриманий результат у тригонометричній формі. Взагалі кажучи, тут можна обійтися без креслення, але якщо потрібно, - трохи раціональніше виконати його прямо зараз: 
Обчислимо модуль комплексного числа:
Якщо виконувати креслення у масштабі 1 од. = 1 см (2 зошити клітини), то отримане значення легко перевірити за допомогою звичайної лінійки.
Знайдемо аргумент. Так як число розташоване у 2-й координатній чверті, то:
Кут просто перевіряється транспортиром. Ось у чому полягає безперечний плюс креслення.
Таким чином: – число, що шукається в тригонометричній формі.
Виконаємо перевірку:
, у чому й потрібно переконатися.
Незнайомі значення синуса та косинуса зручно знаходити по тригонометричної таблиці.
Відповідь: 
Аналогічний приклад для самостійного рішення:
Приклад 2
Спростити вираз 
де . Зобразити отримане число на комплексній площині та записати його у показовій формі.
Намагайтеся не пропускати навчальні приклади. Здаються вони, можливо, і простими, але без тренування «сісти в калюжу» не просто легко, а дуже легко. Тому «набиваємо руку».
Нерідко завдання допускає не єдиний шляхрішення:
Приклад 3
Обчислити , якщо , 
Рішення: перш за все, звернемо увагу на оригінальну умову – одне число представлене в алгебраїчній, а інше – у тригонометричній формі, та ще й з градусами. Давайте відразу перепишемо його у більш звичному вигляді: 
.
У якій формі проводити обчислення? Вираз, очевидно, передбачає першочергове множення і подальше зведення в 10-у ступінь формулі Муавра, яка сформульована для тригонометричної форми комплексного числа Таким чином, видається більш логічним перетворити перше число. Знайдемо його модуль та аргумент: 
Використовуємо правило множення комплексних чисел у тригонометричній формі:
якщо , то
Роблячи дріб правильним, приходимо до висновку, що можна «скрутити» 4 обороти (Рад.):
Другий спосіб вирішенняполягає в тому, щоб перевести 2-ге число в форму алгебри 
, виконати множення в формі алгебри, перевести результат в тригонометричну форму і скористатися формулою Муавра.
Як бачите, одна «зайва» дія. Бажаючі можуть довести рішення до кінця та переконатися, що результати збігаються.
В умові нічого не сказано про форму підсумкового комплексного числа, тому:
Відповідь: 
Але «для краси» або на вимогу результат неважко уявити і в формі алгебри:
Самостійно:
Приклад 4
Спростити вираз
Тут слід згадати дії зі ступенями, хоча одного корисного правилау методичці немає, ось воно: .
І ще одне важливе зауваження: приклад можна вирішити у двох стилях. Перший варіант – працювати з двомачислами та миритися з дробами. Другий варіант – уявити кожне число у вигляді приватного двох чисел: 
і позбавитися чотирьохповерхівості. З формальної точки зору не має значення, як вирішувати, але змістовна відмінність є! Будь ласка, добре осмисліть:
- Це комплексне число;
– це приватне двох комплексних чисел ( і ), проте залежно від контексту можна сказати і так: число , подане у вигляді приватного двох комплексних чисел.
Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.
Вирази – добре, а рівняння – краще:
Рівняння з комплексними коефіцієнтами
Чим вони відрізняються від «звичайних» рівнянь? Коефіцієнтами =)
У світлі вищенаведеного зауваження почнемо з цього прикладу:
Приклад 5
Розв'язати рівняння
І негайна преамбула за «гарячими слідами»: спочатку права частинарівняння позиціонується як приватне двох комплексних чисел ( і 13), і тому буде поганим тоном переписати умову з числом (хоча це і не спричинить помилки). Виразніше ця відмінність, до речі, проглядається в дробі – якщо, умовно кажучи, то це значення в першу чергу розуміється як «повноцінний» комплексний корінь рівняння, а чи не як дільник числа , і більше – як частина числа !
