Comment résoudre des fractions avec un nombre inconnu. ODZ. Plage valide

Objectifs de la leçon:

Didacticiel:

  • formation du concept d'équations rationnelles fractionnaires;
  • considérer diverses manières de résoudre des équations rationnelles fractionnaires;
  • considérons un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires, incluant la condition que la fraction soit égale à zéro ;
  • enseigner la résolution d'équations rationnelles fractionnaires selon l'algorithme ;
  • vérifier le niveau d'assimilation du sujet en effectuant des travaux de test.

Développement:

  • développement de la capacité à fonctionner correctement avec les connaissances acquises, à penser logiquement;
  • développement des capacités intellectuelles et opérations mentales- analyse, synthèse, comparaison et généralisation ;
  • le développement de l'initiative, la capacité à prendre des décisions, à ne pas s'arrêter là ;
  • développement Esprit critique;
  • développement des compétences en recherche.

Nourrir :

  • éducation intérêt cognitif au sujet;
  • éducation à l'autonomie dans la résolution de problèmes éducatifs;
  • l'éducation de la volonté et de la persévérance pour atteindre les résultats finaux.

Type de leçon: leçon - explication du nouveau matériel.

Pendant les cours

1. Moment organisationnel.

Bonjour gars! Les équations sont écrites au tableau, regardez-les attentivement. Saurez-vous résoudre toutes ces équations ? Lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?

Les équations dans lesquelles les côtés gauche et droit sont des expressions rationnelles fractionnaires sont appelées équations rationnelles fractionnaires. Que pensez-vous que nous allons étudier aujourd'hui dans la leçon ? Formulez le sujet de la leçon. Donc, nous ouvrons des cahiers et écrivons le sujet de la leçon « Solution d'équations rationnelles fractionnaires ».

2. Actualisation des connaissances. Enquête frontale, travail oral avec la classe.

Et maintenant, nous allons répéter le principal matériel théorique que nous devons étudier nouveau sujet. Merci de répondre aux questions suivantes:

  1. Qu'est-ce qu'une équation ? ( Égalité avec une variable ou des variables.)
  2. Comment s'appelle l'équation #1 ? ( Linéaire.) Méthode de résolution d'équations linéaires. ( Tous avec emménagement inconnu côté gaucheéquations, tous les nombres - vers la droite. Apportez des termes similaires. Trouver le multiplicateur inconnu).
  3. Comment s'appelle l'équation 3 ? ( Carré.) Méthodes de résolution d'équations quadratiques. ( Sélection du carré plein, par des formules, en utilisant le théorème de Vieta et ses conséquences.)
  4. Qu'est-ce qu'une proportion ? ( Égalité de deux relations.) La principale propriété de proportion. ( Si la proportion est vraie, alors le produit de ses termes extrêmes est égal au produit des termes moyens.)
  5. Quelles propriétés sont utilisées pour résoudre des équations ? ( 1. Si dans l'équation nous transférons le terme d'une partie à une autre, en changeant son signe, nous obtenons une équation équivalente à celle donnée. 2. Si les deux parties de l'équation sont multipliées ou divisées par le même nombre non nul, alors une équation sera obtenue qui est équivalente à la donnée.)
  6. Quand une fraction est-elle égale à zéro ? ( Une fraction est nulle lorsque le numérateur est nul et le dénominateur non nul.)

3. Explication du nouveau matériel.

Résolvez l'équation n° 2 dans des cahiers et au tableau.

Réponse: 10.

Quel fractionnaire équation rationnelle pouvez-vous essayer de résoudre en utilisant la propriété de proportion de base ? (N ° 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Résolvez l'équation n° 4 dans des cahiers et au tableau.

Réponse: 1,5.

Quelle équation rationnelle fractionnaire pouvez-vous essayer de résoudre en multipliant les deux membres de l'équation par le dénominateur ? (Numéro 6).

x2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Réponse: 3;4.

Essayez maintenant de résoudre l'équation #7 de l'une des manières.

(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)

(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0

x2 -2x-5=x+5

x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0

x2 -2x-5-x-5=0

x(x-5)(x 2 -3x-10)=0

x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49

x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2

x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2

Réponse: 0;5;-2.

Réponse: 5;-2.

Explique pourquoi c'est arrivé ? Pourquoi y a-t-il trois racines dans un cas et deux dans l'autre ? Quels nombres sont les racines de cette équation rationnelle fractionnaire ?

Jusqu'à présent, les étudiants n'ont pas rencontré le concept de racine étrangère, il leur est vraiment très difficile de comprendre pourquoi cela s'est produit. Si personne dans la classe ne peut donner une explication claire de cette situation, alors l'enseignant pose des questions suggestives.

  • En quoi les équations n° 2 et 4 diffèrent-elles des équations n° 5, 6, 7 ? ( Dans les équations n ° 2 et 4 au dénominateur du nombre, n ° 5-7 - expressions avec une variable.)
  • Quelle est la racine de l'équation ? ( La valeur de la variable à laquelle l'équation devient une vraie égalité.)
  • Comment savoir si un nombre est la racine d'une équation ? ( Faire un chèque.)

