Нөхцөлт оновчлол. Лагранж үржүүлэгчийн арга. Динамик системийг загварчлах (Лагранж арга ба Бондын график арга)

• заавар

Бүгд Сайхан өдөр. Энэ нийтлэлд би нэгийг нь харуулахыг хүсч байна график аргуудбарилга математик загваруудтөлөө динамик системүүдгэж нэрлэдэг бондын график("бонд" - холболтууд, "график" - график). Оросын уран зохиолд би энэ аргын тайлбарыг зөвхөн Томскийн судалгааны гарын авлагаас олсон политехникийн их сургууль, A.V. Воронин "МЕХАТРОНИК СИСТЕМИЙН ЗАГВАРЧИЛАЛ" 2008 Мөн үзүүлнэ үү. сонгодог арга 2-р төрлийн Лагранжийн тэгшитгэлээр дамжуулан.

Лагранжийн арга

Би онолыг зурахгүй, би тооцооллын үе шатуудыг, цөөн хэдэн тайлбартайгаар харуулах болно. Би хувьдаа онолыг 10 удаа уншсанаас жишээнээс суралцах нь илүү хялбар санагддаг. Оросын уран зохиолд энэ аргын тайлбар, ялангуяа математик эсвэл физикийн тайлбар маш баялаг юм шиг надад санагдсан. нарийн төвөгтэй томъёо, энэ нь зохих математикийн суурь мэдлэг шаарддаг. Би Лагранжийн аргыг судалж байхдаа (Италийн Турины Политехникийн Их Сургуульд суралцаж байсан) тооцооллын аргуудыг харьцуулахын тулд Оросын уран зохиолыг судалж байсан бөгөөд энэ аргыг шийдвэрлэх явцыг дагаж мөрдөхөд надад хэцүү байсан. Харьковын нисэхийн дээд сургуулийн загварчлалын курсуудыг санаж байсан ч ийм аргыг олж авах нь маш төвөгтэй байсан тул хэн ч энэ асуудлыг ойлгохыг оролдсонгүй. Энэ бол Лагранжийн дагуу дэвсгэр загвар бүтээх гарын авлагыг бичихээр шийдсэн зүйл бөгөөд энэ нь тийм ч хэцүү биш бөгөөд цаг хугацааны дериватив болон хэсэгчилсэн деривативыг хэрхэн тооцоолохыг мэдэхэд хангалттай юм. Илүү төвөгтэй загваруудын хувьд эргэлтийн матрицыг нэмсэн боловч тэдгээрт төвөгтэй зүйл байхгүй.

Загварын аргын онцлог:

• Ньютон Эйлер: динамик тэнцвэрт байдалд суурилсан вектор тэгшитгэл хүч (хүч)болон мөчүүд
• Лагранж: кинетик ба потенциалтай холбоотой төлөвийн функцэд суурилсан скаляр тэгшитгэл эрчим хүч
• бондын график: урсгалд суурилсан арга хүч (хүч)системийн элементүүдийн хооронд

-ээс эхэлье энгийн жишээ. Пүрш ба дампертай жин. Бид таталцлын хүчийг үл тоомсорлодог.

Зураг 1. Пүрш ба дампертай жин

Юуны өмнө бид дараахь зүйлийг тодорхойлно.

• анхны системкоординатууд(NSK) эсвэл тогтмол sk R0(i0,j0,k0). Хаана? Та хуруугаа тэнгэр рүү нугалж болно, гэхдээ тархины мэдрэлийн эсийн үзүүрийг мушгихад ҮСХ-г M1 биеийн хөдөлгөөний шугам дээр байрлуулах санаа өнгөрдөг.
• масстай бие бүрийн зохицуулалтын систем(бидэнд M1 байна R1(i1,j1,k1)), чиг баримжаа нь дур зоргоороо байж болно, гэхдээ яагаад таны амьдралыг төвөгтэй болгов, бид үүнийг ҮАБЗ-өөс хамгийн бага зөрүүгээр тогтоов.
• ерөнхий координатууд q_i(хөдөлгөөнийг тодорхойлж чадах хамгийн бага хувьсагчийн тоо), дотор энэ жишээнэг ерөнхий координат, зөвхөн j тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн

Зураг 2. Координатын систем ба ерөнхий координатыг буулгах

Зураг 3. Биеийн байрлал ба хурд M1

Дараахь томъёоны дагуу сааруулагчийн кинетик (C) ба потенциал (P) энерги, ялгарах функцийг (D) олсны дараа:

Зураг 4. Бүрэн томъёокинетик энерги

Бидний жишээнд эргэлт байхгүй, хоёр дахь бүрэлдэхүүн хэсэг нь 0 байна.

Зураг 5. Кинетик, потенциал энерги, диссипатив функцийн тооцоо

Лагранжийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Зураг 6. Лагранжийн тэгшитгэл ба Лагранж

Delta W_iэнэ нь хэрэглэсэн хүч, моментоор хийгдсэн виртуал ажил юм. Үүнийг олцгооё:

Зураг 7. Виртуал ажлын тооцоо

Хаана дельта q_1виртуал хөдөлгөөн.

Бид бүгдийг Лагранжийн тэгшитгэлд орлуулна.

Зураг 8. Үүссэн масс загвар нь хавар ба дампуурчтай

Энд л Лагранжийн арга дууссан. Таны харж байгаагаар энэ нь тийм ч хэцүү биш, гэхдээ энэ нь маш энгийн жишээ хэвээр байгаа бөгөөд Ньютон-Эйлерийн арга нь илүү хялбар байх магадлалтай. Өөр өөр өнцгөөр бие биенээсээ эргэлддэг хэд хэдэн биетүүд байх илүү төвөгтэй системүүдийн хувьд Лагранжийн арга нь илүү хялбар байх болно.

