Формула середнього квадратичного відхилення статистики. Дисперсія. Середнє квадратичне відхилення

$X$. Для початку нагадаємо таке визначення:

Визначення 1

Генеральна сукупність-- сукупність випадково відібраних об'єктів цього виду, з яких проводять спостереження з отримання конкретних значень випадкової величини, проведених у постійних умовах щодо однієї випадкової величини цього виду.

Визначення 2

Генеральна дисперсія-- середнє арифметичне квадратів відхилень значень варіант генеральної сукупностівід їхнього середнього значення.

Нехай значення варіант $x_1, \ x_2, \ dots, x_k $ мають, відповідно, частоти $ n_1, \ n_2, \ dots, n_k $. Тоді генеральна дисперсія обчислюється за такою формулою:

Розглянемо окремий випадок. Нехай всі варіанти $ x_1, \ x_2, \ dots, x_k $ різні. І тут $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Виходить, що в цьому випадку генеральна дисперсія обчислюється за формулою:

З цим поняттям також пов'язане поняття генерального середнього відхилення квадратичного.

Визначення 3

Генеральне середнє квадратичне відхилення

\[(\sigma)_г=\sqrt(D_г)\]

Вибіркова дисперсія

Нехай нам дано вибіркову сукупність щодо випадкової величини $X$. Для початку нагадаємо таке визначення:

Визначення 4

Вибіркова сукупність- частина відібраних об'єктів із генеральної сукупності.

Визначення 5

Вибіркова дисперсія- Середнє арифметичне значень варіант вибіркової сукупності.

Нехай значення варіант $x_1, \ x_2, \ dots, x_k $ мають, відповідно, частоти $ n_1, \ n_2, \ dots, n_k $. Тоді вибіркова дисперсія обчислюється за такою формулою:

Розглянемо окремий випадок. Нехай всі варіанти $ x_1, \ x_2, \ dots, x_k $ різні. І тут $n_1,\ n_2,\dots ,n_k=1$. Отримуємо, що у цьому випадку вибіркова дисперсія обчислюється за такою формулою:

З цим поняттям пов'язане поняття вибіркового середнього квадратичного відхилення.

Визначення 6

Вибіркове середнє квадратичне відхилення -- квадратний коріньз генеральної дисперсії:

\[(\sigma )_в=\sqrt(D_в)\]

Виправлена дисперсія

Для знаходження виправленої дисперсії $S^2$ необхідно помножити вибіркову дисперсію на дріб $\frac(n)(n-1)$, тобто

З цим поняттям також пов'язане поняття виправленого середнього квадратичного відхилення, яке знаходиться за формулою:

У разі, коли значення варіант не є дискретними, а являють собою інтервали, то в формулах для обчислення генеральної або вибіркової дисперсій за значення $x_i$ приймається значення середини інтервалу, якому належить $x_i.$

Приклад завдання на знаходження дисперсії та середнього квадратичного відхилення

Приклад 1

Вибіркова сукупність задана наступною таблицею розподілу:

Малюнок 1.

Знайдемо для неї вибіркову дисперсію, вибіркове середнє квадратичне відхилення, виправлену дисперсію та виправлене середнє квадратичне відхилення.

Для вирішення цього завдання для початку зробимо розрахункову таблицю:

Малюнок 2.

Величина $\overline(x_в)$ (середнє вибіркове) у таблиці знаходиться за формулою:

\[\overline(x_в)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)\]

\[\overline(x_в)=\frac(\sum\limits^k_(i=1)(x_in_i))(n)=\frac(305)(20)=15,25\]

Знайдемо вибіркову дисперсію за формулою:

Вибіркове середнє квадратичне відхилення:

\[(\sigma)_в=\sqrt(D_в)\approx 5,12\]

Виправлена дисперсія:

\[(S^2=\frac(n)(n-1)D)_в=\frac(20)(19)\cdot 26,1875\approx 27,57\]

Виправлене середнє квадратичне відхилення.

