Шугаман регрессийн тэгшитгэлийн жишээг бүтээх. Регрессийн тэгшитгэл. Олон регрессийн тэгшитгэл

Хосолсон шугаман регресс

СУРГАЛТ

Хосолсон шугаман регресс: Семинар. -

Эконометрикийн хичээл нь оюутнуудад эконометрик загвар бүтээх, тухайн загварыг тодорхойлох, тодорхойлох шийдвэр гаргах, загварын параметрүүдийг үнэлэх аргыг сонгох, түүний чанарыг үнэлэх, үр дүнг тайлбарлах, урьдчилан таамаглах тооцоог олж авах гэх мэт туршлага хуримтлуулдаг. Семинар нь оюутнуудад туслах болно. эдгээр асуудлаар практик ур чадвар эзэмших.

Редакцийн болон хэвлэлийн зөвлөлөөр баталсан

Эмхэтгэсэн: М.Б. Перова, эдийн засгийн ухааны доктор, профессор

Ерөнхий заалтууд

Эконометрик судалгаа нь үзэгдлийн хоорондын хамаарлыг тогтоох онолоос эхэлдэг. Үр дүнтэй шинж чанарт нөлөөлж буй бүх хүчин зүйлээс хамгийн чухал хүчин зүйлсийг ялгаж үздэг. Судалгаанд хамрагдсан шинж чанаруудын хооронд хамаарал байгаа эсэхийг тогтоосны дараа регрессийн шинжилгээ ашиглан энэ харилцааны яг тодорхой хэлбэрийг тодорхойлно.

Регрессийн шинжилгээНэг утгын өөрчлөлт (үр дүнтэй шинж чанар) нь нөлөөллөөс шалтгаалсан аналитик илэрхийллийг (функцийн тодорхойлолтод) тодорхойлох явдал юм. бие даасан үнэ цэнэ(факторын тэмдэг). Энэ хамаарлыг регрессийн тэгшитгэл эсвэл регрессийн функц байгуулах замаар тоон байдлаар тодорхойлж болно.

Үндсэн регрессийн загвар нь хосолсон (нэг хүчин зүйл) регрессийн загвар юм. Хос регресс– хоёр хувьсагчийн холболтын тэгшитгэл цагтболон X:

хаана - хамааралтай хувьсагч (үр дүнгийн тэмдэг);

– бие даасан, тайлбарлагч хувьсагч (факторын шинж чанар).

Өөрчлөлтийн шинж чанараас хамаарна цагтөөрчлөлттэй Xшугаман болон шугаман бус регрессийг ялгах.

Шугаман регресс

Энэхүү регрессийн функцийг нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт гэж нэрлэдэг бөгөөд цаг хугацааны явцад жигд хөгжиж буй үйл явцыг тодорхойлоход ашигладаг.

Санамсаргүй гишүүнтэй байх (регрессийн алдаа) нь тэгшитгэлд тооцогдоогүй бусад хүчин зүйлийн хамааралтай хувьсагчид үзүүлэх нөлөөлөл, загварын шугаман бус байдал, хэмжилтийн алдаа, иймээс гадаад төрхтэй холбоотой байдаг. санамсаргүй алдааны тэгшитгэлрегресс нь дараах зорилготой холбоотой байж болно шалтгаанууд:

1) дээжийг төлөөлөхгүй байх. Хосолсон регрессийн загвар нь үр дүнгийн хувьсагчийн хэлбэлзлийг бүрэн тайлбарлах чадваргүй хүчин зүйлийг агуулдаг бөгөөд үүнд бусад олон хүчин зүйл (дугасан хувьсагч) илүү их хэмжээгээр нөлөөлж болно. Ажил эрхлэлт, цалин нь ур чадвараас гадна боловсролын түвшин, ажлын туршлага, хүйс гэх мэт зэргээс хамаарч болно;

2) загварт хамаарах хувьсагчдыг алдаагаар хэмжиж болох магадлал бий. Жишээлбэл, гэр бүлийн хоолны зардлын талаархи мэдээллийг судалгаанд оролцогчдын бүртгэлээс бүрдүүлдэг бөгөөд тэд өдөр тутмын зардлаа сайтар бүртгэх ёстой. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь алдаа гаргахад хүргэдэг.

Түүврийн ажиглалт дээр үндэслэн түүврийн регрессийн тэгшитгэлийг тооцоолно ( регрессийн шугам):

,

хаана
– регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийн тооцоо (
).

Хараат байдлын аналитик хэлбэрсудлагдсан хос шинж чанаруудын хоорондын (регрессийн функц) дараахь зүйлийг ашиглан тодорхойлно аргууд:

Онолын болон логик шинжилгээнд үндэслэсэнсудлагдсан үзэгдлийн мөн чанар, тэдгээрийн нийгэм-эдийн засгийн мөн чанар. Тухайлбал, хүн амын орлого, хүн амын банкин дахь хадгаламжийн хэмжээ хоорондын хамаарлыг судалбал шууд хамааралтай болох нь ойлгомжтой.

График аргахарилцааны мөн чанарыг нүдээр үнэлэх үед.

Хэрэв та атрибутын утгыг х тэнхлэгт зурж график байгуулбал энэ хамаарал тодорхой харагдах болно. X, ба y тэнхлэг дээр - шинж чанарын утгууд цагт. График дээр утгуудад тохирох цэгүүдийг тавина Xболон цагт, бид авдаг корреляцийн талбар:

a) Хэрэв цэгүүд талбайн даяар санамсаргүй байдлаар тархсан бол энэ нь эдгээр шинж чанаруудын хоорондын хамаарал байхгүй байгааг илтгэнэ;

б) хэрэв цэгүүд нь зүүн доод булангаас баруун дээд тал руу чиглэсэн тэнхлэгийн эргэн тойронд төвлөрсөн бол тэмдгүүдийн хооронд шууд хамаарал байдаг;

в) хэрэв цэгүүд зүүн дээд булангаас баруун доод тал руу чиглэсэн тэнхлэгийн эргэн тойронд төвлөрсөн бол шинж чанаруудын хоорондын хамаарал урвуу байна.

Хэрэв корреляцийн талбар дээр бид цэгүүдийг шугамын сегментүүдтэй холбовол бид авна эвдэрсэн шугамзарим нэг өсөх хандлагатай. Энэ нь эмпирик холбоос эсвэл байх болно эмпирик регрессийн шугам. Гадаад төрхөөр нь зөвхөн оршихуйг төдийгүй судалж буй шинж чанаруудын хоорондын харилцааны хэлбэрийг шүүж болно.

Хос регрессийн тэгшитгэл байгуулах

Регрессийн тэгшитгэлийн бүтээн байгуулалтыг түүний параметрүүдийг тооцоолох хүртэл багасгасан. Эдгээр параметрийн тооцоог янз бүрийн аргаар олж болно. Тэдний нэг нь арга юм хамгийн бага квадратууд(MNK). Аргын мөн чанар нь дараах байдалтай байна. Утга бүр эмпирик (ажиглагдсан) утгатай тохирч байна . Регрессийн тэгшитгэлийг бий болгосноор, жишээлбэл, шулуун шугамын тэгшитгэл, утга тус бүр онолын (тооцсон) утгатай тохирно . Ажиглагдсан утгууд регрессийн шугам дээр яг хэвтэж болохгүй, i.e. -тай таарахгүй . Хамаарах хувьсагчийн бодит ба тооцоолсон утгуудын хоорондох зөрүүг нэрлэдэг үлдэгдэл:

LSM нь үр дүнтэй шинж чанарын бодит утгын квадрат хазайлтын нийлбэр болох параметрүүдийн ийм тооцоог олж авах боломжийг олгодог. цагтонолын талаас , өөрөөр хэлбэл үлдэгдэл квадратын нийлбэр, хамгийн бага нь:

Шугаман тэгшитгэл ба шугаман бус тэгшитгэлийн хувьд дараах системийг дараах байдлаар шийднэ. аболон б:

хаана n- дээжийн хэмжээ.

Тэгшитгэлийн системийг шийдэж бид утгыг олж авна аболон б, энэ нь бидэнд бичих боломжийг олгодог регрессийн тэгшитгэл (регрессийн тэгшитгэл):

хаана тайлбарлагч (бие даасан) хувьсагч;

– тайлбарласан (хамааралтай) хувьсагч;

Регрессийн шугам нь цэгээр дамждаг ( ,) ба тэгш байдал хангагдсан:

Та энэ тэгшитгэлийн системээс гарах бэлэн томъёог ашиглаж болно.

хаана - хамааралтай шинж чанарын дундаж утга;

бие даасан шинж чанарын дундаж утга;

хамааралтай ба бие даасан шинж чанаруудын үржвэрийн арифметик дундаж;

бие даасан шинж чанарын хэлбэлзэл юм;

хамааралтай ба бие даасан шинж чанаруудын хоорондын ковариац юм.

Жишээ ковариацхоёр хувьсагч X, цагтдуудсан дундаж утгаэдгээр хувьсагчийн дундажаас хазайлтын үржвэр

Параметр бцагт Xмундаг байна практик үнэ цэнэба регрессийн коэффициент гэж нэрлэдэг. Регрессийн коэффициентутга дунджаар хэдэн нэгжээр өөрчлөгдөж байгааг харуулдаг цагт XТүүний хэмжилтийн 1 нэгж.

Параметрийн тэмдэг бхос регрессийн тэгшитгэлд харилцааны чиглэлийг заана.

хэрэв
, дараа нь судлагдсан үзүүлэлтүүдийн хоорондын хамаарал шууд, i.e. хүчин зүйлийн тэмдгийн өсөлттэй Xүр дүнгийн тэмдэг нэмэгддэг цагт, мөн эсрэгээр;

хэрэв
, дараа нь судлагдсан үзүүлэлтүүдийн хоорондын хамаарал нь урвуу, i.e. хүчин зүйлийн тэмдгийн өсөлттэй Xүр дүнтэй тэмдэг цагтбуурдаг ба эсрэгээр.

Параметрийн утга ахос регрессийн тэгшитгэлд зарим тохиолдолд үр дүнтэй шинж чанарын анхны утга гэж тайлбарлаж болно цагт. Энэ параметрийн тайлбар аүнэ цэнэтэй тохиолдолд л боломжтой
гэсэн утгатай.

