ටැන්ජන්ට් මාර්ගගතව අර්ථ දැක්වීම. දකුණු ත්රිකෝණය. සම්පූර්ණ නිදර්ශන මාර්ගෝපදේශය (2019)
y \u003d f (x) රේඛාව ඛණ්ඩාංක (x0; f (x0)) සමඟ ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන්නේ නම් සහ f "(x0) බෑවුමක් තිබේ නම්, එය x0 ලක්ෂ්යයේ රූපයේ දැක්වෙන ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශ වේ. එවැනි සංගුණකයක්, ස්පර්ශකයේ ලක්ෂණ දැන ගැනීම අපහසු නැත.
ඔබට අවශ්ය වනු ඇත
- - ගණිතමය විමර්ශන පොත;
- - සරල පැන්සලක්;
- - සටහන් පොත;
- - ප්රොටෙක්ටර්;
- - මාලිමා;
- - පෑනක්.
උපදෙස්
f‘(x0) අගය නොපවතී නම්, එක්කෝ ස්පර්ශකයක් නොමැත, නැතහොත් එය සිරස් අතට ගමන් කරයි. මේ අනුව බලන විට, x0 ලක්ෂ්යයේ ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නය පැවතීම, ලක්ෂ්යයේ (x0, f(x0)) ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය සමඟ ස්පර්ශ වන සිරස් නොවන ස්පර්ශකයක් පැවතීම හේතුවෙනි. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ස්පර්ශකයේ බෑවුම f "(x0) ට සමාන වනු ඇත. මේ අනුව, ව්‍යුත්පන්නයේ ජ්යාමිතික අර්ථය පැහැදිලි වේ - ස්පර්ශකයේ බෑවුම ගණනය කිරීම.
x1, x2 සහ x3 ලක්ෂ්යවල ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය සමඟ ස්පර්ශ වන අතිරේක ස්පර්ශක අඳින්න, තවද මෙම ස්පර්ශක මගින් සාදන ලද කෝණ abscissa අක්ෂය සමඟ ලකුණු කරන්න (එවැනි කෝණයක් අක්ෂයේ සිට ධනාත්මක දිශාවට ගණනය කෙරේ. ස්පර්ශක රේඛාව). උදාහරණයක් ලෙස, කෝණය, එනම්, α1, තියුණු වනු ඇත, දෙවන (α2) නොපැහැදිලි වේ, සහ තුන්වන (α3) ශුන්ය වේ, ස්පර්ශක රේඛාව OX අක්ෂයට සමාන්තර වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, නොපැහැදිලි කෝණයක ස්පර්ශක ඍණාත්මක වන අතර, උග්ර කෝණයක ස්පර්ශක ධනාත්මක වන අතර tg0 සඳහා ප්රතිඵලය ශුන්ය වේ.
සටහන
ස්පර්ශකයෙන් සාදන ලද කෝණය නිවැරදිව තීරණය කරන්න. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, protractor භාවිතා කරන්න.
ඒවායේ බෑවුම් එකිනෙක සමාන නම් ආනත රේඛා දෙකක් සමාන්තර වේ; මෙම ස්පර්ශකවල බෑවුම්වල ගුණිතය -1 නම් ලම්බක වේ.
මූලාශ්‍ර:
- ක්‍රියාකාරී ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශක
කොසයින්, සයින් මෙන්, "සෘජු" ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිත ලෙස හැඳින්වේ. ස්පර්ශකය (කෝටැන්ජන්ට් සමඟ) "ව්‍යුත්පන්න" ලෙස හඳුන්වන තවත් යුගලයකට එකතු වේ. විසින් ලබා දී ඇති ස්පර්ශකය සොයා ගැනීමට හැකි වන පරිදි මෙම ශ්රිතවල නිර්වචන කිහිපයක් තිබේ දන්නා අගයඑකම අගයක කොසයින්.
උපදෙස්
අගයට ඔසවන ලද කෝණයේ කෝසයිනය මගින් ඒකීය අගයෙන් සංඝටකය අඩු කර, ප්‍රතිඵලයෙන් වර්ගමූලය නිස්සාරණය කරන්න - මෙය එහි කෝසයිනය මගින් ප්‍රකාශිත කෝණයෙන් ස්පර්ශකයේ අගය වනු ඇත: tg (α) \u003d √ (1-1 / (cos (α)) ²) . ඒ අතරම, සූත්‍රයේ කෝසයින් කොටසෙහි හරයේ ඇති බව කෙරෙහි අවධානය යොමු කරන්න. ශුන්‍යයෙන් බෙදීමේ නොහැකියාව 90° ට සමාන කෝණ සඳහා මෙම ප්‍රකාශනය භාවිතා කිරීම බැහැර කරයි, මෙන්ම මෙම අගයෙන් 180° ගුණාකාර වලින් වෙනස් වේ (270°, 450°, -90°, ආදිය).
ද ඇත විකල්ප මාර්ගයකොසයිනයේ දන්නා අගයෙන් ස්පර්ශකය ගණනය කිරීම. වෙනත් භාවිතය සඳහා කිසිදු සීමාවක් නොමැති නම් එය භාවිතා කළ හැකිය. මෙම ක්රමය ක්‍රියාත්මක කිරීම සඳහා, පළමුව දන්නා කෝසයින් අගයකින් කෝණ අගය තීරණය කරන්න - මෙය ආර්කෝසීන් ශ්‍රිතය භාවිතයෙන් කළ හැකිය. එවිට ලැබෙන අගයේ කෝණය සඳහා ස්පර්ශකය ගණනය කරන්න. හිදී සාමාන්ය දැක්මමෙම ඇල්ගොරිතම පහත පරිදි ලිවිය හැක: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).
සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක තියුණු කෝණ හරහා කෝසයින් සහ ස්පර්ශක නිර්වචනය භාවිතා කරමින් තවත් විදේශීය විකල්පයක් ඇත. මෙම නිර්වචනයේ ඇති කොසයින් සලකනු ලබන කෝණයට යාබදව ඇති කකුලේ දිග හා උපකල්පිතයේ දිග අනුපාතයට අනුරූප වේ. කොසයිනයේ වටිනාකම දැන ගැනීමෙන්, ඔබට එයට අනුරූප වන මෙම පැති දෙකේ දිග තෝරා ගත හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, cos(α)=0.5 නම්, යාබද සෙන්ටිමීටර 10 ට සමාන ලෙස ගත හැකි අතර, උපකල්පිතය - 20 සෙ.මී. නිශ්චිත සංඛ්යා මෙහි වැදගත් නොවේ - ඔබට එකම අගයක් ඇති ඕනෑම අගයක් සමඟ එකම සහ නිවැරදි ලැබෙනු ඇත. ඉන්පසුව, පයිතගරස් ප්රමේයය භාවිතා කරමින්, අතුරුදහන් වූ පැත්තේ දිග තීරණය කරන්න - විරුද්ධ කකුල. ඇය සමාන වනු ඇත වර්ගමුලයවර්ග කර්ණය සහ දන්නා පාදයේ දිග අතර වෙනස: √(20²-10²)=√300. නිර්වචනය අනුව, ස්පර්ශකය ප්රතිවිරුද්ධ සහ යාබද පාදවල දිග අනුපාතයට අනුරූප වේ (√300/10) - එය ගණනය කර කොසයිනයේ සම්භාව්‍ය නිර්වචනය භාවිතයෙන් සොයාගත් ස්පර්ශක අගය ලබා ගන්න.
මූලාශ්‍ර:
- ස්පර්ශක සූත්රය හරහා කොසයින්
එකක් ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිත, බොහෝ විට tg අක්ෂර වලින් දැක්වේ, නමුත් ටැන් යන තනතුරු ද දක්නට ලැබේ. පහසුම ක්රමය නම් සයින් අනුපාතය ලෙස ස්පර්ශකය නිරූපණය කිරීමයි කෝණයඑහි කොසයින් වෙත. එය අමුතු ආවර්තිතා සහ නොවේ අඛණ්ඩ ක්රියාකාරිත්වය, එහි එක් එක් චක්‍රය Pi සංඛ්‍යාවට සමාන වන අතර බිඳීමේ ලක්ෂ්යය මෙම සංඛ්‍යාවෙන් අඩක් ඇති ලකුණට අනුරූප වේ.
පාසල් සිසුන් විශාලතම දුෂ්කරතා සමඟ කටයුතු කරන ගණිතයේ එක් අංශයක් වන්නේ ත්‍රිකෝණමිතියයි. පුදුමයක් නොවේ: මෙම දැනුමේ ක්ෂේත්‍රය නිදහසේ ප්‍රගුණ කිරීම සඳහා, ඔබට අවකාශීය චින්තනය, සූත්ර භාවිතා කරමින් සයින, කෝසයින, ස්පර්ශක, කෝටැන්ජන්ට් සොයා ගැනීමේ හැකියාව, ප්‍රකාශන සරල කිරීම සහ ගණනය කිරීම් වලදී pi අංකය භාවිතා කිරීමට හැකි වීම අවශ්ය වේ. මීට අමතරව, ඔබට ප්‍රමේය ඔප්පු කිරීමේදී ත්රිකෝණමිතිය යෙදීමට හැකි විය යුතු අතර, මේ සඳහා දියුණු ගණිතමය මතකයක් හෝ සංකීර්ණ තාර්කික දාමයන් අඩු කිරීමේ හැකියාවක් අවශ්ය වේ.
ත්‍රිකෝණමිතියේ මූලාරම්භය
මෙම විද්යාව සමඟ දැන ගැනීම ආරම්භ විය යුත්තේ කෝණයේ සයින්, කෝසයින් සහ ස්පර්ශක නිර්වචනයෙනි, නමුත් පළමුව ඔබ ත්රිකෝණමිතිය සාමාන්යයෙන් කරන්නේ කුමක්දැයි සොයා බැලිය යුතුය.
ඓතිහාසික වශයෙන්, ගණිත විද්‍යාවේ මෙම අංශයේ අධ්‍යයනයේ ප්‍රධාන අරමුණ වූයේ සෘජුකෝණාස්‍ර ත්‍රිකෝණ ය. අංශක 90 ක කෝණයක් තිබීම නිසා පැති දෙකක් සහ එක් කෝණයක් හෝ කෝණ දෙකක් සහ එක් පැත්තක් භාවිතා කරමින් සලකා බලනු ලබන රූපයේ සියලුම පරාමිතීන්ගේ අගයන් තීරණය කිරීමට කෙනෙකුට ඉඩ සලසන විවිධ මෙහෙයුම් සිදු කිරීමට හැකි වේ. අතීතයේ දී, මිනිසුන් මෙම රටාව දුටු අතර, ගොඩනැගිලි, නාවික, තාරකා විද්යාව, සහ කලාව ඉදිකිරීම සඳහා ක්රියාශීලීව භාවිතා කිරීමට පටන් ගත්හ.
