فرمول ارزش آماری متوسط. روش میانگین ها، نظریه

در ریاضیات و آمار میانگینحسابی (یا آسان میانگین) مجموعه ای از اعداد مجموع تمام اعداد این مجموعه تقسیم بر تعداد آنهاست. میانگین حسابی به ویژه جهانی و رایج ترین نمایش میانگین است.

شما نیاز خواهید داشت

دانش ریاضی.

دستورالعمل ها

1. اجازه دهید مجموعه ای از چهار عدد داده شود. نیاز به کشف میانگین معنیاین کیت برای این کار ابتدا مجموع همه این اعداد را پیدا می کنیم. اعداد ممکن عبارتند از 1، 3، 8، 7. مجموع آنها S = 1 + 3 + 8 + 7 = 19 است. مجموعه اعداد باید از اعدادی با علامت یکسان تشکیل شده باشد، در غیر این صورت حس در محاسبه مقدار متوسط از بین می رود.

2. میانگین معنیمجموعه اعداد برابر است با مجموع اعداد S تقسیم بر تعداد این اعداد. یعنی معلوم می شود که میانگین معنیبرابر است: 19/4 = 4.75.

3. برای مجموعه ای از اعداد نیز امکان تشخیص نه تنها وجود دارد میانگینحسابی، بلکه میانگینهندسی میانگین هندسی چند عدد واقعی منظم عددی است که می تواند جایگزین هر یک از این اعداد شود تا حاصل ضرب آنها تغییر نکند. میانگین هندسی G با استفاده از فرمول جستجو می شود: ریشه N ام حاصلضرب مجموعه ای از اعداد، که در آن N عدد در مجموعه است. بیایید به همان مجموعه اعداد نگاه کنیم: 1، 3، 8، 7. بیایید آنها را پیدا کنیم. میانگینهندسی برای این کار، بیایید حاصل ضرب را محاسبه کنیم: 1*3*8*7 = 168. حالا از عدد 168 باید ریشه 4 را استخراج کنید: G = (168)^1/4 = 3.61. بدین ترتیب میانگینمجموعه هندسی اعداد 3.61 است.

میانگینمیانگین هندسی معمولاً کمتر از میانگین حسابی استفاده می شود، با این حال، می تواند هنگام محاسبه میانگین ارزش شاخص هایی که در طول زمان تغییر می کنند (حقوق یک کارمند، پویایی شاخص های عملکرد تحصیلی و غیره) مفید باشد.

شما نیاز خواهید داشت

ماشین حساب مهندسی

دستورالعمل ها

1. برای پیدا کردن میانگین هندسی یک سری اعداد، ابتدا باید همه این اعداد را ضرب کنید. فرض کنید مجموعه ای از پنج شاخص به شما داده می شود: 12، 3، 6، 9 و 4. بیایید همه این اعداد را ضرب کنیم: 12x3x6x9x4=7776.

2. اکنون از عدد به دست آمده باید ریشه یک توان برابر با تعداد عناصر سری را استخراج کنید. در مورد ما، از عدد 7776 لازم است ریشه پنجم را با استفاده از ماشین حساب مهندسی استخراج کنیم. عدد به دست آمده پس از این عمل در است در این موردعدد 6 - میانگین هندسی خواهد بود گروه اولیهشماره.

3. اگر ماشین حساب مهندسی در دسترس ندارید، می توانید میانگین هندسی یک سری اعداد را با پشتیبانی از تابع SRGEOM در برنامه اکسلیا با استفاده از یکی از ماشین حساب های آنلاین که به طور خاص برای محاسبه میانگین هندسی طراحی شده است.

توجه داشته باشید!
اگر می‌خواهید میانگین هندسی هر کدام را برای 2 عدد پیدا کنید، به ماشین‌حساب مهندسی نیاز ندارید: ریشه دوم را استخراج کنید ( ریشه دوم) از هر عددی با استفاده از معمولی ترین ماشین حساب مجاز است.

مشاوره مفید
برخلاف میانگین حسابی، میانگین هندسی به شدت تحت تأثیر انحرافات و نوسانات عظیم بین مقادیر فردی در مجموعه شاخص های مورد مطالعه قرار نمی گیرد.

میانگینمقدار یکی از ترکیب های مجموعه ای از اعداد است. عددی را نشان می‌دهد که نمی‌تواند خارج از محدوده تعریف‌شده توسط بزرگترین و کوچک‌ترین مقادیر در آن مجموعه اعداد قرار گیرد. میانگین مقدار حسابی- نوع خاصی از رسانه که اغلب استفاده می شود.

دستورالعمل ها

1. تمام اعداد مجموعه را جمع کنید و آنها را بر تعداد عبارت ها تقسیم کنید تا میانگین حسابی به دست آید. بسته به شرایط محاسباتی خاص، گاهی اوقات تقسیم هر یک از اعداد بر تعداد مقادیر موجود در مجموعه و مجموع کل آسان تر است.

2. اگر محاسبه میانگین حسابی در ذهن شما امکان پذیر نیست، مثلاً از ماشین حساب موجود در سیستم عامل ویندوز استفاده کنید. می توانید آن را با پشتیبانی از گفتگوی راه اندازی برنامه باز کنید. برای انجام این کار، کلیدهای داغ WIN + R را فشار دهید یا روی دکمه "شروع" کلیک کنید و دستور "Run" را از منوی اصلی انتخاب کنید. پس از آن، calc را در فیلد ورودی تایپ کنید و Enter را در صفحه کلید خود فشار دهید یا روی دکمه "OK" کلیک کنید. همین کار را می توان از طریق منوی اصلی انجام داد - آن را باز کنید، به بخش "همه برنامه ها" و بخش "معمولی" بروید و خط "ماشین حساب" را انتخاب کنید.

3. تمام اعداد مجموعه را مرحله به مرحله با فشار دادن کلید پلاس روی صفحه کلید بعد از همه آنها (به جز شماره آخر) یا با کلیک بر روی دکمه مربوطه در رابط ماشین حساب وارد کنید. همچنین می توانید اعداد را از صفحه کلید یا با کلیک کردن روی دکمه های رابط مربوطه وارد کنید.

4. پس از وارد کردن آخرین مقدار مجموعه، کلید اسلش را فشار دهید یا روی این نماد در رابط ماشین حساب کلیک کنید و تعداد اعداد را در ترتیب تایپ کنید. پس از آن، علامت مساوی را فشار دهید و ماشین حساب میانگین حسابی را محاسبه و نمایش می دهد.

5. استفاده از ویرایشگر جدول برای همین منظور مجاز است. مایکروسافت اکسل. در این حالت، ویرایشگر را راه اندازی کنید و تمام مقادیر دنباله اعداد را در سلول های مجاور وارد کنید. اگر پس از وارد کردن کل شماره، Enter یا کلید فلش پایین یا راست را فشار دهید، خود ویرایشگر فوکوس ورودی را به سلول مجاور منتقل می کند.

6. تمام مقادیر وارد شده را انتخاب کنید و در گوشه سمت چپ پایین پنجره ویرایشگر (در نوار وضعیت) مقدار میانگین حسابی سلول های انتخاب شده را مشاهده خواهید کرد.

7. اگر فقط می خواهید میانگین را ببینید، روی سلول کنار آخرین عدد وارد شده کلیک کنید. لیست کشویی را با تصویر حرف یونانی سیگما (Σ) در گروه دستور ویرایش در برگه اصلی باز کنید. خط را انتخاب کنید " میانگینو ویرایشگر درج خواهد کرد فرمول لازمبرای محاسبه میانگین حسابی در سلول انتخاب شده. کلید Enter را فشار دهید و مقدار محاسبه می شود.

میانگین حسابی یکی از معیارهای میل مرکزی است که به طور گسترده در ریاضیات و محاسبات آماری استفاده می شود. یافتن میانگین حسابی برای چندین مقدار بسیار آسان است، اما هر کار تفاوت های ظریف خاص خود را دارد که برای تکمیل آنها باید بدانید. محاسبات صحیحاز ابتدا ضروری است.

میانگین حسابی چیست

میانگین حسابی مقدار میانگین را برای هر آرایه اولیه اعداد تعریف می کند. به عبارت دیگر، از مجموعه اعداد معینی مقداری انتخاب می شود که برای همه عناصر جهانی است که مقایسه ریاضی آن با همه عناصر تقریباً برابر است. از میانگین حسابی ترجیحاً در تهیه گزارش های مالی و آماری یا برای محاسبه نتایج کمی مهارت های مشابه استفاده می شود.

نحوه پیدا کردن میانگین حسابی

یافتن میانگین حسابی برای یک آرایه از اعداد باید با تعیین مجموع جبری این مقادیر آغاز شود. به عنوان مثال، اگر آرایه شامل اعداد 23، 43، 10، 74 و 34 باشد، مجموع جبری آنها برابر با 184 خواهد بود. هنگام نوشتن، میانگین حسابی با حرف نشان داده می شود؟ (mu) یا x (x با یک خط). در مرحله بعد، جمع جبری باید بر تعداد اعداد آرایه تقسیم شود. در مثال مورد بررسی پنج عدد وجود داشت، بنابراین میانگین حسابی برابر با 184/5 و 36.8 خواهد بود.

ویژگی های کار با اعداد منفی

اگر آرایه حاوی اعداد منفی باشد، میانگین حسابی با استفاده از یک الگوریتم مشابه پیدا می‌شود. این تفاوت فقط هنگام محاسبه در محیط برنامه نویسی وجود دارد، یا اگر مشکل حاوی داده های اضافی باشد. در این موارد، یافتن میانگین حسابی اعداد با نشانه های مختلفبه سه مرحله می رسد: 1. یافتن میانگین حسابی جهانی با استفاده از روش استاندارد؛ 2. یافتن میانگین حسابی اعداد منفی.3. محاسبه میانگین حسابی اعداد مثبت نتایج هر عمل با کاما از هم جدا می شوند.

کسرهای طبیعی و اعشاری

اگر آرایه ای از اعداد ارائه شود اعداد اعشاریحل بر اساس روش محاسبه میانگین حسابی اعداد صحیح انجام می شود، اما کاهش کل با توجه به الزامات مسئله برای دقت نتیجه انجام می شود.هنگام کار با کسرهای طبیعی باید آنها را انجام داد. به یک مخرج مشترک کاهش می یابد، مخرجی که در تعداد اعداد آرایه ضرب می شود. شمارنده حاصل مجموع اعداد داده شده عناصر کسری اولیه خواهد بود.

میانگین هندسی اعداد نه تنها به قدر مطلق خود اعداد، بلکه به تعداد آنها نیز بستگی دارد. نمی توان میانگین هندسی و میانگین را با هم اشتباه گرفت اعداد حسابی، از این واقعیت که آنها بر اساس متدولوژی های مختلف هستند. در این حالت، میانگین هندسی به طور ثابت کمتر یا مساوی با میانگین حسابی است.

شما نیاز خواهید داشت

ماشین حساب مهندسی

دستورالعمل ها

1. در نظر بگیرید که در حالت کلی میانگین هندسی اعداد با ضرب این اعداد و گرفتن ریشه توان مربوط به تعداد اعداد از آنها بدست می آید. به عنوان مثال، اگر باید میانگین هندسی پنج عدد را پیدا کنید، باید ریشه پنجم را از حاصل ضرب استخراج کنید.

