Цікава розповідь про дроби. З історії десяткових дробів. Прийшли із глибини століть

Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версіяроботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF

Вступ

Вивчення дробів продиктовано життям. Вміння виконувати різні обчислення та розрахунки необхідно кожній людині, так як з дробами ми стикаємося у повсякденному житті. Я захотіла дізнатися, звідки з'явилася назва цих чисел; хто придумав ці числа, чи потрібна тема «Дроби», яку ми вивчаємо у школі, у моєму житті.

Об'єкт дослідження: історія виникнення звичайних дробів.

Предмет дослідження: прості дроби.

Гіпотеза: якби не було дробів – чи могла б розвиватися математика?

Мета роботи: оформлення в кабінеті математики стенду «Математика навколо нас» є цікавими фактами про дроби.

Завдання:

Вивчити історію виникнення дробів у математиці;

Відібрати найцікавіші факти про дроби, які можна використовувати для складання розділів стенду.

Оформити стенд у кабінеті математики.

Живучи в оточенні дробів, ми не завжди їх явно помічаємо. Тим не менш, ми стикаємося з ним дуже часто: удома, на вулиці, у магазині. Прокидаючись вранці, ми дивимося на будильник і зустрічаємось з дробами. Ми використовуємо дроби, коли зважують товар у магазині. У вимірах, коли визначають обсяг вантажу. Дроби оточують нас скрізь. З допомогою дробів ми можемо вимірювати довжини, ділити ціле частини. А як виміряти зростання людини чи відстань між об'єктами, не знаючи дробів? Все навколо – дроби!

Актуальність: Сучасне життяробить завдання на дроби актуальними, оскільки сфера практичного застосування дробів розширюється.

Методи дослідження:

1. Пошук інформації про дроби в різних джерелах: інтернеті, художній літературі, підручники.

2. Аналіз, порівняння, узагальнення та систематизація інформації.

1. З історії звичайних дробів

1.1. Виникнення дробів

З найдавніших часів для вирішення життєвих практичних питаньлюдям доводилося рахувати предмети та вимірювати величини, тобто відповідати на запитання «Скільки?»: скільки овець у стаді, скільки мір зерна зібрано з поля, скільки верст від центру повіту і т. д. Так з'явилися числа. Не завжди результат виміру чи вартість товару вдавалося виразити натуральним числом. Коли людині знадобилося придумати нові – дробові – числа, з'явилися дроби. У давнину до цілих і дробових чисел ставилися по-різному: переваги були за цілих чисел. "Якщо ти захочеш ділити одиницю, математики висміють тебе і не дозволять цього робити", - писав засновник афінської Академії Платон.

У всіх цивілізаціях поняття дробу виникло з процесу дроблення цілого на рівні частини. Російський термін «дроб», як і його аналоги в інших мовах, походить від латів. «fractura», який, своєю чергою, є перекладом арабського терміна із тим самим значенням: ламати, раздроблять. Тому, мабуть, першими дробами скрізь були дроби виду 1/n. Подальший розвитокприродно йде у бік розгляду цих дробів як одиниць, з яких можуть бути складені дроби m/n - раціональні числа. Однак цей шлях був пройдений не всіма цивілізаціями: наприклад, він так і не реалізувався в давньоєгипетській математиці.

Першим дробом, з яким познайомилися люди, була половина. Хоча назви всіх наступних дробів пов'язані з назвами їх знаменників (три – «третина», чотири – «чверть» тощо), для половини це не так – її назва у всіх мовах не має нічого спільного зі словом „два”.

Система запису дробів, правила дій з ними помітно відрізнялися як у різних народів, так і в різні часив одного й того народу. Важливу рольграли також численні запозичення ідей за культурних контактів різних цивілізацій.

1.2. Дроби на Русі

У російській мові слово "дроб" з'явилося у VIII столітті, воно походить від дієслова "дробити" - розбивати, ламати на частини. Сучасне позначення дробів бере свій початок у Стародавню Індію: його стали використовувати і араби

У старих посібниках знаходимо такі назви дробів на Русі:

Слов'янська нумерація вживалася у Росії до XVI століття, потім у країну почала поступово проникати десяткова позиційна система числення. Вона остаточно витіснила слов'янську нумерацію за Петра I.

Використовувалася в Росії земельна міра чверть і дрібніша - півчверть, яка називалася восьмина. Це були конкретні дроби, одиниці для вимірювання площі землі, але восьминою не можна було виміряти час або швидкість та ін. Значно пізніше восьмина стала означати абстрактний дріб 1/8, яким можна виразити будь-яку величину. Про застосування дробів у Росії XVIIстоліття можна прочитати у книзі В. Беллюстина «Як поступово люди дійшли до справжньої арифметики» таке: «У рукописі XVII ст. «Стаття чисельна про всякі частки указ «починається прямо з письмового позначення дробів і з вказівки чисельника та знаменника. При вимовлянні дробів цікаві такі особливості: четверта частина називалася чотю, частки зі знаменником від 5 до 11 висловлювалися словами із закінченням «іна», отже 1/7 - седмина, 1/5 - пятина, 1/10 - десятина; частки ж із знаменниками, більшими за 10, вимовлялися за допомогою слів «жеребів», наприклад 5/13 - п'ять тринадцятих жеребків. Нумерація дробів була запозичена із західних джерел. Чисельник називався верхнім числом, знаменник нижнім».

1.3. Дроби в інших державах давнини

Усі правила рахунку стародавніх єгиптянґрунтувалися на вмінні складати та віднімати, подвоювати числа та доповнювати дроби до одиниці. Для дробів були спеціальні позначення. Єгиптяни використовували дроби виду1/n, де n – натуральне число. Такі дроби називаються аліквотними. Іноді замість розподілу m:n множили m∙n.

І тому застосовували спеціальні таблиці. Треба сказати, що дії з дробами становили особливість єгипетської арифметики, в якій найпростіші обчислення часом перетворювалися на складні завдання. (Додаток 3)

Ця таблиця допомагала робити складні арифметичні викладки згідно з прийнятими канонами. Очевидно, переписувачі заучували її напам'ять, як і зараз школярі запам'ятовують таблицю множення. За допомогою цієї таблиці виконували і поділ чисел. Вміли єгиптяни також множити та ділити дроби. Але для множення доводилося множити частки на частки, а потім, можливо, знову використовувати таблицю. Ще складніше було справу з розподілом.

Єгиптяни вже в давнину знали, як поділити 2 яблука на трьох: для цього числа у них був навіть спеціальний значок. Між іншим, це був єдиний дріб у побуті єгипетських переписувачів, у якого в чисельнику не стояла одиниця - всі інші дроби неодмінно мали в чисельнику 1 (так званий основні дроби): 1/2, 1/3, 1/17, ... і т. д. Таке ставлення до дробів було дуже довго. Вже загинула цивілізація стародавнього Єгипту, колись зелений край поглинули піски Сахари, а дроби все розкладали на суму основних - аж до епохи Відродження!

В Китаїпрактично всі арифметичні операції з звичайними дробамибуло встановлено вже до ІІ. до зв. е.; вони описані у фундаментальному зведенні математичних знань стародавнього Китаю– «Математиці у дев'яти книгах», остаточна редакція якої належить Чжан Цану. Обчислюючи на основі правила, аналогічного алгоритму Евкліда (найбільший спільний дільникчисельника та знаменника), китайські математики скорочували дроби. Розмноження дробів уявлялося як знаходження площі прямокутної земельної ділянки, довжина та ширина якої виражені дробовими числами. Розподіл розглядався за допомогою ідеї ділля, при цьому китайських математиків не бентежило, що кількість учасників розподілу може бути дробовою, наприклад, 3⅓ людини.