පළමු අදියර
මුලදී, මිනිසුන් කෝණ සහ පැති සම්බන්ධය ගැන කතා කළේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණවල උදාහරණය මත පමණි. එවිට භාවිතයේ සීමාවන් පුළුල් කිරීමට හැකි වන පරිදි විශේෂ සූත්ර සොයා ගන්නා ලදී එදිනෙදා ජීවිතයමෙම ගණිත අංශය.
අද පාසැලේ ත්රිකෝණමිතිය පිළිබඳ අධ්යයනය ආරම්භ වන්නේ සෘජුකෝණාස්‍ර ත්‍රිකෝණවලින් වන අතර ඉන් පසුව ලබාගත් දැනුම භෞතික විද්යාව සහ වියුක්ත ගැටලු විසඳීම සඳහා සිසුන් විසින් භාවිතා කරනු ලැබේ. ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ, උසස් පාසලේදී ආරම්භ වන වැඩ.
ගෝලාකාර ත්රිකෝණමිතිය
පසුව, විද්යාව සංවර්ධනයේ මීළඟ මට්ටමට ළඟා වූ විට, වෙනත් නීති අදාළ වන ගෝලාකාර ජ්‍යාමිතිය තුළ සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක, කෝටැන්ජන්ට් සහිත සූත්ර භාවිතා කිරීමට පටන් ගත් අතර ත්රිකෝණයක කෝණවල එකතුව සෑම විටම අංශක 180 ට වඩා වැඩි වේ. මෙම කොටස පාසැලේදී අධ්යයනය කර නැත, නමුත් එහි පැවැත්ම ගැන දැන ගැනීම අවශ්ය වේ, අවම වශයෙන් පෘථිවි පෘෂ්ඨය සහ වෙනත් ඕනෑම ග්‍රහලෝකයක මතුපිට උත්තල බැවින්, එයින් අදහස් වන්නේ ඕනෑම මතුපිට සලකුණු "චාප හැඩැති" වනු ඇති බවයි. ත්රිමාණ අවකාශය.
ගෝලය සහ නූල් ගන්න. නූල් ගෝලයේ ඇති ඕනෑම ලක්ෂ්‍ය දෙකකට අමුණන්න එවිට එය තද වේ. අවධානය යොමු කරන්න - එය චාපයක හැඩය ලබාගෙන ඇත. භූ විද්යාව, තාරකා විද්යාව සහ අනෙකුත් න්‍යායික සහ ව්‍යවහාරික ක්ෂේත්‍රවල භාවිතා වන ගෝලාකාර ජ්‍යාමිතිය ගනුදෙනු කරන්නේ එවැනි ආකෘති සමඟ ය.
දකුණු ත්රිකෝණය
ත්රිකෝණමිතිය භාවිතා කරන ක්‍රම ගැන ටිකක් ඉගෙන ගත් පසු, සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක යනු කුමක්ද, ඒවායේ ආධාරයෙන් කළ හැකි ගණනය කිරීම් මොනවාද සහ භාවිතා කළ යුතු සූත්ර මොනවාද යන්න තවදුරටත් අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා මූලික ත්රිකෝණමිතිය වෙත ආපසු යමු.
පළමු පියවර වන්නේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයට අදාළ සංකල්ප තේරුම් ගැනීමයි. පළමුව, කර්ණය යනු අංශක 90 ක කෝණයට විරුද්ධ පැත්තයි. ඇය දිගම ය. පයිතගරස් ප්රමේයය අනුව එහි සංඛ්‍යාත්මක අගය අනෙක් පැති දෙකේ වර්ගවල එකතුවේ මුලට සමාන බව අපට මතකය.
උදාහරණයක් ලෙස, පැති දෙකක් පිළිවෙලින් සෙන්ටිමීටර 3 සහ 4 නම්, කර්ණයක දිග සෙන්ටිමීටර 5 ක් වේ. මාර්ගය වන විට, පුරාණ ඊජිප්තුවරුන් මීට වසර හතරහමාරකට පමණ පෙර මේ ගැන දැන සිටියහ.
සෘජු කෝණයක් සාදනු ලබන ඉතිරි පැති දෙක කකුල් ලෙස හැඳින්වේ. ඊට අමතරව, ත්රිකෝණයක කෝණවල එකතුව බව අප මතක තබා ගත යුතුය සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතියඛණ්ඩාංකය අංශක 180 කි.
අර්ථ දැක්වීම
අවසාන වශයෙන්, ජ්යාමිතික පදනම පිළිබඳ දැඩි අවබෝධයක් ඇතිව, අපට කෝණයක සයින්, කෝසයින් සහ ස්පර්ශක නිර්වචනය වෙත හැරිය හැක.
කෝණයක සයින් යනු ප්රතිවිරුද්ධ පාදයේ (එනම්, අපේක්ෂිත කෝණයට විරුද්ධ පැත්ත) කර්ණයට අනුපාතයයි. කෝණයක කෝසයින් යනු යාබද පාදයේ කර්ණයට අනුපාතයයි.
සයින් හෝ කොසයින් එකකට වඩා වැඩි විය නොහැකි බව මතක තබා ගන්න! මන්ද? කර්ණය පෙරනිමියෙන් දිගම වන නිසා, පාදය කෙතරම් දිග වුවත්, එය කර්ණයට වඩා කෙටි වනු ඇත, එනම් ඔවුන්ගේ අනුපාතය සෑම විටම එකකට වඩා අඩු වනු ඇත. මේ අනුව, ඔබ ගැටලුවට පිළිතුරෙහි 1 ට වඩා වැඩි අගයක් සහිත සයින් හෝ කෝසයින් ලබා ගන්නේ නම්, ගණනය කිරීම් හෝ තර්කනයේ දෝෂයක් සොයන්න. මෙම පිළිතුර පැහැදිලිවම වැරදියි.
අවසාන වශයෙන්, කෝණයක ස්පර්ශකය යනු ප්රතිවිරුද්ධ පැත්තට යාබද පැත්තට ඇති අනුපාතයයි. එම ප්‍රතිඵලයම කොසයින් මගින් සයින් බෙදීම ලබා දෙනු ඇත. බලන්න: සූත්‍රයට අනුකූලව, අපි පැත්තේ දිග කර්ණය මගින් බෙදන්නෙමු, ඉන්පසු අපි දෙවන පැත්තේ දිගෙන් බෙදා කර්ණය මගින් ගුණ කරමු. මේ අනුව, අපට ස්පර්ශක නිර්වචනයේ සමාන අනුපාතයක් ලැබේ.
කෝටැන්ජන්ට් යනු පිළිවෙලින්, කෙළවරට ප්රතිවිරුද්ධ පැත්තට යාබද පැත්තේ අනුපාතයයි. ස්පර්ශකයෙන් ඒකකය බෙදීමෙන් අපි එකම ප්රතිඵලය ලබා ගනිමු.
එබැවින්, අපි සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් යනු කුමක්ද යන්න පිළිබඳ නිර්වචන සලකා බැලූ අතර අපට සූත්ර සමඟ කටයුතු කළ හැකිය.
සරලම සූත්ර
ත්‍රිකෝණමිතියේදී, සූත්ර නොමැතිව කෙනෙකුට කළ නොහැක - ඒවා නොමැතිව සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක, කෝටැන්ජන්ට් සොයා ගන්නේ කෙසේද? ගැටළු විසඳීමේදී මෙය හරියටම අවශ්ය වේ.
ත්රිකෝණමිතිය හැදෑරීමට පටන් ගන්නා විට ඔබ දැනගත යුතු පළමු සූත්රය පවසන්නේ කෝණයක සයින් සහ කෝසයිනයේ වර්ගවල එකතුව එකකට සමාන බවයි. මෙම සූත්රයයනු පයිතගරස් ප්‍රමේයේ සෘජු ප්‍රතිවිපාකයකි, නමුත් ඔබට කෝණයේ අගය දැන ගැනීමට අවශ්ය නම් කාලය ඉතිරි කරයි, පැත්ත නොවේ.
බොහෝ සිසුන්ට දෙවන සූත්රය මතක තබා ගත නොහැක, එය පාසල් ගැටළු විසඳීමේදී ද ඉතා ජනප්රිය වේ: කෝණයක ස්පර්ශකයේ එකක එකතුව සහ වර්ග කෝණයේ කෝසයිනයේ වර්ගයෙන් බෙදූ එකකට සමාන වේ. සමීපව බලන්න: සියල්ලට පසු, මෙය පළමු සූත්‍රයේ ඇති ප්‍රකාශයම වේ, අනන්‍යතාවයේ දෙපැත්තම පමණක් කොසයිනයේ වර්ගයෙන් බෙදනු ලැබේ. සරල ගණිතමය මෙහෙයුමක් ත්රිකෝණමිතික සූත්රය සම්පූර්ණයෙන්ම හඳුනාගත නොහැකි බව පෙනේ. මතක තබා ගන්න: සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් යනු කුමක්ද, පරිවර්තන රීති සහ මූලික සූත්ර කිහිපයක් දැන ගැනීමෙන්, ඔබට අවශ්ය තවත් දේ ඕනෑම වේලාවක ලබා ගත හැකිය. සංකීර්ණ සූත්රකඩදාසි කැබැල්ලක් මත.
ද්විත්ව කෝණ සූත්ර සහ තර්ක එකතු කිරීම
ඔබ ඉගෙන ගත යුතු තවත් සූත්ර දෙකක් කෝණවල එකතුව සහ වෙනස සඳහා සයින් සහ කෝසයිනයේ අගයන් හා සම්බන්ධ වේ. ඒවා පහත රූපයේ දැක්වේ. පළමු අවස්ථාවෙහිදී, සයින් සහ කොසයින් දෙවරටම ගුණ කරන අතර, දෙවන අවස්ථාවේදී, සයින් සහ කෝසයින් යුගල වශයෙන් නිෂ්පාදනය එකතු කරන බව කරුණාවෙන් සලකන්න.
ද්විත්ව කෝණ තර්ක හා සම්බන්ධ සූත්ර ද ඇත. ඒවා සම්පූර්ණයෙන්ම පෙර ඒවායින් ව්‍යුත්පන්න කර ඇත - භාවිතයක් ලෙස, ඇල්ෆා කෝණය ගෙන ඒවා ඔබම ලබා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න කෝණයට සමාන වේබීටා
අවසාන වශයෙන්, සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක ඇල්ෆා මට්ටම අඩු කිරීමට ද්විත්ව කෝණ සූත්ර පරිවර්තනය කළ හැකි බව සලකන්න.