2. برای پیدا کردن میانگین هندسی 2 عدد، از قانون اساسی استفاده کنید. حاصل ضرب آنها را پیدا کنید، سپس جذر عدد دو را که مطابق با درجه ریشه است، بگیرید. فرض کنید، برای یافتن میانگین هندسی اعداد 16 و 4، حاصل ضرب آنها را 16 4 = 64 بیابید. از عدد حاصل، جذر را بگیرید؟64=8. این مقدار مورد نظر خواهد بود. لطفاً توجه داشته باشید که میانگین حسابی این 2 عدد بزرگتر و برابر با 10 است. اگر ریشه به طور کامل استخراج نشد، کل را به ترتیب مورد نیاز گرد کنید.

3. برای یافتن میانگین هندسی بیش از 2 عدد از قانون اساسی نیز استفاده کنید. برای انجام این کار، حاصل ضرب تمام اعدادی را که باید میانگین هندسی آنها را بیابید، پیدا کنید. از حاصل ضرب، ریشه توان را برابر تعداد اعداد استخراج کنید. فرض کنید برای یافتن میانگین هندسی اعداد 2، 4 و 64، حاصل ضرب آنها را پیدا کنید. 2 4 64 = 512. چون باید نتیجه میانگین هندسی 3 عدد را پیدا کرد، ریشه سوم را از حاصل ضرب استخراج کنید. انجام این کار به صورت شفاهی دشوار است، بنابراین از یک ماشین حساب مهندسی استفاده کنید. برای این منظور دارای دکمه "x^y" است. شماره 512 را بگیرید، دکمه "x^y" را فشار دهید، سپس عدد 3 را بگیرید و دکمه "1/x" را فشار دهید تا مقدار 1/3 را پیدا کنید، دکمه "=" را فشار دهید. نتیجه افزایش 512 را به توان 1/3 می گیریم که مربوط به ریشه سوم است. 512^1/3=8 را دریافت کنید. این میانگین هندسی اعداد 2.4 و 64 است.

4. با پشتیبانی از یک ماشین حساب مهندسی، می توانید میانگین هندسی را با استفاده از روش دیگری پیدا کنید. دکمه log را روی صفحه کلید خود پیدا کنید. پس از این، لگاریتم همه اعداد را بگیرید، مجموع آنها را پیدا کنید و آن را بر تعداد اعداد تقسیم کنید. از عدد حاصل، آنتی لگاریتم را بگیرید. این میانگین هندسی اعداد خواهد بود. فرض کنید برای یافتن میانگین هندسی همان اعداد 2، 4 و 64، مجموعه ای از عملیات را روی ماشین حساب انجام دهید. شماره 2 را بگیرید، سپس دکمه log را فشار دهید، دکمه "+" را فشار دهید، عدد 4 را شماره گیری کنید و دوباره log و "+" را فشار دهید، 64 را شماره گیری کنید، log و "=" را فشار دهید. نتیجه عدد خواهد بود برابر با مجموعلگاریتم های اعشاری اعداد 2، 4 و 64. عدد حاصل را بر 3 تقسیم کنید، زیرا این تعداد اعدادی است که میانگین هندسی با آن ها جستجو می شود. از مجموع، با تعویض دکمه ثبت، آنتی لگاریتم را بگیرید و از همان کلید log استفاده کنید. نتیجه عدد 8 خواهد بود، این میانگین هندسی مورد نظر است.

توجه داشته باشید!
مقدار متوسط نمی تواند بزرگتر از بزرگترین عدد در مجموعه و کوچکتر از کوچکترین باشد.

مشاوره مفید
در آمار ریاضی، مقدار متوسط یک کمیت، انتظار ریاضی نامیده می شود.

مقدار متوسط یک شاخص کلی است که سطح معمولی یک پدیده را مشخص می کند. ارزش یک مشخصه در واحد جمعیت را بیان می کند.

مقدار متوسط:

1) معمولی ترین مقدار ویژگی برای جمعیت؛

2) حجم صفت جمعیت، به طور مساوی بین واحدهای جمعیت توزیع شده است.

مشخصه ای که مقدار متوسط برای آن محاسبه می شود در آمار «متوسط» نامیده می شود.

میانگین همیشه تغییرات کمی یک صفت را تعمیم می دهد، یعنی. در مقادیر متوسط، تفاوت های فردی بین واحدها در جامعه به دلیل شرایط تصادفی حذف می شود. برخلاف میانگین قدر مطلق، که سطح یک ویژگی یک واحد از یک جمعیت را مشخص می کند، به فرد اجازه نمی دهد مقادیر یک ویژگی را در بین واحدهای متعلق به جمعیت های مختلف مقایسه کند. بنابراین، اگر شما نیاز به مقایسه سطوح دستمزد کارگران در دو شرکت دارید، نمی توانید دو کارمند شرکت های مختلف را بر این اساس مقایسه کنید. غرامت کارگرانی که برای مقایسه انتخاب شده اند ممکن است برای این شرکت ها معمولی نباشد. اگر اندازه صندوق های دستمزد را در شرکت های مورد نظر مقایسه کنیم، تعداد کارکنان در نظر گرفته نمی شود و بنابراین، تعیین اینکه سطح دستمزد در کجا بالاتر است غیرممکن است. در نهایت، فقط شاخص های میانگین را می توان با هم مقایسه کرد، یعنی. یک کارمند به طور متوسط در هر شرکت چقدر درآمد دارد؟ بنابراین، نیاز به محاسبه مقدار متوسط به عنوان یک مشخصه تعمیم دهنده جامعه وجود دارد.

توجه به این نکته ضروری است که در طول فرآیند میانگین‌گیری، مقدار کل سطوح ویژگی یا مقدار نهایی آن (در مورد محاسبه سطوح متوسط در یک سری دینامیک) باید بدون تغییر باقی بماند. به عبارت دیگر، هنگام محاسبه مقدار میانگین، حجم مشخصه مورد مطالعه نباید تحریف شود و عباراتی که هنگام محاسبه میانگین جمع آوری می شود، لزوماً باید منطقی باشد.

محاسبه میانگین یکی از تکنیک های رایج تعمیم است. شاخص میانگین آنچه را که برای همه واحدهای جمعیت مورد مطالعه مشترک (معمول) است رد می کند، در حالی که در عین حال تفاوت های واحدهای فردی را نادیده می گیرد. در هر پدیده و توسعه آن ترکیبی از شانس و ضرورت وجود دارد. هنگام محاسبه میانگین ها، به دلیل عمل قانون اعداد بزرگ، تصادفی بودن از بین می رود و متعادل می شود، بنابراین می توان از ویژگی های بی اهمیت پدیده، از مقادیر کمی مشخصه در هر مورد خاص انتزاع کرد. . توانایی انتزاع از تصادفی بودن مقادیر و نوسانات فردی، ارزش علمی میانگین ها به عنوان ویژگی های تعمیم دهنده کل است.

برای اینکه میانگین واقعا معرف باشد، باید با در نظر گرفتن اصول خاصی محاسبه شود.

اجازه دهید در مورد برخی از اصول کلی برای استفاده از میانگین ها صحبت کنیم.

1. میانگین باید برای جمعیت های متشکل از واحدهای کیفی همگن تعیین شود.

2. میانگین باید برای جمعیتی که از تعداد کافی واحد تشکیل شده است محاسبه شود.

3. میانگین باید برای جمعیتی که واحدهای آن در حالت عادی و طبیعی هستند محاسبه شود.

4. میانگین باید با در نظر گرفتن محتوای اقتصادی شاخص مورد مطالعه محاسبه شود.

5.2. انواع میانگین ها و روش های محاسبه آنها

اکنون انواع مقادیر متوسط، ویژگی های محاسبه آنها و زمینه های کاربرد را در نظر می گیریم. مقادیر متوسط به دو دسته بزرگ تقسیم می شوند: میانگین توان، میانگین ساختاری.

میانگین توان شامل شناخته شده ترین و پرکاربردترین انواع مانند میانگین هندسی، میانگین حسابی و میانگین مربع است.

مد و میانه به عنوان میانگین های ساختاری در نظر گرفته می شوند.

بیایید روی میانگین های توان تمرکز کنیم. میانگین توان، بسته به ارائه داده های منبع، می تواند ساده یا وزنی باشد. متوسط سادهبر اساس داده های گروه بندی نشده محاسبه می شود و به شکل کلی زیر است:

که در آن X i نوع (مقدار) مشخصه ای است که به طور میانگین می شود.

n – گزینه شماره.

میانگین وزنیبر اساس داده های گروه بندی شده محاسبه می شود و ظاهری کلی دارد

که در آن X i متغیر (مقدار) مشخصه‌ای است که به طور میانگین می‌شود یا مقدار وسط بازه‌ای است که در آن متغیر اندازه‌گیری می‌شود.

m - شاخص درجه متوسط؛

f i - فرکانس نشان می دهد که چند بار رخ می دهد مقدار i-eمشخصه میانگین

اگر همه انواع میانگین ها را برای همان داده های اولیه محاسبه کنید، مقادیر آنها متفاوت خواهد بود. قانون اکثریت میانگین ها در اینجا اعمال می شود: با افزایش توان m، مقدار میانگین مربوطه نیز افزایش می یابد:

در عمل آماری، میانگین های حسابی و میانگین وزنی هارمونیک بیشتر از سایر انواع میانگین های وزنی استفاده می شود.

انواع وسایل قدرت

نوعی قدرت میانگین	فهرست مطالب درجه (متر)	فرمول محاسبه
نوعی قدرت میانگین	فهرست مطالب درجه (متر)	ساده	وزن دار
هارمونیک
هندسی
حسابی
درجه دوم
مکعبی

میانگین هارمونیک بیشتر است طراحی پیچیدهنسبت به میانگین حسابی میانگین هارمونیک زمانی برای محاسبات استفاده می شود که از واحدهای جمعیت - حامل های مشخصه - به عنوان وزن استفاده نمی شود، بلکه حاصل ضرب این واحدها با مقادیر مشخصه (یعنی m = Xf) است. در مواردی مانند تعیین میانگین هزینه نیروی کار، زمان، مواد در واحد تولید، به ازای هر قسمت برای دو (سه، چهار و غیره) شرکت، کارگرانی که در ساخت و تولید مشغول هستند، باید از هارمونیک ساده استفاده کرد. از همان نوع محصول، همان قطعه، محصول.

شرط اصلی برای فرمول محاسبه مقدار متوسط این است که تمام مراحل محاسبه دارای یک توجیه واقعی و معنادار باشد. مقدار متوسط حاصل باید جایگزین مقادیر فردی ویژگی برای هر شی شود بدون اینکه ارتباط بین شاخص های فردی و خلاصه را مختل کند. به عبارت دیگر، مقدار میانگین باید به گونه‌ای محاسبه شود که وقتی هر مقدار جداگانه شاخص میانگین شده با مقدار متوسط آن جایگزین می‌شود، برخی از شاخص‌های خلاصه نهایی که به هر طریقی با شاخص میانگین مرتبط هستند، بدون تغییر باقی می‌مانند. این مجموع نامیده می شود تعریف کردناز آنجایی که ماهیت رابطه آن با مقادیر فردی فرمول خاص برای محاسبه مقدار متوسط را تعیین می کند. اجازه دهید این قانون را با استفاده از مثال میانگین هندسی نشان دهیم.

فرمول میانگین هندسی

اغلب هنگام محاسبه مقدار متوسط بر اساس دینامیک نسبی فردی استفاده می شود.

اگر دنباله‌ای از دینامیک نسبی زنجیره داده شود، میانگین هندسی استفاده می‌شود که برای مثال نشان‌دهنده افزایش حجم تولید نسبت به سطح سال قبل است: i 1, i 2, i 3,…, i n. بدیهی است که حجم تولید در سال گذشتهبا سطح اولیه آن (q 0) و افزایش بعدی در طول سال تعیین می شود:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

با در نظر گرفتن q n به عنوان شاخص تعیین کننده و جایگزینی مقادیر فردی شاخص های دینامیک با مقادیر متوسط، به رابطه می رسیم.

