Умовна оптимізація. Метод множників Лагранжа. Моделювання динамічних систем (метод Лагранжа та Bond graph approach)

• Tutorial

Всім доброго дня. У цій статті хочу показати один з графічних методівпобудови математичних моделейдля динамічних систем, який називається Бонд граф(«bond» – зв'язки, «graph» – граф). У російській літературі, описи даного методу, я знайшов лише у Навчальному посібнику Томського політехнічного університету, А.В. Воронін «МОДЕЛЮВАННЯ МЕХАТРОННИХ СИСТЕМ» 2008 р. Також показати класичний методчерез рівняння Лагранжа 2 роди.

Метод Лагранжа

Я не розписуватиму теорію, покажу етапи розрахунків і з невеликими коментарями. Особисто мені легше вчитися на прикладах, ніж 10 разів читати теорію. Як мені здалося, в російській літературі пояснення даного методу, та й взагалі математики чи фізики, дуже насичене складними формуламищо відповідно вимагає серйозного математичного бекграунду. Під час вивчення методу Лагранжа (навчаюся в Туринському політехнічному університеті, Італія), я вивчав російську літературу, щоб зіставити методики розрахунків, і мені було важко стежити за ходом вирішення даного методу. Навіть згадуючи курси з моделювання у «Харківському авіаційному інституті», виведення подібних методів було дуже громіздким, і ніхто не ускладнював себе у спробі розібратися в цьому питанні. Ось цьому я вирішив написати, методичку для побудови мат моделей по Лагранжу, як виявилося це зовсім не складно, достатньо знати як вважати похідні за часом і приватні похідні. Для моделей складніше ще додаються матриці повороту, але в них теж немає нічого складного.

Особливості методів моделювання:

• Ньютона-Ейлера: векторні рівняння, що базуються на динамічній рівновазі. сил (force)і моментів (moments)
• Лагранжа: скалярні рівняння, засновані на функціях стану пов'язаних з кінетичною та потенційною енергією (energies)
• Бонд-граф: метод заснований на перебігу потужності (power)між елементами системи

Почнемо з простого прикладу. Маса з пружиною та демпфером. Нехтуємо силою тяжіння.

Рис 1. Маса з пружиною та демпфером

Насамперед позначаємо:

• початкову системикоординат(НСК) або нерухому ск R0(i0,j0,k0). Де? Можна тицьнути пальцем у небо, але посмикавши кінчиками нейронів у мозку, проходить ідея поставити НСК на лінії руху тіла М1.
• системи координат для кожного тіла з масою(у нас М1 R1(i1,j1,k1)), орієнтація може бути довільною, але навіщо ускладнювати собі життя, ставимо з мінімальною відмінністю від НСК
• узагальнені координати q_i(Мінімальна кількість змінні якими можна описати рух), даному прикладіодна узагальнена координата, рух тільки вздовж осі j

Рис 2. Проставляємо системи координат та узагальнені координати

Рис 3. Позиція та швидкість тіла М1

Після знайдемо кінетичну (С) та потенційну (Р) енергії та дисипативну функцію (D) для демпфера за формулами:

Рис 4. Повна формулакінетичної енергії

У прикладі обертання немає, друга складова дорівнює 0.

Рис 5. Розрахунок кінетичної, потенційної енергії та дисипативної функції

Рівняння Лагранжа має такий вигляд:

Рис 6. Рівняння Лагранжа та Лагранжіан

Дельта W_iце віртуальна робота виконана прикладеними силами та моментами. Знайдемо її:

Рис 7. Розрахунок віртуальної роботи

Де дельта q_1віртуальне переміщення.

Підставляємо все в рівняння Лагранжа:

Рис 8. Отримана модель маси з пружинною та демпфером

На цьому метод Лагранжа закінчився. Як видно не так складно, але це все ж таки дуже простий приклад, для якого швидше за все метод Ньютона-Ейлера навіть був би простіше. Для більш складних систем, де буде кілька тіла, повернених один до одного на різні кут, метод Лагранжа буде легшим.

Метод Bond graph

Відразу покажу так виглядає модель у bond-graph для прикладу з масою пружиною та демпфером:

Рис 9. Bond-graph маси з пружинною та демпфером

Тут доведеться розповісти трохи теорії, якої вистачить для побудови простих моделей. Якщо хтось зацікавлений можете почитати книгу ( Bond Graph Methodology) або ( Воронін А.В. Моделювання мехатронних систем: навчальний посібник. - Томськ: Вид-во Томського політехнічного університету, 2008).

