Нарийн төвөгтэй Фурье цувралын онол болгон өргөжүүлэх. Фурье цуврал. Функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх. Функцийг синусын болон косинусуудын цуврал болгон өргөтгөх

Фурье цуваа тэгш, сондгой функцүүдийн өргөтгөл интервал дээр өгөгдсөн функцийг синус эсвэл косинусын цуваа болгон өргөтгөх Дурын хугацаатай функцийн Фурье цуваа Функцийн ерөнхий ортогональ систем дэх Фурье цувралын иж бүрэн дүрслэл. ортогональ систем Фурье коэффициентийн хамгийн бага шинж чанар Бесселийн тэгш бус байдал Тэгш байдал Парсевал Хаалттай системүүдСистемийн бүрэн бүтэн байдал, хаалттай байдал

Тэгш ба сондгой функцын Фурье цувааны өргөтгөл \-1 интервал дээр I > 0 тодорхойлогдсон f(x) функцийг тэгш функцийн график ординатын тэнхлэгт тэгш хэмтэй байсан ч гэж нэрлэдэг. I > 0 байх J) сегмент дээр тодорхойлогдсон f(x) функцийг сондгой функцийн график эхийн эхтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй бол сондгой гэж нэрлэдэг. Жишээ. a) Функц нь |-jt, jt интервал дээр тэгш байна), бүх x e-ийн хувьд b) Функц нь сондгой, учир нь Фурьегийн цуваа тэгш ба сондгой функцийг өргөтгөх нь интервал дээр өгөгдсөн функцийг синус эсвэл цуврал болгон өргөтгөх явдал юм. косинус Дурын үетэй функцийн Фурье цуваа Фурье цувралын нийлмэл дүрслэл Функцийн ерөнхий ортогональ системд зориулсан Фурье цуваа Ортогональ системийн Фурьегийн цуврал Фурьегийн коэффициентийн хамгийн бага шинж чанар Бесселийн тэгш бус байдал Парсевалын тэгш байдал Хаалттай систем c) функцийн бүрэн байдал (x)=x2-x, 1-р теоремын нөхцлийг хангасан f(x) функц x| интервал дээр тэгш байх тул тэгш, сондгой функцэд хамаарахгүй. Дараа нь хүн бүрт, өөрөөр хэлбэл. /(x) cos nx нь тэгш функц, f(x) sinnx нь сондгой функц юм. Иймээс тэгш функцийн Фурьегийн коэффициентүүд нь тэнцүү байх тул тэгш функцийн Фурье цуваа нь f(x) sin х - тэгш функцтэй байна. Иймд бид сондгой функцийн Фурьегийн цуваа хэлбэртэй байна Жишээ 1. -x ^ x ^ n интервал дээр 4-р функцийг Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүл. Энэ функц тэгш бөгөөд теорем 1-ийн нөхцлийг хангаж байгаа тул, Дараа нь түүний Фурье цуврал нь Фурьегийн коэффициентийг олох хэлбэртэй байна. Интеграцийг хэсэг хэсгээр нь хоёр удаа ашигласнаар бид энэ функцийн Фурье цуврал дараах байдлаар харагдана: эсвэл өргөтгөсөн хэлбэрээр энэ тэгшитгэл нь дурын x €-д хүчинтэй байна, учир нь x = ±ir цэгүүдэд нийлбэр нь x = ±ir байна. f(x) = x функцийн графикууд ба үр дүнгийн цувааны нийлбэрийг Зураг дээр өгөгдсөн тул цуврал нь f(x) = x2 функцын утгатай давхцаж байна. Сэтгэгдэл. Энэ Фурье цуваа нь нийлдэг тоон цувааны аль нэгний нийлбэрийг олох боломжийг олгодог, тухайлбал, x = 0-ийн хувьд бид жишээ 2-ыг олж авна. /(x) = x функцийг интервал дээр Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүл. /(x) функц нь теорем 1-ийн нөхцлийг хангаж байгаа тул үүнийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болох бөгөөд энэ функцийн сондгой байдлаас шалтгаалан хэсгүүдээр интегралцвал Фурье коэффициентийг олно Энэ функцийн Фурье цуваа хэлбэртэй байна. Энэ тэгш байдал нь x - ±t цэгүүд дээрх бүх x B-д тохирно. Фурье цувралын нийлбэр нь /(x) = x функцийн утгатай давхцахгүй, учир нь энэ нь тэнцүү байна. [-*, i-] интервалаас гадна цувааны нийлбэр нь /(x) = x функцийн үечилсэн үргэлжлэл болно. түүний графикийг Зураг дээр үзүүлэв. 6. § 6. Интервал дээр өгөгдсөн функцийг синус эсвэл косинусын цуваа болгон өргөтгөх Хязгаарлагдмал хэсэгчилсэн монотон функцийг / интервал дээр өгье. 0| интервал дээрх энэ функцийн утгууд цаашид янз бүрийн аргаар тодорхойлж болно. Жишээлбэл, та / сегмент дээр tc] функцийг тодорхойлж болох бөгөөд ингэснээр /. Энэ тохиолдолд тэд "0 сегмент рүү жигд сунгасан" гэж хэлдэг; түүний Фурье цуврал нь зөвхөн косинусуудыг агуулна. Хэрэв /(x) функц нь [-l-, mc] интервал дээр тодорхойлогдвол /(, дараа нь үр дүн нь сондгой функц байх ба дараа нь тэд / нь "[-*, 0] интервалд өргөтгөсөн" гэж хэлдэг. Энэ тохиолдолд Фурье цуваа нь зөвхөн синусуудыг агуулна. Тиймээс интервал дээр тодорхойлогдсон хязгаарлагдмал хэсэгчилсэн монотон функц бүрийг синус болон косинусын аль алинд нь Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно Функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно: a) косинусууд; б) синусаар. M Энэ функц нь |-x,0) сегмент дэх тэгш ба сондгой үргэлжлэлүүдтэй, хязгаарлагдмал, хэсэгчлэн монотон байх болно. a) /(z)-ыг 0 сегмент рүү сунгана) a) j\x)-ыг (-π,0|) сегмент рүү тэгшхэн (Зураг 7) сунгавал түүний Фурье цуврал i нь Π = 1 хэлбэртэй болно. Энд Фурье коэффициентүүд нь тэнцүү байна. Тийм учраас, b) /(z)-ийг [-x,0] сегмент рүү сондгой байдлаар сунгая (Зураг 8). Дараа нь түүний Фурье цуврал §7. Дурын үетэй функцийн Фурье цуваа Функцийг 21.1 ^ 0 үетэй үечилсэн байя. I > 0 интервал дээр Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүлэхийн тулд бид x = jt тохируулж хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийнэ. . Дараа нь F(t) = / ^tj функц нь үетэй t аргументын үечилсэн функц байх бөгөөд үүнийг хэрчим дээр Фурье цуваа болгон өргөжүүлж болно x хувьсагч, өөрөөр хэлбэл, тохиргоонд буцаж ирвэл бид бүх теоремууд хүчинтэй болно 2π үетэй Фурье цувралын үечилсэн функцүүдийн хувьд дурын үетэй үечилсэн функцүүдэд хүчинтэй хэвээр байна 21. Ялангуяа энэ нь мөн хүчинтэй хэвээр байна. хангалттай үзүүлэлтФурье цуврал дахь функцийн задрал. Жишээ 1. Томъёогоор [-/,/] интервал дээр өгөгдсөн 21 үетэй үечилсэн функцийг Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүл (Зураг 9). Энэ функц нь тэгш байдаг тул түүний Фурье цуврал нь Фурьегийн коэффициентүүдийн олсон утгыг Фурьегийн цувралд орлуулж, үечилсэн функцүүдийн нэг чухал шинж чанарыг олж авна. Теорем 5. Хэрэв функц нь T үетэй ба интегралчлагдах боломжтой бол дурын a тооны хувьд m тэгшитгэл биелнэ. өөрөөр хэлбэл урт нь T үетэй тэнцүү сегментийн интеграл нь тоон тэнхлэг дээрх энэ сегментийн байрлалаас үл хамааран ижил утгатай байна. Үнэн хэрэгтээ бид хоёр дахь интегралд хувьсагчийн өөрчлөлтийг хийдэг. Энэ нь өгдөг бөгөөд тиймээс, Геометрийн хувьд энэ шинж чанар нь Зураг дээр сүүдэрлэсэн талбайн хувьд гэсэн үг юм. 10 талбай нь хоорондоо тэнцүү байна. Тодруулбал, үетэй f(x) функцийн хувьд тэгш ба сондгой функцийн Фурьегийн цуваа руу тэлэх үед интервал дээр өгөгдсөн функцийг дурын функцтэй синус эсвэл косинусын цуваа Фурье цуврал болгон өргөтгөх үед олж авдаг. үе Фурье цувралын нийлмэл тэмдэглэгээ Ерөнхий ортогональ системийн функцүүд дэх Фурьегийн цуваа Ортогональ систем дэх Фурьегийн цуваа Фурьегийн коэффициентийн хамгийн бага шинж чанар Бесселийн тэгш бус байдал Парсевалын тэгш байдал Хаалттай систем Системийн бүрэн ба хаалттай байдал Жишээ 2. X функц нь үетэй үетэй. Энэ функцийн сондгой байдал, интегралыг тооцоолохгүйгээр бид дурын хувьд батлагдсан шинж чанар нь 21 үетэй f(x) үечилсэн функцийн Фурьегийн коэффициентийг a бол томъёог ашиглан тооцоолж болохыг харуулж байна. дурын бодит тоо (үүнийг анхаарна уу cos функцууд- мөн нүгэл нь 2/ хугацаатай байдаг). Жишээ 3. 2х хугацаатай интервал дээр өгөгдсөн функцийг Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүл (Зураг 11). 4 Энэ функцийн Фурье коэффициентийг олъё. Томьёог оруулснаар бид Фурьегийн цуваа дараах байдлаар харагдах болно: x = jt цэг дээр (эхний төрлийн тасархай цэг) бидэнд §8 байна. Фурье цувралын цогц дүрслэл Энэ хэсэгт зарим элементүүдийг ашигласан цогц дүн шинжилгээ(энд хийж гүйцэтгэсэн бүх үйлдлийг XXX бүлгийг үзнэ үү нарийн төвөгтэй илэрхийллүүд, хатуу үндэслэлтэй). f(x) функц нь Фурьегийн цуваа руу тэлэх хангалттай нөхцлийг хангая. Дараа нь x] сегмент дээр үүнийг цуврал хэлбэрээр дүрсэлж болно Эйлерийн томьёог ашиглах Эдгээр илэрхийллийг cos px, sin px-ийн оронд (1) цуваагаар орлуулснаар бид дараах тэмдэглэгээг оруулна. Дараа нь (2) цувралыг авна. хэлбэр Иймд Фурье цуврал (1) нь нийлмэл хэлбэрээр (3) дүрслэгдсэн байна. Коэффициентуудын илэрхийлэлийг интегралаар олъё. Үүний нэгэн адил бид s„, с_п ба с-ийн эцсийн томъёог дараах байдлаар бичиж болно: . . Коэффициентүүд нь үе үе функцийн Фурье коэффициентүүд гэж нэрлэгддэг бөгөөд Фурье цувралын цогц хэлбэр нь Cn коэффициентийг (3 ) ба (4)-ийг дараах байдлаар ойлгоно: (3) ба (4) цувралыг хязгаар байгаа бол өгөгдсөн утгуудын хувьд нийлэг гэж нэрлэдэг. руу өргөжүүлэх цогц цувралХугацааны Фурье функц Энэ функц нь Фурье цувралд задрах хангалттай нөхцлийг хангадаг. Олъё нарийн төвөгтэй коэффициентүүд Энэ функцийн Фурье. Бидэнд тэгш n-д сондгой, эсвэл товчоор хэлбэл байна. Утгыг орлуулснаар бид эцэст нь олж авлаа. Энэ цувралыг дараах байдлаар бичиж болно: Функцийн ерөнхий ортогональ системийн Фурье цуврал 9.1. Функцийн ортогональ системүүд [a, 6] интервал дээр тодорхойлогдсон, интегралдах боломжтой бүх (бодит) функцүүдийн багцыг, өөрөөр хэлбэл интеграл байгаа бүх функцийг f(x) тасралтгүй гэж тэмдэглэе [a , 6] интервал дээр 6-д хамаарах бөгөөд тэдгээрийн Лебесгийн интегралын утга нь Риманы интегралын утгатай давхцдаг. Тодорхойлолт. Функцийн системийг [a, b\ интервал дээр ортогональ гэж нэрлэнэ, хэрэв нөхцөл (1)-д, ялангуяа функцүүдийн аль нь ч ижил тэг биш гэж үзвэл. Интегралыг Лебесгийн утгаар ойлгодог. мөн хэмжигдэхүүнийг функцийн норм гэж нэрлэнэ. Хэрэв бид аль нэг n-ийн хувьд ортогональ системд байгаа бол функцын системийг ортонормаль гэж нэрлэдэг. Хэрэв (y>„(x)) систем нь ортогональ бол систем Жишээ 1. Тригонометрийн систем нь хэрчим дээр ортогональ байна. Функцийн систем нь функцүүдийн ортонормаль систем юм, Жишээ 2. Косинусын систем ба синусын систем нь ортонормаль юм. (0, f|) интервал дээр ортогональ байх боловч ортонормаль биш (I Ф- 2-ын хувьд) гэсэн тэмдэглэгээг оруулъя.