සබැඳි සමීකරණයේ විශාලතම මූලය. ගණිතයේ ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම

I. ax 2 \u003d 0 – අසම්පූර්ණයි චතුරස්රාකාර සමීකරණය (b=0, c=0 ) විසඳුම: x=0. පිළිතුර: 0.

සමීකරණ විසඳන්න.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

විසඳුමක්.ගුණ කිරීමෙන් වරහන් පුළුල් කරන්න 2xවරහන් තුළ එක් එක් වාර සඳහා:

2x2 +6x=6x-x2 ; නියමයන් දකුණු පැත්තේ සිට වම් පැත්තට ගෙන යාම:

2x2 +6x-6x+x2=0; මෙන්න සමාන නියමයන්:

3x 2 =0, එබැවින් x=0.

පිළිතුර: 0.

II. ax2+bx=0 –අසම්පූර්ණයි චතුරස්රාකාර සමීකරණය (s=0 ) විසඳුම: x (ax+b)=0 → x 1 =0 හෝ ax+b=0 → x 2 =-b/a. පිළිතුර: 0; -b/a.

5x2 -26x=0.

විසඳුමක්.පොදු සාධකය ඉවත් කරන්න xවරහන් සඳහා:

x(5x-26)=0; එක් එක් සාධකය ශුන්‍ය විය හැක:

x=0හෝ 5x-26=0→ 5x=26, සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම බෙදන්න 5 සහ අපට ලැබෙන්නේ: x \u003d 5.2.

පිළිතුර: 0; 5,2.

උදාහරණය 3 64x+4x2=0.

විසඳුමක්.පොදු සාධකය ඉවත් කරන්න 4xවරහන් සඳහා:

4x(16+x)=0. අපට සාධක තුනක් ඇත, 4≠0, එබැවින්, හෝ x=0හෝ 16+x=0. අවසාන සමානාත්මතාවයෙන් අපට x=-16 ලැබේ.

පිළිතුර: -16; 0.

උදාහරණය 4(x-3) 2 +5x=9.

විසඳුමක්.ප්‍රකාශන දෙකක වෙනස වර්ග කිරීම සඳහා සූත්‍රය යොදමින්, වරහන් විවෘත කරන්න:

x 2 -6x+9+5x=9; පෝරමයට පරිවර්තනය කරන්න: x 2 -6x+9+5x-9=0; මෙන්න සමාන නියමයන්:

x2-x=0; ඉවසනවා xවරහන් වලින් පිටත, අපට ලැබෙන්නේ: x (x-1)=0. මෙතැන් සිට හෝ x=0හෝ x-1=0→ x=1.

පිළිතුර: 0; 1.

III. ax2+c=0 –අසම්පූර්ණයි චතුරස්රාකාර සමීකරණය (b=0 ); විසඳුම: ax 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.

අ (-c/a)<0 , එවිට සැබෑ මූලයන් නොමැත. අ (-s/a)>0

උදාහරණ 5 x 2 -49=0.

විසඳුමක්.

x 2 \u003d 49, මෙතැන් සිට x=±7. පිළිතුර:-7; 7.

උදාහරණය 6 9x2-4=0.

විසඳුමක්.

චතුරස්‍ර සමීකරණයක මුල්වල වර්ග එකතුව (x 1 2 + x 2 2) හෝ ඝනක එකතුව (x 1 3 + x 2 3) සොයා ගැනීමට බොහෝ විට අවශ්‍ය වේ, අඩු වාර ගණනක් - එකතුව අන්යෝන්ය අගයන්වර්ග මුල් හෝ අංක ගණිතයේ එකතුව වර්ග මුල්චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන්ගෙන්:

Vieta ගේ ප්‍රමේයය මේ සඳහා උපකාරී වේ:

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

එක්ස්ප්රස් තුලින් පිහා q:

1) සමීකරණයේ මුල්වල වර්ගවල එකතුව x2+px+q=0;

2) සමීකරණයේ මුල්වල ඝනක එකතුව x2+px+q=0.

විසඳුමක්.

1) ප්රකාශනය x 1 2 + x 2 2සමීකරණයේ දෙපැත්තේ වර්ග කිරීමෙන් ලබා ගනී x 1 + x 2 \u003d-p;

(x 1 +x 2) 2 \u003d (-p) 2; වරහන් විවෘත කරන්න: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; අපි අපේක්ෂිත මුදල ප්‍රකාශ කරමු: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. අපට ප්රයෝජනවත් සමීකරණයක් ඇත: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.

2) ප්රකාශනය x 1 3 + x 2 3ආකෘතියේ කැට එකතුවේ සූත්‍රය මගින් නිරූපණය කරන්න:

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p (p 2 -2q-q)=-p (p 2 -3q )

තවත් ප්රයෝජනවත් සමීකරණයක්: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).

උදාහරණ.

3) x 2 -3x-4=0.සමීකරණය විසඳීමෙන් තොරව, ප්රකාශනයේ අගය ගණනය කරන්න x 1 2 + x 2 2.

විසඳුමක්.

x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3,සහ වැඩ x 1 ∙x 2 \u003d q \u003dඋදාහරණයක් ලෙස 1) සමානාත්මතාවය:

x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.අපිට තියනවා -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. ඉන්පසු x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.

පිළිතුර: x 1 2 + x 2 2 =17.

4) x 2 -2x-4=0.ගණනය කරන්න: x 1 3 +x 2 3 .

විසඳුමක්.

වියේටා ප්‍රමේයය අනුව, මෙම චතුරස්‍ර සමීකරණයේ මූලයන්ගේ එකතුව අඩු විය x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2,සහ වැඩ x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-හතර. අපි ලබාගත් දේ අදාළ කර ගනිමු ( උදාහරණයක් ලෙස 2) සමානාත්මතාවය: x 1 3 +x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4))=2 (4+12)=2 16=32.

පිළිතුර: x 1 3 + x 2 3 =32.

ප්‍රශ්නය: අපට අඩු නොකළ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ලබා දෙන්නේ නම් කුමක් කළ යුතුද? පිළිතුර: එය සෑම විටම "අඩු කිරීම" කළ හැක්කේ පළමු සංගුණකය මගින් පදයෙන් පදය බෙදීමෙනි.

5) 2x2 -5x-7=0.විසඳීමකින් තොරව, ගණනය කරන්න: x 1 2 + x 2 2.

විසඳුමක්.අපට සම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් ලබා දී ඇත. සමීකරණයේ දෙපැත්තම 2 න් (පළමු සංගුණකය) බෙදා පහත චතුරස්රාකාර සමීකරණය ලබා ගන්න: x 2 -2.5x-3.5 \u003d 0.

වියේටා ප්‍රමේයය අනුව, මූලයන්ගේ එකතුව වේ 2,5 ; මුල්වල නිෂ්පාදනය වේ -3,5 .

අපි උදාහරණයක් ලෙස එකම ආකාරයෙන් විසඳන්නෙමු 3) සමානාත්මතාවය භාවිතා කිරීම: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

පිළිතුර: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6) x2 -5x-2=0.සොයන්න:

අපි මෙම සමානාත්මතාවය පරිවර්තනය කර, වියේටා ප්‍රමේයය අනුව මූලයන්ගේ එකතුව ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු, -p, සහ හරහා මුල්වල නිෂ්පාදිතය q, අපි තවත් ප්රයෝජනවත් සූත්රයක් ලබා ගනිමු. සූත්‍රය ව්‍යුත්පන්න කිරීමේදී, අපි සමානාත්මතාවය 1 භාවිතා කළෙමු: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.

අපගේ උදාහරණයේ x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-2. මෙම අගයන් ලැබෙන සූත්‍රයට ආදේශ කරන්න:

7) x 2 -13x+36=0.සොයන්න:

අපි මෙම එකතුව පරිවර්තනය කර චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන්ගෙන් අංක ගණිත වර්ග මූල එකතුව සොයා ගැනීමට හැකි සූත්‍රයක් ලබා ගනිමු.

අපිට තියනවා x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d 36. මෙම අගයන් ව්‍යුත්පන්න සූත්‍රයට ආදේශ කරන්න:

උපදෙස් : සෑම විටම චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් සොයා ගැනීමේ හැකියාව පරීක්ෂා කරන්න සුදුසු මාර්ගය, සියල්ලට පසු 4 සමාලෝචනය කළා ප්රයෝජනවත් සූත්ර පළමුවෙන්ම, වෙනස්කම් කරන්නා "අහිතකර" අංකයක් වන අවස්ථාවන්හිදී, කාර්යය ඉක්මනින් සම්පූර්ණ කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි. සියලුම සරල අවස්ථාමූලයන් සොයාගෙන ඒවා මත ක්රියා කරන්න. උදාහරණයක් ලෙස, අවසාන උදාහරණයේදී, අපි Vieta ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින් මූලයන් තෝරා ගනිමු: මූලයන්ගේ එකතුව සමාන විය යුතුය 13 , සහ මුල්වල නිෂ්පාදිතය 36 . මෙම සංඛ්යා මොනවාද? ඇත්ත වශයෙන්, 4 සහ 9.දැන් මෙම සංඛ්‍යාවල වර්ගමූල එකතුව ගණනය කරන්න: 2+3=5. ඒක තමයි!

I. වියේටා ප්‍රමේයයඅඩු කරන ලද චතුරස්රාකාර සමීකරණය සඳහා.

අඩු කරන ලද චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන්ගේ එකතුව x 2 +px+q=0ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ සමඟ ගත් දෙවන සංගුණකයට සමාන වන අතර මුල්වල ගුණිතය නිදහස් පදයට සමාන වේ:

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් ලබා දී ඇති චතුරස්‍ර සමීකරණයේ මූලයන් සොයන්න.

උදාහරණය 1) x 2 -x-30=0.මෙය අඩු කරන ලද චතුරස්රාකාර සමීකරණයයි ( x 2 +px+q=0), දෙවන සංගුණකය p=-1, සහ නිදහස් පදය q=-30.පළමුව, ලබා දී ඇති සමීකරණයට මූලයන් ඇති බවත්, මූලයන් (ඇත්නම්) පූර්ණ සංඛ්‍යා ලෙස ප්‍රකාශ කරන බවත් සහතික කර ගන්න. මේ සඳහා වෙනස් කොට සැලකීම පූර්ණ සංඛ්‍යාවක සම්පූර්ණ චතුරස්‍රය වීම ප්‍රමාණවත් වේ.

වෙනස්කම් කරන්නා සොයා ගැනීම ඩී=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

දැන්, වියාටා ප්‍රමේයය අනුව, මූලයන්ගේ එකතුව ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ සමඟ ගත් දෙවන සංගුණකයට සමාන විය යුතුය, i.e. ( -p), සහ නිෂ්පාදිතය නිදහස් පදයට සමාන වේ, i.e. ( q) ඉන්පසු:

x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30.අපි ඔවුන්ගේ නිෂ්පාදනය සමාන වන පරිදි එවැනි සංඛ්යා දෙකක් තෝරාගත යුතුය -30 , සහ එකතුව වේ ඒකකය. මේ තමයි ඉලක්කම් -5 හා 6 . පිළිතුර: -5; 6.

උදාහරණය 2) x 2 +6x+8=0.දෙවන සංගුණකය සමඟ අඩු කළ චතුරස්රාකාර සමීකරණය අප සතුව ඇත p=6සහ නිදහස් සාමාජික q=8. නිඛිල මූලයන් ඇති බවට වග බලා ගන්න. වෙනස්කම් කරන්නා සොයා ගනිමු D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . වෙනස් කොට සැලකීමේ D 1 යනු අංකයේ පරිපූර්ණ වර්ග වේ 1 , එබැවින් මෙම සමීකරණයේ මූලයන් නිඛිල වේ. අපි Vieta ප්රමේයය අනුව මූලයන් තෝරා ගනිමු: මූලයන්ගේ එකතුව සමාන වේ –p=-6, සහ මුල්වල නිෂ්පාදිතය වේ q=8. මේ තමයි ඉලක්කම් -4 හා -2 .

ඇත්ත වශයෙන්ම: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. පිළිතුර: -4; -2.

උදාහරණ 3) x 2 +2x-4=0. මෙම අඩු කරන ලද චතුරස්රාකාර සමීකරණයේදී, දෙවන සංගුණකය p=2, සහ නිදහස් පදය q=-4. වෙනස්කම් කරන්නා සොයා ගනිමු D1, දෙවන සංගුණකය ඉරට්ටේ අංකයක් වන බැවින්. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. වෙනස්කම් කරන්නා යනු සංඛ්‍යාවක පරිපූර්ණ චතුරස්‍රයක් නොවේ, එබැවින් අපි එසේ කරමු නිගමනය: මෙම සමීකරණයේ මූලයන් පූර්ණ සංඛ්‍යා නොවන අතර වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් සොයාගත නොහැක.එබැවින්, අපි මෙම සමීකරණය සාමාන්‍ය පරිදි, සූත්‍රවලට අනුව විසඳමු (in මෙම නඩුවසූත්ර). අපට ලැබෙන්නේ:

උදාහරණ 4).එහි මූලයන් භාවිතා කර චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් ලියන්න x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.

විසඳුමක්.අපේක්ෂිත සමීකරණය පෝරමයේ ලියා ඇත: x 2 +px+q=0, එපමනක් නොව, Vieta ප්රමේයය මත පදනම්ව –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . එවිට සමීකරණය පෝරමය ගනී: x2 +3x-28=0.