Визначимо для початку, що складні системискладаються з кількох доменів. Наприклад електродвигун складається з електричної та механічної частин або доменів.

Бонд графґрунтується на обміні потужності між цими доменами, підсистемами. Зауважимо, що обмін потужністю будь-якої форми завжди визначається двома змінними ( змінні потужності) за допомогою яких ми можемо вивчати взаємодію різних підсистем у складі динамічної системи (див. таблицю).

Як видно з таблиці, вираз потужності скрізь практично однаковий. В узагальненні, Потужність- це твір « потоку - f» на « зусилля - e».

Зусилля(англ. effort) в електричному домені це напруга (e), в механічному - сила (F) або момент (T), у гідравліці – тиск (p).

Потік(англ. flow) в електричному домені це струм (i), в механічному - швидкість (v) або кутова швидкість (omega), у гідравліці - потік або витрата рідини (Q).

Приймаючи дані позначення, отримуємо вираз для потужності:

Рис 10. Формула потужності через потужнісні змінні

У мові bond-graph з'єднання між двома підсистемами, які обмінюються потужністю, представлено зв'язком (англ. bond). Тому і називається даний метод bond-graphабо г раф-зв'язків, зв'язковий граф. Розглянемо блок-діаграмузв'язків у моделі з електродвигуном (це ще не bond-graph):

Рис 11. Блок-діарама потоку потужності між доменами

Якщо у нас джерело напруги, то відповідно він генерує напругу і віддає його двигуну на відмотки (з цього стрілка направлена ​​у бік двигуна), залежно від опору обмотки з'являється струм за законом Ома (направлений від двигуна джерела). Відповідно одна змінна є входом у підсистему, а друга необхідна має бути виходоміз підсистеми. Тут напруга ( effort) – вхід, струм ( flow) - Вихід.

Якщо використовувати джерело струму, як зміниться діаграма? Правильно. Струм буде спрямований до двигуна, а напруга до джерела. Тоді струм ( flow) – вхід, напруга ( effort) - Вихід.

Розглянемо приклад у механіці. Сила, що діє масу.

Рис 12. Сила додана до маси

Блок-Діаграма буде наступним:

Рис 13. Блок-діаграма

У цьому прикладі, Сила ( effort) - вхідна змінна для маси. (Сила додана до маси)
За другим законом Ньютона:

Маса відповідає швидкістю:

У цьому прикладі якщо одна змінна ( сила - effort) є входомв механічний домен, то інша потужна змінна ( швидкість - flow) – автоматично стає виходом.

Щоб розрізняти, де вхід, а де вихід, використовується вертикальна лінія на кінці стрілки (зв'язку) між елементами, цю лінію називають знак причинності або причинний зв'язок (causality). Виходить: прикладена сила – причина, а швидкість – слідство. Цей знак дуже важливий для правильної побудови моделі системи, оскільки причинність - це наслідок фізичної поведінки та обміну потужностями двох підсистем, тому вибір розташування знака причинності не може бути довільним.

Рис 14. Позначення причинного зв'язку

Ця вертикальна лінія показує, яка підсистема отримує зусилля ( effort) і як наслідок виробляти потік ( flow). У прикладі з масою буде так:

Рис 14. Причинний зв'язок для сили, що діє на масу

За стрілкою зрозуміло, що на вхід для маси - сила, а вихід - швидкість. Це робиться, щоб не захаращувати стрілками схему і систематизації побудови моделі.

Наступний важливий момент. Узагальнений імпульс(кількість руху) та переміщення(енергетичні змінні).

Таблиця потужних та енергетичних змінних у різних доменах

Таблиця вище вводить дві додаткові фізичні величини, які у методі bond-graph. Вони називаються узагальнений імпульс (р) та узагальнене переміщення (q) або енергетичні змінні, і отримати їх можна інтегруванням потужних змінних за часом:

Рис 15. Зв'язок між потужнісними та енергетичними змінними

В електричному домені :

Виходячи із закону Фарадея, напругана кінцях провідника дорівнює похідній від магнітного потокучерез цей провідник.

А Сила струму- фізична величина, що дорівнює відношенню кількості заряду Q, що пройшов за деякий час t через поперечний перерізпровідника до величини цього проміжку часу.