از اینجا

از نوع خاصی از میانگین ها - میانگین های ساختاری - برای مطالعه استفاده می شود ساختار داخلیمجموعه ای از توزیع مقادیر ویژگی، و همچنین برای تخمین مقدار متوسط (نوع توان)، در صورتی که محاسبه آن با توجه به داده های آماری موجود قابل انجام نباشد (به عنوان مثال، اگر در مثال در نظر گرفته شده هیچ داده ای در مورد هر دو حجم وجود نداشته باشد. میزان تولید و میزان هزینه های گروهی از شرکت ها).

شاخص ها اغلب به عنوان میانگین های ساختاری استفاده می شوند روش -بیشترین مقدار تکرار شده صفت – and میانه ها -مقدار مشخصه ای که توالی مرتب مقادیر آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند. در نتیجه، برای نیمی از واحدهای جمعیت، مقدار ویژگی از سطح میانه تجاوز نمی کند و برای نیمی دیگر از آن کمتر نیست.

اگر مشخصه مورد مطالعه دارای مقادیر گسسته باشد، پس هیچ مشکل خاصی در محاسبه حالت و میانه وجود ندارد. اگر داده های مربوط به مقادیر ویژگی X در قالب فواصل مرتب شده تغییر آن (سری بازه) ارائه شود، محاسبه حالت و میانه تا حدودی پیچیده تر می شود. از آنجایی که مقدار میانه کل جمعیت را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند، به یکی از بازه های مشخصه X ختم می شود. با استفاده از درون یابی، مقدار میانه در این بازه میانه پیدا می شود:

که در آن X Me حد پایین بازه میانه است.

h من - ارزش آن؛

(مجموع m)/2 – نیمی از تعداد کلمشاهدات یا نصف حجم شاخصی که به عنوان وزن در فرمول های محاسبه مقدار متوسط (به صورت مطلق یا نسبی) استفاده می شود.

S Me-1 - مجموع مشاهدات (یا حجم ویژگی وزنی) جمع آوری شده قبل از شروع فاصله متوسط.

m Me - تعداد مشاهدات یا حجم مشخصه وزنی در بازه میانه (همچنین به صورت مطلق یا نسبی).

هنگام محاسبه مقدار معین یک مشخصه با استفاده از داده های یک سری بازه، باید به این واقعیت توجه کرد که فواصل یکسان هستند، زیرا شاخص تکرارپذیری مقادیر مشخصه X به این بستگی دارد. برای یک بازه سریال با در فواصل مساویبزرگی حالت به صورت تعریف شده است

که در آن X Mo مقدار کمتر بازه مودال است.

m Mo - تعداد مشاهدات یا حجم مشخصه وزن در بازه مودال (به صورت مطلق یا نسبی).

m Mo-1 - برای فاصله قبل از مودال یکسان است.

m Mo + 1 - برای فاصله بعد از مودال یکسان است.

h - مقدار فاصله تغییر مشخصه در گروه ها.

وظیفه 1

داده های گروه زیر موجود است شرکت های صنعتیبرای سال گزارش

№ شرکت ها	حجم محصول، میلیون روبل.		میانگین تعداد کارمندان، افراد.	سود، هزار روبل
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

گروه بندی شرکت ها برای مبادله محصولات با در نظر گرفتن فواصل زمانی زیر الزامی است:

تا 200 میلیون روبل

از 200 تا 400 میلیون روبل.

از 400 تا 600 میلیون روبل.

برای هر گروه و برای همه با هم، تعداد شرکت ها، حجم تولید، میانگین تعداد کارکنان، متوسط تولید به ازای هر کارمند را تعیین کنید. نتایج گروه بندی را در قالب یک جدول آماری ارائه دهید. نتیجه گیری را تدوین کنید.

راه حل

ما شرکت ها را بر اساس مبادله محصول گروه بندی می کنیم، تعداد شرکت ها، حجم تولید و میانگین تعداد کارکنان را با استفاده از فرمول میانگین ساده محاسبه می کنیم. نتایج گروه بندی و محاسبات در یک جدول خلاصه شده است.

گروه بندی بر اساس حجم محصول	№ شرکت ها	حجم محصول، میلیون روبل.	میانگین هزینه سالانه دارایی های ثابت، میلیون روبل.	خواب متوسط تعداد آبدار کارمندان، مردم.	سود، هزار روبل	میانگین تولید به ازای هر کارمند
1 گروه تا 200 میلیون روبل	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
			28,2	2567	74,8	0,23
سطح متوسط		198,3			24,9
گروه 2 از 200 تا 400 میلیون روبل.	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
سطح متوسط		282,3	37,6	1530	64,0
3 گروه از 400 تا 600 میلیون	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
		3590	240,8	9974	846,5	0,36
سطح متوسط		512,9	34,4	1421	120,9
کل در مجموع		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
به طور متوسط		379,6	59,9	1223,6	79,5

نتیجه. بنابراین، در جمعیت مورد بررسی، بیشترین تعداد بنگاه ها از نظر حجم تولید در گروه سوم - هفت یا نیمی از بنگاه ها قرار گرفتند. میانگین هزینه سالانه دارایی های ثابت نیز در این گروه قرار دارد و همچنین میانگین تعداد زیاد کارکنان - 9974 نفر؛ شرکت های گروه اول کمترین سود را دارند.

وظیفه 2

داده های زیر در مورد شرکت های این شرکت موجود است

تعداد شرکتی که در شرکت گنجانده شده است	من یک چهارم	سه ماهه دوم
	خروجی محصول، هزار روبل.	روزهای انسانی کار شده توسط کارگران	میانگین خروجی هر کارگر در روز، مالش.
	59390,13

ویژگی های واحدهای کل آماری از نظر معنایی متفاوت است، به عنوان مثال، دستمزد کارگران در همان حرفه یک شرکت برای مدت زمان یکسان، قیمت های بازار برای محصولات مشابه، عملکرد محصول در منطقه یکسان نیست. مزارع و غیره بنابراین، برای تعیین مقدار یک مشخصه که مشخصه کل جمعیت واحدهای مورد مطالعه است، مقادیر متوسط محاسبه می شود.
مقدار متوسط – این یک ویژگی تعمیم دهنده مجموعه ای از مقادیر فردی برخی از ویژگی های کمی است.

جامعه مورد مطالعه بر اساس کمی از ارزش های فردی تشکیل شده است. آنها تحت تأثیر هر دو علل عمومی و شرایط فردی. در مقدار متوسط، انحرافات مشخصه مقادیر فردی لغو می شوند. میانگین که تابعی از مجموعه ای از مقادیر فردی است، کل کل را با یک مقدار نشان می دهد و آنچه را که در همه واحدهای آن مشترک است منعکس می کند.

میانگین محاسبه شده برای جمعیت های متشکل از واحدهای کیفی همگن نامیده می شود میانگین معمولی. به عنوان مثال، می توانید میانگین حقوق ماهانه یک کارمند از یک گروه حرفه ای خاص (معدن، پزشک، کتابدار) را محاسبه کنید. البته سطوح ماهانه دستمزدمعدنچیان به دلیل تفاوت در صلاحیت، طول خدمت، زمان کار در ماه و بسیاری عوامل دیگر، با یکدیگر و با سطح متوسط دستمزد متفاوت هستند. با این حال، سطح متوسط منعکس کننده عوامل اصلی تأثیرگذار بر سطح دستمزدها است و تفاوت های ناشی از آن را خنثی می کند. ویژگیهای فردیکارمند متوسط حقوق نشان دهنده سطح معمولی دستمزد برای یک نوع معین از کارگر است. به دست آوردن یک میانگین معمولی باید قبل از تجزیه و تحلیل میزان همگن بودن جامعه از نظر کیفی انجام شود. اگر مجموعه از آنها تشکیل شده باشد قطعات جداگانه، باید به گروه های معمولی (متوسط درجه حرارت در بیمارستان) تقسیم شود.

مقادیر متوسطی که به عنوان ویژگی برای جمعیت های ناهمگن استفاده می شود نامیده می شود میانگین های سیستم. به عنوان مثال، میانگین ارزش تولید ناخالص داخلی (GDP) سرانه، میانگین ارزش مصرف گروه‌های مختلف کالا به ازای هر نفر و سایر مقادیر مشابه که نشان‌دهنده ویژگی‌های عمومی دولت به عنوان یک نظام اقتصادی واحد است.

میانگین باید برای جمعیت هایی که از تعداد کافی واحد تشکیل شده اند محاسبه شود. رعایت این شرط برای اعمال قانون اعداد زیاد ضروری است که در نتیجه انحرافات تصادفی مقادیر فردی از روند کلییکدیگر را خنثی کنند

انواع میانگین ها و روش های محاسبه آنها

انتخاب نوع میانگین بر اساس محتوای اقتصادی یک شاخص خاص و داده های منبع تعیین می شود. با این حال، هر مقدار میانگین باید به گونه‌ای محاسبه شود که وقتی جایگزین هر یک از انواع مشخصه میانگین می‌شود، نهایی، تعمیم‌دهنده یا، همانطور که معمولاً نامیده می‌شود، تغییر نکند. شاخص تعریف، که با شاخص میانگین همراه است. به عنوان مثال، هنگام جایگزینی سرعت های واقعی در بخش های جداگانه از مسیر با سرعت متوسط آنها، کل مسافت طی شده نباید تغییر کند. وسیله نقلیههمزمان؛ هنگام جایگزینی دستمزد واقعی کارگران فردیشرکت های متوسط دستمزدصندوق دستمزد نباید تغییر کند. در نتیجه، در هر مورد خاص، بسته به ماهیت داده‌های موجود، تنها یک مقدار متوسط واقعی از شاخص وجود دارد که برای ویژگی‌ها و ماهیت پدیده اجتماعی-اقتصادی مورد مطالعه مناسب باشد.
بیشترین مورد استفاده عبارتند از میانگین حسابی، میانگین هارمونیک، میانگین هندسی، میانگین درجه دوم و میانگین مکعب.
میانگین های ذکر شده متعلق به کلاس هستند آرام بخشمیانگین ها و با فرمول کلی ترکیب می شوند:
,
میانگین مقدار مشخصه مورد مطالعه کجاست.
m - شاخص درجه متوسط؛
- مقدار فعلی (نوع) مشخصه در حال میانگین.
n - تعداد ویژگی ها.
بسته به مقدار توان m، انواع میانگین توان زیر متمایز می شود:
وقتی m = -1 - میانگین هارمونیک؛
در m = 0 - میانگین هندسی.
برای m = 1 - میانگین حسابی.
برای m = 2 - ریشه میانگین مربع؛
در m = 3 - مکعب متوسط.
هنگام استفاده از همان داده های اولیه، هر چه توان m در فرمول بالا بزرگتر باشد، مقدار میانگین بزرگتر است:
.
این ویژگی میانگین توان برای افزایش با افزایش توان تابع تعریف نامیده می شود قانون اکثریت میانگین ها.
هر یک از میانگین های مشخص شده می تواند به دو شکل باشد: سادهو وزن دار.
فرم متوسط سادهزمانی استفاده می شود که میانگین از داده های اولیه (گروه بندی نشده) محاسبه شود. فرم وزنی- هنگام محاسبه میانگین بر اساس داده های ثانویه (گروهی).

