Розв'язання систем нелінійних рівнянь режиму, що встановився, методом ньютону - рафсона.

ДЕРЖАВНИЙ ОСВІТНИЙ УСТАНОВА

«Придністровський державний університетім. Т.Г. Шевченка»

Рибницька філія

Кафедра фізики, математики та інформатики

Курсова робота

з дисципліни: «Практикум щодо вирішення завдань на ЕОМ»

«Метод Ньютона для вирішення нелінійних рівнянь»

Виконала:

студентка ІІІ курсу;

330-ї групи

спеціальності: «Інформатика

з дод. спеціальністю англійська

Ністор А. Р..

Перевірила:

викладач Панченко Т.О.

Впровадження ЕОМ у всі сфери людської діяльності вимагає від фахівців різного профілю оволодіння навичками використання обчислювальної техніки. Підвищується рівень підготовки студентів вузів, які вже з перших курсів долучаються до використання ЕОМ та найпростіших чисельних методів, не кажучи вже про те, при виконанні курсових та дипломних проектів застосування обчислювальної техніки стає нормою в переважній більшості вузів.

Обчислювальна техніка використовується зараз у інженерних розрахунках і економічних науках, а й таких традиційно нематематичних спеціальностях, як медицина, лінгвістика, психологія. У зв'язку з цим можна констатувати, що застосування ЕОМ набуло масового характеру. Виникла численна категорія фахівців – користувачів ЕОМ, яким необхідні знання щодо застосування ЕОМ у своїй галузі – навички роботи з вже наявним програмним забезпеченням, а також створення свого власного програмного забезпечення, пристосованого для вирішення конкретної задачі І тут на допомогу користувачеві приходять описи мов програмування високого рівнята чисельні методи.

Численні методи розробляють та досліджують, як правило, висококваліфіковані фахівці-математики. Для більшості користувачів головним завданням є розуміння основних ідей та методів, особливостей та областей застосування. Однак, користувачі хочуть працювати з ЕОМ не тільки як з високоінтелектуальним калькулятором, а ще і як з помічником повсякденній роботі, сховищем інформації зі швидким та впорядкованим доступом, а також із джерелом та обробником графічної інформації. Всі ці функції сучасної ЕОМ я припускаю продемонструвати у цій роботі.

Цілі і завдання.

Метою даної курсової роботиє вивчення та реалізація в програмному продуктірозв'язання нелінійних рівнянь з допомогою методу Ньютона. Ця робота складається з трьох розділів, висновків та додатків. Перший розділ – теоретичний і містить загальні відомостіпро метод Ньютона. Другий – це практична частина. Тут описується метод Ньютона розібраний на конкретні приклади. Третій присвячений тестуванню програми та аналізу результатів. Наприкінці подано висновок про виконану роботу.

Метою даної курсової є програмна реалізація методу Ньютона на вирішення нелінійних рівнянь.

Для цього необхідно виконати такі завдання:

1. Вивчити потрібну літературу.

2. Оглядово розглянути існуючі методиу вирішенні нелінійних рівнянь.

3. Вивчити метод Ньютона на вирішення нелінійних рівнянь.

4. Розглянути рішення нелінійних рівнянь методом Ньютона на конкретних прикладах.

5. Розробити програму на вирішення нелінійних рівнянь методом Ньютона.

6. Проаналізувати результати.

Розглянемо задачу знаходження коріння нелінійного рівняння

Корінням рівняння (1) називаються такі значення х, які при підстановці перетворюють його на тотожність. Тільки найпростіших рівнянь вдається визначити рішення як формул, тобто. аналітичному вигляді. Найчастіше доводиться вирішувати рівняння наближеними методами, найбільшого поширення серед яких, у зв'язку з появою комп'ютерів, набули чисельні методи.

Алгоритм знаходження коріння наближеними методами можна розбити на два етапи. На першому вивчається розташування коренів та проводиться їх поділ. Знаходиться область , де існує корінь рівняння чи початкове наближення до кореня x 0 . Найпростіший спосіброзв'язання цієї задачі є дослідження графіка функції f(x). У випадку для її вирішення необхідно залучати всі засоби математичного аналізу.

Існування на знайденому відрізку принаймні одного кореня рівняння (1) випливає з умови Больцано:

f(a)*f(b)<0 (2)

При цьому мається на увазі, що функція f(x) безперервна на даному відрізку. Однак ця умова не відповідає на питання про кількість коренів рівняння на заданому відрізку. Якщо ж вимогу безперервності функції доповнити ще вимогою її монотонності, але це випливає з знаковості першої похідної , можна стверджувати існування єдиного кореня на заданому відрізку.

При локалізації коренів важливо також знання основних властивостей даного типу рівняння. Наприклад, нагадаємо, деякі властивості алгебраїчних рівнянь:

де речові коефіцієнти.

а) Рівняння ступеня n має n коріння, серед яких можуть бути як речові, так і комплексні. Комплексне коріння утворює комплексно-сполучені пари і, отже, рівняння має парне число таких коренів. При непарному значенні n є щонайменше один речовий корінь.

б) Число позитивних речових коренів менше або дорівнює кількості змінних знаків у послідовності коефіцієнтів. Заміна х на –х у рівнянні (3) дозволяє у такий самий спосіб оцінити кількість негативних коренів.

З другого краю етапі рішення рівняння (1), використовуючи отримане початкове наближення, будується ітераційний процес, що дозволяє уточнювати значення кореня з деякою, наперед заданою точністю . Ітераційний процес полягає у послідовному уточненні початкового наближення. Кожен такий крок називається ітерацією. В результаті процесу ітерації знаходиться послідовність наближених значень коренів рівняння. Якщо ця послідовність зі зростанням n наближається до справжнього значення кореня x, то ітераційний процес сходиться. Кажуть, що ітераційний процес сходиться щонайменше з порядком m, якщо виконано умову:

, (4)

де С>0 деяка константа. Якщо m=1 , то говорять про збіжність першого порядку; m=2 - про квадратичну, m=3 - про кубічну збіжність.

Ітераційні цикли закінчуються, якщо за заданої допустимої похибки виконуються критерії по абсолютним чи відносним відхиленням:

або трохи нев'язки:

Ця робота присвячена вивченню алгоритму розв'язання нелінійних рівнянь за допомогою методу Ньютона.

1.1 Огляд існуючих методів розв'язання нелінійних рівнянь

Існує багато різних методів розв'язання нелінійних рівнянь, деякі з них представлені нижче:

1)Метод ітерацій. При вирішенні нелінійного рівняння методом ітерацій скористаємося записом рівняння як x=f(x). Визначаються початкове значення аргументу x 0 і точність ε. Перше наближення рішення x 1 знаходимо з виразу x 1 = f (x 0), друге - x 2 = f (x 1) і т.д. У загальному випадку i+1 наближення знайдемо за формулою xi+1 = f(xi). Зазначену процедуруповторюємо поки що |f(xi)|>ε. Умова збіжності методу ітерацій | f "(x) |<1.

2)Метод Ньютона. При вирішенні нелінійного рівняння методом Ньтона задаються початкове значення аргументу х 0 і точність ε. Потім у точці (x 0 F (x 0)) проводимо дотичну до графіка F (x) і визначаємо точку перетину дотичної з віссю абсцис x 1 . У точці (x 1 F (x 1)) знову будуємо дотичну, знаходимо наступне наближення шуканого рішення x 2 і т.д. Зазначену процедуру повторюємо поки що |F(xi)| > ε. Для визначення точки перетину (i+1) дотичної з віссю абсцис скористаємося наступною формулою x i+1 =x i -F(xi) F'(xi). Умова збіжності методу дотичних F(x 0)∙F""(x)>0, та ін.