Регрессийн тэгшитгэлийг байгуулсны дараа ажиглагдсан утгууд yдараах байдлаар төсөөлж болно.

Үлдсэн , түүнчлэн алдаа , санамсаргүй хэмжигдэхүүн боловч тэдгээр нь алдаанаас ялгаатай , ажиглагдах боломжтой. Үлдсэн хэсэг нь хамааралтай хувьсагчийн нэг хэсэг юм y, үүнийг регрессийн тэгшитгэлээр тайлбарлах боломжгүй.

Регрессийн тэгшитгэл дээр үндэслэн тооцоолж болно онолын үнэ цэнэ Xаливаа үнэт зүйлсийн хувьд X.

Эдийн засгийн шинжилгээнд функцийн уян хатан байдлын тухай ойлголтыг ихэвчлэн ашигладаг. Функцийн уян хатан байдал
харьцангуй өөрчлөлт гэж тооцсон yхарьцангуй өөрчлөлт рүү x. Мэдрэмж нь функц хэр их өөрчлөгдөж байгааг харуулдаг
бие даасан хувьсагч 1%-иар өөрчлөгдөх үед.

Шугаман функцийн уян хатан байдлаас хойш
тогтмол биш харин үүнээс хамаарна X, дараа нь уян хатан байдлын коэффициентийг ихэвчлэн дундаж мэдрэмжийн индексээр тооцдог.

Уян хатан байдлын коэффициентүр дүнтэй шинж чанарын утга нийлбэр дүнгээр дунджаар хэдэн хувиар өөрчлөгдөхийг харуулдаг цагтхүчин зүйлийн тэмдгийг өөрчлөх үед XДундаж үнийн дүнгийн 1%:

хаана
- хувьсагчдын дундаж утгууд Xболон цагтдээжинд.

Баригдсан регрессийн загварын чанарын үнэлгээ

Регрессийн загварын чанар- баригдсан загвар нь анхны (ажиглагдсан) өгөгдөлд нийцсэн эсэх.

Холболтын битүүмжлэлийг хэмжихийн тулд, i.e. функциональд хэр ойрхон байгааг хэмжихийн тулд хазайлтыг хэмждэг дисперсийг тодорхойлох хэрэгтэй цагт-аас цагт Xболон бусад хүчин зүйлээс шалтгаалсан үлдэгдэл өөрчлөлтийг тодорхойлох. Эдгээр нь регрессийн загварын чанарыг тодорхойлдог үзүүлэлтүүдийн үндэс суурь болдог.

Хос регрессийн чанарыг тодорхойлох коэффициент ашиглан тодорхойлно

1) холболтын нягт байдал - корреляцийн индекс, хосолсон шугаман корреляцийн коэффициент;

2) ойролцоолсон алдаа;

3) регрессийн тэгшитгэлийн чанар ба түүний бие даасан параметрүүд - бүхэлдээ регрессийн тэгшитгэлийн дундаж квадрат алдаа ба түүний бие даасан параметрүүд.

Регрессийн хувьд ямар ч төрлийн тэгшитгэлийг тодорхойлсон корреляцийн индекс, энэ нь зөвхөн корреляцийн хамаарлын нягт байдлыг тодорхойлдог, i.e. түүний функциональ холболттой ойролцоох зэрэг:

,

хаана – хүчин зүйлийн (онолын) дисперс;

нийт хэлбэлзэл юм.

Корреляцийн индекс нь утгыг авдаг
, үүнд,

хэрэв

хэрэв
шинж чанаруудын хоорондын хамаарал юм Xболон цагтажиллагаатай байх тусмаа ойрхон байна 1 хүртэл, судлагдсан шинж чанаруудын хоорондын хамаарлыг илүү ойртуулна. Хэрвээ
, тэгвэл харилцааг ойр дотно гэж үзэж болно

Холболтын нягт байдлын үзүүлэлтүүдийг тооцоолоход шаардагдах зөрүүг тооцоолно.

Нийт зөрүү, бүх хүчин зүйлийн нөлөөллөөс шалтгаалсан нийт өөрчлөлтийг хэмждэг:

Факториаль (онолын) дисперс,үүссэн шинж чанарын өөрчлөлтийг хэмжих цагтхүчин зүйлийн тэмдгийн үйл ажиллагааны улмаас X:

Үлдэгдэл тархалт, энэ нь шинж чанарын өөрчлөлтийг тодорхойлдог цагтбусад бүх хүчин зүйлээс шалтгаална X(өөрөөр хэлбэл хассантай хамт X):

Дараа нь хэлбэлзлийг нэмэх дүрмийн дагуу:

Уурын өрөөний чанар шугаманашиглан регрессийг мөн тодорхойлж болно давхар шугаман коэффициентхамаарал:

,

хаана
– хувьсагчдын ковариац Xболон цагт;

– бие даасан шинж чанарын стандарт хазайлт;

хамааралтай шинж чанарын стандарт хазайлт юм.

Шугаман корреляцийн коэффициент нь судлагдсан шинж чанаруудын хоорондын хамаарлын нягт, чиглэлийг тодорхойлдог. Энэ нь [-1; +1]:

хэрэв
- дараа нь тэмдгүүдийн хоорондын хамаарал шууд байна;

хэрэв
- тэгвэл тэмдгүүдийн хоорондын хамаарал урвуу байна;

хэрэв
- тэгвэл тэмдгүүдийн хооронд ямар ч холбоо байхгүй;

хэрэв
эсвэл
- дараа нь шинж чанаруудын хоорондын хамаарал нь функциональ, i.e. хооронд төгс тохирохоор тодорхойлогддог Xболон цагт. Ойрхон 1 хүртэл, судлагдсан шинж чанаруудын хоорондын хамаарлыг илүү ойртуулна.

Хэрэв корреляцийн индекс (хосолсон шугаман корреляцийн коэффициент) квадрат бол бид детерминацын коэффициентийг авна.

Тодорхойлох коэффициент- хүчин зүйлийн хэлбэлзлийн нийт үзүүлэлтэд эзлэх хувийг илэрхийлж, үүссэн шинж чанарын өөрчлөлтийн хэдэн хувийг харуулдаг цагтхүчин зүйлийн шинж чанарын өөрчлөлтөөр тайлбарладаг X:

Энэ нь бүх хувилбаруудыг хамардаггүй. цагтхүчин зүйлийн шинж чанараас X, гэхдээ зөвхөн шугаман регрессийн тэгшитгэлд тохирох хэсэг нь, i.e. харуулж байна тодорхой татах хүчхүчин зүйлийн шинж чанарын өөрчлөлттэй шугаман хамааралтай үүссэн шинж чанарын өөрчлөлт.

Үнэ цэнэ
- регрессийн загварт тооцож чадаагүй үр дүнд бий болсон шинж чанарын өөрчлөлтийн эзлэх хувь.

Корреляцийн талбар дахь цэгүүдийн тархалт маш том байж болох ба тооцоолсон регрессийн тэгшитгэл нь дүн шинжилгээ хийсэн үзүүлэлтийг тооцоход том алдаа гаргаж болно.

Ойролцооны дундаж алдааТооцоолсон утгуудын бодит хэмжээнээс дундаж хазайлтыг харуулна.

Хамгийн их зөвшөөрөгдөх утга нь 12-15% байна.

Стандарт алдааг регрессийн шугамын эргэн тойронд хамааралтай хувьсагчийн тархалтын хэмжүүр болгон ашигладаг.Ажиглагдсан утгуудын бүх багцын хувьд стандарт (rms) регрессийн тэгшитгэлийн алдаа, энэ нь бодит утгуудын стандарт хазайлт юм цагтрегрессийн тэгшитгэлээр тооцсон онолын утгуудтай харьцуулахад цагт X .

,

хаана
эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо;

мнь регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийн тоо (шулуун тэгшитгэлийн хувьд м=2).

Дундаж квадратын алдааны утгыг харьцуулах замаар тооцоолж болно

a) үр дүнтэй шинж чанарын дундаж утгатай цагт;

б) шинж чанарын стандарт хазайлтаар цагт:

хэрэв
, тэгвэл энэ регрессийн тэгшитгэлийг ашиглах нь тохиромжтой.

Тус тусад нь үнэлдэг Стандарт (rms) тэгшитгэлийн параметр ба корреляцийн индексийн алдаа:

;
;
.

 X- стандарт хэлбэлзэл X.

Регрессийн тэгшитгэлийн ач холбогдол ба холболтын битүүмжлэлийн үзүүлэлтүүдийг шалгах

Баригдсан загварыг цаашдын эдийн засгийн тооцоонд ашиглахын тулд барьсан загварын чанарыг шалгах нь хангалтгүй юм. Мөн регрессийн тэгшитгэлийн үнэлгээний ач холбогдол (ач холбогдол) болон хамгийн бага квадратын аргыг ашиглан олж авсан холболтын ойрын үзүүлэлтийг шалгах шаардлагатай. харилцааны жинхэнэ параметрүүдтэй нийцэж байгаа эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Энэ нь хязгаарлагдмал популяцид тооцсон үзүүлэлтүүд нь шинж чанарын бие даасан утгуудад хамаарах санамсаргүй байдлын элементийг хадгалж байгаатай холбоотой юм. Тиймээс эдгээр нь зөвхөн тодорхой статистикийн тогтмол байдлын тооцоо юм. Регрессийн параметрүүдийн нарийвчлал, ач холбогдлын зэрэглэлийг (найдвартай байдал, материаллаг байдал) үнэлэх шаардлагатай. Доод ач холбогдолШалгасан параметрийн утга тэгтэй тэнцүү биш байх магадлалыг ойлгоход эсрэг тэмдгийн утгууд ороогүй болно.

Ач холбогдлын тест– параметрүүд нь тэгээс ялгаатай гэсэн таамаглалыг шалгах.

Хосолсон регрессийн тэгшитгэлийн ач холбогдлыг үнэлэх ньЭнэ нь регрессийн тэгшитгэлийн ач холбогдол ба түүний бие даасан параметрүүдийн талаархи таамаглалыг шалгахад хүргэдэг ( а, б), детерминацийн хос коэффициент буюу корреляцийн индекс.

