lopital රීතිය භාවිතා නොකර දක්වා ඇති සීමාවන් ගණනය කරන්න. මාර්ගගත කාර්ය සීමාව ගණනය කිරීම
විසඳුමක් සබැඳි ක්රියාකාරී සීමාවන්. ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයක හෝ ක්රියාකාරී අනුපිළිවෙලක සීමිත අගය සොයන්න, ගණනය කරන්න සීමා කිරීමඅනන්තයේ ක්රියාකාරී අගය. සංඛ්යා ශ්‍රේණියක අභිසාරීතාවය තීරණය කිරීම සහ අපගේ ස්තුතියට තවත් බොහෝ දේ කළ හැක මාර්ගගත සේවාව- . ක්රියාකාරී සීමාවන් ඉක්මනින් සහ නිවැරදිව මාර්ගගතව සොයා ගැනීමට අපි ඔබට ඉඩ සලසයි. ඔබ ඔබම ඇතුල් කරන්න ශ්රිත විචල්යයසහ එය අපේක්ෂා කරන සීමාව, අපගේ සේවාව ඔබ වෙනුවෙන් සියලු ගණනය කිරීම් සිදු කරයි, නිවැරදි සහ සරල පිළිතුරක් ලබා දෙයි. සහ සඳහා අන්තර්ජාලය හරහා සීමාව සොයා ගැනීමඔබට සංඛ්යාත්මක ශ්‍රේණි සහ යන දෙකම ඇතුළත් කළ හැකිය විශ්ලේෂණ කාර්යයන්, වචනාර්ථ ප්‍රකාශනයක නියත අඩංගු වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සොයාගත් ශ්රිත සීමාවෙහි මෙම නියතයන් ප්‍රකාශනයේ නියත තර්ක ලෙස අඩංගු වේ. අපගේ සේවාව ඕනෑම දෙයක් විසඳයි අභියෝගාත්මක කාර්යයන්ස්ථානය අනුව මාර්ගගත සීමාවන්, එය ගණනය කිරීමට අවශ්ය වන කාර්යය සහ ලක්ෂ්යය නියම කිරීමට ප්රමාණවත් වේ කාර්යය සීමාව. ගණනය කිරීම මාර්ගගත සීමාවන්, ඔයාට පාවිච්චි කරන්න පුළුවන් විවිධ ක්රමසහ ඔවුන්ගේ විසඳුම සඳහා නීති රීති, ප්රතිඵලය සමඟ සංසන්දනය කිරීමේදී විසඳුම මාර්ගගතව සීමා කරන්න www.site හි, කාර්යය සාර්ථකව නිම කිරීමට තුඩු දෙනු ඇත - ඔබ ඔබේම වැරදි සහ අක්ෂර වින්‍යාසයන් වළක්වා ගනු ඇත. නැතහොත් ඔබට අපව සම්පූර්ණයෙන්ම විශ්වාස කළ හැකි අතර, ශ්රිත සීමාවේ ස්වාධීන ගණනය කිරීම් සඳහා අමතර වෑයමක් සහ කාලයක් වැය නොකර, ඔබේ කාර්යයේදී අපගේ ප්රතිඵලය භාවිතා කළ හැකිය. අපි අනන්තය වැනි සීමිත අගයන් ඇතුළත් කිරීමට ඉඩ දෙමු. ඔබ පොදු පදයක් ඇතුළත් කළ යුතුය සංඛ්යා අනුපිළිවෙලහා www.siteඅගය ගණනය කරනු ඇත මාර්ගගතව සීමා කරන්නඅනන්තය එකතු කිරීම හෝ අඩු කිරීම.
ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ මූලික සංකල්පවලින් එකක් වන්නේ කාර්යය සීමාවහා අනුපිළිවෙල සීමාවයම් අවස්ථාවක දී සහ අනන්තයකදී, නිවැරදිව විසඳීමට හැකි වීම වැදගත් වේ සීමාවන්. අපගේ සේවාව සමඟ එය අපහසු නොවනු ඇත. තීරණයක් ගනිමින් පවතී මාර්ගගත සීමාවන්තත්පර කිහිපයකින්, පිළිතුර නිවැරදි සහ සම්පූර්ණ වේ. කලනය අධ්යයනය ආරම්භ වන්නේ සීමාව දක්වා ගමන් කිරීම, සීමාවන්උසස් ගණිතයේ සෑම අංශයකම පාහේ භාවිතා වේ, එබැවින් සේවාදායකයක් අත ළඟ තබා ගැනීම ප්රයෝජනවත් වේ මාර්ගගත විසඳුම් සීමා කරන්නඅඩවිය යනු කුමක්ද.
මේ ගණිතමය කැල්ක්යුලේටරයඅවශ්‍ය නම් ඔන්ලයින් ඔබට උපකාර කරනු ඇත කාර්යය සීමාව ගණනය කරන්න. වැඩසටහන විසඳුම් සීමා කරන්නගැටලුවට පිළිතුර ලබා දෙනවා පමණක් නොව, එය මඟ පෙන්වයි පැහැදිලි කිරීම් සමඟ සවිස්තරාත්මක විසඳුම, i.e. සීමාව ගණනය කිරීමේ ප්‍රගතිය පෙන්වයි.
මෙම වැඩසටහන උසස් පාසල් සිසුන් සඳහා ප්රයෝජනවත් විය හැක සාමාන්ය අධ්යාපන පාසල්පරීක්ෂණ සහ විභාග සඳහා සූදානම් වීමේදී, ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගයට පෙර දැනුම පරීක්ෂා කිරීමේදී, ගණිතය සහ වීජ ගණිතයේ බොහෝ ගැටළු විසඳීම පාලනය කිරීම සඳහා දෙමාපියන්ට. එසේත් නැතිනම් ඔබට උපදේශකයෙකු කුලියට ගැනීම හෝ නව පෙළපොත් මිලදී ගැනීම මිල අධිකද? නැත්නම් ඔබට එය හැකි ඉක්මනින් කර ගැනීමට අවශ්‍යද? ගෙදර වැඩගණිතය හෝ වීජ ගණිතය? මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සමඟ අපගේ වැඩසටහන් භාවිතා කළ හැකිය.
මේ ආකාරයෙන්, විසඳිය යුතු කාර්යයන් ක්ෂේත්‍රයේ අධ්යාපන මට්ටම වැඩි වන අතරම, ඔබට ඔබේම පුහුණුව සහ/හෝ ඔබේ බාල සහෝදර සහෝදරියන්ගේ පුහුණුව පැවැත්විය හැකිය.
ශ්රිත ප්‍රකාශනයක් ඇතුළු කරන්නසීමාව ගණනය කරන්න
මෙම කාර්යය විසඳීමට අවශ්ය සමහර ස්ක්‍රිප්ට් පූරණය කර නොමැති බව සොයා ගන්නා ලද අතර, වැඩසටහන ක්‍රියා නොකරනු ඇත.
ඔබට AdBlock සක්‍රීය කර තිබිය හැක.
මෙම අවස්ථාවේදී, එය අක්රිය කර පිටුව නැවුම් කරන්න.
විසඳුම දිස්වීමට JavaScript සක්රිය කළ යුතුය.
ඔබගේ බ්‍රවුසරයේ JavaScript සක්‍රීය කරන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳ උපදෙස් මෙන්න.
නිසා ප්‍රශ්නය විසඳන්න ඕන ගොඩක් අය ඉන්නවා, ඔයාගේ ඉල්ලීම පෝලිමේ.
තත්පර කිහිපයකට පසු, විසඳුම පහත දිස්වනු ඇත.
කරුණාකර ඉන්න තත්පර...
ඔබ නම් විසඳුමේ දෝෂයක් දක්නට ලැබුණි, එවිට ඔබට ඒ ගැන ප්‍රතිපෝෂණ පෝරමයේ ලිවිය හැක.
අමතක කරන්න එපා කුමන කාර්යයද යන්න දක්වන්නඔබ තීරණය කරන්න ක්ෂේත්ර තුළට ඇතුල් කරන්න.
අපගේ ක්‍රීඩා, ප්‍රහේලිකා, ඉමුලේටර්:
න්යාය ටිකක්.
x-> x 0 හි ශ්‍රිතයේ සීමාව
සමහර X කට්ටලයක f(x) ශ්රිතය නිර්වචනය කර \(x_0 \in X \) හෝ \(x_0 \notin X \) ලක්ෂ්‍යයට ඉඩ දෙන්න.
