Скорочення кандидат сільськогосподарських наук. Офіційні скорочення вчених ступенів. Процедура захисту дисертації

Транскрипт

1 Умови Коші-Рімана.) Перевірити виконання умов Коші-Рімана для функції w zi e. Функція, що має похідну в точці z називається диференційованої в цій точці. Умови Коші - Рімана (Даламбера - Ейлера, Ейлера - Даламбера): w f z u, iv, то в кожній точці диференційованості функції f z Якщо z i виконуються рівності, u v u v Запишемо цю функцію в алгебраїчній формі, вважаючи z i e e e i i isin e cos ie sin Виділимо дійсну u і уявну частину функції w: u, e cos v, e sin Обчислюємо приватні похідні: u cos e e cos e sin e cos u e cos e sin e sin e sin - умови Коші-Рімана виконуються. Література:) Гусак А.А. "Теорія функцій комплексної змінної та операційне обчислення", 00, стор 59 (приклад 9), стор 0 (приклад);) Письмовий Д.Т. "Конспект лекцій з вищої математики", 006, стор 530, стор (умови Ейлера-Даламбера, аналітичність функції).) Перевірити виконання умов Коші-Рімана для функції w z 4iz. Запишемо цю функцію в формі алгебри, вважаючи z i: w i 4i i i 4 i i

2 Виділимо дійсну u і уявну частину функції w: u, 4 v, 4 Обчислюємо приватні похідні: u 4 v 4 u 4 4 v умови Коші-Рімана виконуються. 3) Перевірити виконання умов Коші-Рімана для функції sin iz. Висловимо тригонометричну функцію sin z через показову: iz iz e e sin z i і візьмемо до уваги, що z i : e e i e e Дійсна та уявна частини числа u iv: u, sin e e, cos v e e

3 Обчислюємо приватні похідні: u sin e e e e v cos e e sin e e sin e e і u sin cos e e e e cos cos e e e e v Як бачимо, умови Коші-Рімана u v u v sin iz виконуються. для функції 4) Користуючись умовами Коші-Рімана, перевірити, чи буде аналітичною функція w f z: Функція wsin z3 z. w f z називається аналітичною в точці z, якщо вона диференційована як у самій точці z, так і в деякій її околиці. Функція w f z, що диференціюється в кожній точці деякої області D, називається аналітичною функцією в цій галузі. Умови Коші – Рімана (Даламбера – Ейлера, Ейлера – Даламбера): Якщо z i w f z u, iv, то в кожній точці диференційності функції f z виконуються рівності u v u v,. Запишемо цю функцію в алгебраїчній формі, вважаючи z i: i 3 i w sin ii e e 3i3 i i i e e 3i3 i i e e e e e 3i3

3 cos e e e i e e sin 3i3 i cos e e e e e sin 3i3 e e sin i e e cos 3i3 e e sin 3i e e cos 3 ch sin 3 sh i cos 3 Формули, використані в перетвореннях: iz e e e дійсну і уявну частини w z u, i v, u, chsin 3 v, shcos3: Обчислюємо приватні похідні: u ch sin 3 ch cos3 v sh cos3 ch cos3 u ch sin 3 sh sin sh cos 3 sh , виконані; отже, функція sin w f z3 є аналітичною. 4

5 5) Довести аналітичність функції і знайти похідну: z z e w e Запишемо цю функцію в алгебраїчній формі, вважаючи z i: i i e e w e cos sin Виділимо дійсну та уявну частини w z u, i v, u, chcos v, shsin Обчислюємо приватні похідні: u ch cos sh cos sh sin sh cos u ch cos ch sin sh sin ch sin: Умови Коші-Рімана u v u v, виконані; отже, функція w f z e z e z є аналітичною. Для будь-якої аналітичної функції f z u, i v, приватні похідні функцій u u, і v v : похідна f u v v u u u v f z i i i i Обчислюємо похідну функції похідні функцій u, і v, : z виражається через f z , використовуючи вираз похідної функції

6 або безпосередньо: z e e e z z z e e e e e z i i i i e e e e e e e cos isin e cosisin e cos isin e cos isin cos e e i e e e e e e e cos e sin sh cos is sn i 6) Подати . Перевірити, чи буде вона аналітичною, якщо так, то знайти похідну в точці z0 6. Виділимо в даному числі в явному вигляді дійсну u, і уявну частини, e ep ep отримано комплексне число в формі алгебри запису. Re w u, e cos Im w v, e sin Для будь-якої аналітичної функції f z u e v sin e cos e Оскільки умови Коші-Рімана виконуються (u v, u v) для всіх точок площини O, функція, що досліджується, є аналітичною на всій площині, і її похідна 6

