Сааталтай тэгшитгэл. Динамик объектуудын сааталтай төлөвийн тэгшитгэл. Инерцийн динамик объектууд

Сааталтай шугаман системүүд нь ердийн шугаман системтэй (II хэсэг) ерөнхийдөө ижил бүтэцтэй автомат системүүд бөгөөд тэдгээрийн нэг буюу хэд хэдэн холбоосууд нь өөрчлөлт эхлэхэд цаг хугацааны хоцрогдолтой байдгаараа сүүлийнхээс ялгаатай байдаг. гаралтын утгыг (оролтын өөрчлөлтийг эхлүүлсний дараа) саатлын хугацаа гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ саатлын хугацаа нь үйл явцын дараагийн явцад тогтмол хэвээр байна.

Жишээлбэл, ердийн шугаман холбоосыг тэгшитгэлээр дүрсэлсэн бол

(апериодын нэгдүгээр эрэмбийн холбоос), дараа нь хоцролттой харгалзах шугаман холбоосын тэгшитгэл нь хэлбэртэй болно.

(хоцролттой хугацааны эхний эрэмбийн холбоос). Энэ төрлийн тэгшитгэлийг хоцрогдсон аргумент эсвэл дифференциал-ялгаатай тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Дараа нь (14.2) тэгшитгэлийг ердийн хэлбэрээр бичнэ.

Тэгэхээр, хэрэв оролтын утга тэгээс нэг болж огцом өөрчлөгдвөл (Зураг 14.1, а) тэгшитгэлийн баруун талд байгаа холбоосын утгын өөрчлөлтийг Зураг дээрх графикаар дүрслэн үзүүлнэ. 14.1, b (секундын дараа үсрэх). Одоо (14.3) тэгшитгэлд хэрэглэсэн ердийн периодик холбоосын түр зуурын шинж чанарыг ашиглан бид гаралтын утгын өөрчлөлтийг Зураг дээр график хэлбэрээр олж авна. 14.1, в. Энэ нь сааталтай нэгдүгээр эрэмбийн апериод холбоосын шилжилтийн шинж чанар байх болно (түүний апериод "инерциал" шинж чанар нь цаг хугацааны тогтмол T, саатал нь утгаар тодорхойлогддог.

Сааталтай шугаман холбоос. Ерөнхий тохиолдолд (14.2)-ын хувьд ямар ч сааталтай шугаман холбоосын динамикийн тэгшитгэл байж болно.

хоёр хуваагдана:

хоцролттой шугаман холбоосын нөхцөлт задаргаатай тохирч байна (Зураг 14.2, а): ижил дарааллын болон ижил коэффициент бүхий энгийн шугаман холбоос ба түүний өмнөх саатал элемент (Зураг 14.2, б).

Иймээс сааталтай аливаа холбоосын цагийн шинж чанар нь харгалзах энгийн холбоосынхтой ижил байх боловч зөвхөн цаг хугацааны тэнхлэгийн дагуу баруун тийш .

"Цэвэр" саатлын холбоосын жишээ бол акустик холбооны шугам юм - дууны аяллын хугацаа). Бусад жишээнүүдэд туузан дамжуулагч ашиглан зөөж буй аливаа бодисын тунг автоматаар хэмжих систем - туузан хэсэг нь тодорхой газар хөдөлж байх хугацаа), түүнчлэн цувисан металлын зузааныг зохицуулах систем, энэ нь металлын шилжилтийн хугацааг илэрхийлдэг. өнхрүүлгийг зузаан хэмжилт хүртэл

Сүүлийн хоёр жишээнд хэмжигдэхүүнийг тээврийн саатал гэж нэрлэдэг.

Эхний ойролцоолсон байдлаар, системийн холбоосуудад багтсан дамжуулах хоолой эсвэл урт цахилгаан шугамыг тодорхой саатлын утгаар тодорхойлж болно (тэдгээрийн талаар дэлгэрэнгүй мэдээллийг § 14.2-оос үзнэ үү).

Холболтын саатлын хэмжээг цаг хугацааны шинж чанарыг авч туршилтаар тодорхойлж болно. Жишээлбэл, холбоосын оролтод нэгдмэл байдлаар авсан тодорхой утгын үсрэлт хийх үед гаралт нь Зураг дээр үзүүлсэн туршилтын муруйг үүсгэдэг. 14.3, b, дараа нь бид энэ холбоосыг туршилтын муруйгаас (Зураг 14.3, б) утгыг авч сааталтай (14.2) эхний эрэмбийн холбоос гэж тодорхойлж болно.

Зураг дээрх графикийн дагуу ижил туршилтын муруй байгааг анхаарна уу. 14.3, c-г мөн тэгшитгэлтэй жирийн хоёрдугаар эрэмбийн апериод холбоосын цаг хугацааны шинж чанар гэж тайлбарлаж болно.

үүнээс гадна k-ийг өгөгдсөн холбоосын хувьд § 4.5-д бичсэн хамаарлаас, туршилтын муруй дээрх зарим хэмжилтээс эсвэл бусад аргаар тооцоолж болно.

Тиймээс, цаг хугацааны шинж чанарын үүднээс авч үзвэл хоцрогдсон аргументтай (14.2) эхний эрэмбийн тэгшитгэлээр ойролцоогоор тодорхойлсон бодит холбоосыг ихэвчлэн ижил түвшний ойролцоо утгатайгаар дүрсэлж болно. дифференциал тэгшитгэлхоёр дахь дараалал (14.5). Эдгээр тэгшитгэлийн аль нь өгөгдсөн зүйлд хамгийн сайн тохирохыг шийдэхийн тулд

Бодит холбоосын хувьд та тэдгээрийн далайц-фазын шинж чанарыг албадан хэлбэлзлийн үед динамик шинж чанарыг илэрхийлэх холбоосын туршилтаар хэмжсэн далайц-фазын шинж чанартай харьцуулж болно. Сааталтай холбоосуудын далайц-фазын шинж чанарыг бий болгох талаар доор авч үзэх болно.

Тэгшитгэлийг бичихдээ нэгдмэл байх үүднээс саатлын элементийн харилцааны хоёр дахь (14.4)-ийг оператор хэлбэрээр үзүүлье. Тархаж байгаад баруун талҮүнийг Тейлорын цувралаас бид олж авдаг

эсвэл өмнө нь хүлээн зөвшөөрөгдсөн симбол операторын тэмдэглэгээнд,

Энэ илэрхийлэл нь функцүүдийн дүрсийн саатал теоремын томьёотой давхцаж байна (Хүснэгт 7.2). Тиймээс цэвэр саатал холбоосын хувьд бид шилжүүлгийн функцийг хэлбэрээр олж авдаг

Зарим тохиолдолд хяналтын системд олон тооны жижиг хугацааны тогтмолууд байгаа нь байнгын саатал хэлбэрээр анхааралдаа авч болно гэдгийг анхаарна уу. хэмжээтэй тэнцүү байнаэдгээр хугацааны тогтмолууд. Үнэн хэрэгтээ систем нь нэгдмэл утгатай тэнцэх дамжуулалтын коэффициент бүхий эхний дарааллаар холбогдсон апериод холбоосуудыг агуулж байг, тэгвэл үр дүнд нь шилжүүлэх функц болно

Хэрэв хязгаарт хүрсэн бол бид авах болно. Аль хэдийн дамжуулах функц (14.8) нь саатал (14.6) бүхий холбоосын дамжуулах функцээс бага зэрэг ялгаатай байна.

Сааталтай (14.4) дурын шугаман холбоосын тэгшитгэлийг одоо маягт дээр бичнэ

Сааталтай шугаман холбоосын дамжуулах функц нь байх болно

Энд харгалзах энгийн шугаман холбоосын сааталгүйгээр дамжуулах функцийг илэрхийлнэ.

Давтамж дамжуулах функцийг (14.10)-аас орлуулах замаар олж авна

энд сааталгүй холбоосын давтамж дамжуулах функцын хэмжээ ба үе шат. Үүнээс бид дараах дүрмийг олж авна.

Сааталтай аливаа шугаман холбоосын далайц-фазын шинж чанарыг бий болгохын тулд та харгалзах ердийн шугаман холбоосын шинж чанарыг авч, түүний цэг бүрийг цагийн зүүний дагуу тойргийн дагуу өнцгөөр шилжүүлэх хэрэгтэй, энд хэлбэлзлийн давтамжийн утга энд байна. шинж чанарын өгөгдсөн цэг (Зураг 14.4, а).

Далайц-фазын шинж чанарын эхэн ба төгсгөлд эхлэх цэг өөрчлөгдөөгүй хэвээр байх бөгөөд шинж чанарын төгсгөл нь координатын гарал үүслийн эргэн тойронд асимптотоор эргэлддэг (хэрэв операторын олон гишүүнтийн зэрэг нь олон гишүүнтээс бага бол)

Зураг дээрх хэлбэрийн бодит түр зуурын үйл явц (цаг хугацааны шинж чанар) гэж дээр дурдсан. 14.3, b-ийг ихэвчлэн тэгшитгэл (14.2) ба (14.5) хоёуланг нь ижил ойролцоо түвшинд тодорхойлж болно. (14.2) ба (14.5) тэгшитгэлийн далайц-фазын шинж чанарыг Зураг дээр үзүүлэв. 14.4, мөн тус тус. Үндсэн ялгааЭхнийх нь тэнхлэгтэй огтлолцох D цэгтэй

Хоёр шинж чанарыг бие биетэйгээ болон бодит холбоосын туршилтын далайц-фазын шинж чанартай харьцуулахдаа зөвхөн муруйн хэлбэр төдийгүй түүний дагуух давтамжийн тэмдгийн тархалтын шинж чанарыг харгалзан үзэх шаардлагатай.

Сааталтай шугаман систем.