X වෙතින් x 0 හැර වෙනත් ලක්ෂ්‍ය අනුපිළිවෙලක් ගන්න:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
x* වෙත අභිසාරී වීම. මෙම අනුක්‍රමයේ ලක්ෂ්‍යවල ශ්රිත අගයන් සංඛ්යාත්මක අනුපිළිවෙලක් ද සාදයි
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
සහ එහි සීමාවේ පැවැත්ම පිළිබඳ ප්රශ්නයක් ඉදිරිපත් කළ හැකිය.
අර්ථ දැක්වීම. x තර්කයේ කිසියම් අනුපිළිවෙලක් (1) සඳහා නම්, A අංකය x \u003d x 0 (හෝ x -> x 0) ස්ථානයේ f (x) ශ්‍රිතයේ සීමාව ලෙස හැඳින්වේ. එය x 0 ට අභිසාරී වන අතර, x 0 ට වඩා වෙනස් වේ, අගයන් ශ්‍රිතයේ අනුරූප අනුපිළිවෙල (2) A අංකයට අභිසාරී වේ.
$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$
f(x) ශ්‍රිතයට x 0 ලක්ෂයේ තිබිය හැක්කේ එක් සීමාවක් පමණි. මෙය අනුපිළිවෙල යන කාරනයෙන් පහත දැක්වේ
(f(x n)) ට ඇත්තේ එක් සීමාවක් පමණි.
ශ්‍රිතයක සීමාව පිළිබඳ තවත් අර්ථකථනයක් තිබේ.
අර්ථ දැක්වීමඕනෑම අංකයක් සඳහා \(\varepsilon > 0 \) අංකයක් තිබේ නම්, සියල්ල සඳහා \(\delta > 0 \) අංකයක් තිබේ නම් A අංකය x = x 0 ලක්ෂ්‍යයේ f(x) ශ්‍රිතයේ සීමාව ලෙස හැඳින්වේ. (x \in X, \; x \neq x_0 \) අසමානතාවය තෘප්තිමත් කරමින් \(|x-x_0| තාර්කික සංකේත භාවිතා කරමින්, මෙම අර්ථ දැක්වීම මෙසේ ලිවිය හැක.
\((\forall \varepsilon > 0) (\පවත්නා \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| අසමානතා \(x \neq x_0) බව සලකන්න , \; |x-x_0| පළමු නිර්වචනය පදනම් වී ඇත්තේ සංඛ්යාත්මක අනුක්‍රමයක සීමාව පිළිබඳ සංකල්පය මතය, එබැවින් එය බොහෝ විට "අනුක්‍රම භාෂාව" අර්ථ දැක්වීම ලෙස හැඳින්වේ. දෙවන අර්ථ දැක්වීම "\(\varepsilon - \delta" ලෙස හැඳින්වේ. \)" අර්ථ දැක්වීම.
ශ්‍රිතයක සීමාව පිළිබඳ මෙම අර්ථ දැක්වීම් දෙක සමාන වන අතර, ඔබට ඒවායින් එකක් භාවිතා කළ හැකිය, විශේෂිත ගැටළුවක් විසඳීම සඳහා වඩාත් පහසු වේ.
"අනුක්‍රමික භාෂාවෙන්" ශ්‍රිතයක සීමාව නිර්වචනය Heine අනුව ශ්‍රිතයක සීමාවේ නිර්වචනය ලෙසද, "භාෂාවේ \(\varepsilon -" ශ්‍රිතයක සීමාවේ නිර්වචනය ලෙසද හැඳින්වෙන බව සලකන්න. \delta \)" Cauchy අනුව ශ්‍රිතයක සීමාවේ නිර්වචනය ලෙසද හැඳින්වේ.
x->x 0 - සහ x->x 0 + හි ක්රියාකාරී සීමාව
පහත දැක්වෙන දේ තුළ, අපි පහත පරිදි අර්ථ දක්වා ඇති ශ්‍රිතයක ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන් පිළිබඳ සංකල්ප භාවිතා කරමු.
අර්ථ දැක්වීම x n මූලද්‍රව්‍ය x 0 ට වඩා වැඩි (අඩු) x 0 ට අභිසාරී වන කිසියම් අනුක්‍රමයක් සඳහා (1) x 0 ලක්ෂ්‍යයේ f (x) ශ්‍රිතයේ දකුණු (වම්) සීමාව A අංකය හැඳින්වේ. (2) A වෙත අභිසාරී වේ.
සංකේතාත්මකව එය මෙසේ ලියා ඇත:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \දකුණ) $$
කෙනෙකුට "භාෂාවෙන් \(\varepsilon - \delta \)" ශ්‍රිතයක ඒක පාර්ශවීය සීමාවන්ට සමාන අර්ථ දැක්වීමක් ලබා දිය හැක:
අර්ථ දැක්වීමඕනෑම \(\varepsilon > 0 \) ඕනෑම x සඳහා තෘප්තිමත් වන පරිදි \(\delta > 0 \) පවතී නම් A අංකය x 0 ලක්ෂ්‍යයේ f(x) ශ්‍රිතයේ දකුණු (වම්) සීමාව ලෙස හැඳින්වේ. අසමානතා \(x_0 සංකේතාත්මක ඇතුළත් කිරීම්:
පිම්බුණු ඇස් ඇති ගේ කුරුල්ලන් රැළක් ගැන සිතන්න. නැත, මෙය ගිගුරුම් නොවේ, සුළි කුණාටුවක් නොවේ, කුඩා පිරිමි ළමයෙකු පවා ඔහුගේ අතේ ස්ලයිං ෂොට් එකක් නොවේ. එය හුදෙක් විශාල, දැවැන්ත කාලතුවක්කුවක් පැටවුන් අතරට පියාසර කරයි. හරියටම lopital නීතිඅවිනිශ්චිතතාවයක් ඇති සීමාවන් සමඟ කටයුතු කිරීම හෝ .
L'Hopital හි නීති ඉතා ප්‍රබල ක්රමයක් වන අතර එමඟින් මෙම අවිනිශ්චිතතාවයන් ඉක්මනින් හා ඵලදායී ලෙස තුරන් කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි, ගැටළු එකතු කිරීමේදී එය අහම්බයක් නොවේ. පාලන වැඩ, ඕෆ්සෙට්, ස්ථාවර මුද්දරයක් බොහෝ විට දක්නට ලැබේ: "සීමාව ගණනය කරන්න, L'Hopital's රීතිය භාවිතා නොකර". නිර්භීත අවශ්යතාවය විය හැකිය පැහැදිලි හෘදසාක්ෂියපැවරීම සහ ඕනෑම පාඩම් සීමාවකට සීමාවන්. විසඳුම් උදාහරණ, කැපී පෙනෙන සීමාවන්. විසඳුම් ක්රම සීමා කරන්න, කැපී පෙනෙන සමානාත්මතා, "ශුන්යයට ශුන්‍ය" හෝ "අනන්තයේ සිට අනන්තය" යන අවිනිශ්චිතතාවය ඇති වේ. කර්තව්යය කෙටියෙන් සකස් කර ඇතත් - "සීමා ගණනය කරන්න", එවිට ඔබ කැමති ඕනෑම දෙයක් භාවිතා කරන බව ව්යංගයෙන් වටහාගෙන ඇත, නමුත් L'Hospital හි නීති නොවේ.
සමස්තයක් වශයෙන් නීති දෙකක් ඇති අතර, ඒවා සාරය සහ ඒවා අදාළ වන ආකාරයෙන් එකිනෙකට බෙහෙවින් සමාන ය. මාතෘකාව පිළිබඳ සෘජු උදාහරණ වලට අමතරව, අපි අධ්යයනය කරන්නෙමු අතිරේක ද්රව්ය, එය ගණිතමය විශ්ලේෂණය පිළිබඳ වැඩිදුර අධ්‍යයනයේ දී ප්රයෝජනවත් වනු ඇත.
නීති සංක්ෂිප්ත “ප්රායෝගික” ආකාරයෙන් ලබා දෙන බවට මම වහාම වෙන්කරවා ගන්නෙමි, ඔබට න්යාය සමත් වීමට සිදුවුවහොත්, වඩාත් දැඩි ගණනය කිරීම් සඳහා පෙළපොත වෙත හැරෙන ලෙස මම නිර්දේශ කරමි.