میانگین حسابی

میانگین حسابی زمانی استفاده می شود که حجم جامعه مجموع تمام مقادیر فردی یک مشخصه متفاوت باشد. لازم به ذکر است که اگر نوع میانگین مشخص نشده باشد، میانگین حسابی فرض می شود. فرمول منطقی آن به این صورت است:

میانگین حسابی سادهمحاسبه شد بر اساس داده های گروه بندی نشده طبق فرمول:
یا ،
ارزش های فردی مشخصه کجاست.
j شماره سریال واحد مشاهده است که با مقدار مشخص می شود.
N – تعداد واحدهای مشاهده (حجم جمعیت).
مثال.سخنرانی "خلاصه و گروه بندی داده های آماری" نتایج مشاهده تجربه کاری یک تیم 10 نفره را مورد بررسی قرار داد. بیایید میانگین تجربه کاری کارگران تیم را محاسبه کنیم. 5، 3، 5، 4، 3، 4، 5، 4، 2، 4.

طبق فرمول میانگین حسابیساده نیز محاسبه می شوند میانگین ها در سری های زمانی، اگر فواصل زمانی که مقادیر مشخصه برای آنها ارائه می شود برابر باشد.
مثال.حجم محصولات فروخته شده در سه ماهه اول به 47 دین رسیده است. واحد، برای دوم 54، برای سوم 65 و برای چهارم 58 den. واحدها متوسط گردش مالی سه ماهه (47+54+65+58)/4 = 56 den است. واحدها
اگر شاخص های لحظه ای در یک سری زمانی ارائه شوند، در هنگام محاسبه میانگین آنها با نصف مجموع مقادیر در ابتدا و انتهای دوره جایگزین می شوند.
اگر بیش از دو لحظه وجود داشته باشد و فواصل بین آنها برابر باشد، میانگین با استفاده از فرمول میانگین زمانی محاسبه می شود.

,
که در آن n تعداد نقاط زمانی است
در موردی که داده ها با مقادیر مشخصه گروه بندی می شوند (یعنی یک سری توزیع متغیر گسسته ساخته شده است) با میانگین وزنی حسابیمحاسبه شده با استفاده از فرکانس یا فرکانس مشاهده مقادیر خاص مشخصه، که تعداد آنها (k) قابل توجه است. تعداد کمترمشاهدات (N) .
,
,
که در آن k تعداد گروه های سری تغییرات است،
i – شماره گروه سری تغییرات.
از آنجا که، a، فرمول های مورد استفاده برای محاسبات عملی را به دست می آوریم:
و
مثال.بیایید میانگین طول خدمت تیم های کاری را در یک ردیف گروهی محاسبه کنیم.
الف) با استفاده از فرکانس ها:

ب) استفاده از فرکانس ها:

در موردی که داده ها بر اساس فواصل گروه بندی می شوند ، یعنی در قالب سری های توزیع بازه ای ارائه می شوند؛ هنگام محاسبه میانگین حسابی، بر اساس فرض توزیع یکنواخت واحدهای جمعیت در یک بازه معین، وسط بازه به عنوان مقدار مشخصه در نظر گرفته می شود. محاسبه با استفاده از فرمول انجام می شود:
و
وسط فاصله کجاست:
مرزهای پایین و بالایی فواصل کجا و هستند (به شرطی که مرز بالایی یک بازه معین با مرز پایینی بازه بعدی منطبق باشد).

مثال.بیایید میانگین حسابی سری تغییرات بازه ای ساخته شده بر اساس نتایج مطالعه دستمزد سالانه 30 کارگر را محاسبه کنیم (به سخنرانی "خلاصه و گروه بندی داده های آماری" مراجعه کنید).
جدول 1 - توزیع سری تغییرات فاصله.

فواصل، UAH	فرکانس، مردم	فرکانس،	وسط فاصله
600-700 700-800 800-900 900-1000 1000-1100 1100-1200	3 6 8 9 3 1	0,10 0,20 0,267 0,30 0,10 0,033	(600+700):2=650 (700+800):2=750 850 950 1050 1150	1950 4500 6800 8550 3150 1150	65 150 226,95 285 105 37,95

UAH یا UAH
به دلیل توزیع نابرابر مقادیر مشخصه ها در فواصل، میانگین های حسابی محاسبه شده بر اساس داده های منبع و سری های تغییرات بازه ای ممکن است مطابقت نداشته باشند. در این صورت، برای محاسبه دقیق تر میانگین حسابی وزنی، نه از وسط فواصل، بلکه باید از میانگین حسابی ساده محاسبه شده برای هر گروه استفاده کرد. میانگین های گروهی). میانگین محاسبه شده از میانگین های گروه با استفاده از فرمول محاسبه وزنی نامیده می شود میانگین عمومی.
میانگین حسابی دارای تعدادی ویژگی است.
1. مجموع انحرافات از گزینه میانگین صفر است:
.
2. اگر همه مقادیر گزینه به مقدار A افزایش یا کاهش یابد، مقدار متوسط به همان مقدار A افزایش یا کاهش می یابد:

3. اگر هر گزینه به اندازه B بار کم یا زیاد شود، مقدار متوسط نیز به همان تعداد بار افزایش یا کاهش می یابد:
یا
4. مجموع حاصلضرب های اختیار بر اساس فرکانس ها برابر است با حاصلضرب مقدار متوسط در مجموع فرکانس ها:

5. اگر همه فرکانس ها در هر عددی تقسیم یا ضرب شوند، میانگین حسابی تغییر نمی کند:

6) اگر در همه فواصل بسامدها با هم برابر باشند، میانگین حسابی وزن دار برابر با میانگین حسابی ساده است:
,
که در آن k تعداد گروه های سری تغییرات است.

استفاده از خواص میانگین به شما امکان می دهد محاسبه آن را ساده کنید.
فرض کنید همه گزینه های (x) ابتدا با یک عدد A کاهش یافته و سپس با ضریب B کاهش می یابد. بیشترین ساده سازی زمانی حاصل می شود که مقدار وسط بازه با بیشترین فرکانس به عنوان A و مقدار بازه (برای سری هایی با فواصل یکسان) به عنوان B انتخاب شود. کمیت A را مبدأ می نامند، بنابراین این روش محاسبه میانگین نامیده می شود مسیرب مرجع اهم از صفر شرطییا راه لحظات.
پس از چنین تبدیلی، یک سری توزیع متغیر جدید بدست می آوریم که انواع آن برابر است. میانگین حسابی آنها نامیده می شود لحظه اولین سفارش،با فرمول بیان می شود و با توجه به ویژگی های دوم و سوم، میانگین حسابی برابر با میانگین نسخه اصلی است که ابتدا A و سپس B برابر می شود، یعنی.
برای گرفتن میانگین واقعی(میانگین سری اصلی) باید لحظه مرتبه اول را در B ضرب کنید و A را اضافه کنید:

محاسبه میانگین حسابی با استفاده از روش گشتاورها با داده های جدول نشان داده شده است. 2.
جدول 2 - توزیع کارگران مغازه های کارخانه بر اساس سابقه خدمت

مدت خدمت کارکنان، سالها	تعداد کارگران	وسط فاصله
0 – 5 5 – 10 10 – 15 15 – 20 20 – 25 25 – 30	12 16 23 28 17 14	2,5 7,5 12,7 17,5 22,5 27,5	15 -10 -5 0 5 10	3 -2 -1 0 1 2	36 -32 -23 0 17 28

پیدا کردن اولین لحظه سفارش . سپس با دانستن اینکه A = 17.5 و B = 5 است، میانگین طول خدمت کارگران کارگاه را محاسبه می کنیم:
سال ها

میانگین هارمونیک
همانطور که در بالا نشان داده شد، میانگین حسابی برای محاسبه مقدار میانگین یک مشخصه در مواردی که انواع x و فرکانس آنها f مشخص است استفاده می شود.
اگر اطلاعات آماری حاوی فرکانس f برای گزینه های تکی x از جامعه نباشد، اما به عنوان محصول آنها ارائه شود، فرمول اعمال می شود. میانگین هارمونیک وزنی. برای محاسبه میانگین، بیایید مشخص کنیم که کجا . با جایگزینی این عبارات به فرمول میانگین وزنی حسابی، فرمول میانگین موزون هارمونیک را به دست می آوریم:
,
حجم (وزن) مقادیر ویژگی شاخص در بازه شماره i (i=1,2, …, k) کجاست.

بنابراین، میانگین هارمونیک در مواردی استفاده می شود که خود گزینه ها نیستند که مشمول جمع می شوند، بلکه متقابل آنها هستند: .
در مواردی که وزن هر گزینه برابر با یک باشد، یعنی. مقادیر فردی مشخصه معکوس یک بار، اعمال می شود به معنای هارمونیک ساده:
,
در کجا انواع مختلف مشخصه معکوس وجود دارد که یک بار اتفاق می افتد.
N - گزینه شماره.
اگر میانگین های هارمونیک برای دو بخش از جمعیت وجود داشته باشد، میانگین کلی برای کل جمعیت با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

و نامیده می شود میانگین هارمونیک وزنی میانگین های گروهی.

مثال.در جریان معاملات در صرافی، سه معامله در ساعت اول فعالیت منعقد شد. داده های مربوط به میزان فروش و نرخ مبادله گریونا در برابر دلار آمریکا در جدول آورده شده است. 3 (ستون های 2 و 3). میانگین نرخ مبادله گریونا در برابر دلار آمریکا را برای ساعت اول معاملات تعیین کنید.
جدول 3 - داده های پیشرفت معاملات در ارز

میانگین نرخ مبادله دلار بر اساس نسبت مقدار hryvnia فروخته شده در تمام معاملات به مقدار دلار به دست آمده در نتیجه همان معاملات تعیین می شود. مبلغ نهایی فروش گریونیا از ستون 2 جدول مشخص می شود و تعداد دلار خریداری شده در هر تراکنش با تقسیم مبلغ فروش گریونیا بر نرخ مبادله آن تعیین می شود (ستون 4). در مجموع 22 میلیون دلار طی سه تراکنش خریداری شد. این بدان معنی است که میانگین نرخ مبادله hryvnia برای یک دلار بود
.
مقدار حاصل واقعی است، زیرا جایگزینی آن با نرخ واقعی مبادله گریونا در معاملات، مقدار نهایی فروش هریونیا را تغییر نخواهد داد، که به عنوان شاخص تعریف: میلیون UAH
اگر از میانگین حسابی برای محاسبه استفاده شود، یعنی. hryvnia ، سپس در نرخ ارز برای خرید 22 میلیون دلار. لازم است 110.66 میلیون UAH خرج شود که این درست نیست.

میانگین هندسی
میانگین هندسی برای تجزیه و تحلیل دینامیک پدیده ها استفاده می شود و به ما امکان می دهد تا تعیین کنیم ضریب متوسطرشد هنگام محاسبه میانگین هندسی، مقادیر فردی مشخصه است شاخص های نسبیدینامیک ساخته شده در قالب کمیت های زنجیره ای، به عنوان نسبت هر سطح به سطح قبلی.
میانگین هندسی ساده با استفاده از فرمول محاسبه می شود:
,
علامت محصول کجاست
N - تعداد مقادیر متوسط.
مثال.تعداد جرایم ثبت شده طی 4 سال 1.57 برابر افزایش یافته است، از جمله برای اول - 1.08 برابر، برای 2 - 1.1 برابر، برای سوم - 1.18 و برای چهارم - 1.12 برابر. سپس متوسط نرخ رشد سالانه تعداد جرایم عبارت است از: تعداد جرایم ثبت شده سالانه به طور متوسط 12 درصد رشد داشته است.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

برای محاسبه میانگین وزنی مربع، جدول را تعیین و وارد می کنیم و . سپس میانگین انحراف طول محصولات از هنجار داده شده برابر است با:

میانگین حسابی در این مورد نامناسب خواهد بود، زیرا در نتیجه ما انحراف صفر خواهیم داشت.
استفاده از مربع میانگین بیشتر از نظر تغییرات مورد بحث قرار خواهد گرفت.