Lors d'un test, certains élèves remarquent qu'ils doivent diviser par zéro. Ils concluent que les nombres 0 et 5 ne sont pas les racines de cette équation. La question se pose : existe-t-il un moyen de résoudre des équations rationnelles fractionnaires qui nous permette d'éliminer erreur donnée? Oui, cette méthode est basée sur la condition que la fraction soit égale à zéro.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Si x=5, alors x(x-5)=0, donc 5 est une racine étrangère.

Si x=-2, alors x(x-5)≠0.

Réponse: -2.

Essayons de formuler un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires de cette manière. Les enfants eux-mêmes formulent l'algorithme.

Algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires :

  1. Déplacez tout vers la gauche.
  2. Amener les fractions à un dénominateur commun.
  3. Composez un système : une fraction est nulle lorsque le numérateur est égal à zéro et que le dénominateur n'est pas égal à zéro.
  4. Résous l'équation.
  5. Vérifiez l'inégalité pour exclure les racines superflues.
  6. Écrivez la réponse.

Discussion : comment formaliser la solution si la propriété de base de la proportion est utilisée et la multiplication des deux côtés de l'équation par un dénominateur commun. (Compléter la solution : exclure de ses racines celles qui ramènent le dénominateur commun à zéro).

4. Compréhension primaire du nouveau matériel.

Travailler en équipe de deux. Les élèves choisissent eux-mêmes comment résoudre l'équation, selon le type d'équation. Tâches du manuel "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007 : n° 600 (b, c, i) ; N° 601(a, e, g). L'enseignant contrôle l'exécution de la tâche, répond aux questions qui se posent et aide les élèves peu performants. Autotest : Les réponses sont écrites au tableau.

b) 2 est une racine étrangère. Réponse : 3.

c) 2 est une racine étrangère. Réponse : 1.5.

a) Réponse : -12,5.

g) Réponse : 1 ; 1.5.

5. Énoncé des devoirs.

  1. Lisez le point 25 du manuel, analysez les exemples 1-3.
  2. Apprenez l'algorithme de résolution des équations rationnelles fractionnaires.
  3. Résolvez dans les cahiers n ° 600 (a, d, e); N° 601 (g, h).
  4. Essayez de résoudre #696(a) (optionnel).

6. Réalisation de la tâche de contrôle sur le sujet étudié.

Le travail se fait sur des feuilles.

Exemple de travail :

A) Parmi les équations, lesquelles sont rationnelles fractionnaires ?

B) Une fraction est nulle lorsque le numérateur est ______________________ et le dénominateur est ______________________.

Q) Le nombre -3 est-il la racine de l'équation #6 ?

D) Résolvez l'équation n° 7.

Critères d'évaluation des tâches :

  • « 5 » est donné si l'élève a terminé correctement plus de 90 % de la tâche.
  • "4" - 75% -89%
  • "3" - 50% -74%
  • « 2 » est attribué à un étudiant qui a terminé moins de 50 % de la tâche.
  • La 2e année n'est pas inscrite dans le journal, la 3e est facultative.

7. Réflexion.

Sur les dépliants avec travail indépendant, mettez:

  • 1 - si la leçon était intéressante et compréhensible pour vous ;
  • 2 - intéressant, mais pas clair ;
  • 3 - pas intéressant, mais compréhensible ;
  • 4 - pas intéressant, pas clair.

8. Résumer la leçon.

Donc, aujourd'hui, dans la leçon, nous nous sommes familiarisés avec les équations rationnelles fractionnaires, avons appris à résoudre ces équations différentes façons, ont testé leurs connaissances à l'aide de formations travail indépendant. Vous apprendrez les résultats d'un travail indépendant dans la prochaine leçon, à la maison, vous aurez l'occasion de consolider les connaissances acquises.

Quelle méthode de résolution d'équations rationnelles fractionnaires est, selon vous, la plus simple, la plus accessible, la plus rationnelle ? Quelle que soit la méthode de résolution des équations rationnelles fractionnaires, que ne faut-il pas oublier ? Quelle est la "ruse" des équations rationnelles fractionnaires ?

Merci à tous, la leçon est terminée.

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Les équations avec des fractions elles-mêmes ne sont pas difficiles et très intéressantes. Considérez les types d'équations fractionnaires et les façons de les résoudre.

Comment résoudre des équations avec des fractions - x au numérateur

Si une équation fractionnaire est donnée, où l'inconnu est au numérateur, la solution ne nécessite pas de conditions supplémentaires et est résolue sans tracas inutiles. Forme générale une telle équation - x/a + b = c, où x est l'inconnue, a, b et c - nombres réguliers.

Trouver x : x/5 + 10 = 70.

Pour résoudre l'équation, vous devez vous débarrasser des fractions. Multipliez chaque terme de l'équation par 5 : 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x et 5 est réduit, 10 et 70 sont multipliés par 5 et on obtient : x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.

Trouvez x : x/5 + x/10 = 90.

Cet exemple est une version un peu plus compliquée du premier. Il y a deux solutions ici.

  • Option 1 : Débarrassez-vous des fractions en multipliant tous les termes de l'équation par un plus grand dénominateur, c'est-à-dire par 10 : 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
  • Option 2 : Ajoutez le côté gauche de l'équation. x/5 + x/10 = 90. Le dénominateur commun est 10. Divisez 10 par 5, multipliez par x, nous obtenons 2x. 10 divisé par 10, multiplié par x, on obtient x : 2x+x/10 = 90. Donc 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.