L'Hospital හි පළමු රීතිය
එම කාර්යයන් සලකා බලන්න අසීමිත කුඩායම් අවස්ථාවක. ඔවුන්ගේ සම්බන්ධතාවයට සීමාවක් තිබේ නම්, අවිනිශ්චිතතාවය තුරන් කිරීම සඳහා, අපට ගත හැකිය දෙක ව්යුත්පන්න- සංඛ්යාංකයෙන් සහ හරයෙන්. එහි: 
, එනම් .
සටහන : සීමාව ද පැවතිය යුතුය, එසේ නොමැති නම් රීතිය අදාළ නොවේ.
ඉහත සඳහන් දේවලින් අනුගමනය කරන්නේ කුමක්ද?
පළමුව, ඔබට සොයා ගැනීමට හැකි විය යුතුය ශ්රිතවල ව්යුත්පන්නසහ වඩා හොඳ, වඩා හොඳ =)
දෙවනුව, ව්‍යුත්පන්නයන් සංඛ්‍යාවෙන් වෙන වෙනම සහ හරයෙන් වෙන වෙනම ගනු ලැබේ. කරුණාකර ප්‍රමාණයේ අවකලනය පිළිබඳ රීතිය සමඟ පටලවා නොගන්න 
!!!
තෙවනුව, "x" අනන්තය ඇතුළුව ඕනෑම තැනක නැඹුරු විය හැකිය - අවිනිශ්චිතතාවයක් තිබුනේ නම් පමණි.
අපි පළමු ලිපියේ උදාහරණ 5 වෙත ආපසු යමු සීමාවන් ගැන, එය පහත ප්රතිඵලය ඇති කළේය: 
0:0 අවිනිශ්චිතතාවයට, අපි L'Hospital හි පළමු රීතිය යොදන්නෙමු:
ඔබට පෙනෙන පරිදි, සංඛ්‍යාංකයේ සහ හරයේ වෙනස අර්ධ හැරීමකින් පිළිතුර වෙත අපව ගෙන ගියේය: අපට සරල ව්යුත්පන්න දෙකක් හමු විය, ඒවායින් “දෙකක්” ආදේශ කර, අවිනිශ්චිතතාවය හෝඩුවාවක් නොමැතිව අතුරුදහන් වූ බව පෙනී ගියේය!
L'Hopital හි නීති එක දිගට දෙවරක් හෝ කිහිප වතාවක් යෙදීම සාමාන්ය දෙයක් නොවේ (මෙය දෙවන රීතියටද අදාළ වේ). අපි එය ප්‍රත්‍යක්ෂ සන්ධ්‍යාවක් සඳහා ගෙන යමු උදාහරණ 2 පාඩම් පුදුම සීමාවන් ගැන:
මත බංකු ඇඳබේගල් දෙකක් නැවත සිසිල් වේ. අපි L'Hospital හි රීතිය ක්‍රියාත්මක කරමු: 
පළමු පියවරේදී හරය ගනු ලබන බව කරුණාවෙන් සලකන්න සංකීර්ණ ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය. ඊට පසු, අපි අතරමැදි සරල කිරීම් ගණනාවක් සිදු කරන්නෙමු, විශේෂයෙන්, අපි කොසයින් ඉවත් කරන්නෙමු, එය එකමුතුකමට නැඹුරු වන බව පෙන්නුම් කරයි. අවිනිශ්චිතතාවය ඉවත් කර නැත, එබැවින් අපි නැවත L'Hopital රීතිය (දෙවන පේළිය) යොදන්නෙමු.
මම විශේෂයෙන් තෝරා ගත්තේ ඔබට කුඩා ස්වයං පරීක්ෂණයක් කිරීමට පහසුම උදාහරණය නොවේ. ඒවා සොයාගත් ආකාරය සම්පූර්ණයෙන්ම පැහැදිලි නැතිනම් ව්යුත්පන්න, ඔබ ඔබේ අවකලනය කිරීමේ තාක්ෂණය ශක්තිමත් කළ යුතුය, ඔබට කොසයින් උපක්‍රමය නොතේරෙන්නේ නම්, කරුණාකර ආපසු යන්න පුදුම සීමාවන්. මම දකින්නේ නැහැ විශේෂ අර්ථයමම දැනටමත් ව්‍යුත්පන්නයන් සහ සීමාවන් ගැන ප්රමාණවත් ලෙස විස්තර කර ඇති බැවින් පියවරෙන් පියවර අදහස් දැක්වීම් වලින්. ලිපියේ නව්‍යතාවය පවතින්නේ නීති රීති සහ සමහර තාක්ෂණික විසඳුම් තුළ ය.
දැනටමත් සඳහන් කර ඇති පරිදි, බොහෝ අවස්ථාවලදී L'Hopital නීති භාවිතා කිරීම අවශ්ය නොවේ, නමුත් විසඳුමේ රළු පරීක්ෂාව සඳහා ඒවා භාවිතා කිරීම බොහෝ විට යෝග්ය වේ. බොහෝ විට, නමුත් සෑම විටම නොවේ. එබැවින්, උදාහරණයක් ලෙස, භාවිතා කිරීමට සලකා බැලූ උදාහරණය පරීක්ෂා කිරීම වඩා ලාභදායී වේ පුදුම සමානකම්.
L'Hospital හි දෙවන රීතිය
අයියා-2 නිදි අට දෙන්නෙක් එක්ක රණ්ඩු වෙනවා. ඒ හා සමානව:
සම්බන්ධතා සීමාවක් තිබේ නම් අසීමිත විශාලයික්‍රියාකාරී ලක්ෂ්‍යයේ: , එවිට අවිනිශ්චිතතාවය තුරන් කිරීම සඳහා, අපට ගත හැකිය ව්යුත්පන්න දෙකක්– සංඛ්යාංකයෙන් වෙන් කර හරයෙන් වෙන් කරන්න. එහි: 
, එනම් සංඛ්යාංකය සහ හරය වෙන් කරන විට, සීමාවේ අගය වෙනස් නොවේ.
සටහන : සීමාව පැවතිය යුතුය
නැවතත්, විවිධ ආකාරයෙන් ප්රායෝගික උදාහරණ අගය වෙනස් විය හැක, අනන්ත ඇතුළු. අවිනිශ්චිතතාවයක් තිබීම වැදගත්ය.
අපි පළමු පාඩමේ #3 උදාහරණය පරීක්ෂා කරමු: 
. අපි L'Hospital හි දෙවන රීතිය භාවිතා කරමු:
අපි යෝධයන් ගැන කතා කරන බැවින්, කැනොනිකල් සීමාවන් දෙකක් විශ්ලේෂණය කරමු:
උදාහරණ 1
සීමාව ගණනය කරන්න
“සාම්ප්‍රදායික” ක්රම මගින් පිළිතුරක් ලබා ගැනීම පහසු නැත, එබැවින් “අනන්තයේ සිට අනන්තය” යන අවිනිශ්චිතතාවය හෙළි කිරීමට අපි L'Hopital රීතිය භාවිතා කරමු: 
මේ ක්රමයෙන්, රේඛීය ශ්රිතයඑකකට වඩා වැඩි පාදයක් සහිත ලඝුගණකයකට වඩා ඉහළ වර්ධන අනුපිළිවෙලක්(ආදිය). ඇත්ත වශයෙන්ම, ඉහළ බලවල "x" ද එවැනි ලඝුගණක "අදින්න" ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, කාර්යය තරමක් සෙමින් වර්ධනය වන අතර එහි කාලසටහනඑකම "x" ට සාපේක්ෂව වඩා මෘදු වේ.
උදාහරණ 2
සීමාව ගණනය කරන්න
තවත් වියැකී ගිය රාමුවක්. අවිනිශ්චිතතාවය තුරන් කිරීම සඳහා, අපි L'Hopital රීතිය භාවිතා කරමු, එපමනක් නොව, පේළියකට දෙවරක්:
එකකට වඩා වැඩි පදනමක් සහිත ඝාතීය ශ්‍රිතයක්(ආදිය) වඩා ඉහළ වර්ධන අනුපිළිවෙල බලශක්ති කාර්යයධනාත්මක උපාධියක් සමඟ.