උදාහරණ 5).නම්, එහි මූලයන් භාවිතා කරමින් චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ලියන්න:

II. වියේටා ප්‍රමේයයසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණය සඳහා ax2+bx+c=0.

මූලයන්ගේ එකතුව අඩු වේ බීවිසින් බෙදනු ලැබේ ඒ, මුල්වල නිෂ්පාදිතය වේ සමඟවිසින් බෙදනු ලැබේ ඒ:

x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.

උදාහරණ 6).චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන්ගේ එකතුව සොයන්න 2x2 -7x-11=0.

විසඳුමක්.

මෙම සමීකරණයට මූලයන් ඇති බව අපට විශ්වාසයි. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, වෙනස්කම් කරන්නා සඳහා ප්‍රකාශනයක් ලිවීම ප්‍රමාණවත් වන අතර, එය ගණනය නොකර, වෙනස් කොට සැලකීම ශුන්‍යයට වඩා වැඩි බව සහතික කර ගන්න. ඩී=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . දැන් අපි භාවිතා කරමු ප්රමේයය වියටාසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණ සඳහා.

x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

උදාහරණ 7). චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන්ගේ ගුණිතය සොයන්න 3x2 +8x-21=0.

විසඳුමක්.

වෙනස්කම් කරන්නා සොයා ගනිමු D1, දෙවන සංගුණකය සිට ( 8 ) යනු ඉරට්ටේ අංකයකි. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . චතුරස්රාකාර සමීකරණය ඇත 2 මූල, වියේටා ප්‍රමේයය අනුව, මුල්වල නිෂ්පාදිතය x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.

I. ax 2 +bx+c=0යනු සාමාන්‍ය චතුරස්‍ර සමීකරණයකි

වෙනස් කොට සලකනවා D=b 2 - 4ac.

අ D>0, එවිට අපට සැබෑ මූලයන් දෙකක් තිබේ:

අ D=0, එවිට අපට තනි මූලයක් ඇත (හෝ සමාන මූලයන් දෙකක්) x=-b/(2a).

ඩී නම්<0, то действительных корней нет.

උදාහරණයක් 1) 2x2 +5x-3=0.

විසඳුමක්. ඒ=2; බී=5; c=-3.

D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; සැබෑ මූලයන් 2 ක්.

4x2 +21x+5=0.

විසඳුමක්. ඒ=4; බී=21; c=5.

D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; සැබෑ මූලයන් 2 ක්.

II. ax2+bx+c=0 – විශේෂ චතුරස්රාකාර සමීකරණය තත්පරයකට පවා

සංගුණකය බී

උදාහරණයක් 3) 3x2 -10x+3=0.

විසඳුමක්. ඒ=3; බී\u003d -10 (ඉරට්ටේ අංකය); c=3.

උදාහරණ 4) 5x2-14x-3=0.

විසඳුමක්. ඒ=5; බී= -14 (ඉරට්ටේ අංකය); c=-3.

උදාහරණ 5) 71x2 +144x+4=0.

විසඳුමක්. ඒ=71; බී=144 (ඉරට්ටේ අංකය); c=4.

උදාහරණ 6) 9x 2 -30x+25=0.

විසඳුමක්. ඒ=9; බී\u003d -30 (ඉරට්ටේ අංකය); c=25.

III. ax2+bx+c=0 – චතුරස්රාකාර සමීකරණය පුද්ගලික වර්ගය, සපයා ඇත: a-b+c=0.

පළමු මූලය සෑම විටම සෘණ එකක් වන අතර දෙවන මූලය සෘණ වේ සමඟවිසින් බෙදනු ලැබේ ඒ:

x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.

උදාහරණ 7) 2x2+9x+7=0.

විසඳුමක්. ඒ=2; බී=9; c=7. අපි සමානාත්මතාවය පරීක්ෂා කරමු: a-b+c=0.අපට ලැබෙන්නේ: 2-9+7=0 .

ඉන්පසු x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a \u003d -7 / 2 \u003d -3.5.පිළිතුර: -1; -3,5.

IV. ax2+bx+c=0 – කොන්දේසිය යටතේ යම් ආකාරයක චතුරස්රාකාර සමීකරණය : a+b+c=0.

පළමු මූල සෑම විටම එකකට සමාන වන අතර දෙවන මූලය සමාන වේ සමඟවිසින් බෙදනු ලැබේ ඒ:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.

උදාහරණ 8) 2x2 -9x+7=0.

විසඳුමක්. ඒ=2; බී=-9; c=7. අපි සමානාත්මතාවය පරීක්ෂා කරමු: a+b+c=0.අපට ලැබෙන්නේ: 2-9+7=0 .

ඉන්පසු x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 \u003d 3.5.පිළිතුර: 1; 3,5.

11 න් 1 පිටුව

ගණිතය විසඳීමට. ඉක්මනින් සොයා ගන්න ගණිත සමීකරණ විසඳුමමාදිලියේ සමඟ අමුත්තන්. වෙබ් අඩවිය www.site ඉඩ දෙයි සමීකරණය විසඳන්නඕනෑම දෙයක් පාහේ වීජීය, ත්රිකෝණමිතිකහෝ මාර්ගගත සමීකරණය. මත ගණිතයේ ඕනෑම අංශයක් පාහේ අධ්යයනය කරන විට විවිධ අදියරයන්න තීරණය කළ යුතුය සබැඳි සමීකරණ. වහාම පිළිතුරක් ලබා ගැනීමට සහ වඩාත්ම වැදගත් නිවැරදි පිළිතුරක් සඳහා, ඔබට මෙය කිරීමට ඉඩ සලසන සම්පතක් අවශ්ය වේ. www.site එකට ස්තුතියි මාර්ගගතව සමීකරණ විසඳන්නමිනිත්තු කිහිපයක් ගතවනු ඇත. ගණිතය විසඳන විට www.site හි ප්රධාන වාසිය සබැඳි සමීකරණ- නිකුත් කරන ලද ප්රතිචාරයේ වේගය සහ නිරවද්යතාව වේ. ඕනෑම දෙයක් විසඳීමට වෙබ් අඩවියට හැකි වේ වීජීය සමීකරණ මාර්ගගතව, ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ මාර්ගගතව, මාර්ගගත සමීකරණ, මෙන්ම සමීකරණමාදිලියේ නොදන්නා පරාමිතීන් සමඟ සමඟ අමුත්තන්. සමීකරණබලවත් ගණිත උපකරණයක් ලෙස සේවය කරයි විසඳුම්ප්රායෝගික කාර්යයන්. උදව් ඇතිව ගණිතමය සමීකරණබැලූ බැල්මට ව්‍යාකූල හා සංකීර්ණ ලෙස පෙනෙන කරුණු සහ සම්බන්ධතා ප්‍රකාශ කළ හැකිය. නොදන්නා ප්රමාණ සමීකරණහි ගැටලුව සකස් කිරීමෙන් සොයාගත හැකිය ගණිතමයස්වරූපයෙන් භාෂාව සමීකරණහා තීරණය කරන්නමාදිලියේ ලැබුණු කාර්යය සමඟ අමුත්තන් www.site වෙබ් අඩවියේ. කිසියම් වීජීය සමීකරණය, ත්රිකෝණමිතික සමීකරණයහෝ සමීකරණඅඩංගු ලෝකෝත්තරඔබට පහසුවෙන් විශේෂාංග තීරණය කරන්නසබැඳිව සහ නිවැරදි පිළිතුර ලබා ගන්න. ස්වභාවික විද්‍යාවන් හැදෑරීමේදී අනිවාර්යයෙන් අවශ්‍යතාවයට මුහුණ දීමට සිදුවේ සමීකරණ විසඳීම. මෙම අවස්ථාවේදී, පිළිතුර නිවැරදි විය යුතු අතර එය ප්රකාරයේදී වහාම ලැබිය යුතුය සමඟ අමුත්තන්. එබැවින්, සඳහා අන්තර්ජාලයේ ගණිත සමීකරණ විසඳන්නඅපි www.site වෙබ් අඩවිය නිර්දේශ කරමු, එය ඔබගේ අත්‍යවශ්‍ය කැල්කියුලේටරය බවට පත්වේ වීජීය සමීකරණ මාර්ගගතව විසඳන්න, ත්රිකෝණමිතික සමීකරණසමඟ අමුත්තන්, මෙන්ම මාර්ගගත සමීකරණහෝ සමීකරණනොදන්නා පරාමිතීන් සමඟ. විවිධ මූලයන් සෙවීමේ ප්‍රායෝගික ගැටළු සඳහා ගණිතමය සමීකරණසම්පත් www.. විසදීම සබැඳි සමීකරණඔබම, භාවිතා කර ලැබුණු පිළිතුර පරීක්ෂා කිරීම ප්රයෝජනවත් වේ සමීකරණ සඳහා මාර්ගගත විසඳුම www.site වෙබ් අඩවියේ. සමීකරණය නිවැරදිව ලිවීමට හා ක්ෂණිකව ලබා ගැනීමට අවශ්ය වේ මාර්ගගත විසඳුම, ඉන්පසු එය ඉතිරිව ඇත්තේ සමීකරණයට ඔබේ විසඳුම සමඟ පිළිතුර සංසන්දනය කිරීම පමණි. පිළිතුර පරීක්ෂා කිරීමට විනාඩියකට වඩා ගත නොවනු ඇත, ප්රමාණවත්ය සමීකරණය මාර්ගගතව විසඳන්නසහ පිළිතුරු සසඳන්න. මෙය ඔබට වැරදි වළක්වා ගැනීමට උපකාරී වනු ඇත තීරණයසහ නියමිත වේලාවට පිළිතුර නිවැරදි කරන්න මාර්ගගතව සමීකරණ විසඳීමයන්න වීජීය, ත්රිකෝණමිතික, ඉක්මවා ගියහෝ සමීකරණයනොදන්නා පරාමිතීන් සමඟ.

මෙම වීඩියෝවෙන් අපි සම්පූර්ණ කට්ටලය දෙස බලමු. රේඛීය සමීකරණ, එකම ඇල්ගොරිතම මගින් විසඳනු ලබන - ඒවා සරලම ලෙස හඳුන්වන්නේ එබැවිනි.

ආරම්භ කිරීම සඳහා, අපි නිර්වචනය කරමු: රේඛීය සමීකරණයක් යනු කුමක්ද සහ ඒවායින් සරලම ලෙස හැඳින්විය යුත්තේ කුමක්ද?

රේඛීය සමීකරණයක් යනු එක් විචල්‍යයක් පමණක් පවතින අතර පළමු උපාධියේ පමණි.

සරලම සමීකරණයෙන් අදහස් වන්නේ ඉදිකිරීම්:

අනෙකුත් සියලුම රේඛීය සමීකරණ ඇල්ගොරිතම භාවිතයෙන් සරලම ඒවාට අඩු කරනු ලැබේ:

1. වරහන් තිබේ නම්, විවෘත කරන්න;
2. සමාන ලකුණේ එක් පැත්තකට විචල්‍යයක් අඩංගු නියමයන් සහ විචල්‍යයක් නොමැති නියමයන් අනෙක් පැත්තට ගෙන යන්න;
3. සමාන ලකුණේ වම් සහ දකුණට සමාන පද ගෙන එන්න;
4. ලැබෙන සමීකරණය $x$ විචල්‍යයේ සංගුණකයෙන් බෙදන්න.

ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම ඇල්ගොරිතම සෑම විටම උදව් නොවේ. කාරණය නම්, සමහර විට, මෙම සියලු උපක්‍රමවලින් පසුව, $x$ විචල්‍යයේ සංගුණකය බිංදුවට සමාන වේ. මෙම අවස්ථාවේදී, විකල්ප දෙකක් හැකි ය:

1. සමීකරණයට කිසිසේත්ම විසඳුම් නොමැත. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට $0\cdot x=8$ වැනි දෙයක් ලැබෙන විට, i.e. වම් පසින් ශුන්‍ය වන අතර දකුණු පසින් ශුන්‍ය නොවන සංඛ්‍යාවක් ඇත. පහත වීඩියෝවෙන්, මෙම තත්වය ඇතිවීමට හේතු කිහිපයක් අපි බලමු.
2. විසඳුම සියලු සංඛ්යා වේ. මෙය කළ හැකි එකම අවස්ථාව වන්නේ සමීකරණය $0\cdot x=0$ දක්වා අඩු කර තිබීමයි. අපි කුමන $x$ ආදේශ කළත්, එය තවමත් "ශුන්‍යය බිංදුවට සමානයි", i.e. නිවැරදි සංඛ්‍යාත්මක සමානාත්මතාවය.

දැන් අපි බලමු සැබෑ ගැටළු වල උදාහරණය මත ඒ සියල්ල ක්‍රියාත්මක වන ආකාරය.

සමීකරණ විසඳීමේ උදාහරණ

අද අපි රේඛීය සමීකරණ සමඟ කටයුතු කරන අතර සරලම ඒවා පමණි. සාමාන්‍යයෙන්, රේඛීය සමීකරණයක් යනු හරියටම එක් විචල්‍යයක් අඩංගු ඕනෑම සමානාත්මතාවයක් වන අතර එය පළමු උපාධියට පමණක් යයි.

