Обчислити середнє арифметичне. Середні показники

З метою аналізу та отримання статистичних висновків за результатом зведення та угруповання обчислюють узагальнюючі показники – середні та відносні величини.

Завдання середніх величин - Охарактеризувати всі одиниці статистичної сукупності одним значенням ознаки.

Середні величини характеризуються якісні показники підприємницької діяльності: Витрати звернення, прибуток, рентабельність та ін.

Середня величина - Це узагальнююча характеристика одиниць сукупності за якою-небудь ознакою, що варіює.

Середні величини дозволяють порівнювати рівні однієї й тієї ознаки у різних сукупностях і знаходити причини цих розбіжностей.

У аналізі досліджуваних явищ роль середніх величин величезна. Англійський економіст У. Петті (1623-1687 рр.) широко використовував середні величини. В. Петті хотів використати середні величини як міру вартості витрат на середню денну їжу одного працівника. Стійкість середньої величини – це відображення закономірності досліджуваних процесів. Він вважав, що інформацію можна перетворити, навіть якщо немає достатнього обсягу вихідних даних.

Застосовував середні та відносні величини англійський вчений Г. Кінг (1648–1712) при аналізі даних про населення Англії.

Теоретичні розробки бельгійського статистика А. Кетле (1796-1874 рр.) засновані на суперечливості природи соціальних явищ- Високостійких у масі, але суто індивідуальних.

Згідно з А. Кетле постійні причинидіють однаково кожне досліджуване явище роблять ці явища схожими друг на друга, створюють загальні всім них закономірності.

Наслідком вчення А. Кетле стало виділення середніх величин як основний прийом статистичного аналізу. Він говорив, що статистичні середні величини є не категорією об'єктивної дійсності.

А. Кетле висловив погляди на середню величину у своїй теорії середньої людини. Середня людина – це людина, яка володіє всіма якостями в середньому розмірі (середня смертність або народжуваність, середнє зростання і вага, середня швидкість бігу, середня схильність до шлюбу та самогубства, до добрим справамі т. д.). Для Кетле середня людина – це ідеал людини. Неспроможність теорії середньої людини А. Кетле була доведена в російській статистичній літературі кінці XIX-XXст.

Відомий російський статистик Ю. Е. Янсон (1835-1893 рр.) писав, що А. Кетле передбачає існування в природі типу середньої людини як чогось даного, від якого життя відхилило середніх людей даного суспільства і даного часу, а це наводить його до абсолютно механічного погляду і закони руху соціального життя: рух – це поступове зростання середніх властивостей людини, поступове відновлення типу; отже, таке нівелювання всіх проявів життя соціального тіла, за яким всяке поступальне рух припиняється.

Сутність цієї теорії знайшла своє подальший розвитоку роботах низки теоретиків статистики як теорія дійсних величин. У А. Кетле були послідовники – німецький економіст і статистик У. Лексис (1837-1914 рр.), який переніс теорію справжніх величин економічні явища суспільного життя. Його теорія відома під назвою теорія стійкості. Інший різновид ідеалістичної теорії середніх величин заснований на філософії

Її засновник – англійський статистик А. Боулі (1869– 1957гг.) – одне із найпомітніших теоретиків нового часу у сфері теорії середніх величин. Його концепцію середніх величин викладено у книзі «Елементи статистики».

А. Боулі розглядає середні величини лише з кількісного боку, цим відриває кількість від якості. Визначаючи значення середніх величин (або «їхню функцію»), А. Боулі висуває махістський принцип мислення. А. Боулі писав, що функція середніх величин має висловлювати складну групу

за допомогою небагатьох простих чисел. Статистичні дані повинні бути спрощені, згруповані та приведені до середніх.

У 30-ті роки. XX ст. та наступні роки середня величина сприймається як соціально значуща характеристика, інформативність якої залежить від однорідності даних.

Найвизначніші представники італійської школи Р. Беніні (1862-1956 рр.) та К. Джині (1884-1965 рр.), вважаючи статистику галуззю логіки, розширили сферу застосування статистичної індукції, але пізнавальні принципи логіки та статистики вони пов'язували з природою досліджуваних явищ слідуючи традиціям соціологічного трактування статистики.