Спочатку китайці використовували найпростіші дроби, які отримали найменування з використанням ієрогліфа лазень:

лазня («половина») -12;

шао бань («мала половина») -13;

тай бань («більша половина») -23. Цікаво, що вавилоняниволіли, постійний знаменник (рівний 60, тому, мабуть, що їх система числення була шестидесятирічна).

Римлянитеж користувалися лише одним знаменником, що дорівнює 12.

Подальший розвиток поняття звичайного дробу було досягнуто Індії. Математики цієї країни зуміли досить швидко перейти від поодиноких дробів до дробів загального вигляду. Вперше такі дроби зустрічаються в «Правилах мотузки» Апастамби (VII-V ст. до н.е.), які містять геометричні побудови та результати деяких обчислень. В Індії використовувалася система запису - можливо, китайського, а можливо, пізньогрецького походження, - при якій чисельник дробу писався над знаменником - як у нас, але без дробової межі, зате весь дріб поміщався у прямокутну рамку.

Індійське позначення дробів та правила дій над ними були засвоєні у IX ст. у мусульманських країнах завдяки Мухаммеду Хорезмському (аль-Хорезмі). У торговельній практиці країн Ісламу широко користувалися одиничними дробами, у науці застосовували шістдесятирічні дроби і значно меншою мірою звичайні дроби.

Цікаві дроби

«Без знання дробів ніхто не може визнаватися знаючий арифметику!» (Цицерон)

Коли б люди не використовували гроші, вони обов'язково зустрічаються з дробами: у середньовіччі 1 англійський пенс = 1/12 шилінга; Нині, російська копійка =1/100 рубля.

Мірні системи несуть у собі дроби: 1сантиметр = 1/10 дециметра = 1/100 метра.

У будь-які часи в моді були дроби. Завжди актуальним є фасон рукава три чверті. А укорочені штани 7/8 – це чудова деталь гардеробу.

З дробами можна зустрітися на різних уроках. Наприклад, у географії: «За часів існування СРСР Росія займала одну шосту частину суші. Тепер Росія посідає одну дев'яту частину суші». У образотворчому мистецтві- При зображенні фігури людини. У музиці – ритм, розмір музичного твору.

Людина зустрічається зі словом «дроб» в житті:

Дрібні свинцеві кульки для стрільби з мисливської рушниці – дріб.

Часті, уривчасті звуки - барабанний дріб.

На флоті, команда «Дроб!» - Припинення вогню.

Нумерація будинків. Номер через дріб ставлять біля будинків, пронумерованих по двох вулицях, що перетинаються.

Дріб у танці. Російський народний танець неможливо уявити без дробів та бігу.

Вибивати дріб зубами - стукати зубами (тремтячи від холоду, переляку).

У художній літературі. Дениска, герой оповідання Віктора Драгунського «Треба мати почуття гумору», одного разу поставив приятелю Мишкові завдання: як розділити два яблука на трьох порівну? І коли Мишко нарешті здався, тріумфально оголосив відповідь: «Зварити компот!» Ведмедик з Денисом ще не проходили дробів і твердо знали, що 2 на 3 не ділиться?

Власне, «зварити компот» - це дії з дробами. Поріжемо яблука на шматочки і будемо кількості цих шматочків складати і віднімати, множити і ділити - хто нам завадить?.. Нам важливо лише пам'ятати, скільки дрібних шматочків складають ціле яблуко.

Але це не єдине вирішення цього завдання! Треба, кожне яблуко поділити на три частини та роздати всім трьом по дві такі частини.

Протягом багатьох століть мовами народів ламаним числом іменували дріб. Наприклад, потрібно розділити порівну щось, наприклад, цукерку, яблуко, шматочок цукру тощо. Для цього шматочок цукру треба розколоти або розламати на дві рівні половини. Так само і з числами, щоб одержати половину, треба розділити чи "розламати" одну одиницю на дві частини. Звідси й походить назва "ламані" числа.

Розрізняють три види дробів:

Поодинокі (аліквоти) або частки (наприклад, 1/2, 1/3, 1/4 і т.д.).

Систематичні, тобто дроби, які знаменник виражається ступенем числа (наприклад, ступенем числа 10 чи 60 тощо.).

Загального вигляду, у яких чисельником та знаменником може бути будь-яке число.

Існують дроби «хибні» - неправильні та «реальні» - правильні.

Дріб у математиці- Форма подання математичних величинза допомогою операції поділу, що спочатку відображає концепцію нецілих чисел, або часток. У найпростішому випадку – числовий дріб – відношення двох чисел.

m:n =m/n

У дробі m/n(читається: «ем енних») число m, що знаходиться над межею, називається чисельником, а число n, що знаходиться під межею - знаменником. Знаменник показує, скільки рівних частин розділили ціле, а чисельник показує, скільки таких частин взяли. Рису дробу можна розуміти як знак розподілу.

Першим європейським ученим, який став використовувати і поширювати сучасний запис дробів, був італійський купець і мандрівник, син міського писаря Фіббоначі (Леонардо Пізанський).

У 1202 році він запровадив слово «дроб».

Назви чисельник і знаменник ввів у 13 столітті Максим Плануд – грецький чернець, учений, математик.

Сучасну системузаписи дробів створили Індії. Тільки там писали знаменник згори, а чисельник знизу, і писали дробової риси. А записувати дроби, як зараз стали араби. Дії над дробами в середні віки вважалися найскладнішою галуззю математики. Досі німці говорять про людину, яка потрапила у скрутне становище, що вона «потрапила в дроби».

Звичайні дроби зіграли свою роль у музиці. І зараз у певному нотному записі довга нота -ціла - ділиться на половинки (удвічі коротше), чверті, шістнадцяті і тридцять другі. Таким чином, ритмічний малюнок будь-якого музичного твору, хоч би яким він складним був, визначається звичайними дробами. Гармонія виявилася тісно пов'язаною з дробами, що підтверджувало основну думку європейців: «Кількість править світом».

«Людина подібна до дробу: чисельник - це він сам, а знаменник те, що він про себе думає. Чим більший знаменник, тим менше дріб»(Л.Н. Толстой).

Основні результати дослідження

Вчення про дроби вважалося найважчим розділом математики за всіх часів і в усіх народів. Хто знав дроби, був у пошані. Автор старовинного слов'янського рукопису XV ст. пише: «Нема дивно, що …в цілих, але є похвально, що в частках…».

При роботі я дізналася багато нового та цікавого. Прочитала багато книг та розділів з енциклопедій. Познайомилася з першими дробами, якими оперували люди, з поняттям аліквотний дріб, дізналася нові для мене імена вчених, які зробили свій внесок у розвиток вчення про дроби. У процесі виконання роботи я дізналася багато нового, думаю, що ці знання знадобляться у навчанні.

Висновок: Необхідність у дробах виникла дуже ранній щаблі розвитку людини. У житті людині доводилося як вважати предмети, а й вимірювати величини. Люди вимірювали довжини, площі земельних ділянок, обсяги, маси тіл, час, вели розрахунки за куплені чи продані товари. Не завжди результат виміру чи вартість товару вдавалося виразити натуральним числом. Так з'явилися дроби та правила поводження з ними.

Практична значимість роботи:

Я освоїла навички роботи в текстовому редакторі та попрацювала з ресурсами Інтернету. Відібрала матеріал для оформлення в кабінеті математики стенду "Математика навколо нас" цікавими фактами про дроби (Додаток 1). І оформила стенд (Додаток).

