Метод математичної індукції та її застосування до вирішення завдань. Приклади – математична індукція

Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версіяроботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF

Вступ

Ця тема є актуальною, тому що кожен день люди вирішують різні завдання, в яких вони застосовують різні методирішення, але є завдання, в яких не обійтися без методу математичної індукції, і в таких випадках будуть дуже корисні знання в цій галузі.

Я обрав цю темудля дослідження, тому що в шкільній програміметоду математичної індукції приділяють мало часу, учень дізнається поверхневу інформацію, яка допоможе отримати лише загальне уявлення про даному методі, але щоб поглиблено вивчити цю теорію потрібно саморозвиток. Дійсно буде корисно докладніше дізнатися про цю тему, оскільки це розширює кругозір людини і допомагає у вирішенні складних завдань.

Мета роботи:

Познайомитися з методом математичної індукції, систематизувати знання з цієї теми та застосувати її під час вирішення математичних завданьта доказ теорем, обґрунтувати та наочно показати практичне значенняметоду математичної індукції як необхідного чинника на вирішення задач.

Завдання роботи:

Проаналізувати літературу та узагальнити знання з цієї теми.

Розібратися у принципі методу математичної індукції.

Дослідити застосування методу математичної індукції до розв'язання задач.

Сформулювати висновки та висновки щодо виконаної роботи.

Основна частина дослідження

Історія виникнення:

Тільки до кінцю XIXстоліття склався стандарт вимог до логічної строгості, що залишається і дотепер пануючими в практичної роботиматематиків над розвитком окремих математичних теорій

Індукція - пізнавальна процедура, з якої з порівняння готівкових фактів виводиться узагальнююче їх твердження.

У математиці роль індукції значною мірою полягає в тому, що вона лежить в основі аксіоматики, що вибирається. Після того як тривала практика показала, що прямий шлях завжди коротший за кривий або ламаний, природно було сформулювати аксіому: для будь-яких трьох точок А, В і С виконується нерівність.

Усвідомлення методу математичної індукції як окремого важливого методу сягає Блезу Паскалю і Герсоніду, хоча окремі випадки застосування трапляються ще в античні часи у Прокла та Евкліда. Сучасну назву методу було запроваджено де Морганом у 1838 році.

Метод математичної індукції можна порівняти з прогресом: ми починаємо з нижчого, у результаті логічного мислення приходимо до вищого. Людина завжди прагнула прогресу, до вміння логічно розвивати свою думку, отже, сама природа накреслила йому міркувати індуктивно.

Індукція та дедукція

Відомо, що існують як приватні, так і загальні твердження, і на переході від одних до інших і засновані два терміни.

Дедукція (від латів. deductio - виведення) - перехід у процесі пізнання від спільногознання до приватномуі одиничному. У дедукції загальне знанняслужить вихідним пунктом міркування, і це загальне знання передбачається готовим, існуючим. Особливість дедукції у тому, що істинність її посилок гарантує істинність укладання. Тому дедукція має величезну силу переконання і широко застосовується як доведення теорем в математиці, а й всюди, де необхідні достовірні знання.

Індукція (від латів. inductio - наведення) - це перехід у процесі пізнання від приватногознання до спільному. Інакше кажучи, - це спосіб дослідження, пізнання, пов'язані з узагальненням результатів спостережень і експериментів. Особливістю індукції є її імовірнісний характер, тобто. при істинності вихідних посилок висновок індукції тільки ймовірно істинно і в кінцевому результаті може виявитися як істинним, так і хибним.

Повна та неповна індукція

Індуктивний висновок - така форма абстрактного мислення, у якій думка розвивається від знання меншою мірою спільності до знання більшої міри спільності, а висновок, що з посилок, носить переважно імовірнісний характер.

У ході дослідження я з'ясував, що індукція поділяється на два види: повна та неповна.

Повною індукцією називається висновок, у якому загальний висновок про клас предметів робиться на підставі вивчення всіх предметів цього класу.

Наприклад, нехай потрібно встановити, що кожне натуральне парне число n в межах 6≤ n≤ 18 представимо у вигляді суми двох простих чисел. Для цього візьмемо всі такі числа та випишемо відповідні розкладання:

6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;14=7+7; 16=11+5; 18=13+5;

Дані рівності показують, що кожне з чисельних нас чисел дійсно представляється у вигляді суми двох простих доданків.

Розглянемо наступний приклад: послідовність yn=n2+n+17; Випишемо перші чотири члени: у 1 = 19; y 2 = 23; y 3 =29; y 4 =37; Тоді ми можемо припустити, що вся послідовність складається із простих чисел. Але це не так, візьмемо у 16 ​​= 16 2 +16+17=16(16+1)+17=17*17. Це складове число, означає наше припущення невірно, таким чином, неповна індукція не призводить до цілком надійних висновків, але дозволяє сформулювати гіпотезу, яка надалі вимагає математичного доказу чи спростування.

Метод математичної індукції

Повна індукція має у математиці лише обмежене застосування. Багато цікаві математичні твердження охоплюють нескінченну кількість окремих випадків, а провести перевірку для всіх цих ситуацій ми не в змозі. Але як здійснити перевірку нескінченної кількості випадків? Такий спосіб запропонували Б.Паскаль та Я.Бернуллі, це метод математичної індукції, в основі якого лежить принцип математичної індукції.

Якщо пропозиція А(n), що залежить від натурального числа n, істинно для n=1 і з того, що воно істинно для n=k (де k-будь-яке натуральне число), слід, що воно істинно і для наступного числа n=k +1, припущення А(n) істинно для будь-якого натурального числа n.

У ряді випадків потрібно довести справедливість деякого твердження не для всіх натуральних чисел, А лише для n>p, де p-фіксоване натуральне число. І тут принцип математичної індукції формулюється так:

Якщо пропозиція А(n) істинно при n=p і якщо А(k)  А(k+1) для будь-якого k>p, пропозиція А(n) істинно для будь-якого n>p.

Алгоритм (він складається з чотирьох етапів):

1.база(Показуємо, що твердження, що доводиться, правильне для деяких найпростіших окремих випадків ( п = 1));

2.припущення(Припускаємо, що твердження доведено для перших до випадків); 3 .крок(У цьому припущенні доводимо твердження для випадку п = до + 1); 4. висновок (утвердження вірне всім випадків, тобто всім д) .

Зауважимо, що Методом математичної індукції можна вирішувати не всі завдання, а лише задачі, які параметризовані деякою змінною. Ця змінна називається змінної індукції.

Застосування методу математичної індукції

Застосуємо всю цю теорію практично і з'ясуємо, у яких завданнях застосовується цей спосіб.

Завдання на підтвердження нерівностей.

приклад 1.Довести нерівність Бернуллі(1+х)n≥1+nх, х>-1, n€ N.

1) При n=1 нерівність справедлива, оскільки 1+х≥1+х

2) Припустимо, що нерівність правильне деякого n=k, тобто.

(1+х) k ≥1+k x.

Помноживши обидві частини нерівності на позитивне число 1+х, отримаємо

(1+x) k+1 ≥(1+kx)(1+ x) =1+(k+1) x + kx 2

Враховуючи, що kx 2 ≥0 приходимо до нерівності

(1+х) k+1 ≥1+(k+1) x.

Таким чином, з припущення, що нерівність Бернуллі правильна для n=k, випливає, що вона правильна для n=k+1. На підставі методу математичної індукції можна стверджувати, що нерівність Бернуллі справедлива для будь-якого n€N.