У роботах К. Маркса та В. І. Леніна середнім величинам відводиться особлива роль.

Маркс стверджував, що в середній величині погашаються індивідуальні відхилення від загального рівнята середній рівень стає узагальнюючою характеристикою масового явищаТакий характеристикою масового явища середня величина стає лише за умови, якщо взято значну кількість одиниць і ці одиниці якісно однорідні. Маркс писав, щоб середня величина була середньою «…багатьох різних індивідуальних величин одного й того ж виду».

Середня величина набуває особливої ​​значущості за умов ринкової економіки. Вона допомагає визначити необхідне та загальне, тенденцію закономірності економічного розвиткубезпосередньо через одиничне та випадкове.

Середні величиниє узагальнюючими показниками, у яких виражають дію загальних умов, закономірність досліджуваного явища.

Статистичні середні величини розраховуються з урахуванням масових даних статистично правильно організованого масового спостереження. Якщо статистична середня розраховується за масовими даними для якісно однорідної сукупності (масових явищ), вона буде об'єктивною.

Середня величина абстрактна, оскільки характеризує значення абстрактної одиниці.

Від різноманітності ознаки в окремих об'єктів абстрагується середня. Абстракція – ступінь наукового дослідження. У середній величині здійснюється діалектична єдність окремого та загального.

Середні величини повинні застосовуватися виходячи з діалектичного розуміння категорій індивідуального та загального, одиничного та масового.

Середня відображає щось спільне, що складається у певному одиничному об'єкті.

Для виявлення закономірностей у масових суспільних процесахсередня величина має значення.

Відхилення індивідуального від загального – прояв розвитку.

У середній величині відбивається характерний, типовий, реальний рівень явищ, що вивчаються. Завданням середніх величин є характеристика цих рівнів та їх змін у часі та просторі.

Середній показник – це звичайне значення, тому що формується у нормальних, природних, загальних умовахіснування конкретного масового явища, що розглядається загалом.

Об'єктивна властивість статистичного процесу чи явища відбиває середня величина.

Індивідуальні значення досліджуваного статистичного ознаки кожної одиниці сукупності різні. Середня величина індивідуальних значень одного виду - продукт необхідності, який є результатом сукупної дії всіх одиниць сукупності, що виявляється в масі випадковостей, що повторюються.

Одні індивідуальні явища мають ознаки, які у всіх явищах, але у різних кількостях – це зростання чи вік людини. Інші ознаки індивідуального явища, якісно різні в різних явищах, тобто є в одних і не спостерігаються в інших (чоловік не стане жінкою). Середня величина обчислюється для ознак якісно однорідних та різних лише кількісно, ​​які притаманні всім явищам у даній сукупності.

Середня величина є відображенням значень досліджуваної ознаки і вимірюється в тій же розмірності, що і ця ознака.

Теорія діалектичного матеріалізму вчить, що у світі змінюється, розвивається. А також змінюються ознаки, що характеризуються середніми величинами, а відповідно – і середні.

У житті відбувається безперервний процес створення чогось нового. Носієм нової якості є одиничні об'єкти, далі кількість цих об'єктів зростає, і нове стає масовим, типовим.

Середня величина характеризує досліджувану сукупність лише за однією ознакою. Для повного і всебічного представлення досліджуваної сукупності за низкою певних ознак необхідно мати систему середніх величин, які можуть описати явище з різних сторін.

2. Види середніх величин

У статистичній обробці матеріалу виникають різні завдання, які необхідно вирішувати, і тому у статистичній практиці використовуються різноманітні середні величини. Математична статистикавикористовує різні середні, такі як: середня арифметична; середня геометрична; середня гармонійна; середня квадратична.

Для того щоб застосувати одну з вищеперелічених видів середньої, необхідно проаналізувати сукупність, що вивчається, визначити матеріальний зміст досліджуваного явища, все це робиться на основі висновків, отриманих з принципу свідомості результатів при зважуванні або підсумовуванні.