Середньоквадратичне відхилення(синоніми: середнє квадратичне відхилення, середньоквадратичне відхилення, квадратичне відхилення; близькі терміни: стандартне відхилення, стандартний розкид) - в теорії ймовірностей і статистиці найбільш поширений показник розсіювання значень випадкової величини щодо її математичного очікування. При обмежених масивах вибірок значень замість математичного очікуваннявикористовується середня арифметична сукупність вибірок.

Енциклопедичний YouTube

1 / 5

Середньоквадратичне відхилення вимірюється в одиницях вимірювання самої випадкової величини і використовується при розрахунку стандартної помилки середнього арифметичного, при побудові довірчих інтервалів, при статистичній перевірці гіпотез, при вимірюванні лінійної зв'язки. Визначається як квадратний корінь з дисперсії випадкової величини .

Середньоквадратичне відхилення:

s = n n − 1 σ 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 ; (\displaystyle s=(\sqrt ((\frac(n)(n-1))\sigma ^(2)))=(\sqrt ((\frac(1)(n-1))\sum _( i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar (x))\right)^(2)));)

Примітка: Дуже часто зустрічаються різночитання в назвах СКО (Середньоквадратичного відхилення) та СТО (Стандартного відхилення) за їх формулами. Наприклад, у модулі numPy мови програмування Python функція std() описується як "standart deviation", тоді як формула відображає СКО (розподіл на корінь з вибірки). У Excel функція СТАНДОТКЛОН() інша (розподіл на корінь з n-1).

Стандартне відхилення(Оцінка середньоквадратичного відхилення випадкової величини xщодо її математичного очікування на основі незміщеної оцінки її дисперсії) s (\displaystyle s):

σ = 1 n ∑ i = 1 n (x i − x ¯) 2 . (\displaystyle \sigma =(\sqrt ((\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)\left(x_(i)-(\bar(x))\right) ^(2))).)

де σ 2 (\displaystyle \sigma ^(2))- Дисперсія; x i (\displaystyle x_(i)) - i-й елемент вибірки; n (\displaystyle n)- Обсяг вибірки; - середня арифметична вибірки:

x = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + … + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\ldots +x_(n)).)

Слід зазначити, що обидві оцінки є зміщеними. У загальному випадкунезміщену оцінку побудувати неможливо. Однак оцінка на основі оцінки незміщеної дисперсії є заможною.

Відповідно до ГОСТ Р 8.736-2011 середньоквадратичне відхилення вважається за другою формулою цього розділу. Будь ласка, звірте результати.

Правило трьох сигм

Правило трьох сигм (3 σ (\displaystyle 3\sigma )) - практично всі значення нормально розподіленої випадкової величини лежать в інтервалі (x − 3 σ ; x ¯ + 3 σ) (\displaystyle \left((\bar (x))-3\sigma ;(\bar (x))+3\sigma \right)). Суворіше - приблизно з ймовірністю 0,9973 значення нормально розподіленої випадкової величини лежить у зазначеному інтервалі (за умови, що величина x ¯ (\displaystyle (\bar(x)))справжня, а чи не отримана внаслідок обробки вибірки).

Якщо ж справжня величина x ¯ (\displaystyle (\bar(x)))невідома, то слід користуватися не σ (\displaystyle \sigma ), а s. Таким чином, правило трьох сигм перетворюється на правило трьох s .

Інтерпретація величини середньоквадратичного відхилення

Більше значення середньоквадратичного відхилення показує більший розкид значень у представленій множині середньою величиноюмножини; менше значення, відповідно, показує, що значення у множині згруповані навколо середнього значення.

Наприклад, у нас є три числові множини: (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) і (6, 6, 8, 8). У всіх трьох множин середні значення дорівнюють 7, а середньоквадратичні відхилення, відповідно, дорівнюють 7, 5 і 1. У останньої множини середньоквадратичне відхилення маленьке, тому що значення у множині згруповані навколо середнього значення; у першої множини саме велике значеннясередньоквадратичного відхилення - значення всередині множини сильно розходяться із середнім значенням.