7 u v w z i e e sin cos 6 6 w zesin iecos e 3 ie 3 3 У точці z0 i0: Література:) Гусак А.А. "Теорія функцій комплексної змінної та операційне обчислення", 00, стор 59 (приклад 9), стор 0 (приклад). Обчислити значення функції. 7) Обчислити значення функції комплексного змінного w cos z у точці z0 i. e Для будь-якого z C: cos z iz e iz Тоді ii ii i i i i e e e e e e e e wicosi e cos isin e cos isin cos e e isin e e e e e e cos i sin ch cos i sh sin Відповідь: i cos ch cos ish sin Література. "Теорія функцій комплексної змінної", 009, том 0, вид. МГТУ, стор 06;) Лунц Г.Л., Ельсгольц Л.Е. "Функції комплексного змінного", 00, стр) Обчислити значення функції комплексного змінного w th z у точці z 0 ln 3 в формі алгебри. z z e e Для будь-якого z C: th z z z e e Значить i 3 3 3 4 3

8 i i 9cos isin cos isin 9e 4 e i i 9e 4 e 4 9cos isin cos isin i i 9 i i 9 i i 9 i i 9 i9 i 8 i0 45i 9 i9 i 0 i 8 5 4i 4 5i5 4i 0 5i6i0 4 обчислення в формі алгебри. 9) Обчислити значення функції комплексного змінного Ln z точці z 0. Вказати головне значення функції. Головним значенням логарифму числа z називають значення, що відповідає головному значенню аргументу числа z ; тобто. головне значення логарифму отримаємо при k 0: Модуль і аргумент числа z0 0 i: z 0 arg z 0 Отже Ln ln i k 0k i kz - значення функції комплексного змінного в точці z 0, записані в формі алгебри. (логарифмічна функція Ln z є багатозначною) Головне значення логарифму числа z ln 0 i 8

9 0) Обчислити значення функції комплексного змінного i z у точці z i 0. За будь-яких, w z C: w z z Ln w e. i iln i iln i iarg i ki i e e, kz Модуль і аргумент числа w i: i arg iarctg 4 - значення функції комплексного змінного z у точці z0 i, записані в тригонометричній формі (функція багатозначна).) Обчислити значення функції комплексного змінного arcctg z у точці z0 i, відповідь записати в формі алгебри. iz i Arcctg z Ln z i Ln z ln z iarg z k, kz (при k 0 отримуємо головне значення логарифму ln z ln z i arg z) z0 i ii i3i i3i3 5iarctg k, kz 5 і z0 i ln ln 5 i arctg z i 0 i arcctg z0 ln 5 iarcg t arctg i ln 5 0, 3 i 0, 40 4 (головне значення Arcctg i) 9

10) Обчислити значення функції комплексного змінного arccos z у точці z0 i, відповідь записати в формі алгебри. Arccos z iln z z Ln z ln z i arg z k, kz При k 0 отримуємо головне значення логарифму ln z ln z i arg z та головне значення арккосинусу arccos z arg z z iln z z Квадратний коріньіз комплексного числа дає два значення; для головного значення функції вибираємо одне, аргумент якого потрапляє у проміжок 0;. У цьому випадку: arccos ln ln iln i i Корінь із числа i i i i i i i набуває двох значень. Знайдемо їх: cos arctg i sin arctg i arctg k arctg k i 5 cos isin 4 arctg arctg 5cos isin, k 0 i 4 arctg arctg 5 cos i sin, k cos Використовуючи формули cos cosarctg 5, отримаємо: cos і sin, і приймаючи увагу, що arctg 5 5 cos 0 arctg 5 5 sin 0 і тоді i, k 0 i, k i i, k i, k 0 0 0

11 і 5 5 i, k 0 i i 5 5 i, k З двох значень вибираємо другий, т.к. його аргумент потрапляє у проміжок 0;. Отже, i i 5 i arccos 5 5 i ln 5 arctg 5 5 5, 7 i 0, 59 5 (головне значення Arccos i) Література:) Морозова В.Д . "Теорія функцій комплексної змінної", 009, том 0, вид. МГТУ, стор 06;) Лунц Г.Л., Ельсгольц Л.Е. "Функції комплексного змінного", 00, стор. 40.