У вивченні середніх величин застосовуються наступні показникита позначення.

Ознака, за якою знаходиться середня, називається середньою ознакою і позначається x; величина середньої ознаки у будь-якої одиниці статистичної сукупності називають індивідуальним його значенням,або варіантами,і позначають як x 1 х 2 , x 3 ,… х п ; частота – це повторюваність індивідуальних значень ознаки, що позначається буквою f.

Середня арифметична

Один із найпоширеніших видів середньої – середня арифметична, яка обчислюється тоді, коли обсяг осредняемого ознаки утворюється як сума його значень в окремих одиниць статистичної сукупності, що вивчається.

Для обчислення середньої арифметичної величини суму всіх рівнів ознаки ділять з їхньої число.

Якщо деякі варіанти зустрічаються кілька разів, то суму рівнів ознаки можна отримати множенням кожного рівня на відповідне число одиниць сукупності з наступним складанням отриманих творів, обчислена таким чином середня арифметична називається зваженою середньою арифметичною.

Формула середньої арифметичної зваженої виглядає так:

дех i - варіанти,

f i – частоти чи ваги.

Зважена середня величина повинна використовуватися у всіх випадках, коли варіанти мають різну чисельність.

Арифметична середня як би розподіляє порівну між окремими об'єктами загальну величину ознаки, що насправді варіюється у кожного з них.

Обчислення середніх величин провадять за даними, згрупованими у вигляді інтервальних рядіврозподілу, коли варіанти ознаки, у тому числі обчислюється середня, представлені вигляді інтервалів (від – до).

Властивості середньої арифметичної:

1) середня арифметична сумаваріюючих величин дорівнює сумі середніх арифметичних величин: Якщо х i = y i +z i , то

Ця властивість показує у випадках можна підсумовувати середні величини.

2) алгебраїчна сума відхилень індивідуальних значень варіює ознаки від середньої дорівнює нулю, так як сума відхилень в один бік погашається сумою відхилень в іншу сторону:

Це правило демонструє, що середня є рівнодією.

3) якщо всі варіанти ряду збільшити або зменшити на те саме число?, то середня збільшиться або зменшиться на це ж число?:

4) якщо всі варіанти ряду збільшити або зменшити в раз, то середня також збільшиться або зменшиться в раз:

5) п'ята властивість середньої показує нам, що вона не залежить від розмірів ваги, але залежить від співвідношення між ними. Як ваги можуть бути взяті не тільки відносні, але і абсолютні величини.

Якщо всі частоти ряду розділити або помножити на одне й те ж число d, то середня не зміниться.

Середня гармонійна.Для того щоб визначити середню арифметичну, необхідно мати низку варіантів і частот, тобто значення хі f.

Припустимо, відомі індивідуальні значення ознаки хта твори х/,а частоти fневідомі, тоді, щоб розрахувати середню, позначимо твір = х/;звідки:

Середня у цій формі називається середньою гармонійною зваженою та позначається х гарм. взв.

Відповідно, середня гармонійна тотожна середній арифметичній. Вона застосовна, коли невідомі дійсні ваги f, а відомий твір fх = z

Коли твори fходнакові або рівні одиниці (m = 1) застосовується середня гармонійна проста, яка обчислюється за формулою:

де х- Окремі варіанти;

n- Число.

Середня геометрична

Якщо є n коефіцієнтів зростання, то формула середнього коефіцієнта:

Це формула середньої геометричної.

Середня геометрична дорівнює кореню ступеня nз праці коефіцієнтів зростання, що характеризують відношення величини кожного наступного періоду до величини попереднього.

Якщо середньому підлягають величини, виражені у вигляді квадратних функцій, застосовується середня квадратична. Наприклад, за допомогою середньої квадратичної можна визначити діаметри труб, коліс тощо.

Середня квадратична проста визначається шляхом вилучення квадратного кореняз частки від поділу суми квадратів окремих значень ознаки з їхньої число.

Середня квадратична зважена дорівнює:

3. Структурні середні величини. Мода та медіана

Для характеристики структури статистичної сукупності застосовують показники, які називають структурними середніми.До них відносяться мода та медіана.