3). Метод дихотомії.Методика рішення зводиться до поступового поділу початкового інтервалу невизначеності навпіл за формулою С к = а к + в к /2.

Для того щоб вибрати з двох відрізків необхідний, треба знаходити значення функції на кінцях відрізків, що виходять, і розглядати той на якому функція буде змінювати свій знак, тобто повинна виконуватися умова f (а к) * f (в ​​к)<0.

Процес розподілу відрізка проводиться до тих пір, поки довжина поточного інтервалу невизначеності не буде меншою за задану точність, тобто

в Як< E. Тогда в качестве приближенного решения уравнения будет точка, соответствующая середине интервала неопределённости.

4). Метод хорд. Ідея методу полягає в тому, що на відрізку будується хорда стягує кінці дуги графіка функції y=f(x), а точка c перетину хорди з віссю абсцис вважається наближеним значенням кореня

c = a - (f(a)Ч (a-b)) / (f(a) - f(b)),

c = b - (f(b)Ч(a-b)) / (f(a) - f(b)).

Наступне наближення шукається на інтервалі або в залежності від символів значень функції в точках a, b, c

x* Про якщо f(с)Ч f(а) > 0 ;

x* Про якщо f(c)Ч f(b)< 0 .

Якщо f"(x) не змінює знак на , то позначаючи c = x 1 і вважаючи початковим наближенням a або b отримаємо ітераційні формули методу хорд із закріпленою правою або лівою точкою.

x 0 =a, x i+1 = x i - f(xi) (b-xi) / (f(b)-f(xi), при f "(x) Ч f "(x) > 0;

x 0 = b, x i + 1 = x i - f (x i) (xi -a) / (f (xi) - f (a), при f "(x) Ч f "(x)< 0 .

Збіжність методу хорд лінійна.

1.2 Алгоритм методу Ньютона

Побудуємо ефективний алгоритм обчислення коренів рівняння. Нехай задано початкове наближення. Обчислимо в цій точці значення функції та її похідної. Розглянемо графічну ілюстрацію методу:

.

(8)

Продовжуючи цей процес, отримаємо відому формулуНьютона:

(9)

Наведемо найпростішу рекурсивну підпрограму-функцію:

function X_Newt(x,eps:real):real;

y:=x-f(x)/f1(x);

if abs(f(x)) > eps

then X_Newt:=X_Newt(y,eps)

Метод Ньютона (дотичних) характеризується квадратичною швидкістю збіжності, тобто. кожної ітерації подвоюється число вірних символів. Проте це метод який завжди призводить до потрібного результату. Розглянемо це докладніше.

Перетворимо рівняння (1) до еквівалентного рівняння виду:

У разі методу дотичних . Якщо відомо початкове наближення до кореня x=x 0 то наступне наближення знайдемо з рівняння x 1 =g(x 0), далі x 2 =g(x 1),... Продовжуючи цей процес, отримаємо рекурентну формулу методу простої ітерації

x k + 1 = g (x k) (11)

Ітераційний процес триває доти, доки не будуть виконані умови (5-7).

Чи завжди описаний обчислювальний процес призводить до шуканого рішення? За яких умов він буде схожим? Для відповіді на ці питання знову звернемося до геометричної ілюстрації методу.

Корінь рівняння є точкою перетину функцій y=x та y=g(x). Як видно із рис. 3(а), якщо виконується умова , процес сходиться, інакше – розходиться (рис3(б)).

Отже, щоб ітераційний процес був схожим і призводив до шуканого результату, потрібно виконання умови:

Перехід від рівняння f(x)=0 до рівняння х=g(x) можна здійснювати у різний спосіб. При цьому важливо, щоб обрана функція g(x) задовольняла умову (12). Наприклад, якщо функцію f(x) помножити довільну константу q і додати до обох частин рівняння (1) змінну х, то g(x)=q*f(x)+x . Виберемо константу q такий, щоб швидкість збіжності алгоритму була найвищою. Якщо 1

Метод Ньютона має високу швидкість збіжності, проте він не завжди сходиться. Умова збіжності , де g(x) = x – f(x)/ f'(x) зводиться до вимоги .

У практичних розрахунках важливо вибирати початкове значення якомога ближче до шуканого значення, а в програмі встановлювати запобіжник від зациклювання.

Недоліком методу і те, що у кожному кроці необхідно обчислювати як функцію, а й її похідну. Це не завжди зручно. Одна з модифікацій методу Ньютона - обчислення похідної лише першої ітерації:

(13)

Інший метод модифікації – заміна похідної кінцевої різниці

(14)

Тоді (15)

Геометричний зміст такої зміни алгоритму Ньютона полягає в тому, що від дотичної ми приходимо до січної. Метод січень поступається методу Ньютона у швидкості збіжності, але не вимагає обчислення похідної. Зауважимо, що початкові наближення в методі січучих можуть розташовуватися як з різних боків від кореня, так і з одного боку.

Запишемо у вигляді алгоритм методу Ньютона.

1. Задати початкове наближення х (0) так, щоб виконалася умова

f(x(0))*f''(x(0))>0. (16)

Задати мале додатне числоε, як точність обчислень. Покласти до = 0.

2. Обчислити х (к+1) за формулою (9):

.

3. Якщо | x(k+1) - x(k) |< ε, то процесс вычисления прекратить и положить х* = x (k+1) . Інакше збільшити на 1 (к = до + 1) і перейти до пункту 2.

Вирішимо вручну кілька нелінійних рівнянь методом Ньютона, а потім звіримо результати з тими, що вийдуть при реалізації програмного продукту.

Приклад 1

sin x 2 + cosx 2 – 10x. = 0.

F'(x)=2x cosx 2 - 2x sinx 2 - 10.

F''(x)=2cosx 2 - 4x 2 sinx 2 - 2sinx 2 - 4x 2 cosx 2 = cosx 2 (2-4x 2) - sinx 2 (2+4x 2).

Тепер, виходячи з графіка, візьмемо перший наближений корінь і перевіримо умову (16): f(x(0)) * f'(x(0)) > 0.

Нехай x(0) = 0,565, тоді f(0.565)*f''(0.565) = -4. 387 * (-0. 342) = 1. 5 > 0,

Умова виконується, отже беремо x(0) = 0,565.

k	x(k)	f(x(k))	f'(x(k))	| x(k+1) - x(k) |
0	0. 565	-4. 387	-9. 982	0. 473
1	0. 092	0. 088	-9. 818	0. 009
2	0. 101	0. 000	-9. 800	0. 000
3	0. 101

Звідси випливає, що корінь рівняння х = 0,101.

Приклад 2

Вирішити рівняння методом Ньютона.

cos x - e-x2/2 + x - 1 = 0

Обчислення з точністю ε = 0, 001.

Обчислимо першу похідну функції.

F'(x) = 1 - sin x + x * e -x2/2.

Тепер обчислимо другу похідну функції.

F''(x) = e -x2/2 * (1-x 2) - cos x.

Побудуємо наближений графік цієї функції.

Тепер, виходячи з графіка, візьмемо перший наближений корінь і перевіримо умову (16): f(x(0)) * f'(x(0)) > 0.

Нехай x(0) = 2, тоді f(2)*f’’(2) = 0. 449 * 0. 010 = 0.05 > 0,

Умова виконується, отже, беремо x(0) = 2.

Тепер складемо таблицю значень для вирішення даного рівняння.

k	x(k)	f(x(k))	f'(x(k))	| x(k+1) - x(k) |
0	2	0. 449	0. 361	1. 241
1	-0. 265	0. 881	0. 881	0. 301
2	-0. 021	0. 732	0. 732	0. 029
3	0. 000	0. 716	0. 716	0. 000
4	1. 089

Звідси випливає, що корінь рівняння х = 1.089.

Приклад 3

Вирішити рівняння методом Ньютона.