Комплексним числом називається вираз виду x y (алгебраїчна форма комплексного числа), де x, y R; x Re – дійсна частина комплексного числа; y Im - уявна частина комплексного числа; - уявна

Тема 11 Базові відомостіз теорії комплексних чисел Комплексне число - упорядкована пара дійсних чисел записана у формі де i - "уявна одиниця" для якої i = -1; - дійсна частина

Комплексні числа. Багаточлени. Комплексні числа. 1. Основні визначення та формули для вирішення задач Комплексним числом в формі алгебри називається вираз виду = x + y, де x і y - дійсні

1. Основні поняття функцій комплексного змінного Основні поняття, пов'язані з функцією комплексного змінного, знаходяться так само, як і в дійсній області. Нехай задані дві множини комплексних

Санкт-Петербурзький державний університет Кафедра математичного аналізу МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до проведення практичних занять з теорії функцій комплексної змінної частини 1 Початкові глави

Методичні вказівкиДо контрольної роботи з математики Тема 1. Функції комплексної змінної Дамо визначення функції комплексної змінної. Визначення. Кажуть що на безлічі D точок комплексної

Варіант Завдання Обчислити значення функції відповідь дати в формі алгебри: а sh ; б l Рішення а Скористаємося формулою зв'язку між тригонометричним синусомта гіперболічним синусом: ; sh -s Отримаємо

Варіант Завдання Обчислити значення функції (відповідь дати в формі алгебри: а th(; б L(sh(/ Рішення а Виразимо тангенс через синус і косинус): th(Застосуємо ch(/ формули для синуса різниці і косинуса)

Міністерство освіти та науки Російської ФедераціїРОСІЙСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ НАФТИ І ГАЗУ імені ЇМ ГУБКІНА ІН Мельникова, АЛЕ Фастовець ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО ОПЕРАЦІЙНЕ

Тема.Компексні числа та функції. Визначення комплексного числа, форма алгебри комплексного числа. Речова та уявна частини комплексного числа. Операції складання та множення комплексних чисел.

Комплексний аналіз Функції комплексного змінного Микита Олександрович Євсєєв Фізичний факультет Новосибірського державного університетуКитайсько-російський інститут Хейлунцзянського університету

Теми: Найменування розділу, теми Всього аудиторних годин Лекції, годинник Практичні заняття, годинники 1 2 3 4 Тема 1. Аналітична геометрія та лінійна алгебра 68 34 34 Тема 2. Введення в математичний аналіз

В. Д. Михайлов Функції комплексної змінної у прикладах та задачах 04 УДК 57.5 ББК.6 М69 Михайлов В.Д. Функції комплексної змінної у прикладах та завданнях: Навчальний посібник. СПб., 04. 30 с. Навчальний посібник

Стор. 1 із 14 2-е заняття. Показова форма комплексного числа Матем. аналіз, дод. матем., 4-й семестр A1 Знайти модулі та аргументи наступних комплексних чисел та записати ці числа у формі z = ρe iϕ,

МІНОБРНАУКИ РОСІЇ Федеральне державне бюджетне освітня установавищого професійної освіти"Тульський державний університет" Інститут високоточних систем імені В.П.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РФ АНГАРСЬКА ДЕРЖАВНА ТЕХНІЧНА АКАДЕМІЯ Мусєва ТН Свердлова ОЛ Туркіна НМ ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО Учбового

ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ ОПЕРАЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ В результаті вивчення даної теми студент повинен навчитися: знаходити тригонометричну та показову форми комплексного числа

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОПІДГОТОВКИ Комплексні числа та дії над ними Дані комплексні числа та Знайдіть:)))) 5) : а) б) Дане комплексне число запишіть:) у тригонометричній формі) у показовій формі

ВАРІАНТ ЗАВДАННЯ ВИЧИСЛИТИ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ (ВІДПОВІДЬ ДАТИ В АЛГЕБРАЇЧНІЙ ФОРМІ: а Arch; б РІШЕННЯ А БУДЕМО ВИЧИСЛЮВАТИ ARH ПО ФОРМУЛІ ZARCH ВИКОРИСТОВУЄМОСЯ

Варіант 9 Завдання Обчислити значення функції (відповідь дати в формі алгебри: а cos(; б l(Рішення а За формулою тригонометрії cos(-cos cos(s s(Скористаємося формулами зв'язку між тригонометричними)))

ФЕДЕРАЛЬНА АГЕНЦІЯ З ОСВІТИ ДЕРЖАВНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ прикладної математики

