Вариацын шинжилгээ (ANOVA). Олон хувьсагчийн дисперсийн шинжилгээ

Практикт хоёр дундажийн ялгааны ач холбогдлын талаарх статистик таамаглалыг шалгах дээрх аргууд нь хязгаарлагдмал хэрэглээтэй байдаг. Энэ нь бүх боломжит нөхцөл, хүчин зүйлсийн үр дүнгийн шинж чанарт үзүүлэх нөлөөг тодорхойлохын тулд хээрийн болон лабораторийн туршилтыг дүрмээр бол хоёр биш, харин олон тооны дээж (1220 ба түүнээс дээш) ашиглан хийдэгтэй холбоотой юм. ).

Ихэнхдээ судлаачид нэг цогцолборт нэгтгэсэн хэд хэдэн дээжийн хэрэгслийг харьцуулдаг. Жишээлбэл, бордооны янз бүрийн төрөл, тунгийн үр тарианы ургацад үзүүлэх нөлөөг судлахдаа туршилтыг янз бүрийн хувилбараар давтан хийдэг. Эдгээр тохиолдолд хос хосолсон харьцуулалт нь төвөгтэй болж, бүхэл бүтэн цогцолборын статистик дүн шинжилгээ нь тусгай аргыг ашиглахыг шаарддаг. Математик статистикт боловсруулсан энэ аргыг дисперсийн шинжилгээ гэж нэрлэдэг. Үүнийг анх Английн статистикч Р.Фишер агрономийн туршилтын үр дүнг боловсруулахдаа ашигласан (1938).

Вариацын шинжилгээ- энэ нь үр дүнтэй шинж чанарын нэг буюу хэд хэдэн хүчин зүйлээс хамааралтай байдлын илрэлийн найдвартай байдлын статистик үнэлгээний арга юм. Вариацын шинжилгээний аргыг ашиглан хэвийн тархалттай хэд хэдэн ерөнхий популяцийн дундаж үзүүлэлтүүдийн талаархи статистик таамаглалыг шалгадаг.

Дисперсийн шинжилгээ нь туршилтын үр дүнг статистикийн үнэлгээний үндсэн аргуудын нэг юм. Мөн эдийн засгийн мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийхэд улам бүр ашиглагдаж байна. Вариацын шинжилгээ нь үр дүнтэй болон хүчин зүйлийн шинж тэмдгүүдийн хоорондын хамаарлын сонгомол үзүүлэлтүүд нь түүврээс олж авсан өгөгдлийг нийт хүн амд түгээхэд хангалттай байгааг тогтоох боломжийг олгодог. Энэ аргын давуу тал нь жижиг дээжээс нэлээд найдвартай дүгнэлт өгдөг.

Нэг буюу хэд хэдэн хүчин зүйлийн нөлөөн дор үүссэн шинж чанарын өөрчлөлтийг судалж, дисперсийн шинжилгээг ашиглан хамаарлын ач холбогдлын ерөнхий тооцооноос гадна дундаж утгуудын ялгааны үнэлгээг авч болно. хүчин зүйлсийн янз бүрийн түвшинд үүсдэг ба хүчин зүйлсийн харилцан үйлчлэлийн ач холбогдол. Тархалтын шинжилгээг тоон болон чанарын шинж чанаруудын хамаарал, түүнчлэн тэдгээрийн хослолыг судлахад ашигладаг.

Энэ аргын мөн чанар нь статистик судалгаанэг буюу хэд хэдэн хүчин зүйлийн нөлөөллийн магадлал, түүнчлэн үр дүнтэй шинж чанарт тэдгээрийн харилцан үйлчлэл. Үүний дагуу дисперсийн шинжилгээний тусламжтайгаар гурван үндсэн ажлыг шийддэг: 1) нийт онообүлгийн хэрэгслийн хоорондох ялгааны ач холбогдол; 2) хүчин зүйлсийн харилцан үйлчлэлийн магадлалын үнэлгээ; 3) хос хэрэгслийн хоорондох ялгааны ач холбогдлын үнэлгээ. Ихэнх тохиолдолд судлаачид хээрийн болон зоотехникийн туршилт хийхдээ үр дүнд нь хэд хэдэн хүчин зүйлийн нөлөөллийг судлахдаа ийм асуудлыг шийдвэрлэх шаардлагатай болдог.

Тархалтын шинжилгээний зарчмын схемд үр дүнтэй шинж чанарын өөрчлөлтийн үндсэн эх үүсвэрийг тогтоох, түүний үүсэх эх үүсвэрээр хэлбэлзлийн хэмжээг (квадрат хазайлтын нийлбэр) тодорхойлох; нийт өөрчлөлтийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд тохирох эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоог тодорхойлох; вариацын харгалзах эзэлхүүнийг тэдгээрийн чөлөөт байдлын зэрэгт харьцуулсан харьцаагаар тооцох; тархалтын хоорондын хамаарлын шинжилгээ; дундаж үзүүлэлтүүдийн зөрүүний найдвартай байдлын үнэлгээ, дүгнэлт гаргах.

Заасан схемийг дараах байдлаар хадгална энгийн загваруудӨгөгдлийг нэг шинж чанарын дагуу бүлэглэх, нарийн төвөгтэй загварт өгөгдлийг хоёр ба түүнээс дээш шинж чанарын дагуу бүлэглэх үед дисперсийн шинжилгээ. Гэсэн хэдий ч бүлгийн шинж чанаруудын тоо нэмэгдэхийн хэрээр түүний үүсэх эх үүсвэрийн дагуу ерөнхий өөрчлөлтийг задлах үйл явц илүү төвөгтэй болдог.

дагуу хэлхээний диаграмдисперсийн шинжилгээг дараалсан таван алхамаар илэрхийлж болно.

1) өөрчлөлтийн тодорхойлолт, задрал;

2) өөрчлөлтийн эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоог тодорхойлох;

3) тархалт ба тэдгээрийн харьцааны тооцоо;

4) тархалт ба тэдгээрийн харьцааны шинжилгээ;

5) тэг таамаглалыг турших талаар дүгнэлт гаргах, арга хэрэгслийн хоорондын зөрүүний найдвартай байдлын үнэлгээ.

Вариацын шинжилгээний хамгийн их цаг хугацаа шаардсан хэсэг бол эхний шат буюу вариацийг үүссэн эх үүсвэрээр нь тодорхойлох, задлах явдал юм. Вариацын нийт хэмжээг өргөтгөх дарааллыг 5-р бүлэгт нарийвчлан авч үзсэн.

Тархалтын шинжилгээний асуудлыг шийдвэрлэх үндэс нь өөрчлөлтийн тэлэлт (нэмэх) хууль бөгөөд үүний дагуу үүссэн шинж чанарын нийт хэлбэлзэл (хэлбэлзэл) нь судлагдсан хүчин зүйлийн нөлөөллөөс үүдэлтэй өөрчлөлт (хүчин зүйл) гэсэн хоёр хэсэгт хуваагддаг. ), санамсаргүй шалтгаануудын үйлдлээс үүдэлтэй өөрчлөлт, өөрөөр хэлбэл

Судалгаанд хамрагдаж буй популяцийг хүчин зүйлийн шинж чанарын дагуу хэд хэдэн бүлэгт хуваадаг бөгөөд тус бүр нь өөрийн гэсэн онцлогтой гэж үзье. дундажүр дүнтэй тэмдэг. Үүний зэрэгцээ эдгээр утгын өөрчлөлтийг хоёр төрлийн шалтгаанаар тайлбарлаж болно: үр дүнтэй шинж чанар дээр системтэйгээр ажилладаг, туршилтын явцад тохируулах боломжтой, тохируулах боломжгүй. Бүлэг хоорондын (факторын эсвэл системчилсэн) хэлбэлзэл нь голчлон судалж буй хүчин зүйлийн нөлөөнөөс, бүлэг доторх (үлдэгдэл эсвэл санамсаргүй) - нөлөөнөөс хамаардаг нь ойлгомжтой. санамсаргүй хүчин зүйлүүд.

Бүлгийн дундаж хоорондын ялгааны ач холбогдлыг үнэлэхийн тулд бүлэг хоорондын болон бүлэг доторх өөрчлөлтийг тодорхойлох шаардлагатай. Хэрэв бүлэг хоорондын (факторын) хэлбэлзэл нь бүлэг доторх (үлдэгдэл) хэлбэлзлээс ихээхэн давсан бол тухайн хүчин зүйл нь үүссэн шинж чанарт нөлөөлж, бүлгийн дундаж утгыг эрс өөрчилсөн. Гэсэн хэдий ч бүлэг хоорондын болон бүлэг доторх өөрчлөлтүүдийн хоорондын харьцаа ямар байх вэ гэсэн асуулт гарч ирж байна, бүлгийн утгуудын хоорондын ялгааны найдвартай байдлын (ач холбогдол) талаар дүгнэлт хийхэд хангалттай гэж үзэж болно.

Аргын хоорондох ялгааны ач холбогдлыг үнэлэх, тэг таамаглалыг (H0: x1 = x2 = ... = xn) турших дүгнэлт гаргахын тулд дисперсийн шинжилгээнд нэг төрлийн стандарт - G-шалгуур, тархалтын хуулийг ашигладаг. Р.Фишерийн үүсгэн байгуулсан. Энэ шалгуур нь судалж буй хүчин зүйлийн үйлчлэлээр үүсгэгдсэн хүчин зүйл, санамсаргүй шалтгааны нөлөөллөөс үүдэлтэй үлдэгдэл гэсэн хоёр дисперсийн харьцаа юм.

Тархалтын харьцаа r = t>u : £ * 2-ыг Америкийн статистикч Снедекор дисперсийн шинжилгээний зохион бүтээгч Р.Фишерийн дурсгалд зориулан G үсгээр тэмдэглэхийг санал болгов.

Тархалтын °2 io2 нь ерөнхий популяцийн дисперсийн тооцоо юм. Хэрэв 2 ° 2 хэлбэлзэлтэй дээжийг ижил ерөнхий популяциас хийсэн бол утгын хэлбэлзэл нь санамсаргүй байсан бол ° 2 ° 2 утгын зөрүү нь мөн санамсаргүй байна.

Хэрэв туршилтаар хэд хэдэн хүчин зүйлийн (A, B, C гэх мэт) үр дүнтэй шинж чанарт үзүүлэх нөлөөллийг нэгэн зэрэг шалгаж үзвэл тэдгээрийн тус бүрийн үйл ажиллагааны тархалт нь ижил төстэй байх ёстой. °e.gP, тэр бол

Хэрэв хүчин зүйлийн хэлбэлзлийн утга нь үлдэгдэлээс хамаагүй их байвал тухайн хүчин зүйл нь үүссэн шинж чанарт ихээхэн нөлөөлсөн ба эсрэгээр.

Олон хүчин зүйлийн туршилтуудад хүчин зүйл бүрийн үйлчлэлээс шалтгаалсан хэлбэлзлээс гадна хүчин зүйлсийн харилцан үйлчлэлийн нөлөөгөөр хэлбэлзэл бараг үргэлж байдаг ($av: ^ls ^ss $liіs). Харилцан үйлчлэлийн мөн чанар нь нэг хүчин зүйлийн нөлөө нь хоёр дахь янз бүрийн түвшинд (жишээлбэл, бордооны янз бүрийн тунгаар хөрсний чанарын үр нөлөө) ихээхэн өөрчлөгддөг.

Хүчин зүйлсийн харилцан үйлчлэлийг мөн тус тусын хэлбэлзлийг харьцуулах замаар үнэлнэ 3 ^w.gr:

B-шалгуурын бодит утгыг тооцохдоо хамгийн том дисперсийг тоологчоор авдаг тул B > 1. B-шалгуур том байх тусмаа дисперсийн ялгаа их байх нь ойлгомжтой. Хэрэв B = 1 бол хэлбэлзлийн ялгааны ач холбогдлыг үнэлэх асуудал арилна.

Санамсаргүй хэлбэлзлийн хязгаарыг тодорхойлохын тулд дисперсийн харьцаа Г.Фишер В тархалтын тусгай хүснэгтүүдийг боловсруулсан (Хавсралт 4 ба 5). B шалгуур нь магадлалтай функциональ хамааралтай бөгөөд өөрчлөлтийн чөлөөт байдлын зэрэгийн тооноос хамаарна k1ба харьцуулсан дисперсийн хоёрын k2. 0.05 ба 0.01-ийн ач холбогдлын түвшний шалгуурын хамгийн их утгын талаар дүгнэлт гаргахын тулд хоёр хүснэгтийг ихэвчлэн ашигладаг. 0.05 (эсвэл 5%)-ийн ач холбогдлын түвшин нь 100 B шалгуурын 5 тохиолдолд л хүснэгтэд заасантай тэнцүү буюу түүнээс дээш утгыг авах боломжтой гэсэн үг юм. Ач холбогдолын түвшин 0.05-аас 0.01 хүртэл буурах нь зөвхөн санамсаргүй шалтгааны нөлөөнөөс болж хоёр вариацын хоорондох В шалгуурын утгыг нэмэгдүүлэхэд хүргэдэг.

Шалгуурын утга нь харьцуулсан хоёр дисперсийн чөлөөт зэргийн тооноос шууд хамаарна. Хэрэв эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо хязгааргүйд (k-me) чиглэдэг бол хоёр дисперсийн хувьд will-ийн харьцаа нэгдмэл байх хандлагатай байна.

В шалгуурын хүснэгтийн утга нь өгөгдсөн ач холбогдлын түвшин дэх хоёр дисперсийн харьцааны боломжит санамсаргүй утгыг болон харьцуулсан хэлбэлзэл тус бүрийн эрх чөлөөний зэрэглэлийн харгалзах тоог харуулдаг. Эдгээр хүснэгтэд утгын өөрчлөлтийн шалтгаан нь санамсаргүй байдлаар хийгдсэн ижил ерөнхий популяциас хийсэн дээжийн хувьд B-ийн утгыг өгсөн болно.

G-ийн утгыг хүснэгтээс (Хавсралт 4 ба 5) харгалзах багана (илүү их тархалтын эрх чөлөөний градусын тоо - k1) ба эгнээний (бага тархалтын хувьд эрх чөлөөний градусын тоо) уулзвараас олно. - k2). Тэгэхээр, хэрэв том дисперс (тоологч G) k1 = 4, бага нь (хүлээн авагч G) k2 = 9 бол a = 0.05-ын ач холбогдлын түвшинд Ga нь 3.63 болно (хэрэгсэл 4). Тиймээс санамсаргүй шалтгааны үйл ажиллагааны үр дүнд түүврүүд бага байдаг тул нэг түүврийн дисперс нь 5% -ийн ач холбогдлын түвшинд хоёр дахь түүврийн дисперсээс 3.63 дахин давж болно. Ач холбогдолын түвшин 0.05-аас 0.01 болж буурсан хүснэгтийн утга G шалгуур нь дээр дурдсанчлан нэмэгдэх болно. Тэгэхээр, ижил эрх чөлөөний зэрэгтэй k1 = 4 ба k2 = 9, a = 0.01 бол G шалгуурын хүснэгтийн утга нь 6.99 болно (хэрэгслэл 5).

Дисперсийн шинжилгээнд эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоог тодорхойлох журмыг авч үзье. Квадрат хазайлтын нийт нийлбэрт тохирох эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоог квадрат хазайлт (k1) ба бүлгийн доторх (k2) хэлбэлзлийн нийлбэрийн задралын нэгэн адил харгалзах бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задалдаг.

Иймээс бүрдсэн түүвэр популяци бол Нажиглалтыг хуваана т бүлгүүд (туршилтын сонголтуудын тоо) болон П дэд бүлгүүд (давталтын тоо), дараа нь k эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо нь:

a) квадрат хазайлтын нийт нийлбэр (dszar)

б) квадрат хазайлтын бүлэг хоорондын нийлбэрийн хувьд ^м.гП)

в) квадрат хазайлтын бүлгийн дотоод нийлбэрийн хувьд in w.gr)

Өөрчлөлтийн нэмэлт дүрмийн дагуу:

Жишээлбэл, хэрэв туршилтын дөрвөн хувилбар (m = 4) тус бүр таван давталтаар үүссэн бол (n = 5), мөн нийтажиглалт N = = т o p \u003d 4 * 5 \u003d 20, дараа нь эрх чөлөөний зэрэг нь дараахтай тэнцүү байна.

Эрх чөлөөний зэрэглэлийн квадрат хазайлтын нийлбэрийг мэдсэнээр гурван вариацын хувьд шударга бус (тохируулсан) тооцоог тодорхойлох боломжтой.

В шалгуураар H0 тэг таамаглалыг Стьюдентийн u-тестийн нэгэн адил шалгана. H0-ийг шалгах шийдвэр гаргахын тулд шалгуур үзүүлэлтийн бодит утгыг тооцоолж, хүлээн зөвшөөрөгдсөн ач холбогдлын түвшин a болон эрх чөлөөний зэрэглэлийн тооны хүснэгтийн утгатай Ba-тай харьцуулах шаардлагатай. k1ба хоёр дисперсийн хувьд k2.

Хэрэв Bfakg > Ba бол хүлээн зөвшөөрөгдсөн түвшний ач холбогдлын дагуу бид түүврийн хэлбэлзлийн ялгаа нь зөвхөн санамсаргүй хүчин зүйлээр тодорхойлогддоггүй гэж дүгнэж болно; тэд ач холбогдолтой. Энэ тохиолдолд тэг таамаглалыг үгүйсгэж, хүчин зүйл нь үүссэн шинж чанарт ихээхэн нөлөөлдөг гэж үзэх үндэслэл бий. Хэрэв< Ба, то нулевую гипотезу принимают и есть основание утверждать, что различия между сравниваемыми дисперсиями находятся в границах возможных случайных колебаний: действие фактора на результативный признак не является существенным.

Нэг эсвэл өөр ANOVA загварыг ашиглах нь судлагдсан хүчин зүйлийн тоо болон түүвэрлэлтийн аргаас хамаарна.

Үр дүнтэй шинж чанарын өөрчлөлтийг тодорхойлдог хүчин зүйлийн тооноос хамааран дээжийг нэг, хоёр ба түүнээс дээш хүчин зүйлээр үүсгэж болно. Энэхүү шинжилгээний дагуу дисперсийг нэг хүчин зүйлтэй, олон хүчин зүйлтэй гэж хуваадаг. Үгүй бол үүнийг нэг хүчин зүйлийн болон олон хүчин зүйлийн дисперсийн цогцолбор гэж нэрлэдэг.