Обчислення з точністю ε = 0, 001.

Обчислимо першу похідну функції.

F'(x) = 2 * x + e-x.

Тепер обчислимо другу похідну функції.

F''(x) = 2 - e-x.

Побудуємо наближений графік цієї функції.

Тепер, виходячи з графіка, візьмемо перший наближений корінь і перевіримо умову (16): f(x(0)) * f'(x(0)) > 0.

Нехай x(0) = 1, тоді f(2)*f''(2) = 0. 632 * 1, 632 = 1, 031 > 0,

Тепер складемо таблицю значень для вирішення даного рівняння.

k	x(k)	f(x(k))	f'(x(k))	| x(k+1) - x(k) |
0	1, 000	0, 632	2, 368	0, 267
1	0, 733	0, 057	1, 946	0, 029
2	0, 704	0, 001	1, 903	0, 001
3	0, 703

Звідси випливає, що корінь рівняння х = 0,703.

Вирішити рівняння методом Ньютона.

cos x -e-x/2 + x-1 = 0.

Обчислимо першу похідну функції.

F'(x) = -sin x + e-x/2/2+1.

Тепер обчислимо другу похідну функції.

F''(x) = -cos x - e-x/2/4.

Побудуємо наближений графік цієї функції.

Тепер, виходячи з графіка, візьмемо перший наближений корінь і перевіримо умову (16): f(x(0)) * f'(x(0)) > 0.

Нехай x(0) = 1, тоді f(2)*f''(2) = -0. 066 * (-0.692) = 0. 046 > 0,

Умова виконується, отже, беремо x (0) = 1.

Тепер складемо таблицю значень для вирішення даного рівняння.

k	x(k)	f(x(k))	f'(x(k))	| x(k+1) - x(k) |
0	1, 000	-0. 066	0. 462	0. 143
1	1. 161	-0. 007	0. 372	0. 018
2	1. 162	0. 0001.	0. 363	0. 001
3	1. 162

Звідси випливає, що корінь рівняння х = 1. 162.

Приклад 5

Вирішити рівняння методом Ньютона.

2+e x - e-x = 0.

Обчислимо першу похідну функції.

F'(x) = e x + e-x.

Тепер обчислимо другу похідну функції.

F''(x) = e x -e -x.

Побудуємо наближений графік цієї функції.

Тепер, виходячи з графіка, візьмемо перший наближений корінь і перевіримо умову (16): f(x(0)) * f'(x(0)) > 0.

Нехай x(0) = 1, тоді f(2)*f''(2) = 0. 350 * 2, 350 = 0. 823 > 0,

Умова виконується, отже, беремо x (0) = 1.

Тепер складемо таблицю значень для вирішення даного рівняння.

k	x(k)	f(x(k))	f'(x(k))	| x(k+1) - x(k) |
0	1, 000	0, 350	3, 086	0, 114
1	0, 886	0, 013	2, 838	0, 005
2	0, 881	0, 001	2, 828	0, 000
3	0, 881

Звідси випливає, що корінь рівняння х = 0,881.

3.1 Опис програми

Ця програма створена для роботи в текстовому та графічному режимі. Вона складається з модуля Graph, Crt, трьох функцій та трьох процедур.

1. модуль Crt призначений забезпечення контролю над текстовими режимами екрана, розширеними кодами клавіатури, кольорами, вікнами і звуком;

2. модуль Graph призначений забезпечення контролю над графічними об'єктами;

3. procedure GrafInit – ініціалізує графічний режим;

4. function VF - обчислює значення функції;

5. function f1 - обчислює значення першої похідної функції;

6. function X_Newt – реалізує алгоритм розв'язання рівняння методом Ньютона.

7. procedure FGraf – реалізує побудову графіка заданої функції f(x);

Ots=35 - константа, визначальна кількість точок для відступу від меж монітора;

fmin, fmax – максимальні та мінімальні значення функції;

SetColor(4) – процедура, яка встановлює поточний колір графічного об'єкта, використовуючи палітру, даному випадкуце червоний колір;

SetBkColor(9) – процедура, яка встановлює поточний колір фону, використовуючи палітру, в даному випадку це світло-синій колір.

8. Procedure MaxMinF – обчислять максимальні та мінімальні значення функції f(x).

Line – процедура, яка малює лінію з точки з координатами (x1, у1) у точку з координатами (х2, у2);

MoveTo - процедура, що переміщає покажчик (СР) в точку з координатами (х, у);

TextColor(5) – процедура, яка встановлює поточний колір символів, у разі – це рожевий;

Outtexty(х, у, 'рядок') – процедура, яка виводить рядок, починаючи з позиції (х, у)

CloseGraph – процедура, яка закриває графічну систему.

3.2 Тестування програми

Для тестування програми візьмемо приклади, які вирішували в практичній частині роботи, щоб звірити результати та перевірити правильність роботи програми.

1) sin x 2 + cosx 2 – 10x. = 0.

Введіть а = -1

Введіть b=1

= [-1, 1]

(виведення графіка функції)

Отримаємо: х = 0, 0000002

2) cos x - e-x2 / 2 + x - 1 = 0.

Ця програма обчислює коріння нелінійного рівняння методом Ньютона з точністю eps і креслить приблизний графік функції на відрізку.

Введіть а = -3

Введіть b=3

= [-3, 3]

(виведення графіка функції)

Корінь рівняння, знайдений методом Ньютона:

зробимо перевірку, підставивши отриману відповідь у рівняння.

Отримаємо: х=-0, 0000000

3) x 2 - e-x = 0.

Ця програма обчислює коріння нелінійного рівняння методом Ньютона з точністю eps і креслить приблизний графік функції на відрізку.

Введіть а = -1

Введіть b=1

= [-1, 1]

Введіть точність обчислення eps=0. 01

(виведення графіка функції)

Корінь рівняння, знайдений методом Ньютона:

зробимо перевірку, підставивши отриману відповідь у рівняння.

Отримаємо: х = 0, 0000000

4) cos x -e-x / 2 + x-1 = 0.

Ця програма обчислює коріння нелінійного рівняння методом Ньютона з точністю eps і креслить приблизний графік функції на відрізку.

Введіть а = -1,5

Введіть b=1,5

= [-1,5, 1,5 ]

Введіть точність обчислення eps=0. 001

(виведення графіка функції)

Корінь рівняння, знайдений методом Ньютона:

зробимо перевірку, підставивши отриману відповідь у рівняння.

Отримаємо: х = 0, 0008180

5) -2+e x - e-x = 0.

Ця програма обчислює коріння нелінійного рівняння методом Ньютона з точністю eps і креслить приблизний графік функції на відрізку.

Введіть а = -0,9

Введіть b=0,9

= [-0,9, 0,9]

Введіть точність обчислення eps=0. 001

(виведення графіка функції)

Корінь рівняння, знайдений методом Ньютона:

Зробимо перевірку, підставивши отриману відповідь у рівняння.

Метою роботи було створити програму, яка обчислює корінь нелінійного рівняння методом Ньютона. Виходячи з цього, можна зробити висновок, що мети досягнуто, тому що для її здійснення були вирішені такі завдання:

1. Вивчено необхідну літературу.

2.Оглядно розглянуті існуючі методи вирішення нелінійних рівнянь.

3. Вивчений метод Ньютона на вирішення нелінійних рівнянь.

4.Розглянуто рішення нелінійних рівнянь методом Ньютона з прикладу.

5.Проведено тестування та налагодження програми.

Список використаної літератури

1. Б.П. Демидович, І.А Марон. Основи обчислювальної математики. - Москва, вид. "Наука"; 1970.

2. В.М. Вержбицький. Чисельні методи (лінійна алгебра та нелінійні рівняння). - Москва, " вища школа»; 2000.