У загальному сенсі середньоквадратичне відхилення вважатимуться мірою невизначеності. Наприклад, у фізиці середньоквадратичне відхилення використовується визначення похибки серії послідовних вимірів будь-якої величини. Це значення дуже важливо для визначення правдоподібності досліджуваного явища в порівнянні з передбаченим теорією значенням: якщо середнє значення вимірювань сильно відрізняється від передбачених теорією значень (велике значення середньоквадратичного відхилення), то отримані значення або метод їх отримання слід перевіряти ще раз. ототожнюється із ризиком портфеля.

Клімат

Припустимо, існують два міста з однаковою максимальною середньої денною температурою, але одне розташоване на узбережжі, а інше на рівнині. Відомо, що в містах, розташованих на узбережжі, безліч різних максимальних денних температур менше, ніж у міст, розташованих усередині континенту. Тому середньоквадратичне відхилення максимальних денних температур у прибережного міста буде менше, ніж у другого міста, незважаючи на те, що середнє значення цієї величини у них однакове, що на практиці означає, що ймовірність того, що максимальна температураповітря кожного конкретного дня на рік сильніше відрізнятиметься від середнього значення, вище у міста, розташованого всередині континенту.

Спорт

Припустимо, що є кілька футбольних команд, які оцінюються за деяким набором параметрів, наприклад, кількістю забитих і пропущених голів, гольових моментів тощо. Найімовірніше, що найкраща команда в цій групі матиме найкращі значенняза більшою кількістю параметрів. Чим менше у команди середньоквадратичне відхилення по кожному з представлених параметрів, тим більш передбачуваним є результат команди, такі команди є збалансованими. З іншого боку, у команди з великим значенням середньоквадратичного відхилення складно передбачити результат, що пояснюється дисбалансом, наприклад, сильним захистомале слабким нападом.

Використання середньоквадратичного відхилення параметрів команди дозволяє в тій чи іншій мірі передбачити результат матчу двох команд, оцінюючи сильні та слабкі стороникоманд, отже, і обираються способів боротьби.

За даними вибіркового обстеження проведено угруповання вкладників за розміром вкладу в Ощадбанку міста:

Визначте:

1) розмах варіації;

2) середній розмір вкладу;

3) середнє лінійне відхилення;

4) дисперсію;

5) середнє квадратичне відхилення;

6) коефіцієнт варіації вкладів.

Рішення:

Цей ряд розподілу містить відкриті інтервали. У таких рядах умовно приймається величина інтервалу першої групи дорівнює величині інтервалу наступної, а величина інтервалу останньої групи дорівнює величині інтервалу попередньої.

Величина інтервалу другої групи дорівнює 200, отже, і величина першої групи також дорівнює 200. Величина інтервалу передостанньої групи дорівнює 200, отже останній інтервал матиме величину, рівну 200.

1) Визначимо розмах варіації як різницю між найбільшим і найменшим значеннямознаки:

Розмах варіації обсягу вкладу дорівнює 1000 рублів.

2) Середній розмір вкладу визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої.

Попередньо визначимо дискретну величинуознаки у кожному інтервалі. Для цього за формулою середньої арифметичної простий знайдемо середини інтервалів.

Середнє значення першого інтервалу дорівнюватиме:

другого - 500 і т.д.

Занесемо результати обчислень до таблиці:

Розмір внеску, руб.	Число вкладників, f	Середина інтервалу, х	xf
200-400	32	300	9600
400-600	56	500	28000
600-800	120	700	84000
800-1000	104	900	93600
1000-1200	88	1100	96800
Разом	400	-	312000

Середній розмір вкладу в Ощадбанку міста дорівнюватиме 780 рублів:

3) Середнє лінійне відхилення є середня арифметична з абсолютних відхилень окремих значень ознаки від загальної середньої:

Порядок розрахунку середнього лінійного відхилення в інтервальному ряду розподілу наступний:

1. Обчислюється середня арифметична зважена, як показано у п. 2).