Ерөнхий өөрчлөлтийн задралын схем нь бүлгүүдийн үүсэхээс хамаарна. Энэ нь санамсаргүй (нэг бүлгийн ажиглалт нь хоёр дахь бүлгийн ажиглалттай холбоогүй) болон санамсаргүй бус (хоёр түүврийн ажиглалт нь туршилтын нийтлэг нөхцлөөр хоорондоо холбоотой) байж болно. Үүний дагуу бие даасан болон хамааралтай дээжийг авдаг. Бие даасан дээжийг тэнцүү ба тэгш бус тоогоор үүсгэж болно. Хамааралтай дээж үүсэх нь тэдний тоог тэнцүү гэж үздэг.

Хэрэв бүлгүүд хүчирхийлэлгүй дарааллаар байгуулагдсан бол үүссэн шинж чанарын нийт өөрчлөлтөд хүчин зүйлийн (бүлэг хоорондын) болон үлдэгдэл өөрчлөлтийн хамт давталтын хэлбэлзэл орно.

Практикт ихэнх тохиолдолд бүлэг болон дэд бүлгүүдийн нөхцөлийг тэнцүүлэх үед хамааралтай дээжийг авч үзэх шаардлагатай байдаг. Тиймээс хээрийн туршилтаар бүхэл бүтэн талбайг блок болгон хуваасан, хамгийн боломжит нөхцөлтэй. Үүний зэрэгцээ, туршилтын хувилбар бүрийг бүх блокуудад төлөөлөх тэгш боломжийг олж авдаг бөгөөд энэ нь туршсан бүх сонголт, туршлагын нөхцлийг тэнцүүлж өгдөг. Туршлагыг бий болгох энэ аргыг санамсаргүй блокуудын арга гэж нэрлэдэг. Амьтадтай хийсэн туршилтыг ижил төстэй байдлаар хийдэг.

Нийгэм-эдийн засгийн мэдээллийг дисперсийн шинжилгээний аргаар боловсруулахдаа олон тооны хүчин зүйлүүд, тэдгээрийн харилцан хамаарлаас шалтгаалан нөхцөл байдлыг хамгийн нарийн уялдуулсан ч гэсэн түүний түвшинг тогтооход хэцүү байдаг гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. хүчин зүйл бүрийн үр дүнтэй шинж чанарт үзүүлэх бодит нөлөө. Тиймээс үлдэгдэл өөрчлөлтийн түвшинг зөвхөн санамсаргүй шалтгаанаар төдийгүй ANOVA загварыг бий болгоход анхаарч үзээгүй чухал хүчин зүйлүүдээр тодорхойлдог. Үүний үр дүнд харьцуулах үндэслэл болох үлдэгдэл тархалт нь заримдаа зорилгодоо хангалтгүй, хэмжээ нь хэт өндөр үнэлэгдсэн бөгөөд хүчин зүйлийн нөлөөллийн ач холбогдлын шалгуур болж чадахгүй. Үүнтэй холбогдуулан дисперсийн шинжилгээний загварыг бий болгоход энэ нь болдог бодит асуудалхамгийн чухал хүчин зүйлсийг сонгох, тэдгээрийн тус бүрийн үйл ажиллагааны илрэлийн нөхцөлийг уялдуулах. Түүнээс гадна. дисперсийн шинжилгээг ашиглах нь судалгаанд хамрагдсан статистикийн популяцийн хэвийн буюу хэвийн тархалттай ойролцоо байна. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол дисперсийн шинжилгээнд олж авсан тооцооллыг хэтрүүлсэн болно.

Туршилт, туршилтын үр дүн нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгын хэлбэлзэлд нөлөөлдөг зарим хүчин зүйлээс шалтгаална. Хүчин зүйлийн утгыг хүчин зүйлийн түвшин, утгыг үр дүнтэй шинж чанар гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, барилгын талбайд гүйцэтгэсэн ажлын хэмжээ нь ажлын багаас хамаарна. Энэ тохиолдолд бригадын тоо нь хүчин зүйлийн түвшин бөгөөд нэг ээлжийн ажлын хэмжээ нь үр дүнтэй шинж чанар юм.

Вариацын аргын шинжилгээ, эсвэл АНОВА(Variance-ийн шинжилгээ - дисперсийн шинжилгээ), гурав ба түүнээс дээш түүврийн дундаж (хүчин зүйлийн түвшин) хоорондын ялгааны статистик ач холбогдлыг судлахад үйлчилдэг. Хоёр дээж дэх хэрэгслийг харьцуулахын тулд бид ашигладаг т- шалгуур.

Хэд хэдэн бүлгийн ажиглалтын дундаж хоорондын ялгааны статистик ач холбогдлыг судлахдаа түүврийн дисперсийн шинжилгээг хийдэг тул дундаж утгыг харьцуулах журмыг дисперсийн шинжилгээ гэж нэрлэдэг. Дисперсийн шинжилгээний үндсэн үзэл баримтлалыг Фишер санал болгосон.

Аргын мөн чанар нь салгах явдал юм нийт хэлбэлзэлхоёр хэсэгт хуваах ба тэдгээрийн нэг нь санамсаргүй алдаанаас үүдэлтэй (бүлэг доторх хэлбэлзэл), хоёр дахь нь дундаж утгын зөрүүтэй холбоотой. Дараа нь дисперсийн сүүлчийн бүрэлдэхүүн хэсгийг дундаж утгуудын ялгааны статистик ач холбогдлыг шинжлэхэд ашиглана. Хэрэв энэ ялгаа нь мэдэгдэхүйц байвал тэг таамаглалыг үгүйсгэж, дундажуудын хооронд зөрүү байгаа гэсэн өөр таамаглалыг хүлээн зөвшөөрнө.

Туршилтын явцад хэмжилтээр утгыг нь тодорхойлсон хувьсагчид (жишээлбэл, эдийн засгийн үр ашиг, гарц, туршилтын үр дүн) -ийг хамааралтай хувьсагч эсвэл шинж чанар гэж нэрлэдэг. Туршилтаар удирдаж болох хувьсагчдыг (жишээ нь: менежментийн түвшин, хөрсний төрөл, сургалтын арга) хүчин зүйл буюу тайлбарлагч хувьсагч гэж нэрлэдэг.

Сонгодог дисперсийн шинжилгээнд судалж буй хэмжигдэхүүнүүд нь янз бүрийн түүврийн популяцид ялгаатай байж болох тогтмол хэлбэлзэлтэй, дундаж утгатай хэвийн тархалттай байна гэж үздэг. Бүлгийн дундаж болон үлдэгдэл дисперсийн харьцааг тэг таамаглалыг шалгах шалгуур болгон ашигладаг. Гэсэн хэдий ч дисперсийн шинжилгээ нь Гауссын бус санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд ч хүчинтэй байх ба n > 4 хүчин зүйлийн түвшин тус бүрийн түүврийн хэмжээний хувьд алдаа өндөр биш байгааг харуулсан. Хэрэв та дүгнэлтийн өндөр нарийвчлал шаардлагатай бөгөөд тархалт нь тодорхойгүй бол параметрийн бус шалгуурыг, жишээлбэл, дисперсийн эрэмбийн шинжилгээг ашиглах хэрэгтэй.

Нэг талын дисперсийн шинжилгээ

Үүнийг зохион байгуулъя мсанамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг хэмжих бүлгүүд Юзарим хүчин зүйлийн утгын янз бүрийн түвшинд, мөн a 1 , a 2 , a m- хүчин зүйлийн түвшинд үр дүнтэй шинж чанарын математик хүлээлт А (1) , А (2) , А(м) ( би=1, 2, м) тус тус.

Үүссэн шинж чанар нь хүчин зүйлээс хамааралгүй байх тухай таамаглал нь бүлгийн математик хүлээлтүүдийн тэгш байдлын талаархи тэг таамаглалыг шалгахад буурдаг.

H 0: a 1 = a 2 = a m (6.12)

Хүчин зүйлийн түвшин тус бүрийн хувьд дараах шаардлагыг хангасан тохиолдолд таамаглалыг шалгах боломжтой.

1) ажиглалт нь бие даасан бөгөөд ижил нөхцөлд явагддаг;

2) хэмжсэн санамсаргүй утгахүчин зүйлийн янз бүрийн түвшний хувьд тогтмол ерөнхий дисперстэй хэвийн тархалтын хуультай σ 2. Энэ нь таамаглал юм

H 0: σ 1 2 = σ 2 2 = σ м 2.

Гурав ба түүнээс дээш тооны хэвийн тархалтын дисперсүүд тэнцүү гэсэн таамаглалыг шалгахын тулд Бартлет тестийг ашигладаг.

Хэрэв таамаглал бол H 0: σ 1 2 = σ 2 2 = σ м 2батлагдвал бүлгийн математик хүлээлтүүдийн тэгш байдлын талаарх таамаглалыг шалгаж эхэлнэ H 0: a 1 = a 2 = a m, өөрөөр хэлбэл дисперсийн зөв шинжилгээнд. Вариацын шинжилгээ нь үүссэн шинж чанарын хувьсах чанар нь А хүчин зүйлийн түвшний өөрчлөлт, санамсаргүй хяналтгүй хүчин зүйлийн утгуудын хэлбэлзлээс үүдэлтэй гэсэн байр суурь дээр суурилдаг. Санамсаргүй хүчин зүйлсийг үлдэгдэл гэж нэрлэдэг.

Нийт түүврийн дисперсийг бүлгийн дундаж дисперсийн нийлбэр ба бүлгийн дисперсийн дундажаар илэрхийлж болохыг баталж болно.

, хаана

Нийт түүврийн зөрүү;

Хүчин зүйлийн түвшин тус бүрээр тооцсон бүлгийн хэрэгслийн тархалт ();

Бүлэг дээрх дундаж хэлбэлзэл (), хүчин зүйлийн түвшин тус бүрээр тооцсон. үзүүлэх нөлөөлөлтэй холбоотой Юүлдэгдэл (санамсаргүй) хүчин зүйлүүд.

Ерөнхий дисперсийн өргөтгөлөөс түүврийн утгууд руу шилжиж бид олж авна

, (6.13)

Түвшин тус бүрийн түүврийн хэрэгслийн квадрат хазайлтын жигнэсэн нийлбэрийг илэрхийлнэ A(i)нийт түүврийн дундажаас,

Түвшин доторх квадрат хазайлтын дундаж.

Санамсаргүй хувьсагч , , нь эрх чөлөөний зэрэгтэй холбоотой дараах утгатай байна: n - 1, м - 1, н-м. Энд n- түүврийн утгын нийт тоо, м- хүчин зүйлийн түвшний тоо.

Математикийн статистикт дундажуудын тэгш байдлын талаархи тэг таамаглал (10.8) үнэн бол утга нь батлагдсан.

Байгаа Ф-чөлөөний зэрэглэлийн тоогоор хуваарилах к = м- 1 ба л = н-м, тэр бол

(6.14)

Тэг таамаг биелэгдвэл бүлгийн доторх дисперс нь бүлгийн гишүүнчлэлийг харгалзахгүйгээр тооцоолсон нийт дисперстэй бараг давхцах болно. Дисперсийг шинжлэхэд дүрмээр бол тоологч нь хуваагчаас их байдаг. Үгүй бол ажиглалтын үр дүнд үүссэн шинж чанарт хүчин зүйлийн нөлөөллийг батлахгүй гэж үзэж байгаа бөгөөд цаашдын дүн шинжилгээ хийхгүй. Бүлэг доторх зөрүүг ашиглан харьцуулж болно Ф- дисперсийн харьцаа 1-ээс мэдэгдэхүйц их байгаа эсэхийг шалгадаг шалгуур.

Үүнтэй холбогдуулан таамаглалыг (6.12) ашиглан шалгах Ф-шалгуур, баруун гар талын чухал бүсийг шинжилдэг .

Хэрэв тооцоолсон утга Фзаасан интервалд багтсан бол тэг таамаглалыг үгүйсгэж, хүчин зүйлийн нөлөөллийг тогтоосон гэж үзнэ. ГЭХДЭЭгүйцэтгэлийн үзүүлэлтийн хувьд Ю.

Квадрат болон түүврийн дисперсийн нийлбэрийг тооцоолох жишээг өгье. Хүснэгт 6.2-т үзүүлсэн өгөгдлийн багцыг авч үзье. AT энэ жишээбагуудын гүйцэтгэлд мэдэгдэхүйц ялгаа байгаа эсэхийг тодорхойлох шаардлагатай.

Хүснэгт 6.2. Квадратуудын нийлбэрийг тооцоолох жишээ

Тархалтын шинжилгээ -Энэ нь туршилтын үр дүнд янз бүрийн хүчин зүйлсийн нөлөөллийг үнэлэх, мөн ижил төстэй туршилтыг дараа нь төлөвлөхөд зориулагдсан статистик арга юм. Энэ арга нь хэд хэдэн (хоёроос дээш) дээжийг хэмжүүрээр хэмжсэн шинж чанараар харьцуулах боломжийг олгодог. Дисперсийн шинжилгээний нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн товчлол ANOVA (Англи хэлнээс. ANAlysis Of VAriance).

Дисперсийн шинжилгээний үндэслэгч нь орчин үеийн статистикийн үндэс суурийг тавьсан Английн нэрт судлаач Рональд Фишер юм.

гол зорилго энэ аргаарга хэрэгслийн хоорондын ялгааны ач холбогдлын судалгаа юм. Дундаж утгыг харьцуулах процедурыг дисперсийн шинжилгээ гэж нэрлэдэг нь хачирхалтай санагдаж магадгүй юм. Үнэн хэрэгтээ энэ нь хоёр (эсвэл түүнээс дээш) бүлгийн дундаж хоорондын ялгааны статистик ач холбогдлыг судлахдаа бид түүврийн зөрүүг бодитоор харьцуулж (өөрөөр хэлбэл дүн шинжилгээ хийж) байгаатай холбоотой юм. Магадгүй илүү байгалийн нэр томьёо нь квадратын дүн шинжилгээ эсвэл вариацын шинжилгээний нийлбэр байж болох ч уламжлалаас шалтгаалан дисперсийн шинжилгээ гэсэн нэр томъёог ашигладаг.

Туршилтын явцад хэмжилтээр утгууд нь тодорхойлогддог хувьсагчдыг (жишээлбэл, тест дээр авсан оноо) гэж нэрлэдэг. хамааралтайхувьсагч. Туршилтаар удирдаж болох хувьсагчдыг (ажиглалтыг бүлэглэх, ангилах сургалтын арга эсвэл бусад шалгуур гэх мэт) гэж нэрлэдэг. хүчин зүйлүүдэсвэл бие даасан хувьсагчид.

Нөлөөллийг судалж буй хүчин зүйлсийн тооноос хамааран нэг хүчин зүйлийн болон олон хүчин зүйлийн дисперсийн шинжилгээг ялгадаг. Бид дисперсийн нэг талын шинжилгээг авч үзэх болно.

Вариацын шинжилгээний үндсэн таамаглалууд нь:

• 1) хүчин зүйлийн бүлэг тус бүрийн хамааралтай хувьсагчийн тархалт нь хэвийн хуультай тохирч байна (олон тооны судалгаагаар энэхүү таамаглалыг зөрчсөн нь дисперсийн шинжилгээний үр дүнд мэдэгдэхүйц нөлөө үзүүлэхгүй);
• 2) хүчин зүйлийн янз бүрийн зэрэглэлд тохирох түүврийн дисперсүүд хоорондоо тэнцүү байна (харьцуулсан түүврийн хэмжээ ялгаатай бол энэ таамаглал нь дисперсийн шинжилгээний үр дүнд зайлшгүй шаардлагатай);
• 3) хүчин зүйлийн зэрэглэлд тохирсон дээж нь бие даасан байх ёстой (энэ таамаглал нь ямар ч тохиолдолд заавал байх ёстой). Дээжийг бие даасан гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнд судалгааны объектууд бие биенээсээ үл хамааран сонгогдсон, өөрөөр хэлбэл нэг түүврийн аль нэг сэдвийг сонгох магадлал нь өөр түүврийн аль нэг субъектийг сонгохоос хамаардаггүй. Үүний эсрэгээр, хамааралтай түүврүүд нь нэг түүврийн сэдэв тус бүрийг дараахь байдлаар хуваарилдаг гэдгээрээ онцлог юм. тодорхой шалгуурөөр түүврийн сэдэв (хамааралтай түүврийн ердийн жишээ бол процедурын өмнө болон дараа ижил түүвэр дээрх шинж чанарыг хэмжих явдал юм. Энэ тохиолдолд түүвэр нь ижил субъектуудаас бүрддэг тул хамааралтай байдаг. Хамааралтай түүврийн өөр нэг жишээ: нөхөр - нэг дээж, эхнэр нь өөр дээж).

Вариацын шинжилгээ хийх алгоритм:

• 1. Таамаглал дэвшүүл H 0- үр дүнд бүлэглэх хүчин зүйлийн нөлөө байхгүй.
• 2. Бүлэг хоорондын (фактор) болон бүлэг доторх (үлдэгдэл) дисперсийг ол (th fttболон Docm).
• 3. Бид Фишер - Снедекор шалгуурын ажиглагдсан утгыг тооцоолно.

4. Фишерийн чухал хуваарилалтын цэгүүдийн хүснэгтийн дагуу - Snedekor эсвэл ашиглан стандарт функц MS Excel "ERASPOBR" олдвор

хаана: а- өгөгдсөн ач холбогдлын түвшин, x рууболон 2 хүртэл- хүчин зүйлийн болон үлдэгдэл дисперсийн чөлөөт байдлын зэрэгийн тоо.

5. Хэрэв F Ha6ji> F Kp, тэгвэл R 0 таамаглал няцаагдана. Энэ нь үр дүнд бүлэглэх хүчин зүйлийн нөлөөлөл байна гэсэн үг юм.

Хэрвээ F Ha6jlF Kp, тэгвэл №0 таамаглалыг хүлээн авна. Энэ нь үр дүнд бүлэглэх хүчин зүйлийн нөлөө байхгүй гэсэн үг юм.

Тиймээс дисперсийн шинжилгээ нь тодорхой хүчин зүйл чухал нөлөөтэй эсэхийг тогтоох зорилготой юм Ф, байгаа Ртүвшин: Ф x, Ф 2 ,..., Fp, судалж буй үнэ цэнийн хувьд.

• Гмурман В.Е. Магадлалын онол ба математикийн статистик. S. 467.

Бүх хүмүүс байгалиасаа мэдлэгийг эрэлхийлдэг. (Аристотель. Метафизик)

Вариацын шинжилгээ

Танилцуулгын тойм

Энэ хэсэгт бид ANOVA-ийн үндсэн арга, таамаглал, нэр томъёог авч үзэх болно.

