වෙනස්කම් සමීකරණ පද්ධති විසඳීමේ උදාහරණ. ඩමි සඳහා අවකල සමීකරණ. විසඳුම් සඳහා උදාහරණ. Z - පරිවර්තනය
බොහෝ විට අවකල සමීකරණ ගැන සඳහන් කිරීම පමණක් සිසුන්ට අප්රසන්න හැඟීමක් ලබා දෙයි. ඇයි මෙහෙම වෙන්නේ? බොහෝ විට, ද්‍රව්‍යයේ මූලික කරුණු අධ්යයනය කරන විට, දැනුම පරතරයක් ඇති වන අතර, එම නිසා විසරණයන් පිළිබඳ වැඩිදුර අධ්යයනය හුදෙක් වධහිංසා පැමිණේ. කුමක් කළ යුතුද, තීරණය කරන්නේ කෙසේද, ආරම්භ කළ යුත්තේ කොතැනින්ද යන්න පැහැදිලි නැත.
කෙසේ වෙතත්, විසරණය පෙනෙන තරම් අපහසු නොවන බව අපි ඔබට පෙන්වීමට උත්සාහ කරමු.
අවකල සමීකරණ න්‍යායේ මූලික සංකල්ප
නොදන්නා x සොයා ගැනීමට අවශ්ය සරලම සමීකරණ අපි පාසලේ සිටම දනිමු. ඇත්ත වශයෙන්ම අවකල සමීකරණඒවායින් තරමක් වෙනස් - විචල්‍යයක් වෙනුවට x ඔබ ඒවායේ කාර්යයක් සොයා ගත යුතුය y(x) , එය සමීකරණය අනන්‍යතාවයක් බවට පත් කරයි.
අවකල සමීකරණවිශාල ප්රායෝගික වැදගත්කමක් ඇත. මෙය අප අවට ලෝකයට කිසිදු සම්බන්ධයක් නැති වියුක්ත ගණිතයක් නොවේ. බොහෝ සැබෑ ස්වභාවික ක්‍රියාවලි විස්තර කර ඇත්තේ අවකල සමීකරණ භාවිතා කරමිනි. උදාහරණයක් ලෙස, තන්තුවක කම්පන, හාර්මොනික් ඔස්කිලේටරයක චලනය, යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේ ගැටළු වල අවකල සමීකරණ භාවිතා කරමින්, ශරීරයේ වේගය සහ ත්වරණය සොයා ගනී. තවද DUසොයාගන්න පුළුල් යෙදුමජීව විද්‍යාව, රසායන විද්‍යාව, ආර්ථික විද්‍යාව සහ තවත් බොහෝ විද්‍යාවන්හි.
අවකල සමීකරණය (DU) යනු y(x) ශ්‍රිතයේ ව්‍යුත්පන්නයන්, ශ්‍රිතයම, ස්වාධීන විචල්යයන් සහ විවිධ සංයෝජනයන්හි අනෙකුත් පරාමිති අඩංගු සමීකරණයකි.
අවකල සමීකරණ වර්ග බොහොමයක් ඇත: සාමාන්ය අවකල සමීකරණ, රේඛීය සහ රේඛීය නොවන, සමජාතීය සහ සමජාතීය නොවන, පළමු සහ ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි අවකල සමීකරණ, අර්ධ අවකල සමීකරණ, යනාදිය.
අවකල සමීකරණයකට විසඳුම එය අනන්‍යතාවයක් බවට පත් කරන ශ්‍රිතයකි. දුරස්ථ පාලකයේ පොදු සහ විශේෂිත විසඳුම් තිබේ.
අවකල සමීකරණයකට පොදු විසඳුමක් යනු සමීකරණය අනන්‍යතාවයක් බවට පරිවර්තනය කරන සාමාන්ය විසඳුම් සමූහයකි. අවකල සමීකරණයක අර්ධ විසඳුමක් යනු තෘප්තිමත් වන විසඳුමකි අතිරේක කොන්දේසි, මුලින් සඳහන් කර ඇත.
අවකල සමීකරණයේ අනුපිළිවෙල තීරණය වේ ඉහළම නියෝගයඑයට ඇතුළත් ව්‍යුත්පන්න.
සාමාන්ය අවකල සමීකරණ
සාමාන්ය අවකල සමීකරණඑක් ස්වාධීන විචල්‍යයක් අඩංගු සමීකරණ වේ.
පළමු අනුපිළිවෙලෙහි සරලම සාමාන්ය අවකල සමීකරණය සලකා බලමු. එය පෙනෙන්නේ:
එවැනි සමීකරණයක් එහි දකුණු පස සරලව ඒකාබද්ධ කිරීමෙන් විසඳිය හැකිය.
එවැනි සමීකරණ සඳහා උදාහරණ:
වෙන් කළ හැකි සමීකරණ
තුල සාමාන්ය දැක්මමෙම වර්ගයේ සමීකරණය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:
මෙන්න උදාහරණයක්:
එවැනි සමීකරණයක් විසඳන විට, ඔබ විචල්යයන් වෙන් කර එය පෝරමයට ගෙන ඒම අවශ්ය වේ:
මෙයින් පසු, කොටස් දෙකම ඒකාබද්ධ කර විසඳුමක් ලබා ගැනීමට ඉතිරිව ඇත.
පළමු අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල සමීකරණ
එවැනි සමීකරණ පෙනෙන්නේ:
මෙහි p(x) සහ q(x) යනු ස්වාධීන විචල්‍යයේ සමහර ශ්‍රිත වන අතර y=y(x) යනු අපේක්ෂිත ශ්‍රිතයයි. එවැනි සමීකරණයක උදාහරණයක් මෙන්න:
එවැනි සමීකරණයක් විසඳන විට, බොහෝ විට ඔවුන් අත්තනෝමතික නියතයක් වෙනස් කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කරයි හෝ y(x)=u(x)v(x) යන වෙනත් ශ්‍රිත දෙකක නිෂ්පාදනයක් ලෙස අපේක්ෂිත ශ්රිතය නියෝජනය කරයි.
එවැනි සමීකරණ විසඳීම සඳහා, නිශ්චිත සූදානමක් අවශ්ය වන අතර, ඒවා "එක බැල්මකින්" ගැනීම තරමක් අපහසු වනු ඇත.
වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සමඟ අවකල සමීකරණයක් විසඳීමේ උදාහරණයක්
එබැවින් අපි දුරස්ථ පාලකයේ සරලම වර්ග දෙස බැලුවෙමු. දැන් අපි ඒවායින් එකකට විසඳුම බලමු. මෙය වෙන් කළ හැකි විචල්යයන් සහිත සමීකරණයක් වේවා.