приклад 2.Довести, що за будь-якого натурального n>1, .

Доведемо з допомогою методу математичної індукції.

Позначимо ліву частинунерівності через.

1), отже, при n=2 нерівність справедлива.

2) Нехай при деякому k. Доведемо, що тоді в. Маємо, .

Порівнюючи і, маємо, тобто. .

При будь-якому натуральному k права частинаостанньої рівності позитивна. Тож. Але, отже, и.Мы довели справедливість нерівності при n=k+1, отже, з методу математичної індукції, нерівність справедливо будь-якого натурального n>1.

Завдання на підтвердження тотожностей.

приклад 1.Довести, що для будь-якого натурального n справедлива рівність:

1 3 +2 3 +3 3 + ... + n 3 = n 2 (n + 1) 2 /4.

Нехай n = 1, тоді Х 1 = 13 = 12 (1 +1) 2 / 4 = 1.

Ми, що з n=1 твердження правильне.

2) Припустимо, що рівність правильна при n=kX k =k 2 (k+1) 2 /4.

3) Доведемо істинність цього твердження для n=k+1, тобто. X k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k+1) 2 +4(k+1) 3)/4=(k+1) 2 (k 2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.

З наведеного доказу видно, що твердження правильне при n=k+1, отже, рівність правильне за будь-якого натурального n.

приклад 2.Довести, що за будь-якого натурального nсправедлива рівність

1) Перевіримо, що це тотожність правильно приn = 1.; - вірно.

2) Нехай тотожність вірна і для n = k, тобто.

3) Доведемо, що це тотожність вірно і для n = k + 1, тобто;

Т.к. рівність вірно при n=kі n=k+1, воно справедливо за будь-якому натуральному n.

Завдання на підсумовування.

приклад 1.Довести, що 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .

Рішення: 1) Маємо n=1=1 2 . Отже, твердження правильне при n=1, тобто. А(1) істинно.

2) Доведемо, що А(k) A(k+1).

Нехай k-будь-яке натуральне число і нехай твердження справедливе для n = k, тобто 1 +3 +5 + ... + (2k-1) = k 2 .

Доведемо, що тоді твердження справедливе й у наступного натурального числа n=k+1, тобто. що

1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .

Справді, 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .

Отже, А(k) А(k+1). З принципу математичної індукції укладаємо, що припущення А(n) істинно будь-якого n N.

приклад 2.Довести формулу, n – натуральне число.

Рішення: При n=1 обидві частини рівності перетворюються на одиницю і, отже, перша умова принципу математичної індукції виконано.

Припустимо, формула правильна при n=k, тобто. .

Додамо до обох частин цієї рівності та перетворимо праву частину. Тоді отримаємо

Таким чином, з того, що формула вірна при n=k, випливає, що вона вірна і за n=k+1, то це твердження справедливе за будь-якого натурального n.

Завдання на подільність.

приклад 1.Довести, що (11n+2+122n+1) ділиться на 133 без залишку.

Рішення: 1) Нехай n = 1, тоді

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23×133.

(23× 133) ділиться на 133 без залишку, отже при n=1 твердження вірне;

2) Припустимо, що (11 k+2 +12 2k+1) ділиться на 133 без залишку.

3) Доведемо, що у такому разі

(11 k+3 +12 2k+3) ділиться на 133 без залишку. Справді, 11 k+3 +12 2л+3 =11×11 k+2 +

12 2 ×12 2k+1 =11× 11 k+2 +(11+133)× 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1)+133× 12 2k+1 .

Отримана сума ділиться на 133 без залишку, тому що перше її доданок ділиться на 133 без залишку за припущенням, а в другому одним із множників є 133.

Отже, А(k)→ А(k+1), спираючись на метод математичної індукції, твердження правильне для будь-яких натуральних n.

приклад 2.Довести, що 33n-1+24n-3 при довільному натуральному n ділиться на 11.

Рішення: 1) Нехай n = 1, тоді Х 1 = 3 3-1 +2 4-3 = 3 2 +2 1 = 11 ділиться на 11 без залишку. Отже, при n=1 твердження правильне.

2) Припустимо, що з n=k

X k =3 3k-1+24k-3 ділиться на 11 без залишку.

3) Доведемо, що твердження правильне для n=k+1.

X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 *3 3k-1 +2 4 *2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =(16+11)* 3 3k-1 +16* 2 4k-3 =16* 3 3k-1 +

11 * 3 3k-1 +16 * 2 4k-3 = 16 (3 3k-1 +2 4k-3) + 11 * 3 3k-1.

Перше доданок ділиться на 11 без залишку, оскільки 3 3k-1 +2 4k-3 ділиться на 11 за припущенням, друге ділиться на 11, тому що одним з його множників є число 11. Значить і сума ділиться на 11 без залишку за будь-якого натурального n.

Завдання із реального життя.

приклад 1.Довести, що сума Sn внутрішніх кутівбудь-якого опуклого багатокутника дорівнює ( п- 2) π, де п- Число сторін цього багатокутника: Sn = ( п- 2) π (1).

Це твердження має сенс не для всіх натуральних п, а лише для п > 3, оскільки мінімальна кількість кутів у трикутнику дорівнює 3.

1) При п= 3 наше твердження набуває вигляду: S 3 = π. Але сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника справді дорівнює π. Тому при п= 3 формула (1) вірна.

2) Нехай ця формула правильна при n =k, тобто S k = (k- 2) π, де k > 3. Доведемо, що у такому разі має місце та формула:S k+ 1 = (k- 1) π.

Нехай A 1 A 2 ... A k A k+ 1-довільний опуклий ( k+ 1) -кутник (рис. 338).

З'єднавши точки A 1 та A k , ми отримаємо опуклий k-кутник A 1 A 2 ... A k - 1 A k . Очевидно, що сума кутів ( k+ 1) -кутника A 1 A 2 ... A k A k+ 1 дорівнює сумі кутів k-кутника A 1 A 2 ... A k плюс сума кутів трикутника A 1 A k A k+ 1 . Але сума кутів k-кутника A 1 A 2 ... A k за припущенням дорівнює ( k- 2)π, а сума кутів трикутника A 1 A k A k+ 1 дорівнює π. Тому

S k+ 1 = S k + π = ( k- 2)π + π = ( k- 1) π.

Отже, обидві умови принципу математичної індукції виконуються, і тому формула (1) вірна за будь-якого натурального. п > 3.

приклад 2.Є сходи, всі щаблі яких однакові. Потрібно вказати мінімальну кількість положень, які б гарантували можливість «забратися» на будь-яку за номером сходинку.

Усі згодні з тим, що має бути умова. Ми повинні вміти забратися на перший щабель. Далі повинні вміти з першої сходинки забратися на другу. Потім у другій – на третю тощо. на n-у сходинку. Звичайно, в сукупності ж «n» тверджень гарантує їм те, що ми зможемо дістатися n-го сходинки.

Подивимося тепер на 2, 3, ..., n положення і порівняємо їх один з одним. Легко помітити, що вони мають однакову структуру: якщо ми дісталися k k сходинки, можемо забратися на (k+1) сходинку. Звідси стає природною така аксіома для справедливості тверджень, що залежать від «n»: якщо пропозиція А(n), в якому n - натуральне число, виконується при n=1 і з того, що воно виконується за n=k (де k - будь-яке натуральне число), випливає, що воно виконується і для n=k+1, припущення А(n) виконується для будь-якого натурального числа n.