Энэ тохиолдолд дараахь зүйлийг дэвшүүлж болно үндсэн таамаглалуудХ 0 :

1)
– регрессийн коэффициентүүд ач холбогдолгүй, регрессийн тэгшитгэл нь мөн ач холбогдолгүй;

2)
– хос детерминацын коэффициент ач холбогдолгүй, регрессийн тэгшитгэл нь мөн ач холбогдолгүй байна.

Альтернатив (эсвэл урвуу) нь дараах таамаглалууд юм.

1)
– регрессийн коэффициентүүд нь тэгээс эрс ялгаатай, бүтээгдсэн регрессийн тэгшитгэл нь ач холбогдолтой;

2)
– хосын детерминацийн коэффициент нь тэгээс эрс ялгаатай бөгөөд байгуулагдсан регрессийн тэгшитгэл нь ач холбогдолтой.

Хосолсон регрессийн тэгшитгэлийн ач холбогдлын талаархи таамаглалыг шалгах

Регрессийн тэгшитгэлийн статистик ач холбогдолгүй байдлын таамаглал ба детерминацийн коэффициентийг шалгахын тулд бид ашигладаг. Ф- шалгуур(Фишерийн шалгуур):

эсвэл

хаана к 1 = м–1 ; к 2 = n– м эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо;

nхүн амын нэгжийн тоо;

мрегрессийн тэгшитгэлийн параметрийн тоо;

- хүчин зүйлийн тархалт;

үлдэгдэл хэлбэлзэл юм.

Таамаглалыг дараах байдлаар шалгана.

1) хэрэв бодит (ажиглагдсан) утга Ф-шалгуур нь энэ шалгуурын эгзэгтэй (хүснэгт) утгаас их байна
, дараа нь магадлалаар
регрессийн тэгшитгэлийн ач холбогдолгүй эсвэл хос детерминацийн коэффициентийн талаархи үндсэн таамаглалыг үгүйсгэж, регрессийн тэгшитгэлийг чухал гэж хүлээн зөвшөөрсөн;

2) хэрэв F-шалгуурын бодит (ажиглагдсан) утга нь энэ шалгуурын эгзэгтэй утгаас бага бол
, дараа нь магадлалаар (
) регрессийн тэгшитгэлийн ач холбогдолгүй эсвэл хос детерминацийн коэффициентийн талаархи үндсэн таамаглалыг хүлээн зөвшөөрч, байгуулагдсан регрессийн тэгшитгэлийг ач холбогдолгүй гэж хүлээн зөвшөөрнө.

чухал үнэ цэнэ Ф- шалгуур үзүүлэлтийг ач холбогдлын түвшнээс хамаарч харгалзах хүснэгтийн дагуу олно болон эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо
.

Эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо– түүврийн хэмжээ хоорондын зөрүүгээр тодорхойлогддог үзүүлэлт ( n) болон энэ түүврийн тооцоолсон параметрүүдийн тоо ( м). Хосолсон регрессийн загварын хувьд эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоог дараах байдлаар тооцно
, түүвэрээс хоёр параметрийг тооцоолсон тул (
).

Ач холбогдолын түвшин - тодорхойлсон үнэ цэнэ
,

хаана нь тооцоолсон параметрт хамаарах итгэлийн магадлал юм итгэлийн интервал. Ихэвчлэн 0.95-ыг авдаг. Энэ замаар нь тооцоолсон параметрийн итгэлцлийн интервалд орохгүй байх магадлал нь 0.05 (5%) -тай тэнцүү байна.

Дараа нь хосолсон регрессийн тэгшитгэлийн ач холбогдлыг үнэлэх тохиолдолд F-шалгуурын критерийн утгыг дараах байдлаар тооцоолно.
:

.

Хос регрессийн тэгшитгэл ба корреляцийн индексийн параметрүүдийн ач холбогдлын талаархи таамаглалыг шалгах

Тэгшитгэлийн параметрүүдийн ач холбогдлыг шалгахдаа (параметрүүд нь тэгээс ялгаатай гэсэн таамаглал) олж авсан тооцооллын ач холбогдолгүй байдлын талаархи үндсэн таамаглалыг дэвшүүлэв (
. Альтернатив (урвуу) таамаглалыг тэгшитгэлийн параметрүүдийн ач холбогдлын талаар дэвшүүлсэн болно.
).

Санал болгож буй таамаглалыг шалгахын тулд бид ашигладаг т - шалгуур (т- статистик) Оюутан. Ажиглагдсан үнэ цэнэ т-шалгуурыг үнэ цэнтэй харьцуулсан т-Оюутны хуваарилалтын хүснэгтээр тодорхойлогддог шалгуур (эгзэгтэй утга). чухал үнэ цэнэ т- шалгуур
ач холбогдлын түвшин гэсэн хоёр үзүүлэлтээс хамаарна болон эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо
.

Санал болгож буй таамаглалыг дараах байдлаар шалгана.

1) хэрэв ажиглагдсан утгын модуль т-шалгуур үзүүлэлт нь эгзэгтэй утгаас их байна т-шалгуур, өөрөөр хэлбэл.
, дараа нь магадлалаар
регрессийн параметрүүдийн ач холбогдолгүй байдлын талаархи үндсэн таамаглалыг үгүйсгэсэн, i.e. регрессийн параметрүүд 0-тэй тэнцүү биш;

2) хэрэв ажиглагдсан утгын модуль т- шалгуур үзүүлэлт нь эгзэгтэй утгаас бага буюу тэнцүү байна т-шалгуур, өөрөөр хэлбэл.
, дараа нь магадлалаар
регрессийн параметрүүдийн ач холбогдолгүй байдлын талаархи үндсэн таамаглалыг хүлээн зөвшөөрсөн, i.e. регрессийн параметрүүд нь бараг 0-ээс ялгаатай биш эсвэл 0-тэй тэнцүү байна.

Оюутны тестийг ашиглан регрессийн коэффициентүүдийн ач холбогдлын үнэлгээг тэдгээрийн тооцооллыг стандарт алдааны утгатай харьцуулах замаар гүйцэтгэнэ.

;

Корреляцийн индексийн (шугаман коэффициент) статистик ач холбогдлыг үнэлэхийн тулд үүнийг мөн ашигладаг. т-Оюутны шалгуур.

Корреляцийн хамаарлыг судлах нь нэг хувьсагчийн утгыг хамааралтай хувьсагч болгон авч болох, өөр хувьсагч ямар утгыг авахаас хамаарч "дунджаар" өөрчлөгддөг хувьсагчдын хоорондын хамаарлыг судлахад суурилдаг. хамааралтай хувьсагчтай холбоотой шалтгаан гэж үздэг. Энэ шалтгааны үйл ажиллагаа нь нарийн төвөгтэй харилцан үйлчлэлийн нөхцөлд явагддаг янз бүрийн хүчин зүйлүүд, үүний үр дүнд тогтмол байдлын илрэл нь ослын нөлөөгөөр бүрхэгдэнэ. Тухайн шинж чанар-факторын утгын бүлгийн үр дүнгийн шинж чанарын дундаж утгыг тооцоолохдоо боломжийн нөлөөллийг хэсэгчлэн арилгадаг. Онолын холбооны шугамын параметрүүдийг тооцоолохдоо тэдгээрийг цаашид арилгаж, "x" хүчин зүйлийн өөрчлөлттэй "y" гэсэн хоёрдмол утгагүй (хэлбэрийн хувьд) өөрчлөлтийг олж авна.

Стохастик харилцааг судлахын тулд хоёр зэрэгцээ цувааг харьцуулах арга буюу аналитик бүлэглэх аргыг өргөн ашигладаг. корреляцийн шинжилгээ, регрессийн шинжилгээболон зарим параметрийн бус аргууд. AT ерөнхий үзэлХарилцаа холбоог судлах чиглэлээр статистикийн үүрэг бол зөвхөн тэдгээрийн оршихуй, харилцааны чиглэл, хүч чадлыг тооцоолох төдийгүй үр дүнд нь хүчин зүйлийн шинж чанарын нөлөөллийн хэлбэрийг (аналитик илэрхийлэл) тодорхойлох явдал юм. Үүнийг шийдвэрлэхийн тулд корреляцийн болон регрессийн шинжилгээний аргуудыг ашигладаг.

БҮЛЭГ 1. РЕГРЕССИЙН ТЭГШИтгэл: ОНОЛЫН ҮНДЭС

1.1. Регрессийн тэгшитгэл: функцүүдийн мөн чанар ба төрөл

Регресс (лат. regressio- урвуу хөдөлгөөн, түүнээс дээш шилжих нарийн төвөгтэй хэлбэрүүднарийн төвөгтэй болгох) нь магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудын нэг юм математик статистикдундаж утгын хамаарлыг илэрхийлэх санамсаргүй хувьсагчөөр санамсаргүй хэмжигдэхүүн эсвэл хэд хэдэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудаас. Энэ ойлголтыг 1886 онд Фрэнсис Галтон танилцуулсан.

Онолын регрессийн шугам нь корреляцийн талбайн цэгүүдийг тойрон бүлэглэж, үндсэн чиглэл, холболтын гол чиг хандлагыг харуулсан шугам юм.

Онолын регрессийн шугам нь "x" хүчин зүйлийн шинж чанарын утгууд өөрчлөгдөхөд "y" үр дүнтэй атрибутын дундаж утгын өөрчлөлтийг тусгах ёстой бөгөөд бусад бүх зүйл - "x" хүчин зүйлтэй холбоотой санамсаргүй байдлаар өөрчлөгдөх ёстой. шалтгаанууд харилцан хүчингүй болно. Иймд энэ шугамыг онолын регрессийн шугамын харгалзах цэгүүдээс корреляцийн талбайн цэгүүдийн хазайлтын нийлбэр тэгтэй тэнцүү байх ба эдгээр хазайлтын квадратуудын нийлбэр хамгийн бага байхаар зурах хэрэгтэй. үнэ цэнэ.

y=f(x) - регрессийн тэгшитгэл нь хувьсагчдын хоорондын статистик хамаарлын томъёо юм.

