සංකීර්ණ ෆූරියර් ශ්රේණි න්‍යායක් දක්වා ව්‍යාප්ත වීම. ෆූරියර් මාලාව. ෆූරියර් මාලාවක ශ්රිතයක් පුළුල් කිරීම. ශ්රිතයක් සයින සහ කෝසයින මාලාවක් බවට ප්‍රසාරණය කිරීම
ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ ශ්‍රිතවල ප්‍රසාරණය, අත්තනෝමතික කාල පරිච්ඡේදයක් සහිත ශ්රිතයක් සඳහා ෆෝරියර් ශ්‍රේණියේ සයින හෝ කොසයින අනුව ශ්‍රේණියක් බවට කොටසක දී ඇති ශ්රිතයක් ප්‍රසාරණය කිරීම. විකලාංග පද්ධතියක ෆූරියර් සංගුණකවල අවම ගුණය බෙසල්ගේ අසමානතාවය සමානාත්මතාවය පාර්සේවල් සංවෘත පද්ධතිපද්ධතිවල සම්පූර්ණත්වය සහ සංවෘත බව
ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ ශ්‍රිතවල ෆූරියර් ශ්රේණි ප්‍රසාරණය \-1 කොටසේ නිර්වචනය කර ඇති f(x) ශ්රිතය, I > 0, ඉරට්ටේ ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය y-අක්ෂයට සමමිතික වුව ද හැඳින්වේ. I > 0 යන කොටසේ J කොටසේ අර්ථ දක්වා ඇති f(x) ශ්රිතය ඔත්තේ ලෙස හැඳින්වේ, ඔත්තේ ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය සම්භවය සම්බන්ධයෙන් සමමිතික නම්. උදාහරණයක්. a) ශ්රිතය ඉරට්ටේ |-jt, jt), මක්නිසාද සියලු x e b) ශ්රිතය ඔත්තේ වේ, ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ ශ්‍රිතවල ප්‍රසාරණය යනු ශ්‍රේණියේ කොටසේ ලබා දී ඇති ශ්‍රිතයක ප්‍රසාරණය වන බැවිනි. අත්තනෝමතික කාලපරිච්ඡේදයක් සහිත ශ්රිතයක් සඳහා සයින හෝ කොසයින ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ සංකීර්ණ අංකනය සාමාන්ය විකලාංග ශ්‍රිත පද්ධතිවල ෆූරියර් ශ්රේණි විකලාංග පද්ධතියක ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ ෆූරියර් සංගුණකවල අවම ගුණය බෙසල් අසමානතාවය Parseval සමානාත්මතාවය සංවෘත පද්ධති සම්පූර්ණත්වය සහ සංවෘත පද්ධති c) ශ්රිතය f(x)=x2-x, ඉරට්ටේ හෝ ඔත්තේ ශ්‍රිතවලට අයත් නොවන තැන, ප්රමේයය 1 හි කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරන f(x) ශ්රිතය x| කොටසේ ඉරට්ටේ වේවා. එවිට සියල්ල සඳහා i.e. /(g) cos nx යනු ඉරට්ටේ ශ්රිතයක් වන අතර f(x) sinnx ඔත්තේ එකකි. එබැවින්, ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයක ෆූරියර් සංගුණක සමාන වනු ඇත /(x) එබැවින්, ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයක ෆූරියර් ශ්‍රේණියට ඇත්තේ f(x) sin nx යනු ඉරට්ටේ ශ්‍රිතයකි. එබැවින්, අපට මෙසේ ලැබෙනු ඇත, ඔත්තේ ශ්‍රිතයක ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ ස්වරූපය ඇත අපට කොටස් වශයෙන් අනුකලනය දෙවරක් යෙදී ඇත, එබැවින් අපට මෙම ශ්රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ: හෝ, පුළුල් කළ ආකාරයෙන්, මෙම සමානාත්මතාවය ඕනෑම x € සඳහා වලංගු වේ, මන්ද x = ±ir ලක්ෂ්යවල එකතුව ශ්‍රේණිය f(x) = x2 ශ්රිතයේ අගයන් සමඟ සමපාත වේ, මන්ද f(x) = x ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාර සහ ලැබෙන ශ්‍රේණිවල එකතුව රූපයේ දක්වා ඇත. අදහස් දක්වන්න. මෙම ෆූරියර් මාලාව ඔබට අභිසාරී සංඛ්යාත්මක ශ්රේණි වලින් එකක එකතුව සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසයි, එනම්, x \u003d 0 සඳහා, අපට එය ලැබේ ශ්රිතය /(x) ප්රමේයය 1 හි කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරයි, එබැවින් එය ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් දක්වා පුළුල් කළ හැකිය, මෙම ශ්රිතයේ අපූර්වත්වය නිසා, කොටස් අනුව අනුකලනය වන ආකාරය ඇති අතර, අපට ෆූරියර් සංගුණක හමු වේ, එබැවින් ෆූරියර් මෙම ශ්රිතයේ ශ්‍රේණියට මෙම සමානාත්මතාවය සියලු x В ලක්ෂ්‍ය සඳහා පවතිනු ඇත x - ±tg ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ එකතුව / (x) = x ශ්රිතයේ අගයන් සමඟ සමපාත නොවේ, මන්ද එය පිටතින් කොටස [- *, n-] ශ්‍රේණියේ එකතුව / (x) \u003d x ශ්රිතයේ ආවර්තිතා අඛණ්ඩ පැවැත්මකි; එහි ප්රස්ථාරය රූපයේ දැක්වේ. 6. § 6. සයින් හෝ කෝසයින අනුව ශ්‍රේණියක් බවට විරාමයක දී ලබා දී ඇති ශ්රිතයක් ප්‍රසාරණය කිරීම සීමා වූ කොටස් වශයෙන් ඒකාකාරී ශ්රිතයක් / විරාමයක් මත ලබා දීමට ඉඩ හරින්න . මෙම ශ්රිතයේ අගයන් පරතරය 0| විවිධ ආකාරවලින් අර්ථ දැක්විය හැක. උදාහරණයක් ලෙස, mc කොටසෙහි ශ්රිතය / යන ආකාරයට අර්ථ දැක්විය හැක. මෙම අවස්ථාවෙහිදී එය කියනු ලැබේ) "0] කොටස දක්වා ඉරට්ටේ ආකාරයෙන් දිගු කර ඇත"; එහි ෆූරියර් මාලාව අඩංගු වන්නේ කොසයින පමණි. කෙසේ වෙතත්, /(x) ශ්රිතය [-x, mc] කොටසේ අර්ථ දක්වා ඇත්නම් /(, එවිට ඔත්තේ ශ්රිතයක් ලැබේ, එවිට අපි / "ඛණ්ඩයට [-*, 0 දක්වා දිගු කර ඇති බව කියමු. ] අමුතු ආකාරයකින්"; මෙහි දී, ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ අඩංගු වන්නේ සයින පමණි. එබැවින්, ඛණ්ඩය මත අර්ථ දක්වා ඇති එක් එක් සීමා කරන ලද කෑලි-ඒකාකාර ශ්රිතය /(x), ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් දක්වා ප්‍රසාරණය කළ හැකිය sines සහ cosines.උදාහරණ 1. Fourier ශ්‍රේණියක ශ්රිතය පුළුල් කරන්න: a) cosine මගින්; ආ) සයිනස් දිගේ. M මෙම ශ්රිතය, එහි ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ දිගු සමග |-x, 0) කොටසට සීමා වන අතර කොටස් වශයෙන් ඒකාකාරී වනු ඇත. a) අපි දිගටම / (z) කොටස 0) a) අපි j \ x) කොටස (-m, 0 | ඉරට්ටේ ආකාරයෙන් (රූපය 7) දිගටම කරගෙන යන්නෙමු, එවිට එහි ෆූරියර් ශ්‍රේණිය මට P පෝරමය ලැබෙනු ඇත. \u003d 1 පිළිවෙළින් ෆූරියර් සංගුණක සමාන වන අතර, එබැවින්, b) අපි /(z) කොටසේ [-x,0] ඔත්තේ ආකාරයකින් ඉදිරියට යමු (රූපය 8). එවිට එහි ෆූරියර් මාලාව §7. අත්තනෝමතික කාලපරිච්ඡේදයක් සහිත කාර්යයක් සඳහා ෆූරියර් ශ්‍රේණිය 21.1 ^ 0 කාල පරිච්ඡේදයක් සමඟ ආවර්තිතා ලෙස ශ්රිතය නිවැරදි කිරීමට ඉඩ දෙන්න. I > 0 යන අන්තරයේ එය ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් දක්වා පුළුල් කිරීමට, අපි x = jt සැකසීමෙන් විචල්‍යයේ වෙනසක් කරන්නෙමු. . එවිට F(t) =/ ^tj ශ්රිතය කාලපරිච්ඡේදයක් සහිත t තර්කයේ ආවර්තිතා ශ්රිතයක් වන අතර එය ෆූරියර් ශ්‍රේණියක ඛණ්ඩයක් මත විස්තාරණය කළ හැක x විචල්‍යයට ආපසු යාම, එනම්, අපි ලබා ගන්නා සැකසීම, වලංගුව පවතිනු ඇත. අත්තනෝමතික කාල සීමාවක් සහිත ආවර්තිතා කාර්යයන් සඳහා 21. විශේෂයෙන්, ප්රමාණවත් ලකුණක්ෆූරියර් ශ්‍රේණියක ශ්‍රිතයක පුළුල් කිරීමේ හැකියාව. උදාහරණ 1. සූත්රය මගින් [-/,/] කොටසේ ලබා දී ඇති 21 කාල පරිච්ඡේදයක් සහිත ආවර්තිතා ශ්රිතයක් ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් තුළ පුළුල් කරන්න (රූපය 9). මෙම ශ්රිතය ඒකාකාර වන බැවින්, එහි ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ පෝරමය ඇති බැවින්, ෆූරියර් සංගුණකවල සොයාගත් අගයන් ෆූරියර් ශ්‍රේණියට ආදේශ කිරීමෙන්, අපි ලබා ගනිමු ආවර්තිතා ශ්‍රිතවල එක් වැදගත් ගුණාංගයක් අපි සටහන් කරමු. ප්රමේයය 5. ශ්‍රිතයකට T කාලපරිච්ඡේදයක් තිබේ නම් සහ අනුකලනය කළ හැකි නම්, ඕනෑම අංකයක් සඳහා m සමානාත්මතාවය හිමි වේ. එනම් T කාලපරිච්ඡේදයට සමාන දිගක් ඇති කොටසක අනුකලනය සැබෑ අක්ෂය මත මෙම කොටසෙහි පිහිටීම නොතකා එකම අගයක් ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි උපකල්පනය කරමින් දෙවන අනුකලනයේ විචල්‍යයේ වෙනසක් කරන්නෙමු මෙය ලබා දෙන අතර එබැවින්, ජ්‍යාමිතික වශයෙන්, මෙම ගුණාංගය යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ රූපයේ සෙවන ලද ප්‍රදේශය සම්බන්ධයෙන් ය. ප්රදේශ 10 ක් එකිනෙකට සමාන වේ. විශේෂයෙන්ම, කාලපරිච්ඡේදයක් සහිත f(x) ශ්රිතයක් සඳහා, අපි ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ දී ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ ශ්‍රිතවල ප්‍රසාරණය ලබා ගන්නේ ඛණ්ඩයක් මත ලබා දී ඇති ශ්රිතයක් ශ්‍රේණියකට සයින හෝ කෝසයින අනුව ශ්රිතයක් සඳහා ෆූරියර් ශ්රේණි ප්‍රසාරණය කිරීමයි. අත්තනෝමතික කාලපරිච්ඡේදයක් සාමාන්ය විකලාංග පද්ධතිවල ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ සංකීර්ණ නිරූපණයක් විකලාංග පද්ධතියක ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ ක්රියා කරයි ෆූරියර් සංගුණකවල අවම ගුණය බෙසල් අසමානතාවය පාර්සෙවල් සමානාත්මතාවය සංවෘත පද්ධති ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක ෆූරියර් සංගුණක වන පද්ධතිවල සම්පූර්ණත්වය සහ සංවෘත බව f(x) 21 කාල සීමාවක් සමඟ a අත්තනෝමතික තාත්වික සංඛ්‍යාවක් වන සූත්ර භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක (එය සලකන්න cos කාර්යයන්- සහ පාපයට කාලපරිච්ඡේදය 2/). උදාහරණ 3. ෆූරියර් ශ්‍රේණියක දී 2x කාල සීමාවක් සහිත විරාමයක දී ඇති ශ්රිතයක් පුළුල් කරන්න (රූපය 11). 4 මෙම ශ්රිතයේ ෆූරියර් සංගුණක සොයන්න. සූත්‍රවල තැබීමෙන් අපට පෙනී යන්නේ ඒ සඳහා ෆූරියර් ශ්‍රේණිය මෙලෙස පෙනෙනු ඇති බවයි: x = jt ලක්ෂ්‍යයේදී (පළමු ආකාරයේ අඛණ්ඩතාවයේ ලක්ෂ්‍යය) අපට §8 ඇත. ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ සංකීර්ණ අංකනය මෙම කොටසේදී, සමහර මූලද්‍රව්‍ය භාවිතා වේ සංකීර්ණ විශ්ලේෂණය(මෙහි සියලුම මෙහෙයුම් සිදු කරන ලද XXX පරිච්ඡේදය බලන්න සංකීර්ණ ප්රකාශනයන්, දැඩි ලෙස යුක්ති සහගත වේ). F(x) ශ්‍රිතයට ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් දක්වා ප්‍රසාරණය වීමට ප්රමාණවත් කොන්දේසි සපුරාලීමට ඉඩ දෙන්න. ඉන්පසුව x හි අන්තරය මත එය පෝරමයේ ශ්‍රේණියක් මඟින් නිරූපණය කළ හැක Euler සූත්ර භාවිතා කරමින් මෙම ප්රකාශන මාලාවට (1) cos nx සහ sin xy වෙනුවට ආදේශ කිරීම අපි පහත සඳහන් අංකනය හඳුන්වා දෙන්නෙමු එවිට මාලාව (2) ස්වරූපය ගනී මේ අනුව, ෆූරියර් මාලාව (1) සංකීර්ණ ආකාරයෙන් (3) ඉදිරිපත් කෙරේ. අපි සංගුණක සඳහා ප්රකාශන අනුකල අනුව සොයා ගනිමු. අපට ඒ හා සමානව, අවසාන වශයෙන්, с„, с_п සහ с සඳහා සූත්ර පහත පරිදි ලිවිය හැකිය: . සංගුණක cn ශ්රිතයේ සංකීර්ණ ෆූරියර් සංගුණක ලෙස හැඳින්වේ කාල පරිච්ඡේදයක් සහිත ආවර්තිතා ශ්රිතයක් සඳහා), ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ සංකීර්ණ ස්වරූපය සීමාවන් තිබේ නම් w ආකෘති අගයන් ගනී උදාහරණය. දක්වා පුළුල් කරන්න සංකීර්ණ මාලාවක්ෆූරියර් කාල ශ්රිතය මෙම ශ්රිතය ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් දක්වා ව්‍යාප්ත කිරීම සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරයි. අපි සොයා බලමු සංකීර්ණ සංගුණක මෙම කාර්යයේ ෆූරියර්. අපට ඇත්තේ ඉරට්ටේ n සඳහා ඔත්තේ හෝ, කෙටියෙන්. අගයන් ආදේශ කිරීම), අපි අවසානයේ ලබා ගනිමු මෙම ශ්‍රේණිය පහත පරිදි ලිවිය හැකි බව සලකන්න: සාමාන්ය විකලාංග ශ්‍රිත පද්ධතිවල ෆූරියර් ශ්රේණි 9.1. ඕතොගෝනල් ශ්‍රිත පද්ධති, [a, 6] අන්තරය මත වර්ග-නිර්වචනය කරන ලද සහ අනුකලනය කළ හැකි සියලුම (සැබෑ) ශ්‍රිත සමූහයෙන් දැක්වේ, එනම් අනුකලයක් පවතින ඒවාය.