лекція.7. Розширення поняття числа. Комплексні числа, дії з них Анотація: У лекції вказується необхідність узагальнення поняття числа від натурального до комплексного. Вводяться алгебраїчна,

ВАРІАНТ ЗАВДАННЯ ВИЧИСЛИТИ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ ВІДПОВІДЬ В АЛГЕБРАЇЧНІЙ ФОРМІ: а Arch б РІШЕННЯ А БУДЕМО ВИЧИСЛЮВАТИ ARH ПО ФОРМУЛІ ? ЄМСЯ

лекція..3. Невизначений інтеграл Анотація: Невизначений інтеграл визначається як безліч першорядних функцій підінтегральної функції. Розглядаються властивості невизначеного інтегралу, наводиться

«знак дії» a+(-b)=a-b 1) Навіщо вводяться негативні числа? «знак кількості») Чому над ними чинять дії за такими правилами, а не за іншими? Чому при множенні та розподілі негативного

Практичне заняття Аналітичні функції Умови Коші-Рімана Похідна та диференціал функції комплексної змінної Умови Коші-Рімана 3 Геометричний зміст модуля та аргументу похідної 4 Конформне

Лекція 2 2.1 Послідовності комплексних чисел Комплексне число a називається межею послідовності комплексних чисел (z n ), якщо для будь-якого числа ε > 0 знайдеться такий номер n 0 n 0 (ε), що

Варіант Завдання Обчислити значення функції (відповідь дати в формі алгебри: а cos(; б l(Рішення а За формулою тригонометрії cos(cos cos(-s s(Скористаємося формулами зв'язку між тригонометричними)))

Федеральне агентство з освіти Державна освітня установа вищої професійної освіти "Уральський державний педагогічний університет" Математичний факультет Кафедра

Міністерство освіти і науки Російської Федерації Федеральна державна бюджетна освітня установа вищої професійної освіти «Комсомольський-на-Амурі державний технічний

МОСКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЦИВІЛЬНОЇ АВІАЦІЇ О.Г. Іларіонова, І.В. Платонова ВИЩА МАТЕМАТИКА Навчально- методичний посібникз виконання практичних завдань для студентів II

Поняття комплексного змінного Межа та безперервність комплексного змінного Нехай дано дві множини комплексних чисел D і Δ і кожному числу z D поставлено у відповідність число ω Δ яке позначається

Комплексний аналіз Приклади функцій комплексного змінного Микита Олександрович Євсєєв Фізичний факультет Новосибірського державного університету Китайсько-російський інститут Хейлунцзянського університету

лекція N34. Числові лави з комплексними членами. Ступінні рядиу комплексній області. Аналітичні функції. Зворотні функції..числові ряди з комплексними членами.....ступеневі ряди в комплексній області....

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНА ДЕРЖАВНА БЮДЖЕТНА ОСВІТАЛЬНА УСТАНОВА ВИЩОЇ ПРОФЕСІЙНОЇ ОСВІТИ «САМАРСЬКА ДЕРЖАВНА

Введення 1 Число записати в формі алгебри Знайти, Re, Im, arg, Arg = 5 + i 3 + i Рішення Помножимо і розділимо число на число, пов'язане до знаменника: 5 + i 3 + i = 5 + i) 3 i) 3 + i) 3 i) = 15

1 Комплексні функції 1.1 Комплексні числа Нагадаємо, що комплексні числа можна визначити як безліч упорядкованих пар дійсних чисел C = ((x, y) : x, y R), z = x + iy, де i уявна одиниця (i

Основні поняття 1 КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА Комплексним числом називається вираз виду i, де і дійсні числа, i уявна одиниця, яка задовольняє умову i 1 Число називається дійсною частиною комплексного

Лекція 3. Невизначений інтеграл. Первісна і невизначений інтегралУ диференційному обчисленнівирішується завдання: за цією функцією f() знайти її похідну (або диференціал). Інтегральне числення

ГЛАВА ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ Поняттяфункції комплексної змінної Безперервність фкп Визначення фкп багато в чому аналогічне визначенню фдп Кажуть, що на деякій безлічі комплексної

Функції Диференціювання функцій 1 Правила диференціювання Оскільки похідна функції визначається, як й у цій галузі, тобто. у вигляді межі, то, використовуючи це визначення та властивості меж,

Варіант Завдання Обчислити значення функції (відповідь дати в формі алгебри: а Arctg; б (Рішення а Взагалі Arctg arctg + kπ Знайдемо інші значення в комплексній + площині Обчислюватимемо Arctg за формулою