න්‍යායන්
මූලික ත්‍රිකෝණමිතියේ ඇති ප්‍රධාන ප්‍රමේය දෙක වන්නේ සයින් ප්රමේයය සහ කොසයින් ප්රමේයය වේ. මෙම ප්‍රමේයන් ආධාරයෙන්, ඔබට සයින්, කෝසයින් සහ ස්පර්ශක සොයා ගන්නේ කෙසේද යන්න පහසුවෙන් තේරුම් ගත හැකිය, එබැවින් රූපයේ ප්‍රදේශය සහ එක් එක් පැත්තේ ප්රමාණය යනාදිය.
සයින් ප්රමේයය පවසන්නේ ත්රිකෝණයේ එක් එක් පැතිවල දිග ප්රතිවිරුද්ධ කෝණයේ අගයෙන් බෙදීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස අපට එම සංඛ්‍යාව ලැබෙන බවයි. තවද, මෙම සංඛ්‍යාව වටකුරු රවුමේ අරය දෙකකට සමාන වේ, එනම් දී ඇති ත්රිකෝණයේ සියලුම ලක්ෂ්‍ය අඩංගු කවය.
කොසයින් ප්රමේයය පයිතගරස් ප්රමේයය සාමාන්‍යකරණය කරයි, එය ඕනෑම ත්රිකෝණයකට ප්‍රක්ෂේපණය කරයි. පැති දෙකේ වර්ගවල එකතුවෙන්, ඒවායේ නිෂ්පාදිතය ඒවාට යාබද කෝණයේ ද්විත්ව කෝසයින් ගුණ කිරීමෙන් අඩු කරන්න - එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන අගය තුන්වන පැත්තේ වර්ගයට සමාන වේ. මේ අනුව, පයිතගරස් ප්රමේයය කොසයින් ප්‍රමේයයේ විශේෂ අවස්ථාවක් බවට පත්වේ.
නොසැලකිලිමත්කම නිසා වැරදි
සයින්, කෝසයින් සහ ස්පර්ශක යනු කුමක්දැයි දැන සිටියද, මනස නොපැමිණීම හෝ සරලම ගණනය කිරීම් වල දෝෂයක් හේතුවෙන් වැරැද්දක් කිරීම පහසුය. එවැනි වැරදි වළක්වා ගැනීම සඳහා, ඒවායින් වඩාත් ජනප්රිය ලෙස දැන හඳුනා ගනිමු.
පළමුව, අවසාන ප්‍රති result ලය ලැබෙන තෙක් ඔබ සාමාන්ය භාග දශම බවට පරිවර්තනය නොකළ යුතුය - ඔබට පිළිතුර පෝරමයේ තැබිය හැකිය පොදු කොටසකොන්දේසිය වෙනත් ආකාරයකින් සඳහන් කරන්නේ නම් මිස. එවැනි පරිවර්තනයක් වැරැද්දක් ලෙස හැඳින්විය නොහැක, නමුත් ගැටලුවේ සෑම අදියරකදීම නව මූලයන් දිස්විය හැකි බව මතක තබා ගත යුතුය, එය කතුවරයාගේ අදහසට අනුව අඩු කළ යුතුය. මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබ අනවශ්ය ගණිතමය මෙහෙයුම් සඳහා කාලය නාස්ති කරනු ඇත. තුනේ හෝ දෙකක මුල වැනි අගයන් සඳහා මෙය විශේෂයෙන්ම සත්‍ය වේ, මන්ද ඒවා සෑම පියවරකදීම කාර්යයන් වලදී සිදු වේ. "කැත" අංක රවුම් කිරීම සඳහා ද මෙය අදාළ වේ.
තවද, කොසයින් ප්රමේයය ඕනෑම ත්රිකෝණයකට අදාළ වන නමුත් පයිතගරස් ප්‍රමේයයට අදාළ නොවන බව සලකන්න! ඔවුන් අතර කෝණයේ කෝසයින් ගුණ කරන ලද පැතිවල ගුණිතය දෙගුණයක් අඩු කිරීමට ඔබ වැරදීමකින් අමතක කළහොත්, ඔබ සම්පූර්ණයෙන්ම වැරදි ප්රතිඵලය ලබා ගන්නවා පමණක් නොව, විෂය පිළිබඳ සම්පූර්ණ වැරදි වැටහීමක් ද පෙන්නුම් කරයි. මෙය නොසැලකිලිමත් වැරැද්දකට වඩා නරක ය.
තෙවනුව, සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක, කෝටැන්ජන්ට් සඳහා අංශක 30 සහ 60 කෝණ සඳහා අගයන් පටලවා නොගන්න. මෙම අගයන් මතක තබා ගන්න, මන්ද සයින් අංශක 30 කි කොසයින් වලට සමානයි 60 සහ අනෙක් අතට. ඒවා මිශ්ර කිරීම පහසුය, එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස ඔබ අනිවාර්යයෙන්ම වැරදි ප්රතිඵලයක් ලැබෙනු ඇත.
අයදුම්පත
ත්රිකෝණමිතිය හැදෑරීමට බොහෝ සිසුන් ඉක්මන් නොවන්නේ එහි ව්‍යවහාරික අර්ථය ඔවුන්ට නොතේරෙන බැවිනි. ඉංජිනේරුවෙකුට හෝ තාරකා විද්‍යාඥයෙකුට සයින්, කොසයින්, ස්පර්ශක යනු කුමක්ද? මේවා සංකල්ප වන අතර ඔබට දුරස්ථ තාරකා වලට ඇති දුර ගණනය කිරීමට, උල්කාපාත වැටීම පුරෝකථනය කිරීමට, වෙනත් ග්‍රහලෝකයකට පර්යේෂණ පරීක්ෂණයක් යැවීමට හැකිය. ඔවුන් නොමැතිව, ගොඩනැගිල්ලක් තැනීම, මෝටර් රථයක් සැලසුම් කිරීම, මතුපිට බර හෝ වස්තුවක ගමන් පථය ගණනය කිරීම කළ නොහැකිය. මේවා වඩාත් පැහැදිලි උදාහරණ පමණි! සියල්ලට පසු, සංගීතයේ සිට වෛද්‍ය විද්යාව දක්වා සෑම තැනකම එක් ආකාරයකින් හෝ වෙනත් ආකාරයකින් ත්රිකෝණමිතිය භාවිතා වේ.
අවසාන
එබැවින් ඔබ සයින්, කොසයින්, ස්පර්ශක වේ. ඔබට ඒවා ගණනය කිරීම් වලදී භාවිතා කළ හැකි අතර පාසල් ගැටළු සාර්ථකව විසඳා ගත හැකිය.
ත්‍රිකෝණමිතියේ සම්පූර්ණ සාරය ත්රිකෝණයේ දන්නා පරාමිතිවලින් නොදන්නා පරාමිති ගණනය කළ යුතු බව දක්වා පහළට වැටේ. මුළු විකල්ප හයක් ඇත: තුනක දිගපැති සහ ප්රමාණය කොන් තුනක්. කාර්යයන්හි සම්පූර්ණ වෙනස පවතින්නේ විවිධ ආදාන දත්ත ලබා දීමයි.
කකුල් වල දන්නා දිග හෝ කර්ණය මත පදනම්ව සයින්, කොසයින්, ස්පර්ශක සොයා ගන්නේ කෙසේද, ඔබ දැන් දන්නවා. මෙම නියමයන් අනුපාතයකට වඩා වැඩි යමක් අදහස් නොකරන අතර, අනුපාතය යනු භාග වන බැවින්, ත්රිකෝණමිතික ගැටලුවේ ප්‍රධාන අරමුණ වන්නේ සාමාන්ය සමීකරණයක හෝ සමීකරණ පද්ධතියක මූලයන් සෙවීමයි. මෙහිදී ඔබට සාමාන්ය පාසල් ගණිතය මගින් උපකාර කරනු ඇත.
සයින් (), කෝසයින් (), ස්පර්ශක (), කෝටැන්ජන්ට් () යන සංකල්ප කෝණය යන සංකල්පය සමඟ වෙන් කළ නොහැකි ලෙස බැඳී ඇත. මේවා ගැන හොඳ අවබෝධයක් ලබා ගැනීමට, බැලූ බැල්මට සංකීර්ණ සංකල්ප (බොහෝ පාසල් සිසුන් තුළ භීතියක් ඇති කරයි) සහ "යකා තීන්ත ආලේප කර ඇති තරම් බියජනක නොවන" බවට වග බලා ගන්න, අපි මුල සිටම පටන් ගනිමු. සහ කෝණයක සංකල්පය තේරුම් ගන්න.
කෝණය පිළිබඳ සංකල්පය: රේඩියන්, උපාධිය
අපි පින්තූරය දෙස බලමු. දෛශිකය යම් ප්රමාණයකින් ලක්ෂ්යයට සාපේක්ෂව "හැරී". එබැවින් ආරම්භක ස්ථානයට සාපේක්ෂව මෙම භ්රමණයෙහි මිනුම වනු ඇත කෙළවරේ.
කෝණය පිළිබඳ සංකල්පය ගැන ඔබ දැනගත යුතු තවත් මොනවාද? හොඳයි, කෝණ ඒකක, ඇත්ත වශයෙන්ම!
ජ්‍යාමිතිය සහ ත්රිකෝණමිතිය යන දෙකෙහිම කෝණය අංශක සහ රේඩියන වලින් මැනිය හැක.
(අංශක) කෝණය රවුමේ කේන්ද්‍රීය කෝණය, රවුමේ කොටසට සමාන චක්‍ර චාපයක් මත පදනම් වේ. මේ අනුව, සම්පූර්ණ රවුම චක්රලේඛ චාප වල "කෑලි" වලින් සමන්විත වේ, නැතහොත් රවුම මගින් විස්තර කරන ලද කෝණය සමාන වේ.
එනම්, ඉහත රූපයේ දැක්වෙන්නේ සමාන කෝණයක්, එනම්, මෙම කෝණය පරිධියේ ප්රමාණයේ චක්රලේඛ චාපයක් මත පදනම් වේ.
රේඩියනවල කෝණයක් වෘත්තාකාර චාපයක් මත පදනම්ව රවුමක කේන්ද්‍රීය කෝණය ලෙස හැඳින්වේ, එහි දිග රවුමේ අරයට සමාන වේ. හොඳයි, ඔබට තේරුණාද? එසේ නොවේ නම්, අපි පින්තූරය දෙස බලමු.