Мода (М о ) - Найчастіше зустрічається варіант. Модоюназивається значення ознаки, що відповідає максимальній точці теоретичної кривої розподілів.

Мода представляє найпоширеніше чи типове значення.

Мода застосовується у комерційній практиці для вивчення купівельного попитута реєстрації цін.

У дискретному рядумода - це варіанти з найбільшою частотою. В інтервальному варіаційному ряді модою вважають центральний варіант інтервалу, який має найбільшу частоту (зокрема).

У межах інтервалу треба знайти значення ознаки, яке є модою.

де х о- нижня межа модального інтервалу;

h- Величина модального інтервалу;

f m- Частота модального інтервалу;

f т-1 – частота інтервалу, що передує модальному;

f m+1 – частота інтервалу, наступного за модальним.

Мода залежить від величини груп, від точного становища меж груп.

Мода– число, яке насправді зустрічається найчастіше (є певною величиною), у практиці має саме широке застосування(найбільш часто зустрічається тип покупця).

Медіана (M e– це величина, яка ділить чисельність упорядкованого варіаційного рядуна дві рівні частини: одна частина має значення ознаки, що варіює, менші, ніж середній варіант, а інша - більші.

Медіана- Це елемент, який більший або дорівнює і одночасно менше або дорівнює половині інших елементів ряду розподілу.

Властивість медіани полягає в тому, що сума абсолютних відхилень значень ознаки від медіани менша, ніж від будь-якої іншої величини.

Застосування медіани дозволяє отримати більше точні результати, ніж при використанні інших середніх форм.

Порядок знаходження медіани в інтервальному варіаційному ряду наступний: маємо індивідуальні значення ознаки по ранжиру; визначаємо для даного ранжованого ряду накопичені частоти; за даними про накопичені частоти знаходимо медіанний інтервал:

де х ме– нижня межа медіанного інтервалу;

i Me- Величина медіанного інтервалу;

f/2- Напівсума частот ряду;

S Me-1 – сума накопичених частот, що передують медіанному інтервалу;

f Me- Частота медіанного інтервалу.

Медіана ділить чисельність низки навпіл, отже, вона там, де накопичена частота становить половину чи більше половини всієї суми частот, а попередня (накопичена) частота менше половини чисельності сукупності.

Кожна людина в сучасному світіплануючи взяти кредит або роблячи запаси овочів на зиму, періодично стикається з таким поняттям, як «середня величина». Давайте дізнаємося: що це таке, які її види та класи існують і навіщо вона застосовується у статистиці та інших дисциплінах.

Середня величина – це що таке?

Подібна назва (СВ) носить узагальнена характеристика сукупності однорідних явищ, що визначається за якоюсь однією кількісною ознакою, що варіюється.

Однак люди далекі, від настільки хитромудрих визначень, розуміють це поняття, як середня кількість чогось. Наприклад, перш ніж взяти кредит, співробітник банку обов'язково попросить потенційного клієнтанадати дані про середній доход за рік, тобто загальну суму зароблених людиною коштів. Вона обчислюється шляхом підсумовування заробленого за весь рік та поділу на кількість місяців. Таким чином, банк зможе визначити, чи зможе його клієнт віддати борг у строк.

Для чого вона використовується?

Як правило, середні величини широко застосовуються для того, щоб дати підсумкову характеристику певних суспільних явищ, що мають масовий характер. Також вони можуть бути використані для менш масштабних розрахунків, як у випадку з кредитом, у наведеному вище прикладі.

Однак найчастіше середні величини все ж таки застосовуються для глобальних цілей. Як приклад одного з них можна навести обчислення кількості споживаної громадянами електроенергії протягом одного календарного місяця. На основі отриманих даних надалі встановлюються максимальні нормидля категорій населення, які мають пільги від держави.

Також за допомогою середніх величин розробляється гарантійний термінслужби тих чи інших побутових приладів, автомобілів, будівель і т. п. На основі зібраних таким способом даних колись були розроблені сучасні нормипраці та відпочинку.