විශේෂයෙන්, සියලුම ශ්‍රිත f(x) බව පරතරය [a , 6] මත අඛණ්ඩ වේ, 6 ට අයත් වේ, සහ ඒවායේ Lebesgue අනුකලනයන්හි අගයන් Riemann අනුකලනයන්හි අගයන් සමග සමපාත වේ. අර්ථ දැක්වීම. ශ්‍රිත පද්ධතිය, විරාමය මත විකලාංග ලෙස හඳුන්වනු ලැබේ [a, b\, කොන්දේසිය (1) උපකල්පනය කරන්නේ නම්, විශේෂයෙන්, ශ්‍රිත කිසිවක් ශුන්‍යයට සමාන නොවේ. ලෙබෙස්ගු යන අර්ථයෙන් අනුකලනය අවබෝධ වේ. සහ අපි ප්‍රමාණය ශ්‍රිතයක සම්මතය ලෙස හඳුන්වමු.අප සතුව ඇති ඕනෑම n සඳහා විකලාංග පද්ධතියක නම්, එම ශ්‍රිත පද්ධතිය orthonormal ලෙස හැඳින්වේ. පද්ධතිය (y>n(x)) විකලාංග නම්, පද්ධතිය උදාහරණය 1. ත්‍රිකෝණමිතික පද්ධතියක් කොටසක විකලාංග වේ. ශ්‍රිත පද්ධතිය යනු ක්රියා වල විකලාංග පද්ධතියකි, උදාහරණ 2. කොසයින් පද්ධතිය සහ සයින් පද්ධතිය විකලාංග වේ. අපි ඒවා කොටසේ විකලාංග (0, f|, නමුත් orthonormal (I ↦ 2 සඳහා) යන අංකනය හඳුන්වා දෙමු. ඒවායේ සම්මතයන් COS වන බැවින් ශ්රිතයන් කොටසක විකලාංග ශ්‍රිත පද්ධතියක් සාදයි. අපි පෙන්වමු, උදාහරණයක් ලෙස, Legendre බහුපද විකලාංග බව, m > n කරමු.මෙහිදී, n ගුණයන් කොටස් මගින් අනුකලනය කිරීම, අපි සොයා ගන්නේ, t/m = (z2 - I)m ශ්රිතය සඳහා, m - අනුපිළිවෙල දක්වා ඇති සියලුම ව්‍යුත්පන්නයන් - මම ඇතුළුව කොටසේ [-1,1) අවසානයේ අතුරුදහන් වේ. අර්ථ දැක්වීම. ශ්‍රිත පද්ධතිය (pn(x)) ප්‍රාන්තර (a, b) මත orthogonal ලෙස හැඳින්වේ p(x) overhang මගින් නම්: 1) සියලු n = 1,2 සඳහා අනුකලයන් තිබේ නම්,... මෙහිදී එය උපකල්පනය කෙරේ. බර ශ්රිතය p(x) අර්ථ දක්වා ඇති අතර අන්තරයේ (a, b) සෑම තැනකම ධනාත්මක වේ, p(x) අතුරුදහන් විය හැකි සීමිත ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාවක් හැර. සූත්‍රයේ (3) අවකලනය සිදු කිරීමෙන් පසුව, අපි සොයා ගනිමු. Chebyshev-Hermite බහුපද අන්තරාලය මත විකලාංග බව පෙන්විය හැක උදාහරණ 4. Bessel ශ්‍රිත පද්ධතිය (jL(pix)^ යනු Bessel ශ්‍රිත පද්ධතියේ ශුන්‍ය පරතරය මත orthogonal වේ. (a, 6) සහ ශ්‍රේණිය (cj = const) මෙම විරාමය f(x) ශ්‍රිතයට අභිසාරී වීමට ඉඩ හරින්න: පද්ධතියේ විකලාංග භාවය අනුව, මෙම මෙහෙයුම සාමාන්යයෙන් කථා කරන විට, සම්පූර්ණයෙන්ම විධිමත් ස්වභාවයක් ඇති බව අපි ලබා ගනිමු. කෙසේ වෙතත්, සමහර අවස්ථා වලදී, උදාහරණයක් ලෙස, ශ්රේණි (4) ඒකාකාරව අභිසාරී වන විට, සියලුම ශ්රිතයන් අඛණ්ඩ වන අතර අන්තරය (a, 6) සීමිත වේ, මෙම මෙහෙයුම නීත්‍යානුකූල වේ. නමුත් අපට දැන් වැදගත් වන්නේ විධිමත් අර්ථකථනයයි. ඉතින් අපි කියමු function එකක් දුන්නා කියලා. (5) සූත්‍රයට අනුව අපි c * සංඛ්යා සාදා ලියන්නෙමු දකුණු පස ඇති ශ්‍රේණිය පද්ධතියට අදාළව f (x) ශ්රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය ලෙස හැඳින්වේ (^n (n)) - සංඛ්යා Cn වේ මෙම පද්ධතියේ f (x) ශ්රිතයේ ෆූරියර් සංගුණක ලෙස හැඳින්වේ. සූත්රය (6) හි ~ ලකුණෙන් අදහස් වන්නේ (5) සූත්රය මගින් Cn සංඛ්යා f(x) ශ්‍රිතයට සම්බන්ධ වන බවයි (මෙම අවස්ථාවේදී, දකුණු පස ඇති ශ්‍රේණිය කිසිසේත් අභිසාරී වේ යැයි උපකල්පනය නොකෙරේ, බොහෝ අඩුවෙන් අභිසාරී වේ. f(x) ශ්‍රිතයට). එමනිසා, ප්රශ්නය ස්වභාවිකවම පැන නගී: මෙම මාලාවේ ගුණාංග මොනවාද? එය f(x) ශ්රිතය "නියෝජනය" කරන්නේ කුමන අර්ථයෙන්ද? 9.3 සාමාන්ය අභිසාරී අර්ථ දැක්වීම. අනුපිළිවෙලක් මූලද්‍රව්‍යයකට අභිසාරී වේ ] සම්මතය අභ්‍යවකාශයේ නම් සාමාන්යයෙන් න්යාය 6. අනුක්‍රමයක් ) ඒකාකාරව අභිසාරී වේ නම්, එය ද සාමාන්යයෙන් අභිසාරී වේ. M ()) අනුපිළිවෙල [a, b] කොටසේ f(x) ශ්‍රිතයට ඒකාකාරව අභිසාරී වීමට ඉඩ හරින්න. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඕනෑම, ප්රමාණවත් තරම් විශාල n සඳහා, අපට ඇති බැවින්, අපගේ ප්‍රකාශය පහත දැක්වේ. ප්‍රතිවර්තනය සත්‍ය නොවේ: අනුක්‍රමය () සාමාන්යයෙන් /(x) වෙත අභිසාරී විය හැකි නමුත් ඒකාකාරව අභිසාරී නොවිය හැක. උදාහරණයක්. අපි nx අනුපිළිවෙල සලකා බලමු, නමුත් මෙම අභිසාරීතාව ඒකාකාරී නොවන බව දැකීම පහසුය: e පවතී, උදාහරණයක් ලෙස, n කොතරම් විශාල වුවද, ෆෝරියර් ශ්‍රේණියේ අත්තනෝමතික කාල පරිච්ඡේදයක් සහිත ශ්රිතයක් සඳහා ෆෝරියර් ශ්‍රේණියේ සංකීර්ණ නිරූපණයක් පවතී. ෆූරියර් ශ්‍රේණිය සාමාන්ය විකලාංග ශ්‍රිත පද්ධති ෆූරියර් ශ්‍රේණිය විකලාංග පද්ධතියක ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ ෆූරියර් සංගුණකවල අවම ගුණය බෙසල් අසමානතාවය පාර්සෙවල් සමානාත්මතාවය සංවෘත පද්ධති පද්ධතිවල සම්පූර්ණත්වය සහ සංවෘතභාවය සහ ඉඩ ) විකලාංග පද්ධතියේ b රේඛීය සංයෝජනයක් සලකා බලමු b එහිදී n ^ 1 ස්ථාවර නිඛිලයක්, සහ අනුකලය එහි අවම අගය ගන්නා නියතයන්ගේ අගයන් සොයා ගන්න. අපි එය වඩාත් විස්තරාත්මකව ලියන්නෙමු, පදයෙන් පදය අනුකලනය කරමින්, පද්ධතියේ විකලාංග භාවය හේතුවෙන්, අපි සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්තේ පළමු පද දෙක (7) ස්වාධීන වන අතර තෙවන වාරය සෘණාත්මක නොවේ. එබැවින් අනුකලනය (*) ak = sk හිදී අවම අගයක් ගනී, අනුකලය Tn(x) හි රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස f(x) ශ්රිතයේ මූල-මධ්‍යන්-චතුරස්‍ර ආසන්න කිරීම ලෙස හැඳින්වේ. මේ අනුව, /\ ශ්රිතයේ මූල-මධ්‍යන්-චතුරශ්‍රය ආසන්න කිරීම අවම අගයක් ගන්නා විට. Tn(x) යනු පද්ධතියට අදාළව f(x) ශ්රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ 71 වැනි අර්ධ එකතුව වන විට (. ak = sk සැකසීම, (7) සිට අපි ලබා ගනිමු වම් පැත්තඍණාත්මක නොවේ, එවිට Bessel අසමානතාවය එයින් අනුගමනය වේ.මම මෙහි අත්තනෝමතික බැවින්, Bessel අසමානතාවය ශක්තිමත් ස්වරූපයෙන් නිරූපණය කළ හැකිය, එනම්, ඕනෑම ශ්රිතයක් සඳහා /, විකලාංග පද්ධතියක මෙම ශ්රිතයේ වර්ග ෆූරියර් සංගුණක මාලාව ) අභිසාරී වේ. පද්ධතිය [-x, r] කොටසෙහි විකලාංග බැවින්, අසමානතාවය (10) ත්‍රිකෝණමිතික ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ සාමාන්ය අංකනයට පරිවර්තනය කිරීමෙන් අනුකලනය කළ හැකි චතුරස්‍රයක් සහිත ඕනෑම ශ්රිතයක් f(x) සඳහා වලංගු වේ. f2(x) අනුකලනය කළ හැකි නම්, හේතුවෙන් අවශ්ය කොන්දේසිය අසමානතාවයේ වම් පැත්තේ ශ්‍රේණියේ අභිසාරීතාවය (11), අපි එය ලබා ගනිමු. Parseval හි සමානාත්මතාවය සමහර පද්ධති සඳහා (^n(x)) සූත්‍රයේ (10) අසමානතා ලකුණ (සියලු කාර්යයන් සඳහා f(x) 6 x) සමාන ලකුණකින් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැක. ප්රතිඵලයක් වශයෙන් සමානාත්මතාවය Parseval-Steklov සමානාත්මතාවය (සම්පූර්ණ තත්ත්වය) ලෙස හැඳින්වේ. Bessel අනන්‍යතාවය (9) අපට කොන්දේසි (12) සමාන ආකාරයකින් ලිවීමට ඉඩ දෙයි අවකාශ සම්මතය අනුව 6]. අර්ථ දැක්වීම. විකලාංග පද්ධතියක් ( b2[ay b] හි සම්පූර්ණ ලෙස හැඳින්වේ, කිසියම් ශ්රිතයක් ප්රමාණවත් තරම් විශාල පද සංඛ්‍යාවක් සහිත පෝරමයේ රේඛීය සංයෝජනයකින් සාමාන්යයෙන් කිසියම් නිරවද්‍යතාවයකින් ආසන්න කළ හැකි නම්, එනම් කිසියම් ශ්රිතයක් සඳහා f(x) ∈ b2[a, b\ සහ ඕනෑම e > 0 සඳහා ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවක් ඇත nq සහ අංක a\, a2y..., එවැනි අංක ප්රමේයය 7. පද්ධතිය නම් ) විකලාංගකරණය මගින් අභ්‍යවකාශයේදී සම්පූර්ණ වේ, ෆූරියර් ශ්‍රේණිය මෙම පද්ධතියේ ඕනෑම ශ්රිතයක් / සාමාන්යයෙන් f(x) වෙත අභිසාරී වේ, එනම් සම්මතයට අනුව ත්‍රිකෝණමිතික පද්ධතිය අභ්‍යවකාශයේ සම්පූර්ණ බව පෙන්විය හැක.මෙයින් ප්‍රකාශය ගම්‍ය වේ. ප්රමේයය 8. ශ්රිතයක් /0 නම් එහි ත්‍රිකෝණමිතික ෆූරියර් ශ්‍රේණිය සාමාන්යයෙන් එයට අභිසාරී වේ. 9.5 සංවෘත පද්ධති. පද්ධතිවල සම්පූර්ණත්වය සහ සංවෘත බව අර්ථ දැක්වීම. කර්තව්‍යවල විකලාංග පද්ධතියක් \, අවකාශයේ Li\a, b) ශුන්‍ය නොවන ශ්රිතයක් සියලු ශ්‍රිතවලට විකලාංග නොමැති නම් සංවෘත ලෙස හැඳින්වේ. සමපාත වේ. අභ්යාස 1. ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ ශ්රිතය අන්තරාලයේ (-i-, x) 2. ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ ශ්රිතය ප්‍රසාරණය කරන්න (-r, r) 3. ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ ශ්රිතය විරාමයේදී පුළුල් කරන්න. (-r, r) 4. අන්තරාලය (-jt, r) ශ්රිතය තුළ ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් තුළ පුළුල් කරන්න . 6. ෆූරියර් ශ්‍රේණියක අන්තරය (-jt, r) ශ්රිතය n 7. ෆූරියර් ශ්‍රේණියක (-r, x) ශ්රිතය / (x) \u003d sin2 x පරතරය තුළ පුළුල් කරන්න. 8. ෆූරියර් ශ්‍රේණියක විරාමයේ (-m, jt) ශ්රිතය f(x) = y 9. ෆූරියර් ශ්‍රේණියක ප්‍රසාරණය කරන්න (-mm, -k) ශ්රිතය f(x) = | sinx|. 10. f(x) = g ශ්රිතය අන්තරය (-x-, r) තුළ ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් තුළ පුළුල් කරන්න. 11. F (x) \u003d sin § ශ්රිතය (-r, r) පරතරය තුළ ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් තුළ පුළුල් කරන්න. 12. ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් තුළ f (x) = n -2x ශ්රිතය විස්තාරණය කරන්න, අන්තරයේ (0, x) ලබා දී ඇති අතර, එය ඉරට්ටේ (-x, 0): a) ඉරට්ටේ ආකාරයෙන් දිගටම කරගෙන යන්න; ආ) අමුතු ආකාරයකින්. 13. ෆූරියර් ශ්‍රේණියක සයින අනුව ප්‍රසාරණය කරන්න (0, x) ශ්රිතය / (x) \u003d x2. 14. ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් තුළ (-2,2) ලබා දී ඇති ශ්රිතය / (x) \u003d 3-x පුළුල් කරන්න. 15. ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් තුළ (-1,1) ලබා දී ඇති f (x) \u003d |x | ශ්රිතය පුළුල් කරන්න. 16. අන්තරාලය (0,1) හි සඳහන් f (x) \u003d 2x ශ්රිතය සයින් අනුව ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් තුළ පුළුල් කරන්න.