කාලය තුළ සමාන සීමාවන් හමු වේ සම්පූර්ණ ක්රියාකාරී අධ්යයනය, එනම්, සොයා ගන්නා විට ප්‍රස්ථාරවල අසමමිතිය. සමහර කාර්යයන්හි ද ඒවා දක්නට ලැබේ සම්භාවිතා න්යාය. සලකා බැලූ උදාහරණ දෙක සැලකිල්ලට ගැනීමට මම ඔබට උපදෙස් දෙමි, මෙය අංකනය සහ හරය වෙන් කිරීමට වඩා හොඳ දෙයක් නොමැති අවස්ථා කිහිපයෙන් එකකි.
තවදුරටත් පෙළෙහි, මම L'Hopital හි පළමු සහ දෙවන රීතිය අතර වෙනස හඳුනා නොගනිමි, මෙය සිදු කරන ලද්දේ ලිපිය ව්‍යුහගත කිරීමේ අරමුණින් පමණි. පොදුවේ ගත් කල, මගේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, එය අධික සංඛ්යා ගණිතමය ප්‍රමිති, ප්‍රමේය, රීති, ගුණාංග වලට තරමක් හානිකර ය, මන්ද “ප්‍රමේයය 19 ට අනුව නිගමනය 3 ට අනුව ...” වැනි වාක්‍ය ඛණ්ඩ තොරතුරු සපයන්නේ එකක රාමුව තුළ පමණි. හෝ වෙනත් පෙළ පොතක්. වෙනත් තොරතුරු මූලාශ්‍රයක, එයම "අවසන් 2 සහ ප්‍රමේයය 3" වනු ඇත. එවැනි ප්රකාශයන් විධිමත් සහ පහසු වන්නේ කතුවරුන්ට පමණි. ඉතා මැනවින්, ගණිතමය කරුණක සාරය වෙත යොමු කිරීම වඩා හොඳය. ව්යතිරේකය යනු ඓතිහාසිකව ස්ථාපිත නියමයන් වේ, උදාහරණයක් ලෙස, පළමු පුදුම සීමාවහෝ දෙවන පුදුම සීමාව.
පැරිස් විද්‍යා ඇකඩමියේ සාමාජික Marquis Guillaume Francois de Lopital විසින් අප වෙත විසි කරන ලද මාතෘකාව අපි දිගටම සංවර්ධනය කරන්නෙමු. ලිපිය උච්චාරණ ප්රායෝගික වර්ණ ගැන්වීමක් ලබා ගන්නා අතර තරමක් පොදු කාර්යයකදී එය අවශ්ය වේ:
උණුසුම් වීමට, අපි කුඩා ගේ කුරුල්ලන් කිහිපයක් සමඟ කටයුතු කරමු:
උදාහරණය 3
කොසයිනය ඉවත් කිරීමෙන් සීමාව මූලිකව සරල කළ හැකි නමුත්, අපි කොන්දේසියට ගරු කරන අතර වහාම අංකනය සහ හරය වෙන්කර හඳුනා ගනිමු: 
ව්යුත්පන්න සොයා ගැනීමේ ක්‍රියාවලියේදීම, සම්මත නොවන කිසිවක් නොමැත, උදාහරණයක් ලෙස, සාමාන්ය හරය භාවිතා වේ. අවකලනය රීතියකටයුතු 
.
සලකා බැලූ උදාහරණය විනාශ වී ඇත පුදුම සීමාවන්, සංකීර්ණ සීමාවන් ලිපියේ අවසානයේ සමාන අවස්ථාවක් සාකච්ඡා කෙරේ.
උදාහරණය 4
L'Hopital's නියමය අනුව සීමාව ගණනය කරන්න 
මේ සඳහා උදාහරණයක් ස්වාධීන තීරණය. හොඳ විහිළුවක් =)
සාමාන්ය තත්වයක් නම්, අවකලනය කිරීමෙන් පසු, තට්ටු තුනේ හෝ හතරක භාග ලබා ගන්නා විට:
උදාහරණ 5
L'Hospital හි රීතිය භාවිතයෙන් සීමාව ගණනය කරන්න
අයැදුම්පත ඉල්ලනවා කැපී පෙනෙන සමානාත්මතාවය, නමුත් මාර්ගය කොන්දේසිය අනුව දෘඪ-කේතගත කර ඇත:
අවකලනය කිරීමෙන් පසු, බහු-මහල් කොටස ඉවත් කර උපරිම සරල කිරීම් සිදු කිරීමට මම තරයේ නිර්දේශ කරමි.. ඇත්ත වශයෙන්ම, වඩා උසස් සිසුන්ට මඟ හැරිය හැක අවසාන පියවරසහ වහාම ලියන්න: 
, නමුත් සමහර සීමාවන් තුළ විශිෂ්ට සිසුන් පවා ව්යාකූල වනු ඇත.
උදාහරණය 6
L'Hospital හි රීතිය භාවිතයෙන් සීමාව ගණනය කරන්න
උදාහරණ 7
L'Hospital හි රීතිය භාවිතයෙන් සීමාව ගණනය කරන්න
මේවා ස්වයං උපකාරක උදාහරණ වේ. උදාහරණ 7 හි, ඔබට කිසිවක් සරල කළ නොහැක, භාගය වෙනස් කිරීමෙන් පසු එය ඉතා සරල ය. නමුත් උදාහරණ 8 හි, L'Hopital රීතිය යෙදීමෙන් පසු, ගණනය කිරීම් වඩාත් පහසු නොවන බැවින් තට්ටු තුනේ ව්‍යුහය ඉවත් කිරීම ඉතා යෝග්ය වේ. සම්පූර්ණ විසඳුමසහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර. ඔබට කිසියම් ගැටළුවක් ඇත්නම් - ත්රිකෝණමිතික වගුවඋදව් කිරීමට.
තවද, අවකලනය කිරීමෙන් පසු අවිනිශ්චිතතාවය ඇති විට සරල කිරීම අත්‍යවශ්‍ය වේ ඉවත් කර නැත.
උදාහරණ 8
L'Hospital හි රීතිය භාවිතයෙන් සීමාව ගණනය කරන්න
යන්න: 
සිත්ගන්නා කරුණ නම්, පළමු අවකලනයට පසුව ඇති වූ ආරම්භක අවිනිශ්චිතතාවය අවිනිශ්චිතතාවයක් බවට පත් වූ අතර, L'Hôpital ගේ නියමය නොබිඳිය හැකි ලෙස තව දුරටත් යෙදී ඇත. එක් එක් "ප්‍රවේශය" ට පසුව තට්ටු හතරේ භාගය ඉවත් කරන ආකාරය සහ නියතයන් සීමාව ලකුණෙන් ඉවත් කරන ආකාරය ද සැලකිල්ලට ගන්න. තව දුරටත් සරල උදාහරණනියතයන් ඉවත් නොකිරීම වඩාත් පහසු වේ, නමුත් සීමාව සංකීර්ණ වූ විට, අපි සියල්ල-සියල්ල-සියල්ල සරල කරමු. විසඳන ලද උදාහරණයේ ද්‍රෝහීකම ද පවතින්නේ කවදාද යන්නයි 
, නමුත්, එබැවින්, කෝඨරක ඉවත් කිරීමේ පාඨමාලාවේදී, සංඥා තුළ ව්යාකූලත්වයට පත්වීම පුදුමයක් නොවේ. අවසාන රේඛාවේදී, සයිනස් මරා දැමිය නොහැක, නමුත් උදාහරණය තරමක් බරයි, සමාව දිය හැකි ය.
පසුගිය දිනක මට රසවත් කාර්යයක් හමු විය:
උදාහරණ 9
ඇත්තම කිව්වොත්, මේ සීමාව සමාන වන්නේ කුමක් දැයි මම ටිකක් සැක කළෙමි. ඉහත පෙන්වා ඇති පරිදි, "x" වැඩි වේ ඉහළ නියෝගයක්ලඝුගණකයට වඩා වර්ධනය, නමුත් එය ඝන ලඝුගණකයට වඩා වැඩි වේද? දිනන්නේ කවුදැයි ඔබම සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරන්න.
ඔව්, L'Hopital හි නීති කාලතුවක්කුවකින් ගේ කුරුල්ලන්ට වෙඩි තැබීම පමණක් නොව, වෙහෙස මහන්සි වී වැඩ කිරීම ද වේ.
L'Hôpital හි නීති රීති බේගල් හෝ විඩාපත් අට දෙනෙකුට යෙදීම සඳහා, පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයන් අඩු වේ.