Энэ нь нэг хэлхээтэй эсвэл олон хэлхээтэй байг автомат системТүүний холбоосуудын дунд сааталтай нэг холбоос байдаг. Дараа нь энэ холбоосын тэгшитгэл нь (14.9) хэлбэртэй байна. Хэрэв хэд хэдэн ийм холбоос байгаа бол тэдгээр нь байж болно өөр өөр хэмжээтэйсаатал Бүгдийг 5-р бүлэгт оруулсан болно ерөнхий томъёотэгшитгэлийн хувьд ба дамжуулах функцуудсистемүүд автомат зохицуулалтЭдгээр томъёонд (14.10) маягт дахь шилжүүлгийн функцын утгуудыг орлуулсан тохиолдолд саатал бүхий шугаман системд хүчинтэй хэвээр байна.

Жишээлбэл, цуваа холбогдсон холбоосуудын нээлттэй хэлхээний хувьд хоѐр удаашралтай холбоосууд тус тусад нь нээлттэй давталтын системийн дамжуулах функц нь хэлбэртэй байна.

Хоцролтыг харгалзахгүйгээр нээлттэй хэлхээний дамжуулах функц нь цуваа холбогдсон холбоосуудын дамжуулах функцын үржвэртэй тэнцүү байна.

Тиймээс цуваа холбогдсон холбоосуудын нээлттэй хэлхээний динамикийг судлахдаа бүх саатал нэг холбоос дээр төвлөрөх эсвэл өөр өөр холбоосуудад тархах эсэх нь чухал биш юм. Олон хэлхээтэй хэлхээний хувьд илүү төвөгтэй харилцааг бий болгоно.

Хэрэв сөрөг утгатай холбоос байгаа бол санал хүсэлт, сааталтай бол тэгшитгэлээр тайлбарлах болно;

Сааталтай тэгшитгэлийн бодлого. Удирдлага нь сааталтай тэгшитгэлийн хувьд Коши бодлогыг ашиглан системийн фазын траекторийг тодорхойлдог вариацын бодлогыг авч үзье.  

Уран зохиолд ийм системийг ихэвчлэн нэгэн зэрэг тэгшитгэлийн систем гэж нэрлэдэг бөгөөд энд нэг тэгшитгэлийн хамааралтай хувьсагч нь нэг буюу хэд хэдэн өөр тэгшитгэлд нэгэн зэрэг хувьсагч (гэхдээ бие даасан хувьсагч хэлбэрээр) гарч ирж болно гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд хамааралтай болон бие даасан хувьсагчдын хоорондын уламжлалт ялгаа нь утгагүй болно. Үүний оронд хоёр төрлийн хувьсагчийн хооронд ялгаа бий. Эдгээр нь нэгдүгээрт, харилцан хамааралтай хувьсагч (эндоген) бөгөөд тэдгээрийн нөлөөллийг судлах шаардлагатай (дээрх тэгшитгэлийн системийн Ay t нэр томъёоны А матриц). Хоёрдугаарт, урьдчилж тодорхойлсон хувьсагчид эхнийхдээ нөлөөлөх ёстой боловч тэдний нөлөөг мэдэрдэггүй, хоцрогдсон хувьсагчид, жишээлбэл. Энэ тэгшитгэлийн системээс гадуур тодорхойлогдсон хоцрогдсон (хоёр дахь гишүүн) болон экзоген хувьсагч.  

Гэсэн хэдий ч тэгшитгэлийн хувьд нийтлэг төрлүүдхоцрогдол, үлдэгдлийн талаар бага багаар тодорхойлсон боловч тооцооллын шинж чанарын талаар хангалттай найдвартай үр дүн гараагүй байна. Тиймээс ерөнхий олон гишүүнт хоцрогдолтой регрессийн тэгшитгэлийн тооцоолол нь зөвхөн тогтвортой байдлын шинж чанартай байдаг бөгөөд гурван шатлалт хамгийн бага квадратын аргаар олж авсан хоцрогдсон экзоген ба эндоген хувьсагчтай тэгшитгэлийн тооцоог (нэг зэрэгцэн нэгдүгээр эрэмбийн Марковын үлдэгдэл байгаа тохиолдолд) автокорреляци) ч гэсэн энэ өмч байхгүй (үзнэ үү. дахь үнэлгээний шинжилгээ).  

Тиймээс, хамгийн их тогтвортой байдлын өндөр хурдтай системийг нэгтгэхдээ эхлээд (4), ng ба co (1 = 1, n) нөхцлийн биелэлтийг хангах bj-ийн оновчтой утгыг тодорхойлж, дараа нь c-г олох шаардлагатай. / үүнд (10) тохирч, эцэст нь (12) нөхцөлөөс өгөгдсөн үнэ цэнэ C dj сонгох. Сэтгэгдэл. Харгалзан үзсэн тохиолдлуудаас үзэхэд оновчтой шийдлүүдийн бүтэц, тухайлбал туйлын баруун язгуурын бодит ба нийлмэл хосолсон хосуудын тоо, тэдгээрийн хослол, олон талт байдал, үүний үр дүнд X хавтгай дахь оновчтой шийдлийн годографын төрлүүд гарч ирнэ. хяналтын хэмжээс m (1.2) -аас хамаардаг ба хангалттай том дараалалтай n (1.1) нь n-ээс өөрөөс нь хамаарахгүй Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн m бүрийн хувьд оновчтой шийдлийн өөрийн гэсэн тодорхой тооны бүтэцтэй тохирч байна. (1.1) n = n тэгшитгэлийн дарааллын утга ба n > n дарааллын өсөлт нь шинэ оновчтой шийдлүүдийг гаргахад хүргэдэггүй тохиолдолд хүрнэ. Иймээс n - > QO үед хамгийн их тогтвортой байдлын зэрэгтэй системийг нэгтгэх боломж нь зөвхөн m-ээр тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь аливаа m-ийн хувьд оновчтой шийдлийн бүтэц нь хоцрогдсон объектуудад мэдэгддэг гэсэн үг юм.  

Үзүүлэлт бүрийн цаг хугацааны хоцрогдлын утгыг хэрхэн тодорхойлох вэ гэсэн асуулт гарч ирж байна. Холбогдох хугацааны хоцролтыг тодорхойлохын тулд бид хугацааны цувааны өгөгдлийн корреляцийн шинжилгээг ашигладаг. Хугацааны хоцролтыг тодорхойлох гол шалгуур нь инфляцийн түвшинд үзүүлэх нөлөөллийн янз бүрийн хоцрогдолтой үзүүлэлтүүдийн цаг хугацааны цувралын харилцан хамаарлын коэффициентийн хамгийн том утга юм. Үүний үр дүнд тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийг авна  

Нэмж дурдахад SD арга нь нэг загварын хүрээнд олон тооны урсгал (биет удирдлага, мэдээлэл) ба эдгээр урсгалыг хуримтлуулж буй хөрөнгийн хөрөнгө оруулалт, зарцуулалтын түвшинг үндсэн хөрөнгийн түвшинтэй холбох боломжийг олгодог. хүн амын насны бүтэцтэй янз бүрийн насны бүлэгт капитал, төрөлт ба нас баралт гэх мэт. SD арга нь харгалзан үзсэн бүх санал хүсэлтийн бүтцийг хамгийн тодорхой тусгасан бөгөөд харгалзан үзэхэд маш сайн зохицсон байдаг. янз бүрийн хэлбэрүүдсаатал нь дифференциал тэгшитгэлийн системийг бий болгоход хүргэдэг бөгөөд тэдгээрийн шийдлүүд нь загварын өөрийн параметр, бүтцээс хамааран тогтвортой байдлын талаар нэлээд энгийн туршилтын судалгаа хийх боломжтой юм.  

Дүрмүүдийг бусад шалгуурын дагуу бүлэглэж болно. Тухайлбал, мөнгөний бодлогын хэрэглүүрийн дагуу (валютын ханш, хүү эсвэл мөнгөний агрегат) гадаад эдийн засгийн харилцаа (нээлттэй эсвэл хаалттай эдийн засаг) байгаа эсэхээс хамааран эдийн засгийн хувьсагчдын таамаглалыг тэгшитгэлийн дүрэмд тусгасны дагуу (хэтийн болон дасан зохицох дүрэм) хоцрогдлын утгын дагуу (хоцрогдолтой эсвэл хоцрогдолгүй) ) гэх мэт.  

Пуужингийн нислэгийн хугацаа, гал дамжуулах саатлыг харгалзан үзсэн загвар нь системийн саатлыг харгалзан үзэх боломжийг бидэнд олгодог. эрт сэрэмжлүүлэгдайсны пуужингийн довтолгоо болон түүний цөмийн пуужингийн хүчний сансрын хяналтын системийн тухай. Энэ загварыг тэгшитгэлээр тодорхойлно  

BPZ-2M тогтмол саатлын нэгж нь аналог тооцоолох төхөөрөмжүүдийн хоцрогдсон аргумент бүхий функцуудыг хуулбарлахад зориулагдсан бөгөөд үүнийг олон хүчин чадалтай объектуудын тэгшитгэлийг ойртуулах үед бодисыг тээвэрлэх эсвэл эрчим хүч дамжуулахтай холбоотой үйл явцын цахилгаан загварчлалд ашиглаж болно; хоцролттой эхний ба хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэлтэй.  