Английн уран зохиолд дисперсийн шинжилгээг ихэвчлэн вариацын шинжилгээ гэж нэрлэдэг болохыг анхаарна уу. Тиймээс, товчхондоо доор бид заримдаа энэ нэр томъёог ашиглах болно АНОВА (Аншинжилгээ ое вариац) уламжлалт ANOVA болон нэр томъёоны хувьд МАНОВАолон хувьсагчийн дисперсийн шинжилгээнд зориулагдсан. Энэ хэсэгт бид дисперсийн шинжилгээний үндсэн санааг дараалан авч үзэх болно ( АНОВА), ковариацын шинжилгээ ( АНКОВА), олон хувьсагчийн дисперсийн шинжилгээ ( МАНОВА) ба олон хувьсагчийн ковариацын шинжилгээ ( МАНКОВА). Тодосгогч шинжилгээ болон дараах тестийн давуу талуудын талаар товч ярилцсаны дараа ANOVA аргууд дээр үндэслэсэн таамаглалуудыг харцгаая. Энэ хэсгийн төгсгөлд давтан хэмжилтийн дүн шинжилгээ хийх олон талт аргын давуу талыг уламжлалт нэг хэмжээст хандлагаас тайлбарлав.

Гол санаанууд

Вариацын шинжилгээний зорилго.Вариацын шинжилгээний гол зорилго нь дундажуудын ялгааны ач холбогдлыг судлах явдал юм. Бүлэг (Бүлэг 8) статистикийн ач холбогдлын сорилтын талаар товч танилцуулгыг оруулсан болно. Хэрэв та хоёр түүврийн дундаж утгыг харьцуулж байгаа бол дисперсийн шинжилгээ нь ердийн шинжилгээтэй ижил үр дүнг өгнө. т- бие даасан дээжийн шалгуур (хэрэв бие даасан хоёр бүлэг объект эсвэл ажиглалтыг харьцуулсан бол), эсвэл т- хамааралтай түүврийн шалгуур (хэрэв хоёр хувьсагчийг ижил объект эсвэл ажиглалт дээр харьцуулсан бол). Хэрэв та эдгээр шалгуурыг сайн мэдэхгүй байгаа бол бид танд бүлгийн танилцуулгын тоймыг үзэхийг зөвлөж байна. (9-р бүлэг).

Нэр хаанаас ирсэн юм Вариацын шинжилгээ? Дундаж утгыг харьцуулах процедурыг дисперсийн шинжилгээ гэж нэрлэдэг нь хачирхалтай санагдаж магадгүй юм. Үнэн хэрэгтээ энэ нь дундаж утгуудын хоорондын ялгааны статистикийн ач холбогдлыг судалж үзэхэд бид үнэндээ хэлбэлзлийг шинжилж байгаатай холбоотой юм.

Квадратуудын нийлбэрийг хуваах

Түүврийн хэмжээ n-ийн хувьд түүврийн зөрүүг түүврийн дундаж утгаас квадрат хазайлтын нийлбэрийг n-1-д хуваасан (түүврийн хэмжээ хасах нэг) гэж тооцно. Тиймээс, түүврийн тогтмол хэмжээтэй n-ийн хувьд дисперс нь квадратуудын нийлбэрийн функц (хазайлт) юм. SS(Англи хэлнээс Sum of Squares - Sum of Squares). Дисперсийн шинжилгээ нь дисперсийг хэсэг болгон хуваах (эсвэл хуваах) дээр суурилдаг. Дараах өгөгдлийн багцыг анхаарч үзээрэй.

Хоёр бүлгийн дундаж нь мэдэгдэхүйц ялгаатай (тус тус 2 ба 6). Квадрат хазайлтын нийлбэр доторБүлэг тус бүрийн тоо 2. Тэдгээрийг нэгтгэснээр бид 4-ийг авна. Хэрэв бид одоо эдгээр тооцоог давтан хийвэл оруулахгүйбүлгийн гишүүнчлэл, өөрөөр хэлбэл бид тооцоолох юм бол SSХоёр түүврийн нийлмэл дундж дээр үндэслэн бид 28-ыг авна. Өөрөөр хэлбэл, бүлгийн доторх хэлбэлзэлд үндэслэсэн дисперс (квадратуудын нийлбэр) нь нийт хэлбэлзэлд (нийттэй харьцуулахад) үндэслэн тооцсоноос хамаагүй бага утгыг өгдөг. гэсэн үг). Үүний шалтгаан нь мэдээжийн хэрэг дунджуудын хоорондох мэдэгдэхүйц ялгаа бөгөөд дундаж үзүүлэлтүүдийн хоорондын энэ ялгааг тайлбарлаж байна одоо байгаа ялгааквадратуудын нийлбэр хооронд. Үнэхээр, хэрэв бид модулийг ашигладаг бол Вариацын шинжилгээ, дараах үр дүн гарна.

Хүснэгтээс харахад квадратуудын нийт нийлбэр SS=28-ыг квадратуудын нийлбэрт хуваана бүлэг доторххэлбэлзэл ( 2+2=4 ; Хүснэгтийн хоёр дахь мөрийг харна уу) болон дундаж утгуудын зөрүүгээс шалтгаалан квадратуудын нийлбэр. (28-(2+2)=24; хүснэгтийн эхний мөрийг үзнэ үү).

SS алдаа болонSS нөлөө.Бүлэг доторх хэлбэлзэл ( SS) ихэвчлэн дисперс гэж нэрлэдэг алдаа.Энэ нь туршилт хийх үед үүнийг урьдчилан таамаглах эсвэл тайлбарлах боломжгүй гэсэн үг юм. Нөгөө талаар, SS нөлөө(эсвэл бүлэг хоорондын хувьсах чанар) нь судалж буй бүлгүүдийн дундаж хоорондын зөрүүгээр тайлбарлаж болно. Өөрөөр хэлбэл, тодорхой бүлэгт хамаарах тайлбарлаж байнабүлэг хоорондын хэлбэлзэл, учир нь Эдгээр бүлгүүд өөр өөр арга хэрэгсэлтэй гэдгийг бид мэднэ.

Ач холбогдол шалгах.Статистикийн ач холбогдлыг шалгах үндсэн санааг энэ бүлэгт авч үзнэ Статистикийн анхан шатны ойлголтууд(8-р бүлэг). Ижил бүлэгт олон тестүүд яагаад тайлбарласан болон тайлбарлагдаагүй дисперсийн харьцааг ашигладаг шалтгааныг тайлбарласан болно. Энэ хэрэглээний жишээ бол дисперсийн өөрөө шинжилгээ юм. ANOVA дахь ач холбогдлын тест нь бүлгүүдийн хоорондын хэлбэлзлээс үүдэлтэй хэлбэлзлийг харьцуулах (гэж нэрлэдэг) дээр суурилдаг. дундаж квадрат эффектэсвэл MSҮр нөлөө) ба бүлэг доторх тархалтаас үүдэлтэй тархалт (гэж нэрлэдэг дундаж квадрат алдааэсвэл MSалдаа). Хэрэв тэг таамаглал үнэн бол (хоёр популяци дахь дундажуудын тэгш байдал) санамсаргүй хэлбэлзлийн улмаас түүврийн дундаж утгуудын харьцангуй бага зөрүүг бид хүлээж болно. Тиймээс тэг таамаглалын дагуу бүлгийн дотоод дисперс нь бүлгийн гишүүнчлэлийг харгалзахгүйгээр тооцоолсон нийт дисперстэй бараг давхцах болно. Бүлэг доторх зөрүүг ашиглан харьцуулж болно Ф- дисперсийн харьцаа 1-ээс мэдэгдэхүйц их эсэхийг шалгах тест. Дээрх жишээнд, Ф- Туршилт нь дундаж үзүүлэлтүүдийн хоорондын ялгаа нь статистик ач холбогдолтой болохыг харуулж байна.

ANOVA-ийн үндсэн логик.Дүгнэж хэлэхэд, дисперсийн шинжилгээний зорилго нь дундаж (бүлэг эсвэл хувьсагчийн хувьд) хоорондын ялгааны статистик ач холбогдлыг шалгах явдал юм гэж хэлж болно. Энэхүү шалгалтыг дисперсийн шинжилгээ ашиглан хийдэг, өөрөөр хэлбэл. нийт дисперсийг (хувьсах) хэсгүүдэд хуваах замаар тэдгээрийн нэг нь санамсаргүй алдаанаас (өөрөөр хэлбэл, бүлгийн доторх хэлбэлзэл), хоёр дахь нь дундаж утгын зөрүүтэй холбоотой байдаг. Дараа нь дисперсийн сүүлчийн бүрэлдэхүүн хэсгийг дундаж утгуудын ялгааны статистик ач холбогдлыг шинжлэхэд ашиглана. Хэрэв энэ ялгаа нь мэдэгдэхүйц байвал тэг таамаглалыг үгүйсгэж, дундажуудын хооронд зөрүү байгаа гэсэн өөр таамаглалыг хүлээн зөвшөөрнө.

Хараат болон бие даасан хувьсагчид.Туршилтын явцад хэмжилтээр утгууд нь тодорхойлогддог хувьсагчдыг (жишээлбэл, тест дээр авсан оноо) гэж нэрлэдэг. хамааралтайхувьсагч. Туршилтаар удирдаж болох хувьсагчдыг (жишээлбэл, сургалтын арга эсвэл ажиглалтыг бүлэгт хуваах боломжийг олгодог бусад шалгуурууд) гэж нэрлэдэг. хүчин зүйлүүдэсвэл бие даасанхувьсагч. Эдгээр ойлголтуудыг бүлэгт илүү дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно Статистикийн анхан шатны ойлголтууд(8-р бүлэг).

Олон хувьсагчийн дисперсийн шинжилгээ

Дээрх зүйлд энгийн жишээта тохирох модулийн сонголтыг ашиглан бие даасан дээжийн t-тестийг нэн даруй тооцоолж болно Үндсэн статистик ба хүснэгтүүд.Хүлээн авсан үр дүн нь мэдээжийн хэрэг дисперсийн шинжилгээний үр дүнтэй давхцаж байна. Гэсэн хэдий ч дисперсийн шинжилгээ нь уян хатан, хүчтэй байдаг техникийн хэрэгсэл, үүнийг илүү нарийн төвөгтэй судалгаанд ашиглаж болно.

Маш олон хүчин зүйл.Дэлхий угаасаа нарийн төвөгтэй, олон хэмжээст юм. Зарим үзэгдлийг нэг хувьсагчаар бүрэн дүрсэлсэн нөхцөл байдал маш ховор байдаг. Жишээлбэл, хэрэв бид том улаан лоолийг хэрхэн ургуулах талаар сурах гэж байгаа бол ургамлын генетик бүтэц, хөрсний төрөл, гэрэл, температур гэх мэт хүчин зүйлсийг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Тиймээс ердийн туршилт хийхдээ олон тооны хүчин зүйлсийг шийдвэрлэх шаардлагатай болдог. ANOVA-г ашиглах гол шалтгаан нь хоёр түүврийг өөр өөр түвшний хүчин зүйлсийг ашиглан дахин харьцуулах нь зүйтэй юм т- шалгуур нь дисперсийн шинжилгээ илүү их байдаг үр дүнтэйжижиг дээжийн хувьд илүү мэдээлэлтэй.

Хүчин зүйлийн удирдлага.Дээр дурдсан хоёр түүвэр шинжилгээний жишээн дээр бид өөр нэг хүчин зүйлийг нэмсэн гэж үзье, жишээ нь: Шал- Хүйс. Бүлэг бүр 3 эрэгтэй, 3 эмэгтэй байх ёстой. Энэхүү туршилтын загварыг 2-оос 2 хүснэгт хэлбэрээр танилцуулж болно.

	Туршилт. 1-р бүлэг	Туршилт. 2-р бүлэг
Эрэгтэйчүүд	2	6
	3	7
	1	5
Дундаж	2	6
Эмэгтэйчүүд	4	8
	5	9
	3	7
Дундаж	4	8

Тооцооллыг хийхээс өмнө энэ жишээнд нийт хэлбэлзэл дор хаяж гурван эх үүсвэртэй болохыг харж болно.

(1) санамсаргүй алдаа (бүлгийн хэлбэлзэл дотор),

(2) туршилтын бүлгийн гишүүнчлэлтэй холбоотой хувьсах байдал, мөн

(3) ажиглагдсан объектуудын хүйсээс шалтгаалж хэлбэлзэл.

(Хувьсах өөр эх үүсвэр байгааг анхаарна уу - хүчин зүйлсийн харилцан үйлчлэл, бид үүнийг дараа хэлэлцэх болно). Бид оруулахгүй бол яах вэ шал –хүйсдүн шинжилгээ хийх хүчин зүйл болгон ердийн т- шалгуур? Хэрэв бид квадратуудын нийлбэрийг тооцох юм бол үл тоомсорлодог шал -хүйс(өөрөөр хэлбэл, бүлэг доторх дисперсийг тооцоолохдоо өөр өөр хүйсийн объектуудыг нэг бүлэгт нэгтгэж, бүлэг тус бүрийн квадратын нийлбэрийг тэнцүү болгох) SS=10, мөн квадратуудын нийт нийлбэр SS= 10+10 = 20), дараа нь бид дэд бүлэгт нэмэлт хуваах замаар илүү нарийвчлалтай дүн шинжилгээ хийхээс илүү бүлгийн доторх тархалтын утгыг олж авна. хагас хүйс(энэ тохиолдолд бүлэг доторх дундаж нь 2-той тэнцүү байх ба бүлэг доторх нийт квадратуудын нийлбэр нь тэнцүү байх болно. SS = 2+2+2+2 = 8). Энэ ялгаа нь дундаж утгаас шалтгаална эрчүүд - эрчүүддунджаас бага байна эмэгтэйчүүд -эмэгтэй, мөн бэлгийн харьцааг тооцохгүй бол дундаж бүлгийн энэ ялгаа нь нийт бүлэг доторх хэлбэлзлийг нэмэгдүүлдэг. Алдааны зөрүүг хянах нь тестийн мэдрэмжийг (хүч) нэмэгдүүлдэг.

Энэ жишээ нь уламжлалт анализаас ялгаатай байдлын шинжилгээний өөр нэг давуу талыг харуулж байна. т-хоёр түүврийн шалгуур. Вариацын шинжилгээ нь бусад хүчин зүйлсийн утгыг хянах замаар хүчин зүйл бүрийг судлах боломжийг олгодог. Энэ нь үнэн хэрэгтээ статистикийн өндөр чадлын гол шалтгаан юм (утгатай үр дүнд хүрэхийн тулд түүврийн хэмжээ бага байх шаардлагатай). Ийм учраас жижиг дээж дээр ч гэсэн дисперсийн шинжилгээ нь энгийн нэгээс илүү статистикийн хувьд илүү чухал үр дүнг өгдөг. т- шалгуур.

Харилцааны нөлөө

Уламжлалт анализаас ANOVA ашиглах нь бас нэг давуу талтай. т- Шалгуур: дисперсийн шинжилгээ таныг илрүүлэх боломжийг олгодог харилцан үйлчлэлхүчин зүйлсийн хооронд байдаг тул илүү төвөгтэй загваруудыг судлах боломжийг олгодог. Үүнийг харуулахын тулд өөр жишээг авч үзье.

Үндсэн нөлөө, хос (хоёр хүчин зүйлийн) харилцан үйлчлэл.Хоёр бүлэг оюутнууд байдаг бөгөөд сэтгэл зүйн хувьд нэгдүгээр бүлгийн оюутнууд өгсөн үүрэг даалгавраа биелүүлэхэд тааруулж, залхуу оюутнуудаас бүрддэг хоёрдугаар бүлгийн оюутнуудаас илүү зорилготой гэж бодъё. Бүлэг бүрийг санамсаргүй байдлаар хагас болгон хувааж, нэг бүлэгт нэг хүнд хэцүү, нөгөөд нь хялбар даалгавар санал болгоё. Үүний дараа бид оюутнууд эдгээр даалгавар дээр хэр шаргуу ажиллаж байгааг хэмждэг. Энэхүү (зохиомол) судалгааны дундаж утгыг хүснэгтэд үзүүлэв.

Эдгээр үр дүнгээс ямар дүгнэлт хийж болох вэ? Үүнд: (1) оюутнууд хүнд хэцүү даалгавар дээр илүү шаргуу ажилладаг; (2) хүсэл эрмэлзэлтэй оюутнууд залхуугаасаа илүү шаргуу ажилладаг уу? Эдгээр мэдэгдлийн аль нь ч хүснэгтэд өгөгдсөн дундаж үзүүлэлтүүдийн системчилсэн шинж чанарын мөн чанарыг тусгаагүй болно. Үр дүнд нь дүн шинжилгээ хийхдээ зөвхөн хүсэл эрмэлзэлтэй сурагчид нарийн төвөгтэй даалгавар дээр илүү их ажилладаг бол зөвхөн залхуу оюутнууд хялбар даалгавар дээр илүү их ажилладаг гэж хэлэх нь илүү зөв байх болно. Өөрөөр хэлбэл, сурагчдын мөн чанар, даалгаврын нарийн төвөгтэй байдал харилцан үйлчилдэгбие биедээ шаардагдах хүчин чармайлтын хэмжээнд нөлөөлдөг. Энэ бол жишээ хосын харилцан үйлчлэлсурагчдын мөн чанар ба даалгаврын нарийн төвөгтэй байдлын хооронд. 1 ба 2-р мэдэгдлүүд тайлбарлаж байгааг анхаарна уу үндсэн нөлөө.

Дээд зэрэглэлийн харилцан үйлчлэл.Хос хоорондын харилцан үйлчлэлийг тайлбарлахад харьцангуй хялбар байдаг бол дээд эрэмбийн харилцан үйлчлэлийг тайлбарлахад илүү хэцүү байдаг. Дээр дурдсан жишээн дээр өөр нэг хүчин зүйлийг оруулсан гэж төсөөлөөд үз дээ шал -ХүйсБид дараах дундаж хүснэгтийг авсан.

Одоо олж авсан үр дүнгээс ямар дүгнэлт хийж болох вэ? Дундаж графикууд нь нарийн төвөгтэй эффектүүдийг тайлбарлахад хялбар болгодог. Вариацын модулийн шинжилгээ нь эдгээр графикуудыг бараг нэг товшилтоор бүтээх боломжийг олгодог.

Доорх график дээрх зураг нь судалж буй гурван талын харилцан үйлчлэлийг харуулж байна.

Графикаас харахад эмэгтэйчүүдэд зориулсан тестийн мөн чанар, хүндрэл хоёрын хооронд харилцан хамаарал байгааг бид хэлж чадна: урам зоригтой эмэгтэйчүүд амар хялбараас илүү хэцүү даалгавар дээр шаргуу ажилладаг. Эрэгтэйчүүдэд ижил харилцан үйлчлэл эсрэгээрээ байдаг. Хүчин зүйлсийн харилцан үйлчлэлийн тайлбар нь улам бүр будлиантай болж байгааг харж болно.