3. Н.С.Бахвалов, А.В.Лапін, Є.В.Чіжонков. Чисельні методи у завданнях та вправах. - Москва, «Вища школа»; 2000.

4. Метьюз, Джон, Г., Фінк, Куртіс, Д. Чисельні методи MATLAB, 3-е видання. - Москва, «Вільяс»; 2001.



Ключові слова:

Мета роботи: вивчити методи розв'язання нелінійних рівнянь з одним невідомим та апробувати їх у дослідно-експериментальній роботі.

Завдання роботи:

1. Проаналізувати спеціальну літературу та вибрати найбільш раціональні способи розв'язання нелінійних рівнянь, що дозволяють глибоко вивчити та засвоїти цю темуусім випускникам середньої школи.
2. Розробити деякі аспекти методики розв'язання нелінійних рівнянь із застосуванням ІКТ.
3. Вивчити методи розв'язання нелінійних рівнянь:

‒ Кроковий метод

‒ Метод поділу навпіл

‒ Метод Ньютона

Вступ.

Без математичної грамотності неможливе успішне освоєння методів вирішення завдань з фізики, хімії, біології та інших предметів. Весь комплекс природничих наук побудований та розвивається з урахуванням математичних знань. Наприклад, дослідження низки актуальних завдань математичної фізики призводить до необхідності розв'язання нелінійних рівнянь. Вирішення нелінійних рівнянь необхідне в нелінійній оптиці, фізиці плазми, теорії надпровідності та фізиці низьких температур. На цю тему є достатня кількість літератури, але у багатьох підручниках та статтях важко розібратися учневі середньої школи. У роботі розглянуті методи розв'язання нелінійних рівнянь, які можна використовувати під час вирішення прикладних завдань фізики, хімії. Цікавим видається аспект застосування інформаційних технологій до вирішення рівнянь та завдань з математики.

Кроковий метод.

Нехай потрібно розв'язати нелінійне рівняння виду рівняння F(x)=0. Припустимо, що нам заданий деякий інтервал пошуку . Потрібно знайти інтервал [а,b] довжиною h, що містить перший корінь рівняння, починаючи з лівої межі інтервалу пошуку.

Мал. 1. Кроковий метод

Вирішити таке завдання можна кількома способами. Кроковий метод є найпростішим із чисельних методів розв'язання нерівностей, але досягнення великої точності необхідно істотно зменшити крок, але це сильно збільшує час розрахунків. Алгоритм розв'язання рівнянь за допомогою даного методускладається із двох етапів.

Iетап. Відділення коріння.

На цьому етапі визначаються ділянки, на кожному з яких знаходиться лише один корінь рівняння. Є кілька варіантів реалізації цього етапу:

• Підставляємо значення X (бажано з якимось досить дрібним кроком) і дивимося, де функція змінить знак. Якщо функція змінила знак, це означає, що на ділянці між попереднім і поточним значенням X лежить корінь (якщо функція не змінює характеру зростання/зменшення, то можна стверджувати, що корінь на цьому інтервалі один).
• Графічний метод. Будуємо графік та оцінюємо на яких інтервалах лежить один корінь.
• Досліджуємо властивості конкретної функції.

IIетап. Уточнення коріння.

На цьому етапі значення коренів рівняння, визначених раніше, уточнюється. Як правило, на цьому етапі використовуються ітераційні методи. Наприклад, метод половинного поділу(Дихотомія) або метод Ньютона.

Метод половинного поділу

Швидкий і досить простий чисельний метод розв'язання рівнянь, заснований на послідовному звуженні інтервалу, що містить єдиний корінь рівняння F(x)=0 доти, доки досягнуто задана точність Е. Даний метод зазвичай використовується під час вирішення квадратних рівняньта рівнянь вищих ступенів. Однак у даного методу є істотний недолік - якщо на відрізку [а, b] міститься більше одного кореня, то за його допомогою не вдасться досягти добрих результатів.

Мал. 2. Метод дихотомії

Алгоритм цього методу наступний:

‒ Визначити нове наближення кореня х у середині відрізка [а;b]: х=(а+b)/2.

‒ Знайти значення функції в точках а та х: F(a) та F(x).

‒ Перевірити умову F(a)*F(x)

‒ Перейти до пункту 1 і поділити відрізок навпіл. Алгоритм продовжити доти, доки буде виконано умова |F(x)|

Метод Ньютона

Найточніший із чисельних методів рішення; підходить для вирішення дуже складних рівняньале ускладнюється необхідністю обчислення похідних на кожному кроці. полягає в тому, що якщо x n - деяке наближення до кореня рівняння , то наступне наближення визначається як корінь щодо функції f(x), проведеної в точці x n .

Рівняння щодо функції f(x) у точці x n має вигляд:

У рівнянні дотичної покладемо y = 0 і x = x n +1.

Тоді алгоритм послідовних обчислень у методі Ньютона полягає у наступному:

Збіжність методу дотичних квадратична, порядок збіжності дорівнює 2.

Отже, збіжність методу дотичних Ньютона дуже швидка.

Без змін метод узагальнюється на комплексний випадок. Якщо корінь xi є коренем другої кратності і вище, то порядок збіжності падає і стає лінійним.

До недоліків методу Ньютона слід віднести його локальність, оскільки він гарантовано сходиться при довільному стартовому наближенні, тільки якщо скрізь виконано умову , В противній ситуації збіжність є лише в деякій околиці кореня.

Метод Ньютона (метод дотичних) зазвичай застосовується у разі, якщо рівняння f(x) = 0має корінь і виконуються умови:

1) функція y= f(x)визначена і безперервна при ;

2) f(a)·f(b) (функція набуває значень різних знаків на кінцях відрізка [ a;b]);

3) похідні f"(x)і f""(x)зберігають знак на відрізку [ a;b] (тобто функція f(x)або збільшується, або зменшується на відрізку [ a;b], зберігаючи при цьому напрям опуклості);

Сенс методу полягає в наступному: на відрізку [ a;b] вибирається таке число x 0за якого f(x 0)має той самий знак, що й f""(x 0),тобто виконується умова f(x 0)·f""(x) > 0. Таким чином, вибирається крапка з абсцисою x 0, в якій стосується кривої y=f(x)на відрізку [ a;b] перетинає вісь Ox. За крапку x 0спочатку зручно вибирати один із кінців відрізка.

Розглянемо цей алгоритм на конкретному прикладі.

Нехай нам дано зростаюча функція y = f(x) = x 2-2,безперервна на відрізку (0;2) і має f "(x) = 2x> 0і f""(x) = 2> 0.

У нашому випадку рівняння дотичної має вигляд: y-y 0 = 2x 0 · (x-x 0).У як точка x 0 вибираємо точку B 1 (b; f(b)) = (2,2).Проводимо дотичну до функції y = f(x)у точці B 1 , і позначаємо точку перетину дотичної та осі Oxточкою x 1. Отримуємо рівняння першої дотичної: y-2 = 2 · 2 (x-2), y = 4x-6. Ox: x 1 =

Мал. 3. Побудова першої щодо графіку функції f(x)

y=f(x) Oxчерез точку x 1, отримуємо точку У 2 = (1.5; 0.25). Знову проводимо дотичну до функції y = f(x)в точці В 2 і позначаємо точку перетину дотичної і Oxточкою x 2.

Рівняння другої дотичної: y-2.25 = 2 * 1.5 (x-1.5), y = 3x - 4.25.Точка перетину дотичної та осі Ox: x 2 =.

Потім знаходимо точку перетину функції y=f(x)та перпендикуляра, проведеного до осі Oxчерез точку x 2 отримуємо точку В 3 і так далі.

Мал. 4. Побудова другої щодо графіку функції f(x)

Перше наближення кореня визначається за такою формулою:

= 1.5.