එවැනි ඉදිකිරීම් ආසන්න වශයෙන් එකම ආකාරයකින් විසඳනු ලැබේ:

1. පළමුවෙන්ම, ඔබ වරහන් විවෘත කළ යුතුය, තිබේ නම් (අපගේ අවසාන උදාහරණයේ මෙන්);
2. ඊට පස්සේ ඒ හා සමානව ගෙනෙන්න
3. අවසාන වශයෙන්, විචල්යය හුදකලා කරන්න, i.e. විචල්‍යය සමඟ සම්බන්ධ වී ඇති සියල්ල - එය අඩංගු නියමයන් - එක් පැත්තකට මාරු කරනු ලැබේ, එය නොමැතිව ඉතිරිව ඇති සියල්ල අනෙක් පැත්තට මාරු කරනු ලැබේ.

එවිට, රීතියක් ලෙස, ඔබට ලැබෙන සමානාත්මතාවයේ සෑම පැත්තකින්ම සමානව ගෙන ඒමට අවශ්ය වන අතර, ඉන් පසුව එය "x" හි සංගුණකය මගින් බෙදීමට පමණක් ඉතිරිව ඇති අතර, අවසාන පිළිතුර අපට ලැබෙනු ඇත.

න්‍යායාත්මකව, මෙය ලස්සන හා සරල බව පෙනේ, නමුත් ප්‍රායෝගිකව, පළපුරුදු උසස් පාසල් සිසුන්ට පවා තරමක් සරල රේඛීය සමීකරණවලදී අහිතකර වැරදි සිදු කළ හැකිය. සාමාන්‍යයෙන්, වරහන් විවෘත කිරීමේදී හෝ "ප්ලස්" සහ "අඩුපාඩු" ගණන් කිරීමේදී වැරදි සිදු වේ.

ඊට අමතරව, රේඛීය සමීකරණයකට කිසිසේත්ම විසඳුම් නොමැති වීම හෝ විසඳුම සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා රේඛාව වේ, i.e. ඕනෑම අංකයක්. අද පාඩමේදී අපි මෙම සියුම් කරුණු විශ්ලේෂණය කරමු. නමුත් ඔබ දැනටමත් තේරුම් ගෙන ඇති පරිදි, අපි බොහෝ දේ සමඟ ආරම්භ කරන්නෙමු සරල කාර්යයන්.

සරල රේඛීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා යෝජනා ක්රමය

ආරම්භ කිරීම සඳහා, සරලම රේඛීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා සම්පූර්ණ යෝජනා ක්රමය නැවත වරක් ලිවීමට මට ඉඩ දෙන්න:

1. වරහන් තිබේ නම් ඒවා පුළුල් කරන්න.
2. හුදකලා විචල්‍ය, i.e. "x" අඩංගු සෑම දෙයක්ම එක් පැත්තකට සහ "x" නොමැතිව - අනෙක් පැත්තට මාරු කරනු ලැබේ.
3. අපි සමාන කොන්දේසි ඉදිරිපත් කරමු.
4. අපි සෑම දෙයක්ම "x" හි සංගුණකය මගින් බෙදන්නෙමු.

ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම යෝජනා ක්රමය සෑම විටම ක්රියා නොකරයි, එය යම් සියුම් හා උපක්රම ඇත, දැන් අපි ඔවුන්ව දැන හඳුනා ගන්නෙමු.

සරල රේඛීය සමීකරණවල සැබෑ උදාහරණ විසඳීම

කාර්යය #1

පළමු පියවරේදී, අපි වරහන් විවෘත කිරීමට අවශ්ය වේ. නමුත් ඒවා මෙම උදාහරණයේ නොමැත, එබැවින් අපි මෙම පියවර මඟ හරින්නෙමු. දෙවන පියවරේදී, අපි විචල්යයන් හුදකලා කළ යුතුය. කරුණාකර සටහන් කරන්න: අපි කතා කරන්නේ තනි නියමයන් ගැන පමණි. අපි මෙසේ ලියමු.

අපි වම් සහ දකුණු පසින් සමාන කොන්දේසි ලබා දෙමු, නමුත් මෙය දැනටමත් මෙහි සිදු කර ඇත. එබැවින්, අපි සිව්වන පියවර වෙත යන්නෙමු: සාධකයකින් බෙදන්න:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

මෙන්න අපි පිළිතුර ලබා ගත්තා.

කාර්යය # 2

මෙම කාර්යයේදී, අපට වරහන් නිරීක්ෂණය කළ හැකිය, එබැවින් අපි ඒවා පුළුල් කරමු:

වම් සහ දකුණු යන දෙපසම, අපි ආසන්න වශයෙන් එකම ඉදිකිරීමක් දකින නමුත්, ඇල්ගොරිතමයට අනුව ක්රියා කරමු, i.e. sequester variables:

මෙන්න එවැනි සමහරක්:

මෙය ක්‍රියාත්මක වන්නේ කුමන මූලයන් මතද? පිළිතුර: ඕනෑම දෙයක් සඳහා. එම නිසා $x$ යනු ඕනෑම අංකයක් බව ලිවිය හැක.

කාර්යය #3

තුන්වන රේඛීය සමීකරණය දැනටමත් වඩාත් සිත්ගන්නා සුළුය:

\[\වම(6-x \දකුණ)+\වම(12+x \දකුණ)-\වම(3-2x \දකුණ)=15\]

මෙහි වරහන් කිහිපයක් ඇත, නමුත් ඒවා කිසිවක් ගුණ කර නැත, ඒවා ඔවුන් ඉදිරිපිට සිටගෙන සිටියි විවිධ සංඥා. අපි ඒවා බිඳ දමමු:

අප දැනටමත් දන්නා දෙවන පියවර අපි සිදු කරමු:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

අපි ගණනය කරමු:

අපි ඉටු කරනවා අවසාන පියවර- "x" හි සංගුණකය මගින් සියල්ල බෙදන්න:

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

රේඛීය සමීකරණ විසඳීමේදී මතක තබා ගත යුතු දේ

අපි ඉතා සරල කාර්යයන් නොසලකා හරින්නේ නම්, මම පහත සඳහන් දේ පැවසීමට කැමැත්තෙමි:

• මා ඉහත කී පරිදි, සෑම රේඛීය සමීකරණයකටම විසඳුමක් නොමැත - සමහර විට මූලයන් නොමැත;
• මූලයන් තිබුණත්, ඒවා අතරට බිංදුවට ඇතුල් විය හැකිය - එහි වරදක් නැත.

බිංදුව යනු ඉතිරි සංඛ්‍යාවට සමාන අංකයකි, ඔබ එය කෙසේ හෝ වෙනස් කොට සැලකීම හෝ ඔබට බිංදුව ලැබුණහොත් ඔබ යම් වැරැද්දක් කළ බව උපකල්පනය නොකළ යුතුය.

තවත් විශේෂාංගයක් වරහන් පුළුල් කිරීම හා සම්බන්ධ වේ. කරුණාකර සටහන් කරන්න: ඔවුන් ඉදිරිපිට “අඩුපාඩු” ඇති විට, අපි එය ඉවත් කරමු, නමුත් වරහන් තුළ අපි සලකුණු වෙනස් කරමු ප්රතිවිරුද්ධ. ඉන්පසුව සම්මත ඇල්ගොරිතම අනුව එය විවෘත කළ හැකිය: ඉහත ගණනය කිරීම්වලදී අප දුටු දේ අපට ලැබෙනු ඇත.

මෙම සරල සත්‍යය අවබෝධ කර ගැනීම උසස් පාසලේදී එවැනි ක්‍රියාවන් සුළු කොට සලකන විට මෝඩ හා රිදවන වැරදි කිරීමෙන් වැළකී සිටීමට උපකාරී වේ.

සංකීර්ණ රේඛීය සමීකරණ විසඳීම

අපි තවත් ඉදිරියට යමු සංකීර්ණ සමීකරණ. දැන් ඉදිකිරීම් වඩාත් සංකීර්ණ වන අතර විවිධ පරිවර්තනයන් සිදු කරන විට චතුරස්රාකාර ශ්රිතයක් දිස්වනු ඇත. කෙසේ වෙතත්, ඔබ මේ ගැන බිය නොවිය යුතුය, මන්ද, කතුවරයාගේ අභිප්රාය අනුව, අපි රේඛීය සමීකරණයක් විසඳන්නේ නම්, පරිවර්තන ක්රියාවලියේදී චතුරස්රාකාර ශ්රිතයක් අඩංගු සියලුම ඒකීය අගයන් අවශ්යයෙන්ම අඩු වනු ඇත.

උදාහරණ #1

නිසැකවම, පළමු පියවර වන්නේ වරහන් විවෘත කිරීමයි. අපි මෙය ඉතා ප්රවේශමෙන් කරමු:

දැන් අපි පෞද්ගලිකත්වය ගනිමු:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

මෙන්න එවැනි සමහරක්:

නිසැකවම, මෙම සමීකරණයට විසඳුම් නොමැත, එබැවින් පිළිතුරේ අපි පහත පරිදි ලියන්නෙමු:

\[\විවිධ \]

නැතහොත් මුල් නැත.

උදාහරණ #2

අපි එකම පියවරයන් සිදු කරන්නෙමු. පළමු පියවර:

අපි සෑම දෙයක්ම විචල්‍යයක් සමඟ වමට ගෙන යමු, සහ එය නොමැතිව - දකුණට:

මෙන්න එවැනි සමහරක්:

නිසැකවම, මෙම රේඛීය සමීකරණයට විසඳුමක් නොමැත, එබැවින් අපි එය මෙසේ ලියන්නෙමු:

\[\varno\],

නැතහොත් මුල් නැත.

විසඳුමේ සූක්ෂ්මතා

සමීකරණ දෙකම සම්පූර්ණයෙන්ම විසඳා ඇත. මෙම ප්‍රකාශන දෙකේ උදාහරණය මත, සරලම රේඛීය සමීකරණවල පවා සෑම දෙයක්ම එතරම් සරල නොවිය හැකි බවට අපි නැවත වරක් වග බලා ගත්තෙමු: එකක් හෝ කිසිවක් හෝ අනන්තවත් තිබිය හැකිය. අපගේ නඩුවේදී, අපි සමීකරණ දෙකක් සලකා බැලුවෙමු, දෙකෙහිම මූලයන් නොමැත.

නමුත් මම තවත් කරුණක් වෙත ඔබේ අවධානය යොමු කිරීමට කැමැත්තෙමි: වරහන් සමඟ වැඩ කරන්නේ කෙසේද සහ ඒවා ඉදිරිපිට අවාසි ලකුණක් තිබේ නම් ඒවා පුළුල් කරන්නේ කෙසේද. මෙම ප්රකාශනය සලකා බලන්න:

විවෘත කිරීමට පෙර, ඔබ සියල්ල "x" මගින් ගුණ කළ යුතුය. කරුණාකර සටහන් කරන්න: ගුණ කරන්න එක් එක් තනි වාරය. ඇතුළත පද දෙකක් ඇත - පිළිවෙලින් පද දෙකක් සහ ගුණ කරනු ලැබේ.

මෙම ප්‍රාථමික, නමුත් ඉතා වැදගත් හා භයානක පරිවර්තනයන් සම්පූර්ණ කිරීමෙන් පසුව පමණක්, වරහන විවෘත කළ හැක්කේ ඊට පසු අවාසි ලකුණක් ඇති බව ය. ඔව්, ඔව්: දැන් පමණක්, පරිවර්තනයන් සිදු කරන විට, වරහන් ඉදිරිපිට us ණ ලකුණක් ඇති බව අපට මතකයි, එයින් අදහස් කරන්නේ පහත ඇති සියල්ල සලකුණු වෙනස් කරන බවයි. ඒ අතරම, වරහන් අතුරුදහන් වන අතර, වඩාත්ම වැදගත් ලෙස, ඉදිරිපස "අඩු" ද අතුරුදහන් වේ.

දෙවන සමීකරණය සමඟ අපි එයම කරන්නෙමු:

මෙම කුඩා, නොවැදගත් ලෙස පෙනෙන කරුණු කෙරෙහි මා අවධානය යොමු කිරීම අහම්බයක් නොවේ. මක්නිසාද යත් සමීකරණවල විසඳුම සෑම විටම ප්‍රාථමික පරිවර්තන අනුපිළිවෙලක් වන අතර එහිදී පැහැදිලිව හා දක්ෂ ලෙස ක්‍රියා කිරීමට ඇති නොහැකියාව සරල පියවරඋසස් පාසැල් සිසුන් මා වෙත පැමිණ නැවත එවැනි සරල සමීකරණ විසඳීමට ඉගෙන ගැනීමට හේතු වේ.

ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබ මෙම කුසලතා ස්වයංක්‍රීයකරණයට ඔප් නංවන දිනය පැමිණේ. ඔබට තවදුරටත් සෑම අවස්ථාවකම බොහෝ පරිවර්තනයන් සිදු කිරීමට අවශ්‍ය නැත, ඔබ සියල්ල එක පේළියකින් ලියනු ඇත. නමුත් ඔබ ඉගෙන ගන්නා අතරතුර, ඔබ එක් එක් ක්රියාව වෙන වෙනම ලිවිය යුතුය.

ඊටත් වඩා සංකීර්ණ රේඛීය සමීකරණ විසඳීම

අප දැන් විසඳීමට යන දෙය සරලම කාර්යය ලෙස හැඳින්විය නොහැකි නමුත් අර්ථය එලෙසම පවතී.