Ерөнхий аргахарилцан үйлчлэлийн тодорхойлолт. AT ерөнхий тохиолдолхүчин зүйлсийн харилцан үйлчлэлийг нэг нөлөөг нөгөө хүчин зүйлийн нөлөөн дор өөрчлөх гэж тодорхойлдог. Дээр дурдсан жишээнд хоёр хүчин зүйлийн харилцан үйлчлэлийг оюутны зан чанарыг тодорхойлсон хүчин зүйлийн нөлөөн дор даалгаврын нарийн төвөгтэй байдлыг тодорхойлдог хүчин зүйлийн үндсэн нөлөөллийн өөрчлөлт гэж тодорхойлж болно. Өмнөх догол мөр дэх гурван хүчин зүйлийн харилцан үйлчлэлийн хувьд бид хоёр хүчин зүйлийн харилцан үйлчлэл (даалгаврын нарийн төвөгтэй байдал, оюутны зан чанар) нөлөөн дор өөрчлөгддөг гэж хэлж болно. хүйс – Хүйс. Хэрэв дөрвөн хүчин зүйлийн харилцан үйлчлэлийг судалж үзвэл дөрөв дэх хүчин зүйлийн нөлөөн дор гурван хүчин зүйлийн харилцан үйлчлэл өөрчлөгддөг гэж хэлж болно. дөрөв дэх хүчин зүйлийн янз бүрийн түвшинд харилцан үйлчлэлийн янз бүрийн хэлбэрүүд байдаг. Олон салбарт тав ба түүнээс дээш хүчин зүйлийн харилцан үйлчлэл нь ер бусын зүйл биш болох нь тогтоогдсон.

Нарийн төвөгтэй төлөвлөгөө

Бүлэг хоорондын болон бүлэг доторх төлөвлөгөө (дахин хэмжих төлөвлөгөө)

Хоёр өөр бүлгийг харьцуулахдаа нэг нь ихэвчлэн ашигладаг т- бие даасан дээжийн шалгуур (модульээс Үндсэн статистик ба хүснэгтүүд). Хоёр хувьсагчийг ижил объект (ажиглалт) дээр харьцуулах үед үүнийг ашигладаг т-хамааралтай түүврийн шалгуур. Дисперсийг шинжлэхийн тулд түүврүүд хамааралтай эсэх нь бас чухал юм. Хэрэв ижил хувьсагчийн хэмжилт давтагдсан бол ( at өөр өөр нөхцөл байдалэсвэл дотор өөр цаг) ижил объектуудын хувьд, дараа нь тэд оршихуйн талаар хэлдэг давтан хэмжилтийн хүчин зүйл(мөн гэж нэрлэдэг бүлгийн дотоод хүчин зүйлучир нь түүний ач холбогдлыг үнэлэхийн тулд бүлэг доторх квадратуудын нийлбэрийг тооцдог). Хэрэв янз бүрийн бүлгийн объектуудыг харьцуулж үзвэл (жишээлбэл, эрэгтэй, эмэгтэй хүмүүс, бактерийн гурван омог гэх мэт) бүлгүүдийн ялгааг тайлбарлана. бүлэг хоорондын хүчин зүйл.Тодорхойлсон хоёр төрлийн хүчин зүйлийн ач холбогдлын шалгуурыг тооцоолох аргууд нь өөр боловч тэдгээрийн ерөнхий логик, тайлбар нь ижил байна.

Бүлэг хоорондын болон бүлгийн төлөвлөгөө.Ихэнх тохиолдолд туршилт нь загварт бүлэг хоорондын хүчин зүйл болон давтан хэмжих хүчин зүйлийг хоёуланг нь оруулахыг шаарддаг. Жишээлбэл, эмэгтэй, эрэгтэй оюутнуудын математикийн чадварыг хэмждэг (хаана шал -Хүйс-бүлэг хоорондын хүчин зүйл) улирлын эхэн ба төгсгөлд. Оюутан бүрийн ур чадварын хоёр хэмжигдэхүүн нь бүлэг доторх хүчин зүйлийг (давтан хэмжих хүчин зүйл) бүрдүүлдэг. Бүлэг хоорондын болон давтан хэмжих хүчин зүйлсийн үндсэн нөлөөлөл, харилцан үйлчлэлийн тайлбар нь ижил бөгөөд хоёр төрлийн хүчин зүйл нь хоорондоо харилцан үйлчлэлцэх нь ойлгомжтой (жишээлбэл, эмэгтэйчүүд семестрийн туршид ур чадвар эзэмшиж, эрэгтэйчүүд ур чадвараа алддаг).

Бүрэн бус (үүрлэсэн) төлөвлөгөө

Ихэнх тохиолдолд харилцан үйлчлэлийн үр нөлөөг үл тоомсорлож болно. Энэ нь хүн амын дунд харилцан үйлчлэлийн үр нөлөө байхгүй нь мэдэгдэж байгаа эсвэл бүрэн хэрэгжсэн үед тохиолддог хүчин зүйлтөлөвлөгөө боломжгүй. Тухайлбал, дөрвөн төрлийн түлшний нэмэлт түлшний хэрэглээнд хэрхэн нөлөөлж байгааг судалж байна. Дөрвөн машин, дөрвөн жолооч сонгогддог. Бүрэн хүчин зүйлтуршилт нь хослол бүрийг шаарддаг: нэмэлт, жолооч, машин, дор хаяж нэг удаа гарч ирэх. Үүнд хамгийн багадаа 4 x 4 x 4 = 64 туршилтын бүлэг шаардлагатай бөгөөд энэ нь хэтэрхий их цаг хугацаа шаарддаг. Нэмж дурдахад жолооч болон түлшний нэмэлт хоёрын харилцан үйлчлэл бараг байдаггүй. Үүнийг анхаарч үзвэл та төлөвлөгөөг ашиглаж болно латин квадратууд,Энэ нь зөвхөн 16 бүлгийн туршилтыг агуулдаг (дөрвөн нэмэлтийг A, B, C, D үсгээр тэмдэглэсэн):

Латин квадратуудыг ихэнх туршилтын дизайны номуудад тайлбарласан байдаг (жишээ нь: Hays, 1988; Lindman, 1974; Milliken and Johnson, 1984; Winer, 1962) бөгөөд энд дэлгэрэнгүй авч үзэхгүй. Латин квадратууд гэдгийг анхаарна уу үгүйnдүүрэнхүчин зүйлийн түвшний бүх хослолыг оруулаагүй төлөвлөгөө. Жишээлбэл, 1-р жолооч зөвхөн А нэмэлттэй 1-р машин жолоодож, 3-р жолооч зөвхөн С нэмэлттэй 1-р машиныг жолооддог. Хүчин зүйлийн түвшин нэмэлтүүд ( A, B, C ба D) хүснэгтийн нүдэнд үүрлэсэн автомашин x жолооч -үүрэнд байгаа өндөг шиг. Энэхүү мнемоник дүрэм нь мөн чанарыг ойлгоход тустай үүрлэсэн эсвэл үүрлэсэнтөлөвлөгөө. Модуль Вариацын шинжилгээхангадаг энгийн аргуудэнэ төрлийн төлөвлөгөөнд дүн шинжилгээ хийх.

Ковариацын шинжилгээ

Үндсэн санаа

Бүлэгт Гол санаануудХяналтын хүчин зүйлс, нэмэлт хүчин зүйлсийг оруулснаар квадрат алдааны нийлбэрийг хэрхэн бууруулж, дизайны статистик хүчийг нэмэгдүүлэх талаар товч ярилцав. Энэ бүгдийг тасралтгүй багц утгууд бүхий хувьсагчдад өргөтгөж болно. Ийм тасралтгүй хувьсагчдыг загварт хүчин зүйл болгон оруулсан тохиолдолд тэдгээрийг дуудна ковариатууд.

Тогтмол ковариатууд

Бид хоёр өөр сурах бичгээс заалгасан хоёр бүлгийн оюутнуудын математикийн чадварыг харьцуулж байна гэж бодъё. Оюутан бүрийн оюуны чадавхийн (IQ) өгөгдөл байна гэж бодъё. IQ нь математикийн ур чадвартай холбоотой гэж бид таамаглаж, энэ мэдээллийг ашиглаж болно. Хоёр бүлгийн оюутнуудын хувьд IQ болон математикийн ур чадвар хоорондын хамаарлын коэффициентийг тооцоолж болно. Энэхүү корреляцийн коэффициентийг ашиглан IQ-ийн нөлөөгөөр тайлбарлагдаж буй бүлгүүдийн дисперсийн хувь ба тайлбарлагдаагүй дисперсийн хувийг хооронд нь ялгах боломжтой (мөн харна уу). Статистикийн анхан шатны ойлголтууд(8-р бүлэг) ба Үндсэн статистик ба хүснэгтүүд(Бүлэг 9)). Үлдсэн дисперсийн хэсгийг шинжилгээнд алдааны дисперс болгон ашигладаг. Хэрэв IQ болон математикийн ур чадварын хооронд хамаарал байгаа бол алдааны зөрүүг мэдэгдэхүйц бууруулах боломжтой. SS/(n-1) .

Ковариацын нөлөөF- шалгуур. F-шалгуур үзүүлэлт нь бүлгүүдийн дундаж утгуудын ялгааны статистик ач холбогдлыг үнэлдэг бол бүлэг хоорондын дисперсийн харьцааг тооцдог ( MSнөлөө) алдааны зөрүүнд ( MSалдаа) . Хэрвээ MSалдаабуурдаг, жишээлбэл, IQ хүчин зүйлийг харгалзан үзэхэд үнэ цэнэ Фнэмэгддэг.

Олон тооны ковариатууд.Нэг ковариатын (IQ) дээр ашигласан үндэслэл нь олон ковариатад амархан тархдаг. Жишээлбэл, IQ-аас гадна та сэдэл, орон зайн сэтгэлгээний хэмжилтийг багтааж болно. Ердийн корреляцийн коэффициентийн оронд ашигладаг олон хүчин зүйлхамаарал.

Хэзээ үнэ цэнэФ -шалгуур багасна.Заримдаа туршилтын загварт ковариатуудыг оруулах нь үнэ цэнийг бууруулдаг Ф- шалгуур . Энэ нь ихэвчлэн ковариатууд нь зөвхөн хамааралтай хувьсагчтай (математикийн ур чадвар гэх мэт) хамааралтай төдийгүй хүчин зүйлтэй (өөр өөр сурах бичиг гэх мэт) хамааралтай болохыг харуулж байна. Хоёр бүлэг оюутнууд хоёр өөр сурах бичиг судалж бараг жил зарцуулсны дараа IQ-ийг улирлын төгсгөлд хэмждэг гэж бодъё. Хэдийгээр оюутнуудыг санамсаргүй байдлаар бүлэгт хуваасан ч сурах бичгийн ялгаа маш их байгаа тул IQ болон математикийн чадварууд өөр өөр бүлгүүдэд ихээхэн ялгаатай байх болно. Энэ тохиолдолд ковариатууд нь алдааны дисперсийг багасгахаас гадна бүлэг хоорондын дисперсийг бууруулдаг. Өөрөөр хэлбэл, бүлгүүдийн IQ-ийн зөрүүг хянасны дараа математикийн ур чадварын ялгаа мэдэгдэхүйц байхаа болино. Өөрөөр хэлж болно. IQ-ийн нөлөөг "арилгасны" дараа сурах бичгийн математикийн чадварыг хөгжүүлэхэд үзүүлэх нөлөөг санамсаргүйгээр хасдаг.

Тохируулсан дундаж үзүүлэлтүүд.Ковариат нь бүлэг хоорондын хүчин зүйлд нөлөөлөх үед тооцоолох хэрэгтэй тохируулсан дундаж, өөрөөр хэлбэл Ковариацын бүх тооцоог хассаны дараа олж авсан ийм арга хэрэгсэл.

Ковариац ба хүчин зүйлсийн харилцан үйлчлэл.Хүчин зүйлсийн харилцан үйлчлэлийг судалдагтай адил ковариацын болон бүлэг хүчин зүйлсийн хоорондын харилцан үйлчлэлийг судалж болно. Сурах бичгүүдийн аль нэг нь ухаалаг оюутнуудад тохиромжтой гэж бодъё. Хоёр дахь сурах бичиг нь ухаантай сурагчдад уйтгартай, харин ижил сурах бичиг нь ухаан муутай оюутнуудад хэцүү байдаг. Үүний үр дүнд нэгдүгээр бүлэгт IQ болон сургалтын үр дүнгийн хооронд эерэг хамаарал (ухаалаг сурагчид, илүү сайн үр дүн), хоёрдугаар бүлэгт тэг буюу бага сөрөг хамааралтай (оюутан ухаантай байх тусмаа математикийн ур чадвар эзэмших магадлал бага байдаг). хоёр дахь сурах бичгээс). Зарим судалгаанд энэ нөхцөл байдлыг ковариацын шинжилгээний таамаглалыг зөрчсөн жишээ болгон авч үздэг. Гэсэн хэдий ч, Вариацын дүн шинжилгээ хийх модуль нь ковариацын шинжилгээний хамгийн түгээмэл аргуудыг ашигладаг тул, ялангуяа хүчин зүйлүүд болон ковариатуудын хоорондын харилцан үйлчлэлийн статистикийн ач холбогдлыг үнэлэх боломжтой.

Хувьсах ковариатууд

Сурах бичигт тогтмол ковариацын талаар нэлээд олон удаа хэлэлцдэг бол хувьсах ковариатуудын талаар бага дурдсан байдаг. Ихэвчлэн давтан хэмжилт хийх туршилт хийхдээ цаг хугацааны өөр өөр цэгүүдэд ижил хэмжигдэхүүнүүдийн хэмжилтийн ялгааг сонирхдог. Тухайлбал, бид эдгээр ялгааны ач холбогдлыг сонирхож байна. Хэрэв ковариацын хэмжилтийг хамааралтай хувьсагчийн хэмжилттэй нэгэн зэрэг хийвэл ковариат ба хамааралтай хувьсагчийн хоорондын хамаарлыг тооцоолж болно.

Жишээлбэл, та улирлын эхэн болон төгсгөлд математикийн сонирхол, математикийн ур чадварыг судлах боломжтой. Математикийн сонирхлын өөрчлөлт нь математикийн ур чадварын өөрчлөлттэй холбоотой эсэхийг шалгах нь сонирхолтой байх болно.

Модуль Вариацын шинжилгээ in СТАТИСТИКболомжтой бол тэдгээр төлөвлөгөөн дэх ковариатуудын өөрчлөлтийн статистик ач холбогдлыг автоматаар үнэлдэг.

Олон хувьсагчийн загвар: Олон хувьсагчийн ANOVA ба Ковариацын шинжилгээ

Бүлэг хоорондын төлөвлөгөө

Өмнө авч үзсэн бүх жишээнд зөвхөн нэг хамааралтай хувьсагч багтсан. Хэд хэдэн хамааралтай хувьсагч нэгэн зэрэг байх үед зөвхөн тооцооны нарийн төвөгтэй байдал нэмэгдэж, агуулга, үндсэн зарчим өөрчлөгддөггүй.

Тухайлбал, хоёр өөр сурах бичиг дээр судалгаа хийж байгаа. Үүний зэрэгцээ оюутнуудын физик, математикийн хичээлийн амжилтыг судалдаг. Энэ тохиолдолд хоёр хамааралтай хувьсагч байдаг бөгөөд хоёр өөр сурах бичиг тэдэнд нэгэн зэрэг хэрхэн нөлөөлж байгааг олж мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та олон талт дисперсийн шинжилгээ (MANOVA) ашиглаж болно. Нэг хэмжээстийн оронд Фшалгуур, олон хэмжээст Фалдааны ковариацын матриц болон бүлэг хоорондын ковариацын матрицыг харьцуулсан тест (Wilks l-test).

Хэрэв хамааралтай хувьсагчид хоорондоо хамааралтай бол ач холбогдлын тестийг тооцоолохдоо энэ хамаарлыг харгалзан үзнэ. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв ижил хэмжилтийг хоёр удаа давтвал энэ тохиолдолд шинэ зүйл олж авах боломжгүй юм. Хэрэв үүнтэй хамааралтай хэмжигдэхүүнийг одоо байгаа хэмжигдэхүүн дээр нэмбэл зарим шинэ мэдээлэл олж авах боловч шинэ хувьсагч нь хувьсагчдын хоорондын ковариацаар тусгагдсан илүүдэл мэдээллийг агуулна.

Үр дүнгийн тайлбар.Хэрэв нийт олон хувьсагчийн шалгуур нь чухал бол харгалзах нөлөө (жишээлбэл, сурах бичгийн төрөл) чухал гэж дүгнэж болно. Гэсэн хэдий ч тэд босдог дараагийн асуултууд. Сурах бичгийн төрөл нь зөвхөн математикийн ур чадвар, зөвхөн бие бялдрын ур чадвар, эсвэл хоёуланг нь сайжруулахад нөлөөлдөг үү. Үнэн хэрэгтээ, утга учиртай олон талт шалгуурыг олж авсны дараа нэг үндсэн нөлөө эсвэл харилцан үйлчлэлийн хувьд нэг хэмжээст Фшалгуур. Өөрөөр хэлбэл, олон хувьсагч тестийн ач холбогдлыг бий болгоход нөлөөлж буй хамааралтай хувьсагчдыг тусад нь шалгадаг.

Давтан хэмжилт бүхий төлөвлөгөө

Хэрэв оюутнуудын математик, физикийн ур чадварыг улирлын эхэн ба төгсгөлд хэмждэг бол эдгээр нь давтан хэмжилт юм. Ийм төлөвлөгөөний ач холбогдлын шалгуурыг судлах нь нэг хэмжээст хэргийн логик хөгжил юм. Олон хувьсагчийн ANOVA аргуудыг хоёроос дээш түвшний нэг хувьсагчтай давтан хэмжих хүчин зүйлсийн ач холбогдлыг судлахад ихэвчлэн ашигладаг болохыг анхаарна уу. Холбогдох програмуудыг энэ хэсэгт дараа нь хэлэлцэх болно.

Хувьсагчийн утгын нийлбэр ба олон хувьсагчийн дисперсийн шинжилгээ

Нэг хувьсагчийн болон олон хувьсагчийн ANOVA-ийн туршлагатай хэрэглэгчид ч гэсэн гурван хувьсагчийн нийлбэрт олон хувьсагчийн ANOVA-г ашиглах, нэг хувьсагч болгон гурван хувьсагчийн нийлбэрт нэг хувьсах ANOVA-г хэрэглэх үед өөр үр дүнд хүрч будилдаг.

Санаа нийлбэрХувьсагч бүр нь судалж буй бодит хувьсагчаас гадна санамсаргүй хэмжилтийн алдааг агуулсан байдаг. Тиймээс хувьсагчдын утгыг дундажлах үед хэмжилтийн алдаа нь бүх хэмжилтийн хувьд 0-д ойртох бөгөөд дундаж утгууд нь илүү найдвартай байх болно. Үнэн хэрэгтээ энэ тохиолдолд хувьсагчдын нийлбэрт ANOVA хэрэглэх нь үндэслэлтэй бөгөөд хүчирхэг арга юм. Гэсэн хэдий ч хэрэв хамааралтай хувьсагчид олон хувьсах шинж чанартай бол хувьсагчдын утгыг нэгтгэх нь тохиромжгүй болно.