ඉතින්, රූපය රේඩියනයකට සමාන කෝණයක් පෙන්වයි, එනම්, මෙම කෝණය රවුම් චාපයක් මත පදනම් වේ, එහි දිග රවුමේ අරයට සමාන වේ (දිග දිග හෝ අරයට සමාන වේ දිගට සමාන වේචාප). මේ අනුව, චාපයේ දිග සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ:
රේඩියනවල කේන්ද්‍රීය කෝණය කොහෙද.
හොඳයි, මෙය දැනගෙන, රවුමකින් විස්තර කරන ලද කෝණයක් රේඩියන කීයක් අඩංගු වේද යන්න ඔබට පිළිතුරු දිය හැකිද? ඔව්, මේ සඳහා ඔබ රවුමක පරිධිය සඳහා සූත්රය මතක තබා ගත යුතුය. එහි ඇය:
හොඳයි, දැන් අපි මෙම සූත්ර දෙක සහසම්බන්ධ කර රවුමෙන් විස්තර කර ඇති කෝණය සමාන බව ලබා ගනිමු. එනම්, අංශක සහ රේඩියනවල අගය සහසම්බන්ධ කිරීම, අපට එය ලැබේ. පිළිවෙලින්, . ඔබට පෙනෙන පරිදි, "අංශක" මෙන් නොව, "රේඩියන්" යන වචනය ඉවත් කර ඇත, මන්ද මිනුම් ඒකකය සාමාන්යයෙන් සන්දර්භයෙන් පැහැදිලි වේ.
රේඩියන කීයක් තිබේද? ඒක හරි!
තේරුම් ගත්තා ද? ඉන්පසු ඉදිරියට සවි කරන්න:
කිසියම් දුෂ්කරතාවයක් තිබේද? එහෙනම් බලන්න පිළිතුරු:
සෘජු ත්රිකෝණය: සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක, කෝණයක කෝටැන්ජන්ට්
එබැවින්, කෝණය පිළිබඳ සංකල්පය හඳුනාගෙන ඇත. නමුත් කෝණයක සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක, කෝටැන්ජන්ට් යනු කුමක්ද? අපි එය තේරුම් ගනිමු. මේ සඳහා සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් අපට උපකාර කරනු ඇත.
සෘජුකෝණාශ්‍රය ත්රිකෝණයක පැති හඳුන්වන්නේ කුමක්ද? එය හරි, කර්ණය සහ කකුල්: කර්ණය යනු සෘජු කෝණයට විරුද්ධ පැත්තේ පිහිටා ඇති පැත්තයි (අපගේ උදාහරණයේ, මෙය පැත්තයි); කකුල් යනු ඉතිරි පැති දෙකයි (ඒවාට යාබද සෘජු කෝණය), එපමනක් නොව, අපි කෝණයට සාපේක්ෂව කකුල් සලකන්නේ නම්, කකුල යාබද කකුල වන අතර කකුල ප්රතිවිරුද්ධයයි. ඉතින්, දැන් අපි ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු දෙමු: කෝණයක සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් මොනවාද?
කෝණයක සයින්කර්ණයට ප්රතිවිරුද්ධ (දුර) කකුලේ අනුපාතය වේ.
අපේ ත්රිකෝණයේ.
කෝණයක කෝසයින්- මෙය යාබද (සමීප) කකුලේ කර්ණයට අනුපාතයයි.
අපේ ත්රිකෝණයේ.
කෝණ ස්පර්ශකය- මෙය ප්රතිවිරුද්ධ (දුර) කකුලේ යාබද (සමීප) අනුපාතයයි.
අපේ ත්රිකෝණයේ.
කෝණයක කෝටැන්ජන්ට්- මෙය යාබද (සමීප) කකුලේ ප්රතිවිරුද්ධ (දුර) අනුපාතයයි.
අපේ ත්රිකෝණයේ.
මෙම නිර්වචන අවශ්ය වේ මතක තබා ගන්න! කුමන කකුලෙන් බෙදිය යුතුද යන්න මතක තබා ගැනීම පහසු කිරීම සඳහා, ඔබ එය පැහැදිලිව තේරුම් ගත යුතුය ස්පර්ශකහා කෝටෙන්ජන්ට්කකුල් පමණක් වාඩි වන අතර, උපකල්පනය දිස්වන්නේ එහි පමණි සයිනස්හා කොසයින්. එවිට ඔබට සංගම් දාමයක් ඉදිරිපත් කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, මෙය:
කොසයින්→ස්පර්ශ→ස්පර්ශ→යාබද;
කෝටැන්ජන්ට්→ස්පර්ශ→ස්පර්ශ→යාබද.
පළමුවෙන්ම, ත්රිකෝණයක පැතිවල අනුපාත ලෙස සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් මෙම පැතිවල දිග (එක් කෝණයකින්) මත රඳා නොපවතින බව මතක තබා ගත යුතුය. විශ්වාස කරන්න එපා? ඉන්පසු පින්තූරය දෙස බලා වග බලා ගන්න:
උදාහරණයක් ලෙස, කෝණයක කෝසයිනය සලකා බලන්න. නිර්වචනය අනුව, ත්‍රිකෝණයකින්: , නමුත් අපට ත්‍රිකෝණයකින් කෝණයක කෝසයිනය ගණනය කළ හැක: . ඔබට පෙනේ, පැතිවල දිග වෙනස් වේ, නමුත් එක් කෝණයක කෝසයිනයේ අගය සමාන වේ. මේ අනුව, සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් වල අගයන් රඳා පවතින්නේ කෝණයේ විශාලත්වය මත පමණි.
ඔබ අර්ථ දැක්වීම් තේරුම් ගන්නේ නම්, ඉදිරියට ගොස් ඒවා නිවැරදි කරන්න!
පහත රූපයේ දැක්වෙන ත්රිකෝණය සඳහා, අපි සොයා ගනිමු.
හොඳයි, ඔබට එය ලැබුණාද? ඉන්පසු එය ඔබම උත්සාහ කරන්න: කෙළවර සඳහා එකම ගණනය කරන්න.
ඒකක (ත්රිකෝණමිතික) කවය
අංශක සහ රේඩියනවල සංකල්ප තේරුම් ගැනීම, අපි සමාන අරයක් සහිත කවයක් සලකා බැලුවෙමු. එවැනි කවයක් ලෙස හැඳින්වේ තනි. ත්රිකෝණමිතිය අධ්යයනය කිරීමේදී එය ඉතා ප්රයෝජනවත් වේ. එමනිසා, අපි එය තව ටිකක් විස්තරාත්මකව වාසය කරමු.
ඔබට පෙනෙන පරිදි, මෙම කවය ගොඩනගා ඇත්තේ Cartesian ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය තුළය. රවුමේ අරය එකකට සමාන වන අතර, රවුමේ කේන්ද්රය මූලාරම්භයේ පිහිටා ඇති අතර, අරය දෛශිකයේ ආරම්භක ස්ථානය අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව දිගේ සවි කර ඇත (අපගේ උදාහරණයේ, මෙය අරය වේ).
රවුමේ සෑම ලක්ෂයක්ම සංඛ්යා දෙකකට අනුරූප වේ: අක්ෂය දිගේ ඛණ්ඩාංකය සහ අක්ෂය දිගේ ඛණ්ඩාංකය. මෙම ඛණ්ඩාංක අංක මොනවාද? පොදුවේ ගත් කල, ඔවුන් අත ඇති මාතෘකාව සමඟ කළ යුත්තේ කුමක්ද? මෙය සිදු කිරීම සඳහා, සලකා බැලූ සෘජු කෝණික ත්රිකෝණය ගැන මතක තබා ගන්න. ඉහත රූපයේ, ඔබට සම්පූර්ණ දකුණු ත්‍රිකෝණ දෙකක් දැකිය හැකිය. ත්රිකෝණයක් සලකා බලන්න. එය අක්ෂයට ලම්බක වන බැවින් එය සෘජුකෝණාස්රාකාර වේ.
ත්රිකෝණයක සිට සමාන වන්නේ කුමක්ද? ඒක හරි. ඊට අමතරව, ඒකක කවයේ අරය බව අපි දනිමු, එබැවින්, . මෙම අගය අපගේ කෝසයින් සූත්‍රයට ආදේශ කරන්න. මෙන්න මෙහෙමයි වෙන්නේ:
සහ ත්රිකෝණයක සිට සමාන වන්නේ කුමක් ද? හොඳයි, ඇත්ත වශයෙන්ම, ! මෙම සූත්‍රයට අරයේ අගය ආදේශ කර ලබා ගන්න:
ඉතින්, රවුමට අයත් ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක මොනවාදැයි මට කියන්න පුළුවන්ද? හොඳයි, කොහෙත්ම නැහැ? ඔබ එය තේරුම් ගෙන ඉලක්කම් පමණක් නම්? එය අනුරූප වන්නේ කුමන ඛණ්ඩාංකයටද? හොඳයි, ඇත්ත වශයෙන්ම, සම්බන්ධීකරණය! එය අනුරූප වන්නේ කුමන ඛණ්ඩාංකයටද? ඒක හරි, සම්බන්ධීකරණය! මේ අනුව, කාරණය.
එවිට සමාන වන්නේ කුමක්ද සහ? ඒක හරි, අපි ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් වල සුදුසු නිර්වචන භාවිතා කර එය ලබා ගනිමු, a.
කෝණය විශාල නම් කුමක් කළ යුතුද? මෙන්න, උදාහරණයක් ලෙස, මෙම පින්තූරයේ මෙන්:
තුළ වෙනස් වී ඇති දේ මෙම උදාහරණය? අපි එය තේරුම් ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි නැවතත් සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයකට හැරෙමු. සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක් සලකා බලන්න: කෝණයක් (කෝණයට යාබදව). කෝණයක සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් වල වටිනාකම කොපමණද? ඒක හරි, අපි ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල අනුරූප නිර්වචනවලට අනුගත වෙමු:
හොඳයි, ඔබට පෙනෙන පරිදි, කෝණයෙහි සයින් අගය තවමත් ඛණ්ඩාංකයට අනුරූප වේ; කෝණයෙහි කෝසයිනයේ අගය - ඛණ්ඩාංකය; සහ ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් අගයන් අනුරූප අනුපාතවලට. මේ අනුව, මෙම සම්බන්ධතා අරය දෛශිකයේ ඕනෑම භ්‍රමණයකට අදාළ වේ.
අරය දෛශිකයේ ආරම්භක පිහිටීම අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව ඔස්සේ බව දැනටමත් සඳහන් කර ඇත. මෙතෙක් අපි මෙම දෛශිකය වාමාවර්තව කරකවා ඇත, නමුත් අපි එය දක්ෂිණාවර්තව කරකවන්නේ නම් කුමක් සිදුවේද? අසාමාන්ය කිසිවක් නැත, ඔබට යම් ප්රමාණයක කෝණයක් ද ලැබෙනු ඇත, නමුත් එය පමණක් සෘණාත්මක වනු ඇත. මේ අනුව, අරය දෛශිකය වාමාවර්තව භ්රමණය කරන විට, අපි ලබා ගනිමු ධනාත්මක කෝණ, සහ දක්ෂිණාවර්තව කැරකෙන විට - සෘණ.