Механічний домен:

З 2 закону Ньютона, Сила- Похідна за часом від імпульсу

І відповідно, швидкість- похідна за часом від переміщення:

Узагальним:

Базові елементи

Всі елементи в динамічних системах можна розділити на двополюсні та чотириполюсні компоненти.
Розглянемо двополюсні компоненти:

Джерела
Джерела бувають як зусилля, і потоку. Аналогія в електричному домені: джерело зусилля – джерело напруги, джерело потоку – джерело струму. Причинні знаки для джерел мають бути лише такі.

Рис 16. Причинні зв'язки та позначення джерел

Компонент R – дисипативний елемент

Компонент І - Інерційний елемент

Компонент C – ємнісний елемент

Як видно з малюнків, різні елементиодного типу R, C, Iописуватись однаковими рівняннями. ТІЛЬКИ є відмінність для електричної ємності, це потрібно просто запам'ятати!

Чотириполюсники компоненти:

Розглянемо два компоненти трансформатор та гіратор.

Останніми важливими компонентами методу bond-graph виступають сполуки. Існує два типи вузлів:

На цьому із компонентами закінчили.

Основні етапи для проставлення причинних зв'язків після побудови bond-graph:

1. Проставити причинні зв'язкивсім джерел
2. Пройтись по всіх вузлах та проставити причинні зв'язки після пункту 1
3. Для компонентів Iприсвоїти вхідний причинний зв'язок (зусилля входить у цей компонент), для компонентів Спривласнюємо вихідний причинний зв'язок (зусилля виходить із цього компонента)
4. Повторити пункт 2
5. Проставити причинні зв'язки для компонентів R

На цьому міні-курс з теорії закінчимо. Тепер ми маємо все необхідне для побудови моделей.
Давайте вирішимо кілька прикладів. Почнемо з електричний ланцюгкраще зрозуміти аналогію побудови bond-graph.

Приклад 1

Почнемо побудову bond-graph із джерела напруги. Просто пишемо Se та ставимо стрілку.

Бачите просто! Дивимося далі, R і L з'єднані послідовно, значить у них тече однаковий струм, якщо говорити в потужних змінних - однаковий потік. Який вузол має однаковий потік? Правильна відповідь 1-вузол. Приєднуємо до 1-вузла джерело, опір (компонент – R) та індуктивність (компонент – I).

Далі у нас ємність та опір у паралелі, значить вони мають однакову напругу чи зусилля. 0-вузол підійде як ніхто інший. З'єднуємо ємність (компонент С) та опір (компонент R) до 0-вузла.

Вузли 1 та 0 теж з'єднуємо між собою. Напрямок стрілок вибирається довільний, напрямок зв'язку впливає лише на знак рівняннях.

Вийде наступний граф зв'язків:

Тепер слід проставити причинні зв'язки. Дотримуючись вказівок щодо послідовності їх проставлення, почнемо з джерела.

1. Ми маємо джерело напруги (зусилля), таке джерело має лише один варіант причинності – вихідну. Ставимо.
2. Далі є компонент I, дивимося, що рекомендують. Ставимо
3. Проставляємо для 1-вузла. Є
4. 0-вузол повинен мати один вхід і всі вихідні причинні зв'язки. У нас є поки що одна вихідна. Шукаємо компоненти або I. Знайшли. Ставимо
5. Проставляємо що залишилося

От і все. Bond-graph побудовано. УРА товариші!

Залишилося справа за малим, написати рівняння, що описують нашу систему. Для цього складемо таблицю із 3 стовпцями. У першому будуть всі компоненти системи, у другому вхідна змінна кожному за елемента, а третьому – вихідна змінна, такого самого компонента. Вхід і вихід ми вже визначили причинними зв'язками. Тож проблем виникнути не повинно.

Пронумеруємо кожен зв'язок для зручності запису рівнів. Рівняння кожного елемента беремо з переліку компонентів C,R,I.

Склавши таблицю визначимо змінні стани, в даному прикладі 2, p3 і q5. Далі потрібно записати рівняння стану:

Ось і вся модель готова.

Приклад 2. Відразу хочу вибачитись за якість фото, головне що можна прочитати

Вирішимо ще один приклад для механічної системи, той же, що ми вирішували методом Лагранжа. Я покажу рішення без коментарів. Перевіримо який із даних методів простіше, легше.