Бондын график арга

Загвар нь бонд график дээр хэрхэн харагдахыг би шууд харуулах болно, жишээ нь пүрш ба дампуурын масстай:

Зураг 9. Пүрш ба дампертай бонд-график масс

Энд бид бүтээхэд хангалттай багахан онолыг хэлэх хэрэгтэй энгийн загварууд. Сонирхсон хүн байвал номыг нь уншиж болно ( Бондын графикийн арга зүй) эсвэл ( Воронин А.В. Мехатроник системийн загварчлал: заавар. - Томск: Томскийн Политехникийн их сургуулийн хэвлэлийн газар, 2008 он).

Эхлээд үүнийг тодорхойлъё нарийн төвөгтэй системүүдхэд хэдэн домайнаас бүрдэнэ. Жишээлбэл, цахилгаан мотор нь цахилгаан ба механик хэсгүүдээс бүрддэг.

бондын графикнь эдгээр домэйн, дэд системүүдийн хоорондох эрчим хүчний солилцоонд суурилдаг. Ямар ч хэлбэрийн эрчим хүчний солилцоо нь хоёр хувьсагчаар тодорхойлогддог гэдгийг анхаарна уу ( хувьсах хүч) тусламжтайгаар бид динамик системийн нэг хэсэг болох янз бүрийн дэд системүүдийн харилцан үйлчлэлийг судлах боломжтой (хүснэгтийг үз).

Хүснэгтээс харахад хүч чадлын илэрхийлэл хаа сайгүй бараг ижил байна. Дүгнэж хэлэхэд, Хүч- Энэ ажил " урсгал - f" дээр " хүчин чармайлт - e».

Чармайлт(Англи) хүчин чармайлт) цахилгааны мужид энэ нь хүчдэл (e), механик мужид хүч (F) эсвэл момент (T), гидравликийн хувьд даралт (p) юм.

Урсгал(Англи) урсгал) цахилгааны мужид энэ нь гүйдэл (i), механик мужид хурд (v) эсвэл өнцгийн хурд (омега), гидравликийн хувьд энэ нь урсгал буюу шингэний урсгал (Q) юм.

Эдгээр тэмдэглэгээг авснаар бид хүч чадлын илэрхийлэлийг олж авна.

Зураг 10. Хүч чадлын хувьсагчийн хувьд чадлын томьёо

Бондын график хэлээр хүч солилцдог хоёр дэд системийн холболтыг бондоор илэрхийлдэг. бонд). Тийм учраас ингэж нэрлэдэг энэ арга бондын графикэсвэл g raf-холболт, холбогдсон график. Санаж үз блок диаграмцахилгаан мотор бүхий загвар дахь холболтууд (энэ нь хараахан бондын график биш):

Зураг 11. Домэйн хоорондын эрчим хүчний урсгалын блок диаграмм

Хэрэв бид хүчдэлийн эх үүсвэртэй бол энэ нь хүчдэл үүсгэж, эргүүлэхийн тулд моторт өгдөг (тиймээс сум нь мотор руу чиглэнэ) ороомгийн эсэргүүцэлээс хамааран Ом-ын хуулийн дагуу гүйдэл гарч ирдэг моторыг эх үүсвэр рүү). Үүний дагуу нэг хувьсагч нь дэд системийн оролт бөгөөд хоёр дахь нь зайлшгүй байх ёстой. арга зам ньдэд системээс. Энд хүчдэл ( хүчин чармайлт) – оролт, одоогийн ( урсгал) - гарах.

Хэрэв та одоогийн эх сурвалжийг ашиглавал диаграм хэрхэн өөрчлөгдөх вэ? Зөв. Гүйдэл нь мотор руу, хүчдэл нь эх үүсвэр рүү чиглэнэ. Дараа нь одоогийн ( урсгал) – оролт, хүчдэл ( хүчин чармайлт) - гарах.

Механик дахь жишээг авч үзье. Массанд үйлчлэх хүч.

Зураг 12. Массанд үзүүлэх хүч

Блок диаграмм нь дараах байдалтай байна.

Зураг 13. блок диаграм

Энэ жишээнд Хүч чадал ( хүчин чармайлт) нь массын оролтын хувьсагч юм. (массанд үзүүлэх хүч)
Ньютоны хоёр дахь хуулийн дагуу:

Масс хурдан хариу үйлдэл үзүүлдэг:

Энэ жишээнд хэрэв нэг хувьсагч ( хүч чадал - хүчин чармайлт) байна орцмеханик домайн руу, дараа нь өөр чадлын хувьсагч ( хурд - урсгал) - автоматаар болдог арга зам нь.

Оролт хаана, гаралт хаана байгааг ялгахын тулд элементүүдийн хоорондох сумны (холболтын) төгсгөлд босоо шугамыг ашигладаг бөгөөд энэ мөрийг гэж нэрлэдэг. учир шалтгааны шинж тэмдэг эсвэл учир шалтгааны холбоо (учир шалтгааны холбоо). Эндээс харахад: хэрэглэсэн хүч нь шалтгаан, хурд нь үр дагавар юм. Энэ тэмдэг нь системийн загварыг зөв бүтээхэд маш чухал бөгөөд учир шалтгааны хамаарал нь хоёр дэд системийн бие махбодийн үйл ажиллагаа, эрчим хүчний солилцооны үр дагавар тул учир шалтгааны тэмдгийн байршлыг сонгох нь дур зоргоороо байж болохгүй.