Тэдний норм нь COS тул Жишээ 3. Тэгш тэгшитгэлээр тодорхойлогддог олон гишүүнтүүдийг Лежендре олон гишүүнт (олон гишүүнт) гэнэ. n = 0 байна. Функцууд нь интервал дээр функцүүдийн ортонормаль системийг бүрдүүлдэг нь нотлогддог. Жишээ нь, m > n-ийг хэсэгчлэн нэгтгэж үзье , бид t/m = (z2 - I)m функцийн хувьд m - I зэрэг бүхий дарааллаар бүх деривативууд сегментийн төгсгөлд алга болно [-1,1). Тодорхойлолт. Функцийн системийг (pn(x)) (a, b) интервалд p(x)-ээр ортогональ гэж нэрлэдэг, хэрэв: 1) бүх n = 1,2,... энд интеграл байна p(x) нь алга болох хязгаарлагдмал тооны цэгийг эс тооцвол (a, b) интервалын аль ч хэсэгт жингийн функц тодорхойлогдсон бөгөөд эерэг байна гэж үзсэн. Томъёогоор (3) ялгах ажлыг хийсний дараа бид олдог. Чебышев-Гермит олон гишүүнтүүд интервал дээр ортогональ байгааг харуулж болно Жишээ 4. Бесселийн функцын систем (jL(pix)^ нь Бесселийн функцийн тэг интервал дээр ортогональ байна. Жишээ 5. Чебышев-Гермит олон гишүүнтүүдийг авч үзье. тэгш өнцөгт систем дээр Фурье цувааг ашиглан тодорхойлж болно (a, 6) интервалд функцүүдийн ортогональ систем байх ба энэ интервал дээр (cj = const) цуваа f(x) функцэд нийлнэ. Сүүлчийн тэгшитгэлийн хоёр талыг - тогтмол) -аар үржүүлж, x-ийг a-аас 6 хүртэл интеграци хийх нь системийн ортогональ байдлаас шалтгаалан энэ үйлдэл нь ерөнхийдөө цэвэр албан ёсны шинж чанартай болохыг олж мэднэ. Гэхдээ зарим тохиолдолд жишээ нь (4) цуваа жигд нийлж, бүх функц тасралтгүй, интервал (a, 6) хязгаарлагдмал байх үед энэ үйлдэл нь хууль ёсны юм. Гэхдээ бидний хувьд одоо албан ёсны тайлбар нь чухал юм. Тиймээс функц өгье. (5) томъёоны дагуу c* тоонуудыг үүсгэн бичье Энэ системд хамаарах f(x) функцийн Фурье коэффициент гэж нэрлэгддэг. Томъёоны (6) ~ тэмдэг нь зөвхөн Cn тоонууд нь f(x) функцтэй (5) томьёогоор хамааралтай болохыг илэрхийлнэ (баруун талд байгаа цуваа нь огт нийлдэг гэж үзэхгүй, f функцэд нийлэх нь хамаагүй бага. (x)). Тиймээс асуулт нь аяндаа гарч ирдэг: энэ цувралын шинж чанарууд юу вэ? Энэ нь ямар утгаараа f(x) функцийг “төлөөлөх” вэ? 9.3. Дунджаар ойртох Тодорхойлолт. Хэрэв норм орон зайд байвал дараалал дунджаар ] элементэд нийлнэ Теорем 6. Хэрэв ) дараалал жигд нийлдэг бол дунджаар нийлнэ. M ()) дараалал нь [a, b] интервал дээр /(x) функцэд жигд нийлнэ. Энэ нь хүн бүрийн хувьд хангалттай том n-ийн хувьд бид Тиймийн тул, үүнээс бидний мэдэгдэл гарч байна гэсэн үг юм. Эсрэг заалт нь үнэн биш: дараалал () нь дунджаар /(x)-д нийлж болох боловч жигд нийлэхгүй. Жишээ. nx дарааллыг авч үзье. Гэхдээ энэ нэгдэл нь жигд биш гэдгийг харахад хялбар байдаг: дурын үетэй функцийн хувьд n интервалын косинусууд дээр Фурье цувралууд жишээлбэл, e байдаг. Фурье цувралын Функцийн ерөнхий ортогональ системд зориулсан Фурье цуваа Ортогональ системийн Фурьегийн цуваа Фурье коэффициентийн хамгийн бага шинж чанар Бесселийн тэгш бус байдал Парсевалын тэгш байдал Хаалттай систем Системийн бүрэн ба хаалттай байдал ба функцийн Фурье коэффициентийг c*-ээр тэмдэглэнэ үү /(x ) ортонормаль системээр b n ^ 1 нь тогтмол бүхэл тоо байх шугаман хослолыг авч үзээд интеграл хамгийн бага утгыг авах тогтмолуудын утгыг ол. Системийн ортонормаль байдлаас шалтгаалан бид үүнийг илүү дэлгэрэнгүй бичье, тэгш байдлын баруун талд байгаа эхний хоёр гишүүн (7) нь бие даасан, гурав дахь гишүүн нь сөрөг биш юм. Иймд (*) интеграл нь ak = sk үед хамгийн бага утгыг авна /(x) функцын Tn(x)-ийн шугаман хослолоор ойролцоолсон дундаж квадрат гэж нэрлэдэг. Тиймээс /\ функцийн язгуур дундаж квадрат ойролцоолсон үед хамгийн бага утгыг авна. үед Tn(x) нь систем дээрх f(x) функцийн Фурье цувралын 71 дэх хэсэгчилсэн нийлбэр (. ak = sk гэж тохируулснаар (7) -аас бид Тэгш байдлыг (9) олж авна. Бесселийн ижилсэл гэж нэрлэдэг. зүүн талнь сөрөг биш бол Бесселийн тэгш бус байдал эндээс гардаг тул Бесселийн тэгш бус байдлыг бэхжүүлсэн хэлбэрээр, өөрөөр хэлбэл ямар ч функцийн хувьд / ортонормаль систем дэх энэ функцийн квадрат Фурье коэффициентийн цуваа ) нийлдэг. Систем нь [-x, m] интервал дээр ортонормаль байх тул тригонометрийн Фурье цувралын ердийн тэмдэглэгээнд хөрвүүлсэн тэгш бус байдал (10) нь интегралчлах квадрат бүхий аливаа функцэд /(x) хүчинтэй do хамаарлыг өгнө. Хэрэв f2(x) нь интегралчлагдах боломжтой бол үүний ачаар шаардлагатай нөхцөл тэгш бус байдлын зүүн талд цуваа нийлэх (11), бид үүнийг олж авна. Парсевалын тэгш байдал Зарим системд (^„(x)) томъёо (10) дахь тэгш бус байдлын тэмдгийг (бүх функц f(x) 6 ×) тэнцүү тэмдгээр сольж болно. Үүний үр дүнд үүссэн тэгш байдлыг Парсевал-Стекловын тэгш байдал (бүрэн байдлын нөхцөл) гэж нэрлэдэг. Бесселийн таних тэмдэг (9) нь (12) нөхцөлийг эквивалент хэлбэрээр бичих боломжийг бидэнд олгодог. Иймээс бүрэн байдлын нөхцөл биелснээр /(x) функцийн Фурье цувралын Sn(x) хэсэгчилсэн нийлбэрүүд функцэд нийлдэг гэсэн үг юм. /(x) дунджаар, i.e. зайны нормын дагуу 6]. Тодорхойлолт. Хэрэв функц бүрийг хангалттай олон тооны гишүүнчлэлийн шугаман хослолоор дундажаар ямар нэгэн нарийвчлалтайгаар ойртуулж чадвал, өөрөөр хэлбэл аль нэг функцийн хувьд /(x) ∈ b2 бол ортонормаль системийг b2[аy b]-д бүрэн гэж нэрлэдэг. [a, b\ ба дурын e > 0-ийн хувьд nq натурал тоо ба a\, a2y... тоонууд байх тул Үгүй Дээрх үндэслэлээс 7-р теоремыг дагана. Хэрэв ортонормалчлалаар ) систем орон зайд бүрэн байвал Энэ систем дэх ямар ч функцийн Фурье цуврал нь дунджаар f(x)-д нийлдэг, өөрөөр хэлбэл тригонометрийн систем нь орон зайд бүрэн байгааг харуулж байна. Теорем 8. Хэрэв функц /o нь тригонометрийн Фурье цуваа түүнд дунджаар нийлдэг. 9.5. Хаалттай системүүд. Системийн бүрэн бүтэн байдал, хаалттай байдал Тодорхойлолт. Li\a, b) L2\a, b\ орон зайд тэгээс өөр функц байхгүй бол ортонормаль системийн бүрэн ба хаалттай байдлын ойлголтууд давхцаж байвал функцүүдийн ортонормаль системийг хаалттай гэнэ. Дасгал 1. 2 функцийг (-i-, x) интервалд Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүл. интервал (-tr, tr)-ийг (-jt, tr) функцэд Фурьегийн цуваа болгох 5. f(x) = x + x функцийг (-tr, tr) интервал дахь Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүл. 6. n функцийг (-jt, tr) интервалд Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүл 7. /(x) = sin2 x функцийг (-tr, x) интервалд Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүл. 8. f(x) = y функцийг (-tr, jt) интервалд Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүл 9. f(x) = | нүгэл x|. 10. f(x) = § функцийг (-π-, π) интервалд Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүл. 11. f(x) = sin § функцийг (-tr, tr) интервалд Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүл. 12. (0, x) интервалд өгөгдсөн f(x) = n -2x функцийг Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүлэн (-x, 0) интервалд өргөтгөнө: a) тэгш байдлаар; б) хачин байдлаар. 13. (0, x) интервалд өгөгдсөн /(x) = x2 функцийг синус дахь Фурье цуврал болгон өргөжүүл. 14. (-2,2) интервалд өгөгдсөн /(x) = 3 функцийг Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүл. 15. (-1,1) интервалд өгөгдсөн f(x) = |x| функцийг Фурьегийн цуваа болгон өргөжүүл. 16. (0,1) интервалд заасан f(x) = 2x функцийг синусын Фурье цуваа болгон өргөжүүл.