У матболі були складені обидві мат моделі з однаковими параметрами, отримані методом Лагранжа та bond-graph. Результат нижче: Додати теги

Спосіб визначення умовного екстремумупочинається з побудови допоміжної функції Лагранжа, яка в галузі допустимих рішень досягає максимуму для тих же значень змінних x 1 , x 2 , ..., x n , що і цільова функція z . Нехай вирішується завдання визначення умовного екстремуму функції z = f(X) при обмеженнях φ i ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Складемо функцію

яка називається функцією Лагранжа. X , - Постійні множники ( множники Лагранжа). Зазначимо, що множникам Лагранжа можна надати економічного сенсу. Якщо f (x 1 , x 2 , ..., x n ) - дохід, що відповідає плану X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , а функція φ i (x 1 , x 2 , ..., x n ) - Витрати i-го ресурсу, що відповідають цьому плану, то X - ціна (оцінка) i-го ресурсу, що характеризує зміну екстремального значення цільової функції залежно від зміни розміру i-го ресурсу (маргінальна оцінка). L(Х) - функція n+m змінних (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Визначення стаціонарних точок цієї функції призводить до розв'язання системи рівнянь

Легко помітити, що . Таким чином, завдання знаходження умовного екстремуму функції z = f(X) зводиться до знаходження локального екстремуму функції L(X) . Якщо стаціонарну точку знайдено, питання про існування екстремуму у найпростіших випадках вирішується виходячи з достатніх умов екстремуму - дослідження знака другого диференціала d 2 L(X) у стаціонарній точці за умови, що змінні збільшення Δx i - пов'язані співвідношеннями

отриманими шляхом диференціювання рівнянь зв'язку.

Вирішення системи нелінійних рівнянь із двома невідомими за допомогою засобу Пошук рішення

Налаштування Пошук рішеннядозволяє знаходити рішення системи нелінійних рівняньз двома невідомими:

де
- нелінійна функція від змінних x і y ,
- Довільна постійна.

Відомо, що пара ( x , y ) є рішенням системи рівнянь (10) тоді і лише тоді, коли вона є рішенням наступного рівняння з двома невідомими:

Зз іншого боку, рішення системи (10) - це точки перетину двох кривих: f ] (x, y) = C і f 2 (х, у) = С 2 на площині ХОY.

З цього випливає метод знаходження коріння системи. нелінійних рівнянь:

Визначити (хоча б приблизно) інтервал існування рішення системи рівнянь (10) або рівняння (11). Тут необхідно враховувати вид рівнянь, що входять до системи, область визначення кожного їх рівняння тощо. Іноді застосовується добір початкового наближення рішення;

Протабулювати рішення рівняння (11) по змінним x та y на вибраному інтервалі, або побудувати графіки функцій f 1 (x, y) = З, і f 2 (х,у) = С 2 (Система (10)).

Локалізувати передбачувані коріння системи рівнянь - знайти кілька мінімальних значень таблиці табулювання коренів рівняння (11), або визначити точки перетину кривих, що входять до системи (10).

4. Знайти коріння для системи рівнянь (10) за допомогою надбудови Пошук рішення.

Розглянемо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння першого порядку:
(1) .
Існує три способи розв'язання цього рівняння:

• метод постійної варіації (Лагранжа).

Розглянемо рішення лінійного диференціального рівняння першого ладу методом Лагранжа.

Метод варіації постійної (Лагранжа)

У методі постійної варіації ми вирішуємо рівняння в два етапи. На першому етапі ми спрощуємо вихідне рівняння та вирішуємо однорідне рівняння. З другого краю етапі замінимо постійну інтегрування, отриману першої стадії рішення, на функцію. Після цього шукаємо загальне рішення вихідного рівняння.

Розглянемо рівняння:
(1)

Крок 1 Розв'язання однорідного рівняння

Шукаємо рішення однорідного рівняння:

Це рівняння з змінними, що розділяються

Розділяємо змінні - множимо на dx, ділимо на y:

Інтегруємо:

Інтеграл по y-табличний:

Тоді

Потенціюємо:

Замінимо постійну e C на C та приберемо знак модуля, що зводиться до множення на постійну ±1, яку включимо в C:

Крок 2 Замінимо постійну C на функцію

Тепер замінимо постійну C на функцію від x:
C → u (x)
Тобто, шукатимемо рішення вихідного рівняння (1) у вигляді:
(2)
Знаходимо похідну.