දැනටමත් හොඳටම එපා වෙලා. න්යායේ උපායමාර්ගික සංචිතවලින් නව ටින් කළ ආහාර ලබා ගැනීමට කාලය පැමිණ ඇති බව මට හැඟේ. වෙනත් ආකාරයකින් ශ්‍රේණියක් දක්වා ශ්රිතය පුළුල් කළ හැකිද? උදාහරණයක් ලෙස, සයින් සහ කෝසයින් අනුව සරල රේඛා ඛණ්ඩයක් ප්‍රකාශ කිරීමට? එය ඇදහිය නොහැකි බව පෙනේ, නමුත් එවැනි පෙනෙන දුරස්ථ කාර්යයන් ණයට දෙයි
"නැවත එක්වීම". න්යාය සහ ප්රායෝගිකව හුරුපුරුදු උපාධි වලට අමතරව ශ්රිතයක් ශ්‍රේණියක් දක්වා පුළුල් කිරීමට වෙනත් ප්‍රවේශයන් ඇත.
මෙම පාඩමේදී අපි දැන ගනිමු ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රේණියෆූරියර්, අපි එහි අභිසාරීතාවය සහ එකතුව පිළිබඳ ගැටළුව ස්පර්ශ කරන්නෙමු, ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි ෆූරියර් මාලාවක ශ්‍රිත පුළුල් කිරීම පිළිබඳ බොහෝ උදාහරණ විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු. "Fourier Series for Dummies" යන ලිපිය හැඳින්වීමට මට අවංකවම අවශ්ය විය, නමුත් මෙය කපටි වනු ඇත, මන්ද ගැටළු විසඳීම සඳහා ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ අනෙකුත් අංශ පිළිබඳ දැනුම සහ ප්රායෝගික අත්දැකීම් අවශ්ය වේ. එබැවින්, පූර්විකාව ගගනගාමීන්ගේ පුහුණුවට සමාන වනු ඇත =)
පළමුව, පිටු ද්රව්ය පිළිබඳ අධ්යයනය විශිෂ්ට හැඩයෙන් ප්රවේශ විය යුතුය. නිදිමත, විවේකය සහ සන්සුන්. හැම්ස්ටර්ගේ කැඩුණු පාදය ගැන දැඩි හැඟීම් නොමැතිව සහ ආක්‍රමණශීලී සිතුවිලිජීවිතයේ දුෂ්කරතා ගැන මින්මැදුරේ මාළු. අවබෝධයේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන් ෆූරියර් මාලාව අපහසු නැත, කෙසේ වෙතත්, ප්රායෝගික කාර්යයන් සඳහා වැඩි අවධානයක් යොමු කිරීම අවශ්ය වේ - ඉතා මැනවින්, යමෙකු බාහිර උත්තේජක සම්පූර්ණයෙන්ම අත්හැරිය යුතුය. විසඳුම සහ පිළිතුර පරීක්ෂා කිරීමට පහසු ක්රමයක් නොමැති බව තත්ත්වය වඩාත් උග්ර කරයි. මේ අනුව, ඔබේ සෞඛ්‍යය සාමාන්‍යයට වඩා අඩු නම්, සරල දෙයක් කිරීම වඩා හොඳය. සත්යය.
දෙවනුව, අභ්යවකාශයට පියාසර කිරීමට පෙර, ඔබ උපකරණ පුවරුව අධ්යයනය කළ යුතුය අභ්යවකාශ යානය. යන්ත්රය මත ක්ලික් කළ යුතු කාර්යයන් වල අගයන් සමඟ ආරම්භ කරමු:
ඕනෑම ස්වභාවික වටිනාකමක් සඳහා:
එක) . ඇත්ත වශයෙන්ම, sinusoid එක් එක් "pi" හරහා x අක්ෂය "දිලිසෙනවා":
. තර්කයේ ඍණ අගයන් සම්බන්ධයෙන්, ප්රතිඵලය, ඇත්ත වශයෙන්ම, සමාන වනු ඇත: .
2) නමුත් හැමෝම මෙය දැන සිටියේ නැත. කොසයින් "පයි එන්" යනු "දැල්වෙන ආලෝකය" ට සමාන වේ:
සෘණ තර්කයක් නඩුව වෙනස් නොකරයි: 
.
සමහර විට ප්රමාණවත්.
තෙවනුව, ආදරණීය ගගනගාමී බලකාය, ඔබට හැකි විය යුතුය ... ඒකාබද්ධ කරන්න.
විශේෂයෙන්, නිසැකවම අවකල ලකුණක් යටතේ ශ්රිතයක් ගෙන එන්න, කොටස් මගින් ඒකාබද්ධ කරන්නහා සමග හොඳ සබඳතාවක් ඇත නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්රය. අපි වැදගත් පෙර පියාසර අභ්යාස ආරම්භ කරමු. පසුව ඔබ ශුන්‍ය ගුරුත්වාකර්ෂණයෙන් සමතලා නොවන පරිදි එය මඟ හැරීමට මම තරයේ නිර්දේශ නොකරමි:
උදාහරණ 1
නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කරන්න
එහිදී ස්වභාවික අගයන් ගනී.
විසඳුමක්: අනුකලනය "x" විචල්‍යය හරහා සිදු කෙරෙන අතර මෙම අවස්ථාවෙහිදී විවික්ත විචල්‍ය "en" නියතයක් ලෙස සැලකේ. සියලුම අනුකලනයන්හි ශ්රිතය අවකලනයේ සලකුණ යටට ගෙන එන්න:
විසඳුමේ කෙටි අනුවාදයක්, වෙඩි තැබීමට හොඳ වනු ඇත, මේ වගේ ය:
පුරුදු වීම:
ඉතිරි ලකුණු හතර ඔවුන්ගේම වේ. කාර්යය හෘද සාක්ෂියට එකඟව සැලකීමට සහ කෙටි ආකාරයකින් අනුකලනය කිරීමට උත්සාහ කරන්න. පාඩම අවසානයේ නියැදි විසඳුම්.
පසු ගුණාත්මක කාර්ය සාධනයඅභ්‍යවකාශ ඇඳුම් මත තබා අභ්යාස
සහ ආරම්භ කිරීමට සූදානම් වෙමින්!
ෆූරියර් ශ්‍රේණියක ශ්රිතයක් විරාමයේදී ප්‍රසාරණය කිරීම
එය කාර්යයක් සලකා බලමු අර්ථ දක්වා ඇතඅවම වශයෙන් පරතරය මත (සහ, සමහරවිට, විශාල පරතරයක් මත). මෙම ශ්රිතය කොටසට අනුකලනය කළ හැකි නම්, එය ත්‍රිකෝණමිතිකයක් දක්වා ව්‍යාප්ත කළ හැක. ෆූරියර් මාලාව:
, කෝ ඊනියා ෆූරියර් සංගුණක.
මෙම අවස්ථාවේදී, අංකය කැඳවනු ලැබේ වියෝජන කාලය, සහ අංකය වේ අර්ධ ආයු වියෝජනය.
පැහැදිලිවම, සාමාන්ය නඩුවේදී, ෆූරියර් මාලාව සයින් සහ කෝසයින වලින් සමන්විත වේ: 
ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි එය විස්තරාත්මකව ලියන්නෙමු:
ශ්‍රේණියේ ශුන්‍ය පදය සාමාන්යයෙන් ලියා ඇත්තේ .
ෆූරියර් සංගුණකය පහත සූත්ර භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ: 
මාතෘකාව හැදෑරීමට ආරම්භකයින් සඳහා නව නියමයන් තවමත් අපැහැදිලි බව මට හොඳින් වැටහෙනවා: වියෝජන කාලය, අර්ධ චක්රය, ෆූරියර් සංගුණකසහ වෙනත් අය කලබල නොවන්න, එය අභ්යවකාශ ගමනකට පෙර ඇති උද්දීපනය හා සැසඳිය නොහැක. ක්රියාත්මක කිරීමට පෙර ආසන්නතම උදාහරණයෙන් සියල්ල හඳුනා ගනිමු, එය අපගෙන්ම හදිසි බව විමසීම තාර්කික ය. ප්රායෝගික කරුණු:
පහත සඳහන් කාර්යයන් වලදී ඔබ කළ යුත්තේ කුමක්ද?
ෆූරියර් මාලාවක් දක්වා ශ්රිතය පුළුල් කරන්න. මීට අමතරව, බොහෝ විට ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයක්, ශ්‍රේණියක එකතුවේ ප්‍රස්ථාරයක්, අර්ධ එකතුවක් ඇඳීමට අවශ්ය වේ, සහ සංකීර්ණ මහාචාර්ය මනඃකල්පිත වලදී, වෙනත් දෙයක් කරන්න.
කාර්යයක් ෆූරියර් මාලාවක් දක්වා පුළුල් කරන්නේ කෙසේද?
මූලික වශයෙන්, ඔබ සොයා ගත යුතුය ෆූරියර් සංගුණක, එනම් තුනක් රචනා කිරීම සහ ගණනය කිරීම නිශ්චිත අනුකලනය.
කරුණාකර ෆූරියර් මාලාවේ සාමාන්ය ස්වරූපය සහ ඔබේ සටහන් පොතේ ක්රියාකාරී සූත්ර තුන පිටපත් කරන්න. වෙබ් අඩවිය නරඹන්නන්ගෙන් සමහරෙකුට ගගනගාමියෙකු වීමේ ළමා සිහිනය මගේ ඇස් ඉදිරිපිටම සැබෑ වීම ගැන මම ඉතා සතුටු වෙමි =)
උදාහරණ 2
ශ්රිතය විරාමයේදී ෆූරියර් ශ්‍රේණියකට පුළුල් කරන්න. ප්‍රස්තාරයක්, ශ්‍රේණියක එකතුවේ ප්‍රස්ථාරයක් සහ අර්ධ එකතුවක් සාදන්න.
විසඳුමක්: කාර්යයේ පළමු කොටස වන්නේ කාර්යය ෆූරියර් මාලාවක් දක්වා පුළුල් කිරීමයි.
ආරම්භය සම්මතය, එය ලිවීමට වග බලා ගන්න:
මෙම ගැටලුව තුළ, විස්තාරණ කාලය , අර්ධ-කාලසීමාව .
අපි ෆූරියර් ශ්‍රේණියක ශ්රිතය විරාමයේදී පුළුල් කරමු: 
සුදුසු සූත්ර භාවිතා කරමින්, අපි සොයා ගනිමු ෆූරියර් සංගුණක. දැන් අපි තුනක් රචනා කර ගණනය කළ යුතුය නිශ්චිත අනුකලනය. පහසුව සඳහා, මම කරුණු අංකනය කරමි:
1) පළමු අනුකලනය සරලම වේ, කෙසේ වෙතත්, එයට දැනටමත් ඇසක් සහ ඇසක් අවශ්ය වේ: 
2) අපි දෙවන සූත්රය භාවිතා කරමු:
මෙම අනුකලනය හොඳින් දන්නා සහ ඔහු එය කොටස් වශයෙන් ගනී: 
භාවිතා කළ බව සොයාගත් විට අවකල ලකුණක් යටතේ ශ්රිතයක් ගෙන ඒමේ ක්රමය.
සලකා බලනු ලබන කාර්යයේදී, එය වහාම භාවිතා කිරීම වඩාත් පහසු වේ නිශ්චිත අනුකලනයක කොටස් මගින් ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා සූත්රය 
:
තාක්ෂණික සටහන් කිහිපයක්. පළමුව, සූත්රය යෙදීමෙන් පසු සම්පූර්ණ ප්රකාශනය විශාල වරහන් තුළ කොටා තිබිය යුතුය, මුල් අනුකලය ඉදිරිපිට නියතයක් ඇති බැවින්. ඒක නැති නොකර ඉමු! තවත් ඕනෑම පියවරකදී වරහන් විවෘත කළ හැකිය, මම එය අවසන් වාරයේ දී කළෙමි. පළමු "කෑල්ලේ" 
අපි ආදේශකයේ අතිශය නිරවද්‍යතාවයක් පෙන්වමු, ඔබට පෙනෙන පරිදි, නියතය ව්‍යාපාරයෙන් බැහැර වන අතර, ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් නිෂ්පාදනයට ආදේශ කර ඇත. මෙම ක්‍රියාව හතරැස් වරහන් වලින් සලකුණු කර ඇත. හොඳයි, සූත්‍රයේ දෙවන "කෑල්ලේ" අනුකලනය පුහුණු කාර්යයෙන් ඔබ හොඳින් දනී ;-)
සහ වඩාත්ම වැදගත් - අවධානයේ අවසාන සාන්ද්රණය!