Хавтгай дээрх шулуун шугамыг (хоёр хэмжээст орон зайд) y=a+b*x тэгшитгэлээр тодорхойлно. Илүү дэлгэрэнгүй: y хувьсагчийг тогтмол (a) ба налуу (b) х хувьсагчаар үржүүлж илэрхийлж болно. Тогтмолыг заримдаа огтлолцол гэж нэрлэдэг ба налууг регресс буюу B хүчин зүйл гэж нэрлэдэг.

Регрессийн шинжилгээний чухал алхам бол функцүүдийн төрлийг тодорхойлох явдал бөгөөд энэ нь шинж чанаруудын хоорондын хамаарлыг тодорхойлдог. Гол үндэс нь судалж буй хамаарлын мөн чанар, түүний механизмын утга учиртай дүн шинжилгээ байх ёстой. Үүний зэрэгцээ, судалж буй нийгэм, эдийн засгийн үзэгдлүүд нь маш нарийн төвөгтэй бөгөөд тэдгээрийн түвшинг бүрдүүлдэг хүчин зүйлүүд нь хоорондоо нягт уялдаатай, харилцан үйлчилдэг тул хүчин зүйл тус бүрийн гүйцэтгэлийн үзүүлэлттэй холбогдох хэлбэрийг онолын хувьд үндэслэлтэй болгох нь үргэлж боломжгүй байдаг. бусадтайгаа. Тиймээс үндэслэн онолын шинжилгээИхэнхдээ харилцааны чиглэл, судалж буй популяцид түүнийг өөрчлөх боломж, шугаман харилцааг ашиглах хууль ёсны байдал, хэт үнэ цэнийн боломжит байдал гэх мэт хамгийн ерөнхий дүгнэлтийг гаргаж болно. Ийм таамаглалд зайлшгүй шаардлагатай нэмэлт зүйл бол тодорхой бодит мэдээллийн дүн шинжилгээ байх ёстой.

Эмпирик регрессийн шугам дээр үндэслэн холбоосын шугамын ойролцоо санааг олж авах боломжтой. Эмпирик регрессийн шугам нь ихэвчлэн тасархай шугам бөгөөд их бага ач холбогдолтой завсарлагатай байдаг. Энэ нь үр дүнтэй шинж чанарын өөрчлөлтөд нөлөөлдөг бусад тооцоогүй хүчин зүйлсийн нөлөөлөл нь хангалтгүйн улмаас дунджаар хэсэгчлэн арилдагтай холбон тайлбарлаж байна. их тооажиглалт, тиймээс ажиглалтын тоо хангалттай их байвал онолын муруйн төрлийг сонгох, зөвтгөх эмпирик холбоосыг ашиглаж болно.

Тодорхой судалгааны элементүүдийн нэг нь загваруудын өрсөлдөгч хувилбаруудаар эмпирик өгөгдлийг ойролцоолох чанарын шалгуурыг ашиглахад үндэслэсэн янз бүрийн хамаарлын тэгшитгэлүүдийг харьцуулах явдал юм.Ихэнх тохиолдолд харилцааг тодорхойлоход ашигладаг. эдийн засгийн үзүүлэлтүүддараах төрлийн функцуудыг ашиглана:

1. Шугаман:

2. Гипербол:

3. Үзүүлэн харуулах:

4. Параболик:

5. Эрчим хүч:

6. Логарифм:

7. Логистик:

Нэг тайлбарлагч, нэг тайлбарлагч хувьсагчтай загвар нь хосолсон регрессийн загвар юм. Хэрэв хоёр ба түүнээс дээш тайлбарлагч (фактор) хувьсагчийг ашигласан бол загварыг ашигласан гэж хэлдэг. олон регресс. Энэ тохиолдолд эдгээр хувьсагчдыг холбосон шугаман, экспоненциал, гипербол, экспоненциал болон бусад төрлийн функцуудыг сонголт болгон сонгож болно.

a ба b параметрүүдийг олохын тулд регрессийн тэгшитгэл нь хамгийн бага квадратын аргыг ашигладаг. Функцийг олохын тулд хамгийн бага квадратын аргыг хэрэглэх үед хамгийн зөв замэмпирик өгөгдөлтэй тохирч байгаа тул онолын регрессийн шугамаас эмпирик цэгүүдийн квадрат хазайлтын баг нь хамгийн бага утга байх ёстой гэж үздэг.

Хамгийн бага квадратын аргын шалгуурыг дараах байдлаар бичиж болно.

Тиймээс эмпирик өгөгдөлд хамгийн сайн тохирох шулуун шугамын a ба b параметрүүдийг тодорхойлохын тулд хамгийн бага квадратын аргыг хэрэглэх нь экстремум асуудал болж буурдаг.

Үнэлгээний хувьд дараахь дүгнэлтийг гаргаж болно.

1. Хамгийн бага квадратын тооцоо нь түүвэрлэлтийн функцууд бөгөөд үүнийг тооцоолоход хялбар болгодог.

2. Хамгийн бага квадратын аргын тооцоолол нь цэгийн тооцоололонолын регрессийн коэффициентүүд.

3. Регрессийн эмпирик шугам нь заавал x,y цэгээр дамждаг.

4. Эмпирик регрессийн тэгшитгэлийг хазайлтын нийлбэр нь

.

Эмпирик ба онолын холбооны шугамын график дүрслэлийг 1-р зурагт үзүүлэв.

Тэгшитгэлийн b параметр нь регрессийн коэффициент юм. Шууд корреляцийн хамаарал байгаа тохиолдолд регрессийн коэффициент байна эерэг утга, мөн урвуу хамаарлын үед регрессийн коэффициент сөрөг байна. Регрессийн коэффициент нь хүчин зүйлийн шинж чанар "x" нэгээр өөрчлөгдөхөд "y" үр дүнтэй шинж чанарын утга дунджаар хэр их өөрчлөгдөж байгааг харуулдаг. Геометрийн хувьд регрессийн коэффициент нь х тэнхлэгтэй харьцуулахад корреляцийн тэгшитгэлийг харуулсан шулуун шугамын налуу юм (тэгшитгэлийн хувьд).

).

Олон хэмжээст хэсэг Статистикийн дүн шинжилгээхараат байдлыг сэргээхэд зориулагдсан регрессийн шинжилгээ гэж нэрлэдэг. "Шугаман регрессийн шинжилгээ" гэсэн нэр томъёог авч үзэж буй функц нь тооцоолсон параметрүүдээс шугаман хамааралтай (бие даасан хувьсагчдаас хамаарал нь дур зоргоороо байж болно) үед хэрэглэгддэг. Үнэлгээний онол

Шугаман регрессийн шинжилгээний тохиолдолд үл мэдэгдэх параметрүүдийг нарийн боловсруулдаг. Хэрэв шугаман байдал байхгүй бөгөөд үүнийг дамжуулах боломжгүй бол шугаман асуудал, дараа нь, дүрэм ёсоор, сайн шинж чанаруудзэрэглэл хүлээхгүй. Хамааралтай тохиолдолд арга барилыг үзүүлье өөр төрлийн. Хэрэв хамаарал нь олон гишүүнт (олон гишүүн) хэлбэртэй байвал. Хэрэв корреляцийн тооцоолол нь хоёр хувьсагчийн хоорондын хамаарлын бат бөх чанарыг тодорхойлдог бол регрессийн шинжилгээ нь энэ харилцааны төрлийг тодорхойлоход үйлчилдэг бөгөөд өөр (бие даасан) хувьсагчийн утга дээр үндэслэн нэг (хамааралтай) хувьсагчийн утгыг таамаглах боломжтой болгодог. Шугаман регрессийн шинжилгээг хийхийн тулд хамааралтай хувьсагч нь интервал (эсвэл дарааллын) масштабтай байх ёстой. Үүний зэрэгцээ хоёртын логистикийн регресс нь дихотомийн хувьсагчийн аль ч масштабтай холбоотой бусад хувьсагчаас хамааралтай болохыг харуулж байна. Пробитийн шинжилгээнд хэрэглээний ижил нөхцөл хүчинтэй байна. Хэрэв хамааралтай хувьсагч нь категорих боловч хоёроос дээш ангилалтай бол энд олон гишүүнт логистик регресс тохиромжтой арга байх ба интервалын хуваарьт хамаарах хувьсагчдын хоорондын шугаман бус хамаарлыг шинжлэх боломжтой. Үүний тулд арга нь юм шугаман регресс.

Даалгавар.

Аж ахуйн нэгжүүдээр хөнгөн үйлдвэрбүс нутаг, үйлдвэрлэлийн хэмжээ (Y, сая рубль) нь хөрөнгийн хөрөнгө оруулалтын хэмжээ (Y, сая рубль) -ээс хамааралтай болохыг тодорхойлсон мэдээллийг олж авсан.

Хүснэгт 1.

Үйлдвэрлэлийн хэмжээ нь хөрөнгийн хөрөнгө оруулалтын хэмжээнээс хамаарах.

X
Ю

Шаардлагатай:

1. Шугаман регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийг олох, регрессийн коэффициентийн эдийн засгийн тайлбарыг өгөх.

2. Үлдэгдлийг тооцоолох; квадратуудын үлдэгдэл нийлбэрийг олох; үлдэгдлийн зөрүүг тооцоолох; үлдэгдлийг зурах.

3. LSM-ийн урьдчилсан нөхцөлийн биелэлтийг шалгах.

4. Регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийн ач холбогдлыг Student's t-test (α = 0.05) ашиглан шалгана уу.

5. Детерминацийн коэффициентийг тооцоолж, Фишерийн F - шалгуурыг (α = 0.05) ашиглан регрессийн тэгшитгэлийн ач холбогдлыг шалгаж, дундаж харьцангуй ойролцоо алдааг ол. Загварын чанарын талаар дүгнэлт хий.

6. X хүчин зүйлийн таамагласан утга нь түүний хамгийн их утгын 80% байвал Y үзүүлэлтийн дундаж утгыг α = 0.1 ач холбогдлын түвшинд урьдчилан таамаглах.

7. Урьдчилан таамаглах цэгийн бодит болон загвар Y утгыг графикаар үзүүл.