Друге наближення кореня визначається за такою формулою:

=

Третє наближення кореня визначається за такою формулою:

Таким чином , i-е наближення кореня визначається за такою формулою:

Обчислення ведуться доти, доки не буде досягнуто збігу десяткових знаків, які необхідні у відповіді, або заданої точності e - до виконання нерівності |xi-xi-1|

У нашому випадку порівняємо наближення, отримане на третьому кроці з реальною відповіддю. Як видно, вже на третьому кроці ми отримали похибку менше ніж 0.000002.

Рішення рівняння за допомогою САПРMathCAD

Для найпростіших рівнянь виду f(x) = 0 рішення в MathСAD знаходиться за допомогою функції root.

root(f (х 1 , x 2 , … ) х 1 , a, b ) - повертає значення х 1 , що належить відрізку [ a, b ] , при якому вираз чи функція f (х ) звертається до 0. Обидва аргументи цієї функції мають бути скалярами. Функція повертає скаляр.

Мал. 5. Вирішення нелінійного рівняння в MathCAD (функція root)

Якщо в результаті застосування цієї функції виникає помилка, то це може означати, що рівняння не має коріння, або коріння рівняння розташоване далеко від початкового наближення, вираз має локальні maxі minміж початковим наближенням та корінням.

Щоб встановити причину помилки, необхідно дослідити графік функції f(x). Він допоможе з'ясувати наявність коренів рівняння f(x) = 0 і якщо вони є, то визначити приблизно їх значення. Чим точніше вибрано початкове наближення кореня, то швидше буде знайдено його точне значення.

Якщо початкове наближення невідоме, доцільно використовувати функцію solve . При цьому якщо рівняння містить декілька змінних, потрібно вказати після ключового слова solve список змінних, щодо яких вирішується рівняння.

Мал. 6. Вирішення нелінійного рівняння в MathCAD (функція solve)

Висновок

У ході дослідження були розглянуті як математичні методи, і рішення рівнянь з використанням програмування в САПР MathCAD. Різні методимають свої переваги та недоліки. Слід зазначити, що застосування того чи іншого методу залежить від початкових умов заданого рівняння. Ті рівняння, які добре вирішуються відомими у школі методами розкладання на множники тощо, не має сенсу вирішувати більше складними способами. Прикладні завданняматематики, важливі для фізики, хімії та потребують складних обчислювальних операцій при вирішенні рівнянь, успішно вирішуються, наприклад, за допомогою програмування. Їх добре вирішувати методом Ньютона.

Для уточнення коренів можна застосовувати кілька методів розв'язання того самого рівняння. Саме це дослідження лягло в основу даної роботи. При цьому легко простежити, який метод найбільш вдалий при вирішенні кожного етапу рівняння, а який метод на цьому етапі краще не застосовувати.

Вивчений матеріал, з одного боку, сприяє розширенню та поглибленню математичних знань, прищепленню інтересу до математики. З іншого боку, завдання реальної математики важливо вміти вирішувати тим, хто має намір придбати професії технічного та інженерного спрямування. Тому дана роботамає значення для подальшої освіти (наприклад, у вищому навчальному закладі).

Література:

1. Мітяков С. Н. Інформатика. Комплекс навчально-методичних матеріалів. - Н. Новгород: Нижегород. держ. техн. ун-т., 2006
2. Вайнберг М. М., Треногін В. А. Теорія розгалуження розв'язків нелінійних рівнянь. М.: Наука, 1969. – 527 с.
3. Бронштейн І. Н., Семендяєв К. А. Довідник з математики для інженерів та учнів ВТНЗ - М.: Наука, 1986.
4. Омельченко В. П., Курбатова Е. В. Математика: навчальний посібник. - Ростов н/Д.: Фенікс, 2005.
5. Савін А. П. Енциклопедичний словникмолодого математика. - М: Педагогіка, 1989.
6. Корн Г., Корн Т. Довідник з математики для науковців та інженерів. - М: Наука, 1973.
7. Кір'янов Д. Mathcad 15/MathcadPrime 1.0. - С-Пб: БХВ-Петербург, 2012.
8. Черняк А., Черняк Ж., Доманова Ю. Вища математика з урахуванням Mathcad. Загальний курс. - С-Пб.: БХВ-Петербург, 2004.
9. Поршнєв С., Беленкова І. Чисельні методи з урахуванням Mathcad. - С-Пб: БХВ-Петербург, 2012.

Ключові слова: нелінійні рівняння, прикладна математика, САПР MathCAD, метод Ньютона, кроковий метод, метод дихотомії.

Анотація: Стаття присвячена вивченню методів розв'язання нелінійних рівнянь, зокрема з використанням системи автоматизованого проектування MathCAD. Розглянуто кроковий метод, методи половинного поділу та Ньютона, наведено докладні алгоритмизастосування даних методів, а також проведено порівняльний аналізвказаних методів.

Завдання про знаходження рішень системи з n нелінійних алгебраїчних або трансцендентних рівнянь з невідомими виду

	f 1(x 1, x 2, … x n ) = 0,
	f 2(x 1, x 2, … x n ) = 0,
	……………………
	f n (x 1, x 2, ... x n) = 0,

широко розглянута у обчислювальній практиці. Подібні системи рівнянь можуть виникати, наприклад, при чисельному нелінійному моделюванні фізичних системна етапі пошуку їхніх стаціонарних станів. У отруті випадків системи виду (6.1) виходять опосередковано, у процесі вирішення деякої іншої обчислювальної задачі. Наприклад, намагаючись мінімізувати функцію кількох змінних, можна шукати ті точки багатовимірного простору, де градієнт функції дорівнює нулю. У цьому доводиться вирішувати систему рівнянь (6.1) з лівими частинами – проекціями градієнта координатні осі.

У векторних позначеннях систему (6.1) можна записати у більш компактній формі

вектор стовпець функцій, символом () T позначена операція транспо-

Пошук рішень системи нелінійних рівнянь – це набагато складніша, ніж рішення одного нелінійного рівняння. Проте ряд ітераційних методів розв'язання нелінійних рівнянь може бути поширений і системи нелінійних рівнянь.

Метод простої ітерації

p align="justify"> Метод простої ітерації для систем нелінійних рівнянь по суті є узагальненням однойменного методу для одного рівняння. Він заснований на тому, що система рівнянь (6.1) наводиться до вигляду

x 1 = g 1 (x 1, x 2, …, x n), x 2 = g 2 (x 1, x 2, …, x n),

……………………

x n = g n (x 1, x 2, …, x n),

та ітерації проводяться за формулами

x 1 (k + 1) = g 1 (x 1 (k), x 2 (k), …, x n (k)), x 2 (k + 1) = g 2 (x 1 (k), x 2 (k), …, x n (k)),

……………………………

x n (k + 1) = g n (x 1 (k), x 2 (k), …, x n (k)).

Тут верхній індекс свідчить про номер наближення. Ітераційний процес (6.3) починається з деякого початкового наближення

(x 1 (0 ) ,x 2 (0 ) ,… ,x n (0 ) ) і продовжуються до тих пір, поки модулі прирощень

всіх аргументів після однієї k-ітерації не стануть меншими за задану величинуε :x i (k + 1 ) − x i (k )< ε дляi = 1,2,… ,n .

Хоча метод простої ітерації прямо веде до рішення і легко програмується, він має дві істотні недоліки. Один із них – повільна збіжність. Інший полягає в тому, що якщо початкове наближення вибрано далеко від істинного рішення (X 1, X 2, ..., X n), то збіжність

методу не гарантована. Зрозуміло, що проблема вибору початкового наближення, не проста навіть одного рівняння, для нелінійних систем стає дуже складною.

Розв'язати систему нелінійних рівнянь:

	(x ...		) =0
F n (x 1 ...		x n) = 0.