එබැවින්, රවුම වටා ඇති අරය දෛශිකයේ සම්පූර්ණ විප්ලවයක් හෝ බව අපි දනිමු. අරය දෛශිකය මගින් හෝ කරකැවිය හැකිද? හොඳයි, ඇත්තෙන්ම ඔබට පුළුවන්! පළමු අවස්ථාවේ දී, එබැවින්, අරය දෛශිකය එක් සම්පූර්ණ විප්ලවයක් සිදු කර ස්ථානයේ හෝ නතර වනු ඇත.
දෙවන අවස්ථාවේ දී, එනම් අරය දෛශිකය සම්පූර්ණ විප්ලව තුනක් සිදු කර ස්ථානයේ හෝ නතර වනු ඇත.
මේ අනුව, ඉහත උදාහරණ වලින්, අපට නිගමනය කළ හැක්කේ කෝණ මගින් වෙනස් වන හෝ (ඕනෑම පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් ඇති) අරය දෛශිකයේ එකම ස්ථානයට අනුරූප වන බවයි.
පහත රූපයේ කෝණයක් පෙන්වයි. එම රූපයම කෙළවරට අනුරූප වේ, සහ එසේ ය. මෙම ලැයිස්තුව දින නියමයක් නොමැතිව දිගටම කරගෙන යා හැක. මෙම සියලු කෝණ සාමාන්ය සූත්රය හෝ (ඕනෑම නිඛිලයක් ඇති තැන) සමඟ ලිවිය හැක.
දැන්, මූලික ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල නිර්වචන දැනගෙන ඒකක කවය භාවිතා කරමින්, අගයන් සමාන වන්නේ කුමක් දැයි පිළිතුරු දීමට උත්සාහ කරන්න:
මෙන්න ඔබට උදවු කිරීමට ඒකක කවයක්:
කිසියම් දුෂ්කරතාවයක් තිබේද? එහෙනම් අපි එය තේරුම් ගනිමු. එබැවින් අපි එය දනිමු:
මෙතැන් සිට, අපි කෝණයේ ඇතැම් මිනුම් වලට අනුරූප වන ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක තීරණය කරමු. හොඳයි, අපි පිළිවෙලට ආරම්භ කරමු: කෙළවරේ ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්‍යයකට අනුරූප වේ, එබැවින්:
නොපවතී;
තවද, එකම තර්කනයට අනුකූලව, කොන් පිළිවෙලින් ඛණ්ඩාංක සහිත ලකුණු වලට අනුරූප වන බව අපි සොයා ගනිමු. මෙය දැන ගැනීමෙන්, අනුරූප ලක්ෂ්යවල ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල අගයන් තීරණය කිරීම පහසුය. මුලින්ම එය ඔබම උත්සාහ කරන්න, පසුව පිළිතුරු පරීක්ෂා කරන්න.
පිළිතුරු:
නොපවතී
නොපවතී
නොපවතී
නොපවතී
මේ අනුව, අපට පහත වගුව සෑදිය හැකිය:
මෙම සියලු අගයන් මතක තබා ගැනීමට අවශ්ය නැත. ඒකක කවයේ ලක්ෂ්‍ය ඛණ්ඩාංක සහ ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල අගයන් අතර ලිපි හුවමාරුව මතක තබා ගැනීම ප්රමාණවත් වේ:
නමුත් පහත වගුවේ දක්වා ඇති කෝණවල ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල අගයන් සහ, මතක තබා ගත යුතුය:
බිය නොවන්න, දැන් අපි එක් උදාහරණයක් පෙන්වන්නෙමු අනුරූප අගයන් වෙනුවට සරල කටපාඩම් කිරීම:
මෙම ක්රමය භාවිතා කිරීම සඳහා, සියලු දෙනා සඳහා සයින් අගයන් මතක තබා ගැනීම වැදගත් වේ පියවර තුනක්කෝණය (), මෙන්ම කෝණයේ ස්පර්ශක අගය. මෙම අගයන් දැන ගැනීමෙන්, සම්පූර්ණ වගුව නැවත යථා තත්ත්වයට පත් කිරීම තරමක් පහසුය - කෝසයින් අගයන් ඊතල වලට අනුකූලව මාරු කරනු ලැබේ, එනම්:
මෙය දැන ගැනීමෙන්, ඔබට අගයන් නැවත ලබා ගත හැකිය. " " ඉලක්කම් ගැළපෙන අතර " " හරය ගැළපේ. රූපයේ දැක්වෙන ඊතල වලට අනුකූලව කෝටැන්ජන්ට් අගයන් මාරු කරනු ලැබේ. ඔබ මෙය තේරුම් ගෙන ඊතල සහිත රූප සටහන මතක තබා ගන්නේ නම්, මේසයෙන් සම්පූර්ණ අගය මතක තබා ගැනීමට එය ප්රමාණවත් වනු ඇත.
රවුමක ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක
රවුමක ලක්ෂ්‍යයක් (එහි ඛණ්ඩාංක) සොයා ගත හැකිද, රවුමේ කේන්ද්රයේ ඛණ්ඩාංක, එහි අරය සහ භ්රමණ කෝණය දැන ගැනීම?
හොඳයි, ඇත්තෙන්ම ඔබට පුළුවන්! එලියට ගේමු සාමාන්ය සූත්රයලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමට.
මෙන්න, උදාහරණයක් ලෙස, අපට එවැනි කවයක් තිබේ:
ලක්ෂ්යය රවුමේ කේන්ද්රය බව අපට ලබා දී ඇත. රවුමේ අරය සමාන වේ. ලක්ෂ්යය අංශක වලින් භ්රමණය කිරීමෙන් ලබාගත් ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ.
රූපයෙන් දැකිය හැකි පරිදි, ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංකය කොටසෙහි දිගට අනුරූප වේ. කොටසෙහි දිග රවුමේ කේන්ද්රයේ ඛණ්ඩාංකයට අනුරූප වේ, එනම් එය සමාන වේ. කොසයින් අර්ථ දැක්වීම භාවිතයෙන් කොටසක දිග ප්‍රකාශ කළ හැක:
එවිට අපට ඛණ්ඩාංකය යන කරුණ සඳහා එය තිබේ.
එම තර්කයෙන්ම, ලක්ෂ්යය සඳහා y ඛණ්ඩාංකයේ අගය අපට සොයාගත හැකිය. මේ ක්රමයෙන්,
එබැවින්, පොදුවේ ගත් කල, ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක සූත්ර මගින් තීරණය කරනු ලැබේ:
කව මධ්යස්ථාන ඛණ්ඩාංක,
රවුම් අරය,
අරය දෛශිකයේ භ්රමණ කෝණය.
ඔබට පෙනෙන පරිදි, අප සලකා බලන ඒකක කවය සඳහා, මෙම සූත්ර සැලකිය යුතු ලෙස අඩු වී ඇත, මන්ද මධ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ශුන්ය වන අතර අරය එකකට සමාන වේ:
හොඳයි, රවුමක ලක්ෂ්‍ය සෙවීමට පුරුදු වෙමින් රසයක් සඳහා මෙම සූත්ර අත්හදා බලමුද?
1. ලක්ෂ්‍යයක් ක්‍රියාත්මක කිරීමෙන් ලබාගත් ඒකක කවයක් මත ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක සොයන්න.
2. ලක්ෂ්‍යයක් භ්රමණය කිරීමෙන් ලබාගත් ඒකක කවයක් මත ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක සොයන්න.
3. ලක්ෂ්‍යයක් ක්‍රියාත්මක කිරීමෙන් ලබාගත් ඒකක කවයක් මත ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක සොයන්න.
4. ලක්ෂ්යය - රවුමේ කේන්ද්රය. රවුමේ අරය සමාන වේ. මගින් ආරම්භක අරය දෛශිකය කරකැවීමෙන් ලබාගත් ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ.
5. ලක්ෂ්යය - රවුමේ කේන්ද්රය. රවුමේ අරය සමාන වේ. මගින් ආරම්භක අරය දෛශිකය කරකැවීමෙන් ලබාගත් ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ.
රවුමක ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීමේ ගැටලුවක් තිබේද?
මෙම උදාහරණ පහ විසඳන්න (නැතහොත් විසඳුම හොඳින් තේරුම් ගන්න) එවිට ඔබ ඒවා සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි ඉගෙන ගනු ඇත!
1.
එය දැක ගත හැකිය. ආරම්භක ලක්ෂ්යයේ සම්පූර්ණ හැරීමකට අනුරූප වන දේ අපි දනිමු. මේ අනුව, අපේක්ෂිත ලක්ෂ්යය හැරෙන විට එම ස්ථානයේම පවතිනු ඇත. මෙය දැන ගැනීමෙන්, ලක්ෂ්යයේ අපේක්ෂිත ඛණ්ඩාංක අපට හමු වේ:
2. කවය යනු ලක්ෂ්‍යයක කේන්ද්‍රයක් සහිත ඒකකයකි, එයින් අදහස් කරන්නේ අපට සරල කළ සූත්ර භාවිතා කළ හැකි බවයි:
එය දැක ගත හැකිය. ආරම්භක ලක්ෂ්යයේ සම්පූර්ණ භ්රමණ දෙකකට අනුරූප වන දේ අපි දනිමු. මේ අනුව, අපේක්ෂිත ලක්ෂ්යය හැරෙන විට එම ස්ථානයේම පවතිනු ඇත. මෙය දැන ගැනීමෙන්, ලක්ෂ්යයේ අපේක්ෂිත ඛණ්ඩාංක අපට හමු වේ:
සයින් සහ කොසයින් වේ වගු අගයන්. අපි ඔවුන්ගේ වටිනාකම් මතක තබා ගන්නෙමු:
මේ අනුව, අපේක්ෂිත ලක්ෂ්යයට ඛණ්ඩාංක ඇත.
3. කවය යනු ලක්ෂ්‍යයක කේන්ද්‍රයක් සහිත ඒකකයකි, එයින් අදහස් කරන්නේ අපට සරල කළ සූත්ර භාවිතා කළ හැකි බවයි:
එය දැක ගත හැකිය. රූපයේ සලකා බැලූ උදාහරණය නිරූපණය කරමු:
අරය සහ සමාන අක්ෂය සහිත කෝණ සාදයි. කොසයින් සහ සයින් වල වගු අගයන් සමාන බව දැනගෙන, මෙහි කෝසයිනය ගන්නා බව තීරණය කිරීමෙන් සෘණ අර්ථය, සහ සයින් ධනාත්මක වේ, අපට ඇත්තේ:
මාතෘකාවේ ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතයන් අඩු කිරීම සඳහා සූත්ර අධ්යයනය කිරීමේදී සමාන උදාහරණ වඩාත් විස්තරාත්මකව විශ්ලේෂණය කෙරේ.