Рішення, В принципі, теж можна оформити покроково, але в даному випадкуовчинка вичинки не стоїть. Початкове завдання полягає в тому, щоб спростити все, що не містить невідомої «зет», внаслідок чого рівняння зведеться до вигляду:
Впевнено спрощуємо середній дріб: 
Результат переносимо у праву частину та знаходимо різницю: 
Примітка
: і знову звертаю вашу увагу на змістовний момент – тут ми не відняли з числа, а підвели дроби до спільному знаменнику! Слід зазначити, що вже в ході рішення можна працювати і з числами: 
, правда, у прикладі такий стиль швидше шкідливий, ніж корисний =)
За правилом пропорції виражаємо «зет»:
Тепер можна знову розділити і помножити на сполучене вираз, але підозріло схожі числа чисельника та знаменника підказують наступний хід:
Відповідь:
З метою перевірки підставимо отримане значення ліву частинувихідного рівняння та проведемо спрощення:
- Отримана права частина вихідного рівняння, таким чином, корінь знайдено правильно.
…Зараз-зараз… підберу вам щось цікавіше… тримайте:
Приклад 6
Розв'язати рівняння 
Дане рівняння зводиться до вигляду, отже, є лінійним. Натяк, думаю, зрозумілий - дерзайте!
Звичайно ж… як можна без нього прожити:
Квадратне рівняння з комплексними коефіцієнтами
На уроці Комплексні числа для чайниківми дізналися, що квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами може мати пов'язане комплексне коріння, після чого виникає закономірне питання: а чому, власне, самі коефіцієнти не можуть бути комплексними? Сформулюю загальний випадок:
Квадратне рівняння з довільними комплексними коефіцієнтами (1 або 2 з яких або всі три можуть бути, зокрема, і дійсними)має два і лише двакомплексного кореня (Можливо один з яких або обидва дійсні). При цьому коріння (як дійсні, так і з ненульовою уявною частиною)можуть збігатися (бути кратними).
Квадратне рівняння з комплексними коефіцієнтами вирішується за такою самою схемою, що і «шкільне» рівняння, з деякими відмінностями у техніці обчислень:
Приклад 7
Знайти коріння квадратного рівняння 
Рішення: на першому місці розташована уявна одиниця, і, в принципі, її можна позбутися (помножуючи обидві частини на )Однак у цьому немає особливої потреби.
Для зручності випишемо коефіцієнти:
Не втрачаємо мінус у вільного члена! …Можливо не всім зрозуміло – перепишу рівняння в стандартному вигляді 
:
Обчислимо дискримінант:
А ось і головна перешкода: 
Застосування загальної формуливилучення кореня (Див. останній параграф статті Комплексні числа для чайників)
ускладнюється серйозними труднощами, пов'язаними з аргументом підкореного комплексного числа (переконайтеся самі). Але є й інший, «алгебраїчний» шлях! Корінь будемо шукати у вигляді: 
Зведемо обидві частини квадрат: 
Два комплексні числа рівні, якщо рівні їх дійсні та їх уявні частини. Таким чином, отримуємо таку систему: 
Систему простіше вирішити підбором (Грунтовніший шлях – висловити з 2-го рівняння – підставити в 1-е, отримати і вирішити біквадратне рівняння). Припускаючи, що автор завдання не викинув, висуваємо гіпотезу, що і цілі числа. З одного рівняння випливають, що «ікс» за модулембільше, ніж «ігрок». Крім того, позитивний твір повідомляє, що невідомі одного знака. Виходячи з вищесказаного, і орієнтуючись на 2-е рівняння, запишемо всі пари: 
Очевидно, що 1-му рівнянню системи задовольняють дві останні пари, таким чином: 
Не завадить проміжна перевірка: 
що й потрібно перевірити.
Як «робочий» корінь можна вибрати будь-якезначення. Зрозуміло, що краще взяти версію без мінусів:
Знаходимо коріння, не забуваючи, до речі, що: 
Відповідь: 
Перевіримо, чи задовольняють знайдені корені рівняння 
:
1) Підставимо: 
правильне рівність.