පළමුව, අපි ව්‍යුත්පන්නය වඩාත් හුරුපුරුදු ආකාරයකින් නැවත ලියමු:
එවිට අපි විචල්‍ය බෙදන්නෙමු, එනම්, සමීකරණයේ එක් කොටසක අපි සියලුම “I” සහ අනෙක් “X” එකතු කරමු:
දැන් එය කොටස් දෙකම ඒකාබද්ධ කිරීමට ඉතිරිව ඇත:
අපි ඒකාබද්ධ කර ලබා ගනිමු පොදු තීරණයමෙම සමීකරණයේ:
ඇත්ත වශයෙන්ම, අවකල සමීකරණ විසඳීම එක්තරා ආකාරයක කලාවකි. එය කුමන ආකාරයේ සමීකරණයක් දැයි තේරුම් ගැනීමට ඔබට හැකි විය යුතු අතර, එක් ආකාරයකට හෝ තවත් ආකාරයකට ගෙන ඒම සඳහා එය සමඟ කළ යුතු පරිවර්තනයන් මොනවාදැයි බැලීමට ඉගෙන ගත යුතුය, වෙන්කර හඳුනා ගැනීමට සහ ඒකාබද්ධ කිරීමට ඇති හැකියාව ගැන සඳහන් නොකරන්න. DE විසඳීමට සාර්ථක වීමට, ඔබට පුහුණුවීම් අවශ්ය වේ (සියල්ලෙහි මෙන්). සහ ඔබට තිබේ නම් මේ මොහොතේඅවකල සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේදැයි සොයා ගැනීමට ඔබට වෙලාවක් නැත, නැතහොත් කෞචි ගැටලුව ඔබේ උගුරේ ඇටයක් මෙන් සිරවී තිබේද, නැතහොත් ඔබ නොදනී ඉදිරිපත් කිරීමක් නිවැරදිව කරන්නේ කෙසේද, අපගේ කතුවරුන් අමතන්න. කෙටි කාලයක් තුළ අපි ඔබට සූදානම් කළ සහ ලබා දෙන්නෙමු සවිස්තරාත්මක විසඳුම, ඔබට පහසු ඕනෑම අවස්ථාවක ඔබට තේරුම් ගත හැකි විස්තර. මේ අතර, "අවකල්‍ය සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද" යන මාතෘකාව පිළිබඳ වීඩියෝවක් නැරඹීමට අපි යෝජනා කරමු:
අපි n වන අනුපිළිවෙලෙහි වෙනස සමීකරණය සලකා බලමු
y(k) = F(k) (92)
අවකල සමීකරණ වලදී මෙන්, විසඳුම සෑම විටම පළමු පෙළ සමීකරණ සඳහා තීරණය වන අතර සාමාන්‍යයෙන් ඉහළ අනුපිළිවෙල සමීකරණ සඳහා සොයාගත නොහැක.
ප්රයෝජනවත් විසඳුමක්.
සමජාතීය පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණයක් සලකා බලන්න
a 1 (k)y(k+1) + a 0 (k)y(k) = 0, (93)
මෙහි a 0 (k)≠0 සහ a 1 (k)≠0. එය පෝරමයේ නැවත ලිවිය හැකිය
y(k+1) = a(k)y(k). (94)
k=0,1,2 ට...
y(1)=a(0)y(0),
y(2)=a(1)a(0)y(0)
y(3)=a(2)a(1)a(0)y(0)
හෝ තුළ සාමාන්ය නඩුව,
එබැවින් සමීකරණයේ පොදු විසඳුම (94) වේ
ඕනෑම ස්ථාවර සාධක සංඛ්‍යාවක් a(0), a(1), සහ a(2), ... අත්තනෝමතික නියත C සමඟ ඒකාබද්ධ කළ හැකි බැවින් නිෂ්පාදනයේ පහළ සීමාව අත්තනෝමතික වේ.
සාමාන්ය නඩුවේ පළමු අනුපිළිවෙලට ඉහලින් සමජාතීය සමීකරණයක විසඳුම ආකාරයෙන් ප්රකාශිත නොවේ මූලික කාර්යයන්, k මත රඳා පවතින සංගුණක සහිත සමීකරණ (81) සහ (82) මත පදනම් වූ ක්‍රියා පටිපාටිය වලංගු වීම නතර වේ. සමීකරණයට එක් ස්වාධීන විසඳුමක් හැර අනෙක් සියල්ල දන්නේ නම්, ඉතිරි විසඳුම තීරණය කළ හැකිය. අවකල සමීකරණ වලදී මෙන්, තනි අවස්ථා ගණනාවකදී පැහැදිලි විසඳුමක් ලබා ගත හැකිය. පෝරමයේ සමීකරණය
a n f(k + n)y(k + n) + ... + a 1 f (k + 1)y(k + 1) + a n f(k)y(k) = 0,
මෙහි සංගුණක a i යනු නියත අගයන් වන අතර, z(k)=f(k)y(k) ආදේශ කිරීමෙන් එය නියත සංගුණක සමඟ වෙනස් සමීකරණයකට අඩු වේ. ක්‍රියා පටිපාටිය ඉයුලර් අවකල සමීකරණය සඳහා භාවිතා කරන ක්‍රියා පටිපාටියට අර්ධ වශයෙන් සමාන වේ, නමුත් ආදේශනය සමඟ මේ අවස්ථාවේ දීයැපෙන (ස්වාධීන නොවන) විචල්‍යයට යටත් වේ. විචල්‍ය සංගුණක සමඟ සමීකරණ විසඳීමේදී මෙම ක්රමය බහුලව භාවිතා වේ.
ස්වයංක්රීය පාලන පද්ධතිවල අවකල සමීකරණ. ස්වයංක්රීය පාලන පද්ධති සඳහා අවකල සමීකරණ සම්පාදනය කිරීමේ ක්‍රමවේදය.
සාමාන්ය අදහස්.
පද්ධති ස්වයංක්රීය නියාමනයඔවුන්ගේ අරමුණ සහ සැලසුම් අනුව වෙනස් වේ. ACS හි හැසිරීම සාමාන්ය අර්ධ අවකල සමීකරණ, වෙනස්කම් සමීකරණ ආදිය මගින් විස්තර කළ හැක.