3) අපි තුන්වන ෆූරියර් සංගුණකය සොයන්නෙමු:
පෙර අනුකලයේ ඥාතියෙකු ලබා ගනී, එය ද වේ කොටස් මගින් ඒකාබද්ධ කර ඇත:
මෙම අවස්ථාව ටිකක් සංකීර්ණයි, මම ඉදිරි පියවර පියවරෙන් පියවර අදහස් දක්වන්නම්: 
(1) සම්පූර්ණ ප්රකාශනය විශාල වරහන් තුළ කොටා ඇත.. මට කම්මැලි බවක් පෙනෙන්නට අවශ්ය නොවීය, ඔවුන්ට නියතය බොහෝ විට අහිමි වේ.
(2) බී මෙම නඩුවමම වහාම එම විශාල වරහන් විවෘත කළෙමි. විශේෂ අවධානය
අපි පළමු "කෑල්ලට" කැප කරමු: නිරන්තරයෙන් දුම් පානය කරන අතර, නිෂ්පාදනයට ඒකාබද්ධ කිරීමේ (සහ) සීමාවන් ආදේශ කිරීමට සහභාගී නොවේ. වාර්තාවේ අවුල් සහගත බව සැලකිල්ලට ගනිමින්, මෙම ක්‍රියාව හතරැස් වරහන් තුළ උද්දීපනය කිරීම නැවතත් සුදුසුය. දෙවන "කෑල්ල" සමඟ 
සෑම දෙයක්ම සරලයි: මෙහි කොටස විශාල වරහන් විවෘත කිරීමෙන් පසු දර්ශනය වූ අතර නියතය - හුරුපුරුදු අනුකලනය ඒකාබද්ධ කිරීමේ ප්‍රති result ලයක් ලෙස ;-)
(3) හතරැස් වරහන් තුළ, අපි පරිවර්තනයන් සිදු කරන අතර, නිවැරදි අනුකලනය තුළ, අපි ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් ආදේශ කරමු.
(4) අපි හතරැස් වරහන් වලින් “ෆ්ලෑෂර්” ඉවත් කරමු: , ඉන්පසු අපි අභ්‍යන්තර වරහන් විවෘත කරමු: .
(5) අපි වරහන් තුළ 1 සහ -1 අවලංගු කරමු, අපි අවසන් සරල කිරීම් සිදු කරමු.
අවසානයේ ෆූරියර් සංගුණක තුනම සොයා ගන්නා ලදී: 
ඒවා සූත්‍රයට ආදේශ කරන්න 
:
අඩකින් බෙදීමට අමතක නොකරන්න. අවසාන පියවරේදී, "en" මත රඳා නොපවතින නියතය ("අඩු දෙක") එකතුවෙන් ඉවත් කරනු ලැබේ.
මේ අනුව, අපි ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ ශ්රිතයේ ප්‍රසාරණය ලබාගෙන ඇත: 
ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ අභිසාරීතාවය පිළිබඳ ප්රශ්නය අපි අධ්යයනය කරමු. මම විශේෂයෙන්ම සිද්ධාන්තය පැහැදිලි කරන්නම් ඩිරිච්ලට් ප්රමේයය, වචනාර්ථයෙන් "ඇඟිලි මත", එබැවින් ඔබට දැඩි වචන අවශ්ය නම්, කරුණාකර පෙළපොත වෙත යොමු වන්න ගණිතමය විශ්ලේෂණය (උදාහරණයක් ලෙස, Bohan හි 2 වන වෙළුම; හෝ Fichtenholtz හි 3 වන වෙළුම, නමුත් එය එහි වඩා දුෂ්කර ය).
කාර්යයේ දෙවන කොටසේදී, ප්‍රස්ථාරයක්, ශ්රේණි එකතු ප්‍රස්ථාරයක් සහ අර්ධ එකතු ප්‍රස්ථාරයක් ඇඳීම අවශ්ය වේ.
ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය සාමාන්ය වේ ගුවන් යානයේ සරල රේඛාව, කළු තිත් රේඛාවකින් ඇඳ ඇත: 
අපි මාලාවේ එකතුව සමඟ කටයුතු කරමු. ඔබ දන්නා පරිදි, ක්රියාකාරී ශ්රේණි ශ්රිතයන් වෙත අභිසාරී වේ. අපගේ නඩුවේදී, ඉදිකරන ලද ෆූරියර් මාලාව 
"x" හි ඕනෑම අගයක් සඳහාරතු පැහැයෙන් පෙන්වා ඇති ශ්‍රිතයට අභිසාරී වේ. මෙම කාර්යයට යටත් වේ 1 වන ආකාරයේ බිඳීම්ලකුණු වලින් , නමුත් ඒවා තුළ අර්ථ දක්වා ඇත (ඇඳීමෙහි රතු තිත්)
මේ ක්රමයෙන්: 
. එය මුල් ශ්‍රිතයට වඩා කැපී පෙනෙන ලෙස වෙනස් වන බව දැකීම පහසුය, එම නිසා අංකනයෙහි ඇත 
සමාන ලකුණක් වෙනුවට tilde භාවිතා වේ.
ශ්‍රේණියක එකතුව සෑදීමට පහසු ඇල්ගොරිතමයක් අපි අධ්යයනය කරමු.
මධ්යම අන්තරයේදී, ෆූරියර් ශ්‍රේණිය ශ්‍රිතයටම අභිසාරී වේ (මධ්යම රතු කොටස රේඛීය ශ්රිතයේ කළු තිත් රේඛාව සමඟ සමපාත වේ).
දැන් අපි සලකා බලන ත්‍රිකෝණමිතික ප්‍රසාරණයේ ස්වභාවය ගැන ටිකක් කතා කරමු. ෆූරියර් මාලාව 
ආවර්තිතා ශ්‍රිත (නිත්‍ය, සයින සහ කෝසයින) පමණක් ඇතුළත් වේ, එබැවින් ශ්‍රේණියේ එකතුව 
ආවර්තිතා ශ්රිතයක් ද වේ.
මෙයින් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද? නිශ්චිත උදාහරණයක්? තවද මෙයින් අදහස් වන්නේ මාලාවේ එකතුව බවයි 
–අවශ්යයෙන්ම ආවර්තිතාසහ අන්තරයේ රතු කොටස වම් සහ දකුණෙහි අසීමිත ලෙස නැවත නැවතත් කළ යුතුය.
මම හිතන්නේ දැන් "වියෝජන කාලය" යන වාක්‍ය ඛණ්ඩයේ තේරුම අවසානයේ පැහැදිලි වී ඇති බවයි. සරලව කිවහොත්, සෑම අවස්ථාවකදීම තත්වය නැවත නැවතත් පුනරාවර්තනය වේ.
ප්රායෝගිකව, චිත්රයේ සිදු කර ඇති පරිදි, වියෝජන කාල තුනක් නිරූපණය කිරීම සාමාන්යයෙන් ප්රමාණවත් වේ. හොඳයි, සහ අසල්වැසි කාලපරිච්ඡේදවල තවත් "ස්ටම්ප්" - ප්රස්ථාරය දිගටම පවතින බව පැහැදිලි කිරීමට.
විශේෂ උනන්දුවක් දක්වයි 1 වන ආකාරයේ අඛණ්ඩතා ලකුණු. එවැනි ස්ථානවලදී, ෆූරියර් ශ්‍රේණිය හුදකලා අගයන් වෙත අභිසාරී වන අතර, ඒවා හරියටම අත්හිටුවීමේ "ජම්ප්" (චිත්රයේ රතු තිත්) මැද පිහිටා ඇත. මෙම ලක්ෂ්යවල අනුපිළිවෙල සොයා ගන්නේ කෙසේද? පළමුව, අපි "ඉහළ මහලේ" නියමය සොයා ගනිමු: මේ සඳහා, අපි මධ්යම ප්‍රසාරණ කාල සීමාවේ දකුණු කෙළවරේ ශ්රිතයේ අගය ගණනය කරමු: . "පහළ මහලේ" නියමය ගණනය කිරීම සඳහා, පහසුම ක්රමය වන්නේ එම කාල පරිච්ඡේදයේ වම්පස අගය ගැනීමයි: 
. මධ්‍යන්‍ය අගයේ ඕඩිනේට් යනු "ඉහළ සහ පහළ" එකතුවේ අංක ගණිත මධ්‍යන්‍යය වේ: . චිත්රයක් ගොඩනඟන විට, මැද නිවැරදිව හෝ වැරදි ලෙස ගණනය කර ඇත්දැයි ඔබ වහාම දකිනු ඇත.
අපි ශ්‍රේණියේ අර්ධ එකතුවක් ගොඩනඟමු සහ ඒ සමඟම "අභිසාරී" යන යෙදුමේ තේරුම නැවත කියමු. යන පාඩමෙන් චේතනාව දනී සංඛ්යා ශ්‍රේණියේ එකතුව. අපගේ ධනය විස්තරාත්මකව විස්තර කරමු:
අර්ධ එකතුවක් කිරීමට, ඔබ ශ්‍රේණියේ ශුන්‍යය + තවත් පද දෙකක් ලිවිය යුතුය. එනම්,
චිත්රයේ, ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය පෙන්වා ඇත කොළ පාටින්, සහ, ඔබට පෙනෙන පරිදි, එය සම්පූර්ණ එකතුව තරමක් තදින් "වටේ". අපි ශ්‍රේණියේ පද පහක අර්ධ එකතුවක් සලකා බැලුවහොත්, මෙම ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරය රතු රේඛා වඩාත් නිවැරදිව දළ වශයෙන් දක්වයි, පද සියයක් තිබේ නම්, “හරිත සර්පයා” ඇත්ත වශයෙන්ම රතු කොටස් සමඟ සම්පූර්ණයෙන්ම ඒකාබද්ධ වේ, ආදිය මේ අනුව, ෆූරියර් මාලාව එහි එකතුවට අභිසාරී වේ.
ඕනෑම අර්ධ මුදලක් බව සටහන් කිරීම සිත්ගන්නා කරුණකි අඛණ්ඩ ක්රියාකාරිත්වය, නමුත් මාලාවේ මුළු එකතුව තවමත් අඛණ්ඩව පවතී.
ප්රායෝගිකව, අර්ධ එකතුව ප්‍රස්ථාරයක් තැනීම සාමාන්ය දෙයක් නොවේ. එය කරන්නේ කෙසේද? අපගේ නඩුවේදී, කොටසෙහි කාර්යය සලකා බැලීම අවශ්ය වේ, කොටසේ කෙළවරේ සහ අතරමැදි ලක්ෂ්යවල එහි අගයන් ගණනය කිරීම (ඔබ සලකා බලන වැඩි ලකුණු, ප්රස්ථාරය වඩාත් නිවැරදි වනු ඇත). එවිට ඔබ මෙම ලකුණු චිත්රයේ සලකුණු කර කාල සීමාව පිළිබඳ ප්‍රස්ථාරයක් ප්‍රවේශමෙන් අඳින්න , ඉන්පසු එය යාබද කාල පරතරයන්ට “ප්‍රතිවර්තනය” කරන්න. වෙන කොහොමද? සියල්ලට පසු, ආසන්න කිරීම ද ආවර්තිතා ශ්‍රිතයකි ... ... එහි ප්රස්ථාරය කෙසේ හෝ වෛද්‍ය උපකරණයක සංදර්ශකයේ ඒකාකාර හෘද රිද්මයක් මට මතක් කර දෙයි.
ඇත්ත වශයෙන්ම, ඉදිකිරීම් සිදු කිරීම එතරම් පහසු නොවේ, මන්ද ඔබ අතිශයින්ම පරෙස්සම් විය යුතු අතර, මිලිමීටර භාගයකට නොඅඩු නිරවද්යතාවක් පවත්වා ගත යුතුය. කෙසේ වෙතත්, චිත්‍ර ඇඳීමට පටහැනි පාඨකයින් මම සතුටු කරමි - "සැබෑ" කාර්යයකදී, චිත්රයක් සිදු කිරීම සැමවිටම අවශ්ය නොවේ, 50% කින් කොතැනක හෝ කාර්යය ෆූරියර් මාලාවක් දක්වා පුළුල් කිරීමට අවශ්ය වන අතර එය එය.
ඇඳීම සම්පූර්ණ කිරීමෙන් පසු, අපි කාර්යය සම්පූර්ණ කරමු:
පිළිතුර: 
බොහෝ කාර්යයන් වලදී, කාර්යය දුක් විඳිනවා 1 වන ආකාරයේ කැඩීමදිරාපත්වීමේ කාල සීමාව මත හරි:
උදාහරණය 3
ෆූරියර් ශ්‍රේණියක විරාමයේ දී ඇති ශ්රිතය පුළුල් කරන්න. ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයක් සහ ශ්‍රේණියේ මුළු එකතුව අඳින්න.
යෝජිත කාර්යය කොටස් වශයෙන් ලබා දී ඇත (සහ, මතක තබා ගන්න, කොටසේ පමණි)සහ විඳදරාගන්න 1 වන ආකාරයේ කැඩීමලක්ෂ්යයේ දී . ෆූරියර් සංගුණක ගණනය කළ හැකිද? කිසිම ප්රශ්නයක් නැ. ශ්රිතයේ වම් සහ දකුණු කොටස් දෙකම ඒවායේ අන්තරයන් මත අනුකලනය කළ හැකි බැවින් එක් එක් සූත්ර තුනෙහි අනුකලයන් අනුකලන දෙකක එකතුවක් ලෙස දැක්විය යුතුය. උදාහරණයක් ලෙස, ශුන්‍ය සංගුණකය සඳහා මෙය සිදු කරන්නේ කෙසේදැයි බලමු:
දෙවන අනුකලනය ශුන්‍යයට සමාන වන අතර එමඟින් කාර්යය අඩු විය, නමුත් මෙය සැමවිටම එසේ නොවේ.
තවත් ෆූරියර් සංගුණක දෙකක් එලෙසම ලියා ඇත.
මාලාවක එකතුව පෙන්වන්නේ කෙසේද? වම් අන්තරයේ අපි සරල රේඛා ඛණ්ඩයක් අඳින්නෙමු , සහ පරතරය මත - සරල රේඛා ඛණ්ඩයක් (අක්ෂ කොටස තද තද අකුරින් ඉස්මතු කරන්න). එනම්, ප්‍රසාරණ අන්තරය මත, ශ්‍රේණියේ එකතුව "නරක" ලකුණු තුනක් හැර සෑම තැනකම ශ්රිතය සමග සමපාත වේ. ශ්රිතයේ අක්‍රමිකතා ලක්ෂ්‍යයේදී, ෆූරියර් ශ්‍රේණිය හුදකලා අගයකට අභිසාරී වන අතර, එය හරියටම විසන්ධි කිරීමේ “ජම්ප්” මධ්‍යයේ පිහිටා ඇත. එය වාචිකව බැලීම අපහසු නැත: වම් අත සීමාව:, දකුණු අත සීමාව: 
සහ, පැහැදිලිවම, මධ්‍ය ලක්ෂ්‍යයේ විධානය 0.5 වේ.
