Comment résoudre des fractions avec un nombre inconnu. ODZ. Plage valide
Objectifs de la leçon:
Didacticiel:
- formation du concept d'équations rationnelles fractionnaires;
- considérer diverses manières de résoudre des équations rationnelles fractionnaires;
- considérons un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires, incluant la condition que la fraction soit égale à zéro ;
- enseigner la résolution d'équations rationnelles fractionnaires selon l'algorithme ;
- vérifier le niveau d'assimilation du sujet en effectuant des travaux de test.
Développement:
- développement de la capacité à fonctionner correctement avec les connaissances acquises, à penser logiquement;
- développement des capacités intellectuelles et opérations mentales- analyse, synthèse, comparaison et généralisation ;
- le développement de l'initiative, la capacité à prendre des décisions, à ne pas s'arrêter là ;
- développement Esprit critique;
- développement des compétences en recherche.
Nourrir :
- éducation intérêt cognitif au sujet;
- éducation à l'autonomie dans la résolution de problèmes éducatifs;
- l'éducation de la volonté et de la persévérance pour atteindre les résultats finaux.
Type de leçon: leçon - explication du nouveau matériel.
Pendant les cours
1. Moment organisationnel.
Bonjour gars! Les équations sont écrites au tableau, regardez-les attentivement. Saurez-vous résoudre toutes ces équations ? Lesquelles ne le sont pas et pourquoi ?
Les équations dans lesquelles les côtés gauche et droit sont des expressions rationnelles fractionnaires sont appelées équations rationnelles fractionnaires. Que pensez-vous que nous allons étudier aujourd'hui dans la leçon ? Formulez le sujet de la leçon. Donc, nous ouvrons des cahiers et écrivons le sujet de la leçon « Solution d'équations rationnelles fractionnaires ».
2. Actualisation des connaissances. Enquête frontale, travail oral avec la classe.
Et maintenant, nous allons répéter le principal matériel théorique que nous devons étudier nouveau sujet. Merci de répondre aux questions suivantes:
- Qu'est-ce qu'une équation ? ( Égalité avec une variable ou des variables.)
- Comment s'appelle l'équation #1 ? ( Linéaire.) Méthode de résolution d'équations linéaires. ( Tous avec emménagement inconnu côté gaucheéquations, tous les nombres - vers la droite. Apportez des termes similaires. Trouver le multiplicateur inconnu).
- Comment s'appelle l'équation 3 ? ( Carré.) Méthodes de résolution d'équations quadratiques. ( Sélection du carré plein, par des formules, en utilisant le théorème de Vieta et ses conséquences.)
- Qu'est-ce qu'une proportion ? ( Égalité de deux relations.) La principale propriété de proportion. ( Si la proportion est vraie, alors le produit de ses termes extrêmes est égal au produit des termes moyens.)
- Quelles propriétés sont utilisées pour résoudre des équations ? ( 1. Si dans l'équation nous transférons le terme d'une partie à une autre, en changeant son signe, nous obtenons une équation équivalente à celle donnée. 2. Si les deux parties de l'équation sont multipliées ou divisées par le même nombre non nul, alors une équation sera obtenue qui est équivalente à la donnée.)
- Quand une fraction est-elle égale à zéro ? ( Une fraction est nulle lorsque le numérateur est nul et le dénominateur non nul.)
3. Explication du nouveau matériel.
Résolvez l'équation n° 2 dans des cahiers et au tableau.
Réponse: 10.
Quel fractionnaire équation rationnelle pouvez-vous essayer de résoudre en utilisant la propriété de proportion de base ? (N ° 5).
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6
x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8
Résolvez l'équation n° 4 dans des cahiers et au tableau.
Réponse: 1,5.
Quelle équation rationnelle fractionnaire pouvez-vous essayer de résoudre en multipliant les deux membres de l'équation par le dénominateur ? (Numéro 6).
x2 -7x+12 = 0
D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.
Réponse: 3;4.
Essayez maintenant de résoudre l'équation #7 de l'une des manières.
(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5) |
|||
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0 |
x2 -2x-5=x+5 |
||
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0 |
x2 -2x-5-x-5=0 |
||
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0 |
|||
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0 |
|||
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49 |
|||
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2 |
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2 |
||
Réponse: 0;5;-2. |
Réponse: 5;-2. |
Explique pourquoi c'est arrivé ? Pourquoi y a-t-il trois racines dans un cas et deux dans l'autre ? Quels nombres sont les racines de cette équation rationnelle fractionnaire ?
Jusqu'à présent, les étudiants n'ont pas rencontré le concept de racine étrangère, il leur est vraiment très difficile de comprendre pourquoi cela s'est produit. Si personne dans la classe ne peut donner une explication claire de cette situation, alors l'enseignant pose des questions suggestives.