Функції кількох змінних Функції кількох змінних Екстремумфункції кількох змінних. Знаходження максимального та мінімального значення функції в замкнутої області Умовний екстремумКомплексні

БАНК ЗАВДАННЯ для вступних випробувань до магістратури (базова частина) Завдання квитка, 4 5 Розділи, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 6, 7, 8, 4, 5, 9 Кількість балів 5 б б 5 б Зміст Розділ Похідна, приватна

Лекція 5 Похідні основних елементарних функцій Анотація: Даються фізична та геометрична інтерпретації похідної функції однієї змінної Розглядаються приклади диференціювання функції та правила

Самостійна роботаЗавдання Визначити вид кривої, задану параметрично, і зобразити криву t t t 5 7 t t б) e e, 0 t π в) t t t 5 Відповіді замкнутий промінь y, 0, y, обхідний двічі, промінь зображений

СА Зотова, ВБ Світлична ПРАКТИЧНЕ КЕРІВНИЦТВО З ТЕОРІЇ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО МАТЕМАТИКА УДК 5 Рецензенти- дф-мн, проф Горяїнов ВВ до ф-мн, доц Кульков ВГ ЗГ

7 ПОКАЗНІ ТА ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ ТА НЕРАВЕНСТВА 7. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА ФОРМУЛИ. Рівності log a b та a b рівносильні при a > 0, a, b > 0. log. Основна логарифмічна тотожність: a a b b, a > 0,

Похідні основних елементарних функцій Похідна функції може бути знайдена за наступною схемою: аргументом х даємо прирощення для функції y знайдемо відповідне прирощення y y складемо відношення знаходимо

ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО ВИДАВНИЦТВО ТДТУ Міністерство освіти і науки Російської Федерації ГОУ ВПО «Тамбовський державний технічний університет» ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО Методичні

Питання для іспиту Питання для перевірки рівня навчання «ЗНАТИ» Основні поняття теорії рядів Критерій Коші збіжності числового ряду Необхідна ознака збіжності числових рядів Достатні ознаки

Федеральне агентство з освіти Державна освітня установа вищої професійної освіти Ухтинський державний технічний університет КОМПЛЕКСНІ ЧИСЛА Методичні вказівки

Комплексний аналіз Геометрія комплексних чисел Микита Олександрович Євсєєв Фізичний факультет Новосибірського державного університету 2015 Комплексний аналіз 1 / 31 Числова пряма R Комплексний

ВАРІАНТ ЗАДАЧА ВИЧИСЛИТИ ЗНАЧЕННЯ ФУНКЦІЇ (ВІДПОВІДЬ ДАТИ В АЛГЕБРАЇЧНІЙ ФОРМІ: s(; б) РІШЕННЯ А ПО ФОРМУЛІ ТРИГОНОМЕТРІЇ ЕСКИМИ І ГІПЕРБОЛИЧНИМИ

Світлична Ст Б., Агішева Д. К., Матвєєва Т. А., Зотова С. А. Спеціальні глави математики. Теорія функцій комплексного змінного Волгоград 0 м. Міністерство освіти і науки РФ Волзький політехнічний

ТИПІВНИЙ РОЗРАХУНОК «Теорія функцій комплексного змінного» Практичні завдання Завдання. Дано число с. Знайти з arg с і записати число з у тригонометричній та показовій формах:))))) 8 6) 7) 8) 9)

МІНІСТЕРСТВО УТВОРЕННЯ РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО Методичний посібник Упорядники: МДУлимжієв ЛІІНХЄЄВА ІБЮМІВ СЖЮМОВА Рецензія На методичний посібник з теорії функцій

Комплексні числа, функції та дії над ними y модуль R дійсна частина дійств число, yim уявна частина дійсне число iy алгебраїчна форма запису компл числа Головне значення аргументу

Тема: Похідна. Короткі теоретичні відомості. Таблиця похідних. (c) 0 (arcsin) () (arccos) (sin) cos (cos) sin (arctg) (tg) cos (arcctg) (ctg)

Математичний аналіз Розділ: Теорія функцій комплексного змінного Тема: Неалгебраїчні операції на C. Основні елементарні функції у C. Б.б. послідовності комплексних чисел Лектор Янущик О.В.

Тема. функція. Методи завдання. Неявна функція. Зворотня функція. Класифікація функцій Елементи теорії множин. Основні поняття Одним із основних понять сучасної математики є поняття множини.