Il existe souvent des équations fractionnaires dans lesquelles les x sont sur les côtés opposés du signe égal. Dans une telle situation, il est nécessaire de transférer toutes les fractions avec x dans un sens et les nombres dans un autre.

  • Trouver x : 3x/5 = 130 - 2x/5.
  • Déplacer 2x/5 vers la droite avec le signe opposé : 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
  • Nous réduisons 5x/5 et obtenons : x = 130.


Comment résoudre une équation avec des fractions - x au dénominateur

Ce type d'équations fractionnaires nécessite l'écriture de conditions supplémentaires. Ces conditions sont obligatoires et partie intégrante bonne décision. En ne les attribuant pas, vous courez le risque, car la réponse (même si elle est correcte) peut tout simplement ne pas être comptée.

La forme générale des équations fractionnaires, où x est au dénominateur, est : a/x + b = c, où x est une inconnue, a, b, c sont des nombres ordinaires. Notez que x ne peut pas être n'importe quel nombre. Par exemple, x ne peut pas être égal à zéro, car vous ne pouvez pas diviser par 0. C'est précisément la condition supplémentaire que nous devons préciser. C'est ce qu'on appelle la plage de valeurs acceptables, abrégée - ODZ.

Trouver x : 15/x + 18 = 21.

On écrit immédiatement l'ODZ pour x : x ≠ 0. Maintenant que l'ODZ est indiquée, on résout l'équation en utilisant schéma standard se débarrasser des fractions. Nous multiplions tous les termes de l'équation par x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.


Il y a souvent des équations où le dénominateur contient non seulement x, mais aussi une autre opération avec lui, comme l'addition ou la soustraction.

Trouver x : 15/(x-3) + 18 = 21.

Nous savons déjà que le dénominateur ne peut pas être nul, ce qui signifie x-3 ≠ 0. Nous transférons -3 à côté droit, en changeant le signe « - » en « + » et on obtient que x ≠ 3. L'ODZ est indiqué.

Résolvez l'équation, multipliez tout par x-3 : 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.

Déplacez les x vers la droite, les nombres vers la gauche : 24 = 3x => x = 8.