එකතුවේ ආවර්තිතා නිසා, පින්තූරය අසල්වැසි කාල පරිච්ඡේදවලට “ගුණ කළ යුතුය”, විශේෂයෙන්, අන්තරයන් මත එකම දේ නිරූපණය කරන්න සහ . මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ලක්ෂ්‍යවලදී, ෆූරියර් ශ්‍රේණිය මධ්‍ය අගයන් වෙත අභිසාරී වේ.
ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙහි අලුත් දෙයක් නැත.
මෙම ගැටළුව ඔබම විසඳා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න. සාම්පල නියැදිය අවසන් කිරීමසහ පාඩම අවසානයේ ඇඳීම.
අත්තනෝමතික කාලපරිච්ඡේදයක් මත ෆූරියර් මාලාවක ශ්රිතයක් පුළුල් කිරීම
අත්තනෝමතික ප්‍රසාරණ කාල පරිච්ඡේදයක් සඳහා, "el" යනු කිසියම් ධන සංඛ්‍යාවක් වන විට, ෆූරියර් ශ්රේණි සහ ෆූරියර් සංගුණක සඳහා සූත්ර තරමක් සංකීර්ණ සයින් සහ කෝසයින් තර්කයකින් වෙනස් වේ:
නම්, අපි ආරම්භ කළ විරාමය සඳහා සූත්ර අපට ලැබේ.
ගැටළුව විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම සහ මූලධර්ම සම්පූර්ණයෙන්ම සංරක්ෂණය කර ඇත, නමුත් ගණනය කිරීම්වල තාක්ෂණික සංකීර්ණතාව වැඩිවේ:
උදාහරණය 4
කාර්යය ෆූරියර් මාලාවක් දක්වා පුළුල් කර එකතුව සැලසුම් කරන්න. 
විසඳුමක්: ඇත්ත වශයෙන්ම, උදාහරණ අංක 3 හි ප්‍රතිසමයක් සමඟ 1 වන ආකාරයේ කැඩීමලක්ෂ්යයේ දී . මෙම ගැටලුව තුළ, විස්තාරණ කාලය , අර්ධ-කාලසීමාව . ශ්රිතය අර්ථ දක්වා ඇත්තේ අර්ධ අන්තරය මත පමණි , නමුත් මෙය දේවල් වෙනස් නොකරයි - ශ්රිතයේ කොටස් දෙකම අනුකලනය වීම වැදගත් වේ.
අපි කාර්යය ෆූරියර් මාලාවක් දක්වා පුළුල් කරමු:
මූලාරම්භයේදී ශ්රිතය අඛණ්ඩව පවතින බැවින්, එක් එක් ෆූරියර් සංගුණකය පැහැදිලිවම අනුකලන දෙකක එකතුවක් ලෙස ලිවිය යුතුය:
1) මම පළමු අනුකලනය හැකිතාක් විස්තරාත්මකව ලියන්නෙමි:
2) සඳ මතුපිට හොඳින් බලන්න:
දෙවන අනුකලනය කොටස් වශයෙන් ගන්න:
අපි විසඳුමේ අඛණ්ඩතාව තරු ලකුණකින් විවෘත කළ පසු ඔබ අවධානය යොමු කළ යුත්තේ කුමක් ද?
පළමුව, අපට පළමු අනුකලනය අහිමි නොවේ 
, අපි වහාම ක්රියාත්මක කරන තැන අවකලනයේ ලකුණ යටතේ ගෙන ඒම. දෙවනුව, විශාල වරහන් වලට පෙර අවාසනාවන්ත නියතය අමතක නොකරන්න සංඥා වලින් ව්යාකූල නොවන්නසූත්රය භාවිතා කරන විට 
. විශාල වරහන්, සියල්ලට පසු, ඊළඟ පියවරේදී වහාම විවෘත කිරීම වඩාත් පහසු වේ.
ඉතිරිය තාක්ෂණය පිළිබඳ කාරණයකි, අනුකලනය විසඳීමේ ප්රමාණවත් අත්දැකීමක් නොමැතිකම පමණක් දුෂ්කරතා ඇති කළ හැකිය.
ඔව්, ප්රංශ ගණිතඥ ෆූරියර්ගේ කීර්තිමත් සගයන් කෝපයට පත් වීම නිෂ්ඵල නොවීය - ශ්‍රිත ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රේණිවලට දිරාපත් කිරීමට ඔහු නිර්භීත වූයේ කෙසේද?! =) මාර්ගය වන විට, ප්රශ්නයට අදාළ කාර්යයේ ප්රායෝගික අර්ථය ගැන සෑම දෙනාම උනන්දු වෙති. ෆූරියර් තමා වැඩ කළේ ගණිතමය ආකෘතියතාප සන්නායකතාවය, සහ පසුව ඔහු නමින් නම් කරන ලද මාලාව අවට ලෝකයේ පෙනෙන පරිදි නොපෙනෙන බොහෝ ආවර්තිතා ක්රියාවලීන් අධ්යයනය කිරීමට භාවිතා කිරීමට පටන් ගත්තේය. දැන්, මාර්ගය වන විට, මම දෙවන උදාහරණයේ ප්රස්ථාරය ආවර්තිතා හෘද රිද්මයක් සමඟ සංසන්දනය කිරීම අහම්බයක් නොවන බව සිතුවෙමි. කැමති අයට තමන්ව හුරු කර ගත හැක ප්රායෝගික යෙදුම ෆූරියර් පරිවර්තනයතෙවන පාර්ශවීය මූලාශ්ර වලින්. ... එය නොකිරීමට වඩා හොඳ වුවද - එය පළමු ආදරය ලෙස මතක තබා ගනු ඇත =)
3) නැවත නැවතත් සඳහන් කිරීම සලකා බැලීම දුර්වල සබැඳි, අපි තුන්වන සංගුණකය සමඟ කටයුතු කරමු:
කොටස් අනුව ඒකාබද්ධ කිරීම: 
අපි සොයාගත් ෆූරියර් සංගුණක සූත්‍රයට ආදේශ කරමු 
, ශුන්‍ය සංගුණකය අඩකින් බෙදීමට අමතක නොකර:
අපි මාලාවේ එකතුව සැලසුම් කරමු. අපි ක්රියා පටිපාටිය කෙටියෙන් පුනරුච්චාරණය කරමු: පරතරය මත අපි රේඛාවක් ගොඩනඟමු, සහ පරතරය මත - රේඛාවක්. "x" හි ශුන්‍ය අගයක් සමඟ, අපි පරතරයේ "පැනීම" මැද ලක්ෂ්‍යයක් තබා අසල්වැසි කාල පරිච්ඡේද සඳහා ප්රස්ථාරය "ප්‍රතිනිර්මාණය" කරමු: 
කාල පරිච්ඡේදවල "හන්දි" වලදී, එකතුව පරතරයේ "පිම්ම" මැද ලක්ෂ්‍යවලට සමාන වේ.
සූදානම්. ශ්‍රිතයම කොන්දේසි සහිතව අර්ථ දක්වා ඇත්තේ අර්ධ අන්තරය මත පමණක් වන අතර, පැහැදිලිවම, විරාමවල ශ්‍රේණියේ එකතුව සමඟ සමපාත වන බව මම ඔබට මතක් කරමි.
පිළිතුර:
සමහර විට කොටස් වශයෙන් ලබා දී ඇති ශ්රිතයක් ද ප්‍රසාරණ කාල සීමාව මත අඛණ්ඩ වේ. සරලම උදාහරණය: 
. විසඳුමක් (බොහාන් වෙළුම 2 බලන්න)පෙර උදාහරණ දෙකෙහිම සමාන වේ: තිබියදීත් කාර්යය අඛණ්ඩතාවලක්ෂ්‍යයේ දී, සෑම ෆූරියර් සංගුණකයක්ම අනුකලන දෙකක එකතුවක් ලෙස ප්‍රකාශ වේ.
බිඳී යාමේ පරතරය තුළ 1 වන ආකාරයේ අඛණ්ඩතා ලකුණුසහ / හෝ ප්‍රස්ථාරයේ "හන්දි" ලක්ෂ්‍ය වැඩි විය හැක (දෙක, තුන, සහ පොදුවේ ඕනෑම අවසානප්රමාණය). ශ්රිතයක් සෑම කොටසකටම අනුකලනය කළ හැකි නම්, එය ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් තුළද පුළුල් කළ හැකිය. නමුත් සිට ප්රායෝගික අත්දැකීමමට එහෙම ඉරියව්වක් මතක නෑ. එසේ වුවද, දැන් සලකා බැලූවාට වඩා දුෂ්කර කාර්යයන් ඇති අතර, සෑම කෙනෙකුටම ලිපියේ අවසානයේ ෆූරියර් මාලාවේ වැඩි සංකීර්ණත්වයේ සබැඳි ඇත.
මේ අතර, අපි විවේක ගනිමු, අපගේ පුටුවේ පිටුපසට හේත්තු වී, නිමක් නැති තාරකාවන් ගැන මෙනෙහි කරමු:
උදාහරණ 5
ශ්රිතය විරාමයේදී ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් දක්වා පුළුල් කර ශ්‍රේණියේ එකතුව සැලසුම් කරන්න.
මෙම කාර්යයේදී, කාර්යය අඛණ්ඩවිසඳුම සරල කරන දිරාපත්වන අර්ධ-විරාමය මත. සෑම දෙයක්ම උදාහරණ අංක 2 ට බෙහෙවින් සමාන ය. ඔබට අභ්යවකාශ යානයෙන් ඉවත් විය නොහැක - ඔබට තීරණය කිරීමට සිදුවනු ඇත =) පාඩම අවසානයේ නියැදි නිර්මාණය, කාලසටහන අමුණා ඇත.
ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ ශ්‍රිතවල ප්‍රසාරණය
ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ කාර්යයන් සමඟ, ගැටළුව විසඳීමේ ක්රියාවලිය සැලකිය යුතු ලෙස සරල කර ඇත. සහ ඒ නිසයි. "පයි දෙකේ" කාල පරිච්ඡේදයක ෆූරියර් මාලාවක ශ්රිතයේ ප්‍රසාරණය වෙත ආපසු යමු. 
සහ අත්තනෝමතික කාලය "ඇලෙස් දෙකක්" 
.
අපි හිතමු අපේ ක්රියාකාරිත්වය ඒකාකාරයි කියලා. ශ්‍රේණියේ සාමාන්ය පදය, ඔබට පෙනෙන පරිදි, ඉරට්ටේ කෝසයින සහ ඔත්තේ සයින අඩංගු වේ. අපි EVEN ශ්රිතයක් වියෝජනය කරන්නේ නම්, අපට ඔත්තේ සයින අවශ්ය වන්නේ ඇයි?! අනවශ්‍ය සංගුණකය නැවත සකසමු: .
මේ ක්රමයෙන්, ඉරට්ටේ ශ්රිතයක් ෆූරියර් මාලාවක් දක්වා ප්‍රසාරණය වන්නේ කොසයිනවල පමණි:
මන්දයත් ඉරට්ටේ ශ්‍රිතවල අනුකලනයශුන්‍යයට අදාළව අනුකලනය සමමිතික කොටසකට වඩා දෙගුණ කළ හැක, එවිට ඉතිරි ෆූරියර් සංගුණක ද සරල කරනු ලැබේ.
කාල සීමාව සඳහා: 
අත්තනෝමතික විරාමයක් සඳහා: 
ගණිතමය විශ්ලේෂණය පිළිබඳ ඕනෑම පෙළපොතක පාහේ දක්නට ලැබෙන පෙළපොත් උදාහරණවලට ප්‍රසාරණය ඇතුළත් වේ පවා කාර්යයන් 
. ඊට අමතරව, ඔවුන් මගේ පුද්ගලික භාවිතයේදී නැවත නැවතත් හමු වී ඇත:
උදාහරණය 6
කාර්යයක් ලබා දී ඇත. අවශ්ය:
1) අත්තනෝමතික ධන අංකයක් ඇති කාලපරිච්ඡේදය සහිත ෆූරියර් ශ්‍රේණියකට ශ්රිතය පුළුල් කරන්න;
2) අන්තරය මත ප්‍රසාරණය ලියා, ශ්රිතයක් ගොඩනඟා ශ්‍රේණියේ මුළු එකතුව ප්‍රස්ථාර කරන්න.
විසඳුමක්: පළමු ඡේදයේ දී ගැටළුව විසඳීමට යෝජනා කර ඇත සාමාන්ය දැක්මසහ එය ඉතා පහසුයි! අවශ්යතාවයක් ඇති වනු ඇත - ඔබේ වටිනාකම ආදේශ කරන්න.
1) මෙම ගැටලුව තුළ, විස්තාරණ කාලය , අර්ධ-කාලසීමාව . තුළ වැඩිදුර ක්රියාමාර්ග, විශේෂයෙන්ම අනුකලනය කිරීමේදී "el" නියතයක් ලෙස සැලකේ
ශ්රිතය ඉරට්ටේ වේ, එයින් අදහස් කරන්නේ එය ෆූරියර් මාලාවක් දක්වා විහිදෙන්නේ කොසයිනවල පමණි: 
.
ෆෝරියර් සංගුණක සූත්ර මගින් සොයයි 
. ඔවුන්ගේ නිරපේක්ෂ වාසි කෙරෙහි අවධානය යොමු කරන්න. පළමුව, ප්‍රසාරණයේ ධනාත්මක කොටස හරහා ඒකාබද්ධ කිරීම සිදු කරනු ලැබේ, එයින් අදහස් කරන්නේ අපි ආරක්ෂිතව මොඩියුලයෙන් ඉවත් වන බවයි. 
, කෑලි දෙකකින් "x" පමණක් සලකා. තවද, දෙවනුව, ඒකාබද්ධ කිරීම සැලකිය යුතු ලෙස සරල කර ඇත.
දෙක: 
කොටස් අනුව ඒකාබද්ධ කිරීම:
මේ ක්රමයෙන්:
, "en" මත රඳා නොපවතින නියතය, එකතුවෙන් ඉවතට ගන්නා අතරතුර.