2) Підставимо: 
правильне рівність.
Таким чином, рішення знайдено правильно.
За мотивами щойно розібраного завдання:
Приклад 8
Знайти коріння рівняння
Слід зазначити, що квадратний корінь з суто комплексногочисла чудово витягується і за допомогою загальної формули 
, де 
тому у зразку наведено обидва способи. Друге корисне зауваження стосується того, що попереднє вилучення кореня з константи не спрощує рішення.
А тепер можна розслабитися - у цьому прикладі ви відбудетеся легким переляком:)
Приклад 9
Вирішити рівняння та виконати перевірку
Рішення та відповіді наприкінці уроку.
Заключний параграф статті присвячений
системі рівнянь із комплексними числами
Розслабилися і ... не напружуємося =) Розглянемо найпростіший випадок– систему двох лінійних рівняньз двома невідомими:
Приклад 10
Розв'язати систему рівнянь. Відповідь подати в алгебраїчній та показовій формах, зобразити коріння на кресленні. 
Рішення: вже сама умова підказує, що система має єдине рішення, тобто нам потрібно знайти два числа, які задовольняють кожномурівняння системи.
Систему реально вирішити «дитячим» способом (висловити одну змінну через іншу)
, проте набагато зручніше використовувати формули Крамера. Обчислимо головний визначниксистеми:
Отже, система має єдине рішення.
Повторюся, що краще не поспішати та прописувати кроки максимально докладно:
Домножуємо чисельник і знаменник на уявну одиницю та отримуємо 1-й корінь:
Аналогічно: 
Отримано відповідні праві частини, ч.т.п.
Виконаємо креслення: 
Представимо коріння у показовій формі. Для цього потрібно знайти їх модулі та аргументи:
1) - арктангенс "двійки" обчислюється "погано", тому так і залишаємо: 
ФЕДЕРАЛЬНЕ АГЕНТСТВО З ОСВІТИ
ДЕРЖАВНИЙ ОСВІТНИЙ УСТАНОВА
ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ
«ВОРОНІЗЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА АГЛЕБРИ ТА ГЕОМЕТРІЇ
Комплексні числа
(Вибрані завдання)
ВИПУСКНА КВАЛІФІКАЦІЙНА РОБОТА
за фахом 050201.65 математика
(З додатковою спеціальністю 050202.65 інформатика)
Виконала: студентка 5 курсу
фізико-математичного
факультету
Науковий керівник:
Вороніж - 2008
1. Вступ……………………………………………………...…………..…
2. Комплексні числа (вибрані завдання)
2.1. Комплексні числа в формі алгебри….……...……….….
2.2. Геометрична інтерпретація комплексних чисел…………..…
2.3. Тригонометрична форма комплексних чисел
2.4. Додаток теорії комплексних чисел до вирішення рівнянь 3-го та 4-го ступеня……………..………………………………………………………
2.5. Комплексні числа та параметри………...……………………...….
3. Висновок…………………………………………………….................
4. Список літератури………………………….…………………...............
1. Вступ
У програмі математики шкільного курсу теорія чисел вводиться на прикладах множин натуральних чисел, цілих, раціональних, ірраціональних, тобто. на безлічі дійсних чисел, зображення яких заповнюють всю числову вісь. Але вже у 8 класі запасу дійсних чисел не вистачає, вирішуючи квадратні рівняння за негативного дискримінанта. Тому було необхідно поповнити запас дійсних чисел за допомогою комплексних чисел, для яких квадратний корінь негативного числамає сенс.
Вибір теми «Комплексні числа», як теми моєї випускної кваліфікаційної роботи, у тому, що поняття комплексного числа розширює знання учнів про числових системах, про рішення широкого класу завдань як алгебраїчного, так і геометричного змісту, про рішення алгебраїчних рівняньбудь-якого ступеня і вирішення завдань з параметрами.