Зураг 14. Шалтгаан хамаарлын тэмдэглэгээ

Энэ босоо шугам нь ямар дэд систем хүчийг хүлээн авч байгааг харуулдаг ( хүчин чармайлт) ба үр дүнд нь урсгал үүсгэдэг ( урсгал). Массын жишээнд энэ нь иймэрхүү харагдах болно.

Зураг 14. Массанд үйлчлэх хүчний учир шалтгааны хамаарал

Сумнаас харахад массын оролт нь тодорхой байна - хүч чадал, мөн гаралт нь байна хурд. Загварын барилгын схем, системчилсэн байдлыг сумаар эмх замбараагүй болгохгүйн тулд үүнийг хийдэг.

Дараачийн чухал цэг. Ерөнхий импульс(хөдөлгөөний хэмжээ) ба хөдөлж байна(эрчим хүчний хувьсагч).

Өөр өөр домэйн дэх хүч ба эрчим хүчний хувьсагчдын хүснэгт

Дээрх хүснэгтэд бондын график аргад ашигласан хоёр нэмэлт физик хэмжигдэхүүнийг танилцуулж байна. Тэднийг дууддаг ерөнхий импульс (Р) ба ерөнхий шилжилт (q) эсвэл эрчим хүчний хувьсагчид бөгөөд тэдгээрийг цаг хугацааны туршид чадлын хувьсагчдыг нэгтгэх замаар олж авч болно:

Зураг 15. Эрчим хүч ба эрчим хүчний хувьсагчдын хоорондын хамаарал

Цахилгааны салбарт :

Фарадейгийн хуулийн дагуу хүчдэлдамжуулагчийн төгсгөлд нь деривативтай тэнцүү байна соронзон урсгалэнэ дамжуулагчаар дамжуулан.

ГЭХДЭЭ Одоогийн хүч чадал- тодорхой хугацаанд t-ээр дамжсан Q цэнэгийн хэмжээний харьцаатай тэнцүү физик хэмжигдэхүүн хөндлөн хэсэгдамжуулагч, энэ хугацааны интервалын утга хүртэл.

Механик домэйн:

Ньютоны 2-р хуулиас Хүч чадалимпульсийн цаг хугацааны дериватив юм

Мөн үүний дагуу, хурд- шилжилтийн хугацааны дериватив:

Ерөнхий дүгнэлт хийцгээе:

Үндсэн элементүүд

Динамик систем дэх бүх элементүүдийг хоёр ба дөрвөн туйлтай бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хувааж болно.
Санаж үз хоёр туйлт бүрэлдэхүүн хэсгүүд:

Эх сурвалжууд
Эх сурвалж нь хүчин чармайлт, урсгал юм. Цахилгаан домэйн дэх аналоги: хүчин чармайлтын эх үүсвэр – хүчдэлийн эх үүсвэр, урсгалын эх үүсвэр – одоогийн эх үүсвэр. Эх сурвалжийн учир шалтгааны шинж тэмдгүүд нь зөвхөн ийм байх ёстой.

Зураг 16. Шалтгаан холбоо, эх сурвалжийн тэмдэглэгээ

R бүрэлдэхүүн хэсэг - задрах элемент

Бүрэлдэхүүн хэсэг I - инерцийн элемент

Бүрэлдэхүүн хэсэг C - багтаамжийн элемент

Зургаас харахад, өөр өөр элементүүднэг R, C, I төрөлижил тэгшитгэлээр тодорхойлогддог. ЗӨВХӨН цахилгаан багтаамжийн хувьд ялгаа бий, та үүнийг санах хэрэгтэй!

Квадриполийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд:

Трансформатор ба гираторын хоёр бүрэлдэхүүн хэсгийг авч үзье.

Бондын график аргын сүүлчийн чухал бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь холболтууд юм. Хоёр төрлийн зангилаа байдаг:

Энэ бол бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн төгсгөл юм.

Бондын график байгуулсны дараа учир шалтгааны хамаарлыг арилгах үндсэн алхамууд:

1. доош нь тавих учир шалтгааны холбоохүн бүр эх сурвалжууд
2. Бүх зангилаа дундуур явж, 1-р цэгийн дараа учир шалтгааны хамаарлыг тогтооно
3. Учир нь бүрэлдэхүүн хэсэг Iоролтын учир шалтгааны хамаарлыг оноох (хүч чармайлт энэ бүрэлдэхүүн хэсэгт багтсан болно), төлөө бүрэлдэхүүн хэсгүүд Cгаралтын учир шалтгааны хамаарлыг тодорхойлох (хүчин чармайлт энэ бүрэлдэхүүн хэсгээс гардаг)
4. 2-р цэгийг давт
5. Учир шалтгааны холбоосыг зур R бүрэлдэхүүн хэсгүүд

Үүгээр онолын мини курс өндөрлөж байна. Одоо бидэнд загвар бүтээхэд хэрэгтэй бүх зүйл бий.
Хоёр жишээг шийдье. -ээс эхэлье цахилгаан хэлхээ, бондын график байгуулахтай адил төстэй байдлыг ойлгох нь дээр.

Жишээ 1

Хүчдэлийн эх үүсвэрээс бондын графикийг барьж эхэлцгээе. Зүгээр л Se гэж бичээд сум тавь.