- En quoi les équations n° 2 et 4 diffèrent-elles des équations n° 5, 6, 7 ? ( Dans les équations n ° 2 et 4 au dénominateur du nombre, n ° 5-7 - expressions avec une variable.)
- Quelle est la racine de l'équation ? ( La valeur de la variable à laquelle l'équation devient une vraie égalité.)
- Comment savoir si un nombre est la racine d'une équation ? ( Faire un chèque.)
Lors d'un test, certains élèves remarquent qu'ils doivent diviser par zéro. Ils concluent que les nombres 0 et 5 ne sont pas les racines de cette équation. La question se pose : existe-t-il un moyen de résoudre des équations rationnelles fractionnaires qui nous permette d'éliminer erreur donnée? Oui, cette méthode est basée sur la condition que la fraction soit égale à zéro.
x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.
Si x=5, alors x(x-5)=0, donc 5 est une racine étrangère.
Si x=-2, alors x(x-5)≠0.
Réponse: -2.
Essayons de formuler un algorithme pour résoudre des équations rationnelles fractionnaires de cette manière. Les enfants eux-mêmes formulent l'algorithme.
Algorithme de résolution d'équations rationnelles fractionnaires :
- Déplacez tout vers la gauche.
- Amener les fractions à un dénominateur commun.
- Composez un système : une fraction est nulle lorsque le numérateur est égal à zéro et que le dénominateur n'est pas égal à zéro.
- Résous l'équation.
- Vérifiez l'inégalité pour exclure les racines superflues.
- Écrivez la réponse.
Discussion : comment formaliser la solution si la propriété de base de la proportion est utilisée et la multiplication des deux côtés de l'équation par un dénominateur commun. (Compléter la solution : exclure de ses racines celles qui ramènent le dénominateur commun à zéro).
4. Compréhension primaire du nouveau matériel.
Travailler en équipe de deux. Les élèves choisissent eux-mêmes comment résoudre l'équation, selon le type d'équation. Tâches du manuel "Algebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007 : n° 600 (b, c, i) ; N° 601(a, e, g). L'enseignant contrôle l'exécution de la tâche, répond aux questions qui se posent et aide les élèves peu performants. Autotest : Les réponses sont écrites au tableau.
b) 2 est une racine étrangère. Réponse : 3.
c) 2 est une racine étrangère. Réponse : 1.5.
a) Réponse : -12,5.
g) Réponse : 1 ; 1.5.
5. Énoncé des devoirs.
- Lisez le point 25 du manuel, analysez les exemples 1-3.
- Apprenez l'algorithme de résolution des équations rationnelles fractionnaires.
- Résolvez dans les cahiers n ° 600 (a, d, e); N° 601 (g, h).
- Essayez de résoudre #696(a) (optionnel).
6. Réalisation de la tâche de contrôle sur le sujet étudié.
Le travail se fait sur des feuilles.
Exemple de travail :
A) Parmi les équations, lesquelles sont rationnelles fractionnaires ?
B) Une fraction est nulle lorsque le numérateur est ______________________ et le dénominateur est ______________________.
Q) Le nombre -3 est-il la racine de l'équation #6 ?
D) Résolvez l'équation n° 7.
Critères d'évaluation des tâches :
- « 5 » est donné si l'élève a terminé correctement plus de 90 % de la tâche.
- "4" - 75% -89%
- "3" - 50% -74%
- « 2 » est attribué à un étudiant qui a terminé moins de 50 % de la tâche.
- La 2e année n'est pas inscrite dans le journal, la 3e est facultative.
7. Réflexion.
Sur les dépliants avec travail indépendant, mettez:
- 1 - si la leçon était intéressante et compréhensible pour vous ;
- 2 - intéressant, mais pas clair ;
- 3 - pas intéressant, mais compréhensible ;
- 4 - pas intéressant, pas clair.
8. Résumer la leçon.
Donc, aujourd'hui, dans la leçon, nous nous sommes familiarisés avec les équations rationnelles fractionnaires, avons appris à résoudre ces équations différentes façons, ont testé leurs connaissances à l'aide de formations travail indépendant. Vous apprendrez les résultats d'un travail indépendant dans la prochaine leçon, à la maison, vous aurez l'occasion de consolider les connaissances acquises.
Quelle méthode de résolution d'équations rationnelles fractionnaires est, selon vous, la plus simple, la plus accessible, la plus rationnelle ? Quelle que soit la méthode de résolution des équations rationnelles fractionnaires, que ne faut-il pas oublier ? Quelle est la "ruse" des équations rationnelles fractionnaires ?
Merci à tous, la leçon est terminée.