Application

La résolution de tout type d'équations en ligne sur le site pour consolider le matériel étudié par les étudiants et les écoliers.Résolution d'équations en ligne. Équations en ligne. Il existe des types d'équations algébriques, paramétriques, transcendantales, fonctionnelles, différentielles et autres. Certaines classes d'équations ont des solutions analytiques qui sont pratiques en ce qu'elles donnent non seulement valeur exacte root, et vous permettent d'écrire la solution sous la forme d'une formule, qui peut inclure des paramètres. Les expressions analytiques permettent non seulement de calculer les racines, mais d'analyser leur existence et leur nombre en fonction des valeurs des paramètres, ce qui est souvent encore plus important pour application pratique que des valeurs racines spécifiques. Solution d'équations en ligne Equations en ligne. La solution de l'équation consiste à trouver de telles valeurs des arguments pour lesquels cette égalité est atteinte. Les valeurs possibles des arguments peuvent être superposées termes supplémentaires(entier, réel, etc.). Solution d'équations en ligne Equations en ligne. Vous pouvez résoudre l'équation en ligne instantanément et avec haute précision résultat. Les arguments des fonctions données (parfois appelées "variables") dans le cas d'une équation sont appelés "inconnues". Les valeurs des inconnues pour lesquelles cette égalité est atteinte sont appelées solutions ou racines de l'équation donnée. On dit que les racines satisfont une équation donnée. Résoudre une équation en ligne signifie trouver l'ensemble de toutes ses solutions (racines) ou prouver qu'il n'y a pas de racines. Solution d'équations en ligne Equations en ligne. Équivalent ou équivalent sont appelés équations, dont les ensembles de racines coïncident. Les équations équivalentes sont également considérées comme n'ayant pas de racine. L'équivalence des équations a la propriété de symétrie : si une équation est équivalente à une autre, alors la seconde équation est équivalente à la première. L'équivalence des équations a la propriété de transitivité : si une équation est équivalente à une autre, et la seconde est équivalente à la troisième, alors la première équation est équivalente à la troisième. La propriété d'équivalence des équations permet d'effectuer avec elles des transformations sur lesquelles reposent les méthodes pour les résoudre. Solution d'équations en ligne Equations en ligne. Le site vous permettra de résoudre l'équation en ligne. Les équations pour lesquelles des solutions analytiques sont connues comprennent des équations algébriques, pas plus élevées que le quatrième degré : une équation linéaire, équation quadratique, équation cubique et équation du quatrième degré. Équations algébriques diplômes supérieurs en cas général ils n'ont pas de solution analytique, bien que certains d'entre eux puissent être réduits à des équations de degrés inférieurs. Les équations qui incluent des fonctions transcendantes sont appelées transcendantes. Parmi elles, des solutions analytiques sont connues pour certains équations trigonométriques, puisque les zéros fonctions trigonométriques bien connu. Dans le cas général, lorsqu'une solution analytique ne peut être trouvée, des méthodes numériques sont utilisées. Méthodes numériques ne donnent pas de solution exacte, mais permettent seulement de réduire l'intervalle dans lequel se trouve la racine à une certaine valeur prédéterminée. Résoudre des équations en ligne.. Équations en ligne.. Au lieu d'une équation en ligne, nous présenterons comment la même expression se forme dépendance linéaire et non seulement le long d'une droite tangente, mais aussi au point d'inflexion même du graphe. Cette méthode est indispensable à tout moment dans l'étude du sujet. Il arrive souvent que la solution des équations s'approche de la valeur finale au moyen de nombres infinis et de vecteurs d'écriture. Il est nécessaire de vérifier les données initiales et c'est l'essence de la tâche. Sinon, la condition locale est convertie en formule. Inversion de ligne droite de fonction donnée, que le calculateur d'équation calculera sans grand retard d'exécution, le privilège de l'espace servira de filet. Il s'agira de la performance des élèves dans un environnement scientifique. Cependant, comme tout ce qui précède, cela nous aidera dans le processus de recherche, et lorsque vous résolvez complètement l'équation, enregistrez la réponse obtenue aux extrémités du segment de ligne droite. Les lignes dans l'espace se coupent en un point, et ce point est appelé coupé par des lignes. L'intervalle sur la ligne est marqué comme indiqué précédemment. Le poste le plus élevé sur l'étude des mathématiques sera publié. Attribuer une valeur d'argument à partir d'une surface définie paramétriquement et résoudre une équation en ligne pourra indiquer les principes d'un appel productif à une fonction. La bande de Möbius, ou comme on l'appelle l'infini, ressemble à un huit. Il s'agit d'une surface unilatérale et non bilatérale. Selon le principe bien connu de tous, nous accepterons objectivement équations linéaires pour la désignation de base telle quelle et dans le domaine d'études. Seules deux valeurs d'arguments donnés successivement sont capables de révéler la direction du vecteur. Supposer qu'une solution différente des équations en ligne est bien plus qu'une simple résolution signifie obtenir une version complète de l'invariant à la sortie. Sans une approche intégrée, il est difficile pour les élèves d'apprendre ce materiel. Comme auparavant, pour chaque cas particulier, notre calculateur d'équation en ligne pratique et intelligent aidera tout le monde dans un moment difficile, car il vous suffit de spécifier les paramètres d'entrée et le système calculera la réponse lui-même. Avant de commencer à saisir des données, nous avons besoin d'un outil de saisie, ce qui peut être fait sans trop de difficulté. Le nombre de chaque score de réponse sera une équation quadratique menant à nos conclusions, mais ce n'est pas si facile à faire, car il est facile de prouver le contraire. La théorie, en raison de ses caractéristiques, n'est pas prise en charge connaissance pratique. Voir une calculatrice de fraction au stade de la publication d'une réponse n'est pas une tâche facile en mathématiques, car l'alternative d'écrire un nombre sur un ensemble augmente la croissance de la fonction. Cependant, il serait incorrect de