ඕනෑම ACS එකක් නියෝජනය කරන්නේ සම්බන්ධතා මගින් සම්බන්ධ වන එකිනෙකා සමඟ අන්තර් ක්‍රියා කරන තනි මූලද්රව්ය සමූහයකි. ACS සඳහා අවකල සමීකරණ සෑදීමේ පළමු පියවර වන්නේ පද්ධතිය තනි මූලද්‍රව්‍යවලට බෙදීම සහ මෙම මූලද්රව්ය සඳහා අවකල සමීකරණ සම්පාදනය කිරීමයි. මූලද්රව්යවල සමීකරණ සහ තනි මූලද්රව්ය අතර සම්බන්ධතා සමීකරණ පාලක පද්ධතියේ ක්රියාවලිය විස්තර කරයි, i.e. පද්ධතියේ සියලුම ඛණ්ඩාංකවල කාලයත් සමඟ වෙනස් වේ. මූලද්රව්යවල සමීකරණ සහ සම්බන්ධතා සමීකරණ දැන ගැනීමෙන්, ඔබට රචනා කළ හැකිය වාරණ සටහන SAR
ACS හි ව්යුහාත්මක රූප සටහන මඟින් පද්ධතියේ ජ්යාමිතිය සංලක්ෂිත වේ, i.e. ATS සමන්විත වන්නේ කුමන මූලද්‍රව්‍යද යන්න සහ මෙම මූලද්රව්ය එකිනෙක සම්බන්ධ වන්නේ කෙසේද යන්න පෙන්වයි. ATS හි තත්වය මෙන්ම එහි ඇතුළත් සෑම අංගයක්ම ස්වාධීන විචල්‍ය ගණනකින් සංලක්ෂිත වේ. මෙම විචල්යයන් විද්‍යුත් ප්‍රමාණ (ධාරා, වෝල්ටීයතාව, ආදිය) හෝ යාන්ත්‍රික ප්‍රමාණ (වේගය, භ්රමණ කෝණය, චලනය, ආදිය) විය හැකිය. සාමාන්‍යයෙන්, පද්ධතියක හෝ එහි මූලද්රව්යයේ තත්ත්වය සංලක්ෂිත කිරීම සඳහා, පද්ධතියේ හෝ මූලද්රව්යයේ ආදානයේදී (g(t)) සහ ප්‍රතිදානයේදී (x(t)) එක් සාමාන්‍යකරණය වූ ඛණ්ඩාංකයක් තෝරා ගනු ලැබේ. සමහර අවස්ථා වලදී, පද්ධතියට හෝ එහි මූලද්‍රව්‍යයට ආදාන සහ ප්‍රතිදාන ප්‍රමාණ කිහිපයක් තිබිය හැකි බැවින්, එවැනි නිරූපණයක් කළ නොහැක. බහුමාන පද්ධතිවලදී, ACS හි ආදාන සහ ප්‍රතිදාන ප්‍රමාණයන් සමඟ පිළිවෙලින් සමපාත වන මානයන් සහිත දෛශික ආදාන සහ ප්‍රතිදාන ප්‍රමාණ සලකා බැලිය හැක.
අවකල සමීකරණ සම්පාදනය සහ රේඛීයකරණය පද්ධති මූලද්රව්ය.
ACS සඳහා අවකල සමීකරණ සම්පාදනය කරන විට, ප්රධාන කාර්යය වන්නේ පද්ධතියේ තනි මූලද්රව්ය සඳහා අවකල සමීකරණ සම්පාදනය කිරීමයි. තනි මූලද්රව්යවල සමීකරණ සම්පාදනය කරනු ලබන්නේ එම මූලද්රව්යයේ හැසිරීම ගුනාංගීකරනය කරන එම භෞතික නීතිවල පදනම මතය.
ACS මූලද්රව්ය සඳහා අවකල සමීකරණ සකස් කිරීමේදී, දී ඇති මූලද්‍රව්‍යයක හැසිරීම හැකිතාක් නිවැරදිව විස්තර කිරීමට යමෙකු උත්සාහ කළ යුතුය. කෙසේ වෙතත්, ප්රතිඵලය වන සමීකරණවල සංකීර්ණත්වය ඔවුන්ගේ විසඳුම්වල ගුණාංග අධ්යයනය කිරීමට අපහසු වේ. එබැවින්, අවකල සමීකරණ සම්පාදනය කිරීමේදී, හැකි උපරිමය අතර සාධාරණ සම්මුතියක් සඳහා උත්සාහ කිරීම අවශ්ය වේ. සම්පූර්ණ විස්තරයමූලද්‍රව්‍ය හැසිරීම සහ ලැබෙන සමීකරණ සමාලෝචනය කිරීමට සහ අධ්යයනය කිරීමට ඇති හැකියාව.
මූලද්‍රව්‍යයක ගතිකත්වය රේඛීය අවකල සමීකරණයකින් විස්තර කරන්නේ නම්, මෙම මූලද්රව්යය හැඳින්වේ රේඛීය, අවකල සමීකරණය රේඛීය නොවේ නම්, මූලද්රව්යය ලෙස හැඳින්වේ රේඛීය නොවන.
විශ්ලේෂණය සරල කිරීම සඳහා, හැකි සෑම විටම, රේඛීය නොවන අවකල සමීකරණ ප්රමාණවත් තරම් නිරවද්‍යතාවයකින් යුත් විසඳුම් සමඟ සමපාත වන රේඛීය සමීකරණ මගින් ආසන්න වශයෙන් ප්‍රතිස්ථාපනය කරනු ලැබේ. රේඛීය නොවන සමීකරණ. රේඛීය නොවන අවකල සමීකරණයක් රේඛීය එකක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමේ මෙම ක්රියාවලිය හැඳින්වේ රේඛීයකරණය.
මූලද්‍රව්‍යයක අවකල සමීකරණය එහි ස්ථිතික ලක්ෂණයේ රේඛීය නොවන බව නිසා රේඛීය නොවන නම්, එම මූලද්රව්යයේ රේඛීය නොවන ලක්‍ෂණය ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමට සමීකරණයේ රේඛීයකරණය අඩු වේ. x=φ(g) ඇතැම් රේඛීය ශ්රිතය x= ag+ බී. විශ්ලේෂණාත්මකව, මෙම ප්‍රතිස්ථාපනය සිදු කරනු ලබන්නේ ශ්‍රිතයේ ටේලර් ශ්‍රේණි ප්‍රසාරණය භාවිතා කරමිනි x=φ(g) ස්ථායී තත්ත්වයට අනුරූප වන ලක්ෂ්‍යය ආසන්නයේ සහ මූලද්රව්යයේ ආදාන අගයේ අපගමනය ∆g අඩංගු සියලුම නියමයන් පළමු එකට වඩා වැඩි බලයකට ඉවතලන්න. ජ්‍යාමිතික වශයෙන්, මෙයින් අදහස් කරන්නේ වක්‍රය ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමයි x=φ(g) මූලද්රව්යයේ ක්‍රියාකාරිත්වයේ ස්ථායී තත්ත්වයට අනුරූප වන ලක්ෂ්‍යයේ (x 0, g 0) වක්‍රය වෙත ඇද ගන්නා ලද ස්පර්ශකයකි (රූපය 29). වෙනත් අවස්ථාවල දී, ශ්‍රිතයෙන් මඳක් අපගමනය වන සෙකන්ට් එකක් ඇඳීමෙන් රේඛීයකරණය සිදු කෙරේ x=φ(g) මූලද්රව්යයේ ආදාන අගයෙහි අවශ්ය වෙනස්කම් පරාසය තුළ.