8. Тэгшитгэл бич шугаман бус регрессмөн тэдгээрийн графикийг зур:

гиперболик;

Эрчим хүч;

Үзүүлэн харуулах.

9. Эдгээр загваруудын хувьд детерминацын болон дундаж коэффициентийг ол харьцангуй алдааойролцоо тооцоолол. Эдгээр шинж чанаруудын дагуу загваруудыг харьцуулж, дүгнэлт гарга.

Шугаман регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийг олж, регрессийн коэффициентийн эдийн засгийн тайлбарыг өгье.

Шугаман регрессийн тэгшитгэл нь: ,

a ба b параметрүүдийг олох тооцоог 2-р хүснэгтэд үзүүлэв.

Хүснэгт 2.

Шугаман регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийг олох утгын тооцоо.

Регрессийн тэгшитгэл нь: y = 13.8951 + 2.4016*x.

Хөрөнгийн хөрөнгө оруулалтын хэмжээ (X) 1 сая рубль нэмэгдсэнээр. үйлдвэрлэлийн хэмжээ (Y) дунджаар 2.4016 сая рубль нэмэгдэнэ. Тиймээс аж ахуйн нэгжүүдийн үр ашиг, тэдний үйл ажиллагаанд оруулсан хөрөнгө оруулалтын ашигт ажиллагааг илтгэх шинж тэмдгүүдийн эерэг хамаарал байдаг.

2. Үлдэгдлийг тооцоолох; квадратуудын үлдэгдэл нийлбэрийг олох; үлдэгдлийн хэлбэлзлийг тооцоолох болон үлдэгдлийг зур.

Үлдсэн хэсгийг дараахь томъёогоор тооцоолно. e i = y i - y прогноз.

Квадрат хазайлтын үлдэгдэл нийлбэр: = 207.74.

Үлдэгдэл тархалт: 25.97.

Тооцооллыг 3-р хүснэгтэд үзүүлэв.

Хүснэгт 3

№	Ю	X	Y=a+b*x i	e i = y i - y таамаглаж байна.	e би 2
			100,35	3,65	13,306
			81,14	-4,14	17,131
			117,16	-0,16	0,0269
			138,78	-1,78	3,1649
			136,38	6,62	43,859
			143,58	0,42	0,1744
			73,93	8,07	65,061
			102,75	-1,75	3,0765
			136,38	-4,38	19,161
			83,54	-6,54	42,78
нийлбэр				0,00	207,74
Дундаж	111,4	40,6

Балансын график дараах байдлаар харагдаж байна.

Зураг 1. Үлдэгдэл график

3. Дараах элементүүдийг багтаасан LSM-ийн урьдчилсан нөхцөлүүд биелсэн эсэхийг шалгая.

- санамсаргүй бүрэлдэхүүн хэсгийн математик хүлээлтийн тэгш байдлыг тэг хүртэл шалгах;

- үлдэгдлийн санамсаргүй шинж чанар;

- бие даасан байдлыг шалгах;

- хэд хэдэн үлдэгдэл нь хэвийн тархалтын хуультай тохирч байна.

Цуврал үлдэгдлийн түвшний математик хүлээлтийн тэгш байдлыг тэг хүртэл шалгах.

Энэ нь харгалзах тэг таамаглалыг шалгах явцад хийгддэг H 0: . Энэ зорилгоор t-статистикийг байгуулдаг, хаана .

Тиймээс таамаглалыг хүлээн зөвшөөрч байна.

Үлдэгдэлийн санамсаргүй шинж чанар.

Эргэлтийн цэгийн шалгуурыг ашиглан цуврал үлдэгдэлийн түвшний санамсаргүй байдлыг шалгая.

Эргэлтийн цэгүүдийн тоог үлдэгдлийн хүснэгтээс тодорхойлно.

№	e i = y i - y таамаглаж байна.	Эргэлтийн цэгүүд	e би 2	(e i - e i -1) 2
	3,65		13,31
	-4,14	*	17,13	60,63
	-0,16	*	0,03	15,80
	-1,78	*	3,16	2,61
	6,62	*	43,86	70,59
	0,42	*	0,17	38,50
	8,07	*	65,06	58,50
	-1,75	*	3,08	96,43
	-4,38		19,16	6,88
	-6,54		42,78	4,68
нийлбэр	0,00		207,74	354,62
Дундаж

= 6 > тул үлдэгдлийн санамсаргүй байдлын шинж чанар хангагдсан байна.

Үлдэгдэл бие даасан байдал Durbin-Watson тест ашиглан баталгаажуулсан:

=4 - 1,707 = 2,293.

Энэ нь d 2-оос 2 хүртэлх интервалд орсон тул энэ шалгуурын дагуу бид бие даасан байдлын шинж чанарыг хангаж байна гэж дүгнэж болно. Энэ нь динамикийн цувралд автокорреляци байхгүй тул энэ шалгуурын дагуу загвар нь хангалттай гэсэн үг юм.

Хэд хэдэн үлдэгдэл хэвийн тархалтын хуультай тохирч байначухал түвшний R/S-шалгуурыг ашиглан тодорхойлсон (2.7-3.7);

RS утгыг тооцоолох:

RS = (e max - e min) / S,

хаана emax - хамгийн их утгаолон тооны үлдэгдлийн түвшин E(t) = 8.07;

e min - цуврал үлдэгдлийн түвшний хамгийн бага утга E(t) = -6.54.

S - стандарт хазайлт, = 4,8044.

RS \u003d (e max - e min) / S \u003d (8.07 + 6.54) / 4.8044 \u003d 3.04.

2.7-оос хойш< 3,04 < 3,7, и полученное значение RS попало в за-данный интервал, значит, выполняется свойство нормальности распределения.

Тиймээс авч үзвэл янз бүрийн шалгуур LSM-ийн урьдчилсан нөхцөлүүд биелсэн гэж бид дүгнэж байна.

4. Регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийн ач холбогдлыг Стьюдентийн t-тест α = 0.05 ашиглан шалгая.

Хувь хүний ​​регрессийн коэффициентүүдийн ач холбогдлыг шалгах нь тооцоолсон утгыг тодорхойлохтой холбоотой юм t-тест (t-статистик)харгалзах регрессийн коэффициентүүдийн хувьд:

Дараа нь тооцоолсон утгыг хүснэгттэй харьцуулна t хүснэгт= 2.3060. Шалгуурын хүснэгтийн утгыг дараах үед тодорхойлно ( n- 2) эрх чөлөөний зэрэг ( n-ажиглалтын тоо) ба харгалзах ач холбогдлын түвшин a (0.05)

Хэрэв t-тестийн тооцоолсон утга нь (n- 2) эрх чөлөөний зэрэг нь өгөгдсөн ач холбогдлын түвшинд хүснэгтийн утгаас давсан тохиолдолд регрессийн коэффициентийг чухал гэж үзнэ.

Манай тохиолдолд регрессийн коэффициент нь 0 - ач холбогдолгүй, 1 - чухал коэффициент юм.

ОХУ-ын Боловсрол, шинжлэх ухааны яам

Холбооны боловсролын агентлаг

муж боловсролын байгууллагадээд мэргэжлийн боловсрол

Бүх Оросын захидал харилцааны санхүү, эдийн засгийн дээд сургууль

Тула дахь салбар

Туршилт

"Эконометрик" чиглэлээр

Тула - 2010 он

Даалгавар 2 (a, b)

Хөнгөн үйлдвэрийн аж ахуйн нэгжүүдийн хувьд үйлдвэрлэлийн хэмжээ (Y, сая рубль) нь хөрөнгийн хөрөнгө оруулалтын хэмжээ (X, сая рубль) -ээс хамааралтай болохыг тодорхойлсон мэдээллийг олж авсан болно. нэг.

X	33	17	23	17	36	25	39	20	13	12
Ю	43	27	32	29	45	35	47	32	22	24

Шаардлагатай:

1. Шугаман регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийг олох, регрессийн коэффициентийн эдийн засгийн тайлбарыг өгөх.

2. Үлдэгдлийг тооцоолох; квадратуудын үлдэгдэл нийлбэрийг олох; үлдэгдлийн хэлбэлзлийг тооцоолох

; үлдэгдлийг зурах.

3. LSM-ийн урьдчилсан нөхцөлийн биелэлтийг шалгах.

4. Регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийн ач холбогдлыг Student's t-test (α=0.05) ашиглан шалгана.

5. Детерминацийн коэффициентийг тооцоолж, регрессийн тэгшитгэлийн ач холбогдлыг Фишерийн F-тест (α=0.05) ашиглан шалгаж, харьцангуй ойртсон дундаж алдааг ол. Загварын чанарын талаар дүгнэлт хий.

6. X хүчин зүйлийн таамагласан утга нь түүний хамгийн их утгын 80% байвал Y үзүүлэлтийн дундаж утгыг α=0.1 ач холбогдлын түвшинд урьдчилан таамагла.

7. Графикаар үзүүлэв: бодит болон загварын Y утгууд, таамаглах цэгүүд.

8. Шугаман бус регрессийн тэгшитгэл зохио.

гиперболик;

хүч;

заалт.

Баригдсан регрессийн тэгшитгэлийн графикийг өг.

9. Эдгээр загваруудын хувьд детерминацийн коэффициент ба дундаж харьцангуй ойртсон алдааг ол. Эдгээр шинж чанаруудын дагуу загваруудыг харьцуулж, дүгнэлт гарга.

1. Шугаман загвар нь дараах хэлбэртэй байна.

Шугаман регрессийн тэгшитгэлийн параметрүүдийг томъёог ашиглан олж болно

Параметрийн утгын тооцоог Хүснэгтэнд үзүүлэв. 2.