ne pas parler de la formation des étudiants, nous allons donc exprimer chacun autant qu'il est nécessaire de le faire. L'équation cubique précédemment trouvée appartiendra de plein droit au domaine de la définition, et contiendra l'espace des valeurs numériques, ainsi que des variables symboliques. Ayant appris ou mémorisé le théorème, nos étudiants ne feront leurs preuves qu'avec meilleur côté et nous serons heureux pour eux. Contrairement à l'ensemble des intersections de champs, nos équations en ligne sont décrites par un plan de mouvement le long de la multiplication de deux et trois lignes numériques combinées. Un ensemble en mathématiques n'est pas défini de manière unique. La meilleure solution, selon les élèves, est l'expression écrite complétée jusqu'au bout. Comme on l'a dit dans le langage scientifique, l'abstraction des expressions symboliques n'est pas incluse dans l'état des choses, mais la solution des équations donne un résultat sans ambiguïté dans tous les cas. cas connus. La durée de la session du professeur est basée sur les besoins de cette offre. L'analyse a montré la nécessité de toutes les techniques de calcul dans de nombreux domaines, et il est absolument clair que le calculateur d'équations est un outil indispensable entre les mains douées d'un étudiant. Une approche loyale de l'étude des mathématiques détermine l'importance des points de vue de différentes directions. Vous souhaitez désigner l'un des théorèmes clés et résoudre l'équation de cette manière, en fonction de la réponse dont il sera encore nécessaire de l'appliquer. L'analyse dans ce domaine prend de l'ampleur. Commençons par le début et dérivons la formule. Après avoir franchi le niveau d'augmentation de la fonction, la ligne tangente au point d'inflexion conduira nécessairement au fait que la résolution de l'équation en ligne sera l'un des principaux aspects de la construction du même graphique à partir de l'argument de la fonction. L'approche amateur a le droit d'être appliquée si cette condition ne contredit pas les conclusions des élèves. C'est la sous-tâche qui place l'analyse des conditions mathématiques en tant qu'équations linéaires dans le domaine existant de la définition d'objet qui est mise en arrière-plan. Le décalage dans le sens de l'orthogonalité annule l'avantage d'une seule valeur absolue. Modulo, la résolution d'équations en ligne donne le même nombre de solutions, si vous ouvrez d'abord les parenthèses avec un signe plus, puis avec un signe moins. Dans ce cas, il y a deux fois plus de solutions et le résultat sera plus précis. stable et bonne calculatriceéquations en ligne est le succès dans la réalisation de l'objectif visé dans la tâche définie par l'enseignant. Il semble possible de choisir la méthode nécessaire en raison des différences importantes dans les points de vue des grands scientifiques. L'équation quadratique résultante décrit la courbe des lignes, la soi-disant parabole, et le signe déterminera sa convexité dans le système de coordonnées carrées. De l'équation, nous obtenons à la fois le discriminant et les racines elles-mêmes selon le théorème de Vieta. Il est nécessaire de présenter l'expression sous forme de fraction propre ou impropre et d'utiliser le calculateur de fraction à la première étape. En fonction de cela, un plan pour nos calculs ultérieurs sera formé. Mathématiques à approche théorique utile à chaque étape. Nous présenterons certainement le résultat sous la forme d'une équation cubique, car nous cacherons ses racines dans cette expression afin de simplifier la tâche d'un étudiant dans une université. Toutes les méthodes sont bonnes si elles conviennent à une analyse superficielle. Les opérations arithmétiques supplémentaires n'entraîneront pas d'erreurs de calcul. Déterminer la réponse avec une précision donnée. En utilisant la solution des équations, avouons-le - trouver une variable indépendante d'une fonction donnée n'est pas si facile, surtout lorsque l'on étudie des droites parallèles à l'infini. Compte tenu de l'exception, le besoin est très évident. La différence de polarité est sans ambiguïté. De l'expérience de l'enseignement dans les instituts, notre professeur a pris leçon principale, sur lequel les équations ont été étudiées en ligne au sens mathématique complet. Ici, il s'agissait d'efforts plus importants et de compétences particulières dans l'application de la théorie. En faveur de nos conclusions, il ne faut pas regarder à travers un prisme. Jusqu'à récemment, on pensait qu'un ensemble fermé se développait rapidement sur la zone telle qu'elle est, et la solution des équations devait simplement être étudiée. Lors de la première étape, nous n'avons pas considéré tous options possibles, mais une telle approche est plus justifiée que jamais. Les actions supplémentaires entre parenthèses justifient quelques avancées le long des axes d'ordonnées et d'abscisses, qui ne peuvent être ignorées à l'œil nu. Il y a un point d'inflexion dans le sens d'une large augmentation proportionnelle d'une fonction. Une fois de plus, nous prouvons comment condition nécessaire sera appliqué sur tout l'intervalle descendant de l'une ou l'autre position descendante du vecteur. Dans un espace confiné, nous allons sélectionner une variable du bloc initial de notre script. Le système construit comme base sur trois vecteurs est responsable de l'absence du moment de force principal. Cependant, le calculateur d'équation a déduit et aidé à trouver tous les termes de l'équation construite, à la fois au-dessus de la surface et le long de lignes parallèles. Décrivons un cercle autour du point de départ. Ainsi, nous commencerons à remonter le long des lignes de coupe, et la tangente décrira le cercle sur toute sa longueur, nous obtiendrons ainsi une courbe, appelée développante. Au fait, parlons de cette courbe un peu d'histoire. Le fait est qu'historiquement, en mathématiques, il n'y avait pas de concept des mathématiques elles-mêmes au sens pur comme c'est le cas aujourd'hui. Auparavant, tous les scientifiques étaient engagés dans une chose commune, c'est-à-dire la science. Plus tard, plusieurs siècles plus tard, lorsque monde scientifique rempli d'une quantité colossale d'informations, l'humanité a encore distingué de nombreuses disciplines. Ils restent toujours inchangés. Et pourtant, chaque année, des scientifiques du monde entier essaient de prouver que la science est sans limites, et vous ne pouvez résoudre l'équation