Аль хэдийн нэлээд уйтгартай байдаг. Мөн онолын стратегийн нөөцөөс шинэ лаазалсан бүтээгдэхүүн гаргаж авах цаг ирсэн гэдгийг би мэдэрч байна. Функцийг өөр аргаар цуврал болгон өргөжүүлэх боломжтой юу? Жишээлбэл, шулуун шугамын сегментийг синус ба косинусаар илэрхийлнэ үү? Энэ нь гайхалтай юм шиг санагдаж байна, гэхдээ ийм хол мэт санагдах функцууд байж болно
"дахин нэгдэх". Онол, практикийн сайн мэддэг зэрэглэлээс гадна функцийг цуврал болгон өргөжүүлэх өөр аргууд байдаг.

Энэ хичээлээр бид танилцах болно тригонометрийн цувралФурье, бид түүний нийлбэр ба нийлбэрийн асуудлыг хөндөж, мэдээжийн хэрэг Фурье цуврал дахь функцүүдийн өргөтгөлийн олон жишээг шинжлэх болно. Би нийтлэлийг "Даммигийн Фурье цуврал" гэж нэрлэхийг чин сэтгэлээсээ хүссэн боловч асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд математикийн шинжилгээний бусад салбаруудын мэдлэг, зарим практик туршлага шаардагддаг тул энэ нь шударга бус байх болно. Тиймээс оршил нь сансрын нисгэгчдийн сургалттай төстэй байх болно =)

Нэгдүгээрт, та хуудасны материалыг судлахад маш сайн хэлбэрээр хандах хэрэгтэй. Нойрмог, амарч, сэрүүн. Эвдэрсэн шишүүхэйний сарвууны тухай хүчтэй сэтгэл хөдлөлгүйгээр хийсвэр бодоламьдралын хүнд хэцүү байдлын тухай аквариумын загас. Фурьегийн цувралыг ойлгоход хэцүү биш боловч практик даалгаврууд нь анхаарал төвлөрүүлэхийг шаарддаг - хамгийн тохиромжтой нь та гадны өдөөлтөөс өөрийгөө бүрэн салгах хэрэгтэй. Шийдвэрийг нь шалгах, хариулах амаргүй байгаа нь нөхцөл байдлыг улам хүндрүүлж байна. Тиймээс, хэрэв таны эрүүл мэнд дунджаас доогуур байвал илүү энгийн зүйл хийх нь дээр. Энэ үнэн үү.

Хоёрдугаарт, сансарт нисэхээсээ өмнө багажийн самбарыг судлах хэрэгтэй сансрын хөлөг. Машин дээр дарах ёстой функцүүдийн утгуудаас эхэлье.

Аливаа байгалийн үнэ цэнийн хувьд:

1) . Үнэхээр синусоид нь x тэнхлэгийг "pi" бүрээр "оёдог":
. Аргументийн сөрөг утгуудын хувьд үр дүн нь мэдээжийн хэрэг ижил байх болно: .

2) . Гэхдээ хүн бүр үүнийг мэддэггүй байсан. Косинус "пи" нь "анивчдаг"-тай тэнцүү байна:

Сөрөг аргумент нь асуудлыг өөрчлөхгүй: .

Магадгүй энэ нь хангалттай байх.

Гуравдугаарт, эрхэм сансрын нисгэгчдийн корпус та... нэгтгэх чадвартай байх ёстой.
Ялангуяа дифференциал тэмдгийн дор функцийг итгэлтэйгээр оруулж, хэсгүүдээр нь нэгтгэж, Ньютон-Лейбницийн томьёотой нийцэж байгаарай. Нислэгийн өмнөх чухал дасгалуудыг эхлүүлцгээе. Дараа нь жингүйдэхгүйн тулд би үүнийг алгасахыг зөвлөдөггүй.

Жишээ 1

Тодорхой интегралыг тооцоолох

байгалийн үнэт зүйлсийг хаана авдаг.

Шийдэл: интеграцчлалыг “x” хувьсагч дээр гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ үе шатанд “en” дискрет хувьсагчийг тогтмол гэж үзнэ. Бүх интегралд бид функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулна.

Зориулалтад тохиромжтой шийдлийн богино хувилбар дараах байдалтай байна.

Үүнд дасцгаая:

Үлдсэн дөрвөн оноо нь таных. Даалгавардаа ухамсартайгаар хандаж, интегралуудыг богино хэлбэрээр бичихийг хичээ. Хичээлийн төгсгөлд шийдлийн жишээ.

Дараа ЧАНАРЫН гүйцэтгэлдасгал хийх, сансрын хувцас өмсөх
мөн эхлэхэд бэлдэж байна!

Функцийг интервал дээр Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх

Наад зах нь интервал дээр (болон магадгүй илүү том интервал дээр) тодорхойлогдсон зарим функцийг авч үзье. Хэрэв энэ функц интервал дээр интегралдах боломжтой бол тригонометрийн Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно.
, гэж нэрлэгддэг зүйл хаана байна Фурье коэффициентүүд.

Энэ тохиолдолд тоо нь задралын үе гэж нэрлэгддэг бөгөөд энэ тоог задралын хагас үе гэж нэрлэдэг.

Ерөнхий тохиолдолд Фурье цуврал нь синус ба косинусуудаас бүрддэг нь ойлгомжтой.

Үнэнийг хэлэхэд, үүнийг нарийвчлан бичье:

Цувралын тэг гишүүнийг ихэвчлэн хэлбэрээр бичдэг.

Фурье коэффициентийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Энэ сэдвийг судалж эхэлсэн хүмүүс шинэ нэр томъёоны талаар тодорхойгүй хэвээр байгааг би маш сайн ойлгож байна. задралын хугацаа, хагас мөчлөг, Фурье коэффициентүүдгэх мэт. Бүү сандар, энэ нь сансарт гарахын өмнөх сэтгэл догдлолтой зүйрлэшгүй зүйл юм. Дараах жишээн дээр бүгдийг нь олж харцгаая, хэрэгжүүлэхээсээ өмнө зарим чухал асуултуудыг асуух нь логик юм. практик асуудлууд:

Дараах ажлуудад юу хийх хэрэгтэй вэ?

Функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүл. Нэмж дурдахад функцийн график, цувралын нийлбэрийн график, хэсэгчилсэн нийлбэрийг дүрслэх шаардлагатай байдаг ба профессорын нарийн уран зөгнөлийн хувьд өөр зүйл хийх шаардлагатай байдаг.

Функцийг Фурье цуврал болгон хэрхэн өргөжүүлэх вэ?

Үндсэндээ та олох хэрэгтэй Фурье коэффициентүүд, өөрөөр хэлбэл гурван тодорхой интеграл зохиож, тооцоол.

Фурье цувралын ерөнхий хэлбэр болон ажлын гурван томьёог дэвтэртээ хуулж авна уу. Зарим сайтын зочдод сансрын нисгэгч болох хүүхэд насны мөрөөдлөө миний нүдний өмнө биелж байгаад маш их баяртай байна =)

Жишээ 2

Функцийг интервал дээр Фурье цуврал болгон өргөжүүл. График, цувааны нийлбэр ба хэсэгчилсэн нийлбэрийн графикийг байгуул.

Шийдэл: Ажлын эхний хэсэг нь функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх явдал юм.

Эхлэл нь стандарт тул дараах зүйлийг бичихээ мартуузай.

Энэ асуудалд тэлэлтийн хугацаа нь хагас үе юм.

Функцийг интервал дээр Фурье цуврал болгон өргөжүүлье.

Тохирох томъёог ашиглан бид олдог Фурье коэффициентүүд. Одоо та гурван тодорхой интеграл зохиож, тооцоолох хэрэгтэй. Тохиромжтой болгохын тулд би оноог дугаарлах болно:

1) Эхний интеграл нь хамгийн энгийн боловч нүдний алимыг шаарддаг.

2) Хоёрдахь томъёог ашиглана уу:

Энэ интегралыг сайн мэддэг бөгөөд үүнийг хэсэгчлэн авдаг.

Олж авахдаа функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулах аргыг ашигласан.