Фактично будь-яке явище сучасного життя, що носить масовий характер, тим чи іншим чином обов'язково пов'язане з поняттям, що розглядається.

Сфери застосування

Дане явище широко застосовується практично у всіх точних науках, що особливо носять експериментальний характер.

Пошук середнього має значення у медицині, інженерних дисциплінах, кулінарії, економіці, політиці тощо.

Грунтуючись на даних, отриманих від подібних узагальнень, розробляють лікувальні препарати, навчальні програми, встановлюють мінімальні прожиткові мінімуми та зарплати, будують навчальні графіки, виробляють меблі, одяг та взуття, предмети гігієни та багато іншого.

В математиці даний термінназивається «середнім значенням» і застосовується для здійснення рішень різних прикладівта завдань. Найбільш простими з них є складання та віднімання з звичайними дробами. Адже, як відомо, для вирішення подібних прикладів необхідно привести обидва дроби до спільного знаменника.

Також у цариці точних наук часто застосовується близький за змістом термін «значення середнє випадкової величини». Більшості він більш знайомий як « математичне очікування», частіше розглядається теоретично ймовірності. Варто зазначити, що таке явище також застосовується і під час проведення статистичних обчислень.

Середня величина у статистиці

Однак найчастіше досліджуване поняття використовується у статистиці. Як відомо, ця наука сама по собі спеціалізується на обчисленні та аналізі кількісної характеристики масових суспільних явищ. Тому середня величина в статистиці використовується як спеціалізований метод досягнення її основних завдань - збору та аналізу інформації.

Суть цього статистичного методуполягає у заміні індивідуальних унікальних значень розглянутої ознаки певною врівноваженою середньою величиною.

Як приклад можна навести знаменитий жарт про їжу. Отже, на одному заводі по вівторках на обід його начальство зазвичай їсть м'ясну запіканку, а прості робітники - тушковану капусту. На основі цих даних можна дійти невтішного висновку, що у середньому колектив заводу по вівторках обідає голубцями.

Хоча даний прикладзлегка перебільшений, проте він ілюструє головний недолікметоду пошуку середньої величини – нівелювання індивідуальних особливостейпредметів чи особистостей.

У середніх величин застосовуються не тільки для аналізу зібраної інформації, але й для планування та прогнозування подальших дій.

Також з його допомогою проводиться оцінка досягнутих результатів(наприклад, виконання плану з вирощування та збирання врожаю пшениці за весняно-літній сезон).

Як правильно розрахувати

Хоча залежно від виду СВ існують різні формулиїї обчислення, загальної теоріїстатистики, як правило, застосовується лише один спосіб розрахунку середньої величини ознаки. Для цього потрібно спочатку скласти разом значення всіх явищ, а потім розділити суму, що вийшла, на їх кількість.

При добутку подібних обчислень варто пам'ятати, що середня величина завжди має ту ж розмірність (або одиниці виміру), що й окрема одиниця сукупності.

Умови правильного обчислення

Розглянута вище формула дуже проста і універсальна, тому помилитися в ній практично неможливо. Однак завжди варто враховувати два аспекти, інакше отримані дані не відображатимуть реальної ситуації.

Класи СВ

Знайшовши відповіді основні питання: " Середня величина - це що таке? " , " Де застосовується вона?" і "Як можна обчислити її?", варто дізнатися, які класи та види СВ існують.

Насамперед це явище ділиться на 2 класи. Це структурні та статечні середні величини.

Види статечних СВ

Кожен із вищезгаданих класів, у свою чергу, ділиться на види. У статечного класу їх чотири.

• Середня арифметична величина- це найпоширеніший вид СВ. Вона являє собою середній доданок, при визначенні якого загальний обсяг аналізованої ознаки в сукупності даних порівну розподіляється між усіма одиницями цієї сукупності.

  Цей вид поділяється на підвиди: проста та зважена арифметична СВ.

• Середня гармонійна величина - це показник, зворотний середньої арифметичної простий, що обчислюється з обернених значеньРозглянутої ознаки.