В результаті дослідження я підтвердила гіпотезу: не могли люди обійтися без дробів, без дробів – не могла розвиватися математика.

Список літератури

Аніщенко Є. А. Число як основне поняття математики. Маріуполь, 2002.

Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика. 5 клас: навч. для загальноосвітніх установ / - 26-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 280 с.

Гейзер Г.І. Історія математики у школі. Посібник для вчителів. - М: Просвітництво, 1981. - 239 с.

Математика. 5 клас: навч.для загальноосвіт. установ. [Див. Нікольський, М.К.Потапов, Н.Н.Решетніков, А.В. Шевкін]. - 11-е вид, дораб. - М.: Просвітництво, 2016. - 272 с. - (МДУ - школі).

Математичний енциклопедичний словник. – М., 1988.

Електронні ресурси віддаленого доступу(Інтернет)

1. Драгунський В. «Треба мати почуття гумору». Режим доступу : http://peskarlib.ru/lib.php?id_sst=248

   З історії дробів. Режим доступу: http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm -

3. Матеріал з Вікіпедії – вільної енциклопедії. Режим доступу: http://ua.wikipedia.org/wiki

Цитати. Режим доступу: http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

Програми

Стенд "Математика навколо нас"

Таблиця «Запис дробів у Єгипті»

1

Павлікова Є.В. (, МАОУ Дятьківська ЗОШ №5)

1. Аніщенко Є. А. Число як основне поняття математики. Маріуполь, 2002.

2. Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика. 5 клас: навч. для загальноосвітніх установ. - 26-е вид., Стер. - М.: Мнемозіна, 2009. - 280 с.

3. Гейзер Г.І. Історія математики у школі. Посібник для вчителів. - М.: Просвітництво, 1981. - 239 с.

4. Математика. 5 клас: навч.для загальноосвіт. установ/С.М. Микільський, М.К. Потапов, Н.М. Решетніков, А.В. Шевкін. 11-е вид, дораб. - М.: Просвітництво, 2016. - 272 с. – (МДУ – школі).

5. Математичний енциклопедичний словник. - М., 1988.

6. Драгунський В. Треба мати почуття гумору. - Режим доступу: http://peskarlib.ru/lib.phpid_sst=248.

7. З історії дробів. Режим доступу: http://schools.keldysh.ru/sch1905/drobi/history.htm.

8. Матеріал із Вікіпедії – вільної енциклопедії. Режим доступу: http://ua.wikipedia.org/wiki.

9. Цитати. Режим доступу: http://citaty.socratify.net/lev-tolstoi/25013.

Вивчення дробів продиктовано життям. Вміння виконувати різні обчислення та розрахунки необхідне кожній людині, оскільки з дробами ми стикаємося у повсякденному житті. Я захотіла дізнатися, звідки з'явилася назва цих чисел; хто придумав ці числа, чи потрібна тема «Дроби», яку ми вивчаємо у школі, у моєму житті.

Об'єкт дослідження:історія виникнення звичайних дробів.

Предмет дослідження:прості дроби.

Гіпотеза: якби не було дробів - чи могла б розвиватися математика?

Мета роботи: оформлення в кабінеті математики стенду «Математика довкола нас» цікавими фактами про дроби.

Завдання:

1. Вивчити історію виникнення дробів у математиці;

2. Відібрати найцікавіші факти про дроби, які можна використовувати для складання розділів стенду.

3. Оформити стенд у кабінеті математики.

Живучи в оточенні дробів, ми не завжди їх явно помічаємо. Тим не менш, ми стикаємося з ним дуже часто: удома, на вулиці, у магазині. Прокидаючись вранці, ми дивимося на будильник і зустрічаємось з дробами. Ми використовуємо дроби, коли зважують товар у магазині. У вимірах, коли визначають обсяг вантажу. Дроби оточують нас скрізь. З допомогою дробів ми можемо вимірювати довжини, ділити ціле частини. А як виміряти зростання людини чи відстань між об'єктами, не знаючи дробів? Все навколо – дроби!

Актуальність: Сучасне життя робить завдання на дроби актуальними, тому що сфера практичного застосування дробів розширюється.

Методи дослідження:

1. Пошук інформації про дроби в різних джерелах: інтернеті, художній літературі, підручниках.

2. Аналіз, порівняння, узагальнення та систематизація інформації.

З історії звичайних дробів

Виникнення дробів

З найдавніших часів для вирішення життєвих практичних питань людям доводилося вважати предмети та вимірювати величини, тобто відповідати на запитання «Скільки?»: скільки овець у стаді, скільки мір зерна зібрано з поля, скільки верст від центру повіту і т. д. Так з'явилися числа. Не завжди результат виміру чи вартість товару вдавалося виразити натуральним числом. Коли людині знадобилося придумати нові – дробові – числа, з'явилися дроби. У давнину до цілих і дробових чисел ставилися по-різному: переваги були за цілих чисел. "Якщо ти захочеш ділити одиницю, математики висміють тебе і не дозволять цього робити", - писав засновник афінської Академії Платон.

У всіх цивілізаціях поняття дробу виникло з процесу дроблення цілого на рівні частини. Російський термін «дроб», як і його аналоги в інших мовах, походить від латів. «fractura», який, своєю чергою, є перекладом арабського терміна із тим самим значенням: ламати, раздроблять. Тому, мабуть, першими дробами скрізь були дроби виду 1/n. Подальший розвиток природно йде у бік розгляду цих дробів як одиниць, з яких можуть бути складені дроби m/n - раціональні числа. Однак цей шлях був пройдений не всіма цивілізаціями: наприклад, він так і не реалізувався в давньоєгипетській математиці.

Першим дробом, з яким познайомилися люди, була половина. Хоча назви всіх наступних дробів пов'язані з назвами їх знаменників (три – «третина», чотири – «чверть» тощо), для половини це не так – її назва у всіх мовах не має нічого спільного зі словом „два”.

Система запису дробів, правила дій із нею помітно відрізнялися як в різних народів, і у різні часи в однієї й тієї народу. Важливу роль також відігравали численні запозичення ідей при культурних контактах різних цивілізацій.

Дроби на Русі

У російській мові слово "дроб" з'явилося у VIII столітті, воно походить від дієслова "дробити" - розбивати, ламати на частини. Сучасне позначення дробів бере свій початок у Стародавній Індії: його почали використовувати і араби.

У старих посібниках знаходимо такі назви дробів на Русі:

Слов'янська нумерація вживалася у Росії до XVI століття, потім у країну почала поступово проникати десяткова позиційна система числення. Вона остаточно витіснила слов'янську нумерацію за Петра I.

Використовувалася в Росії земельна міра чверть і дрібніша - півчверть, яка називалася восьмина. Це були конкретні дроби, одиниці для вимірювання площі землі, але восьминою не можна було виміряти час або швидкість та ін. Значно пізніше восьмина стала означати абстрактний дріб 1/8, яким можна виразити будь-яку величину. Про застосування дробів у Росії XVII століття можна прочитати у книзі У. Беллюстина «Як поступово люди сягнули справжньої арифметики» таке: «У рукописи XVII в. «Стаття чисельна про всякі частки указ «починається прямо з письмового позначення дробів і з вказівки чисельника та знаменника. При вимовлянні дробів цікаві такі особливості: четверта частина називалася чотю, частки зі знаменником від 5 до 11 висловлювалися словами із закінченням «іна», отже 1/7 - седмина, 1/5 - пятина, 1/10 - десятина; частки ж із знаменниками, більшими за 10, вимовлялися за допомогою слів «жеребів», наприклад 5/13 - п'ять тринадцятих жеребків. Нумерація дробів була запозичена із західних джерел. Чисельник називався верхнім числом, знаменник нижнім».