5.1. مفهوم میانگین

مقدار متوسط -این یک شاخص کلی است که سطح معمولی این پدیده را مشخص می کند. ارزش یک مشخصه در واحد جمعیت را بیان می کند.

میانگین همیشه تغییرات کمی یک صفت را تعمیم می دهد، یعنی. در مقادیر متوسط، تفاوت های فردی بین واحدها در جامعه به دلیل شرایط تصادفی حذف می شود. برخلاف میانگین، قدر مطلق که سطح یک ویژگی یک واحد از جمعیت را مشخص می کند، به فرد اجازه نمی دهد مقادیر یک ویژگی را در بین واحدهای متعلق به جمعیت های مختلف مقایسه کند. بنابراین، اگر شما نیاز به مقایسه سطوح دستمزد کارگران در دو شرکت دارید، نمی توانید دو کارمند شرکت های مختلف را بر این اساس مقایسه کنید. غرامت کارگرانی که برای مقایسه انتخاب شده اند ممکن است برای این شرکت ها معمولی نباشد. اگر اندازه صندوق های دستمزد را در شرکت های مورد نظر مقایسه کنیم، تعداد کارکنان در نظر گرفته نمی شود و بنابراین، تعیین اینکه سطح دستمزد در کجا بالاتر است غیرممکن است. در نهایت، فقط شاخص های میانگین را می توان با هم مقایسه کرد، یعنی. یک کارمند به طور متوسط در هر شرکت چقدر درآمد دارد؟ بنابراین، نیاز به محاسبه مقدار متوسط به عنوان یک مشخصه تعمیم دهنده جامعه وجود دارد.

برای اینکه میانگین واقعا معرف باشد، باید با در نظر گرفتن اصول خاصی محاسبه شود.

اجازه دهید در مورد برخی از اصول کلی برای استفاده از میانگین ها صحبت کنیم.
1. میانگین باید برای جمعیت های متشکل از واحدهای کیفی همگن تعیین شود.
2. میانگین باید برای جمعیتی که از تعداد کافی واحد تشکیل شده است محاسبه شود.
3. میانگین باید برای جمعیتی که واحدهای آن در حالت عادی و طبیعی هستند محاسبه شود.
4. میانگین باید با در نظر گرفتن محتوای اقتصادی شاخص مورد مطالعه محاسبه شود.

5.2. انواع میانگین ها و روش های محاسبه آنها

به میانگین تواناینها شامل شناخته شده ترین و پرکاربردترین انواع، مانند میانگین هندسی، میانگین حسابی و میانگین درجه دوم است.

مانند میانگین های ساختاریحالت و میانه در نظر گرفته شده است.

که در آن X i نوع (مقدار) مشخصه ای است که به طور میانگین می شود.

n – گزینه شماره.

میانگین وزنیبر اساس داده های گروه بندی شده محاسبه می شود و ظاهری کلی دارد

که در آن X i متغیر (مقدار) مشخصه‌ای است که به طور میانگین می‌شود یا مقدار وسط بازه‌ای است که در آن متغیر اندازه‌گیری می‌شود.
m - شاخص درجه متوسط؛
f i - فرکانس نشان می دهد که چند برابر مقدار i-e مشخصه متوسط رخ می دهد.

اجازه دهید به عنوان مثال محاسبه میانگین سنی دانش آموزان در یک گروه 20 نفره را مثال بزنیم:

ما میانگین سنی را با استفاده از فرمول میانگین ساده محاسبه می کنیم:

بیایید داده های منبع را گروه بندی کنیم. ما سری توزیع زیر را دریافت می کنیم:

در نتیجه گروه بندی، یک شاخص جدید - فراوانی به دست می آوریم که تعداد دانش آموزان X سال را نشان می دهد. از این رو، میانگین سندانش آموزان گروه با استفاده از فرمول میانگین وزنی محاسبه می شوند:

فرمول های عمومی برای محاسبه میانگین توان دارای توان (m) هستند. بسته به مقداری که می گیرد، انواع میانگین های توان زیر متمایز می شوند:
میانگین هارمونیک اگر m = -1;
میانگین هندسی، اگر m –> 0;
میانگین حسابی اگر m = 1;
ریشه میانگین مربع اگر m = 2;
مکعب متوسط اگر m = 3 باشد.

فرمول های میانگین توان در جدول آورده شده است. 4.4.

در عمل آماری، میانگین های حسابی و میانگین وزنی هارمونیک بیشتر از سایر انواع میانگین های وزنی استفاده می شود.

جدول 5.1

انواع وسایل قدرت

نوعی قدرت میانگین	فهرست مطالب درجه (متر)	فرمول محاسبه
نوعی قدرت میانگین	فهرست مطالب درجه (متر)	ساده	وزن دار
هارمونیک	-1
هندسی	0
حسابی	1
درجه دوم	2
مکعبی	3

میانگین هارمونیک ساختار پیچیده تری نسبت به میانگین حسابی دارد. میانگین هارمونیک زمانی برای محاسبات استفاده می شود که از واحدهای جمعیت - حامل های مشخصه - به عنوان وزن استفاده نمی شود، بلکه حاصل ضرب این واحدها با مقادیر مشخصه (یعنی m = Xf) است. در مواردی مانند تعیین میانگین هزینه نیروی کار، زمان، مواد در واحد تولید، به ازای هر قسمت برای دو (سه، چهار و غیره) شرکت، کارگرانی که در ساخت و تولید مشغول هستند، باید از هارمونیک ساده استفاده کرد. از همان نوع محصول، همان قطعه، محصول.

شرط اصلی برای فرمول محاسبه مقدار متوسط این است که تمام مراحل محاسبه دارای یک توجیه واقعی و معنادار باشد. مقدار متوسط حاصل باید جایگزین مقادیر فردی ویژگی برای هر شی شود بدون اینکه ارتباط بین شاخص های فردی و خلاصه را مختل کند. به عبارت دیگر، مقدار میانگین باید به گونه‌ای محاسبه شود که وقتی هر یک از مقادیر شاخص میانگین شده با مقدار متوسط آن جایگزین می‌شود، برخی از شاخص‌های خلاصه نهایی که به هر طریقی با مقدار میانگین مرتبط هستند، بدون تغییر باقی می‌مانند. این مجموع نامیده می شود تعریف کردناز آنجایی که ماهیت رابطه آن با مقادیر فردی فرمول خاص برای محاسبه مقدار متوسط را تعیین می کند. اجازه دهید این قانون را با استفاده از مثال میانگین هندسی نشان دهیم.

فرمول میانگین هندسی

اغلب هنگام محاسبه مقدار متوسط بر اساس دینامیک نسبی فردی استفاده می شود.

میانگین هندسی اگر دنباله ای از دینامیک نسبی زنجیره داده شود، به عنوان مثال نشان دهنده افزایش تولید نسبت به سطح سال قبل باشد، استفاده می شود: i 1, i 2, i 3,..., i n. بدیهی است که حجم تولید در سال گذشته بر اساس سطح اولیه آن (q 0) و افزایش متعاقب آن طی سالها تعیین می شود:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

از اینجا

5.3. میانگین های ساختاری

یک نوع خاص از مقادیر میانگین - میانگین‌های ساختاری - برای مطالعه ساختار داخلی سری توزیع مقادیر مشخصه و همچنین برای تخمین مقدار متوسط (نوع قدرت) استفاده می‌شود، در صورتی که با توجه به داده‌های آماری موجود، محاسبه را نمی توان انجام داد (به عنوان مثال، اگر در مثال در نظر گرفته شده هیچ داده ای برای حجم تولید و میزان هزینه ها توسط گروهی از شرکت ها وجود نداشت).

که در آن X Me حد پایین بازه میانه است.
h من - ارزش آن؛
(مجموع m) / 2 - نیمی از تعداد کل مشاهدات یا نیمی از حجم شاخصی که به عنوان وزن در فرمول های محاسبه مقدار میانگین (به صورت مطلق یا نسبی) استفاده می شود.
S Me-1 - مجموع مشاهدات (یا حجم ویژگی وزنی) جمع آوری شده قبل از شروع فاصله متوسط.
m Me - تعداد مشاهدات یا حجم مشخصه وزنی در بازه میانه (همچنین به صورت مطلق یا نسبی).

در مثال ما، حتی سه مقدار متوسط را می توان به دست آورد - بر اساس تعداد شرکت ها، حجم تولید و کل هزینه های تولید:

بنابراین، در نیمی از شرکت ها هزینه هر واحد تولید بیش از 125.19 هزار روبل است، نیمی از حجم کل محصولات با هزینه هر محصول بیش از 124.79 هزار روبل تولید می شود. و 50٪ از کل هزینه ها زمانی تشکیل می شود که هزینه یک محصول بالاتر از 125.07 هزار روبل باشد. همچنین توجه داشته باشید که تمایل خاصی به افزایش هزینه وجود دارد، زیرا Me 2 = 124.79 هزار روبل، و سطح متوسط 123.15 هزار روبل است.

هنگام محاسبه مقدار معین یک مشخصه بر اساس داده های یک سری بازه، باید به این واقعیت توجه کرد که فواصل یکسان هستند، زیرا شاخص تکرارپذیری مقادیر مشخصه X به این بستگی دارد. یک سری بازه ای با فواصل مساوی، بزرگی حالت به صورت تعیین می شود

که در آن X Mo مقدار کمتر بازه مودال است.
m Mo - تعداد مشاهدات یا حجم مشخصه وزن در بازه مودال (به صورت مطلق یا نسبی).
m Mo -1 - برای فاصله قبل از مودال یکسان است.
m Mo + 1 - برای فاصله بعد از مودال یکسان است.
h - مقدار فاصله تغییر مشخصه در گروه ها.

برای مثال ما می توانیم سه را محاسبه کنیم معانی مودالبر اساس تعداد شرکت ها، حجم تولید و میزان هزینه ها. در هر سه مورد، فاصله مودال یکسان است، زیرا برای همان بازه تعداد شرکت ها، حجم تولید و مقدار کل هزینه های تولید بیشترین است:

بنابراین، اغلب شرکت هایی با سطح هزینه 126.75 هزار روبل وجود دارد، اغلب محصولات با سطح هزینه 126.69 هزار روبل تولید می شوند و اغلب هزینه های تولید با سطح هزینه 123.73 هزار روبل توضیح داده می شود.

5.4. شاخص های تنوع

شرایط خاصی که هر یک از اشیاء مورد مطالعه در آن قرار دارند و همچنین ویژگی های آنها توسعه خود(اجتماعی، اقتصادی و غیره) با سطوح عددی مربوطه بیان می شوند شاخص های آماری. بدین ترتیب، تغییر،آن ها اختلاف بین سطوح یک شاخص در اشیاء مختلف ماهیت عینی دارد و به درک ماهیت پدیده مورد مطالعه کمک می کند.

روش های مختلفی برای اندازه گیری تغییرات آماری استفاده می شود.

ساده ترین روش محاسبه شاخص است محدوده تنوع H به عنوان تفاوت بین حداکثر (X max) و حداقل (Xmin) مقادیر مشاهده شده مشخصه:

H=X حداکثر - X دقیقه.

با این حال، دامنه تغییرات فقط مقادیر شدید صفت را نشان می دهد. تکرارپذیری مقادیر میانی در اینجا در نظر گرفته نمی شود.

مشخصه های دقیق تر، شاخص های تغییرپذیری نسبت به سطح متوسط ویژگی هستند. ساده ترین شاخصاز چنین نوع - میانگین انحراف خطی L به عنوان میانگین حسابی انحراف مطلق یک مشخصه از سطح متوسط آن:

هنگامی که مقادیر X منفرد قابل تکرار هستند، از فرمول میانگین حسابی وزنی استفاده کنید:

(به یاد بیاورید که مجموع جبری انحرافات از سطح متوسط صفر است.)