  Вона застосовується у тих випадках, коли відомі індивідуальні значення ознаки та добуток, а дані частоти – ні.

• Середня геометрична величина найчастіше застосовується під час аналізу темпів зростання економічних явищ. Вона дає можливість зберігати у незмінному вигляді добуток індивідуальних значень даної величини, а не суму.

  Також буває простою та зваженою.

• Середня квадратична величина використовується при розрахунку окремих показників показників, таких як коефіцієнт варіації, що характеризує ритмічність випуску продукції тощо.

  Також з її допомогою обчислюються середні діаметри труб, коліс, середні сторони квадрата та подібних фігур.

  Як і всі інші види середніх СВ, середньоквадратична буває простою та виваженою.

Види структурних величин

Крім середніх СВ, у статистиці часто використовуються структурні види. Вони краще підходять для розрахунку відносних характеристик величин варіює ознаки і внутрішньої будовирядів розподілу.

Таких видів є два.

Як порахувати середнє значення чисел в Excel

Знайти середнє арифметичне чисел Excel можна за допомогою функції .

Синтаксис СРЗНАЧ

=СРЗНАЧ(число1;[число2];…) – російська версія

Аргументи СРЗНАЧ

• число1– перше число чи діапазон чисел, до розрахунку середнього арифметичного;
• число2(Опціонально) – друге число чи діапазон чисел розрахунку середнього арифметичного. Максимальна кількістьаргументів функції – 255.

Для розрахунку виконайте такі кроки:

• Виділіть будь-яку комірку;
• Напишіть у ній формулу =СРЗНАЧ(
• Виділіть діапазон осередків, для якого потрібно зробити розрахунок;
• Натисніть клавішу “Enter” на клавіатурі

Функція розрахує середнє значення у вказаному діапазоні серед осередків, у яких є числа.

Як знайти середнє значення з урахуванням тексту

Якщо в діапазоні даних є порожні рядки або текст, функція сприймає їх як “нуль”. Якщо серед даних є логічні вислови Брехня або ІСТИНА, то Брехня функція сприймає як "нуль", а ІСТИНА як "1".

Як знайти середнє арифметичне за умовою

Для розрахунку середнього за умовою чи критерієм використовується функція. Наприклад, уявимо, що у нас є дані з продажу товарів:

Наше завдання – обчислити середнє значення продажів ручок. Для цього зробимо такі кроки:

• У осередку A13напишемо назву товару "Ручки";
• У осередку B13введемо формулу:

=ЗНАЧАЛЬНІ(A2:A10;A13;B2:B10)

Діапазон осередків “ А2: A10” вказує на список товарів, у якому ми шукатимемо слово “Ручки”. Аргумент A13це посилання на комірку з текстом, який ми шукатимемо серед усього списку товарів. Діапазон осередків “ B2: B10” це діапазон з даними продажу товарів, серед яких функція знайде “Ручки” та обчислить середнє значення.

Тема середнього арифметичного та середнього геометричного входить до програми математики 6-7 класів. Так як параграф досить простий для розуміння, його швидко проходять, і до завершення навчального рокушколярі його забувають. Але знання у базовій статистиці потрібні для складання ЄДІ, а також для міжнародних іспитів SAT. Та й для повсякденному життірозвинене аналітичне мислення ніколи не завадить.

Як обчислити середнє арифметичне та середнє геометричне чисел

Припустимо, є ряд чисел: 11, 4 і 3. Середнім арифметичним називається сума всіх чисел, поділена на кількість даних чисел. Тобто у разі чисел 11, 4, 3, відповідь буде 6. Як виходить 6?

Рішення: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

У знаменнику має стояти число, яке дорівнює кількості чисел, середнє яких потрібно знайти. Сума ділиться на 3, тому що доданків три.

Тепер треба розібратися із середнім геометричним. Припустимо, є ряд чисел: 4, 2 та 8.

Середнім геометричним чисел називається добуток всіх даних чисел, що знаходиться під коренем зі ступенем, що дорівнює кількості даних чисел. Тобто у випадку чисел 4, 2 і 8 відповіддю буде 4.