කාර්යය #1

\[\වම(7x+1 \දකුණ)\වම(3x-1 \දකුණ)-21((x)^(2))=3\]

පළමු කොටසේ සියලුම අංග ගුණ කරමු:

අපි පසුබැසීමක් කරමු:

මෙන්න එවැනි සමහරක්:

අපි අවසාන පියවර කරමු:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

මෙන්න අපේ අවසාන පිළිතුර. තවද, විසඳීමේ ක්‍රියාවලියේදී අපට චතුරස්රාකාර ශ්‍රිතයක් සහිත සංගුණක තිබුණද, ඒවා අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් අවලංගු වූ අතර එමඟින් සමීකරණය හරියටම රේඛීය මිස හතරැස් නොවේ.

කාර්යය # 2

\[\වම(1-4x \දකුණ)\වම(1-3x \දකුණ)=6x\වම(2x-1 \දකුණ)\]

අපි පළමු පියවර ප්‍රවේශමෙන් කරමු: පළමු වරහනේ ඇති සෑම මූලද්‍රව්‍යයක්ම දෙවැන්නේ සෑම මූලද්‍රව්‍යයකින්ම ගුණ කරන්න. සමස්තයක් වශයෙන්, පරිවර්තනයෙන් පසු නව පද හතරක් ලබා ගත යුතුය:

දැන් සෑම පදයකම ගුණ කිරීම ප්‍රවේශමෙන් සිදු කරන්න:

අපි "x" සමඟ නියමයන් වමට, සහ නැතිව - දකුණට ගෙන යමු:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

මෙන්න සමාන නියමයන්:

අපට නිශ්චිත පිළිතුරක් ලැබී ඇත.

විසඳුමේ සූක්ෂ්මතා

මෙම සමීකරණ දෙක පිළිබඳ වැදගත්ම ප්‍රකාශය පහත දැක්වේ: අපි එයට වඩා විශාල පදයක් ඇති වරහන් ගුණ කිරීමට පටන් ගත් වහාම මෙය සිදු කරනු ලැබේ. ඊළඟ රීතිය: අපි පළමු පදයෙන් පළමු පදය ගෙන දෙවන සිට එක් එක් මූලද්රව්යය සමඟ ගුණ කරමු; ඉන්පසු අපි පළමු මූලද්‍රව්‍යයෙන් දෙවන මූලද්‍රව්‍යය ගෙන ඒ හා සමානව දෙවැන්නෙන් එක් එක් මූලද්‍රව්‍ය සමඟ ගුණ කරමු. ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි පද හතරක් ලබා ගනිමු.

වීජීය එකතුව මත

අවසාන උදාහරණය සමඟින්, වීජීය එකතුවක් යනු කුමක්දැයි සිසුන්ට මතක් කිරීමට මම කැමැත්තෙමි. සම්භාව්‍ය ගණිතයේදී, අපි අදහස් කරන්නේ $1-7$ වලින් සරල නිර්මාණය: එකකින් හතක් අඩු කරන්න. වීජ ගණිතයේ, අපි මෙයින් අදහස් කරන්නේ පහත සඳහන් දේ ය: "එක" අංකයට අපි තවත් අංකයක් එකතු කරමු, එනම් "සත්‍ය හත". මෙම වීජීය එකතුව සාමාන්‍ය අංක ගණිත එකතුවෙන් වෙනස් වේ.

සියලුම පරිවර්තනයන් සිදු කරන විට, එක් එක් එකතු කිරීම සහ ගුණ කිරීම, ඔබ ඉහත විස්තර කර ඇති ඒවාට සමාන ඉදිකිරීම් දැකීමට පටන් ගනී, බහුපද සහ සමීකරණ සමඟ වැඩ කිරීමේදී ඔබට වීජ ගණිතයේ කිසිදු ගැටළුවක් ඇති නොවේ.

අවසාන වශයෙන්, අපි දැන් බැලූ උදාහරණවලට වඩා සංකීර්ණ වන තවත් උදාහරණ කිහිපයක් දෙස බලමු, ඒවා විසඳීම සඳහා, අපගේ සම්මත ඇල්ගොරිතම තරමක් පුළුල් කිරීමට සිදුවනු ඇත.

භාගයක් සමඟ සමීකරණ විසඳීම

එවැනි කාර්යයන් විසඳීම සඳහා, අපගේ ඇල්ගොරිතමයට තවත් එක් පියවරක් එකතු කිරීමට සිදුවනු ඇත. නමුත් පළමුව, මම අපගේ ඇල්ගොරිතම මතක් කරමි:

1. වරහන් විවෘත කරන්න.
2. වෙනම විචල්යයන්.
3. සමානව ගෙන එන්න.
4. සාධකයකින් බෙදන්න.

අහෝ, මෙම පුදුම ඇල්ගොරිතම, එහි සියලු කාර්යක්ෂමතාව සඳහා, අප ඉදිරිපිට භාග ඇති විට සම්පූර්ණයෙන්ම සුදුසු නොවේ. තවද අපි පහත දකින දෙයෙහි, සමීකරණ දෙකෙහිම අපට වම් සහ දකුණෙහි භාගයක් ඇත.

මෙම නඩුවේ වැඩ කරන්නේ කෙසේද? ඔව්, එය ඉතා සරලයි! මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ ඇල්ගොරිතමයට තවත් එක් පියවරක් එක් කළ යුතුය, එය පළමු ක්‍රියාවට පෙර සහ ඉන් පසුව, එනම් භාග ඉවත් කිරීමට සිදු කළ හැකිය. මේ අනුව, ඇල්ගොරිතම පහත පරිදි වනු ඇත:

1. කොටස් ඉවත් කරන්න.
2. වරහන් විවෘත කරන්න.
3. වෙනම විචල්යයන්.
4. සමානව ගෙන එන්න.
5. සාධකයකින් බෙදන්න.

"භාග ඉවත් කිරීම" යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ කුමක්ද? සහ පළමු සම්මත පියවරෙන් පසුව සහ පෙර මෙය කළ හැක්කේ ඇයි? ඇත්ත වශයෙන්ම, අපගේ නඩුවේදී, සියලුම කොටස් හරය අනුව සංඛ්‍යාත්මක වේ, i.e. සෑම තැනකම හරය යනු අංකයක් පමණි. එමනිසා, අපි සමීකරණයේ කොටස් දෙකම මෙම අංකයෙන් ගුණ කළහොත්, අපි භාගවලින් මිදෙමු.

උදාහරණ #1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

මෙම සමීකරණයේ භාග ඉවත් කරමු:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\වම(((x)^(2))-1 \දකුණ)\cdot හතර\]

කරුණාකර සටහන් කරන්න: සෑම දෙයක්ම වරක් "හතර" ගුණයකින් වැඩි වේ, i.e. ඔබට වරහන් දෙකක් ඇති පමණින් ඒ සෑම එකක්ම "හතර" න් ගුණ කළ යුතු යැයි අදහස් නොවේ. අපි මෙසේ ලියමු.

\[\වම(2x+1 \දකුණ)\වම(2x-3 \දකුණ)=\වම(((x)^(2))-1 \දකුණ)\cdot 4\]

දැන් අපි එය විවෘත කරමු:

අපි විචල්‍යයක හුදකලා කිරීම සිදු කරන්නෙමු:

අපි සමාන නියමයන් අඩු කිරීම සිදු කරන්නෙමු:

\[-4x=-1\වම| :\වම(-4 \දකුණ) \දකුණ.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

අපිට ලැබුණා අවසන් තීරණය, අපි දෙවන සමීකරණය වෙත ගමන් කරමු.

උදාහරණ #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

මෙන්න අපි එකම ක්‍රියා සියල්ලම කරන්නෙමු:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

ගැටලුව විසඳා ඇත.

ඇත්තටම මට අද කියන්න ඕන උනේ එච්චරයි.

ප්රධාන කරුණු

ප්රධාන සොයාගැනීම් පහත පරිදි වේ:

• රේඛීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම දැන ගන්න.
• වරහන් විවෘත කිරීමේ හැකියාව.
• ඔබට කොහේ හරි තිබේ නම් කරදර නොවන්න චතුරස්රාකාර කාර්යයන්, බොහෝ දුරට ඉඩ, තවදුරටත් පරිවර්තනය කිරීමේ ක්රියාවලිය තුළ, ඔවුන් අඩු වනු ඇත.
• රේඛීය සමීකරණවල ඇති මූලයන්, සරලම ඒවා පවා වර්ග තුනකි: එක් මූලයක්, සම්පූර්ණ සංඛ්‍යා රේඛාව මූලයකි, කිසිසේත්ම මූලයන් නොමැත.

සියලුම ගණිතය පිළිබඳ වැඩිදුර අවබෝධය සඳහා සරල, නමුත් ඉතා වැදගත් මාතෘකාවක් ප්‍රගුණ කිරීමට මෙම පාඩම ඔබට උපකාරී වනු ඇතැයි මම බලාපොරොත්තු වෙමි. යමක් පැහැදිලි නැතිනම්, වෙබ් අඩවියට යන්න, එහි ඉදිරිපත් කර ඇති උදාහරණ විසඳන්න. රැඳී සිටින්න, තවත් බොහෝ රසවත් දේවල් ඔබ වෙනුවෙන් බලා සිටී!