Бүх зүйл энгийн байгааг та харж байна! Бид цааш нь харвал R ба L нь цувралаар холбогдсон бөгөөд энэ нь тэдгээрийн дотор ижил гүйдэл урсдаг, хэрэв бид чадлын хувьсагчийн хувьд ижил урсгалтай байна гэсэн үг юм. Аль зангилаа ижил урсгалтай вэ? Зөв хариулт нь 1 зангилаа юм. Бид эх үүсвэр, эсэргүүцэл (бүрэлдэхүүн хэсэг - R) ба индукц (бүрэлдэхүүн хэсэг - I) -ийг 1 зангилаа руу холбодог.

Дараа нь бид багтаамж ба эсэргүүцэлтэй зэрэгцээ байгаа бөгөөд энэ нь тэдгээр нь ижил хүчдэл эсвэл хүч чадалтай гэсэн үг юм. 0 зангилаа нь бусадтай адил тохирох болно. Бид багтаамж (бүрэлдэхүүн C) ба эсэргүүцлийг (бүрэлдэхүүн R) 0-зангилаатай холбодог.

1 ба 0 зангилаанууд нь хоорондоо холбоотой байдаг. Сумны чиглэлийг дур зоргоороо сонгосон бөгөөд холболтын чиглэл нь зөвхөн тэгшитгэл дэх тэмдэгт нөлөөлдөг.

Дараах холбоосын графикийг авна уу.

Одоо бид учир шалтгааны холбоог арилгах хэрэгтэй. Тэдгээрийг наах дарааллын зааврын дагуу эх сурвалжаас эхэлье.

1. Бидэнд стрессийн эх үүсвэр (хүчин чармайлт) бий, ийм эх үүсвэр нь зөвхөн нэг шалтгааны сонголттой байдаг - гаралт. Бид тавих.
2. Дараа нь I бүрэлдэхүүн хэсэг байдаг, бид юу санал болгож байгааг хардаг. Бид тавих
3. Бид 1 зангилааны хувьд доошоо тавьдаг. Байна
4. 0 зангилаа нь нэг оролт ба бүх гаралтын учир шалтгааны холбоостой байх ёстой. Бидэнд нэг өдөр амарна. Бид C эсвэл I бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг хайж байна. Олдсон. Бид тавих
5. Үлдсэн зүйлийг харуулж байна

Тэгээд л болоо. Бондын график барьсан. Яваарай, нөхдүүд!

Бидний системийг дүрсэлсэн тэгшитгэлүүдийг бичих л үлдлээ. Үүнийг хийхийн тулд бид 3 багана бүхий хүснэгт үүсгэнэ. Эхнийх нь системийн бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг, хоёр дахь нь элемент бүрийн оролтын хувьсагчийг, гурав дахь нь ижил бүрэлдэхүүн хэсгийн гаралтын хувьсагчийг агуулна. Орох гарцыг учир шалтгааны хамаарлаар аль хэдийн тодорхойлсон. Тиймээс ямар ч асуудал гарах ёсгүй.

Тэгшитгэлийг бичихэд хялбар байх үүднээс холболт бүрийг дугаарлаж үзье. Бид C, R, I бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн жагсаалтаас элемент бүрийн тэгшитгэлийг авдаг.

Хүснэгтийг эмхэтгэсний дараа бид төлөвийн хувьсагчдыг тодорхойлно, энэ жишээнд 2, p3, q5 байна. Дараа нь та төлөвийн тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй:

Ингээд л загвар бэлэн боллоо.

Жишээ 2. Зургийн чанарт уучлалт гуймаар байна, гол нь та унших боломжтой

Өөр нэг жишээг шийдье механик систем, бидний Лагранжийн аргаар шийдсэнтэй ижил. Би тайлбаргүйгээр шийдлийг харуулах болно. Эдгээр аргуудын аль нь илүү хялбар, хялбар болохыг шалгацгаая.

Матболын хувьд шалны дэвсгэрийн загварыг хоёуланг нь Лагранжийн арга ба бондын графикаар олж авсан ижил параметрээр эмхэтгэсэн. Доорх үр дүн: Шошго нэмнэ үү

Тодорхойлох арга нөхцөлт экстремумБоломжит шийдлүүдийн бүсэд хувьсагчийн ижил утгуудын хувьд хамгийн ихдээ хүрдэг туслах Лагранж функцийг бүтээхээс эхэлдэг. x 1 , x 2 , ..., x n , тэр нь зорилгын функц z . Функцийн нөхцөлт экстремумыг тодорхойлох асуудлыг үзье z=f(X) хязгаарлалт дор φ би ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, би = 1, 2, ..., м , м < n

Функц зохиох

гэж нэрлэдэг Лагранж функц. X , - тогтмол хүчин зүйлүүд ( Лагранжийн үржүүлэгч). Лагранжийн үржүүлэгчид эдийн засгийн утгыг өгч болохыг анхаарна уу. Хэрвээ f(x 1 , x 2 , ..., x n ) - төлөвлөгөөний дагуу орлого X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , болон функц φ би (х 1 , x 2 , ..., x n ) нь энэ төлөвлөгөөнд тохирох i-р нөөцийн зардал, тэгвэл X , - i-р нөөцийн хэмжээ (ахиуц тооцоо)-ийн өөрчлөлтөөс хамаарч зорилгын функцийн хэт утгын өөрчлөлтийг тодорхойлдог i-р нөөцийн үнэ (тооцоо). L(X) - функц n+m хувьсагч (х 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Энэ функцийн суурин цэгүүдийг тодорхойлох нь тэгшитгэлийн системийн шийдэлд хүргэдэг