додаток

Завдання із застосуванням методу математичної індукції під час вступу до ВНЗ.

Зауважимо, що при вступі до вищих навчальні закладитакож зустрічаються завдання, які вирішуються цим методом. Розглянемо їх у конкретних прикладах.

приклад 1.Довести, що будь-якому натуральному псправедлива рівність

1) При п=1ми отримуємо правильну рівність Sin.

2) Зробивши припущення індукції, що з n= kрівність вірна, розглянемо суму, що стоїть у лівій частині рівності, при n =k+1;

3) Використовуючи формули наведення, перетворюємо вираз:

Тоді, з методу математичної індукції рівність правильне будь-якого натурального n.

приклад 2.Довести, що з будь-якого натурального n значення виразу 4n +15n-1 кратно 9.

1) При n=1: 2 2 +15-1=18 - кратно 9 (т.к.18:9=2)

2) Нехай рівність виконується для n=k: 4 k +15k-1 кратно 9.

3) Доведемо, що рівність виконується й у наступного числа n=k+1

4 k+1 +15(k+1)-1=4 k+1 +15k+15-1=4.4 k +60k-4-45k+18=4(4 k +15k-1)-9(5k- 2)

4(4 k +15k-1) - кратно 9;

9(5k-2) - кратно 9;

Отже, і весь вираз 4(4 k +15k-1)-9(5k-2) кратно 9, що й потрібно було довести.

приклад 3.Довести, що за будь-якої натуральної кількості пвиконується умова: 1∙2∙3+2∙3∙4+…+ п(п+1)(п+2)=.

1) Перевіримо, що дана формулавірна при п=1:Ліва частина = 1∙2∙3=6.

Права частина = . 6 = 6; вірно при п=1.

2) Припустимо, що ця формула правильна при n =k:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+k(k+1)(k+2)=. S k =.

3) Доведемо, що ця формула правильна при n =k+1:

1∙2∙3+2∙3∙4+…+(k+1)(k+2)(k+3)=.

S k+1 =.

Доведення:

Отже, ця умовавірно у двох випадках і довели, що вірно при n =k+1,отже вона вірно за будь-якого натурального числа п.

Висновок

Підіб'ємо підсумки, у процесі дослідження я з'ясував, у чому полягає індукція, яка буває повною чи неповною, познайомився з методом математичної індукції, заснованому на принципі математичної індукції, розглянув безліч завдань із застосуванням даного методу.

Також я дізнався багато нової інформації, відмінної від тієї, що включена в шкільну програму.

Висновок: Узагальнивши та систематизувавши знання з математичної індукції, переконався у необхідності знань з цієї теми у реальній дійсності. Позитивною якістюметодом математичної індукції є його широке застосуванняу вирішенні завдань: у галузі алгебри, геометрії та реальної математики. Також ці знання підвищують інтерес до математики як до науки.

Я впевнений, що навички, набуті під час роботи, допоможуть мені у майбутньому.

​ Список літератури

Сомінський І.С. Метод математичної індукції. Популярні лекції з математики, випуск 3-М: Наука, 1974р.

Л. І. Головіна, І. М. Яглом. Індукція у геометрії. - Фізматгіз, 1961. - Т. 21. - 100 с. - (Популярні лекції з математики).

Дорофєєв Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Посібник з математики для вступників до вузів (Вибрані питання елементарної математики) – Изд.5-е, перераб., 1976 – 638с.

А. Шень. Математична індукція. - МЦНМО, 2004. - 36 с.

M.Л.Галицький, А.М.Гольдман, Л.І.Звавіч Збірник завдань з алгебри: учеб.посібник для 8-9 кл. з поглибл. вивченням математики 7-е вид.- М.: Просвітництво, 2001.-271 с

Ма-ка-ри-чев Ю.Н., Мін-дюк Н.Г До-пов-ні-тель-ні глави до школь-ного підруч-ника ал-геб-ри 9 класу. - М: Про-све-ще-ня, 2002.

Вікіпедія-вільна енциклопедія.

МЕТОД МАТЕМАТИЧНОЇ ІНДУКЦІЇ

Слово індукція російською означає наведення, а індуктивними називають висновки, з урахуванням спостережень, дослідів, тобто. отримані шляхом ув'язнення від частки до загального.

Наприклад, ми щодня спостерігаємо, що Сонце сходить зі сходу. Тому можна бути впевненим, що й завтра воно з'явиться на сході, а не на заході. Цей висновок ми робимо, не вдаючись до жодних припущень про причину руху Сонця по небу (більше того, саме цей рух виявляється уявним, оскільки насправді рухається земну кулю). Проте цей індуктивний висновок правильно описує ті спостереження, які ми проведемо завтра.

Роль індуктивних висновків у експериментальних науках дуже велика. Вони дають ті положення, з яких потім шляхом дедукції робляться подальші висновки. І хоча теоретична механікаґрунтується на трьох законах руху Ньютона, самі ці закони стали результатом глибокого продумування досвідчених даних, зокрема законів Кеплера руху планет, виведених ним при обробці багаторічних спостережень датського астронома Тихо Браге. Спостереження, індукція виявляються корисними й надалі уточнення зроблених припущень. Після дослідів Майкельсона з вимірювання швидкості світла в середовищі, що рухається, виявилося необхідним уточнити закони фізики, створити теорію відносності.

У математиці роль індукції значною мірою полягає в тому, що вона лежить в основі аксіоматики, що вибирається. Після того як тривала практика показала, що прямий шлях завжди коротший за кривий або ламаний, природно було сформулювати аксіому: для будь-яких трьох точок А, В і С виконується нерівність

Поняття, що лежить в основі арифметики, слідувати за теж з'явилося при спостереженнях за строєм солдатів, кораблів та іншими впорядкованими множинами.

Не слід, проте, думати, що це вичерпується роль індукції в математиці. Зрозуміло, ми повинні експериментально перевіряти теореми, логічно виведені з аксіоми: якщо під час висновку було зроблено логічних помилок, всі вони настільки вірні, оскільки істинні прийняті нами аксіоми. Але з цієї системи аксіом можна вивести дуже багато тверджень. І відбір тих тверджень, які треба доводити, знову нагадує індукція. Саме вона дозволяє відокремити корисні теореми від марних, вказує, які теореми можуть виявитися вірними, і навіть допомагає намітити шлях доказу.

Суть методу математичної індукції

У багатьох розділах арифметики, алгебри, геометрії, аналізу доводиться доводити істинність речень А(n), що залежать від натуральної змінної. Доказ істинності пропозиції А(n) всім значень змінної часто вдається провести методом математичної індукції, заснований на наступному принципі.

Пропозиція А(n) вважається істинною для всіх натуральних значень змінної, якщо виконані такі дві умови:

Пропозиція А(n) істинно для n=1.

З припущення, що А(n) істинно для n=k (де k - будь-яке натуральне число), випливає, що воно є істинним і для наступного значення n=k+1.

Цей принцип називається принципом математичної індукції. Зазвичай він вибирається як один з аксіом, що визначають натуральний ряд чисел, і, отже, приймається без доказів.

Під методом математичної індукції розуміють такий спосіб доказу. Якщо потрібно довести істинність пропозиції А(n) всім натуральних n, то, по-перше, слід перевірити істинність висловлювання А(1) і, по-друге, припустивши істинність висловлювання А(k), спробувати довести, що висловлювання А(k) +1) істинно. Якщо це вдається довести, причому доказ залишається справедливим для кожного натурального значення k, то відповідно до принципу математичної індукції, пропозиція А(n) визнається істинною для всіх значень n.