Шийдвэр гаргах функцууд нь түвшний талаарх бэлэн мэдээлэл нь одоогийн урсгалын хурдтай холбоотой шийдвэр гаргахад хэрхэн хүргэдэг болохыг тодорхойлдог зан үйлийн мэдэгдэл юм. Шийдлийн функц нь нэг буюу хоёр түвшний төлөв байдалд материалын урсгалын хамгийн энгийн урвалыг тодорхойлдог энгийн тэгшитгэлийн хэлбэрийг авч болно (иймээс тээврийн системийн бүтээмжийг ихэвчлэн дамжин өнгөрөх барааны тоогоор хангалттай илэрхийлж болно. түвшин, тогтмол - тээвэрлэлтийн хугацааны дундаж саатлыг илэрхийлнэ). Нөгөөтэйгүүр, шийдвэрийн функц нь хэд хэдэн нэмэлт нөхцлийн өөрчлөлтийг харгалзан хийсэн тооцооллын урт, нарийвчилсан гинжин хэлхээ байж болно.  

Хүйтний улиралд Байгаль нуурт диатом байхгүй байх гол шалтгаан нь ямар хүчин зүйл болох нь одоогоор бүрэн тодорхойгүй байна. [Грачев нар, 1997]-д шийдвэрлэх хүчин зүйл нь уулын мөсөн голуудын ажлын улмаас үүссэн усны булингаршил ихэссэн гэж үздэг [Гавшин нар, 1998], гол хүчин зүйл нь уналт гэж үздэг Байгаль нуурын ус зайлуулах сав газрын элэгдэл бүдгэрсний улмаас цахиурын агууламж. Загварын өөрчлөлт (2.6.7), эхний тэгшитгэл нь цахиурын концентрацийн динамикийг, хоёр дахь нь суспензийн хуримтлалын динамикийг тодорхойлсон нь эдгээр хоёр хүчин зүйлийн аль нь гол хүчин зүйл болохыг тодорхойлох хандлагыг санал болгох боломжийг бидэнд олгодог. Усны асар их массын улмаас Байгаль нуурын биота нь нуурын ус зайлуулах сав газрын ургамлын бүлгүүдийн хариу үйлдэлтэй харьцуулахад цаг уурын өөрчлөлтөд бага зэрэг хоцрох нь тодорхой байна. Тиймээс диатомын дохио нь палинологийн дохионоос хоцрох ёстой. Хэрэв гол шалтгаанХүйтэн үед диатомууд алга болох нь цахиурын концентраци буурч байгаа тохиолдолд дулааралтын хариу урвалын саатал нь хөргөлтийн саатлаас их байх ёстой. Хэрэв гол хүчин зүйлдиатомыг дарах - мөстлөгийн улмаас булингар үүсэх, дараа нь хөргөлтийн урвалын саатал нь дулаарахаас ойролцоогоор ижил эсвэл бүр их байх ёстой.  

Сүүлчийн тэгшитгэл нь уншигчдын анзаарсанчлан пропорциональ саатал бүхий хамгийн энгийн өөрийгөө тохируулах механизмын үйл ажиллагааг дүрсэлсэн болно. Хавсралт А-д блок диаграммыг үзүүлэв  

PERRON97 процедур нь энэ тохиолдолд завсарлагааны огноог нэгж язгуур шалгуурын ta=i-ийн хамгийн бага -статистикийн бүх боломжит завсарлагааны цэг дээр үндэслэн сонгосон бол 1999 07 гэж тодорхойлдог. Энэ тохиолдолд ta= = - 3.341, энэ нь критик түвшин - 5.59-ийн 5%-иас дээш байх ба нэгж язгуур таамаглалыг үгүйсгэхгүй. Тэгшитгэлийн баруун талд орсон ялгааны хамгийн том хоцролтыг 10% -ийн ач холбогдлын түвшинтэй загварыг багасгахын тулд GS процедурын хэрэглээний нэг хэсэг болгон 12-той тэнцүү сонгосон.  

Тусгай курс

Хазайсан аргумент бүхий тэгшитгэлийн ангилал. Сааталтай дифференциал тэгшитгэлийн анхны утгын үндсэн бодлого.

Дараалсан интеграцийн арга. Хоцролттой тэгшитгэлийн шийдлийг жигд болгох зарчим.

Шахсан зураглалын зарчим. Хэд хэдэн бөөгнөрөл саатал бүхий тэгшитгэлийн анхны утгын үндсэн асуудлын шийдийн оршихуй ба өвөрмөц байдлын теорем. Түгээмэл саатал бүхий тэгшитгэлийн системийн анхны утгын үндсэн асуудлыг шийдвэрлэх оршихуй ба өвөрмөц байдлын теорем.

Анхдагч утгын үндсэн асуудлын шийдлүүдийн параметрүүд болон анхны функцуудаас тасралтгүй хамааралтай байх.

Сааталтай тэгшитгэлийн шийдлүүдийн онцлог шинж чанарууд. Шийдвэрийг үргэлжлүүлэх боломж. Эхлэх цэгийг хөдөлгө. тухай теоремууд хангалттай нөхцөлнаалдсан интервалууд. Шийдлийн орон нутгийн бус өргөтгөх боломжийн хангалттай нөхцлийн тухай теорем.

Томъёоны гарал үүсэл ерөнхий шийдэлУчир нь шугаман системшугаман сааталтай.

Тогтвортой байдлын хувьд сааталтай тэгшитгэлийн судалгаа. D хуваалтын арга.

Тогтвортой байдлыг судлах функциональ аргыг ашиглах. Тогтвортой байдлын шаардлагатай ба хангалттай нөхцлийн тухай Н.Н.Красовскийн теоремууд. Функционалуудыг бий болгох жишээ.

Тогтвортой байдлыг судлахад Ляпуновын функцын аргыг ашиглах. Сааталтай тэгшитгэлийн шийдүүдийн тогтвортой байдал ба асимптотик тогтвортой байдлын тухай Разумихины теоремууд. Ляпуновын функцийг бүтээх жишээ.

Бүрэн ба бүрэн бус мэдээлэл бүхий системд саатал бүхий програмын хяналтыг бий болгох. V. I. Зубовын теоремууд. Хөрөнгийн хөрөнгө оруулалтыг салбараар нь хуваарилах асуудал.

Шугаман болон шугаман бус тохиолдлуудад оновчтой програмын хяналтыг бий болгох. Понтрягины хамгийн дээд зарчим.

Тогтмол сааталтай хяналтаар тэгшитгэлийн системийг тогтворжуулах. Нэг тэнхлэгт тогтворжуулахад хувьсах хоцрогдлын нөлөө хатуу.

Уран зохиол

1. Жабко А.П., Зубов Н.В., Прасолов А.В.Үр дагавартай системийг судлах аргууд. Л., 1984. Деп. VINITI, № 2103-84.
2. Зубов В.И.Хоцрогдсон аргумент бүхий шугаман суурин системийн онолын тухай // Изв. их дээд сургуулиуд Сэр. математик. 1958. № 6.
3. Зубов В.И.Хяналтын онолын лекц. М .: Наука, 1975.
4. Красовский Н.Н.Хөдөлгөөний тогтвортой байдлын онолын зарим асуудал. М., 1959 он
5. Малкин I. G.Хөдөлгөөний тогтвортой байдлын онол.
6. Мышкис A.D. Ерөнхий онолхоцрогдсон аргументтай дифференциал тэгшитгэл // Успеки Мат. Шинжлэх ухаан. 1949. Т.4, №5.
7. Прасолов А.В.Динамик үйл явцын аналитик болон тоон судалгаа. Санкт-Петербург: Санкт-Петербург улсын их сургуулийн хэвлэлийн газар, 1995 он.
8. Прасолов А.В.Эдийн засаг дахь динамикийн математик загварууд. Санкт-Петербург: Санкт-Петербургийн хэвлэлийн газар. Эдийн засаг, санхүүгийн их сургууль, 2000 он.
9. Чижова О.Н.Хоцрогдсон аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн системийн тогтвортой байдал, шийдлийг бий болгох. Л., 1988. Деп. VINITI-д, No 8896-B88.
10. Чижова О.Н.Хатуу биеийн тогтворжилтыг харгалзан үзэх шугаман хоцрогдол// Санкт-Петербург улсын их сургуулийн мэдээллийн товхимол. Сер.1. 1995. Дугаар 4, No22.
11. Чижова О.Н.Хувьсах саатал бүхий тэгшитгэлийн орон нутгийн бус тасралтгүй байдлын тухай // Механик ба хяналтын үйл явцын асуултууд. Боть. 18. - Санкт-Петербург: Санкт-Петербург улсын их сургуулийн хэвлэлийн газар, 2000 он.
12. Элсголц Л.Е., Норкин С.Б.Хазайлттай аргумент бүхий дифференциал тэгшитгэлийн онолын танилцуулга. М., 1971.

Шугаман бус олон хэмжээст динамик объектуудын төлөвийн тэгшитгэлийг бүртгэх, орон зайд өргөтгөлтэй хяналтын систем, тээвэрлэлтийн саатлын элементүүдийг нэгтгэн дүгнэсэн болно. Ерөнхий дүгнэлтийг интеграторуудын хамт саатал холбоосыг хамгийн энгийн динамик холбоосуудад оруулах замаар гүйцэтгэдэг. гаралтын утгыг бие даасан төлөвийн хувьсагч гэж үздэг хүмүүс.

1. Инерцийн динамик объектууд

Төлөв хувьсагчид дахь динамик объектын уламжлалт математикийн тодорхойлолт нь төлөвийн хувьсагчийн өөрчлөлтийн хурдыг тухайн объектод үзүүлэх нөлөөлөл ба төлөвийн хувьсагчийн утгуудыг холбодог төлөвийн вектор тэгшитгэл, түүнчлэн векторын тэгшитгэлийг агуулдаг. объектын гаралтын хэмжигдэхүүний утгууд (эсвэл тэдгээрийн хэмжилтийн үр дүн) түүний төлөв байдлын хувьсагч ба түүнд үзүүлэх нөлөөлөл:

• x - төлөвийн хувьсагчийн вектор;
• u нь объектод үзүүлэх нөлөөллийн вектор;
• y - объектын гаралтын утгын вектор;
• z - хөндлөнгийн вектор;
• f(.) ба g(.) нь нэлээд ерөнхий функцууд юм.