Үүнийг харахад амархан . Ийнхүү функцийн нөхцөлт экстремумыг олох асуудал гарч ирнэ z=f(X) функцийн орон нутгийн экстремумыг олох хүртэл бууруулна L(X) . Хэрэв хөдөлгөөнгүй цэг олдвол хамгийн энгийн тохиолдолд экстремум байгаа эсэх асуудлыг экстремумын хангалттай нөхцлийн үндсэн дээр шийддэг - хоёр дахь дифференциалын тэмдгийг судлах. г 2 L(X) хувьсагч нэмэгдэх тохиолдолд хөдөлгөөнгүй цэг дээр Δx би - харилцаа холбоогоор холбоотой

хязгаарлалтын тэгшитгэлийг ялгах замаар олж авна.

Хоёр үл мэдэгдэх шугаман бус тэгшитгэлийн системийг Solver хэрэглүүр ашиглан шийдвэрлэх

Тохиргоо Шийдэл хайж байнасистемийн шийдлийг олох боломжийг танд олгоно шугаман бус тэгшитгэлхоёр үл мэдэгдэх зүйлтэй:

хаана
- хувьсагчийн шугаман бус функц x болон y ,
нь дурын тогтмол юм.

Энэ хос нь мэдэгдэж байна x , y ) нь дараах хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн шийдэл байх тохиолдолд (10) тэгшитгэлийн системийн шийдэл болно.

FROMнөгөө талаас (10) системийн шийдэл нь хоёр муруйн огтлолцох цэгүүд юм. е ] (x, y) = C болон е 2 (x, y) = C 2 гадаргуу дээр XOЮ.

Эндээс системийн үндсийг олох аргыг дагана. Шугаман бус тэгшитгэл:

Тэгшитгэл (10) эсвэл (11) тэгшитгэлийн системийн шийдийн оршин байх интервалыг (наад зах нь ойролцоогоор) тодорхойлно. Энд системд багтсан тэгшитгэлийн төрөл, тэдгээрийн тэгшитгэл тус бүрийн тодорхойлолтын хүрээ гэх мэтийг харгалзан үзэх шаардлагатай. Заримдаа шийдлийн анхны ойролцоо утгыг сонгох аргыг ашигладаг;

Сонгосон интервал дээрх x ба y хувьсагчдын тэгшитгэлийн шийдийг (11) хүснэгтэд оруулах эсвэл функцийн графикийг байгуулах. е 1 (x, y) = C, ба е 2 (x, y) = C 2 (систем (10)).

Тэгшитгэлийн системийн язгуур үндэсийг нутагшуулах - тэгшитгэлийн язгуурын хүснэгтээс хэд хэдэн хамгийн бага утгыг олох (11) эсвэл системд багтсан муруйнуудын огтлолцох цэгүүдийг тодорхойлох (10).

4. Нэмэлтийг ашиглан тэгшитгэлийн системийн үндсийг (10) ол Шийдэл хайх.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийг авч үзье.
(1) .
Энэ тэгшитгэлийг шийдэх гурван арга бий:

• тогтмол өөрчлөлтийн арга (Лагранж).

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн шийдлийг Лагранжийн аргаар авч үзье.

Тогтмол өөрчлөлтийн арга (Лагранж)

Тогтмол өөрчлөлтийн аргын хувьд бид тэгшитгэлийг хоёр үе шаттайгаар шийддэг. Эхний шатанд бид анхны тэгшитгэлийг хялбарчилж, нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийддэг. Хоёр дахь шатанд бид шийдлийн эхний шатанд олж авсан интеграцийн тогтмолыг функцээр солих болно. Дараа нь бид анхны тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг хайж байна.

Тэгшитгэлийг авч үзье:
(1)

Алхам 1 Нэг төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл

Бид шийдлийг хайж байна нэгэн төрлийн тэгшитгэл:

Энэ бол салгаж болох тэгшитгэл юм

Тусдаа хувьсагч - dx-ээр үржүүлж, y-ээр хуваана:

Бид нэгтгэдэг:

y дээр интеграл - хүснэгт:

Дараа нь

Хүчтэй болгох:

e C тогтмолыг С-ээр сольж, тогтмол тоогоор үржүүлэхэд хүргэдэг модулийн тэмдгийг хасъя. ±1, бид үүнийг C-д багтаасан:

Алхам 2 С тогтмолыг функцээр солино

Одоо C тогтмолыг x функцээр орлъё:
c → u (x)
Өөрөөр хэлбэл, бид анхны тэгшитгэлийн шийдлийг хайх болно (1) зэрэг:
(2)
Бид деривативыг олдог.

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу:
.
Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийн дагуу:

.
Бид анхны тэгшитгэлд орлуулна (1) :
(1) ;

.
Хоёр нэр томъёог багасгасан:
;
.
Бид нэгтгэдэг:
.
Орлуулах (2) :
.
Үүний үр дүнд бид нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авна.
.

Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийг Лагранжийн аргаар шийдвэрлэх жишээ

тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл

Бид нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийднэ:

Хувьсагчдыг ялгах:

Үржүүлье:

Бид нэгтгэдэг:

Хүснэгтийн интеграл:

Хүчтэй болгох:

e C тогтмолыг С-ээр сольж, модулийн тэмдгүүдийг арилгацгаая.