За правилом диференціювання складної функції:
.
За правилом диференціювання твору:

.
Підставляємо у вихідне рівняння (1) :
(1) ;

.
Два члени скорочуються:
;
.
Інтегруємо:
.
Підставляємо в (2) :
.
В результаті одержуємо загальне рішення лінійного диференціального рівняння першого порядку:
.

Приклад вирішення лінійного диференціального рівняння першого порядку методом Лагранжа

Вирішити рівняння

Рішення

Вирішуємо однорідне рівняння:

Розділяємо змінні:

Помножимо на:

Інтегруємо:

Інтеграли табличні:

Потенціюємо:

Замінимо постійну e C на C та прибираємо знаки модуля:

Звідси:

Замінимо постійну C на функцію від x:
C → u (x)

Знаходимо похідну:
.
Підставляємо у вихідне рівняння:
;
;
Або:
;
.
Інтегруємо:
;
Вирішення рівняння:
.

Точка М називається внутрішньою для деякої множини G, якщо вона належить цій множині разом з деякою своєю околицею. Точка N називається граничною для множини G, якщо в будь-якій її повній околиці є точки, як належать G, так і не належать йому.

Сукупність всіх граничних точок множини G називається кордоном Г.

Безліч G буде називатися областю, якщо всі його точки – внутрішні (відкрите безліч). Безліч G із приєднаною межею Г називається замкнутою областю. Область називається обмеженою, якщо вона повністю міститься всередині кола досить великого радіусу.

Найменше та найбільше значення функції у цій галузі називаються абсолютними екстремумами функції у цій галузі.

Теорема Вейєрштрасса: функція, безперервна в обмеженій та замкнутої області, досягає у цій галузі свого найменшого та свого найбільшого значень.

Слідство. Абсолютний екстремум функції в цій галузі досягається або в критичній точці функції, що належить цій області, або для пошуку найбільшого і найменшого значень функції в замкнутій області G необхідно знайти всі її критичні точки в цій галузі, обчислити значення функції в цих точках (включаючи граничні) і шляхом порівняння отриманих чисел вибрати найбільше та найменше з них.

Приклад 4.1.Знайти абсолютний екстремум функції (найбільше та найменше значення)
у трикутній ділянціD з вершинами
,
,
(Рис.1).

;
,

тобто точка (0, 0) - критична точка, що належить області D. z (0,0) = 0.

Досліджуємо кордон:

а) ОА: y = 0
; z (x, 0) = 0; z(0, 0)=0; z(1, 0)=0,

б) ВВ: х = 0
z(0,y)=0;

z(0, 0)=0; z(0, 2)=0,
,

в) АВ:;Приклад 4.2.
.

Знайти найбільше та найменше значення функції у замкнутій області, обмеженій осями координат та прямою

,
,

.

1) Знайдемо критичні точки, що лежать в області:

Досліджуємо кордон. Т.к. межа складається з відрізка ОА осі Ох, відрізка ОВ осі Оу та відрізка АВ, то визначимо найбільше та найменше значення функції z на кожному з цих відрізків.

, z(0, 2)=-3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.

M 3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=-10/3.

Серед усіх знайдених значень вибираємо z найб = z (4, 0) = 13; z найм = z (1, 2) = -4.

5. Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа

Розглянемо задачу, специфічну для функцій кількох змінних, коли її екстремум шукається не на всій області визначення, а на множині, яка задовольняє певну умову.
Нехай розглядається функція і , аргументи
якої задовольняють умові

, Що називається рівнянням зв'язку.
Крапка
називається точкою умовного максимуму (мінімуму), якщо існує така околиця цієї точки, що для всіх точок
з цієї околиці, що задовольняють умові
, виконується нерівність
.

або
На рис.2 зображено точку умовного максимуму
(На рис.2 це точка
).

Найбільш простим способом знаходження умовного екстремуму функції двох змінних є зведення завдання знайти екстремуму функції однієї змінної. Допустимо рівняння зв'язку
вдалося дозволити щодо однієї із змінних, наприклад, висловити через :
. Підставивши отриманий вираз у функцію двох змінних, отримаємо

тобто. функцію однієї змінної. Її екстремум і буде умовним екстремумом функції
.

Приклад 5.1.Знайти точки максимуму та мінімуму функції
за умови
.