Метод математичної індукції широко застосовується при доказі теорем, тотожностей, нерівностей, під час вирішення завдань ділимість, під час вирішення деяких геометричних та багатьох інших завдань.

Метод математичної індукції у вирішенні завдань на

ділимість

За допомогою методу математичної індукції можна доводити різні твердження щодо ділимості натуральних чисел.

Наступне твердженняможна порівняно легко довести. Покажемо, як виходить з допомогою методу математичної індукції.

Приклад 1. Якщо n – натуральне число, то число парне.

При n=1 наше твердження істинно: парне число. Припустимо, що – парне число. Оскільки , a 2k - парне число, то й парне. Отже, парність доведена при n=1, з парності виведено парність .Отже, парно при всіх натуральних значеннях n.

приклад 2.Довести істинність речення

A(n)=(число 5 кратно 19), n - натуральне число.

Рішення.

Висловлювання А (1) = (число кратно 19) істинно.

Припустимо, що з деякого значення n=k

А(k)=(число кратно 19) істинно. Тоді, оскільки

Вочевидь, як і A(k+1) істинно. Дійсно, перший доданок ділиться на 19 з припущення, що A(k) істинно; друге доданок теж ділиться на 19, оскільки містить множник 19. Обидві умови принципу математичної індукції виконані, отже, пропозиція A(n) істинно за всіх значеннях n.

Застосування методу математичної індукції до

підсумовування рядів

приклад 1.Довести формулу

, n – натуральне число.

Рішення.

При n=1 обидві частини рівності перетворюються на одиницю і, отже, перша умова принципу математичної індукції виконано.

Припустимо, формула правильна при n=k, тобто.

.

Додамо до обох частин цієї рівності та перетворимо праву частину. Тоді отримаємо

Таким чином, з того, що формула вірна за n=k, випливає, що вона вірна і за n=k+1. Це твердження справедливе за будь-якого натурального значення k. Отже, друга умова принципу математичної індукції також виконана. Формулу доведено.

приклад 2.Довести, що сума n перших чисел натурального ряду дорівнює .

Рішення.

Позначимо шукану суму, тобто. .

При n=1 гіпотеза вірна.

Нехай . Покажемо, що .

Справді,

Завдання вирішено.

приклад 3.Довести, що сума квадратів n перших чисел натурального ряду дорівнює .

Рішення.

Нехай.

.

Припустимо, що . Тоді

І остаточно.

приклад 4.Довести, що .

Рішення.

Якщо то

Приклад 5.Довести, що

Рішення.

При n=1 гіпотеза явно правильна.

Нехай.

Доведемо, що .

Справді,

Приклади застосування методу математичної індукції до

доказу нерівностей

приклад 1.Довести, що за будь-якого натурального n>1

.

Рішення.

Позначимо ліву частину нерівності через .

Отже, за n=2 нерівність справедлива.

Нехай у деякому k. Доведемо, що тоді і . Маємо , .

Порівнюючи і маємо , тобто. .

За будь-якого натурального k права частина останньої рівності позитивна. Тому. Але, отже, і .

приклад 2.Знайти помилку у міркуванні.

Твердження. При будь-якому натуральному n справедлива нерівність.

Доведення.

. (1)

Доведемо, що тоді нерівність справедлива і за n=k+1, тобто.

.

Справді, не менше 2 за будь-якого натурального k. Додамо до лівої частини нерівності (1), а до правої 2. Отримаємо справедливу нерівність, або . Твердження доведено.

приклад 3.Довести, що , де >-1, n - натуральне число, більше 1.

Рішення.

При n=2 нерівність справедлива, оскільки .

Нехай нерівність справедлива за n=k, де k - деяке натуральне число, тобто.

. (1)

Покажемо, що тоді нерівність справедлива і за n=k+1, тобто.

. (2)

Дійсно, за умовою, тому справедлива нерівність

, (3)

отримане з нерівності (1) множенням кожної частини його на . Перепишемо нерівність (3) так: . Відкинувши у правій частині останньої нерівності позитивний доданок, отримаємо справедливу нерівність (2).

приклад 4.Довести, що

(1)

де , , n – натуральне число, більше 1.

Рішення.

При n=2 нерівність (1) набуває вигляду

. (2)

Оскільки , то справедлива нерівність

. (3)

Додавши до кожної частини нерівності (3) по отримаємо нерівність (2).

Цим доведено, що з n=2 нерівність (1) справедливо.

Нехай нерівність (1) справедлива при n=k, де k - деяке натуральне число, тобто.

. (4)

Доведемо, що тоді нерівність (1) має бути справедливим і за n=k+1, тобто.

(5)

Помножимо обидві частини нерівності (4) на a+b. Оскільки, за умовою, то отримуємо таку справедливу нерівність:

. (6)

Щоб довести справедливість нерівності (5), достатньо показати, що

, (7)

або, що те саме,

. (8)

Нерівність (8) рівнозначна нерівності

. (9)

Якщо , то , і в лівій частині нерівності (9) маємо твір двох позитивних чисел. Якщо , то і в лівій частині нерівності (9) маємо добуток двох негативних чисел. В обох випадках нерівність (9) є справедливою.

Цим доведено, що із справедливості нерівності (1) при n=k випливає його справедливість за n=k+1.

Метод математичної індукції застосування до інших

завданням

Найбільш природне застосування методу математичної індукції в геометрії, близьке до використання цього методу теорії чисел і в алгебрі, - це застосування до вирішення геометричних завдань на обчислення. Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1.Обчислити сторону правильного - косинця, вписаного в коло радіусу R.

Рішення.

При n=2 правильний 2 n - косинець є квадрат; його сторона. Далі, згідно з формулою подвоєння

знаходимо, що сторона правильного восьмикутника сторона правильного шістнадцятикутника сторона правильного тридцятидвокутника . Можна припустити тому, що сторона правильного 2 n - косинця при будь-якому рівні

. (1)

Припустимо, що сторона правильного вписаного - косинця виражається формулою (1). У такому разі за формулою подвоєння

,

звідки випливає, що формула (1) справедлива за всіх n.

приклад 2.На скільки трикутників n-кутник (не обов'язково опуклий) може бути розбитий своїми діагоналями, що не перетинаються?

Рішення.

Для трикутника це число дорівнює одиниці (у трикутнику не можна провести жодної діагоналі); для чотирикутника це число одно, очевидно, двом.

Припустимо, що ми вже знаємо, що кожен k-кутник, де k 1 А 2 …А n трикутники.

А n

А 1 А 2

Нехай А 1 А k – одна з діагоналей цього розбиття; вона ділить n-кутник А 1 А 2 …А n на k-кутник A 1 A 2 … Ak і (n-k+2)-кутник А 1 А k Ak +1 …A n . У силу зробленого припущення, загальна кількість трикутників розбиття буде рівна

(k-2)+[(n-k+2)-2]=n-2;

цим наше твердження доведено всім n.

приклад 3.Вказати правило обчислення числа P(n) способів, якими опуклий n-кутник може бути розбитий на трикутники діагоналі, що не перетинаються.

Рішення.

Для трикутника це число одно, очевидно, одиниці: P(3)=1.