میانگین انحراف خطی پیدا شد کاربرد گستردهدر تمرین به عنوان مثال، با کمک آن، ترکیب کارگران، ریتم تولید، یکنواختی عرضه مواد مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد و سیستم های مشوق های مادی توسعه می یابد. اما متأسفانه این شاخص محاسبات احتمالی را پیچیده می کند و به کارگیری روش ها را دشوار می کند آمار ریاضی. بنابراین، در آمار تحقیق علمیشاخصی که اغلب برای اندازه گیری تغییرات استفاده می شود واریانس ها

واریانس مشخصه (s 2) بر اساس میانگین توان درجه دوم تعیین می شود:

شاخص s برابر نامیده می شود انحراف معیار.

که در نظریه عمومیدر آمار، شاخص پراکندگی تخمینی از شاخص تئوری احتمال به همین نام و (به عنوان مجموع مجذور انحرافات) تخمینی از پراکندگی در آمار ریاضی است که امکان استفاده از مفاد این رشته های نظری را برای تجزیه و تحلیل فرآیندهای اجتماعی-اقتصادی

اگر تغییرات از تعداد کمی از مشاهدات گرفته شده از یک جمعیت نامحدود تخمین زده شود، آنگاه مقدار متوسط مشخصه با مقداری خطا تعیین می شود. مقدار محاسبه شده پراکندگی معلوم می شود که به سمت کاهش تغییر می کند. برای به دست آوردن یک تخمین بی طرفانه، واریانس نمونه به دست آمده با استفاده از فرمول های داده شده قبلی باید در مقدار n / (n - 1) ضرب شود. در نتیجه، با تعداد کمی از مشاهدات (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

معمولاً، در حال حاضر برای n> (15÷20)، اختلاف بین تخمین های مغرضانه و بی طرفانه ناچیز می شود. به همین دلیل، سوگیری معمولاً در فرمول اضافه کردن واریانس در نظر گرفته نمی شود.

اگر از جمعیتاگر چندین نمونه بسازید و هر بار میانگین مقدار مشخصه را تعیین کنید، مشکل ارزیابی متغیر بودن میانگین ها به وجود می آید. تخمین واریانس مقدار متوسطتنها بر اساس یک مشاهده نمونه با استفاده از فرمول امکان پذیر است

که در آن n حجم نمونه است. s 2 - واریانس مشخصه محاسبه شده از داده های نمونه.

اندازه نامیده میشود میانگین خطای نمونه گیریو مشخصه انحراف مقدار میانگین نمونه ویژگی X از مقدار میانگین واقعی آن است. شاخص خطای متوسط برای ارزیابی پایایی نتایج مشاهده نمونه استفاده می شود.

شاخص های پراکندگی نسبیبرای مشخص کردن اندازه‌گیری متغیر بودن مشخصه مورد مطالعه، شاخص‌های تغییرپذیری در مقادیر نسبی محاسبه می‌شوند. آنها امکان مقایسه ماهیت پراکندگی در توزیع های مختلف را فراهم می کنند (واحدهای مختلف مشاهده یک ویژگی در دو جمعیت، با معانی مختلفمیانگین ها، هنگام مقایسه جمعیت های مختلف). محاسبه شاخص های اندازه گیری پراکندگی نسبی به عنوان یک نسبت انجام می شود شاخص مطلقپراکندگی به میانگین حسابی، ضرب در 100٪.

1. ضریب نوسانمنعکس کننده نوسان نسبی مقادیر شدید مشخصه در اطراف میانگین است

2. خاموشی خطی نسبی نسبت میانگین مقدار علامت انحراف مطلق از مقدار متوسط را مشخص می کند.

3. ضریب تغییرات:

رایج ترین معیار تغییرپذیری است که برای ارزیابی معمولی بودن مقادیر میانگین استفاده می شود.

در آمار، جمعیت هایی با ضریب تغییرات بیشتر از 30-35٪ ناهمگن در نظر گرفته می شوند.

این روش ارزیابی تنوع نیز دارای یک اشکال قابل توجه است. در واقع، اجازه دهید، برای مثال، جمعیت اصلی کارگران با میانگین تجربه 15 سال، با انحراف معیار s = 10 سال، 15 سال دیگر "بزرگتر" شوند. اکنون = 30 سال و متوسط انحراف معیارهنوز هم برابر با 10 است. جمعیت ناهمگن قبلی (10/15 × 100 = 66.7٪، بنابراین در طول زمان کاملاً همگن است (10/30 × 100 = 33.3٪).

بویارسکی A.Ya. تحقیق نظریطبق آمار: شنبه علمی ترودوف - M.: آمار، 1974. صص 19-57.

قبلی

مقادیر متوسط به شاخص های آماری کلی اشاره دارد که ویژگی خلاصه (نهایی) پدیده های اجتماعی انبوه را ارائه می دهد، زیرا آنها بر اساس آن ساخته شده اند. مقدار زیادمقادیر فردی مشخصه های مختلف برای روشن شدن ماهیت مقدار متوسط، لازم است ویژگی های شکل گیری مقادیر نشانه های آن پدیده ها را در نظر بگیریم که با توجه به داده های آنها مقدار متوسط محاسبه می شود.

معلوم است که واحدهای هر یک پدیده توده ایویژگی های متعددی دارند هر کدام از این ویژگی ها را انتخاب کنیم، مقادیر آن برای واحدهای جداگانه متفاوت خواهد بود؛ آنها تغییر می کنند، یا همانطور که در آمار می گویند، از یک واحد به واحد دیگر متفاوت است. به عنوان مثال، حقوق یک کارمند بر اساس صلاحیت، ماهیت کار، مدت خدمت و تعدادی از عوامل دیگر تعیین می شود و بنابراین در محدوده های بسیار گسترده ای تغییر می کند. تأثیر ترکیبی همه عوامل میزان درآمد هر کارمند را تعیین می کند، با این حال می توان از میانگین حقوق ماهانه کارگران در بخش های مختلف اقتصاد صحبت کرد. در اینجا ما با یک مقدار مشخصه معمولی از یک مشخصه متفاوت کار می کنیم که به واحدی از یک جمعیت بزرگ اختصاص داده شده است.

مقدار متوسط نشان دهنده آن است عمومی،که برای همه واحدهای جمعیت مورد مطالعه معمول است. در عین حال، تأثیر همه عوامل مؤثر بر ارزش ویژگی واحدهای فردی جمعیت را متعادل می کند، گویی به طور متقابل آنها را خاموش می کند. سطح (یا اندازه) هر پدیده اجتماعی با عمل دو گروه از عوامل تعیین می شود. برخی از آنها کلی و اصلی هستند، دائماً عمل می کنند، با ماهیت پدیده یا فرآیند مورد مطالعه ارتباط نزدیک دارند و معمولبرای تمام واحدهای جمعیت مورد مطالعه که در مقدار متوسط منعکس می شود. دیگران هستند شخصی،اثر آنها کمتر مشخص است و اپیزودیک و تصادفی است. آنها در جهت مخالف عمل می کنند و باعث ایجاد تفاوت بین ویژگی های کمی واحدهای فردی می شوند و سعی می کنند ارزش ثابت ویژگی های مورد مطالعه را تغییر دهند. عمل ویژگیهای فردیبا نرخ متوسط بازپرداخت می شود. در تأثیر ترکیبی عوامل معمولی و فردی که در خصوصیات کلی متعادل و متقابلاً خنثی می شود، خود را در نمای کلیاساسی شناخته شده از آمار ریاضی قانون اعداد بزرگ

در مجموع، مقادیر فردی ویژگی ها در یک توده مشترک ادغام می شوند و، همانطور که بود، حل می شوند. از این رو مقدار متوسطبه عنوان "غیر شخصی" عمل می کند، که می تواند از ارزش های فردی ویژگی ها منحرف شود بدون اینکه از نظر کمی با هیچ یک از آنها مطابقت داشته باشد. مقدار متوسط منعکس کننده کلی، مشخصه و معمولی برای کل جمعیت به دلیل لغو متقابل تفاوت های تصادفی و غیر معمول در آن بین ویژگی های واحدهای فردی آن است، زیرا ارزش آن به گونه ای است که گویی با نتیجه مشترک همه علل تعیین می شود.

با این حال، برای اینکه میانگین مقدار معمولی ترین مقدار یک مشخصه را منعکس کند، نباید برای هیچ جمعیتی تعیین شود، بلکه فقط برای جمعیت هایی که از واحدهای کیفی همگن تشکیل شده اند، تعیین شود. این الزام شرط اصلی استفاده مبتنی بر علمی از میانگین ها است و دلالت بر ارتباط نزدیک بین روش میانگین ها و روش گروه بندی ها در تحلیل پدیده های اجتماعی-اقتصادی دارد. در نتیجه، مقدار متوسط یک شاخص کلی است که سطح معمولی یک مشخصه متغیر در واحد یک جمعیت همگن را در شرایط خاص مکان و زمان مشخص می‌کند.

بنابراین، در تعریف ماهیت مقادیر متوسط، لازم است تأکید شود که محاسبه صحیح هر مقدار میانگین مستلزم تحقق شرایط زیر است:

همگنی کیفی جمعیتی که مقدار متوسط از آن محاسبه می شود. این بدان معنی است که محاسبه مقادیر متوسط باید بر اساس روش گروه بندی باشد که شناسایی پدیده های همگن و مشابه را تضمین می کند.
به استثنای تأثیر علل و عوامل تصادفی و صرفاً فردی در محاسبه مقدار متوسط. این در شرایطی حاصل می شود که محاسبه میانگین بر اساس مواد به اندازه کافی عظیم باشد که در آن عمل قانون اعداد بزرگ آشکار می شود و همه تصادفی ها از بین می روند.
هنگام محاسبه مقدار متوسط، مهم است که هدف از محاسبه آن و به اصطلاح تعیین شود. شاخص تعریف(ملک) که باید به آن جهت باشد.

شاخص تعیین کننده می تواند به عنوان مجموع مقادیر مشخصه ای که میانگین می شود، مجموع آن عمل کند. ارزش های متقابل، حاصلضرب مقادیر آن و غیره. ارتباط بین شاخص تعیین کننده و مقدار متوسط به صورت زیر بیان می شود: اگر همه مقادیر مشخصه ای که به طور میانگین می شود با مقدار متوسط جایگزین شود، مجموع یا حاصل ضرب آنها در این مورد شاخص تعیین کننده را تغییر نخواهد داد. بر اساس این ارتباط بین شاخص تعیین کننده و مقدار متوسط، یک رابطه کمی اولیه برای محاسبه مستقیم مقدار متوسط ساخته شده است. توانایی مقادیر متوسط برای حفظ خواص جمعیت های آماری نامیده می شود تعریف مالکیت

مقدار متوسط محاسبه شده برای کل جمعیت نامیده می شود میانگین کلی؛مقادیر متوسط محاسبه شده برای هر گروه - میانگین های گروهیمیانگین کلی منعکس کننده است ویژگی های مشترکپدیده مورد مطالعه، میانگین گروهی مشخصه ای از پدیده را می دهد که تحت شرایط خاص یک گروه خاص توسعه می یابد.

روش های محاسبه ممکن است متفاوت باشد، بنابراین در آمار انواع مختلفی از میانگین ها وجود دارد که اصلی ترین آنها میانگین حسابی، میانگین هارمونیک و میانگین هندسی است.