Рішення: ∛(4 × 2 × 8) = 4

В обох випадках вийшли цілі відповіді, тому що для прикладу було взято спеціальні числа. Так відбувається не завжди. Найчастіше відповідь доводиться округляти чи залишати під коренем. Наприклад, для чисел 11, 7 і 20 середнє арифметичне ≈ 12,67, а середнє геометричне - ∛1540. А для чисел 6 та 5 відповіді, відповідно, будуть 5,5 та √30.

Чи може так статися, що середнє арифметичне дорівнюватиме середньому геометричному?

Звісно, ​​може. Але лише у двох випадках. Якщо є ряд чисел, що складається лише з одиниць, або з нулів. Примітно також те, що відповідь не залежить від їхньої кількості.

Доказ із одиницями: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (середнє арифметичне).

∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1 (середнє геометричне).

Доказ із нулями: (0 + 0) / 2=0 (середнє арифметичне).

√(0 × 0) = 0 (середнє геометричне).

Іншого варіанту немає і не може.

Найпоширенішим видом середньої є середня арифметична.

Середня арифметична проста

Проста середньоарифметична величина являє собою середній доданок, при визначенні якого загальний обсяг даної ознаки даних порівну розподіляється між усіма одиницями, що входять в дану сукупність. Так, середньорічне вироблення продукції на одного працюючого — це така величина обсягу продукції, яка припадала б на кожного працівника, якби весь обсяг випущеної продукції однаково розподілявся між усіма співробітниками організації. Середньоарифметична проста величина обчислюється за такою формулою:

Проста середня арифметична— дорівнює відношенню суми індивідуальних значень ознаки до кількості ознак у сукупності

Приклад 1 . Бригада з 6 робочих отримує місяць 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс.руб.

Знайти середню заробітну плату
Рішення: (3+3,2+3,3+3,5+3,8+3,1)/6 = 3,32 тис. руб.

Середня арифметична зважена

Якщо обсяг сукупності даних великий і є рядом розподілу, то обчислюється зважена середньоарифметична величина. Так визначають середньозважену ціну за одиницю продукції: загальну вартістьПродукцію (суму творів її кількості на ціну одиниці продукції) ділять на сумарну кількість продукції.

Подаємо це у вигляді наступної формули:

Зважена середня арифметична- дорівнює відношенню (суми творів значення ознаки до частоти повторення даної ознаки) до (сумі частот всіх ознак). Використовується, коли варіанти досліджуваної сукупності зустрічаються неоднакова кількість разів.

Приклад 2 . Знайти середню заробітну плату робітників цеху за місяць

Середня заробітна плата може бути отримана шляхом поділу загальної суми заробітної платина загальна кількістьробітників:

Відповідь: 3,35 тис.руб.

Середня арифметична для інтервального ряду

При розрахунку середньої арифметичної для інтервального варіаційного ряду спочатку визначають середню для кожного інтервалу, як напівсуму верхньої та нижньої меж, а потім середню всього ряду. У разі відкритих інтервалів значення нижнього або верхнього інтервалу визначається за величиною інтервалів, що примикають до них.

Середні обчислювані з інтервальних рядів є наближеними.

Приклад 3. Визначити середній вікстуденти вечірнього відділення.

Середні обчислювані з інтервальних рядів є наближеними. Ступінь їх наближення залежить від того, якою мірою фактичний розподіл одиниць сукупності всередині інтервалу наближається до рівномірного.

При розрахунку середніх як терези можуть використовуватися не тільки абсолютні, а й відносні величини (частина):

Середня арифметична має цілу низку властивостей, які повніше розкривають її сутність і полегшують розрахунок:

1. Твір середньої у сумі частот завжди дорівнює сумі творів варіант на частоти, тобто.

2.Середня арифметична суми величин, що варіюють, дорівнює сумі середніх арифметичних цих величин:

3.Алгебраїчна сума відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої дорівнює нулю:

4.Сума квадратів відхилень варіантів від середньої менше, ніж сума квадратів відхилень від будь-якої іншої довільної величини, тобто.