2. Визначаються абсолютні відхилення варіантів від середньої:

3. Отримані відхилення множаться на частоти:

4. Знаходиться сума зважених відхилень без урахування знака:

5. Сума зважених відхилень ділиться на суму частот:

Зручно користуватися таблицею розрахункових даних:

Розмір внеску, руб.	Число вкладників, f	Середина інтервалу, х
200-400	32	300	-480	480	15360
400-600	56	500	-280	280	15680
600-800	120	700	-80	80	9600
800-1000	104	900	120	120	12480
1000-1200	88	1100	320	320	28160
Разом	400	-	-	-	81280

Середнє лінійне відхилення обсягу вкладу клієнтів Ощадбанку становить 203,2 рубля.

4) Дисперсія – це середня арифметична квадратів відхилень кожного значення ознаки від середньої арифметичної.

Розрахунок дисперсії в інтервальних рядахрозподілу провадиться за формулою:

Порядок розрахунку дисперсії у разі наступний:

1. Визначають середню арифметичну зважену, як показано у п. 2).

2. Знаходять відхилення варіант від середньої:

3. Зводять у квадрат відхилення кожної варіанти від середньої:

4. Помножують квадрати відхилень на ваги (частоти):

5. Підсумовують отримані твори:

6. Отримана сума поділяється на суму ваг (частот):

Розрахунки оформимо до таблиці:

Розмір внеску, руб.	Число вкладників, f	Середина інтервалу, х
200-400	32	300	-480	230400	7372800
400-600	56	500	-280	78400	4390400
600-800	120	700	-80	6400	768000
800-1000	104	900	120	14400	1497600
1000-1200	88	1100	320	102400	9011200
Разом	400	-	-	-	23040000

Інструкція

Нехай є кілька чисел, що характеризують однорідні величини. Наприклад, результати вимірювань, зважувань, статистичних спостережень тощо. Усі представлені величини повинні вимірюватися однієї й тієї ж виміру. Щоб знайти квадратичне відхилення, виконайте такі дії.

Визначте середнє арифметичне всіх чисел: складіть усі числа та поділіть суму на Загальна кількістьчисел.

Визначте дисперсію (розкид) чисел: складіть квадрати знайдених раніше відхилень і поділіть отриману суму на кількість чисел.

У палаті лежать семеро хворих з температурою 34, 35, 36, 37, 38, 39 і 40 градусів Цельсія.

Потрібно визначити середнє відхилення від середньої.
Рішення:
"По палаті": (34 +35 +36 +37 +38 +39 +40) / 7 = 37 ºС;

Відхилення температур від середнього (у даному випадкунормального значення): 34-37, 35-37, 36-37, 37-37, 38-37, 39-37, 40-37, виходить: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 (ºС);

Розділіть отриману ранню суму чисел їх кількість. Для точності обчислення краще скористатися калькулятором. Підсумок поділу є середнім арифметичним значенням доданків.

Уважно поставтеся до всіх етапів розрахунку, оскільки помилка хоч в одному з обчислень призведе до неправильного підсумкового показника. Перевіряйте отримані розрахунки кожному етапі. Середнє арифметичне число має той же вимірник, що й доданки, тобто якщо ви визначаєте середню відвідуваність, то всі показники у вас будуть «людина».

Цей спосібобчислення застосовується лише у математичних та статистичних розрахунках. Так, наприклад, середнього арифметичного значенняв інформатиці має інший алгоритм обчислення. Середнє арифметичне значення дуже умовним показником. Воно показує можливість тієї чи іншої події за умови, що він лише один чинник чи показник. Для глибокого аналізу необхідно враховувати безліч чинників. І тому застосовується обчислення більш загальних величин.

Середнє арифметичне - один із заходів центральної тенденції, що широко використовується в математиці та статистичних розрахунках. Знайти середнє арифметичне число для кількох значень дуже просто, але у кожного завдання є свої нюанси, знати які для виконання вірних розрахунків просто необхідно.

Кількісні результати проведених подібних дослідів.