රේඛීයකරණය කළ හැකි ලක්ෂණ සමඟ, එවැනි රේඛීයකරණයට ණය නොදෙන ලක්ෂණ ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, ස්ථායී තත්ත්‍වයේ ආසන්නයේ ටේලර් මාලාවක් දක්වා ව්‍යාප්ත කළ නොහැකි ලක්ෂණ මේවාට ඇතුළත් වේ. අපි එවැනි ලක්ෂණ ලෙස හඳුන්වමු සැලකිය යුතු ලෙස රේඛීය නොවන.
ටේලර් ශ්‍රේණියක් භාවිතයෙන් රේඛීය නොවන මූලද්රව්ය සමීකරණයක් රේඛීයකරණය කිරීමේ ක්රියාවලිය අපි සලකා බලමු. මූලද්රව්යයේ හැසිරීම රේඛීය නොවන අවකල සමීකරණය මගින් විස්තර කිරීමට ඉඩ දෙන්න
F(x n , x ’ , x, g) = 0 (1). එවිට මූලද්රව්යයේ ස්ථාවර තත්ත්වය F (0, 0, x, g) = 0 (2) සමීකරණය මගින් සංලක්ෂිත වේ. g 0 සහ x 0 ස්ථාවර තත්ව අගයන් වීමට ඉඩ දෙන්න. එවිට g සහ x ඛණ්ඩාංක x = x 0 + ∆x, g = g 0 + ∆g ලෙස ලිවිය හැක, මෙහි ∆g සහ ∆x යනු g සහ x ඛණ්ඩාංකවල ස්ථාවර තත්ත්වයෙන් අපගමනය වේ. අපගමනයන්හි සමීකරණය (1) ආකෘතිය ඇත:
F(∆x ’’ , ∆x ’ , x 0 + ∆x, g 0 + ∆g) = 0 (3).
අපි දිරාපත් කරමු වම් පැත්තසමීකරණය (3) ස්ථාවර තත්ත්වයට (0, 0, x 0, g 0) සාපේක්ෂව ටේලර් ශ්‍රේණියකට
සමීකරණයේ වම් පැත්තේ (4) අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් සමහර සංඛ්‍යා නියෝජනය කරයි, ඒවායේ අගයන් F(x '', x ', x, g) ශ්‍රිතයේ වර්ගය සහ x ඛණ්ඩාංකවල අගයන් මත රඳා පවතී. 0 සහ g 0.
ස්ථායී තත්ත්වයෙන් ∆g, ∆x යන අපගමනයන් මෙන්ම කාලයට අදාළව ඒවායේ ව්‍යුත්පන්නයන් කුඩා වීම සහ F(x '' , x ' , x, g) යන ශ්රිතය සියලු තර්ක සඳහා ප්රමාණවත් තරම් සුමට බව උපකල්පනය කරයි. ස්ථායී තත්ත්වයට අනුරූප ලක්ෂ්‍යයට ආසන්නව, අපි සමීකරණයෙන් (4) අපගමනය ∆g සහ ∆x අඩංගු සියලුම පද මෙන්ම ඒවායේ ව්‍යුත්පන්න පළමු මට්ටමට වඩා ඉහළ අගයකට ඉවතලන්නෙමු. ප්රතිඵලය වන සමීකරණය (5) යනු නියත සංගුණක සහිත රේඛීය අවකල සමීකරණයකි 
,
,
,
සහ (1) සමීකරණයේ රේඛීයකරණයේ ප්‍රතිඵලයකි.
පැහැදිලිවම, රේඛීයකරණය සඳහා අත්‍යවශ්‍ය කොන්දේසියක් වනුයේ F(x ’’ , x ’ , x, g) ශ්රිතය ස්ථායී තත්ත්වයට අනුරූප ලක්ෂ්‍යයට ආසන්නයේ ටේලර් ශ්‍රේණියක් දක්වා ව්‍යාප්ත කිරීමේ හැකියාවයි.
සමීකරණයේ රේඛීයකරණ ක්රියාවලිය (1) පහත පරිදි ජ්‍යාමිතික ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක. x '' , x ' , x, g යන විචල්යයන් හි අවකාශයේ (1) සමීකරණය යම් මතුපිටක් නිර්වචනය කරයි. සමීකරණය (1) සිට රේඛීය සමීකරණය (5) දක්වා සංක්‍රමණය යනු ස්ථායී තත්ත්වයට අනුරූප ස්ථානයක මතුපිටට ඇද ගන්නා ලද යම් ස්පර්ශක තලයක් සමඟ මතුපිට ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමයි. ස්වාභාවිකවම, මතුපිට ලක්ෂ්ය සහ තලයේ ලක්ෂ්ය අතර කුඩා වෙනස, එවැනි ආදේශකයේ කුඩා දෝෂය. මෙය සත්‍ය වන්නේ ස්ථාවර තත්වයේ කුඩා අවට ප්‍රදේශයක පමණි.
පාලනය සහ නිරීක්ෂණය කිරීමේ සංකල්පය.
යම් ක්‍රියාවලියක් හෝ වස්තුවක් සාමාන්‍යයෙන් x(t 0) සිට යම් ප්‍රාන්තයකින් මාරු කළ හැකි නම් එය සම්පූර්ණයෙන්ම පාලනය කළ හැකි ලෙස හැඳින්වේ. අපේක්ෂිත තත්වයසමතුලිතතාවය x(t 1) සීමිත කාල පරතරයක් සඳහා t 1 - t 0. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, t 0 ≤ t ≤ t 1 සීමිත කාල පරතරයක් මත නිර්වචනය කරන ලද m(t) පාලන ක්‍රියාවක් තිබේ නම්, ක්රියාවලිය මුලුමනින්ම පාලනය කළ හැකි අතර, එම ක්රියාවලිය ආරම්භක තත්වයේ සිට x(t 0) සිට අපේක්ෂිත තත්වයට මාරු කරයි. සමතුලිතතා තත්ත්වය x(t 1) කාලය t 1 – t 0 .
අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් කොන්දේසිවිවික්ත පද්ධති සඳහා සම්පූර්ණ පාලන හැකියාව පහත පරිදි සකස් කළ හැක.
nth අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය විවික්ත ක්‍රියාවලියක් සම්පූර්ණයෙන්ම පාලනය කළ හැක්කේ දෛශික නම් සහ පමණි
s 1 = φ(-T)h(T),
s 2 = φ(-T)h(T),
s n = φ(-T)h(T)
රේඛීයව ස්වාධීන.
පහත දැක්වෙන පරිවර්තනයන් හේතුවෙන් මෙම දෛශික හටගනී.
(t) = Ax(t) + d m(t),
m(t) යනු එකම පාලන ක්‍රියාවයි. තනි පාලන ක්‍රියාවක ප්රතිඵලය ප්‍රකාශනවල අර්ථ නිරූපණය සරල කිරීමට සලකනු ලැබේ. ක්‍රියාවලියේ සංක්‍රාන්ති අවස්ථා සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත
මෙහි φ(T) යනු ක්‍රියාවලි සංක්‍රාන්ති අනුකෘතිය සහ 
.
පාලනය කිරීමේ සංකල්පයට තවත් අර්ථකථනයක් ලබා දිය හැකි අතර, එය වඩා හොඳින් අවබෝධ කර ගැනීමට දායක වනු ඇත. රේඛීය බහුමාන ක්‍රියාවලියක් දෛශික අවකල සමීකරණයකින් විස්තර කරමු 
(t) = Ax(t) + D m(t), මෙහි x යනු n-මාන තත්ත්වය දෛශිකයයි;
m - පාලන ක්රියාවන් නියෝජනය කරන r-මාන දෛශිකය;
A - n වන අනුපිළිවෙලෙහි සංගුණකවල චතුර් අනුකෘතිය;
D - n×r ප්රමාණයේ පාලන න්‍යාසය.
Matrix A විකර්ණ ආකාරය දක්වා අඩු කළ හැක
,
කොහෙද λi - eigenvaluesරේඛීය ක්‍රියාවලියේ න්‍යාස A, සියල්ල වෙනස් යැයි උපකල්පනය කෙරේ.
x=Tz ආදේශනය භාවිතා කරමින්, අපි සමීකරණය කැනොනිකල් ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු
(t) = Λz(t) + ∆ m(t),
කොහෙද 
. දෛශික z කැනොනිකල් ස්ටේට් දෛශිකය ලෙස හඳුන්වනු ඇත.
සමීකරණය මගින් විස්තර කර ඇති ක්රියාවලිය 
(t) = Ax(t) + D m(t), න්‍යාසය ∆ හි සියලුම මූලද්රව්ය ශුන්‍ය වන පේළි අඩංගු නොවේ නම් පාලනය කළ හැක; ශුන්‍ය නොවන පේළි ∆ වලට අනුරූප ඛණ්ඩාංක පාලනය ලෙස සැලකේ.
උදාහරණයක්:
සමහර ස්වයංක්රීය පාලන පද්ධතිවල සංවේදී මූලද්‍රව්‍යයක් ලෙස භාවිතා කරන කේන්ද්රාපසාරී පෙන්ඩලයක අවකල සමීකරණය ව්‍යුත්පන්න කරන්න. පෙන්ඩුලමයේ රූප සටහන රූපයේ දැක්වේ. ආදාන ප්‍රමාණය කෝණික ප්රවේගය ω වන අතර ප්‍රතිදාන ප්‍රමාණය වේදිකාවේ විස්ථාපන x වේ. භ්රමණ වේගය වැඩි වන විට, කේන්ද්රාපසාරී බලයේ බලපෑම යටතේ බෝල අපසරනය වී වේදිකාව චලනය කරයි. වේදිකාවට වසන්තයේ ප්‍රත්‍යාස්ථ බලය, තෙතමනය කිරීමේ බලය සහ අවස්ථිති බලය ද බලපායි.
අපි පහත සඳහන් අංක හඳුන්වා දෙමු: c - වසන්ත දෘඪතා සංගුණකය; k - දුස්ස්රාවී ඝර්ෂණ සංගුණකය; m - පන්දුවේ ස්කන්ධය; M - OX අක්ෂය ඔස්සේ පරිවර්තන චලිතයට සම්බන්ධ කොටස් ස්කන්ධය; ω - පතුවළ කෝණික ප්රවේගය; f 0 - වසන්ත පූර්ව සම්පීඩන බලය.
කේන්ද්රාපසාරී පෙන්ඩලයක අවකල සමීකරණය සම්පාදනය කිරීම සඳහා, අපි දෙවන ආකාරයේ Lagrange සමීකරණය භාවිතා කරමු: 
(I = 1, 2,..., n) (*). සාමාන්‍යකරණය කරන ලද ඛණ්ඩාංකයක් ලෙස x i, අපි ප්‍රතිදාන ඛණ්ඩාංකය තෝරා ගනිමු - x වේදිකාවේ චලනය. අපි කේන්ද්රාපසාරී පෙන්ඩුලමයේ චාලක ශක්තිය T, විභව ශක්තිය P සහ විඝටන ශ්රිතය R සඳහා ප්‍රකාශනයක් සොයා ගනිමු. රූපයෙන් එය පැහැදිලිය
ρ 
= r + l sin α, x = 2a (1 - cos α).
පද්ධතියේ චාලක ශක්තිය T = T 1 + T 2 + T 3, T 1 - චාලක ශක්තිය OX අක්ෂය වටා භ්රමණ චලිතයේදී; T 2 - A සහ A' ලක්ෂ්ය වටා භ්රමණ චලිතයේ බෝලවල චාලක ශක්තිය; ටී 3 - OX අක්ෂය ඔස්සේ පරිවර්තන චලිතයේ ස්කන්ධවල චාලක ශක්තිය. අපිට තියෙනවා:
,
,
. (*1)
Pendulum හි විභව ශක්තිය P = P 1 + P 2 + P 3, P 1 යනු OX අක්ෂයට සමාන්තරව චලනය වන ස්කන්ධවල විභව ශක්තියයි; P 2 - විභව ශක්තිය; P 3 - වසන්තයේ විභව ශක්තිය. සලකා බලන නඩුව සඳහා අපට ඇත්තේ:
,
,
.