Припустимо, ми вже визначили числа P(k) всім k 1 А 2 …А n . При кожному розбитті його на трикутники сторона А 1 А 2 буде стороною одного з трикутників розбиття, третя вершина цього трикутника може збігтися з кожною з точок А 3, А 4, …, А n . Число способів розбиття n-кутника, при яких ця вершина збігається з точкою А 3 , дорівнює кількості способів розбиття на трикутники (n-1)-кутника А 1 А 3 А 4 …А n , тобто. одно P(n-1). Число способів розбиття, при яких ця вершина збігається з А 4 , дорівнює кількості способів розбиття (n-2)-кутника А 1 А 4 А 5 …А n , тобто. дорівнює P(n-2)=P(n-2)P(3); число способів розбиття, за яких вона збігається з А 5 , дорівнює P(n-3)P(4), так як кожне з розбиття (n-3)-кутника А 1 А 5 …А n можна комбінувати при цьому з кожним із розбиття чотирикутника А 2 А 3 А 4 А 5 , і т.д. Таким чином, ми приходимо до наступного співвідношення:

P(n)=P(n-1)+P(n-2)P(3)+P(n-3)P(4)+…+P(3)P(n-2)+P(n -1).

За допомогою цієї формули послідовно отримуємо:

P(4)=P(3)+P(3)=2,

P(5)=P(4)+P(3)P(3)+P(4)+5,

P(6)=P(5)+P(4)P(3)+P(3)P(4)+P(5)=14

і т.д.

Також за допомогою методу математичної індукції можна вирішувати завдання з графами.

Нехай на площині задана мережа ліній, які з'єднують між собою якісь точки і не мають інших точок. Таку мережу ліній ми називатимемо картою, задані точки її вершинами, відрізки кривих між двома суміжними вершинами - межами карти, частини площини, куди вона розбивається кордонами - країнами карти.

Нехай на площині задано деяку карту. Ми говоритимемо, що вона правильно розфарбована, якщо кожну її країну зафарбовано певною фарбою, причому будь-які дві країни, які мають між собою спільний кордон, зафарбовані в різні кольори.

приклад 4.На площині дано n кіл. Довести, що при будь-якому розташуванні цих кіл утворювану ними карту можна правильно розфарбувати двома фарбами.

Рішення.

При n=1 наше твердження очевидне.

Припустимо, що наше твердження справедливе для будь-якої карти, утвореної n колами, і нехай на площині задано n+1 кіл. Видаливши одне з цих кіл, ми отримаємо карту, яку в силу зробленого припущення можна правильно розфарбувати двома фарбами, наприклад чорною та білою.

Лекція 6. Метод математичної індукції.

Нові знання в науці та житті здобуваються різними способами, але всі вони (якщо не заглиблюватися в деталі) поділяються на два види – перехід від загального до приватного та від приватного до загального. Перший – це дедукція, другий – індукція. Дедуктивні міркування - це те, що в математиці зазвичай називають логічними міркуваннями, і математичної науці дедукція є єдиним законним методом дослідження. Правила логічних міркувань були сформульовані два з половиною тисячоліття тому давньогрецьким вченим Арістотелем. Він створив повний список найпростіших правильних міркувань, силогізмів– «цеглинок» логіки, одночасно вказавши типові міркування, дуже схожі на правильні, проте неправильні (з такими «псевдологічними» міркуваннями ми часто зустрічаємось у ЗМІ).

Індукція (induction – латиною) наведення) наочно ілюструється відомою легендою про те, як Ісаак Ньютон сформулював закон всесвітнього тяжінняпісля того, як йому на голову впало яблуко. Ще приклад із фізики: у такому явищі, як електромагнітна індукція, електричне поле створює, «наводить» магнітне поле. «Ньютонове яблуко» – типовий приклад ситуації, коли один або кілька окремих випадків, тобто спостереження, «наводять» на загальне твердження, загальний висновок робиться на підставі окремих випадків. Індуктивний метод є основним для отримання загальних закономірностей і в природничих, і гуманітарних науках. Але він має вельми істотний недолік: на підставі приватних прикладів може бути зроблено неправильний висновок. Гіпотези, що виникають при приватних спостереженнях, який завжди є правильними. Розглянемо приклад, що належить Ейлер.

Обчислюватимемо значення тричлена при деяких перших значеннях n:

Зауважимо, що одержувані в результаті обчислень числа є простими. І безпосередньо можна переконатися, що для кожного nвід 1 до 39 значення багаточлена
є простим числом. Однак при n=40 отримуємо число 1681=41 2 яке не є простим. Таким чином, гіпотеза, яка тут могла виникнути, тобто гіпотеза про те, що за кожного nчисло
є простим, виявляється неправильним.

Лейбніц у 17 столітті довів, що при будь-якому цілому позитивному nчисло
ділиться на 3, число
ділиться на 5 і т.д. На підставі цього він припустив, що при кожному непарному kта будь-якому натуральному nчисло
ділиться на k, але незабаром сам помітив, що
не поділяється на 9.

Розглянуті приклади дозволяють зробити важливий висновок: твердження може бути справедливим у низці окремих випадків і в той же час несправедливим взагалі. Питання справедливості затвердження у випадку вдається вирішити у вигляді застосування особливого методу міркувань, званого методом математичної індукції(Повної індукції, досконалої індукції).

6.1. Принцип математичної індукції.

♦ В основі методу математичної індукції лежить принцип математичної індукції , що полягає в наступному:

1) перевіряється справедливість цього твердження дляn=1 (Базис індукції) ,

2) передбачається справедливість цього твердження дляn= k, деk- довільне натуральне число 1(Припущення індукції) , і з урахуванням цього припущення встановлюється справедливість дляn= k+1.

Доведення. Припустимо неприємне, тобто припустимо, що твердження справедливе не для будь-якого натурального n. Тоді існує таке натуральне m, що:

1) затвердження для n=mнесправедливо,

2) для кожного n, меншого m, твердження справедливе (іншими словами, mє перше натуральне число, котрим твердження несправедливо).

Очевидно, що m>1, т.к. для n=1 твердження справедливе (умова 1). Отже,
- натуральне число. Виходить, що для натурального числа
твердження справедливе, а для наступного натурального числа mвоно несправедливо. Це суперечить умові 2. ■

Зауважимо, що у доказі використовувалася аксіома у тому, що у будь-який сукупності натуральних чисел міститься найменше число.

Доказ, заснований на принципі математичної індукції, називається методом повної математичної індукції .

 приклад6.1. Довести, що за будь-якого натурального nчисло
ділиться на 3.

Рішення.

1) При n=1 , тому a 1 ділиться на 3 і затвердження справедливо при n=1.

2) Припустимо, що твердження справедливе при n=k,
, тобто що число
ділиться на 3, і встановимо, що за n=k 1 число ділиться на 3.

Справді,

Т.к. кожне доданок ділиться на 3, їх сума також ділиться на 3. ■ 

 приклад6.2. Довести, що сума перших nнатуральних непарних чисел дорівнює квадрату їх числа, тобто .

Рішення.Скористаємося методом повної математичної індукції.

1) Перевіряємо справедливість даного твердження при n=1: 1=1 2 – це правильно.

2) Припустимо, що сума перших k (
) непарних чисел дорівнює квадрату числа цих чисел, тобто . Виходячи з цієї рівності, встановимо, що сума перших k+1 непарних чисел дорівнює
, тобто .