Дроби в інших державах давнини

Усі правила рахунку стародавніх єгиптян ґрунтувалися на вмінні складати та віднімати, подвоювати числа та доповнювати дроби до одиниці. Для дробів були спеціальні позначення. Єгиптяни використовували дроби виду1/n, де n – натуральне число. Такі дроби називаються аліквотними. Іноді замість розподілу m:n множили m. n.

І тому застосовували спеціальні таблиці. Треба сказати, що події з дробами становили особливість єгипетської арифметики, у якій найпростіші обчислення часом перетворювалися на складні завдання. (Додаток).

додаток

Стенд "Математика навколо нас"

Таблиця «Запис дробів у Єгипті»

Ця таблиця допомагала робити складні арифметичні викладки згідно з прийнятими канонами. Очевидно, переписувачі заучували її напам'ять, як і зараз школярі запам'ятовують таблицю множення. За допомогою цієї таблиці виконували і поділ чисел. Вміли єгиптяни також множити та ділити дроби. Але для множення доводилося множити частки на частки, а потім, можливо, знову використовувати таблицю. Ще складніше було справу з розподілом.

Єгиптяни вже в давнину знали, як поділити 2 яблука на трьох: для цього числа у них був навіть спеціальний значок. Між іншим, це був єдиний дріб у побуті єгипетських переписувачів, у якого в чисельнику не стояла одиниця - всі інші дроби неодмінно мали в чисельнику 1 (так званий основні дроби): 1/2, 1/3, 1/17, ... і т. д. Таке ставлення до дробів було дуже довго. Вже загинула цивілізація стародавнього Єгипту, колись зелений край поглинули піски Сахари, а дроби все розкладали на суму основних - аж до епохи Відродження!

У Китаї майже всі арифметичні операції зі звичайними дробами були встановлені вже до II ст. до зв. е.; вони описані в фундаментальному зведенні математичних знань стародавнього Китаю – «Математиці у дев'яти книгах», остаточна редакція якої належить Чжан Цану. Обчислюючи на основі правила, аналогічного алгоритму Евкліда (найбільший спільний дільник чисельника та знаменника), китайські математики скорочували дроби. Множення дробів уявлялося як знаходження площі прямокутної земельної ділянки, довжина та ширина якої виражені дробовими числами. Поділ розглядалося за допомогою ідеї ділля, при цьому китайських математиків не бентежило, що число учасників розподілу може бути дробовим, наприклад, 3 1/2 людини.

Спочатку китайці використовували найпростіші дроби, які отримали найменування з використанням ієрогліфа лазень:

Лазня («половина») -1\2;

Шао бань («мала половина») -13;

Тай лазень («велика половина») -23.

Цікаво, що вавилоняни вважали за краще постійний знаменник (рівний 60, тому, мабуть, що їхня система числення була шестидесятиричною).

Римляни також користувалися лише одним знаменником, рівним 12.

Подальший розвиток поняття звичайного дробу було досягнуто Індії. Математики цієї країни зуміли досить швидко перейти від поодиноких дробів до дробів загального вигляду. Вперше такі дроби зустрічаються в «Правилах мотузки» Апастамби (VII-V ст. до н.е.), які містять геометричні побудови та результати деяких обчислень. В Індії використовувалася система запису - можливо, китайського, а можливо, пізньогрецького походження, - при якій чисельник дробу писався над знаменником - як у нас, але без дробової межі, зате весь дріб поміщався у прямокутну рамку.

Індійське позначення дробів та правила дій над ними були засвоєні у IX ст. у мусульманських країнах завдяки Мухаммеду Хорезмському (аль-Хорезмі). У торговельній практиці країн Ісламу широко користувалися одиничними дробами, у науці застосовували шістдесятирічні дроби і значно меншою мірою звичайні дроби.

Цікаві дроби

«Без знання дробів ніхто не може визнаватися знаючим арифметику!»

Коли б люди не використовували гроші, вони обов'язково зустрічаються з дробами: у середньовіччі 1 англійський пенс = 1/12 шилінга; Нині, російська копійка =1/100 рубля.

Мірні системи несуть у собі дроби: 1сантиметр = 1/10 дециметра = 1/100 метра.

У будь-які часи в моді були дроби. Завжди актуальним є фасон рукава три чверті. А укорочені штани 7/8 – це чудова деталь гардеробу.

З дробами можна зустрітись на різних уроках. Наприклад, у географії: «За часів існування СРСР Росія займала одну шосту частину суші. Тепер Росія посідає одну дев'яту частину суші». У образотворчому мистецтві – при зображенні постаті людини. У музиці – ритм, розмір музичного твору.

Людина зустрічається зі словом «дроб» у житті:

Дрібні свинцеві кульки для стрільби з мисливської рушниці – дріб.

Часті, уривчасті звуки - барабанний дріб.

На флоті, команда «Дроб!» - Припинення вогню.

Нумерація будинків. Номер через дріб ставлять біля будинків, пронумерованих по двох вулицях, що перетинаються.

Дріб у танці. Російський народний танець неможливо уявити без дробів та бігу.

Вибивати дріб зубами - стукати зубами (тремтячи від холоду, переляку).

У художній літературі. Дениска, герой оповідання Віктора Драгунського «Треба мати почуття гумору», одного разу поставив приятелю Мишкові завдання: як розділити два яблука на трьох порівну? І коли Мишко нарешті здався, тріумфально оголосив відповідь: «Зварити компот!» Ведмедик з Денисом ще не проходили дробів і твердо знали, що 2 на 3 не ділиться?

Власне, «зварити компот» - це дії з дробами. Поріжемо яблука на шматочки і будемо кількості цих шматочків складати і віднімати, множити і ділити - хто нам завадить?.. Нам важливо лише пам'ятати, скільки дрібних шматочків складають ціле яблуко.

Але це не єдине вирішення цього завдання! Треба кожне яблуко поділити на три частини та роздати всім трьом по дві такі частини.

Протягом багатьох століть мовами народів ламаним числом іменували дріб. Наприклад, потрібно розділити порівну щось, наприклад, цукерку, яблуко, шматочок цукру тощо. Для цього шматочок цукру треба розколоти або розламати на дві рівні половини. Так само і з числами, щоб одержати половину, треба розділити або розламати одну одиницю на дві частини. Звідси й походить назва «ламані» числа.

Розрізняють три види дробів:

1. Поодинокі (аліквоти) або частки (наприклад, 1/2, 1/3, 1/4 і т.д.).

2. Систематичні, тобто дроби, які знаменник виражається ступенем числа (наприклад, ступенем числа 10 чи 60 тощо.).

3. Загального вигляду, у яких чисельником та знаменником може бути будь-яке число.

Існують дроби «хибні» - неправильні та «реальні» - правильні.

Дроб у математиці - форма подання математичних величин за допомогою операції поділу, що спочатку відображає концепцію нецілих чисел, або часток. У найпростішому випадку - числовий дріб - відношення двох чисел

У дробі m/n (читається: «ем енних») число m, що знаходиться над межею, називається чисельником, а число n, що знаходиться під межею - знаменником. Знаменник показує, скільки рівних частин розділили ціле, а чисельник показує, скільки таких частин взяли. Рису дробу можна розуміти як знак розподілу.