අයදුම්පත

සිසුන් සහ පාසල් ළමුන් විසින් අධ්‍යයනය කරන ලද ද්‍රව්‍ය ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා වෙබ් අඩවියට සබැඳිව ඇති ඕනෑම ආකාරයක සමීකරණ විසඳුම අන්තර්ජාලය හරහා සමීකරණ විසඳීම. සබැඳි සමීකරණ. වීජීය, පරාමිතික, පාරමිතා, ක්‍රියාකාරී, අවකල සහ වෙනත් සමීකරණ වර්ග ඇත.සමහර සමීකරණවලට පහසු විශ්ලේෂණාත්මක විසඳුම් ඇත, ඒවා ලබා දීම පමණක් නොවේ. නියම අගය root, සහ පරාමිති ඇතුළත් විය හැකි සූත්‍රයක ආකාරයෙන් විසඳුම ලිවීමට ඔබට ඉඩ සලසයි. විශ්ලේෂණ ප්‍රකාශන මඟින් මූලයන් ගණනය කිරීමට පමණක් නොව, පරාමිතිවල අගයන් මත පදනම්ව ඒවායේ පැවැත්ම සහ ඒවායේ සංඛ්‍යාව විශ්ලේෂණය කිරීමට ඉඩ සලසයි, එය බොහෝ විට ඊටත් වඩා වැදගත් වේ. ප්රායෝගික යෙදුමනිශ්චිත මූල අගයන්ට වඩා. අන්තර්ජාලය හරහා සමීකරණ විසඳුම අන්තර්ජාලය හරහා සමීකරණ. සමීකරණයේ විසඳුම වන්නේ මෙම සමානාත්මතාවය සාක්ෂාත් කර ගන්නා තර්කවල එවැනි අගයන් සොයා ගැනීමේ කාර්යයයි. තර්කවල හැකි අගයන් අධිස්ථාපනය කළ හැකිය අතිරේක කොන්දේසි(පූර්ණ, සැබෑ, ආදිය). අන්තර්ජාලය හරහා සමීකරණ විසඳුම අන්තර්ජාලය හරහා සමීකරණ. ඔබට ක්ෂණිකව සහ අන්තර්ජාලය හරහා සමීකරණය විසඳා ගත හැකිය ඉහළ නිරවද්යතාවප්රතිඵලය. සමීකරණයක දී ලබා දී ඇති ශ්‍රිතවල (සමහර විට "විචල්‍ය" ලෙස හැඳින්වේ) තර්ක "නොදන්නා" ලෙස හැඳින්වේ. මෙම සමානාත්මතාවය සාක්ෂාත් කරගනු ලබන නොදන්නා අගයන් ලබා දී ඇති සමීකරණයේ විසඳුම් හෝ මූලයන් ලෙස හැඳින්වේ. මූලයන් ලබා දී ඇති සමීකරණයක් තෘප්තිමත් කරන බව කියනු ලැබේ. අන්තර්ජාලය හරහා සමීකරණයක් විසඳීම යනු එහි සියලු විසඳුම් (මුල්) කට්ටලය සොයා ගැනීම හෝ මූලයන් නොමැති බව ඔප්පු කිරීමයි. අන්තර්ජාලය හරහා සමීකරණ විසඳුම අන්තර්ජාලය හරහා සමීකරණ. සමාන හෝ සමාන ඒවා සමීකරණ ලෙස හැඳින්වේ, ඒවායේ මූලයන් සමපාත වේ. සමාන මූලයන් නොමැති සමීකරණ ලෙස ද සැලකේ. සමීකරණවල සමානාත්මතාවයට සමමිතියෙහි ගුණ ඇත: එක් සමීකරණයක් තවත් සමීකරණයකට සමාන නම්, දෙවන සමීකරණය පළමු එකට සමාන වේ. සමීකරණවල සමානාත්මතාවයට සංක්‍රාන්ති ගුණය ඇත: එක් සමීකරණයක් තවත් සමීකරණයකට සමාන නම් සහ දෙවැන්න තුන්වන සමීකරණයට සමාන වේ නම්, පළමු සමීකරණය තුන්වන සමීකරණයට සමාන වේ. සමීකරණවල සමානාත්මතා ගුණය මඟින් ඒවා සමඟ පරිවර්තනයන් සිදු කිරීමට හැකි වන අතර ඒවා විසඳීමේ ක්‍රම පදනම් වේ. අන්තර්ජාලය හරහා සමීකරණ විසඳුම අන්තර්ජාලය හරහා සමීකරණ. අන්තර්ජාලය හරහා සමීකරණය විසඳීමට වෙබ් අඩවිය ඔබට ඉඩ සලසයි. විශ්ලේෂණාත්මක විසඳුම් දන්නා සමීකරණවලට හතරවන උපාධියට වඩා වැඩි නොවන වීජීය සමීකරණ ඇතුළත් වේ: රේඛීය සමීකරණයක්, චතුරස්‍ර සමීකරණයක්, ඝනක සමීකරණයක් සහ හතරවන අංශකයේ සමීකරණයක්. වීජ ගණිත සමීකරණඉහළ උපාධි සාමාන්ය නඩුවඒවායින් සමහරක් අඩු අංශක සමීකරණවලට අඩු කළ හැකි වුවද, ඒවාට විශ්ලේෂණාත්මක විසඳුමක් නොමැත. ලෝකෝත්තර ශ්‍රිත ඇතුළත් සමීකරණ ලෝකෝත්තර ලෙස හැඳින්වේ. ඒවා අතර, විශ්ලේෂණාත්මක විසඳුම් ශුන්‍ය සිට සමහර ත්‍රිකෝණමිතික සමීකරණ සඳහා ප්‍රසිද්ධය. ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතහොඳින් දන්නා. සාමාන්ය නඩුවේදී, විශ්ලේෂණාත්මක විසඳුමක් සොයාගත නොහැකි විට, සංඛ්යාත්මක ක්රම භාවිතා කරනු ලැබේ. සංඛ්යාත්මක ක්රමනිශ්චිත විසඳුමක් ලබා නොදෙන්න, නමුත් යම් නිශ්චිත අගයකට මූලය පවතින පරතරය පටු කිරීමට පමණක් ඉඩ දෙන්න. අන්තර්ජාලයෙන් සමීකරණ විසඳීම.. අන්තර්ජාලය හරහා සමීකරණ.. සබැඳි සමීකරණයක් වෙනුවට අපි එකම ප්‍රකාශනය හැදෙන ආකාරය ඉදිරිපත් කරන්නෙමු. රේඛීය යැපීමසහ සෘජු ස්පර්ශකයක් දිගේ පමණක් නොව, ප්‍රස්ථාරයේ ආවර්තන ලක්ෂ්‍යයේ ද වේ. විෂය අධ්‍යයනයේ දී මෙම ක්‍රමය සෑම විටම අත්‍යවශ්‍ය වේ. බොහෝ විට සිදුවන්නේ අනන්ත සංඛ්‍යා සහ ලිවීමේ දෛශික මගින් සමීකරණවල විසඳුම අවසාන අගයට ළඟා වීමයි. ආරම්භක දත්ත පරීක්ෂා කිරීම අවශ්ය වන අතර මෙය කාර්යයේ සාරය වේ. එසේ නොමැති නම්, දේශීය තත්ත්වය සූත්රයක් බවට පරිවර්තනය වේ. සිට සෘජු රේඛා ප්‍රතිලෝම ලබා දී ඇති කාර්යය, ක්‍රියාත්මක කිරීමේදී බොහෝ ප්‍රමාදයකින් තොරව සමීකරණ කැල්කියුලේටරය ගණනය කරනු ඇත, අවකාශයේ වරප්‍රසාදය දැලක් ලෙස සේවය කරනු ඇත. එය විද්‍යාත්මක පරිසරයක සිසුන්ගේ කාර්ය සාධනය ගැන වනු ඇත. කෙසේ වෙතත්, ඉහත සියල්ල මෙන්, එය සොයා ගැනීමේ ක්‍රියාවලියේදී අපට උපකාරී වනු ඇත, ඔබ සමීකරණය සම්පූර්ණයෙන්ම විසඳන විට, එවිට ලැබෙන පිළිතුර සරල රේඛා කොටසේ කෙළවරේ සුරකින්න. අභ්‍යවකාශයේ රේඛා ලක්ෂ්‍යයක ඡේදනය වන අතර මෙම ලක්ෂ්‍යය රේඛා මගින් ඡේදනය ලෙස හැඳින්වේ. රේඛාවේ පරතරය කලින් ලබා දී ඇති පරිදි සලකුණු කර ඇත. ගණිතය හැදෑරීමේ ඉහළම තනතුර ප්‍රකාශයට පත් කෙරේ. පරාමිතිකව නිර්වචනය කරන ලද මතුපිටකින් තර්ක අගයක් පැවරීම සහ සබැඳිව සමීකරණයක් විසඳීම මඟින් ශ්‍රිතයකට ඵලදායි ඇමතුමක මූලධර්ම දැක්වීමට හැකි වේ. Möbius තීරුව හෝ එය අනන්තය ලෙස හැඳින්වෙන පරිදි, රූපය අටක් මෙන් පෙනේ. මෙය ඒකපාර්ශ්වික මතුපිටක් මිස ද්විපාර්ශ්වික එකක් නොවේ. සියල්ලෝම හොඳින් දන්නා මූලධර්මයට අනුව, අධ්‍යයන ක්ෂේත්‍රයේ පවතින පරිදි රේඛීය සමීකරණ මූලික තනතුරු ලෙස අපි වෛෂයිකව පිළිගනිමු. දෛශිකයේ දිශාව හෙළි කළ හැක්කේ අනුක්‍රමිකව ලබා දී ඇති තර්කවල අගයන් දෙකකට පමණි. සබැඳි සමීකරණවල වෙනස් විසඳුමක් විසඳීමට වඩා බොහෝ සෙයින් වැඩි යෑයි උපකල්පනය කිරීම යනු ප්‍රතිදානයේදී වෙනස් නොවන සම්පූර්ණ අනුවාදයක් ලබා ගැනීමයි. ඒකාබද්ධ ප්‍රවේශයක් නොමැතිව සිසුන්ට ඉගෙනීම දුෂ්කර ය මෙම ද්රව්යය. පෙර මෙන්, සෑම විශේෂ අවස්ථාවක් සඳහාම, අපගේ පහසු සහ ස්මාර්ට් ඔන්ලයින් සමීකරණ කැල්කියුලේටරය දුෂ්කර මොහොතක සෑම කෙනෙකුටම උපකාර කරනු ඇත, මන්ද ඔබට ආදාන පරාමිතීන් නියම කිරීමට අවශ්‍ය වන අතර පද්ධතියම පිළිතුර ගණනය කරනු ඇත. අපි දත්ත ඇතුළත් කිරීම ආරම්භ කිරීමට පෙර, අපට ආදාන මෙවලමක් අවශ්‍ය වේ, එය විශාල අපහසුතාවයකින් තොරව කළ හැකිය. එක් එක් ප්‍රතිචාර ලකුණු සංඛ්‍යාව අපගේ නිගමනවලට තුඩු දෙන චතුරස්‍ර සමීකරණයක් වනු ඇත, නමුත් මෙය කිරීම එතරම් පහසු නැත, මන්ද එය ප්‍රතිවිරුද්ධ බව ඔප්පු කිරීමට පහසු බැවිනි. න්‍යාය, එහි ලක්ෂණ නිසා, සහය නොදක්වයි ප්රායෝගික දැනුම. කුලකයක් මත අංකයක් ලිවීමේ විකල්පය ශ්‍රිතයේ වර්ධනය වැඩි කරන බැවින් පිළිතුරක් ප්‍රකාශයට පත් කිරීමේ අදියරේදී භාග කැල්කියුලේටරයක් ​​දැකීම ගණිතයේ පහසු කාර්යයක් නොවේ. කෙසේ වෙතත්, සිසුන් පුහුණු කිරීම ගැන නොකියා සිටීම වැරදියි, එබැවින් අපි කළ යුතු ප්‍රමාණය ප්‍රකාශ කරන්නෙමු. කලින් සොයාගත් ඝනක සමීකරණය නිවැරදිව අර්ථ දැක්වීමේ වසමට අයත් වන අතර සංඛ්‍යාත්මක අගයන්හි අවකාශය මෙන්ම සංකේතාත්මක විචල්‍යයන් ද අඩංගු වේ. ප්‍රමේයය ඉගෙනීමෙන් හෝ කටපාඩම් කිරීමෙන්, අපගේ සිසුන් තමන් විසින්ම ඔප්පු කරනු ඇත වඩා හොඳ පැත්තඅපි ඔවුන් ගැන සතුටු වන්නෙමු. ක්ෂේත්‍රවල ඡේදනය වීමේ කට්ටලයට ප්‍රතිවිරුද්ධව, අපගේ සබැඳි සමීකරණ සංඛ්‍යාත්මක ඒකාබද්ධ රේඛා දෙකේ සහ තුනේ ගුණ කිරීම ඔස්සේ චලිත තලයක් මගින් විස්තර කෙරේ. ගණිතයේ කට්ටලයක් අද්විතීය ලෙස අර්ථ දක්වා නැත. හොඳම විසඳුම, සිසුන්ට අනුව, අවසානය දක්වා සම්පූර්ණ කරන ලද ලිඛිත ප්රකාශනයයි. විද්‍යාත්මක භාෂාවෙන් පැවසූ පරිදි, සංකේතාත්මක ප්‍රකාශනවල වියුක්ත කිරීම තත්ත්වයට ඇතුළත් නොවේ, නමුත් සමීකරණ විසඳුම සෑම දෙයකම නොපැහැදිලි ප්‍රතිඵලයක් ලබා දෙයි. දන්නා අවස්ථා. ගුරුවරයාගේ සැසියේ කාලසීමාව මෙම පිරිනැමීමේ අවශ්‍යතා මත පදනම් වේ. විශ්ලේෂණය මගින් බොහෝ ක්ෂේත්‍රවල සියලුම පරිගණක ශිල්පීය ක්‍රමවල අවශ්‍යතාවය පෙන්නුම් කර ඇති අතර, සමීකරණ කැල්කියුලේටරය ශිෂ්‍යයෙකුගේ දක්ෂ අතේ අත්‍යවශ්‍ය මෙවලමක් බව සම්පූර්ණයෙන්ම පැහැදිලිය. ගණිතය අධ්‍යයනයට පක්ෂපාතී ප්‍රවේශයක් විවිධ දිශාවන්හි දර්ශනවල වැදගත්කම තීරණය කරයි. ඔබට ප්‍රධාන සිද්ධාන්ත වලින් එකක් නම් කර සමීකරණය එවැනි ආකාරයකින් විසඳීමට අවශ්‍ය වේ, එහි යෙදුම සඳහා තවදුරටත් අවශ්‍ය වන පිළිතුර මත පදනම්ව. මෙම ප්රදේශයේ විශ්ලේෂණ වේගවත් වෙමින් පවතී. අපි මුල සිට ආරම්භ කර සූත්‍රය ව්‍යුත්පන්න කරමු. ශ්‍රිතයේ වැඩි වීමේ මට්ටම බිඳ දැමීමෙන්, විභේදන ලක්ෂ්‍යයේ ස්පර්ශක රේඛාව අවශ්‍යයෙන්ම සබැඳිව සමීකරණය විසඳීම ශ්‍රිත තර්කයෙන් එකම ප්‍රස්ථාරය ගොඩනැගීමේ ප්‍රධාන අංගයක් වනු ඇත. ආධුනික ප්රවේශය නම් අයදුම් කිරීමට අයිතිය ඇත මෙම කොන්දේසියසිසුන්ගේ සොයාගැනීම් වලට පටහැනි නොවේ. එය පසුබිමට ගෙන එන වස්තු නිර්වචනයේ පවතින වසම තුළ ගණිතමය තත්වයන් විශ්ලේෂණය රේඛීය සමීකරණ ලෙස තබන උප කාර්යයයි. විකලාංග දිශාවට හිලව් කිරීම හුදකලා නිරපේක්ෂ අගයක වාසිය අවලංගු කරයි. මාර්‍ගගතව, අන්තර්ජාලය හරහා සමීකරණ විසඳීමේදී ඔබ වරහන් මුලින් වැඩි ලකුණකින් සහ පසුව අඩු ලකුණකින් විවෘත කළහොත් සමාන විසඳුම් සංඛ්‍යාවක් ලබා දේ. මෙම අවස්ථාවේදී, විසඳුම් මෙන් දෙගුණයක් ඇති අතර, ප්රතිඵලය වඩාත් නිවැරදි වනු ඇත. ස්ථාවර සහ නිවැරදි කැල්ක්යුලේටරයමාර්ගගත සමීකරණ යනු ගුරුවරයා විසින් නියම කරන ලද කාර්යයේ අපේක්ෂිත ඉලක්කය සපුරා ගැනීමේ සාර්ථකත්වයයි. ශ්රේෂ්ඨ විද්යාඥයින්ගේ අදහස්වල සැලකිය යුතු වෙනස්කම් හේතුවෙන් අවශ්ය ක්රමය තෝරා ගැනීමට හැකි බව පෙනේ. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන චතුරස්‍ර සමීකරණය රේඛා වල වක්‍රය, ඊනියා පැරබෝලා විස්තර කරයි, සහ ලකුණ වර්ග ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ එහි උත්තල බව තීරණය කරයි. සමීකරණයෙන් අපි වියාටා ප්‍රමේයය අනුව වෙනස් කොට සැලකීම සහ මූලයන් යන දෙකම ලබා ගනිමු. ප්‍රකාශනය නිසි හෝ නුසුදුසු භාගයක් ලෙස ඉදිරිපත් කිරීම සහ පළමු අදියරේදී භාග කැල්කියුලේටරය භාවිතා කිරීම අවශ්‍ය වේ. මෙය මත පදනම්ව, අපගේ වැඩිදුර ගණනය කිරීම් සඳහා සැලැස්මක් සාදනු ලැබේ. න්‍යායික ප්‍රවේශයක් සහිත ගණිතය සෑම අදියරකදීම ප්‍රයෝජනවත් වේ. විශ්ව විද්‍යාලයක ශිෂ්‍යයෙකු සඳහා කාර්යය සරල කිරීම සඳහා අපි මෙම ප්‍රකාශනය තුළ එහි මූලයන් සඟවන බැවින් අපි නියත වශයෙන්ම ප්‍රති result ලය cubic සමීකරණයක් ලෙස ඉදිරිපත් කරන්නෙමු. මතුපිට විශ්ලේෂණය සඳහා සුදුසු නම් ඕනෑම ක්රමයක් හොඳයි. අතිරේක අංක ගණිතමය මෙහෙයුම් ගණනය කිරීමේ දෝෂ වලට තුඩු නොදෙනු ඇත. ලබා දී ඇති නිරවද්‍යතාවයකින් පිළිතුර තීරණය කරන්න. සමීකරණ විසඳුම භාවිතා කරමින්, අපි එයට මුහුණ දෙමු - දී ඇති ශ්‍රිතයක ස්වාධීන විචල්‍යයක් සොයා ගැනීම එතරම් පහසු නැත, විශේෂයෙන් අනන්තයේ සමාන්තර රේඛා අධ්‍යයනය කිරීමේදී. ව්යතිරේකය අනුව, අවශ්යතාවය ඉතා පැහැදිලිය. ධ්රැවීයතාවේ වෙනස නොපැහැදිලි ය. ආයතනවල ඉගැන්වීමේ අත්දැකීම් වලින්, අපේ ගුරුවරයා ගත්තා ප්රධාන පාඩම, සම්පූර්ණ ගණිතමය අර්ථයෙන් සබැඳිව සමීකරණ අධ්‍යයනය කරන ලදී. මෙහිදී එය න්‍යාය භාවිතයේ ඉහළ උත්සාහයන් සහ විශේෂ කුසලතා ගැන විය. අපගේ නිගමනවලට පක්ෂව, යමෙකු ප්‍රිස්මයක් හරහා නොබැලිය යුතුය. මෑතක් වන තුරුම, සංවෘත කට්ටලයක් ප්‍රදේශය පුරා වේගයෙන් වර්ධනය වන බව විශ්වාස කරන ලද අතර සමීකරණ විසඳුම සරලව විමර්ශනය කළ යුතුය. පළමු අදියරේදී අපි සියල්ල සලකා බැලුවේ නැත හැකි විකල්ප, නමුත් එවැනි ප්රවේශයක් වෙන කවරදාටත් වඩා යුක්ති සහගත ය. වරහන් සහිත අමතර ක්‍රියා, පියවි ඇසින් නොසලකා හැරිය නොහැකි, ඕඩිනේට් සහ අබ්සිස්සා අක්ෂය ඔස්සේ සමහර දියුණුව සාධාරණීකරණය කරයි. ශ්‍රිතයක පුලුල් සමානුපාතික වැඩි වීමක් යන අර්ථයෙන් විභේදන ලක්ෂ්‍යයක් ඇත. නැවත වරක්, අපි කෙසේද යන්න ඔප්පු කරමු අවශ්ය කොන්දේසියදෛශිකයේ එක් හෝ තවත් අවරෝහණ ස්ථානයක සම්පූර්ණ අවරෝහණ කාල සීමාව පුරාවටම යොදනු ලැබේ. සීමිත ඉඩක් තුළ, අපි අපගේ ස්ක්‍රිප්ට් හි ආරම්භක කොටසෙන් විචල්‍යයක් තෝරා ගනිමු. දෛශික තුනක් මත පදනමක් ලෙස ගොඩනගා ඇති පද්ධතිය බලයේ ප්රධාන මොහොත නොමැති වීම සඳහා වගකිව යුතුය. කෙසේ වෙතත්, සමීකරණ කැල්ක්යුලේටරය මතුපිටට ඉහළින් සහ සමාන්තර රේඛා ඔස්සේ ගොඩනඟන ලද සමීකරණයේ සියලු නියමයන් සොයා ගැනීමට සහ උපකාර විය. ආරම්භක ස්ථානය වටා රවුමක් විස්තර කරමු. මේ අනුව, අපි කොටස් රේඛා ඔස්සේ ඉහළට ගමන් කිරීමට පටන් ගනිමු, සහ ස්පර්ශක රවුම එහි සම්පූර්ණ දිග දිගේ විස්තර කරනු ඇත, ප්රතිඵලයක් වශයෙන් අපට වක්රයක් ලැබෙනු ඇත, එය involute ලෙස හැඳින්වේ. මාර්ගය වන විට, අපි මෙම වක්රය ගැන ටිකක් ඉතිහාසය ගැන කතා කරමු. කාරණය වන්නේ ඓතිහාසිකව ගණිතය තුළ අද මෙන් පිරිසිදු අර්ථයෙන් ගණිතය පිළිබඳ සංකල්පයක් නොතිබීමයි. මීට පෙර, සියලුම විද්යාඥයින් එක් පොදු දෙයක, එනම් විද්යාවෙහි නිරත විය. පසුව, සියවස් කිහිපයකට පසුව, කවදාද විද්යාත්මක ලෝකයඅතිවිශාල තොරතුරු ප්‍රමාණයකින් පිරුණු මානව වර්ගයා තවමත් බොහෝ විෂයයන් වෙන්කර හඳුනාගෙන ඇත. ඒවා තවමත් නොවෙනස්ව පවතී. එහෙත් සෑම වසරකම, ලොව පුරා සිටින විද්‍යාඥයින් විද්‍යාව අසීමිත බව ඔප්පු කිරීමට උත්සාහ කරන අතර, ඔබට ක්ෂේත්‍රය පිළිබඳ දැනුමක් නොමැති නම් ඔබට සමීකරණය විසඳිය නොහැක. ස්වභාවික විද්යාවන්. අවසාන වශයෙන් එය අවසන් කිරීමට නොහැකි වනු ඇත. ඒ ගැන සිතීම පිටත වාතය උණුසුම් කිරීම තරම් නිෂ්ඵල ය. තර්කය එහි ධනාත්මක අගය සමඟ තියුනු ලෙස වැඩි වන දිශාවකින් අගයේ මාපාංකය තීරණය කරන කාල පරතරය සොයා ගනිමු. ප්රතික්රියාව අවම වශයෙන් විසඳුම් තුනක් සොයා ගැනීමට උපකාර වනු ඇත, නමුත් ඒවා පරීක්ෂා කිරීමට අවශ්ය වනු ඇත. අපගේ වෙබ් අඩවියේ අද්විතීය සේවාව භාවිතා කරමින් අන්තර්ජාලය හරහා සමීකරණය විසඳීමට අවශ්‍ය බව සමඟ ආරම්භ කරමු. අපි කොටස් දෙකම හඳුන්වා දෙමු ලබා දී ඇති සමීකරණය, "SOLVE" බොත්තම ඔබන්න, තත්පර කිහිපයක් ඇතුළත අපට නිශ්චිත පිළිතුරක් ලැබෙනු ඇත. විශේෂ අවස්ථා වලදී, අපි ගණිතය පිළිබඳ පොතක් ගෙන අපගේ පිළිතුර දෙවරක් පරීක්ෂා කරන්නෙමු, එනම්, අපි පිළිතුර දෙස පමණක් බලා සියල්ල පැහැදිලි වනු ඇත. එම ව්‍යාපෘතියම කෘත්‍රිම අතිරික්ත සමාන්තර නලයක් මත පියාසර කරනු ඇත. එහි සමාන්තර පැති සහිත සමාන්තර චලිතයක් ඇති අතර, එය අධ්‍යයනයට බොහෝ මූලධර්ම සහ ප්‍රවේශයන් පැහැදිලි කරයි අවකාශීය සම්බන්ධතාවයසූත්‍රවල හිස් අවකාශය සමුච්චය වීමේ ආරෝහණ ක්‍රියාවලිය ස්වභාවික පෙනුම. අපැහැදිලි රේඛීය සමීකරණ මේ මොහොතේ අපගේ පොදු විසඳුම සමඟ අපේක්ෂිත විචල්‍යයේ යැපීම පෙන්නුම් කරන අතර එය කෙසේ හෝ ව්‍යුත්පන්න කර ගෙන ඒම අවශ්‍ය වේ. නුසුදුසු කොටසසුළු නොවන නඩුවකට. අපි සරල රේඛාවේ ලකුණු දහයක් සලකුණු කර එක් එක් ලක්ෂ්‍යය හරහා දී ඇති දිශාවට සහ උත්තල ඉහළට වක්‍රයක් අඳින්නෙමු. බොහෝ අපහසුවකින් තොරව, අපගේ සමීකරණ කැල්ක්යුලේටරය එවැනි ආකෘතියක් තුළ ප්රකාශනයක් ඉදිරිපත් කරනු ඇත, එහි නීති වල වලංගු භාවය සඳහා වන චෙක්පත පටිගත කිරීම ආරම්භයේදී පවා පැහැදිලි වනු ඇත. සූත්‍රයෙන් වෙනත් ආකාරයකින් සපයා නොමැති නම්, ප්‍රථමයෙන් ගණිතඥයින් සඳහා ස්ථායීතාවයේ විශේෂ නිරූපණයන් පද්ධතිය. අපි මෙයට පිළිතුරු සපයන්නේ ශරීරවල ප්ලාස්ටික් පද්ධතියක සමස්ථානික තත්ත්වය පිළිබඳ වාර්තාවක් සවිස්තරාත්මකව ඉදිරිපත් කිරීම සහ සබැඳි සමීකරණ විසඳුම මෙම පද්ධතියේ එක් එක් ද්‍රව්‍ය ලක්ෂ්‍යයේ චලනය විස්තර කරනු ඇත. ගැඹුරු අධ්‍යයනයක මට්ටමින්, අවම වශයෙන් අවකාශයේ පහළ ස්ථරයේ ප්‍රතිලෝම පිළිබඳ ප්‍රශ්නය විස්තරාත්මකව පැහැදිලි කිරීම අවශ්‍ය වේ. ශ්රිතයේ අඛණ්ඩතාවයේ කොටස මත නැගීම, අපි අයදුම් කරමු සාමාන්ය ක්රමයවිශිෂ්ට පර්යේෂකයෙක්, මාර්ගය වන විට, අපේ රටවැසියා, සහ අපි යානයේ හැසිරීම ගැන පහතින් කියන්නෙමු. ගුණයෙන් ශක්තිමත් ලක්ෂණවිශ්ලේෂණාත්මකව ලබා දී ඇති ශ්‍රිතය, අපි අධිකාරියේ ව්‍යුත්පන්න සීමාවන් තුළ එහි අපේක්ෂිත අරමුණ සඳහා භාවිතා කරන්නේ සබැඳි සමීකරණ කැල්කියුලේටරය පමණි. තවදුරටත් තර්ක කරමින්, සමීකරණයේ සමජාතීයතාවය පිළිබඳ අපගේ සමාලෝචනය අපි නවත්වන්නෙමු, එනම් එහි දකුණු පැත්ත ශුන්‍යයට සමාන වේ. නැවත වරක්, අපි ගණිතය පිළිබඳ අපගේ තීරණයේ නිවැරදි බව තහවුරු කරමු. සුළු විසඳුමක් ලබා ගැනීම වළක්වා ගැනීම සඳහා, පද්ධතියේ කොන්දේසි සහිත ස්ථායීතාවයේ ගැටලුව සඳහා මූලික කොන්දේසි වලට අපි යම් යම් වෙනස්කම් සිදු කරන්නෙමු. අපි චතුර් සමීකරණයක් සම්පාදනය කරමු, ඒ සඳහා අපි සුප්‍රසිද්ධ සූත්‍රය භාවිතා කර ඇතුළත් කිරීම් දෙකක් ලියා සෘණ මූලයන් සොයා ගනිමු. එක් මූලයක් දෙවන හා තෙවන මූලයන් ඒකක පහකින් ඉක්මවා ගියහොත්, ප්‍රධාන තර්කයට වෙනස්කම් කිරීමෙන්, අපි එමඟින් උප ගැටලුවේ ආරම්භක කොන්දේසි විකෘති කරමු. එහි හරය ලෙස, ගණිතයේ අසාමාන්‍ය දෙයක් සෑම විටම ධනාත්මක සංඛ්‍යාවකින් ආසන්නතම සියයෙන් එක දක්වා විස්තර කළ හැකිය. භාග කැල්ක්යුලේටරය සේවාදායක පැටවීමේ හොඳම මොහොතේ සමාන සම්පත් මත එහි සගයන්ට වඩා කිහිප ගුණයකින් උසස් වේ. y-අක්ෂය දිගේ වර්ධනය වන ප්රවේග දෛශිකයේ මතුපිට, අපි එකිනෙකට ප්රතිවිරුද්ධ දිශාවට නැමුණු රේඛා හතක් අඳින්නෙමු. පවරන ලද ශ්‍රිත තර්කයේ commensurability ප්‍රතිසාධන ශේෂ කවුන්ටරය මෙහෙයවයි. ගණිතයේ දී, මෙම සංසිද්ධිය මනඃකල්පිත සංගුණක සහිත ඝන සමීකරණයක් හරහා මෙන්ම අඩුවන රේඛා වල ද්විධ්‍රැව ප්‍රගතියකින් නිරූපණය කළ හැක. විවේචනාත්මක කරුණුඑහි බොහෝ අර්ථයන්හි උෂ්ණත්ව වෙනස සහ ප්‍රගතිය සංකීර්ණ භාගික ශ්‍රිතයක් සාධක කිරීමේ ක්‍රියාවලිය විස්තර කරයි. සමීකරණය විසඳීමට ඔබට පවසනු ලැබුවහොත්, මේ මොහොතේ එය කිරීමට