Рішення. Виразимо з рівняння
змінну через змінну і підставимо отриманий вираз
у функцію . Отримаємо
, виконується нерівність
. Ця функція має єдиний мінімум при
.
Відповідне значення функції
. Таким чином,

- Точка умовного екстремуму (мінімуму).
У розглянутому прикладі рівняння зв'язку

виявилося лінійним, тому його легко вдалося дозволити щодо однієї зі змінних. Однак у складніших випадках зробити це не вдається. Для пошуку умовного екстремуму у випадку використовується спосіб множників Лагранжа.

Розглянемо функцію трьох змінних. Ця функція називається функцією Лагранжа, а– множник Лагранжа. Вірна наступна теорема.
Теорема.
Якщо точка
є точкою умовного екстремуму функції за умови
, то існує значення
.

таке, що крапка
Якщо точка
є точкою екстремуму функції

Таким чином, для знаходження умовного екстремуму функції потрібно знайти рішення системи
і
П
останнє з цих рівнянь збігається з рівнянням зв'язку. Перші два рівняння системи можна переписати як, тобто. у точці умовного екстремуму градієнти функцій
колінеарні. На рис. 3 показаний геометричний зміст умов Лагранжа. Лінія
пунктирна, лінія рівня
функції
.

суцільні. З рис. слід, що у точці умовного екстремуму лінія рівня функції. стосується лінії
за умови
Приклад 5.2

Знайти точки екстремуму функції

за допомогою методу множників Лагранжа.
Рішення. Складаємо функцію Лагранжа. Прирівнюючи до нуля її похідні, отримаємо систему рівнянь:

Її єдине рішення. Таким чином, точкою умовного екстремуму може бути лише точка (3; 1). Неважко переконатися, що в цій точці функція має умовний мінімум. Якщо кількість змінних більше двох, може розглядатися і кілька рівнянь зв'язку. Відповідно, у цьому випадку буде і кілька множників Лагранжа.Завдання знаходження умовного екстремуму використовується при вирішенні таких

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

полягає у заміні довільних постійних ck у загальному рішенні

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

відповідного однорідного рівняння

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

на допоміжні функції ck(t), похідні яких задовольняють лінійній системі алгебри

Визначником системи (1) служить вронскіан функцій z1,z2,...,zn, що забезпечує її однозначну роздільну здатність щодо .

Якщо - первісні для , взяті при фіксованих постійних значеннях інтегрування, то функція

є рішенням вихідного лінійного неоднорідного диференціального рівняння. Інтегрування неоднорідного рівнянняза наявності загального розв'язання відповідного однорідного рівняння зводиться таким чином до квадратур.

Метод Лагранжа (метод варіації довільних постійних)

Метод отримання загального рішення неоднорідного рівняння, знаючи загальне рішення однорідного рівняння без перебування приватного решения.

Для лінійного однорідного диференціального рівняння n-го порядку

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1(x) y" + an(x) y = 0,

де y = y(x) – невідома функція, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) – відомі, безперервні, справедливо: 1) існують n лінійно незалежних рішень рівняння y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) за будь-яких значень констант c1, c2, ..., cn функція y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) є рішенням рівняння; 3) для будь-яких початкових значень x0, y0, y0,1, ..., y0, n-1 існують такі значення c * 1, c * n, ..., c * n, що рішення y * (x) = c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn(x) задовольняє при x = x0 початковим умовам y*(x0)=y0, (y*)"(x0) = y0,1, ..., (y *) (n-1) (x0) = y0, n-1.

Вираз y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) називається загальним рішеннямлінійного однорідного диференціального рівняння n-го порядку

Сукупність n лінійно незалежних рішень лінійного однорідного диференціального рівняння n-го порядку y1(x), y2(x), ..., yn(x) називається фундаментальною системою рішень рівняння.

Для лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтамиІснує простий алгоритм побудови фундаментальної системи рішень. Шукатимемо рішення рівняння у вигляді y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx)" + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, тобто. характеристичного рівняння ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. Ліва частина характеристичного рівняння називається характеристичним багаточленом лінійного диференціального рівняння: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Таким чином, завдання про рішення лінійного однорідного рівняння n-го порядку з постійними коефіцієнтами зводиться до розв'язання рівня алгебри.

Якщо характеристичне рівняння має n різних дійсних коренів l1№ l2 № ... № ln, то фундаментальна система рішень складається з функцій y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), ..., yn (x) = exp (lnx), і загальне рішення однорідного рівняння має вигляд: y (x) = c1 exp (l1x) + c2 exp (l2x) + ... + cn exp (lnx).

ундаментальна система рішень та загальне рішення для випадку простих дійсних коренів.