Першим європейським ученим, який став використовувати і поширювати сучасний запис дробів, був італійський купець і мандрівник, син міського писаря Фіббоначі (Леонардо Пізанський).

У 1202 році він запровадив слово «дроб».

Назви чисельник і знаменник ввів у 13 столітті Максим Плануд – грецький чернець, учений, математик.

Сучасну систему запису дробів створили Індії. Тільки там писали знаменник згори, а чисельник знизу, і писали дробової риси. А записувати дроби, як зараз стали араби. Дії над дробами в середні віки вважалися найскладнішою галуззю математики. Досі німці говорять про людину, яка потрапила у скрутне становище, що вона «потрапила в дроби».

Звичайні дроби зіграли свою роль у музиці. І зараз у певному нотному записі довга нота -ціла - ділиться на половинки (удвічі коротше), чверті, шістнадцяті та тридцять другі. Таким чином, ритмічний малюнок будь-якого музичного твору, хоч би яким він складним був, визначається звичайними дробами. Гармонія виявилася тісно пов'язаною з дробами, що підтверджувало основну думку європейців: «Кількість править світом».

«Людина подібна до дробу: чисельник - це він сам, а знаменник те, що він про себе думає. Чим більший знаменник, тим менший дріб» (Л.Н. Толстой).

Основні результати дослідження

Вчення про дроби вважалося найважчим розділом математики за всіх часів і в усіх народів. Хто знав дроби, був у пошані. Автор старовинного слов'янського рукопису XV ст. пише: «Нема дивно, що …в цілих, але є похвально, що в частках…».

При роботі я дізналася багато нового та цікавого. Прочитала багато книг та розділів з енциклопедій. Познайомилася з першими дробами, якими оперували люди, з поняттям аліквотний дріб, дізналася нові для мене імена вчених, які зробили свій внесок у розвиток вчення про дроби. У процесі виконання роботи я дізналася багато нового, думаю, що ці знання знадобляться у навчанні.

Висновок: Необхідність у дробах виникла дуже ранній щаблі розвитку людини. У житті людині доводилося як вважати предмети, а й вимірювати величини. Люди вимірювали довжини, площі земельних ділянок, обсяги, маси тіл, час, вели розрахунки за куплені чи продані товари. Не завжди результат виміру чи вартість товару вдавалося виразити натуральним числом. Так з'явилися дроби та правила поводження з ними.

Практична значущість роботи

Я освоїла навички роботи в текстовому редакторі та попрацювала з ресурсами Інтернету. Відібрала матеріал для оформлення в кабінеті математики стенду "Математика навколо нас" цікавими фактами про дроби (Додаток). І оформила стенд (Додаток).

В результаті дослідження я підтвердила гіпотезу: не могли люди обійтися без дробів, без дробів – не могла розвиватися математика.

Бібліографічне посилання

Балбуцька О.А. ЦІКАВО ПРО ДРОБИ // Старт у науці. - 2017. - № 5-2. - С. 265-268;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=874 (дата звернення: 29.08.2019).

• Чи знаєте ви, що Наполеон Бонапарт писав математичну працю і один геометричний факт називається «Завдання Наполеона»?
• Чи знаєте ви, що одна з кривих ліній називається «Локон Аньєзе» на честь першої у світі жінки-професора математики Марії Гаетано Аньєзе?
• Чи знаєте ви, що Л. Н. Толстой, автор роману «Війна та мир», писав підручники для початкової школиі, зокрема, підручник з арифметики?
• Чи знаєте ви, що одна з мов програмування називається Ада на честь Ади Лавлейс, однієї з перших жінок-програмістів, яка працювала з математичними машинами та була дочкою відомого англійського поета Джорджа Байрона?
• Чи знаєте ви, що квітку гортензію назвали на честь Гортензії Лепота, відомої обчислювальниці, яка складала математичні таблиці? Вона привезла цю квітку з Індії.
• Чи знаєте ви, що всі сучасні підручники з геометрії складені на основі відомих «Початків» Евкліда (IV ст. до н. е.)?
• Чи знаєте ви, що А. С. Пушкін написав такі рядки: «Натхнення потрібне в геометрії, як і в поезії»?
• Чи знаєте ви, що великий Евклід сказав цареві Птолемею: «В геометрії немає царської дороги»?
• Чи знаєте ви, що великий російський поет М. Ю. Лермонтов цікавився математикою і міг до пізньої ночі вирішувати якесь математичне завдання?
• Чи знаєте ви, що радянський розвідник майор Вихор відомого фільму) чи існував насправді і після війни працював учителем математики в одному невеликому українському містечку?
• Чи знаєте ви, що Піфагор був переможцем з кулачного бою на 58-х Олімпійських іграх, що проходили у 548 році до н. е., а потім перемагав ще на кількох Олімпіадах?
• Чи знаєте ви, що знаменитий Фалес був спортивним уболівальником та помер на трибуні олімпійського стадіону під час бою Піфагора?
• Чи знаєте ви, що у 1940 році було надруковано книгу, в якій є 370 різних способівдокази теореми Піфагора, а серед них є доказ, який запропонував президент США Гарфілд?
• Чи знаєте ви, що англійська королева, прочитавши книгу Льюїса Керролла «Аліса в Країні чудес», так зацікавилася нею, що наказала принести їй усі книги цього письменника, але була розчарована, бо в інших книгах були математичні формули?
• Чи знаєте ви, що зібрання творів Леонарда Ейлера складає 75 великих томів, і якщо щодня переписувати по 10 годин його роботи, то не вистачить 76 років?
• Чи знаєте ви, що Франсуа Вієта майже було відправлено на багаття за те, що йому пощастило розшифрувати таємне листування іспанського уряду з командуванням своїх військ? Іспанці вважали, що розкриття їхнього шифру людському розуму не під силу і Вієту допомагав сам Сатана.
• Чи знаєте ви, що аристократи-театрали просили французького короля нагородити Рене Декарта, який першим запропонував метод нумерації крісел рядами та місцями? Але король відповів: «Так, те, що винайшов Декарт, – чудово і гідно нагороди, але дати її філософу? Ні, це занадто!».
• Чи знаєте ви, що теорему Піфагора називали «ослиним мостом»? Учнів, які запам'ятовували теорему без розуміння, називали ослами, оскільки вони могли перейти через міст - теорему Піфагора.

Сьогодні, ми поділимося з вами цікавими та незвичайними фактамизі світу цієї серйозної науки. Місце для несерйозного чи просто захоплюючого, знайдеться у будь-якій точній науці. Головне, бажання знайти це…

Англійський математик Абрахам де Муавр у літньому віці одного разу виявив, що тривалість його сну зростає на 15 хвилин на день. Склавши арифметичну прогресію, він визначив дату, коли б вона досягла 24 годин — 27 листопада 1754 року. Цього дня він помер.
Релігійні євреї намагаються уникати християнської символіки та взагалі знаків, схожих на хрест. Наприклад, учні деяких ізраїльських шкіл замість знака "плюс" пишуть знак, що повторює перегорнуту букву "т".
Справжність купюри євро можна перевірити на її серійному номерулітери та одинадцяти цифр. Потрібно замінити букву на її порядковий номерв англійському алфавіті, скласти це число з іншими, потім складати цифри результату, доки отримаємо одну цифру.