Користуємося нашим припущенням та отримуємо

. ■ 

Метод повної математичної індукції застосовується докази деяких нерівностей. Доведемо нерівність Бернуллі.

 приклад6.3. Довести, що при
та будь-якому натуральному nсправедлива нерівність
(Нерівність Бернуллі).

Рішення. 1) При n=1 отримуємо
що вірно.

2) Припускаємо, що за n=kмає місце нерівність
(*). Використовуючи це припущення, доведемо, що
. Зазначимо, що за
ця нерівність виконується і тому достатньо розглянути випадок
.

Помножимо обидві частини нерівності (*) на число
та отримаємо:

Тобто (1+
.■ 

Доказ методом неповної математичної індукції деякого твердження, що залежить від n, де
проводиться аналогічним чином, але на початку встановлюється справедливість для найменшого значення n.

У деяких завданнях не сформульовано твердження, яке можна довести методом математичної індукції. У разі треба самим встановити закономірність і висловити гіпотезу про справедливість цієї закономірності, та був методом математичної індукції перевірити передбачувану гіпотезу.

 приклад6.4. Знайти суму
.

Рішення.Знайдемо суми S 1 , S 2 , S 3 . Маємо
,
,
. Висловлюємо гіпотезу, що за будь-якого натурального nсправедлива формула
. Для перевірки цієї гіпотези скористаємося методом повної математичної індукції.

1) При n=1 гіпотеза правильна, т.к.
.

2) Припустимо, що гіпотеза правильна при n=k,
, тобто
. Використовуючи цю формулу, встановимо, що гіпотеза вірна і при n=k+1, тобто

Справді,

Отже, виходячи з припущення, що гіпотеза вірна при n=k,
, доведено, що вона вірна і при n=k+1, і на підставі принципу математичної індукції робимо висновок, що формула справедлива за будь-якого натурального n. ■ 

 приклад6.5. У математиці доводиться, що сума двох рівномірно безперервних функцій є рівномірно безперервною функцією. Маючи це твердження, треба довести, що сума будь-якого числа
Поступово безперервних функцій є поступово безперервною функцією. Але оскільки ми ще не ввели поняття «рівномірно безперервна функція», поставимо завдання абстрактніше: нехай відомо, що сума двох функцій, що мають деяку властивість S, сама має властивість S. Доведемо, що сума будь-якого числа функцій має властивість S.

Рішення.Базис індукції тут міститься у самому формулюванні завдання. Зробивши припущення індукції, розглянемо
функцій f 1 , f 2 , …, f n , f n+1 , що мають властивість S. Тоді. У правій частині перший доданок має властивість Sза припущенням індукції, другий доданок має властивість Sза умовою. Отже, їх сума має властивість S– для двох доданків «працює» базис індукції.

Тим самим твердження доведене і використовуватимемо його далі. ■ 

 приклад6.6. Знайти усі натуральні n, для яких справедлива нерівність

.

Рішення.Розглянемо n=1, 2, 3, 4, 5, 6. Маємо: 2 1 >1 2 , 2 2 =2 2 , 2 3<3 2 , 2 4 =4 2 , 2 5 >5 2 , 2 6 >6 2 . Таким чином, можна висловити гіпотезу: нерівність
має місце для кожного
. Для підтвердження істинності цієї гіпотези скористаємося принципом неповної математичної індукції.

1) Як було встановлено вище, дана гіпотеза істинна при n=5.

2) Припустимо, що вона істинна для n=k,
, тобто справедлива нерівність
. Використовуючи це припущення, доведемо, що справедлива нерівність
.

Т. до.
і при
має місце нерівність

при
,

то отримуємо, що
. Отже, істинність гіпотези при n=k+1 випливає з припущення, що вона вірна при n=k,
.

З пп. 1 і 2 на підставі принципу неповної математичної індукції випливає, що нерівність
вірно при кожному натуральному
. ■ 

 приклад6.7. Довести, що для будь-якого натурального числа nсправедлива формула диференціювання
.

Рішення.При n=1 дана формула має вигляд
, або 1 = 1, тобто вона вірна. Зробивши припущення індукції, матимемо:

що й потрібно було довести. ■ 

 приклад6.8. Довести, що безліч, що складається з nелементів, має підмножин.

Рішення.Безліч, що складається з одного елемента амає два підмножини. Це вірно, оскільки всі його підмножини – порожня множина і сама ця множина, і 2 1 =2.

Припустимо, що всяка множина з nелементів має підмножин. Якщо безліч А складається з n+1 елементів, то фіксуємо в ньому один елемент - позначимо його d, і розіб'ємо всі підмножини на два класи – не містять dта містять d. Усі підмножини з першого класу є підмножинами множини, що виходить з А викиданням елемента d.

Безліч В складається з nелементів, і тому, на думку індукції, у нього підмножин, так що в першому класі підмножин.

Але в другому класі підмножин стільки ж: кожна з них виходить рівно з одного підмножини першого класу додаванням елемента d. Отже, всього у множини А
підмножин.

Тим самим було твердження доведено. Зазначимо, що воно справедливе і для множини, що складається з 0 елементів - порожньої множини: воно має єдине підмножина - самого себе, і 20 = 1. ■ 

Справжнє знання у всі часи ґрунтувалося на встановленні закономірності та доказі її правдивості у певних обставинах. За тривалий термін існування логічних міркувань було дано формулювання правил, а Аристотель навіть склав список «правильних міркувань». Історично прийнято ділити всі висновки на два типи - від конкретного до множинного (індукція) і навпаки (дедукція). Слід зазначити, що типи доказів від приватного до загального та від загального до приватного існують лише у взаємозв'язку та не можуть бути взаємозамінними.

Індукція у математиці

Термін "індукція" (induction) має латинське коріння і дослівно перекладається як "наведення". При пильному вивченні можна виділити структуру слова, саме латинську приставку - in- (позначає спрямоване дію всередину чи перебування усередині) і -duction - вступ. Слід зазначити, що є два види - повна і неповна індукції. Повну формухарактеризують висновки, зроблені виходячи з вивчення всіх предметів деякого класу.

Неповну - висновки, що застосовуються до всіх предметів класу, але зроблені виходячи з вивчення лише деяких одиниць.

Повна математична індукція - висновок, що базується на загальному висновку про весь клас будь-яких предметів, функціонально пов'язаних відносинами натурального ряду чисел на підставі знання цього функціонального зв'язку. При цьому процес доказу проходить у три етапи:

• У першому доводиться правильність становища математичної індукції. Приклад: f = 1 індукції;
• Наступний етап будується на припущенні про правомірність становища всім натуральних чисел. Тобто f=h це припущення індукції;
• на етапі доводиться справедливість становища для числа f=h+1, виходячи з вірності становища попереднього пункту - це індукційний перехід, чи крок математичної індукції. Прикладом може бути так званий якщо падає перша кісточка в ряду (базис), то впадуть усі кісточки в ряду (перехід).

І жартома, і всерйоз

Для простоти сприйняття приклади рішення методом математичної індукції викривають форму завдань-жартів. Таким є завдання «Ввічлива черга»:

• Правила поведінки забороняють чоловікові займати чергу перед жінкою (у такій ситуації її пропускають уперед). Виходячи з цього твердження, якщо крайній у черзі – чоловік, то й усі інші – чоловіки.