Контрольна роботаУ проміжку між сесіями студенти мають провести самостійну підготовкуОпрацювати теоретичний матеріалз лекцій на тему «Функції кількох змінних» (Матеріал представлений

МИРЕА. Типовий розрахунок за математичного аналізу Контрольні завданняна тему Комплексні числа, ТФКП. Завдання 1. Розв'язати рівняння, множину рішенні зобразити на комплексній площині А) 4 i + 81i 0 Б)

ОПЕРАЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ Перетворення Лапласа і формула звернення Нехай у проміжку Діріхлі а саме: Інтеграл Фур'є (l l) а) обмежена на цьому відрізку; функція задовольняє умовам б) кусково-безперервна

Функції комплексного змінного Аналітичні функції Як і раніше, якщо це не обумовлено спеціально, ми маємо справу з однозначною функцією w = f(z). Визначення 1. Функція f(z) називається аналітичною

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ РФ АНГАРСЬКА ДЕРЖАВНА ТЕХНІЧНА АКАДЕМІЯ Іванова СВ, Євсєвлєєва ЛМ, Бикова ЛМ, Добриніна НН ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ ЗМІНИ І ОПЕРАЦІЇ

Функції комплексної змінної.
Диференціювання функцій комплексної змінної.

Ця стаття відкриває серію уроків, де я розгляну типові завдання, пов'язані з теорією функцій комплексної змінної. Для успішного освоєння прикладів необхідно мати базовими знаннямипро комплексні числа. З метою закріплення та повторення матеріалу достатньо відвідати сторінку. Також знадобляться навички знаходження приватних похідних другого порядку . Ось вони якісь, ці приватні похідні… навіть сам зараз трохи здивувався, наскільки часто зустрічаються…

Тема, яку ми починаємо розбирати, не є особливими складнощами, і в функціях комплексної змінної, в принципі, все зрозуміло і доступно. Головне, дотримуватись основного правила, яке виведено мною досвідченим шляхом. Читайте далі!

Поняття функції комплексної змінної

Спочатку освіжимо знання про шкільної функціїоднієї змінної:

Функція однієї змінної-це правило, за яким кожному значенню незалежної змінної (з області визначення) відповідає одне і тільки одне значення функції. Природно, «ікс» та «ігрок» – дійсні числа.

У комплексному випадку функціональна залежність визначається аналогічно:

Однозначна функція комплексної змінної- це правило, за яким кожному комплексномузначення незалежної змінної (з області визначення) відповідає одне і тільки одне комплекснезначення функції. Теоретично розглядаються також багатозначні та інші типи функцій, але для простоти я зупинюся однією визначенні.

Чим відрізняється функція комплексної змінної?

Головна відмінність: числа комплексні. Я не іронізую. Від таких питань нерідко впадають у ступор, наприкінці статті історію прикольну розповім. На уроці Комплексні числа для чайників ми розглядали комплексне число у вигляді. Бо зараз літера «зет» стала змінної, то її ми позначатимемо так: , у своїй «ікс» і «игрек» можуть приймати різні дійснізначення. Грубо кажучи, функція комплексної змінної залежить від змінних і , які набувають «звичайних» значень. З цього факту логічно випливає наступний пункт:

Функцію комплексної змінної можна записати у вигляді:
, де і – дві функції двох дійснихзмінних.

Функція називається дійсною частиноюфункції.
Функція називається уявною частиноюфункції.

Тобто, функція комплексної змінної залежить від двох дійсних функцій та . Щоб остаточно прояснити все розглянемо практичні приклади:

Приклад 1

Рішення:Незалежна змінна «зет», як пам'ятаєте, записується як , тому:

(1) У вихідну функцію підставили.

(2) Для першого доданку використовували формулу скороченого множення . У доданку – розкрили дужки.

(3) Акуратно звели у квадрат, не забуваючи, що

(4) Перегрупування доданків: спочатку переписуємо доданки , в яких немає уявної одиниці(перша група), потім доданки, де є (друга група). Слід зазначити, що перетасовувати доданки не обов'язково, і цей етап можна пропустити (фактично виконавши його усно).

(5) У другої групи виносимо за дужки.

В результаті наша функція виявилася у вигляді

Відповідь:
- дійсна частина функції.
- Уявна частина функції.

Що це вийшло за функції? Найбільш звичайні функції двох змінних, від яких можна знайти такі популярні приватні похідні . Без пощади знаходити будемо. Але трохи згодом.