ඉක්මන් නොවන්න, නියත වශයෙන්ම මුලින්ම සම්පූර්ණ ක්රියාකාරී සැලැස්ම ඇගයීමට ලක් කරන්න, පසුව පමණක් නිවැරදි ප්රවේශය ගන්න. නිසැකවම ප්රතිලාභ ලැබෙනු ඇත. කාර්යයේ පහසුව පැහැදිලිය, ගණිතය තුළ එය සමාන වේ. සමීකරණය මාර්ගගතව විසඳන්න. සියලුම සබැඳි සමීකරණ යනු කිසියම් සංඛ්‍යා හෝ පරාමිති වල වාර්තා වර්ගයක් සහ නිර්වචනය කළ යුතු විචල්‍යයකි. මෙම විචල්‍යය ගණනය කරන්න, එනම්, අනන්‍යතාවය තෘප්තිමත් වන අගයන් සමූහයක නිශ්චිත අගයන් හෝ අන්තරයන් සොයා ගන්න. ආරම්භක සහ අවසාන කොන්දේසි කෙලින්ම රඳා පවතී. හිදී පොදු තීරණයසමීකරණවලට සාමාන්‍යයෙන් සමහර විචල්‍යයන් සහ නියතයන් ඇතුළත් වේ, ඒවා සැකසීමෙන්, දී ඇති ගැටළු ප්‍රකාශයක් සඳහා අපි සම්පූර්ණ පවුල් විසඳුම් ලබා ගනිමු. සාමාන්යයෙන්, මෙය සෙන්ටිමීටර 100 ට සමාන පැත්තක් සහිත අවකාශීය ඝනකයක ක්රියාකාරිත්වය වැඩි කිරීමේ දිශාවට ආයෝජනය කරන ලද ප්රයත්නයන් යුක්ති සහගත කරයි. පිළිතුරක් තැනීමේ ඕනෑම අදියරකදී ඔබට ප්‍රමේයයක් හෝ ලෙමාවක් යෙදිය හැක. වෙබ් අඩවිය ක්‍රමයෙන් සමීකරණ කැල්කියුලේටරයක් ​​නිකුත් කරයි, අවශ්‍ය නම්, නිෂ්පාදන සංදර්ශනවල සාරාංශයේ ඕනෑම කාල පරතරයකදී කුඩාම අගය. අවස්ථා වලින් අඩක් තුළ, හිස් එකක් වැනි එවැනි බෝලයක් අතරමැදි පිළිතුරක් බොහෝ දුරට සැකසීමේ අවශ්‍යතා සපුරාලන්නේ නැත. අවම වශයෙන් y-අක්ෂයේ දෛශික නියෝජනය අඩු වන දිශාවට, මෙම අනුපාතය පෙර ප්‍රකාශනයට වඩා ප්‍රශස්ත වනු ඇත. යන පැයේදී රේඛීය කාර්යයන්සම්පූර්ණ කරුණු විශ්ලේෂණයක් වනු ඇත, අපි ඇත්ත වශයෙන්ම අපගේ සියල්ල එකට ගෙන එන්නෙමු සංකීර්ණ සංඛ්යාසහ බයිපෝලර් තල අවකාශයන්. ලැබෙන ප්‍රකාශනයට විචල්‍යයක් ආදේශ කිරීමෙන්, ඔබ සමීකරණය අදියර වශයෙන් විසඳා ඉහළ නිරවද්‍යතාවයකින් වඩාත් සවිස්තරාත්මක පිළිතුර ලබා දෙනු ඇත. නැවත වරක්, ගණිතය තුළ ඔබේ ක්රියාවන් පරීක්ෂා කිරීම ශිෂ්යයෙකුගේ පැත්තෙන් හොඳ ආකාරයක් වනු ඇත. භාගවල අනුපාතයෙහි අනුපාතය සියලු දෙනා සඳහා ප්රතිඵලයේ අඛණ්ඩතාව සවි කර ඇත වැදගත් ප්රදේශශුන්ය දෛශික ක්රියාකාරිත්වය. සිදු කරන ලද ක්රියාවන් අවසානයේ දී සුළු බව තහවුරු වේ. සරල කාර්ය කට්ටලයක් සමඟින්, හැකි කෙටිම කාල සීමාවන් තුළ අන්තර්ජාලය හරහා සමීකරණය විසඳන්නේ නම් සිසුන්ට දුෂ්කරතා ඇති විය නොහැක, නමුත් සියලු ආකාරයේ නීති ගැන අමතක නොකරන්න. උප කුලක සමූහය අභිසාරී අංකනය කිරීමේ ප්‍රදේශයේ ඡේදනය වේ. හිදී විවිධ අවස්ථානිෂ්පාදිතය වැරදි ලෙස සාධකකරණය කර නැත. විශ්ව විද්‍යාල සහ තාක්ෂණික පාසල්වල සිසුන් සඳහා සැලකිය යුතු අංශ සඳහා ගණිතමය ශිල්පීය ක්‍රම පිළිබඳ මූලික කරුණු පිළිබඳ අපගේ පළමු කොටසේ සමීකරණය සමඟ අමුත්තන් විසඳීමට ඔබට උපකාර කරනු ඇත. විසඳුම් අනුක්‍රමික සොයා ගැනීමත් සමඟ දෛශික විශ්ලේෂණයේ හොඳම අන්තර්ක්‍රියා කිරීමේ ක්‍රියාවලිය පසුගිය ශතවර්ෂයේ ආරම්භයේදී පේටන්ට් බලපත්‍රය ලබා ගත් බැවින් උදාහරණවලට පිළිතුරු දීම දින කිහිපයක් බලා සිටීමට අපට ඉඩ නොදේ. අවට කණ්ඩායම සමඟ සම්බන්ධ වීමට ගත් උත්සාහයන් නිෂ්ඵල නොවන බව පෙනී යයි, වෙනත් දෙයක් පැහැදිලිවම ප්‍රථමයෙන් ප්‍රමාද විය. පරම්පරා කිහිපයකට පසු, ලොව පුරා විද්‍යාඥයන් ගණිතය විද්‍යාවේ රැජින බව විශ්වාස කිරීමට හේතු විය. එය වම් පිළිතුරක් හෝ නිවැරදි පිළිතුරක් වේවා, සම්පූර්ණ නියමයන් තවමත් පේළි තුනකින් ලිවිය යුතුය, මන්ද අපගේ නඩුවේදී අපි කතා කරන්නේ ඒ ගැන පමණි. දෛශික විශ්ලේෂණය matrix ගුණාංග. රේඛීය නොවන සහ රේඛීය සමීකරණ, ද්විකෝටික සමීකරණ සමඟ අපගේ පොතෙහි විශේෂ ස්ථානයක් ගෙන ඇත. හොඳම භාවිතයන්සියලුම ද්‍රව්‍ය ලක්ෂ්‍යවල අවකාශයේ චලනය වීමේ ගමන් පථය ගණනය කිරීම සංවෘත පද්ධතිය. අදහස ජීවයට ගෙන ඒමට අපට උදව් කරන්න රේඛීය විශ්ලේෂණය තිත් නිෂ්පාදනයඅඛණ්ඩ දෛශික තුනක්. එක් එක් සැකසුම අවසානයේ, සිදු කෙරෙන සංඛ්‍යාත්මක අවකාශ ආවරණවල සන්දර්භය තුළ ප්‍රශස්ත සංඛ්‍යාත්මක ව්‍යතිරේක හඳුන්වා දීමෙන් කාර්යය පහසු වේ. තවත් විනිශ්චයක් රවුමක ත්රිකෝණයක අත්තනෝමතික ආකාරයෙන් සොයාගත් පිළිතුරට විරුද්ධ නොවනු ඇත. දෛශික දෙක අතර කෝණයෙහි අවශ්‍ය ආන්තික ප්‍රතිශතය අඩංගු වන අතර, සබැඳිව සමීකරණ විසඳීම බොහෝ විට ආරම්භක කොන්දේසිවලට ප්‍රතිවිරුද්ධව සමීකරණයේ යම් පොදු මූලයක් හෙළි කරයි. ව්‍යතිරේකය සෙවීමේ සම්පූර්ණ නොවැළැක්විය හැකි ක්‍රියාවලියේ උත්ප්‍රේරකයක් ලෙස ක්‍රියා කරයි ධනාත්මක තීරණයකාර්යය අර්ථ දැක්වීමේ විෂය පථය තුළ. ඔබට පරිගණකයක් භාවිතා කළ නොහැකි බව නොකියන්නේ නම්, ඔබේ දුෂ්කර කාර්යයන් සඳහා සබැඳි සමීකරණ කැල්කියුලේටරය හරියටම ගැලපේ. ඔබගේ කොන්දේසි සහිත දත්ත නිවැරදි ආකෘතියෙන් ඇතුළත් කිරීම පමණක් ප්‍රමාණවත් වන අතර අපගේ සේවාදායකය කෙටිම කාලය තුළ සම්පූර්ණ ප්‍රතිඵල ප්‍රතිචාරයක් නිකුත් කරනු ඇත. ඝාතීය ශ්‍රිතයරේඛීය වඩා බොහෝ වේගයෙන් වැඩි වේ. දක්ෂ පුස්තකාල සාහිත්‍යයේ තල්මුඩ්ස් මෙයට සාක්ෂි දරයි. දී ඇති චතුරස්රාකාර සමීකරණය තුනක් සමඟ සිදු කරන පරිදි, සාමාන්ය අර්ථයෙන් ගණනය කිරීම සිදු කරනු ඇත සංකීර්ණ සංගුණක. අර්ධ තලයේ ඉහළ කොටසේ ඇති පැරබෝලා ලක්ෂ්‍යයේ අක්ෂය දිගේ සෘජුකෝණාස්‍ර සමාන්තර චලිතය සංලක්ෂිත කරයි. මෙහිදී ශරීරයේ වැඩ කරන අවකාශයේ විභව වෙනස සඳහන් කිරීම වටී. උප ප්‍රශස්ත ප්‍රතිඵලයක් සඳහා ප්‍රතිඋපකාර වශයෙන්, අපගේ භාග කැල්කියුලේටරය, පසුපස අන්තයේ ක්‍රියාකාරී වැඩසටහන් සමාලෝචනයේ ගණිතමය ශ්‍රේණිගත කිරීම්වල පළමු ස්ථානය නිවැරදිව දරයි. මෙම සේවාව භාවිතා කිරීමේ පහසුව මිලියන ගණනක් අන්තර්ජාල භාවිතා කරන්නන් විසින් අගය කරනු ඇත. ඔබ එය භාවිතා කරන්නේ කෙසේදැයි නොදන්නේ නම්, අපි ඔබට උදව් කිරීමට සතුටු වන්නෙමු. ප්‍රාථමික පාසල් ළමුන්ගේ කාර්යයන් ගණනාවකින් ඝන සමීකරණය උද්දීපනය කිරීමට සහ උද්දීපනය කිරීමට අපට අවශ්‍ය වේ, ඔබට ඉක්මනින් එහි මූලයන් සොයා ගැනීමට සහ ගුවන් යානයක ක්‍රියාකාරී ප්‍රස්ථාරයක් සැලසුම් කිරීමට අවශ්‍ය වූ විට. ප්‍රජනනය ඉහළම මට්ටම් වඩාත් දුෂ්කර එකකි ගණිත ගැටළුආයතනයේ සහ එහි අධ්‍යයනය සඳහා ප්‍රමාණවත් පැය ගණනක් වෙන් කර ඇත. සියලුම රේඛීය සමීකරණ මෙන්, අපගේ බොහෝ වෛෂයික නීතිවලට ව්‍යතිරේකයක් නොවේ, විවිධ දෘෂ්ටි කෝණයන්ගෙන් බලන්න, එය සරල හා ආරම්භක කොන්දේසි සැකසීමට ප්‍රමාණවත් වනු ඇත. වැඩිවීමේ විරාමය ශ්රිතයේ උත්තල විරාමය සමග සමපාත වේ. අන්තර්ජාලය හරහා සමීකරණ විසඳුම. න්‍යාය අධ්‍යයනය පදනම් වී ඇත්තේ ප්‍රධාන විනය පිළිබඳ අධ්‍යයනය පිළිබඳ අංශ ගණනාවකින් සබැඳි සමීකරණ මත ය. අවිනිශ්චිත ගැටළු වලදී එවැනි ප්රවේශයක් සම්බන්ධයෙන්, කලින් තීරණය කරන ලද ස්වරූපයෙන් සමීකරණවල විසඳුම ඉදිරිපත් කිරීම ඉතා පහසු වන අතර නිගමනවලට එළඹීම පමණක් නොව, එවැනි ධනාත්මක විසඳුමක ප්රතිඵලය අනාවැකි පළ කරයි. විෂය ක්ෂේත්‍රය උපරිමයෙන් ඉගෙන ගැනීමට සේවාව අපට උපකාරී වනු ඇත හොඳම සම්ප්රදායන්නැඟෙනහිර සාමාන්‍ය පරිදි ගණිතය. හිදී හොඳම අවස්ථාකාල පරතරය, සමාන කාර්යයන් පොදු ගුණකයකින් දස ගුණයකින් ගුණ කරන ලදී. සමීකරණ කැල්කියුලේටරයේ බහු විචල්‍යවල ගුණ කිරීම් බහුල වීමත් සමඟ එය ගුණයෙන් ගුණ කිරීමට පටන් ගත්තා මිස ස්කන්ධය හෝ ශරීර බර වැනි අගයන් ප්‍රමාණාත්මක විචල්‍යවලින් නොවේ. ද්‍රව්‍ය පද්ධතියේ අසමතුලිතතාවයන් වලක්වා ගැනීම සඳහා, පරිහානියට පත් නොවන ගණිතමය න්‍යාසවල සුළු අභිසාරීතාවය මත ත්‍රිමාන පරිවර්තකයක් ව්‍යුත්පන්න කිරීම අපට ඉතා පැහැදිලිය. ප්‍රතිදානය කල්තියා නොදන්නා බැවින් මෙන්ම පශ්චාත්-අවකාශ කාලයට ඇතුළත් කර ඇති සියලුම විචල්‍යයන් නොදන්නා බැවින් කාර්යය සම්පූර්ණ කර දී ඇති ඛණ්ඩාංකවල සමීකරණය විසඳන්න. මත කෙටි කාලීනපොදු සාධකය වරහන් වලින් පිටත ගෙන ගොස් විශාලතම වලින් බෙදන්න පොදු බෙදුම්කරුකොටස් දෙකම කල්තියා. ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ආවරණය වන සංඛ්‍යා උප කුලකය යටතේ උපුටා ගැනීම සවිස්තරාත්මක මාර්ගයකෙටි කාලයක් තුළ පේළියේ ලකුණු තිස් තුනක්. තරම් දුරට එහි හොඳමසෑම සිසුවෙකුටම අන්තර්ජාලය හරහා සමීකරණය විසඳා ගත හැකිය, ඉදිරිය දෙස බලන විට, එක් වැදගත්, නමුත් ප්‍රධාන දෙයක් කියමු, එසේ නොමැතිව අපට අනාගතයේ ජීවත් වීම පහසු නොවනු ඇත. පසුගිය ශතවර්ෂයේදී ශ්රේෂ්ඨ විද්යාඥයා ගණිතයේ න්යායේ නිතිපතා ගණනාවක් නිරීක්ෂණය කළේය. ප්රායෝගිකව, එය සිදුවීම් පිළිබඳ අපේක්ෂිත හැඟීම නොවේ. කෙසේ වෙතත්, ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, මෙම සබැඳි සමීකරණ විසඳුමම අතීතය අධ්‍යයනය කිරීම සහ ප්‍රායෝගිකව තහවුරු කිරීම සඳහා සාකල්‍ය ප්‍රවේශයක් පිළිබඳ අවබෝධය සහ සංජානනය වැඩිදියුණු කිරීමට උපකාරී වේ. න්යායික ද්රව්යසිසුන් තුළ. ඔබේ අධ්‍යයන කාලය තුළ මෙය කිරීම වඩාත් පහසු වේ.