පිළිතුර: 
2) අපි විරාමය මත ප්‍රසාරණය ලියන්නෙමු , මේ සඳහා, in සාමාන්ය සූත්රයඅර්ධ චක්රයේ අපේක්ෂිත අගය ආදේශ කරන්න:
ෆූරියර් ශ්රේණි යනු ශ්‍රේණියක් ලෙස නිශ්චිත කාල පරිච්ඡේදයක් සමඟ අත්තනෝමතික ලෙස ගත් ශ්‍රිතයක නිරූපණයකි. පොදුවේ ගත් කල, මෙම විසඳුම විකලාංග පදනමක් තුළ මූලද්රව්යයක වියෝජනය ලෙස හැඳින්වේ. ෆූරියර් ශ්‍රේණියක ශ්රිතයන් ප්‍රසාරණය කිරීම, තර්කයක සහ සංකෝචනයක ප්‍රකාශනයක් ඒකාබද්ධ කිරීමේදී, අවකලනය කිරීමේදී මෙන්ම මාරු කිරීමේදී මෙම පරිවර්තනයේ ගුණාංග හේතුවෙන් විවිධ ගැටළු විසඳීම සඳහා තරමක් ප්‍රබල මෙවලමකි.
උසස් ගණිතය ගැන මෙන්ම ප්රංශ විද්‍යාඥ ෆූරියර්ගේ කෘතීන් ගැන නොදන්නා පුද්ගලයෙකුට මෙම “මාලාව” යනු කුමක්ද සහ ඒවා මොනවාද යන්න බොහෝ විට තේරුම් නොගනු ඇත. මේ අතර, මෙම පරිවර්තනය අපගේ ජීවිතයේ තරමක් ඝන වී ඇත. එය ගණිතඥයින් විසින් පමණක් නොව, භෞතික විද්යාඥයින්, රසායනඥයින්, වෛද්යවරුන්, තාරකා විද්යාඥයින්, භූ කම්පන විද්යාඥයින්, සාගර විද්යාඥයින් සහ තවත් බොහෝ අය විසින් භාවිතා කරනු ලැබේ. ඔහුගේ කාලයට පෙර සොයාගැනීමක් කළ ශ්රේෂ්ඨ ප්රංශ විද්යාඥයාගේ කෘති දෙස සමීපව බලමු.
මිනිසා සහ ෆූරියර් පරිවර්තනය
ෆූරියර් ශ්‍රේණිය ක්‍රම වලින් එකකි (විශ්ලේෂණ සහ වෙනත් අය සමඟ) පුද්ගලයෙකුට ඕනෑම ශබ්දයක් ඇසෙන සෑම අවස්ථාවකම මෙම ක්රියාවලිය සිදු වේ. අපගේ කණ ස්වයංක්‍රීයව ප්‍රත්‍යාස්ථ මාධ්‍යයක ප්‍රාථමික අංශු පරිවර්තනය කරයි, ඒවා විවිධ උසවල නාද සඳහා පරිමා මට්ටමේ අනුක්‍රමික අගයන්හි පේළි (වර්ණාවලි දිගේ) බවට දිරාපත් වේ. ඊළඟට, මොළය මෙම දත්ත අපට හුරුපුරුදු ශබ්ද බවට පත් කරයි. මේ සියල්ල සිදුවන්නේ අපගේ ආශාවට හෝ විඥානයට අමතරව, එය විසින්ම, නමුත් මෙම ක්රියාවලීන් අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා, උසස් ගණිතය හැදෑරීමට වසර කිහිපයක් ගතවනු ඇත.
ෆූරියර් පරිවර්තනය පිළිබඳ වැඩි විස්තර
ෆූරියර් පරිවර්තනය විශ්ලේෂණාත්මක, සංඛ්යාත්මක සහ වෙනත් ක්‍රම මගින් සිදු කළ හැක. ෆූරියර් ශ්රේණි යනු ඕනෑම දෝලන ක්රියාවලීන් දිරාපත් කිරීමේ සංඛ්යාත්මක ක්‍රමයයි - සාගර වඩදිය බාදිය සහ ආලෝක තරංග සිට සූර්ය (සහ අනෙකුත් තාරකා විද්‍යාත්මක වස්තූන්) ක්‍රියාකාරකම් චක්‍ර දක්වා. මෙම ගණිතමය ශිල්පීය ක්‍රම භාවිතා කරමින්, ඕනෑම දෝලන ක්‍රියාවලි අවමයේ සිට උපරිම දක්වා සහ අනෙක් අතට යන sinusoidal සංරචක මාලාවක් ලෙස නියෝජනය කරමින් ශ්‍රිත විශ්ලේෂණය කළ හැකිය. ෆූරියර් පරිවර්තනය යනු නිශ්චිත සංඛ්‍යාතයකට අනුරූප වන සයිනසයිඩ් වල අදියර සහ විස්තාරය විස්තර කරන ශ්‍රිතයකි. මෙම ක්රියාවලිය ඉතා විසඳීමට භාවිතා කළ හැකිය සංකීර්ණ සමීකරණ, තාප, ආලෝකය හෝ ක්රියාකාරීත්වය යටතේ සිදුවන ගතික ක්රියාවලීන් විස්තර කරයි විද්යුත් ශක්තිය. එසේම, ෆූරියර් ශ්රේණි මගින් සංකීර්ණ දෝලන සංඥාවල නියත සංරචක හුදකලා කිරීමට හැකි වන අතර එමඟින් වෛද්‍ය විද්යාව, රසායන විද්යාව සහ තාරකා විද්යාව පිළිබඳ ලබාගත් පර්යේෂණාත්මක නිරීක්ෂණ නිවැරදිව අර්ථ නිරූපණය කිරීමට හැකි විය.
ඉතිහාස යොමුව
මෙම න්යායේ ආරම්භක පියා ප්රංශ ගණිතඥ ජීන් බැප්ටිස්ට් ජෝසප් ෆූරියර් ය. මෙම පරිවර්තනය පසුව ඔහු නමින් නම් කරන ලදී. මුලදී, විද්යාඥයා තාප සන්නායකතාවයේ යාන්ත්රණ අධ්යයනය කිරීම සහ පැහැදිලි කිරීම සඳහා ඔහුගේ ක්රමය යොදා ගත්තේය - තාපය පැතිරීම ඝන ද්රව්ය. ෆූරියර් යෝජනා කළේ මුල් අක්‍රමවත් ව්‍යාප්තිය සරලම sinusoids බවට වියෝජනය කළ හැකි බවත්, ඒ සෑම එකක්ම තමන්ගේම උෂ්ණත්වය අවම සහ උපරිම මෙන්ම එහිම අදියර ඇති බවත්ය. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, එවැනි එක් එක් සංරචක අවම වශයෙන් උපරිම සහ අනෙක් අතට මනිනු ලැබේ. වක්‍රයේ ඉහළ සහ පහළ ශිඛර විස්තර කරන ගණිතමය ශ්රිතය මෙන්ම එක් එක් හාර්මොනික්ස්වල අදියර, උෂ්ණත්ව ව්‍යාප්ති ප්‍රකාශනයේ ෆූරියර් පරිවර්තනය ලෙස හැඳින්වේ. න්යාය කතුවරයා පොදු කාර්යයබෙදාහැරීම, ගණිතමය වශයෙන් විස්තර කිරීමට අපහසු, මුල් ව්‍යාප්තියට එකතු වන ඉතා පහසු කොසයින් සහ සයින් මාලාවකට.
පරිවර්තනයේ මූලධර්මය සහ සමකාලීනයන්ගේ අදහස්
විද්යාඥයාගේ සමකාලීනයන් - දහනව වන සියවසේ මුල් භාගයේ ප්රමුඛ ගණිතඥයින් - මෙම න්යාය පිළිගත්තේ නැත. ප්‍රධාන විරෝධය වූයේ සරල රේඛාවක් හෝ අඛණ්ඩ වක්‍රයක් විස්තර කරන අඛණ්ඩ ශ්රිතයක් අඛණ්ඩව පවතින සයිනාකාර ප්‍රකාශනවල එකතුවක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකි බවට ෆූරියර්ගේ ප්‍රකාශයයි. උදාහරණයක් ලෙස, හෙවිසයිඩ්ගේ "පියවර" සලකා බලන්න: එහි අගය පරතරයේ වමට ශුන්‍ය වන අතර එකක් දකුණට වේ. මෙම කාර්යය රඳා පැවැත්ම විස්තර කරයි විදුලි ධාරාවපරිපථය වසා ඇති විට තාවකාලික විචල්යයෙන්. ඝාතීය, sinusoid, රේඛීය හෝ හතරැස් වැනි අඛණ්ඩ, සාමාන්ය ශ්‍රිතවල එකතුවකින් අඛණ්ඩ ප්‍රකාශනයක් විස්තර කරන විට, එකල න්යායේ සමකාලීනයන් එවැනි තත්වයකට මුහුණ දී නොතිබුණි.
ෆූරියර් න්යාය තුළ ප්රංශ ගණිතඥයන් ව්යාකූල කළේ කුමක් ද?
සියල්ලට පසු, ගණිතඥයා ඔහුගේ ප්‍රකාශවල නිවැරදි වූයේ නම්, අනන්ත ත්‍රිකෝණමිතික ෆූරියර් ශ්‍රේණිය සාරාංශ කිරීමෙන්, කෙනෙකුට සමාන පියවර රාශියක් තිබුණද, පියවරෙන් පියවර ප්‍රකාශනයේ නිශ්චිත නිරූපණයක් ලබා ගත හැකිය. දහනව වන ශතවර්ෂයේ ආරම්භයේ දී, එවැනි ප්රකාශයක් විකාරයක් ලෙස පෙනෙන්නට තිබුණි. නමුත් සියලු සැකයන් තිබියදීත්, බොහෝ ගණිතඥයින් මෙම සංසිද්ධිය අධ්යයනය කිරීමේ විෂය පථය පුළුල් කර ඇති අතර එය තාප සන්නායකතාවය පිළිබඳ අධ්‍යයන විෂය පථයෙන් ඔබ්බට ගෙන ඇත. කෙසේ වෙතත්, බොහෝ විද්යාඥයින් දිගින් දිගටම ප්‍රශ්නයෙන් පීඩා වින්දා: "සයිනොසොයිඩ් ශ්‍රේණියක එකතුව අභිසාරී විය හැකිද? නියම අගයඅඛණ්ඩ ක්රියාකාරිත්වය?"
ෆූරියර් ශ්රේණි අභිසාරීතාව: උදාහරණයක්
අපරිමිත සංඛ්යා ශ්රේණි එකතු කිරීමට අවශ්ය වූ විට අභිසාරී ප්රශ්නය මතු වේ. මෙම සංසිද්ධිය තේරුම් ගැනීමට, සම්භාව්ය උදාහරණයක් සලකා බලන්න. සෑම අනුක්‍රමික පියවරක්ම පෙර තිබූ ප්‍රමාණයෙන් අඩක් නම් ඔබට කවදා හෝ බිත්තියට ළඟා විය හැකිද? ඔබ ඉලක්කයේ සිට මීටර දෙකක් ඇතැයි සිතන්න, පළමු පියවර ඔබව අර්ධ ලක්ෂ්‍යයට සමීප කරයි, ඊළඟ පියවර හතරෙන් තුනේ ලකුණට ගෙන එයි, පස්වන පියවරෙන් පසු ඔබ සියයට 97 ක් පමණ ආවරණය කරයි. කෙසේ වෙතත්, ඔබ කොපමණ පියවර ගත්තද, දැඩි ගණිතමය අර්ථයකින් ඔබ අපේක්ෂිත ඉලක්කය සපුරා ගන්නේ නැත. සංඛ්යාත්මක ගණනය කිරීම් භාවිතා කරමින්, අවසානයේ දී අත්තනෝමතික ලෙස කුඩා දී ඇති දුරකට ළඟා විය හැකි බව පෙන්විය හැකිය. මෙම සාධනය සමාන වන්නේ එකහමාරක්, හතරෙන් එකක්, යනාදී මුළු අගය එකකට නැඹුරු වන බව පෙන්වීමටය.
අභිසාරී ප්රශ්නයක්: දෙවන පැමිණීම හෝ කෙල්වින් සාමිවරයාගේ උපකරණය
නැවත මෙම ප්රශ්නයදහනව වන ශතවර්ෂයේ අවසානයේ දී, ෆූරියර් ශ්‍රේණිවල තීව්‍රතාවය පුරෝකථනය කිරීමට උත්සාහ කරන විට ඉහළ ගියේය. මෙම අවස්ථාවේදී, Kelvin සාමිවරයා විසින් උපාංගයක් සොයා ගන්නා ලදී, එය ප්‍රතිසම පරිගණක උපාංගයක් වන අතර එය හමුදාවේ නාවිකයින්ට සහ වෙළඳ නාවිකයින්ට මෙය නිරීක්ෂණය කිරීමට ඉඩ සලසයි. ස්වභාවික සංසිද්ධියක්. මෙම යාන්ත්‍රණය මඟින් වඩදිය බාදිය උස වගුවකින් අදියර සහ විස්තාර කට්ටල තීරණය කරන අතර ඒවාට අනුරූප කාල අවස්ථා, වර්ෂය තුළ දී ඇති වරායක් තුළ ප්‍රවේශමෙන් මනිනු ලැබේ. සෑම පරාමිතියක්ම වඩදිය උස ප්‍රකාශනයේ sinusoidal සංරචකයක් වූ අතර එය නිත්‍ය සංරචක වලින් එකකි. මිනුම්වල ප්රතිඵල කෙල්වින් සාමිවරයාගේ කැල්කියුලේටරය තුළට ඇතුළත් කරන ලද අතර, එය කාලයෙහි ශ්රිතයක් ලෙස ජලයේ උස පුරෝකථනය කරන වක්‍රයක් සංස්ලේෂණය කළේය. ලබන වසර. ඉතා ඉක්මනින් ලෝකයේ සියලුම වරායන් සඳහා සමාන වක්‍ර සකස් කරන ලදී.
සහ ක්රියාවලිය අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයකින් කැඩී ගියහොත්?