අවිනිශ්චිතභාවය සමඟ කටයුතු කිරීම පාඩමේ #9-13 උදාහරණවල විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කෙරේ. විසඳුම් ක්රම සීමා කරන්න. අපි ඒ සඳහා තවත් එකක් ගනිමු:
උදාහරණ 10
L'Hopital's රීතිය භාවිතයෙන් ශ්‍රිතයක සීමාව ගණනය කරන්න 
පළමු පියවරේදී, අපි ප්රකාශනය ලබා දෙන්නෙමු පොදු හරය, එමගින් අවිනිශ්චිතතාවය අවිනිශ්චිතතාවය බවට පරිවර්තනය කරයි. ඉන්පසු අපි L'Hopital රීතිය අය කරමු: 
මෙන්න, මාර්ගය වන විට, සිව්මහල් ප්රකාශනය ස්පර්ශ කිරීම තේරුමක් නැති අවස්ථාවකි.
අවිනිශ්චිතතාවය හෝ බවට හැරවීමට ද විරුද්ධ නොවේ:
උදාහරණ 11
L'Hopital's රීතිය භාවිතයෙන් ශ්‍රිතයක සීමාව ගණනය කරන්න
මෙහි සීමාව එක් පැත්තක් වන අතර, එවැනි සීමාවන් දැනටමත් අත්පොතෙහි සාකච්ඡා කර ඇත ශ්රිතවල ප්රස්ථාර සහ ගුණාංග. ඔබට මතක ඇති පරිදි, "සම්භාව්‍ය" ලඝුගණකයේ ප්‍රස්ථාරය අක්ෂයේ වම් පසින් නොපවතී, එබැවින් අපට දකුණේ සිට ශුන්යයට පමණක් ළඟා විය හැකිය.
ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන් සඳහා L'Hôpital හි නීති ක්‍රියාත්මක වේ, නමුත් අවිනිශ්චිතතාවයට ප්‍රථමයෙන් කටයුතු කළ යුතුය. පළමු පියවරේදී, අපි කොටස තට්ටු තුනකින් සාදා, අවිනිශ්චිතතාවය ලබා ගනිමු, එවිට විසඳුම සැකිලි යෝජනා ක්රමය අනුගමනය කරයි: 
ඉලක්කම් සහ හරය වෙන්කර හඳුනා ගැනීමෙන් පසු, අපි සරල කිරීම සඳහා සිව්මහල් කොටස ඉවත් කරමු. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස අවිනිශ්චිතභාවය මතුවිය. අපි උපක්‍රමය පුනරුච්චාරණය කරමු: අපි නැවතත් කොටස තට්ටු තුනකින් සාදා ඇති අතර ඇති වන අවිනිශ්චිතතාවයට L'Hopital රීතිය නැවත යොදන්නෙමු:
සූදානම්.
ආරම්භක සීමාවකෙනෙකුට එය ඩෝනට්ස් දෙකකට අඩු කිරීමට උත්සාහ කළ හැකිය: 
එහෙත්, පළමුව, හරයෙහි ව්යුත්පන්නය වඩා දුෂ්කර වන අතර, දෙවනුව, එයින් යහපත් කිසිවක් නොලැබේ.
මේ ක්රමයෙන්, සමාන උදාහරණ විසඳීමට පෙර, ඔබ විශ්ලේෂණය කළ යුතුය(වාචිකව හෝ කෙටුම්පතක් මත) අවිනිශ්චිතතාවය අඩු කිරීමට වඩා ලාභදායී වන්නේ කුමකටද - "ශුන්‍යයේ සිට ශුන්යයට" හෝ "අනන්තයේ සිට අනන්තයට".
අනෙක් අතට, පානීය සගයන් සහ තවත් විදේශීය සහෝදරයන් ආලෝකයට ඇද දමනු ලැබේ. පරිවර්තන ක්රමය සරල සහ සම්මත වේ.
අපි දැනටමත් සීමාවන් සහ ඒවායේ විසඳුම සමඟ කටයුතු කිරීමට පටන් ගෙන ඇත. අපි උණුසුම් ලුහුබැඳීම දිගටම කරගෙන යමු සහ සීමාවන්ගේ විසඳුම සමඟ කටයුතු කරමු L'Hopital ගේ නීතියට අනුව. මේ සරල රීතියඋසස් ගණිතය සහ ගණිතමය විශ්ලේෂණ සඳහා වන පරීක්ෂණවල උදාහරණ සඳහා ගුරුවරුන් භාවිතා කිරීමට කැමති කූට සහ සංකීර්ණ උගුල්වලින් මිදීමට ඔබට උපකාර කිරීමට හැකියාව ඇත. L'Hopital's නීතිය මගින් විසඳුම සරල සහ වේගවත් වේ. ප්රධාන දෙය වන්නේ වෙන්කර හඳුනා ගැනීමට හැකි වීමයි.
L'Hopital's Rule: ඉතිහාසය සහ අර්ථ දැක්වීම
ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙය හරියටම L'Hopital ගේ රීතිය නොවේ, නමුත් නීතියයි L'Hospital-Bernoulli. ස්විට්සර්ලන්ත ගණිතඥයෙකු විසින් සකස් කරන ලදී ජොහාන් බර්නූලි, සහ ප්රංශ Guillaume Lopitalඔහුගේ පෙළපොතෙහි ප්‍රථම වරට ප්‍රකාශයට පත් කරන ලද අසීමිත ප්‍රබෝධමත් 1696 වර්ෂය. මෙය සිදුවීමට පෙර අවිනිශ්චිතතාවයන් හෙළිදරව් කිරීමත් සමඟ මිනිසුන්ට සීමාවන් විසඳීමට සිදු වූයේ කෙසේදැයි ඔබට සිතාගත හැකිද? අපි එහෙම නැහැ.
L'Hopital රීතිය විශ්ලේෂණය කිරීමට පෙර, ඒවා විසඳීමේ ක්රම පිළිබඳ හඳුන්වාදීමේ ලිපිය කියවීමට අපි නිර්දේශ කරමු. බොහෝ විට කාර්යයන් වලදී වචන මාලාවක් ඇත: L'Hopital රීතිය භාවිතා නොකර සීමාව සොයා ගන්න. අපගේ ලිපියෙන් මේ සඳහා ඔබට උපකාර වන තාක්ෂණික ක්රම ගැනද ඔබට කියවිය හැකිය.
ඔබ කාර්යයන් දෙකක කොටසක සීමාවන් සමඟ කටයුතු කරන්නේ නම්, සුදානම් වන්න: ඔබට ඉක්මනින් 0/0 හෝ අනන්තය/අනන්තය ආකෘතියේ අවිනිශ්චිතතාවයක් හමුවනු ඇත. එයින් අදහස් කරන්නේ කුමක් ද? සංඛ්‍යාංකයේ සහ හරයෙහි, ප්‍රකාශන ශුන්යයට හෝ අනන්තයට නැඹුරු වේ. එවැනි සීමාවක් සමඟ කළ යුතු දේ, මුලින්ම බැලූ බැල්මට සම්පූර්ණයෙන්ම තේරුම්ගත නොහැකිය. කෙසේ වෙතත්, ඔබ L'Hopital ගේ නියමය භාවිතා කර ටිකක් සිතන්නේ නම්, සියල්ල නිසි තැනට වැටේ.
නමුත් අපි L'Hospital-Bernoulli රීතිය සකස් කරමු. පරිපූර්ණ ලෙස නිවැරදිව කිවහොත්, එය ප්‍රමේයයක් මගින් ප්‍රකාශ වේ. L'Hopital's රීතිය, අර්ථ දැක්වීම:
ලක්ෂ්‍යයක අසල්වැසි ප්‍රදේශයක ශ්රිත දෙකක් අවකලනය කළ හැකි නම් x=a මෙම අවස්ථාවෙහිදී අතුරුදහන් වන අතර, මෙම ශ්රිතවල ව්‍යුත්පන්නවල අනුපාතයට සීමාවක් ඇත, එවිට x අපේක්ෂා කරයි ඒ ශ්රිතවල අනුපාතය මත සීමාවක් ඇත, එය ව්‍යුත්පන්නවල අනුපාතයේ සීමාවට සමාන වේ.
