Аналітичні моделі систем масового обслуговування. Побудова імітаційних моделей. Основні поняття імітаційного моделювання

Московський державний технічний університет

імені Н.Е. Баумана (Калузька філія)

Кафедра вищої математики

Курсова робота

за курсом «Дослідження операцій»

Імітаційне моделювання системи масового обслуговування

Завдання на роботу: Скласти імітаційну модель та розрахувати показники ефективності системи масового обслуговування (СМО) з наступними характеристиками:

Число каналів обслуговування n; максимальна довжиначерги т;

Потік заявок, що надходять до системи, найпростіший із середньою інтенсивністю λ і показовим законом розподілу часу між надходженням заявок;

Потік заявок, що обслуговуються в системі, найпростіший із середньою інтенсивністю µ і показовим законом розподілу часу обслуговування.

Порівняти знайдені значення показників із результатами. отриманими шляхом чисельного рішенняРівняння Колмогорова для ймовірностей станів системи. Значення параметрів СМО наведено у таблиці.

Вступ

Глава 1. Основні характеристики CМО та показники їх ефективності

1.1 Поняття марковського випадкового процесу

1.2 Потоки подій

1.3 Рівняння Колмогорова

1.4 Фінальні ймовірності та граф станів СМО

1.5 Показники ефективності СМО

1.6 Основні поняття імітаційного моделювання

1.7 Побудова імітаційних моделей

Глава 2. Аналітичне моделювання СМО

2.1 Граф станів системи та рівняння Колмогорова

2.2 Розрахунок показників ефективності системи за фінальнимі ймовірностями

Глава 3. Імітаційне моделювання СМО

3.1 Алгоритм методу імітаційного моделювання СМО (покроковий підхід)

3.2 Блок-схема програми

3.3 Розрахунок показників ефективності СМО на основі результатів її імітаційного моделювання

3.4 Статистична обробка результатів та їх порівняння з результатами аналітичного моделювання

Висновок

Література

Додаток 1

При дослідженні операцій часто доводиться стикатися із системами, призначеними для багаторазового використання під час вирішення однотипних завдань. Виникаючі у своїй процеси отримали назву процесів обслуговування, а системи – систем масового обслуговування (СМО).

Кожна СМО складається з певної кількості обслуговуючих одиниць (приладів, пристроїв, пунктів, станцій), які називаються каналами обслуговування. Каналами можуть бути лінії зв'язку, робочі точки, обчислювальні машини, продавці та ін. За кількістю каналів СМО поділяють на одноканальні та багатоканальні.

Заявки надходять у СМО зазвичай не регулярно, а випадково, утворюючи так званий випадковий потік заявок (вимог). Обслуговування заявок також триває якийсь випадковий час. Випадковий характер потоку заявок і часу обслуговування призводить до того, що СМО виявляється завантаженою нерівномірно: в якісь періоди часу накопичується дуже велика кількість заявок (вони або стають у чергу, або залишають СМО не обслуговувати), в інші періоди СМО працює з недовантаженням або простоює.

Предметом теорії масового обслуговування є побудова математичних моделей, що пов'язують задані умови роботи СМО (кількість каналів, їх продуктивність, характер потоку заявок тощо) з показниками ефективності СМО, що описують її здатність справлятися з потоком заявок.

Як показники ефективності СМО використовуються:

Абсолютна пропускну здатність системи (А), тобто. середня кількість заявок, що обслуговуються в одиницю часу;

Відносна пропускну здатність (Q), тобто. середня частка заявок, що надійшли, обслуговуються системою;

Можливість відмови обслуговування заявки (

);

Середня кількість зайнятих каналів (k);

Середня кількість заявок до СМО (

);

Середній час перебування заявки у системі (

);

Середня кількість заявок у черзі (

);

Середній час перебування заявки у черзі (

);

Середня кількість заявок, що обслуговуються в одиницю часу;

Середній час очікування на обслуговування;

Імовірність того, що кількість заявок у черзі перевищить певне значення тощо.

СМО ділять на 2 основних типи: СМО з відмовами та СМО з очікуванням (чергою). У СМО з відмовами заявка, що надійшла в момент, коли всі канали зайняті, отримує відмову, залишає СМО і в подальшому процесі обслуговування не бере участі (наприклад, заявка на телефонну розмову в момент, коли всі канали зайняті, отримує відмову та залишає СМО не обслуженою) . У СМО з очікуванням заявка, яка прийшла в момент, коли всі канали зайняті, не йде, а стає на чергу на обслуговування.

Одним із методів розрахунку показників ефективності СМО є метод імітаційного моделювання. Практичне використаннякомп'ютерного імітаційного моделювання передбачає побудову відповідної математичної моделі, що враховує фактори невизначеності, динамічні характеристики та весь комплекс взаємозв'язків між елементами системи, що вивчається. Імітаційне моделювання роботи системи починається з деякого конкретного початкового стану. Внаслідок реалізації різних подій випадкового характеру модель системи переходить у наступні моменти часу в інші свої можливі стани. Цей еволюційний процес триває остаточного моменту планового періоду, тобто. до кінцевого моменту моделювання.

Нехай є деяка система, яка з часом змінює свій стан випадковим чином. І тут кажуть, що у системі протікає випадковий процес.

Процес називається процесом з дискретними станами, якщо його стани

можна заздалегідь перерахувати і перехід системи з одного стану до іншого відбувається стрибком. Процес називається процесом з безперервним часом, якщо переходи системи зі стану на стан відбуваються миттєво.

Процес роботи СМО – це випадковий процес із дискретними станами та безперервним часом.

Випадковий процес називають марківським чи випадковим процесом без післядії, якщо для будь-якого моменту часу

вероятностные показники процесу у майбутньому залежить тільки від його стану в даний момент і не залежать від того, коли і як система прийшла в цей стан.

1.2 Потоки подій

Потік подій – послідовність однорідних подій, наступних одне одним у випадкові моменти часу.

Потік характеризується інтенсивністю λ – частотою появи подій чи середнім числом подій, які у СМО в одиницю часу.

Потік подій називається регулярним, якщо події йдуть одна одною через певні рівні проміжки часу.

Потік подій називається стаціонарним, якщо його ймовірні характеристики не залежать від часу. Зокрема, інтенсивність стаціонарного потоку є постійна величина:

.

Потік подій називається ординарним, якщо ймовірність попадання на малу ділянку часу

двох і більше подій мала в порівнянні з ймовірністю попадання однієї події, тобто якщо події з'являються в ньому поодинці, а не групами.

Потік подій називається потоком без післядії, якщо для будь-яких двох ділянок часу, що не перетинаються.

За останні десятиліття в різних областях народного господарствавиникла необхідність вирішення ймовірнісних завдань, пов'язаних із роботою систем масового обслуговування. Прикладами таких систем є телефонні станції, ремонтні майстерні, торгові підприємства, квиткові каси і т.д. робота будь-якої системи масового обслуговування полягає в обслуговуванні потоку вимог, що надходить до неї (виклики абонентів, прихід покупців у магазин, вимоги на виконання роботи в майстерні і т. д.).
Математична дисципліна, що вивчає моделі реальних систем масового обслуговування, одержала назву теорії масового обслуговування. Завдання теорії масового обслуговування - встановити залежність результуючих показників роботи системи масового обслуговування (імовірності того, що вимога буде обслужена; математичного очікування кількості обслуговуваних вимог тощо) від вхідних показників (кількість приладів у системі, параметрів вхідного потоку вимог тощо) .) встановити такі залежності у формульному вигляді можна лише для простих систем масового обслуговування. Вивчення реальних систем проводиться шляхом імітації, або моделювання їх роботи на ЕОМ із залученням методу статистичних випробувань.
Система масового обслуговування вважається заданою, якщо визначено:
1) вхідний потік вимог, чи, інакше кажучи, закон розподілу, що характеризує моменти часу надходження вимог у систему. Першопричину вимог називають джерелом. Надалі умовимося вважати, що джерело має в своєму розпорядженні необмежену кількість вимог і що вимоги однорідні, тобто відрізняються тільки моментами появи в системі;
2) система обслуговування, що складається з накопичувача та вузла обслуговування. Останній є одним або кількома обслуговуючими пристроями, які надалі називатимемо приладами. Кожна вимога має надійти на один із приладів, щоб пройти обслуговування. Може виявитися, що на вимоги доведеться чекати, поки прилади звільняться. У цьому випадку вимоги знаходяться у накопичувачі, утворюючи одну або кілька черг. Припустимо, що перехід вимоги з накопичувача у вузол обслуговування відбувається миттєво;
3) час обслуговування вимоги кожним приладом, який є випадковою величиною та характеризується деяким законом розподілу;
4) дисципліна очікування, т. е. сукупність правил, які регламентують кількість вимог, що у той самий час у системі. Система, в якій вимога, що надійшла, отримує відмову, коли всі прилади зайняті, називається системою без очікування. Якщо вимога, що залишила всі прилади зайнятими, стає в чергу і чекає доти,
доки звільнитися один із приладів, то така система називається чистою системоюз очікуванням. Система, в якій вимога, що заставила всі прилади зайнятими, стає в чергу тільки в тому випадку, коли кількість вимог, що знаходяться в системі, не перевищує певного рівня (інакше відбувається втрата вимоги), називається змішаною системою обслуговування;
5) дисципліна обслуговування, тобто сукупність правил, відповідно до яких вимога вибирається із черги для обслуговування. Найчастіше практично застосовуються такі правила:
- заявки приймаються до обслуговування у порядку черги;
- заявки приймаються для обслуговування за мінімальним часом отримання відмови;
- заявки приймаються до обслуговування у випадковому порядку відповідно до заданих ймовірностей;
6) дисципліна черги, тобто. сукупність правил, відповідно до яких вимога віддає перевагу тій чи іншій черзі (якщо їх не скільки) і розташовується у вибраній черзі. Наприклад, вимога, що надійшла, може зайняти місце в найкоротшій черзі; у цій черзі воно може розташуватися останнім (така черга називається впорядкованою), а може піти на обслуговування позачергово. Можливі інші варіанти.

Імітаційне моделювання систем масового обслуговування

Модель -це будь-який образ, аналог, уявний чи встановлений, зображення, опис, схема, креслення, тощо. будь-якого об'єкта, процесу чи явища, який у процесі пізнання (вивчення) заміщає оригінал, зберігаючи деякі важливі для даного дослідження типові властивості.
Моделювання - це дослідження будь-якого об'єкта чи системи об'єктів шляхом побудови та вивчення їх моделей. А також - це використання моделей для визначення або уточнення характеристик та раціоналізації способів побудови об'єктів, що знову конструюються.
Модель є засобом вивчення складних систем.
У загальному випадку складна системапредставляється як багаторівнева конструкція з взаємодіючих елементів, що об'єднуються у підсистеми різних рівнів. До складних систем, зокрема, відносяться інформаційні системи. Проектування таких складних систем здійснюється у два етапи.

1 Зовнішнє проектування

На цьому етапі проводять вибір структури системи, основних її елементів, організація взаємодії між елементами, облік впливу довкілля, оцінка показників ефективності системи.

2 Внутрішнє проектування – проектування окремих елементів
системи

Типовим методом дослідження складних систем першому етапі є моделювання їх у ЕОМ.
В результаті моделювання виходять залежності, що характеризують вплив структури та параметрів системи на її ефективність, надійність та інші властивості. Ці залежності використовуються для отримання оптимальної структурита параметрів системи.
Модель, сформульована мовою математики з використанням математичних методів, називається математичною моделлю.
Для імітаційного моделювання характерне відтворення явищ, що описуються математичною моделлю, зі збереженням їхньої логічної структури, послідовності чергування у часі. Для оцінки шуканих величин може бути використана будь-яка відповідна інформація, що циркулює в моделі, якщо тільки вона доступна реєстрації та подальшої обробки.
Шукані величини щодо процесів методом імітаційного моделювання зазвичай визначають як середні значення за даними великої кількості реалізацій процесу. Якщо число реалізацій N, використовуваних для оцінки шуканих величин, досить велике, то в силу закону великих чисел одержувані оцінки набувають статистичну стійкість і з достатньою для практики точністю можуть бути прийняті як наближені значення шуканих величин.
Сутність методу імітаційного моделювання стосовно задач масового обслуговування полягає в наступному. Будуються алгоритми,
за допомогою яких можна виробляти випадкові реалізаціїзаданих потоків однорідних подій, і навіть моделювати процеси функціонування обслуговуючих систем. Ці алгоритми використовуються для багаторазового відтворення реалізації випадкового процесу обслуговування за фіксованих умов завдання. Інформація про стан процесу піддається статистичній обробці для оцінки величин, що є показниками якості обслуговування.

3 Формування реалізацій випадкового потоку заявок

При дослідженні складних систем методом імітаційного моделювання приділяють значну увагу обліку випадкових факторів.
Як математичні схеми, що використовуються для формалізації дії цих факторів, використовуються випадкові події, випадкові величини і випадкові процеси (функції). Формування на ЕОМ реалізацій випадкових об'єктів будь-якої природи зводиться до вироблення та перетворення випадкових чисел. Розглянемо спосіб отримання можливих значень випадкових величин із заданим законом розподілу. Для формування можливих значень випадкових величин із заданим законом розподілу вихідним матеріалом є випадкові величини, що мають рівномірний розподіл в інтервалі (0, 1). Іншими словами, можливі значення xi випадкової величини £, що має рівномірний розподіл в інтервалі (0, 1), можуть бути перетворені на можливі значення yi випадкової величини г), закон розподілу якої заданий. Спосіб перетворення полягає в тому, що з рівномірно розподіленої сукупності відбираються випадкові числа, що задовольняють певну умову таким чином, щоб відібрані числа підкорялися заданим закономрозподілу.
Припустимо, необхідно отримати послідовність випадкових чисел yi , мають функцію щільності 1^(у). Якщо область визначення функції f^y) не обмежена з однієї або обох сторін, необхідно перейти до відповідного усіченого розподілу. Нехай область можливих значень усіченого розподілу дорівнює (a, b).
Від випадкової величини г), що відповідає функції густини f ^ y), перейдемо до f.
Випадкова величина Ъ,буде мати область можливих значень (0, 1) і функцію густини f^(z), що задається виразом.
Нехай максимальне значення f^(z) дорівнює f m. Задамо рівномірні розподіли в інтервалах (0, 1) випадкових чисел x 2 i-1 та x 2 i.Процедура отримання послідовності yi випадкових чисел, що мають функцію щільності ^(у), зводиться до наступного:
1) із вихідної сукупності вибираються пари випадкових чисел x2i-1,
2) для цих чисел перевіряється справедливість нерівності
х 21<-- ^[а + (Ъ-а)х 2М ] (3)
m
3) якщо нерівність (3) виконано, то чергове число yi визначається із співвідношення
yi = a + (b-а) х 21 (4)
p align="justify"> При моделюванні процесів обслуговування виникає необхідність формування реалізацій випадкового потоку однорідних подій (заявок). Кожна подія потоку характеризується моментом часу tj, коли воно настає. Щоб описати випадковий потік однорідних подій як випадковий процес, достатньо встановити закон розподілу, що характеризує послідовність випадкових величин tj. Для того, щоб отримати реалізацію потоку однорідних подій t1, t2..., tk, необхідно сформувати реалізацію z b z 2 ,...,zk k-мірного випадкового вектора ££2,..., Sk і обчислити значення ti відповідно до наступними співвідношеннями:
t 2 =
Нехай стаціонарний ординарний потік з обмеженою післядією заданий функцією густини f(z). Відповідно до формули Пальма (6) знайдемо функцію густини f1(z1) для першого інтервалу z1.
1- Jf (u) du
Тепер можна сформувати випадкове число z b як було показано вище, відповідне функції густини f1(z1), і отримати момент появи першої заявки t1 = z1. Далі формуємо ряд випадкових чисел, що відповідають функції густини f(z), і за допомогою співвідношення (4) обчислюємо значення величин t2, t3, .., tk.
4 Обробка результатів моделювання
При реалізації моделюючих алгоритмів на ЕОМ виробляється інформація про стани системи, що досліджується. Ця інформація є вихідним матеріалом для визначення наближених значень шуканих величин, або, як кажуть, оцінок для шуканих величин.
Оцінка ймовірності події А обчислюється за формулою
p(A) = mN. (7)
Оцінка середнього значення x випадкової величини Ъ,обчислюється за
формулі
_ 1 n
k =1
Оцінка S 2 для дисперсії випадкової величини обчислюється за формулою
1 N 1 ( N Л 2
S 2 =1 YA xk 2-5> J (9)
Оцінка кореляційного моменту К для випадкових величин Ъ,і цз можливими значеннями x k та y k відповідно обчислюється за формулою
1 N 1 NN
У> [ Ух

5 Приклад моделювання СМО
Розглянемо таку систему:
1 Вимоги надходять у випадкові моменти часу, причому
проміжок часу Q між будь-якими двома послідовними вимогами має показовий закон із параметром i,тобто функція розподілу має вигляд
>0. (11) Система обслуговування складається з однакових, пронумерованих приладів.
3 Час Т о бсл - випадкова величина з рівномірним закономрозподілу на відрізку.
4 Система без очікування, тобто. вимога, що залишила всі прилади зайнятими, залишає систему.
5 Дисципліна обслуговування така: якщо на момент надходження k - го вимоги перший прилад вільний, він приступає до обслуговування вимоги; якщо цей прилад зайнятий, а другий вільний, то вимога обслуговується другим приладом тощо.
Потрібно оцінити математичні очікування кількості вимог, обслужених системою за час Т і відмову.
За початковий момент розрахунку виберемо момент надходження першої вимоги Т1=0. Введемо такі позначення: Тk-момент надходження k-го вимоги; ti - момент закінчення обслуговування вимоги i-му приладу, i=1, 2, 3, ...,s.
Припустимо, що на момент T 1 все прилади вільні.
Перша вимога надходить на пристрій 1. Час обслуговування цим приладом має рівномірний розподіл на відрізку . Тому конкретне значення tобсл цього часу знаходимо за формулою
(12)
де r значення випадкової величини R , рівномірно розподіленої на відрізку . Прилад 1 буде зайнятий протягом часу про бсл. Тому час t 1 закінчення обслуговування вимоги приладом 1 слід вважати рівним: t 1 = Т1+ t про бсл.
Потім слід додати одиницю до лічильника обслужених вимог і перейти до розгляду наступної вимоги.
Припустимо, що вимоги вже розглянуто. Визначимо момент Т k+1 надходження (k+1) вимоги. Для цього знайдемо значення проміжку часу між послідовними вимогами. Оскільки цей проміжок має показовий закон, то
12
х = - In r (13)
| Ll
де r-чергове значення випадкової величини R . Тоді момент надходження (k+1)-го вимоги: Т k +1 = Тк+ Т.
Чи вільний у цей момент перший прилад? Для відповіді на це питання необхідно перевірити умову ti< Tk + i - Если это условие выполнено, то к моменту Т k +1 первый прибор освободился и может обслуживать требование. В этом случае t 1 заменяем на (Т k +1 + t обсл), добавляем единицу в счетчик об служенных требований и переходим к следующему требованию. Если t 1>Т k +1, то перший прилад у момент Т k +1 зайнятий. У цьому випадку перевіряємо, чи вільний другий прилад. Якщо умова i 2< Tk + i выполнено, заменяем t2 на (Т k +1+ t о бсл), добавляем единицу в счетчик обслуженных требований и переходим к следующему требованию. Если t 2>Т k +1, то перевіряємо умову 1з<Тк+1 и т. д. Eсли при всех i от 1 до s имеет ti >Т k +1, то момент Т k +1 всі прилади зайняті. У цьому випадку додаємо одиницю до лічильника відмов і переходимо до розгляду наступної вимоги. Щоразу, обчисливши Т k +1, треба перевірити ще умови закінчення реалізації: Tk + i< T . Если это условие выполнено, то одна реализация процесса функционирования системы воспроизведена и испыта ние заканчивается. В счетчике обслуженных требований и в счетчике отказов находятся числа n обсл и n отк.
Повторивши таке випробування n разів (з використанням різних r) та усереднивши результати дослідів, визначимо оцінки математичних очікувань числа обслугованих вимог та числа вимог, які отримали відмову:
(14)
(Ji
n j =1
де (n обсл) j і (n отк) j - значення величин n обсл і n отк в j-му досвіді.
13

Список використаних джерел
1 Ємельянов А.А. Імітаційне моделювання економічних процесів [Текст]: Навч. посібник для вузів/А.А. Ємельянов, Є.А. Власова, Р.В. Дума. - М.: Фінанси та статистика, 2002. - 368с.
2 Бусленко, Н.П. Моделювання складних систем [Текст]/Н.П. Бусленко. - М.: Наука, 1978. - 399с.
3 Рад Б.Я. Моделювання систем [Текст]: Навч. для вузів/Б.Я. Рад тов, С.А. Яковлєв. -М. : Вищ. школа, 1985. – 271 с.
4 Рад Б.Я. Моделювання систем [Текст]: Лабораторний практик кум: Навч. посібник для вузів за спеціальністю: "Автом. сист. оброб. інф. та кер." / Б.Я. Рад, С.А. Яковлєв. -М. : Вищ. шк., 1989. – 80 с.
5 Максимей І.В. Імітаційне моделювання на ЕОМ [Текст] / Максимей, І.В. -М: РАДІО І ЗВ'ЯЗОК, 1988. - 231с.
6 Вентцель Є.С. Теорія ймовірностей [Текст]: навч. для вузів/Є.С. Вент мета.- М.: Вищ. шк., 2001. – 575 с.
7 Гмурман, В.Є. Теорія ймовірностей та математична статистика [Текст]: навч. посібник/В.Є. Гмурман. - М.: Вищ. шк., 2001. – 479 с.
Додаток А
(обов'язкове)
Орієнтовні теми розрахунково-графічних робіт
1 На травмопункті працює один лікар. Тривалість лікування хворого
і проміжки часу між надходженнями хворих - випадкові величини, розподілені за пуасонівським законом. За тяжкістю травм хворі діляться на три категорії, надходження хворого будь-якої категорії - випадкова подія з рівноймовірним розподілом. Лікар спочатку займається хворими з максимально тяжкими травмами (у порядку їх надходження), потім, якщо таких немає, хворими середньої тяжкості, і лише потім - хворими з легкими травмами. Змоделювати процес та оцінити середні часи очікування у черзі хворих кожної з категорій.
2 У міському автогосподарстві дві ремонтні зони. Перша обслуговує ремонти короткої та середньої тривалості, друга – середньої та довгої. У міру поломок до автогосподарства доставляють транспорт; проміжок часу між доставками - випадкова пуассонівська величина. Тривалість ремонту - випадкова величина з нормальним законом розподілу. Змоделювати описану систему. Оцінити середні часи очікування у черзі транспорту, які вимагають відповідно короткострокового, середньострокового та тривалого ремонту.
3 Міні-маркет з одним контролером - касиром обслуговує покупців, вхідний потік яких підпорядковується закону Пуассона з параметром 20 покупців/год. Провести моделювання описаного процесу та визначити ймовірність простою контролера – касира середню довжину черги, середню кількість покупців у міні-маркеті, середній час очікування обслуговування, середній час перебування покупців у міні-маркеті та дайте оцінку його роботи.
4 На АТС надходять заявки на міжміські переговори. Потік заявок є пуассонівським. У середньому за 1 годину надходить 13 заявок. Знайдіть середню кількість заявок, що надходять за добу, середній час між появою заявок. На телефонній станції з'являються збої у роботі, якщо за півгодини на неї надійде понад 50 заявок. Знайдіть можливість збою станції.
5 На станцію технічного обслуговування надходить найпростіший
Струм заявок з інтенсивністю 1 автомобіль за 2 год. У дворі в черзі може перебувати не більше 3 машин. Середній час ремонту – 2 години. Дайте оцінку роботи СМО та розробіть рекомендації щодо покращення обслуговування.
6 Одна ткаля обслуговує групу верстатів, здійснюючи при необхідності короткострокове втручання, тривалість якого - випадкова величина. Змоделювати описану ситуацію. Яка ймовірність простою відразу двох верстатів. Як великий середній час простою одного верстата.
7 На міжміській телефонній станції дві телефоністки обслуговують загальну чергу замовлень. Чергове замовлення обслуговує телефоністка, яка першою звільнилася. Якщо обидві моменти надходження замовлення зайняті, дзвінок анулюється. Змоделювати процес, вважаючи вхідні потоки пуассонівськими.
8 На травмопункті працюють два лікарі. Тривалість лікування боляче
го і проміжки часу між надходженнями хворих - випадкові величини, розподілені за пуасонівським законом. За тяжкістю травм хворі діляться на три категорії, надходження хворого будь-якої категорії - випадкова подія з рівноймовірним розподілом. Лікар спочатку займається хворими з максимально тяжкими травмами (у порядку їх надходження), потім, якщо таких немає, хворими середньої тяжкості, і лише потім - хворими з легкими травмами. Змоделювати процес та оцінити середні часи очікування у черзі хворих кожної з категорій.
9 На міжміській телефонній станції дві телефоністки обслужи
ють загальну чергу замовлень. Чергове замовлення обслуговує та телефоністка,
яка першою звільнилася. Якщо обидві на момент надходження замовлення зайняті, то формується черга. Змоделювати процес, вважаючи вхідні потоки пу- ассонівськими.
10 У системі передачі даних здійснюється обмін пакетами даних між вузлами A та B по дуплексному каналу зв'язку. Пакети надходять до пунктів системи від абонентів з інтервалами часу між ними 10±3 мс. Передача пакету займає 10 мс. У пунктах є буферні регістри, які можуть зберігати два пакети, включаючи переданий. У разі приходу пакета в момент зайнятості регістрів пунктам системи надається вихід на супутникову напівдуплексну лінію зв'язку, яка здійснює передачу пакетів даних за 10 ± 5 мс. При зайнятості супутникової лінії пакет отримує відмову. Змоделювати обмін інформацією системі передачі даних протягом 1 хв. Визначити частоту дзвінків супутникової лінії та її завантаження. У разі можливості відмов визначити необхідний безвідмовної роботи системи обсяг буферних регістрів.
11 Нехай на телефонній станції з одним входом використовується звичайна система: якщо абонент зайнятий, то черга не формується і треба дзвонити знову. Змоделювати ситуацію: три абоненти намагаються додзвонитися до одного й того ж власника номера і у разі успіху розмовляють із ним деякий (випадковий за тривалістю) час. Яка ймовірність того, що хтось, який намагається додзвонитися, не зможе це зробити за певний час Т.
12 Торгова фірма планує виконувати замовлення на придбання товарів по телефону, для чого необхідно встановити відповідну міні-АТС з кількома телефонними апаратами. Якщо замовлення надходить, коли всі лінії зайняті, клієнт отримує відмову. Якщо в момент надходження за явки хоча б одна лінія вільна, то переключається на цю лінію і оформляється замовлення. Інтенсивність вхідного потоку заявок складає 30 замовлень на годину. Тривалість оформлення заявки у середньому дорівнює 5 хв. Визначте оптимальну кількість каналів обслуговування, щоб забезпечити умову стаціонарної роботи СМО.
13 У магазині самообслуговування 6 контролерів – касирів. Вхідний потік покупців підпорядковується закону Пуассона з інтенсивністю 120 чол/год. Один касир може обслужити 40 осіб на годину. Визначте ймовірність простою касира, середня кількість покупців у черзі, середній час очікування, середня кількість зайнятих касирів. Дайте оцінку роботи СМО.
14 До магазину самообслуговування надходить пуасонівський потік з інтенсивністю 200 покупців на годину. Протягом дня їх обслуговують 3 контролери-касири з інтенсивністю 90 покупців на годину. Інтенсивність вхідного потоку покупців у години пік зростає до величини 400 покупців на годину, а в години спаду досягає величини 100 покупців на годину. Визначте ймовірність утворення черги в магазині та середню довжину черги протягом дня, а також необхідну кількість контролерів-касирів у години пік та години спаду, що забезпечують таку саму довжину черги та ймовірність її утворення, як і в номінальному режимі.
15 Середня кількість покупців, що надходять на вузол розрахунку до магазину самообслуговування 100 чол/год. Касир може обслужити 60 осіб на годину. Змоделюйте процес і визначте, яка кількість касирів необхідна для того, щоб ймовірність появи черги не перевищила 0.6.
16 Провести моделювання черги в магазині з одним продавцем при рівноймовірних законах розподілу випадкових величин: приходу по купальників та тривалості обслуговування (при деякому фіксованому наборі параметрів). Отримати стійкі характеристики: середні значення очікування у черзі покупцем і простий продавця в очікуванні приходу покупців. Оцінити їх достовірність.
17 Провести моделювання черги в магазині з одним продавцем при пуассонівських законах розподілу випадкових величин: приходу по купальників та тривалості обслуговування (при деякому фіксованому наборі параметрів). Отримати стійкі характеристики: середні значення очікування у черзі покупцем і простий продавця в очікуванні приходу покупців. Оцінити їх достовірність.
18 Створіть модель бензоколонки. Знайдіть показники якості обслуговування заявок. Визначте кількість стійок для того, щоб черга не збільшувалася.
19 Середня кількість покупців, що надходять на вузол розрахунку до магазину самообслуговування, 60 осіб на годину. Касир може обслужити 35 осіб на годину. Змоделюйте процес і визначте, яка кількість касирів необхідна для того, щоб ймовірність появи черги не перевищила 0.6.
20 Розробіть модель автобусного маршруту з n зупинками. Визначте показники ефективності використання СМО.

p align="justify"> Класифікація, основні поняття, елементи моделі, розрахунок основних характеристик.

Під час вирішення завдань раціональної організації торгівлі, побутового обслуговування, складського господарства тощо. дуже корисною буває інтерпретація діяльності виробничої структури як системи масового обслуговування, тобто. системи у якій, з одного боку, постійно виникають запити виконання будь-яких робіт, з другого - відбувається постійне задоволення цих запитів.

Будь-яка СМО включає чотири елементи: вхідний потік, черга, обслуговуючий пристрій, потік, що виходить.

Вимогою(клієнтом, заявкою) у СМО називається кожен окремий запит на виконання будь-якої роботи.

Обслуговування- це виконання роботи із задоволення вимоги. Об'єкт, що виконує обслуговування вимог, називається пристроєм (приладом) або каналом обслуговування.

Часом обслуговування називається період, протягом якого задовольняється вимога обслуговування, тобто. період від початку обслуговування та до його завершення. Період від моменту надходження вимоги до системи до початку обслуговування називається часом очікування обслуговування. Час очікування обслуговування разом із часом обслуговування становить час перебування вимоги у системі.

СМО класифікуються за різними ознаками.

1. За кількістю каналів обслуговування СМО діляться на одноканальні та багатоканальні.

2. Залежно від умов очікування вимогою початку обслуговування розрізняють СМО з втратами (відмовами) та СМО з очікуванням.

У СМО із втратами вимоги, що надійшли в момент, коли всі прилади зайняті обслуговуванням, отримують відмову, вони губляться для даної системи і ніякого впливу на подальший процес обслуговування не надають. Класичним прикладом системи з відмовими є телефонна станція - вимога на з'єднання отримує відмову, якщо абонент зайнятий.

Для системи з відмовами основною характеристикою ефективності функціонування є можливість відмови або середня частка заявок, що залишилися необслуженими.

У СМО з очікуванням вимоги, що надійшло в момент, коли всі прилади зайняті обслуговуванням, не залишає систему, а стає в чергу і чекає, поки не звільниться один з каналів. У разі звільнення чергового приладу одна із заявок, що стоять у черзі, негайно приймається на обслуговування.

Для СМО з очікуванням основними характеристиками є математичні очікування довжини черги та часу очікування.

Прикладом системи з очікуванням може бути процес відновлення телевізорів у ремонтній майстерні.

Зустрічаються системи, що лежать між зазначеними двома групами ( змішані СМО). Їх характерно наявність деяких проміжних умов: обмеженнями може бути обмеження за часом очікування початку обслуговування, за довжиною черги тощо.

Як характеристики ефективності може застосовуватися ймовірність відмови як у системах з втратами (або характеристики часу очікування) і в системах з очікуванням.

3. За дисципліною обслуговування СМО діляться на системи з пріоритетом в обслуговуванні та системи без пріоритету в обслуговуванні.

Вимоги можуть обслуговуватися в порядку їх надходження або випадковим чином або залежно від встановлених пріоритетів.

4. СМО можуть бути однофазними та багатофазними.

У однофазнихсистемах вимоги обслуговуються каналами одного типу (наприклад робітниками однієї професії) без передачі їх від одного каналу до іншого, багатофазнихсистемах такі передачі можливі.

5. За місцем знаходження джерела вимог СМО поділяються на розімкнені (коли джерело вимоги знаходиться поза системою) і замкнуті (коли джерело знаходиться у самій системі).

До замкнутимвідносяться системи, в яких потік вимог, що надходить, обмежений. Наприклад, майстер, завданням якого є налагодження верстатів у цеху, має періодично їх обслуговувати. Кожен налагоджений верстат стає у майбутньому потенційним джерелом вимог на налагодження. У таких системах загальна кількість циркулюючих вимог звичайно і найчастіше постійно.

Якщо джерело живлення має нескінченне число вимог, то системи називаються розімкнутими. Прикладами таких систем можуть бути магазини, каси вокзалів, портів тощо. Для цих систем потік вимог, що надходить, можна вважати необмеженим.

Методи та моделі дослідження СМО можна умовно розбити на аналітичні та статистичні (імітаційного моделювання процесів масового обслуговування).

Аналітичні методи дозволяють отримати характеристики системи, як деякі функції від параметрів її функціонування. Завдяки цьому з'являється можливість проводити якісний аналізвпливу окремих чинників на ефективність роботи СМО

На жаль, аналітичному рішенню піддається лише досить обмежене коло завдань теорії масового обслуговування. Незважаючи на розробку аналітичних методів, що постійно ведеться, у багатьох реальних випадкаханалітичне рішення або неможливо отримати, або підсумкові залежності виявляються настільки складними, що їх аналіз стає самостійним складним завданням. Тому заради можливості застосування аналітичних методів рішення доводиться вдаватися до різних спрощує припущень, що певною мірою компенсується можливістю застосування якісного аналізу підсумкових залежностей (при цьому, зрозуміло, необхідно, щоб прийняті припущення не спотворювали реальної картини процесу).

В даний час теоретично найбільш розроблені та зручні у практичних додатках методи вирішення таких завдань масового обслуговування, в яких потік вимог є найпростішим ( пуассонівським).

Для найпростішого потоку частота надходження вимог до системи підпорядковується закону Пуассона, тобто ймовірність надходження за час t, що дорівнює k вимог задається формулою:

де - параметр потоку (див. нижче).

Найпростіший потік має три основні властивості: ординарність, стаціонарність і відсутність післядії.

Ординарністьпотоку означає практичну неможливість одночасного надходження двох і більше вимог. Наприклад, досить малою є ймовірність того, що з групи верстатів, які обслуговує бригада ремонтників, одночасно вийдуть з ладу кілька верстатів.

Стаціонарнимназивається потік, Для якого математичне очікування числа вимог, що надходять до системи в одиницю часу (позначимо через λ), не змінюється у часі. Таким чином, ймовірність надходження до системи певної кількості вимог протягом заданого проміжку часу Δt залежить від його величини і не залежить від початку відліку на осі часу.

Відсутність післядіїозначає, що кількість вимог, що надійшли до системи до моменту t, не визначає того, скільки вимог надійде до системи за час t + Δt.

Наприклад, якщо на ткацькому верстаті в даний момент стався обрив нитки, і він усунений ткалями, то це не визначає того, чи відбудеться новий обрив на даному верстаті наступний моментчи ні, тим більше це не впливає на ймовірність виникнення урвища на інших верстатах.

Важливою характеристикою СМО є час обслуговування вимог у системі. Час обслуговування є, зазвичай, випадковою величиною і, отже, може бути описано законом розподілу. Найбільшого поширення теорії і, особливо у практичних додатках, отримав експоненційний закон. Для цього закону функція розподілу ймовірностей має вигляд:

F(t) = 1 - e-μt,

тобто. Можливість те, що час обслуговування вбирається у деякої величини t, визначається формулою (1 – e -μt), де μ -параметр експоненційного закону часу обслуговування вимог у системі - величина, зворотна середньому часу обслуговування, тобто. .

Розглянемо аналітичні моделі СМО з очікуванням(Найпоширеніші СМО, у яких вимоги, що надійшли в момент, коли всі обслуговуючі одиниці зайняті, стають у чергу і обслуговуються в міру звільнення обслуговуючих одиниць).

Завдання з чергами є типовими у виробничих умовах, наприклад при організації налагоджувальних та ремонтних робіт, при багатоверстатному обслуговуванні тощо.

Постановка задачі в загальному виглядівиглядає наступним чином.

Система складається з n обслуговуючих каналів. Кожен із них може одночасно обслуговувати лише одну вимогу. В систему надходить найпростіший (пуасонівський) потік вимог з параметром. Якщо в момент надходження чергової вимоги в системі на обслуговуванні вже знаходиться не менше n вимог (тобто всі канали зайняті), то ця вимога стає в чергу і чекає на початок обслуговування.

Час обслуговування кожної вимоги t є випадковою величиною, яка підпорядковується експоненційному закону розподілу з параметром μ.

Як зазначалося вище, СМО з очікуванням можна розбити на дві великі групи: замкнуті та розімкнуті.

Особливості функціонування кожної з цих видів систем накладають свій відтінок на використовуваний математичний апарат. Розрахунок характеристик роботи СМО різного видуможе бути проведено на основі розрахунку ймовірностей станів СМО (формули Ерланга).

Оскільки система замкнута, то до постановки завдання слід додати умову: потік вимог обмежений, тобто. в системі обслуговування одночасно не може перебувати більше m вимог (m - число об'єктів, що обслуговуються).

Як основні критерії, що характеризують якість функціонування аналізованої системи, виберемо: 1) відношення середньої довжини черги до найбільшого числа вимог, що знаходяться одночасно в обслуговуючій системі -коефіцієнт простою об'єкта, що обслуговується; 2) відношення середньої кількості незайнятих обслуговуючих каналів до їх загального числа - коефіцієнт простою каналу, що обслуговується.

Розглянемо розрахунок необхідних ймовірнісних характеристик (показників якості функціонування) замкнутої СМО.

1. Імовірність того, що в системі знаходиться k вимог за умови, коли їх число не перевищує числа обслуговуючих апаратів n:

P k = α k P 0 , (1 ≤ k ≤ n),

де

λ - частота (інтенсивність) надходження вимог до системи від одного джерела;

Середня тривалість обслуговування однієї вимоги;

m - найбільше можливе число вимог, що знаходяться в обслуговуючій системі одночасно;

n – число обслуговуючих апаратів;

Р 0 - можливість, що це обслуговуючі апарати вільні.

2. Імовірність того, що в системі знаходиться k вимог за умови, коли їх кількість більша за кількість обслуговуючих апаратів:

P k = α k P 0 , (n ≤ k ≤ m),

де

3. Імовірність того, що всі обслуговуючі апарати вільні, визначається за умови

отже,

4. Середня кількість вимог, що очікують початку обслуговування (середня довжина черги):

5. Коефіцієнт простою вимоги в очікуванні обслуговування:

6. Імовірність того, що всі обслуговуючі апарати зайняті:

7. Середня кількість вимог, що знаходяться в обслуговувальній системі (обслуговуваних та очікуваних обслуговування):

8. Коефіцієнт повного простою вимог на обслуговуванні та в очікуванні обслуговування:

9. Середній час простою вимоги у черзі на обслуговування:

10. Середня кількість вільних обслуговуючих апаратів:

11. Коефіцієнт простою обслуговуючих апаратів:

12. Імовірність того, що кількість вимог, що очікують обслуговування, більша за деяку кількість В (ймовірність того, що в черзі на обслуговування перебуває більше В вимог):

ВСТУП

ГЛАВА I. ПОСТАНОВКА ЗАВДАНЬ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

1.1 Загальні поняттятеорії масового обслуговування

1.2 Моделювання систем масового обслуговування

1.3 Графи станів СМО

1.4 Випадкові процеси

Розділ II. РІВНЯННЯ, ОПИСУЮЧІ СИСТЕМИ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

2.1 Рівняння Колмогорова

2.2 Процеси «народження – загибелі»

2.3 Економіко-математична постановка задач масового обслуговування

Розділ III. МОДЕЛІ СИСТЕМ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ

3.1 Одноканальна СМО з відмовами в обслуговуванні

3.2 Багатоканальна СМО з відмовами в обслуговуванні

3.3 Модель багатофазної системи обслуговування туристів

3.4 Одноканальна СМО з обмеженою довжиною черги

3.5 Одноканальна СМО з необмеженою чергою

3.6 Багатоканальна СМО з обмеженою довжиною черги

3.7 Багатоканальна СМО з необмеженою чергою

3.8 Аналіз системи масового обслуговування супермаркету

ВИСНОВОК

Вступ

В даний час з'явилася велика кількість літератури, присвяченої безпосередньо теорії масового обслуговування, розвитку її математичних аспектів, а також різних сфер її застосування – військової, медичної, транспортної, торгівлі, авіації та ін.

Теорія масового обслуговування спирається на теорію ймовірностей та математичну статистику. Початковий розвиток теорії масового обслуговування пов'язаний з ім'ям датського вченого А.К. Ерланга (1878-1929), з його працями в галузі проектування та експлуатації телефонних станцій.

Теорія масового обслуговування – область прикладної математики, Що займається аналізом процесів у системах виробництва, обслуговування, управління, в яких однорідні події повторюються багаторазово, наприклад, на підприємствах побутового обслуговування; у системах прийому, переробки та передачі інформації; автоматичних лініяхвиробництва та інших. Великий внесок у розвиток цієї теорії зробили російські математики А.Я. Хінчін, Б.В. Гнєденко, О.М. Колмогоров, Є.С. Вентцель та ін.

Предметом теорії масового обслуговування є встановлення залежностей між характером потоку заявок, числом каналів обслуговування, продуктивністю окремого каналу та ефективним обслуговуванням з метою знаходження найкращих шляхів управління цими процесами. Завдання теорії масового обслуговування носять оптимізаційний характер і в кінцевому підсумку включають економічний аспект визначення такого, варіанта системи, при якому буде забезпечений мінімум сумарних витрат від очікування обслуговування, втрат часу і ресурсів на обслуговування і від простоїв каналів обслуговування.

У комерційній діяльності застосування теорії масового обслуговування поки що не знайшло бажаного поширення.

Здебільшого це з труднощами постановки завдань, необхідністю глибокого розуміння змісту комерційної діяльності, і навіть надійного і точного інструментарію, що дозволяє прораховувати у комерційної діяльності різні варіанти наслідків управлінських рішень.

Глава I . Постановка завдань масового обслуговування

1.1 Загальні поняття теорії масового обслуговування

Природа масового обслуговування, різних сферах, дуже тонка та складна. Комерційна діяльність пов'язані з виконанням безлічі операцій на етапах руху, наприклад товарної маси зі сфери виробництва, у сферу споживання. Такими операціями є навантаження товарів, перевезення, розвантаження, зберігання, обробка, фасування, реалізація. Крім таких основних операцій процес руху товарів супроводжується великою кількістю попередніх, підготовчих, супутніх, паралельних та наступних операцій із платіжними документами, тарою, грошима, автомашинами, клієнтами тощо.

Для перерахованих фрагментів комерційної діяльності характерні масовість надходження товарів, грошей, відвідувачів у випадкові моменти часу, потім їхнє послідовне обслуговування (задоволення вимог, запитів, заявок) шляхом виконання відповідних операцій, час виконання яких носить також випадковий характер. Все це створює нерівномірність у роботі, породжує недовантаження, простий та перевантаження у комерційних операціях. Багато неприємностей завдають черги, наприклад, відвідувачів у кафе, їдальнях, ресторанах, або водіїв автомобілів на товарних базах, які очікують на розвантаження, навантаження чи оформлення документів. У зв'язку з цим виникають завдання аналізу існуючих варіантів виконання всієї сукупності операцій, наприклад, торгового залусупермаркету, ресторану або в цехах виробництва власної продукції з метою оцінки їхньої роботи, виявлення слабких ланок та резервів для розробки зрештою рекомендацій, спрямованих на збільшення ефективності комерційної діяльності.

Крім того, виникають інші завдання, пов'язані зі створенням, організацією та плануванням нового економічного, раціонального варіанту виконання безлічі операцій у межах торгового залу, кондитерського цеху, всіх ланок обслуговування ресторану, кафе, їдальні, планового відділу, бухгалтерії, відділу кадрів та ін.

Завдання організації масового обслуговування виникають практично у всіх сферах людської діяльності, наприклад, обслуговування продавцями покупців у магазинах, обслуговування відвідувачів на підприємствах громадського харчування, обслуговування клієнтів на підприємствах побутового обслуговування, забезпечення телефонних розмов на телефонній станції, надання медичної допомогихворим на поліклініці тощо. У всіх наведених прикладах виникає потреба у задоволенні запитів великої кількості споживачів.

Перелічені завдання можна успішно вирішувати за допомогою методів та моделей спеціально створеної для цих цілей теорії масового обслуговування (ТМО). У цій теорії пояснюється, що обслуговувати необхідно будь-кого або що-небудь, що визначається поняттям «заявка (вимогу) на обслуговування», а операції обслуговування виконуються будь-ким, званими каналами (вузлами) обслуговування. Роль заявок у комерційній діяльності виконують товари, відвідувачі, гроші, ревізори, документи, а роль каналів обслуговування - продавці, адміністратори, кухарі, кондитери, офіціанти, касири, товарознавці, вантажники, торгове обладнання та ін. наприклад, кухар у процесі приготування страв є каналом обслуговування, а в іншому - виступає в ролі заявки на обслуговування, наприклад до завідувача виробництва за отриманням товару.

Заявки з масовості надходження обслуговування утворюють потоки, які до виконання операцій обслуговування називаються вхідними, а після можливого очікування початку обслуговування, тобто. простоячи в черзі, утворюють потоки обслуговування в каналах, а потім формується вихідний потік заявок. Загалом сукупність елементів вхідного потоку заявок, черги, каналів обслуговування і потоку заявок, що виходить, утворює найпростішу одноканальну систему масового обслуговування - СМО.

Під системою розуміється сукупність взаємозалежних та. цілеспрямовано взаємодіючих елементів (елементів). Прикладами таких найпростіших СМО в комерційній діяльності є місця прийому та обробки товарів, вузли розрахунку з покупцями в магазинах, кафе, їдалень, робочі місця економіста, бухгалтера, комерсанта, кухарі на роздачі і т.д.

Процедура обслуговування вважається завершеною, коли заявка обслуговування залишає систему. Тривалість інтервалу часу, необхідного для реалізації процедури обслуговування, залежить в основному від характеру запиту заявки на обслуговування, стану обслуговуючої системи та каналу обслуговування.

Справді, тривалість перебування покупця у супермаркеті залежить, з одного боку, від особистісних якостей покупця, його запитів, від асортименту товарів, що він збирається придбати, з другого - від форми організації обслуговування і обслуговуючого персоналущо може значно вплинути на час перебування покупця у супермаркеті та інтенсивність обслуговування. Наприклад, оволодіння касирами-контролерами роботи «сліпим» методом на касовому апараті дозволило збільшити пропускну спроможність вузлів розрахунку в 1,3 рази та заощадити час, що витрачається на розрахунки з покупцями по кожній касі більш ніж на 1,5 год на день. Впровадження єдиного вузла розрахунку у супермаркеті дає відчутні переваги покупцю. Так, якщо при традиційної формирозрахунків час обслуговування одного покупця становило в середньому 1,5 хв, то за введення єдиного вузла розрахунку - 67 с. З них 44 с. йдуть на оформлення покупки в секції та 23 с. безпосередньо на розрахунки за покупки. Якщо покупець робить кілька покупок у різних секціях, то втрати часу скорочуються при придбанні двох покупок у 1,4 раза, трьох – у 1,9, п'яти – у 2,9 раза.

Під обслуговуванням заявок розумітимемо процес задоволення потреби. Обслуговування має різний характер за своєю природою. Однак, у всіх прикладах заявки, що надійшли, потребують обслуговування з боку будь-якого пристрою. У деяких випадках обслуговування здійснюється однією людиною (обслуговування покупця одним продавцем, у деяких - групою людей (обслуговування хворого на лікарську комісію в поліклініці), а в деяких випадках - технічними пристроями(Продаж газованої води, бутербродів автоматами). Сукупність коштів, що здійснюють обслуговування заявок, називається каналом обслуговування.

Якщо канали обслуговування здатні задовольнити однакові заявки, канали обслуговування називаються однорідними. Сукупність однорідних каналів обслуговування називається системою, що обслуговує.

У систему масового обслуговування надходить велика кількість заявок у випадкові моменти часу, тривалість обслуговування яких також є випадковою величиною. Послідовне надходження заявок у систему обслуговування називається вхідним потоком заявок, а послідовність заявок, що залишають систему обслуговування, - потоком, що виходить.

Основи математичного моделювання

соціально-економічних процесів

Лекція 3

Тема лекції: «Моделі систем масового обслуговування»

1. Моделі організаційних структуруправління (ОСУ).

2. Системи та моделі масового обслуговування. Класифікація систем масового обслуговування (СМО).

3.Моделі СМО. Показники якості функціонування СМО.

1. МОДЕЛІ ОРГАНІЗАЦІЙНИХ СТРУКТУР УПРАВЛІННЯ (ОСУ).

Багато економічні завданняпов'язані з системами масового обслуговування (СМО), тобто з такими системами, в яких, з одного боку, виникають масові запити (вимоги) на виконання будь-яких послуг, з іншого - відбувається задоволення цих запитів.

СМО включає такі елементи: джерело вимог, вхідний потік вимог, чергу, обслуговуючі пристрої (канали обслуговування), потік вимог, що виходить. Дослідженням таких систем займається теорія масового обслуговування (ТМО).

Методами теорії масового обслуговування (ТМО) можна вирішити багато завдань дослідження процесів, які у економіці. Так, в організації торгівлі ці методи дозволяють визначити оптимальну кількість торгових точок даного профілю, чисельність продавців, частоту завезення товарів та інші параметри. Іншим характерним прикладом систем масового обслуговування можуть бути склади або бази постачальницько-збутових організацій. І завдання теорії масового обслуговування в даному випадкузводиться до того, щоб встановити оптимальне співвідношення між кількістю вступників на базу вимог на обслуговування і числом обслуговуючих пристроїв, при якому сумарні витрати на обслуговування та збитки від простою транспорту були б мінімальними. Теорія масового обслуговування може знайти застосування і при розрахунку площі складських приміщень, при цьому складська площа розглядається як обслуговуючий пристрій, а прибуття транспортних засобівпід розвантаження - як вимога.

Моделі теорії масового обслуговування застосовуються також під час вирішення низки завдань організації та нормування праці, інших соціально-економічних проблем. Перехід до ринку вимагає від усіх суб'єктів господарювання підвищеної надійності та ефективності функціонування виробництв, гнучкості та живучості у відповідь на динамічні зміни зовнішнього ділового середовища, зниження різновидів ризиків та втрат від запізнілих та некомпетентних управлінських рішень.

СИСТЕМИ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ (СМО) Є МАТЕМАТИЧНИМИ МОДЕЛЯМИ ОРГАНІЗАЦІЙНИХ СТРУКТУР УПРАВЛІННЯ (ОСУ).

ОРГАНІЗАЦІЙНІ СТРУКТУРИ УПРАВЛІННЯ (ОСУ)покликані оперативно відстежувати коливання ринку і приймати в залежності від ситуацій, що складаються, компетентні управлінські рішення.

Тому стає зрозумілою та увага, яку приділяють суб'єкти ринку (транснаціональні корпорації, промислове підприємство, комерційні банки, фірми, організації, малі підприємства тощо) вибору ефективно функціонуючих організаційних структур управління (ОСУ).

Натомість широко поширених у 90-х роках двадцятого століття ОСУ підприємств (ієрархічних, матричних, дуальних, паралельних та ін.) сьогодні у світі ефективно використовуються АЛЬТЕРНАТИВНІ ФОРМИ БАГАТОФУНКЦІОНАЛЬНИХ СТРУКТУР, що базуються на принципи самоорганізації, адаптації, автономності окремих підрозділів з м'якими зв'язками між ними.

Подібною структурою має безліч передових зарубіжних фірм, у складі яких налічується безліч робочих груп з мережевими взаєминами між ними. Популярними в Останнім часомвважаються організації, зорієнтовані мінімізацію споживання ресурсів, мають явно виражену горизонтальну форму з координацією, здійснюваної за ієрархічною ознакою, а самими робочими групами, організованими в мережу.

Альтернативними моделями, що протистоять моделям ОСУ, створеним на базі організаційної логіки та жорсткого регулювання, є нечіткі структури без ієрархічних рівнів та структурних підрозділів, засновані на координації особистої відповідальності та профілюванні самоврядних груп з такими ознаками:

а) наявністю щодо незалежних робочих груп за участю представників різних підрозділів, що створюються для вирішення певних проектів та проблем, за широкої свободи дій та автономії в галузі координації завдань та прийняття рішень;

б) ліквідацією жорстких зв'язків між підрозділами ОСУ із запровадженням гнучких взаємозв'язків.

На аналогічних принципах базується сучасна концепція мінімізованого за ресурсами виробництва: на подібних підприємствах як організаційні одиниці використовують робочі групи з широкими повноваженнями та великими можливостями самоврядування з кінцевою метою, що полягає у створенні розумної гнучкої організації праці, що спирається на самостійно діючих виконавців, а не на синтезовані спеціалістами раціональні структури; співробітниками оцінюються проблеми, що визначаються, визначаються можливості контактів з фахівцями всередині та за межами системи. Самоврядний персонал основний наголос робить на самоорганізацію, що замінює собою привнесену ззовні (задається зверху) жорстку впорядковану структуру.

Крайнім випадком такого підходу є створення безорганізаційної, постійно «розмороженої» структури з такими властивостями:

Широке творче обговорення будь-яких оброблюваних процедур і сигналів, що надходять ззовні без урахування шаблонних рішень і минулого досвіду;

Автономна робота членів груп з самостійною організацієютимчасових взаємозв'язків та виробничих угод між партнерами в міру необхідності для вирішення проблем, що виникають.

Зауважимо, що надмірне захоплення однієї системною функцією- гнучкістю, при повному ігноруванні інших функцій - інтеграції, ідентифікації, обліку та контролю, завжди небезпечно для стійко функціонуючих систем, тому що важко забезпечити успішну координацію в рамках цієї організації без високої кваліфікації співробітників, їх здатність до навчання та вдосконалення, встановлення ефективних контактів і координації.При подібній формі організації основна увага повинна приділятися створенню умов для максимального використанняінтелекту людських ресурсів та підвищення їхньої кваліфікації, виділенню висококваліфікованих фахівців — системників, які пов'язують дії членів організації для досягнення кінцевої мети. При цьому у сфері системної координації існує ймовірність можливих зривів, конфліктів та негативних наслідків, оскільки орієнтація на здатність персоналу до самоорганізації та самокоординації носить занадто загальний характер. Хоча висока компетентність, ініціатива і сила волі кожного працівника впливає на життєздатність будь-якої децентралізованої організації, але в цілому вони не можуть замінити регулюючу функцію цілої організаційної структури.

Сьогодні у світі інтенсивно розвивається новий напрямок синтезу ОСУ як систем, що навчаються, що характеризуються наступними характерними особливостями:

а) залученням висококваліфікованих експертів-фахівців до процесів сприйняття та накопичення інформації, а також до навчання та розширення здібностей персоналу;

б) постійною зміною в процесі функціонування, розширенням своїх здібностей взаємодії з навколишнім діловим середовищем і швидкою адаптацією до зовнішніх і внутрішніх умов, що постійно змінюються;

в) широким поширенням відкритих комп'ютерних мереж, що охоплюють як окремі організації, підприємства чи його конгломерати, а й цілі великі регіони і навіть сукупності країн (ЄЕС, СВІФТ та інших.), що зумовлює нові можливості організації та підвищення ефективності роботи підприємств і галузей в масштабах усієї країни і навіть усього світу.

Вважається, що ОСУ має створюватися на принципах багатофункціональності та багатоаспектності, що дозволяють ефективно контролювати складні ринки та розподіляти наявні ресурси. З аналізу світового досвіду функціонування ОСУ в умовах ринку стосовно російської економіки та її суб'єктів господарювання можна виділити такі рекомендації:

1) ієрархічну ОСУ можна зберігати і застосовувати з мінімумом ризику для підприємства, якщо вище керівництво фірми здатне виступати як координатори проблем, а їх підлеглі — як «маленькі підприємці»; при цьому підприємницька ініціатива та відповідальність переміщуються з верхніх у нижні ешелони фірмової влади при виконанні ієрархами координаторських функцій;

2) матричну ОСУ можна зберігати, якщо у фірмі відсутнє механічне дублювання службових інстанцій та існує органічна мережева структура з оптимальною комунікацією;

3) дуальну ОСУ слід застосовувати при ясності та контрольованості як ключових зв'язків між основними та супутніми структурами, так і прозорості функцій самої системи супутніх вторинних структур, причому вони мають бути багатофункціональними та багатоцільовими (типу « навчальних центрів»), а не спеціалізованими, орієнтованими лише на власні потреби;

4) паралельну ОСУ слід застосовувати при сформованій конструктивній конкурентній культурі, співпраці партнерів на базі довіри, толерантності, готовності вирішувати конфлікти, а в гострих ситуаціях мати нейтральну «третейську» інстанцію.

За наявності середніх підприємств, що складаються із слабко інтегрованих функціональних підрозділів, на вторинні структури можна покласти рішення інтеграційних проблем, але ефект від цього механізму вийде за усвідомлення керівництвом підрозділів створення структурної надбудови як засобу підтримки їхньої власної позиції, ніж як загрозу їхнього існування.

Розвиток на стику кібернетики, обчислювальних мереж, менеджменту та соціальної психології напряму Groupware (США), пов'язаного з електронними інформаційними системами, локальними діалоговими мережами та засобами їх підтримки, забезпечує розподілену роботу великих колективів людей у ​​режимі прямого доступу, дозволяючи зберігати в машинній пам'яті величезний обсяг інформації (будь-яку ділову, виробничо-технічну та іншу документацію, наради, переговори організації та навіть звичайні розмови її співробітників, а також всю передісторію та досвід роботи), використовуючи її при необхідності для коригування структури, функцій, завдань, стратегії та тактики управління у діяльності конкретної організації. Такий підхід по-новому розкриває поняття організації, що навчається, забезпечує проведення аналогій між процесами, що протікають у живих та в діалогових комп'ютерних системах.

Якщо навчання та пам'ять зумовлюють виживання живих систем, то аналогічно організаційне навчання та пам'ять впливають на ефективність діяльності будь-якої організації при зміні ділового зовнішнього середовища. Навчання як живих, так і організаційних систем обов'язково веде до структурних змін. Організаційно правильно побудована комп'ютерна мережа може викликати якісне зрушення у поліпшенні корпоративної діяльності. Гнучкість та широта функціональних можливостейробочих груп, реалізують управління проектами при мінімумі витрат за координацію їх роботи, зумовлюють зростання і якість виконання великих завдань, які стоять перед фірмами, необхідність оптимізації функціональних підрозділів і організаційних структур загалом, зміни зв'язків між функціональними одиницями залежно від ситуацій.

Якість реструктуризації в живих та організаційних системах визначається сукупністю успадкованої та набутої поведінки, ефективністю навчання та пам'яті, організації інфраструктур, що забезпечують вдосконалення взаємозв'язків та діалогів між людьми. Підвищення швидкості навчання та ефективності пам'яті організації залежить від способу управління взаємовідносинами та діалогами для людей. Сьогодні комунікації – це координація дій, а не передача інформації. Організаційні інфраструктури мають розширювати можливості формування та підтримки діалогів для людей незалежно від своїх традицій, культури та інших. Приклад тому організація та розповсюдження мережі Internet та її подібних.

Облік специфіки моделей різновидів СМО у практичній діяльності суб'єктів ринку дозволяє:

Провести глибший аналіз особливостей функціонування складних систем, оцінити їхню якість та ефективність з отриманням конкретних кількісних оцінок;

Розкрити наявні резерви та можливості щодо оптимізації протікаючих процесів, економії фінансових та інших ресурсів, зниження ризиків в умовах невизначеності ділового зовнішнього та внутрішнього середовища.

Розглянемо ці питання докладніше.

2. СИСТЕМИ І МОДЕЛІ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ. КЛАСИФІКАЦІЯ СИСТЕМ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ (СМО).

Теорія масового обслуговування спирається на теорію ймовірностей та математичну статистику. Початковий розвиток теорії масового обслуговування пов'язаний з ім'ям датського вченого А. К. Ерланга (1878-1929), з його працями в галузі проектування та експлуатації телефонних станцій.

Теорія масового обслуговування - область прикладної математики, що займається аналізом процесів у системах виробництва, обслуговування, управління, в яких однорідні події повторюються багаторазово, наприклад, на підприємствах побутового обслуговування; у системах прийому, переробки та передачі інформації; автоматичних лініях виробництва та ін.

Великий внесок у розвиток цієї теорії зробили російські математики А. Я. Хінчін, Б. В. Гнєденко, А. Н. Колмогоров, Є. С. Вентцель та ін.

Предметом теорії масового обслуговування є встановлення залежностей між характером потоку заявок, числом каналів обслуговування, продуктивністю окремого каналу та ефективним обслуговуванням з метою знаходження найкращих шляхів управління цими процесами. Завдання теорії масового обслуговування носять оптимізаційний характер і в кінцевому підсумку включають економічний аспект визначення такого варіанту системи, при якому буде забезпечений мінімум сумарних витрат від очікування обслуговування, втрат часу і ресурсів на обслуговування і від простоїв каналів обслуговування.

Завдання організації масового обслуговування виникають практично у всіх сферах людської діяльності, наприклад обслуговування продавцями покупців у магазинах, обслуговування відвідувачів на підприємствах громадського харчування, обслуговування клієнтів на підприємствах побутового обслуговування, забезпечення телефонних розмов на телефонній станції, надання медичної допомоги хворим у поліклініці тощо. У всіх наведених прикладах виникає потреба у задоволенні запитів великої кількості споживачів.

Перелічені завдання можна успішно вирішувати за допомогою методів та моделей спеціально створеної для цих цілей теорії масового обслуговування (ТМО). У цій теорії пояснюється, що обслуговувати необхідно кого-небудь або що-небудь, що визначається поняттям «заявка (вимога) на обслуговування», а операції обслуговування виконуються ким-небудь або чимось, що називаються каналами (вузлами) обслуговування .

Заявки в силу масовості надходження на обслуговування утворюють потоки, які до виконання операцій обслуговування називаються вхідними, а після можливого очікування початку обслуговування, тобто. простоячи в черзі, утворюють потоки обслуговування в каналах, а потім формується вихідний потік заявок. Загалом сукупність елементів вхідного потоку заявок, черги, каналів обслуговування і вихідного потоку заявок утворює найпростішу систему масового обслуговування - СМО.

Одним із параметрів вхідного потоку заявок є інтенсивність вхідного потоку заявок λ ;

До параметрів каналів обслуговування заявок належать: інтенсивність обслуговування μ , кількість каналів обслуговування n .

Параметрами черги є: максимальна кількість місць у черзі L max ; дисципліна черги D («першим прийшов – першим пішов» (FIFO); «останнім прийшов – першим пішов» (LIFO); з пріоритетами; випадковий вибір із черги).

Процедура обслуговування вважається завершеною, коли заявка на обслуговування залишає систему. Тривалість інтервалу часу, необхідного для реалізації процедури обслуговування, залежить в основному від характеру запиту заявки на обслуговування, стану самої обслуговуючої системи і каналу обслуговування.

Дійсно, наприклад, тривалість перебування покупця в супермаркеті залежить, з одного боку, від особистісних якостей покупця, його запитів, від асортименту товарів, який він збирається придбати, а з іншого — від форми організації обслуговування та обслуговуючого персоналу, що може бути значним. але вплинути на час перебування покупця у супермаркеті та інтенсивність обслуговування.

Під обслуговуванням заявок ми розумітимемо процес задоволення потреби. Обслуговування має різний характер за своєю природою. Однак у всіх прикладах заявки, що надійшли, потребують обслуговування з боку будь-якого пристрою.

У деяких випадках обслуговування проводиться однією людиною (обслуговування покупця одним продавцем), у деяких - групою людей (обслуговування клієнта в ресторані), а в деяких випадках - технічними пристроями (продаж газованої води, бутербродів автоматами).

Сукупність коштів, що здійснюють обслуговування заявок, називається каналом обслуговування.

Якщо канали обслуговування здатні задовольнити однакові заявки, то канали обслуговування називаються однорідними.

Сукупність однорідних каналів обслуговування називається обслуговуючою системою.

У систему масового обслуговування надходить велика кількість заявок у випадкові моменти часу, тривалість обслуговування яких також є випадковою величиною. Послідовне надходження заявок у систему обслуговування називається вхідним потоком заявок , А послідовність заявок, що залишають систему обслуговування, - вихідним потоком .

Якщо максимальна довжина черги L max = 0 , то СМО є системою без черг.

Якщо L max = N 0 , де N 0 >0 - деяке додатне число, то СМО є системою з обмеженою чергою.

Якщо L max → ∞, то СМО є системою з нескінченною чергою.

Випадковий характер розподілу тривалості виконання операцій обслуговування, поряд з випадковим характером надходження вимог на обслуговування, призводить до того, що в каналах обслуговування протікає випадковий процес, який може бути названий (за аналогією з вхідним потоком заявок) потоком обслуговування заявок або просто потоком обслуговування .

Зауважимо, що заявки, що надходять до системи обслуговування, можуть залишити її і не обслуговуючи. Наприклад, якщо покупець не знайде в магазині потрібний товар, він залишає магазин, будучи не обслуженим. Покупець може залишити магазин також, якщо потрібний товар є, але велика черга, а покупець не має часу.

Теорія масового обслуговування займається вивченням процесів, пов'язаних з масовим обслуговуванням, розробкою методів вирішення типових завдань масового обслуговування.

При дослідженні ефективності роботи системи обслуговування важливу рольграють різні способирозташування у системі каналів обслуговування.

При паралельному розташуванні каналів обслуговування вимога може бути обслужена будь-яким вільним каналом.

Прикладом такої системи обслуговування є розрахунковий вузол у магазинах самообслуговування, де число каналів обслуговування збігається з числом касирів-контролерів.

На практиці часто обслуговування однієї заявки здійснюється послідовно кількома каналами обслуговування .

При цьому черговий канал обслуговування починає роботу з обслуговування заявки після того, як попередній канал закінчив свою роботу. У таких системах процес обслуговування носить багатофазовий характер, обслуговування заявки одним каналом називається фазою обслуговування . Наприклад, якщо в магазині самообслуговування є відділи з продавцями, то покупці спочатку обслуговуються продавцями, а потім уже касирами-контролерами.

Організація системи обслуговування залежить від волі людини. Під якістю функціонування системи в теорії масового обслуговуваннярозуміють не те, наскільки добре виконано обслуговування, а те, наскільки повно завантажена система обслуговування, чи не простоюють канали обслуговування, чи не утворюється черга.

Роботу системи обслуговування характеризують такі показники, як час очікування початку обслуговування, довжина черги, можливість отримання відмови в обслуговуванні, можливість простою каналів обслуговування, вартість обслуговування і в кінцевому підсумку задоволення якістю обслуговування.

Щоб поліпшити якість функціонування системи обслуговування, необхідно визначити, яким чином розподілити заявки, що надходять між каналами обслуговування, яку кількість каналів обслуговування необхідно мати, як розмістити або згрупувати канали обслуговування або обслуговуючі апарати для поліпшення показників. Для вирішення перелічених завдань існує ефективний метод моделювання, що включає і поєднує досягнення різних наук, у тому числі математики.

Потоки подій.

Переходи СМО з одного стану в інший відбуваються під впливом цілком певних подій - надходження заявок та їх обслуговування. Послідовність появи подій, що йдуть одна за одною у випадкові моменти часу, формує так званий потік подій.

Прикладами таких потоків є потоки різної природи – потоки товарів, грошей, документів; транспортні потоки; потоки клієнтів, покупців; потоки телефонних дзвінків, переговорів та ін Поведення системи зазвичай визначається не одним, а відразу декількома потоками подій. Наприклад, обслуговування покупців у магазині визначається потоком покупців і потоком обслуговування; у цих потоках випадковими є моменти появи покупців, час очікування у черзі та час, що витрачається обслуговування кожного покупця.

При цьому основною характерною рисою потоків є імовірнісне розподіл часу між сусідніми подіями. Існують різні потоки, які відрізняються своїми характеристиками.

Потік подій називається регулярним , якщо в ньому події слідують одна за одною через заздалегідь задані і строго певні проміжки часу. Такий потік є ідеальним і дуже рідко трапляється на практиці. Найчастіше зустрічаються нерегулярні потоки, що не володіють властивістю регулярності.

Потік подій називається стаціонарним, якщо ймовірність попадання будь-якого числа подій на проміжок часу залежить тільки від довжини цього проміжку і не залежить від того, як далеко розташований цей проміжок від початку відліку часу.

Тобто стаціонарним називається потік , для якого математичне очікування числа вимог, що надходять до системи в одиницю часу (позначимо λ), не змінюється у часі. Таким чином, ймовірність надходження до системи певної кількості вимог протягом заданого проміжку часу? t залежить від його величини і не залежить від початку його відліку на осі часу.

Стаціонарність потоку означає незалежність від часу його імовірнісних характеристик; зокрема, інтенсивність такого потоку є середнє число подій в одиницю часу і залишається величиною постійної. Насправді зазвичай потоки можуть вважатися стаціонарними лише з деякому обмеженому проміжку часу. Зазвичай потік покупців, наприклад, у магазині суттєво змінюється протягом робочого дня. Однак можна виділити певні часові інтервали, всередині яких цей потік можна розглядати як стаціонарний, що має постійну інтенсивність.

Відсутність післядії означає, що кількість вимог, що надійшли в систему до моменту t, не визначає того, скільки вимог надійде в систему за проміжок часу від t до t + t.

Наприклад, якщо на ткацькому верстаті в даний момент стався обрив нитки, і він усунений ткаля, то це не визначає, відбудеться новий обрив на даному верстаті в наступний момент чи ні, тим більше це не впливає на ймовірність виникнення обриву на інших верстатах.

Потік подій називається потоком без наслідку , якщо кількість подій, що потрапляють на один з довільно вибраних проміжків часу, не залежить від числа подій, що потрапили на інший, також довільно вибраний проміжок, за умови, що ці проміжки не перетинаються між собою.

У потоці без наслідку події виникають у послідовні моменти часу незалежно друг від друга. Наприклад, потік покупців, що входять до магазину, можна вважати потоком без наслідку тому, що причини, що зумовили прихід кожного з них, не пов'язані з аналогічними причинами для інших покупців.

Потік подій називається ординарним , Якщо ймовірність попадання на дуже малий відрізок часу відразу двох або більше подій нехтує мала в порівнянні з ймовірністю попадання тільки однієї події.

Іншими словами , ординарність потоку означає практичну неможливість одночасного надходження двох і більше вимог. Наприклад, досить малою є ймовірність того, що з групи верстатів, які обслуговує бригада ремонтників, одночасно вийдуть з ладу відразу кілька верстатів. В простому потоці події відбуваються поодинці, а не по дві (або більше) відразу.

Якщо потік одночасно має властивості стаціонарності, ординарності та відсутністю наслідки, то такий потік називається найпростішим (або пуассонівським) потоком подій .

Математичне опис впливу такого потоку на системи виявляється найбільш простим. Тому, найпростіший потік грає серед інших існуючих потоків особливу роль.

Методи та моделі, що застосовуються в теорії масового обслуговування (ТМО), можна умовно поділити на АНАЛІТИЧНІ та ІМІТАЦІЙНІ.

Аналітичні методи теорії масового обслуговуваннядозволяють отримати характеристики системи як деякі функції параметрів її функціонування. Завдяки цьому з'являється можливість проводити якісний аналіз впливу окремих факторів на ефективність СМО.

Імітаційні методизасновані на моделюванні процесів масового обслуговування на ЕОМ і застосовуються, якщо неможливо застосування аналітичних моделей.

В даний час теоретично найбільш розроблені та зручні в практичних додатках методи вирішення таких завдань масового обслуговування, в яких вхідний потік вимог є найпростішим (пуассонівським).

Для найпростішого потоку частота надходження вимог у систему підпорядковується закону Пуассона, тобто. ймовірність надходження за часtрівноkвимогзадається формулою:

Важлива характеристика СМО – час обслуговування вимог у системі.

Час обслуговування однієї вимоги є, як правило, випадковою величиною і, отже, може бути описано законом розподілу.

Найбільшого поширення в теорії і особливо в практичних додатках отримав експоненційний закон розподілу часу обслуговування. Функція розподілу для цього закону має вигляд:

F(t) = 1 - e - μ t (2)

тобто. ймовірність того, що час обслуговування не перевищує деякої величини t, визначається формулою (2), де μ - параметр експоненційного закону розподілу часу обслуговування вимог у системі. Тобто μ - це величина, обернена до середнього часу обслуговування ? o6 . :

μ = 1/ ? o6 . (3)

Крім поняття найпростішого потоку подій часто доводиться користуватися поняттями потоків інших типів.

Потік подій називається потоком Пальма , коли в цьому потоці проміжки часу між послідовними подіями T1, T2, ..., Тn є незалежними, однаково розподіленими, випадковими величинами, але на відміну від найпростішого потоку необов'язково розподіленими за показовим законом.

Найпростіший потік є окремим випадком потоку Пальма.

Важливим окремим випадком потоку Пальма є так званий потік Ерланга . Цей потік виходить «проріджування» найпростішого потоку. Таке «проріджування» проводиться шляхом відбору певному правилуподій з найпростішого потоку. Наприклад, умовившись враховувати тільки кожне друге подія з утворюють найпростіший потік, ми отримаємо потік Ерланга другого порядку. Якщо брати лише кожну третю подію, то утворюється потік Ерланга третього порядку тощо. Можна отримати потоки Ерланга будь-якого k-го порядку. Очевидно, найпростіший потік є потік Ерланга першого порядку.

КЛАСИФІКАЦІЯ СИСТЕМ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ.

Будь-яке дослідження системи масового обслуговування (СМО) починається з вивчення того, що необхідно обслуговувати, отже, з вивчення вхідного потоку заявок та його характеристик.

1. Залежно від умов очікування початку обслуговуваннярозрізняють:

СМО із втратами (відмовами),

СМО з очікуванням.

У СМО з відмовамивимоги, які у момент, коли всі канали обслуговування зайняті, отримують відмову і губляться. Класичним прикладом системи з відмовами є телефонна станція. Якщо абонент зайнятий, то вимога на з'єднання з ним отримує відмову і втрачається.

У СМО з очікуваннямвимога, заставши все обслуговуючі канали зайнятими, стає у чергу і чекає, доки звільниться одне із обслуговуючих каналів.

СМО, що допускають чергу,але з обмеженою кількістю вимог у ній, називаються системами з обмеженою довжиною черги .

СМО, що допускають чергу, але з обмеженим терміном перебування кожної вимоги в ній, називаються системами з обмеженим часом очікування.

2. За кількістю каналів обслуговуванняСМО діляться на

- одноканальні ;

- багатоканальні .

3. За місцезнаходженням джерела вимог

СМО діляться на:

- розімкнені коли джерело вимоги знаходиться поза системою;

- замкнуті коли джерело знаходиться в самій системі.

Прикладом розімкнутої системи може бути майстерня з обслуговування та ремонту побутової техніки. Тут несправні пристрої - це джерело вимог на їх обслуговування, знаходяться поза самою системою, число вимог можна вважати необмеженим.

До замкнутих СМО відноситься, наприклад, верстатна ділянка, в якій верстати єджерелом несправностей, і, отже, джерелом вимог на їх обслуговуваннянаприклад, бригадою наладчиків.

Можливі й інші ознаки класифікації СМО, наприклад, з дисципліни обслуговування , однофазні та багатофазні СМО та ін.

3. МОДЕЛІ СМО. ПОКАЗНИКИ ЯКОСТІ ФУНКЦІОНУВАННЯ СМО.

Розглянемо аналітичні моделі найпоширеніших СМО з очікуванням, тобто. таких СМО, в яких вимоги, що надійшли в момент, коли всі обслуговуючі канали зайняті, ставляться в чергу і обслуговуються в міру звільнення каналів.

ЗАГАЛЬНА ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ СКЛАДАЄТЬСЯ У НАСТУПНОМУ.

Система має nобслуговуючих каналів, кожен з яких може одночасно обслуговувати лише одну вимогу.

В систему надходить найпростіший (пуасонівський) потік вимог із параметромλ .

Якщо в момент надходження чергової вимоги в системі обслуговування вже перебуває не менше nвимог(Тобто всі канали зайняті), то ця вимога стає в чергу і чекає початку обслуговування.

Час обслуговування кожної вимоги t про.— випадкова величина, яка підпорядковується експоненційному закону розподілу з параметромμ .

СМО З ЧЕКАННЯМ МОЖНА РОЗБИТИ НА ДВІ ВЕЛИКІ ГРУПИ: ЗАМКНУТІІ Розімкнені.

До замкнутим відносяться системи, в яких потік вимог, що надходить, виникає в самій системі і обмежений.

Наприклад, майстер, завданням якого є налагодження верстатів у цеху, повинен періодично їх обслуговувати. Кожен налагоджений верстат стає потенційним джерелом вимог до накладки. У подібних системах загальна кількість циркулюючих вимог звичайно і найчастіше постійно.

Якщо живильне джерело має нескінченну кількість вимог, то системи називаються розімкненими.

Прикладами подібних систем можуть служити магазини, каси вокзалів, портів та ін. Для цих систем поступаючий потік вимог можна вважати необмеженим.

Зазначені особливості функціонування систем цих двох видів накладають певні умови на використовуваний математичний апарат. Розрахунок характеристик роботи СМО різного виду може бути проведений на основі розрахунку ймовірностей станів СМО (так звані фор-мули Ерланга).

1. 1. РОЗІМКНУТА СИСТЕМА МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ З ОЧІКУВАННЯМ.

Розглянемо алгоритми розрахунку показників якості функціонування розімкнутої СМО з очікуванням.

При вивченні таких систем розраховують різні показники ефективності обслуговуючої системи. В якості основних показників можуть бути ймовірність того, що всі канали вільні або зайняті, математичне очікування довжини черги (середня довжина черги), коефіцієнти зайнятості та простою каналів обслуговування та ін.

Введемо на розгляд параметр α = λ/μ . Зауважимо, що якщо виконується нерівність α / n < 1, то черга не може зростати безмежно.

Ця умова має такий зміст: λ - Середня кількість вимог, що надходять за одиницю часу, 1/μ - середній час обслуговування одним каналом однієї вимоги, тоді α = λ (1/ μ) — середня кількість каналів, які необхідно мати, щоб обслуговувати в одиницю часувсі вимоги, що надходять. Тоді μ – середня кількість вимог, що обслуговуються одним каналом за одиницю часу.

Тому умова: α / n < 1, означає, що число обслуговуючих каналів має бути більше середнього числа каналів, необхідних для того, щоб за одиницю часу обслужити всі вимоги, що надійшли.

ВАЖЛИВО-ШІ ХАРАКТЕРИСТИКИ РОБОТИ СМО ( для розімкнутої системи масового обслуговування з очікуванням):

1. ІмовірністьP 0 того, що всі обслуговуючі канали вільні:

2. МожливістьP kтого, що зайнято рівно k обслуговуючих каналів за умови, що загальна кількість вимог, що знаходяться на обслуговуванні, не перевищує числа обслуговуючих апаратів, тобто при 1 ≤ k≤ n:

3. ІмовірністьP kтого, що в системі знаходиться k вимог у випадку, коли їх кількість більша за кількість обслуговуючих каналів, тобто при k > n:

4. ІмовірністьPnтого, що всі обслуговуючі канали зайняті:

5. Середній час очікування вимогою початку обслуговування в системі:

6. Середня довжина черги:

7. Середня кількість вільних від обслуговування каналів:

8. Коефіцієнт простою каналів:

9. Середня кількість зайнятих обслуговуванням каналів:

10. Коефіцієнт завантаження каналів

Фірма з обслуговування та ремонту побутової техніки та електроніки має філію: майстерню з ремонту мобільних телефонів, в якій працює n = 5 досвідчених майстрів. У середньому протягом робочого дня від населення надходить у ремонт λ =10 мобільних телефонів. Загальне числомобільних телефонів, що у експлуатації у населення, дуже велике, і вони незалежно друг від друга у час виходять з ладу. Тому є підстави вважати, що потік заявок на ремонт апаратури є випадковим, пуассонівським. У свою чергу кожен мобільний телефон в залежності від характеру несправності також вимагає різного випадкового часу на ремонт. Час на проведення ремонту залежить багато в чому від серйозності отриманого пошкодження, кваліфікації майстра та багатьох інших причин. Нехай статистика показала, що час ремонту підпорядковується експоненційному закону; при цьому в середньому протягом робочого дня кожен із майстрів встигає відремонтувати μ = 2,5 мобільний телефон.

Потрібно оцінити роботу філії фірми з ремонту-побутової техніки та електроніки, розрахувавши ряд основних характеристик даної СМО.

За одиницю часу приймаємо 1 робочий день (7 годин).

1. Визначимо параметр

α = λ / μ = 10/2,5 = 4.

Оскільки α< n = 5, то можно сделать вывод: очередь не может расти безгранично.

2. Імовірність P 0 того, що всі майстри вільні від ремонту апаратури, дорівнює (4):

P0 = (1 + 4 + 16/2 + 64/3! + 256/4! + 1024/5! (1-4/5)) -1 = (77) -1 ≈ 0,013.

3. Імовірність P5 того, що всі майстри зайняті ремонтом, знаходимо за формулою (7) (Pn при n=5):

P5 = P0 1024/5! (1-4/5) = P0 256/6 ≈ 0,554.

Це означає, що 55,4% часу майстра повністю завантажені роботою.

4. Середній час обслуговування (ремонту) одного апарату згідно з формулою (3):

? o6. = 1/μ = 7/2,5 = 2,8 год./аппарат (важливо: одиниця часу - 1 робочого дня, т. е. 7 годин).

5. У середньому час очікування кожного несправного мобільного телефонапочатку ремонту дорівнює за формулою (8):

Ож. = Pn / (μ (n-α)) = 0,554 2,8 / (5 - 4) = 1,55 години.

6. Дуже важливою характеристикою є середня довжина черги,яка визначає необхідне місце для зберігання апаратури, яка потребує ремонту; знаходимо її за формулою (9):

Оч. = 4 P5/(5-4) ≈ 2,2 моб. телефону.

7. Визначимо середню кількість майстрів, вільних від роботи, за формулою (10):

Ñ0 = P0 (5 + 16 + 24 + 64/3 + 32/3) = P0 77 ≈ 1 майстер.

Таким чином, у середньому протягом робочого дня ремонтом зайнято чотири майстри з п'яти.

1. 2. ЗАМКНУТА СИСТЕМА МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ.

Перейдемо до розгляду алгоритмів розрахунку характеристик функціонування замкнутих СМО.

Оскільки система замкнута, то до постановки завдання слід додати умову: потік вимог обмежений, тобто. у системі обслуговування одночасно не може перебувати більше mвимог ( m- Число об'єктів, що обслуговуються).

За критерій, що характеризує якість функціонування аналізованої системи, виберемо відношення середньої довжини черги до найбільшої кількості вимог, що знаходяться одночасно в обслуговувальній системі - коефіцієнт простою об'єкта, що обслуговується .

Як інший критерій візьмемо відношення середньої кількості незайнятих обслуговуючих каналів до їх загального числа коефіцієнт простою каналу, що обслуговується .

Перший із названих критеріїв характеризує втрати часу через очікування початку обслуговування; другий показує повноту завантаження обслуговуючої системи.

Очевидно, що черга може виникнути лише коли число каналів обслуговування менше найбільшого числавимог, що знаходяться одночасно в обслуговувальній системі (n< m).

Наведемо послідовність розрахунків характеристик замкнутих СМО та необхідні формули.

ПАРАМЕТРИ ЗАМКНУТИХ СИСТЕМ МАСОВОГО ОБСЛУГОВУВАННЯ.

1. Визначимо параметрα = λ / μ - Показник завантаження системи, тобто математичне очікування числа вимог, що надходять у систему за час, що дорівнює середній тривалості обслуговування (1/μ = ?o6.).

2. МожливістьP kтого, що зайнято k обслуговуючих каналів за умови, що кількість вимог, що знаходяться в системі, не перевищує числа обслуговуючих каналів системи (тобто при m≤ n) :

3. ІмовірністьP kтого, що в системі знаходиться k вимог для випадку, коли їх кількість більша за кількість обслуговуючих каналів (тобто при k> n, при цьомуk≤ m):

4. ІмовірністьP 0 того, що всі обслуговуючі канали вільні, визначимо, використовуючи очевидне умова:

Тоді величина P 0 дорівнюватиме:

5. Середня кількістьMоч.вимог, що чекають початку обслуговування (середня довжина черги):

Або з урахуванням формули (15)

6. Коефіцієнт простою вимоги, що обслуговується (об'єкта):

7. Середня кількістьMвимог, що знаходяться в обслуговуючій системі, що обслуговуються та очікують обслуговування:

де для обчислень першої та другої суми застосовуються формули (14) та (15) відповідно.

8. Середня кількість вільних обслуговуючих каналів

де P k обчислюється за формулою (14).

9. Коефіцієнт простою обслуговуючого каналу

Розглянемо приклад розрахунку показників замкнутої СМО.

Робочий обслуговує групу автоматів, що складається з трьох верстатів. Потік вимог, що надходять на обслуговування верстатів є пуассонівським з параметром λ = 2 ст./год.

Обслуговування одного верстата займає у робітника в середньому 12 хвилин, а час обслуговування підпорядкований експоненційному закону.

Тоді 1/μ = 0,2 год./ст., тобто. μ = 5 ст./год., параметр α = λ/μ = 0,4.

Необхідно визначити середню кількість автоматів, що чекають обслуговування, коефіцієнт простою автомата, коефіцієнт простою робочого.

Обслуговуючим каналом є робочий; оскільки верстати обслуговує один робітник, то n = 1 . Загальна кількість вимог неспроможна перевершити числа верстатів, тобто. m = 3 .

Система може перебувати в чотирьох різних станах: 1) всі верстати працюють; 2) один стоїть та обслуговується робітником, а два працюють; 3) два стоять, один обслуговується, один чекає на обслуговування; 4) три стоять, з них один обслуговується, а два чекають черги.

Для відповіді поставлені питання можна скористатися формулами (14) і (15).

P1 = P0 6 0,4/2 = 1,2 P0;

P2 = P0 6 0,4 0,4 ​​= 0,96 P0;

P3 = P0 6 0,4 0,4 ​​0,4 ​​= 0,384 P0;

Зведемо обчислення до таблиці (рис. 1).

		∑P k /P 0 = 3,5440		∑ (k-n)P k = 0,4875	∑k P k = 1,2053

Мал. 1. Обчислення характеристик замкнутої СМО.

У цьому таблиці першим обчислюється третій стовпець, тобто. відношення Pk/P0 при k=0,1,2,3.

Потім, підсумовуючи величини третього стовпця і враховуючи, що ∑ P k = 1, отримуємо 1/P 0 = 3,544. Звідки Р 0 ≈ 0,2822.

Помножуючи значення, що стоять у третьому стовпці, на Р 0 отримуємо у відповідних рядках значення четвертого стовпця.

Величина Р 0 = 0,2822, рівна вірогідність того, що всі автомати працюють, може бути витлумачена як ймовірність того, що робочий вільний. Виходить, що в даному випадку робітник буде вільний більше 1/4 всього робочого часу. Однак це не означає, що «черга» верстатів, що чекають обслуговування, завжди буде відсутня. Математичне очікуваннячисла автоматів, що стоять у черзі, дорівнює

Підсумовуючи значення, що стоять у п'ятому стовпці таблиці, отримаємо середню довжину черги M оч. = 0,4875. Отже, в середньому з трьох верстатів 0,49 верстата простоюватиме в очікуванні, поки звільниться робітник.

Підсумовуючи значення, що стоять у шостому стовпці таблиці, отримаємо математичне очікування числа простоюючих верстатів (ремонтованих і очікуваних ремонту): М = 1,2053. Тобто в середньому 1,2 верстата не видаватиме продукції.

Коефіцієнт простою верстата дорівнює До пр.об. = M оч. / 3 = 0,1625. Тобто кожен верстат простоює приблизно 0,16 частину робочого часу в очікуванні, поки робітник звільниться.

Коефіцієнт простою робочого у разі збігається з P 0 , оскільки n = 1 (всі обслуговуючі канали вільні), тому

До пр.кан. = N 0 / n = 0,2822.

Абчук В.О. Економіко-математичні методи: Елементарна математика та логіка. Методи дослідження операцій. – СПб.: Союз, 1999. – 320.

Єлтаренко О.О. Дослідження операцій (системи масового обслуговування, теорія ігор, моделі управління запасами). Навчальний посібник. - М: МІФІ, 2007. - С. 157.

Фомін Г. П. Математичні методита моделі в комерційній діяльності: Підручник. - 2-ге вид., перероб. та дод. - М.: Фінан-си та статистика, 2005. - 616 с: іл.

Шелобаєв С. І. Математичні методи та моделі в економіці, фінансах, бізнесі: Навч. посібник для вузів. - М.: ЮНІТІ-ДАНА, 2001. - 367 с.

Економіко-математичні методи та прикладні моделі: Навчальний посібник для вузів/В.В. Федосєєв, О.М. Гармаш, Д.М. Дайітбегов та ін; За ред. В.В. Федосєєва. - М.: ЮНІТІ, 1999. - 391 с.