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Les équations avec des fractions elles-mêmes ne sont pas difficiles et très intéressantes. Considérez les types d'équations fractionnaires et les façons de les résoudre.
Comment résoudre des équations avec des fractions - x au numérateur
Si une équation fractionnaire est donnée, où l'inconnu est au numérateur, la solution ne nécessite pas de conditions supplémentaires et est résolue sans tracas inutiles. Forme générale une telle équation - x/a + b = c, où x est l'inconnue, a, b et c - nombres réguliers.
Trouver x : x/5 + 10 = 70.
Pour résoudre l'équation, vous devez vous débarrasser des fractions. Multipliez chaque terme de l'équation par 5 : 5x/5 + 5x10 = 70x5. 5x et 5 est réduit, 10 et 70 sont multipliés par 5 et on obtient : x + 50 = 350 => x = 350 - 50 = 300.
Trouvez x : x/5 + x/10 = 90.
Cet exemple est une version un peu plus compliquée du premier. Il y a deux solutions ici.
- Option 1 : Débarrassez-vous des fractions en multipliant tous les termes de l'équation par un plus grand dénominateur, c'est-à-dire par 10 : 10x/5 + 10x/10 = 90x10 => 2x + x = 900 => 3x = 900 => x= 300.
- Option 2 : Ajoutez le côté gauche de l'équation. x/5 + x/10 = 90. Le dénominateur commun est 10. Divisez 10 par 5, multipliez par x, nous obtenons 2x. 10 divisé par 10, multiplié par x, on obtient x : 2x+x/10 = 90. Donc 2x+x = 90×10 = 900 => 3x = 900 => x = 300.
Il existe souvent des équations fractionnaires dans lesquelles les x sont sur les côtés opposés du signe égal. Dans une telle situation, il est nécessaire de transférer toutes les fractions avec x dans un sens et les nombres dans un autre.
- Trouver x : 3x/5 = 130 - 2x/5.
- Déplacer 2x/5 vers la droite avec le signe opposé : 3x/5 + 2x/5 = 130 => 5x/5 = 130.
- Nous réduisons 5x/5 et obtenons : x = 130.
Comment résoudre une équation avec des fractions - x au dénominateur
Ce type d'équations fractionnaires nécessite l'écriture de conditions supplémentaires. Ces conditions sont obligatoires et partie intégrante bonne décision. En ne les attribuant pas, vous courez le risque, car la réponse (même si elle est correcte) peut tout simplement ne pas être comptée.
La forme générale des équations fractionnaires, où x est au dénominateur, est : a/x + b = c, où x est une inconnue, a, b, c sont des nombres ordinaires. Notez que x ne peut pas être n'importe quel nombre. Par exemple, x ne peut pas être égal à zéro, car vous ne pouvez pas diviser par 0. C'est précisément la condition supplémentaire que nous devons préciser. C'est ce qu'on appelle la plage de valeurs acceptables, abrégée - ODZ.
Trouver x : 15/x + 18 = 21.
On écrit immédiatement l'ODZ pour x : x ≠ 0. Maintenant que l'ODZ est indiquée, on résout l'équation en utilisant schéma standard se débarrasser des fractions. Nous multiplions tous les termes de l'équation par x. 15x/x+18x = 21x => 15+18x = 21x => 15 = 3x => x = 15/3 = 5.
Il y a souvent des équations où le dénominateur contient non seulement x, mais aussi une autre opération avec lui, comme l'addition ou la soustraction.
Trouver x : 15/(x-3) + 18 = 21.
Nous savons déjà que le dénominateur ne peut pas être nul, ce qui signifie x-3 ≠ 0. Nous transférons -3 à côté droit, en changeant le signe « - » en « + » et on obtient que x ≠ 3. L'ODZ est indiqué.
Résolvez l'équation, multipliez tout par x-3 : 15 + 18x(x - 3) = 21x(x - 3) => 15 + 18x - 54 = 21x - 63.
Déplacez les x vers la droite, les nombres vers la gauche : 24 = 3x => x = 8.
Les équations contenant une variable au dénominateur peuvent être résolues de deux manières :
Réduire des fractions à un dénominateur commun
Utilisation de la propriété de base de la proportion
Quelle que soit la méthode choisie, après avoir trouvé les racines de l'équation, il faut choisir parmi les valeurs trouvées les valeurs acceptables, c'est-à-dire celles qui ne tournent pas le dénominateur à $0$.
1 voie. Ramener des fractions à un dénominateur commun.