در تحلیل اقتصادی، استفاده از میانگین ها ابزار اصلی ارزیابی نتایج است پیشرفت علمی و فناوری، رویدادهای اجتماعی، جستجوی ذخایر برای توسعه اقتصادی. در عین حال، باید به خاطر داشت که اتکای بیش از حد به شاخص های متوسط می تواند منجر به نتایج مغرضانه در هنگام انجام تحلیل های اقتصادی و آماری شود. این به دلیل این واقعیت است که مقادیر متوسط، به عنوان شاخص های کلی، آن تفاوت ها را در ویژگی های کمی واحدهای فردی جمعیت که در واقع وجود دارند و ممکن است مورد علاقه مستقل باشند، خاموش و نادیده می گیرند.

انواع میانگین ها

در آمار از انواع مختلفی از میانگین ها استفاده می شود که به دو دسته بزرگ تقسیم می شوند:

معنی توان (میانگین هارمونیک، میانگین هندسی، میانگین حسابی، میانگین درجه دوم، میانگین مکعب).
ابزارهای ساختاری (حالت، میانه).

برای محاسبه میانگین های تواناستفاده از تمام مقادیر مشخصه موجود ضروری است. روشو میانهفقط با ساختار توزیع تعیین می شوند، بنابراین آنها را میانگین های ساختاری و موقعیتی می نامند. میانه و حالت اغلب به عنوان یک مشخصه میانگین در جمعیت هایی استفاده می شود که محاسبه میانگین توان غیرممکن یا غیرعملی است.

رایج ترین نوع میانگین، میانگین حسابی است. زیر میانگین حسابیبه عنوان مقدار مشخصه ای درک می شود که هر واحد جمعیت می تواند داشته باشد اگر مجموع کل مقادیر مشخصه به طور مساوی بین همه واحدهای جمعیت توزیع شود. محاسبه این مقدار به جمع کردن تمام مقادیر مشخصه های مختلف و تقسیم مقدار حاصل بر جمعواحدهای جمعیت به عنوان مثال، پنج کارگر سفارش تولید قطعات را انجام دادند، در حالی که اولی 5 قطعه، دومی - 7، سومی - 4، چهارمی - 10، پنجمی - 12. از آنجایی که در داده های منبع ارزش هر یک گزینه فقط یک بار رخ داده است، برای تعیین میانگین خروجی یک کارگر باید از فرمول میانگین حسابی ساده استفاده کرد:

یعنی در مثال ما، میانگین خروجی یک کارگر برابر است با

در کنار میانگین حسابی ساده مطالعه می کنند میانگین موزون حسابیبرای مثال، بیایید میانگین سنی دانش‌آموزان را در یک گروه 20 نفره که سن آنها بین 18 تا 22 سال است، محاسبه کنیم. xi- انواع مشخصه به طور میانگین، فی- فرکانس، که نشان می دهد چند بار رخ می دهد i-thارزش در مجموع (جدول 5.1).

جدول 5.1

میانگین سنی دانش آموزان

با استفاده از فرمول میانگین حسابی وزنی، به دست می آوریم:

یک قانون مشخص برای انتخاب میانگین حسابی وزن دار وجود دارد: اگر یک سری داده در دو شاخص وجود داشته باشد که برای یکی از آنها باید محاسبه کنید.

مقدار متوسط، و در عین حال مقادیر عددی مخرج فرمول منطقی آن مشخص است، و مقادیر عددی مجهول است، اما می توان به عنوان حاصلضرب این شاخص ها یافت، سپس مقدار متوسط باید با استفاده از فرمول میانگین وزنی حسابی محاسبه شود.

در برخی موارد، ماهیت داده های آماری اولیه به گونه ای است که محاسبه میانگین حسابی معنای خود را از دست می دهد و تنها شاخص تعمیم دهنده می تواند نوع دیگری از میانگین باشد - میانگین هارمونیکدر حال حاضر، ویژگی های محاسباتی میانگین حسابی به دلیل معرفی گسترده فناوری محاسبات الکترونیکی، ارتباط خود را در محاسبه شاخص های آماری عمومی از دست داده اند. بزرگ اهمیت عملییک مقدار هارمونیک متوسط به دست آورد که می تواند ساده و وزنی نیز باشد. اگر مقادیر عددی صورت‌گر یک فرمول منطقی مشخص باشد و مقادیر مخرج ناشناخته باشد، اما می‌توان آن را به صورت تقسیم جزئی یک نشانگر بر شاخص دیگر یافت، مقدار متوسط با استفاده از هارمونیک محاسبه می‌شود. فرمول میانگین وزنی

به عنوان مثال، باید بدانید که خودرو 210 کیلومتر اول را با سرعت 70 کیلومتر بر ساعت و 150 کیلومتر باقی مانده را با سرعت 75 کیلومتر در ساعت طی کرد. تعیین میانگین سرعت یک خودرو در کل مسیر 360 کیلومتری با استفاده از فرمول میانگین حسابی غیرممکن است. از آنجایی که گزینه ها سرعت در بخش های جداگانه هستند xj= 70 کیلومتر در ساعت و X2= 75 کیلومتر در ساعت و وزن ها (fi) مقاطع متناظر مسیر در نظر گرفته می شوند، در این صورت محصول گزینه ها و وزن ها نه معنای فیزیکی و نه اقتصادی خواهند داشت. در این حالت، ضرایب از تقسیم بخش‌های مسیر به سرعت‌های مربوطه (گزینه‌های xi)، یعنی زمان صرف شده برای گذراندن بخش‌های مجزا از مسیر (fi) معنا پیدا می‌کنند. / xi). اگر بخش های مسیر با fi نشان داده شوند، کل مسیر به صورت Σfi و زمان صرف شده در کل مسیر به صورت Σ fi بیان می شود. / xi , سپس سرعت متوسط را می توان به عنوان ضریب کل مسیر تقسیم بر کل زمان صرف شده یافت:

در مثال ما دریافت می کنیم:

اگر هنگام استفاده از میانگین هارمونیک، وزن همه گزینه های (f) برابر است، به جای وزنه می توانید از آن استفاده کنید. میانگین هارمونیک ساده (بدون وزن):

که در آن xi گزینه های فردی هستند. n- تعداد انواع مشخصه متوسط. در مثال سرعت، اگر بخش های مسیری که با سرعت های مختلف طی می شوند برابر باشند، می توان میانگین هارمونیک ساده را اعمال کرد.

هر مقدار میانگین باید به گونه‌ای محاسبه شود که وقتی جایگزین هر نوع مشخصه میانگین می‌شود، مقدار برخی از شاخص‌های نهایی و کلی که با شاخص میانگین مرتبط است تغییر نکند. بنابراین، هنگام جایگزینی سرعت های واقعی در بخش های جداگانه مسیر با مقدار متوسط آنها (سرعت متوسط)، فاصله کل نباید تغییر کند.

شکل (فرمول) مقدار متوسط توسط ماهیت (مکانیسم) رابطه این شاخص نهایی با میانگین تعیین می شود، بنابراین شاخص نهایی که مقدار آن هنگام جایگزینی گزینه ها با مقدار متوسط آنها نباید تغییر کند، است. تماس گرفت شاخص تعریفبرای به دست آوردن فرمول میانگین، باید با استفاده از رابطه بین شاخص میانگین و تعیین کننده، معادله ای ایجاد و حل کنید. این معادله با جایگزینی متغیرهای مشخصه (شاخص) در حال میانگین با مقدار میانگین آنها ساخته شده است.

علاوه بر میانگین حسابی و میانگین هارمونیک، انواع دیگر (اشکال) میانگین در آمار استفاده می شود. همه آنها موارد خاص هستند میانگین تواناگر همه انواع میانگین توان را برای داده های یکسان محاسبه کنیم، آنگاه مقادیر

آنها یکسان خواهند بود، این قانون در اینجا اعمال می شود نرخ عمدهمیانگین. با افزایش توان میانگین، خود مقدار متوسط افزایش می یابد. پرکاربردترین فرمول های محاسباتی در تحقیقات عملی انواع مختلفمقادیر میانگین توان در جدول ارائه شده است. 5.2.

جدول 5.2

از میانگین هندسی زمانی استفاده می شود که وجود داشته باشد nضرایب رشد، در حالی که مقادیر فردی ویژگی، به طور معمول، ارزش های نسبیدینامیک ساخته شده در قالب مقادیر زنجیره ای، به عنوان نسبتی به سطح قبلی هر سطح در یک سری از دینامیک. بنابراین میانگین میانگین نرخ رشد را مشخص می کند. متوسط هندسی سادهبا فرمول محاسبه می شود

فرمول میانگین هندسی وزنیدارای فرم زیر است:

فرمول های فوق یکسان هستند، اما یکی در ضرایب فعلی یا نرخ رشد اعمال می شود، و دوم - در مقادیر مطلق سطوح سری.

مربع متوسطدر محاسبات با مقادیر توابع درجه دوم استفاده می شود، برای اندازه گیری درجه نوسان مقادیر فردی یک مشخصه حول میانگین حسابی در سری توزیع استفاده می شود و با فرمول محاسبه می شود.

میانگین وزنی مربعبا استفاده از فرمول دیگری محاسبه می شود:

مکعب متوسطهنگام محاسبه با مقادیر توابع مکعب استفاده می شود و با فرمول محاسبه می شود

میانگین وزن مکعب:

تمام مقادیر میانگین که در بالا بحث شد را می توان به عنوان یک فرمول کلی ارائه کرد:

مقدار متوسط کجاست - معنای فردی؛ n- تعداد واحدهای جمعیت مورد مطالعه؛ ک- توانی که نوع میانگین را تعیین می کند.

هنگام استفاده از داده های منبع یکسان، بیشتر ک V فرمول کلیمیانگین توان، مقدار متوسط بزرگتر است. از این نتیجه می شود که یک رابطه طبیعی بین مقادیر میانگین توان وجود دارد:

مقادیر متوسط توصیف شده در بالا یک ایده کلی از جامعه مورد مطالعه ارائه می دهد و از این منظر اهمیت نظری، کاربردی و آموزشی آنها غیرقابل انکار است. اما این اتفاق می افتد که مقدار متوسط با هیچ یک از واقعیات مطابقت ندارد گزینه های موجودبنابراین، علاوه بر میانگین های در نظر گرفته شده، در تجزیه و تحلیل آماری، توصیه می شود از مقادیر گزینه های خاصی استفاده شود که موقعیت کاملاً مشخصی را در سری مرتب شده (رتبه بندی شده) مقادیر ویژگی ها اشغال می کنند. در میان این مقادیر، پرمصرف ترین آنها هستند ساختاری،یا توصیفی، متوسط- حالت (Mo) و میانه (Me).

روش- ارزش یک ویژگی که اغلب در یک جمعیت مشخص یافت می شود. در رابطه با یک سری متغیر، حالت متداول ترین مقدار سری رتبه بندی شده است، یعنی گزینه ای با بالاترین فرکانس. مد را می توان در تعیین فروشگاه هایی که بیشتر بازدید می کنند، رایج ترین قیمت برای هر محصول استفاده کرد. اندازه یک ویژگی مشخصه بخش قابل توجهی از جمعیت را نشان می دهد و با فرمول تعیین می شود

که در آن x0 حد پایین بازه است. ساعت- اندازه فاصله؛ fm- فرکانس فاصله؛ fm_ 1 - فرکانس فاصله قبلی؛ fm+ 1 - فرکانس بازه بعدی.