Систем (К.1.1) нь олон хэмжээст орон зайн төвлөрсөн (цэг) шугаман бус инерциал-динамик хяналтын объектын төлөвийн хувьсагчийн вектор дифференциал-алгебрийн тэгшитгэлийн систем юм.

(К.1.1) тэгшитгэлээс харахад динамик объектын тайлбар нь бүтцийн хувьд шугаман ялгах (үнэндээ динамик, инерциал) ба инерцгүй хоёр шугаман бус гэсэн гурван төрлийн операторыг агуулж байгааг хялбархан харж болно: холбох элемент ба найрлагын элемент:

Шугаман ялгах оператор нь төлөвийн хувьсагчийн агшин зуурын өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог тул инерцийг тайлбарладаг бөгөөд иймээс бага ч гэсэн өмнөх зарим хугацааны хувьд одоо мэдэгдэж байгаа хувьсагчийн утгыг тодорхойлдог. Үүнийг инерци гэж тайлбарлах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл. зан үйлийн зарим урьдчилан тодорхойлсон байдал.

Цагаан будаа. K.1.1. Инерцийн объектын тодорхойлолт ба түүний бүтцийн загвар. Дифференциал тэгшитгэл нь нөлөөллийн шалтгаан-үр дагаврын хамаарлыг илэрхийлдэг Xболон хариу үйлдэл (хариу) yхамгийн энгийн инерцийн холбоос: нөлөөлөл Xгаралтын утгыг y ийм байдлаар өөрчлөхөд хүргэдэг хурдЭнэ өөрчлөлт нь шууд пропорциональ байна нөлөө. Интегратор нь хамгийн энгийн, үндсэн динамик (инерциал) элементийн загвар юм. Бүтцийн загвар нь шалтгаан, нөлөөлөл нь үр дагавар, гаралтын утга болж хэрхэн хувирч байгааг тусгасан болно: хамгийн энгийн (үндсэн) инерцийн загвар нь нөлөөллийн хуримтлал, хадгалалтыг баталгаажуулдаг.

Объектын шугаман загварт суперпозицийн зарчим хүчинтэй тул хувьсагчдын найрлагын оператор нь тэдгээрийн жигнэсэн нийлбэр бөгөөд холболтын оператор нь шугаман болно.

Төлөв хувьсагч дахь динамик объектын тэгшитгэлийг интеграл хэлбэрээр танилцуулж болох бөгөөд энэ нь бүтцийн загварчлалд илүү ойлгомжтой байдаг.

Төлөвийн тэгшитгэл нь динамик объектын өөрийн дотоод инерцийг тодорхойлдог. Гаралтын тэгшитгэл нь гаралтын хэмжигдэхүүний векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн хэмжилтийн хөндлөнгийн оролцоог харгалзан үздэг.

Цэвэр инерцийн динамик объектын төлөв байдал, зан үйлийн хандлага, ядаж хязгааргүй бага интервалын хувьд тухайн объектын бүх төлөвийн хувьсагчийн утгуудын багцаар тодорхойлогддог бөгөөд тухайн объектын харгалзах байрлалаар харагдана. олон хэмжээст төлөвийн орон зайн төлөөлөх цэг. Инерцийн объектын тухай мэдээлэл нь бүрэн гүйцэд учраас төлөөлөх цэгийн траекторийн аль ч цэгийн координатыг төлөвийн тэгшитгэлийг нэгтгэх анхны нөхцөл гэж үзэж болно, i.e. Динамик объектын гадаад нөлөөлөл эсвэл байхгүй тохиолдолд зан төлөвийг үнэлэх, төлөөлөх цэгийн хөдөлгөөний дараагийн бүх замыг тодорхойлох.

Үүнийг харуулахын тулд бид өөр өөр анхны нөхцөл бүхий чөлөөт хэлбэлзлийн системийн загварт зориулсан фазын хөрөг зургийг (хоёр хэмжээст төлөвийн орон зай дахь объектуудыг төлөөлөх цэгүүдийн хөдөлгөөний замнал) танилцуулж байна.

Цагаан будаа. K.1.1. Ижил фазын замналтай харгалзах өөр өөр анхны нөхцөлд чөлөөт инерцийн хэлбэлзлийн системийн фазын зургууд давхцаж байна, өөрөөр хэлбэл. фазын траекторийн аль ч цэгийн координатыг объектын цаашдын чөлөөт байдлыг бүрэн тодорхойлдог анхны нөхцөл гэж үзэж болно.

Тиймээс цэгийн (зөвхөн инерцийн, сааталгүй элементүүд) динамик объектуудын зан төлөвийг төлөв ба гаралтын тэгшитгэл, түүнчлэн тухайн объектын бүх төлөвийн хувьсагчийн утгууд болох анхны нөхцлөөр бүрэн дүрсэлсэн болно. цаг хугацаа, тодорхой траектороор харагдана, объектын одоогийн төлөв нь төлөвийн хувьсагчийн олон хэмжээст орон зайд тодорхойлогддог цэг юм.

2. Сааталтай элемент бүхий өргөтгөсөн объектын төлөвийн тэгшитгэл

Объектын загвар дахь саатлын холбоосыг хоёр дахь удаагаа харгалзан үзвэл, бие даасан төрөлхамгийн энгийн динамик элементүүд нь инерцийн (интегратор) хамт төлөв хувьсагчийн бараг бүх нарийн төвөгтэй динамик объектуудыг жигд дүрслэх боломжийг олгодог бөгөөд үүний үндсэн дээр тэдгээрийн дүн шинжилгээ, оновчлолыг гүйцэтгэдэг.

2.1. Өргөтгөсөн динамик объектуудын загваруудын тэгшитгэл ба бүтэц

Дифференциал хэлбэрөргөтгөсөн объектын төлөвийн тэгшитгэл

Динамик объектын загварын зарим салбаруудад саатлын элементүүд байгаа нь сааталгүй объекттой харьцуулахад объектын динамик шинж чанарыг ихээхэн, ихэвчлэн үндсээр нь өөрчилдөг. Тиймээс зөвхөн инерцийн элементүүдийн (интеграторуудын) гаралтын утгуудад тохирох төлөвүүдийн орон зай нь саатлын холбоос бүхий объектын төлөв байдал, үйл ажиллагааг бүрэн тодорхойлж чадахгүй байна.

Динамик объектын саатлын элементийг инерцийн нэгэн адил динамик, гаралтын утгыг тусдаа төлөвийн хувьсагч гэж үзэх хэрэгтэй.

Хязгаарлагдмал хугацааны интервалын дохиог саатуулдаг холбоосыг энгийн динамик гэж ангилах үндэс нь бодит объектын загваруудын хамгийн энгийн динамик элементийн хоёр төрлийн ижил төстэй ба ялгаан дээр үндэслэсэн бөгөөд дараах байдалтай байна.

Гадны ялгаа нь инерцийн элементийг энгийн дифференциал тэгшитгэлээр, харин хоцрогдсон элементийг алгебрийн нэгээр тайлбарладагт оршино.

"Динамик" гэсэн нэр томъёо нь гадны нөлөөн дор байгаа зан төлөвийг дор хаяж хязгааргүй бага интервалаар урьдчилан таамаглах боломжтой объектуудыг хэлдэг. Уламжлал ёсоор цорын ганц динамик гэж тооцогддог инерцийн элемент болох интегратор нь энэ шаардлагыг хангаж байна. Гэхдээ саатлын холбоос нь түүнд үзүүлэх нөлөөллийн суурь нь мэдэгдэж байгаа бол энэ шаардлагыг хангана. Энэ тохиолдолд саатлын холбоос нь түүний гаралтын утгын цаашдын хязгаарлагдмал хугацааны интервалын төлөв байдлыг хатуу тодорхойлох боломжийг олгодог. Тэр. Сааталын холбоосыг динамик гэж ангилж болно.

Нөгөөтэйгүүр, саатлын холбоос нь бодит объектуудад материал шилжүүлэх ("тээврийн саатал"), эсвэл объектын зарим элементийн оролтод дохио ирэх (нөлөөллийн загвар) сааталтай тохирч байна. түүний орон зайд тархалт. Тиймээс саатлын холбоос нь харилцааны элементүүдтэй холбоотой байж болно.

Тархалт бүхий суурин бус саатал элемент ба түүний онцгой тохиолдол, цэвэр саатал элемент, түүнчлэн хамгийн энгийн инерцийн элемент нь динамик бөгөөд учир нь түүний гаралтын дохио нь өвөрмөц бөгөөд бусад, зөвхөн инерцийн инерцгүй найрлагаар олж авах боломжгүй юм. төлөв хувьсагч. Энэ нь ийм найрлагад цаг хугацаа алдсаны үр дүн юм.

Коши хэлбэрээр үзүүлсэн цэгийн объектуудын төлөв байдлын тэгшитгэлийг өргөтгөсөн объектууд болон тээвэрлэлтийн сааталтай объектуудад нэгтгэхийн тулд бид урьдчилан таамаглах операторыг албан ёсоор нэвтрүүлж байна. Урд (τ) :

Ерөнхий тохиолдолд энэ оператор нь мэдээжийн хэрэг физикийн хувьд хэрэгжих боломжгүй, учир нь энэ нь τ хязгаарлагдмал хугацааны интервалд үйлчилж буй хувьсагчийн утгыг урьдчилан таамаглах ёстой. Гэхдээ энэ оператор нь төлөвийн тэгшитгэлийн анхны албан ёсны "сайхан" дүрслэлд л хэрэгтэй бөгөөд тэдгээрийн бүтцийн шийдлийг хэрэгжүүлсэн саатал операторын тусламжтайгаар хийх боломжтой. Нөгөөтэйгүүр, төлөвийн тэгшитгэл дэх таамаглах оператор нь зөвхөн саатал, оролтын нөлөө бүхий объектын бүх төлөвийн хувьсагчийн үйл ажиллагааны түүхээр тодорхойлогддог төлөв байдлын хувьсагч дээр ажилладаг. ийм найрлагатай, тиймээс энэ тохиолдолд энэ нь биелэх боломжтой, учир нь урьдчилсан таамаглал нь арын дэвсгэр дээр хатуу тодорхойлогддог.