(*2)
අපි සාමාන්‍යකරණය වූ විඝටන බලය Q R සොයා ගනිමු. ඩැම්පරයක් තිබීම නිසා වියළි ඝර්ෂණ බලය දුස්ස්රාවී ඝර්ෂණ බලයට සාපේක්ෂව කුඩා වන අතර එය නොසලකා හැරිය හැක. සූත්රය අනුව 
ඇති වනු ඇත
.
(*3)
Lagrange සමීකරණයේ (*) ඇතුළත් කර ඇති තනි පදවල අගය ගණනය කරමු:
,
,
.
ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන ප්‍රකාශන දෙවන ආකාරයේ (*) Lagrange සමීකරණයට ආදේශ කරමු.
අපි පහත අංකනය හඳුන්වා දෙමු:
,
,
;
(*5)
.
(*6)
පිළිගත් අංකනය සැලකිල්ලට ගනිමින්, කේන්ද්රාපසාරී පෙන්ඩලයක සමීකරණය පෝරමයේ ලියා ඇත
සමීකරණය (*7) යනු රේඛීය නොවන අවකල සමීකරණයකි. සමතුලිතතා තත්ත්වය (x 0, ω 0) යනු සමීකරණයට විසඳුමකි.
සමතුලිතතා තත්වයට සාපේක්ෂව පෙන්ඩුලමයේ කුඩා උච්චාවචනයන් අපි සලකා බලමු
x = x 0 + ∆x, ω = ω 0 + ∆ω. (*9)
අපි f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x, ω) ශ්‍රිත සමතුලිතතා තත්ත්වය (x 0, ω 0) ආසන්නයේ ටේලර් ශ්‍රේණියක් දක්වා පුළුල් කරමු.
එහිදී F 1 (∆x), F 2 (∆x), F 3 (∆x, ∆ω) ශ්රිතය ∆x සහ ∆ω ට සාපේක්ෂව කුඩා බවේ ඉහළ අනුපිළිවෙලක් ඇත. x’ = ∆x’ සහ x” = ∆x” ලෙස සලකා, (*8), (*9), (*10) යන ප්‍රකාශන සැලකිල්ලට ගනිමින් සමීකරණය (*7) ලෙස නැවත ලිවිය හැකිය.
කාර්යය කොහෙද
හා සසඳන විට කුඩා ප්රමාණයේ ඉහළ අනුපිළිවෙලක් ඇත 
. ශ්‍රිතයක් අතහැරීම 
, අපි සමතුලිත තත්ත්වයට සාපේක්ෂව පෙන්ඩුලම් දෝලනයන්හි රේඛීය සමීකරණයක් ලබා ගනිමු (x 0, ω 0)
,
(*11)
,
(*12)
.
හැදින්වීම
මෑත දශකවලදී ගණිතමය ක්රමවඩ වඩාත් ස්ථීර ලෙස විනිවිද යයි මානුෂීය විද්යාවන්සහ විශේෂයෙන්ම, ආර්ථිකය. ගණිතය සහ එහි ඵලදායී යෙදුමට ස්තූතිවන්ත වන අතර, රාජ්යයේ ආර්ථික වර්ධනය හා සමෘද්ධිය සඳහා බලාපොරොත්තු විය හැකිය. ගණිතය භාවිතයෙන් තොරව ඵලදායී, ප්රශස්ත සංවර්ධනයක් කළ නොහැකිය.
මෙම කාර්යයේ පරමාර්ථය වන්නේ සමාජයේ ආර්ථික ක්ෂේත්රයේ වෙනස්කම් සමීකරණවල යෙදීම අධ්යයනය කිරීමයි.
මෙම කාර්යය පහත සඳහන් කාර්යයන් ඇත: වෙනස්කම් සමීකරණ සංකල්පය නිර්වචනය කිරීම; පළමු හා දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය වෙනස සමීකරණ සලකා බැලීම සහ ආර්ථික විද්‍යාවේ ඒවායේ යෙදීම.
පාඨමාලා ව්යාපෘතියේ වැඩ කරන විට, අධ්යයනය සඳහා ඇති ද්රව්ය භාවිතා කරන ලදී ඉගැන්වීමේ ආධාරකආර්ථික විද්‍යාවේ, ගණිතමය විශ්ලේෂණය, ප්‍රමුඛ පෙළේ ආර්ථික විද්‍යාඥයින් සහ ගණිතඥයින්ගේ කෘති, විමර්ශන ප්‍රකාශන, අන්තර්ජාල ප්‍රකාශනවල ප්‍රකාශයට පත් කරන ලද විද්‍යාත්මක සහ විශ්ලේෂණාත්මක ලිපි.
වෙනස්කම් සමීකරණ
§1. වෙනස්කම් සමීකරණවල මූලික සංකල්ප සහ උදාහරණ
වෙනස්කම් සමීකරණ සෙල්ලම් කරයි විශාල කාර්යභාරයක්වී ආර්ථික න්යාය. බොහෝ ආර්ථික නීති මෙම සමීකරණ භාවිතයෙන් ඔප්පු කර ඇත. වෙනස්කම් සමීකරණවල මූලික සංකල්ප දෙස බලමු.
කාලය t ස්වාධීන විචල්‍යය ලෙස ක්‍රියා කිරීමට ඉඩ දෙන්න, සහ t, t-1, t-2, ආදිය සඳහා පරායත්ත විචල්‍යය අර්ථ දක්වා ඇත.
t හි අගයෙන් අපි දක්වන්නෙමු; හරහා - එකකින් ආපසු මාරු වූ මොහොතේ ශ්‍රිතයේ අගය (උදාහරණයක් ලෙස, පෙර පැයේදී, පෙර සතියේ, ආදිය); හරහා යනු ඒකක දෙකක් ආපස්සට මාරු කරන මොහොතේ y ශ්‍රිතයේ අගයයි.
සමීකරණය
නියතයන් කොහෙද, නියත සංගුණක සමඟ n-th අනුපිළිවෙල අසමජාතීය වෙනස් සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ.
සමීකරණය
එහි =0 නියත සංගුණක සහිත n වන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය වෙනස සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ. N වන අනුපිළිවෙලෙහි වෙනස සමීකරණයක් විසඳීම යනු මෙම සමීකරණය නිවැරදි අනන්‍යතාවය බවට පත් කරන ශ්‍රිතයක් සොයා ගැනීමයි.
අත්තනෝමතික නියතයක් නොමැති විසඳුමක් වෙනස් සමීකරණයක අර්ධ විසඳුමක් ලෙස හැඳින්වේ; විසඳුමේ අත්තනෝමතික නියතයක් තිබේ නම්, එය සාමාන්ය විසඳුමක් ලෙස හැඳින්වේ. පහත න්‍යායන් සනාථ කළ හැක.