میانهگزینه ای که در مرکز ردیف رتبه بندی شده قرار دارد فراخوانی می شود. میانه سریال را به دو قسمت مساوی تقسیم می کند به گونه ای که تعداد واحدهای جمعیتی در دو طرف آن یکسان باشد. در این حالت، نیمی از واحدهای جمعیت دارای مقدار مشخصه متغیر کمتر از میانه و نیمی دیگر دارای مقداری بیشتر از آن است. میانه برای مطالعه عنصری استفاده می شود که مقدار آن بزرگتر یا مساوی یا در عین حال کمتر یا مساوی نیمی از عناصر یک سری توزیع است. میانه یک ایده کلی از جایی که مقادیر مشخصه متمرکز شده اند، به عبارت دیگر، جایی که مرکز آنها قرار دارد، ارائه می دهد.

ماهیت توصیفی میانه در این واقعیت آشکار می شود که حد کمی مقادیر یک مشخصه متفاوت را مشخص می کند که نیمی از واحدهای جمعیت دارای آن هستند. مشکل یافتن میانه برای یک سری تغییرات گسسته به راحتی حل می شود. اگر تمام واحدهای سری داده شود شماره سریال، سپس عدد ترتیبی گزینه میانه به صورت (n +1) / 2 با تعداد فرد عبارت n تعریف می شود. اگر تعداد اعضای سری یک عدد زوج باشد، میانه مقدار میانگین دو خواهد بود. گزینه هایی که دارای اعداد ترتیبی هستند n/ 2 و n / 2 + 1.

هنگام تعیین میانه در سری تغییرات بازه ای، ابتدا بازه ای را که در آن قرار دارد (فاصله میانه) تعیین کنید. این فاصله با این واقعیت مشخص می شود که مجموع فرکانس های انباشته آن برابر یا بیشتر از نصف مجموع همه فرکانس های سری است. میانه یک سری تغییرات بازه ای با استفاده از فرمول محاسبه می شود

جایی که X0- حد پایین فاصله؛ ساعت- اندازه فاصله؛ fm- فرکانس فاصله؛ f- تعداد اعضای مجموعه؛

∫m-1 مجموع عبارت های انباشته شده از سری قبل از یک داده شده است.

همراه با میانه برای بیشتر مشخصات کاملساختارهای جمعیت مورد مطالعه نیز از مقادیر دیگری از گزینه ها استفاده می کنند که موقعیت بسیار خاصی را در سری رتبه بندی شده اشغال می کنند. این شامل یک چهارمو دهک هاربع ها سری ها را با توجه به مجموع فرکانس ها به 4 قسمت مساوی و دهک ها به 10 قسمت مساوی تقسیم می کنند. سه چارک و نه دهک وجود دارد.

میانه و حالت، بر خلاف میانگین حسابی، تفاوت های فردی در مقادیر یک مشخصه متفاوت را خنثی نمی کنند و بنابراین اضافی و بسیار زیاد هستند. ویژگی های مهمجامعه آماری در عمل اغلب به جای میانگین یا همراه با آن استفاده می شوند. به ویژه توصیه می شود که میانه و حالت را در مواردی که جمعیت مورد مطالعه دارای تعداد معینی از واحدها با مقدار بسیار زیاد یا بسیار کوچک از مشخصه های متغیر است، محاسبه شود. این مقادیر گزینه‌ها که چندان مشخصه جامعه نیستند، در عین حال که بر مقدار میانگین حسابی تأثیر می‌گذارند، تأثیری بر مقادیر میانه و مد نمی‌گذارند که این مورد اخیر را به شاخص‌های بسیار ارزشمندی برای اقتصاد و آمار تبدیل می‌کند. تحلیل و بررسی.

شاخص های تنوع

هدف از تحقیق آماری شناسایی ویژگی ها و الگوهای اساسی جامعه آماری مورد مطالعه است. در فرآیند پردازش خلاصه داده های مشاهده آماری، آنها را می سازند سری توزیعدو نوع سری توزیع وجود دارد - اسنادی و متغیر، بسته به این که مشخصه ای که به عنوان مبنای گروه بندی گرفته می شود کیفی یا کمی باشد.

متغیرسری های توزیع ساخته شده بر اساس کمی نامیده می شوند. مقادیر ویژگی های کمی در واحدهای فردی جمعیت ثابت نیست، آنها کم و بیش با یکدیگر متفاوت هستند. این تفاوت در مقدار یک مشخصه نامیده می شود تغییرات.مقادیر عددی منفرد یک مشخصه یافت شده در جمعیت مورد مطالعه نامیده می شود انواع ارزش هاوجود تنوع در واحدهای فردی جمعیت به دلیل تأثیر تعداد زیادی از عوامل در شکل گیری سطح صفت است. بررسی ماهیت و درجه تنوع ویژگی ها در واحدهای فردی جامعه مهم ترین موضوع هر تحقیق آماری است. شاخص های تنوع برای توصیف اندازه گیری تنوع صفت استفاده می شود.

یکی دیگر وظیفه مهمتحقیق آماری به منظور تعیین نقش عوامل فردی یا گروه‌های آنها در تغییر ویژگی‌های معین جامعه است. برای حل این مشکل، آمار از روش‌های خاصی برای مطالعه تغییرات استفاده می‌کند که بر اساس استفاده از سیستمی از شاخص‌ها است که تغییرات با آن اندازه‌گیری می‌شود. در عمل، یک محقق با تعداد نسبتاً زیادی از انواع مقادیر مشخصه روبرو می شود که تصوری از توزیع واحدها بر اساس ارزش ویژگی در مجموع نمی دهد. برای انجام این کار، تمام انواع مقادیر مشخصه را به ترتیب صعودی یا نزولی مرتب کنید. این فرآیند نامیده می شود رتبه بندی سریالسری رتبه‌بندی‌شده بلافاصله یک ایده کلی از مقادیری که ویژگی در مجموع می‌گیرد به دست می‌دهد.

ناکافی بودن مقدار متوسط برای توصیف جامع جمعیت ما را مجبور می کند که مقادیر متوسط را با شاخص هایی تکمیل کنیم که به ما امکان می دهد با اندازه گیری تغییرپذیری (تغییر) مشخصه مورد مطالعه، معمولی بودن این میانگین ها را ارزیابی کنیم. استفاده از این شاخص‌های تنوع، تحلیل آماری را کامل‌تر و معنادارتر کرده و در نتیجه درک عمیق‌تری از ماهیت پدیده‌های اجتماعی مورد مطالعه به دست آورد.

ساده ترین نشانه های تنوع هستند کمترینو بیشترین -این کوچکترین و بالاترین ارزشعلائم در مجموع تعداد تکرار انواع مختلف مقادیر مشخصه نامیده می شود فرکانس تکراراجازه دهید تعداد دفعات تکرار مقدار مشخصه را مشخص کنیم فی،مجموع فرکانس ها برابر با حجم جمعیت مورد مطالعه خواهد بود:

جایی که ک- تعداد گزینه ها برای مقادیر ویژگی. جایگزینی فرکانس با فرکانس راحت است - wi. فرکانس- نشانگر فرکانس نسبی - می تواند در کسری از واحد یا درصد بیان شود و به شما امکان می دهد سری تغییرات را با عدد متفاوتمشاهدات به طور رسمی ما داریم:

برای اندازه گیری تنوع یک مشخصه، از شاخص های مطلق و نسبی مختلفی استفاده می شود. شاخص های مطلق تغییرات شامل میانگین انحراف خطی، دامنه تغییرات، پراکندگی و انحراف معیار است.

محدوده تنوع(R) نشان دهنده تفاوت بین مقادیر حداکثر و حداقل ویژگی در جمعیت مورد مطالعه است: آر= Xmax - Xmin. این شاخص فقط کلی ترین ایده را در مورد تغییرپذیری مشخصه مورد مطالعه ارائه می دهد ، زیرا تفاوت بین حداکثر مقادیر گزینه ها را نشان می دهد. کاملاً به فرکانس های موجود در آن بی ربط است سری تغییرات، به عنوان مثال، با ماهیت توزیع و وابستگی آن می تواند یک شخصیت ناپایدار و تصادفی را فقط در مقادیر شدید ویژگی به آن بدهد. دامنه تغییرات هیچ اطلاعاتی در مورد ویژگی‌های جمعیت‌های مورد مطالعه ارائه نمی‌کند و به ما اجازه نمی‌دهد تا درجه معمولی مقادیر میانگین به‌دست‌آمده را ارزیابی کنیم. دامنه کاربرد این شاخص محدود به جمعیت های نسبتاً همگن است، به طور دقیق تر، تنوع یک مشخصه را مشخص می کند، شاخصی بر اساس در نظر گرفتن تغییرپذیری همه مقادیر مشخصه.

برای توصیف تنوع یک مشخصه، لازم است انحرافات همه مقادیر از هر مقدار معمولی برای جمعیت مورد مطالعه تعمیم داده شود. چنین شاخص هایی

تغییرات، مانند میانگین انحراف خطی، پراکندگی و انحراف استاندارد، بر اساس در نظر گرفتن انحراف مقادیر مشخصه واحدهای فردی جمعیت از میانگین حسابی است.

میانگین انحراف خطینشان دهنده میانگین حسابی مقادیر مطلق انحراف گزینه های فردی از میانگین حسابی آنها است:

مقدار مطلق (مدول) انحراف متغیر از میانگین حسابی. f-فرکانس.

فرمول اول در صورتی اعمال می شود که هر یک از گزینه ها در مجموع فقط یک بار رخ دهد و دومی - به صورت سری با فرکانس های نابرابر.

روش دیگری برای میانگین گیری انحراف گزینه ها از میانگین حسابی وجود دارد. این روش بسیار رایج در آمار به محاسبه مجذور انحراف گزینه ها از مقدار متوسط با میانگین گیری بعدی آنها خلاصه می شود. در این مورد، ما یک شاخص جدید از تنوع - پراکندگی به دست می آوریم.

پراکندگی(σ 2) - میانگین مجذور انحراف گزینه های مقدار ویژگی از مقدار میانگین آنها:

فرمول دوم در صورتی اعمال می شود که گزینه ها وزن خود را داشته باشند (یا فرکانس های سری تغییرات).

در تحلیل های اقتصادی و آماری، مرسوم است که تغییرات یک مشخصه را اغلب با استفاده از انحراف معیار ارزیابی می کنند. انحراف معیار(σ) جذر واریانس است:

میانگین انحرافات خطی و استاندارد نشان می دهد که مقدار یک مشخصه به طور متوسط در بین واحدهای جمعیت مورد مطالعه چقدر نوسان دارد و در واحدهای اندازه گیری مشابه گزینه ها بیان می شود.

در عمل آماری اغلب نیاز به مقایسه تغییرات وجود دارد نشانه های مختلف. به عنوان مثال، مقایسه تغییرات در سن پرسنل و صلاحیت آنها، طول خدمت و دستمزد و غیره بسیار جالب است. برای چنین مقایسه‌هایی، شاخص‌های تغییرپذیری مطلق ویژگی‌ها - میانگین خطی و انحراف استاندارد - مناسب نیستند. در واقع، مقایسه نوسان طول خدمت، بیان شده در سال، با نوسان دستمزدها، بیان شده در روبل و کوپک غیرممکن است.

هنگام مقایسه تنوع ویژگی های مختلف با هم، استفاده از معیارهای نسبی تنوع راحت است. این شاخص ها به عنوان نسبت شاخص های مطلق به میانگین حسابی (یا میانه) محاسبه می شوند. با استفاده از دامنه تغییرات، میانگین انحراف خطی و انحراف استاندارد به عنوان یک شاخص مطلق تغییرات، شاخص های نسبی تنوع به دست می آیند:

متداول‌ترین شاخص تغییرپذیری نسبی است که همگنی جمعیت را مشخص می‌کند. اگر ضریب تغییرات برای توزیع های نزدیک به نرمال از 33 درصد تجاوز نکند، جمعیت همگن در نظر گرفته می شود.

مقالات مشابه