т	y	x	yx
1	43	33	1419	1089	42,236	0,764	0,584	90,25	88,36	0,018
2	27	17	459	289	27,692	-0,692	0,479	42,25	43,56	0,026
3	32	23	736	529	33,146	-1,146	1,313	0,25	2,56	0,036
4	29	17	493	289	27,692	1,308	1,711	42,25	21,16	0,045
5	45	36	1620	1296	44,963	0,037	0,001	156,25	129,96	0,001
6	35	25	875	625	34,964	0,036	0,001	2,25	1,96	0,001
7	47	39	1833	1521	47,69	-0,69	0,476	240,25	179,56	0,015
8	32	20	640	400	30,419	1,581	2,500	12,25	2,56	0,049
9	22	13	286	169	24,056	-2,056	4,227	110,25	134,56	0,093
10	24	12	288	144	23,147	0,853	0,728	132,25	92,16	0,036
∑	336	235	8649	6351	12,020	828,5	696,4	0,32
Дундаж.	33,6	23,5	864,9	635,1

Шугаман загварын параметрүүдийг тодорхойлъё

Шугаман загвар нь хэлбэртэй байна

Регрессийн коэффициент

Y-ийн гарц дунджаар 0.909 сая рублиэр нэмэгдэж байгааг харуулж байна. хөрөнгийн хөрөнгө оруулалтын хэмжээ X 1 сая рубль нэмэгдсэнээр.

2. Үлдэгдлийг тооцоол

, квадратуудын үлдэгдэл нийлбэрийг бид томъёогоор ашиглан үлдэгдэл дисперсийг олно.

Тооцооллыг хүснэгтэд үзүүлэв. 2.

Цагаан будаа. 1. Үлдэгдэлийн график ε.

3. Дурбин-Ватсоны шалгуурт үндэслэн LSM-ийн урьдчилсан нөхцөлийн биелэлтийг шалгая.

0,584
2,120	0,479
0,206	1,313
6,022	1,711
1,615	0,001
0,000	0,001
0,527	0,476
5,157	2,500
13,228	4,227
2,462	0,728
31,337	12,020

d1=0.88; d2=1.32 α=0.05, n=10, k=1.

,

Энэ нь хэд хэдэн үлдэгдэл харилцан хамааралгүй гэсэн үг юм.

4. Оюутны t-тест дээр үндэслэн тэгшитгэлийн параметрүүдийн ач холбогдлыг шалгая. (α=0.05).

v=8 хувьд; α=0.05.

Үнэ цэнийн тооцоо

Хүснэгтэнд үйлдвэрлэсэн. 2. Бид дараахыг авна:
, тэгвэл a ба b регрессийн коэффициентууд нь 0.95 магадлалтайгаар чухал гэж дүгнэж болно.

5. Томъёог ашиглан корреляцийн коэффициентийг ол

Тооцооллыг хүснэгтэд хийнэ. 2.

. Тэр. хөрөнгө оруулалтын хэмжээ X болон гарц Y хоорондын хамаарлыг ойр гэж үзэж болно, учир нь .

Тодорхойлолтын коэффициентийг томъёогоор олно

Цагаан будаа. 2.1. регрессийн шугамын график

Эхний илэрхийлэл нь хүчин зүйлийн өгөгдсөн утгыг зөвшөөрдөг xхүчин зүйлийн бодит утгыг орлуулж, үр дүнтэй шинж чанарын онолын утгыг тооцоолох x. График дээр онолын утгууд нь регрессийн шугам болох шулуун шугам дээр байрладаг (Зураг 2.1).

Шугаман регрессийн бүтээн байгуулалт нь түүний параметрүүдийг тооцоолох хүртэл буурдаг аболон б. Шугаман регрессийн параметрүүдийг тооцоолох сонгодог арга нь дээр суурилдаг хамгийн бага квадратын арга (LSM).

LSM нь бодит утгуудын онолын утгуудын квадрат хазайлтын нийлбэр хамгийн бага байх a ба b параметрүүдийн ийм тооцоог авах боломжийг олгодог.

Хамгийн бага хэмжээг олохын тулд параметр тус бүрийн нийлбэрийн хэсэгчилсэн деривативыг (4) тооцоолох шаардлагатай. аболон бмөн тэдгээрийг тэгтэй тэнцүүл.

(5)

Хувирга, бид авна систем хэвийн тэгшитгэл:

(6)

Энэ системд n-түүврийн хэмжээ, нийлбэрийг анхны өгөгдлөөс хялбархан тооцдог. Бид системтэй холбоотой асуудлыг шийддэг аболон б, бид авах:

(7)

. (8)

Илэрхийллийг (7) өөр хэлбэрээр бичиж болно:

(9)

онцлогийн ковариац, хүчин зүйлийн дисперс хаана байна x.

Параметр бдуудсан регрессийн коэффициент.Үүний утга нь хүчин зүйлийн нэг нэгжээр өөрчлөгдсөн үр дүнгийн дундаж өөрчлөлтийг харуулдаг. Регрессийн коэффициентийг эдийн засгийн тодорхой тайлбарлах боломж шугаман тэгшитгэлХос регресс нь эконометрикийн судалгаанд нэлээд түгээмэл байдаг.

Албан ёсоор а -утга учир yцагт x= 0. Хэрвээ xтэг утгатай биш бөгөөд байж болохгүй, тэгвэл чөлөөт нэр томъёоны ийм тайлбар аутгагүй. Параметр аэдийн засгийн агуулгагүй байж болно. Үүнийг эдийн засгийн үүднээс тайлбарлах оролдлого нь утгагүй байдалд хүргэдэг, ялангуяа үед а< 0. Интерпретировать можно лишь знак при параметре а.Хэрвээ а> 0 бол үр дүнгийн харьцангуй өөрчлөлт нь хүчин зүйлийн өөрчлөлтөөс удаан байна. Эдгээр харьцангуй өөрчлөлтүүдийг харьцуулж үзье:

< при > 0, > 0 <

Заримдаа шугаман хос регрессийн тэгшитгэлийг дунджаас хазайхад зориулж бичдэг.

хаана, . Энэ тохиолдолд чөлөөт нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү байх бөгөөд энэ нь илэрхийлэлд (10) тусгагдсан болно. Энэ баримт нь геометрийн үндэслэлээс үүдэлтэй: ижил шулуун шугам (3) нь регрессийн тэгшитгэлтэй тохирч байгаа боловч хазайлт дахь регрессийг үнэлэхдээ координатын гарал үүсэл нь координаттай цэг рүү шилждэг. Энэ тохиолдолд (8) илэрхийлэлд хоёр нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байх бөгөөд энэ нь чөлөөт нэр томъёоны тэгтэй тэнцүү байх болно.

Жишээ болгон, нэг төрлийн бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг бүлэг аж ахуйн нэгжүүдийн хувьд үйлдвэрлэлийн өртгийн регрессийн хамаарлыг авч үзье. .

Хүснэгт 2.1

Гаралт мянган нэгж ()	Үйлдвэрлэлийн зардал, сая рубль ()
					31,1
					67,9

Хүснэгт 2.1-ийн үргэлжлэл

					141,6
					104,7
					178,4
					104,7
					141,6
Нийт: 22					770,0

Ердийн тэгшитгэлийн систем дараах байдалтай байна.

Үүнийг шийдэж, бид олж авна a =-5,79, b = 36,84.

Регрессийн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

Тэгшитгэлд утгуудыг орлуулах X, онолын утгыг олох y(хүснэгтийн сүүлчийн багана).

Үнэ цэнэ аэдийн засгийн ямар ч утгагүй. Хэрэв хувьсагч xболон yдундаж түвшнээс хазайлтаар илэрхийлбэл график дээрх регрессийн шугам эхийг дайран өнгөрнө. Регрессийн коэффициентийн тооцоо өөрчлөгдөхгүй:

, хаана, .

Шугаман регрессийн үед шугаман корреляцийн коэффициент нь харилцааны нягт байдлын үзүүлэлт болдог r:

Утга нь тархалтын хувь хэмжээг тодорхойлдог yзагварт харгалзаагүй бусад хүчин зүйлийн нөлөөллөөс үүдэлтэй.

2.3. LSM урьдчилсан нөхцөл (Гаусс-Марковын нөхцөл)

хоорондын холболт yболон xхосолсон регресс нь функциональ биш, харин харилцан хамааралтай байдаг. Тиймээс параметрийн тооцоо аболон бСанамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь шинж чанар нь санамсаргүй бүрэлдэхүүн хэсгийн ε шинж чанараас үндсэндээ хамаардаг. LSM-ээс хамгийн сайн үр дүнд хүрэхийн тулд санамсаргүй хазайлттай холбоотой дараах урьдчилсан нөхцөлийг хангах шаардлагатай (Гаусс-Марковын нөхцөл):

1. Хүлээгдэж буй үнэ цэнэБүх ажиглалтын хувьд санамсаргүй хазайлт тэг байна: .

2. Санамсаргүй хазайлтын тархалт тогтмол байна: .

Энэ үндэслэлийн биелэлтийг гэж нэрлэдэг ижил төстэй байдал -хазайлтын тархалтын тогтмол байдал. Энэ урьдчилсан нөхцөл боломжгүй гэж нэрлэдэг гетероскедастик -хазайлтын тархалтын хэлбэлзэл.

3. Санамсаргүй хазайлт ε биболон εjбие биенээсээ хараат бус байна:

Энэ нөхцлийг биелүүлэх гэж нэрлэдэг автокорреляцийн дутагдал.

4. Санамсаргүй хазайлт нь тайлбарлагч хувьсагчаас хамааралгүй байх ёстой. Загвар дахь тайлбарлагч хувьсагч санамсаргүй биш тохиолдолд энэ нөхцөл ихэвчлэн автоматаар хангагддаг. Нэмж дурдахад, эконометрик загваруудын хувьд энэ үндэслэлийн боломж нь эхний гурван загвартай харьцуулахад тийм ч чухал биш юм.

Дээрх нөхцөлүүд хангагдсан бол Гаусс-Марковын теорем: LSM-ийн олж авсан үнэлэгч (7) ба (8) нь бүх шугаман бус үнэлэгчийн ангилалд хамгийн бага хэлбэлзэлтэй байна. .

Тиймээс Гауссын нөхцөлд - Марковын тооцоолол (7) ба (8) нь регрессийн коэффициентүүдийн шударга бус тооцоо төдийгүй хамгийн үр дүнтэй, өөрөөр хэлбэл эдгээр параметрүүдийн утгуудын шугаман бусад тооцоотой харьцуулахад хамгийн бага хэлбэлзэлтэй байдаг. y i.