මේ අනුව, අපේක්ෂිත ලක්ෂ්යයට ඛණ්ඩාංක ඇත.
4.
අරය දෛශිකයේ භ්රමණ කෝණය (තත්ත්වය අනුව)
සයින් සහ කොසයින් වල අනුරූප සලකුණු තීරණය කිරීම සඳහා, අපි ඒකක කවයක් සහ කෝණයක් සාදන්නෙමු:
ඔබට පෙනෙන පරිදි, අගය, එනම්, ධනාත්මක වන අතර, අගය, එනම්, සෘණ වේ. අනුරූප ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල වගු අගයන් දැන ගැනීමෙන්, අපි එය ලබා ගනිමු:
ලබාගත් අගයන් අපගේ සූත්‍රයට ආදේශ කර ඛණ්ඩාංක සොයා ගනිමු:
මේ අනුව, අපේක්ෂිත ලක්ෂ්යයට ඛණ්ඩාංක ඇත.
5. මෙම ගැටළුව විසඳීම සඳහා, අපි සාමාන්ය ස්වරූපයෙන් සූත්ර භාවිතා කරමු, එහිදී
රවුමේ කේන්ද්රයේ ඛණ්ඩාංක (අපගේ උදාහරණයේ,
කව අරය (තත්ත්වය අනුව)
අරය දෛශිකයේ භ්රමණ කෝණය (තත්ත්වය අනුව).
සියලුම අගයන් සූත්‍රයට ආදේශ කර ලබා ගන්න:
සහ - වගු අගයන්. අපි ඒවා මතක තබා ගෙන ඒවා සූත්‍රයට ආදේශ කරමු:
මේ අනුව, අපේක්ෂිත ලක්ෂ්යයට ඛණ්ඩාංක ඇත.
සාරාංශය සහ මූලික සූත්රය
කෝණයක සයින් යනු ප්රතිවිරුද්ධ (දුර) කකුලේ කර්ණයට අනුපාතයයි.
කෝණයක කෝසයින් යනු යාබද (සමීප) කකුලේ කර්ණයට අනුපාතයයි.
කෝණයක ස්පර්ශකය යනු ප්රතිවිරුද්ධ (දුර) පාදයේ යාබද (සමීප) අනුපාතයයි.
කෝණයක කෝටැන්ජන්ට් යනු යාබද (සමීප) කකුලේ ප්රතිවිරුද්ධ (දුර) අනුපාතයයි.
ත්රිකෝණමිතිය බොහෝ දෙනා මග හරින මාතෘකාවකි. එසේ තිබියදීත්, ඔබ ඒ සඳහා නිවැරදි ප්රවේශය සොයා ගන්නේ නම්, එය ඔබට ඉතා රසවත් වනු ඇත. ත්රිකෝණමිතික සූත්ර, ස්පර්ශකය සොයා ගැනීම සඳහා සූත්ර ඇතුළුව, බොහෝ ප්‍රදේශවල භාවිතා වේ සැබෑ ජීවිතය. මෙම ලිපිය කෝණයක ස්පර්ශකය සොයා ගැනීමට සහ ජීවිතයේ මෙම අගය යෙදීම පිළිබඳ උදාහරණ ලබා දෙන ආකාරය ගැන කතා කරනු ඇත. මෙය ඔබට මාතෘකාව ගවේෂණය කිරීමට පෙළඹවීමක් ලබා දෙනු ඇත.
බහුතර පාසල් සිසුන් අතර පවතින මතයක් තිබියදීත්, ත්රිකෝණමිතිය බොහෝ විට ජීවිතයේ භාවිතා වේ. නිදර්ශන උදාහරණයක් ප්රායෝගික යෙදුමකම්මැලි නොවී සිටීමට ඔබට දිරිගැන්වීමක් ලබා දෙනු ඇත. කෝණයක ස්පර්ශකය සොයා ගැනීම ඇතුළුව, ත්රිකෝණමිතික ගණනය කිරීම් භාවිතා කරන ක්‍රියාකාරකම් ක්ෂේත්‍ර කිහිපයක් මෙන්න:
- ආර්ථිකය.
- තාරකා විද්යාව.
- ගුවන්.
- ඉංජීනේරු.
එබැවින්, tg සොයා ගැනීමට ක්‍රම පහතින් ලබා දෙනු ඇත.
කෝණයක tg සොයා ගන්නේ කෙසේද
කෝණයක ස්පර්ශකය සොයා ගැනීම තරමක් සරල ය. ඔබට ගවේෂණය කළ හැකිය මේ මාතෘකාවසහ නීති කටපාඩම් කරන්න, නමුත් මේ සියල්ල විභාගයේදී ඔබේ හිසෙන් ඉවතට පියාසර කළ හැකිය. එබැවින්, එය ළඟා වීම වටී මෙම ප්රශ්නයඅර්ථවත්. මතක තබා ගත යුතු මූලික සූත්ර:
- tg0° = 0
- tg30° = 1/√3
- tg45° = 1
- tg60° = √3
- tg90° = ∞ (අනන්තය/නිර්වචනය නොකළ)
අගයන් ආරෝහණ අනුපිළිවෙලෙහි ඇති බව සලකන්න: කෝණය විශාල වන තරමට ස්පර්ශක අගය විශාල වේ. ඒ අනුව, 0 ° ක කෝණයක අංශක අගයක් සමඟ, අපි 0. අංශක තිහක අගයක් සහිතව, ඒකකයක් තුනේ මූලයෙන් බෙදීම සහ යනාදිය, අපි 90 ° ලකුණට ළඟා වන තුරු. එය සමඟ, ස්පර්ශකයේ අගය අනන්තය හෝ අවිනිශ්චිතතාවයට සමාන වේ (විශේෂිත තත්ත්වය මත පදනම්ව).
මෙම ප්‍රකාශන සෘජුකෝණාශ්‍රය ත්රිකෝණයක් හරහා ස්පර්ශකය සොයා ගැනීමේ රීතියෙන් අනුගමනය කරයි. එබැවින්, A (tgA) කෝණයෙහි ස්පර්ශකය ප්රතිවිරුද්ධ පාදයේ යාබද කකුලට අනුපාතයට සමාන වේ. ඔබට සියලු පැති දන්නා නමුත් කෝණය නොදන්නා සෘජුකෝණාස්‍රයක් ලබා දී ඇතැයි සිතන්න. ගැටළුව විසඳීමෙන්, A කෝණයේ ස්පර්ශකය සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. කෝණයට ප්රතිවිරුද්ධ පැත්තේ අගය 1 වන අතර යාබද කකුල √3 වේ. ඔවුන්ගේ අනුපාතය 1/√3 ලබා දෙයි. දී කෝණය බව අපි දැනටමත් දනිමු මෙම දර්ශකයඅංශක 30 ට සමාන වේ. ඒ අනුව, කෝණය A = 30 °.
සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයක, සෘජු කෝණයක දී, ස්පර්ශක දෙකම යාබදව පිහිටා ඇත. මෙම කෝණයෙහි ප්රතිවිරුද්ධ පැත්ත කර්ණය වේ. හරියටම අපට කකුල් දෙකක් එකිනෙකට බෙදිය නොහැකි නිසා (සොයාගැනීමේ කොන්දේසිය උල්ලංඝනය වනු ඇත), 90 ° ක ස්පර්ශකය මෙම නඩුවනොපවතී.
මේ සියල්ලට අමතරව, බොහෝ විට නොපැහැදිලි කෝණයක ස්පර්ශකය සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. සාමාන්යයෙන් ගැටළු වලදී අංශක 120 හෝ 150 ක අගයක් සහිත අශෝභන කෝණ ඇත. නොපැහැදිලි කෝණයක ස්පර්ශකය සොයා ගැනීමේ සූත්රය පහත පරිදි වේ: tg(180-a) = tga.
උදාහරණයක් ලෙස, අපි 120 ° ක ස්පර්ශකය සොයා ගත යුතුය. ඔබ ඔබෙන්ම විමසිය යුතුයි ඊළඟ ප්රශ්නය: 120 ලබා ගැනීමට 180 සිට කොපමණ අඩු කළ යුතුද? අනිවාර්යයෙන්ම 60°. එය 120° සහ 60° ස්පර්ශක එකිනෙක සමාන වන අතර tg120° = √3 වේ. එකම තර්කනය අනුව, ඔබට අංශක 150 සහ 180 ස්පර්ශක සොයා ගත හැකිය. ඒවායේ අගයන් පිළිවෙලින් 1 / √3 සහ 0 ට සමාන වනු ඇත. අනෙකුත් කෝණවල ස්පර්ශකවල අගයන් ත්රිකෝණමිතික වගුවේ දක්වා ඇත, නමුත් ඒවා ඉතා කලාතුරකින් භාවිතා වේ.
අන්තර්ජාලය හරහා කෝණයක tg සොයා ගන්නේ කෙසේද
කෝණයක ස්පර්ශකය සොයා ගැනීම සඳහා බොහෝ සබැඳි සම්පත් තිබේ. මෙයින් එකක් වන්නේ FXYZ වෙබ් අඩවියයි. මෙම සබැඳිය අනුගමනය කරන්න. ස්පර්ශකයට අදාළ මූලික සූත්ර ලබා දෙන පිටුවක් මෙන්ම ගණක යන්ත්‍රයක් ද ඔබට පෙනෙනු ඇත. කැල්කියුලේටරය භාවිතා කිරීම තරමක් සරල ය. ඔබ සුදුසු ඒවා ඇතුළත් කළ යුතු අතර කැල්කියුලේටරය පිළිතුර ගණනය කරනු ඇත. ඔබට යමක් අමතක වූ විට මෙම සරල ඇල්ගොරිතම ඔබට උපකාරී වනු ඇත. මෙම වෙබ් අඩවියේ ගණක යන්ත්‍ර දෙකක් ඇත. එකක් ත්රිකෝණයේ පාදවල දිග මත පදනම්ව ස්පර්ශකයේ අගය සොයා ගැනීම සඳහා වන අතර දෙවැන්න කෝණයේ විශාලත්වය මත පදනම් වේ. කාර්යයට අවශ්ය කැල්කියුලේටරය භාවිතා කරන්න.