Немає прямих методів вирішення нелінійних систем загального вигляду. Лише окремих випадках систему (4.1) можна вирішити безпосередньо. Наприклад, для двох рівнянь іноді вдається висловити одне невідоме через інше і таким чином звести завдання до вирішення одного нелінійного рівняння щодо одного невідомого.

Для вирішення систем нелінійних рівнянь зазвичай застосовуються ітераційні методи.

Метод Ньютона

У разі одного рівняння F(x) = 0 алгоритм методу Ньютона був легко отриманий шляхом запису рівнянь, що стосується кривої y = F(x). В основі методу Ньютона для систем рівнянь лежить використання розкладання функцій F 1 (x 1 ... x n ) в ряд Тейлора, причому члени,

щі другі (і вищих порядків) похідні, відкидаються. Нехай наближені значення невідомих системи (4.1) рівні зі-

відповідально a 1 ,a 2 ,....,a n . Завдання полягає у знаходженні прирощень (по-

правок) до цих значень	x 1 ,x 2 ,...,	x n , завдяки яким рішення сис-
теми запишеться у вигляді:
x 1= a 1+ x 1,	x 2= a 2+	x 2, ...., x n = a n + x n.

Проведемо розкладання лівих частин рівнянь (4.1) з урахуванням розкладання до ряду Тейлора, обмежуючись лише лінійними членами віднос-

тельно прирощень:
F1 (x1 ... xn) ≈ F1 (a1 ... an) +	∂ F 1	x 1+		+ ∂ F 1		x n,
	∂x			∂x
F2 (x1 ... xn) ≈ F2 (a1 ... an) +	∂ F 2	x 1+			∂ F 2	x n,
	∂x				∂x
...................................
F n(x 1 ... x n) ≈ F n(a 1 ... a n) +	∂ F n	x 1+			∂ F n	xn.
	∂x				∂x

Підставляючи в систему (4.1), отримаємо наступну систему лінійних рівнянь алгебри щодо прирощень:

∂ F 1			∂ F 1			+ ∂ F 1			= −F ,
∂x			∂x			∂x
∂ F 2			∂ F 2				∂ F 2		= −F ,
∂x			∂x				∂x
..............................
∂ F n			∂ F n				∂ F n		= −F.
∂x			∂x				∂x
Значення F 1 ...				похідні				обчислюються при

x 2 = a 2 … x n = a n .

Визначником системи (4.3) є якобіан:

∂ F 1		∂ F 1
∂x		∂x
∂ F 2		∂ F 2
J = ∂ x		∂ x.

… … … …

∂ F n… … ∂ F n∂ x 1 ∂ x n

x 1 = a 1,

Для існування єдиного рішення системи якобіан може бути відмінний від нуля кожної ітерації.

Таким чином, ітераційний процес розв'язання системи рівнянь методом Ньютона полягає у визначенні прирощень x 1, x 2, ..., x n до значень невідомих на кожній ітерації шляхом розв'язання системи лінійних рівнянь алгебри (4.3). Рахунок припиняється, якщо всі прирости стають малими за абсолютної величини: maxx i< ε . В ме-

тоді Ньютона також важливий вдалий вибірпочаткового наближення задля забезпечення хорошої збіжності. Збіжність погіршується із збільшенням числа рівнянь системи.

Як приклад розглянемо використання методу Ньютона на вирішення системи двох рівнянь:

∂ ∂ F 1. x

Величини, що стоять у правій частині, обчислюються при x = a, y = b.

Якщо виконуються умови		y − b		< εи		x − a			при заданому M , то
виводяться значення x і y ,	в іншому випадку								відбувається висновок
x, y, M.

2. Метод Ньютона розв'язання систем нелінійних рівнянь.

Цей метод має набагато швидшу збіжність, ніж метод простої ітерації. В основі методу Ньютона системи рівнянь (1.1) лежить використання розкладання функцій

, де
(2.1)

в ряд Тейлора, причому члени, що містять другі і більше високі порядкипохідних, що відкидаються. Такий підхід дозволяє вирішення однієї нелінійної системи (1.1) замінити рішенням низки лінійних систем.

Отже, систему (1.1) вирішуватимемо методом Ньютона. В області D виберемо будь-яку точку
і назвемо її нульовим наближенням до точного рішення вихідної системи. Тепер функції (2.1) розкладемо в ряд Тейлора на околиці точки . Будемо мати

Т.к. ліві частини (2.2) повинні звертатися у нуль згідно з (1.1), то й праві частини (2.2) теж повинні звертатися у нуль. Тому з (2.2) маємо

Усі приватні похідні (2.3) повинні бути обчислені в точці .

(2.3) є система лінійних рівнянь алгебри щодо невідомих Цю систему можна вирішити методом Крамера, якщо її основний визначник буде відмінний від нуля і знайти величини

Тепер можна уточнити нульове наближення, побудувавши перше наближення з координатами

тобто.
. (2.6)

З'ясуємо, чи наближення (2.6) отримано з достатнім ступенем точності. Для цього перевіримо умову

,
(2.7)

де наперед задане мале позитивне число (точність, з якою має бути вирішена система (1.1)). Якщо умова (2.7) буде виконано, то за наближене рішення системи (1.1) виберемо (2.6) та закінчимо обчислення. Якщо ж умова (2.7) не виконуватиметься, то виконаємо таку дію. У системі (2.3) замість
візьмемо уточнені значення

, (2.8)

тобто. виконаємо такі дії

. (2.9)

Після цього система (2.3) буде системою лінійних рівнянь алгебри щодо величин Визначивши ці величини, наступне друге наближення
до розв'язання системи (1.1) знайдемо за формулами

Тепер перевіримо умову (2.7)

Якщо ця умова виконується, то закінчуємо обчислення, взявши за наближене рішення системи (1.1) друге наближення
. Якщо ж ця умова не виконується, то продовжуємо будувати наступне наближення, прийнявши (2.3)
Будувати наближення потрібно доти, доки умова не буде виконана.

Робочі формули методу Ньютона на вирішення системи (1.1) можна записати як.

Обчислити послідовність

Тут
є рішенням системи

Сформулюємо алгоритм обчислень за формулами (2.11)-(2.13).

1. Виберемо нульове наближення, що належить області D.

2. У системі лінійних рівнянь алгебри (2.13) покладемо
,а.

3. Розв'яжемо систему (2.13) і знайдемо величини
.

4. У формулах (2.12) покладемо
і обчислимо компоненти наступного наближення.

5. Перевіримо умову (2.7) на : (Див. алгоритм обчислення максимуму кількох величин.)

6. Якщо ця умова виконується, то закінчуємо обчислення, вибравши наближене рішення системи (1.1) наближення . Якщо це умова не виконується, то перейдемо до п.7.

7. Покладемо
для всіх .

8. Виконаємо п.3, поклавши
.

Геометрично цей алгоритм можна записати як.

Алгоритм. Обчислення максимуму кількох величин.

приклад. Розглянемо використання методу Ньютона на вирішення системи двох рівнянь.

Методом Ньютона з точністю вирішити наступну систему нелінійних рівнянь

, (2.14)

тут
. Виберемо нульове наближення
, Що належить області D. Побудуємо систему лінійних рівнянь алгебри (2.3). Вона матиме вигляд

(2.15)

Позначимо

Вирішимо систему (2.15) щодо невідомих
наприклад методом Крамера. Формули Крамера запишемо у вигляді

(2.17)

де основний визначник системи (2.15)

(2.18)

а допоміжні визначники системи (2.15) мають вигляд

.

Знайдені значення підставимо (2.16) і знайдемо компоненти першого наближення
до вирішення системи (2.15).