ප්රමේයය 1.සමජාතීය වෙනස සමීකරණයට (2) විසඳුම් තිබේ නම් සහ විසඳුම ද ශ්රිතය වනු ඇත
එහිදී සහ අත්තනෝමතික නියතයන් වේ.
ප්රමේයය 2.සමජාතීය වෙනස සමීකරණයට (1) විශේෂිත විසඳුමක් නම් සහ සමජාතීය සමීකරණයට (2) පොදු විසඳුම නම්, පොදු විසඳුම සමජාතීය සමීකරණය(1) කාර්යයක් ඇත
අත්තනෝමතික නියතයන්. මෙම සිද්ධාන්ත අවකල සමීකරණ සඳහා සමාන වේ. නියත සංගුණක සහිත පළමු අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය වෙනස්කම් සමීකරණ පද්ධතියක් ආකෘතියේ පද්ධතියකි
නොදන්නා ශ්‍රිතවල දෛශිකයක් යනු දන්නා ශ්‍රිතවල දෛශිකයකි.
nn ප්රමාණයේ න්‍යාසයක් ඇත.
අවකල සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳීමට සාදෘශ්‍යයෙන් n වන අනුපිළිවෙලෙහි වෙනස සමීකරණයකට අඩු කිරීමෙන් මෙම පද්ධතිය විසඳිය හැක.
§ 2. වෙනස්කම් සමීකරණවල විසඳුම
පළමු අනුපිළිවෙලෙහි වෙනස සමීකරණයක විසඳුම.සමජාතීය වෙනස සමීකරණය සලකා බලන්න
අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය වේ
ශ්රිතය වේදැයි බලමු
විසඳීමේ සමීකරණය (3).
සමීකරණයට (4) ආදේශ කිරීම, අපි ලබා ගනිමු
එබැවින්, සමීකරණයට විසඳුමක් ඇත (4).
සමීකරණයේ (4) පොදු විසඳුම ශ්‍රිතයයි
මෙහි C යනු අත්තනෝමතික නියතයකි.
සමජාතීය සමීකරණයේ විශේෂිත විසඳුමක් (3) කරමු. එවිට වෙනස සමීකරණයේ (3) පොදු විසඳුම ශ්‍රිතයයි
c යනු යම් විචල්‍යයක් වන f(t)=c නම් (3) වෙනස සමීකරණයට විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගනිමු.
අපි නියත m ආකාරයෙන් විසඳුමක් සොයමු. අපිට තියෙනවා
මෙම නියතයන් සමීකරණයට ආදේශ කිරීම
අපට ලැබෙනවා
එබැවින්, වෙනස සමීකරණයට පොදු විසඳුම
උදාහරණ 1. වෙනස සමීකරණයක් භාවිතා කරමින්, වසරකට p% ලෙස තැන්පත් කර ඇති ඉතුරුම් බැංකුවේ මුදල් තැන්පතු A වැඩි කිරීමේ සූත්රය සොයා ගන්න.
විසඳුමක්. යම් මුදලක් බැංකුවක සංයුක්ත පොළියකට තැන්පත් කරන්නේ නම්, වසර අවසන් වන විට එහි මුදල ටී.
මෙය පළමු අනුපිළිවෙල සමජාතීය වෙනස සමීකරණයකි. ඔහුගේ තීරණය
මෙහි C යනු ආරම්භක කොන්දේසි වලින් ගණනය කළ හැකි නියතයකි.
අපි පිළිගන්නවා නම්, C=A, කොහෙන්ද
මෙය ප්රසිද්ධ සූත්රයසංයුක්ත පොලී අනුපාතයක් යටතේ ඉතිරිකිරීමේ බැංකුවක තැන්පත් කර ඇති මුදල් තැන්පතුවක වර්ධනය ගණනය කිරීම.
දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි වෙනස සමීකරණයේ විසඳුම.අපි දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සමජාතීය වෙනස්කම් සමීකරණයක් සලකා බලමු
සහ අනුරූප සමජාතීය සමීකරණය
k යනු සමීකරණයේ මුල වේ නම්
සමජාතීය සමීකරණයට විසඳුමකි (6).
ඇත්ත වශයෙන්ම, (6) සමීකරණයේ වම් පැත්තට ආදේශ කිරීම සහ (7) සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි ලබා ගනිමු
මේ අනුව, k යනු සමීකරණයේ (7) මූලය නම්, එය සමීකරණයට (6) විසඳුමකි. සමීකරණය (7) සමීකරණය (6) සඳහා ලාක්ෂණික සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ. වෙනස්කම් කරන්නා නම් ලක්ෂණ සමීකරණය(7) ශුන්‍යයට වඩා වැඩි වන අතර, පසුව (7) සමීකරණයට වෙනස් තාත්වික මූලයන් දෙකක් ඇති අතර, සමජාතීය සමීකරණයේ (6) පොදු විසඳුමට පහත ස්වරූපය ඇත.
නියත සංගුණක සමඟ රේඛීය වෙනස සමීකරණයකින් ආදාන සහ ප්‍රතිදාන අනුපිළිවෙල සම්බන්ධ වී ඇති පද්ධති පන්තියේ උප කුලකයක් සාදයි. රේඛීය පද්ධතිනියත පරාමිතීන් සමඟ. වෙනස්කම් සමීකරණ මගින් LPP පද්ධති විස්තර කිරීම ඉතා වැදගත් වේ, එය බොහෝ විට එවැනි පද්ධති තැනීමට ඵලදායී ක්රම සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසයි. එපමනක් නොව, වෙනස සමීකරණය භාවිතා කරමින්, ස්වාභාවික සංඛ්‍යාත සහ ඒවායේ ගුණත්වය, පද්ධතියේ අනුපිළිවෙල, ශුන්‍ය ලාභයට අනුරූප වන සංඛ්‍යාත යනාදිය ඇතුළුව සලකා බලන පද්ධතියේ බොහෝ ලක්ෂණ තීරණය කළ හැකිය.
වඩාත් සාමාන්ය අවස්ථාවෙහිදී, භෞතිකව සාක්‍ෂාත් කරගත හැකි පද්ධතියකට අදාළව නියත සංගුණක සහිත වන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය වෙනස සමීකරණයකට ස්වරූපය ඇත.