Ингээд өргөтгөсөн динамик объектын төлөвийн хувьсагчдын вектор тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр бичье.

(К.2.1.2)-д бичих, уншихад хялбар болгох үүднээс төлөвийн хувьсагчдыг хоёр бүлэгт хуваана. Эхний бүлгийн хувьсагч х (1) нь объектын хамгийн энгийн инерцийн элементүүдийн төлөвийн хувьсагч, тэдгээрийн гаралтын утгууд юм. Хувьсагч х (2) нь объектын саатлын холбоосын гаралттай харгалзах төлөвийн хувьсагч юм. Зарчмын хувьд "инерцийн" болон "хойшлогдсон" төлөвийн хувьсагчдыг бичиж, дугаарлаж болох нь ойлгомжтой. тодорхой дарааллаарба нэг вектор тэгшитгэлд нэгтгэсэн.

Динамик объектын төлөв байдлын тэгшитгэлийн ерөнхий систем нь зөвхөн нэг бие даасан хувьсагчтай байдаг гэдгийг анхаарна уу - хугацаа t. (К.2.1.2)-д заасан объектын орон зайн шинж чанарыг хязгаарлагдмал (хязгааргүй) хурдтай буюу тээвэрлэлтийн сааталтай орон зайд нөлөөллийн тархалтаас үүдэлтэй саатал τ хугацааны векторыг харгалзан шууд бусаар дүрсэлсэн болно.

Динамик объектуудыг төлөв байдлын тэгшитгэлээр тайлбарласны үндсэн дээр сааталтай авч үзэхийг өмнө нь зарим зохиогчид хийж байсан.

2.1-ийн (2.1.2)-д заасан тайлбар нь зөвхөн тэгшитгэлийн баруун талд сааталыг зааж өгөхөөр хязгаарлагдах бөгөөд загварын бүтцэд саатал холбоосыг өөрийн төлөвийн хувьсагчаар тодорхойлогддог функциональ элемент болгон оруулаагүй болно. Төлөвийн тэгшитгэлийн ижил төстэй анхны дүрслэлийг “1.5. Тээвэрлэлтийн саатал бүхий системийг оновчтой хянах, 188 ff, түүнчлэн .

Тэгшитгэлийн хэлбэр (K.2.1.2) нь саатлын холбоосын гаралтын утгуудад харгалзах тусгай төлөвийн хувьсагчдыг оруулахад санал болгож буй хэлбэрээс ялгаатай байна. Ийм байдлаар саатлын холбоосууд нь хамгийн энгийн динамиктай холбоотой бөгөөд динамик объектуудын тайлбар нь бүх нийтийн шинж чанартай болдог.

Энэ зүйлд санал болгож буй динамик объектын дүрслэлд тухайн объектын одоогийн дотоод төлөвийг интегратор ба саатлын холбоосын гаралтын утгуудтай харгалзах төлөвийн хувьсагчийн утгын вектор, мөн түүний түүхээр бүрэн тодорхойлогддог. тэдний зан байдал.

Өргөтгөсөн объектын төлөв байдлын тэгшитгэлийн салшгүй хэлбэр

Сааталтай динамик объектын төлөвийн хувьсагчийн тэгшитгэлийг интеграл "хоцролттой" хэлбэрээр танилцуулж болох бөгөөд энэ нь зурахад илүү ойлгомжтой байж магадгүй юм. бүтцийн загваробьект:

саатуулагч операторууд хаана байна:

таамаглагчтай холбоотой эсрэг үйлдэл хийх Урд (.).

Тиймээс (К.2.1.3) нь олон хэмжээст өргөтгөсөн шугаман бус стационар бус динамик объектын вектор төлөвийн хувьсагчдын салшгүй “хоцрогдсон” тэгшитгэлүүд юм. Хамгийн энгийн инерцийн элементүүдийн гаралтын дохионд харгалзах хувьсагчдын хэсэг нь х (1) вектороор тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь хувьсагчдын нэгэн адил бүх хувьсагчийн зарим хослолын хуримтлалын (интеграл) үр дүн юм. нөлөөлөл нь цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөж болно. Х (2) гэж тэмдэглэгдсэн төлөвийн хувьсагчдын хоёр дахь хэсэг нь бүх төлөвийн хувьсагчийн зарим хослол, түүнчлэн объектын оруулах үйлдлүүдийн тодорхой хугацааны сааталыг илэрхийлдэг. τ (вектор), энэ нь ерөнхийдөө цаг хугацааны явцад өөрчлөгдөж болно. Эдгээр тэгшитгэлийн дагуу бүтцийн тэгшитгэлийг байгуулж болно. виртуал-аналог, динамик объектын загварууд.

Өргөтгөсөн объектын төлөвийн тэгшитгэлийн анхны нөхцөлүүд

Тэгшитгэлд (K.2.1.3) саатлын холбоосуудын (операторуудын) анхны нөхцөл нь интеграторуудын адил цаг хугацааны тэг цэг дэх төлөвийн хувьсагч ба оролтын үйлдлүүдийн хослолын утга биш юм. Тэгшитгэлийг (K.2.1.3) өвөрмөц байдлаар шийдвэрлэхийн тулд эдгээр холбоосуудын оролтын утгуудын үйл ажиллагааны түүхийг тодорхойлох функцийн хэлбэрээр саатлын холбоосуудын анхны нөхцлийг тохируулах шаардлагатай. үүний төлөө тэд саатал хэрэгжүүлдэг.

Тэр. "Санах ойтой" саатлын холбоосууд нь объектын үйл ажиллагааны асуудлыг хоёрдмол утгагүй шийдвэрлэхийн тулд илүү их мэдээлэл шаарддаг: интеграторуудад хангалттай байдаг шиг зарим үед төлөвийн хувьсагчийн утгын вектор биш, харин интеграци эхлэхээс өмнөх саатлын холбоосуудтай харгалзах хугацааны интервалд заасан функцүүдийн вектор (төрийн хувьсагч ба объект дээрх оролтын нөлөөллийн хослол).

Өөрөөр хэлбэл, сааталтай системүүдийн төлөвийн орон зай дахь цэг ба траекторийн хувьд динамик объектын төлөв байдал, төлөв байдал нь зөвхөн энэ орон зай дахь цэгийн байрлалаар тодорхойлогддоггүй, мөн түүний өмнөх замналаар тодорхойлогддог. саатал” дэд орон зай x(2) ба дэд орон зайд х (1) “инерцийн” хувьсагчид, түүнчлэн харгалзах саатлын холбоосуудад саатал гарсан тухайн хугацааны интервал дахь гадны нөлөөллийн зан байдлын түүх.

Үүнтэй төстэй мэдэгдэл уламжлалт хэлбэрХойшлуулсан объектын төлөв байдлын тэгшитгэлийн дүрслэлийг мөн 2.1-д өгсөн болно.

"Цаг хугацааны дурын агшинд сааталтай тасралтгүй объектын төлөв нь зөвхөн тодорхой хязгаарлагдмал тооны параметрүүдээр тодорхойлогддог (төрийн хувьсагч гэсэн үг - F.B.T.) (хоцрогдолгүй объектын хувьд), мөн тодорхой функцээр тодорхойлогддог. интервал дээр тус тус . Энэ нь ийм объектуудын менежментийг ихээхэн хүндрүүлж байна."

Ерөнхийдөө саатлын холбоосын анхны нөхцөлийг тодорхойлох асуудал нь зөвхөн динамик объектыг төлөвийн хувьсагчид дүрслэхээс гадна бусад тайлбарын аргуудын онцлог шинж юм. Ихэнхдээ динамик объектуудыг сааталтай дижитал загварчлахдаа "хойшлогдсон" хувьсагчдын анхны траекторийг авдаг, жишээлбэл. саатлын нэгжийн гаралтын утга тогтмол байна. Үүнийг хийхийн тулд холбоосын буферийг эхлээд тэг эсвэл тогтмолоор дүүргэдэг.

Динамик объектын нэг хэсэг болох саатлын холбоосын оролтын дохио нь бусад холбоосууд болон объектод үзүүлэх нөлөөлөлтэй холбоотой төлөвийн хувьсагчдын найрлага тул саатлын холбоосын гаралтын дохионы өөрчлөлтийн хатуу урьдчилсан таамаглалыг тохируулах нь тэнцүү юм. ижил хугацааны интервалд нэрлэгдсэн төлөвийн хувьсагч болон нөлөөллийн зан байдлын өмнөх түүхийг тодорхойлох.

Цагаан будаа. 2.1.1. Тодорхой цаг хугацааны хоцрогдолтой динамик объектын төлөв нь тухайн үеийн төлөвийн хувьсагчдын утгууд болох координатууд нь төлөвийн орон зай дахь түүний төлөөлөх цэгийн байрлалаар тодорхойлогддог. одоогийн цэгээс өмнөх цаг хугацааны цэгүүдэд энэ цэгийн замнал. Олон хэмжээст төлөвийн орон зайг инерцийн төлөвийн хувьсагчдын дэд орон зай ба "хоцрогдсон" төлөвийн хувьсагчийн дэд орон зай болгон төлөөлж болно.