අපි සූත්රය ලියා තබමු, එවිට සියල්ල වහාම පහසු වනු ඇත. L'Hopital's රීතිය, සූත්රය:
ගැටලුවේ ප්රායෝගික පැත්ත ගැන අප උනන්දු වන බැවින්, මෙම ප්‍රමේයය පිළිබඳ සාක්ෂි අපි මෙහි ඉදිරිපත් නොකරමු. ඔබට ඒ සඳහා අපගේ වචනය ගැනීමට සිදුවනු ඇත, නැතහොත් ඕනෑම ගණනය කිරීමේ පෙළපොතකින් එය සොයාගෙන ප්‍රමේයය නිවැරදි දැයි සහතික කර ගන්න.
ඒ කෙසේ වුවත්! අපගේ පාඨකයන් සඳහා දැන් 10% ක වට්ටමක් ඇත
L'Hopital හි රීතියට අනුව අවිනිශ්චිතතාවයන් හෙළිදරව් කිරීම
L'Hospital හි රීතිය අනාවරණය කර ගැනීමට උපකාර වන අවිනිශ්චිතතාවයන් මොනවාද? කලින් අපි ප්රධාන වශයෙන් කතා කළේ අවිනිශ්චිතභාවය ගැන 0/0 . කෙසේ වෙතත්, මෙය මුහුණ දිය හැකි එකම අවිනිශ්චිතතාවයෙන් බොහෝ දුරස් වේ. මෙන්න වෙනත් ආකාරයේ අවිනිශ්චිතතා:
මෙම අවිනිශ්චිතතාවයන් 0/0 හෝ අනන්තය/අනන්තය ආකෘතියට ගෙන ඒම සඳහා භාවිතා කළ හැකි පරිවර්තනයන් සලකා බලමු. පරිවර්තනයෙන් පසුව, L'Hospital-Bernoulli රීතිය යෙදිය හැකි අතර ගෙඩි වැනි උදාහරණ ක්ලික් කරන්න.
විශේෂ අවිනිශ්චිතතාවය අනන්තය / අනන්තය පෝරමයේ අවිනිශ්චිතතාවයක් දක්වා අඩු කරයි 0/0 සරල පරිවර්තනය:
ශ්රිත දෙකක නිෂ්පාදනයක් තිබිය යුතුය, ඉන් එකක් පළමු ශුන්යයට ද, දෙවැන්න - අනන්තයට ද නැඹුරු වේ. අපි පරිවර්තනය යොදන අතර, ශුන්‍යයේ සහ අනන්තයේ ගුණිතය අවිනිශ්චිතතාවයට හැරේ 0/0 :
වර්ගයේ අවිනිශ්චිතතාවයන් සමඟ සීමාවන් සොයා ගැනීමට අනන්තය අඩුවෙන් අනන්තය අපි අවිනිශ්චිතතාවයට තුඩු දෙන පහත පරිවර්තනය භාවිතා කරමු 0/0 :
L'Hopital's රීතිය භාවිතා කිරීම සඳහා, ඔබට ව්‍යුත්පන්නයන් ගැනීමට හැකි විය යුතුය. පහත දැක්වෙන්නේ ව්යුත්පන්න වගුවකි මූලික කාර්යයන්, උදාහරණ විසඳීමේදී ඔබට භාවිතා කළ හැකි මෙන්ම සංකීර්ණ ශ්රිතවල ව්යුත්පන්න ගණනය කිරීමේ නීති:
දැන් අපි උදාහරණ වෙත යමු.
උදාහරණ 1
L'Hospital හි නීතිය අනුව සීමාව සොයන්න:
උදාහරණ 2
L'Hopital's රීතිය භාවිතයෙන් ගණනය කරන්න:
වැදගත් කරුණක්! ශ්රිතවල දෙවන සහ පසු ව්‍යුත්පන්නවල සීමාව පවතින්නේ නම් x අපේක්ෂා කරයි ඒ , එවිට L'Hopital's රීතිය කිහිප වතාවක් යෙදිය හැක.
අපි සීමාව සොයා ගනිමු ( n – ස්වභාවික අංකය) මෙය සිදු කිරීම සඳහා, L'Hospital හි රීතිය යොදන්න n වරක්:
ගණිතමය විශ්ලේෂණය ප්‍රගුණ කිරීමට අපි ඔබට සුබ පතන්නෙමු. ඔබට L'Hopital රීතිය භාවිතයෙන් සීමාව සොයා ගැනීමට අවශ්ය නම්, L'Hopital රීතියට අනුව සාරාංශයක් ලියන්න, මූලයන් ගණනය කරන්න. අවකල සමීකරණයහෝ ශරීරයක අවස්ථිති ආතතිය ගණනය කිරීමට පවා, කරුණාකර අපගේ කතුවරුන් අමතන්න. විසඳුමේ ඇති සංකීර්ණතා හඳුනා ගැනීමට ඔබට උපකාර කිරීමට ඔවුන් සතුටු වනු ඇත.
උපදෙස්
සීමාවන් සෘජු ගණනය කිරීම, ප්‍රථමයෙන්ම, Q සහ R බහුපද වන තාර්කික Qm(x)/Rn(x) හි සීමාවන් සමඟ සම්බන්ධ වේ. සීමාව ගණනය කරනු ලබන්නේ x → a (a යනු අංකයකි), එවිට අවිනිශ්චිතතාවයක් ඇති විය හැක, උදාහරණයක් ලෙස. එය තුරන් කිරීම සඳහා, අංකනය සහ හරය (x-a) මගින් බෙදන්න. අවිනිශ්චිතතාවය අතුරුදහන් වන තුරු මෙහෙයුම නැවත කරන්න. බහුපද බෙදීම සිදු කරනු ලබන්නේ සංඛ්යා බෙදීම මෙන් ම පාහේ ය. බෙදීම සහ ගුණ කිරීම ප්‍රතිලෝම ක්‍රියා බව මත පදනම් වේ. උදාහරණයක් රූපයේ දැක්වේ. එක.
පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව යෙදීම. පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව සඳහා සූත්රය රූපයේ දැක්වේ. 2a. එය භාවිතා කිරීමට, ඔබේ උදාහරණ ප්රකාශනය සුදුසු පෝරමයට ගෙන එන්න. මෙය සෑම විටම සම්පූර්ණයෙන්ම වීජීය වශයෙන් හෝ විචල්‍ය වෙනස් කිරීමෙන් සිදු කළ හැක. ප්රධාන දෙය - සයින් kx වලින් නම්, හරය ද kx බව අමතක නොකරන්න. උදාහරණයක් රූපයේ දැක්වේ. 2e. ඊට අමතරව, අපි tgx=sinx/cosx, cos0=1 බව සැලකිල්ලට ගතහොත්, එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, එය දිස්වේ (රූපය 2b බලන්න). arcsin(sinx)=x සහ arctg(tgx)=x. එබැවින්, තවත් ප්රතිවිපාක දෙකක් ඇත (රූපය 2c සහ 2d). තරමක් පුළුල් පරාසයක ක්රම ද මතු වී ඇත.
දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාවෙහි යෙදීම (රූපය 3a බලන්න) මෙම වර්ගයේ සීමාවන් වර්ගය ඉවත් කිරීම සඳහා භාවිතා වේ. අදාළ ගැටළු විසඳීම සඳහා, සීමාවේ වර්ගයට අනුරූප ව්යුහයකට කොන්දේසිය පරිවර්තනය කරන්න. දැනටමත් බලයක පවතින ප්‍රකාශනයක් බලයට ඔසවන විට ඒවා ගුණ කරන බව මතක තබා ගන්න. අනුරූප එක රූපයේ දැක්වේ. 2e. α=1/x ආදේශනය යොදන්න සහ දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාවේ ප්‍රතිවිපාකය ලබා ගන්න (රූපය 2b). ලඝුගණකය a පාදයෙන් ගත් පසු, මෙම අනුප්‍රාප්තිකයේ කොටස් දෙකම, ඔබ \u003d e සහ සමඟ දෙවන අනුග්‍රහය වෙත පැමිණෙනු ඇත (රූපය 2c බලන්න). a^x-1=y ආදේශනය කරන්න. එවිට x=log(a)(1+y). x ශුන්යයට නැඹුරු වන පරිදි, y ද ශුන්යයට නැඹුරු වේ. එබැවින්, තුන්වන ප්රතිවිපාකයක් ද පැන නගී (රූපය 2d බලන්න).