У цій дипломній роботі розглянуто рішення 82-х завдань.
У першій частині основного розділу «Комплексні числа» наведено рішення задач з комплексними числами в формі алгебри, визначаються операції додавання, віднімання, множення, поділу, операція сполучення для комплексних чисел в формі алгебри, ступінь уявної одиниці, модуль комплексного числа, а також викладається правило вилучення квадратного кореняіз комплексного числа.
У другій частині вирішуються задачі на геометричну інтерпретацію комплексних чисел у вигляді точок або векторів комплексної площини.
У третій частині розглянуто дії над комплексними числами у тригонометричній формі. Використовуються формули: Муавра та витяг кореня з комплексного числа.
Четверта частина присвячена вирішенню рівнянь 3-го та 4-го ступенів.
При вирішенні завдань останньої частини «Комплексні числа та параметри» використовуються та закріплюються відомості, наведені у попередніх частинах. Серія завдань розділу присвячена визначенню сімейств ліній у комплексній площині, заданих рівняннями(нерівністю) з параметром. У частині вправ необхідно розв'язати рівняння з параметром (над полем З). Є завдання, де комплексна змінна задовольняє водночас низку умов. Особливістю розв'язання завдань цього розділу є зведення багатьох із них до розв'язання рівнянь (нерівностей, систем) другого ступеня, ірраціональних, тригонометричних із параметром.
Особливістю викладу матеріалу кожної частини є початкове введення теоретичних засад, а згодом практичне їх застосування під час вирішення завдань.
В кінці дипломної роботипредставлений список використаної літератури. У більшості з них досить докладно та доступно викладено теоретичний матеріал, розглянуто рішення деяких завдань та надано практичні завдання для самостійного вирішення. Особлива увагахочеться звернути на такі джерела, як:
1. Гордієнко Н.А., Бєляєва Е.С., Фірстов В.Є., Серебрякова І.В. Комплексні числа та їх застосування: Навчальний посібник. . Матеріал навчального посібникавикладено у вигляді лекційних та практичних занять.
2. Шклярський Д.О., Ченцов Н.М., Яглом І.М. Вибрані завдання та теореми елементарної математики. Арифметика та алгебра. Книга містить 320 завдань, що стосуються алгебри, арифметики та теорії чисел. За своїм характером ці завдання істотно відрізняються від стандартних шкільних завдань.
2. Комплексні числа (вибрані завдання)
2.1. Комплексні числа в формі алгебри
Рішення багатьох завдань математики, фізики зводиться до розв'язання рівнянь алгебри, тобто. рівнянь виду
,де a0, a1, …, an дійсні числа. Тому дослідження алгебраїчних рівнянь є одним із найважливіших питаньу математиці. Наприклад, дійсних коренів немає квадратне рівняння з негативним дискримінантом. Найпростішим таким рівнянням є рівняння
.Щоб це рівняння мало рішення, необхідно розширити безліч дійсних чисел шляхом приєднання до нього кореня рівняння
.Позначимо цей корінь через
. Таким чином, за визначенням , або ,отже,
. називається уявною одиницею. З його допомогою та за допомогою пари дійсних чисел і складається вираз виду.Отримане вираз назвали комплексними числами, оскільки вони містили як дійсну, так і уявну частини.
Отже, комплексними числами називаються вирази виду
, І – дійсні числа, а – деякий символ, що задовольняє умові . Число називається дійсною частиною комплексного числа, а число - його уявною частиною. Для позначення використовуються символи , .Комплексні числа виду
є дійсними числами і, отже, безліч комплексних чисел містить безліч дійсних чисел. Комплексні числа виду
називаються чисто уявними. Два комплексних числа виду і називаються рівними, якщо рівні їх дійсні та уявні частини, тобто. якщо виконуються рівності, .Алгебраїчна запис комплексних чисел дозволяє виконувати операції над ними по звичайним правиламалгебри.