Хэлэлцэж буй даалгаварт тодорхой интеграл дахь хэсгүүдийг нэгтгэх томъёог нэн даруй ашиглах нь илүү тохиромжтой. :

Хэд хэдэн техникийн тэмдэглэл. Нэгдүгээрт, томъёог хэрэглэсний дараа анхны интегралын өмнө тогтмол байдаг тул илэрхийллийг бүхэлд нь том хаалтанд оруулах ёстой. Түүнийг алдахгүй байцгаая! Цаашид ямар ч алхам хийхдээ хашилтыг өргөжүүлж болно. Эхний "хэсэгт" Таны харж байгаагаар бид орлуулалтад маш их анхаарал хандуулдаг, тогтмолыг ашигладаггүй, интеграцийн хязгаарыг бүтээгдэхүүнд орлуулдаг. Энэ үйлдлийг дөрвөлжин хаалтанд тэмдэглэв. За, та сургалтын даалгавраас томьёоны хоёр дахь "хэсэг" -ийн интегралыг мэддэг;-)

Хамгийн гол нь - хэт төвлөрөл!

3) Бид гурав дахь Фурье коэффициентийг хайж байна:

Өмнөх интегралын харьцангуйг олж авсан бөгөөд үүнийг мөн хэсгүүдээр нэгтгэж болно.

Энэ жишээ нь арай илүү төвөгтэй тул би цаашдын алхмуудыг алхам алхмаар тайлбарлах болно:

(1) Бид илэрхийллийг бүхэлд нь том хаалтанд оруулна. Би уйтгартай мэт санагдахыг хүсээгүй, тэд байнга тогтмол байдлаа алддаг.

(2) В энэ тохиолдолдБи тэр даруй том хаалтуудыг нээлээ. Онцгой анхааралБид өөрсдийгөө эхний "хэсэг" -д зориулдаг: байнгын тамхи татдаг бөгөөд бүтээгдэхүүнд нэгтгэх (ба) хязгаарыг орлуулахад оролцдоггүй. Бичлэг эмх замбараагүй байгаа тул энэ үйлдлийг дөрвөлжин хаалтаар дахин тодруулахыг зөвлөж байна. Хоёр дахь "хэсэг" -ээр Бүх зүйл илүү энгийн: энд том хаалт нээсний дараа бутархай гарч ирсэн ба тогтмол нь танил интегралыг нэгтгэсний үр дүнд гарч ирэв;-)

(3) Дөрвөлжин хаалтанд бид хувиргалтыг хийж, баруун интегралд - интеграцийн хязгаарыг орлуулна.

(4) Бид дөрвөлжин хаалтаас "анивчдаг гэрлийг" арилгаж, дараа нь дотоод хаалтыг нээнэ: .

(5) Бид хаалтанд байгаа 1 ба –1-ийг цуцалж, эцсийн хялбаршуулалтыг хийдэг.

Эцэст нь бүх гурван Фурье коэффициент олддог.

Тэдгээрийг томъёонд орлуулж үзье :

Үүний зэрэгцээ хагасыг нь хувахаа бүү мартаарай. Сүүлийн шатанд "en"-ээс үл хамаарах тогтмолыг ("хасах хоёр") нийлбэрээс гадуур авна.

Тиймээс бид функцийг интервал дээр Фурье цуврал болгон өргөжүүлэв.

Фурье цувралын нийлмэл байдлын асуудлыг судалж үзье. Би онолыг ялангуяа тайлбарлах болно Дирихлетийн теорем, шууд утгаараа "хуруунд" байгаа тул хэрэв танд хатуу найрлага хэрэгтэй бол дээрх сурах бичгийг үзнэ үү. математик шинжилгээ (жишээ нь, Боханы 2-р боть эсвэл Фихтенхольцын 3-р боть, гэхдээ илүү хэцүү).

Асуудлын хоёр дахь хэсэгт график, цувралын нийлбэрийн график, хэсэгчилсэн нийлбэрийн график зурах шаардлагатай.

Функцийн график нь хавтгай дээрх энгийн шулуун шугам бөгөөд хар тасархай шугамаар зурсан байна.

Цувралын нийлбэрийг олж мэдье. Чиний мэдэж байгаагаар функцийн цуваа функцүүдэд нийлдэг. Манай тохиолдолд баригдсан Фурье цуврал "x"-ийн дурын утгын хувьдулаанаар харуулсан функцэд нийлэх болно. Энэ функц нь цэг дээрх 1-р төрлийн тасалдлыг тэсвэрлэдэг, гэхдээ тэдгээрт бас тодорхойлогддог (зураг дээрх улаан цэгүүд)

Тиймээс: . Энэ нь анхны функцээс мэдэгдэхүйц ялгаатай байгааг харахад хялбар байдаг, тиймээс ч гэсэн оруулгад оруулсан болно Тэнцүү гэсэн тэмдгээр биш харин tilde ашигладаг.

Цувралын нийлбэрийг бүтээхэд тохиромжтой алгоритмыг судалцгаая.

Төвийн интервал дээр Фурье цуврал нь функцтэй нийлдэг (төв улаан сегмент нь шугаман функцийн хар тасархай шугамтай давхцдаг).

Одоо авч үзэж буй тригонометрийн тэлэлтийн мөн чанарын талаар бага зэрэг яръя. Фурье цуврал зөвхөн үечилсэн функцийг (тогтмол, синус ба косинус) багтаасан тул цувралын нийлбэр мөн үечилсэн функц юм.

Энэ нь манайд юу гэсэн үг вэ тодорхой жишээ? Мөн энэ нь цувралын нийлбэр гэсэн үг юм – мэдээж үе үе бөгөөд интервалын улаан сегмент зүүн болон баруун талд эцэс төгсгөлгүй давтагдах ёстой.

"Задаргааны үе" гэсэн хэллэгийн утга одоо эцэст нь тодорхой болсон гэж би бодож байна. Энгийнээр хэлэхэд нөхцөл байдал дахин дахин давтагдах бүртээ.

Практикт зураг дээр үзүүлсэн шиг задралын гурван үеийг дүрслэх нь ихэвчлэн хангалттай байдаг. За, мөн хөрш зэргэлдээ үеийн "хожуул" - ингэснээр график үргэлжлэх нь тодорхой байна.

1-р төрлийн тасалдалтын цэгүүд онцгой анхаарал татаж байна. Ийм цэгүүдэд Фурье цуврал нь тусгаарлагдсан утгууд руу нийлдэг бөгөөд тэдгээр нь тасалдал (зураг дээрх улаан цэгүүд) "үсрэлт" -ийн яг дунд байрладаг. Эдгээр цэгүүдийн ординатыг хэрхэн олох вэ? Эхлээд "дээд давхрын" ординатыг олъё: үүнийг хийхийн тулд өргөтгөлийн төвийн хамгийн баруун цэг дэх функцийн утгыг тооцоолно: . "Доод давхрын" ординатыг тооцоолохын тулд ижил хугацааны хамгийн зүүн талын утгыг авах нь хамгийн хялбар арга юм. . Дундаж утгын ординат нь “дээд ба доод” нийлбэрийн арифметик дундаж юм: . Тааламжтай баримт бол зураг зурахдаа дундыг зөв эсвэл буруу тооцоолсон эсэхийг шууд харах болно.

Цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрийг бүтээж, нэгэн зэрэг "нийцэх" гэсэн нэр томъёоны утгыг давтъя. Сэдвийг мөн тооны цувралын нийлбэрийн тухай хичээлээс мэддэг. Бид баялгаа дэлгэрэнгүй тайлбарлая:

Хэсэгчилсэн нийлбэр гаргахын тулд та тэг + цувралын өөр хоёр гишүүн бичих хэрэгтэй. Тэр бол,

Зураг нь функцийн графикийг харуулж байна ногоон, мөн таны харж байгаагаар энэ нь бүрэн хэмжээгээр "боодог". Хэрэв бид цувралын таван гишүүний хэсэгчилсэн нийлбэрийг авч үзвэл, энэ функцийн график нь улаан шугамыг илүү нарийвчлалтай харуулах болно, хэрэв нэг зуун гишүүн байвал "ногоон могой" нь улаан сегментүүдтэй бүрэн нийлнэ; гэх мэт. Ийнхүү Фурье цуваа нийлбэртээ нийлдэг.

Аливаа хэсэгчилсэн нийлбэр нь тасралтгүй функц боловч цувралын нийт нийлбэр тасархай хэвээр байгаа нь сонирхолтой юм.

Практикт хэсэгчилсэн нийлбэрийн график байгуулах нь тийм ч ховор биш юм. Үүнийг хэрхэн хийх вэ? Манай тохиолдолд сегмент дээрх функцийг авч үзэх, сегментийн төгсгөл ба завсрын цэгүүдэд түүний утгыг тооцоолох шаардлагатай (илүү олон оноо авч үзэх тусам график илүү нарийвчлалтай байх болно). Дараа нь та эдгээр цэгүүдийг зурган дээр тэмдэглэж, тухайн үеийн графикийг анхааралтай зурж, дараа нь зэргэлдээх интервалд "хуулбарлах" хэрэгтэй. Өөр яаж? Эцсийн эцэст, ойролцоолох нь бас үечилсэн функц юм ... ... түүний график зарим талаараа эмнэлгийн төхөөрөмжийн дэлгэц дээрх зүрхний жигд хэмнэлийг санагдуулдаг.

Барилга угсралтын ажлыг гүйцэтгэх нь мэдээжийн хэрэг тийм ч тохиромжтой биш юм, учир нь та хагас миллиметрээс багагүй нарийвчлалыг хадгалахын тулд маш болгоомжтой байх хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч би зураг зурахад тохиромжгүй уншигчдад таалагдах болно - "бодит" асуудалд зураг зурах нь үргэлж шаардлагатай байдаггүй, ойролцоогоор 50% -д функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх шаардлагатай байдаг .

Зургийг дуусгасны дараа бид даалгаврыг гүйцэтгэнэ.

Хариулт:

Олон асуудалд функц нь өргөтгөлийн үед 1-р төрлийн тасалдалд ордог:

Жишээ 3

Интервал дээр өгөгдсөн функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүл. Функцийн график болон цувралын нийт нийлбэрийг зур.

Санал болгож буй функцийг хэсэгчилсэн байдлаар тодорхойлсон (зөвхөн сегмент дээр анхаарна уу)мөн цэг дээр 1-р төрлийн тасалдлыг амсдаг. Фурье коэффициентийг тооцоолох боломжтой юу? Асуудалгүй. Функцийн зүүн ба баруун тал хоёулаа интервалаараа интегралдах боломжтой тул гурван томьёо тус бүрийн интегралыг хоёр интегралын нийлбэрээр илэрхийлэх ёстой. Жишээлбэл, тэг коэффициентийн хувьд үүнийг хэрхэн хийхийг харцгаая.