ඔබ දැක ඇති පරිදි, ස්පර්ශක සහ අනෙකුත් ත්රිකෝණමිතික දර්ශක සොයා ගැනීම සැබෑ ජීවිතයේ බොහෝ විට භාවිතා වන අතර, මෙම අගයන් සොයා ගැනීම කිසිසේත් අපහසු නොවේ. සොයා ගැනීමේ සාරය ඔබ තේරුම් ගන්නේ නම්, ඔබට කිසිවක් කටපාඩම් කිරීමට අවශ්ය නැත - ඔබටම නිවැරදි පිළිතුර ලබා ගත හැකිය. කෙසේ වෙතත්, යමක් සාර්ථක නොවන්නේ නම්, කැල්කියුලේටරයක් භාවිතා කරන්න, නමුත් එය අනිසි ලෙස භාවිතා නොකරන්න. විභාගයකදී, පරීක්ෂණයකදී හෝ පාසලකදී පාලන වැඩකිසිවෙකු ඔබට එවැනි අවස්ථාවක් ලබා නොදෙනු ඇත. එපමණක් නොව, ඔබ උසස් ගණිතයේ ත්රිකෝණමිතිය අධ්යයනය කරන පීඨයට ඇතුළු වුවහොත්, තොරව මූලික දැනුමකපා නොදැමීමට ඔබට බරපතල ලෙස දහඩිය දැමීමට සිදුවනු ඇත.
කෝණයක සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක, කෝටැන්ජන්ට් යනු කුමක්ද යන්න ඔබට සෘජු ත්රිකෝණයක් තේරුම් ගැනීමට උපකාරී වේ.
සෘජුකෝණාශ්‍රය ත්රිකෝණයක පැති හඳුන්වන්නේ කුමක්ද? ඒක හරි, කර්ණය සහ පාද: කර්ණය යනු සෘජු කෝණයට විරුද්ධ පැත්තයි (අපගේ උදාහරණයේ, මෙය පැත්තයි \ (AC \) ); කකුල් යනු ඉතිරි පැති දෙකයි \ (AB \) සහ \ (BC \) (දකුණු කෝණයට යාබද ඒවා), එපමණක් නොව, අපි \ (BC \) කෝණයට සාපේක්ෂව කකුල් සලකා බැලුවහොත්, පාදය \ (AB \) යනු යාබද කකුල වන අතර කකුල \ (BC \) ප්රතිවිරුද්ධ වේ. ඉතින්, දැන් අපි ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු දෙමු: කෝණයක සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් මොනවාද?
කෝණයක සයින්- මෙය ප්රතිවිරුද්ධ (දුර) කකුලේ කර්ණයට අනුපාතයයි.
අපගේ ත්රිකෝණයේ:
\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]
කෝණයක කෝසයින්- මෙය යාබද (සමීප) කකුලේ කර්ණයට අනුපාතයයි.
අපගේ ත්රිකෝණයේ:
\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]
කෝණ ස්පර්ශකය- මෙය ප්රතිවිරුද්ධ (දුර) කකුලේ යාබද (සමීප) අනුපාතයයි.
අපගේ ත්රිකෝණයේ:
\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]
කෝණයක කෝටැන්ජන්ට්- මෙය යාබද (සමීප) කකුලේ ප්රතිවිරුද්ධ (දුර) අනුපාතයයි.
අපගේ ත්රිකෝණයේ:
\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]
මෙම නිර්වචන අවශ්ය වේ මතක තබා ගන්න! කුමන කකුලෙන් බෙදිය යුතුද යන්න මතක තබා ගැනීම පහසු කිරීම සඳහා, ඔබ එය පැහැදිලිව තේරුම් ගත යුතුය ස්පර්ශකහා කෝටෙන්ජන්ට්කකුල් පමණක් වාඩි වන අතර, උපකල්පනය දිස්වන්නේ එහි පමණි සයිනස්හා කොසයින්. එවිට ඔබට සංගම් දාමයක් ඉදිරිපත් කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, මෙය:
කොසයින්→ස්පර්ශ→ස්පර්ශ→යාබද;
කෝටැන්ජන්ට්→ස්පර්ශ→ස්පර්ශ→යාබද.
පළමුවෙන්ම, ත්රිකෝණයක පැතිවල අනුපාත ලෙස සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් මෙම පැතිවල දිග (එක් කෝණයකින්) මත රඳා නොපවතින බව මතක තබා ගත යුතුය. විශ්වාස කරන්න එපා? ඉන්පසු පින්තූරය දෙස බලා වග බලා ගන්න:
උදාහරණයක් ලෙස, \(\beta \) කෝණයේ කෝසයින් සලකා බලන්න. නිර්වචනය අනුව, ත්‍රිකෝණයකින් \(ABC \) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), නමුත් අපට \(\beta \) කෝණයේ කෝසයිනය ත්‍රිකෝණයෙන් ගණනය කළ හැක \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). ඔබට පෙනේ, පැතිවල දිග වෙනස් වේ, නමුත් එක් කෝණයක කෝසයිනයේ අගය සමාන වේ. මේ අනුව, සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් වල අගයන් රඳා පවතින්නේ කෝණයේ විශාලත්වය මත පමණි.
ඔබ අර්ථ දැක්වීම් තේරුම් ගන්නේ නම්, ඉදිරියට ගොස් ඒවා නිවැරදි කරන්න!
පහත රූපයේ දැක්වෙන ත්රිකෝණය සඳහා \(ABC \) , අපි සොයා ගනිමු \(\sin \\alpha ,\ \cos \\alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).
\(\begin(array)(l)\sin \\alpha =\dfrac(4)(5)=0.8\\\cos \\alpha =\dfrac(3)(5)=0.6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)
හොඳයි, ඔබට එය ලැබුණාද? ඉන්පසු එය ඔබම උත්සාහ කරන්න: කෝණය සඳහා එයම ගණනය කරන්න \(\beta \) .
පිළිතුරු: \(\sin \ \beta =0.6;\ \cos \ \beta =0.8;\ tg\ \beta =0.75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).
ඒකක (ත්රිකෝණමිතික) කවය
උපාධිය සහ රේඩියනය පිළිබඳ සංකල්ප අවබෝධ කර ගනිමින්, අපි \ (1 \) ට සමාන අරයක් සහිත කවයක් සලකා බැලුවෙමු. එවැනි කවයක් ලෙස හැඳින්වේ තනි. ත්රිකෝණමිතිය අධ්යයනය කිරීමේදී එය ඉතා ප්රයෝජනවත් වේ. එමනිසා, අපි එය තව ටිකක් විස්තරාත්මකව වාසය කරමු.
ඔබට පෙනෙන පරිදි, මෙම කවය ගොඩනගා ඇත්තේ Cartesian ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය තුළය. රවුමේ අරය එකකට සමාන වන අතර, රවුමේ කේන්ද්රය මූලාරම්භයේ පිහිටා ඇති අතර, අරය දෛශිකයේ ආරම්භක ස්ථානය \(x \) අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව ඔස්සේ සවි කර ඇත (අපගේ උදාහරණයේ දී, මෙය අරය \(AB \) ).
රවුමේ ඇති සෑම ලක්ෂ්‍යයක්ම සංඛ්යා දෙකකට අනුරූප වේ: අක්ෂය \(x \) දිගේ ඛණ්ඩාංකය සහ අක්ෂය දිගේ ඛණ්ඩාංකය \(y \) . මෙම ඛණ්ඩාංක අංක මොනවාද? පොදුවේ ගත් කල, ඔවුන් අත ඇති මාතෘකාව සමඟ කළ යුත්තේ කුමක්ද? මෙය සිදු කිරීම සඳහා, සලකා බැලූ සෘජු කෝණික ත්රිකෝණය ගැන මතක තබා ගන්න. ඉහත රූපයේ, ඔබට සම්පූර්ණ දකුණු ත්‍රිකෝණ දෙකක් දැකිය හැකිය. ත්රිකෝණය සලකා බලන්න \(ACG \) . \(CG \) \(x \) අක්ෂයට ලම්බක වන නිසා එය සෘජුකෝණාස්‍ර වේ.
ත්රිකෝණයේ \(ACG \) \(\cos \\alpha \) යනු කුමක්ද? ඒක හරි \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). ඊට අමතරව, \(AC \) යනු ඒකක කවයේ අරය බව අපි දනිමු, එබැවින් \(AC=1 \) . මෙම අගය අපගේ කෝසයින් සූත්‍රයට ආදේශ කරන්න. මෙන්න මෙහෙමයි වෙන්නේ:
\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).
සහ ත්රිකෝණයේ \(ACG \) \(\sin \\alpha \) යනු කුමක්ද? හොඳයි, ඇත්තෙන්ම, \(\ sin \alpha =\dfrac(CG)(AC) \)! මෙම සූත්‍රයේ අරය \ (AC \) අගය ආදේශ කර ලබා ගන්න:
\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)
ඉතින්, රවුමට අයත් \(C \) ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක මොනවාදැයි ඔබට මට කියන්න පුළුවන්ද? හොඳයි, කොහෙත්ම නැහැ? නමුත් \(\cos \\alpha \) සහ \(\sin \alpha \) ඉලක්කම් පමණක් බව ඔබට වැටහෙන්නේ නම් කුමක් කළ යුතුද? \(\cos \alpha \) අනුරූප වන්නේ කුමන ඛණ්ඩාංකයටද? හොඳයි, ඇත්ත වශයෙන්ම, ඛණ්ඩාංකය \(x \) ! සහ \(\ sin \alpha \) අනුරූප වන්නේ කුමන ඛණ්ඩාංකයටද? ඒක හරි, \(y \) ඛණ්ඩාංකය! ඉතින් කාරණය \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).
එවිට \(tg \alpha \) සහ \(ctg \alpha \) යනු කුමක්ද? ඒක හරි, අපි ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් වල සුදුසු නිර්වචන භාවිතා කර එය ලබා ගනිමු \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), ඒ \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\ sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).
කෝණය විශාල නම් කුමක් කළ යුතුද? මෙන්න, උදාහරණයක් ලෙස, මෙම පින්තූරයේ මෙන්:
මෙම උදාහරණයේ වෙනස් වී ඇත්තේ කුමක්ද? අපි එය තේරුම් ගනිමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි නැවතත් සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණයකට හැරෙමු. ඍජු ත්රිකෝණයක් සලකා බලන්න \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : කෝණයක් (කෝණයට යාබදව \(\beta \) ). කෝණයක් සඳහා sine, cosine, tangent සහ cotangent වල වටිනාකම කුමක්ද \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \\)? ඒක හරි, අපි ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල අනුරූප නිර්වචනවලට අනුගත වෙමු:
\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\ cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\angle ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac((((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\angle ((C)_(1))(A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1) ))G)=\dfrac(x)(y)\end(array) \)
හොඳයි, ඔබට පෙනෙන පරිදි, කෝණයෙහි සයින් අගය තවමත් ඛණ්ඩාංකයට අනුරූප වේ \ (y \) ; කෝණයෙහි කෝසයිනයේ අගය - ඛණ්ඩාංකය \ (x \) ; සහ ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් අගයන් අනුරූප අනුපාතවලට. මේ අනුව, මෙම සම්බන්ධතා අරය දෛශිකයේ ඕනෑම භ්‍රමණයකට අදාළ වේ.