=

චතුරස්රාකාර සමීකරණ 8 ශ්රේණියේ අධ්යයනය කරනු ලැබේ, එබැවින් මෙහි සංකීර්ණ කිසිවක් නොමැත. ඒවා විසඳීමට ඇති හැකියාව අත්‍යවශ්‍යයි.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් යනු ax 2 + bx + c = 0 ආකාරයේ සමීකරණයකි, මෙහි සංගුණක a , b සහ c අත්තනෝමතික සංඛ්‍යා වන අතර a ≠ 0 වේ.

නිශ්චිත විසඳුම් ක්‍රම අධ්‍යයනය කිරීමට පෙර, සියලුම චතුරස්‍ර සමීකරණ පන්ති තුනකට බෙදිය හැකි බව අපි සටහන් කරමු:

1. මූලයන් නැත;
2. ඔවුන්ට හරියටම එක් මූලයක් ඇත;
3. ඔවුන්ට විවිධ මූලයන් දෙකක් ඇත.

මෙය චතුරස්රාකාර සහ රේඛීය සමීකරණ අතර වැදගත් වෙනසක් වන අතර, මූලය සැමවිටම පවතින අතර එය අද්විතීය වේ. සමීකරණයකට මූලයන් කීයක් තිබේදැයි තීරණය කරන්නේ කෙසේද? මේ සඳහා අපූරු දෙයක් තිබේ - වෙනස්කම් කරන.

වෙනස් කොට සලකනවා

චතුරස්රාකාර සමීකරණය ax 2 + bx + c = 0 ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න, එවිට වෙනස්කම් කිරීම සරලව D = b 2 - 4ac අංකය වේ.

මේ සූත්‍රය හදවතින් දත යුතුයි. එය කොහෙන්ද යන්න දැන් වැදගත් නොවේ. තවත් දෙයක් වැදගත් ය: වෙනස්කම් කරන්නාගේ ලකුණ අනුව, චතුරස්රාකාර සමීකරණයකට මූලයන් කීයක් තිබේද යන්න තීරණය කළ හැකිය. එනම්:

1. ඩී නම්< 0, корней нет;
2. D = 0 නම්, හරියටම එක් මූලයක් ඇත;
3. D > 0 නම්, මූල දෙකක් ඇත.

කරුණාකර සටහන් කරන්න: වෙනස්කම් කරන්නා මූලයන් ගණන පෙන්නුම් කරයි, නමුත් බොහෝ අය සිතන්නේ කිසියම් හේතුවක් නිසා ඒවායේ සලකුණු නොවේ. උදාහරණ දෙස බලන්න, එවිට ඔබට සියල්ල ඔබටම වැටහෙනු ඇත:

කාර්යයක්. චතුරස්රාකාර සමීකරණවලට මූලයන් කීයක් තිබේද:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

අපි පළමු සමීකරණය සඳහා සංගුණක ලියා වෙනස්කම් කරන්නෙමු:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

එබැවින්, වෙනස්කම් කරන්නා ධනාත්මක වේ, එබැවින් සමීකරණයට විවිධ මූලයන් දෙකක් ඇත. අපි දෙවන සමීකරණය එකම ආකාරයකින් විශ්ලේෂණය කරමු:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

වෙනස්කම් කරන්නා සෘණාත්මක ය, මූලයන් නොමැත. අවසාන සමීකරණය ඉතිරිව ඇත:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

වෙනස් කොට සැලකීම ශුන්‍යයට සමාන වේ - මූල එකක් වනු ඇත.

එක් එක් සමීකරණය සඳහා සංගුණක ලියා ඇති බව සලකන්න. ඔව්, එය දිගු, ඔව්, එය වෙහෙසකරයි - නමුත් ඔබ අවාසි මිශ්ර නොකරන අතර මෝඩ වැරදි සිදු නොකරන්න. ඔබම තෝරන්න: වේගය හෝ ගුණාත්මකභාවය.

මාර්ගය වන විට, ඔබ "ඔබේ අත පුරවා" නම්, ටික වේලාවකට පසු ඔබට සියලු සංගුණක ලිවීමට අවශ්ය නොවේ. ඔබ ඔබේ හිසෙහි එවැනි මෙහෙයුම් සිදු කරනු ඇත. බොහෝ අය මෙය කිරීමට පටන් ගන්නේ 50-70 සමීකරණ විසඳා ගැනීමෙන් පසුවය - පොදුවේ, එතරම් නොවේ.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන්

දැන් අපි විසඳුම වෙත යමු. වෙනස්කම් D > 0 නම්, සූත්‍ර භාවිතයෙන් මූලයන් සොයා ගත හැක:

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා මූලික සූත්රය

D = 0 විට, ඔබට මෙම සූත්‍රවලින් ඕනෑම එකක් භාවිතා කළ හැකිය - ඔබට එම අංකයම ලැබේ, එය පිළිතුර වනු ඇත. අවසාන වශයෙන්, ඩී නම්< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

පළමු සමීකරණය:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D > 0 ⇒ සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇත. අපි ඒවා සොයා ගනිමු:

දෙවන සමීකරණය:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = -1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ සමීකරණයට නැවතත් මූලයන් දෙකක් ඇත. අපි ඒවා සොයා ගනිමු

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]

අවසාන වශයෙන්, තුන්වන සමීකරණය:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ සමීකරණයට එක් මූලයක් ඇත. ඕනෑම සූත්රයක් භාවිතා කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, පළමු එක:

උදාහරණ වලින් ඔබට පෙනෙන පරිදි, සෑම දෙයක්ම ඉතා සරල ය. සූත්‍ර දැනගෙන ගණන් කරන්න පුළුවන් නම් ප්‍රශ්න ඇති වෙන්නේ නැහැ. බොහෝ විට, සෘණ සංගුණක සූත්‍රයට ආදේශ කරන විට දෝෂ ඇතිවේ. මෙන්න, නැවතත්, ඉහත විස්තර කර ඇති තාක්ෂණය උපකාරී වනු ඇත: සූත්රය වචනානුසාරයෙන් බලන්න, එක් එක් පියවර තීන්ත ආලේප කරන්න - සහ ඉතා ඉක්මනින් වැරදි ඉවත් කරන්න.

අසම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණ

චතුරස්රාකාර සමීකරණය අර්ථ දැක්වීමේ දක්වා ඇති දෙයට වඩා තරමක් වෙනස් බව සිදු වේ. උදාහරණ වශයෙන්:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 - 16 = 0.

මෙම සමීකරණවල එක් නියමයක් අතුරුදහන් වී ඇති බව දැකීම පහසුය. එවැනි චතුරස්රාකාර සමීකරණ සම්මත ඒවාට වඩා විසඳීමට පහසු ය: ඒවාට වෙනස්කම් කිරීම ගණනය කිරීමට පවා අවශ්ය නොවේ. එබැවින් අපි නව සංකල්පයක් හඳුන්වා දෙමු:

ax 2 + bx + c = 0 සමීකරණය b = 0 හෝ c = 0 නම් අසම්පූර්ණ චතුර් සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ, i.e. x විචල්‍යයේ සංගුණකය හෝ නිදහස් මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍යයට සමාන වේ.

ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම සංගුණක දෙකම ශුන්‍යයට සමාන වන විට ඉතා දුෂ්කර අවස්ථාවක් විය හැකිය: b \u003d c \u003d 0. මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණය පොරව 2 \u003d 0 ආකාරය ගනී. නිසැකවම, එවැනි සමීකරණයකට තනි එකක් ඇත මූල: x \u003d 0.

අපි වෙනත් අවස්ථා සලකා බලමු. b \u003d 0 ට ඉඩ දෙන්න, එවිට අපට ax 2 + c \u003d 0 ආකෘතියේ අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් ලැබේ. අපි එය තරමක් පරිවර්තනය කරමු:

අංක ගණිත වර්ගමූලය පවතින්නේ සෘණ නොවන සංඛ්‍යාවකින් පමණක් බැවින්, අවසාන සමානාත්මතාවය අර්ථවත් වන්නේ (-c / a ) ≥ 0 විට පමණි. නිගමනය:

1. ax 2 + c = 0 ආකාරයේ අසම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් අසමානතාවය (−c / a ) ≥ 0 තෘප්තිමත් කරන්නේ නම්, මූලයන් දෙකක් ඇත. සූත්‍රය ඉහත දක්වා ඇත;
2. නම් (-c / a )< 0, корней нет.

ඔබට පෙනෙන පරිදි, වෙනස්කම් කිරීම අවශ්ය නොවේ - අසම්පූර්ණයි චතුරස්රාකාර සමීකරණසංකීර්ණ ගණනය කිරීම් නොමැත. ඇත්ත වශයෙන්ම, අසමානතාවය (−c / a ) ≥ 0 මතක තබා ගැනීම පවා අවශ්ය නොවේ. x 2 හි අගය ප්රකාශ කිරීම සහ සමාන ලකුණේ අනෙක් පැත්තේ ඇති දේ බැලීම ප්රමාණවත්ය. එහි නම් ධනාත්මක අංකයමුල් දෙකක් ඇත. සෘණ නම්, මුලක් නැත.

දැන් අපි නිදහස් මූලද්‍රව්‍යය ශුන්‍යයට සමාන වන ax 2 + bx = 0 පෝරමයේ සමීකරණ සමඟ කටයුතු කරමු. මෙහි සෑම දෙයක්ම සරලයි: සෑම විටම මුල් දෙකක් ඇත. බහුපද සාධකකරණය කිරීම ප්රමාණවත්ය:

පොදු සාධකය වරහනෙන් පිටතට ගැනීම

අවම වශයෙන් එක් සාධකයක් ශුන්‍යයට සමාන වන විට නිෂ්පාදිතය ශුන්‍යයට සමාන වේ. මෙහි මූලයන් පැමිණේ. අවසාන වශයෙන්, අපි මෙම සමීකරණ කිහිපයක් විශ්ලේෂණය කරමු:

කාර්යයක්. චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳන්න:

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = -(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. මූලයන් නොමැත, මන්ද චතුරස්රය සෘණ අංකයකට සමාන විය නොහැක.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.