Эндээс:

С тогтмолыг x функцээр орлъё:
c → u (x)

Бид деривативыг олдог:
.
Бид анхны тэгшитгэлд орлуулна:
;
;
Эсвэл:
;
.
Бид нэгтгэдэг:
;
Тэгшитгэлийн шийдэл:
.

M цэгийг зарим G олонлогийн хувьд дотоод гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв энэ олонлогт зарим хөршийн хамт харьяалагддаг. N цэгийг G олонлогийн хилийн цэг гэж нэрлэнэ. Хэрэв түүний бүхэл бүтэн орчимд G-д хамаарах ба түүнд хамааралгүй цэгүүд байвал.

G олонлогийн бүх хилийн цэгүүдийн олонлогийг G-ийн хил гэнэ.

Хэрэв бүх цэгүүд нь дотоод (нээлттэй олонлог) байвал G олонлогийг муж гэж нэрлэнэ. Хавсаргасан Γ хилтэй G олонлогийг хаалттай муж гэнэ. Хэрэв бүс нутаг бүхэлдээ хангалттай том радиустай тойрогт багтсан бол түүнийг хязгаарлагдсан гэж нэрлэдэг.

Тухайн бүс дэх функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгыг энэ хэсгийн функцийн туйлын туйл гэж нэрлэдэг.

Вейерштрассын теорем: хязгаарлагдмал ба үргэлжилсэн функц хаалттай талбай, энэ бүс нутагт хамгийн бага ба хамгийн их утгууддаа хүрдэг.

Үр дагавар. Тухайн муж дахь функцийн үнэмлэхүй экстремум нь энэ мужид хамаарах функцийн эгзэгтэй цэг дээр эсвэл G хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олохын тулд үүнийг олох шаардлагатай. Энэ бүс дэх түүний бүх чухал цэгүүдийг, эдгээр цэгүүд дэх функцийн утгыг тооцоолох (үүнд олж авсан тоонуудыг харьцуулах замаар тэдгээрийн хамгийн том, хамгийн жижигийг сонгоно уу).

Жишээ 4.1.Функцийн үнэмлэхүй экстремумыг олох (хамгийн том ба хамгийн бага утгууд)
оройтой гурвалжин D мужид
,
,
(Зураг 1).

;
,

өөрөөр хэлбэл O(0,0) цэг нь D мужид хамаарах критик цэг юм.z(0,0)=0.

Хилийг судлах:

a) OA: y=0
;z(x, 0)=0; z(0, 0)=0; z(1, 0)=0,

b) RH: x=0
z(0,y)=0; z(0, 0)=0; z(0, 2)=0,

такси: ;
,

Жишээ 4.2.Координатын тэнхлэг ба шулуун шугамаар хязгаарлагдсан хаалттай талбайн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол.
.

1) Тухайн бүс нутагт байрлах чухал цэгүүдийг ол:

,
,

.

Хилийг судалцгаая. Учир нь Хил нь Ox тэнхлэгийн OA сегмент, Oy тэнхлэгийн OB сегмент ба AB сегментээс бүрддэг тул бид эдгээр сегмент тус бүр дээр z функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлно.

, z(0, 2)=–3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.

M 3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=–10/3.

Олдсон бүх утгуудаас бид z max =z(4, 0)=13; z naim =z(1, 2)=–4.

5. Нөхцөлт экстремум. Лагранжийн үржүүлэгчийн арга

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцэд хамаарах асуудлыг авч үзье, түүний экстремумыг тодорхойлолтын бүх талбарт бус, харин тодорхой нөхцөлийг хангасан олонлогоос хайж байна.

Функцийг зөвшөөр
, аргументууд болон нөхцөлийг хангадаг
, хязгаарлалтын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Цэг
Хэрэв энэ цэгт бүх цэгийн хувьд ийм хөрш байгаа бол нөхцөлт максимум (хамгийн бага) цэг гэж нэрлэдэг
нөхцөлийг хангасан энэ хөршөөс
, тэгш бус байдал
эсвэл
.

Зураг 2-т нөхцөлт дээд цэгийг харуулав
. Энэ нь функцийн болзолгүй экстремум цэг биш нь ойлгомжтой
(Зураг 2-т энэ бол санаа юм
).

Хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремумыг олох хамгийн энгийн арга бол нэг хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох асуудлыг багасгах явдал юм. Хязгаарлалтын тэгшитгэлийг авч үзье
нэг хувьсагчийн талаар шийдэж чадсан, жишээ нь илэрхийлэх дамжуулан :
. Үүссэн илэрхийлэлийг хоёр хувьсагчийн функц болгон орлуулснаар бид олж авна

тэдгээр. нэг хувьсагчийн функц. Үүний экстремум нь функцийн нөхцөлт экстремум байх болно
.

Жишээ 5.1.Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг ол
нөхцөлөөр
.

Шийдэл. Бид тэгшитгэлээс илэрхийлнэ
хувьсагч хувьсагчаар дамжуулан гарч ирсэн илэрхийллийг орлуулна
функц болгон хувиргана . Авах
эсвэл
. Энэ функц нь нэг минимумтай
. Холбогдох функцийн утга
. Энэ замаар,
- нөхцөлт экстремумын цэг (хамгийн бага).

Харгалзан үзсэн жишээнд хязгаарлалтын тэгшитгэл
шугаман болж хувирсан тул аль нэг хувьсагчийн хувьд амархан шийдэгдсэн. Гэсэн хэдий ч илүү төвөгтэй тохиолдолд үүнийг хийх боломжгүй юм.