que si vous avez une connaissance du domaine. sciences naturelles. Il ne sera peut-être pas possible d'y mettre un terme définitif. Y penser est aussi inutile que de réchauffer l'air extérieur. Trouvons l'intervalle auquel l'argument, avec sa valeur positive, détermine le module de la valeur dans une direction fortement croissante. La réaction aidera à trouver au moins trois solutions, mais il faudra les vérifier. Commençons par le fait que nous devons résoudre l'équation en ligne en utilisant le service unique de notre site Web. Présentons les deux parties équation donnée, appuyez sur le bouton "RÉSOUDRE" et nous obtiendrons une réponse exacte en quelques secondes seulement. Dans des cas particuliers, nous prendrons un livre sur les mathématiques et revérifierons notre réponse, à savoir, nous ne regarderons que la réponse et tout deviendra clair. Le même projet s'envolera sur un parallélépipède redondant artificiel. Il existe un parallélogramme avec ses propres côtés parallèles, et il explique de nombreux principes et approches de l'étude Relation spatiale processus ascendant d'accumulation d'espace creux dans les formules aspect naturel. Des équations linéaires ambiguës montrent la dépendance de la variable souhaitée avec notre solution commune pour le moment, et il est nécessaire de dériver et d'apporter d'une manière ou d'une autre fraction impropreà un cas non trivial. Nous marquons dix points sur la ligne droite et traçons une courbe passant par chaque point dans une direction donnée, et avec une convexité vers le haut. Sans grande difficulté, notre calculateur d'équation présentera une expression sous une forme telle que sa vérification de la validité des règles sera évidente même au début de l'enregistrement. Le système de représentations spéciales de la stabilité pour les mathématiciens en premier lieu, sauf disposition contraire de la formule. Nous y répondrons par une présentation détaillée d'un rapport sur l'état isomorphe d'un système plastique de corps et la solution d'équations en ligne décrira le mouvement de chaque point matériel dans ce système. Au niveau d'une étude approfondie, il faudra clarifier en détail la question des inversions d'au moins la couche inférieure de l'espace. En montant sur la section de la discontinuité de la fonction, on applique méthode générale un excellent chercheur, soit dit en passant, notre compatriote, et nous parlerons ci-dessous du comportement de l'avion. En vertu de caractéristiques fortes fonction analytiquement donnée, nous utilisons uniquement le calculateur d'équations en ligne aux fins prévues dans les limites d'autorité dérivées. En poursuivant notre argumentation, nous arrêtons notre examen sur l'homogénéité de l'équation elle-même, c'est-à-dire que son côté droit est égal à zéro. Une fois de plus, nous allons vérifier la justesse de notre décision en mathématiques. Afin d'éviter d'obtenir une solution triviale, nous allons apporter quelques ajustements aux conditions initiales du problème de la stabilité conditionnelle du système. Composons une équation quadratique, pour laquelle nous écrivons deux entrées en utilisant la formule bien connue et trouvons des racines négatives. Si une racine dépasse les deuxième et troisième racines de cinq unités, alors en apportant des modifications à l'argument principal, nous déformons ainsi les conditions initiales du sous-problème. À la base, quelque chose d'inhabituel en mathématiques peut toujours être décrit avec une précision de centièmes de valeurs. nombre positif. Le calculateur de fraction est plusieurs fois supérieur à ses homologues sur des ressources similaires au meilleur moment de la charge du serveur. Sur la surface du vecteur vitesse croissant le long de l'axe y, nous dessinons sept lignes courbées dans des directions opposées les unes aux autres. La commensurabilité de l'argument de la fonction assignée conduit le compteur de solde de récupération. En mathématiques, ce phénomène peut être représenté par une équation cubique à coefficients imaginaires, ainsi que par une progression bipolaire de droites décroissantes. Points critiques différence de température dans beaucoup de sens et de progrès décrivent le processus de factorisation d'une fonction fractionnaire complexe. Si on vous dit de résoudre l'équation, ne vous précipitez pas pour le faire cette minute, évaluez d'abord définitivement l'ensemble du plan d'action, et ensuite seulement adoptez la bonne approche. Il y aura certainement des avantages. La facilité dans le travail est évidente, et en mathématiques c'est la même chose. Résolvez l'équation en ligne. Toutes les équations en ligne sont un certain type d'enregistrement de nombres ou de paramètres et une variable qui doit être définie. Calculez cette même variable, c'est-à-dire trouvez des valeurs ou des intervalles spécifiques d'un ensemble de valeurs pour lesquelles l'identité sera satisfaite. Les conditions initiales et finales en dépendent directement. À décision commune les équations incluent généralement des variables et des constantes, en définissant lesquelles, nous obtiendrons des familles entières de solutions pour un énoncé de problème donné. En général, cela justifie les efforts investis dans le sens d'augmenter la fonctionnalité d'un cube spatial de côté égal à 100 centimètres. Vous pouvez appliquer un théorème ou un lemme à n'importe quelle étape de la construction d'une réponse. Le site émet progressivement un calculateur d'équations, si nécessaire, à tout intervalle de sommation des produits show plus petite valeur. Dans la moitié des cas, une boule telle qu'une boule creuse ne répond pas davantage aux exigences de définition d'une réponse intermédiaire. Au moins en ordonnée dans le sens de la représentation vectorielle décroissante, cette proportion sera sans doute plus optimale que l'expression précédente. A l'heure où fonctions linéaires sera une analyse complète, nous rassemblerons en fait tous nos nombres complexes et les espaces plans bipolaires. En remplaçant une variable dans l'expression résultante, vous résoudrez l'équation par étapes et donnerez la réponse la plus détaillée avec une grande précision. Encore une fois, vérifier vos actions en mathématiques sera une bonne forme de la part d'un élève. La proportion dans le rapport des fractions fixe l'intégrité du résultat pour tous domaines importants activité vectorielle nulle. La trivialité est confirmée à la fin des actions effectuées. Avec