Якщо ця цифра – 8, то купюра справжня. Ще один спосіб перевірки полягає в складання цифр, але без букви. Результат з однієї літери та цифри має відповідати певній країні, оскільки євро друкують у різних країнах. Наприклад, для Німеччини це є X2.
Слово «алгебра» однаково звучить усіма мовами світу. Воно - арабського походження, і ввів його в ужиток великий математик Середньої Азії кінця 8 - початку 9 століття Махаммед ібн Муса аль-Хорезмі. Його математичний трактат називався "Альджебр валь мукабала", від першого слова якого і сталося міжнародна названауки – алгебра.
Існує думка, що Альфред Нобель не включив математику до списку дисциплін своєї премії через те, що його дружина зрадила його з математиком. Насправді Нобель ніколи не був одружений. Справжня причина ігнорування математики Нобелем невідома, але є кілька припущень. Наприклад, на той час вже існувала премія з математики від шведського короля. Інше математики не роблять важливих винаходів для людства, оскільки ця наука має суто теоретичний характер.
Трикутник Рело - це геометрична фігура, утворена перетином трьох рівних кілрадіусу a з центрами у вершинах рівностороннього трикутника зі стороною a. Свердло, зроблене на основі трикутника Рело, дозволяє свердлити квадратні отвори (з неточністю 2%).

У російській математичної літературі нуль перестав бути натуральним числом, а західної, навпаки, належить до безлічі натуральних чисел.

Сума всіх чисел на рулетці в казино дорівнює числу диявола - 666.
У штаті Індіана в 1897 був випущений білль, законодавчо встановлює значення числа Пі рівним 3,2. Цей білль не став законом завдяки своєчасному втручанню професора університету.
Софія Ковалевська познайомилася з математикою в ранньому дитинстві, коли на її кімнату не вистачило шпалер, замість яких були наклеєні листи з лекціями Остроградського про диференційне та інтегральне числення.

Щоб отримати можливість займатися наукою, Софії Ковалевській довелося укласти фіктивний шлюб та виїхати з Росії. В той час російські університетипросто не приймали жінок, а щоб емігрувати, дівчина мала мати згоду батька чи чоловіка. Оскільки батько Софії був категорично проти, вона вийшла заміж за молодого вченого Володимира Ковалевського. Хоча в результаті їхній шлюб став фактичним, і у них народилася дочка.
Використана нами десяткова система числення виникла через те, що в людини на руках 10 пальців. Здатність до абстрактного рахунку з'явилася у людей не відразу, а використовувати для рахунку саме пальці виявилося найзручніше. Цивілізація майя та незалежно від них чукчі історично використовували двадцятичну систему числення, застосовуючи пальці не лише рук, а й ніг. В основі поширених у древніх Шумері та Вавилоні дванадцятирічної та шістдесятирічної систем теж було використання рук: великим пальцем відлічувалися фаланги інших пальців долоні, число яких дорівнює 12.
У багатьох джерелах, найчастіше з метою підбадьорення учнів, що погано встигають, зустрічається твердження, що Ейнштейн завалив у школі математику або, більше того, взагалі вчився з рук геть погано з усіх предметів. Насправді все було не так: Альберт ще в ранньому віціпочав виявляти талант у математиці та знав її далеко за межами шкільної програми.

Пізніше Ейнштейн не зміг вступити до Швейцарської вищої політехнічної школи Цюріха, показавши вищі результати з фізики та математики, але не добравши потрібна кількістьбалів у інших дисциплінах. Підтягнувши ці предмети, через рік у віці 17 років став студентом цього закладу.
Одна знайома жінка просила Ейнштейна зателефонувати їй, але попередила, що номер її телефону дуже складно запам'ятати: — 24-361. Запам'ятали? Повторіть! Здивований Ейнштейн відповів: — Звісно, ​​запам'ятав! Дві дюжини та 19 у квадраті.
Щоразу, коли ви перемішуєте колоду, ви створюєте послідовність карт, яка з дуже високим ступенем ймовірності ніколи не існувала у Всесвіті. Кількість комбінацій у стандартній гральній колоді дорівнює 52!, або 8×1067. Щоб досягти хоча б 50% можливості отримати комбінацію вдруге, необхідно зробити 9×1033 перемішування. А якщо гіпотетично змусити все населення планети за останні 500 років безперервно заважати карти і кожну секунду отримувати нову колоду, то вийде не більше 1020 різних послідовностей.
Леонардо да Вінчі вивів правило, згідно з яким квадрат діаметра стовбура дерева дорівнює сумі квадратів діаметрів гілок, взятих на загальній фіксованій висоті. Пізніші дослідження підтвердили його з однією лише відмінністю — ступінь у формулі необов'язково дорівнює 2, а лежить у межах від 1,8 до 2,3. Традиційно вважалося, що ця закономірність пояснюється тим, що дерево з такою структурою має оптимальний механізм постачання гілок. поживними речовинами. Однак у 2010 році американський фізик Крістоф Еллой знайшов простіше механічне пояснення феномену: якщо розглядати дерево як фрактал, то закон Леонардо мінімізує ймовірність зламу гілок під впливом вітру.
Мурахи здатні пояснювати один одному шлях до їжі, вміють рахувати та виконувати найпростіші арифметичні дії. Наприклад, коли мурашка-розвідник знаходить їжу у спеціально сконструйованому лабіринті, вона повертається і пояснює, як пройти до неї, іншим мурахам.

Якщо в цей час замінити лабіринт аналогічним, тобто прибрати феромоновий слід, родичі розвідника все одно знайдуть їжу. В іншому експерименті розвідник шукає в лабіринті з багатьох однакових відгалужень і після його пояснень інші комахи відразу біжать до зазначеного відгалуження. А якщо спочатку привчити розвідника до того, що їжа з більшою ймовірністю буде перебувати в 10, 20 і так далі відгалуженнях, мурахи приймають їх за базові і починають орієнтуватися, додаючи або забираючи від них потрібне число, тобто використовують систему, аналогічну до римських цифр.
У лютому 1992 року відбувся розіграш лотереї Вірджинії «6 із 44», де джек-пот складав 27 мільйонів доларів. Число всіх можливих комбінацій у такому вигляді лотереї було трохи вище за 7 мільйонів, а кожен квиток коштував 1 долар. Заповзятливі люди з Австралії створили фонд, зібравши по 3 тисячі доларів від 2500 чоловік, купили потрібну кількість бланків і вручну заповнили їх різними комбінаціями цифр, отримавши після сплати податків потрійний прибуток.
Стівен Хокінг — один із найбільших фізиків-теоретиків та популяризатор науки. У розповіді про себе Хокінг згадав, що став професором математики, не отримуючи жодної математичної освіти з часів середньої школи. Коли Хокінг почав викладати математику в Оксфорді, він читав підручник, випереджаючи своїх студентів на два тижні.