ගණන් කිරීමේ මූලද්‍රව්‍ය විශාල සංඛ්‍යාවක් සහිත වඩදිය බාදිය පුරෝකථනය කරන්නෙකුට ගණනය කළ හැකි බව එකල පැහැදිලිව පෙනෙන්නට තිබුණි. විශාල සංඛ්යාවක්අදියර සහ විස්තාරය සහ වඩාත් නිවැරදි අනාවැකි සපයයි. එසේ වුවද, සංස්ලේෂණය කළ යුතු වඩදිය ප්‍රකාශනයේ තියුණු පැනීමක් අඩංගු වූ විට, එනම් එය අඛණ්ඩව පවතින අවස්ථා වලදී මෙම විධිමත්භාවය නිරීක්ෂණය නොවන බව පෙනී ගියේය. කාලසටහන් වගුවෙන් උපාංගයට දත්ත ඇතුළත් කළහොත්, එය ෆූරියර් සංගුණක කිහිපයක් ගණනය කරයි. මුල් ශ්රිතය sinusoidal සංරචක වලට ස්තුති කිරීම (සොයාගත් සංගුණක අනුව) ප්රතිෂ්ඨාපනය වේ. මුල් සහ ප්රතිෂ්ඨාපනය කළ ප්රකාශනය අතර විෂමතාවය ඕනෑම අවස්ථාවක මැනිය හැක. නැවත නැවත ගණනය කිරීම් සහ සැසඳීම් සිදු කරන විට, එය අගය බව දැක ගත හැකිය ලොකුම වැරැද්දඅඩු නොවේ. කෙසේ වෙතත්, ඒවා අත්හිටුවීමේ ලක්ෂ්‍යයට අනුරූප කලාපයේ ස්ථානගත කර ඇති අතර වෙනත් ඕනෑම ස්ථානයක ශුන්‍යයට නැඹුරු වේ. 1899 දී මෙම ප්රතිඵලය යේල් විශ්වවිද්‍යාලයේ ජෝෂුවා විලාර්ඩ් ගිබ්ස් විසින් න්‍යායාත්මකව තහවුරු කරන ලදී.
ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ අභිසාරීතාවය සහ පොදුවේ ගණිතයේ වර්ධනය
ෆූරියර් විශ්ලේෂණය යම් කාල පරතරයක් තුළ අසීමිත පිපිරුම් ගණනක් අඩංගු ප්‍රකාශනවලට අදාළ නොවේ. සාමාන්යයෙන්, ෆූරියර් ශ්‍රේණිය, මුල් ශ්රිතය සැබෑ භෞතික මිනුමක ප්රතිඵලයක් නම්, සෑම විටම අභිසාරී වේ. නිශ්චිත පන්ති ශ්‍රිත සඳහා මෙම ක්‍රියාවලියේ අභිසාරීතාවය පිළිබඳ ප්‍රශ්න ගණිතයේ නව අංශ මතුවීමට හේතු වී ඇත, උදාහරණයක් ලෙස සාමාන්‍යකරණය වූ ශ්‍රිත පිළිබඳ න්යාය. එය L. Schwartz, J. Mikusinsky සහ J. Temple වැනි නම් සමඟ සම්බන්ධ වේ. මෙම න්යායේ රාමුව තුළ, පැහැදිලි හා නිරවද්ය න්යායික පදනමඩිරැක් ඩෙල්ටා ශ්රිතය (එය ලක්ෂ්‍යයක අපරිමිත අසල්වැසි ප්‍රදේශයක සංකේන්ද්‍රණය වූ තනි ප්‍රදේශයක කලාපයක් විස්තර කරයි) සහ හෙවිසයිඩ්ගේ "පියවර" වැනි ප්රකාශන යටතේ. මෙම කාර්යයට ස්තූතිවන්ත වන්නට, ෆූරියර් ශ්‍රේණිය සමීකරණ සහ බුද්ධිමය සංකල්ප දිස්වන ගැටළු විසඳීමට අදාළ විය: ලක්ෂ්‍ය ආරෝපණයක්, ලක්ෂ්‍ය ස්කන්ධයක්, චුම්බක ඩයිපෝල් සහ කදම්භයක් මත සාන්ද්‍රිත බරක්.
ෆූරියර් ක්රමය
ෆූරියර් ශ්රේණි, මැදිහත්වීමේ මූලධර්මවලට අනුකූලව, ප්‍රසාරණයෙන් ආරම්භ වේ සංකීර්ණ හැඩතලසරල ඒවාට. නිදසුනක් ලෙස, තාප ප්රවාහයේ වෙනසක් තාප පරිවාරක ද්රව්යයකින් විවිධ බාධක හරහා ගමන් කිරීම මගින් පැහැදිලි කෙරේ. අවිධිමත් හැඩයහෝ පෘථිවි පෘෂ්ඨයේ වෙනසක් - භූමිකම්පාවක්, ආකාශ වස්තුවක කක්ෂයේ වෙනසක් - ග්රහලෝකවල බලපෑම. රීතියක් ලෙස, සරල සම්භාව්ය පද්ධති විස්තර කරන සමාන සමීකරණ එක් එක් තරංග සඳහා මූලික වශයෙන් විසඳනු ලැබේ. ෆූරියර් ඒක පෙන්නුවා සරල විසඳුම්වඩාත් සංකීර්ණ ගැටළු සඳහා විසඳුම් ලබා ගැනීම සඳහා ද සාරාංශගත කළ හැකිය. ගණිතයේ භාෂාවෙන් ප්‍රකාශිත, ෆූරියර් ශ්‍රේණිය යනු ප්‍රකාශනයක් හාර්මොනික්ස් - කොසයින් සහ සයිනසයිඩ් එකතුව ලෙස නිරූපණය කිරීමේ තාක්‍ෂණයකි. ඒක තමයි මෙම විශ්ලේෂණය"harmonic analysis" ලෙසද හැඳින්වේ.
ෆූරියර් මාලාව - "පරිගණක යුගයට" පෙර කදිම තාක්ෂණය
පරිගණක තාක්ෂණය නිර්මාණය කිරීමට පෙර, අපේ ලෝකයේ තරංග ස්වභාවය සමඟ වැඩ කරන විට විද්යාඥයින්ගේ අවි ගබඩාවේ හොඳම ආයුධය වූයේ ෆූරියර් තාක්ෂණයයි. සංකීර්ණ ස්වරූපයෙන් ෆූරියර් මාලාව විසඳා ගැනීමට පමණක් නොවේ සරල කාර්යයන්, එය නිව්ටන්ගේ යාන්ත්‍ර විද්යාවේ නීති සෘජුව යෙදීමට ඉඩ සලසයි, නමුත් මූලික සමීකරණ ද වේ. දහනවවන සියවසේ නිව්ටෝනියානු විද්යාවේ බොහෝ සොයාගැනීම් සිදු වූයේ ෆූරියර්ගේ තාක්ෂණයෙන් පමණි.
ෆූරියර් මාලාව අද
පරිගණක සංවර්ධනයත් සමඟ ෆූරියර් පරිවර්තන ගුණාත්මකව නව මට්ටමකට නැඟී ඇත. මෙම තාක්ෂණයවිද්‍යාවේ සහ තාක්‍ෂණයේ සෑම අංශයකම පාහේ දැඩි ලෙස මුල් බැස ඇත. උදාහරණයක් ලෙස ඩිජිටල් ශ්රව්ය සහ දෘශ්ය සංඥාවකි. එය සාක්ෂාත් කර ගැනීමට හැකි වූයේ දහනව වන ශතවර්ෂයේ ආරම්භයේ දී ප්රංශ ගණිතඥයෙකු විසින් වර්ධනය කරන ලද න්යායට ස්තුති කිරීම පමණි. මේ අනුව, ෆූරියර් මාලාව සංකීර්ණ ස්වරූපයෙන් අධ්‍යයනයේ ඉදිරි ගමනක් කිරීමට හැකි විය පිටත අවකාශය. මීට අමතරව, මෙය අර්ධ සන්නායක ද්රව්ය සහ ප්ලාස්මා, ක්ෂුද්ර තරංග ධ්වනි විද්යාව, සාගර විද්යාව, රේඩාර් සහ භූ කම්පන විද්යාව පිළිබඳ භෞතික විද්යාව අධ්යයනය කිරීමට බලපෑවේය.
ත්‍රිකෝණමිතික ෆූරියර් මාලාව
ගණිතයේ දී, ෆූරියර් ශ්‍රේණියක් යනු අත්තනෝමතික සංකීර්ණ ශ්‍රිත සරල ඒවාවල එකතුවක් ලෙස නිරූපණය කිරීමේ ක්‍රමයකි. හිදී පොදු අවස්ථාඑවැනි ප්රකාශන සංඛ්යාව අසීමිත විය හැක. එපමනක් නොව, ඔවුන්ගේ සංඛ්යාව ගණනය කිරීමේදී සැලකිල්ලට ගනී, අවසාන ප්රතිඵලය වඩාත් නිවැරදි වේ. බොහෝ විට සරලම ලෙස භාවිතා වේ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතකොසයින් හෝ සයින්. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ෆූරියර් ශ්‍රේණිය ත්‍රිකෝණමිතික ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, එවැනි ප්‍රකාශනවල විසඳුම හර්මොනික් ප්‍රසාරණය ලෙස හැඳින්වේ. මෙම ක්රමය ගණිතයේ වැදගත් කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි. පළමුවෙන්ම, ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රේණිය රූපය සඳහා මාධ්‍යයක් සපයයි, මෙන්ම ශ්‍රිත අධ්යයනය කිරීම, එය න්යායේ ප්‍රධාන උපකරණය වේ. මීට අමතරව, එය ගණිතමය භෞතික විද්යාවේ ගැටළු ගණනාවක් විසඳීමට ඉඩ සලසයි. අවසාන වශයෙන්, මෙම න්යාය ජීවයට ගෙන ආ සංවර්ධනයට දායක විය සම්පූර්ණ රේඛාවගණිත විද්යාවේ ඉතා වැදගත් කොටස් (අනුකලනයන්ගේ න්යාය, ආවර්තිතා ශ්‍රිත පිළිබඳ න්යාය). එය සංවර්ධනයේ ආරම්භක ලක්ෂ්‍යයක් ද විය පහත සඳහන් කාර්යයන්සැබෑ විචල්‍යය, සහ හරාත්මක විශ්ලේෂණය සඳහා පදනම ද දැමීය.
සාමාන්ය හා වෘත්තීය අධ්‍යාපන අමාත්‍යාංශය
සෝචි රාජ්ය විශ්ව විද්යාලයසංචාරක
සහ නිවාඩු නිකේතන ව්යාපාර
අධ්යාපනික ආයතනය
ගණිත පීඨය
සාමාන්ය ගණිත දෙපාර්තමේන්තුව
උපාධි වැඩ
ෆූරියර් මාලාව සහ ඒවායේ යෙදුම්
ගණිතමය භෞතික විද්යාව තුළ.
සම්පූර්ණ කළේ: 5 වසර ශිෂ්‍යයා
දිවා කාලයේ අත්සන
විශේෂත්වය 010100
"ගණිතය"
කැස්පෙරෝවා එන්.එස්.
ශිෂ්‍ය කාඩ්පත අංක 95471
විද්‍යාත්මක උපදේශක: ආශ්‍රිත මහාචාර්ය, Ph.D.
තාක්ෂණික අත්සන. විද්‍යාවන්
පොසින් පී.ඒ.
සෝචි, 2000
1. හැඳින්වීම.
2. ෆූරියර් මාලාවක් පිළිබඳ සංකල්පය.
2.1 ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ සංගුණක නිර්ණය කිරීම.
2.2 ආවර්තිතා ශ්‍රිතවල අනුකලනය.
3. ෆූරියර් මාලාවේ අභිසාරීතාව සඳහා නිර්ණායක.
3.1 ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ ශ්රිතයන් ප්‍රසාරණය කිරීමේ උදාහරණ.
4. ෆූරියර් ශ්‍රේණියක ආවර්තිතා ශ්‍රිතයක ප්‍රසාරණය පිළිබඳ සටහනක්
5. ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ ශ්‍රිත සඳහා ෆූරියර් ශ්රේණි.
6. 2 කාල සීමාව සහිත කාර්යයන් සඳහා ෆූරියර් මාලාව එල් .
7. ආවර්තිතා නොවන ශ්‍රිතයක ෆූරියර් ප්‍රසාරණය.
හැදින්වීම.
ජීන් බැප්ටිස්ට් ජෝසප් ෆූරියර් - ප්රංශ ගණිතඥයෙක්, පැරිස් විද්‍යා ඇකඩමියේ සාමාජික (1817).
ෆූරියර්ගේ පළමු කෘති වීජ ගණිතයට සම්බන්ධ වේ. දැනටමත් 1796 දේශන වලදී, ඔහු විසින් නම් කරන ලද මායිම් (publ. 1820) අතර ඇති වීජීය සමීකරණයක සැබෑ මූලයන් ගණන පිළිබඳ ප්‍රමේයයක් ගෙනහැර දක්වා ඇත; සම්පූර්ණ විසඳුමවීජීය සමීකරණයක සැබෑ මූලයන් ගණන ගැන 1829 දී J.Sh.F විසින් ලබා ගන්නා ලදී. කුණාටුව. 1818 දී ෆූරියර් විසින් නිව්ටන් විසින් වර්ධනය කරන ලද ක්‍රමයේ අදාළත්වය පිළිබඳ ප්රශ්නය විමර්ශනය කරන ලදී. සංඛ්යාත්මක විසඳුමසමීකරණ, 1768 දී ප්රංශ ගණිතඥ ජේ.ආර් විසින් ලබා ගත් සමාන ප්රතිඵල ගැන නොදැන. මුරේල්. සමීකරණ විසඳීම සඳහා සංඛ්යාත්මක ක්‍රම පිළිබඳ ෆූරියර්ගේ කාර්යයේ ප්රතිඵලය වන්නේ 1831 දී මරණින් පසු ප්‍රකාශයට පත් කරන ලද ඇතැම් සමීකරණ විශ්ලේෂණයයි.
ෆූරියර්ගේ ප්‍රධාන අධ්‍යයන අංශය වූයේ ගණිත භෞතික විද්‍යාවයි. 1807 සහ 1811 දී ඔහු පැරිස් විද්‍යා ඇකඩමියට තාපය ප්‍රචාරණය කිරීමේ න්යාය පිළිබඳ ඔහුගේ පළමු සොයාගැනීම් ඉදිරිපත් කළේය. ඝන ශරීරය, සහ 1822 දී ඔහු වාදනය කරන ලද තාපය පිළිබඳ විශ්ලේෂණාත්මක න්යාය ප්‍රසිද්ධ කෘතිය ප්‍රකාශයට පත් කළේය විශාල කාර්යභාරයක්ගණිතයේ පසුකාලීන ඉතිහාසයේ. ඒ - ගණිතමය න්යායතාප සන්නායකතාව. ක්‍රමයේ සාමාන්ය බව නිසා මෙම පොත ගණිතමය භෞතික විද්යාවේ සියලුම නවීන ක්‍රමවල මූලාශ්‍රය බවට පත්ව ඇත. මෙම කාර්යයේදී, ෆූරියර් ව්යුත්පන්න විය අවකල සමීකරණයතාප සන්නායකතාවය සහ සංවර්ධිත අදහස්, වඩාත්ම පොදුවේ ගත් කල D. Bernoulli විසින් කලින් දක්වා ඇති, යම් යම් සීමාවන් සඳහා තාප සමීකරණය විසඳීම සඳහා විචල්‍ය වෙන් කිරීමේ ක්රමයක් (ෆූරියර් ක්රමය) වර්ධනය කරන ලද අතර, ඔහු විශේෂ අවස්ථා ගණනාවකට (කියුබ්, සිලින්ඩර්, ආදිය) යෙදුවේය. මෙම ක්රමය පදනම් වන්නේ ත්‍රිකෝණමිතික ෆූරියර් ශ්රේණි මගින් ශ්‍රිත නිරූපණය කිරීම මතය.