Перевіримо умову

, (2.19)

якщо це умова виконується, то закінчуємо обчислення, прийнявши за наближене рішення системи (2.15) перше наближення, тобто.
. Якщо умова (2.19) не виконується, то покладемо
,
і збудуємо нову системулінійних рівнянь алгебри (2.15). Вирішивши її, знайдемо друге наближення
. Перевіримо його на . Якщо ця умова виконуватиметься, то за наближене рішення системи (2.15) виберемо
. Якщо умова не виконуватиметься, покладемо
,
та побудуємо наступну систему (2.15) для знаходження
і т.д.

Завдання

У всіх завданнях потрібно:

Скласти програму чисельної реалізації методу згідно із запропонованим алгоритмом.

Отримати результати обчислень.

Перевірити отримані результати.

Задано систему двох нелінійних рівнянь.

1.
2.

3.
4.

5.
6.

7.
8.

9.
10.

11.
12.

13.
14.

15.
.

Глава 3. Чисельні методи розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ).

Мета роботи. Знайомство з деякими наближеними методами рішення СЛАУ та їх чисельною реалізацією на ПК.

Попередні зауваження.Усі методи рішення СЛАУ зазвичай поділяють на великі групи. До першої групи належать методи, які називають точними. Ці методи дозволяють для будь-яких систем знайти точні значенняневідомі після кінцевого числа арифметичних операцій, кожна з яких виконується точно.

До другої групи відносяться всі методи, які не є точними. Їх називають ітераційними, чи чисельними, чи наближеними. Точне рішення при використанні таких методів виходить в результаті нескінченного процесу наближень. Привабливою рисоютаких методів є їх самовиправність та простота реалізації на ПК.

Розглянемо деякі наближені методи рішення СЛАУ та побудуємо алгоритми їх чисельної реалізації. Наближене рішення СЛАУ будемо отримувати з точністю до , де дуже маленьке позитивне число.

1. Метод ітерації.

Нехай СЛАУ задана у вигляді

(1.1)

Цю систему можна записати у матричному вигляді

, (1.2)

де
- матриця коефіцієнтів при невідомих у системі (1.1),
- стовпець вільних членів,
- Стовпець невідомих системи (1.1).

. (1.3)

Розв'яжемо систему (1.1) методом ітерації. Для цього виконаємо такі дії.

По перше. Виберемо нульове наближення

(1.4)

до точного рішення (1.3) системи (1.1). Компонентами нульового наближення можуть бути будь-які числа. Але зручніше компоненти нульового наближення взяти чи нулі
, чи вільні члени системи (1.1)

По-друге. Компоненти нульового наближення підставимо в праву частинусистеми (1.1) та обчислимо

(1.5)

Величини, що стоять зліва (1.5) є компонентами першого наближення
Дії, у яких вийшло перше наближення, називаються ітерацією.

По-третє. Перевіримо нульове та перше наближення на

(1.6)

Якщо умови (1.6) виконуються, то за наближене рішення системи (1.1) виберемо, або , або однаково, т.к. вони відрізняються один від одного не більше ніж на і закінчимо обчислення. Якщо хоча б одну з умов (1.6) не буде виконано, то перейдемо до наступної дії.

По-четверте. Виконаємо таку ітерацію, тобто. у праву частину системи (1.1) підставимо компоненти першого наближення та обчислимо компоненти другого наближення
, де

У п'ятих. Перевіримо
і , тобто. перевіримо умову (1.6) цих наближень. Якщо умови (1.6) будуть виконані, то за наближене рішення системи (1.1) виберемо, або , або однаково, т.к. вони відрізняються один від одного не більше ніж на . В іншому випадку будуватимемо наступну ітерацію, підставивши компоненти другого наближення в праву частину системи (1.1).

Ітерації потрібно будувати доти, доки два сусідні наближення
і відрізнятимуться один від одного не більше, ніж на .

Робочу формулуметоду ітерації рішення системи (1.1) можна записати як

Алгоритм чисельної реалізації формули (1.7) може бути таким.

Достатні умови збіжності методу ітерації для системи (1.1) мають вигляд

1.
, .

2.
,
.

3.

2. Метод простої ітерації.

Нехай система лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ) задана у вигляді

(2.1)

Щоб систему (2.1) вирішити методом простої ітерації, спочатку треба привести до виду

(2.2)

У системі (2.2) -ое рівняння є -ое рівняння системи (2.1), дозволене щодо -ой невідомої (
).

Метод розв'язання системи (2.1), що полягає у зведенні її до системи (2.2) з наступним рішенням системи (2.2) методом ітерації, називається методом простої ітерації для системи (2.1).

Таким чином, робочі формули методу простої ітерації рішення системи (2.1) матимуть вигляд

(2.3)

Формули (2.3) можна записати у вигляді

Алгоритм чисельної реалізації методу простої ітерації для системи (2.1) за формулами (2.4) може бути таким.

Цей алгоритм можна записати геометрично.

Достатні умови збіжності методу простої ітерації для системи (2.1) мають вигляд

1.
, .

2.
,
.

3.

3. Стаціонарний метод Зейделя.

Метод Зейделя рішення СЛАУ відрізняється від методу ітерації тим, що знайшовши якесь наближення для тієї компоненти, ми відразу ж використовуємо його для відшукання наступних
,
, …, -ий компонент. Такий підхід дозволяє забезпечити вищу швидкість збіжності методу Зейделя проти методом ітерації.

Нехай СЛАУ задана у вигляді

(3.1)

Нехай
- нульове наближення до точного рішення
Системи (3.1). І нехай знайдено -е наближення
. Визначимо компоненти
-ого наближення за формулами

(3.2)

Формули (3.2) можна записати у компактному вигляді

,
,
(3.3)

Алгоритм чисельної реалізації методу Зейделя рішення системи (3.1) за формулами (3.3) може бути таким.

1. Виберемо, наприклад,
,

2. Покладемо.

3. Для всіх обчислимо.

4. Для всіх перевіримо умови
.

5. Якщо всі умови п.4 будуть виконані, то за наближене рішення системи (3.1) виберемо або , або і закінчимо обчислення. Якщо хоча б одна умова у п.4 не буде виконана, перейдемо до п.6.

6. Покладемо та перейдемо до п.3.

Цей алгоритм можна записати геометрично.

Достатня умова збіжності методу Зейделя для системи (3.1) має вигляд
, .

4. Нестаціонарний метод Зейделя.

Цей метод рішення СЛАУ (3.1) забезпечує ще більшу швидкість збіжності методу Зейделя.

Нехай якимось чином для системи (3.1) знайдені компоненти -ого наближення і наближення.

Обчислимо вектор поправки

Підрахуємо величини

, (4.2)

Розташуємо величини
, у порядку їх спадання.

У такому порядку перепишемо рівняння в системі (3.1) і невідомі в цій системі. Лінійнаалгебраі нелінійні ... Керівництводлялабораторних робітпо ... методичнівказівки дляпрактичнихробітпо длястудентів ...

Навчальна література (природничі науки та технічні) 2000-2011 цикл опд – 10 років цикл сд – 5 років

Література

... Природнінаукив цілому 1. Астрономія [Текст]: посібник для ... Чисельніметоди: Лінійнаалгебраі нелінійні ... Керівництводлялабораторних робітпо ... методичнівказівки дляпрактичнихробітподисципліни "Економіка транспорту" длястудентів ...

- природничі науки (1)

Навчальний посібник

... керівництводлястудентівта викладачів, призначене длявикористання не лише при вивченні методівроботи... вироблення практичнихнавичок із використанням реальних даних. Методичнірекомендації повиконання залікової роботиподаному...

- природничі науки - фізико-математичні науки - хімічні науки - науки про землю (геодезичні геофізичні геологічні та географічні науки)

Документ

... длястудентівприродно- ... робітподисципліни "Генетика та селекція", присвячених актуальним проблемамцією науки. Систематизовано самостійну роботастудентівпотеоретичному та практичному ... лінійного, нелінійного, динамічний. Усе методи ...