අරය දෛශිකයේ ආරම්භක ස්ථානය \(x \) අක්ෂයේ ධනාත්මක දිශාව ඔස්සේ බව දැනටමත් සඳහන් කර ඇත. මෙතෙක් අපි මෙම දෛශිකය වාමාවර්තව කරකවා ඇත, නමුත් අපි එය දක්ෂිණාවර්තව කරකවන්නේ නම් කුමක් සිදුවේද? අසාමාන්ය කිසිවක් නැත, ඔබට යම් ප්රමාණයක කෝණයක් ද ලැබෙනු ඇත, නමුත් එය පමණක් සෘණාත්මක වනු ඇත. මේ අනුව, අරය දෛශිකය වාමාවර්තව භ්රමණය කරන විට, අපි ලබා ගනිමු ධනාත්මක කෝණ, සහ දක්ෂිණාවර්තව කැරකෙන විට - සෘණ.
එබැවින්, රවුම වටා ඇති අරය දෛශිකයේ සම්පූර්ණ විප්ලවය \(360()^\circ \) හෝ \(2\pi \) බව අපි දනිමු. අරය දෛශිකය \(390()^\circ \) මගින් හෝ \(-1140()^\circ \) මගින් කරකැවිය හැකිද? හොඳයි, ඇත්තෙන්ම ඔබට පුළුවන්! පළමු අවස්ථාවේ දී, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), එබැවින් අරය දෛශිකය එක් සම්පූර්ණ භ්‍රමණයක් සිදු කර \(30()^\circ \) හෝ \(\dfrac(\pi )(6) \) හි නතර වනු ඇත.
දෙවන නඩුවේදී, \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), එනම් අරය දෛශිකය සම්පූර්ණ විප්ලව තුනක් සිදු කර \(-60()^\circ \) හෝ \(-\dfrac(\pi )(3) \) ස්ථානයේ නතර වේ.
මේ අනුව, ඉහත උදාහරණ වලින්, අපට නිගමනය කළ හැක්කේ \(360()^\circ \cdot m \) හෝ \(2\pi \cdot m \) (\(m \) යනු ඕනෑම නිඛිලයක් වන කෝණ ) අරය දෛශිකයේ එකම ස්ථානයට අනුරූප වේ.
පහත රූපයේ දැක්වෙන්නේ \(\beta =-60()^\circ \) . එකම රූපය කෙළවරට අනුරූප වේ \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \)ආදිය මෙම ලැයිස්තුව දින නියමයක් නොමැතිව දිගටම කරගෙන යා හැක. මෙම සියලු කෝණ සාමාන්ය සූත්රය සමඟ ලිවිය හැකිය \(\beta +360()^\circ \cdot m \)හෝ \(\beta +2\pi \cdot m \) (මෙහිදී \(m \) ඕනෑම පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් වේ)
\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)
දැන්, මූලික ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල නිර්වචන දැනගෙන ඒකක කවය භාවිතා කරමින්, අගයන් සමාන වන්නේ කුමක් දැයි පිළිතුරු දීමට උත්සාහ කරන්න:
\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\ text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\ sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\ sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\ sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\ sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)
මෙන්න ඔබට උදවු කිරීමට ඒකක කවයක්:
කිසියම් දුෂ්කරතාවයක් තිබේද? එහෙනම් අපි එය තේරුම් ගනිමු. එබැවින් අපි එය දනිමු:
\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(array) \)
මෙතැන් සිට, අපි කෝණයේ ඇතැම් මිනුම් වලට අනුරූප වන ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක තීරණය කරමු. හොඳයි, අපි පිළිවෙලට ආරම්භ කරමු: කෙළවරේ \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \)ඛණ්ඩාංක සහිත ලක්ෂ්‍යයකට අනුරූප වේ \(\වම(0;1 \දකුණ) \) , එබැවින්:
\(\ sin 90()^\circ =y=1 \) ;
\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;
\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- නොපවතී;
\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).
තවද, එකම තර්කනයට අනුගත වීමෙන්, කෙළවරේ ඇති බව අපි සොයා ගනිමු \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ )ඛණ්ඩාංක සමඟ ලකුණු වලට අනුරූප වේ \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \දකුණ) \), පිළිවෙලින්. මෙය දැන ගැනීමෙන්, අනුරූප ලක්ෂ්යවල ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල අගයන් තීරණය කිරීම පහසුය. මුලින්ම එය ඔබම උත්සාහ කරන්න, පසුව පිළිතුරු පරීක්ෂා කරන්න.
පිළිතුරු:
\(\ displaystyle \sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)
\(\displaystyle \cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =-1 \)
\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- නොපවතී
\(\ sin \ 270()^\circ =-1 \)
\(\cos \ 270()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- නොපවතී
\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)
\(\ sin \ 360()^\circ =0 \)
\(\cos \ 360()^\circ =1 \)
\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)
\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- නොපවතී
\(\ sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)
\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)
\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- නොපවතී
\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).
මේ අනුව, අපට පහත වගුව සෑදිය හැකිය:
මෙම සියලු අගයන් මතක තබා ගැනීමට අවශ්ය නැත. ඒකක කවයේ ලක්ෂ්‍ය ඛණ්ඩාංක සහ ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල අගයන් අතර ලිපි හුවමාරුව මතක තබා ගැනීම ප්රමාණවත් වේ:
\(\වම. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(මතක තබා ගැනීමට අවශ්ය හෝ ප්‍රතිදානය කිරීමට හැකි වීම!! \) !}
සහ මෙහි කෝණවල ත්රිකෝණමිතික ශ්රිතවල අගයන් සහ \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4) \)පහත වගුවේ දක්වා ඇති අතර, ඔබ මතක තබා ගත යුතුය:
බිය විය යුතු නැත, දැන් අපි අනුරූප අගයන් තරමක් සරල කටපාඩම් කිරීමේ උදාහරණ වලින් එකක් පෙන්වමු:
මෙම ක්රමය භාවිතා කිරීම සඳහා, කෝණ මිනුම් තුන සඳහා සයින් අගයන් මතක තබා ගැනීම අත්‍යවශ්‍ය වේ ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3) \)), මෙන්ම \(30()^\circ \) හි කෝණයේ ස්පර්ශක අගය. මෙම \(4\) අගයන් දැන ගැනීමෙන්, සම්පූර්ණ වගුව නැවත යථා තත්ත්වයට පත් කිරීම තරමක් පහසුය - කෝසයින් අගයන් ඊතල වලට අනුකූලව මාරු කරනු ලැබේ, එනම්:
\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \\\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\ sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \ end(array) \)
\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), මෙය දැන ගැනීමෙන්, සඳහා අගයන් නැවත ලබා ගත හැකිය \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). “\(1 \) ” අගය \(\text(tg)\ 45()^\circ \\) , සහ “\(\sqrt(\text(3)) \)” යන හරය ගැලපෙනු ඇත \ (\text (tg)\ 60()^\circ \\) . රූපයේ දැක්වෙන ඊතල වලට අනුකූලව කෝටැන්ජන්ට් අගයන් මාරු කරනු ලැබේ. ඔබ මෙය තේරුම් ගෙන ඊතල සහිත යෝජනා ක්රමය මතක තබා ගන්නේ නම්, මේසයෙන් \(4 \) අගයන් පමණක් මතක තබා ගැනීම ප්රමාණවත් වේ.
රවුමක ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක
රවුමේ කේන්ද්රයේ ඛණ්ඩාංක, එහි අරය සහ භ්රමණ කෝණය දැනගෙන රවුමක ලක්ෂ්‍යයක් (එහි ඛණ්ඩාංක) සොයා ගත හැකිද? හොඳයි, ඇත්තෙන්ම ඔබට පුළුවන්! ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක සෙවීම සඳහා සාමාන්ය සූත්‍රයක් ව්‍යුත්පන්න කරමු. මෙන්න, උදාහරණයක් ලෙස, අපට එවැනි කවයක් තිබේ:
අපට එම කරුණ ලබා දී ඇත \(K((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)රවුමේ කේන්ද්රය වේ. රවුමේ අරය \(1,5 \) වේ. \(O \) ලක්ෂ්යය \(\ඩෙල්ටා \) අංශක වලින් කරකැවීමෙන් ලබාගත් \(P \) ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ.
රූපයෙන් පෙනෙන පරිදි, \ (P \) ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංකය \ (x \) \ (TP=UQ=UK+KQ \) කොටසේ දිගට අනුරූප වේ. කොටසෙහි දිග \ (UK \) රවුමේ කේන්ද්රයේ ඛණ්ඩාංක \ (x \) ට අනුරූප වේ, එනම් එය \ (3 \) ට සමාන වේ. \(KQ \) කොටසෙහි දිග කොසයින් අර්ථ දැක්වීම භාවිතයෙන් ප්‍රකාශ කළ හැක:
\(\cos \\delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \\delta \).
එවිට අපට \(P \) ඛණ්ඩාංකය සඳහා එය තිබේ \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).
එම තර්කයෙන්ම, අපි \(P\) ලක්ෂ්යය සඳහා y ඛණ්ඩාංකයේ අගය සොයා ගනිමු. මේ ක්රමයෙන්,
\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).
එබැවින්, පොදුවේ ගත් කල, ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක සූත්ර මගින් තීරණය කරනු ලැබේ:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), කොහෙද
\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - රවුමේ කේන්ද්රයේ ඛණ්ඩාංක,
\(r\) - රවුම් අරය,
\(\ඩෙල්ටා \) - දෛශික අරයේ භ්රමණ කෝණය.
ඔබට පෙනෙන පරිදි, අප සලකා බලන ඒකක කවය සඳහා, මෙම සූත්ර සැලකිය යුතු ලෙස අඩු වී ඇත, මන්ද මධ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ශුන්ය වන අතර අරය එකකට සමාන වේ:
\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \\delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \\delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \\delta =0+1\cdot \sin \\delta =\sin \\delta \end(array) \)
ඔබගේ බ්‍රවුසරයේ Javascript අක්‍රිය කර ඇත.ගණනය කිරීම් සිදු කිරීම සඳහා ActiveX පාලන සක්රිය කළ යුතුය!