Лабораторні дослідження показали, що бджоли вміють вибирати оптимальний маршрут. Після локалізації розставлених у різних місцях квіток бджола здійснює обліт і повертається назад таким чином, що підсумковий шлях виявляється найкоротшим. Таким чином, ці комахи ефективно справляються з класичним завданням комівояжера з інформатики, на вирішення якої сучасні комп'ютери, залежно від кількості точок, можуть витрачати не один день.
Існує математичний законБенфорда, який говорить, що розподіл перших цифр у числах будь-яких наборів даних з реального світунерівномірно. Цифри від 1 до 4 у таких наборах (а саме статистика народжуваності чи смертності, номери будинків тощо) першої позиції зустрічаються набагато частіше, ніж цифри від 5 до 9. Практичне застосуванняцього закону полягає в тому, що за ним можна перевіряти на достовірність бухгалтерські та фінансові дані, результати виборів та багато іншого. У деяких штатах США невідповідність даних закону Бенфорда навіть є формальним доказом у суді.
Відомо багато притч про те, як одна людина пропонує іншій розплатитися з ним за деяку послугу наступним чином: на першу клітку шахової дошки той покладе одне рисове зернятко, на другу — два й таке інше: на кожну наступну клітку вдвічі більше, ніж на попередню. У результаті той, хто розплачується в такий спосіб, неодмінно руйнується. Це не дивно: підраховано, що Загальна вагарису складе понад 460 мільярдів тонн

У числа Пі є два неофіційні свята. Перший – 14 березня, бо цей день в Америці записується як 3.14. Другий - 22 липня, яке в європейському форматі записується 22/7, а значення такого дробу є досить популярним наближеним значенням числа Пі.
Американський математик Джордж Данциг, будучи аспірантом університету, одного разу запізнився на урок і прийняв написані на дошці рівняння домашнє завдання. Воно здалося йому складніше звичайного, але за кілька днів він зміг його виконати. Виявилося, що він вирішив дві «нерозв'язні» проблеми в статистиці, над якими билося багато вчених.
Серед усіх фігур, з однаковим периметром, у кола буде сама велика площа. І навпаки, серед усіх фігур з однаковою площею у кола буде найменший периметр.
Насправді, мить- Це одиниця часу, яка триває приблизно соту частку секунди.
Рене Декарт в 1637 ввів в математику терміни «дійсне число» і «уявне число».
Пиріг можна розрізати на вісім рівних частин трьома дотиками ножа. Причому існує два способи зробити це.

У групі, де перебуває 23 чи більше осіб, ймовірність, що день народження двох із них збігається, перевищує 50 відсотків, а у групі 60 осіб і більше така ймовірність – близько 99 відсотків.
Якщо помножити вік на 7, потім помножити на 1443, то результатом буде ваш вік написаний тричі поспіль.
У математиці існують: теорія кіс, теорія ігор та теорія вузлів.
Нуль "0" - однина, яку неможливо написати римськими цифрами.
Максимальне число, яке можна записати римськими цифрами, не порушуючи правил Шварцмана (правил запису римських цифр) – 3999 (MMMCMXCIX) – більше трьох цифр поспіль писати не можна
Знак рівності «=» вперше застосував британець Роберт Рекорд у 1557 році. Він писав, що немає на світі більш однакових предметів, ніж два рівні і паралельні відрізки.
Сума всіх чисел від одного до ста дорівнює 5050.
У тайванському місті Тайбей жителям дозволено упускати цифру чотири, оскільки на китайською мовоюслово це звучить тотожно слову «смерть». З цієї причини у багатьох будинках міста четвертий поверх відсутній.

Число тринадцять, ймовірно, стало вважатися нещасливим через біблійної оповідіпро Таємну Вечірку, де було саме тринадцять чоловік. Причому тринадцятим був Юда Іскаріот.
Маловідомий математик із Британії присвятив більшу частину життя вивченню законів логіки. Звали його Чарльз Лютвідж Доджсон. Ім'я це відомо не такому великою кількістюлюдей, натомість відомий псевдонім, під яким він писав свої літературні шедеври. Льюїс Керол.
Гречанка Гепатія вважається першою жінкою-математиком в історії. Жила вона у IV-V століттях у єгипетській Олександрії.
Результати нещодавно проведеного дослідження свідчать, що в галузях знань, де домінують чоловіки, слабка стать прагне завуалювати типово жіночі якості, щоб виглядати переконливіше. Наприклад, жінки-математики вважають за краще обходитися без макіяжу.
Чи знаєте ви, що одна з кривих ліній називається «Локон Аньєзе» на честь першої у світі жінки-професора математики Марії Гаетано Аньєзе?
Лермонтов, будучи різнобічно талановитою людиною, крім літературної творчості був добрим художником і любив математику. Елементи вищої математики, аналітична геометрія, початку диференціального та інтегрального числення захоплювали Лермонтова протягом усього життя. Він завжди возив із собою підручник математики французького автора Безу.

У 18 столітті популярністю користувався шаховий автомат угорського механіка Вольфганга фон Кемпелена, який показував свою машину при австрійському та російському дворах, а потім демонстрував публічно в Парижі та Лондоні. Наполеон Iграв із цим автоматом, впевнений, що міряється силами з машиною. Насправді жодна шахова машина не діяла автоматично. Усередині ховався майстерний живий шахіст, який і рухав фігури. У середині минулого століття знаменитий автомат потрапив до Америки і скінчив там своє існування під час пожежі у Філадельфії.
У шахової партії з 40 ходів кількість варіантів розвитку гри може перевищувати кількість атомів у космічному просторі. Адже всього можливо величезна кількість варіантів - 1,5 на 10 128-го ступеня.
Наполеон Бонапартписав математичні праці. А один геометричний факт називається «Завдання Наполеона»
Листя на гілці рослини завжди розташовуються в строгому порядку, відстоюючи один від одного на певний кут або проти годинникової стрілки. Величина кута різна у різних рослинАле її завжди можна описати дробом, у чисельнику і знаменнику якого — числа з ряду Фібоначчі. Наприклад, у бука цей кут дорівнює 1/3, або 120 °, у дуба та абрикоса - 2/5, у груші та тополі - 3/8, у верби та мигдалю - 5/13 і т.д. Таке розташування дозволяє листям найбільш ефективно отримувати вологу та сонячне світло.
На Русі за старих часів використовувалися як одиниці виміру обсягу відро (близько 12 л), штоф (десята частина відра). У США, Англії та інших країнах використовують барель (близько 159 л), галон (близько 4 л), бушель (близько 36 л), пінта (від 470 до 568 кубічних сантиметрів).

Малі старовинні російські заходи довжини - п'ядь і лікоть.
Пядь- це відстань між витягнутими великим і вказівним пальцямируки при їхньому найбільшому видаленні (розмір п'яді коливався від 19 см до 23 см). Говорять «Не віддати ні п'яди землі», маючи на увазі не віддати, не поступитися навіть найменшій частині своєї землі. Про дуже розумній людинікажуть: «Сім п'ядей у ​​лобі».
Лікоть- Це відстань від кінця витягнутого середнього пальця руки до ліктьового згину (розмір ліктя коливався в межах від 38 см до 46 см і відповідав двом п'ядь). Збереглася приказка: «Сам із нігтик, а борода з лікоток».
Квадратні рівняннябули створені у XI столітті в Індії. Найбільшим числом, що використовується в Індії, було 10 53-го ступеня, тоді як греки і римляни оперували тільки числами 6-го ступеня.
Ймовірно, всі помічали на собі і на оточуючих, що серед цифр є улюблені, до яких ми маємо особливу пристрасть. Ми, наприклад, дуже любимо «круглі числа», тобто закінчуються на 0 або 5. Пристрасть до певних чисел, перевага їх іншим закладено в людській натурі набагато глибше, ніж зазвичай думають. У цьому плані сходяться смаки як європейців та його предків, напр., древніх римлян, — і навіть первісних народів інших частин світу.
При кожному переписі населення зазвичай спостерігається надмірна розмаїтість людей, вік яких закінчується на 5 чи 0; їх набагато більше, ніж мало б бути. Причина криється, звичайно, в тому, що люди не пам'ятають, твердо, скільки їм років і показуючи вік мимоволі «округлюють» роки. Чудово, що така ж перевага «круглого» віку спостерігається і на могильних пам'ятниках древніх римлян.
Ми вважаємо негативні числачимось природним, але так було далеко не завжди.
Вперше негативні числа були узаконені у Китаї III столітті, але використовувалися лише виняткових випадків, оскільки вважалися, загалом, бездумними. Трохи пізніше негативні числа стали використовуватися в Індії для позначення боргів, але на захід вони не прижилися - знаменитий Діофант Олександрійський стверджував, що рівняння 4x +20 = 0 - абсурдно.

У Європі негативні числа з'явилися завдяки Леонардо Пізанського (Фібоначчі), який також ввів його для вирішення фінансових завдань з боргами - в 1202 він вперше використав негативні числа для підрахунку своїх збитків.
Проте до XVII століття негативні числа були “в загоні” і навіть у XVII столітті знаменитий математик Блез Паскаль стверджував, що 0-4=0 бо немає такого числа, яке може бути менше, а аж до XIX століття математики часто відкидали в своїх обчисленнях негативні числа, вважаючи їх безглуздими…
Першими «обчислювальними пристроями», якими користувалися в давнину люди, були пальці рук та камінчики. Пізніше з'явилися бирки із зарубками та мотузки з вузликами. У Стародавньому Єгиптіі Стародавню Греціюзадовго до нашої ери використовували абак - дошку зі смужками, якими просувалися камінці. Це був перший пристрій, призначений спеціально для обчислень. Згодом абак удосконалювали - у римському абаку камінці чи кульки пересувалися жолобками. Абак проіснував до 18 століття, коли його замінили письмові обчислення. Російський абак – рахунки з'явилися у 16 ​​столітті. Ними користуються й у наші дні. Велика перевагаРосійських рахунків у цьому, що вони засновані на десятковій системі числення, а чи не на п'ятирічної, як й інші абаки.
Найдавніша математична праця була знайдена в Свазіленді - кістка бабуїна з вибитими рисочками (кістка з Лембобо), які, ймовірно, були результатом якогось обчислення. Вік кістки – 37 тисяч років.

У Франції було знайдено ще складнішу математичну працю - віл
чия кістка, на якій вибиті рисочки, згруповані по п'ять штук. Вік кістки – близько 30 тисяч років.
Ну і нарешті знаменита кістка з Ішанго (Конго), на якій вибиті групи. простих чисел. Вважається, що кістка виникла 18-20 тисяч років тому.
А ось найдавнішим математичним текстом можуть вважатися вавилонські таблички з кодовою назвою Plimpton 322, створені в 1800-1900 до н.
У стародавніх єгиптян був таблиць множення і правил. Проте, множити вони вміли й користувалися при цьому “комп'ютерним” способом - розкладанням чисел у двійковий ряд. Як вони це робили? А ось як:
Наприклад, потрібно помножити 22 на 35.
Записуємо 22 35
Тепер ділимо ліве число на 2, а праве множимо на 2. Підкреслюємо праворуч числа лише тоді, коли воно ділиться на 2.
Отже,

А тепер складаємо 70+140+560=770
Правильний результат!
Єгиптяни не знали дробів на кшталт 2/3 чи 3/4. Жодних чисельників! Єгипетські жерці оперували лише з дробами, де чисельник був завжди один і дріб записувався так: ціле число з овалом над ним. Тобто 4 із овалом означало 1/4.
А що ж дробу на кшталт 5/6? Єгипетські математики розкладали їх на дроби з чисельником 1. Тобто 1/2+1/3. Тобто 2 та 3 з овалом вгорі.
Що ж, це просто. 2/7 = 1/7 + 1/7. Аж ніяк! Ще одним правилом єгиптян була відсутність у ряді дробів чисел, що повторюються. Тобто 2/7 на думку було 1/4+1/28.

Історія звичайних дробів

Дроби з'явилися у давнину. При розділі видобутку, при вимірах величин, та й інших схожих випадках люди зустрілися з необхідністю запровадити дроби.

Стародавні єгиптяни вже знали, як поділити 2 предмети на трьох, для цього числа -2/3- мали спеціальний значок. Між іншим, це був єдиний дріб у побуті єгипетських переписувачів, у якого в чисельнику не стояла одиниця - всі інші дроби неодмінно мали в чисельнику одиницю (так звані основні дроби): 1/2; 1/3; 1/28; .... Якщо єгиптянину потрібно було використовувати інші дроби, він представляв їх як суми основних дробів. Наприклад, замість 8/15 писали 1/3+1/5. Іноді це було зручно. У папірусі Ахмеса є завдання:

"Розділити 7 хлібів між 8 людьми". Якщо різати кожен хліб на 8 частин, доведеться провести 49 розрізів.

А по-єгипетськи це завдання вирішувалося так: Дроб 7/8 записували у вигляді часток: 1/2+1/4+1/8. Значить кожній людині треба дати півхліба, чверть хліба та восьмушку хліба; тому чотири хліби розрізали навпіл, два хліби - на 4 частини і один хліб на 8 часток, після чого кожному дали його частину.

Але складати такі дроби було незручно. Адже до обох доданків можуть входити однакові частки, і тоді при додаванні з'явиться дріб виду 2/n. А таких дробів єгиптяни не припускали. Тому папірус Ахмеса починається з таблиці, в якій всі дроби такого виду від 2/5 до 2/99 записані у вигляді суми часток.

Вміли єгиптяни також множити та ділити дроби. Але для множення доводилося множити частки на частки, а потім, можливо, знову використовувати таблицю. Ще складніше було з поділом.

У стародавньому Вавилоні воліли навпаки - постійний знаменник, що дорівнює 60-ти. Шістдесятковими дробами, успадкованими від Вавилону, користувалися грецькі та арабські математики та астрономи. Але було незручно працювати над натуральними числами, записаними за десятковою системою, і дробами, записаними за шістдесятковою. А працювати зі звичайними дробами було вже дуже складно. Тому голландський математик Симон Стевін запропонував перейти до десяткових дробів.

Цікава системадробів була в Стародавньому Римі. Вона ґрунтувалася на розподілі на 12 часток одиниці ваги, яка називалася асс. Дванадцяту частку асса називали унцією. А шлях, час та інші величини порівнювали з наочною річчю-вагою. Наприклад, римлянин міг сказати, що він пройшов сім унцій колії або прочитав п'ять унцій книги. При цьому, звичайно, йшлося не про зважування шляху чи книги. Було на увазі, що пройдено 7/12 шляху або прочитано 5/12 книги. А для дробів, що виходять скороченням дробів зі знаменником 12 або роздробленням дванадцятих часток на дрібніші, були особливі назви.

Навіть зараз іноді кажуть: "Він скрупульозно вивчив це питання." Це означає, що питання вивчено остаточно, що жодної найменшої неясності не залишилося. А відбувається дивне слово "скрупульозно" від римської назви 1/288 асса - "скрупулус". У ході були такі назви: " семіс " - половина асса, " секстанс " - шоста його частка, " семіунція " - половина унції, тобто. 1/24 асса і т.д. Усього застосовувалося 18 різних назвдробів. Щоб працювати з дробами, треба було пам'ятати для цих дробів таблицю додавання та таблицю множення. Тому римські купці твердо знали, що при складанні трієнса (1/3 асса) і секстансу виходить семіс, а при множенні демона (2/3 асса) на сескунцію (2/3 унції, тобто 1/8 асса) виходить унція . Для полегшення роботи складалися спеціальні таблиці, деякі з яких дійшли до нас.

Сучасну систему запису дробів із чисельником та знаменником створили в Індії. Тільки там писали знаменник згори, а чисельник - знизу, і писали дробової риси.