Exemple 1
$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$
La solution:
1. Déplacez la fraction du côté droit de l'équation vers la gauche
\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]
Afin de le faire correctement, nous rappelons que lors du déplacement d'éléments vers une autre partie de l'équation, le signe devant les expressions change à l'opposé. Donc, si sur le côté droit il y avait un signe "+" avant la fraction, alors sur le côté gauche il y aura un signe "-" devant, puis sur le côté gauche, nous obtenons la différence des fractions.
2. Maintenant, nous notons que les fractions ont des dénominateurs différents, ce qui signifie que pour combler la différence, il est nécessaire de ramener les fractions à un dénominateur commun. dénominateur commun sera le produit de polynômes dans les dénominateurs des fractions originales : $(2x-1)(x+3)$
Pour obtenir une expression identique, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur de la première fraction par le polynôme $(x+3)$, et la seconde par le polynôme $(2x-1)$.
\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]
Effectuons la transformation dans le numérateur de la première fraction - nous multiplierons les polynômes. Rappelons que pour cela il faut multiplier le premier terme du premier polynôme, multiplier par chaque terme du second polynôme, puis multiplier le second terme du premier polynôme par chaque terme du second polynôme et additionner les résultats
\[\gauche(2x+3\droite)\gauche(x+3\droite)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]
Nous présentons des termes similaires dans l'expression résultante
\[\gauche(2x+3\droite)\gauche(x+3\droite)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]
Effectuez une transformation similaire dans le numérateur de la deuxième fraction - nous multiplierons les polynômes
$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$
L'équation prendra alors la forme :
\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]
Fractions maintenant avec même dénominateur, vous pouvez donc faire la soustraction. Rappelez-vous que lors de la soustraction de fractions avec le même dénominateur du numérateur de la première fraction, il est nécessaire de soustraire le numérateur de la deuxième fraction, en laissant le même dénominateur
\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]
Transformons l'expression au numérateur. Pour ouvrir les parenthèses précédées du signe "-", tous les signes devant les termes entre parenthèses doivent être inversés
\[(2x)^2+9x+9-\gauche((2x)^2-11x+5\droite)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]
Nous présentons des termes similaires
$(2x)^2+9x+9-\gauche((2x)^2-11x+5\droite)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $
Alors la fraction prendra la forme
\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]
3. Une fraction est égale à $0$ si son numérateur est 0. Par conséquent, nous assimilons le numérateur de la fraction à $0$.
\[(\rm 20x+4=0)\]
Résolvons l'équation linéaire :
4. Échantillons les racines. Cela signifie qu'il est nécessaire de vérifier si les dénominateurs des fractions originales deviennent $0$ lorsque les racines sont trouvées.
Nous posons la condition que les dénominateurs ne sont pas égaux à $0$
x$\ne 0,5$ x$\ne -3$
Cela signifie que toutes les valeurs des variables sont autorisées, à l'exception de $-3$ et $0.5$.
La racine que nous avons trouvée est une valeur valide, elle peut donc être considérée en toute sécurité comme la racine de l'équation. Si la racine trouvée n'était pas une valeur valide, alors une telle racine serait étrangère et, bien sûr, ne serait pas incluse dans la réponse.
Réponse:$-0,2.$
Nous pouvons maintenant écrire un algorithme pour résoudre une équation qui contient une variable au dénominateur
Un algorithme pour résoudre une équation qui contient une variable dans le dénominateur
Déplacez tous les éléments du côté droit de l'équation vers le côté gauche. Pour obtenir une équation identique, il faut changer tous les signes devant les expressions du côté droit vers le contraire
Si sur le côté gauche nous obtenons une expression avec différents dénominateurs, puis on les amène au général, en utilisant la propriété principale de la fraction. Effectuez des transformations en utilisant des transformations identiques et obtenez la fraction finale égale à $0$.
Égalez le numérateur à $0$ et trouvez les racines de l'équation résultante.
Échantillons les racines, c'est-à-dire trouver des valeurs de variables valides qui ne transforment pas le dénominateur en $0$.
2 voies. Utilisation de la propriété de base de la proportion
La propriété principale d'une proportion est que le produit des termes extrêmes de la proportion est égal au produit des termes moyens.
Exemple 2
Nous utilisons propriété donnée pour résoudre cette tâche
\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]
1. Trouvons et assimilons le produit des membres extrêmes et moyens de la proportion.
$\gauche(2x+3\droite)\cdot(\ x+3)=\gauche(x-5\droite)\cdot(2x-1)$
\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]
En résolvant l'équation résultante, nous trouvons les racines de l'original
2. Trouvons les valeurs admissibles d'une variable.
De la solution précédente (1ère manière), nous avons déjà constaté que toutes les valeurs sont autorisées sauf $-3$ et $0,5$.
Ensuite, après avoir établi que la racine trouvée est une valeur valide, nous avons découvert que $-0.2$ sera la racine.