Энэ бол Гауссын нөхцлийн ач холбогдлын талаархи ойлголт юм - Марков регрессийн шинжилгээг ашигладаг чадварлаг судлаачийг чадваргүй хүнээс ялгадаг. Хэрэв эдгээр нөхцөл хангагдаагүй бол судлаач үүнийг мэддэг байх ёстой. Хэрэв залруулах арга хэмжээ авах боломжтой бол шинжээч үүнийг хийх боломжтой байх ёстой. Хэрэв нөхцөл байдлыг засч залруулах боломжгүй бол судлаач энэ нь үр дүнд хэр ноцтой нөлөөлж болохыг үнэлэх чадвартай байх ёстой.

2.4. Шугаман параметрийн ач холбогдлын үнэлгээ
регресс ба корреляци

Шугаман регрессийн тэгшитгэлийг (3) олсны дараа тэгшитгэлийг бүхэлд нь болон түүний бие даасан параметрүүдийн ач холбогдлыг үнэлнэ.

Регрессийн тэгшитгэлийн ач холбогдлын үнэлгээг бүхэлд нь ашиглан өгсөн болно Ф- Фишерийн шалгуур. Энэ тохиолдолд регрессийн коэффициент нь тэгтэй тэнцүү гэсэн тэг таамаглал дэвшүүлж, улмаар хүчин зүйл болно. Xүр дүнд нөлөөлөхгүй y.

Шалгуурыг тооцоолохын өмнө дисперсийн шинжилгээг хийдэг. Квадрат хазайлтын нийт нийлбэр (RMS) болохыг харуулж болно. yДундаж утгыг тайлбарласан ба тайлбарлаагүй гэсэн хоёр хэсэгт хуваана.

(Нийт RMS) =

Энд хоёр туйлын тохиолдол байдаг: нийт стандарт хазайлт нь үлдэгдэлтэй яг тэнцүү байх ба нийт стандарт хазайлт нь факториалтай тэнцүү байх үед.

Эхний тохиолдолд хүчин зүйл Xүр дүнд нөлөөлөхгүй, бүх хэлбэлзэл yбусад хүчин зүйлийн нөлөөгөөр регрессийн шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна Өөболон .

Хоёр дахь тохиолдолд бусад хүчин зүйлүүд үр дүнд нөлөөлөхгүй. yхолбоотой xфункциональ, үлдэгдэл стандарт хазайлт нь тэг байна.

Гэвч бодит байдал дээр хоёр нэр томъёо нь (13) -ын баруун талд байдаг. Урьдчилан таамаглахад регрессийн шугамын тохиромжтой байдал нь нийт хэлбэлзлийн хэр их байхаас хамаарна yтайлбарласан хувилбарт багтана. Хэрэв тайлбарласан SD нь үлдэгдэл SD-ээс их бол регрессийн тэгшитгэл нь статистикийн хувьд чухал бөгөөд хүчин зүйл нь Xүр дүнд чухал нөлөө үзүүлдэг. y. Энэ нь детерминацийн коэффициент нь нэгдмэл байдалд ойртохтой тэнцүү юм.

Эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо.(df-эрх чөлөөний зэрэг) нь бие даасан хувьсах шинж чанарын утгуудын тоо юм.

Нийт стандарт хазайлтын хувьд бие даасан хазайлт шаардлагатай үнэ цэнийг чөлөөтэй өөрчлөх боломжийг олгодог бөгөөд сүүлчийнх n-р хазайлт нь тэгтэй тэнцүү нийт дүнгээс тодорхойлогдоно. Тийм ч учраас .

Factorial SE-ийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

Энэ RMS нь зөвхөн нэг параметрээс хамаарна б,нийлбэр тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь үр дүнгийн шинж чанарын утгуудад хамаарахгүй тул. Тиймээс хүчин зүйлийн стандарт хазайлт нь нэг зэрэглэлийн эрх чөлөөтэй байдаг ба

Тодорхойлохын тулд бид тэнцвэрийн тэгшитгэлтэй (11) аналогийг ашиглана. Тэгш байдлын нэгэн адил (11) бид эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоонуудын хоорондох тэгш байдлыг бичиж болно.

Тиймээс бид бичиж болно . Энэ балансаас бид үүнийг тодорхойлдог

Стандарт хазайлт бүрийг түүний эрх чөлөөний зэрэгт хуваавал бид олж авна дундаж квадрат хазайлт,эсвэл Эрх чөлөөний зэрэглэлийн тархалт:

. (15)

. (16)

. (17)

Нэг зэрэглэлийн чөлөөт байдлын хүчин зүйлийн болон үлдэгдэл дисперсийг харьцуулснаар бид олж авна Ф-нь тэг таамаглалыг шалгах шалгуур Энэ тохиолдолдгэж бичсэн

Хэрэв үнэн бол хэлбэлзэл нь бие биенээсээ ялгаатай биш юм. Энэ нь хүчин зүйлийн хэлбэлзэл нь үлдэгдэлээс хэд дахин их байхын тулд няцаалт шаарддаг.

Английн статистикч Снедекор чухал утгуудын хүснэгтүүдийг боловсруулсан Фматериаллаг байдлын янз бүрийн түвшинд Snedekor болон янз бүрийн тооэрх чөлөөний зэрэг. Хүснэгтийн утга Ф- шалгуур гэдэг нь тэг таамаглал байх магадлалын өгөгдсөн түвшинд санамсаргүй байдлаар ялгарах тохиолдолд гарч болох дисперсийн харьцааны хамгийн их утга юм.

Хүснэгтийн утгыг олох үед Ф-шалгуур, ач холбогдлын түвшинг тодорхойлсон (ихэвчлэн 0.05 эсвэл 0.01) ба хоёр зэрэг эрх чөлөө - тоологч (энэ нь нэгтэй тэнцүү) ба хуваагч, тэнцүү байна.

Тооцоолсон утга ФХүснэгтийн утгаас их байвал найдвартай (нэгээс бусад) гэж хүлээн зөвшөөрнө, өөрөөр хэлбэл. (α;1; ). Энэ тохиолдолд татгалзаж, илүү гарсан материаллаг байдлын талаар дүгнэлт гаргадаг D баримтдээрх D амрах., өөрөөр хэлбэл материаллаг байдлын тухай статистик холболтхооронд yболон x.

Хэрвээ , тэгвэл магадлал нь өгөгдсөн түвшнээс өндөр (жишээ нь: 0.05) бөгөөд энэ таамаглалыг хооронд нь хамаарал байгаа талаар буруу дүгнэлт хийх ноцтой эрсдэлгүйгээр няцаах боломжгүй юм. yболон x.Регрессийн тэгшитгэлийг статистикийн хувьд ач холбогдолгүй гэж үздэг бөгөөд үүнийг үгүйсгэхгүй.

Үнэ цэнэ Ф-шалгуур нь детерминацийн коэффициенттэй холбоотой.

, (19)

Шугаман регрессийн хувьд тэгшитгэлийг бүхэлд нь төдийгүй түүний бие даасан параметрүүдийн ач холбогдлыг ихэвчлэн үнэлдэг.

стандарт алдааРегрессийн коэффициентийг дараах томъёогоор тодорхойлно.

, (20)

Нэг зэрэглэлийн эрх чөлөөний үлдэгдэл тархалт (-тэй адил).

Стандарт алдааны утга, хамт т-Регрессийн коэффициентийн ач холбогдлыг шалгах, итгэлцлийн интервалыг тооцоолохын тулд оюутны эрх чөлөөний зэрэгтэй тархалтыг ашиглана.

Регрессийн коэффициентийн утгыг түүний стандарт алдаатай харьцуулна; бодит үнэ цэнэ нь тодорхойлогддог т-Оюутны шалгуур

үүнийг дараа нь харьцуулна хүснэгтийн утгатодорхой ач холбогдлын түвшинд α болон эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо . Энд тэг таамаглалыг мөн хоёрын хоорондох статистик хамаарлын ач холбогдолгүйг илтгэх хэлбэрээр шалгасан болно. yболон X, гэхдээ зөвхөн үнэ цэнийг харгалзан үзнэ б, үр дүнд бий болсон шинж чанарын дисперсийн нийт тэнцэл дэх хүчин зүйл болон үлдэгдэл хэлбэлзлийн хоорондын харьцаа биш. Гэхдээ таамаглалын ерөнхий утга нь ижил байна: хооронд статистикийн хамаарал байгаа эсэхийг шалгах yболон Xэсвэл түүний байхгүй.

Хэрэв (α; ) бол таамаглалыг үгүйсгэх ёстой бөгөөд статистик хамаарал y-тай Xбайгуулагдсан гэж үздэг. (α; ) тохиолдолд тэг таамаглалыг үгүйсгэх боломжгүй бөгөөд нөлөөлөл Xдээр yач холбогдолгүй гэж үздэг.

болон хооронд холбоо байдаг Ф:

Тиймээс үүнийг дагадаг

Итгэлийн интервал бгэж тодорхойлсон

энд хамгийн бага квадратын аргаар тооцоолсон (тооцоолсон) регрессийн коэффициентийн утга.

Параметрийн стандарт алдааг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Материаллаг байдлын үнэлгээний журам апараметрийн хувьд үүнээс ялгаатай биш б. Энэ тохиолдолд бодит үнэ цэнэ т-шалгуурыг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Шугаман корреляцийн коэффициентийн ач холбогдлыг шалгах журам нь дээр дурдсан процедураас ялгаатай. Үүнийг тайлбарлав rзөвхөн ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн болгон их тооажиглалт ба жижиг утгууд | r|. Энэ тохиолдолд хоорондын хамаарал байхгүй гэсэн таамаглал байдаг yболон Xстатистик мэдээлэлд үндэслэн шалгасан

, (26)

Хэрэв шударга бол Студентийн хуулийн дагуу () эрх чөлөөний зэрэгтэй ойролцоогоор хуваарилагдана. Хэрвээ , дараа нь таамаглалыг хэтрүүлэхгүй, буруу байх магадлалаар үгүйсгэдэг α . (19)-аас харахад хос шугаман регрессийн хувьд . Үүнээс гадна , тиймээс . Иймд регрессийн ач холбогдлын талаарх таамаглал болон корреляцийн коэффициентийг шалгах нь шугаман регрессийн тэгшитгэлийн ач холбогдлын талаарх таамаглалыг шалгахтай тэнцүү юм.