Як знайти середнє арифметичне число

Пошук середнього арифметичного числадля масиву чисел слід починати з визначення суми алгебри цих значень. Наприклад, якщо у масиві присутні числа 23, 43, 10, 74 і 34, їх алгебраїчна сума дорівнюватиме 184. При запису середнє арифметичне позначається буквою μ (мю) чи x (ікс з характеристикою). Далі суму алгебри слід розділити на кількість чисел в масиві. У аналізованому прикладі чисел було п'ять, тому середнє арифметичне дорівнюватиме 184/5 і становитиме 36,8.

Особливості роботи з негативними числами

Якщо в масиві присутні негативні числа, Знаходження середнього арифметичного значення відбувається за аналогічним алгоритмом. Різниця є тільки при розрахунках у середовищі програмування, або якщо в задачі є додаткові умови. У цих випадках знаходження середнього арифметичного чисел з різними знакамизводиться до трьох дій:

1. Знаходження загальної середньої арифметичної кількості стандартним методом;
2. Знаходження середнього арифметичного негативного числа.
3. Обчислення середнього арифметичного позитивного числа.

Відповіді кожної з дій записуються через кому.

Натуральні та десяткові дроби

Якщо масив чисел представлений десятковими дробами, Рішення відбувається за методом обчислення середнього арифметичного цілих чисел, але скорочення результату проводиться за вимогами завдання до точності відповіді.

При роботі з натуральними дробамиїх слід призвести до спільному знаменникущо множиться на кількість чисел у масиві. У чисельнику відповіді буде сума наведених чисельників вихідних дробових елементів.

Програма Excel цінується як професіоналами, так і любителями, адже працювати з нею може користувач будь-якого рівня підготовки. Наприклад, кожен бажаючий з мінімальними навичками спілкування з Екселем може намалювати простенький графік, зробити пристойну табличку і т.д.

Водночас ця програма навіть дозволяє виконувати різного родурозрахунки, наприклад, розрахунок , але цього вже необхідний дещо інший рівень підготовки. Втім, якщо ви тільки почали тісне знайомство з цією прогою і цікавитеся всім, що допоможе вам стати більш просунутим користувачем, ця стаття для вас. Сьогодні я розповім, що є середньоквадратичним відхиленням формула в excel, навіщо вона взагалі потрібна і, власне кажучи, коли застосовується. Поїхали!

Що це таке

Почнемо з теорії. Середнім квадратичним відхиленням прийнято називати квадратний корінь, отриманий із середнього арифметичного всіх квадратів різниць між наявними величинами, а також їх середнім арифметичним. До слова, цю величину прийнято називати грецькою літерою "сигма". Стандартне відхилення розраховується за формулою СТАНДОТКЛОН, відповідно програма робить це за користувача сама.

Суть же даного поняттяполягає в тому, щоб виявити ступінь мінливості інструменту, тобто це, у своєму роді, індикатор родом з описової статистики. Він виявляє зміни волатильності інструменту у будь-якому часовому проміжку. За допомогою формул СТАНДОТКЛОН можна оцінити стандартне відхиленняпри вибірці, у своїй логічні і текстові значення ігноруються.

Формула

Допомагає розрахувати середнє квадратичне відхилення в Excel формула, яка автоматично передбачена в програмі Excel. Щоб її знайти, необхідно знайти в Екселі розділ формули, а вже там вибрати ту, що має назву СТАНДОТКЛОН, тому дуже просто.

Після цього перед вами з'явиться віконце, в якому потрібно буде ввести дані для обчислення. Зокрема, у спеціальні поля слід вписати два числа, після чого програма сама вирахує стандартне відхилення щодо вибірки.

Безперечно, математичні формули та розрахунки – питання досить складне, і не всі користувачі з ходу можуть впоратися з ним. Тим не менш, якщо копнути трохи глибше і трохи детальніше розібратися в питанні, виявляється, що не все так і сумно. Сподіваюся, на прикладі обчислення середньоквадратичного відхиленняви у цьому переконалися.