Яскравим прикладом методу математичної індукції є завдання «Безрозмірний рейс»:

• Потрібно довести, що у маршрутку міститься будь-яка чисельність людей. Правдиво твердження, що одна людина може розміститися всередині транспорту без утруднень (базис). Але як би не була заповнена маршрутка, 1 пасажир завжди поміститься (крок індукції).

Знайомі кола

Приклади розв'язання методом математичної індукції завдань та рівнянь трапляються досить часто. Як ілюстрацію такого підходу можна розглянути таке завдання.

Умова: на площині розміщено h кіл. Потрібно довести, що за будь-якого розташування фігур утворена ними карта може бути правильно розфарбована двома фарбами.

Рішення: при h=1 істинність твердження очевидна, тому доказ будуватиметься кількості кіл h+1.

Приймемо припущення, що твердження достовірне для будь-якої карти, а на площині задано h+1 кіл. Видаливши з загальної кількостіодну з кіл, можна отримати правильно розфарбовану двома фарбами (чорною та білою) карту.

При відновленні віддаленого кола змінюється колір кожної області на протилежний (у цьому випадку всередині кола). Виходить карта, правильно розфарбована двома квітами, що потрібно було довести.

Приклади з натуральними числами

Нижче показано застосування методу математичної індукції.

Приклади рішення:

Довести, що за будь-якого h правильною буде рівність:

1 2 +2 2 +3 2 +…+h 2 =h(h+1)(2h+1)/6.

1. Нехай h=1, отже:

R 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1

З цього випливає, що за h=1 твердження правильно.

2. При припущенні, що h = d, виходить рівняння:

R 1 =d 2 =d(d+1)(2d+1)/6=1

3. При припущенні, що h=d+1, виходить:

R d+1 =(d+1) (d+2) (2d+3)/6

R d+1 = 1 2 +2 2 +3 2 +…+d 2 +(d+1) 2 = d(d+1)(2d+1)/6+ (d+1) 2 =(d( d+1)(2d+1)+6(d+1) 2)/6=(d+1)(d(2d+1)+6(k+1))/6=

(d+1)(2d 2 +7d+6)/6=(d+1)(2(d+3/2)(d+2))/6=(d+1)(d+2)( 2d+3)/6.

Отже, справедливість рівності при h=d+1 доведено, тому твердження правильне для будь-якого натурального числа, як показано з прикладу рішення математичної індукцією.

Завдання

Умова: потрібен доказ того, що при будь-якому значенні h вираз 7 h -1 ділимо на 6 без залишку.

Рішення:

1. Припустимо, h=1, у разі:

R 1 =7 1 -1=6 (тобто. ділиться на 6 без залишку)

Отже, за h=1 твердження є справедливим;

2. Нехай h=d та 7 d -1 ділиться на 6 без залишку;

3. Доказом справедливості затвердження h=d+1 є формула:

R d +1 =7 d +1 -1=7∙7 d -7+6=7(7 d -1)+6

У даному випадкуперший доданок ділиться на 6 за допущенням першого пункту, а другий доданок дорівнює 6. Твердження про те, що 7 h -1 ділимо на 6 без залишку при будь-якому натуральному h - справедливо.

Помилковість суджень

Часто в доказах використовують невірні міркування, через неточність логічних побудов, що використовуються. В основному це відбувається за порушення структури та логіки доказу. Прикладом невірного міркування може бути така ілюстрація.

Завдання

Умова: потрібен доказ того, що будь-яка купа каміння - не є купкою.

Рішення:

1. Припустимо, h=1, у разі в купці 1 камінь і твердження вірно (базис);

2. Нехай при h=d вірно, що купа каміння - не є купкою (припущення);

3. Нехай h=d+1, з чого випливає, що при додаванні ще одного каменю безліч не буде купкою. Напрошується висновок, що припущення справедливе за всіх натуральних h.

Помилка полягає в тому, що немає визначення, скільки каменів утворює купку. Таке недогляд називається поспішним узагальненням у методі математичної індукції. Приклад це ясно показує.

Індукція та закони логіки

Історично склалося так, що завжди "крочать пліч-о-пліч". Такі наукові дисциплінияк логіка, філософія описують їх як протилежностей.

З погляду закону логіки в індуктивних визначеннях проглядається опора на факти, а правдивість посилок не визначає правильність твердження, що вийшло. Найчастіше виходять висновки з певною часткою ймовірності та правдоподібності, які, природно, мають бути перевірені та підтверджені додатковими дослідженнями. Прикладом індукції у логіці може бути твердження:

В Естонії – посуха, у Латвії – посуха, у Литві – посуха.

Естонія, Латвія та Литва – прибалтійські держави. В усіх прибалтійських державах посуха.

З прикладу можна зробити висновок, що нову інформацію або істину не можна отримати за допомогою методу індукції. Все, на що можна розраховувати, - це певна можлива правдивість висновків. Причому, істинність посилок не гарантує таких висновків. Однак цей факт не означає, що індукція живе на задвірках дедукції: безліч положень та наукових законів обґрунтовуються за допомогою методу індукції. Прикладом може бути та сама математика, біологія та інші науки. Пов'язано це здебільшого з методом повної індукції, але в деяких випадках застосовна і часткова.

Поважний вік індукції дозволив їй проникнути практично у всі сфери діяльності людини - це і наука, і економіка, і життєві висновки.

Індукція у науковому середовищі

Метод індукції вимагає педантичного ставлення, оскільки занадто багато залежить від кількості вивчених деталей цілого: чим більше вивчено, тим достовірніший результат. Виходячи з цієї особливості, наукові закони, отримані методом індукції, досить довго перевіряються на рівні ймовірнісних припущень для відокремлення та вивчення всіх можливих структурних елементів, зв'язків та впливів.

У науці індукційний висновокґрунтується на значних ознаках, за винятком випадкових положень. Цей факт важливий у зв'язку зі специфікою наукового пізнання. Це добре видно з прикладів індукції у науці.

Розрізняють два види індукції в науковому світі(у зв'язку зі способом вивчення):

1. індукція-відбір (або селекція);
2. індукція – виняток (елімінація).

Перший вид відрізняється методичним (скрупульозним) відбором зразків класу (підкласів) із різних його областей.

Приклад індукції цього виду є наступним: срібло (або солі срібла) очищає воду. Висновок ґрунтується на багаторічних спостереженнях (своєрідний відбір підтверджень та спростування - селекція).

Другий вид індукції будується на висновках, що встановлюють причинні зв'язкита виключають обставини, що не відповідають її властивостям, а саме загальність, дотримання тимчасової послідовності, необхідність та однозначність.

Індукція та дедукція з позиції філософії

Якщо поглянути на історичну ретроспективу, термін "індукція" вперше був згаданий Сократом. Аристотель описував приклади індукції у філософії у наближеному термінологічному словнику, але питання неповної індукції залишається відкритим. Після гонінь на арістотелівський силогізм індуктивний метод став визнаватись плідним і єдино можливим у природознавстві. Батьком індукції як самостійного особливого методу вважають Бекона, проте йому не вдалося відокремити, як цього вимагали сучасники, індукцію від дедуктивного методу.

Подальшою розробкою індукції займався Дж. Мілль, який розглядав індукційну теорію з позиції чотирьох основних методів: згоди, відмінності, залишків та відповідних змін. Не дивно, що на сьогоднішній день ці методи при їх детальному розгляді є дедуктивними.

Усвідомлення неспроможності теорій Бекона та Мілля призвело вчених до дослідження імовірнісної основи індукції. Однак і тут не обійшлося без крайнощів: були спроби звести індукцію до теорії ймовірності з усіма наслідками.