Жишээлбэл, хамааралтай хувьсагчдыг дөрвөн хэмжигдэхүүнээс бүрдүүлье нийгэм дэх амжилт. Үзүүлэлт бүр нь хүний ​​​​үйл ажиллагааны бүрэн бие даасан талыг (жишээлбэл, мэргэжлийн амжилт, бизнесийн амжилт, гэр бүлийн сайн сайхан байдал гэх мэт) тодорхойлдог. Эдгээр хувьсагчдыг нэгтгэх нь алим, жүрж нэмэхтэй адил юм. Эдгээр хувьсагчдын нийлбэр нь нэг хувьсах хэмжигдэхүүнд тохирохгүй. Тиймээс ийм өгөгдлийг олон хэмжээст үзүүлэлт гэж үзэх ёстой дисперсийн олон хувьсагчийн шинжилгээ.

Тодосгогч шинжилгээ ба дараах тестүүд

Яагаад бие даасан багц хэрэгслийг харьцуулдаг вэ?

Туршилтын өгөгдлийн талаархи таамаглалыг ихэвчлэн үндсэн нөлөөлөл эсвэл харилцан үйлчлэлийн үүднээс томъёолдоггүй. Жишээ нь дараах таамаглал юм: тодорхой сурах бичиг нь зөвхөн эрэгтэй сурагчдын математикийн ур чадварыг сайжруулдаг бол өөр сурах бичиг нь хоёр хүйсийн хувьд ойролцоогоор ижил үр дүнтэй боловч эрэгтэйчүүдэд бага үр дүнтэй байдаг. Сурах бичгийн гүйцэтгэл нь оюутны хүйстэй харьцдаг гэж таамаглаж болно. Гэсэн хэдий ч энэ таамаглал бас хамаатай байгальхарилцан үйлчлэл. Нэг номонд оюутнуудын хувьд хүйсийн ялгаа мэдэгдэхүйц байх болно, нөгөө номонд оюутнуудад хүйсээс хамааралгүй үр дүн гарах болно. Энэ төрлийн таамаглалыг ихэвчлэн тодосгогч шинжилгээ ашиглан судалдаг.

Эсрэг заалтын шинжилгээ

Товчхондоо, тодосгогч шинжилгээ нь нарийн төвөгтэй эффектүүдийн зарим шугаман хослолуудын статистикийн ач холбогдлыг үнэлэх боломжийг олгодог. Үндсэн ба ялгаатай байдлын шинжилгээ шаардлагатай элементаливаа нарийн төвөгтэй ANOVA төлөвлөгөө. Модуль Вариацын шинжилгээЭнэ нь ямар ч төрлийн дундаж харьцуулалтыг сонгох, дүн шинжилгээ хийх боломжийг олгодог маш олон төрлийн тодосгогч шинжилгээний чадвартай.

a posterioriхарьцуулалт

Заримдаа туршилтыг боловсруулсны үр дүнд гэнэтийн үр нөлөөг олж илрүүлдэг. Ихэнх тохиолдолд бүтээлч судлаач аливаа үр дүнг тайлбарлаж чаддаг ч энэ нь цаашдын дүн шинжилгээ, урьдчилсан тооцоо хийх боломжийг олгодоггүй. Энэ асуудал нь эдгээрийн нэг юм дараах шалгуур, өөрөөр хэлбэл ашигладаггүй шалгуур априоритаамаглал. Үүнийг харуулахын тулд дараах туршилтыг авч үзье. 100 карт 1-ээс 10 хүртэлх тоонуудыг агуулж байна гэж бодъё. Эдгээр бүх картыг толгой хэсэгт оруулсны дараа бид 20 удаа 5 картыг санамсаргүй байдлаар сонгож, дээж тус бүрийн дундаж утгыг (карт дээр бичсэн тоонуудын дундаж) тооцоолно. Дундаж нь мэдэгдэхүйц ялгаатай хоёр дээж байна гэж бид найдаж болох уу? Энэ бол маш үнэмшилтэй юм! Хамгийн их ба хамгийн бага дундажтай хоёр дээжийг сонгосноор, жишээ нь эхний хоёр түүврийн дунджийн ялгаанаас эрс ялгаатай утгын зөрүүг олж авах боломжтой. Энэ ялгааг жишээ нь тодосгогч шинжилгээ ашиглан судалж болно. Дэлгэрэнгүй ярихгүйгээр хэд хэдэн гэгддэг a posterioriЭхний хувилбарт яг үндэслэсэн шалгуурууд (20 дээжээс хэт дундаж утгыг авах), өөрөөр хэлбэл эдгээр шалгуурууд нь дизайн дахь бүх хэрэгслийг харьцуулах хамгийн өөр арга хэрэгслийг сонгоход суурилдаг. Эдгээр шалгуурыг зөвхөн санамсаргүй байдлаар хиймэл нөлөө үзүүлэхгүйн тулд, жишээлбэл, байхгүй тохиолдолд хэрэглүүрийн хооронд мэдэгдэхүйц ялгааг олохын тулд ашигладаг. Модуль Вариацын шинжилгээсанал болгож байна өргөн сонголттойийм шалгуур. Олон бүлгийг хамарсан туршилтын явцад гэнэтийн үр дүн гарах үед a posterioriолж авсан үр дүнгийн статистикийн ач холбогдлыг шалгах журам.

I, II, III, IV төрлийн квадратуудын нийлбэр

Олон хувьсагчийн регресс ба дисперсийн шинжилгээ

Олон хувьсагчийн регрессийн арга ба дисперсийн шинжилгээ (вариацын шинжилгээ) хоёрын хооронд нягт уялдаа холбоотой байдаг. Хоёр аргын хувьд шугаман загварыг судалдаг. Товчхондоо, бараг бүх туршилтын загварыг олон хувьсагч регресс ашиглан судалж болно. Дараах энгийн бүлэг хоорондын 2 х 2 төлөвлөгөөг авч үзье.

DV	А	Б	AxB
3	1	1	1
4	1	1	1
4	1	-1	-1
5	1	-1	-1
6	-1	1	-1
6	-1	1	-1
3	-1	-1	1
2	-1	-1	1

А ба В багана нь А ба В хүчин зүйлийн түвшинг тодорхойлсон кодыг агуулна, AxB багана нь А ба В хоёр баганын үржвэрийг агуулна. Бид олон хувьсагчтай регресс ашиглан эдгээр өгөгдлийг шинжлэх боломжтой. Хувьсагч DVхамааралтай хувьсагч гэж тодорхойлсон, хувьсагчаас Аөмнө AxBбие даасан хувьсагч болгон. Регрессийн коэффициентүүдийн ач холбогдлын судалгаа нь хүчин зүйлсийн үндсэн нөлөөллийн ач холбогдлын дисперсийн шинжилгээнд хийсэн тооцоотой давхцах болно. Аболон Бболон харилцан үйлчлэлийн нөлөө AxB.

Тэнцвэргүй, тэнцвэртэй төлөвлөгөө

Корреляцийн матрицыг бүх хувьсагчийн хувьд, жишээлбэл, дээр дурдсан өгөгдлүүдийн хувьд тооцоолохдоо хүчин зүйлсийн үндсэн нөлөөллийг харж болно. Аболон Бболон харилцан үйлчлэлийн нөлөө AxBхамааралгүй. Эффектийн энэ шинж чанарыг мөн ортогональ байдал гэж нэрлэдэг. Үр нөлөө гэж тэд хэлдэг Аболон Б - ортогональэсвэл бие даасанбие биенээсээ. Хэрэв дээрх жишээн дээрх бүх нөлөөллүүд хоорондоо ортогональ байвал төлөвлөгөөг дараах гэж үзнэ. тэнцвэртэй.

Тэнцвэртэй төлөвлөгөөнд " сайн өмч". Ийм төлөвлөгөөний дүн шинжилгээ хийх тооцоо нь маш энгийн. Бүх тооцоолол нь нөлөөлөл ба хамааралтай хувьсагчдын хоорондын хамаарлыг тооцоолоход хүргэсэн. Үр нөлөө нь ортогональ байдаг тул хэсэгчилсэн хамаарал (бүрэн байдлаар). олон хэмжээстрегресс) тооцоогүй. Гэсэн хэдий ч, онд жинхэнэ амьдралТөлөвлөгөөнүүд үргэлж тэнцвэртэй байдаггүй.

Нүдэнд тэгш бус тооны ажиглалт бүхий бодит өгөгдлийг авч үзье.

А хүчин зүйл	Б хүчин зүйл
	B1	B2
A1	3	4, 5
А2	6, 6, 7	2

Хэрэв бид энэ өгөгдлийг дээрх байдлаар кодлож, бүх хувьсагчийн корреляцийн матрицыг тооцоолох юм бол дизайны хүчин зүйлүүд өөр хоорондоо хамааралтай болох нь харагдаж байна. Төлөвлөгөөний хүчин зүйлүүд одоо ортогональ биш бөгөөд ийм төлөвлөгөөг нэрлэдэг тэнцвэргүй.Энэ жишээнд хүчин зүйлсийн хоорондын хамаарал нь өгөгдлийн матрицын багана дахь 1 ба -1 давтамжийн зөрүүтэй бүхэлдээ хамааралтай болохыг анхаарна уу. Өөрөөр хэлбэл, эсийн эзэлхүүн нь тэгш бус (илүү нарийвчлалтай, пропорциональ бус эзэлхүүнтэй) туршилтын загварууд тэнцвэргүй байх бөгөөд энэ нь үндсэн нөлөөлөл, харилцан үйлчлэл холилдох болно гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд нөлөөллийн статистик ач холбогдлыг тооцоолохын тулд олон хувьсагчийн регрессийг бүрэн тооцоолох хэрэгтэй. Энд хэд хэдэн стратеги байдаг.

I, II, III, IV төрлийн квадратуудын нийлбэр

Квадрат төрлийн нийлбэрIболонIII. Олон хувьсагч загварт хүчин зүйл бүрийн ач холбогдлыг судлахын тулд загварт бусад бүх хүчин зүйлийг аль хэдийн харгалзан үзсэн тохиолдолд хүчин зүйл бүрийн хэсэгчилсэн хамаарлыг тооцоолж болно. Та мөн загварт хүчин зүйлсийг оруулж болно алхам алхамаар, загварт аль хэдийн оруулсан бүх хүчин зүйлийг засч, бусад бүх хүчин зүйлийг үл тоомсорлодог. Ерөнхийдөө энэ бол ялгаа юм төрөл IIIболон төрөлIквадратуудын нийлбэр (энэ нэр томъёог SAS-д нэвтрүүлсэн, жишээ нь SAS, 1982; нарийвчилсан хэлэлцүүлгийг Searle, 1987, p. 461; Woodward, Bonett, and Brecht, 1990, p. 216; эсвэл Milliken ба Жонсон, 1984, хуудас 138).

Квадрат төрлийн нийлбэрII.Дараагийн "завсрын" загвар бүрдүүлэх стратеги нь: нэг үндсэн нөлөөллийн ач холбогдлыг судлахад бүх үндсэн нөлөөллийг хянах; нэг хос харилцан үйлчлэлийн ач холбогдлыг судлах үед бүх үндсэн нөлөөлөл ба бүх хос харилцан үйлчлэлийн хяналтанд; бүх хосын харилцан үйлчлэлийн бүх үндсэн нөлөөлөл, гурван хүчин зүйлийн бүх харилцан үйлчлэлийг хянах; гурван хүчин зүйлийн салангид харилцан үйлчлэлийг судлахад гэх мэт. Ийм аргаар тооцсон эффектүүдийн квадратуудын нийлбэрийг нэрлэнэ төрөлIIквадратуудын нийлбэр. Тэгэхээр, төрөлIIквадратуудын нийлбэр нь дээд эрэмбийн бүх нөлөөллийг үл тоомсорлож, ижил дарааллын бүх эффектүүдийг хянадаг.

Квадрат төрлийн нийлбэрIV. Эцэст нь, дутуу эсүүдтэй зарим тусгай төлөвлөгөөний хувьд (бүрэн бус төлөвлөгөө) гэж нэрлэгддэг тооцоог хийх боломжтой. төрөл IVквадратуудын нийлбэр. Энэ аргыг дараа нь бүрэн бус төлөвлөгөөтэй (дутсан нүдтэй төлөвлөгөө) холбогдуулан авч үзэх болно.

I, II, III төрлийн квадратуудын нийлбэрийн таамаглалын тайлбар

квадратуудын нийлбэр төрөлIIIтайлбарлахад хамгийн хялбар. Квадратуудын нийлбэр гэдгийг санаарай төрөлIIIбусад бүх нөлөөг хянасны дараа үр нөлөөг шалгана. Жишээ нь, статистикийн хувьд чухал ач холбогдолтой олсны дараа төрөлIIIхүчин зүйлд үзүүлэх нөлөө Амодульд Вариацын шинжилгээ, бид зөвхөн нэг л байдаг гэж хэлж болно мэдэгдэхүйц нөлөөхүчин зүйл a А, бусад бүх нөлөөг (хүчин зүйл) нэвтрүүлсний дараа энэ нөлөөг зохих ёсоор тайлбарлана уу. Магадгүй дисперсийн шинжилгээний бүх хэрэглээний 99% -д энэ төрлийн шалгуур нь судлаачийн сонирхлыг татдаг. Энэ төрлийн квадратуудын нийлбэрийг ихэвчлэн модульд тооцдог Вариацын шинжилгээСонголтыг сонгосон эсэхээс үл хамааран анхдагчаар Регрессийн хандлагаэсвэл үгүй ​​(модульд батлагдсан стандарт аргууд Вариацын шинжилгээдоор хэлэлцсэн).

Квадратуудын нийлбэрийг ашиглан олж авсан мэдэгдэхүйц нөлөө төрөлэсвэл төрөлIIквадратуудын нийлбэрийг тайлбарлахад тийм ч хялбар биш юм. Тэдгээрийг алхам алхмаар олон хувьсах регрессийн нөхцөлд хамгийн сайн тайлбарладаг. Хэрэв квадратуудын нийлбэрийг ашиглаж байгаа бол төрөлI B хүчин зүйлийн гол нөлөө нь мэдэгдэхүйц байсан (загварт А хүчин зүйлийг оруулсны дараа, гэхдээ А ба В хоорондын харилцан үйлчлэлийг нэмэхээс өмнө) B хүчин зүйлийн үндсэн нөлөөлөл их байна гэж дүгнэж болно. А ба В хүчин зүйлсийн хооронд харилцан үйлчлэл байхгүй. (Хэрэв шалгуурыг ашиглаж байгаа бол төрөлIII, B хүчин зүйл нь бас чухал ач холбогдолтой болсон бол бусад бүх хүчин зүйлүүд болон тэдгээрийн харилцан үйлчлэлийг загварт оруулсны дараа В хүчин зүйлийн чухал нөлөөлөл байгаа гэж бид дүгнэж болно).

Таамаглалын ахиу хэрэгслийн хувьд төрөлIболон төрөлIIихэвчлэн энгийн тайлбар байдаггүй. Эдгээр тохиолдолд зөвхөн ахиу хэрэгслийг авч үзэх замаар үр нөлөөний ач холбогдлыг тайлбарлах боломжгүй гэж үздэг. харин толилуулсан хдундаж утгууд нь дундаж болон түүврийн хэмжээг хослуулсан цогц таамаглалтай холбоотой. Жишээлбэл, төрөлIIӨмнө нь авч үзсэн энгийн 2 х 2 загварын жишээн дэх А хүчин зүйлийн таамаглалууд (Вудворд, Бонетт, Брехт, 1990, хуудас 219-ийг үзнэ үү):

ниж- нүдэн дэх ажиглалтын тоо

uij- нүдний дундаж утга

n. j- ахиу дундаж

Дэлгэрэнгүй мэдээлэл авахгүйгээр (дэлгэрэнгүй мэдээллийг Милликен ба Жонсон, 1984, 10-р бүлгээс үзнэ үү) эдгээр нь энгийн таамаглал биш бөгөөд ихэнх тохиолдолд тэдгээрийн аль нь ч судлаачийн сонирхлыг татдаггүй нь ойлгомжтой. Гэсэн хэдий ч таамаглал дэвшүүлсэн тохиолдол байдаг төрөлIсонирхолтой байж болно.

Модуль дахь үндсэн тооцооллын арга Вариацын шинжилгээ

Сонголтыг сонгоогүй бол өгөгдмөл Регрессийн хандлага, модуль Вариацын шинжилгээашигладаг эсийн дундаж загвар. Энэ загварын онцлог нь янз бүрийн эффектийн квадратуудын нийлбэрийг эсийн утгуудын шугаман хослолын хувьд тооцдог. Бүрэн хүчин зүйлийн туршилтын үр дүнд өмнө нь авч үзсэн квадратуудын нийлбэртэй ижил квадратуудын нийлбэр гарч ирнэ. төрөл III. Гэсэн хэдий ч, сонголтод Төлөвлөсөн харьцуулалт(цонхонд Вариацын үр дүнгийн шинжилгээ), хэрэглэгч жигнэсэн болон жингүй эсийн хэрэгслийн дурын шугаман хослолын талаар таамаглал дэвшүүлж болно. Тиймээс хэрэглэгч зөвхөн таамаглалыг турших боломжтой төрөлIII, гэхдээ ямар ч төрлийн таамаглал (үүнд төрөлIV). Энэхүү ерөнхий арга нь дутуу эсүүдтэй (бүрэн бус загвар гэж нэрлэгддэг) дизайныг шалгахад ялангуяа ашигтай байдаг.

Бүрэн хүчин зүйлийн дизайны хувьд энэ арга нь жигнэсэн ахиу дундаж утгыг шинжлэхийг хүсч байгаа тохиолдолд бас хэрэг болно. Жишээлбэл, өмнө нь авч үзсэн энгийн 2 х 2 загварт бид жигнэсэн (хүчин зүйлийн түвшний хувьд) харьцуулахыг хүсч байна гэж бодъё. Б) А хүчин зүйлийн ахиу дундаж. Энэ нь эсүүд дээрх ажиглалтын тархалтыг туршилт хийгч бэлтгээгүй, санамсаргүй байдлаар хийсэн тохиолдолд ашигтай бөгөөд энэхүү санамсаргүй байдал нь ажиглалтын тоог нэгтгэсэн хүчин зүйлийн В-ийн түвшингээр хуваарилахад тусгагдсан байдаг. .