un ensemble de tâches simples, les élèves ne peuvent pas avoir de difficultés s'ils résolvent l'équation en ligne dans les délais les plus courts possibles, mais n'oublient pas toutes sortes de règles. L'ensemble des sous-ensembles se croisent dans le domaine de la notation convergente. À différentes occasions le produit n'est pas factorisé par erreur. Vous serez aidé à résoudre l'équation en ligne dans notre première section sur les bases des techniques mathématiques pour les sections importantes pour les étudiants des universités et des écoles techniques. Répondre à des exemples ne nous fera pas attendre plusieurs jours, puisque le procédé de la meilleure interaction de l'analyse vectorielle avec la recherche séquentielle de solutions a été breveté au début du siècle dernier. Il s'avère que les efforts pour se connecter avec l'équipe environnante n'ont pas été vains, quelque chose d'autre était évidemment en retard en premier lieu. Plusieurs générations plus tard, les scientifiques du monde entier ont amené à croire que les mathématiques sont la reine des sciences. Qu'il s'agisse d'une réponse de gauche ou d'une bonne réponse, les termes exhaustifs doivent tout de même être écrits sur trois lignes, puisque dans notre cas on ne parlera que de analyse vectorielle propriétés matricielles. Les équations non linéaires et linéaires, ainsi que les équations biquadratiques, ont pris une place particulière dans notre livre sur les meilleures pratiques calcul de la trajectoire du mouvement dans l'espace de tous les points matériels systeme ferme. Aidez-nous à donner vie à l'idée analyse linéaire produit scalaire trois vecteurs consécutifs. A la fin de chaque réglage, la tâche est facilitée par l'introduction d'exceptions numériques optimisées dans le contexte des superpositions spatiales numériques en cours d'exécution. Un autre jugement ne s'opposera pas à la réponse trouvée sous la forme arbitraire d'un triangle dans un cercle. L'angle entre les deux vecteurs contient le pourcentage de marge requis, et la résolution d'équations en ligne révèle souvent une racine commune de l'équation par opposition aux conditions initiales. L'exception agit comme un catalyseur dans tout le processus inévitable de recherche décision positive dans le cadre de la définition de la fonction. S'il n'est pas dit que vous ne pouvez pas utiliser un ordinateur, alors le calculateur d'équations en ligne est parfait pour vos tâches difficiles. Il suffit de saisir vos données conditionnelles dans le bon format et notre serveur émettra une réponse complète dans les plus brefs délais. Fonction exponentielle augmente beaucoup plus rapidement que linéairement. Ceci est démontré par les Talmuds de la littérature de bibliothèque intelligente. Effectue le calcul au sens général, comme il le ferait avec l'équation quadratique donnée avec trois coefficients complexes. La parabole dans la partie supérieure du demi-plan caractérise le mouvement parallèle rectiligne le long des axes du point. Ici, il convient de mentionner la différence de potentiel dans l'espace de travail du corps. En échange d'un résultat sous-optimal, notre calculateur de fraction occupe à juste titre la première position dans la notation mathématique de l'examen des programmes fonctionnels sur le back-end. La facilité d'utilisation de ce service sera appréciée par des millions d'internautes. Si vous ne savez pas comment l'utiliser, nous serons heureux de vous aider. Nous voulons également mettre en évidence et mettre en évidence l'équation cubique d'un certain nombre de tâches d'écoliers du primaire, lorsque vous devez trouver rapidement ses racines et tracer un graphique de fonction sur un plan. Les degrés de reproduction les plus élevés sont parmi les plus difficiles Problèmes mathématiquesà l'institut et un nombre suffisant d'heures sont allouées à son étude. Comme toutes les équations linéaires, la nôtre n'échappe pas à de nombreuses règles objectives, regardez sous différents points de vue, et elle s'avérera simple et suffisante pour poser les conditions initiales. L'intervalle d'augmentation coïncide avec l'intervalle de convexité de la fonction. Solution d'équations en ligne. L'étude de la théorie est basée sur des équations en ligne de nombreuses sections sur l'étude de la discipline principale. Dans le cas d'une telle approche dans des problèmes incertains, il est très facile de présenter la solution des équations sous une forme prédéterminée et non seulement de tirer des conclusions, mais aussi de prédire le résultat d'une telle solution positive. Le service nous aidera à apprendre le domaine de la manière la plus meilleures traditions mathématiques, comme il est d'usage en Orient. À meilleurs moments intervalle de temps, des tâches similaires ont été multipliées par un multiplicateur commun dix fois. Avec une abondance de multiplications de plusieurs variables dans le calculateur d'équations, il a commencé à multiplier par la qualité, et non par des variables quantitatives, des valeurs telles que la masse ou le poids corporel. Afin d'éviter les cas de déséquilibre du système matériel, il nous est tout à fait évident de dériver un convertisseur tridimensionnel sur la convergence triviale de matrices mathématiques non dégénérées. Terminez la tâche et résolvez l'équation dans les coordonnées données, car la sortie est inconnue à l'avance, ainsi que toutes les variables incluses dans le post-espace-temps sont inconnues. Sur le court terme déplacer le facteur commun hors des parenthèses et diviser par le plus grand diviseur commun les deux parties à l'avance. Sous le sous-ensemble couvert de nombres extrait manière détaillée trente-trois points d'affilée en peu de temps. Dans la mesure où dans à son meilleur il est possible pour chaque élève de résoudre l'équation en ligne, en regardant vers l'avant, disons une chose importante, mais essentielle, sans laquelle nous ne serons pas faciles à vivre à l'avenir. Au siècle dernier, le grand scientifique a remarqué un certain nombre de régularités dans la théorie des mathématiques. En pratique, il s'est avéré pas tout à fait l'impression attendue des événements. Cependant, en principe, cette solution même d'équations en ligne contribue à améliorer la compréhension et la perception d'une approche holistique de l'étude et de la consolidation pratique du passé matériel théorique chez les étudiants. Il est beaucoup plus facile de le faire pendant votre temps d'étude.