Тиймээс цэгийн объектуудын хувьд төлөвийн орон зай дахь төлөөлөх цэгийн байрлал нь динамик объектын төлөв байдал, ойрын ирээдүйд түүний зан төлөвийн чиг хандлагыг бүрэн тодорхойлдог. Сансар огторгуйд тархсан, бүтцэд нь тээвэрлэлтийн саатлын холбоос бүхий объектуудын хувьд тэдгээрийн төлөв байдал, цаашдын зан төлөв нь зөвхөн дүрслэх цэгийн одоогийн байрлалаар тодорхойлогддог төдийгүй өмнөх үеийн орон зай дахь хөдөлгөөний траектороор тодорхойлогддог. нэлээд том, хугацааны интервал.

Саатал бүхий динамик объектын загварын бүтэц

Системд тохирох саатал бүхий динамик объектын загварын бүтцийг (К.2.1.3) зурагт томруулсан хэлбэрээр үзүүлэв.

Цагаан будаа. K.2.1.2. Орон зайд өргөтгөсөн ажиглагдсан олон хэмжээст хөдөлгөөнгүй шугаман бус динамик хяналтын объектын загварын үндсэн бүтцийн элементүүдийн томруулсан бүдүүвч дүрслэл. Объектийн өөрийн динамик шинж чанарууд нь зүүн блокийн бүтэц, шинж чанар, параметрүүдээр тодорхойлогддог хувиргагч блок нь төлөвийн хувьсагчдыг хэмжиж болох хэмжигдэхүүн болгон хувиргадаг (эсвэл шууд хэмжилтийн үр дүнд);

Цагаан будаа. K.2.1.3. Динамик объектын загварын бүтэц нь түүний дотоод "бодисын солилцоо" -ыг илэрхийлдэг. нөлөөлөл ба хувьсагчийн утгыг шилжүүлэх чиглэл, түүнчлэн тэдгээрт хийгдсэн үйлдлүүд. Сааталтай объектын зан төлөвийг зөвхөн "инерцийн" төлөвийн хувьсагчдын анхны нөхцлийн вектороор төдийгүй бүх төлөвийн хувьсагчийн түүх, түүнчлэн объектод үзүүлэх нөлөөллийн түүхээр тодорхойлдог.

Функциональ саатлын элементүүдтэй нийлмэл динамик объектыг бүтцийн хувьд инерцийн болон "саатсан" гэсэн хоёр зэрэгцээ контураар дүрсэлсэн байдаг. Бүхэл бүтэн объектын төлөвийн хувьсагч нь инерцийн болон "хойшлогдсон" төлөвийн хувьсагчдын хослол юм (объектийн бүтэц дэх хамгийн энгийн инерцийн элементүүдийн гаралтын утгууд ба "хойшлогдсон" утгууд, өөрөөр хэлбэл саатлын холбоосын гаралтын утгууд) нэг вектор.

Дээр дурдсанчлан, ерөнхий тохиолдолд тодорхой саатлын холбоосын оролтын дохиог тухайн объектын төлөвийн бүх хувьсагч болон түүнд үзүүлэх бүх нөлөөллийн аль алинаар нь тодорхойлно. Тиймээс объектын төлөв байдал, дараа нь зан төлөвийг хоёрдмол утгагүй тодорхойлохын тулд "хоцрогдсон" төлөвийн хувьсагчийн зан төлөвийн үнэ цэнэ, таамаглал, эсвэл түүнтэй адилтгах бүх төлөвийн зан байдлын түүхийг мэдэх шаардлагатай. хувьсагч ба объектын оруулах үйлдэл.

2.2. Өргөтгөсөн объектуудын хамгийн энгийн бүтцийн элементүүд

Динамик объектуудын сааталтай төлөв ба гаралтын тэгшитгэл (К.2.1.2) ба (К.2.1.3)-аас харахад тэдгээрийг тодорхойлоход ердөө дөрвөн оператор хангалттай. Орон зайн хэмжээ ба (эсвэл тээвэрлэлтийн саатал) динамик систем ба объектуудын хамгийн энгийн дөрвөн элементийн (эдгээр операторуудын виртуал аналог) математикийн тодорхойлолт нь тэдгээрийг тодорхойлсон физик хуулиудад шууд бусаар үндэслэсэн болно. энгийн тэгшитгэлүүд, нэг нь шугаман дифференциал, нөгөө гурав нь алгебр:

• x - элементэд үзүүлэх нөлөө,
• y - түүний хариу үйлдэл,
• t - цаг хугацаа,
• τ нь тодорхой хугацааны хоцрогдол юм.

Цагаан будаа. K.2.2.1. Интегратор ба хөдөлгөөнгүй саатлын холбоос нь энгийн динамик объектуудын цогц төрөл юм. Хойшлуулсан объектын загваруудын эдгээр хамгийн энгийн динамик элементүүд нь объектын төлөв байдал, зан төлөвийг бүрэн, хоёрдмол утгагүй дүрслэх анхны нөхцөлийг тогтоохыг шаарддаг. Интеграторын хувьд энэ нь хоцрогдолын холбоосын хувьд болзолт тэг агшин дахь гаралтын хэмжигдэхүүний утга, "анхны" нөхцөл нь [-τ, 0] интервал дахь оролтын хэмжигдэхүүн юм; , эсвэл ижилхэн нь холбоос дахь саатлын хугацаатай тэнцүү интервал дахь саатлын холбоосын ("хойшлогдсон" төлөвийн хувьсагч) гаралтын утгын үйл ажиллагааны таамаглал.

Цагаан будаа. K.2.2.2. Ерөнхий хэлбэрийн хамгийн энгийн (үндсэн) элементүүд блок диаграмдинамик объект нь түүний хувьд математик загварЗөвхөн дөрвөн өөр төрлийн элемент байдаг. Эдгээр төрлийн элементүүд нь дурын төвөгтэй динамик объектыг загварчлахад хангалттай. технологийн суурилуулалт, хяналтын систем гэх мэт)

Хамгийн энгийн элементүүдийг нэгтгэснээр та дур зоргоороо нарийн төвөгтэй динамик объектын тууштай загварыг бий болгож чадна. Динамик объектын дифференциал алгебрийн тэгшитгэлийн системийг төлөв байдлын тэгшитгэл хэлбэрээр эмхэтгэх нь динамик объектын загварыг нэг чиглэлтэй хамгийн энгийн динамикийн багц хэлбэрээр илэрхийлэх далд, шууд бус арга, нэг төрлийн "ариун ёслол" юм. бие биетэйгээ харилцан үйлчилдэг элементүүд.

2.3. Хоцролттой объектуудыг ажиглах, хянах боломжтой

Дээрх дүгнэлтээс үзэхэд сааталтай динамик объектын хоёрдмол утгагүй төлөв нь зөвхөн төлөвийн хувьсагчдын одоогийн утгуудаар тодорхойлогддоггүй, мөн тэдгээрийн өмнөх мөчид, хязгаарлагдмал болон хугацааны туршид өөрчлөгдсөн түүхээр тодорхойлогддог. хангалттай сунгасан интервал. Иймд ийм объектуудын хувьд ажиглагдах, хянах боломжтой гэсэн ойлголтуудыг тодруулах шаардлагатай.

Хянах чадварХойшлогооны элемент бүхий динамик объект нь тодорхой хугацааны дараа нөлөөллийн векторын хязгаарлагдмал өөрчлөлтөөр объектыг тодорхой зан үйлийн өмнө байсан одоогийн төлөвөөс шинэ, шаардлагатай төлөвт шилжүүлэх боломжтой юм. төлөвийн орон зай дахь төлөөлөх цэгийн өгөгдсөн траекторийн өмнө байдаг төлөв.

Ажиглах чадвархоцрогдсон объектыг бид ямар ч үед төлөвийн хувьсагчийн одоогийн векторыг олох боломж гэж тодорхойлдог. замын эцсийн хэсэгТухайн объектын гаралтын хэмжигдэхүүн ба тэдгээрийн өмнөх зарим хугацааны интервал дахь үйл ажиллагааны хэмжилтийн дагуу төлөөлөх цэг нь одоогийн байрлалд орох төлөвийн орон зайд.

Төлөвийн тэгшитгэлийн баруун талд сааталыг дүрслэх динамик объектын ажиглалт ба хянах боломжтой ойлголтуудын илүү нарийн тодорхойлолтыг дараах хэсгээс олж болно: “2.6. Системийн хяналт, ажиглалт сааталтай."

2.4. Хугацаатай динамик объектын төлөв ба анхны нөхцөл

Сааталтай динамик объектын одоогийн төлөв байдал нь дараагийн цаг мөчид, ядаж маш богино хугацааны туршид түүний зан төлөвийг хоёрдмол утгагүйгээр тодорхойлох ёстой. Объект дээр гадны нөлөө байхгүй (чөлөөт хөдөлгөөн), эсвэл мэдэгдэж буй гадны нөлөөллөөр энэ хугацаа хязгааргүй хүртэл үргэлжилдэг.

Сааталтай динамик объектын төлөвийг "инерциал" ба "саатсан" төлөвийн бүх хувьсагчийн агшин зуурын утга, түүнчлэн тэдгээрийн түүх, объектод үзүүлэх нөлөөллийн түүхээр тодорхойлно.