සමාන අසංඛ්‍යාත යෙදීම් අනන්ත කුඩා ශ්රිත x → a ට සමාන වන්නේ ඒවායේ α(x)/γ(x) අනුපාතයේ සීමාව එකකට සමාන නම්. එවැනි අපරිමිතයන් භාවිතයෙන් සීමාවන් ගණනය කිරීමේදී, සරලව ලියන්න γ(x)=α(x)+o(α(x)). o(α(x)) යනු α(x) ට වඩා කුඩාත්වයේ ඉහළ අනුපිළිවෙලක අනන්තය. ඒ සඳහා lim(x→a)o(α(x))/α(x)=0. සමානාත්මතාවය සොයා ගැනීමට, එම අපූරු භාවිතා කරන්න සීමාවන්. මෙම ක්රමය ඔබට ක්රියාවලිය සැලකිය යුතු ලෙස සරල කිරීමට ඉඩ සලසයි, එය වඩාත් විනිවිද පෙනෙන බවට පත් කරයි.
මූලාශ්‍ර:
- ෂිපචෙව් වී.එස්. උසස් ගණිතය. Proc. විශ්ව විද්යාල සඳහා. - 3 වන සංස්කරණය, මකා ඇත. - එම්.: ඉහළ. පාසල, 1996. - 496 පි.: අසනීප.
ශ්‍රිතයක් යනු මූලික ගණිතමය සංකල්පවලින් එකකි. ඇය සීමාවතර්කය නැඹුරු වන අගයයි සීමාවඅගය. සමහර උපක්‍රම භාවිතයෙන් එය ගණනය කළ හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, Bernoulli-L'Hopital රීතිය.
උපදෙස්
ගණනය කිරීමට සීමාවතුල ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යය x0, මෙම තර්ක අගය ලිම් ලකුණ යටතේ ශ්රිත ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරන්න. මෙම ප්‍රදේශයට අයත් වීම කිසිසේත් අවශ්ය නොවේ සීමාවකාර්යය. අ සීමාවපිළිබඳ සීමාවතනි ඉලක්කමකට සමාන වේ, එවිට ශ්රිතය අභිසාරී යයි කියනු ලැබේ. ඔහු විය නොහැකි නම් සීමාව en, හෝ යම් ස්ථානයක අනන්තය, පසුව විෂමතාවය.
විසඳුම x = -2:lim (x² - 6 x - 14) / (2 x² + 3 x - 6) = -1/2 යන අගය ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරන්න.
විසඳුම සෑම විටම එතරම් පැහැදිලි හා සරල නොවේ, විශේෂයෙන් ප්රකාශනය ඉතා අපහසු නම්. මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබ මුලින්ම එහි අඩු කිරීම, කණ්ඩායම් කිරීම හෝ විචල්‍ය ආදේශ කිරීම සරල කළ යුතුය: lim_(x→-8) (10 x - 1)/(2 x + ∛x) = [y= ∛x] = lim_(y→- 2) (10 y³ - 1) / (2 y³ + y) \u003d 9/2.
බොහෝ විට කළ නොහැකි තත්වයන් සීමාව eniya සීමාව a, විශේෂයෙන්ම තර්කය අනන්තයට හෝ ශුන්යයට නැඹුරු නම්. ආදේශ කිරීම අපේක්ෂිත ප්රතිඵලය ගෙන එන්නේ නැත සීමාවපෝරමයේ අගයන් හෝ [∞/∞]. එවිට L'Hospital-Bernoulli අදාළ වේ, එයට පළමු ව්යුත්පන්නය සොයා ගැනීම ඇතුළත් වේ. උදාහරණයක් ලෙස, ගණනය කරන්න සීමාවලිම් (x² - 5 x -14) / (2 x² + x - 6) x → -2 සමඟ.
Solution.lim (x² - 5 x -14) / (2 x² + x - 6) =.
ව්යුත්පන්නය සොයන්න: ලිම් (2 x - 5) / (4 x + 1) = 9/7.
lim (sinx/x) = 1 x → 0 ලෙස, ප්‍රතිලෝමය ද සත්‍ය වේ: lim (x/sinx) = 1; x → 0. තර්කය ඕනෑම ඉදිකිරීමක් විය හැකිය, ප්රධාන දෙය නම් එහි අගය ශුන්යයට නැඹුරු වීමයි: lim (x³ - 5 x² + x) / sin(x³ - 5 x² + x) = 1; x → 0.
සම්බන්ධ වීඩියෝ දර්ශන
න්යාය සීමාවන්ගණිතමය විශ්ලේෂණයේ තරමක් පුළුල් ක්ෂේත්‍රයකි. මෙම සංකල්පය ශ්‍රිතයකට අදාළ වන අතර එය මූලද්‍රව්‍ය තුනක ගොඩනැගීමකි: ලිම් නම් කිරීම, සීමාව ලකුණ යටතේ ප්රකාශනය සහ තර්කයේ සීමාව අගය.
උපදෙස්
සීමාව ගණනය කිරීම සඳහා, තර්කයේ සීමාවේ අගයට අනුරූප වන ලක්ෂ්‍යයේ ශ්රිතය සමාන වන්නේ කුමක් දැයි ඔබට අවශ්ය වේ. සමහර අවස්ථා වලදී, එයට අවසාන විසඳුමක් නොමැති අතර, විචල්‍යය නැඹුරු වන අගය ආදේශ කිරීමෙන් “ශුන්‍යයෙන් ශුන්‍ය” හෝ “අනන්තයෙන් අනන්තය” යන ස්වරූපය ලබා දේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, පළමු ව්යුත්පන්නය ගැනීම යන්නෙන් ගම්‍ය වන Bernoulli සහ L'Hopital විසින් ව්යුත්පන්න වූ එය අදාළ වේ.
ඕනෑම ගණිතයක් මෙන්, සීමාවෙහි එහි ලකුණ යටතේ ශ්රිත ප්‍රකාශනයක් අඩංගු විය හැක, එය සරල ආදේශනයකට අපහසු හෝ අපහසු වේ. එවිට සාමාන්ය ක්රම භාවිතා කරමින් එය සරල කිරීම, කණ්ඩායම් කිරීම, පොදු සාධකයක් ඉවත් කිරීම සහ විචල්‍යය වෙනස් කිරීම අවශ්ය වේ, එහිදී තර්කයේ සීමිත අගය ද වෙනස් වේ.
ඔබ වාසනාවන්තයි, තර්කයේ සීමාව අගය අනුව ශ්රිත ප්රකාශනය අර්ථවත් කරයි. එය සරලම නඩුවසීමා ගණනය කිරීම්. දැන් අනන්තය පිළිබඳ අපැහැදිලි සංකල්පය ඇතුළත් පහත ගැටලුව විසඳන්න: lim_(x→∞) (5 - x).
Bernoulli-L'Hopital රීතිය: lim_(x→-2) (x^5 - 4 x³)/(x³ + 2 x²) = (-32 + 32)/(-8 + 8) = . ශ්රිත ප්රකාශනය වෙනස් කරන්න: ලිම් (5 x^4 - 12 x²) / (3 x² + 4 x) = (5 16 - 12 4) / (3 4 - 8) = 8.
විචල්‍ය වෙනස් කිරීම: lim_(x→125) (x + 2 ∛x)/(x + 5) = = lim_(y→5) (y³ + 2 y)/(y³ + 3) = (125 + 10)/ ( 125 + 5) = 27/26.
ග්‍රීක අකුර π (pi, pi) භාවිතා කරනුයේ වෘත්තයක පරිධිය එහි විෂ්කම්භයට අනුපාතය දැක්වීමටය. එය අංකය, මුලින් පුරාණ ජ්‍යාමිතික ලේඛනවල පෙනී සිටි අතර පසුව එය ගණිතයේ බොහෝ අංශවල ඉතා වැදගත් විය. එබැවින්, එය ගණනය කිරීමට හැකි විය යුතුය.
උපදෙස්
π - අතාර්කික අංකය. මෙය පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් සහ හරයක් සහිත භාගයක් ලෙස නිරූපණය කළ නොහැකි බවයි. එපමණක් නොව, π අතික්‍රමණය වේ අංකය, එනම්, එය කිසිවෙකුට සේවය කළ නොහැක වීජීය සමීකරණය. මේ ක්රමයෙන්, නියම අගයπ අංකය ලිවිය නොහැක. කෙසේ වෙතත්, අවශ්ය ඕනෑම නිරවද්‍යතාවයකින් එය ගණනය කිරීමට ක්රම තිබේ.