(2.18)
එහිදී සංගුණක සහ නිශ්චිත පද්ධතියක් විස්තර කරයි, සහ . පද්ධතියේ අනුපිළිවෙල හරියටම වෙනස සමීකරණයේ ගණිතමය ගුණාංග සංලක්ෂිත කරන්නේ කෙසේද යන්න පහත දැක්වේ. සමීකරණය (2.18) සෘජු ආදේශන ක්රමය මගින් විසඳීමට පහසු ආකෘතියකින් ලියා ඇත. ආරම්භක කොන්දේසි මාලාවක් තිබීම [උදාහරණයක් ලෙස, සඳහා 
] සහ ආදාන අනුක්‍රමය, සූත්රය (2.18) භාවිතයෙන් ඔබට ප්‍රතිදාන අනුක්‍රමය කෙලින්ම ගණනය කළ හැක. උදාහරණයක් ලෙස, වෙනස සමීකරණය
(2.19)
ආරම්භක කොන්දේසිය සමඟ සහ ලබා දෙන ආදේශන මගින් විසඳා ගත හැක
සෘජු ආදේශනය මගින් වෙනස්කම් සමීකරණ විසඳීම සමහර අවස්ථාවලදී ප්රයෝජනවත් වුවද, සමීකරණයට පැහැදිලි විසඳුමක් ලබා ගැනීම වඩාත් ප්රයෝජනවත් වේ. එවැනි විසඳුම් සෙවීමේ ක්රම, වෙනස්කම් සමීකරණ පිළිබඳ සාහිත්යයේ විස්තරාත්මකව ආවරණය කර ඇත, සහ පමණි කෙටි සමාලෝචනය. ප්රධාන අදහස වන්නේ වෙනස්කම් සමීකරණයට විසඳුම් දෙකක් ලබා ගැනීමයි: සමජාතීය සහ අර්ධ. ආදාන අනුක්‍රමයේ මූලද්රව්ය අඩංගු සියලුම පද සඳහා ශුන්‍ය ආදේශ කිරීමෙන් සහ ආදාන අනුක්‍රමය ශුන්‍ය වන විට ප්‍රතිචාරය නිර්ණය කිරීමෙන් සමජාතීය විසඳුමක් ලබා ගනී. දී ඇති පද්ධතියක මූලික ගුණාංග විස්තර කරන්නේ මෙම විසඳුම් පන්තියයි. දී ඇති ආදාන අනුක්‍රමය සඳහා ප්‍රතිදාන අනුපිළිවෙල වර්ගය තේරීමෙන් විශේෂිත විසඳුමක් ලබා ගනී. අත්තනෝමතික නියතයන් තීරණය කිරීමට සමජාතීය විසඳුමක්ආරම්භක කොන්දේසි භාවිතා වේ. උදාහරණයක් ලෙස, අපි මෙම ක්රමය භාවිතා කර සමීකරණය (2.19) විසඳමු. සමජාතීය සමීකරණයට ස්වරූපය ඇත
(2.20)
ලාක්ෂණික විසඳුම් බව දන්නා කරුණකි සමජාතීය සමීකරණ, නියත සංගුණක සමඟ රේඛීය වෙනස සමීකරණවලට අනුරූප වන අතර, පෝරමයේ විසඳුම් වේ (2.20) වෙනුවට සමීකරණයෙන් ආදේශ කිරීම, අපි ලබා ගනිමු
(2.21)
පෝරමයේ ආදාන අනුපිළිවෙලට අනුරූප විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරමු
(2.22)
සමීකරණයෙන් (2.19) අපි ලබා ගනිමු
සමාන අංශක සඳහා සංගුණක සමාන විය යුතු බැවින්, B, C සහ D සමාන විය යුතුය
(2.24)
මේ අනුව, සාමාන්ය විසඳුම ආකෘතිය ඇත
(2.25)
සංගුණකය තීරණය වන්නේ ආරම්භක තත්වයෙන්, කොතැනින්ද සහ
(2.26)
විසඳුමේ වරණාත්මක පරීක්ෂාව (2.26) ඉහත දී ඇති සෘජු විසඳුම සමඟ එහි සම්පූර්ණ එකඟතාවය පෙන්වයි. විසඳුමේ (2.26) පැහැදිලි වාසිය නම්, එය ඕනෑම විශේෂිත එකක් සඳහා ඉතා සරලව තීරණය කිරීමට ඉඩ සලසයි.
රූපය. 2.7 සරල පළමු අනුපිළිවෙල වෙනස් සමීකරණයක් ක්රියාත්මක කිරීමේ යෝජනා ක්රමය.
වෙනස්කම් සමීකරණවල වැදගත්කම වන්නේ ඒවා ඩිජිටල් පද්ධතියක් තැනීමේ ක්රමය සෘජුවම තීරණය කිරීමයි. මේ අනුව, වඩාත් පොදු ආකෘතියේ පළමු අනුපිළිවෙලෙහි වෙනස සමීකරණය
රූපයේ දැක්වෙන පරිපථය භාවිතයෙන් ක්රියාත්මක කළ හැක. 2.7 "ප්රමාද" වාරණ එක් ගණනයකින් ප්රමාද වේ. ආදාන සහ ප්‍රතිදාන අනුපිළිවෙල සඳහා වෙනම ප්රමාද මූලද්රව්ය භාවිතා කරන මෙම පද්ධති සැලසුම් ආකෘතිය සෘජු පෝරමය 1 ලෙස හැඳින්වේ. පහත අපි මෙය සහ අනෙකුත් ඩිජිටල් පද්ධති තැනීම සඳහා විවිධ ක්රම සාකච්ඡා කරමු.
වඩාත් පොදු ආකෘතියේ දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි වෙනස සමීකරණය
රූපය. 2.8 දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි වෙනස්කම් සමීකරණයක් ක්රියාත්මක කිරීම සඳහා යෝජනා ක්රමය.
රූපයේ දැක්වෙන පරිපථය භාවිතයෙන් ක්රියාත්මක කළ හැක. 2.8 මෙම පරිපථය ආදාන සහ ප්‍රතිදාන අනුපිළිවෙල සඳහා වෙනම ප්රමාද මූලද්රව්ය ද භාවිතා කරයි.
මෙම පරිච්ඡේදයේ ඇති ද්රව්ය පසුව ඉදිරිපත් කිරීමෙන්, ඉහළ පෙළේ පද්ධති ක්රියාත්මක කිරීමේදී පළමු හා දෙවන පෙළ පද්ධති භාවිතා කළ හැකි බව පැහැදිලි වනු ඇත, මන්ද දෙවැන්න ශ්‍රේණි හෝ සමාන්තර-සම්බන්ධිත පළමු ලෙස නිරූපණය කළ හැකි බැවිනි. සහ දෙවන පෙළ පද්ධති.