Коротко алгоритм вирішеної задачі можна записати так: у вихідну функцію підставляємо, проводимо спрощення і ділимо всі складові на дві групи - без уявної одиниці (дійсна частина) і з уявною одиницею (уявна частина).

Приклад 2

Знайти дійсну та уявну частину функції

Це приклад для самостійного рішення. Перед тим як з шашками наголо кинутись у бій на комплексній площині, дозвольте дати самий важлива порадапо темі:

БУДЬТЕ УВАЖНІ!Уважним треба бути, звичайно, скрізь, але в комплексних числах слід бути уважним як ніколи! Пам'ятайте, що акуратно розкривайте дужки, нічого не втрачайте. За моїми спостереженнями найпоширенішою помилкою є втрата знака. Не поспішайте!

Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Тепер куб. Використовуючи формулу скороченого множення, виведемо:
.

Формули дуже зручно використовувати практично, оскільки вони значно прискорюють процес рішення.

Диференціювання функцій комплексної змінної.

У мене є дві новини: хороша та погана. Почну з гарної. Для функції комплексної змінної справедливі правила диференціювання та таблиця похідних елементарних функций. Таким чином, похідна береться так само, як і у випадку функції дійсної змінної .

Погана новина полягає в тому, що для багатьох функцій комплексної змінної похідної немає взагалі, і доводиться з'ясовувати, чи диференційованата чи інша функція. А «з'ясовувати», як чує ваше серце, пов'язане із додатковими заморочками.

Розглянемо функцію комплексної змінної. Для того щоб дана функціябула диференційована необхідно і достатньо:

1) Щоб існували приватні похідні першого порядку. Про ці позначення відразу забудьте, оскільки в теорії функції комплексного змінного традиційно використовується інший варіант запису: .

2) Щоб виконувалися так звані умови Коші-Рімана:

Тільки в цьому випадку буде похідна!

Приклад 3

Рішеннярозкладається на три послідовні етапи:

1) Знайдемо дійсну та уявну частину функції. Це завдання було розібрано у попередніх прикладах, тому запишу без коментарів:

Оскільки , то:

Таким чином:

- Уявна частина функції.

Зупинюся ще на одному технічному моменті: В якому порядкузаписувати доданки в дійсній та уявній частинах? Так, в принципі, не має значення. Наприклад, дійсну частину можна записати так: , А уявну – так: .

2) Перевіримо виконання умов Коші Рімана. Їх два.

Почнемо з перевірки умови. Знаходимо приватні похідні :

Таким чином, умова виконана.

Безперечно, приємна новина- Приватні похідні майже завжди дуже прості.

Перевіряємо виконання другої умови:

Вийшло одне й те саме, але з протилежними знаками, тобто умова також виконана.

Умови Коші-Рімана виконані, отже, функція диференційована.

3) Знайдемо похідну функції. Похідна теж дуже проста і знаходиться по звичайним правилам:

Уявна одиниця при диференціюванні вважається константою.

Відповідь: - дійсна частина, - Уявна частина.
Умови Коші-Рімана виконані.

Існують ще два способи знаходження похідної, вони звичайно застосовуються рідше, але інформація буде корисна для розуміння другого уроку – Як знайти функцію комплексної змінної?

Похідну можна знайти за формулою:

В даному випадку:

Таким чином

Потрібно вирішити зворотне завдання - в отриманому виразі потрібно вичленувати. Для того, щоб це зробити, необхідно до доданків і винести за дужку:

Зворотня діяВиконувати трохи важче, для перевірки завжди краще взяти вираз і на чернетці або усно розкрити назад дужки, переконавшись, що вийде саме

Дзеркальна формула для знаходження похідної:

В даному випадку: тому:

Приклад 4

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. У разі виконання умов Коші-Рімана знайти похідну функції.

Коротке рішення та зразок чистового оформленнянаприкінці уроку.

Чи завжди виконуються умови Коші-Рімана? Теоретично вони частіше не виконуються, аніж виконуються. Але в практичні прикладия не пригадаю випадку, щоб вони не виконувалися =) Таким чином, якщо у вас «не зійшлися» приватні похідні, то з дуже великою ймовірністю можна сказати, що ви десь припустилися помилки.

Ускладнимо наші функції:

Приклад 5

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. Обчислити

Рішення:Алгоритм рішення повністю зберігається, але в кінці додасться новий пункт: знаходження похідної в точці. Для куба потрібна формула вже виведена:

Визначимо дійсну та уявну частини цієї функції:

Увага та ще раз увага!