Вотум довіри індукція отримує у практичному застосуванніу певних предметних областях та завдяки метричній точності індуктивної основи. Прикладом індукції та дедукції у філософії вважатимуться Закон всесвітнього тяжіння. На дату відкриття закону Ньютону вдалося перевірити його з точністю 4 відсотки. А при перевірці більш ніж через двісті років правильність була підтверджена з точністю до 0,0001 відсотка, хоча перевірка велася тими ж індуктивними узагальненнями.

Сучасна філософія більше увагиприділяє дедукції, що продиктовано логічним бажанням вивести з уже відомого нові знання (або істини), не звертаючись до досвіду, інтуїції, а оперуючи чистими міркуваннями. При зверненні до справжнім посилкам дедуктивному методі у всіх випадках на виході виходить справжнє твердження.

Ця дуже важлива характеристикане повинна затьмарювати цінність індуктивного методу. Оскільки індукція, спираючись на досягнення досвіду, стає засобом його обробки (включаючи узагальнення та систематизацію).

Застосування індукції економіки

Індукція та дедукція давно використовуються як методи дослідження економіки та прогнозування її розвитку.

Спектр використання методу індукції досить широкий: вивчення виконання прогнозних показників (прибутки, амортизація тощо) та Загальна оцінкастани підприємства; формування ефективної політики просування підприємства на основі фактів та їх взаємозв'язків.

Той самий метод індукції застосований в «картах Шухарта», де при припущенні про поділ процесів на керовані та некеровані стверджується, що рамки керованого процесу малорухливі.

Слід зазначити, що наукові закони обґрунтовуються та підтверджуються за допомогою методу індукції, а оскільки економіка є наукою, яка часто користується математичним аналізом, теорією ризиків та статистичними даними, то зовсім не дивно присутність індукції у списку основних методів.

Прикладом індукції та дедукції економіки може бути така ситуація. Збільшення ціни на продукти харчування (зі споживчого кошика) і товари першої необхідності підштовхують споживача до думки про дорожнечу, що виникає в державі (індукція). Разом з тим, з факту дорожнечі за допомогою математичних методівможна вивести показники зростання ціни окремі товари чи категорії товарів (дедукція).

Найчастіше звертається до методу індукції керуючий персонал, керівники, економісти. Для того, щоб можна було з достатньою правдивістю прогнозувати розвиток підприємства, поведінку ринку, наслідки конкуренції, необхідний індукційно-дедуктивний підхід до аналізу та обробки інформації.

Наочний приклад індукції економіки, що відноситься до помилкових міркувань:

• прибуток компанії скоротився на 30%;
  конкуруюча компанія розширила лінійку продукції;
  більше нічого не змінилося;
• виробнича політика конкуруючої компанії спричинила скорочення прибутку на 30%;
• отже, потрібно запровадити таку ж виробничу політику.

Приклад є яскравою ілюстрацією того, як невміле використання методу індукції сприяє розоренню підприємства.

Дедукція та індукція у психології

Оскільки існує метод, то, за логікою речей, має місце належним чином організоване мислення (для використання методу). Психологія як наука, що вивчає психічні процеси, їх формування, розвиток, взаємозв'язки, взаємодії, приділяє увагу «дедуктивному» мисленню як однієї з форм прояву дедукції та індукції. На жаль, на сторінках психології в мережі Інтернет практично немає обґрунтування цілісності дедуктивно-індуктивного методу. Хоча професійні психологи частіше стикаються з проявами індукції, а точніше – хибними висновками.

Прикладом індукції в психології, як ілюстрації помилкових суджень, може бути висловлювання: моя мати - дурить, отже, всі жінки - дурниці. Ще більше можна почерпнути «помилкових» прикладів індукції з життя:

• учень ні на що не здатний, якщо отримав двійку з математики;
• він - дурень;
• він розумний;
• я можу все;

І багато інших оціночних суджень, виведених на абсолютно випадкових і часом малозначних посиланнях.

Слід зазначити: коли хибність суджень людини сягає абсурду, з'являється фронт роботи психотерапевта. Один із прикладів індукції на прийомі у фахівця:

«Пацієнт абсолютно впевнений у тому, що червоний колір несе для нього лише небезпеку у будь-яких проявах. Як наслідок, людина виключила зі свого життя цю кольорову гаму – наскільки це можливо. У домашній обстановці можливостей для комфортного проживання багато. Можна відмовитись від усіх предметів червоного кольору або замінити їх на аналоги, виконані в інший колірній гамі. Але в громадських місцях, на роботі, у магазині – неможливо. Потрапляючи в ситуацію стресу, пацієнт щоразу відчуває «приплив» абсолютно різних емоційних станів, що може становити небезпеку для оточуючих».

Цей приклад індукції, причому несвідомої, називається «фіксовані ідеї». Якщо таке відбувається з психічно здоровою людиною, можна говорити про нестачу організованості розумової діяльності. Способом позбавлення нав'язливих станів може стати елементарний розвиток дедуктивного мислення. В інших випадках із такими пацієнтами працюють психіатри.

Наведені приклади індукції свідчать, що «незнання закону не звільняє від наслідків (хибних суджень)».

Психологи, працюючи над темою дедуктивного мислення, склали список рекомендацій, покликаний допомогти людям освоїти цей метод.

Першим пунктом є вирішення завдань. Як можна було переконатися, та форма індукції, яка вживається в математиці, може вважатися "класичною", і використання цього способу сприяє "дисциплінованості" розуму.

Наступною умовою розвитку дедуктивного мислення є розширення світогляду (хто ясно мислить, той ясно викладає). Ця рекомендаціянаправляє «стражденних» у скарбниці наук та інформації (бібліотеки, сайти, освітні ініціативи, подорожі тощо).

Окремо слід згадати про так звану «психологічну індукцію». Цей термін, хоч і нечасто, можна зустріти на просторах інтернету. Усі джерела не дають хоча б коротке формулювання визначення цього терміну, але посилаються на «приклади з життя», при цьому видаючи за новий видіндукції то сугестію, то деякі форми психічних захворюваньто крайні стани психіки людини. З усього перерахованого зрозуміло, що спроба вивести новий термін», спираючись на помилкові (найчастіше не відповідні дійсності) посилки, прирікає експериментатора отримання помилкового (чи поспішного) твердження.

Слід зазначити, що посилання до експериментів 1960 року (без вказівки місця проведення, прізвищ експериментаторів, вибірки піддослідних і найголовніше - цілі експерименту) виглядає, м'яко кажучи, непереконливо, а твердження про те, що мозок сприймає інформацію, минаючи всі органи сприйняття (фраза «зазнає впливу» в даному випадку вписалася б органічніше), змушує замислитися над легковірністю і некритичністю автора висловлювання.

Замість ув'язнення

Цариця наук - математика, недаремно використовує всі можливі резерви методу індукції та дедукції. Розглянуті приклади дозволяють зробити висновок про те, що поверхневе та невміле (бездумне, як ще кажуть) застосування навіть найточніших і найнадійніших методів призводить завжди до помилкових результатів.

У масовій свідомостіМетод дедукції асоціюється зі знаменитим Шерлоком Холмсом, який у своїх логічних побудовах найчастіше використовує приклади індукції, у потрібних ситуаціях користуючись дедукцією.

У статті були розглянуті приклади застосування цих методів у різних наукахта сферах життєдіяльності людини.