Жишээлбэл, бэлэвсэн эмэгтэйчүүдийн нас гэсэн хүчин зүйл бий. Судалгаанд оролцогчдын боломжит түүврийг 40-өөс доош насны болон 40-өөс дээш насны (В хүчин зүйл) гэсэн хоёр бүлэгт хуваадаг. Төлөвлөгөөний хоёрдахь хүчин зүйл (А хүчин зүйл) нь бэлэвсэн эмэгтэйчүүд зарим агентлагаас нийгмийн дэмжлэг авсан эсэх (зарим бэлэвсэн эмэгтэйчүүдийг санамсаргүй байдлаар сонгож, бусад нь хяналтын үүрэг гүйцэтгэдэг байсан) юм. Энэ тохиолдолд түүвэр дэх бэлэвсэн эмэгтэйчүүдийн насны хуваарилалт нь хүн амын дунд бэлэвсэн эмэгтэйчүүдийн насны бодит хуваарилалтыг харуулж байна. Бүлгийн гүйцэтгэлийн үнэлгээ нийгмийн дэмжлэгбэлэвсэн эмэгтэйчүүд бүх насныханхоёр насны бүлгийн жигнэсэн дундажтай тохирно (бүлэг дэх ажиглалтын тоотой харгалзах жинтэй).

Төлөвлөсөн харьцуулалт

Оруулсан тодосгогч харьцааны нийлбэр нь 0 (тэг) -тэй тэнцүү байх албагүй гэдгийг анхаарна уу. Үүний оронд програм автоматаар тохируулга хийх бөгөөд ингэснээр харгалзах таамаглал нь ерөнхий дундажтай холилдохгүй байх болно.

Үүнийг харуулахын тулд өмнө нь хэлэлцсэн энгийн 2 х 2 төлөвлөгөө рүү буцъя. Энэхүү тэнцвэргүй загварын эсийн тоо нь -1, 2, 3, 1 гэдгийг санаарай. Бид А хүчин зүйлийн (В хүчин зүйлийн түвшний давтамжаар жигнэсэн) жигнэсэн ахиу дундаж утгыг харьцуулахыг хүсч байна гэж бодъё. Та тодосгогч харьцааг оруулж болно:

Эдгээр коэффициентүүд нь 0 хүртэл нэмэгдэхгүй гэдгийг анхаарна уу. Програм нь коэффициентүүдийг 0 хүртэл нэмэхээр тохируулна. харьцангуй үнэ цэнэ, өөрөөр хэлбэл:

1/3 2/3 -3/4 -1/4

Эдгээр ялгаатай байдал нь А хүчин зүйлийн жигнэсэн дундаж утгыг харьцуулах болно.

Үндсэн дундаж утгын талаархи таамаглал.Жинлээгүй үндсэн дундаж нь 0 гэсэн таамаглалыг коэффициент ашиглан судалж болно.

Жинлэсэн үндсэн дундаж нь 0 гэсэн таамаглалыг дараах байдлаар шалгана.

Ямар ч тохиолдолд програм нь тодосгогч харьцааг засдаггүй.

Дутуу эсүүдтэй төлөвлөгөөний дүн шинжилгээ (бүрэн бус төлөвлөгөө)

Хоосон эсүүдийг агуулсан хүчин зүйлийн загварыг (ажиглалт байхгүй эсийн хослолыг боловсруулах) бүрэн бус гэж нэрлэдэг. Ийм загварт зарим хүчин зүйлүүд нь ихэвчлэн ортогональ байдаггүй бөгөөд зарим харилцан үйлчлэлийг тооцоолох боломжгүй байдаг. Огт байхгүй хамгийн сайн аргаийм төлөвлөгөөний дүн шинжилгээ.

Регрессийн хандлага

Олон хувьсах регрессийг ашиглан ANOVA дизайны шинжилгээнд үндэслэсэн зарим хуучин программуудад бүрэн бус загварт хүчин зүйлсийг ердийн аргаар (төлөвлөгөө бүрэн дууссан мэт) тохируулдаг. Дараа нь эдгээр хуурамч кодлогдсон хүчин зүйлсийн хувьд олон хувьсагчийн регрессийн шинжилгээг хийнэ. Харамсалтай нь, энэ арга нь үр нөлөө бүр нь шугаман хослолд хэрхэн нөлөөлж байгаа нь тодорхойгүй тул тайлбарлахад маш хэцүү, эсвэл боломжгүй үр дүнд хүргэдэг. Дараах энгийн жишээг авч үзье.

А хүчин зүйл	Б хүчин зүйл
	B1	B2
A1	3	4, 5
А2	6, 6, 7	Алдсан

Хэрэв маягтын олон хувьсагчийн регресс Хамааралтай хувьсагч = Тогтмол + А хүчин зүйл + Б хүчин зүйл, тэгвэл А ба В хүчин зүйлсийн утгын шугаман хослолын ач холбогдлын талаархи таамаглал дараах байдалтай байна.

А хүчин зүйл: A1,B1 эс = A2,B1 нүд

Б хүчин зүйл: A1,B1 эс = A1,B2 нүд

Энэ тохиолдол энгийн. Илүү нарийн төвөгтэй төлөвлөгөөнд яг юуг шалгахыг тодорхойлох боломжгүй юм.

Дундаж эсүүд, дисперсийн хандлагын шинжилгээ , IV төрлийн таамаглал

Уран зохиолд санал болгосон, илүүд үздэг арга бол утга учиртай (судалгааны даалгаврын хувьд) судлах явдал юм. априоритөлөвлөгөөний эсүүдэд ажиглагдсан хэрэгслийн талаархи таамаглал. Энэ аргын талаарх дэлгэрэнгүй хэлэлцүүлгийг Dodge (1985), Heiberger (1989), Milliken and Johnson (1984), Searle (1987), эсвэл Woodward, Bonett, and Brecht (1990) нараас олж болно. Бүрэн бус загвар дахь утгуудын шугаман хослолын талаархи таамаглалтай холбоотой квадратуудын нийлбэр, үр нөлөөний зарим хэсгийн тооцооллыг судалж буй квадратуудын нийлбэр гэж бас нэрлэдэг. IV.

Төрөл таамаглалыг автоматаар үүсгэхIV. Олон талт загварт эсийн нарийн төвөгтэй загвар байхгүй тохиолдолд судалгаа нь үндсэн нөлөөлөл эсвэл харилцан үйлчлэлийн судалгаатай тэнцэх ортогональ (бие даасан) таамаглалыг тодорхойлох нь зүйтэй. үүсгэхийн тулд алгоритмын (тооцооллын) стратеги (хуурамч урвуу дизайны матриц дээр суурилсан) боловсруулсан болно. тохиромжтой жинлүүрийм харьцуулалтын хувьд. Харамсалтай нь эцсийн таамаглалууд нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддоггүй. Мэдээжийн хэрэг, тэдгээр нь үр нөлөөг тодорхойлсон дарааллаас хамаардаг бөгөөд тайлбарлахад хялбар байдаггүй. Тиймээс алга болсон эсийн мөн чанарыг сайтар судалж, дараа нь таамаглал дэвшүүлэхийг зөвлөж байна төрөлIV, Эдгээр нь судалгааны зорилгод хамгийн их хамааралтай. Дараа нь сонголтыг ашиглан эдгээр таамаглалыг судлаарай Төлөвлөсөн харьцуулалтцонхонд үр дүн. Энэ тохиолдолд харьцуулалтыг тодорхойлох хамгийн хялбар арга бол бүх хүчин зүйлийн эсрэг тэсрэгийн векторыг оруулахыг шаардах явдал юм. хамтдаацонхонд Төлөвлөсөн харьцуулалт.Харилцах цонх руу залгасны дараа Төлөвлөсөн харьцуулалтодоогийн төлөвлөгөөний бүх бүлгийг харуулах ба орхигдсон хэсгийг тэмдэглэнэ.

Алгассан эсүүд болон тусгай эффектийн шалгалт

Алга болсон эсийн байршлыг санамсаргүй бус, нарийн төлөвлөх хэд хэдэн төрлийн төлөвлөгөө байдаг бөгөөд энэ нь бусад нөлөөнд нөлөөлөхгүйгээр үндсэн үр нөлөөг хялбархан шинжлэх боломжийг олгодог. Жишээлбэл, төлөвлөгөөнд шаардлагатай тооны нүд байхгүй үед төлөвлөгөөг ихэвчлэн ашигладаг. латин квадратуудолон тооны түвшний хэд хэдэн хүчин зүйлийн үндсэн нөлөөллийг тооцоолох. Жишээлбэл, 4 x 4 x 4 x 4 хүчин зүйлийн загварт 256 нүд шаардлагатай. Үүний зэрэгцээ та ашиглаж болно Грек-Латин талбайТөлөвлөгөөнд ердөө 16 нүдтэй байх үндсэн үр нөлөөг тооцоолох (бүлэг. Туршилтын төлөвлөлт, IV боть, агуулсан Дэлгэрэнгүй тодорхойлолтийм төлөвлөгөө). Энгийн шугаман хослолыг ашиглан үндсэн нөлөөллийг (мөн зарим харилцан үйлчлэлийг) тооцоолж болох бүрэн бус загваруудыг гэж нэрлэдэг. тэнцвэртэй бүрэн бус төлөвлөгөө.

Тэнцвэртэй загварт үндсэн эффектүүд болон харилцан үйлчлэлийн хувьд ялгаатай байдал (жин) үүсгэх стандарт (анхдагч) арга нь дараа нь тус тусын эффектүүдийн квадратуудын нийлбэр нь хоорондоо холилдохгүй байгаа дисперсийн хүснэгтийн шинжилгээг гаргах болно. Сонголт Тодорхой эффектүүдцонх үр дүндутуу төлөвлөгөөний нүднүүдэд тэг бичих замаар дутуу тодосгогчийг үүсгэх болно. Сонголтыг хүссэн даруйд Тодорхой эффектүүдЗарим таамаглалыг судалж буй хэрэглэгчийн хувьд бодит жингийн хамт үр дүнгийн хүснэгт гарч ирнэ. Тэнцвэртэй загварт тухайн нөлөөллийн квадратуудын нийлбэрийг зөвхөн эдгээр нөлөөллүүд нь бусад бүх үндсэн эффектүүд болон харилцан үйлчлэлээс ортогональ (бие даасан) байвал тооцдог гэдгийг анхаарна уу. Үгүй бол сонголтыг ашиглана уу Төлөвлөсөн харьцуулалтхэрэглүүр хоорондын утга учиртай харьцуулалтыг судлах.

Алга болсон эсүүд болон хосолсон алдааны нөлөө/гишүүд

Хэрэв сонголт бол Регрессийн хандлагамодулийн эхлүүлэх самбарт Вариацын шинжилгээсонгогдоогүй бол эффектийн квадратуудын нийлбэрийг тооцоолохдоо нүдний дундаж загвар ашиглагдана (анхдагч тохиргоо). Хэрэв дизайн тэнцвэртэй биш бол ортогональ бус эффектүүдийг хослуулахдаа (хувилбарын талаарх дээрх хэлэлцүүлгийг үзнэ үү) Дутуу эсүүд ба тодорхой нөлөө) ортогональ бус (эсвэл давхардсан) бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс бүрдсэн квадратуудын нийлбэрийг авч болно. Ийм аргаар олж авсан үр дүнг ихэвчлэн тайлбарлах боломжгүй байдаг. Тиймээс нарийн төвөгтэй, бүрэн бус туршилтын загварыг сонгох, хэрэгжүүлэхэд маш болгоомжтой байх хэрэгтэй.

Төлөвлөгөөний талаар дэлгэрэнгүй ярилцсан олон ном байдаг. өөр төрөл. (Dodge, 1985; Heiberger, 1989; Lindman, 1974; Milliken and Johnson, 1984; Searle, 1987; Woodward and Bonett, 1990), гэхдээ энэ төрлийн мэдээлэл нь энэ сурах бичгийн хамрах хүрээнээс гадуур байна. Гэсэн хэдий ч дараа нь энэ хэсэгт бид дүн шинжилгээг харуулах болно янз бүрийн төрөлтөлөвлөгөө.

Таамаглал ба таамаглалыг зөрчих нөлөө

Хэвийн тархалтын таамаглалаас хазайх

Хамаарах хувьсагчийг тоон масштабаар хэмждэг гэж үзье. Мөн хамааралтай хувьсагч нь бүлэг тус бүрт хэвийн тархалттай байна гэж үзье. Вариацын шинжилгээЭнэхүү таамаглалыг батлах өргөн хүрээний график, статистик мэдээллийг агуулсан.

Зөрчлийн үр дагавар.Ерөнхийдөө Фшалгуур үзүүлэлт нь хэвийн байдлаас хазайхад маш тэсвэртэй (дэлгэрэнгүй үр дүнг Линдман, 1974-ээс үзнэ үү). Куртоз нь 0-ээс их байвал статистикийн утга Фмаш жижиг болж магадгүй. Үнэн биш байж болох ч тэг таамаглалыг хүлээн зөвшөөрч байна. Куртос 0-ээс бага үед нөхцөл байдал эсрэгээрээ өөрчлөгдөнө. Тархалтын хазайлт нь ихэвчлэн бага нөлөө үзүүлдэг. Фстатистик. Хэрэв нүдэн дэх ажиглалтын тоо хангалттай их байвал хэвийн байдлаас хазайлт байхгүй байна онцгой ач холбогдолтой-ийн ачаар төв хязгаарын теорем, үүний дагуу дундаж утгын тархалт нь анхны тархалтаас үл хамааран хэвийн хэмжээнд ойрхон байна. Тогтвортой байдлын талаар нарийвчилсан хэлэлцүүлэг Фстатистикийг Box and Anderson (1955), Lindman (1974) нараас олж болно.

Тархалтын нэгэн төрлийн байдал

Таамаглал.Төлөвлөгөөний янз бүрийн бүлгүүдийн хэлбэлзэл ижил байна гэж үздэг. Энэ таамаглалыг таамаглал гэж нэрлэдэг дисперсийн нэгэн төрлийн байдал.Энэ хэсгийн эхэнд квадрат алдааны нийлбэрийн тооцоог тайлбарлахдаа бид бүлэг тус бүрт нийлбэр дүнг хийсэн гэдгийг санаарай. Хэрэв хоёр бүлгийн хэлбэлзэл бие биенээсээ ялгаатай бол тэдгээрийг нэмэх нь тийм ч байгалийн зүйл биш бөгөөд бүлэг доторх нийт дисперсийн үнэлгээг өгөхгүй (энэ тохиолдолд ерөнхий хэлбэлзэл огт байхгүй). Модуль Тархалтын шинжилгээ -АНОВА/МАНОВАтом багцыг агуулдаг статистикийн шалгуурдисперсийн нэгэн төрлийн байдлын таамаглалаас хазайлтыг илрүүлэх.

Зөрчлийн үр дагавар.Линдман (1974, х. 33) үүнийг харуулж байна Фдисперсийн нэгэн төрлийн байдлын таамаглалыг зөрчсөний хувьд шалгуур нь нэлээд тогтвортой байна ( нэг төрлийн бус байдалтархалт, мөн Шигтгээ, 1954a, 1954b-г үзнэ үү; Ху, 1938).

Онцгой тохиолдол: дундаж ба хэлбэлзлийн хамаарал.Үе үе байдаг Фстатистик болно төөрөгдүүлэх.Энэ нь дизайны нүднүүдийн дундаж утгууд нь хэлбэлзэлтэй хамааралтай үед тохиолддог. Модуль Вариацын шинжилгээдисперсийн тархалтын график байгуулах боломжийг олгодог эсвэл стандарт хэлбэлзэлийм хамаарлыг илрүүлэх арга хэрэгсэлтэй харьцуулахад. Ийм хамаарал яагаад аюултай вэ гэвэл дараах байдалтай байна. Төлөвлөгөөнд 8 нүд байгаа бөгөөд тэдгээрийн 7 нь бараг ижил дундажтай, нэг нүдэнд дундаж нь бусад хэсгээс хамаагүй том байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Дараа нь ФТуршилт нь статистикийн ач холбогдолтой нөлөөг илрүүлж чадна. Гэхдээ дундаж утга ихтэй, дисперс нь бусад нүднээсээ хамаагүй том нүдэнд байна гэж бодъё. нүднүүдийн дундаж ба дисперс нь хамааралтай (дундаж том байх тусам хэлбэлзэл их болно). Энэ тохиолдолд өгөгдлийн их хэмжээний зөрүүгээс үүдэлтэй байж болох тул том дундаж нь найдваргүй болно. Гэсэн хэдий ч Фдээр үндэслэсэн статистик нэгдсэнэс тус бүрийн хэлбэлзэл дээр үндэслэсэн шалгуур үзүүлэлтүүдийн бүх ялгааг чухал гэж үзэхгүй ч эсийн доторх хэлбэлзэл нь том дундаж утгыг авах болно.

Өгөгдлийн ийм шинж чанар (их дундаж ба их хэлбэлзэл) нь хэт давсан ажиглалттай үед ихэвчлэн тулгардаг. Нэг эсвэл хоёр хэт давсан ажиглалт нь дундаж утгыг эрс өөрчилдөг бөгөөд дисперсийг ихээхэн нэмэгдүүлдэг.

Дисперс ба ковариацын нэгэн төрлийн байдал

Таамаглал.Олон хувьсагч хамааралтай хэмжигдэхүүн бүхий олон хувьсагчтай загварт өмнө тайлбарласан дисперсийн нэгэн төрлийн таамаглал мөн хамаарна. Гэсэн хэдий ч олон хувьсагчтай хамааралтай хувьсагчид байдаг тул тэдгээрийн хоорондын хамаарал (ковариац) нь бүх төлөвлөгөөний нүдэнд жигд байх шаардлагатай. Модуль Вариацын шинжилгээсанал болгож байна янз бүрийн арга замуудэдгээр таамаглалыг шалгах.

Зөрчлийн үр дагавар. Олон хэмжээст аналог Ф- шалгуур - Вилксийн λ-тест. Дээрх таамаглалыг зөрчсөнтэй холбогдуулан Вилкс λ-туршилтын тогтвортой байдлын (бат бөх) талаар тийм ч их мэдээлэл байдаггүй. Гэсэн хэдий ч модулийн үр дүнгийн тайлбараас хойш Вариацын шинжилгээнь ихэвчлэн нэг хэмжээст нөлөөллийн ач холбогдол дээр суурилдаг (ач холбогдлыг тогтоосны дараа ерөнхий шалгуур), бат бөх байдлын хэлэлцүүлэг нь голчлон дисперсийн нэг хэмжээст шинжилгээнд хамаатай. Тиймээс нэг хэмжээст нөлөөний ач холбогдлыг сайтар судлах хэрэгтэй.