Цагаан будаа. K.2.4.1. Динамик объектын төлөвийн хувьсагчийн үе шатны хөрөг зураг, зан төлөв нь гадны нөлөөлөл байхгүй үед сааталтай байдаг. Хэрэв бид саатлын холбоосыг энгийн динамик гэж үзвэл, өөрөөр хэлбэл. түүний гаралтын утгыг бие даасан төлөвийн хувьсагч гэж үзэх, дараа нь бүрэн тайлбарДинамик объектын сааталтай төлөв байдал, зан үйлийн чиг хандлагыг тодорхойлохын тулд зөвхөн тодорхой цаг хугацааны төлөвийн хувьсагчдын утгыг төдийгүй тэдгээрийн өөрчлөлтийн түүхийг зааж өгөх шаардлагатай. энэ тохиолдолдсаатлын холбоосын буфер руу оруулна. Өөр өөр түүхүүд нь фазын хөрөг зургийн өөр өөр замнал руу хөтөлдөг, i.e. өөр өөр объектын зан төлөвт. Сааталын холбоосын гаралтын хувьсагчийн зан төлөвийн төлөв (х3 төлвийн хувьсагч) нь түүний оролтын утгын зан байдлын өмнөх үеийнхтэй тэнцүү байна, учир нь энэ нь хоцролтоор саатсан энэхүү түүхийн өмнөх үеийг илэрхийлдэг бөгөөд энэ тохиолдолд τ = 1 сек байна. . Түүхийг мэдэх ёстой интервал нь саатлын холбоосын саатлын хэмжээгээр тодорхойлогддог

Таны харж байгаагаар төлөвийн тэгшитгэлийн анхны нөхцөлийг тохируулах, мөн түүнтэй тэнцэхүйц динамик объектын одоогийн төлөвийг хоцролттой хоёрдмол утгагүй дүрслэхийн тулд та зөвхөн утгуудыг мэдэх хэрэгтэй. төлөв хувьсагч, гэхдээ бас тэдний түүх.

Цагаан будаа. K.2.4.2. Анхны нөхцөл буюу түүнтэй адилтгах зүйл нь инерциал-динамик биетүүд болон сааталтай инерциал-динамик объектуудын төлөв байдал. Цэвэр инерцийн объектын хувьд түүний шинж чанарыг иж бүрэн тайлбарлахын тулд бүх төлөвийн хувьсагчийн утгууд, хэрэв байгаа бол тухайн объект дээрх оруулах үйлдлийн утгыг мэдэхэд хангалттай. Сааталтай объект нь инерцийн (загвар интеграторуудын гаралтын дохио) ба "хоцролттой" (загварын саатлын холбоосын гаралтын дохио) хоёулангийнх нь төлөв байдлын бүх хувьсагчийн утгын талаархи мэдлэгийг шаарддаг төдийгүй "хойшлогдсон" хүмүүсийн зан байдал.

Тиймээс хоцрогдолтой объектуудыг дүрслэхийн тулд энгийн инерцийн объектуудаас хамаагүй илүү мэдээлэл шаардагдах бөгөөд энэ нь тэдгээрийн дүн шинжилгээ, оновчлолыг төвөгтэй болгодог.

2.5. Сааталтай динамик объектын дижитал загварын бүрэн төлөвийн орон зай ба түүний тууштай дэд орон зайн дээр

Бодит тасралтгүй инерциал динамик объектуудын загваруудыг зөвхөн интегратор (W(p)-загвар) болон зөвхөн энгийн саатлын нэгж (W(z)-загвар) ашиглан хоёуланг нь барьж болно.

Цагаан будаа. 2.5.1. (хөдөлгөөнт дүрс, 14 фрейм) Интеграторын үндсэн дээр, нэг цагийн мөчлөгөөр хоцрогдсон энгийн саатлын нэгжийн үндсэн дээр бүтээгдсэн инерцийн хэлбэлзлийн системийн загварууд нь гаралтын хэмжигдэхүүнүүдийн шилжилтийн функцээс харж болно. x1 ба z1 тус тус. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр загваруудын интеграторуудын гаралтын утгууд болон симуляцийн мөчлөгийн дохионы саатлын нэгжид тохирох төлөвийн хувьсагчид өөр өөр байдаг. Тиймээс янз бүрийн хос хувьсагчдыг төлөөлөх цэгүүдийн замнал өөр өөр байдаг. Мэдээжийн хэрэг, загварт анхан шатны саатлын холбоосууд дээр дүрслэх цэгийн замнал нь нэлээд "уйтгартай" бөгөөд диагональ дагуу явдаг, учир нь хувьсагч хоёулаа бага зэрэг ялгаатай байдаг нь загварын нийцтэй байдлыг хангахад чухал ач холбогдолтой юм.

Интеграторууд (апериодын холбоосууд) нь хангалттай их сааталтай холбоосыг ойролцоогоор загварчлах боломжгүй гэдгийг анхаарна уу, харин аливаа саатлыг цаг тутамд саатлын холбоосоор ямар ч нарийвчлалтайгаар загварчлах боломжтой тул та тэдгээрийн хангалттай тоог сонгох хэрэгтэй.

Цагаан будаа. 2.5.2. Тасралтгүй саатлын холбоос ба түүний дижитал загварууд. Утга учиртай, иж бүрэн мэдээлэл агуулсан төлөвийн хувьсагч нь түүний оролтын үйлдлийн үйлдлийн түүхийг харгалзан саатлын холбоосын гаралтын утга юм. Сааталын холбоосын салангид загварын завсрын элементүүдийн гаралтын дохиог албан ёсоор төлөвийн хувьсагч гэж ангилж болох боловч тэдгээрийн мэдээлэл нь ээлжлэн давтагддаг тул зөвхөн бүхэл бүтэн гаралтын утгыг хязгаарлахад хангалттай. холбож, үүнийг энгийн нэгдмэл динамик төлөв гэж үзэх бөгөөд түүний төлөв байдал нь зөвхөн гаралтын утгын утгаар тодорхойлогддог төдийгүй түүний урьдчилсан мэдээгээр (оролтын хэмжигдэхүүний өмнөх түүх) тодорхойлогддог. Нэгт дискрет загварын буфер нь оролтын хэмжигдэхүүний түүхээр дүүрдэг тул төлөвийн хувьсагчийн таамаглалыг энэ түүхээр хатуу тодорхойлдог.

Сааталын буферийн микро холбоосуудын сүүлчийн утгатай яг тэнцүү байгаа саатлын холбоосонд томилогдсон төлөвийн хувьсагчийг тодорхойлох нь зөвхөн анхан шатны гаралтын утгуудыг багтаасан төлөв байдлын дэд орон зай болгон ашиглах боломжийг олгодог. саатал холбоосын дижитал загварыг бүрдүүлдэг холбоосууд. Харьцангуй цөөн тооны үр дүнтэй төлөвийн хувьсагч нь ялангуяа чухал үед аналитик судалгаадинамик объект ба түүний үр дүнгийн график дүрслэл.

Дүгнэлт

Төгсгөлийн утгын саатлын холбоосыг интегратороос гадна гаралтын утга нь бие даасан төлөвийн хувьсагч болох хамгийн энгийн динамик элемент гэж үзэж болох бөгөөд объектын төлөв байдлыг бүрэн, хоёрдмол утгагүй дүрслэхийн тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай. төлөвийн орон зай дахь төлөөлөх цэгийн байрлал болон түүний өмнөх траекторийн хэсгийг хоёуланг нь мэдэх, өөрөөр хэлбэл энэ нь объектын зан үйлийн түүх юм.

Хамгийн оновчтой системХяналт нь аль хэдийн хэрэгжсэн бол бодитой байдаг бөгөөд түүний шинж чанар нь ямар математикийн аппарат, түүний тусламжтайгаар дүрслэгдсэнээс хамаардаггүй. математик аргуудболон хэрэгслүүдийг оновчтой болгосон. Тиймээс хяналтын систем, тухайлбал ACS-ийн математик тайлбарын энгийн байдлыг системийн нарийн төвөгтэй байдлаар тодорхойлж, түүнд тохирсон байх ёстой.

Уран зохиол ба интернет

• 1. Ким Д.П. Онол автомат удирдлага. T.2. Олон хэмжээст, шугаман бус, оновчтой, дасан зохицох систем: Proc. Ашиг тус. - М.: FIZMATLIT, 2004. - 464 х. - ISBN 5-9221-0534-5.
• 2. Ким Д.П. Автомат удирдлагын онолын асуудлын цуглуулга. Олон хэмжээст, шугаман бус, оновчтой, дасан зохицох системүүд. - М.: FIZMATLIT, 2008. - 328 х. - ISBN 978-5-9221-0937-6.
• 3. Юань Янь. Автомат удирдлагын онол. Бүлэг 1-9. Танилцуулга, pdf формат. Мэдээллийн шинжлэх ухаан, инженерчлэлийн сургууль, CSU. 2005.08.28
  http://wuhua.csu.edu.cn/ac/ac/ch1.pdf
  http://wuhua.csu.edu.cn/ac/ac/ch2.pdf
  ...
  http://wuhua.csu.edu.cn/ac/ac/ch9.pdf
• 4. Лукас В.А. Хяналтын онол техникийн системүүд. Компакт сургалтын курсих дээд сургуулиудад зориулсан. - 3 дахь хэвлэл, шинэчилсэн. болон нэмэлт - Екатеринбург. UGGA-ийн хэвлэлийн газар, 2002, - 675 х.
• 5. Д.Сю, А.Мейер. Орчин үеийн онолавтомат удирдлага ба түүний хэрэглээ. В.С.БОЧКОВ, Е.В.ГУРЕЦКАЯ, Л.М.КИСЕЛЕВА, В.Г.ПОТЕМКИН нарын англи хэлнээс орчуулсан. Доктор Ск. Профессор Ю.ТОПЧЕЕВ. -М.,: МЕХАНИК ИНЖЕНЕР, 1972 он.
• 6. Дорф Р., Бишоп Р. Орчин үеийн системүүдудирдлага. Пер. англи хэлнээс Копылова B.I. - М .: Лаборатори үндсэн мэдлэг, Санкт-Петербург, 2002. -832 х. ISBN 5-93208-119-8
• 7. Федосов Б.Т. Олон хэмжээст объектууд. Тодорхойлолт, дүн шинжилгээ, менежмент. Рудный, 2010 он.
  http://model.exponenta.ru/bt/bt_171_MultyDim_Obj_Contr.htm
• 8. Ю.Ю. Громов нар сааталтай автомат удирдлагын системүүд. - Тамбов. : TSTU-ийн хэвлэлийн газар, 2007 он.
  http://window.edu.ru/window_catalog/files/r56879/k_Gromov1.pdf (698 KB)
• 9. Калман Рудольф Е., Фалб Питер Л., Арбиб Майкл А. Системийн математикийн онолын эссэ: Транс. англи хэлнээс / Ред. Я.3.Цыпкина. Удиртгал E.L.Nappelbaum. Эд. 2-рт, хэвшмэл. - М .: Редакцийн URSS, 2004. - 400 х. ISBN 5-354-00762-3
  Р.Э.Калман, Р.Л.Фалб, М.А.Арбиб
  Математикийн системийн онолын сэдэв
• 10. Ф.Чаки. Орчин үеийн менежментийн онол. Шугаман бус, оновчтой, дасан зохицох систем. В.В.Капитоненко, С.А.Анисимов нарын англи хэлнээс орчуулсан. Н.С.Райбман М., МИР 1975 он
• 11. В.М. Синеглазов, Р.Ю. Ткачев. Ерөнхий саатал бүхий олон хэмжээст объектын бие даасан удирдлага. Кибернетик ба тооцоолол. техник. Эрдэм шинжилгээний бүтээлийн салбар хоорондын цуглуулга. Боть. 157. Киев, 2009, х.