Хоёр дахь интеграл нь тэгтэй тэнцүү болж, энэ нь ажлыг багасгасан боловч энэ нь үргэлж тийм биш юм.

Бусад хоёр Фурье коэффициентийг ижил төстэй байдлаар тайлбарлав.

Цувралын нийлбэрийг хэрхэн харуулах вэ? Зүүн талын интервал дээр бид шулуун шугамын сегментийг зурж, интервал дээр - шулуун шугамын сегментийг зурдаг (бид тэнхлэгийн хэсгийг тод, тодоор тодруулдаг). Өөрөөр хэлбэл, өргөтгөлийн интервал дээр цувралын нийлбэр нь гурван "муу" цэгээс бусад бүх функцтэй давхцдаг. Функцийн тасалдлын цэг дээр Фурье цуваа нь тасархайн "үсрэлт"-ийн яг голд байрлах тусгаарлагдсан утгад нийлнэ. Үүнийг амаар харахад хэцүү биш: зүүн талын хязгаар: , баруун талын хязгаар: мөн дунд цэгийн ординат нь 0.5 байх нь ойлгомжтой.

Нийлбэрийн үечилсэн байдлаас шалтгаалан зургийг зэргэлдээх үе болгон "үржүүлж" байх ёстой, тухайлбал, ижил зүйлийг интервал болон . Үүний зэрэгцээ Фурье цуваа цэгүүдэд дундаж утгууд руу нийлнэ.

Үнэндээ энд шинэ зүйл алга.

Энэ даалгаврыг өөрөө даван туулахыг хичээ. Ойролцоогоор дээж дуусгах ажилмөн хичээлийн төгсгөлд зурсан зураг.

Функцийг дурын хугацаанд Фурьегийн цуврал болгон өргөжүүлэх

Дурын тэлэлтийн хугацаанд "el" нь эерэг тоо байдаг бол Фурьегийн цуврал ба Фурье коэффициентүүдийн томъёо нь синус ба косинусын хувьд арай илүү төвөгтэй аргументаар ялгагдана.

Хэрэв бол бид эхлүүлсэн интервалын томъёог авна.

Асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм, зарчмууд бүрэн хадгалагдан үлдсэн боловч тооцооллын техникийн нарийн төвөгтэй байдал нэмэгддэг.

Жишээ 4

Функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлж, нийлбэрийг зур.

Шийдэл: үнэндээ цэг дээр 1-р төрлийн тасалдалтай жишээ №3-ын аналог. Энэ асуудалд тэлэлтийн хугацаа нь хагас үе юм. Функц нь зөвхөн хагас интервалаар тодорхойлогддог боловч энэ нь асуудлыг өөрчлөхгүй - функцийн хоёр хэсэг хоёулаа нэгдмэл байх нь чухал юм.

Функцийг Фурье цуврал болгон өргөжүүлье.

Функц нь эхэнд тасалдсан тул Фурье коэффициент бүрийг хоёр интегралын нийлбэрээр бичих нь ойлгомжтой.

1) Би эхний интегралыг аль болох нарийвчлан бичих болно.

2) Бид сарны гадаргууг анхааралтай ажиглаж байна:

Бид хоёр дахь интегралыг хэсгүүдээр нь авна.

Уусмалын үргэлжлэлийг одоор нээсний дараа бид юуг анхаарах ёстой вэ?

Нэгдүгээрт, бид эхний интегралыг алдахгүй , бид нэн даруй дифференциал тэмдгийг хэрэглэнэ. Хоёрдугаарт, том хаалтны өмнөх таагүй тогтмолыг бүү мартаарай, томьёог ашиглахдаа тэмдгүүдэд андуурч болохгүй. . Том хаалт нь дараагийн алхамд нэн даруй нээхэд илүү тохиромжтой хэвээр байна.

Үлдсэн хэсэг нь техникийн асуудал бөгөөд зөвхөн интегралыг шийдвэрлэх туршлага хангалтгүйгээс л үүсдэг.

Тийм ээ, Францын математикч Фурьегийн нэр хүндтэй хамтрагчид уурлаж бухимдсан нь дэмий хоосон байсангүй - тэр яаж функцүүдийг тригонометрийн цуврал болгон зохион байгуулж зүрхэлсэн бэ?! =) Дашрамд хэлэхэд, хүн бүр тухайн үүрэг даалгаврын практик утгыг сонирхож магадгүй юм. Фурье өөрөө ажилласан математик загвардулаан дамжилтын илтгэлцүүр, улмаар түүний нэрэмжит цувралыг хүрээлэн буй ертөнцөд харагдахуйц, үл үзэгдэх олон үечилсэн үйл явцыг судлахад ашиглаж эхэлсэн. Одоо, дашрамд хэлэхэд, хоёр дахь жишээний графикийг зүрхний үечилсэн хэмнэлтэй харьцуулсан нь санамсаргүй биш юм гэж өөрийгөө барьж авав. Сонирхсон хүмүүс танилцаж болно практик хэрэглээ Фурье хувиргалтгуравдагч талын эх сурвалжид. ...Хэдийгээр тэгээгүй нь дээр - Анхны хайр гэж дурсагдах болно =)

3) Дахин дурьдсан зүйлийг харгалзан үзэх сул холбоосууд, гурав дахь коэффициентийг харцгаая:

Хэсэгээр нь нэгтгэж үзье:

Олдсон Фурье коэффициентийг томъёонд орлуулъя , тэг коэффициентийг хагасаар хувахаа мартаж болохгүй.

Цувралын нийлбэрийг зуръя. Процедурыг товчхон давтан хийцгээе: бид интервал дээр шулуун шугам, интервал дээр шулуун шугам байгуулна. Хэрэв "x" утга тэг байвал бид завсарын "үсрэлтийн" дунд цэг тавьж, зэргэлдээх үеүүдийн графикийг "хуулбарлана".


Үеүүдийн "уулзвар" дээр нийлбэр нь мөн ялгааны "үсрэлтийн" дунд цэгүүдтэй тэнцүү байх болно.

Бэлэн. Функц өөрөө зөвхөн хагас интервалаар тодорхойлогдсон нөхцлөөр тодорхойлогддог бөгөөд интервал дээрх цувааны нийлбэртэй давхцаж байгааг сануулъя.

Хариулт:

Заримдаа хэсэгчлэн өгөгдсөн функц нь өргөтгөлийн хугацаанд тасралтгүй байдаг. Хамгийн энгийн жишээ: . Шийдэл (Бохан боть 2-ыг үзнэ үү)Өмнөх хоёр жишээн дээрхтэй адил: цэг дээрх функцын тасралтгүй байдлыг үл харгалзан Фурьегийн коэффициент бүрийг хоёр интегралын нийлбэрээр илэрхийлнэ.

Өргөтгөх интервалд 1-р төрлийн тасалдал ба/эсвэл графикийн "холбох" цэгүүд (хоёр, гурав, ерөнхийдөө дурын) байж болно. эцсийнтоо хэмжээ). Хэрэв функц нь хэсэг бүр дээр интегралдах боломжтой бол энэ нь Фурье цувралд мөн нэмэгдэх боломжтой. Гэхдээ -аас практик туршлагаБи ийм харгислалыг санахгүй байна. Гэсэн хэдий ч, саяхан авч үзсэнээс илүү хэцүү даалгаварууд байдаг бөгөөд өгүүллийн төгсгөлд хүн бүрт зориулсан нарийн төвөгтэй байдлыг нэмэгдүүлсэн Фурье цувралын холбоосууд байдаг.

Энэ хооронд тайвширч, сандал дээрээ тулан, оддын төгсгөлгүй далайг эргэцүүлцгээе:

Жишээ 5

Функцийг интервал дээр Фурье цуврал болгон өргөжүүлж, цувааны нийлбэрийг зур.

Энэ асуудалд функц нь өргөтгөлийн хагас интервал дээр тасралтгүй үргэлжилдэг бөгөөд энэ нь шийдлийг хялбаршуулдаг. Бүх зүйл 2-р жишээтэй маш төстэй. Сансрын хөлгөөс зугтах боломжгүй - та шийдэх хэрэгтэй =) Хичээлийн төгсгөлд дизайны ойролцоо загвар, хуваарийг хавсаргасан болно.

Fourier цувралын өргөтгөл тэгш ба үгүй бүр функцууд

Тэгш ба сондгой функцүүдийн тусламжтайгаар асуудлыг шийдвэрлэх үйл явц мэдэгдэхүйц хялбаршсан болно. Тийм учраас л. “Хоёр пи” үетэй Фурье цувралын функцын өргөтгөл рүү буцъя. ба дурын үе "хоёр эл" .

Бидний функц тэгш байна гэж бодъё. Цувралын ерөнхий нэр томъёо нь таны харж байгаагаар тэгш косинус, сондгой синусыг агуулдаг. Хэрэв бид ТЭГШ функцийг өргөжүүлж байгаа бол яагаад сондгой синусууд хэрэгтэй байна вэ? Шаардлагагүй коэффициентийг дахин тохируулъя: .

Иймээс тэгш функцийг зөвхөн косинусаар Фурье цуврал болгон өргөжүүлж болно:

Тэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй интеграцийн сегмент дээрх тэгш функцүүдийн интегралыг хоёр дахин нэмэгдүүлэх боломжтой тул үлдсэн Фурье коэффициентийг мөн хялбаршуулсан болно.

Хоорондын хувьд:

Дурын интервалын хувьд:

Математикийн шинжилгээний бараг бүх сурах бичгээс олж болох сурах бичгийн жишээнд тэгш функцүүдийн өргөтгөлүүд багтсан болно. . Нэмж дурдахад тэд миний хувийн практикт хэд хэдэн удаа тулгарч байсан:

Жишээ 6

Функцийг өгсөн. Шаардлагатай:

1) функцийг үетэй Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх, энд дурын эерэг тоо;

2) тэлэлтийг интервал дээр бичиж, функц байгуулж, цувралын нийт нийлбэрийн графикийг зур.

Шийдэл: эхний догол мөрөнд асуудлыг шийдвэрлэхийг санал болгож байна ерөнхий үзэл, мөн энэ нь маш тохиромжтой! Шаардлагатай бол үнэ цэнээ орлуулаарай.

1) Энэ асуудалд тэлэлтийн хугацаа нь хагас үе юм. үед цаашдын арга хэмжээ, ялангуяа интеграцийн үед "el" нь тогтмол гэж тооцогддог

Функц нь тэгш бөгөөд энэ нь зөвхөн косинусуудад Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх боломжтой гэсэн үг юм: .