Онцгой тохиолдол: ковариацын шинжилгээ.Ялангуяа дизайнд ковариацыг оруулсан тохиолдолд вариац/ковариацын нэгэн төрлийн байдлыг ноцтой зөрчиж болно. Ялангуяа, хэрэв ковариац ба хамааралтай хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарал нь дизайны өөр өөр нүднүүдэд өөр байвал үр дүнг буруу тайлбарлаж болно. Ковариацын шинжилгээнд үндсэндээ ковариатад тохирох дисперсийн хэсгийг тусгаарлахын тулд нүд тус бүрд регрессийн шинжилгээ хийдэг гэдгийг санах нь зүйтэй. Вариацын нэг төрлийн байдал/ковариацын таамаглал нь энэхүү регрессийн шинжилгээг дараах хязгаарлалтын дор гүйцэтгэнэ гэж үздэг: бүгд регрессийн тэгшитгэл(налуу) бүх эсийн хувьд ижил байна. Хэрэв энэ нь зориулагдаагүй бол байж магадгүй юм том алдаанууд. Модуль Вариацын шинжилгээЭнэ таамаглалыг шалгах хэд хэдэн тусгай шалгуур байдаг. Өөр өөр эсийн регрессийн тэгшитгэл нь ойролцоогоор ижил байгаа эсэхийг шалгахын тулд эдгээр шалгуурыг ашиглах нь зүйтэй болов уу.

Бөмбөрцөг ба нийлмэл тэгш хэм: дисперсийн шинжилгээнд олон хувьсагчийн давтан хэмжих аргыг ашиглах шалтгаанууд

Хоёроос дээш түвшний давтагдах хэмжүүрийн хүчин зүйлсийг агуулсан загварт дисперсийн нэг хувьсах шинжилгээг хэрэглэхэд нэмэлт таамаглал шаардагдана: нийлмэл тэгш хэмийн таамаглал ба бөмбөрцөг байдлын таамаглал. Эдгээр таамаглалыг биелүүлэх нь ховор (доороос үзнэ үү). Тиймээс, in өнгөрсөн жилдисперсийн олон талт шинжилгээ нь ийм төлөвлөгөөнд түгээмэл болсон (хоёр аргыг модульд нэгтгэсэн болно) Вариацын шинжилгээ).

Нарийн төвөгтэй тэгш хэмийн таамаглалЦогц тэгш хэмийн таамаглал нь янз бүрийн давтагдсан хэмжүүрүүдийн дисперс (бүлэг доторх нийт) ба ковариац (бүлэгээр) жигд (ижил) байна. Энэ нь давтан хэмжигдэхүүнүүдийн нэг хувьсах F тест хүчинтэй байх хангалттай нөхцөл юм (өөрөөр хэлбэл мэдээлсэн F-утгууд нь дунджаар F тархалттай нийцдэг). Гэсэн хэдий ч, онд Энэ тохиолдолдэнэ нөхцөл шаардлагагүй.

Бөмбөрцөг хэлбэрийн таамаглал.Бөмбөрцөг байдлын таамаглал нь F-шалгуурыг зөвтгөхөд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл юм. Энэ нь бүлгүүдийн доторх бүх ажиглалт бие даасан, тэгш хуваарилагдсан байх явдал юм. Эдгээр таамаглалын мөн чанар, түүнчлэн тэдгээрийн зөрчлийн үр нөлөөг хэлбэлзлийн шинжилгээний талаархи номуудад ихэвчлэн сайн тайлбарладаггүй - үүнийг дараагийн догол мөрөнд тайлбарлах болно. Энэ нь мөн нэг хувьсах аргын үр дүн нь олон талт хандлагын үр дүнгээс ялгаатай болохыг харуулж, энэ нь юу гэсэн үг болохыг тайлбарлах болно.

Таамаглалуудын бие даасан байдлын хэрэгцээ.Дисперсийн шинжилгээнд өгөгдөлд дүн шинжилгээ хийх ерөнхий арга юм загвар тохиромжтой. Хэрэв өгөгдөлд тохирох загварын хувьд зарим нь байдаг априоритаамаглал, дараа нь эдгээр таамаглалыг шалгахын тулд дисперсийг хуваана (үндсэн нөлөөллийн шалгуур, харилцан үйлчлэл). Тооцооллын үүднээс авч үзвэл энэ арга нь зарим нэг ялгаатай байдлыг (дизайн дахь хэрэгслийн харьцуулалтын багц) үүсгэдэг. Гэсэн хэдий ч хэрэв ялгаатай байдал нь бие биенээсээ хамааралгүй бол ялгааг хуваах нь утгагүй болно. Жишээлбэл, хэрэв хоёр эсрэг тэсрэг байвал Аболон Бнь ижил бөгөөд харгалзах хэсгийг дисперсээс сонгож, дараа нь ижил хэсгийг хоёр удаа сонгоно. Тухайлбал, “1-р нүдний дундаж нь 2-р нүдний дунджаас өндөр байна”, “1-р нүдний дундаж нь 2-р нүдний дундажаас өндөр байна” гэсэн хоёр таамаглалыг онцлон хэлэх нь тэнэг бөгөөд утгагүй юм. Тиймээс таамаглалууд нь бие даасан эсвэл ортогональ байх ёстой.

Давтан хэмжилтийн бие даасан таамаглал.Модульд хэрэгжүүлсэн ерөнхий алгоритм Вариацын шинжилгээ, нөлөө тус бүрийн хувьд бие даасан (ортогональ) ялгаатай байдлыг бий болгохыг хичээх болно. Давтан хэмжүүрийн хүчин зүйлийн хувьд эдгээр ялгаатай байдал нь олон таамаглалыг бий болгодог ялгааавч үзсэн хүчин зүйлийн түвшний хооронд. Гэсэн хэдий ч, хэрэв эдгээр ялгаа нь бүлгүүдийн хүрээнд хамааралтай бол үүссэн ялгаатай байдал нь бие даасан байхаа болино. Жишээлбэл, нэг улиралд гурван удаа суралцагчдыг хэмждэг сургалтанд 1-2-р хэмжигдэхүүнүүдийн өөрчлөлтүүд нь хичээлүүдийн 2-3-р хэмжигдэхүүнүүдийн өөрчлөлттэй сөрөг хамааралтай байж болно. 1 ба 2-р хэмжээсийн хоорондох ихэнх материалыг эзэмшсэн хүмүүс 2-оос 3-р хэмжээсүүдийн хооронд өнгөрсөн хугацаанд бага хэсгийг эзэмшдэг. Үнэн хэрэгтээ, давтан хэмжилтэнд дисперсийн шинжилгээг ашигладаг ихэнх тохиолдолд түвшний өөрчлөлт нь субьектүүдийн хооронд хамааралтай гэж үзэж болно. Гэсэн хэдий ч ийм зүйл тохиолдоход нийлмэл тэгш хэм, бөмбөрцөг байдлын таамаглал хангагдахгүй бөгөөд бие даасан ялгаатай байдлыг тооцоолох боломжгүй болно.

Зөрчлийн үр нөлөө, тэдгээрийг арилгах арга замууд.Нарийн төвөгтэй тэгш хэмийн эсвэл бөмбөрцөг байдлын таамаглал хангагдаагүй тохиолдолд дисперсийн шинжилгээ нь алдаатай үр дүнд хүргэдэг. Олон талт горимыг хангалттай боловсруулахаас өмнө эдгээр таамаглалын зөрчлийг нөхөхийн тулд хэд хэдэн таамаглал дэвшүүлсэн. (Жишээ нь, Greenhouse & Geisser, 1959 болон Huynh & Feldt, 1970-ыг үзнэ үү). Эдгээр аргууд нь өнөөг хүртэл өргөн хэрэглэгддэг (тийм учраас тэдгээрийг модульд танилцуулсан болно Вариацын шинжилгээ).

Давтан хэмжилтийн дисперсийн хандлагын олон хувьсагчийн шинжилгээ.Ерөнхийдөө нийлмэл тэгш хэм ба бөмбөрцөг байдлын асуудлууд нь давтан хэмжүүрийн хүчин зүйлийн нөлөөллийг судлахад (2-оос дээш түвшний) ялгаатай байдлын багц нь бие биенээсээ хамааралгүй болохыг хэлдэг. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийг ашиглаж байгаа бол бие даасан байх албагүй. олон хэмжээстхоёр буюу түүнээс дээш удаа давтан хэмжих хүчин зүйлийн эсрэг тэсрэг байдлын статистикийн ач холбогдлыг нэгэн зэрэг шалгах шалгуур. Энэ нь 2-оос дээш түвшний нэг хувьсагчийн давтан хэмжүүрийн хүчин зүйлийн ач холбогдлыг шалгахын тулд вариацын олон хувьсагчийн шинжилгээний аргуудыг улам ихээр ашиглах болсон шалтгаан юм. Энэ арга нь ерөнхийдөө нийлмэл тэгш хэмийн таамаглал, бөмбөрцөг байдлын таамаглалыг шаарддаггүй тул өргөн хэрэглэгддэг.

Вариацын олон хувьсагч шинжилгээний аргыг ашиглах боломжгүй тохиолдлууд.Вариацын олон талт шинжилгээг ашиглах боломжгүй жишээнүүд (төлөвлөгөөнүүд) байдаг. Ихэвчлэн эдгээр нь байхгүй тохиолдол юм олон тоонытөлөвлөгөөнд байгаа сэдвүүд болон давтан хэмжилтийн хүчин зүйл дэх олон түвшин. Дараа нь олон талт шинжилгээ хийхэд хэтэрхий цөөн ажиглалт байж болно. Жишээлбэл, хэрэв 12 аж ахуйн нэгж байгаа бол, х = 4 давтан хэмжилтийн хүчин зүйл, хүчин зүйл бүр байна к = 3 түвшин. Дараа нь 4 хүчин зүйлийн харилцан үйлчлэлийг "зарцуулах" болно. (к-1) П = 2 4 = 16 эрх чөлөөний зэрэг. Гэсэн хэдий ч зөвхөн 12 хичээл байдаг тул энэ жишээнд олон талт тест хийх боломжгүй. Модуль Вариацын шинжилгээЭдгээр ажиглалтыг бие даан илрүүлж, зөвхөн нэг хэмжээст шалгуурыг тооцоолох болно.

Нэг хувьсагч ба олон хувьсагчтай үр дүнгийн ялгаа.Хэрэв судалгаанд олон тооны давтагдсан хэмжүүр багтсан бол ANOVA-ийн нэг хувьсах давтан хэмжих арга нь олон хувьсагч аргачлалаар олж авсан үр дүнгээс тэс өөр үр дүнг өгөх тохиолдол байж болно. Энэ нь тухайн давтан хэмжилтийн түвшний хоорондын ялгаа нь субьект хоорондын харилцан хамааралтай гэсэн үг юм. Заримдаа энэ баримт нь бие даасан сонирхолтой байдаг.

Дисперсийн олон хувьсагчийн шинжилгээ ба тэгшитгэлийн бүтцийн загварчлал

Сүүлийн жилүүдэд бүтцийн тэгшитгэлийн загварчлал нь олон хувьсагч дисперсийн шинжилгээний өөр хувилбар болж түгээмэл болж байна (жишээлбэл, Bagozzi, Yi, 1989; Bagozzi, Yi, Singh, 1991; Cole, Maxwell, Arvey, Salas, 1993). Энэ арга нь зөвхөн өөр өөр бүлгүүдийн дундаж утгуудын талаар төдийгүй хамааралтай хувьсагчдын корреляцийн матрицын талаархи таамаглалыг шалгах боломжийг олгодог. Жишээлбэл, та дисперс ба ковариацын нэгэн төрлийн байдлын талаарх таамаглалыг сулруулж, дисперс ба ковариацын бүлэг тус бүрийн загварт алдааг тодорхой тусгаж болно. Модуль СТАТИСТИКБүтцийн тэгшитгэлийн загварчлал (SEPATH) (III ботийг үз) ийм дүн шинжилгээ хийх боломжийг олгодог.

Эмч нарын практикт биоанагаах ухаан, социологи, туршилтын судалгаа хийхдээ хүн амын эрүүл мэндийн байдлыг судлах үр дүн, мэргэжлийн үйл ажиллагаа, инновацийн үр нөлөөг үнэлэхэд хүчин зүйлийн нөлөөллийг тогтоох шаардлагатай болдог.

Нийт эсвэл түүврийн популяцийн үр дүнд үзүүлэх хүчин зүйлсийн хүч, чиглэл, нөлөөллийн хэв маягийг тодорхойлох хэд хэдэн статистик аргууд байдаг (шалгуур I, тооцоолол, корреляцийн шинжилгээ, регресс, Χ 2 - (Пирсоны сайн чанарын тест гэх мэт). Вариацын шинжилгээг 1920-иод онд Английн эрдэмтэн, математикч, генетикч Рональд Фишер боловсруулж, санал болгосон.

Вариацын шинжилгээг нийгмийн эрүүл мэнд, эрүүл мэндийн тусламж үйлчилгээний шинжлэх ухаан, практик судалгаанд нэг буюу хэд хэдэн хүчин зүйлийн үр дүнд бий болсон шинж чанарт үзүүлэх нөлөөг судлахад ихэвчлэн ашигладаг. Энэ нь "үр дүнгийн шинж чанарын утгын олон янз байдал дээр хүчин зүйл(үүд)-ийн олон янз байдлыг тусгах" зарчимд суурилж, түүврийн популяцид хүчин зүйл(үүд)-ийн нөлөөллийн хүчийг тогтоодог. .

Дисперсийн шинжилгээний аргын мөн чанар нь хувь хүний ​​дисперсийг (нийт, хүчин зүйл, үлдэгдэл) хэмжиж, цаашид судалж буй хүчин зүйлийн нөлөөллийн хүчийг (хувьцаа) тодорхойлох (хүчин зүйл бүрийн үүргийн үнэлгээ, эсвэл) юм. тэдгээрийн хамтарсан нөлөөлөл) үр дүнд бий болсон шинж чанарууд дээр.

Вариацын шинжилгээ- энэ нь шинж чанарын утгын ялгааг (олон талт байдал) тодорхойлох үндсэн дээр санамсаргүй байдлаар сонгосон янз бүрийн бүлгүүдийн хүчин зүйл ба гүйцэтгэлийн шинж чанаруудын хоорондын хамаарлыг үнэлэх статистик арга юм. Дисперсийн шинжилгээ нь судлагдсан хүн амын бүх нэгжийн арифметик дунджаас хазайлтыг шинжлэхэд үндэслэдэг. Хазайлын хэмжүүрийн хувьд тархалт (B) - хазайлтын дундаж квадратыг авна. Хүчин зүйлийн шинж чанар (хүчин зүйл)-ийн нөлөөллөөс үүссэн хазайлтыг санамсаргүй нөхцөл байдлын улмаас үүссэн хазайлтын хэмжээтэй харьцуулна. Хэрэв хүчин зүйлийн шинж чанараас үүссэн хазайлт нь санамсаргүй хазайлтаас илүү их байвал тухайн хүчин зүйл нь үүссэн шинж чанарт ихээхэн нөлөөлсөн гэж үзнэ.

Опцион бүрийн (атрибутын бүртгэгдсэн тоон утга тус бүр) арифметик дундажаас хазайх утгын зөрүүг тооцоолохын тулд квадрат. Энэ нь сөрөг шинж тэмдгүүдээс ангижрах болно. Дараа нь эдгээр хазайлтыг (ялгааг) нэгтгэж, ажиглалтын тоогоор хуваана, өөрөөр хэлбэл. дундаж гарах хазайлт. Тиймээс дисперсийн утгыг олж авна.

Дисперсийн шинжилгээний хэрэглээний чухал арга зүйн үнэ цэнэ бол дээжийг зөв бүрдүүлэх явдал юм. Зорилго, зорилтоос хамааран түүврийн бүлгүүдийг бие биенээсээ хамааралгүйгээр санамсаргүй байдлаар үүсгэж болно (зарим үзүүлэлтийг судлах хяналтын болон туршилтын бүлгүүд, жишээлбэл, өндөр түвшний нөлөөллийг судлах). цусны даралтцус харвалт хөгжүүлэх). Ийм дээжийг бие даасан гэж нэрлэдэг.

Ихэнхдээ хүчин зүйлийн нөлөөллийн үр дүнг ижил дээжийн бүлэгт (жишээлбэл, ижил өвчтөнд) өртөхөөс өмнө болон дараа (эмчилгээ, урьдчилан сэргийлэх, нөхөн сэргээх арга хэмжээ) судалдаг, ийм дээжийг хамааралтай гэж нэрлэдэг.

Нэг хүчин зүйлийн нөлөөг шалгадаг дисперсийн шинжилгээг нэг хүчин зүйлийн шинжилгээ (unnivariate analysis) гэж нэрлэдэг. Нэгээс олон хүчин зүйлийн нөлөөллийг судлахдаа олон талт дисперсийн шинжилгээ (олон хувьсагчийн шинжилгээ) ашигладаг.

Хүчин зүйлийн шинж тэмдгүүд нь судалж буй үзэгдэлд нөлөөлж буй шинж тэмдгүүд юм.
Үр дүнтэй шинж тэмдгүүд нь хүчин зүйлийн шинж тэмдгүүдийн нөлөөн дор өөрчлөгддөг шинж тэмдгүүд юм.

Чанарын (хүйс, мэргэжил) болон тоон шинж чанарыг (тариурын тоо, тасагт байгаа өвчтөнүүд, хэвтсэн өдрийн тоо) хоёуланг нь ялгаатай байдлын шинжилгээнд ашиглаж болно.

Тархалтын шинжилгээний аргууд:

1. Фишер (Фишер)-ийн дагуу арга - F шалгуур (F-ийн утга, Хавсралт №1-ийг үзнэ үү);
   Энэ аргыг нэг талын дисперсийн шинжилгээнд ашигладаг бөгөөд бүх ажиглагдсан утгуудын нийт дисперсийг бие даасан бүлгүүдийн дисперс болон бүлгүүдийн хоорондын зөрүү болгон задлах үед ашигладаг.
2. "Ерөнхий шугаман загвар"-ын арга.
   Энэ нь олон хувьсагчийн шинжилгээнд хэрэглэгддэг корреляци буюу регрессийн шинжилгээнд суурилдаг.

Ихэвчлэн биоанагаахын судалгаанд зөвхөн нэг хүчин зүйлтэй, хамгийн ихдээ хоёр хүчин зүйлийн дисперсийн цогцолборыг ашигладаг. Ажиглагдсан нийт хүн амаас тусгаарлагдсан нэг эсвэл хоёр хүчин зүйлийн цогцолборыг дараалан шинжлэх замаар олон хүчин зүйлийн цогцолборыг судалж болно.