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Les équations contenant une variable au dénominateur peuvent être résolues de deux manières :

    Réduire des fractions à un dénominateur commun

    Utilisation de la propriété de base de la proportion

Quelle que soit la méthode choisie, après avoir trouvé les racines de l'équation, il faut choisir parmi les valeurs trouvées les valeurs acceptables, c'est-à-dire celles qui ne tournent pas le dénominateur à $0$.

1 voie. Ramener des fractions à un dénominateur commun.

Exemple 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

La solution:

1. Déplacez la fraction du côté droit de l'équation vers la gauche

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Afin de le faire correctement, nous rappelons que lors du déplacement d'éléments vers une autre partie de l'équation, le signe devant les expressions change à l'opposé. Donc, si sur le côté droit il y avait un signe "+" avant la fraction, alors sur le côté gauche il y aura un signe "-" devant, puis sur le côté gauche, nous obtenons la différence des fractions.

2. Maintenant, nous notons que les fractions ont des dénominateurs différents, ce qui signifie que pour combler la différence, il est nécessaire de ramener les fractions à un dénominateur commun. dénominateur commun sera le produit de polynômes dans les dénominateurs des fractions originales : $(2x-1)(x+3)$

Pour obtenir une expression identique, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur de la première fraction par le polynôme $(x+3)$, et la seconde par le polynôme $(2x-1)$.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Effectuons la transformation dans le numérateur de la première fraction - nous multiplierons les polynômes. Rappelons que pour cela il faut multiplier le premier terme du premier polynôme, multiplier par chaque terme du second polynôme, puis multiplier le second terme du premier polynôme par chaque terme du second polynôme et additionner les résultats

\[\gauche(2x+3\droite)\gauche(x+3\droite)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Nous présentons des termes similaires dans l'expression résultante

\[\gauche(2x+3\droite)\gauche(x+3\droite)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Effectuez une transformation similaire dans le numérateur de la deuxième fraction - nous multiplierons les polynômes

$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

L'équation prendra alors la forme :

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Fractions maintenant avec même dénominateur, vous pouvez donc faire la soustraction. Rappelez-vous que lors de la soustraction de fractions avec le même dénominateur du numérateur de la première fraction, il est nécessaire de soustraire le numérateur de la deuxième fraction, en laissant le même dénominateur

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Transformons l'expression au numérateur. Pour ouvrir les parenthèses précédées du signe "-", tous les signes devant les termes entre parenthèses doivent être inversés

\[(2x)^2+9x+9-\gauche((2x)^2-11x+5\droite)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Nous présentons des termes similaires

$(2x)^2+9x+9-\gauche((2x)^2-11x+5\droite)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Alors la fraction prendra la forme

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. Une fraction est égale à $0$ si son numérateur est 0. Par conséquent, nous assimilons le numérateur de la fraction à $0$.

\[(\rm 20x+4=0)\]

Résolvons l'équation linéaire :

4. Échantillons les racines. Cela signifie qu'il est nécessaire de vérifier si les dénominateurs des fractions originales deviennent $0$ lorsque les racines sont trouvées.

Nous posons la condition que les dénominateurs ne sont pas égaux à $0$

x$\ne 0,5$ x$\ne -3$

Cela signifie que toutes les valeurs des variables sont autorisées, à l'exception de $-3$ et $0.5$.

La racine que nous avons trouvée est une valeur valide, elle peut donc être considérée en toute sécurité comme la racine de l'équation. Si la racine trouvée n'était pas une valeur valide, alors une telle racine serait étrangère et, bien sûr, ne serait pas incluse dans la réponse.

Réponse:$-0,2.$

Nous pouvons maintenant écrire un algorithme pour résoudre une équation qui contient une variable au dénominateur

Un algorithme pour résoudre une équation qui contient une variable dans le dénominateur

    Déplacez tous les éléments du côté droit de l'équation vers le côté gauche. Pour obtenir une équation identique, il faut changer tous les signes devant les expressions du côté droit vers le contraire

    Si sur le côté gauche nous obtenons une expression avec différents dénominateurs, puis on les amène au général, en utilisant la propriété principale de la fraction. Effectuez des transformations en utilisant des transformations identiques et obtenez la fraction finale égale à $0$.

    Égalez le numérateur à $0$ et trouvez les racines de l'équation résultante.

    Échantillons les racines, c'est-à-dire trouver des valeurs de variables valides qui ne transforment pas le dénominateur en $0$.

2 voies. Utilisation de la propriété de base de la proportion

La propriété principale d'une proportion est que le produit des termes extrêmes de la proportion est égal au produit des termes moyens.

Exemple 2

Nous utilisons propriété donnée pour résoudre cette tâche

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Trouvons et assimilons le produit des membres extrêmes et moyens de la proportion.

$\gauche(2x+3\droite)\cdot(\ x+3)=\gauche(x-5\droite)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

En résolvant l'équation résultante, nous trouvons les racines de l'original

2. Trouvons les valeurs admissibles d'une variable.

De la solution précédente (1ère manière), nous avons déjà constaté que toutes les valeurs sont autorisées sauf $-3$ et $0,5$.

Ensuite, après avoir établi que la racine trouvée est une valeur valide, nous avons découvert que $-0.2$ sera la racine.

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