- природничі науки - фізико-математичні науки - хімічні науки - науки про землю (геодезичні геофізичні геологічні та географічні науки) (7)

Список підручників

Визначник Єрьоміна в лінійноїі нелінійноюалгебри : лінійнеі нелінійнепрограмування: новий метод/ Єрьомін, Михайло... Длястудентівта викладачів геологічних спеціальностей вузів. кх-1 1794549 99. Д3 П 693 Практичнекерівництвопо ...

p align="justify"> Метод Ньютона (також відомий як метод дотичних) - це ітераційний чисельний метод знаходження кореня (нуля) заданої функції. Метод був вперше запропонований англійським фізиком, математиком та астрономом Ісааком Ньютоном (1643-1727), під ім'ям якого і знайшов свою популярність.

Метод був описаний Ісааком Ньютоном у рукописі De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (лат .Про баналізі рівняннями нескінченних рядів), адресованої в 1669 Барроу, і в роботі De metodis fluxionum et serierum infinitarum (лат.Метод флюксій і нескінченні ряди) або Geometria analytica ( лат.аналітичнагеометрія) у зборах праць Ньютона, яка була написана у 1671 році. Проте опис методу суттєво відрізнявся від його нинішнього викладу: Ньютон застосовував свій метод виключно поліномам. Він обчислював не послідовні наближення xn, а послідовність поліномів і в результаті отримував наближене рішення x.

Вперше метод був опублікований в трактаті Алгебра Джона Валліса в 1685, на прохання якого він був коротко описаний самим Ньютоном. У 1690 році Джозеф Рафсон опублікував спрощений опис у роботі Analysis aequationum universalis (лат. Загальний аналізрівнянь).Рафсон розглядав метод Ньютона як суто алгебраїчний і обмежив його застосування поліномами, проте при цьому він описав метод на основі послідовних наближень x n замість більш тяжкої для розуміння послідовності поліномів, використаної Ньютоном.

Нарешті, в 1740 метод Ньютона був описаний Томасом Сімпсоном як ітеративний метод першого порядку вирішення нелінійних рівнянь з використанням похідної в тому вигляді, в якому він викладається тут. У тій же публікації Сімпсон узагальнив метод на випадок системи з двох рівнянь і зазначив, що метод Ньютона також може бути застосований для вирішення задач оптимізації шляхом знаходження похідної нуля або градієнта.

Відповідно до даного методу завдання пошуку кореня функції зводиться до задачі пошуку точки перетину з віссю абсцис дотичної, побудованої до графіка функції .

Рис.1 . Графік зміни функції

Проведена в будь-якій точці дотична лінія до графіка функції визначається похідною цієї функції в точці, що розглядається, яка в свою чергу визначається тангенсом кута α (). Точка перетину дотичної з віссю абсцис визначається виходячи з наступного співвідношення прямокутному трикутнику: тангенс кута.у прямокутному трикутнику визначається ставленням протилежного катета до прилеглого катета трикутника. Таким чином, на кожному кроці будується дотична до графіка функції у точці чергового наближення . Крапка перетину дотичної з віссю Ox буде наступною точкою наближення. Відповідно до розглянутого методу розрахунок наближеного значення кореня наi-ітерації проводиться за формулою:

Нахил прямий підлаштовується на кожному кроці найкращим чиномОднак слід звернути увагу на те, що алгоритм не враховує кривизну графіка і отже в процесі розрахунку залишається невідомо в яку сторону може відхилитися графік.

Умовою закінчення ітераційного процесу є виконання наступної умови:

де ˗ допустима похибка визначення кореня.

Метод має квадратичну збіжність. Квадратична швидкість збіжності означає, що кількість вірних знаків у наближеному значенні подвоюється з кожною ітерацією.

Математичне обґрунтування

Нехай дана речова функція, яка визначена і безперервна на ділянці, що розглядається. Необхідно знайти речовий корінь розглянутої функції.

Висновок рівняння заснований на методі простих ітерацій, відповідно до якого рівняння призводять до еквівалентного рівняння за будь-якої функції . Введемо поняття стискаючого відображення, що визначається співвідношенням .

Для найкращої збіжності методу у точці чергового наближення має виконуватися умова. Ця вимогаозначає, що корінь функції повинен відповідати екстремуму функції.

Похідна стискаючого відображеннявизначається у такому вигляді:

Виразимо з цього вираз зміннуза умови прийнятого раніше твердження про те, що за умови необхідно забезпечити умову . В результаті отримаємо вираз для визначення змінної:

З урахуванням цього стискаюча функція прийому наступний вид:

Таким чином, алгоритм знаходження чисельного рішеннярівняння зводиться до ітераційної процедури обчислення:

Алгоритм знаходження кореня нелінійного рівняння методом

1. Задати початкову точку наближеного значення кореня функції, і навіть похибка розрахунку (мале позитивне число ) і початковий крок ітерації ().

2. Виконати розрахунок наближеного значення кореня функції відповідно до формули:

3. Перевіряємо наближене значення кореня щодо заданої точності, у разі:

Якщо різницю двох послідовних наближень стане менше заданої точності , то ітераційний процес закінчується.

Якщо різниця двох послідовних наближень не досягає необхідної точності, необхідно продовжити ітераційний процес і перейти до п.2 аналізованого алгоритму.

Приклад розв'язування рівнянь

за методомНьютона для рівняння з однією змінною

Як приклад, розглянемо рішення нелінійного рівняння методомНьютона для рівняння з однією змінною. Корінь необхідно знайти з точністю як перший наближення.

Варіант розв'язання нелінійного рівняння у програмному комплексіMathCADпредставлений малюнку 3.

Результати розрахунків, саме динаміка зміни наближеного значення кореня, і навіть похибки розрахунку кроку ітерації представлені у графічній формі (див. рис.2).

Рис.2. Результати розрахунку за методом Ньютона для рівняння з однією змінною

Для забезпечення заданої точності при пошуку наближеного значення кореня рівняння в діапазоні необхідно виконати 4 ітерації. на останньому кроціітерації наближене значення кореня нелінійного рівняння визначатиметься значенням: .

Рис.3 . Лістинг програми вMathCad

Модифікації методу Ньютона для рівняння з однією змінною

Існує кілька модифікацій методу Ньютона, спрямованих спрощення обчислювального процесу.

Спрощений метод Ньютона

Відповідно до методу Ньютона потрібно обчислювати похідну функції f(x) на кожному кроці ітерації, що веде до збільшення обчислювальних витрат. Для зменшення витрат, пов'язаних з обчисленням похідної на кожному кроці розрахунку, можна провести заміну похідної f'(x n ) у точці x n у формулі на похідну f'(x 0) у точці x 0 . Відповідно до даного методу розрахунку наближене значення кореня визначається за такою формулою:Модифікований метод Ньютона

Різнисний метод Ньютона

У результаті наближене значення кореня функції f(x) визначатиметься виразом різницевого методу Ньютона:

Двох кроковий метод Ньютона

Відповідно до методу Ньютона потрібно обчислювати похідну функції f(x) кожному кроці ітерації, що завжди зручно, котрий іноді практично неможливо. Цей спосібдозволяє похідну функції замінити різницевим ставленням (наближеним значенням):

В результаті наближене значення кореня функції f(x) визначатиметься таким виразом:

де

Рис.5 . Двох кроковий метод Ньютона

Метод січучих є дво кроковим, тобто нове наближеннявизначається двома попередніми ітераціямита . У методі необхідно задавати два початкові наближеннята . Швидкість збіжності методу буде лінійною.

• назад
• Вперед

Для того, щоб додати коментар до статті, будь ласка, зареєструйтесь на сайті.