Гэхдээ жижиг дээж, утгын хувьд r-тэй ойролцоо, хуваарилалтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй rсанамсаргүй хэмжигдэхүүн нь ердийн хэмжигдэхүүнээс хэрхэн ялгаатай, итгэлцлийн интервалын бүтэц rстандарт аргаар хийх боломжгүй. Энэ тохиолдолд итгэлцлийн интервал нь нэгээс их утгыг агуулна гэсэн зөрчилдөөнийг гаргахад хялбар байдаг.

Энэ хүндрэлийг даван туулахын тулд гэж нэрлэгддэг
z-Фишерийн хувиргалт:

, (27)

Энэ нь хэвийн байдлыг өгдөг тархсан үнэ цэнэ z, хэний үнэ цэнэ өөрчлөгдөхөд r-1-ээс +1-ийг -∞-ээс +∞ болгож өөрчилнө. Энэ хэмжигдэхүүний стандарт алдаа нь:

. (28)

Тоо хэмжээний хувьд zхаргалзах утгуудын утгыг харуулсан хүснэгтүүд байдаг r.

Учир нь zхамаарал байхгүй гэсэн тэг таамаглал дэвшүүлсэн. Энэ тохиолдолд статистикийн утгууд

Оюутны хуулийн дагуу () эрх чөлөөний зэрэгтэй хуваарилагдсан нь ач холбогдлын харгалзах түвшний хүснэгтээс хэтрэхгүй байна.

Үнэ цэнэ бүрийн хувьд zчухал утгыг тооцоолох боломжтой r. Чухал үнэ цэнийн хүснэгтүүд r 0.05 ба 0.01-ийн ач холбогдлын түвшин ба эрх чөлөөний зэрэглэлийн харгалзах тооны хувьд боловсруулсан. Хэрэв тооцоолсон утга rдавсан үнэмлэхүй үнэ цэнэхүснэгт, дараа нь өгөгдсөн утга rач холбогдолтой гэж үздэг. Үгүй бол бодит үнэ цэнэ нь хамааралгүй болно.

2.5. Шугаман бус регрессийн загварууд
ба тэдгээрийн шугаманчлал

Одоогоор бид зөвхөн авч үзсэн шугаманрегрессийн загвар y-аас x(3). Үүний зэрэгцээ эдийн засагт олон чухал холбоосууд байдаг шугаман бус. Ийм регрессийн загваруудын жишээ бол үйлдвэрлэлийн функцууд (бүтээгдэхүүний хэмжээ ба үйлдвэрлэлийн үндсэн хүчин зүйлүүд - хөдөлмөр, капитал гэх мэт) болон эрэлтийн функцууд (нэг талаасаа аливаа төрлийн бараа, үйлчилгээний эрэлтийн хоорондын хамаарал) юм. мөн орлого, энэ болон бусад барааны үнэ, нөгөө талаас).

Шугаман бус байдалд дүн шинжилгээ хийх үед регрессийн хамааралихэнх нь чухал асуудалСонгодог хамгийн бага квадратуудыг ашиглах нь тэдгээрийг шугаман болгох арга юм. Шугаман бус хамаарлыг шугаман болгох тохиолдолд бид (3) төрлийн шугаман регрессийн тэгшитгэлийг олж авдаг бөгөөд түүний параметрүүдийг ердийн хамгийн бага квадратаар үнэлж, дараа нь анхны шугаман бус хамаарлыг бичиж болно.

Энэ утгаараа арай өөр зүйл бол дурын зэрэглэлийн олон гишүүнт загвар юм:

ямар ч урьдчилсан шугаманчлалгүйгээр ердийн хамгийн бага квадратуудыг хэрэглэж болно.

Санаж үз заасан журамхоёрдугаар зэргийн параболын хувьд:

. (31)

Тодорхой хэмжээний хүчин зүйлийн утгын хувьд нэмэгдэж буй хамаарал буурах эсвэл эсрэгээр өөрчлөгдөх тохиолдолд ийм хамаарал тохиромжтой. Энэ тохиолдолд үр дүнтэй шинж чанарын хамгийн их буюу хамгийн бага утгад хүрэх хүчин зүйлийн утгыг тодорхойлох боломжтой. Хэрэв анхны өгөгдөл нь холболтын чиглэлийн өөрчлөлтийг харуулахгүй бол параболын параметрүүдийг тайлбарлахад хэцүү болж, холболтын хэлбэрийг бусад шугаман бус загвараар солих нь дээр.

Хоёрдахь зэрэглэлийн параболын параметрүүдийг тооцоолохдоо хамгийн бага квадратуудыг ашиглах нь тооцоолсон параметр бүрийн регрессийн үлдэгдэлийн квадратуудын нийлбэрийг ялгаж, үр дүнгийн илэрхийлэлийг тэгтэй тэнцүүлэх хүртэл багасгасан. Энэ нь хэвийн тэгшитгэлийн систем болж хувирдаг бөгөөд тэдгээрийн тоо нь тооцоолсон параметрүүдийн тоотой тэнцүү, тухайлбал гурван:

(32)

Энэ системийг ямар ч аргаар, ялангуяа тодорхойлогчдын аргаар шийдэж болно.

Функцийн туйлын утга нь дараахтай тэнцүү хүчин зүйлийн утгад ажиглагдана.

Хэрэв , дараа нь хамгийн их байна, өөрөөр хэлбэл, хамаарал эхлээд нэмэгдэж, дараа нь буурдаг. Энэ төрлийн хамаарал нь хөдөлмөрийн эдийн засагт суралцах үед ажиглагддаг цалиннас хүчин зүйл болох үед биеийн хүчний ажилчид. -д парабол нь хамгийн бага хэмжээтэй байдаг бөгөөд энэ нь ихэвчлэн үйлдвэрлэлийн хэмжээнээс хамааран нэгжийн үйлдвэрлэлийн зардалд илэрдэг.

Сонгодог олон гишүүнт биш шугаман бус хамаарлын хувьд урьдчилсан шугаманчлалыг заавал хийх ёстой бөгөөд энэ нь хувьсагч эсвэл загварын параметрийн аль нэгийг хувиргах эсвэл эдгээр хувиргалтын хослолоос бүрддэг. Ийм хамаарлын зарим ангиллыг авч үзье.

Гиперболын төрлийн хамаарал нь дараахь хэлбэртэй байна.

. (33)

Ийм хараат байдлын жишээ бол Филлипсийн муруйцалингийн өсөлтийн хувь ба ажилгүйдлийн түвшин хоорондын урвуу хамаарлыг зааж өгсөн. Энэ тохиолдолд параметрийн утга бтэгээс их байх болно.

Хамааралтай байдлын өөр нэг жишээ (33) юм Энгелийн муруй, дараахь зүй тогтлыг томъёолсноор: орлого нэмэгдэхийн хэрээр хоол хүнсэнд зарцуулсан орлогын эзлэх хувь буурч, хүнсний бус бараа, нэмэгдэх болно. Энэ тохиолдолд (33) дахь үр дүнгийн үзүүлэлт нь хүнсний бус бараа бүтээгдэхүүний зардлын эзлэх хувийг харуулж байна.

(33) тэгшитгэлийн шугаманчлал нь хүчин зүйлийг орлуулах хүртэл бууруулж, регрессийн тэгшитгэл нь хүчин зүйлийн оронд (3) хэлбэртэй байна. Xхүчин зүйлийг ашиглана z:

Хагас логарифмын муруй нь ижил шугаман тэгшитгэл рүү буурдаг.

, (35)

Энгелийн муруйг тодорхойлоход ашиглаж болно. Энд ln( x) -ээр солигдоно z(34) тэгшитгэлийг олж авна.

Эдийн засгийн үзүүлэлтүүдийн нэлээд өргөн ангилал нь цаг хугацааны харьцангуй өсөлтийн ойролцоогоор тогтмол хурдаар тодорхойлогддог. Энэ нь дараах байдлаар бичигдсэн экспоненциал (экпоненциал) төрлийн хамааралтай тохирч байна.

эсвэл хэлбэрээр

. (37)

Дараахь хамаарал бас боломжтой.

. (38)

(36) - (38) төрлийн регрессийн хувьд ижил шугаманчлалын аргыг ашигладаг - логарифм. Тэгшитгэл (36) нь дараах хэлбэртэй байна.

. (39)

Хувьсах орлуулалт нь үүнийг багасгадаг шугаман хэлбэр:

, (40)

хаана. Хэрвээ ЭГаусс-Марковын нөхцөлийг хангаж байгаа бол (36) тэгшитгэлийн параметрүүдийг (40) тэгшитгэлийн хамгийн бага квадратаар үнэлнэ. (37) тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт оруулав.

Энэ нь (39)-аас зөвхөн чөлөөт гишүүний хэлбэрээр ялгаатай бөгөөд шугаман тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

, (42)

хаана. Сонголтууд ГЭХДЭЭболон бердийн хамгийн бага квадратууд, дараа нь параметрээр олж авна ахамаарлаар (37) антилогарифм хэлбэрээр авна ГЭХДЭЭ. Логарифмыг (38) авснаар бид олж авна шугаман хамаарал:

, (43)

Энд, бусад тэмдэглэгээ нь дээрхтэй ижил байна. Энд LSM-ийг мөн хувиргасан өгөгдөл болон параметрт хэрэглэнэ б(38)-ийг коэффициентийн антилогарифм гэж авна AT.

Нийгэм-эдийн засгийн судалгааны практикт эрх мэдлийн хамаарал өргөн тархсан. Эдгээрийг үйлдвэрлэлийн функцийг бий болгох, шинжлэхэд ашигладаг. Харах функцүүдэд:

ялангуяа үнэ цэнэтэй зүйл бол параметр юм бхүчин зүйлээр үр дүнгийн шинж чанарын уян хатан байдлын коэффициенттэй тэнцүү байна X. Логарифмыг авч (44)-ийг хувиргаснаар бид шугаман регрессийг олж авна.

, (45)

Шугаман хэлбэрт шилжүүлсэн өөр нэг төрлийн шугаман бус байдал нь урвуу хамаарал юм.

. (46)

Орлуулж, бид авна.