Бид томьёо ашиглан Фурье коэффициентийг хайж олдог . Тэдний болзолгүй давуу талуудад анхаарлаа хандуулаарай. Нэгдүгээрт, интеграци нь өргөтгөлийн эерэг сегмент дээр хийгддэг бөгөөд энэ нь бид модулийг аюулгүйгээр арилгана гэсэн үг юм. , хоёр ширхэгийн зөвхөн "X"-ийг авч үзвэл. Хоёрдугаарт, интеграци нь мэдэгдэхүйц хялбаршуулсан.

Хоёр:

Хэсэгээр нь нэгтгэж үзье:

Тиймээс:
, харин "en"-ээс хамаарахгүй тогтмолыг нийлбэрээс гадуур авдаг.

Хариулт:

2) Үүний тулд интервал дээр өргөтгөлийг бичье ерөнхий томъёохүссэн хагас мөчлөгийн утгыг орлуулах:

Фурье цуваа нь тодорхой үетэй дурын функцийг цуваа хэлбэрээр дүрслэх явдал юм. Ерөнхийдөө энэ шийдлийг ортогональ суурь дагуу элементийн задрал гэж нэрлэдэг. Функцуудыг Фурье цуврал болгон өргөжүүлэх нь интегралчлал, ялгах, түүнчлэн аргумент, эвдрэлээр илэрхийлэлийг шилжүүлэх явцад энэхүү хувиргалтын шинж чанараас шалтгаалан янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх нэлээд хүчирхэг хэрэгсэл юм.

Дээд математик, мөн Францын эрдэмтэн Фурьегийн бүтээлүүдийг сайн мэддэггүй хүн эдгээр "цуврал" гэж юу болохыг, юунд хэрэгтэйг ойлгохгүй байх магадлалтай. Үүний зэрэгцээ энэхүү өөрчлөлт нь бидний амьдралд нэлээд шингэсэн. Үүнийг зөвхөн математикчид төдийгүй физикч, химич, эмч, одон орон судлаач, газар хөдлөлт судлаач, далай судлаачид болон бусад олон хүмүүс ашигладаг. Мөн цаг үеэсээ түрүүлж нээлт хийсэн францын агуу эрдэмтний бүтээлүүдийг нарийвчлан авч үзье.

Хүн ба Фурье хоёр өөрчлөгдөнө

Фурье цуврал нь аргуудын нэг юм (шинжилгээ болон бусадтай хамт) Энэ үйл явц нь хүн дуу чимээ сонсох бүрт тохиолддог. Бидний чих нь уян харимхай орчин дахь энгийн тоосонцорыг автоматаар өөр өөр өндөрт тохирсон дууны түвшний дараалсан эгнээнд (спектрийн дагуу) хувиргадаг. Дараа нь тархи энэ өгөгдлийг бидэнд танил болсон дуу авиа болгон хувиргадаг. Энэ бүхэн бидний хүсэл, ухамсаргүйгээр бие даан тохиолддог боловч эдгээр үйл явцыг ойлгохын тулд дээд математикийг судлахад хэдэн жил шаардагдана.

Фурье хувиргалтын тухай дэлгэрэнгүй

Фурье хувиргалтыг аналитик, тоон болон бусад аргуудыг ашиглан хийж болно. Фурье цуврал нь далайн түрлэг, гэрлийн долгионоос эхлээд нарны (болон бусад одон орны объектуудын) үйл ажиллагааны мөчлөг хүртэлх аливаа хэлбэлзлийн процессыг задлах тоон аргыг хэлдэг. Эдгээр математик аргуудыг ашигласнаар та ямар ч хэлбэлзлийн процессыг хамгийн багааас дээд тал руу, буцаах синусоид бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн цуваа болгон төлөөлөх функцуудыг шинжлэх боломжтой. Фурье хувиргалт нь тодорхой давтамжтай харгалзах синусоидуудын фаз ба далайцыг тодорхойлдог функц юм. Энэ процессыг маш их шийдвэрлэхэд ашиглаж болно нарийн төвөгтэй тэгшитгэлүүд, энэ нь дулааны, гэрэл эсвэл нөлөөн дор үүсдэг динамик үйл явцыг тодорхойлдог цахилгаан эрчим хүч. Мөн Фурье цуврал нь нарийн төвөгтэй хэлбэлзлийн дохионы тогтмол бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тусгаарлах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь анагаах ухаан, хими, одон орон судлалд олж авсан туршилтын ажиглалтыг зөв тайлбарлах боломжийг олгодог.

Түүхийн лавлагаа

Энэ онолыг үндэслэгч нь Францын математикч Жан Батист Жозеф Фурье юм. Энэ өөрчлөлтийг дараа нь түүний нэрээр нэрлэжээ. Эхэндээ эрдэмтэн дулаан дамжилтын механизм болох дулааны тархалтыг судлах, тайлбарлахдаа өөрийн аргыг ашигласан. хатуу бодис. Фурье анхны жигд бус тархалтыг энгийн синусоидууд болгон задалж болно гэж санал болгосон бөгөөд тэдгээр нь тус бүр өөрийн температурын хамгийн бага ба хамгийн их хэмжээ, мөн өөрийн үе шаттай байх болно. Энэ тохиолдолд ийм бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийг хамгийн багадаа дээд тал руу нь хэмжинэ. Муруйн дээд ба доод оргилууд, түүнчлэн гармоник бүрийн үе шатыг тодорхойлдог математик функцийг температурын тархалтын илэрхийлэлийн Фурье хувиргалт гэж нэрлэдэг. Онолын зохиогч нэгтгэсэн ерөнхий функцМатематикийн хувьд тайлбарлахад хэцүү тархалтыг косинус ба синусын маш тохиромжтой цуврал болгон нэгтгэж анхны тархалтыг өгдөг.

Өөрчлөлтийн зарчим ба орчин үеийн хүмүүсийн үзэл бодол

Эрдэмтний орчин үеийн хүмүүс - XIX зууны эхэн үеийн тэргүүлэх математикчид энэ онолыг хүлээн зөвшөөрөөгүй. Гол эсэргүүцэл нь шулуун эсвэл тасархай муруйг дүрсэлсэн тасархай функцийг үргэлжилсэн синусоид илэрхийллийн нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлж болно гэсэн Фурьегийн нотолгоо байв. Жишээ болгон Heaviside алхамыг авч үзье: түүний утга нь тасалдлын зүүн талд тэг, баруун талд нэг байна. Энэ функц нь хамаарлыг тодорхойлдог цахилгаан гүйдэлхэлхээ хаалттай үед түр зуурын хувьсагчаас. Тухайн үеийн онолын орчин үеийн хүмүүс тасалдалтай илэрхийлэл нь экспоненциал, синус, шугаман эсвэл квадрат зэрэг тасралтгүй, энгийн функцүүдийн хослолоор тодорхойлогддог ийм нөхцөл байдалтай хэзээ ч тулгарч байгаагүй.

Францын математикчдыг Фурьегийн онолын талаар юу андуурсан бэ?

Эцсийн эцэст, хэрэв математикч хэлсэн үгэндээ зөв байсан бол хязгааргүй тригонометрийн Фурье цувралыг нэгтгэснээр ижил төстэй олон алхамтай байсан ч алхамын илэрхийллийн үнэн зөв дүрслэлийг олж авах боломжтой. 19-р зууны эхэн үед ийм мэдэгдэл нь утгагүй мэт санагдаж байв. Гэхдээ бүх эргэлзээтэй байсан ч олон математикчид энэ үзэгдлийг судлах хүрээг өргөжүүлж, дулаан дамжилтын илтгэлцүүрийг судлахаас гадна авч үзсэн. Гэсэн хэдий ч ихэнх эрдэмтдийг "Синусоид цувралын нийлбэр нь нийлдэг үү" гэсэн асуултад зовж шаналж байв. яг үнэ цэнэтасалдсан функц?

Фурье цувралын нэгдэл: жишээ

Хязгааргүй тооны цувралыг нийлбэрлэх шаардлагатай үед нэгдэх тухай асуулт гарч ирдэг. Энэ үзэгдлийг ойлгохын тулд сонгодог жишээг авч үзье. Хэрэв дараагийн алхам бүр өмнөхөөсөө хагастай тэнцүү байвал та хананд хүрч чадах уу? Та зорилгоосоо хоёр метрийн зайд орчихлоо гэж бодъё, эхний алхам нь таныг замын тал руу, дараагийн алхам нь дөрөвний гурвыг, тавын дараа та замын бараг 97 хувийг туулсан байна гэж бодъё. Гэсэн хэдий ч та хичнээн алхам хийсэн ч математикийн хатуу утгаараа зорьсон зорилгодоо хүрч чадахгүй. Тоон тооцоог ашиглан эцсийн эцэст өгөгдсөн зайд ойртох боломжтой гэдгийг баталж болно. Энэ нотолгоо нь хагас, дөрөвний нэг гэх мэтийн нийлбэр нь нэгдмэл байх хандлагатай болохыг нотлохтой тэнцүү юм.

Нэгдлийн тухай асуулт: Хоёр дахь ирэлт буюу Лорд Келвиний зэмсэг

Дахин дахин энэ асуулт 19-р зууны сүүлчээр тэд Фурье цувралыг ашиглан далайн түрлэг, урсгалын эрчмийг урьдчилан таамаглахыг оролдсон үед өссөн. Энэ үед Лорд Келвин цэргийн болон худалдааны тэнгисийн далайчдад үүнийг хянах боломжийг олгодог аналог тооцоолох төхөөрөмж байсан багажийг зохион бүтээжээ. байгалийн үзэгдэл. Энэхүү механизм нь тухайн боомтод жилийн турш анхааралтай хэмжсэн далайн түрлэгийн өндөр ба холбогдох цаг хугацааны хүснэгтээс үе шат, далайцын багцыг тодорхойлсон. Параметр бүр нь түрлэгийн өндрийн илэрхийлэлийн синусоид бүрэлдэхүүн хэсэг байсан бөгөөд ердийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нэг байв. Хэмжилтийн үр дүнг Лорд Келвиний тооцоолох хэрэгсэлд оруулсан бөгөөд энэ нь усны өндрийг цаг хугацааны функцээр урьдчилан таамагласан муруйг нэгтгэсэн. дараа жил. Удалгүй дэлхийн бүх боомтуудад ижил төстэй муруйг зурав.

Хэрэв үйл явц тасалдсан функцээр тасалдвал яах вэ?