Оскільки , то:


Таким чином:
- дійсна частина функції;
- Уявна частина функції.

Перевірка другої умови:

Вийшло одне й те саме, але з протилежними знаками, тобто умова також виконана.

Умови Коші-Рімана виконані, отже, функція є диференційованою:

Обчислимо значення похідної у потрібній точці:

Відповідь:, , умови Коші-Рімана виконані,

Функції з кубами часто зустрічаються, тому приклад для закріплення:

Приклад 6

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. Обчислити.

Рішення та зразок чистового оформлення наприкінці уроку.

В теорії комплексного аналізувизначено та інші функції комплексного аргументу: експонента, синус, косинус тощо. Дані функції мають незвичайні і навіть химерні властивості – і це дійсно цікаво! Дуже хочеться розповісти, але тут, так уже вийшло, не довідник чи підручник, а решебник, тому я розгляну те саме завдання з деякими поширеними функціями.

Спочатку про так звані формулах Ейлера:

Для будь-кого дійсногочисла справедливі такі формули:

Також можете переписати в зошит як довідковий матеріал.

Строго кажучи, формула лише одна, але зазвичай для зручності пишуть і окремий випадокз мінусом у показнику. Параметр не повинен бути самотньою літерою, як може виступати складний вираз, функція, важливо лише, щоб вони приймали тільки дійснізначення. Власне, ми це побачимо прямо зараз:

Приклад 7

Знайти похідну.

Рішення:Генеральна лінія партії залишається непохитною – необхідно виділити дійсну та уявну частини функції. Наведу докладне рішення, і нижче закоментую кожен крок:

Оскільки , то:

(1) Підставляємо замість "зет".

(2) Після підстановки потрібно виділити дійсну та уявну частину спочатку у показникуекспонентів. Для цього розкриваємо дужки.

(3) Групуємо уявну частину показника, виносячи уявну одиницю за дужки.

(4) Використовуємо шкільну дію зі ступенями.

(5) Для множника використовуємо формулу Ейлера, при цьому.

(6) Розкриваємо дужки, в результаті:

- дійсна частина функції;
- Уявна частина функції.

Подальші діїстандартні, перевіримо виконання умов Коші-Рімана:

Приклад 9

Визначити дійсну та уявну частини функції . Перевірити виконання умов Коші-Рімана. Похідну, так і бути, знаходити не станемо.

Рішення:Алгоритм рішення дуже схожий на попередні два приклади, але є дуже важливі моментитому початковий етапя знову закоментую покроково:

Оскільки , то:

1) Підставляємо замість "зет".

(2) Спочатку виділяємо дійсну та уявну частину усередині синуса. З цією метою розкриваємо дужки.

(3) Використовуємо формулу, при цьому .

(4) Використовуємо парність гіперболічного косинуса: і непарність гіперболічного синуса: . Гіперболіки, хоч і не від цього світу, але багато в чому нагадують аналогічні тригонометричні функції.

В підсумку:
- дійсна частина функції;
- Уявна частина функції.

Увага!Знак «мінус» відноситься до уявної частини, і його в жодному разі не втрачаємо! Для наочної ілюстраціїотриманий результат можна переписати так:

Перевіримо виконання умов Коші-Рімана:

Умови Коші-Рімана виконані.

Відповідь:, , умови Коші-Рімана виконані.

З косинусом, пані та панове, знаємося самостійно:

Приклад 10

Визначити дійсну та уявну частини функції. Перевірити виконання умов Коші-Рімана.

Я спеціально підібрав приклади складніше, оскільки з чимось начебто все впораються, як із очищеним арахісом. Заодно увагу потренуєте! Горіхокол наприкінці уроку.

Ну і насамкінець розгляну ще один цікавий прикладколи комплексний аргумент знаходиться в знаменнику. Пару разів у практиці зустрічалося, розберемо щось просте. Ех, старію…

Приклад 11

Визначити дійсну та уявну частини функції. Перевірити виконання умов Коші-Рімана.

Рішення:Знову необхідно виділити дійсну та уявну частину функції.
Якщо то

Виникає питання, що робити, коли «зет» перебуває у знаменнику?

Все нехитро - допоможе стандартний прийом множення чисельника та знаменника на сполучене вираз, він уже застосовувався у прикладах уроку Комплексні числа для чайників . Згадуємо шкільну формулу. У знаменнику у нас вже є, значить, сполученим виразом буде. Таким чином, потрібно помножити чисельник і знаменник на: