Система масового обслуговування: визначення та поняття. Моделі масового обслуговування

Розглянута система масового обслуговування(СМО) є механізм, у якому з допомогою спеціально розробленого цього комплексу приладів, відбувається задоволення різноманітних вимог, які у цю систему. Ключовою властивістю цієї системи є кількісний параметр числа працюючих приладів. Воно може коливатися від одного до нескінченності.

Відповідно, чи є можливість очікування обслуговування чи ні, розрізняють системи:

СМО, де не знайшлося жодного інструменту (приладу) для задоволення вимоги, що надійшли на даний момент часу. У цьому випадку така вимога втрачається;

Система масового обслуговування з очікуванням, що містить у собі такий накопичувач вимог, який здатний прийняти їх усі, утворюючи у своїй чергу;

Система з обмеженим за ємністю накопичувачем, де ця обмеженість визначає величину черги вимог, що підлягають задоволенню. Тут губляться вимоги, які можуть уміститися у накопичувач.

У всіх СМО, вибір вимоги та її обслуговування проводиться на основі дисципліни обслуговування. Як приклад таких моделей обслуговування може бути:

FCFS/FIFO - система, в якій перша в черзі вимога задовольняється першою;

LCFS/LIFO - СМО, де першим обслуговується остання у черзі вимога;

Модель random – система задоволення вимог на основі випадкового вибору.

Як правило, така система має дуже складну будову.

Будь-яка система масового обслуговування описується за допомогою наступних понять та категорій:

Вимога - формування та пред'явлення запиту на обслуговування;

Вхідний потік — усі заявки задоволення вимог, які у систему;

Час обслуговування - тимчасовий інтервал, необхідний для повного обслуговування заявки, що надійшла;

Математична модель - виражена в математичної формита за допомогою математичного апарату модель даної СМО.

Будучи складним за структурою феноменом, система масового обслуговування є предметом теорії ймовірностей. У межах цієї великої області виділяється кілька концепцій, кожна з яких, це досить автономна теорія масового обслуговування. У цих теоріях, як правило, використовується методологія

Основоположником однієї з перших сучасних СМО є А. Я. Хінчін, який обґрунтував концепцію потоку однорідних подій. Потім датський телеграфіст, а згодом - вчений Агнер Ерланг, розробив свою концепцію (на прикладі роботи телефоністів, які чекають на запит на задоволення з'єднання), в якій вже виділив СМО з очікуванням і без очікування.

Побудова сучасних технологіймасового обслуговування здійснюється переважно Є також системи, дослідження яких ведеться, але такий підхід досить складний. До СМО належать і ті системи, які можна дослідити за допомогою методів статистики. статистичного моделюванняі статистичного аналізу.

Кожна така система масового обслуговування апріорі передбачає, що є деякі стандартні шляхи, якими проходять заявки суб'єктів задоволення. Ці заявки проходять через так звані канали обслуговування, які різноманітні за своїм призначенням та характеристиками. Заявки приходять переважно хаотично за часом, їх багато, тому встановлювати логічні та причинні зв'язкиміж ними надзвичайно складно. Науковий висновок, на цій підставі, полягає в тому, що СМО у своїй переважній більшості функціонують на принципах випадковості.

Розглянутий у попередній лекції марківський випадковий процес з дискретними станами та безперервним часом має місце у системах масового обслуговування (СМО).

Системи масового обслуговування – це такі системи, в які у випадкові моменти часу надходять заявки на обслуговування, при цьому заявки, що надійшли, обслуговуються за допомогою наявних у розпорядженні системи каналів обслуговування.

Прикладами систем масового обслуговування можуть бути:

розрахунково-касові вузли у банках, на підприємствах;
персональні комп'ютери, які обслуговують заявки, що надходять, або вимоги на вирішення тих чи інших завдань;
станції технічне обслуговуванняавтомобілів; АЗС;
аудиторські фірми;
відділи податкових інспекцій, що займаються прийманням та перевіркою поточної звітності підприємств;
телефонні станції тощо.

	Вузли	Вимоги

Лікарня	Санітари	Пацієнти
Виробництво
Аеропорт	Виходи на злітно-посадкові смуги Пункти реєстрації	Пасажири

Розглянемо схему роботи СМО (рис. 1). Система складається з генератора заявок, диспетчера та вузла обслуговування, вузла обліку відмов (термінатора, знищувача заявок). Вузол обслуговування в загальному випадкуможе мати кілька каналів обслуговування.

Мал. 1

Генератор заявок - Об'єкт, що породжує заявки: вулиця, цех із встановленими агрегатами. На вхід надходить потік заявок(Потік покупців у магазин, потік агрегатів, що зламалися (машин, верстатів) на ремонт, потік відвідувачів у гардероб, потік машин на АЗС і т. д.).
Диспетчер – людина або пристрій, який знає, що робити із заявкою. Вузол, що регулює та направляє заявки до каналів обслуговування. Диспетчер:

приймає заявки;
формує чергу, якщо всі канали зайняті;
спрямовує їх до каналів обслуговування, якщо є вільні;
дає заявкам відмову (за різних причин);
приймає інформацію від вузла обслуговування про вільні канали;
стежить за часом роботи системи.

Черга - Накопичувач заявок. Черга може бути відсутня.
Вузол обслуговування складається із кінцевого числа каналів обслуговування. Кожен канал має 3 стани: вільний, зайнятий, не працює. Якщо всі канали зайняті, можна придумати стратегію, кому передавати заявку.
Відмова від обслуговування настає, якщо всі канали зайняті (деякі навіть можуть працювати).

Крім цих основних елементів СМО в деяких джерелах виділяються також такі складові:

термінатор – знищувач трансактів;

склад – накопичувач ресурсів та готової продукції;

рахунок бухгалтерського обліку- Для виконання операцій типу «проводка»;

менеджер – розпорядник ресурсів;

Класифікація СМО

Перший поділ (за наявності черг):

СМО із відмовими;
СМО із чергою.

У СМО з відмовамизаявка, що надійшла в момент, коли всі канали зайняті, отримує відмову, залишає СМО і надалі не обслуговується.

У СМО з чергоюзаявка, що прийшла в момент, коли всі канали зайняті, не йде, а стає в чергу і чекає на можливість бути обслуженою.

СМО із чергамиподіляються на різні видизалежно від того, як організовано чергу, – обмежена або не обмежена. Обмеження можуть стосуватися як довжини черги, так і часу очікування, дисципліни обслуговування.

Отже, наприклад, розглядаються такі СМО:

СМО з нетерплячими заявками (довжина черги та час обслуговування обмежений);
СМО з обслуговуванням з пріоритетом, тобто деякі заявки обслуговуються позачергово і т.д.

Типи обмеження черги можуть бути комбінованими.

Інша класифікація поділяє СМО за джерелом заявок. Породжувати заявки (вимоги) може сама система або якесь зовнішнє середовище, що існує незалежно від системи.

Природно, потік заявок, породжений системою, залежатиме від системи та її стану.

Крім цього СМО діляться на відкритіСМО та замкнутіСМО.

У відкритій СМО характеристики потоку заявок не залежить від того, в якому стані сама СМО (скільки каналів зайнято). У замкнутій СМО – залежать. Наприклад, якщо один робітник обслуговує групу верстатів, іноді потребують налагодження, то інтенсивність потоку «вимог» з боку верстатів залежить від того, скільки на них вже справно і чекає налагодження.

приклад замкнутої системи: видача касиром зарплати на підприємстві

За кількістю каналів СМО поділяються на:

одноканальні;
багатоканальні.

Характеристики системи масового обслуговування

Основними характеристиками системи масового обслуговування будь-якого виду є:

вхідний потік вимог чи заявок на обслуговування;
дисципліна черги;
Механізм обслуговування.

Вхідний потік вимог

Для опису вхідного потоку потрібно задати ймовірнісний закон, що визначає послідовність моментів надходження вимог на обслуговування,та вказати кількість таких вимог у кожному черговому надходженні. У цьому, зазвичай, оперують поняттям «імовірнісний розподіл моментів надходження вимог». Тут можуть діяти як поодинокі, і групові вимоги (кількість таких вимог у кожному черговому вступі). У разі зазвичай йдеться про систему обслуговування з паралельно-груповим обслуговуванням.

А і– час надходження між вимогами – незалежні однаково розподілені випадкові величини;

E(A)- Середнє (МО) час надходження;

λ=1/E(A)- Інтенсивність надходження вимог;

Характеристики вхідного потоку:

Імовірнісний закон, визначальний послідовність моментів надходження вимог обслуговування.
Кількість вимог у кожному черговому надходженні для групових потоків.

Дисципліна черги

Черга - Сукупність вимог, що очікують обслуговування.

Черга має ім'я.

Дисципліна черги визначає принцип, відповідно до якого вимоги, що надходять на вхід обслуговуючої системи, підключаються з черги до процедури обслуговування. Найчастіше використовуються дисципліни черги, що визначаються такими правилами:

першим прийшов – перший обслуговуєшся;

First in First out (FIFO)

найпоширеніший тип черги.

Яка структура даних підійде для опису такої черги? Масив поганий (обмежений). Можна використовувати структуру типу СПИСОК.

Список має початок та кінець. Список складається із записів. Запис – це осередок списку. Заявка надходить до кінця списку, а вибирається обслуговування з початку списку. Запис складається з характеристики заявки та посилання (покажчик, за ким стоїть). Крім цього, якщо черга з обмеженням на час очікування, то ще має бути вказано граничний час очікування.

Ви, як програмісти, повинні вміти робити списки двосторонні, односторонні.

Дії зі списком:

вставити у хвіст;
взяти із початку;
видалити зі списку після закінчення часу очікування.
прийшов останнім - обслуговуєшся першим LIFO (обойма для патронів, глухий кут на залізничній станції, зайшов у набитий вагон).

Структура відома як СТЕК. Може бути описаний структурою масив чи список;

випадковий відбір заявок;
відбір заявок за критерієм пріоритетності

Кожна заявка характеризується також рівнем пріоритету і під час вступу міститься над хвіст черги, а кінець своєї пріоритетної групи. Диспетчер здійснює сортування за пріоритетом.

Характеристики черги

обмеженнячасу очікуваннямоменту настання обслуговування (має місце черга з обмеженим часом очікування обслуговування, що асоціюється з поняттям «допустима довжина черги»);
довжина черги.

Механізм обслуговування

Механізм обслуговування визначається характеристиками самої процедури обслуговування та структурою обслуговуючої системи. До характеристик процедури обслуговування належать:

кількість каналів обслуговування ( N);
тривалість процедури обслуговування (імовірнісний розподіл часу обслуговування вимог);
кількість вимог, що задовольняються внаслідок виконання кожної такої процедури (для групових заявок);
можливість виходу з ладу обслуговуючого каналу;
структура обслуговуючої системи

Для аналітичного опису характеристик процедури обслуговування оперують поняттям «імовірнісне розподілення часу обслуговування вимог».

S i- Час обслуговування i-го вимоги;

E(S)- Середній час обслуговування;

μ=1/E(S)- Швидкість обслуговування вимог.

Слід зазначити, що час обслуговування заявки залежить від характеру самої заявки чи вимог клієнта та стану і можливостей обслуговуючої системи. У ряді випадків доводиться також враховувати ймовірність виходу з ладу обслуговуючого каналупісля закінчення деякого обмеженого інтервалу часу. Цю характеристику можна моделювати як потік відмов, що надходить до СМО та має пріоритет перед усіма іншими заявками.

Коефіцієнт використання СМО

N·μ - швидкість обслуговування в системі, коли зайняті всі пристрої обслуговування.

ρ=λ/( Nμ) – називається коефіцієнтом використання СМО показує, наскільки задіяні ресурси системи.

Структура обслуговуючої системи

Структура обслуговуючої системи визначається кількістю та взаємним розташуваннямканалів обслуговування (механізмів, приладів тощо). Насамперед слід підкреслити, що система обслуговування може мати не один канал обслуговування, а кілька; система такого роду здатна обслуговувати одночасно кілька вимог. У цьому випадку всі канали обслуговування пропонують ті самі послуги, і, отже, можна стверджувати, що має місце паралельне обслуговування .

приклад. Каси у магазині.

Система обслуговування може складатися з декількох різнотипних каналів обслуговування, через які має пройти кожна вимога, що обслуговується, тобто в обслуговуючій системі процедури обслуговування вимог реалізуються послідовно . Механізм обслуговування визначає характеристики вихідного (обслуговуваного) потоку вимог.

приклад. Медична коміссія.

Комбіноване обслуговування - Обслуговування вкладів в ощадкасі: спочатку контролер, потім касир. Як правило, 2 контролери на одного касира.

Отже, функціональні можливостібудь-якої системи масового обслуговування визначаються такими основними факторами :

імовірнісним розподілом моментів надходжень заявок на обслуговування (поодиноких чи групових);
потужністю джерела вимог;
імовірнісним розподілом часу тривалості обслуговування;
конфігурацією обслуговуючої системи (паралельне, послідовне або паралельно-послідовне обслуговування);
кількістю та продуктивністю обслуговуючих каналів;
дисципліною черги.

Основні критерії ефективності функціонування СМО

В якості основних критеріїв ефективності функціонування систем масового обслуговування в залежності від характеру розв'язуваної задачі можуть виступати:

ймовірність негайного обслуговування заявки, що надійшла (Р обсл = До обс / До пост);
ймовірність відмови в обслуговуванні заявки, що надійшла (P отк = До отк / До пост);

Вочевидь, що Р обсл + P отк =1.

Потоки, затримки, сервіс. Формула Поллачека-Хінчина

Затримка – один із критеріїв обслуговування СМО, час проведений заявкою в очікуванні обслуговування.

D i– затримка у черзі вимоги i;

W i = D i + S i– час перебування у системі вимоги i.

(з ймовірністю 1) – середня затримка вимоги в черзі, що встановилася;

(з ймовірністю 1) - середній час знаходження вимоги в СМО (waiting).

Q(t) -кількість вимог у черзі на момент часу t;

L(t)– кількість вимог у системі в момент часу t(Q(t)плюс кількість вимог, що знаходяться на обслуговуванні на момент часу t.

Тоді показники (якщо існують)

(з ймовірністю 1) – середнє за часом кількість вимог у черзі;

(з ймовірністю 1) – середня кількість часу, що встановилася серед часу, в системі.

Зауважимо, що ρ<1 – обязательное условие существования d, w, Qі Lу системі масового обслуговування.

Якщо згадати, що ρ= λ/( Nμ), то видно, що якщо інтенсивність надходження заявок більша, ніж Nμ, то ρ>1 і природно, що система не зможе впоратися з таким потоком заявок, а отже, не можна говорити про величини d, w, Qі L.

До найбільш загальних та необхідних результатів для систем масового обслуговування відносяться рівняння збереження

Слід звернути увагу на те, що згадані вище критерії оцінки роботи системи можуть бути аналітично обчислені для систем масового обслуговування M/M/N(N>1), т. е. систем з Марківськими потоками заявок та обслуговування. Для М/G/ l за будь-якого розподілу Gта для деяких інших систем. Взагалі, розподіл часу між надходженнями, розподіл часу обслуговування або обох цих величин має бути експоненціальним (або різновидом експоненційного розподілу Ерланга k-го порядку), щоб аналітичне рішення стало можливим.

Крім цього можна також говорити про такі характеристики, як:

абсолютна пропускна здатність системи - А = Р обсл *λ;
відносна пропускна здатність системи –

Ще один цікавий (і наочний) приклад аналітичного рішення – обчислення середньої затримки, що встановилася, в черзі для системи масового обслуговування M/G/ 1 за формулою:

У Росії ця формула відома як формула Поллачека – Хінчина, там ця формула пов'язується з ім'ям Росса (Ross).

Таким чином, якщо E(S)має більше значення, тоді перевантаження (у даному випадку вимірюється як d) буде більшою; чого й слід було чекати. За формулою можна знайти і менш очевидний факт: перевантаження також збільшується, коли мінливість розподілу часу обслуговування зростає, навіть якщо середній час обслуговування залишається незмінним. Інтуїтивно це можна пояснити так: дисперсія випадкової величини часу обслуговування може прийняти велике значення(оскільки вона має бути позитивною), тобто єдиний пристрій обслуговування буде зайнятий довгий часщо призведе до збільшення черги.

Предметом теорії масового обслуговуванняє встановлення залежності між факторами, що визначають функціональні можливості системи масового обслуговування, та ефективністю її функціонування. У більшості випадків усі параметри, що описують системи масового обслуговування, є випадковими величинами або функціями, тому ці системи належать до стохастичних систем.

Випадковий характер потоку заявок (вимог), а також, у випадку, і тривалості обслуговування призводить до того, що у системі масового обслуговування відбувається випадковий процес. За характером випадкового процесу , що відбувається в системі масового обслуговування (СМО), розрізняють системи марківські та немарківські . У марківських системах вхідний потік вимог і потік обслуговуваних вимог (заявок) є пуассонівськими. Пуассонівські потоки дозволяють легко описати та побудувати математичну модель системи масового обслуговування. Дані моделі мають достатньо прості рішенняТому більшість відомих додатків теорії масового обслуговування використовують марківську схему. У разі немарківських процесів завдання дослідження систем масового обслуговування значно ускладнюються та вимагають застосування статистичного моделювання, чисельних методівз використанням ЕОМ.

Показники ефективності СМО

абсолютна та відносна пропускна здатність системи;
коефіцієнти завантаження та простою;
середній час повного завантаження системи;
середній час перебування заявки у системі.

Показники, що характеризують систему з погляду споживачів:

P обс - ймовірність обслуговування заявки,
t сист – час перебування заявки у системі.

Показники, що характеризують систему з погляду її експлуатаційних властивостей:

λ b- Абсолютна пропускна здатність системи (середня кількість обслужених заявок в одиницю часу),
P обс - відносна пропускна здатність системи,
k з - Коефіцієнт завантаження системи.

див. також Параметри економічної ефективності СМО

Завдання. До обчислювального центру колективного користування з трьома ЕОМ надходять замовлення від підприємств на обчислювальні роботи. Якщо працюють всі три ЕОМ, то знову надходить замовлення не приймається, і підприємство змушене звернутися до іншого обчислювального центру. Середній час роботи з одним замовленням становить 3 години. Інтенсивність потоку заявок 0,25 (1/год). Знайти граничні ймовірності станів та показники ефективності роботи обчислювального центру.
Рішення. За умовою n=3, λ=0,25(1/год), t про. =3 (год). Інтенсивність потоку обслуговувань μ=1/t про. = 1/3 = 0,33. Інтенсивність навантаження ЕОМ за формулою (24) ρ=0,25/0,33=0,75. Знайдемо граничні ймовірності станів:
за формулою (25) p 0 = (1 +0,75 +0,75 2 / 2! +0,75 3 / 3!) -1 = 0,476;
за формулою (26) p 1 =0,75∙0,476=0,357; p 2 =(0,75 2 /2!)∙0,476=0,134; p 3 = (0,75 3 /3!) ∙ 0,476 = 0,033 тобто. у стаціонарному режимі роботи обчислювального центру в середньому 47,6% часу немає жодної заявки, 35,7% - є одна заявка (зайнята одна ЕОМ), 13,4% - дві заявки (дві ЕОМ), 3,3% часу - три заявки (зайняті три ЕОМ).
Імовірність відмови (коли зайняті всі три ЕОМ), таким чином, P отк. = p 3 = 0,033.
За формулою (28) відносна пропускну здатність центру Q = 1-0,033 = 0,967, тобто. у середньому із кожних 100 заявок обчислювальний центр обслуговує 96,7 заявок.
За формулою (29) абсолютна пропускна спроможність центру A=0,25∙0,967=0,242, тобто. за одну годину в середньому обслуговується 0,242 заявки.
За формулою (30) середня кількість зайнятих ЕОМ k =0,242/0,33 = 0,725, тобто. кожна з трьох ЕОМ буде зайнята обслуговуванням заявок у середньому лише 72,5/3 =24,2%.
При оцінці ефективності роботи обчислювального центру необхідно зіставити доходи від виконання заявок із втратами від простою дорогих ЕОМ (з одного боку, ми маємо високу пропускну здатність СМО, з другого боку - значний простий каналів обслуговування) і вибрати компромісне рішення.

Завдання. У порту є один причал для розвантаження суден. Інтенсивність потоку суден дорівнює 0,4 (судів на добу). Середній час розвантаження одного судна складає 2 доби. Передбачається, що черга може бути необмеженою довжиною. Знайти показники ефективності роботи причалу, а також ймовірність того, що очікують розвантаження не більше ніж 2 судна.
Рішення. Маємо ρ = λ/μ = μt про. =0,4∙2=0,8. Оскільки ρ = 0,8 < 1, то черга на розвантаження не може нескінченно зростати та граничні ймовірності існують. Знайдемо їх.
Імовірність того, що причал вільний, (33) p 0 = 1 - 0,8 = 0,2, а ймовірність того, що він зайнятий, P зан. = 1-0,2 = 0,8. За формулою (34) ймовірності того, що біля причалу знаходяться 1, 2, 3 судна (тобто очікують на розвантаження 0, 1, 2 судна), дорівнюють p 1 = 0,8(1-0,8) = 0, 16; p 2 = 0,8 2 ∙ (1-0,8) = 0,128; p 3 = 0,8 3 ∙ (1-0,8) = 0,1024.
Імовірність того, що очікують розвантаження не більше ніж 2 судна, дорівнює

За формулою (40) середня кількість суден, що очікують на розвантаження

а середній час очікування розвантаження за формулою (15.42)
(Доба).
За формулою (36) середня кількість суден, що знаходяться у причалу, L сист. = 0,8/(1-0,8) = 4 (доба) (або простіше за (37) L сист. = 3,2+0,8 = 4 (доба), а середній час перебування судна у причалу за формулою (41) T сист = 4/0,8 = 5 (добу).
Очевидно, що ефективність розвантаження суден невисока. Для її підвищення необхідно зменшення середнього часу розвантаження судна t або збільшення числа причалів n .

Завдання. В універсамі до вузла розрахунку надходить потік покупців з інтенсивністю λ = 81 чол. в годину. Середня тривалість обслуговування контролером-касиром одного покупця t про = 2 хв. Визначити:
а. Мінімальна кількість контролерів-касирів п min ,при якому черга не зростатиме до нескінченності, і відповідні характеристики обслуговування при n = n min.
б. Оптимальна кількість опт. контролерів-касирів, при якому відносна величина витрат С отн., пов'язана з витратами на утримання каналів обслуговування та перебуванням у черзі покупців, що задається, наприклад, як , Мінімальна, і порівняти характеристики обслуговування при n=n min і n=n опт.
в. Імовірність того, що у черзі буде не більше трьох покупців.
Рішення.
а. За умовою l = 81(1/год) = 81/60 = 1,35 (1/хв.). За формулою (24) r = l/m = lt = 1,35×2 = 2,7. Черга не зростатиме до нескінченності за умови r/n< 1, т.е. при n >r = 2,7. Отже, мінімальна кількість контролерів-касирів n min = 3.
Знайдемо характеристики обслуговування СМО при п= 3.
Імовірність того, що у вузлі розрахунку відсутні покупці, за формулою (45) p 0 = (1+2,7+2,7 2 /2!+2,7 3 /3!+2,7 4 /3!(3 -2,7)) -1 = 0,025, тобто. у середньому 2,5% часу контролери-касири простоюватимуть.
Імовірність те, що у вузлі розрахунку буде черга, по (48) P оч. = (2,7 4 /3! (3-2,7)) 0,025 = 0,735
Середня кількість покупців, що у черзі, по (50) L оч. = (2,7 4 /3∙3!(1-2,7/3) 2)0,025 = 7,35.
Середній час очікування в черзі (42) T оч. = 7,35 / 1,35 = 5,44 (хв).
Середня кількість покупців у вузлі розрахунку (51) L сист. = 7,35 +2,7 = 10,05.
Середній час перебування покупців у вузлі розрахунку (41) T сист. = 10,05/1,35 = 7,44 (хв).
Таблиця 1

Характеристика обслуговування	Число контролерів-касирів
Характеристика обслуговування	3	4	5	6	7
Імовірність простою контролерів-касирів p 0	0,025	0,057	0,065	0,067	0,067
Середня кількість покупців у черзі T оч.	5,44	0,60	0,15	0,03	0,01
Відносна величина витрат З отн.	18,54	4,77	4,14	4,53	5,22

Середня кількість контролерів-касирів, зайнятих обслуговуванням покупців, (49) k = 2,7.
Коефіцієнт (частка) зайнятих обслуговуванням контролерів-касирів
= ρ/n = 2,7/3 = 0,9.
Абсолютна пропускна спроможність вузла розрахунку А = 1,35 (1/хв) або 81 (1/год), тобто. 81 покупець за годину.
Аналіз характеристик обслуговування свідчить про значне навантаження вузла розрахунку за наявності трьох контролерів-касирів.
б. Відносна величина витрат за n = 3
З отн. = = 3 / 1,35 +3 ∙ 5,44 = 18,54.
Розрахуємо відносну величинувитрат за інших значень п(Табл. 1).
Як очевидно з табл. 2, мінімальні витратиотримані за n = n опт. = 5 контролерах-касирах.
Визначимо характеристики обслуговування вузла розрахунку за n = n опт. =5. Отримаємо P оч. = 0,091; L оч. = 0,198; Т оч. = 0,146 (хв); L сист. = 2,90; T снст. = 2,15 (хв); k = 2,7; k 3 = 0,54.
Як бачимо, при n = 5 в порівнянні з n = 3 суттєво зменшилися ймовірність виникнення черги P оч. , довжина черги L оч. та середній час перебування у черзі T оч. і відповідно середня кількість покупців L сист. і середнє час перебування у вузлі розрахунку T сист., і навіть частка зайнятих обслуговуванням контролерів k 3. Але середнє число зайнятих обслуговуванням контролерів-касирів k і абсолютна пропускна спроможність вузла розрахунку А звичайно змінилися.
в. Імовірність того, що в черзі буде не більше 3 покупців, визначиться як
= 1-P оч. + p 5+1 + p 5+2 + p 5+3 , де кожен доданок знайдемо за формулами (45) – (48). Отримаємо при n=5:

(Зауважимо, що у разі n=3 контролерів-касирів та сама ймовірність істотно менша: P(r ≤ 3) =0,464).

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

Вступ

1. Поняття систем масового обслуживания. Сутність змішаних СМО

1.1. Поняття систем масового обслуговування

1.2. Сутність змішаних систем масового обслуговування

2. Функціонування та критерії ефективності змішаних систем масового обслуговування

2.1. Функціонування змішаних систем масового обслуговування

2.2 Критерії ефективності змішаних систем масового обслуговування та їх порівняння з іншими СМО

3. Приклад практичного розв'язання задачі за участю змішаних СМО

Висновок

Список літератури

Вступ

За останні десятиліття в самих різних областях народного господарствавиникла необхідність вирішення ймовірнісних завдань, пов'язаних із роботою систем масового обслуговування. Прикладами таких систем є телефонні станції, ремонтні майстерні, торгові підприємства, квиткові каси і т.д. робота будь-якої системи масового обслуговування полягає в обслуговуванні потоку вимог, що надходить до неї (виклики абонентів, прихід покупців у магазин, вимоги на виконання роботи в майстерні і т. д.). масове обслуговування змішаних

Математична дисципліна, що вивчає моделі реальних систем масового обслуговування, одержала назву теорії масового обслуговування. Завдання теорії масового обслуговування - встановити залежність результуючих показників роботи системи масового обслуговування (імовірності того, що вимога буде обслужена; математичного очікування кількості обслуговуваних вимог тощо) від вхідних показників (кількість приладів у системі, параметрів вхідного потоку вимог тощо) .) встановити такі залежності у формульному вигляді можна тільки для простих системмасового обслуговування. Вивчення реальних систем проводиться шляхом імітації, або моделювання їх роботи на ЕОМ із залученням методу статистичних випробувань.

Метою є вивчення змішаної системи масового обслуговування.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити низку завдань:

1. Визначити поняття систем масового обслуговування та сутність змішаних СМО.

2. Розглянути основи функціонування та критерії ефективності змішаних систем масового обслуговування.

3. За допомогою прикладу описати функціонування змішаної СМО.

Структурно робота представлена вступом, основною частиною з трьох параграфів, висновком та списком літератури.

1 . Концепціясистеммасовогообслуговування.СутністьзмішанихСМО

1.1 Концепціясистеммасовогообслуговування

Системами масового обслуговування називають такі системи, у яких у довільні моменти часу надходять заявки обслуговування. При цьому заявки , що надійшли , обслуговуються за допомогою наявних у розпорядженні системи каналів обслуговування .

З позиції моделювання процесу масового обслуговування ситуації, коли утворюються черги заявок (вимог) обслуговування, виникають в такий спосіб. Вступивши в обслуговувальну систему, вимога приєднується до черги інших (раніше надійшли) вимог. Канал обслуговування вибирає вимогу з що у черзі, про те, щоб розпочати його обслуговування. Після завершення процедури обслуговування чергової вимоги канал обслуговування розпочинає обслуговування наступної вимоги, якщо така є в блоці очікування.

Перші завдання теорії масового обслуговування було розглянуто у період між 1908 та 1922 роками. Стояло завдання впорядкувати роботу телефонної станції і заздалегідь розрахувати якість обслуговування споживачів залежно від кількості пристроїв, що використовуються.

Цикл функціонування системи масового обслуговування подібного роду повторюється багаторазово протягом усього періоду роботи системи. При цьому передбачається, що перехід системи обслуговування чергової вимоги після завершення обслуговування попередньої вимоги відбувається миттєво, випадкові моменти часу.

Системи масового обслуговування або теорія масового обслуговування - предмет, що бере початок у теорії ймовірностей. Але вивчення таких систем у додатку до реального світу (а їх безліч: магазин або вокзал з касами, склад з операторами, перукарні та лікарні, обчислювальні мережі, верстати та наладчики, системи АТС тощо) зазвичай проходить у рамках предметів « Дослідження операцій» та « Математичні методив економіці».

Завдання систем масового обслуговування мають справу з об'єктами, де є: а) черга заявок (клієнтів, дзвінків, відвідувачів, сигналів тощо) та б) обмежена кількість каналів для їх обробки (операторів, касирів, лікарів, транзисторів тощо). п.). Математично можна обчислити ефективність та основні показники робіт системи, що дозволить у реальному світіналагодити роботу найбільш правильно, економічно, вигідно, зручно.

Системи масового обслуговування (СМО) «являють собою системи специфічного виду. Основою СМО є кілька обслуговуючих пристроїв - канали обслуговування. Роль каналів насправді можуть виконувати прилади, оператори, продавці, лінії зв'язку та ін.» .

Призначення СМО полягає в обслуговуванні потоку заявок (вимог), що становлять послідовність подій, що надходять нерегулярно і в заздалегідь невідомі та випадкові моменти часу. Саме обслуговування заявок також має непостійний характер, відбувається у довільні проміжки часу і залежить від багатьох і навіть невідомих причин. Випадковий характер потоку заявок та часу їх обслуговування обумовлює нерівномірність завантаження СМО: на вході можуть накопичуватися необслужені заявки (перевантаження СМО) або заявок немає або їх менше, ніж вільних каналів (недовантаження СМО). У СМО надходить потік заявок; частина їх приймається обслуговування у канали, частина чекає у черзі обслуговування, частина залишає систему необслуженными.

Основними елементами СМО є:

1 – вхідний потік заявок;

2 – черга;

3 – канали обслуговування;

4 – вихідний потік заявок (обслужені заявки).

За кількістю каналів n всі СМО поділяються на одноканальні (n = 1) та багатоканальні (n > 1).

Багатоканальні СМО можуть бути як однорідними (каналами), так і різнорідними (за тривалістю обслуговування заявок).
По дисципліни обслуговування розрізняються три класи СМО.

1. СМО з відмовами (нульове очікування чи явні втрати). «Відмовна» заявка знову надходить у систему, щоб її обслужили (наприклад, виклик абонента через АТС).

2. СМО з очікуванням (необмежене очікування чи черга). При зайнятості всіх каналів заявка надходить у чергу і зрештою буде виконано (торгівля, сфери побутового та медичного обслуговування).

3. СМО змішаного типу(обмежене очікування). Є обмеження на довжину черги (сервіс обслуговування автомобілів). Інший вид обмеженого очікування - обмеження на час перебування заявки до СМО (ППО, особливі умови обслуговування в банку).

Метою теорії систем масового обслуговування є вироблення рекомендацій щодо раціональної побудови СМО та раціональної організації їх роботи та регулювання потоку заявок. Звідси випливають завдання, пов'язані з теорією масового обслуговування: встановлення залежностей роботи СМО від організації, характеру потоку заявок, числа каналів та його продуктивності, правил роботи СМО.

Сучасна теорія систем масового обслуговування є сукупністю аналітичних методів дослідження.

Кожна система масового обслуговування, залежно від кількості каналів та їхньої продуктивності, а також від характеру потоку заявок, має якийсь пропускною здатністю, що дозволяє їй більш менш успішно справлятися з потоком заявок. Предмет теорії масового обслуговування – встановлення залежності між характером потоку заявок, числом каналів, їх продуктивністю, правилами роботи СМО та успішністю (ефективністю) обслуговування.

1.2 Сутністьзмішанихсистеммасовогообслуговування

Складний характер ринкової економіки і сучасний рівень вимог до неї стимулюють використання більш серйозних методіваналізу її теоретичних та практичних проблем.

Математичне моделювання все більше стає одним з основних і найбільш плідних методів вивчення економічних процесівта об'єктів. Позитивна оцінка цього підтверджується тим, що, починаючи з 1969 р., Нобелівські преміїу сфері економіки присуджуються, зазвичай, за економіко-математичні дослідження.

У боротьбу клієнта у сучасній економіці вкладаються величезні кошти. За оцінками західних економістів, завоювання фірмою нового клієнта обходиться їй у 6 разів дорожче, ніж утримання існуючих покупців. А якщо клієнт пішов незадоволеним, то на його повернення доводиться витратити у 25 разів більше коштів.

У багатьох випадках невдоволення клієнта викликана невдалою організацією його обслуговування (надто довге очікування у черзі, відмова у обслуговуванні тощо.). Використання теорії масового обслуговування дозволяє фірмі уникнути таких неприємностей.

Класичними системами, які вивчає теорія масового обслуговування та для яких більш розроблений математичний апарат, є системи з очікуванням та з відмовою. Для таких систем типово наступне: вимоги, що надходять до системи обслуговування, залишають її лише після обслуговування.

Однак, на практиці часто зустрічаються системи масового обслуговування з очікуванням, у яких є різні обмеження, наприклад, на час перебування у черзі, на час перебування вимоги у системі, на довжину черги. Можливі також різні комбінації таких обмежень. Такі системи масового обслуговування називаються змішаними системами з очікуванням.

У змішаних системах масового обслуговування вимога, що надійшла в систему на обслуговування і прилади, що залишили зайнятими, може залишити систему і не обслуженим.

Отже, СМО змішаного типу (обмеженим очікуванням) - це такі системи, у яких перебування заявки у черзі накладаються деякі обмеження.

Ці обмеження можуть накладатися довжину черги, тобто. максимально можлива кількість заявок, які одночасно можуть перебувати у черзі.

Як приклад такої системи можна навести майстерню з ремонту автомобілів, що має обмежену за розмірами стоянку для несправних машин, що чекають на ремонт.

Обмеження очікування можуть стосуватися часу перебування заявки в черзі, після якого вона виходить з черги і залишає систему, або стосуватися загального часу перебування заявки в СМО (тобто сумарного часу перебування заявки в черзі та під обслуговуванням).

У СМО змішаного типу застосовуються різні схемиобслуговування заявок із черги. Обслуговування може бути упорядкованим, коли заявки з черги обслуговуються в порядку їх надходження до системи, та неупорядкованим, за якого заявки з черги обслуговуються у випадковому порядку. Іноді застосовується обслуговування з пріоритетом, коли деякі заявки з черги вважаються пріоритетними і тому обслуговуються насамперед.

За підсумками першого розділу роботи можна зробити такі висновки:

Системами масового обслуговування називають такі системи, у яких у довільні моменти часу надходять заявки обслуговування. При цьому заявки, що надійшли, обслуговуються за допомогою наявних у розпорядженні системи каналів обслуговування.

Основними елементами СМО є: вхідний потік заявок; черга; канали обслуговування; вихідний потік заявок (обслуговування).

Ефективність функціонування СМО визначається її пропускною спроможністю - відносним числом обслужених заявок.

Насправді часто зустрічаються системи масового обслуговування з очікуванням, у яких є різні обмеження, наприклад, тимчасово перебування у черзі, тимчасово перебування вимоги у системі, довжину черги. Можливі також різні комбінації таких обмежень. Такі системи масового обслуговування називаються змішаними системами з очікуванням.

СМО змішаного типу (обмеженим очікуванням) - це такі системи, у яких перебування заявки у черзі накладаються деякі обмеження.

2 . Функціонуванняікритеріїефективностізмішанихсистеммасовогообслуговування

2.1 Функціонуваннязмішанихсистеммасовогообслуговування

Якщо є обмеження на довжину черги, що виражається в тому, що кількість вимог, що очікують початку обслуговування, не повинна перевищувати mто чергова вимога, що надійшла в систему на обслуговування в момент часу, коли всі прилади зайняті і mвимог чекають обслуговування, має залишити систему, хоча і не обслужено. Така ситуація виникає, наприклад, у майстернях, призначених для ремонту будь-яких машин, обмеженою площеюдля їх зберігання.

Обмеження на час перебування у черзі виявляється у тому, що час очікування вимогою початку обслуговування має перевищувати деякої величини t ож, де t ож -- постійна чи випадкова. Інакше кажучи, якщо за час t з того моменту, як вимога стала в чергу, не звільниться жоден з обслуговуючих приладів, то вимога залишає систему, хоча вона і не обслужена. Передбачається, що й процес обслуговування вже розпочато, він доводиться остаточно незалежно від часу очікування початку обслуговування .

У наступному параграфі функціонування змішаної системи масового обслуговування буде більш детально розглянуто на основі критеріїв ефективності.

Частка витрат на оптимальний складпродукції організації має також позитивну динаміку. У порівнянні з економічною результативністю динаміка цього показника характеризується більш плавним зростанням, але він також стабільний.

Результативність управлінської діяльності для підприємства - єдиний показник, що має саме собою маленьке значення, до того ж, ще й негативну динаміку, яка є стабільною (зниження показника постійно, без періодів зростання). Ця негативна динаміка є позитивним явищем, оскільки зростання доходу йде вищими темпами, ніж зростання чисельності апарату управління.

Це умовно-негативний момент, оскільки витрати можуть зростати рахунок добровільного наміри керівництва посилено фінансувати управління ( позитивний момент) або вони можуть зростати вимушено (негативний момент). Якщо витрати на управління персоналом зростають з вимушених причин, необхідно забезпечити тісну взаємодію вже не секторів, а цілих відділів служби управління підприємством.

Частка витрат за оптимальний склад продукції організації має також позитивну динаміку. У порівнянні з економічною результативністю динаміка цього показника характеризується більш плавним зростанням, але він також стабільний.

Результативність управлінської діяльності для підприємства - єдиний показник, що має саме собою дуже невелике значення, і до того ж, ще й негативну динаміку, яка є стабільною (зниження показника постійно, без періодів зростання). Ця негативна динаміка є позитивним явищем, оскільки зростання доходу йде вищими темпами, ніж зростання чисельності апарату управління.

Це умовно-негативний момент, оскільки витрати можуть зростати рахунок добровільного наміри керівництва посилено фінансувати управління (позитивний момент) чи можуть зростати вимушено (негативний момент). Якщо витрати на управління персоналом зростають з вимушених причин, необхідно забезпечити тісну взаємодію вже не секторів, а цілих відділів служби управління підприємством.

2.2 КритеріїефективностізмішанихсистеммасовогообслуговуванняіїхпорівняннязіншимиСМО

При вирішенні завдань, пов'язаних із масовим обслуговуванням, велике значення має правильний вибіркритеріїв, що визначають процес, що вивчається. Одна й та система обслуговування може характеризуватися з різних точок зору різними критеріямиефективності. Вибір тієї чи іншої критерію повинен проводитися у кожному даному випадку з тих завдань, які ставляться перед системою. Перелічити всі критерії, які можуть бути корисними у всіх завданнях масового обслуговування, важко, тому обмежимося найбільш суттєвими і найчастіше використовуваними.

Критерії ефективності систем обслуговування із втратами:

1. Імовірність відмови дорівнює ймовірності того, що всі обслуговуючі апарати виявляться зайнятими. Імовірність відмови визначає, якою мірою дана системаобслуговування здатна задовольнити потік вимог, що надходить. Цей критерій (імовірність відмови) пов'язані з якістю обслуговування всередині системи тих вимог, які були прийняті обслуговування. Він дає тільки зовнішню оцінку здатності системи приступити до обслуговування вимоги, що надійде.

2. Ступінь завантаження обслуговуючої системи може характеризуватись таким критерієм, як середня кількість зайнятих апаратів.

4. Можливо корисний такий критерій, як середня кількість втрачених вимог за певний проміжок часу.

Критерії ефективності систем обслуговування без втрат:

1. Довжина черги є випадковою величиною. Як характеристику довжини черги можна використовувати її математичне очікування. Перелік критеріїв:

2. Математичне очікування довжини черги.

3. Час очікування початку обслуговування.

4. Закон розподілу початку обслуговування (закон розподілу часу очікування вдається знайти який завжди, у разі доводиться користуватися простішими критеріями).

5. Середня довжина черги, повна характеристикаякою може бути задана законом розподілу довжини черги.

6. Середня кількість зайнятих обслуговуючих апаратів(Це число - величина випадкова).

7. Імовірність мати більше m одиниць у черзі в момент при заданому початковому стані системи.

Критерії ефективності системи обслуговування змішаного типу.

Критерії, що характеризують перебіг процесу обслуговування у системах змішаного типу, переважно збігаються з тими, які були перераховані для завдань першої та другої груп. Особливі критерії обслуговування систем змішаного типу такі :

1. Час, витрачений обслуговування тих вимог, які покинуть систему до закінчення обслуживания.

2. Сумарний час, витрачений усіма апаратами системи.

Приватні критерії залежно від специфіки конкретних процесів, що вивчаються, можуть бути отримані з цих основних з урахуванням особливостей кожного процесу.

За підсумками другого розділу роботи можна зробити такі висновки:

p align="justify"> Процес функціонування для змішаної системи масового обслуговування можна представити за допомогою наступних елементів: потік заявок, що надходить у змішану СМО на обслуговування; змішана СМО з очікуванням; потік обслужених вимог; потік необслуговуваних вимог

Критерії, що характеризують протікання процесу обслуговування в системах змішаного типу, в основному збігаються з тими, що характерні для СМО із втратами та без втрат. Крім того, для СМО характерні й особливі критерії ефективності

...

Подібні документи

Загальні поняттяТеорія масового обслуговування. Особливості моделювання систем масового обслуговування. Графи станів СМО, рівняння, що їх описують. Загальна характеристикарізновидів моделей. Аналіз системи масового обслуговування супермаркету.

курсова робота , доданий 17.11.2009

Елементи теорії масового обслуговування. Математичне моделювання систем масового обслуговування, їхня класифікація. Імітаційне моделювання систем масового обслуговування. Практичне застосування теорії, розв'язання задач математичними методами.

курсова робота , доданий 04.05.2011

Концепція випадкового процесу. Завдання теорії масового обслуговування. Класифікація систем масового обслуговування (СМО). Вірогідна математична модель. Вплив випадкових факторівна поведінку об'єкта. Одноканальна та багатоканальна СМО з очікуванням.

курсова робота , доданий 25.09.2014

Моделювання процесу масового обслуговування. Різнотипні канали масового обслуговування. Рішення одноканальної моделі масового обслуговування із відмовими. Щільність розподілу тривалості обслуговування. Визначення абсолютної пропускної спроможності.

контрольна робота , доданий 15.03.2016

Функціональні характеристикисистеми масового обслуговування у сфері автомобільного транспорту, її структура та основні елементи. Кількісні показники якості функціонування системи масового обслуговування, порядок та основні етапи їх визначення.

лабораторна робота , доданий 11.03.2011

Побудова моделі багатоканальної системи масового обслуговування з очікуванням та використанням блоків бібліотеки SimEvents. Імовірнісні характеристики аудиторської фірми як системи масового обслуговування, що працює у стаціонарному режимі.

лабораторна робота , доданий 20.05.2013

Рішення системи диференціальних рівняньметодом Рунґе-Кутта. Досліджено можливості застосування імітаційного моделювання для дослідження систем масового обслуговування. Результати моделювання базового варіанта системи обслуговування.

лабораторна робота , доданий 21.07.2012

Система масового обслуговування типу M/M/1, її компоненти. Коефіцієнт використання пристрою. Позначення M/D/1 системи масового обслуговування. Параметри та результати моделювання систем. Середній час очікування заявки у черзі.

лабораторна робота , доданий 19.05.2013

Марківські ланцюги з кінцевим числом станів та дискретним часом, з кінцевим числом станів та безперервним часом та робота з ними. Основні поняття та класифікація систем масового обслуговування, їх типи та відмінності. Сутність методу Монте-Карло.

дипломна робота , доданий 25.08.2009

Розробка теорії динамічного програмування, мережевого плануваннята управління виготовленням продукту. Складові частини теорії ігор завдання моделювання економічних процесів. Елементи практичного застосуванняТеорія масового обслуговування.

p align="justify"> Класифікація, основні поняття, елементи моделі, розрахунок основних характеристик.

Під час вирішення завдань раціональної організації торгівлі, побутового обслуговування, складського господарства тощо. дуже корисною буває інтерпретація діяльності виробничої структури як системи масового обслуговування, тобто. системи у якій, з одного боку, постійно виникають запити виконання будь-яких робіт, з другого - відбувається постійне задоволення цих запитів.

Будь-яка СМО включає чотири елементи: вхідний потік, черга, обслуговуючий пристрій, потік, що виходить.

Вимогою(клієнтом, заявкою) у СМО називається кожен окремий запит на виконання будь-якої роботи.

Обслуговування- це виконання роботи із задоволення вимоги. Об'єкт, що виконує обслуговування вимог, називається пристроєм (приладом) або каналом обслуговування.

Часом обслуговування називається період, протягом якого задовольняється вимога обслуговування, тобто. період від початку обслуговування та до його завершення. Період від моменту надходження вимоги до системи до початку обслуговування називається часом очікування обслуговування. Час очікування обслуговування разом із часом обслуговування становить час перебування вимоги у системі.

СМО класифікуються за різними ознаками.

1. За кількістю каналів обслуговування СМО діляться на одноканальні та багатоканальні.

2. Залежно від умов очікування вимогою початку обслуговування розрізняють СМО з втратами (відмовами) та СМО з очікуванням.

У СМО із втратами вимоги, що надійшли в момент, коли всі прилади зайняті обслуговуванням, отримують відмову, вони губляться для даної системи і ніякого впливу на подальший процес обслуговування не надають. Класичним прикладом системи з відмовими є телефонна станція - вимога на з'єднання отримує відмову, якщо абонент зайнятий.

Для системи з відмовами основною характеристикою ефективності функціонування є можливість відмови або середня частка заявок, що залишилися необслуженими.

У СМО з очікуванням вимоги, що надійшло в момент, коли всі прилади зайняті обслуговуванням, не залишає систему, а стає в чергу і чекає, поки не звільниться один з каналів. У разі звільнення чергового приладу одна із заявок, що стоять у черзі, негайно приймається на обслуговування.

Для СМО з очікуванням основними характеристиками є математичні очікування довжини черги та часу очікування.

Прикладом системи з очікуванням може бути процес відновлення телевізорів у ремонтній майстерні.

Зустрічаються системи, що лежать між зазначеними двома групами ( змішані СМО). Їх характерно наявність деяких проміжних умов: обмеженнями може бути обмеження за часом очікування початку обслуговування, за довжиною черги тощо.

Як характеристики ефективності може застосовуватися ймовірність відмови як у системах з втратами (або характеристики часу очікування) і в системах з очікуванням.

3. За дисципліною обслуговування СМО діляться на системи з пріоритетом в обслуговуванні та системи без пріоритету в обслуговуванні.

Вимоги можуть обслуговуватися в порядку їх надходження або випадковим чином або залежно від встановлених пріоритетів.

4. СМО можуть бути однофазними та багатофазними.

У однофазнихсистемах вимоги обслуговуються каналами одного типу (наприклад робітниками однієї професії) без передачі їх від одного каналу до іншого, багатофазнихсистемах такі передачі можливі.

5. За місцем знаходження джерела вимог СМО поділяються на розімкнені (коли джерело вимоги знаходиться поза системою) і замкнуті (коли джерело знаходиться у самій системі).

До замкнутимвідносяться системи, в яких потік вимог, що надходить, обмежений. Наприклад, майстер, завданням якого є налагодження верстатів у цеху, має періодично їх обслуговувати. Кожен налагоджений верстат стає у майбутньому потенційним джерелом вимог на налагодження. У таких системах загальна кількість циркулюючих вимог звичайно і найчастіше постійно.

Якщо джерело живлення має нескінченне число вимог, то системи називаються розімкнутими. Прикладами таких систем можуть бути магазини, каси вокзалів, портів тощо. Для цих систем потік вимог, що надходить, можна вважати необмеженим.

Методи та моделі дослідження СМО можна умовно розбити на аналітичні та статистичні (імітаційного моделювання процесів масового обслуговування).

Аналітичні методи дозволяють отримати характеристики системи, як деякі функції від параметрів її функціонування. Завдяки цьому з'являється можливість проводити якісний аналіз впливу окремих факторів на ефективність СМО.

На жаль, аналітичному рішенню піддається лише досить обмежене коло завдань теорії масового обслуговування. Незважаючи на розробку аналітичних методів, що постійно ведеться, у багатьох реальних випадкаханалітичне рішення або неможливо отримати, або підсумкові залежності виявляються настільки складними, що їх аналіз стає самостійним складним завданням. Тому задля можливості застосування аналітичних методів рішення доводиться вдаватися до різних спрощуючих припущень, що певною мірою компенсується можливістю застосування якісного аналізупідсумкових залежностей (при цьому, зрозуміло, необхідно, щоб прийняті припущення не спотворювали реальної картини процесу).

В даний час теоретично найбільш розроблені та зручні у практичних додатках методи вирішення таких завдань масового обслуговування, в яких потік вимог є найпростішим ( пуассонівським).

Для найпростішого потоку частота надходження вимог до системи підпорядковується закону Пуассона, тобто ймовірність надходження за час t, що дорівнює k вимог задається формулою:

де - параметр потоку (див. нижче).

Найпростіший потік має три основні властивості: ординарність, стаціонарність і відсутність післядії.

Ординарністьпотоку означає практичну неможливість одночасного надходження двох і більше вимог. Наприклад, досить малою є ймовірність того, що з групи верстатів, які обслуговує бригада ремонтників, одночасно вийдуть з ладу кілька верстатів.

Стаціонарнимназивається потік, Для якого математичне очікування числа вимог, що надходять до системи в одиницю часу (позначимо через λ), не змінюється у часі. Таким чином, ймовірність надходження до системи певної кількості вимог протягом заданого проміжку часу Δt залежить від його величини і не залежить від початку відліку на осі часу.

Відсутність післядіїозначає, що кількість вимог, що надійшли до системи до моменту t, не визначає того, скільки вимог надійде до системи за час t + Δt.

Наприклад, якщо на ткацькому верстаті в даний момент стався обрив нитки, і він усунений ткалями, то це не визначає того, чи відбудеться новий обрив на даному верстаті наступний моментчи ні, тим більше це не впливає на ймовірність виникнення урвища на інших верстатах.

Важливою характеристикоюСМО є час обслуговування вимог у системі. Час обслуговування є, зазвичай, випадковою величиною і, отже, може бути описано законом розподілу. Найбільшого поширення теорії і, особливо у практичних додатках, отримав експоненційний закон. Для цього закону функція розподілу ймовірностей має вигляд:

F(t) = 1 - e-μt,

тобто. Можливість те, що час обслуговування вбирається у деякої величини t, визначається формулою (1 – e -μt), де μ -параметр експоненційного закону часу обслуговування вимог у системі - величина, зворотна середньому часу обслуговування, тобто. .

Розглянемо аналітичні моделіСМО з очікуванням(Найпоширеніші СМО, у яких вимоги, що надійшли в момент, коли всі обслуговуючі одиниці зайняті, стають у чергу і обслуговуються в міру звільнення обслуговуючих одиниць).

Завдання з чергами є типовими у виробничих умовах, наприклад при організації налагоджувальних та ремонтних робіт, при багатоверстатному обслуговуванні і т.д.

Постановка задачі в загальному виглядівиглядає наступним чином.

Система складається з n обслуговуючих каналів. Кожен із них може одночасно обслуговувати лише одну вимогу. В систему надходить найпростіший (пуасонівський) потік вимог з параметром. Якщо в момент надходження чергової вимоги в системі на обслуговуванні вже знаходиться не менше n вимог (тобто всі канали зайняті), то ця вимога стає в чергу і чекає на початок обслуговування.

Час обслуговування кожної вимоги t є випадковою величиною, яка підпорядковується експоненційному закону розподілу з параметром μ.

Як зазначалося вище, СМО з очікуванням можна розбити на дві великі групи: замкнуті та розімкнуті.

Особливості функціонування кожної з цих видів систем накладають свій відтінок на використовуваний математичний апарат. Розрахунок характеристик роботи СМО різного видуможе бути проведено на основі розрахунку ймовірностей станів СМО (формули Ерланга).

Оскільки система замкнута, то до постановки завдання слід додати умову: потік вимог обмежений, тобто. в системі обслуговування одночасно не може перебувати більше m вимог (m - число об'єктів, що обслуговуються).

Як основні критерії, що характеризують якість функціонування аналізованої системи, виберемо: 1) відношення середньої довжини черги до найбільшому числувимог, що знаходяться одночасно в обслуговуючій системі -коефіцієнт простою об'єкта, що обслуговується; 2) відношення середньої кількості незайнятих обслуговуючих каналів до них загальному числу- Коефіцієнт простою каналу, що обслуговується.

Розглянемо розрахунок необхідних ймовірнісних характеристик (показників якості функціонування) замкнутої СМО.

1. Імовірність того, що в системі знаходиться k вимог за умови, коли їх кількість не перевищує числа обслуговуючих апаратів n:

P k = α k P 0 , (1 ≤ k ≤ n),

де

λ - частота (інтенсивність) надходження вимог до системи від одного джерела;

Середня тривалість обслуговування однієї вимоги;

m - найбільше можливе число вимог, що знаходяться в обслуговуючій системі одночасно;

n – число обслуговуючих апаратів;

Р 0 - можливість, що це обслуговуючі апарати вільні.

2. Імовірність того, що в системі знаходиться k вимог за умови, коли їх кількість більша за кількість обслуговуючих апаратів:

P k = α k P 0 , (n ≤ k ≤ m),

де

3. Імовірність того, що всі обслуговуючі апарати вільні, визначається за умови

отже,

4. Середня кількість вимог, що очікують початку обслуговування (середня довжина черги):

5. Коефіцієнт простою вимоги в очікуванні обслуговування:

6. Імовірність того, що всі обслуговуючі апарати зайняті:

7. Середня кількість вимог, що знаходяться в обслуговувальній системі (обслуговуваних та очікуваних обслуговування):

8. Коефіцієнт повного простою вимог на обслуговуванні та в очікуванні обслуговування:

9. Середній час простою вимоги у черзі на обслуговування:

10. Середня кількість вільних обслуговуючих апаратів:

11. Коефіцієнт простою обслуговуючих апаратів:

12. Імовірність того, що кількість вимог, що очікують обслуговування, більша за деяку кількість В (ймовірність того, що в черзі на обслуговування перебуває більше В вимог):

Схожі статті

Обговорюють:

До чого сниться горло за сонником До чого уві сні схопили за горло:Сонник горло Як підказує сонник, горло – символ, який несе певне...
Якими будуть дітки, народжені на рік півня:Гороскоп сумісності: знак зодіаку близнюки жінка 2017 - найповніше...
Зодіакальний гороскоп для стрільця чоловіка та щенки:Цього року пані удача може посміхнутися Стрільцям. Гороскоп кар'єри та...
Адаптована програма для дітей із затримкою психічного розвитку:ІНШІ МИ Корекційно-розвиваюча програма для дітей дошкільного віку.