Тухайн үед олон тооны тоолох элемент бүхий түрлэгийн долгионыг урьдчилан таамаглах хэрэгсэл тооцоолж чаддаг нь ойлгомжтой мэт санагдаж байв. олон тооныүе шат ба далайцыг тодорхойлж, улмаар илүү үнэн зөв таамаглалыг өгдөг. Гэсэн хэдий ч нийлэгжих ёстой түрлэгийн илэрхийлэл нь огцом үсрэлт агуулсан, өөрөөр хэлбэл тасалдсан тохиолдолд ийм хэв маяг ажиглагддаггүй нь тогтоогджээ. Хэрэв цаг хугацааны моментийн хүснэгтийн өгөгдлийг төхөөрөмжид оруулсан бол энэ нь хэд хэдэн Фурье коэффициентийг тооцдог. Синусоидын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн ачаар анхны функц сэргээгддэг (олдсон коэффициентүүдийн дагуу). Анхны болон сэргээн босгосон илэрхийлэл хоорондын зөрүүг ямар ч үед хэмжиж болно. Давтан тооцоо, харьцуулалт хийх үед үнэ цэнэ нь тодорхой байна хамгийн том алдаабуурахгүй. Гэсэн хэдий ч тэдгээр нь тасалдсан цэгт харгалзах бүс нутагт нутагшсан бөгөөд бусад аль ч цэгт тэг рүү чиглэдэг. 1899 онд энэ үр дүнг Йелийн их сургуулийн Жошуа Виллард Гиббс онолын хувьд баталжээ.

Фурье цувралын нэгдэл ба математикийн ерөнхий хөгжил

Фурьегийн шинжилгээ нь тодорхой интервал дахь хязгааргүй тооны өргөлтийг агуулсан илэрхийлэлд хамаарахгүй. Ерөнхийдөө Фурье цуваа, хэрэв анхны функцийг бодит физик хэмжилтийн үр дүнд дүрсэлсэн бол үргэлж нийлдэг. Энэ үйл явцыг функцүүдийн тодорхой ангилалд нэгтгэх талаархи асуултууд нь математикийн шинэ салбарууд, жишээлбэл, ерөнхий функцүүдийн онолууд гарч ирэхэд хүргэсэн. Тэрээр Л.Шварц, Ж.Микусински, Ж.Темпл зэрэг нэртэй холбоотой. Энэ онолын хүрээнд тодорхой бөгөөд тодорхой онолын үндэслэлДирак дельта функц (энэ нь нэг цэгийн хязгааргүй жижиг орчимд төвлөрсөн нэг талбайн мужийг дүрсэлдэг) болон Хевисайдын "алхам" гэх мэт илэрхийллийн дор. Энэхүү ажлын ачаар Фурье цуврал нь цэгийн цэнэг, цэгийн масс, соронзон диполь, цацраг дээрх төвлөрсөн ачаалал зэрэг зөн совингийн ойлголтуудыг агуулсан тэгшитгэл, асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрэглэгдэх болсон.

Фурье арга

Интерференцийн зарчмын дагуу Фурье цувралууд нь өргөтгөлөөс эхэлдэг нарийн төвөгтэй хэлбэрүүдилүү энгийн хүмүүст. Жишээлбэл, дулааны урсгалын өөрчлөлтийг дулаан тусгаарлагч материалаар хийсэн янз бүрийн саад тотгороор дамжин өнгөрч байгаатай холбон тайлбарладаг. жигд бус хэлбэрэсвэл дэлхийн гадаргуугийн өөрчлөлт - газар хөдлөлт, селестиел биетийн тойрог замын өөрчлөлт - гаригуудын нөлөө. Дүрмээр бол энгийн сонгодог системийг дүрсэлсэн ийм тэгшитгэлийг долгион бүрийн хувьд хялбархан шийдэж болно. Фурье үүнийг харуулсан энгийн шийдлүүдилүү төвөгтэй асуудлын шийдлийг олж авахын тулд нэгтгэн дүгнэж болно. Математикийн хувьд Фурье цуврал нь илэрхийлэлийг гармоникийн нийлбэр болгон илэрхийлэх арга техник юм - косинус ба синус. Тийм ч учраас энэ шинжилгээгармоник анализ гэж бас нэрлэдэг.

Фурье цуврал бол "компьютерийн эрин үеэс" өмнөх хамгийн тохиромжтой техник юм.

Компьютерийн технологийг бий болгохоос өмнө Фурье техник нь манай дэлхийн долгионы шинж чанартай ажиллахад эрдэмтдийн зэвсэглэлд байсан хамгийн шилдэг зэвсэг байсан. Нарийн төвөгтэй хэлбэрээр Фурье цуврал нь зөвхөн шийдвэрлэх боломжийг олгодог энгийн даалгаварууд, эдгээр нь Ньютоны механикийн хуулиудыг шууд хэрэглэхэд тохиромжтой, гэхдээ үндсэн тэгшитгэлүүд. 19-р зууны Ньютоны шинжлэх ухааны ихэнх нээлтүүд зөвхөн Фурьегийн техникээр л боломжтой болсон.

Өнөөдөр Фурье цуврал

Компьютер хөгжихийн хэрээр Фурье хувиргалт нь чанарын шинэ түвшинд гарсан. Энэ техникшинжлэх ухаан, технологийн бараг бүх салбарт бат бэх суурьшсан. Жишээ нь дижитал аудио, видео юм. Үүнийг хэрэгжүүлэх нь 19-р зууны эхээр Францын математикчийн боловсруулсан онолын ачаар л боломжтой болсон. Тиймээс Фурье цуврал нь нарийн төвөгтэй хэлбэрээр судалгаанд нээлт хийх боломжтой болсон Гадаад орон зай. Үүнээс гадна хагас дамжуулагч материал ба плазмын физик, богино долгионы акустик, далай судлал, радар, газар хөдлөлт судлалын судалгаанд нөлөөлсөн.

Тригонометрийн Фурье цуврал

Математикийн хувьд Фурьегийн цуврал нь дурын нийлмэл функцийг энгийн функцүүдийн нийлбэрээр илэрхийлэх арга юм. IN ерөнхий тохиолдлуудийм илэрхийллийн тоо хязгааргүй байж болно. Түүгээр ч зогсохгүй тооцоололд тэдний тоог харгалзан үзэх тусам эцсийн үр дүн илүү нарийвчлалтай болно. Ихэнхдээ эгэл биетэн болгон ашигладаг тригонометрийн функцуудкосинус эсвэл синус. Энэ тохиолдолд Фурье цувааг тригонометр гэж нэрлэдэг ба ийм илэрхийллийн шийдлийг гармоник тэлэлт гэж нэрлэдэг. Энэ арга нь математикт чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Юуны өмнө тригонометрийн цуваа нь функцийг дүрслэх, судлах арга хэрэгсэл юм. Үүнээс гадна математикийн физикийн хэд хэдэн асуудлыг шийдэх боломжийг танд олгоно. Эцэст нь энэ онол нь хөгжилд хувь нэмрээ оруулж, амьдралд авчирсан бүхэл бүтэн шугамматематикийн шинжлэх ухааны маш чухал хэсгүүд (интегралын онол, үечилсэн функцийн онол). Нэмж дурдахад энэ нь хөгжлийн эхлэлийн цэг болсон дараах функцуудбодит хувьсагч, мөн гармоник шинжилгээний үндэс суурийг тавьсан.

Ерөнхий мэргэжлийн боловсролын яам

Сочи Улсын их сургуульаялал жуулчлал

болон амралтын бизнес

Сурган хүмүүжүүлэх дээд сургууль

Математикийн факультет

Ерөнхий математикийн тэнхим

ТӨГСӨГЧИЙН АЖИЛ

Фурье цуврал ба тэдгээрийн хэрэглээ

Математик физикт.

Гүйцэтгэсэн: 5-р курсын оюутан

бүтэн цагийн боловсролын гарын үсэг

Мэргэжил 010100

"Математик"

Касперова Н.С.

Оюутны үнэмлэх No95471

Эрдэм шинжилгээний удирдагч: дэд профессор, нэр дэвшигч.

техникийн гарын үсэг шинжлэх ухаан

Позин П.А.

Сочи, 2000 он

1. Танилцуулга.

2. Фурье цувралын тухай ойлголт.

2.1. Фурье цувралын коэффициентийг тодорхойлох.

2.2. Тогтмол функцүүдийн интегралууд.

3. Фурье цувралын нийлэх шинж тэмдэг.

3.1. Фурье цуврал дахь функцүүдийн өргөтгөлийн жишээ.

4. Үелэх функцийн Фурье цувралын өргөтгөлийн тухай тэмдэглэл

5. Тэгш сондгой функцийн Фурье цуваа.

6. 2-р үетэй функцүүдийн Фурье цуваа л .

7. Үелэх бус функцийн Фурье цувралын өргөтгөл.

Оршил.

Жан Батист Жозеф Фурье - Францын математикч, Парисын Шинжлэх ухааны академийн гишүүн (1817).

Фурьегийн алгебртай холбоотой анхны бүтээлүүд. 1796 оны лекцүүддээ тэрээр өгөгдсөн хилийн хооронд орших алгебрийн тэгшитгэлийн бодит язгуурын тооны тухай теоремыг танилцуулсан (1820 онд хэвлэгдсэн), түүний нэрээр нэрлэгдсэн; бүрэн шийдэлалгебрийн тэгшитгэлийн бодит язгуурын тоог 1829 онд J.S.F. Халдлагаар. 1818 онд Фурье Ньютоны боловсруулсан аргыг хэрэглэх нөхцлийн талаархи асуултыг судалжээ. тоон шийдэлтэгшитгэл, 1768 онд Францын математикч Ж.Р. олж авсан ижил төстэй үр дүнгийн талаар мэдэхгүй байна. Мурайлем. Фурьегийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тоон аргын талаархи ажлын үр дүн нь 1831 онд нас барсны дараа хэвлэгдсэн "Тодорхой тэгшитгэлийн шинжилгээ" юм.

Фурьегийн судалгааны гол чиглэл нь математик физик байв. 1807, 1811 онд тэрээр Парисын Шинжлэх Ухааны Академид дулааны тархалтын онолын талаархи анхны нээлтээ танилцуулав. хатуу бие, мөн 1822 онд тоглосон "Дулааны аналитик онол" хэмээх алдарт бүтээлээ хэвлүүлсэн том үүрэгматематикийн дараагийн түүхэнд. Энэ - математикийн онолдулаан дамжуулалтын. Аргын ерөнхий байдлаас шалтгаалан энэхүү ном нь математик физикийн орчин үеийн бүх аргуудын эх сурвалж болсон юм. Энэ ажилд Фурье олсон дифференциал тэгшитгэлдулаан дамжилтын чанар болон боловсруулсан санааг хамгийн их ерөнхий тоймД.Бернуллигийн өмнө дурьдсан тодорхой хилийн нөхцлийн дагуу дулааны тэгшитгэлийг шийдвэрлэхийн тулд хувьсагчдыг салгах аргыг (Фурьегийн арга) боловсруулж, хэд хэдэн онцгой тохиолдлуудад (шоо, цилиндр гэх мэт) ашигласан. Энэ арга нь функцуудыг тригонометрийн Фурье цувралаар дүрслэхэд суурилдаг.