17-25.

Талархал
Хугацааны хоцрогдолтой логистик тэгшитгэлийг махчин ба олзны харилцан үйлчлэлийг судлахад ашиглаж болно - Логистик тэгшитгэлийн дагуу тогтвортой хязгаарын мөчлөг.

Цаг хугацааны хоцрогдол байгаа нь махчин, олзны харилцааны энгийн системийг загварчлах өөр аргыг ашиглах боломжийг олгодог.

Энэ арга нь логистик тэгшитгэл дээр суурилдаг (6.9-р хэсэг): Хүснэгт 10.1.популяцийн динамикийг нэг талаас Лотка-Вольтерра загвараас (мөн ерөнхийдөө махчин-олзны төрлийн загвараас), нөгөө талаас цаг хугацааны хоцрогдолтой логистик загвараас олж авсан. Аль ч тохиолдолд олзны элбэг дэлбэг байдлын максим (болон минимум)-ын дараа махчин амьтдын элбэг дэлбэг байдлын максимум (болон минимум) бүхий дөрвөн фазын мөчлөг байдаг.

Энэ тэгшитгэл дэх махчин амьтдын популяцийн өсөлтийн хурд нь анхны хэмжээ (C) ба тодорхой өсөлтийн хурдаас хамаарна, r-(K-C) I Kf энд K нь махчин амьтны популяцийн хамгийн их ханасан нягтрал юм. Харьцангуй хувь хэмжээ нь эргээд хүрээлэн буй орчны дутуу ашиглалтын түвшингээс (K-S) хамаардаг бөгөөд энэ нь махчин амьтдын популяцийн хувьд махчин амьтдын хэрэгцээ нь олзны олдоцоос давсан хэмжээ гэж үзэж болно. Гэсэн хэдий ч олдоц олдоц, улмаар махчин амьтдын популяцийн өсөлтийн харьцангуй хурд нь өмнөх тодорхой хугацаанд махчин амьтдын популяцийн нягтралыг илэрхийлдэг (6.8.4-р хэсэг). Өөрөөр хэлбэл, махчин амьтдын өөрийн нягтралд хариу үйлдэл үзүүлэхэд цаг хугацааны хоцрогдол үүсч болно.
dC „ l ( K Cnow-Iag \
- - G. Gnow j.
Хэрэв энэ саатал бага эсвэл махчин амьтан хэт удаан үрждэг бол (өөрөөр хэлбэл r-ийн утга бага бол) ийм популяцийн динамик нь энгийн логистикийн тэгшитгэлээр тодорхойлсоноос мэдэгдэхүйц ялгаатай байх болно (5-р сар, 1981a-г үзнэ үү). Гэсэн хэдий ч хоцролтын хугацаа болон нөхөн үржихүйн хурдны дунд эсвэл өндөр утгын үед популяци тогтвортой хязгаарын мөчлөгтэй хэлбэлздэг. Түүнчлэн, хэрэв эдгээр тогтвортой хязгаарын мөчлөгүүд нь хугацааны хоцрогдолтой логистикийн тэгшитгэлийн дагуу явагддаг бол тэдгээрийн үргэлжлэх хугацаа (эсвэл "хугацаа") нь өмнөх үеийнхээс ойролцоогоор дөрөв дахин их байна.

тэдний тооны хэлбэлзлийн механизмыг ойлгохын тулд хохирогчид.
Байгалийн популяциас олж авсан олон тооны жишээнүүд нь махчин амьтан, олзны тоо толгойн тогтмол хэлбэлзлийг илрүүлдэг. Тэдгээрийг Сект дээр авч үздэг. 15.4; Зөвхөн нэг жишээ энд хэрэг болно (Keith, 1983). Туулайн популяцийн хэлбэлзлийн талаар экологчид манай зууны 20-аад оноос хойш хэлэлцэж эхэлсэн бөгөөд анчид үүнийг 100 жилийн өмнө илрүүлсэн. Жишээ нь, Америкийн уулын туулай (Lepus americanus) бореал ойд байдаг Хойд америк"10 жилийн хүн амын мөчлөг"-тэй (хэдийгээр түүний үргэлжлэх хугацаа нь 8-11 жилийн хооронд хэлбэлздэг; Зураг Б). Энэ нутагт өвсөн тэжээлт амьтдын дунд уулын туулай зонхилдог; олон тооны бут сөөг, жижиг модны найлзууруудын үзүүрээр хооллодог. Түүний тооны хэлбэлзэл нь шилүүс (Lynx canadensis) зэрэг олон тооны махчин амьтдын тооны хэлбэлзэлтэй тохирч байна. Популяцийн 10 жилийн мөчлөг нь бусад өвсөн тэжээлт амьтад, тухайлбал хүзүүвчтэй, америк өвслөг амьтдын онцлог шинж юм. Туулайн популяцид ихэвчлэн 10-30 дахин, таатай нөхцөлд 100 дахин өөрчлөлт ажиглагдаж болно. Эдгээр хэлбэлзэл нь Аляскаас Ньюфаундленд хүртэлх өргөн уудам газар нутагт нэгэн зэрэг тохиолдох үед онцгой гайхалтай юм.
Уулын туулайн тоо толгой буурч байгаа нь төрөлт бага, өсвөр насныхны эсэн мэнд амьдрах чадвар бага, жингийн алдагдал, өсөлтийн хурд бага байна; Эдгээр бүх үзэгдлийг хоол тэжээлийн нөхцлийг дордуулах замаар туршилтаар дахин гаргаж болно. Нэмж дурдахад, туулай элбэг дэлбэг байх үед хүнсний хүртээмж буурч байгааг шууд ажиглалт баталж байна. Хэдийгээр илүү чухал зүйл бол ургамал нь хэт их идэхэд хариу үйлдэл үзүүлж, хорт бодис ихтэй найлзуурыг үүсгэдэг бөгөөд энэ нь туулайнд идэшгүй болгодог. Хүчтэй хазуулсны дараа ургамал 2-3 жилийн турш ийм байдлаар хамгаалагдсан байх нь онцгой чухал юм. Энэ нь туулайн тоо толгой буурч, хүнсний нөөцөө нөхөн сэргээх хооронд ойролцоогоор 2.5 жил хоцроход хүргэдэг. Хоёр жил хагас нь ижил хугацааны хоцрогдол бөгөөд нэг мөчлөгийн үргэлжлэх хугацааны дөрөвний нэгтэй тэнцэх бөгөөд энэ нь энгийн загваруудын таамаглалтай яг таарч байна. Тиймээс туулайн популяци ба ургамлын популяци хоорондын харилцан үйлчлэл нь туулайн тоог цөөрүүлж, цаг хугацааны хоцрогдолтой явагддаг бөгөөд энэ нь мөчлөгийн хэлбэлзлийг үүсгэдэг.
Махчин амьтад туулайн тооны хэлбэлзлийг дагахаас илүүтэйгээр дагадаг. Гэсэн хэдий ч туулайн тоо цөөрсөн үед махчин амьтдын тоо, олзны тоонд харьцуулсан харьцаа өндөр, түүнчлэн хамгийн бага тооноос хойшхи хугацаанд бага харьцаатай байгаагаас шалтгаалан хэлбэлзэл илүү тод харагдаж магадгүй юм. туулайнууд махчин амьтдаас түрүүлж тоогоо сэргээх үед (Зураг 10.5). Түүнчлэн шилүүс, туулайн тооны харьцаа өндөр байх үед махчин амьтан уулархаг газрын ан агнуурыг их хэмжээгээр иддэг, бага бол бага хэмжээгээр иддэг. Энэ нь эдгээр жижиг өвсөн тэжээлтний популяцийн хэлбэлзлийн шалтгаан болж байна (Зураг 10.5). Ийнхүү туулай, ургамлын харилцан үйлчлэл нь туулайн элбэг дэлбэг байдлын хэлбэлзлийг үүсгэдэг, махчин амьтад элбэг дэлбэг байдлын хэлбэлзлийг давтаж, өвсөн тэжээлт шувуудын популяцийн мөчлөг нь махчин амьтдын даралтын өөрчлөлтөөс үүсдэг. Энэ нь ойлгомжтой энгийн загваруудхүн амын хэлбэлзлийн механизмыг ойлгоход тустай байгалийн нөхцөл, гэхдээ эдгээр загварууд нь эдгээр хэлбэлзэл үүсэхийг бүрэн тайлбарлаж чадахгүй.