ෆූරියර් ශ්රේණි දැන් මායිම් අගය ගැටළු විසඳීම සඳහා අර්ධ අවකල සමීකරණ න්යායේ හොඳින් දියුණු වූ මෙවලමක් බවට පත්ව ඇත.
1. ෆූරියර් මාලාවක් පිළිබඳ සංකල්පය.(පි. 94, උවරෙන්කොව්)
ෆූරියර් ශ්රේණි ගණිතමය භෞතික විද්යාව, ප්‍රත්‍යාස්ථතා න්යාය, විද්යුත් ඉංජිනේරු විද්යාව සහ විශේෂයෙන්ම ඒවායේ වැදගත් කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි. විශේෂ අවස්ථාවක්ත්‍රිකෝණමිතික ෆූරියර් ශ්රේණි වේ.
ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රේණියක් යනු ආකෘතියේ ශ්‍රේණියකි
හෝ, සංකේතාත්මක අංකනය:
(1)
මෙහි ω, a 0 , a 1 , …, a n , ..., b 0 , b 1 , ..., b n , … නියත සංඛ්යා (ω>0) වේ.
භෞතික විද්යාවේ සමහර ගැටළු ඓතිහාසිකව එවැනි ශ්රේණි අධ්යයනය කිරීමට හේතු විය, නිදසුනක් ලෙස, නූල් කම්පන ගැටළුව (18 වන සියවස), තාප සන්නායක සංසිද්ධිවල විධිමත්භාවය පිළිබඳ ගැටළුව යනාදිය යෙදුම් වලදී, ත්‍රිකෝණමිතික ශ්රේණි සලකා බැලීම , y = ƒ(χ) සමීකරණය මගින් විස්තර කරන ලද දී ඇති චලිතයක් නිරූපණය කිරීමේ ගැටලුවට මූලික වශයෙන් සම්බන්ධ වේ.
සරලම එකතුව හාර්මොනික් කම්පන, බොහෝ විට දින නියමයක් නොමැතිව ගනු ලැබේ විශාල සංඛ්යා, එනම්, පෝරමයේ (1) මාලාවක එකතුව ලෙස.මේ අනුව, අපි පහත ගැටලුවට පැමිණෙමු: දී ඇති ශ්රිතයක් සඳහා ƒ(x) ලබා දී ඇති කාල පරාසයක මෙම ශ්‍රිතයට අභිසාරී වන ශ්‍රේණියක් (1) තිබේ දැයි සොයා බැලීම සඳහා. මෙය කළ හැකි නම්, ƒ(x) ශ්රිතය මෙම අන්තරය මත ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රේණියක් දක්වා ප්‍රසාරණය වන බව පැවසේ.
ශ්රේණි (1) ශ්‍රිතවල ආවර්තිතා හේතුවෙන් x 0 යම් ස්ථානයක අභිසාරී වේ
(n=1,2,..), එය පෝරමයේ සියලුම ලක්ෂ්යවල අභිසාරී වනු ඇත (m යනු ඕනෑම පූර්ණ සංඛ්‍යාවක්), එබැවින් එහි එකතුව S(x) (ශ්‍රේණියේ අභිසාරී කලාපයේ) ආවර්තිතා වේ. කාර්යය: S n (x) නම් - n වන කොටසමෙම මාලාවේ එකතුව, එවිට අපට තිබේ
ඒ නිසා
, එනම් S(x 0 +T)=S(x 0). එබැවින්, යම් ශ්රිතයක් ƒ(x) පෝරමයේ (1) ශ්‍රේණියක් බවට ප්‍රසාරණය කිරීම ගැන කතා කරන විට, අපි ƒ(x) ආවර්තිතා ශ්රිතයක් යැයි උපකල්පනය කරමු. 2. ෆූරියර් සූත්ර මගින් ශ්‍රේණියේ සංගුණක නිර්ණය කිරීම.
2π කාල පරිච්ඡේදයක් සහිත ආවර්තිතා ශ්රිතයක් ƒ(x) ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රේණියක් මගින් නිරූපණය වන පරිදි එය ලබා දී ඇති ශ්‍රිතයකට (-π, π) අභිසාරී වේ, එනම් මෙම ශ්‍රේණියේ එකතුව වේ:
. (2)
මෙම සමානාත්මතාවයේ වම් පැත්තේ ශ්රිතයේ අනුකලනය මෙම ශ්‍රේණියේ නියමවල අනුකලනයේ එකතුවට සමාන වේ යැයි සිතමු. දී ඇති ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රේණියේ සංගුණකවලින් සමන්විත සංඛ්යා ශ්‍රේණිය නිරපේක්ෂ වශයෙන් අභිසාරී වේ, එනම් ධන සංඛ්යා ශ්‍රේණිය අභිසාරී වේ යැයි අප උපකල්පනය කරන්නේ නම් මෙය සත්‍ය වනු ඇත.
(3)ශ්රේණි (1) ප්‍රධාන කර ඇති අතර (-π, π) කාල පරතරය තුළ පදය අනුව ඒකාබද්ධ කළ හැක. අපි සමානාත්මතාවයේ කොටස් දෙකම ඒකාබද්ධ කරමු (2):
.දකුණු පස ඇති එක් එක් අනුකලනය අපි වෙන වෙනම ගණනය කරමු:
,
,
.
මේ ක්රමයෙන්,
, කොහෙද 
. (4)
ෆූරියර් සංගුණක ඇස්තමේන්තු කිරීම.(බුග්රොව්)
ප්රමේයය 1. 2π කාල පරිච්ඡේදයේ ƒ(x) ශ්‍රිතයකට අඛණ්ඩ ව්‍යුත්පන්නයක් ƒ ( s) (x) අනුපිළිවෙල සමස්ත සැබෑ අක්ෂයේ අසමානතාවය තෘප්තිමත් කරයි:
│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)
එවිට ශ්රිතයේ ෆූරියර් සංගුණක ƒ අසමානතාවය තෘප්තිමත් කරන්න
(6)සාක්ෂි. කොටස් මගින් ඒකාබද්ධ කිරීම සහ එය සැලකිල්ලට ගැනීම
ƒ(-π) = ƒ(π), අපට ඇත
ඒකාබද්ධ කිරීම දකුණු පැත්ත(7) අනුක්‍රමිකව, ව්‍යුත්පන්නයන් ƒ ΄ , …, ƒ (s-1) අඛණ්ඩ වන අතර t = -π සහ t = π යන ලක්ෂ්යවල එම අගයන් මෙන්ම ඇස්තමේන්තු (5), අපි පළමු ඇස්තමේන්තුව ලබා ගන්න (6).
දෙවන ඇස්තමේන්තුව (6) සමාන ආකාරයකින් ලබා ගනී.
ප්රමේයය 2. ෆූරියර් සංගුණක ƒ(x) අසමානතාවය තෘප්තිමත් කරයි
(8)
සාක්ෂි. අපිට තියනවා
ඇලවිය යුතු ආකාරය ගණිතමය සූත්රවෙබ් අඩවියට?
ඔබට කවදා හෝ වෙබ් පිටුවකට ගණිතමය සූත්ර එකක් හෝ දෙකක් එක් කිරීමට අවශ්ය නම්, ලිපියේ විස්තර කර ඇති පරිදි මෙය කිරීමට පහසුම ක්රමය වේ: වුල්ෆ්‍රම් ඇල්ෆා ස්වයංක්‍රීයව ජනනය කරන පින්තූර ආකාරයෙන් ගණිතමය සූත්ර පහසුවෙන් වෙබ් අඩවියට ඇතුළු කරනු ලැබේ. සරලත්වයට අමතරව, මෙම විශ්වීය ක්රමය වෙබ් අඩවියේ දෘශ්‍යතාව වැඩි දියුණු කිරීමට උපකාරී වේ සෙවුම් යන්ත්ර. එය දිගු කලක් තිස්සේ වැඩ කර ඇත (සහ එය සදහටම වැඩ කරනු ඇතැයි මම සිතමි), නමුත් එය සදාචාරාත්මකව යල්පැන ඇත.
ඔබ ඔබේ වෙබ් අඩවියේ නිරන්තරයෙන් ගණිත සූත්ර භාවිතා කරන්නේ නම්, MathML, LaTeX, හෝ ASCIIMathML මාර්ක්අප් භාවිතා කරමින් වෙබ් බ්‍රවුසරවල ගණිත අංක පෙන්වන විශේෂ JavaScript පුස්තකාලයක් වන MathJax භාවිතා කරන ලෙස මම ඔබට නිර්දේශ කරමි.
MathJax භාවිතා කිරීම ආරම්භ කිරීමට ක්‍රම දෙකක් තිබේ: (1) සරල කේතයක් භාවිතයෙන්, ඔබට ඉක්මනින් MathJax ස්ක්‍රිප්ට් එකක් ඔබේ වෙබ් අඩවියට සම්බන්ධ කළ හැක, එය නිවැරදි වේලාවට දුරස්ථ සේවාදායකයකින් ස්වයංක්‍රීයව පූරණය වේ (සේවාදායක ලැයිස්තුව); (2) MathJax ස්ක්‍රිප්ට් එක දුරස්ථ සේවාදායකයකින් ඔබගේ සේවාදායකයට උඩුගත කර එය ඔබගේ අඩවියේ සියලුම පිටු වෙත සම්බන්ධ කරන්න. දෙවන ක්රමය වඩාත් සංකීර්ණ සහ කාලය ගතවන අතර ඔබේ වෙබ් අඩවියේ පිටු පූරණය කිරීම වේගවත් කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි, යම් හේතුවක් නිසා මව් MathJax සේවාදායකය තාවකාලිකව ලබා ගත නොහැකි වුවහොත්, මෙය ඔබගේම වෙබ් අඩවියට කිසිදු ආකාරයකින් බලපාන්නේ නැත. මෙම වාසි තිබියදීත්, මම පළමු ක්රමය තෝරා ගත්තේ එය සරල, වේගවත් හා තාක්ෂණික කුසලතා අවශ්ය නොවන බැවිනි. මගේ ආදර්ශය අනුගමනය කරන්න, මිනිත්තු 5 ක් ඇතුළත ඔබට ඔබේ වෙබ් අඩවියේ MathJax හි සියලුම විශේෂාංග භාවිතා කිරීමට හැකි වනු ඇත.
ප්‍රධාන MathJax වෙබ් අඩවියෙන් හෝ ලේඛන පිටුවෙන් ලබාගත් කේත විකල්ප දෙකක් භාවිතයෙන් ඔබට දුරස්ථ සේවාදායකයකින් MathJax පුස්තකාල ස්ක්‍රිප්ට් සම්බන්ධ කළ හැක:
මෙම කේත විකල්පයන්ගෙන් එකක් ඔබේ වෙබ් පිටුවේ කේතයට පිටපත් කර ඇලවිය යුතුය, වඩාත් සුදුසු ටැග් අතර
හානැතහොත් ටැගයට පසුව . පළමු විකල්පයට අනුව, MathJax වේගයෙන් පූරණය වන අතර පිටුව අඩුවෙන් මන්දගාමී වේ. නමුත් දෙවන විකල්පය ස්වයංක්‍රීයව MathJax හි නවතම අනුවාද ලුහුබැඳ පූරණය කරයි. ඔබ පළමු කේතය ඇතුල් කරන්නේ නම්, එය වරින් වර යාවත්කාලීන කිරීමට අවශ්ය වනු ඇත. ඔබ දෙවන කේතය අලවන්නේ නම්, පිටු වඩාත් සෙමින් පූරණය වනු ඇත, නමුත් ඔබට MathJax යාවත්කාලීන කිරීම් නිරන්තරයෙන් නිරීක්ෂණය කිරීමට අවශ්ය නොවනු ඇත.MathJax සම්බන්ධ කිරීමට ඇති පහසුම ක්රමය වන්නේ Blogger හෝ WordPress: අඩවි පාලන පැනලය තුළ, තුන්වන පාර්ශ්ව ජාවාස්ක්‍රිප්ට් කේතය ඇතුළු කිරීමට නිර්මාණය කර ඇති විජට් එකක් එක් කරන්න, ඉහත ලෝඩ් කේතයේ පළමු හෝ දෙවන අනුවාදය එයට පිටපත් කර, විජට් එක ආසන්නයේ තබන්න. අච්චුවේ ආරම්භය (මාර්ගය වන විට, මෙය කිසිසේත්ම අවශ්ය නොවේ , MathJax ස්ක්‍රිප්ට් එක අසමමුහුර්තව පටවා ඇති බැවින්). එච්චරයි. දැන් MathML, LaTeX, සහ ASCIIMathML මාර්ක්අප් සින්ටැක්ස් ඉගෙන ගන්න, ඔබ ඔබේ වෙබ් පිටුවලට ගණිත සූත්ර කාවැද්දීමට සූදානම්.
ඕනෑම ඛණ්ඩනය නිශ්චිත රීතියකට අනුව ගොඩනගා ඇති අතර එය අසීමිත වාර ගණනක් අඛණ්ඩව යොදනු ලැබේ. එවැනි සෑම වේලාවක්ම පුනරාවර්තනයක් ලෙස හැඳින්වේ.
මෙන්ගර් ස්පොන්ජියක් තැනීම සඳහා පුනරාවර්තන ඇල්ගොරිතම තරමක් සරල ය: 1 පැත්ත සහිත මුල් ඝනකයක් එහි මුහුණුවලට සමාන්තරව ගුවන් යානා මගින් සමාන ඝනක 27 කට බෙදා ඇත. එක් මධ්යම ඝනකයක් සහ මුහුණු දිගේ එයට යාබදව ඇති ඝනක 6 ක් එයින් ඉවත් කරනු ලැබේ. එය ඉතිරි කුඩා කැට 20 කින් සමන්විත කට්ටලයක් බවට පත්වේ. මෙම එක් එක් ඝනකයක් සමඟම එසේ කිරීමෙන්, අපට කුඩා කැට 400 කින් සමන්විත කට්ටලයක් ලැබේ. මෙම ක්රියාවලිය දින නියමයක් නොමැතිව දිගටම කරගෙන යාම, අපි මෙන්ගර් ස්පොන්ජිය ලබා ගනිමු.