Вариацын шинжилгээг ашиглах нөхцөл:

1. Судалгааны зорилго нь үр дүнд үзүүлэх нэг (3 хүртэлх) хүчин зүйлийн нөлөөллийн хүчийг тодорхойлох эсвэл янз бүрийн хүчин зүйлийн (хүйс, нас, биеийн хөдөлгөөн, хоол тэжээл гэх мэт) хосолсон нөлөөллийн хүчийг тодорхойлох явдал юм.
2. Судалгаанд хамрагдсан хүчин зүйлүүд нь бие биенээсээ хамааралгүй (холбоотой) байх ёстой. Жишээлбэл, ажлын туршлага, нас, хүүхдийн өндөр, жин гэх мэт хосолсон нөлөөг судлах боломжгүй юм. хүн амын өвчлөлийн талаар.
3. Судалгаанд хамрагдах бүлгүүдийг санамсаргүй байдлаар (санамсаргүй сонголт) хийдэг. Сонголтуудыг санамсаргүй сонгох зарчмыг хэрэгжүүлсэн дисперсийн цогцолбор зохион байгуулалтыг санамсаргүй (англи хэлнээс орчуулсан - санамсаргүй) гэж нэрлэдэг, i.e. санамсаргүй байдлаар сонгосон.
4. Тоон болон чанарын (атрибут) шинж чанарыг хоёуланг нь ашиглаж болно.

Нэг талын дисперсийн шинжилгээ хийхдээ үүнийг зөвлөж байна ( шаардлагатай нөхцөлпрограмууд):

1. Шинжилгээнд хамрагдсан бүлгүүдийн тархалтын хэвийн байдал эсвэл түүврийн бүлгүүдийн хэвийн тархалттай ерөнхий популяцид харьцах байдал.
2. Ажиглалтын хуваарилалтын бие даасан байдал (холбоогүй байдал).
3. Ажиглалтын давтамж (давталт) байгаа эсэх.

Тархалтын хэвийн байдлыг Гаусс (Де Мавур) муруйгаар тодорхойлдог бөгөөд үүнийг y \u003d f (x) функцээр тодорхойлж болно, учир нь энэ нь санамсаргүй үзэгдлийн тайлбарыг ойролцоогоор тооцоолоход хэрэглэгддэг тархалтын хуулиудын нэг юм. магадлалын шинж чанартай. Биоанагаахын судалгааны сэдэв нь магадлалын шинж чанартай үзэгдэл бөгөөд ийм судалгаанд хэвийн тархалт маш түгээмэл байдаг.

Дисперсийн шинжилгээний аргыг хэрэглэх зарчим

Нэгдүгээрт, тэг таамаглалыг томъёолсон, өөрөөр хэлбэл судалж буй хүчин зүйлүүд нь үүссэн шинж чанарын утгуудад ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй бөгөөд үр дүнд нь гарсан ялгаа нь санамсаргүй байна гэж үздэг.

Дараа нь тэг таамаглал үнэн бол ажиглагдсан (эсвэл илүү хүчтэй) ялгааг олж авах магадлал хэд болохыг тодорхойлно.

Хэрэв энэ магадлал бага бол* тэгвэл бид тэг таамаглалыг үгүйсгэж, судалгааны үр дүн нь статистик ач холбогдолтой гэж дүгнэнэ. Энэ нь судлагдсан хүчин зүйлсийн нөлөө нотлогдсон гэсэн үг биш (энэ нь юуны түрүүнд судалгааны төлөвлөлтийн асуудал юм), гэхдээ үр дүн нь санамсаргүй байдлаас үүдэлтэй байх магадлал бага хэвээр байна.
__________________________________
* Үнэн тэг таамаглалыг үгүйсгэх хамгийн их зөвшөөрөгдөх магадлалыг ач холбогдлын түвшин гэж нэрлээд α = 0.05 гэж тэмдэглэнэ.

Дисперсийн шинжилгээг хэрэглэх бүх нөхцөл хангагдсан тохиолдолд нийт дисперсийн задрал математикийн хувьд дараах байдалтай байна.

Д ген. = D баримт + D амралт. ,

Д ген. - нийт дунджаас хувилбарын тархалтаар тодорхойлогддог ажиглагдсан утгуудын нийт хэлбэлзэл (хувилбар). Энэ өөрчлөлтийг үүсгэсэн бүх хүчин зүйлийн нөлөөн дор бүх популяцийн шинж чанарын өөрчлөлтийг хэмждэг. Нийт олон янз байдал нь бүлэг хоорондын болон бүлэг дотроос бүрддэг;

D баримт - бүлэг тус бүрийн дунджийн зөрүүгээр тодорхойлогддог хүчин зүйлийн (бүлэг хоорондын) дисперс, судлагдсан хүчин зүйлийн нөлөөллөөс хамаарч бүлэг бүрийг ялгадаг. Жишээлбэл, уушгины хатгалгааны клиник явцын янз бүрийн этиологийн хүчин зүйлсийн бүлгүүдэд зарцуулсан орны дундаж түвшин ижил биш байдаг - бүлэг хоорондын олон янз байдал ажиглагдаж байна.

D амрах. - бүлгүүдийн доторх хувилбарын тархалтыг тодорхойлдог үлдэгдэл (бүлэг доторх) дисперс. Санамсаргүй өөрчлөлтийг тусгадаг, i.e. тодорхойгүй хүчин зүйлийн нөлөөн дор үүсдэг, шинж чанараас хамаардаггүй өөрчлөлтийн нэг хэсэг - бүлэглэлийн үндсэн хүчин зүйл. Судалгаанд хамрагдаж буй шинж чанарын өөрчлөлт нь зохион байгуулалттай (судлаачийн өгсөн) болон санамсаргүй (үл мэдэгдэх) хүчин зүйлсийн аль алинд нь тодорхойлогдоогүй санамсаргүй хүчин зүйлсийн нөлөөллийн хүчнээс хамаарна.

Тиймээс нийт хэлбэлзэл (тархалт) нь зохион байгуулалттай (өгөгдсөн) хүчин зүйлээс үүдэлтэй өөрчлөлтүүдээс бүрддэг бөгөөд үүнийг хүчин зүйлийн вариаци ба зохион байгуулалтгүй хүчин зүйлүүд гэж нэрлэдэг. үлдэгдэл өөрчлөлт (санамсаргүй, үл мэдэгдэх).

Сонгодог дисперсийн шинжилгээг дараах үе шаттайгаар явуулдаг.

1. Дисперсийн цогцолбор барих.
2. Хазайлын дундаж квадратуудын тооцоо.
3. Зөрчлийн тооцоо.
4. Хүчин зүйлийн болон үлдэгдэл хэлбэлзлийн харьцуулалт.
5. Фишер-Снедекорын тархалтын онолын утгыг ашиглан үр дүнг үнэлэх (Хавсралт N 1).

Хялбаршуулсан хувилбарын дагуу АНОВАН ШИНЖИЛГЭЭГ ХИЙХ АЛГОРИТМ

Хялбаршуулсан аргыг ашиглан дисперсийн шинжилгээ хийх алгоритм нь ижил үр дүнг авах боломжийг олгодог боловч тооцоолол нь илүү хялбар байдаг.

Би шат. Дисперсийн цогцолбор барих

Тархалтын цогцолбор барих гэдэг нь бүлэг тус бүрийн хүчин зүйл, үр дүнтэй шинж тэмдэг, ажиглалтын сонголт (өвчтөн) -ийг тодорхой ялгах хүснэгтийг байгуулахыг хэлнэ.

Нэг хүчин зүйлийн цогцолбор нь нэг хүчин зүйлийн (A) хэд хэдэн зэрэглэлээс бүрдэнэ. Зэрэглэл нь янз бүрийн ерөнхий популяциас авсан дээж юм (A1, A2, AZ).

Хоёр хүчин зүйлийн цогцолбор - бие биетэйгээ хослуулсан хоёр хүчин зүйлийн хэд хэдэн зэрэглэлээс бүрдэнэ. Уушгины хатгалгааны тохиолдлын этиологийн хүчин зүйлүүд нь уушгины хатгалгааны эмнэлзүйн явцын янз бүрийн хэлбэрүүдтэй (H1 - цочмог, H2 - архаг) хослуулан ижил байдаг (A1, A2, AZ).

Үр дүнгийн шинж тэмдэг (дунджаар унтах өдрийн тоо)	Уушгины хатгалгаа үүсэх шалтгааны хүчин зүйлүүд
	A1		А2		A3
	H1	H2	H1	H2	H1	H2
M = 14 хоног

II шат. Нийт дундажийн тооцоо (M obsh)

Хүчин зүйлийн зэрэглэл бүрийн сонголтуудын нийлбэрийн тооцоо: Σ Vj = V 1 + V 2 + V 3

Хувилбарын нийт нийлбэрийг (Σ V нийт) хүчин зүйлийн шинж чанарын бүх зэрэглэлээр тооцох: Σ V нийт = Σ Vj 1 + Σ Vj 2 + Σ Vj 3

Дундаж бүлгийн тооцоо (М гр.) Хүчин зүйлийн тэмдэг: М гр. = Σ Vj / N,
Энд N нь I хүчин зүйлийн бүх зэрэглэлийн ажиглалтын тооны нийлбэр (Σn бүлгүүдээр).

III шат. Зөрчлийн тооцоо:

Дисперсийн шинжилгээг ашиглах бүх нөхцлийг харгалзан математикийн томъёо дараах байдалтай байна.

Д ген. = D баримт + D амралт.

Д ген. - ерөнхий дунджаас хувилбарын тархалт (ажиглагдсан утгууд)-аар тодорхойлогддог нийт дисперс;
D баримт. - хүчин зүйлийн (бүлэг хоорондын) дисперс нь ерөнхий дунджаас бүлгийн дундаж үзүүлэлтүүдийн тархалтыг тодорхойлдог;
D амрах. - үлдэгдэл (бүлэг доторх) дисперс нь бүлгүүдийн доторх хувилбарын тархалтыг тодорхойлдог.

1. Хүчин зүйлийн дисперсийн тооцоо (D баримт): D баримт. = Σh - H
2. h-ийн тооцоог дараахь томъёогоор гүйцэтгэнэ. h = (Σ Vj) / Н
3. H-ийн тооцоог дараахь томъёогоор гүйцэтгэнэ. H = (Σ V) 2 / N
4. Үлдэгдэл зөрүүний тооцоо: D амрах. = (Σ V) 2 - Σ цаг
5. Нийт зөрүүг тооцоолох:Д ген. = (Σ V) 2 - Σ H

IV үе шат. Судалж буй хүчин зүйлийн нөлөөллийн хүч чадлын үндсэн үзүүлэлтийг тооцоолохҮр дүнд нөлөөлөх хүчин зүйлийн шинж чанарын үзүүлэлт (η 2) нь хүчин зүйлийн дисперсийн (D баримт) нийт дисперсийн (D ерөнхий) эзлэх хувь, η 2 (энэ) - ямар хувь хэмжээгээр тодорхойлогддог. Судалгаанд хамрагдаж буй хүчин зүйлийн нөлөөлөл нь бусад бүх хүчин зүйлийн дунд багтах бөгөөд дараахь томъёогоор тодорхойлогддог.

V шат. Судалгааны үр дүнгийн найдвартай байдлыг Фишерийн аргаар тодорхойлохыг дараахь томъёогоор гүйцэтгэнэ.

F - Фишерийн шалгуур;
Fst. - хүснэгтийн утга (Хавсралт 1-ийг үзнэ үү).
σ 2 баримт, σ 2 амралт. - хүчин зүйлийн болон үлдэгдэл хазайлт (лат. de --аас, дамжуулан - замаас) - дунд шугамаас хазайлтыг томъёогоор тодорхойлно.

r нь хүчин зүйлийн шинж чанарын зэрэглэлийн тоо юм.

Фишерийн шалгуурыг (F) стандарт (хүснэгт) F-тэй харьцуулахдаа эрх чөлөөний зэргийг харгалзан хүснэгтийн баганын дагуу гүйцэтгэнэ.

v 1 \u003d n - 1
v 2 \u003d N - 1

Хэвтээ байдлаар v 1-ийг босоо байдлаар тодорхойлно - v 2 , тэдгээрийн огтлолцол дээр хүснэгтийн утгыг F тодорхойлно, энд хүснэгтийн дээд утга p ≥ 0.05, доод нь p > 0.01-тэй тохирч, тооцоолсон шалгуур F-тэй харьцуулна. тооцоолсон F шалгуур үзүүлэлтийн утга нь хүснэгттэй тэнцүү буюу түүнээс их байвал үр дүн нь найдвартай бөгөөд H 0-ийг үгүйсгэхгүй.

Даалгавар:

Н.-ийн аж ахуйн нэгжид гэмтэл бэртлийн түвшин нэмэгдэж, үүнтэй холбогдуулан эмч бие даасан хүчин зүйлсийн судалгааг хийж, тэдгээрийн дотор дэлгүүрийн ажилчдын ажлын туршлагыг судалжээ. Н.Үйлдвэрийн газарт нөхцөл, ажлын онцлогтой ижил төстэй 4 дэлгүүрээс дээж авсан. Осол гэмтлийн түвшинг сүүлийн нэг жилийн хугацаанд 100 ажилтанд тооцдог.

Ажлын туршлагын хүчин зүйлийг судлахдаа дараахь өгөгдлийг олж авсан болно.

Судалгааны мэдээлэлд үндэслэн А аж ахуйн нэгжийн ажилчдын гэмтэл бэртлийн түвшинд ажлын туршлага нөлөөллийн талаар тэг таамаглал (H 0) дэвшүүлсэн.

Дасгал хийх
Нэг талын дисперсийн шинжилгээг ашиглан тэг таамаглалыг батлах буюу няцаах:

1. нөлөөллийн хүчийг тодорхойлох;
2. хүчин зүйлийн нөлөөллийн найдвартай байдлыг үнэлэх.

Вариацын шинжилгээг хэрэглэх үе шатууд
үр дүнд нөлөөлөх хүчин зүйл (ажлын туршлага) тодорхойлох (гэмтлийн түвшин)

Дүгнэлт.Түүврийн цогцолборт ажлын туршлагаас гэмтлийн түвшинд үзүүлэх нөлөө нь бусад хүчин зүйлийн 80% -ийг эзэлж байна. Үйлдвэрийн бүх цехийн хувьд ажлын туршлага нь гэмтлийн түвшинд нөлөөлдөг гэж 99.7% (13.3 > 8.7) магадлалтай гэж хэлж болно.

Тиймээс тэг таамаглалыг (Н 0) үгүйсгээгүй бөгөөд А үйлдвэрийн цехүүдийн гэмтлийн түвшинд ажлын туршлага нөлөөлсөн нь батлагдсан гэж үздэг.

F утга (Фишер тест) стандарт p ≥ 0.05 (дээд утга) p ≥ 0.01 (доод утга)

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
6	6,0 13,4	5,1 10,9	4,8 9,8	4,5 9,2	4,4 8,8	4,3 8,5	4,2 8,3	4,1 8,1	4,1 8,0	4,1 7,9	4,0 7,8
7	5,6 12,3	4,7 9,6	4,4 8,5	4,1 7,9	4,0 7,5	3,9 7,2	3,8 7,0	3,7 6,8	3,7 6,7	3,6 6,6	3,6 6,5
8	5,3 11,3	4,6 8,7	4,1 7,6	3,8 7,0	3,7 6,6	3,6 6,4	3,5 6,2	3,4 6,0	3,4 5,9	3,3 5,8	3,1 5,7
9	5,1 10,6	4,3 8,0	3,6 7,0	3,6 6,4	3,5 6,1	3,4 5,8	3,3 5,6	3,2 5,5	3,2 5,4	3,1 5,3	3,1 5,2
10	5,0 10,0	4,1 7,9	3,7 6,6	3,5 6,0	3,3 5,6	3,2 5,4	3,1 5,2	3,1 5,1	3,0 5,0	2,9 4,5	2,9 4,8
11	4,8 9,7	4,0 7,2	3,6 6,2	3,6 5,7	3,2 5,3	3,1 5,1	3,0 4,9	3,0 4,7	2,9 4,6	2,9 4,5	2,8 4,5
12	4,8 9,3	3,9 6,9	3,5 6,0	3,3 5,4	3,1 5,1	3,0 4,7	2,9 4,7	2,9 4,5	2,8 4,4	2,8 4,3	2,7 4,2
13	4,7 9,1	3,8 6,7	3,4 5,7	3,2 5,2	3,0 4,9	2,9 4,6	2,8 4,4	2,8 4,3	2,7 4,2	2,7 4,1	2,6 4,0
14	4,6 8,9	3,7 6,5	3,3 5,6	3,1 5,0	3,0 4,7	2,9 4,5	2,8 4,3	2,7 4,1	2,7 4,0	2,6 3,9	2,6 3,9
15	4,5 8,7	3,7 6,4	3,3 5,4	3,1 4,9	2,9 4,6	2,8 4,3	2,7 4,1	2,6 4,0	2,6 3,9	2,5 3,8	2,5 3,7
16	4,5 8,5	3,6 6,2	3,2 5,3	3,0 4,8	2,9 4,4	2,7 4,2	2,7 4,0	2,6 3,9	2,5 3,8	2,5 3,7	2,5 3,6
17	4,5 8,4	3,6 6,1	3,2 5,2	3,0 4,7	2,8 4,3	2,7 4,1	2,6 3,9	2,6 3,8	2,5 3,8	2,5 3,6	2,4 3,5
18	4,4 8,3	3,5 6,0	3,2 5,1	2,9 4,6	2,8 4,2	2,7 4,0	2,6 3,8	2,5 3,7	2,7 3,6	2,4 3,6	3,4 3,5
19	4,4 8,2	3,5 5,9	3,1 5,0	2,9 4,5	2,7 4,2	2,6 3,9	2,5 3,8	2,5 3,6	2,4 3,5	2,4 3,4	2,3 3,4
20	4,3 8,1	3,5 5,8	3,1 4,9	2,9 4,4	2,7 4,1	2,6 3,9	2,5 3,7	2,4 3,6	2,4 3,4	2,3 3,4	2,3 3,3

1. Власов В.В. Эпидемиологи. - М.: GEOTAR-MED, 2004. 464 х.
2. Архипова Г.Л., Лаврова И.Г., Трошина И.М. Зарим орчин үеийн аргуудАнагаах ухаанд статистик дүн шинжилгээ хийх. - М.: Метроснаб, 1971. - 75 х.
3. Зайцев В.М., Лифляндский В.Г., Маринкин В.И. Хэрэглэсэн эмнэлгийн статистик. - Санкт-Петербург: ХХК "FOLIANT Publishing House", 2003. - 432 х.
4. Платонов А.Е. Анагаах ухаан, биологийн статистик шинжилгээ: даалгавар, нэр томъёо, логик, компьютерийн аргууд. - М .: ОХУ-ын Анагаахын Шинжлэх Ухааны Академийн хэвлэлийн газар, 2000. - 52 х.
5. Плохинский Н.А. Биометр. - ЗХУ-ын ШУА-ийн Сибирийн салбарын хэвлэлийн газар Новосибирск. - 1961. - 364 х.