Фурье цуваа нь одоо хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн онолд хилийн утгын асуудлыг шийдвэрлэх сайн хөгжсөн хэрэгсэл болжээ.

1. Фурье цувралын тухай ойлголт. (х. 94, Уваренков)

Фурье цувралууд нь математик физик, уян хатан байдлын онол, цахилгаан инженерчлэл, ялангуяа тэдгээрийн шинжлэх ухаанд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. онцгой тохиолдол- тригонометрийн Фурье цуврал.

Тригонометрийн цуваа нь хэлбэрийн цуваа юм

эсвэл, бэлгэдлийн тэмдэглэгээ:

(1)

Энд ω, a 0, a 1, …, a n, …, b 0, b 1, …, b n, … нь тогтмол тоонууд (ω>0).

Физикийн зарим асуудлууд түүхэндээ ийм цувралуудыг судлахад хүргэсэн, жишээлбэл, утаснуудын чичиргээний асуудал (18-р зуун), дулаан дамжилтын үзэгдлийн зүй тогтолын асуудал гэх мэт. Хэрэглээнд тригонометрийн цувааг авч үзэх , нь үндсэндээ y = ƒ(χ) тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон өгөгдсөн хөдөлгөөнийг илэрхийлэх даалгавартай холбоотой.

хамгийн энгийн нийлбэр гэж гармоник чичиргээ, ихэвчлэн тодорхойгүй хугацаагаар авдаг их тоо, өөрөөр хэлбэл (1) хэлбэрийн цувааны нийлбэрээр.

Тиймээс бид дараах асуудалд хүрнэ: өгөгдсөн интервал дээр ƒ(x) функцийн хувьд энэ интервал дээр энэ функцэд нийлэх цуврал (1) байгаа эсэхийг олж мэдэх. Хэрэв энэ боломжтой бол энэ интервал дээр ƒ(x) функцийг тригонометрийн цуваа болгон өргөжүүлсэн гэж тэд хэлдэг.

Цуврал (1) нь функцүүдийн үечилсэн байдлаас шалтгаалан x 0 цэгт нийлдэг

(n=1,2,..), энэ нь хэлбэрийн бүх цэгүүдэд нийлэг байх болно (m нь дурын бүхэл тоо), улмаар түүний S(x) нийлбэр нь (цувралын нийлэх мужид) болно. ) үечилсэн функц: хэрэв S n ( x) - n-р хэсэгЭнэ цувралын нийлбэр, тэгвэл бид байна

Тиймээс

, өөрөөр хэлбэл S(x 0 +T)=S(x 0). Иймд зарим ƒ(x) функцийг (1) хэлбэрийн цуваа болгон өргөтгөх тухай ярихад бид ƒ(x)-ийг үечилсэн функц гэж үзнэ.

2. Фурье томьёо ашиглан цувааны коэффициентийг тодорхойлох.

2π үетэй ƒ(x) үечилсэн функцийг (-π, π) интервалд (-π, π) өгөгдсөн функцэд нийлэх тригонометрийн цуваагаар дүрслэх, өөрөөр хэлбэл энэ цувааны нийлбэр болно.

. (2)

Энэ тэгшитгэлийн зүүн талын функцийн интеграл нь энэ цувралын гишүүн орнуудын интегралуудын нийлбэртэй тэнцүү гэж үзье. Хэрэв бид өгөгдсөн тригонометрийн цувралын коэффициентуудаас бүрдэх тооны цуваа туйлын нийлдэг, өөрөөр хэлбэл эерэг тооны цуваа нийлдэг гэж үзвэл энэ нь үнэн болно.

(3)

Цуврал (1) нь голчлох боломжтой бөгөөд (-π, π) интервалд гишүүнээр нь нэгтгэж болно. Тэгш байдлын хоёр талыг нэгтгэцгээе (2):

.

Баруун талд гарч буй интеграл бүрийг тусад нь үнэлье.

, , .

Тиймээс,

, хаана . (4)

Фурье коэффициентийн тооцоо. (Бугров)

Теорем 1. 2π үеийн ƒ(x) функцийг тасралтгүй дериватив ƒ ( s) (x) дараалал s, бүхэл бүтэн бодит тэнхлэг дээрх тэгш бус байдлыг хангах:

│ ƒ (s) (x)│≤ M s ; (5)

дараа нь функцийн Фурье коэффициентүүд ƒ тэгш бус байдлыг хангана

(6)

Баталгаа. Хэсэг хэсгээр нэгтгэж, үүнийг харгалзан үзэх

ƒ(-π) = ƒ(π), бидэнд байна

Нэгтгэж байна баруун тал(7) ƒ ΄, …, ƒ (s-1) деривативууд тасралтгүй бөгөөд t = -π ба t = π цэгүүдэд ижил утгыг авч, тооцоолсон (5) гэдгийг харгалзан тууштай, Бид эхний тооцоог авдаг (6).

Хоёрдахь тооцоог (6) ижил төстэй аргаар олж авна.

Теорем 2. Фурье коэффициент ƒ(x)-ийн хувьд дараахь тэгш бус байдал үүснэ.

(8)

Баталгаа. Бидэнд байгаа

Хэрхэн оруулах вэ математикийн томьёовэб сайт руу?

Хэрэв та хэзээ нэгэн цагт вэб хуудсанд нэг юмуу хоёр математикийн томьёо нэмэх шаардлагатай бол үүнийг хийх хамгийн хялбар арга бол нийтлэлд дурдсанчлан: математикийн томъёог Wolfram Alpha-ийн автоматаар үүсгэсэн зураг хэлбэрээр сайтад хялбархан оруулдаг. . Энгийн байдлаас гадна энэхүү бүх нийтийн арга нь сайтын харагдах байдлыг сайжруулахад тусална Хайлтын системүүд. Энэ нь удаан хугацаанд ажиллаж байсан (мөн үүрд ажиллах болно гэж бодож байна), гэхдээ аль хэдийн ёс суртахууны хувьд хоцрогдсон.

Хэрэв та сайт дээрээ математикийн томьёо байнга ашигладаг бол MathML, LaTeX эсвэл ASCIIMathML тэмдэглэгээг ашиглан вэб хөтчүүдэд математик тэмдэглэгээг харуулдаг тусгай JavaScript номын сан болох MathJax-г ашиглахыг зөвлөж байна.

MathJax-г ашиглаж эхлэх хоёр арга бий: (1) энгийн код ашиглан та MathJax скриптийг өөрийн вэбсайт руу хурдан холбох боломжтой бөгөөд энэ нь зөв цагт алсын серверээс автоматаар ачаалагдах болно (серверүүдийн жагсаалт); (2) MathJax скриптийг алсын серверээс сервертээ татаж аваад сайтынхаа бүх хуудсанд холбоно уу. Хоёрдахь арга нь илүү төвөгтэй бөгөөд цаг хугацаа их шаарддаг - таны сайтын хуудсуудыг ачааллыг хурдасгах бөгөөд хэрэв эх MathJax сервер ямар нэг шалтгаанаар түр ажиллахгүй бол энэ нь таны сайтад ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй. Эдгээр давуу талуудыг үл харгалзан би илүү хялбар, хурдан бөгөөд техникийн ур чадвар шаарддаггүй тул эхний аргыг сонгосон. Миний жишээг дагаж, ердөө 5 минутын дотор та MathJax-ийн бүх боломжуудыг сайт дээрээ ашиглах боломжтой болно.

Та MathJax номын сангийн скриптийг алсын серверээс MathJax-ийн үндсэн вэбсайтаас эсвэл баримт бичгийн хуудаснаас авсан хоёр кодын сонголтыг ашиглан холбож болно.

Эдгээр кодын сонголтуудын аль нэгийг таны вэб хуудасны код руу хуулж, шошгоны хооронд болон шошгоны дараа шууд буулгах шаардлагатай. Эхний хувилбарын дагуу MathJax илүү хурдан ачаалж, хуудсыг бага удаашруулдаг. Гэхдээ хоёр дахь сонголт нь MathJax-ийн хамгийн сүүлийн хувилбаруудыг автоматаар хянаж, ачаалдаг. Хэрэв та эхний кодыг оруулбал үүнийг үе үе шинэчлэх шаардлагатай болно. Хэрэв та хоёр дахь кодыг оруулбал хуудаснууд илүү удаан ачаалах боловч MathJax-ийн шинэчлэлтийг байнга хянах шаардлагагүй болно.

MathJax-г холбох хамгийн хялбар арга бол Blogger эсвэл WordPress дээр: сайтын хяналтын самбарт гуравдагч этгээдийн JavaScript код оруулах зориулалттай виджет нэмж, дээр дурдсан татаж авах кодын эхний эсвэл хоёр дахь хувилбарыг хуулж, виджетийг ойртуулна уу. Загварын эхэнд (дашрамд хэлэхэд, энэ нь огт шаардлагагүй, учир нь MathJax скрипт асинхроноор ачаалагдсан байдаг). Тэгээд л болоо. Одоо MathML, LaTeX, ASCIIMathML-ийн тэмдэглэгээний синтаксийг сурснаар та сайтынхаа вэб хуудсанд математикийн томьёо оруулахад бэлэн боллоо.

Аливаа фрактал нь тодорхой дүрмийн дагуу бүтээгдсэн бөгөөд үүнийг хязгааргүй олон удаа тогтмол хэрэглэдэг. Ийм цаг бүрийг давталт гэж нэрлэдэг.

Менгер хөвөнг бүтээх давталтын алгоритм нь маш энгийн: 1-р талтай анхны шоо нь нүүртэйгээ параллель хавтгайгаар хуваагдаж 27 тэнцүү шоо болж хуваагдана. Үүнээс нэг төв шоо, түүнтэй зэргэлдээх 6 кубыг нүүрний дагуу гаргаж авдаг. Үр дүн нь үлдсэн 20 жижиг шооноос бүрдсэн багц юм. Эдгээр шоо тус бүртэй ижил зүйлийг хийснээр бид 400 жижиг шооноос бүрдэх багцыг авна. Энэ үйл явцыг эцэс төгсгөлгүй үргэлжлүүлснээр бид Menger хөвөн авдаг.