Нөхцөлт экстремумыг олохын тулд ерөнхий тохиолдолд Лагранжийн үржүүлэгчийн аргыг ашигладаг. Гурван хувьсагчийн функцийг авч үзье. Энэ функцийг Лагранж функц гэж нэрлэдэг ба нь Лагранжийн үржүүлэгч юм. Дараах теорем үнэн.

Теорем.Хэрэв цэг
функцийн нөхцөлт экстремум цэг юм
нөхцөлөөр
, тэгвэл үнэ цэнэ бий гол нь тийм
функцийн экстремум цэг юм
.

Тиймээс функцийн нөхцөлт экстремумыг олох
нөхцөлөөр
системийн шийдлийг олох хэрэгтэй

П Эдгээр тэгшитгэлийн сүүлчийнх нь хязгаарлалтын тэгшитгэлтэй давхцаж байна. Системийн эхний хоёр тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичиж болно, i.e. нөхцөлт экстремумын цэг дээр функцүүдийн градиент
болон
collinear. Зураг дээр. 3-т Лагранжийн нөхцлийн геометрийн утгыг харуулав. Шугам
тасархай, түвшний шугам
функцууд
хатуу. Зураг дээрээс. нөхцөлт экстремумын цэг дээр функцийн түвшний шугам байна
шугаманд хүрдэг
.

Жишээ 5.2. Функцийн экстремум цэгүүдийг ол
нөхцөлөөр
Лагранжийн үржүүлэгчийн аргыг ашиглан.

Шийдэл. Бид Лагранж функцийг бүтээдэг. Түүний хэсэгчилсэн деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлэхдээ бид тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Түүний цорын ганц шийдэл. Тиймээс зөвхөн (3; 1) цэг нь нөхцөлт экстремум цэг байж болно. Энэ үед функц ажиллаж байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг
болзолт доод хэмжээтэй байна. Хэрэв хувьсагчийн тоо хоёроос дээш байвал хэд хэдэн холболтын тэгшитгэлийг бас авч үзэж болно. Үүний дагуу, энэ тохиолдолд хэд хэдэн Лагранж үржүүлэгч байх болно.

Үүнийг шийдвэрлэхийн тулд нөхцөлт экстремумыг олох асуудлыг ашигладаг эдийн засгийн даалгавар, нөөцийн оновчтой хуваарилалтыг олох, үнэт цаасны оновчтой багцыг сонгох гэх мэт.

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

ерөнхий шийдэлд дурын ck тогтмолуудыг орлуулахаас бүрдэнэ

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэл

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

Деривативууд нь шугаман алгебрийн системийг хангадаг ck(t) туслах функцүүдэд

(1) системийн тодорхойлогч нь z1,z2,...,zn функцүүдийн Вронскиан бөгөөд энэ нь -ийн хувьд түүний өвөрмөц шийдэгдэх чадварыг баталгаажуулдаг.

Хэрэв интегралын тогтмолуудын тогтмол утгуудын эсрэг деривативууд байвал функц болно

нь анхны шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл юм. Интеграци нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлхаргалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл байгаа тохиолдолд квадрат хэлбэрт буурна.

Лагранжийн арга (дурын тогтмолыг өөрчлөх арга)

Тодорхой шийд ололгүйгээр нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг мэдэж, нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн ерөнхий шийдийг олж авах арга.

n-р эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

y = y(x) нь үл мэдэгдэх функц, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) нь мэдэгдэж байгаа, тасралтгүй, үнэн: 1) шугаман n байна. бие даасан шийдлийн тэгшитгэл y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) c1, c2, ..., cn тогтмолуудын аль ч утгын хувьд y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) функц нь a. тэгшитгэлийн шийдэл; 3) x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 гэсэн аливаа анхны утгуудын хувьд c*1, c*n, ..., c*n утгууд байдаг тул шийдэл нь y*(x)= c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) нь x = x0-ийн хувьд эхний нөхцөлийг хангана y*(x0)=y0, ( y*)"(x0) =y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) илэрхийллийг гэнэ. нийтлэг шийдэл n-р эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэл.

n-р эрэмбийн y1(x), y2(x), ..., yn(x) шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн шугаман бие даасан n шийдлийн олонлогийг тэгшитгэлийн шийдүүдийн суурь систем гэнэ.

-тэй шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн хувьд тогтмол коэффициентүүдшийдлийн үндсэн системийг бий болгох энгийн алгоритм байдаг. Бид тэгшитгэлийн шийдлийг y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) хэлбэрээр хайх болно. " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, өөрөөр хэлбэл l тоо нь үндэс юм. шинж чанарын тэгшитгэл ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. Шинж чанар тэгшитгэлийн зүүн талыг шугаман дифференциал тэгшитгэлийн шинж чанарын олон гишүүнт гэнэ: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + ан-1л + ан. Ийнхүү тогтмол коэффициент бүхий n-р эрэмбийн шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бодлого нь алгебрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хүртэл буурдаг.

Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэл нь n өөр бодит язгууртай бол l1№ l2 № ... № ln бол шийдлийн үндсэн систем нь y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), , функцуудаас бүрдэнэ. .., yn (x) = exp(lnx) ба нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

шийдлийн үндсэн систем ба энгийн бодит язгууруудын ерөнхий шийдэл.

Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэлийн бодит язгууруудын аль нэг нь r удаа (r нугалах үндэс) давтагдсан бол шийдлийн үндсэн системд r функцүүд түүнд тохирно; lk=lk+1 = ... = lk+r-1 бол in үндсэн системтэгшитгэлийн шийдэл, r функц байна: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+ r-1( x)=xr-1exp(lnx).