ග්‍රීසියේ සහ ඊජිප්තුවේ ජ්‍යාමිතික භාවිතා කරන පැරැන්නන් පවසන්නේ π ආසන්න වශයෙන් සමාන වන බවයි. වර්ගමුලය 10න් හෝ 256/81 කොටස. නමුත් මෙම සූත්‍ර 3.16 ට සමාන π අගයක් ලබා දෙන අතර මෙය පැහැදිලිවම ප්රමාණවත් නොවේ.
සංවර්ධනය සමඟ අවකල ගණනයසහ විද්‍යාඥයින් සතු වෙනත් නව ගණිත විෂයයන් මතු විය නව මෙවලමක්- බල මාලාව. Gottfried Wilhelm Leibniz විසින් 1674 දී මෙම මාලාව සොයා ගන්නා ලදී
1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9... + (1/(2n+1)*(-1)^n
π/4 ට සමාන සීමාව තුළ අභිසාරී වේ. මෙම එකතුව ගණනය කිරීම සරල ය, නමුත් ශ්‍රේණිය ඉතා සෙමින් අභිසාරී වන බැවින් ප්රමාණවත් නිරවද්‍යතාවයක් ලබා ගැනීමට එය බොහෝ පියවර ගනී.
පසුව, Leibniz ශ්‍රේණිය භාවිතා කිරීමට වඩා වේගයෙන් π ගණනය කිරීමට හැකි වූ වෙනත් බල ශ්‍රේණි සොයා ගන්නා ලදී. උදාහරණයක් ලෙස, tg(π/6) = 1/√3, එබැවින්, arctg(1/√3) = π/6 බව දන්නා කරුණකි.
ආක්ටෙන්ජන්ට් ශ්රිතය ප්‍රසාරණය වේ බල මාලාව, සහ දී ඇති අගය සඳහා අපට ලැබෙන්නේ:
π = 2√3*(1 - (1/3)*(1/3) + (1/5)*(1/3)^2 - (1/7)*(1/3)^3... + 1/((2n + 1)*(-3)^n)...)
මෙය සහ වෙනත් සමාන සූත්‍ර සමඟ අංකයπ දැනටමත් දශම ස්ථාන මිලියන ගණනක් ඇතුළත ගණනය කර ඇත.
සටහන
Pi ගණනය කිරීමට බොහෝ ක්රම තිබේ. සරලම හා වඩාත්ම තේරුම්ගත හැකි ය සංඛ්යාත්මක ක්රමය Monte Carlo, එහි සාරය චතුරස්රයේ ඇති සරලම ලකුණු ගණනය කිරීම දක්වා අඩු කර ඇත. ද්විත්ව y=අරය* අරය-x*x; ආපසු y; ) වැඩසටහන මඟින් අරය සහ ලක්ෂ්‍ය ගණන අනුව Pi අගය පෙන්වයි. පාඨකයාට ඉතිරිව ඇත්තේ එය තමා විසින්ම සම්පාදනය කර තමාට අවශ්ය පරාමිතිවලින් එය ක්‍රියාත්මක කිරීම පමණි.
නමුත් වෙහෙස නොබලා විද්‍යාඥයන් දිගටම පයි හි දශම ස්ථාන ගණනය කිරීම දිගටම කරගෙන ගිය අතර, එය ඇත්ත වශයෙන්ම ඉතා සුළු නොවන කාර්යයකි, මන්ද ඔබට එය තීරුවකින් ගණනය කළ නොහැකි බැවිනි: සංඛ්‍යාව අතාර්කික පමණක් නොව ලෝකෝත්තර ද වේ (මේවා හුදෙක් විසින් ගණනය නොකළ එවැනි සංඛ්යා සරල සමීකරණ) ටෝකියෝ විශ්ව විද්‍යාලයේ විද්‍යාඥයින් විසින් ලකුණු ට්‍රිලියන 12411 දක්වා පයි සංඛ්‍යාව ගණනය කිරීමේ ලෝක වාර්තාවක් පිහිටුවීමට සමත් වී ඇත.
මූලාශ්‍ර:
- Pi හි ඉතිහාසය
ගණිතමය ක්රමවිද්‍යාවේ බොහෝ ක්ෂේත්‍රවල යෙදී ඇත. මෙම ප්‍රකාශය විශේෂයෙන්ම අවකල්‍ය ගණනය ගැන සැලකිලිමත් වේ. උදාහරණයක් ලෙස, අපි දෙවැන්න ගණනය කරන්නේ නම් ව්යුත්පන්නකාල විචල්‍යයේ සිට දුරේ ක්‍රියාකාරිත්වය, ද්රව්ය ලක්ෂ්‍යයේ ත්වරණය සොයාගත හැකිය.
උපදෙස්
ඉහළ පෙළේ ව්‍යුත්පන්නයන් සඳහා අවකලනය කිරීමේ නීති සහ ක්රම සංරක්ෂණය කර ඇත. මෙය සමහර මූලික ශ්රිත, එකතු කිරීමේ මෙහෙයුම් සහ බෙදීම් සඳහා මෙන්ම u(g(x)) ආකෘතියේ සංකීර්ණ ශ්රිත සඳහාද අදාළ වේ: u' = C' = 0 යනු නියතයක ව්‍යුත්පන්නයයි; u' = x' = 1 යනු එක් තර්කයක සරලම ය; u' = (x^a)' = a x^(a-1); u' = (a^x)' = a^x ln a - ඝාතීය ශ්රිතය;
u(x) සහ g(x): (u + g)’ = u’ + g’ යන ශ්රිත යුගලයක අංක ගණිත මෙහෙයුම්; (u g)' = u' g + g' u; (u/g)' = (u' g - g' u)/g².
තරමක් අමාරු තත්පරයක් ව්යුත්පන්න සංකීර්ණ කාර්යය. මේ සඳහා සංඛ්යාත්මක අවකලනය කිරීමේ ක්රම, ප්රතිඵලය ආසන්න වුවත්, ඊනියා ආසන්න දෝෂයක් ඇත α: u''(x) = (u(x + h) - 2 u(x) + u(x - h) ) / h² + α (h²) - නිව්ටන්ගේ අන්තර් ඡේදනය බහුපද; – 2 h)/(12 h²) + α(h²) – Stilling.
මෙම සූත්‍රවල h නිශ්චිත අගයක් ඇත. එය ආසන්න වශයෙන් හැඳින්වෙන අතර, ගණනය කිරීමේ දෝෂය අවම කිරීම සඳහා තෝරා ගැනීම ප්රශස්ත විය යුතුය. තෝරා ගැනීම නිවැරදි අගය h නියාමනය ලෙස හැඳින්වේ: |u(х + h) – u(х)| > ε, මෙහි ε අනන්තය.
දෙවන ව්යුත්පන්නය ගණනය කිරීමේ ක්රමය දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි සම්පූර්ණ අවකලනය සඳහා භාවිතා වේ. ඒ අතරම, එය එක් එක් තර්කය සඳහා පුද්ගලිකව ගණනය කරනු ලබන අතර අනුරූප අවකල dx, dy, ආදියෙහි සාධකයක් ලෙස අවසාන ප්‍රකාශනයට සහභාගී වේ.: /∂zd²z.
උදාහරණය: දෙවැන්න සොයා ගන්න ව්යුත්පන්නශ්‍රිත u \u003d 2 x sin x - 7 x³ + x ^ 5 / tg x.
විසඳුම u' = 2 sin x + 2 x cos x - 21 x² + 5 x^4/tg x - x² / sin² x; u'' = 4 cos x - 2 x sin x - 42 x + 20 x³ / tg x - 5 x ^ 4 / sin² x - 2 x / sin² x + 2 x² cos x / sin³ x.
හැසිරීම් වල ස්වභාවය අධ්යයනය කිරීමේදී අවකල කලනය ක්රම භාවිතා වේ කාර්යයන්තුල ගණිතමය විශ්ලේෂණය. කෙසේ වෙතත්, මෙය ඔවුන්ගේ යෙදුමේ එකම ක්ෂේත්‍රය නොවේ, එය බොහෝ විට සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ ව්යුත්පන්නගණනය කිරීමට සීමාවන් අගයන්ආර්ථික විද්‍යාවේදී භෞතික විද්‍යාවේ වේගය හෝ ත්වරණය ගණනය කරන්න.