Якщо якесь із дійсних коренів характеристичного рівняння повторюється r разів (r-кратний корінь), то в фундаментальній системі рішень йому відповідають r функцій; якщо lk=lk+1 = ... = lk+r-1, то фундаментальну системурішень рівняння входять r функцій: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+r-1( x) = xr-1 exp (lnx).

ПРИКЛАД 2. Фундаментальна система рішень та загальне рішення для випадку кратного дійсного коріння.

Якщо характеристичне рівняння має комплексне коріння, то кожній парі простих (що мають кратність 1) комплексного коріння lk,k+1=ak ± ibk у фундаментальній системі рішень відповідає пара функцій yk(x) = exp(akx)cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

ПРИКЛАД 4. Фундаментальна система рішень та загальне рішення для випадку простих комплексних коренів. Уявне коріння.

Якщо ж комплексна пара коренів має кратність r, то такий парі lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, у фундаментальній системі рішень відповідають функції exp(akx)cos(bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), ........ ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

ПРИКЛАД 5. Фундаментальна система рішень та загальне рішення для випадку кратного комплексного коріння.

Таким чином, для віднайдення загального рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами слід записати характеристичне рівняння; знайти всі коріння характеристичного рівняння l1, l2, ..., ln; записати фундаментальну систему розв'язків y1(x), y2(x), ..., yn(x); записати вираз для загального рішення y(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). Для вирішення задачі Коші потрібно підставити вираз для загального рішення в початкові умови та визначити значення постійних c1,..., cn, які є рішеннями системи лінійних алгебраїчних рівнянь c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0 ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

Для лінійного неоднорідного диференціального рівняння n-го порядку

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1(x) y" + an(x) y = f(x),

де y = y(x) - невідома функція, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) - відомі, безперервні, справедливо: 1) якщо y1(x) та y2(x) - два розв'язки неоднорідного рівняння, то функція y(x) = y1(x) - y2(x) - розв'язання відповідного однорідного рівняння; 2) якщо y1(x) розв'язання неоднорідного рівняння, а y2(x) - розв'язання відповідного однорідного рівняння, то функція y(x) = y1(x) + y2(x) - розв'язання неоднорідного рівняння; 3) якщо y1(x), y2(x), ..., yn(x) - n лінійно незалежних рішень однорідного рівняння, а yч(x) - довільне рішеннянеоднорідного рівняння, то будь-яких початкових значень x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 існують такі значення c*1, c*n, ..., c*n, що рішення y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn(x) + yч(x) задовольняє при x = x0 початковим умовам y*(x0)=y0, ( y*)"(x0)=y0,1, ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Вираз y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + yч(x) називається загальним рішенням лінійного неоднорідного диференціального рівняння n-го порядку.

Для пошуку приватних рішень неоднорідних диференціальних рівняньз постійними коефіцієнтами з правими частинами виду: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), де Pk(x), Qm(x) - багаточлени ступеня k і m відповідно, простий алгоритм побудови приватного рішення, званий методом підбору.

Метод підбору, чи метод невизначених коефіцієнтів, ось у чому. Розв'язання, що шукається, записується у вигляді: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, де Pr(x), Qr(x) - багаточлени ступеня r = max(k, m) з невідомими коефіцієнтами pr, pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Співмножник xs називають резонансним помножувачем. Резонанс має місце у випадках, коли серед коренів характеристичного рівняння є корінь l=a±ib кратності s. Тобто. якщо серед коренів характеристичного рівняння відповідного однорідного рівняння є така, що його дійсна частина збігається з коефіцієнтом у показнику ступеня експоненти, а уявна - з коефіцієнтом в аргументі тригонометричної функціїу правій частині рівняння, і кратність цього кореня s, то в приватному вирішенні, що шукається, присутній резонансний сомножитель xs. Якщо такого збігу немає (s=0), то резонансний співмножник відсутній.

Підставивши вираз для приватного рішення ліву частинурівняння, отримаємо узагальнений многочлен тієї самої виду, як і многочлен у правій частині рівняння, коефіцієнти якого невідомі.

Два узагальнених многочлена рівні тоді і лише тоді, коли рівні коефіцієнти при співмножниках виду xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) з однаковими ступенями t. Прирівнявши коефіцієнти при таких співмножниках, отримаємо систему 2(r+1) лінійних рівнянь алгебри щодо 2(r+1) невідомих. Можна показати, що така система є спільною і має єдине рішення.