ЖИШЭЭ 2. Олон тооны бодит язгуурын тохиолдлын шийдлийн үндсэн систем ба ерөнхий шийдэл.

Хэрэв шинж чанарын тэгшитгэл нь нийлмэл язгууртай бол үндсэн шийдлийн систем дэх энгийн (үржүүлэх 1) хос нийлмэл язгуур бүр lk,k+1=ak ± ibk нь yk(x) = exp(akx) хос функцтэй тохирч байна. cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

ЖИШЭЭ 4. Уусмалын үндсэн систем ба энгийн нийлмэл язгууруудын ерөнхий шийдэл. төсөөллийн үндэс.

Хэрэв нийлмэл хос үндэс нь үржвэр r-тэй бол ийм хос lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, шийдлийн үндсэн системд exp(akx)cos( функцтэй тохирно. bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

ЖИШЭЭ 5. Олон нийлмэл үндэстэй тохиолдлын шийдлийн үндсэн систем ба ерөнхий шийдэл.

Иймд тогтмол коэффициент бүхий шугаман нэгэн төрлийн дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдлийг олохын тулд: шинж чанарын тэгшитгэлийг бичих; l1, l2, ... , ln шинж чанарын тэгшитгэлийн бүх язгуурыг олох; y1(x), y2(x), ..., yn(x) шийдлүүдийн үндсэн системийг бичих; y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) ерөнхий шийдийн илэрхийлэл бич. Кошигийн асуудлыг шийдэхийн тулд бид ерөнхий шийдийн илэрхийлэлийг анхны нөхцөлд орлуулж, шугаман системийн шийдэл болох c1,..., cn тогтмолуудын утгыг тодорхойлох шаардлагатай. алгебрийн тэгшитгэл c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0) ) =y0,1, ......... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

n-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн хувьд

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

Энд у = у(х) нь үл мэдэгдэх функц, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) нь мэдэгдэж байгаа, тасралтгүй, хүчинтэй: 1 ) хэрэв y1(x) ба y2(x) нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн хоёр шийдэл бол y(x) = y1(x) - y2(x) функц нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл болно; 2) хэрэв y1(x) нь нэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн шийдэл, y2(x) нь харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шийдэл бол y(x) = y1(x) + y2(x) функц нь: нэг төрлийн бус тэгшитгэл; 3) хэрэв y1(x), y2(x), ..., yn(x) нь нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шугаман бие даасан n шийдэл ба ych(x) - дур зоргоороо шийдвэрнэгэн төрлийн бус тэгшитгэлийн хувьд x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 гэсэн анхны утгуудын хувьд c*1, c*n, ..., c*n гэсэн утгатай байна. шийдэл y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) нь x = x0-ийн хувьд y*( анхны нөхцөлүүдийг хангана. x0)=y0, ( y*)"(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x) илэрхийллийг n-р эрэмбийн шугаман нэг төрлийн бус дифференциал тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл гэнэ.

Нэг төрлийн бус тодорхой шийдлүүдийг олох дифференциал тэгшитгэлхэлбэрийн баруун талтай тогтмол коэффициентүүдтэй: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), энд Pk(x), Qm(x) олон гишүүнт байна. Үүний дагуу k ба m зэрэгтэй бол сонголтын арга гэж нэрлэгддэг тодорхой шийдлийг бий болгох энгийн алгоритм байдаг.

Сонгох арга буюу тодорхойгүй коэффициентийн арга нь дараах байдалтай байна. Тэгшитгэлийн хүссэн шийдийг дараах байдлаар бичнэ: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, энд Pr(x), Qr(x) байна. pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0 тодорхойгүй коэффициент бүхий r = max(k, m) зэрэгтэй олон гишүүнтүүд. xs хүчин зүйлийг резонансын хүчин зүйл гэж нэрлэдэг. Резонанс нь шинж чанарын тэгшитгэлийн язгууруудын дунд s үржвэрийн l = a ± ib үндэс байх тохиолдолд явагдана. Тэдгээр. Хэрэв харгалзах нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн шинж чанарын тэгшитгэлийн язгууруудын дунд түүний бодит хэсэг нь илтгэгч дэх коэффициенттэй, төсөөллийн хэсэг нь аргумент дахь коэффициенттэй давхцаж байвал тригонометрийн функцтэгшитгэлийн баруун талд, мөн энэ язгуурын үржвэр нь s, дараа нь хүссэн тодорхой шийдэлд резонансын хүчин зүйл xs байна. Хэрэв ийм давхцал (s=0) байхгүй бол резонансын хүчин зүйл байхгүй болно.

Тодорхой шийдэлд илэрхийллийг орлуулах зүүн талтэгшитгэлийн хувьд бид тэгшитгэлийн баруун талд байгаа олон гишүүнттэй ижил хэлбэрийн ерөнхий олон гишүүнтийг олж авдаг бөгөөд коэффициент нь тодорхойгүй байна.

t-ийн ижил зэрэгтэй xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) хэлбэрийн хүчин зүйлсийн коэффициентүүд тэнцүү байх тохиолдолд хоёр ерөнхий олон гишүүнт тэнцүү байна. Ийм хүчин зүйлсийн коэффициентийг тэнцүүлэх замаар бид 2(r+1) үл мэдэгдэх 2(r+1) шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийг олж авна. Ийм систем нь тууштай, өвөрмөц шийдэлтэй гэдгийг харуулж болно.